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Relatividade
14 de junho de 2011
1 Introdução
Provavelmente uma teorias mais famosas da física. Indiscutivelmente seu criador é o físico mais
famoso que existiu, Albert Einstein. A primeira vista pode parecer fantasiosa ou no mínimo
surrealista, mas a teoria da relatividade surge como uma emergência a uma necessidade da
física em explicar observações que até a sua criação não eram explicadas da melhor forma.
A teoria da relatividade se divide em duas teorias: a teoria da relatividade restrita e a teoria
da relatividade geral. A teoria da relatividade restrita é aplicadas a sistema que se movem com
velocidade constante ou estão em repouso, a esses sistemas se lhes chama genericamente de
sistema inerciais de referencia. Por outro lado, a teoria geral da relatividade trata de sistemas
não inerciais, ou seja, sistema acelerado. Aqui vamos tratar da teoria especial da relatividade.
O caminho para a relatividade Restrita é muito interesante, por isso vamos entender um pouco
da suas origens
Em 1873 Maxwell publica a sua teoria do electromagnetismo (�A Treatise on Electricity and
Magnetism�) onde aparece a forma das equação diferenciais que rege o movimento das OEM
(a primeira menção ao comportamento ondulatório e à velocidade de propagação das OEM foi
em 1864 no paper �A dynamical theory of the electromagnetic �eld�)
∂2E∂x2
= 1c2∂2E∂t2
∂2B∂x2
= 1c2∂2B∂t2
Estas equações tem a complicação de que elas não mostram um relação direta entre a velocidade
da fonte e a velocidade das ondas; no caso de ondas mecânicas era sabido que a velocidade da
onda era medida em relação ao meio onde a onda se propagava (por exemplo, uma onda em uma
corda, sua velocidade é medida em relação à corda), no entanto no caso das OEM é o campo
elétrico e magnético que oscila. Assim foi proposto que essas oscilações deveriam ser medidas em
relação ao �Éter luminisfero�. Uma vez formulada essa hipótese foi decidido medir a velocidade
da Terra em relação ao éter e em, em 1881 Albert Michelson realiza a primeira tentativa de
medir essa velocidade obtendo resultado negativo. Em 1887, junto com Edward Morley, tenta
medir novamente essa velocidade e novamente obtem resultado nulo, isto é a velocidade de
arrasto da Terra no éter é nula. A �m de explicar o resultado nulo do experimento realizado
por Michelson e Morley, George FitzGerald sugere, numa nota à science intitulada �The ether
1
and the earth's atmosphere� (1889), que os comprimentos do aparelho experimental utilizado
para medir a velocidade de arrastro da Terra se modi�cam na direção do movimento do éter.
Independetemente a esse resultado, Hedrik Lorentz publica em 1892 um trabalho no qual ele
explica que devido as contrações dos elétrons os comprimentos do aparelho de Michelson-Morley
não seria possível medir a desejada velocidade de arrasto.
Em 1887 Woldemar Voigt publica um estudo sobre o efeito Doppler (�Über das Doppler'sche
Princip�) onde pela primeira vez se considera a in variança das leis física (ele supõe invariante
a equação da onda para oscilações de um meio incompressível (ou seja o éter)) e a incompati-
bilidade do tempo absoluto de Newton com o deslocamento Doppler, foi o primeiro a obter as
conhecidas transformações do Lorentz a menos de um fator multiplicativo (√
1− v2/c2), queem notação contemporânea tem a forma
x′ = x− V t
y′ = y
√1−
(Vc
)2z′ = z
√1−
(Vc
)2t = t− V x
c2
Em 1897, Joseph Lamor, publica as transformações de Lorentz como as conhecemos atualmente
(2 anos antes de Lorentz e 8 antes de Einstein) sendo capaz de prever a dilatação do tempo
e a contração do comprimento. Finalmente, como parte da sua teoria do eletromagnetismo,
Lorentz é o terceiro a publicar o que conhecemos hoje como transformadas de Lorentz.
O mais importante artigo relacionado com a relatividade especial publicado antes de 1900
foi de autoria do físico francês Jules Henri Poincaré, "La mesure du temps", que apareceu em
1898. Nesse artigo Poincaré diz:
"...não temos intuição direta sobre a igualdade de dois intervalos de tempo. A simultane-
idade de dois eventos ou a ordem de sua sucessão, assim como a igualdade de dois intervalos
de tempo, deve ser de�nida de tal modo que as a�rmações das leis naturais sejam tão simples
quanto possível."
Por volta de 1900 o conceito de éter como uma substância material estava sendo questionado.
Paul Drude escreveu:
"O conceito de um éter absolutamente em repouso é o mais simples e o mais natural - pelo
menos se o éter é concebido como sendo não uma substância mas meramente espaço dotado de
certas propriedades físicas."
Poincaré, em sua palestra de abertura no Congresso de Paris em 1900, perguntou "O éter
realmente existe?". Em 1904 esse grande cientista se aproximou bastante de uma teoria da
relatividade especial em uma palestra no International Congress of Arts and Science, em Saint
Louis. Ele mostrou que observadores em diferentes sistemas de referência terão relógios que:
"... marcarão o que podemos chamar de tempo local...como exigido pelo princípio da rela-
tividade o observador não pode saber se ele está em repouso ou em movimento absoluto."
O ano em que a relatividade especial �nalmente passou a existir foi 1905. O mês de junho
2
Figura 1: Movimento relativo
desse ano foi muito importante para essa nova teoria. Em 5 de junho Poincaré apresentou um
importante trabalho, "Sur la dynamique de l'electron", enquanto o primeiro artigo de Einstein
sobre a relatividade foi recebido em 30 de junho. Poincaré estabeleceu que "parece que esta
impossibilidade de demonstrar movimento absoluto é uma lei geral da natureza." Depois de
criar o nome de transformações de Lorentz em homenagem a esse físico, Poincaré mostrou
que essas transformações, junto com as rotações, formam um grupo, uma estrutura algébrica
muito importante. (http://www.on.br/certi�cados/ens_dist_2008/site/conteudo/modulo2/7-
relatividade_especial/2-teoria-relatividade-especial.html)
1.1 A relatividade de Galileo
Galileo se pergunto como seria visto um mesmo fenômeno físico por dois observadores diferente,
por exemplo como seria vista a queda de uma pedra, deixada cair desde um carro em movimento
em relação a um observador na terra, em relação ao condutor do carro e o observador na Terra?
Galileo realizou esse experimento com uma bola de canhão e um barco e respondeu que o
observador em Terra observa o que chamamos de movimento parabólico e o observador no
carro observa a queda normal livre da pedra. Assim Galileo percebe algo que não é tão obvio,
um mesmo fenômeno físico pode ter mais de uma descrição correta e essa descrição depende
da situação do observador, mas é possível ir da descrição dada por um observador à descrição
dada por outro observador. Neste ponto é provável que Galileo tenha entrado em um empasse,
o observador, será que existe um observador privilegiado? Um observador que diga que um
certo tipo de movimento tem uma dada descrição e essa seja a descrição correta do movimento?
É aqui onde entra Newton. Newton entende o problema de Galileo e formula o que chamamos
de principio da relatividade da mecânica:
As leis da física são as mesmas em todo sistema
inercial
Primeiro devemos de�nir o que é um sistema inercia. Um sistema inercial é um sistema sobre
o qual não atuam nenhuma força ou, igualmente, um sistema sobre o qual a soma de todas
as forças externa é igual a zero. Segundo a primeira lei de Newton esse sistema deve estar
em repouso ou se movendo com velocidade constante. Se movendo em relação ao que? Para
responder a essa duvida Newton diz que o sistema inercial por excelência é aquele sistema no
qual as estrelas estão �xas, assim qualquer outro sistema que esteja em repouso em relação
3
Figura 2: Sistemas de referencia
a aquele sistema ou em movimento com velocidade constante também é um sistema inercial.
Devemos perceber que em toda esta discussão o fundamental é a medida da velocidade de um
sistema em relação a outro.
A �m de entender um pouco melhor o principio de relatividade de Galileo consideremos a
seguinte situação: dois sistemas de referência inerciais, um se movendo com velocidade con-
stante em relação ao outro. Como mostra a �gura, representaremos esses sistemas pelos eixos
coordenados S e S ′. Observadores em ambos dos sistemas observam um evento no espaço,
esse evento é o evento B. Para o observador no sistema S a coordenada do evento é ~r e para
o observador em S ′ a coordenada do evento é ~r′, da �gura podemos ver que é possível escrever
uma relação entre ~r e ~r′ simplesmente somando os vetores
~r′ = ~r + ~R
onde ~R é a posição do sistema S ′ em relação ao sistema S. Para que �que mais claro o papel
de cada um dos observadores, podemos escrever a equação anterior como
~RB/S′ = ~RB/S + ~Rs′/s (1)
onde ~RB/S′ é a posição do evento B em relação a S ′, ~RB/S é a posição do evento B em relação
a S e ~Rs′/s é a posição do sistema S ′ em relação ao sistema S. Derivando a equação anterior
temos~VB/S′ = ~VB/S + ~Vs′/s (2)
onde ~VB/S′ é a posição do evento B em relação a S ′, ~VB/S é a posição do evento B em relação
a S e ~Vs′/s é a posição do sistema S ′ em relação ao sistema S. Derivando novamente temos
~aB/S′ = ~aB/S
multiplicando pela massa do objeto~FB/S′ = ~FB/S (3)
4
e está aqui o principio de relatividade de Newton, como o sistema S ′ se move com velocidade
constante em relação a S, ambos observadores percebem que sobre o corpo atua a mesma força
e dessa forma estão de acordo que é a mesma lei física que descreve o movimento, essa é a
essência do principio de relatividade de Galileo.
2 Sobre a propagação da luz
2.1 O Éter
O fundamento da física é a possibilidade de realizar experimentos a �m de aceder ao conheci-
mento e o fundamento da experimentação é a medição, assim em geral devemos nos perguntar
como devemos realizar uma determinada medição. Em especial quando trabalhamos com ondas
devemos nos perguntar como medimos a velocidade da onda, o mais precisamente o que é a
velocidade da onda. Temos três alternativas plausíveis 1) medir a velocidade em relação ao
observador, 2) medir em relação à fonte ou 3) medir em relação ao meio onde se propaga a
onda. Perceba que tanto a opção 1 como a 2 tem um problema o observado e a fonte podem
estar em movimento e dessa forma a velocidade da onda poderia se ver afetada pelo movimento
da fonte e/ou do observador (efeito Doppler). Assim, resulta obvio que o melhor é de�nir o
movimento da onda em relação ao meio por onde ela se propaga. Tendo isto como base, somos
capazes de medir a velocidade de diversas ondas, mecânicas, como o movimento de uma onda
numa corda, acústica o movimento da onda em relação as moléculas de ar, na água, etc, mas no
caso das ondas eletromagnéticas sabemos que são os campo elétricos e magnéticos que oscilam,
mas oscilam em relação ao que? Isto é para uma onda eletromagnética qual é o meio de propa-
gação. A �m de responder a essa pergunta os físicos recorreram a uma ideais muito antiga
introduzida por Aristóteles. Na antiguidade, a os �lósofos lhes resultava muito complicado
pensar na existência do vácuo, e a razão disso é simples: se o nada (vácuo) existe, como poderia
ser nada?. Assim, da mesma forma que existe o ar na Terra, preenchendo o espaço entre as
coisas deveria existir uma sustância preenchendo o espaço entre as estrelas, a essa substancia
se lhe chamou de Éter. Assim os físico utilizar esse meio ideal para explicar a propagação da
luz. Em especial a esse Éter se lhe denomina éter luminífero. Para os físicos o éter deveria ser
um tipo de �uido, incompreensível (que não pode ser comprimido) pois a velocidade da luz é
muito alta (c = 3, 0×108m/s) e eles sabiam que para que uma onda se propaga-se a velocidade
tão elevada deveria ser muito rígido o meio de propagação. O problema é que a terra se desloca
dentro do éter assim se o éter fosse viscoso a Terra perderia energia e cairia no Sol. Assim
os físicos postularam que o éter luminífero é um �uido perfeitamente movel, sem viscosidade,
incompreensível, transparente que enche o espaço.
2.2 O experimento de Michelson e Morley
A �m de medir o movimento da Terra em relação ao éter, Michelson idealizou um experimento
capaz de realizar medidas muito precisas. Em essência o interferômetro de Michelson consiste
5
Figura 3: O interferômetro de Michelson e Morley
Figura 4: O interferômetro de Michelson e Morley
em enviar um feixe de luz contra um espelho semitransparente. Quando a luz incide no espelho
parte dela se re�ete, perpendicularmente à direção original, e parte se transmite, continuando
na mesma trajetória. Cada um dos feixes se re�ete em espelhos no �nal de seu trajetos de
forma a volver ao ponto onde os foram divididos em 2. Passando pelo espelho semitransparente
novamente e construindo um único raio. Se o comprimento de cada um dos percursos dos raios
é o mesmo, então a diferença de fase entre estes raios é nula. Por outro lado, se a diferença
de caminho ótico é diferente, poderemos ter superposição destrutiva parcial o completa. Para
entender isso melhor devemos considerar o interferômetro como sendo uma corrida entre dois
feixes de luz se movendo por pistas diferentes, se eles chegam empatados ao detetor, então
teremos superposição construtiva (mancha de luz).
Se consideremos que o éter existe, então os caminhos óticos percorrido por cada um dos
raios será diferente, isto porque uma das pista está em movimento. Para ilustrar isso vamos
considerar a �gura 4, dois botes realizando uma corrida, o bote 1 ido perpendicular ao rio e
o 2 indo ao longo do rio. Se o rio tem velocidade c então na ida o bote 2 tem velocidade de
c + v vista por um observador em repouso na margem, enquanto que o bote 1 se move com
velocidade c e a �m de chegar ao ponto B ele tem que se deslocar formando um ângulo com o
segmento que une o ponto A com o ponto B (ver �gura 4 (c)). Assim o tempo que necessário
pelo bote 2 para ir e voltar será
t2 =l
c+ v+
l
c− v=
2l
c(1− v2/c2)
6
Figura 5: Figura de interferência de um interferômetro de Michelson
para o bote 1 temos
t1 =2l
c√
1− v2/c2
consequentemente
∆t = t2 − t1 =2l
c
1
1− v2/c2− 1√
1− v2/c2
No caso do experimento de Michelson e Morley a velocidade dos botes seria a velocidade da
luz e v seria a velocidade da Terra em relação ao éter. Essa diferencia de tempo entre cada um
dos raios deveria produzir uma �gura de interferência como a mostrada na �gura 5. A �m de
detetar alguma mudança o Michelson e Morley rotaram o interferômetro em 90◦, de forma que
obtiveram outra �gura similar mas levemente deslocada. Se o interferômetro é rotado teremos
que
t′1 =2l
c(1− v2/c2)
t′2 =2l
c√
1− v2/c2
de onde
∆t′ = t′2 − t′1 =2l
c√
1− v2/c2− 2l
c(1− v2/c2)=
2l
c
1√1− v2/c2
− 1
1− v2/c2
assim a diferença de tempo entre cada uma das con�gurações será
∆t−∆t′ =2l
c
1
1− v2/c2− 1√
1− v2/c2
− 2l
c
1√1− v2/c2
− 1
1− v2/c2
∆t−∆t′ =4l
c
1√1− v2/c2
− 1
1− v2/c2
Se assumimos que v � c
1√1− v2/c2
≈ 1 +1
2
v2
c2
7
1
1− v2/c2≈ 1 +
v2
c2
obteremos que
∆t−∆t′ ≈ 4l
c
(1 +
1
2
v2
c2− 1− v2
c2
)
∆t−∆t′ ≈ 2lv2
c3
No caso do experimento de Michelson e Morley temos que l = 22m e se assumimos que a
velocidade da Terra em relação ao éter é a velocidade de traslação da terra em relação ao Sol,
então v ≈ 3, 0× 104m/s, de forma que
∆t ≈ 7, 3× 10−16s
Assim, se a luz utilizada tem comprimento de onda de
λ = 5, 5× 10−7m
⇒ f = c/λ = 5.5× 1014
⇒ T = 1/f = 1.8× 10−15s
δ = ∆t/T = 7, 3× 10−16s/1.8× 10−15s = 0.4
assim a diferencia de fase é de 0.4 e no caso do experimento de Michelson seria um deslocamento
de 0.4 franjas. O problema é que não foi detetado nada!!!
2.3 Fitzgerald e Lorentz, contração do comprimento.
O resultado nulo desse experimento foi um dos maiores problemas da física do inicio do ciclo
passado. A �m de dar uma resposta satisfatória a esse resultado, G. F. Fitzgeral e H. A. Lorentz
(em 1890) propuseram que o comprimento do braço do interferômetro ao longo da direção do
éter se contraia em uma fração de√
1− v2/c2. De acordo com Lorentz isto se devia ao efeito
do éter entre as interações elétricas das substancias. Dessa forma
l2 = l√
1− v2/c2 e l1 = l
de forma que
∆t =2
c
1√1− v2/c2
(l − l)
8
Figura 6: Experimento de Faraday
∆t′ =2
c
1√1− v2/c2
(l − l)
∆t = 0
2.4 Poincaré
Em 1889 o matemático francês Henri Poincare, analisou os resultados de Michelson e Morley.
Deu uma explicação geral que chamou de Principio da Relatividade. A ideia básica de Poincare
era de que num laboratório nunca se detetaria o movimento absoluto, de forma que tem que
surgir um novo tipo de dinâmica, diz. Ele apontou a importância fundamental do problema da
simultaneidade na medida física. Agrande duvida ao respeito do trabalho de Poincaré é se ele
abandona o conceito de éter ou não?
3 A teoria da Relatividade de Einstein
3.1 O problema da Eletrodinâmica de Clássica
A eletrodinâmica tinha um problema fundamental, ela viola o principio de relatividade de
Galileo de forma espantosa. É por isso que os cientistas do seculo XV II precisaram tanto da
ideia do éter, pois a través dele podiam invalidar o principio de relatividade e manter a ideia
de um sistema de referencia absoluto (tal e qual Newton admitia).
Para ver de forma clara o problema da eletrodinâmica pensemos no experimento de Faraday.
Segundo Faraday quando a variação do �uxo magnético a traves de um circuito induze uma
f.e.m. neste, isto é
9
˛−→E ind · d−→s = − d
dt
¨−→B · d−→a
Como sabemos, os resultados físicos de esta eq. podem ser explicados de forma simples con-
siderando as forças de Lorentz
−→F = q
−→E + q
(−→v ×−→B )que atuam sobre as partículas que formam o circuito. Assim, observando a �gura 6 vemos que
se colocamos nossa espira em repouso (em relação a nos) e movemos o ima (com velocidade
constante) na direção da espira um observador na espira imediatamente observara que as cargas
na espira se movem e explica este fenômeno usando a lei de Faraday: se induze uma campo
elétrico dentro desta o que faz que as cargas livres dentro da espira se movimentem. Porém um
observador em repouso no imã explica o movimento das cargas diz que as experimentam forças
porque estas (as cargas) estão se movendo em direção ao ima de forma que sobre elas atua uma
força dada por q(−→v ×−→B ). A pergunta é quem tem a razão. Se se pudesse determinar sem
duvida alguma qual dos dois sistemas esta em repouso e qual esta em movimento poderíamos
dizer qual tem a razão, para isso necessitamos um sistema absoluto que me permita de�nir
o repouso, dai a necessidade do Eter!!!! Mas A. Einstein diz, não Galileo tem razão e ambos
observadores estão observando o mesmo experimento, por tanto deve existir uma transformação
que me leve de uma observação a outra.
3.2 Postulados da relatividade de Einstein
A �m de salvar a relatividade de Galileo Einstein postula o seguinte:
Principio da relatividade:
Todas as leis físicas devem ter a mesma forma em todos os sistemas de
referencia inerciais. Ou, dito de forma mais elegante, as leis da física são
invariantes ou covariantes.
Com esse postulado simples, Einstein derruba a hipóteses Newtoniana de sistema de referencia
absoluto e da igualdade de condições a observadores em sistemas de referência inerciais, a está
a�rmação se lhe conhece como principio de equivalência dos sistemas inerciais. Note, contudo,
que esse postulado é mais geral do que o postulado Galileano, ele estende para toda à física o
postulado de Galileo que era válido para a mecânica.
Além do postulado anterior, Einstein introduz um outro postulado:
Principio de constância da velocidade da luz:
A velocidade da luz no vácuo sempre tem o mesmo valor c, independente-
mente do movimento da fonte ou do sistema de referencia do observador.
10
Figura 7: II postulado
Esse postulado é contra intuitivo, mas foi necessário introduzir ele. Observe que este postulado
resulta do experimento de Michelson e Morley. Mesmo a Terra estar se movendo, a velocidade
da Luz independe desse fato.
3.3 Simultaneidade nas medidas
Uma das primeira coisas que intrigou o Einstein foi o que entendemos por simultaneidade. A
simultaneidade é a base da medição em física, por exemplo, quando medimos o comprimento
de um objeto na verdade estamos comparando os limites do objeto com o tamanho de um
padrão de�nindo, mas essa comparação envolve em olhar simultaneamente, o dito de outra
forma, ao mesmo tempo, o limite do corpo e o padrão de medida. Um exemplo mais evidente
disto é por exemplo quando se diz que o ônibus sai do terminal às 7 : 00, Einstein diz que isso
signi�ca que são eventos simultâneos: os ponteiros do relógio da empresa apontaram às 7 : 00
e a partida do ônibus. Mas veja que o importante é que tanto o relógio e o ônibus devem estar
no mesmo lugar a �m de checar essa simultaneidade, quando os eventos acontecem em lugares
diferentes já não podemos dizer, de forma simples, que eles são simultâneos. Com tudo temos
uma forma simples de checar se dois eventos, que acontecem em lugares diferentes do espaço são
simultâneos. Basta em colocar um dispositivo que �que a meio caminho e avise no momento
Suponhamos o seguinte experimento mental. Uma observador de pê sobre um carro, que
chamaremos de Henri, e um outro observador que chamaremos de Albert que esta em pê não
chão, observam um mesmo fenômeno físico, a emissão de um pulso de OEM. Ambos obser-
vadores estão em sistemas inerciais, porém existe uma velocidade relativa entre eles. Segundo
Albert, Henri se move para a direita, em relação a ele. Segundo o Henri, Albert se move à
esquerda em relação a ele. A emissão do pulso de OEM se da no preciso instante em que
Albert está cara a cara com Hery. O problema é que ambos a�rma que estão no meio de uma
casca esférica formada pelo pulso de OEM. A �m de dirimir a duvida cada um de eles coloca
detetores equidistantes do se ponto de observação. Quando eles estão novamente cara a cara é
emitido o pulso de luz e cada um mede (a traves do detetor) o pulso que foi emitido. Visão de
Henry: O Henry a�rma que o pulso chega simultaneamente aos seus detetores mas, observa
que primeiro chega no detetor direito de Albert e depois no esquerdo. Visão de Albert: O
11
Figura 8: Visão de Henry sobre a propagação da OEM. Observe que segundo Henry a OEMsempre é centrada em ele e atinge o detetor direito de Albert primeiro
Albert a�rma que o pulso chega simultaneamente aos seus detetores mas, observa que primeiro
chega no detetor esquerdo do Henry e depois no direito. A única coisa em que eles concordam
é no valor da velocidade da OEM.
fora do carro observando a Henri. Um pulso de luz é emitido no momento exato em que
Henri passa em frente de Albert.
Depois de um tempo Henri percebe que o pulso de luz atinge simultaneamente ambos
extremos do carro (pois ele está no meio do carro), porem Albert não observa isso, ele observa
que o pulso de OEM atinge primeiro a parte posterior do trem e depois atinge a parte frontal
do carro, isto porque a parte traseira do carro vai ao encontro da OEM e a parte da frente vai
se se afastando da luz. Eles decidem repetir o experimento, mas esta vez Albert é quem emite o
pulso. Para estudar a simultaneidade Albert coloca no chão, equidistantes dele, marcadores de
forma a saber quando a OEM os atinge. Quando Henri passa frente a ele Albert emite o pulso.
Segundo Albert, os pulso atinge simultaneamente ambos marcadores, mas segundo Henri não,
primeiro é atingido o marcador mais perto dele e depois o marcador maios longe dele (do ponto
de vista de Henry o marcador à sua esquerda se aproxima del, enquanto que o outro se afasta
Figura 9: Visão de Albert sobre a propagação da OEM. Observe que segundo Albert a OEMsempre é centrada em ele e atinge o detetor esquerdo de Henry primeiro
12
Figura 10: Dilatação do Tempo
dele, isto porque segundo ele Albert se move com velocidade −V ). Como explicar o problema.
Historicamente o segundo postulado de Einstein foi introduzido por Hendrik Lorentz mas,
o problema é que Lorentz fundamente esse resultado no fato da contração dos comprimentos.
Para Lorentz, na verdade a a luz viaje à mesma velocidade para todos os observadores, o que
acontece é que as distância (réguas) se encurtam e isso leva à que a velocidade seja a mesma.
Aqui é onde entra o grande Genio, Henry Poincaré, ele percebe a necessidade da mudança na
dinâmica que descreve o movimento.
3.4 Dilatação do tempo e contração dos comprimentos
Como foi dito já o Hendrik Lorentz introduz a ideia de contração dos comprimentos utilizando
a sua teoria de eletrodinâmica de partículas carregadas. No desenvolvimento da sua teoria
Lorentz prevê a contração do braso do interferômetro e é com esse fenômeno que ele tenta
manter viva a ideia do éter. Lamor, considerando uma serie de transformações encontrou que
o tempo também seria afetado pelo movimento, posteriormente Lorentz encontra um resultado
similar
3.4.1 Dilatação do tempo
A �m de entender a origem física da dilatação do tempo vamos explorar o seguinte experimento
mental:
Albert propõe usar um relógio, constroem dois relógio de luz, isto é colocam dois espelhos um
de frente para o outro e dentro dele colocam um �foton�. Albert da um dos relógio a Henri que
novamente sobe no carro, e passa na frente de Albert com velocidade v em relação a Albert.
Henri observa seu relógio e nota que a partícula de luz se move de acima para baixo e vice-versa,
mas Albert diz que na verdade o movimento da partícula é ao longo de uma diagonal (como
mostrado na �gura), no único que eles estão em acordo é que a velocidade da partícula de
luz é c, de forma que podem utilizar equações matemáticas para compreender o que acontece.
Segundo Albert, o fóton percorre uma distância de cT , mas na visão de Henri o fóton percorre
13
Figura 11: Experimento mental que mostra as diferentes medidas de comprimento realizada porobservadores inerciais em movimento relativo. Nessa �gura estão representados três momentosdiferentes da visão de Albert da régua que se move com Henry.
a distância cT ′, da �gura 10 vemos que essas duas observações, junto o comprimento percorrido
pelo carro em que se move Henri veri�cam o teorema de Pitágoras
(cT )2 = (v∆t)2 + (cT ′)2
disso vemos que o intervalo de tempo medido por Albert se relaciona com o intervalo de tempo
medido por Henri a traves da equação
T =1√
1− v2/c2T ′
Acostuma-se chamar de tempo próprio, T0, ao tempo medido por um observador em repouso
em relação ao evento, no caso do experimento mental de Henri e Albert, o tempo próprio é
o tempo medido por Henri já o relógio que ele usa para medir o tempo não muda de posição
enquanto que Albert mede o tempo olhando para o relogio de Henri que está mudando de
posição pois esta em movimento. Usando essa convenção a equação anterior se escreve como
T =T0√
1− v2/c2
3.4.2 Contração dos comprimentos
A �m de analisar o efeito que a velocidade produz nos comprimento ao longo da direção de
movimento, vamos considerar o seguinte experimento mental. Hery se desloca com a velocidade
constante V medida por Albert. Para Albert o comprimento da régua de Henry está dado pelo
tempo total transcorrido entre o primeiro contato com a régua (primeiro slide da �gura 11) e
o último contato com a régua (II slide), se esse tempo é T , então
L = |V |T
14
Segundo Henry, T ′ é o tempo desde que a Albert demora em percorre o comprimento da regra
de Henry, L′, isto é
L′ = |V |T
Como eles concordam em relação ao módulo relativo das velocidade, temos que
L
T=
L′
T ′
L =T
T ′L′
de onde
L =
√1− v2
c2L0
Exemplo
1. Um passageiro de uma espaço nave lê uma revista enquanto viaja entre a Terra e Jupiter,
com uma velocidade constante de 0.75 c. Se o passageiro demora determina que demorou10min
folhando a revista. (a) Quanto tempo um observador na Terra julga que o passageiro levou
em ler? (b) Quão longe está a espaço nave quando o passageiro terminou de ler a revista,
segundo o observado da Terra.
2. Os satélites de GPS se deslocam a quase 4km/s. Mostre quanto deve ser a correção
relativista dos bons aparelhos de GPS a �m de ter resultados comparáveis aos relógios
atômicos que é de 1 parte por 1013
3. Um trem ultra rápido de 500m de comprimento próprio está passando por um túnel de
200 metros. Suponhamos que a velocidade do trem seja su�cientemente alta a ponto de
que um observador na Terra a�rme que o trem ocupa perfeitamente o espaço do túnel,
isto é, a frente do trem sai do túnel no mesmo momento que a parte de atras entra no
túnel. (a) Qual é a velocidade do trem. (b) Qual é o comprimento do túnel, visto pelo
maquinista do trem. Se há inconsistência, explique.
4. (a) Calcule o tempo dilatado que um múon vive antes do decaimento quando se desloca
com velocidade igual a 0, 999c se o tempo próprio em que ele vive é 2, 2× 10−6s. Depois
compare-o ao tempo requerido para percorrer 10000mmovendo-se com aquela velocidade.
(b) Calcule o comprimento contraído da atmosfera, visto pelo múon, depois mostre que
o múon consegue precorrer esse trajeto.
15
Figura 12: Sistemas de referencia
4 Transformadas de Lorentz
4.1 Transformadas de posição de Lorentz
Einstein admite que a ideia global de Galileo sobre a física independer do observador está certa,
contudo isso não implica em que se admita a validez das transformadas de Galileo. Como a
pesquisa fundamental de Einstein se baseio no fato das equações de maxwell não serem invari-
antes frente a uma transformação de Galileo, ele tinha duas opções de trabalho. Reformular
as lei de Maxwell a �m de que elas veri�cassem as transformadas de Galileo ou reformular
as transformadas de Galileo. A �m de tentar explicar o resultado nulo do experimento de
Michelson e Morley foram desenvolvidas teorias que reformularão as equações do Maxwell, as
conjuntos destas teorias se lhes conhece como teorias de emissão. A ideia por trás dessas teorias
era supor que a velocidade da luz dependia da velocidade da fonte e independia da velocidade
do meio por onde se propaga luz. Experimentos posteriores mostraram que essas teorias todas
estão erradas. Dessa forma parece que intentar modi�car as transformações de Galileo resulta
uma opção viável. A �m de fazer isso analisa as transformações de Galileo
x′ = x− V ty′ = y
z′ = y
t′ = t
(4)
Ele sabia que essas transformações funcionam muito bem quando estamos trabalho em sistemas
onde a velocidade da luz é muito maior que a velocidade de qualquer corpo, de forma que
qualquer modi�cação introduzida nessas equações deveria das como resultado as transformações
originais no limite de baixa velocidade.
A �m de deduzir as novas transformadas, consideremos o seguinte experimento mental:
Dois observadores em sistemas inerciais de referência, S e S ′, movem-se um junto a outro. O
observador em S observa que o observador em S ′ se move com velocidade V ao longo do eixo
x . Quando eles passam um pelo outro celebram o evento ligando uma lâmpada nas origens,
temporariamente coincidente, de cada sistema, também ajustam seus relógios em zero.
16
De acordo com O′, depois de um tempo t′ a luz está sobre uma casca esférica de raio r′ = ct′,
centrada na origem do seu sistema de referência. Assim ele veri�ca que as coordenadas (x′, y′, z′)
de um ponto típico sobre a casca esférica estão relacionados pela equação
x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2 (5)
Igualmente O julga que o ponto de um ponto sobre a esfera na qual se encontra a luz veri�ca
x2 + y2 + z2 = c2t2 (6)
de forma que ambos acreditam estar no centro de uma casca esférica de luz que se expande
com velocidade c (observe que ambos observadores medem a mesma velocidade da luz (II
postulado)).
A �m de encontrar as novas transformadas que deixem invariante o fenômeno físico (casca
de luz) suporemos que estas terão a seguinte forma matemática:
x′ = γ (x− V t)y′ = y
z′ = z
t′ = γ (t+ δ)
(7)
Ou seja, a modi�cação que suporemos se da na direção do movimento e no tempo. Que a
modi�cação seja na direção do movimento é obvio não há necessidade de incluir modi�cações
nessas direções. Que a modi�cação seja um constante multiplicativa se deve a duas premissas:
(1) essa é a modi�cação mais simples às equações de Galileo e (2) Supor de ordem maior em x
modi�caria a homogeneidade do espaço (Qualquer ponto transladado é igualmente bom para
descrever os fenômenos ⇒ conservação do momento linear total de um sistema fechado) 1 .
Assim essa é a melhor escolha possível. De nossa analise previa sabemos que γ deve veri�car
limv/c→0
γ = 1
Da mesma forma propomos que o tempo seja modi�cado devido aos problemas de simultanei-
dade já apontados e esta modi�cação tem de ser linear devido à homogeneidade temporal (um
intervalo de tempo dependeria de quando foi iniciado).
A �m de encontrar a forma das constantes γ e δ vamos substituir em 5 a nova equação de
transformação 7
γ2(x2 − 2V xt+ V 2t2
)+ y2 + z2 = c2γ2
(t2 + 2δt+ δ2
)(8)
1Suponhamos que fosse as transformações fossem de II ordem. Uma barra de comprimento L = 2mlocalizada em S teria comprimentos diferentes, segundo S′, se a origem e o �m dela estivessem em lugares
diferentes, suponhamos que inicialmente a barra é colocada entre os pontos xf = 3 e xi = 1 (L = xf − xi),o observador em S′ veria x′
f ∝ x2f = 9 e x′
i ∝ x2i = 1, de forma que L′ = x′
f − x′i ∝ 8, enquanto que se S
muda a barra para xf = 5 e xi = 3 agora S′ mediria L′ = x′f − x′
i ∝ 16 o dobro!!! simplesmente devido a uma
translação.
17
a �m de encontrar a equação 6. Observe que na equação anterior não temos termo xt à direita
do igual, dessa forma devemos supor que o segundo termo entre parenteses à esquerda tenha
que se cancelar com algum o alguma soma de termos à direita do igual. Como esse termo é
proporcional à t os termos à direita do parenteses também tem de ser potencias de t, se não o
cancelamento não seria válido, dessa forma
−2γV xt = 2γ2δt
ou
δ = −V xc2
colocando esse resultado de volta em
γ2x2 + γ2V 2t2 + y2 + z2 = c2γ2t2 + c2γ2V 2x2
c4
agrupando os termos em x2 e em t2
γ2(
1− V 2
c2
)x2 + y2 + z2 = c2γ2
(1− V 2
c2
)t2
comparando com 6 vemos que
γ2(
1− V 2
c2
)= 1
ou
γ =1√
1− V 2
c2
dessa forma as novas transforma de posição e tempo são
x′ = 1√1−V 2
c2
(x− V t)
y′ = y
z′ = z
t′ = 1√1−V 2
c2
(t− V x
c2
) (9)
Essas transformações recebem o nome de transformações de Lorentz pois em 1895 H.
Lorentz chegou a esse mesmo resultados quando tentava manter a hipóteses do éter válida
supondo a contração dos eletros no movimento em relação ao éter (ver a introdução onde se
explica que Lorentz só foi o terceiro a conhecer as equação de Lorentz, pag. 2).
Caso queiramos calcular as observações de S sabendo os resultados obtidos por S ′, devemos
notar que a equação de transformação mantem a mesma estrutura, o único que devemos fazer
18
é
a esquerda do igual −→
x′ → x
y′ → y
z′ → z
t′ → t
e, a direita do igual −→
x → x′
y → y′
z → z′
t → t′
V → −V
(10)
dessa formax = 1√
1−V 2
c2
(x′ + V t′)
y = y′
z = z′
t = 1√1−V 2
c2
(t′ + V x′
c2
)
4.1.1 Dilatação do tempo e Contração do comprimento
Como é de se esperar, as equação de Lorentz permitem calcular a dilatação do tempo que foi
explicado na seção 3.4.1. Para isso devemos considera que os eventos ocorrem no mesmo ponto
do sistema linha, mas a tempo diferentes, t′1 e t′2, assim, o intervalo de tempo medido pelo
observador sem linha está dado por
∆t = t2 − t1
=1√
1− V 2
c2
(t′2 +
V x′2c2
)− 1√
1− V 2
c2
(t′1 +
V x′1c2
)1√
1− V 2
c2
[(t′2 − t′1) +
V
c(x2 − x1)
]
mas, como x′2 = x′1
∆t =∆t′√
1− V 2
c2
No caso da contração dos comprimentos, vamos supor que temos um objeto que está em repouso
em relação ao observador S, isso permite a esse observador medir simultaneamente (t2 = t1) a
posição das extremidades do objeto e determinar que seu tamanho é L = x2−x1. O observador
em S ′ realiza medidas das extremidades do objeto e determina que o comprimento deste é
L′ = x′2 − x′1=
1√1− V 2
c2
(x2 − V t2)−1√
1− V 2
c2
(x1 − V t1)
=1√
1− V 2
c2
[(x2 − x1) + V (t2 − t1)]
19
de onde
L′ =
√1− V 2
c2L
Exemplos
1. Um observador no sistema S nota um lampejo de uma luz vermelha na posição xR =
3.00m e no tempo tR = 1.00 × 10−9s e de uma luz azul em xB = 5.00m ao tempo
tB = 9.00 × 10−9s. Ao tempo t = t′ = 0 o observador do sistema S ′ tem sua origem do
sistema de coordenadas no mesmo ponto que a origem do sistema de coordenadas de S.
Segundo o observador S o sistema S ′ se desloca com uma velocidade de Vs′/s constante
em sentido positivo de x. O observador em S ′observa as duas lampejadas mas a�rma
que elas acontecem na mesma posição do espaço. (a) Encontre a velocidade de S ′ em
relação a S. (b) A posição das lampadas em relação a S ′. (c) Em que momento o lampejo
vermelho acontece segundo S ′.
2. A nave espacial Entrerprise, E, é alcançada pelo novo modelo, a nave espacial Enterprise-
linha, E ′, com E ′ passando por E com uma velocidade relativa de∣∣∣VE′/E∣∣∣ = c/2. O capitão
de E saúda o capitão de E ′ piscando as luzes de proa e da popa de E, simultaneamente
do ponto de vista de E. Quando medido por E, a distância entre as luzes é 100m. Qual
é a diferença entre os tempos de emissão dos sinais das luzes, quando medidos por E ′.
4.2 Transformadas de velocidade de Lorentz
Agora vamos analisar as transformações de velocidade de Galileo. Calculamos o diferencial de
cada lado da equação 4
dx′ = dx− V dtdy′ = dy
dz′ = dz
dt′ = dt
dividindo as três primeiras pela quarta temos:u′x = ux − Vu′y = uy
u′z = uz
onde
ux =dx
dtuy =
dy
dtuz =
dz
dt
e
u′x =dx′
dt′u′y =
dy′
dt′u′z =
dz′
dt′
Par encontrarmos as transformadas de velocidade de Lorentz calculamos os diferenciais da
20
equação9dx′ = 1√
1−V 2
c2
(dx− V dt)
dy′ = dy
dz′ = dz
dt′ = 1√1−V 2
c2
(dt− V dx
c2
)dividindo as três primeiras pela quarta temos:
dx′
dt′=
1√1−V 2
c2
(dx−V dt)
1√1−V 2
c2
(dt−V dxc2
)=
dxdt−V
1− Vc2
dxdt
dy′
dt′= dy
1√1−V 2
c2
(dt−V dxc2
)=
dydt
1√1−V 2
c2
(1− Vc2
dxdt )
dz′
dt′= dz
1√1−V 2
c2
(dt−V dxc2
)=
dzdt
1√1−V 2
c2
(1− Vc2
dxdt )
ou
u′x = ux−V1−V ux
c2
u′y =
√1−V 2
c2
1−V uxc2
uy
u′z =
√1−V 2
c2
1−V uxc2
uz
Igualmente poderíamos calcular a velocidade vista por S segundo S ′
ux = u′x+V
1+V uxc2
uy =
√1−V 2
c2
1+V uxc2
u′y
uz =
√1−V 2
c2
1+V uxc2
u′z
Exemplo
Figura 13: Exemplo 1
21
Figura 15: Derivando o momento relativista. (a) Colisão como vista pelo observador em S e(b) colisão como vista pelo observador em S ′
1. Imagine um motoqueiro se movendo a 0.80 c em relação a uma pessoa na beira da estrada,
como mostra a �gura 13. Se o motoqueiro joga uma bola a frente dele como uma veloci-
dade de 0.70 c relativa a ele, qual é a rapidez de la bola em relação ao observador na beira
da estrada.
Figura 14: Exemplo 2
2. Uma nave Klingon se afasta da Terra com uma velocidade relativa à Terra de 0.80 c. A
nave estelar Enterprise persegue a nave klingon com velocidade de 0, 9 c em relação a
Terra (ver �gura 14). Um observador na Terra observa a Enterprise ultrapassar a nave
Klingon com velocidade relativa de 0, 10 c. Qual é a velocidade que o capitão da nave
Enterprise juga ter ultrapassado a Klingon
4.3 Momento Relativístico
Vamos considera a colisão elástica de duas bolas idênticas, A e B. Consideramos dos
sistemas inerciais S e S ′ se movendo ao longo de x com velocidade relativa v. No sistema de
referencia S a bola A se move com velocidade u na direção +y. No sistema de referência S ′ a
22
bola B se move com velocidade u na direção −y. Ambas bolas são arremessadas de forma a
colidirem no ponto central. Como a colisão é elásticas, depois da colisão, cada uma se move na
direção oposta a inicial com a mesma velocidade u. Assim temos
Sistema de referencia S Sistema de referencia S′
Bola A Bola B Bola A Bola B
Inicial ~vA/Si = +u j ~v
A/S′
i = +v i−(u√1− v2/c2
)j ~v
A/S′
i = −v i+(u√1− v2/c2
)j ~v
A/S′
i = −u j
Final ~vA/Sf = −u j ~v
A/S′
i = +v i+(u√1− v2/c2
)j ~v
A/S′
i = −v i−(u√1− v2/c2
)j ~v
A/S′
f = +u j
Aplicando a conservação do momento como visto pelo observador S temos
pAi + pBi = pAf + pBf
m
TERMINAR DEPOIS
Pode demostrar-se que o momento está dado por
~p = γm~v
4.4 Energia relativista
Seja uma partícula de massa m movendo-se sobre o eixo x , desde x0 = 0 até x. Sobre essa
partícula atua uma forca F que impulsiona a partícula desde uma velocidade inicial nula até
uma velocidade v. Sabe-se, de acordo com a segunda lei de Newton,
F =dp
dt
onde p é o momento linear. Por outro lado, a energia cinética da partícula varia de 0 até K. De
acordo com o teorema do trabalho e a energia, o trabalho realizado pela força é W = ∆K = K,
assim
W =
ˆ x
0
Fdx
=
ˆ x
0
dp
dtdx
=
ˆ x
0
dx
dtdp
=
ˆ p
0
v dp
23
no entanto, o momento linear relativista é dado por
p =mv√1− v2
c2
onde m é a massa de repouso. Então, usando vdp = d(vp)− pdv então
W =
ˆ v
0
[d(vp)− pdv]
=mv2√1− v2
c2
∣∣∣∣∣∣v
0
−mˆ v
0
v dv√1− v2
c2
usando que ˆvdv√1− v2
c2
= −c2√
1− v2
c2
obtemos que
W =mv2√1− v2
c2
∣∣∣∣∣∣v
0
+ mc2√
1− v2
c2
∣∣∣∣∣∣v
0
= mc21√
1− v2
c2
∣∣∣∣∣∣v
0
de onde, �nalmente
W =mc2√1− v2
c2
−mc2
portanto
K =mc2√1− v2
c2
−mc2
Vamos interpretar esse resultado, como K é energia, necessariamente os outros dois termos
dessa equação também são energia, mas observe que o primeiro termo à direita somente existe
se a partícula está em repouso enquanto que o segundo termo é uma energia intrínseca, existe
pelo simples fato da massa, se reordenamos essa equação da seguinte forma
K +mc2 =mc2√1− v2
c2
vemos que essa energia associada ao movimento é a soma da energia cinética mais a energia da
massa em repouso, por isso vamos chamar de energia total do sistema
E =mc2√1− v2
c2
(11)
enquanto que
Eo = mc2 (12)
é a energia em repouso da massa. Da equação 11 vemos que nenhuma partícula com massa
24
Figura 16: Um triângulo retângulo e arco de círculo que forma uma �gura útil para lembrar13, 14 e 15
pode viajar à velocidade da luz pois sua energia iria para o in�nito a medida que v se aproxima
de c.
O conceito de energia em repouso é bastante profundo por exemplo, quando temos um
sistema de partículas ligado essa energia de ligação contribui à energia de repouso do sistema,
um outro exemplo é a energia de agitação térmica, essa energia também é parte da energia de
repouso, de fato qualquer outra energia interna de um sistema contribui à energia de repouso,
dito isso podemos generalizar a lei de conservação da energia mecânica relativista:
([mc2
]total
+Ktotal
)inicial
=([mc2
]total
+Ktotal
)final
ou seja, num sistema isolado a soma da energia total de repouso e da energia cinética relativística
total é conservada, quando medida em qualquer sistema inercial de referência dado. Essa
expressão é equivalente a mc2√1− v2
c2
total inicial
=
mc2√1− v2
c2
total inicial
A �m de relacionar a energia relativística total com a massa em repouso e o modulo do
momento linear relativista, calculamos
m2c2
1− v2
c2
−m2c4 = m2c4(
1
1− v2
c2
− 1
)
= m2c4
v2
c2
1− v2
c2
=
(m2v2
1− v2
c2
)c2
= c2p2
ou seja
E2 = (c p)2 +(mc2
)2(13)
25
usando
E = K +mc2 (14)
temos que
K =√
(c p)2 + (mc2)2 −mc2 (15)
Para �nalizar gostaria de fazer um comentário sobre as equação 11 e 13, ainda que 11
informe se uma partícula viaja à velocidade da luz ela não pode ter massa, segundo a equação
13 mesmo que uma partícula não tenha massa ela terá momento associado e será igual à energia
dividido pela velocidade da luz, p = E/c.
Exemplo
1. (a) Um elétron tem momento linear de módulo p = 5, 0 × 1022. Calcule sua energia
cinética relativista K. A massa em repouso do elétron é m = 9, 11× 10−31kg (b) A título
de comparação, use a mecânica Newtoniana para calcular a energia do elétron.
2. Um múon de raios cósmicos é formado pelo decaimento de uma partícula chamada píon.
No decaimento é também formado um neutrino. O processo pode ser expresso simbolica-
mente como
π → µ+ ν
onde os símbolos são cada uma das partículas. Os valores medidos das massas de repouso
destas partículas são mπ = 2, 49× 10−28kg, mµ = 1, 89× 10−28kg e mν = 0 (ou seja, 274,
207 e 0 massas do elétron). Preveja a energia cinética do múon, conforme medida em um
sistema de referencia que se move junto com o píon antes de que ele decaia.
3. (a) Determine a diferencia entre a massa de repouso combinada de um átomo de Na e de
um átomo de Cl e a massa de repouso de uma molécula de NaCl. A energia de ligação
é Eb = −5, 8 × 10−19J . A massa en repouso do mNa = 23uma e do mCl = 35uma
(1uma = 1, 661× 10−27kg).
4. Calcule o decréscimo ∆m na massa de repouso total de um sistema consistente inicial-
mente em um núcleo de unânio-235 mais um nêutron de energia cinética desprezível que
está prestes a atingi-lo. e que consiste �nalmente em dois fragmentos amplamente sepa-
rados que ainda não emitiram nêutrons.
4.5 Efeito Doppler
O efeito doppler é a variação da frequência de uma onda devido ao movimento da fonte ou/e
do observador.
No caso do som, temos as seguintes
f ′ =f(
1− vfonte
vsom
) fonte movendo-se na direção do observador estacionario
26
Figura 17: Efeito Doppler no caso do Som.
Figura 18: Efeito Doppler no caso do Som. Quando o observador se move ao encontro dasondas, ele observa que os máximos passam por ele a uma velocidade de v′ = vsom + vobs
f ′ =f(
1 +vfonte
vsom
) fonte se afastando do observador estacionario
f ′ = f(
1 +vobsvsom
)f Observador em direção à fonte
f ′ = f(
1− vobsvsom
)f Observador se afastando da fonte
No caso da luz, temos a complicação de que a luz não se propaga num meio de�nido, não
podemos fazer distinção em se é o observador que está se movendo ou a fonte.
Seja λ0 o comprimento de onda da luz medido no caso em que tanto a fonte como o obser-
vador estão em repouso. Consideremos a situação em que o a fonte e o observador se movem
Figura 19: Efeito Doppler no caso do luz. (a) Fonte e observador em repouso. (b) Fonte semovendo na direção do observador
27
um do outro, com velocidade relativa v. Nesse caso o comprimento de onda será λ. Seja ∆t o
tempo entre detecções de duas cristas por parte do observador. Da �gura 19 vemos que
λ = c∆t− v∆t
Se ∆to é o tempo medido entre emissões de duas cristas de onda no sistema de referencia no
qual a fonte está em repouso, então o tempo observado pelo observador se dilatará segundo
∆t =∆t0√
1− v2/c2
No sistema de referencia em repouso da fonte temos
∆to =1
fo=λ0c
Como
λ = c∆t− v∆t
= (c− v) ∆t
do qual
λ = (c− v)∆t0√
1− v2/c2
= (c− v)1√
1− v2/c2λ0c
= (c− v)c√
c2 − v2λ0c
de onde
λ = λ0
√√√√c− |v|c+ |v|
fonte e observador movendo um em direção ao outro
como f0 = c/λ0, então
f =c
λ= f0
√√√√c+ |v|c− |v|
fonte e observador movendo um em direção ao outro
Observe que estas equações depende só da velocidade relativa entre a fonte e o observador, se
a fonte e o observador estão se movendo de forma a se afastarem, então v < 0, assim
λ = λ0
√√√√c+ |v|c− |v|
fonte e observador se afastando um em direção ao outro
28
f = f0
√√√√c− |v|c+ |v|
fonte e observador movendo um em direção ao outro
Assim, quando a fonte se move em nossa direção vemos que sua frequência aumenta e seu
comprimento de onda diminui. No caso em que a fonte se afasta de nos, vemos que a sua
frequência diminui e seu comprimento de onda aumenta. Neste último caso vemos que a luz
branca sofre um avermelhamento no sentido de aumentar seu comprimento de onda, este é o
chamado deslocamento para o vermelho (redshift).
No sentido transversal temos que o efeito Doppler está dado pela equação
f = f0√
1− β2
Exemplo
1. O maior comprimento de onda emitido pelo átomo de hidrogênio na serie de Balmer é
λ0 = 656nm. Na luz de uma galáxia distante, o comprimento de onda desta mesma linha
espectral é λ = 1.458nm. Determine a velocidade com a qual a galaxia está se afastando
da Terra.
29
