UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO

ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO

ROBERTO DENIN LIU

RELATÓRIO DE FENÔMENOS MECÂNICOS

SANTO ANDRÉ

2009

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO

ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO

ROBERTO DENIN LIU

EXPERIÊNCIA 2 – CINEMÁTICA

Trabalho apresentado como avaliação parcial da disciplina de Fenômenos Mecânicos do BC&T da UFABC.

Orientador: Profº Pedro

SANTO ANDRÉ

2009

Sumário

1. RESUMO .............................................................................................................3 2. INTRODUÇÃO .....................................................................................................3 3. OBJETIVOS.........................................................................................................5 4. PARTE EXPERIMENTAL.....................................................................................6

4.1. Materiais .......................................................................................................6 4.2. Métodos ........................................................................................................6

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ...........................................................................8 6. CONCLUSÃO ....................................................................................................13 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................14 8. ANEXOS ............................................................................................................15

8.1. Anexo 1: Questões......................................................................................15

3

1. RESUMO

A forma mais simples de analisar um movimento é descrevendo-o sem levar

em conta as condições físicas que o regem. É através da cinemática que se faz tal

análise simplificada do movimento. Partindo do fato de que o corpo está em

movimento, a cinemática se propõe a determinar, a partir de um referencial adotado,

variáveis como posição, velocidade e aceleração.

Neste experimento, foi estudado o movimento de um objeto em um plano

inclinado, registrando com um cronômetro intervalos de tempos de diferentes

espaços deslocados pelo corpo.

Notou-se que para um mesmo deslocamento em um plano inclinado,

independentemente da referência adotada, a variação do tempo (∆t) tende a um

valor constante, ou seja, a aceleração é a mesma em qualquer ponto no plano

inclinado, sendo assim, o movimento descrito pela esfera no experimento trata-se de

um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

2. INTRODUÇÃO

As propriedades gerais do movimento estão restritas a três formas:

a) O movimento se dá ao longo de uma linha reta apenas. A linha pode ser

vertical, horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea.

b) Forças (empurrões e puxões) causam o movimento interferindo na

velocidade do objeto, permitindo um estudo relacionado à mudança da taxa

de variação de espaço em um intervalo de tempo.

c) O objeto em mudança pode ser tanto uma partícula ou um objeto que se

move como uma partícula. 1

Para um objeto em movimento, é importante localizar a sua posição. Isto

significa determinar sua posição relativa a algum ponto de referência. Uma mudança

de posição para outra é chamada de deslocamento.

Uma forma compacta de descrever a posição é através do gráfico da posição

em função do tempo. A inclinação (ou o coeficiente angular) da reta que liga dois

pontos particulares sobre a curva é a velocidade média, assim fica claro o quão

rapidamente o objeto se move. Na verdade, várias quantidades estão associadas

com a expressão quão rapidamente, uma delas é a velocidade média (vmed), que é a

4

razão entre o deslocamento (∆x) e o intervalo de tempo (∆t) durante o qual esse

deslocamento ocorre 1:

2 1

2 1

med

X Xxv

t t t

−∆= =

∆ − (1.1)

Uma unidade usual para a vmed é o metro por segundo (m/s). Uma maneira

diferente de descrever ‘’quão rapidamente’’ uma partícula se move é através da

velocidade escalar média (smed). Enquanto a velocidade média envolve o

deslocamento da partícula, a velocidade escalar média é definida em termos da

distância total percorrida independente da direção e sentido, ou seja 1:

totalmed

xs

t

∆=

∆ (1.2)

Em caso de observar a velocidade em um instante, calcula-se a sua velocidade

instantânea (v). A velocidade a partir de qualquer instante de tempo é obtida a partir

da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo fazendo-o tender a zero. À

medida que ∆t é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é

a velocidade naquele instante 1:

limt o

x dxv

t dt∆ →

∆= =

∆ (1.3)

Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofre

aceleração. Para um movimento ao longo de um eixo, a aceleração média (amed) em

um intervalo de tempo ∆t é:

2 1

2 1

med

v v va

t t t

− ∆= =

− ∆ (1.4)

5

Onde a partícula tem uma velocidade v1 no tempo t1 e a velocidade v2 no tempo

t2. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo 1:

dva

dt=

(1.5)

Se a aceleração é constante, pode-se relacionar a velocidade média com inicial

e a final pela equação:

00 2 2.

2méd méd

v v xv v v

t

+ ∆= ⇒ = = (1.6)

E a aceleração, neste caso:

2

2

2. 2.2. .( 1).( )

d x xa x t

dt t t

−∆ − ∆ = = ∆ − =

(1.7)

Para analisar os dados e confeccionar gráficos de dispersão, utilizam-se de

ferramentas computacionais que calculam a melhor curva para o conjunto de pontos

dados, baseado no método dos mínimos quadrados.

Além de usar este recurso, também é possível aplicá-lo à gráficos do tipo log x

log, no qual é tomado o logaritmo da função e da variável e então confeccionado o

gráfico com estes valores, conforme indica (1.8):

log log log log

log log log

n

n n

X ct

X ct c t

X n t c

=

= = +

∴ = + (1.8)

Onde c é uma constante qualquer. Esta função é análoga a uma reta de

coeficiente angular “n”, e “n” é igual ao grau do polinômio do qual foi extraído o

logaritmo para construção do gráfico.

3. OBJETIVOS

O experimento tem por objetivo estudar o movimento de um objeto num plano

inclinado, registrando com um cronômetro o intervalo de tempo de cada

deslocamento realizado pelo corpo e assim verificar qual tipo de movimento foi

realizado, como o tempo relacionou-se com o espaço e como a velocidade variou.

6

4. PARTE EXPERIMENTAL

4.1. Materiais

Os materiais utilizados neste experimento foram:

- 1 Tábua de madeira de 1,35 m.

- 1 Esfera (bola de gude).

- 2 Réguas de 15 cm.

- 1 Cronômetro.

- 1 Objeto (apontador) para inclinar a tábua de madeira.

- 1 Trena (5 m).

4.2. Métodos

Para se obter uma inclinação da tábua de teste, colocou-se embaixo dela o

apontador de lápis, dessa forma, o cateto vertical do triângulo retângulo se torna

conhecido. Entretanto, o apontador deveria ficar na linha central da tábua para

manter esta equilibrada, o que tornaria muito difícil mensurar o cateto horizontal do

triângulo.

Para que fosse possível garantir uma correta dimensão do cateto horizontal,

sem deslocar o apontador da base da tábua, decidiu-se por encostar o apontador no

batente da mesa e, a extremidade oposta da tábua no outro batente, conforme

Figura 1:

Figura 1 – Preparação do ângulo da tábua

O pequeno espaço formado entre a tábua e o batente oposto ao apontador,

pode ser desprezado por ser muito pequeno quando comparado com toda a

extensão do cateto horizontal do triângulo.

7

Com a garantia do ângulo, necessitava-se de uma forma de visualizar a

posição da esfera na tábua e também uma forma de garantir o deslocamento dela

pela tábua por distâncias conhecidas. Partiu-se então para a graduação da tábua.

Com auxílio de uma trena, foram marcadas linhas paralelas a cada 10 cm de

distância a partir da extremidade superior da tábua. Como não seria confiável lançar

a esfera no limite da extremidade da tábua, adotou-se a marca inicial – zero do

sistema de referência – a marcação que se distanciava 10 cm de extremidade.

Foram marcadas as posições de 0 até 120 cm, conforme Figura 2.

Figura 2 – Graduação de tábua de testes.

Para minimizar os efeitos de oscilações humanas no momento de lançamento

da esfera e garantir que a esfera percorresse a distância determinada sem gerar

dúvida quanto a que parte da mesma estava atravessando a marcação, ou seja, se

era o ponto de contato ou uma projeção da reta tangente a sua circunferência e

perpendicular ao plano de apoio. Optou-se por utilizar réguas nas marcas de

medição.

Dessa forma, o operador humano apenas deveria remover a régua da frente da

esfera em um sentido que não movimentasse (ou em quantidade imperceptível) a

esfera e, para garantir a distância de deslocamento igual à distância marcada,

também foi colocada uma régua na marca final do trajeto, esta régua era mantida na

posição e segura por outro humano, conforme Figura 3.

8

Figura 3 – Posição da régua e técnica de lançamento.

Outro cuidado tomado para reduzir os erros experimentais decorrentes nas

imperfeições naturais dos sentidos humanos, foi atribuir dupla função ao lançador da

esfera (aquele que retirava a régua), que além de lançar também controla o

cronômetro, dessa forma ele é o único com sensibilidade para disparar o cronômetro

simultaneamente – ou muito próximo disto – ao lançamento da esfera. Entretanto o

tempo de reação ainda será responsável por flutuações na partida e principalmente

na marcação do fim do trajeto.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A Tabela 1 apresenta os valores de tempo gasto, marcados com o cronômetro,

para que a bola de gude percorresse o espaço determinado na tábua de madeira,

começando a partir do ponto zero (∆X = 0 a 120 cm) e estendendo-se até a marca final

(∆X = 90 a 120 cm), variando a posição inicial em 10 cm a cada nova medida.

Tabela 1 – Variação de tempo até a posição final, alterando-se a inicial

Medida X0 [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] 1 0 120 120 2,87 2 10 120 110 2,50 3 20 120 100 2,40 4 30 120 90 2,35 5 40 120 80 2,13 6 50 120 70 2,06 7 60 120 60 1,94 8 70 120 50 1,82 9 80 120 40 1,67 10 90 120 30 1,31

média 2,11 desvio padrão 0,36

Dispondo os dados Tabela 1, em um gráfico de dispersão, pode-se verificar o

comportamento da variação do tempo necessária para a esfera percorrer diferentes

distâncias sobre a tábua (Figura 4).

9

Figura 4 – Gráfico de ∆t em diferentes ∆X (baseado na Tabela 1)

Nota-se que as maiores variações de tempo ocorrem quando a variação de

espaço aumenta. Porém estes dados isoladamente não são suficientes para se

descobrir a qual tipo de movimento a bola de gude está submetida.

Para tal, foram realizadas outras medidas de variação de tempo, entretanto

desta vez, a variação de espaço foi constante a cada lançamento da esfera

alterando-se apenas o ponto inicial e final do percurso conforme Tabela 2.

Tabela 2 – Variação de tempo alterando-se Xo e Xf, mas com ∆X constante

Medida Xo [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] 1 0 10 10 0,61 2 10 20 10 0,69 3 20 30 10 0,65 4 30 40 10 0,50 5 40 50 10 0,56 6 50 60 10 0,50 7 60 70 10 0,50 8 70 80 10 0,50 9 80 90 10 0,66 10 90 100 10 0,66 11 100 110 10 0,66

média 0,59 desvio padrão 0,07

Pelos dados da Tabela 2 a média do tempo foi 0,6 ± 0,1 segundo. Quando as

variações de tempo são inseridas em um gráfico e visualizadas junto à média de sua

distribuição, nota-se que os pontos flutuam ao redor desta média.

10

Comportamento ∆t para mesmo ∆X

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

0 2 4 6 8 10 12

Medida

tem

po

[s]

∆t [s] média

Figura 5 – Gráfico de ∆t para Xo e Xf diferentes conservando ∆X

Para analisar o comportamento e o valor médio da aceleração neste plano

inclinado, retoma-se a Tabela 1, porém desta vez com as mesmas variações de

espaço em sequência crescente.

Usando a fórmula (1.1) para calcular a velocidade média e (1.7) para calcular a

aceleração, têm-se:

Tabela 3 – Velocidade média e aceleração em cada ∆X.

Medida X0 [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] Vm =∆X/∆t [cm/s] a =-2∆X/∆t² [m/s²] 1 0 30 30 1,31 22,90 -0,350 2 0 40 40 1,67 23,95 -0,287 3 0 50 50 1,82 27,47 -0,302 4 0 60 60 1,94 30,93 -0,319 5 0 70 70 2,06 33,98 -0,330 6 0 80 80 2,13 37,56 -0,353 7 0 90 90 2,35 38,30 -0,326 8 0 100 100 2,40 41,67 -0,347 9 0 110 110 2,50 44,00 -0,352 10 0 120 120 2,82 42,55 -0,302

média 2,10 34,33 -0,327 desvio padrão 0,34 7,73 0,024

De acordo com os dados da Tabela 3, a aceleração média é igual a -0,3 ± 0,03

segundo (sentido negativo pelo eixo de referência adotado). Ainda com os dados da

Tabela 3 é possível analisar o comportamento crescente da velocidade média (Vm)

conforme a maior variação de espaço (Figura 6).

11

Vm =∆X/∆t [cm/s]

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

0 20 40 60 80 100 120 140∆X

Vm

[cm

/s]

Vm =∆S/∆t [cm/s]

Figura 6 – Velocidade média em cada ∆X

Ainda utilizando a Tabela 3, pode-se verificar que a aceleração flutua ao redor

de sua média ao longo dos diferentes deslocamentos aos quais a esfera foi

submetida (Figura 7).

Comportamento da aceleração em ∆X

-0,400

-0,350

-0,300

-0,2500 20 40 60 80 100 120 140

∆X

a [m

/s²]

a =-2∆X/∆t² [m/s²]

média

Figura 7 – Comportamento da aceleração de cada ∆X

Analisando o gráfico da Figura 8, que representa o espaço da esfera em

relação ao tempo. Os pontos que representam os dados experimentais estão

localizados próximos a uma curva polinomial de grau 2 (R2 indica 96,64% de ajuste).

Como a aceleração possui um baixo valor, devido à baixa inclinação, a

variação da velocidade em um pequeno deslocamento é baixa. Diante disso, as

forças aplicadas contra o sentido do movimento, tais como atrito com a superfície do

plano inclinado e com o ar, causaram oscilações sensíveis no valor da aceleração.

X(t)y = 0,0764x2 + 0,3601x - 0,3564

R2 = 0,9694

0,00,20,40,60,81,01,21,4

1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00t[s]

X[m

]

X(t) Polinômio (X(t))

Figura 8 – Gráfico do espaço em função do tempo

12

Outra técnica para avaliar o grau de um polinômio é analisar o gráfico log x log.

Conforme a equação (1.8).

Gráfico do espaço em função do tempo - log x log

y = 2,0199x + 1,2058

R2 = 0,9734

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

log t

log

X

log X

Linear (log X)

Figura 9 – Gráfico do espaço em função do tempo do tipo log x log.

A equação desta regra possui coeficiente angular próximo de 2, ou seja, o grau

do polinômio que gerou esta reta é muito próximo de 2, ao se considerar as

flutuações dos dados, pode-se afirmar que o grau do polinômio deva ser igual a 2.

Esta reta também está bem ajustada aos pontos (R2 indica 97,34% de ajuste).

Como o experimento foi realizado em um plano inclinado, e a aceleração

calculada por meio do deslocamento, é interessante comparar com a aceleração

resultante da decomposição da gravidade em relação à inclinação do plano para

averiguar a diferença de ambas.

Figura 10 – Plano inclinado

Analisando o plano inclinado da Figura 10, sendo F a força que atua na esfera

de massa m para que ela se desloque no plano inclinado, θ o ângulo de inclinação, g

a aceleração da gravidade e a a aceleração responsável pela força F:

sin sint

t

P P mg

F ma

P F

m

θ θ= =

=

=

� �

�

�

�

� �

sing mθ =�

sina g aθ⇒ =� � �

(1.9)

13

A tangente do ângulo θ e o ângulo θ são:

155tan 0,0474 tan 2,71

1185 25θ θ θ

−= = ⇒ = = °

− (1.10)

Dada a aceleração da gravidade g = -9,8 m/s2, a decomposição de g no plano

inclinado será:

.sin 9,8.sin(2,71 ) 0,464g θ = − ° = − (1.11)

Comparando este valor com a média da aceleração encontrada na Tabela 3,

nota-se que elas são muito próximas, porém ainda conservam uma diferença,

conforme Tabela 4.

Tabela 4 – Aceleração na rampa e decomposição da gravidade.

g sin(θ) -0,464 a -0,327

a – g sin(θ) 0,137

Esta diferença provavelmente se deve as forças de atrito da esfera com o plano

e/ou a própria resistência do ar, que atuam de forma constante sobre a esfera, logo

a força resultante permanece constante e por consequência a aceleração também.

Outra porção desta diferença pode ser creditada as variações nas medições dos

tempos decorrentes dos reflexos do operador do cronômetro.

6. CONCLUSÃO

De acordo com a Tabela 1, a velocidade de um corpo solto no início de uma

referência adotada é maior quando o deslocamento é maior, uma vez que há uma

maior atuação da aceleração no corpo. E observando também a Tabela 2, Tabela 3

para um mesmo deslocamento em um plano inclinado, independente da referência

adotada, a variação do tempo (∆t) tende a um valor constante, ou seja, a aceleração

é igual em qualquer ponto no plano inclinado.

Analisando as figuras de 7 a 9, conclui-se que o movimento descrito pela

esfera trata-se de um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) baseado

no comportamento constante da aceleração e também pela aproximação de um

polinômio de grau 2, que é o polinômio esperado para a função do espaço em

relação ao tempo quando a aceleração é constante.

14

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jear. Fundamentos de Física, 7.ed. Rio de Janeiro, LTC, 2005. V.1. p.16-21.

15

8. ANEXOS

8.1. Anexo 1: Questões

1. Qual hipótese você utilizou para calcular as acelerações (qual hipótese

foi formulada para se chegar na fórmula utilizada)? Os resultados

obtidos são coerentes com suas hipóteses?

Resp.: Para que a fórmula fosse utilizada no cálculo da aceleração esperada,

precisou-se tomar a seguinte hipótese:

O corpo em movimento deve comportar-se como uma partícula movimentando-

se em uma linha reta numa superfície plana e sem atrito.

E assim após o experimento, ao comparar a aceleração esperada com a

aceleração encontrada, esta deverá ser um pouco menor que aquela uma vez que

forças de atrito atuaram. Portanto os resultados obtidos foram coerentes com a

hipótese.

2. O que acontece com a aceleração ao se mudar o ângulo de

inclinação? Um ângulo maior ou menor dificulta ou facilita a medição?

Você espera encontrar um valor mais preciso da aceleração para uma

maior ou menor?

Resp.: A aceleração ao longo da tábua aumenta conforme se aumenta o

ângulo da tábua em relação à superfície horizontal. O maior valor de aceleração

será obtida com a tábua na posição vertical, neste caso, a aceleração será igual a

aceleração da gravidade local.

Um ângulo menor deve facilitar a medição porque a aceleração será menor e

portanto a variação de tempo entre as posições será maior, permitindo tempo de

reação para um ser humano cronometrar este deslocamento.

Neste caso, sendo o tempo cronometrado por um ser humano, é mais simples

realizar as medições com inclinações menores, por permitir um tempo maior para a

reação dos sentidos humanos. Todavia, se no experimento fossem usados

dispositivos eletrônicos (sensores) para localizar a esfera e estes informando um

temporizador eletrônico, a precisão da aceleração ficaria depende dos erros dos

sensores, porém espera-se que estes erros sejam menores que os erros

consequentes da medição humana.