Projeto Final: Ponte Palitos de Sorvete

Disciplina: BC1104 – Mecânica dos Sólidos. Discentes: Fernando Henrique Gomes Zucatelli Juliana de Oliveira Shimokawa Nathalie Minako Ito Pedro Caetano de Oliveira

Turma: A/Diurno

Profº. Dr. Danilo Justino Carastan

Santo André, 26 de Abril 2011.

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Sumário

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1

2. OBJETIVOS ....................................................................................................................... 2

3. METODOLOGIA ............................................................................................................... 2

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ....................................................................................... 5

5. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 10

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 11

1

1. INTRODUÇÃO

Pontes são construções que permitem conectar dois pontos separados por

todo tipo de obstáculo que, de outra forma, exigiriam um grande esforço para serem

atravessados, com rotas alternativas, por exemplo, ou não poderiam ser

atravessados de forma nenhuma.

Essas estruturas existem já desde o início da humanidade. Civilizações

primitivas já as construíam em vales no meio da floresta para atravessar rios ou

penhascos, por exemplo, e, ao longo do tempo, as primitivas pontes feitas com

amarras e madeiras foram se desenvolvendo em todas as partes do mundo para as

estruturas de ferro e concreto que existem hoje.

Figura 1 – Ponte Rio-Niterói [1].

Tais construções apresentam uma robustez considerável e, mesmo as

menores pontes, estão sujeitas às solicitações de carregamento, influência do

ambiente (calor, vento, vibrações) e características dos materiais, fazendo com que

seja necessário um profundo estudo de engenharia para sua construção. Elas

devem resistir a deformações (dilatação pelo aumento de temperatura, por

exemplo), torções, flexões e vibrações (destacando o problema da ressonância),

além de questões como durabilidade e o desgastamento natural de seus materiais.

A estrutura da ponte é essencial e, embora existam diversos tipos de

estrutura (arco, com apoios ao longo da extensão, com cabos) as treliças estão

sempre presentes nas pontes.

Treliças são estruturas compostas por barras, unidas umas às outras por nós,

cujo objetivo é distribuir a carga aplicada sobre uma estrutura.

2

Para tanto, trabalhando-se com estruturas poligonais, é escolhido o triângulo,

pois um esforço aplicado a um dos nós distribuí-se pelas barras desse polígono de

forma que é atingido o equilíbrio dos nós.

Figura 2 – Esquema de treliça triangular [2].

As treliças podem ser hipo, iso ou hiperestáticas. As primeiras não são de

interesse, pois não estão em equilíbrio, as isoestáticas são as de cálculo mais

simples e as hiperestáticas são interessantes por apresentarem maior segurança.

Por fim, a união entre as treliças é importante, pois é essa união que mantém a

ponte estável e, da mesma forma que as treliças, ela está sujeita a solicitações

mecânicas.

2. OBJETIVOS

O objetivo desse projeto foi projetar e construir, com palitos de sorvete e cola,

uma ponte capaz de suportar uma carga de 20 kg superando um vão de um metro,

sendo resistente ao mesmo tempo que não muito pesada.

3. METODOLOGIA

Para a construção da ponte, foram utilizados palitos de madeira fornecidos pelo

professor e cola de madeira da marca Pulvitec®.

Devido a não uniformidade dos palitos, foram realizadas algumas medições por

meio de um paquímetro a fim de se determinar características básicas dos mesmos.

10 palitos do lote fornecido foram selecionados aleatoriamente, obtendo-se as

seguintes medidas (Tabela 1):

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Tabela 1 – Medições dos palitos por amostragem. (Paquímetro 0-150mm, res 0,05 mm)

C (mm) L (mm) esp (mm) 124,00 8,40 2,50 124,00 8,60 2,40 123,50 8,30 2,40 122,70 8,30 1,90 123,20 8,25 2,30 123,35 8,90 2,10 124,00 8,40 2,20 123,20 8,00 2,05 123,60 8,30 2,30 123,50 8,60 2,40

média 123,51 8,38 2,24

Diante dessa grande variação entre os palitos, foi realizada uma minuciosa

seleção de palitos com medidas bem próximas para a construção de estruturas mais

críticas, como a treliça, além de se excluir palitos quebrados, frágeis ou muito

deformados que compunham o lote.

Feita essa seleção, foi então definida a estrutura da ponte, baseando-se em

construções de grupos no passado, projetos de pontes reais e testes de como seria

possível colar os palitos de maneira satisfatória.

Assim, foi definido que as treliças deveriam ser em forma de X, proporcionando

uma estrutura hiperestática mais resistente e que a parte de cima da união da ponte

deveria ser com triângulos simples enquanto a inferior seria reforçada com palitos

perpendiculares à treliça.

Esse reforço na parte inferior se deve ao fato dos palitos nessa área sofrerem

compressão, sendo que a sua resistência à compressão é muito menor que à

tração, que ocorre na região superior, como pode ser constatado pelos dados

fornecidos pelo professor:

-resistência à tração do palito: 90kgf ou 882,9N.

-resistência à compressão de um palito: 4,9kgf ou 48,07N.

Vale destacar que a montagem da treliça em X foi feita construindo-se duas

treliças e colando-as defasadas.

O projeto desenvolvido apresentou, então, as seguintes especificações (Tabela

2):

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Tabela 2 – Especificações do projeto.

Característica Valor

Comprimento 1480 mm

Altura 125 mm

Largura 127 mm

Nº de palitos 410 palitos(inteiros)

Massa (1g cada palito) 410 g (sem cola)

Os cálculos realizados serão apresentados na próxima seção.

Foram também realizados desenhos do projeto no software Autodesk Inventor

9, apresentados a seguir:

Figura 3 – Vista isomorfa da ponte no software.

Figura 4 – Projeção 2D da ponte e conferência de quantidade de palitos.

5

Figura 5 – Cotagem da ponte.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Observando a estrutura montada, pode-se analisar o tipo de treliça obtida pelo

número de barras, nós (Tabela 3) e a limitação que os apoios apresentam

(considerando um apoio fixo e um móvel por padrão):

Tabela 3 – Contagem dos componentes.

Nós 58 Barras 123 Reações de Apoio 3

Aplicando a equação 2*n = b + v, em que n é o número de nós, b o de barras e

v o de reações dos apoios, tem- se:

2*58 = 123+3 => 116 < 126

Dessa forma, tem-se uma estrutura hiperestática, garantindo que há

redundância e, assim, mais segurança, já que se uma barra falhar outra pode

compensá-la.

- Cálculo das reações nos apoios:

Considerando a aceleração da gravidade como 10 m/s2, tem-se que a carga

aplicada é de 200N (20 kg * 10 m/s2) ou, convertendo, 0,2 kN.

Os apoios reais serão contínuos e corresponderam a 0,25m (ponte de 1,5

metros, vão de 1 metro => 0,25 de cada lado) de cada ponta da ponte, no entanto,

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para o cálculo das reações, serão considerados como um apoio móvel e um fixo, por

convenção, embora isso não faça muita diferença, já que não há forças na

horizontal.

O desenho será então:

Figura 6 – Representação da treliça no software FTool®.

Considerando a direção horizontal do plano como x e a vertical como y, tem-se

que para a estrutura estar em equilíbrio a resultante das forças em cada direção e o

momento deve ser zero (Tabela 4).

Assim (sendo A o apoio da esquerda e B o da direita):

∑ Fx = HA = 0

∑ Fy = RA + RB = 0,2 (carga aplicada)

∑MA = 0 => -0,2*0,75 + RB*1,5 = 0 => RB = 0,1kN

=> RA = 0,2-0,1 => RA = 0,1kN

Tabela 4 – Reações. Reação Valor (kN) RB 0,1 RA 0,1 HA 0,0

-Cálculo das reações normais nas treliças:

Com esses valores, é possível calcular as forças normais a que cada treliça é

submetida.

Para treliças isostáticas é possível aplicar o método do equilíbrio de nós e

calcular as reações em cada barra a partir de uma força inicial (apoio, por exemplo),

considerando a resultante nas direções x e y como zero.

No entanto, a treliça utilizada era hiperestática, de forma que se chega a um

sistema com mais incógnitas que equações. Para contornar esse problema foi

utilizado um software conhecido como FTool [3].

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Esse software fornece todas as forças normais a que as barras são

submetidas, seguindo a convenção de sinais padrão, em que tração é positiva e

compressão é negativa.

Para realizar esses cálculos, devem-se programar alguns parâmetros que

serão explicados no próximo tópico, sendo os resultados obtidos os seguintes:

Figura 7 – Diagrama de esforços na metade esquerda da treliça.

Figura 8 – Diagrama de esforços na metade direita da treliça.

Resumidos na Tabela 5 a seguir, com algumas observações:

- As barras verticais, excetuando-se a central não apresentaram forças sobre

elas. A do meio apresentou uma força de 0,1 kN.

- A numeração das demais barras será feita da esquerda para a direita,

começando pelas inferiores.

- A treliça é simétrica, sendo que os esforços são iguais segundo o eixo de

simetria (metade da treliça), dessa forma, a fim de se evitar repetições

desnecessárias, será considerada apenas metade da treliça.

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Tabela 5 – Forças normais

Palito Força Normal (kN) Palito Força Normal

(kN) 1 0,1 29 0 2 0,1 30 0,1 3 0,2 31 0,1 4 0,2 32 -0,1 5 0,3 33 0,1 6 0,4 34 -0,1 7 0,4 35 0,1 8 0,5 36 -0,1 9 0,6 37 0,1 10 0,6 38 -0,1 11 -0,1 39 0,1 12 0 40 -0,1 13 0 41 0,1 14 0,1 42 -0,1 15 -0,1 43 0,1 16 0,1 44 -0,1 17 -0,1 45 0,1 18 0,1 46 -0,1 19 -0,1 47 0,1 20 0,1 48 0 21 -0,1 49 -0,1 22 0,1 50 -0,2 23 -0,1 51 -0,2 24 0,1 52 -0,3 25 -0,1 53 -0,4 26 0,1 54 -0,4 27 -0,1 55 -0,5 28 0,1 56 -0,6 57 -0,7

-Parâmetros utilizados:

Para o cálculo no software, é necessário, além do desenho da estrutura, entrar

com alguns valores que envolvem o tipo de material e da seção.

Com relação ao material, é solicitado o seu módulo elástico. Como o palito é de

madeira foi considerado como módulo elástico o valor de 12000 MPa, uma média

dos dois valores apresentados como sendo do Pinho do Paraná, com o qual se

produz palitos de sorvete [4]. No entanto, o módulo elástico da madeira, fornecido

pelo professor, é E=7350MPa, embora a mudança desse valor no software não

implique em mudanças significativas no valor dos esforços, sendo as características

da seção os fatores determinantes.

É também solicitado o tipo de seção da barra e suas medidas. Para isso, foi

considerada que a barra apresenta seção retangular com altura (h) de 8,4mm (ponta

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do palito) e largura de 8,8 mm(b) também (conjunto de 4 palitos unidos de 2,2mm).

Dessa forma, a altura do centro de massa foi de 4,2mm (h/2), o momento de inércia

0,047703cm4 = 477,03 mm4 (I) e a área 73,92mm2 (A).

-Cálculo da resistência à compressão:

Realizados primeiramente com o módulo elástico pesquisado e, depois, como

o fornecido.

Para as barras com 4 palitos:

2 2 2 3

2 2

. . .(12000 ) 8,4 .(4.(2,2 ))3615,8

(125 ) 12C

E I Nmm mm mmP N

L mm

π π−

= = =

2 2 2 3

2 2

. . .(7350 ) 8, 4 .(4.(2, 2 ))2214,7

(125 ) 12C

E I Nmm mm mmP N

L mm

π π−

= = =

Onde há 1 palito:

2 2 2 3

2 2

. . .(12000 ) 8,4 .(1.(2, 2 ))56,5

(125 ) 12C

E I Nmm mm mmP N

L mm

π π−

= = =

2 2 2 3

2 2

. . .(7350 ) 8, 4 .(1.(2, 2 ))34,6

(125 ) 12C

E I Nmm mm mmP N

L mm

π π−

= = =

-Cálculo da tensão normal e coeficiente de segurança:

Como calculado anteriormente, a força normal máxima a que as barras serão

submetidas é de 0,6 kN, tanto tracionando como comprimindo.

Assim a tensão admissível será, em módulo, considerando a equação σ = N/A,

em que N é a força normal e A é a área, 0,6kN/cm2.

Para o cálculo do fator de segurança (η), tem-se a equação: σadmissível = σruptura/

η, onde, segundo as especificações fornecidas sobre o palito, σruptura é 0,9 kN/cm2

na tração e 0,8 kN/cm2 na compressão.

Tem-se assim um fator de segurança de 1,5 para a tração e de 1,4 para a

compressão, o que é razoável, já que a carga aplicada é completamente conhecida

e sua entrada na estrutura é gradual, ou seja, sem impactos bruscos, e o ambiente

é estável.

- Tablado e cobertura:

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Seguindo o mesmo procedimento detalhado anteriormente, realizou-se o

estudo do tablado e da cobertura da ponte, considerando uma compressão de 200

kN no primeiro e uma tração de mesmo valor no segundo.

Figura 9 – Esforços na cobertura.

Figura 10 – Esforços no tablado.

5. CONCLUSÃO

A partir da construção da ponte foi possível aplicar na prática os conceitos

aprendidos na disciplina mecânica dos sólidos, podendo-se analisar de que forma os

esforços atuam de fato em uma estrutura real.

Com os cálculos e análises realizadas, espera-se que a ponte construída

agüente a carga a que será solicitada, no entanto, é importante notar que os

cálculos são baseados em aproximações, já que os palitos não são uniformes e não

é levada em consideração a cola, elemento no qual está baseada a união de toda a

estrutura.

Assim, podem ocorrer resultados inesperados devido ao fator da colagem,

mas, pensando nisso, a estrutura foi reforçada.

Pôde-se ainda adquirir uma visão de como são projetadas pontes e estruturas

reais, que, além do que foi trabalhado, exigem atenção para a deformação com a

variação da temperatura, a escolha do material a se utilizar, dadas suas

propriedades e custo, e também o tipo de ambiente.

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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] PONTE RIO – Niterói. Disponível em <http://www2.transportes.gov.br/bit/pontes

/rj/rio_niteroi/Gptrnite.htm>. Acesso em 21/04/2011

[2] FACULDADE de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp.

Disponível em <http://www.fec.unicamp.br >. Acesso em 21/04/2011

[3] FTOOL – Two-dimensional Frame Analysis Tool. Disponível em

<https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool/>. Acesso em 21/04/2011

[4] CEDRINHO. Disponível em <http://ww2.prefeitura.sp.gov.br/arquivos/

secretarias/meio_ambiente/fauna_flora/manual_madeira/manual_da_madeira_ce

drinho.pdf>. Acesso em 21/04/2011

[5] HIBBELER, R.C. Resistência dos materiais. 5.ed. São Paulo: Pearson Prentice

Hall, 2004.