Relatório experimento 7: Circuito RC

Fenômenos eletromagnéticos

Discentes:

Bruno César Prado Cássio Gonçalves Falcão

Fernando Henrique Gomes Zucatelli Thiago Rodrigues Brito

Profº Marcio Peron Godoy

Santo André

2010

Sumário

1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................2 2. OBJETIVOS.......................................................................................................................4 3. PARTE EXPERIMENTAL................................................................................................4

3.1. Materiais .....................................................................................................................4 3.2. Métodos ......................................................................................................................5

3.2.1. Parte 1 – curva de carga pela corrente................................................................5 3.2.2. Parte 2 – curvas de carga e descarga no osciloscópio ........................................5

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................6 4.1. Parte 1 – curva de carga pela corrente........................................................................6 4.2. Parte 2 – curvas de carga e descarga no osciloscópio ................................................8

5. CONCLUSÃO..................................................................................................................11 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................11 7. ANEXOS..........................................................................................................................12

7.1. Anexo 1 – curva de carga monolog. .........................................................................12

2

1. INTRODUÇÃO

Um circuito resistor-capacitor (circuito RC), filtro RC ou malha RC, é um dos

mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos. Ele

consiste de um resistor e de um capacitor, podendo estar ligados tanto em série

quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão, como

representado na figura abaixo:

Figura 1 – Exemplo de um Circuito RC.

O capacitor de capacitância C da figura está inicialmente descarregado. Para

carregá-lo, gira-se a chave S de modo que ela faça contato no ponto a, colocando

uma bateria ideal de fem E num circuito série RC com o capacitor e uma resistência

R.

Aplicando a regra das malhas ao circuito da Figura 1, percorrendo-o no sentido

horário a partir da bateria. Tem-se:

2

2;

dQ Q dQ dI d QE R I

dt C dt dt dt= + = ⇒ = (1)

Esta é a EDO (Equação Diferencial Ordinária) que descreve a variação com o

tempo da carga q do capacitor, sendo sua solução:

(2)

Pode-se medir q(t) experimentalmente medindo uma grandeza proporcional a

ela, a saber, Vc, a diferença de potencial através do capacitor.

(3)

3

Analogamente, podemos medir I(t) medindo Vr a diferença de potencial através

do resistor.

(4)

A figura abaixo mostra os gráficos de Vc e Vr.

Figura 2 – Gráficos de Vc e Vr em função do tempo.

O produto RC que aparece nas equações é chamado constante de tempo

capacitiva do circuito e é representada pelo símbolo τ (letra grega Tau). Ela é igual

ao tempo necessário para que a carga do capacitor atinja uma fração (1-e-1) ou

aproximadamente 63% do seu valor final (de equilíbrio).

No processo de descarga do capacitor a chave S é girada de a para b de modo

que o capacitor C possa descarregar através do resistor R. A equação de carga

continua válida, exceto que, agora , não existe mais um dispositivo de fem no

circuito. Fazendo E=0 na equação, temos

(5)

A solução desta equação diferencial é

(6)

Calculando a partir de (1) a derivada da malha, onde a tensão da fonte E é

contínua e constante no tempo, pode-se resolver a EDO para I:

1. 0

dE dI dQ dI IR R

dt dt C dt dt C= + ⇒ = +

(7)

Dividindo a equação por R para obter uma EDO linear de primeira ordem e

separável, permitindo separar os elementos diferenciais.

0 0

0I t

I t

dI I dI dt

dt RC I RC+ = ⇒ = −∫ ∫

(8)

4

Resolvendo a integração para as variáveis I e t:

( ) ( ) 0

0 00

( )ln ln ln ; 0

t tII I t

I RC

−− = = − =

(9)

Isolando I(t) e obtendo expressão final:

0

0

; ( ) .t t

RCI

e RC I t I eI

ττ− −

= = ∴ =

(10)

Uma forma de se visualizar a constante de tempo τ ao se analisar o gráfico

desta curva é lendo o valor da diferença de tempo entre o começo da curva quando

a corrente é máxima e o momento em que a corrente é metade deste valor, esta

diferença de tempo é chamada τ1/2 (Tau meio ou Tau de meio)

Como τ1/2 é o tempo para atingir a metade da corrente (ou tensão, dada a

proporcionalidade por meio da resistência) total do circuito para t ≥ 0, ou seja:

1/2 0( )I Iτ =

1/20I

e

τ

τ−

= ( )1/2

11/2

1/2 1/2

1 1ln ln 2 ln(2)

2 2 2

ln 2ln 2

e

τ

ττ

τ

τ ττ

τ

−−

⇒ = ⇒ − = = = −

∴ = ⇒ =

(11)

Assim, encontrando-se o “tempo de meia-vida” (analogia com o termo usado

para fenômenos de radiação que obedecem a uma lei similar) por meio da leitura da

onda é possível calcular a constante de tempo τ, dividindo o valor anotado pelo ln 2.

2. OBJETIVOS

É objetivo deste experimento traçar a curva de corrente no circuito em função

do tempo durante carga de um capacitor e identificar a constante de tempo τ.

Visualizar e registrar as curvas de carga e descarga do capacitor quando

submetido a uma onda quadrada.

3. PARTE EXPERIMENTAL

3.1. Materiais

• Resistor de 47KΩ.

• Capacitores de 1mF e 100nF

• 1 Multímetro digital marca Minipa ET-2510

• 1 Protoboard (Matriz de contato).

5

• 1 Fonte de tensão CC de 0 a 30V MPL-3303.

• 2 Fontes geradoras de sinal Tektronix modelo AFG 3021B.

• 1 Osciloscópio digital Tektronix modelo TDS 2022B.

• Cabos BNC e com ponta de prova.

• 1 Cronômetro

• Memória Flash com entrada USB (pen drive).

3.2. Métodos

3.2.1. Parte 1 – curva de carga pela corrente

Para mensurar a variação de corrente no circuito RC foi montado um circuito

conforme a Figura 3, sendo utilizada a função microamperímetro do multímetro e os

valores de corrente foram anotados em intervalos de 10 segundos até totalizar 180

segundos de carga.

O resistor R usado é nominalmente de 47 kΩ e o capacitor do tipo eletrolítico

com capacitância de 1000 µF = 1 mF.

Figura 3 – Circuito RC com amperímetro.

3.2.2. Parte 2 – curvas de carga e descarga no osciloscópio

Para visualizar o comportamento de carga e descarga, foi usada como fonte do

circuito o gerador de sinais, ajustando os valores de tensão de pico a pico (x Vpp) e

a frequência (f Hz) de uma onda quadrada. O canal 1 do osciloscópio (O) foi ligado

nos pontos P e G e seu canal 2 foi ligado na fonte para comparar as curvas entre a

fonte e o resistor (Figura 4).

O resistor R usado é nominalmente de 47 kΩ e o capacitor do tipo eletrolítico

com capacitância de 10 nF.

6

Figura 4 – Circuito RC com ponta para o osciloscópio.

O osciloscópio foi configurado nos seus parâmetros de amplitude e tempo por

divisão para boas visualizações das curvas.

Foi utilizada a função de cursores do osciloscópio para medir a amplitude da

onda e também seus intervalos de tempo, inclusive para a medição de τ1/2, tempo

em que a tensão sobre o resistor é metade da tensão máxima.

As imagens foram armazenadas no dispositivo de memória Flash.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1. Parte 1 – curva de carga pela corrente

Os valores de corrente lidos no microamperímetro em seu respectivo intervalo

de tempo durante a carga do capacitor estão na Tabela 1. Encontrou-se os erros da

corrente elétrica conforme o manual do amperímetro que é 1% ± 2D, onde D é o

último algarismo significativo.

Tabela 1 – Corrente no circuito no decorrer do tempo de carga do capacitor.

t (s) i (μA)

0 75,7 ± 1,0

10 65,8 ± 0,9

20 55,1 ± 0,8

30 46,2 ± 0,7

40 39,3 ± 0,6

50 33,1 ± 0,5

60 28,0 ± 0,5

70 23,7 ± 0,4

80 20,1 ± 0,4

90 17,3 ± 0,4

t (s) i (μA)

100 14,7 ± 0,3

110 12,6 ± 0,3

120 10,9 ± 0,3

130 9,3 ± 0,3

140 8,0 ± 0,3

150 7,0 ± 0,3

160 6,1 ± 0,3

170 5,2 ± 0,3

180 4,6 ± 0,2

7

Pela Tabela 1 tem-se que a corrente inicial I0 é de 75,7 µA, assim a metade

deste valor é de 37,85 µA, que está próximo do valor de 39,3 µA lido no instante

t=40 s. Poder-se-ia utilizar uma aproximação linear entre os valores de 39,3 e 33,1

µA e obter o tempo para a metade da corrente mais próximo, contudo optou-se por

usar um valor pertencente aos anotados na Tabela 1.

Assim este tempo será considerado como o τ1/2. Aplicando este valor na

equação (11) tem-se o valor de τ:

1/2 4057,7078 58

ln 2 ln 2

ττ = = ≅ ≈ (12)

Como na equação (10) aparece o termo 1/τ, calcula-se então o inverso de τ:

1 1

0,017258τ

= ≅ (13)

Calcula-se agora o valor de τ por meio dos valores de R e C, considerando a

resistência interna do amperímetro de 3,5 KΩ (obtida em outro experimento).

3 3 3(46,7.10 3,5.10 ).1,03.10 51,706 52RC sτ −= = + = ≅ (14)

Sendo o inverso 1/τ:

11 10,0192

52s

τ

−= ≅ (15)

Na Figura 5 encontra-se o gráfico obtido por ferramenta computacional

(Microsoft Excel 2002), para os dados da Tabela 1.

Corrente em função do tempo y = 73,424e-0,0157x

R2 = 0,9988

0,010,020,030,040,050,060,070,080,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200tempo (s)

I (µ

A)

Figura 5 – Curva exponencial da corrente em função do tempo obtida experimentalmente plotada no

Microsoft Excel 2002.

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Dado o ajuste matemático executado pelo software, tem-se que I0 = 73,4 µA,

que é um valor levemente diferente do medido em t= 0s de 75,7 µA. Ainda de acordo

com o software, o valor de 1/τ: é de 0,0157 s-1, sendo τ = 63,69 ≅ 64s.

O índice R2 (covariância) é de 99,88%, indica ótimo ajuste da função aos

pontos coletados.

Comparando-se os valores de RC obtidos pelos três modos:

Tabela 2 – Valores de RC.

Resistor x Capacitor Eq. (12) e (13) ττττ1/2 Eq. (14) e (15) Gráfico computacional (Figura 5)

ττττ 58 52 64

1/ττττ 0,0172 0,0192 0,0157

No Anexo 7.1 encontra-se o gráfico com os dados da Tabela 1 em papel

monolog. Para o gráfico monolog, é considerada a seguinte transformação a partir

da equação (10):

( ) 0 0 0

log( )log ( ) log . log( ) log( ) log( )

t te

I t I e I e I t y a bxτ τ

τ

− − = = + = − ≡ = −

(16)

O termo independente a (coeficiente linear da reta) representa o logaritmo de I0

e o coeficiente angular da reta b (inclinação) representa o logaritmo do e de Euler na

base usada para a extração (no caso 10) dividida pela constante τ. Assim também

pode-se obter τ e 1/τ do gráfico monolog pela equação (17):

log( ) 1

log( )

e b

b eτ

τ= ⇔ = (17)

4.2. Parte 2 – curvas de carga e descarga no osciloscópio

Nesta parte foi utilizado o resistor R = 46,8 KΩ e a capacitor C = 10nF. Na

Figura 6 visualiza-se a forma de onda da tensão no resistor em amarelo e da fonte

(onda quadrada) em azul claro. Para uma boa visualização da imagem ao ser salva

na memória Flash, o osciloscópio foi colocado em Stop. Da esquerda para a direita

tem-se: 5V / Div e 250 ms / Div; 5V / Div e 100 ms / Div. De onde se extrai a

amplitude da onda da fonte de 5V de pico e no resistor nos instante da subida da

borda (do menor valor para o maior) o pico de tensão no resistor é de 10V, ambas

as tensões possuem período de 500ms (5 divisões), ou seja, frequência de 2 Hz.

(Esta foi a frequência que propiciou melhor visualização no osciloscópio). A

9

atenuação da sonda e do osciloscópio foram ajustada para 1X em todas as

medições.

Figura 6 – Imagem do osciloscópio esq: 5V/Div e 250 ms/Div; dir: 5V/Div e 100 ms/Div.

A Figura 7 mostra a imagem do osciloscópio com o uso dos cursores na opção

“amplitude”. A imagem da esquerda é a mesma da imagem da direita da Figura 6, a

partir dela foram ajustadas as alturas dos cursores, em seguida, diminuiu-se o tempo

por divisão de 100ms para 25ms de forma a ver mais claramente o pico (Figura 7

direita). A tensão de pico a pico da onda do resistor é de 20V.

Figura 7 – Imagem do osciloscópio ambas de 5V/Div esq: 250 ms/Div; dir: 100 ms/Div.

Na Figura 8 foram usados os cursores no modo “tempo”, para a medição do

tempo τ1/2. O 1º cursor foi ajustado no início da borda de subida e o 2º no ponto em

que a curva do resistor intercepta a curva da fonte, pois esta de acordo com as

divisões do osciloscópio representa metade do pico da curva do resistor. Nesta

figura, foram utilizados 10ms/Div (Figura 8 esq.), 5ms/Div (Figura 8 centro) e

2,5ms/Div (Figura 8 dir.), onde também se percebe o efeito de rampa na elevação da

tensão, o que quando se utiliza uma escala com mais milisegundos por divisão. De

10

acordo com a Figura 8 esq. o variação de tempo ∆t é de 15,40 ms enquanto a da dir.

∆t é de 14,90 ms. Considerando que o procedimento de ajuste é manual, considera-

se que o valor de ∆t a ser usado é o da figura de direita.

Figura 8 – Imagem do osciloscópio ambas 5V/Div, sendo esq. 10ms/Div, centro 5ms/Div e dir.

2,5ms/Div.

Então pela equação (11) o tempo τ é igual ao ∆t dividido pelo ln(2) sendo igual

a 21,6 ms. O que não é condizente com o valor de τ calculado por RC que seria

0,468 ms. Este valor é 46 vezes menor que o calculado através das medições no

osciloscópio. Logo, estima-se que ocorreu algum erro experimental.

Na Figura 9 confirma-se a frequência do sinal de 2 Hz ao se medir o período

entre dois picos de mesmo sinal da onda do resistor.

Figura 9 – Imagem do osciloscópio ambas 5V/Div e 100ms/Div.

11

5. CONCLUSÃO

O circuito RC é caracterizado por uma equação diferencial ordinária para a

carga e corrente/tensão. Este é caracterizado por uma constante de tempo τ que

pode ser encontrada por diversões métodos, entre eles, a multiplicação da

resistência pela capacitância (RC). Matematicamente utilizando o tempo em que a

corrente ou tensão é igual a metade do tempo total este valor é conhecido como τ1/2

e dividindo este valor por ln(2) obtém-se a constante τ. Caso seja plotado o gráfico

de i(t) pode-se usar a mesma técnica utilizado no cálculo matemático ao se ler o

valor de tal meio pelo gráfico ou se for plotado em escala monolog τ será log(e)/|b|.

A partir dos dados coletados para a Parte 2, não pudemos obter os resultados

previstos para o experimento, porque provavelmente nos equivocamos na

montagem do circuito.

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: Eletromagnetismo, 4.ed. Rio de Janeiro, LTC, 1996. v.3.

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7. ANEXOS

7.1. Anexo 1 – curva de carga monolog.

Figura 10 – Gráfico monolog manual.