UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOASCENTRO DE TECNOLOGIAENGENHARIA AMBIENTAL E SANITRIA

RELATRIO DE AULA PRTICA

DIMENSES INTEIRAS E FRACIONARIAS

Relatrio do experimento acima citado realizado no laboratrio de fsica 1, sob orientao da professora Maria Socorro Seixas Pereira, como requisito para avaliao da disciplina de Laboratrio de Fsica.

Macei 2013SUMRIO

1. Objetivos......................................................................................................................032. Material Utilizado........................................................................................................033. Procedimento Experimental........................................................................................034. Introduo Terica.......................................................................................................045. Resultados e Discusso................................................................................................056. Concluses...................................................................................................................077. Anexos.........................................................................................................................088. Referncias..................................................................................................................09

1.OBJETIVO

Medir a dimenso dos corpos com formas geomtricas irregulares.

2.MATERIAL UTILIZADO

Rgua milimetrada; Paqumetro; 2 folhas de papel (A4); Calculadora cientfica; Papel log-log.

3.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Guardou-se uma folha de papel e dividiu a outra folha em metades, como indicado na figura 1. Construiu-se sete bolas de papel amassado com os pedaos indicados na figura 1. Atribuiu-se a menor frao da folha massa 1 e as seguintes massas 2, 4, 8, ... Assim a ensima frao, em ordem crescente de tamanho, ter massa relativa 2n. Figura 1: Esquema de diviso de folhas.Fonte: Dias, 2010 [3]

Fez dez medidas do dimetro em pontos diferentes em cada uma das bolas de papel. Anotou-se os valores na tabela.

4.INTRODUO TORICAQueramos com esse experimento encontrar as dimenses fracionrias de vrias bolas de papel com diferentes massas, ou seja, um corpo de duas dimenses ser transformado em um corpo de trs dimenses, para isso utilizamos os princpios da geometria fractal, que descreve muitas situaes que no podem ser explicadas facilmente pela geometria clssica, e foram aplicadas emcincia,tecnologiaeartegerada porcomputador. [1]As razes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definies tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Um fractal um objeto geomtrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais tm infinitos detalhes, so geralmente autossimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padro repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. [1]Devido as suas caractersticas ela representa, descreve e mede de forma eficiente situaes consideradas imprevisveis e caticas. Uma caracterstica que chama a ateno que a geometria fractal admite a possibilidade de existirem dimenses fracionrias (como o caso do experimento apresentado posteriormente).[2]O ato de amassar o papel implica na fragmentao de uma rea em reas menores. O experimento envolve a medio de uma grandeza (dimetro das esferas de papel) e a verificao da dependncia deste com a massa M da bola.Uma das maneiras de demonstrar atravs de clculos qual a dimenso de um objeto, parte das frmulas para determinar a densidade de um corpo e da formula para determinar o volume de uma circunferncia, aps algumas operaes e substituies iremos encontrar tal equao: D=KM1/d (1)Onde D equivale ao Dimetro, K representa uma constante, M a massa do corpo e d a dimenso do mesmo.Demonstrao para um objeto tridimensional: Sendo a frmula para determinar: Densidade => p= M/V (2) Volume => V= 4R3/3 (3)Sabendo que R = D/2, V = 4(D/2)3 = D3/6. Substituindo essa equao em (2) teremos:p = M/D3/6 = 6M/D3 , logo: D3= 6M/p D= (6/p)1/3M1/3 (4) Como o valor de (6/p)1/3 constante, chamaremos esse valor de K, obtendo: D=KM1/3 (5)Comparando as equaes (1) e (5) observa-se que d=3, isso verdade porque o objeto utilizado nessa operao era tridimensional.

5. RESULTADOS E DISCUSSOFeitos os procedimentos, anotou-se na Tabela 1 os valores dos dimetros medidos (V) em pontos diferentes de cada bola de papel (Mn , onde n representa a massa de cada frao de folha, sendo atribuda massa 1 para a menor frao ). Como tambm foi calculado o desvio (D) de cada medio, utilizando a frmula 1: D = |Vmed m| (6)Onde Vmed a mdia dos valores de V para cada bola de papel (mostrado na Tabela 2), e m a ordem da medio. Vmed = V/10 (7)Nota-se que a operao para calcular o desvio est em mdulo, pois o desvio ser sempre positivo, j que se trata de uma margem de incerteza.Tabela 1: Valores das dimenses e desvios de erros.Medio(m)M1M2M4M8M16M32

V(cm) DV(cm)DV(cm)DV(cm)DV(cm)DV(cm)D

10,770,060,960,171,930,202,410,043,030,044,040,12

20,920,091,160,031,660,072,160,133,120,134,000,16

30,710,121,160,031,750,022,500,022,970,023,990,17

40,920,091,150,021,780,052,260,143,130,144,160,00

50,840,011,000,131,750,022,040,023,010,024,380,22

60,950,121,100,031,730,002,430,232,760,234,130,03

70,790,041,300,171,750,022,290,032,960,034,130,03

80,720,111,020,111,610,122,510,033,020,034,300,14

90,870,041,160,031,730,002,200,162,830,164,190,03

100,850,021,260,131,650,082,410,083,070,084,320,16

Na Tabela 2, esto os valores Vmed e o desvio mdio(Dmed), que a mdia dos desvios, para cada bola de papel. Essas mdias sero utilizadas para marcar os pontos no Grfico 1 em anexo. Dmed = D/10 (8)Tabela 2: Valores Mdios dos dimetros e desvios.M1M2M4M8M16 M32

Vmed(cm)DmedVmed(cm)DmedVmed(cm)DmedVmed(cm)DmedVmed(cm)DmedVmed(cm)Dmed

0,830,071,130,091,730,062,320,132,990,094,160,11

Em busca do nosso objetivo calculamos a inclinao das retas azul e vermelha no Grfico 1 em anexo e depois observamos a mdia desses ngulos encontrados com o intuito de achar a melhor inclinao da reta que passa mais prximo de todos os pontos marcados.Sendo 1 o ngulo da reta de cor azul e 2 o ngulo da reta de cor vermelha, x a distncia paralela ao eixo x do incio at o fim da reta, e y a distncia paralela ao eixo y do inicio at o fim da reta, essas distncias foram determinadas com o uso de uma rgua milimetrada, os valores observados para as distncias foram: x1= 14,80cm y1= 7,55cm x2= 14,80cm y2= 6,30cmLogo, sabendo que: = y/x (9) 1 = y1/x1 = 7,55/14,80 = 0,51 2 = y2/x2 = 6,30/14,80 = 0,43 Sendo med o ngulo mdio entre 1 e 2 e tambm a inclinao da melhor reta que passa mais prximo todos os pontos marcados no Grfico 1 em anexo: med = (0,51 + 0,43)/2 = 0,47 Como, med = 1/d (10) 0,47 = 1/d d = 2,13 (OBS1: a varivel d est explicada na introduo terica).Com isso chegamos no resultado procurado, que entre 2 e 3, pois transformamos um corpo bidimensional (folha de papel) em um corpo tridimensional (bola de papel). Logo, como d representa o valor da dimenso do objeto o valor 2,13 est dentro do esperado.

6.CONCLUSO

Diante dos resultados obtidos com o experimento, pudemos observar que a melhor inclinao para a reta que atingiria todos os pontos determinou a dimenso do corpo com um valor de 2.13 , indicando que essa dimenso est dentro dos padres aceitveis, pois encontra-se entre os valores dois (referente a uma superfcie plana) e trs (referente a uma esfera perfeita ).Todas as observaes feitas nesse experimento caracterizam as bolas de papel como obetos com forma geomtrica irregular, por esse motivo seus valores no correspondem a nmeros inteiros, logo as bolas podem ser chamadas de objetos fractais.

7.ANEXOS

8.REFERNCIAS

[1] Geometria Fractal. Disponvel em: . Acesso em: 28 set. 2013.[2] BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Belo Horizonte: Autntica, 2002.[3] Dias, 2010

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