Relatório experimento 5: Mapeamento de linhas equipotenciais e campo elétrico

Fenômenos eletromagnéticos

Discentes:

Bruno César Prado Cássio Gonçalves Falcão

Fernando Henrique Gomes Zucatelli Thiago Rodrigues Brito

Profº Marcio Peron Godoy

Santo André

2010

Sumário

1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................2 2. OBJETIVOS.......................................................................................................................3 3. PARTE EXPERIMENTAL................................................................................................3

3.1. Materiais .....................................................................................................................3 3.2. Métodos ......................................................................................................................3

3.2.1. Parte 1 – Cobre x Alumínio (eletrodos plano x circular) ...................................4 3.2.2. Parte 2 – Cobre x Cobre (eletrodos plano-plano) ...............................................4

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................5 4.1. Parte 1 – Cobre x Alumínio........................................................................................5 4.2. Parte 2 – Cobre x Cobre .............................................................................................8

5. CONCLUSÃO..................................................................................................................11 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................11 7. ANEXOS..........................................................................................................................12

7.1. Anexo 1 – Tabelas de medidas de tensão. ................................................................12 7.2. Anexo 2 – Gráficos Manuais ....................................................................................14

2

1. INTRODUÇÃO

Uma carga de teste positiva q que se desloca de um ponto a qualquer do

espaço para um outro ponto b qualquer percorre uma distância s∆ , sofre variação de

potencial elétrico dado por U q V∆ = ∆ , sendo que existe um campo elétrico E��

que

aplica uma força .F q E=�� ��

. O trabalho realizado por esta força em s∆ é

. . .s s

W F s q E s= ∆ = ∆ . Como W U= −∆ . Então se tem q . .sE s q∆ = . V∆ portanto: [1]

; que em termos de deslocamentos infinitesimais; s s

V dVE E

s ds

∆= − = −

∆ (1)

Pode-se ainda decompor a direção de ds nos eixos coordenados. Sendo que

assim o campo elétrico se torna igual ao gradiente da tensão. No caso de se usar o

plano xy, pode-se denotar E��

pela equação (2):

( , ) ( , ) ,x y x y

V VE V

x y

∂ ∂= −∇ = −

∂ ∂

�� ��

(2)

Assim através de medidas de tensão pode-se obter o valor do campo elétrico

em uma determinada região.

Para realizar tais medições é interessante discretizar o plano de análise

(Figura 1), sendo que os intervalos entre cada ponto nos eixos coordenados seja

sempre o mesmo, um incremento constante. Dessa forma podem-se reescrever as

derivadas parciais dos eixos de acordo com este incremento h mencionado e os

pontos i ao longo de x e j ao longo de y (Eq. (3)).

Figura 1 – Discretização do plano. Incremento h, e coordenadas adjacentes ao ponto (i,j).

1, , , 1 ,

, ,

; i j i j i j i j

i j i j

V V V VV V

x h y h

+ +− −∂ ∂

≈ ≈∂ ∂

(3)

3

2. OBJETIVOS

Este experimento tem por objetivo mapear duas superfícies equipotenciais

sobre a água e calcular o módulo do vetor campo elétrico em alguns pontos.

3. PARTE EXPERIMENTAL

3.1. Materiais

• Cuba de vidro com água.

• 1 Fonte de Tensão Marca Minipa MPL-3303.

• 1 Multímetro digital Marca Minipa ET-2510.

• Cabos banana e jacaré.

• 2 barras de cobre retangulares de dimensões aproximadas de 3x3x10

cm.

• 1 barra cilíndrica de alumínio com diâmetro aproximado de 3 cm e

aproximadamente 10 cm de altura.

• Fita crepe.

• 3 Folhas milimetradas.

3.2. Métodos

Inicialmente foi fixada com auxílio da fita crepe em baixo da cuba uma folha de

papel milimetrado que serviu de mapa cartesiano para discretizar o plano das

medições (sistema de coordenadas). Os pontos medidos na folha de referência

abaixo da cuba eram anotados em outra folha milimetrada no mesmo sistema de

coordenadas.

Em seguida foi adicionada uma camada de aproximadamente 1 cm de altura

de água.

As pontas dos cabos de alimentação e o terminal negativo do voltímetro foram

fixados com uso da fita crepe nas peças que serviram de eletrodos.

Foram feitas duas medições das linhas de campo a primeira com uma barra de

cobre e um cilindro de alumínio e a segunda com duas barras de cobre.

Para ambas as medições a fonte de tensão foi ajustada em 20 Vcc.

4

3.2.1. Parte 1 – Cobre x Alumínio (eletrodos plano x circular)

As peças foram dispostas sobre a cuba e suas posições referenciadas no papel

milimetrado conforme o esquema da Figura 2. O cilindro de alumínio de raio 3 tem

seu centro nas coordenadas (5,10) e o paralelepípedo de cobre fica com sua face

mais próxima do cilindro na abscissa 23 e sua linha de centro alinhada com o centro

do cilindro, ordenada 10.

Figura 2 – Disposição do cilindro de alumínio e da barra de cobre e esquema de medição.

3.2.2. Parte 2 – Cobre x Cobre (eletrodos plano-plano)

As peças foram dispostas sobre a cuba e suas posições referenciadas no papel

milimetrado conforme o esquema da Figura 3. Nesta configuração o cilindro de

alumínio foi trocado por outra barra de cobre com as mesmas dimensões da outra

barra. Sua face mais próxima da outra barra foi colocada na abscissa 8 e conservou

sua linha de centro na mesma linha da outra barra.

Figura 3 – Disposição das duas barras de cobre e esquema de medição.

5

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1. Parte 1 – Cobre x Alumínio

Os dados das medições para 4 linhas estão na Tabela 1 com suas médias e

erros (Erro do voltímetro do multímetro Minipa ET-2510 é 5% ± 2D, onde D é o

último Digito lido) e L.E. significa Linhas Equipotenciais e (X,Y) são as coordenadas.

Tabela 1 – Potenciais (V + ∆V) obtidos no experimento (Cobre x Alumínio)

L. E./(X,Y) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) - - - - - -

1 16,3 ± 0,8 17,1 ± 0,9 17,8 ± 0,9 17,5 ± 0,9 - - - - - -

L. E./(X,Y) (8,2) (9,4) (9,5) (9,6) (9,7) (8,9) - - - -

2 15,7 ± 0,8 15,4 ± 0,8 15,8 ± 0,8 16,0 ± 0,8 15,9 ± 0,8 16,6 ± 0,8 - - - -

L. E./(X,Y) (15,7) (15,8) (15,9) (15,10) (15,11) (15,12) (15,13) (15,14) (15,15) (15,16)

3 9,0 ± 0,5 9,1 ± 0,5 9,0 ± 0,5 8,7 ± 0,5 8,9 ± 0,5 8,6 ± 0,4 8,8 ± 0,5 8,9 ± 0,5 8,7 ± 0,5 8,7 ± 0,5

L. E./(X,Y) (19,7) (19,8) (19,9) (19,10) (19,11) (19,12) (19,13) (19,14) (19,15) (19,16)

4 4,8 ± 0,3 4,9 ± 0,3 4,9 ± 0,3 4,6 ± 0,3 5,0 ± 0,3 4,7 ± 0,3 5,3 ± 0,3 5,4 ± 0,3 5,3 ± 0,3 5,3 ± 0,3

Através da ferramenta interativa Matlab® plotou-se todos os potenciais obtidos

experimentalmente (Figura 4 e Figura 5), diferente da Tabela 1 que se encontra 4

potenciais como foi definido no roteiro do experimento. Pode-se observar na Figura

4 que o aumento da distância na abscissa faz o potencial diminuir, enquanto na

mesma linha pode-se ver que é quase o mesmo (através da coloração, que pode ser

visto melhor na Figura 5 com as curvas de níveis), o que é esperado pela equação

(2).

Nota-se na Figura 5 que no intervalo 1 < x < 4 as linhas potenciais estão “mais

curvadas”, isto acontece pelo efeito de borda do cilindro que se encontra naquela

região1. Os valores dos campos elétricos na Tabela 2 e Tabela 3 são referentes aos

campos na abscissa e nas ordenadas. Espera-se que os campos no eixo das

ordenadas sejam iguais a 0, pois as linhas de campo não devem ser curvadas, caso

contrário são os efeitos de borda. As curvas de níveis definidas, que neste caso são

20, na Figura 5 são definidas da quantidade que se deseja no Matlab®, não tendo

relação com a quantidade de linhas que medimos.

1 Não necessariamente o cilindro está na posição x = 1, mas é uma distância de 1 cm do cilindro.

6

Figura 4 – Gráfico do Potencial.

Figura 5 – Curvas de níveis do Potencial.

7

Os valores dos Campos Elétricos em x e em y foram calculados pelas

equações em (3).

Tabela 2 – Campo Elétrico Ex (N/C) (Cobre x Alumínio).

L. E./(X,Y) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) - - - - - -

1 129 189 156 130 - - - - - -

L. E./(X,Y) (8,2) (9,4) (9,5) (9,6) (9,7) (8,9) - - - -

2 89 135 135 135 131 118 - - - -

L. E./(X,Y) (15,7) (15,8) (15,9) (15,10) (15,11) (15,12) (15,13) (15,14) (15,15) (15,16)

3 107 116 96 96 96 96 81 96 85 85

L. E./(X,Y) (19,7) (19,8) (19,9) (19,10) (19,11) (19,12) (19,13) (19,14) (19,15) (19,16)

4 108 103 94 94 94 94 90 103 79 79

Tabela 3 – Campo Elétrico Ey (N/C) (Cobre x Alumínio).

L. E./(X,Y) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) - - - - - -

1 -84 -72 35 35 - - - - - -

L. E./(X,Y) (8,2) (9,4) (9,5) (9,6) (9,7) (8,9) - - - -

2 -45 -42 -12 2 1 63 - - - -

L. E./(X,Y) (15,7) (15,8) (15,9) (15,10) (15,11) (15,12) (15,13) (15,14) (15,15) (15,16)

3 -14 14 28 -22 36 -25 -3 12 0 -

L. E./(X,Y) (19,7) (19,8) (19,9) (19,10) (19,11) (19,12) (19,13) (19,14) (19,15) (19,16)

4 -13 3 28 -41 36 -63 -7 2 0 -

Sabendo que o campo resultante (E) pode ser calculado através da equação

(4), os valores se encontram na Tabela 4:

(4)

Tabela 4 – Campo Elétrico Eres (N/C).

L. E./(X,Y) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) - - - - - -

1 154 202 160 135 - - - - - -

L. E./(X,Y) (8,2) (9,4) (9,5) (9,6) (9,7) (8,9) - - - -

2 100 141 136 135 131 134 - - - -

L. E./(X,Y) (15,7) (15,8) (15,9) (15,10) (15,11) (15,12) (15,13) (15,14) (15,15) (15,16)

3 108 117 100 98 103 99 81 97 85 -

L. E./(X,Y) (19,7) (19,8) (19,9) (19,10) (19,11) (19,12) (19,13) (19,14) (19,15) (19,16)

4 109 103 98 103 101 113 90 103 79 -

Também pode-se encontrar os ângulos com a equação (5), os valores se

encontram na Tabela 5:

tan arctany y

x x

E E

E Eθ θ

= ⇒ =

(5)

8

Tabela 5 – Ângulo (°) entre Eres e Ox (Cobre x Alumínio).

L. E./(X,Y) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) - - - - - -

1 -33,1 -20,9 12,6 15,1 - - - - - -

L. E./(X,Y) (8,2) (9,4) (9,5) (9,6) (9,7) (8,9) - - - -

2 -26,8 -17,3 -5,1 0,8 0,4 28,1 - - - -

L. E./(X,Y) (15,7) (15,8) (15,9) (15,10) (15,11) (15,12) (15,13) (15,14) (15,15) (15,16)

3 -7,5 6,9 16,3 -12,9 20,6 -14,6 -2,1 7,1 0,0 -

L. E./(X,Y) (19,7) (19,8) (19,9) (19,10) (19,11) (19,12) (19,13) (19,14) (19,15) (19,16)

4 -6,9 1,7 16,6 -23,6 21,0 -33,8 -4,4 1,1 0,0 -

4.2. Parte 2 – Cobre x Cobre

Os dados das medições estão na Tabela 6 com suas médias e erros. (mesmo

usado em 4.1 Parte 1 – Cobre x Alumínio).

Tabela 6 – Potenciais (V + ∆V) obtidos no experimento (Cobre x Cobre).

Y/X (cm) 2 4 6 8 10 12 14 16 18

8 17,0 ± 0,9 18,1 ± 0,9 18,1 ± 0,9 18,2 ± 0,9 18,2 ± 0,9 18,0 ± 0,9 17,5 ± 0,9 16,6 ± 0,9 16,0 ± 0,8

9 16,1 ± 0,8 17,0 ± 0,9 17,0 ± 0,9 17,0 ± 0,9 17,1 ± 0,9 17,0 ± 0,9 16,5 ± 0,8 15,7 ± 0,8 15,3 ± 0,8

11 14,1 ± 0,7 14,2 ± 0,7 14,4 ± 0,7 14,4 ± 0,7 14,4 ± 0,7 14,4 ± 0,7 14,2 ± 0,7 13,7 ± 0,7 13,6 ± 0,7

13 11,8 ± 0,6 11,8 ± 0,6 11,8 ± 0,6 11,8 ± 0,6 12,0 ± 0,6 12,0 ± 0,6 11,9 ± 0,6 11,8 ± 0,6 11,7 ± 0,6

Média 14,8 ± 0,8 15,3 ± 0,8 15,3 ± 0,8 15,4 ± 0,8 15,4 ± 0,8 15,3 ± 0,8 1,05 ± 0,8 14,5 ± 0,7 14,1 ± 0,7

Para Cobre x Cobre também acontece o mesmo que Alumínio x Cobre, o

Potencial diminui com o aumento da distância (Figura 6 e Figura 7)

Pode-se notar o efeito de borda na Figura 7 no intervalo 1 < x < 2 e 7 < x < 9

onde as curvas de potenciais estão “curvadas”2. As curvas de níveis (20) definidas

na Figura 7 também (Como na Figura 5) não tem relação com a quantidade

experimental.

2 Da mesma forma que a Figura 5 os cobres não estão na posição x = 1 ou x = 9, isto representa a distância até o mesmo.

9

Figura 6 – Gráfico do Potencial

Figura 7 – Curvas de níveis do Potencial

10

Para a Tabela 7 até a Tabela 10, foram aplicadas as mesmas formas

respectivamente da Tabela 2 à Tabela 5.

Tabela 7 – Campo Elétrico Ex (N/C) (Cobre x Cobre).

X/Y (cm) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Média

8 92 114 113 118 111 103 102 90 66 105 ± 10

9 99 138 131 128 133 130 119 101 85 122 ± 15

11 118 122 127 131 120 120 113 94 95 118 ± 11

13 - - - - - - - - - -

Média 103 ± 14 125 ± 12 124 ± 9 126 ± 7 121 ± 11 118 ± 13 111 ± 8 95 ± 6 82 ± 15 115 ± 11

Tabela 8 – Campo Elétrico Ey (N/C) (Cobre x Cobre).

X/Y (cm) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Média

8 -54 0 -4 1 9 22 46 33 - 7 ± 30

9 -43 0 -1,5 -3 5 22 40 21 - 5 ± 24

11 -3 -8 -4 2 2 11 23 5 - 3 ± 10

13 0 -2 0 -9 2 4 4 6 - 0 ± 5

Média -25 ± 27 -2 ± 3 -3 ± 2 -2 ± 5 5 ± 3 14 ± 9 28 ± 19 16 ± 13 - 4 ± 16

Tabela 9 – Campo Elétrico Eres (N/C) (Cobre x Cobre).

X/Y (cm) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Média

8 107 114 113 118 111 105 112 96 - 110 ± 7

9 107 138 131 128 133 131 125 103 - 125 ± 13

11 118 122 127 131 120 120 115 94 - 118 ± 11

13 - - - - - - - - -

Média 111 ± 6 125 ± 12 124 ± 9 126 ± 7 121 ± 11 119 ± 13 117 ± 7 98 ± 5 - 118 ± 9

Tabela 10 – Ângulo (°) entre E e Ox. (Cobre x Cobre)

X/Y (cm) 2 4 6 8 10 12 14 16 18

8 -30,41 0,00 -2,03 0,49 4,64 12,06 24,27 20,14 -

9 -23,58 -0,21 -0,66 -1,12 2,16 9,43 18,65 11,75 -

11 -1,70 -3,53 -2,03 0,87 0,95 5,00 11,26 3,04 -

13 - - - - - - - - -

11

5. CONCLUSÃO

O experimento permitiu entender o comportamento das linhas equipotenciais e

sua relação com o vetor campo elétrico.

Na primeira parte do experimento (eletrodos de cobre e alumínio) percebeu-se

que as linhas equipotenciais assumiram um arranjo paralelo nas regiões próximas

do eletrodo de cobre e com curvas nas suas extremidades devido ao efeito de

borda, à medida que as linhas se aproximaram do eletrodo de alumínio, as linhas

equipotenciais assumiram um arranjo circular.

Na segunda parte do experimento (dois eletrodos de cobre), como os eletrodos

possuíam um mesmo formato as linhas equipotenciais assumiram um arranjo

semelhante perto de cada eletrodo, possuindo um comportamento paralelo na região

entre os eletrodos e encurvando-se nas suas extremidades devido também ao efeito

de borda.

Em relação ao campo elétrico notou-se que tal vetor é perpendicular às linhas

equipotenciais. Assim, levando em conta os cálculos, seus respectivos erros

associados e as devidas aproximações das equipotenciais, comprovou-se a teoria

aplicada neste experimento.

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; KRANE, Kenneth. Física 3:, 5.ed. Rio de Janeiro, LTC, 2004. v.3. p.87-90.

12

7. ANEXOS

7.1. Anexo 1 – Tabelas de medidas de tensão.

Tabela 11 – Tensões medidas no plano discretizado Cobre x Alumínio

Parte 1 - alumínio x cobre

y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0

1 3,24

2 16,49 15,33 14,57 15,98 11,97 13,66 9,64 11,36 7,64 9,29 5,54 7,19 3,42 5,06 3,19

3 16,84 15,67 14,78 15,77 12,18 13,45 9,85 11,15 7,85 9,08 5,75 6,98 3,63 4,85 2,67

4 17,42 16,12 15,07 15,48 12,47 13,16 10,14 10,86 8,14 8,79 6,04 6,69 3,92 4,56 2,65

5 18,37 18,37 18,40 18,22 17,54 16,28 15,41 15,14 12,81 12,82 10,48 10,52 8,48 8,45 6,38 6,35 4,26 4,22 2,53

6 18,67 17,12 15,83 14,72 13,23 12,40 10,90 10,10 8,90 8,03 6,80 5,93 4,68 3,80 2,51

7 17,84 15,95 14,60 13,35 12,28 11,02 9,98 9,02 7,91 6,92 5,81 4,80 3,68 2,44

8 17,49 15,93 14,62 13,33 12,30 11,00 10,00 9,00 7,93 6,90 5,83 4,78 3,70 2,44

9 17,16 15,86 14,62 13,34 12,30 11,24 10,14 9,14 7,98 7,00 5,96 4,91 3,88 2,42

10 16,57 15,39 14,25 13,10 12,00 11,12 10,00 9,00 8,04 6,92 6,05 4,88 3,94 2,46

11 17,25 16,79 15,94 15,11 13,97 12,82 11,72 10,84 9,72 8,72 7,76 6,64 5,77 4,60 3,66 2,46

12 16,54 16,13 15,40 14,54 13,40 12,83 11,73 10,95 9,83 8,94 7,98 6,98 6,11 5,01 4,07 2,62

13 16,00 15,55 14,74 14,18 13,04 12,47 11,37 10,59 9,47 8,58 7,62 6,62 5,75 4,65 3,71 2,76

14 15,58 15,16 14,45 13,67 13,00 12,22 11,48 10,64 9,76 8,83 8,02 7,07 6,24 5,28 4,38 2,98

15 14,79 14,23 13,61 12,86 12,12 11,33 10,44 9,68 8,86 7,90 7,07 6,21 5,35 4,32 3,44

16 13,93 13,31 12,70 12,00 11,23 10,42 9,61 8,74 7,89 7,00 6,22 5,33 4,54 3,54

17 13,76 13,48 12,53 12,17 11,06 10,59 9,44 8,91 7,72 7,17 6,05 5,50 4,37 3,71

13

Tabela 12 – Tensões medidas no plano discretizado Cobre x Cobre

Parte 2 - cobre x cobre

y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0

1 18,92 18,95 18,89 18,64 18,32 17,70 17,02 16,10 14,13 11,77 9,56 7,38 5,22 4,80 3,26 2,52 1,94 1,59

2 19,13 19,04 19,02 18,92 18,67 18,20 17,30 16,40 14,11 11,78 9,48 7,30 5,12 3,89 2,90 2,03 1,48 1,21

3 19,12 19,12 18,10 16,96 14,20 11,77 9,52 7,22 5,04 3,76 2,70

4 19,12 19,16 18,02 16,70 14,30 11,84 9,48 7,13 4,89 3,54 2,20

5 19,13 19,17 18,10 16,97 14,35 11,81 9,50 6,87 4,80 3,46 2,23

6 19,15 19,17 18,17 16,84 14,40 11,74 9,52 6,70 4,78 3,32 2,20

7 19,13 19,18 18,18 17,00 14,44 11,82 9,51 7,01 4,76 3,27 2,14

8 19,11 19,19 18,15 17,00 15,91 14,44 13,49 11,97 11,00 9,50 8,55 7,13 5,97 4,75 3,20 2,11

9 19,12 19,19 18,16 17,05 14,40 12,00 9,63 7,00 4,72 3,31 2,24

10 19,13 19,14 17,99 17,02 14,35 11,98 9,59 7,06 4,79 3,32 2,30

11 19,02 19,07 17,98 16,95 14,36 11,96 9,55 7,16 4,84 3,54 2,30

12 18,93 19,06 17,88 16,73 14,20 11,90 9,59 7,22 5,01 3,64 2,35

13 18,86 19,01 17,54 16,52 14,15 11,89 9,61 7,26 5,15 3,93 2,64

14 18,74 18,94 18,71 18,61 18,33 17,75 17,03 16,11 14,02 11,82 9,75 7,40 5,70 4,48 3,10 2,18 1,47 1,30

15 18,62 18,66 18,30 18,08 17,33 17,00 16,62 15,72 13,70 11,82 9,71 7,52 5,67 4,76 3,50 2,77 2,17 1,87

16 18,51 17,95 17,66 17,30 16,70 16,26 15,36 13,70 11,75 9,71 7,67 5,65 4,65 3,94 3,20 2,65 2,20

17 17,70 17,42 17,00 16,42 15,96 15,30 13,60 11,70 9,78 7,68 5,80 4,94 4,18 3,48 2,92 2,49

14

7.2. Anexo 2 – Gráficos Manuais

15