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RENATO MENDES MINEIRO
ATIVIDADES PARA O ESTUDO DE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS, MEDIADAS POR UM MODELO DE REPRESENTAÇÃO
TRIDIMENSIONAL
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO São Paulo
2011
RENATO MENDES MINEIRO
ATIVIDADES PARA O ESTUDO DE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS, MEDIADAS POR UM MODELO DE REPRESENTAÇÃO
TRIDIMENSIONAL
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO São Paulo
2011
M492a Mendes, Renato Mineiro. Atividades para o estudo de superfícies quádricas mediadas por um modelo de representação tridimensional/ Renato Mineiro Mendes – São Paulo: [s. n.], 2011. 174 f.il. ; 30cm. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática. Orientadora: Profa Dra. Vera Helena Giusti de Souza. 1. Superfícies quádricas 2. Representação tridimensional 3. Componentes formais, algorítmicas e intuitivas 4. Registros de representação semiótica 5. Visualização I. Título.
CDD: 372.7
RENATO MENDES MINEIRO
ATIVIDADES PARA O ESTUDO DE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS,
MEDIADAS POR UM MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL
DISSERTAÇÃO APRESENTADA A UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE
SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Presidente e Orientador
Profa. Dra. Vera Helena Giusti de Souza
Doutorado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo (PUC/SP).
Assinatura:
2º Examinador
Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima
Doutorado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo (PUC/SP).
Assinatura:
3º Examinador
Prof. Dr. Raymond Guy Jean Claude Duval
Doutorado em Psicologia Genética pela Université Paris X - Nanterre
Assinatura:
Biblioteca
Bibliotecário: _________________________________________________
Assinatura: _________________________________ Data: ___ / ___ / ___
São Paulo, ___ de ________________ de 20____
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Dissertação, por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos
Assinatura: ___________________________Local e Data: _____________
Dedicatória
A Deus, o maior de todos os Geômetras e às
três pessoas mais importantes da minha vida,
Rosangela, Mauro e Mariana
AGRADECIMENTOS
À Profa. Dra. Vera Helena Giusti de Souza, minha orientadora, pela
constante dedicação e pela paciência, que soube tão bem e com tanto carinho,
aconselhar-me nos momentos mais difíceis da jornada.
À Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima, pelas valiosas contribuições da
Qualificação, por todo o incentivo e amizade.
Ao Prof. Dr. Raymond Duval, pela generosidade em compartilhar suas
opiniões e considerações conosco e pelas importantes contribuições durante a
Qualificação.
À Profa. Dra. Tania Maria Mendonça Campos, Presidente do Conselho de
Pós-Graduação e Pesquisa da UNIBAN-SP, por acreditar em mim, desde o
primeiro dia de aula e por não medir esforços nas situações em que precisei de
seu apoio.
Aos companheiros de estudo Olga Corbo, Ana Maria Poggio e Raimundo
Brandão, pelo apoio e por todos os cafés que tomamos juntos em agradáveis
momentos, dos quais tenho certeza que vou sentir saudades.
Aos colegas de trabalho da Noritsu do Brasil, que devem ter ficado
sobrecarregados pelas minhas ausências. Obrigado por toda a ajuda e
compreensão.
Aos alunos que concordaram em participar como sujeitos da pesquisa, que
apesar de anônimos nas páginas deste texto, sabem o quanto foram importantes
para o andamento dos trabalhos.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da UNIBAN-SP, sempre compromissados e prontos a ajudar.
A todos meus amigos e de modo particular ao meu irmão Silvio Scalisse,
pela constante torcida e à sobrinha Stéfany Scalisse, minha cinegrafista
preferida.
Aos meus amores, Rosangela, Mauro e Mariana, que souberam
compreender a ausência do esposo e pai, e que têm me ensinado tanto sobre
coisas diferentes da Matemática, como sobre a vida.
A Matemática, vista corretamente, possui não
apenas verdade, mas também suprema beleza.
Uma beleza fria e austera, como a da escultura.
Bertrand Russell (1872 – 1970)
RESUMO
Com esta pesquisa, tivemos por objetivo verificar se uma abordagem que envolva
tratamentos e conversões entre diferentes registros de representação semiótica,
mediada por um modelo de representação tridimensional, pode favorecer a
visualização de superfícies quádricas. Para alcançar este objetivo, fizemos uma
intervenção junto a alunos do 3º Ano de um curso de Licenciatura em
Matemática. Buscamos a fundamentação teórica para a elaboração das
atividades nas ideias de Duval (1999), que distingue a visão (imediatamente
acessível ao primeiro olhar, porém não suficiente para desenvolver funções
cognitivas fundamentais) da visualização (responsável pela organização das
relações entre as informações obtidas pela visão, em busca da produção de
representações semióticas, de forma a desenvolver tais funções) e defende a
necessidade de sabermos representar os objetos matemáticos em pelo menos
dois diferentes sistemas de representação semiótica, com as mudanças de
registros, tanto em cada um dos sistemas (tratamento) como de um para outro
(conversão). Analisamos os protocolos obtidos nas atividades à luz das
concepções de Fischbein (1993), que defende a necessidade da interação entre
componentes formais, algorítmicas e intuitivas de um conteúdo matemático.
Fundamentados por estes quadros teóricos, respondemos nossa questão de
pesquisa: “Uma sequência de atividades que envolvam tratamentos e conversões
de registros de representação semiótica, mediadas por um modelo de
representação tridimensional, pode favorecer a visualização das superfícies
quádricas?”. A análise qualitativa dos protocolos e filmagens obtidos indica que,
para a maioria dos sujeitos desta pesquisa, aspectos intuitivos, frutos de
aprendizagens anteriores e fortemente enraizadas, sobrepuseram-se a aspectos
formais e algorítmicos, bloqueando iniciativas que pudessem fazê-los ir além da
percepção visual das representações e assim favorecessem o desenvolvimento
da visualização de superfícies quádricas.
Palavras-chave: superfícies quádricas, representação tridimensional,
componentes formais, algorítmicas e intuitivas, registros de representação
semiótica, visualização
ABSTRACT
With this work we intended to verify if an approach involving treatments and
conversions between different register of semiotics representation, mediated by a
three-dimensional representation model, can promote visualization of quadrics
surfaces. In order to reach our purpose, we promoted an intervention along with
students of a 3rd year of a degree course in mathematics. We seek the theoretical
basis for the conception of the activities on the ideas of Duval (1999), that
distinguishes vision (immediately accessible at first glance, but unable, by itself, to
develop fundamental cognitive functions) from visualization (responsible by
relating information, which were obtained by vision, with semiotics
representations, in order to develop such functions) and advocates the need for
students to represent mathematical objects in at least two different semiotic
systems of representation, with changes of registers, either inside each one of the
systems (treatment) or between the two of them (conversion). We analyzed the
protocols, which we obtained with the activities, based on the conceptions of
Fischbein (1993), who defends the need of the interaction between formal,
algorithmic and intuitive components of a mathematical content. Based on these
theoretical frameworks, we have answered our research question: “A set of
activities, involving treatment and conversion of semiotic registers, mediated by a
three-dimensional representation, may promote visualization and interaction
between formal, intuitive and algorithmic aspects of quadric surfaces?”.
Qualitative analysis of protocols and videos obtained with this intervention
indicates that for most subjects in this study, intuitive aspects, fruits of prior and
strongly rooted learning, overlapped formal and algorithmic aspects, by blocking
initiatives that would take them beyond visual perception of representations and
could help them to develop visualization of quadric surfaces.
Keywords: quadric surfaces, three-dimensional representation, formal, algorithmic
and intuitive components, registers of semiotic representation, visualization
LISTA DE DESENHOS
DESENHO 1. TRIÂNGULO ISÓSCELES ................................................................. 25 DESENHO 2. QUAL DOS PONTOS É MAIOR? ....................................................... 27 DESENHO 3. REPRESENTAÇÃO BIDIMENSIONAL DE UM CUBO ....................... 30 DESENHO 4. REPRESENTAÇÃO DE UM QUADRADO E DE UMA PIRÂMIDE ..... 31 DESENHO 5. PROJEÇÃO PARALELA SOBRE UM PLANO PARALELO À AA'C'C .................................................................................................................................. 34 DESENHO 6. INTERSECÇÃO DOS PLANOS ABC E AA'C'C .................................. 35 DESENHO 7. INTERSECÇÃO DE PLANOS ............................................................ 35 DESENHO 8. EXEMPLOS DE GRÁFICOS OBTIDOS PELO CORTE DE UMA SUPERFÍCIE QUÁDRICA ......................................................................................... 40 DESENHO 9. TRIÂNGULO ABC .............................................................................. 49 DESENHO 10. SOBREPOSIÇÃO DE GRÁFICOS BIDIMENSIONAIS ..................... 56 DESENHO 11. PERSPECTIVA DE UM HIPERBOLÓIDE ........................................ 67 DESENHO 12. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (0,0) E RAIO 3 .............. 75 DESENHO 13. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (0,0) E RAIO 2 .............. 75 DESENHO 14. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (2, 3) E RAIO 3 ............. 76 DESENHO 15. TRIÂNGULO RETÂNGULO XPPC .................................................... 78 DESENHO 16. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (XC, YC) E RAIO CP ...... 79 DESENHO 17. ELIPSE COM CENTRO EM C (0, 0) E FOCOS SOBRE O EIXO X . 82 DESENHO 18. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (-3, 2) E RAIO 3 ............ 83 DESENHO 19. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (0,0) E RAIO 3 .............. 93 DESENHO 20. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (2,-3) E RAIO 3 ............. 94 DESENHO 21. RESPOSTA DO G2 – ITEM 1.1 ........................................................ 98 DESENHO 22. REPRESENTAÇÃO DE UMA RETA NO R3 ................................... 103 DESENHO 23. REPRESENTAÇÃO DE UMA RETA NO R2 ................................... 103 DESENHO 24. RESPOSTA DO G2 – ITEM 1.2 ...................................................... 104 DESENHO 25. ALVO PARA COMPETIÇÕES DE ARCO E FLECHA .................... 113 DESENHO 26. CURVAS DE NÍVEL CORRESPONDENTES AO MODELO 3 ....... 113 DESENHO 27. REPRESENTAÇÃO EM PERSPECTIVA E EM PERFIL ................ 123 DESENHO 28. CORTE DE UMA FIGURA NO PLANO YZ ..................................... 124 DESENHO 29. ESBOÇO DO G4 – ITEM 3.3 .......................................................... 128 DESENHO 30. PROJEÇÃO DE UMA QUÁDRICA NO PLANO DE BASE ............. 130
LISTA DE QUADROS QUADRO 1. ENUNCIADO DO ITEM 1.6 ................................................................ 118 QUADRO 2. ENUNCIADO DO ITEM 4.1 ................................................................ 131 QUADRO 3. ATIVIDADE 5.1 – G4 .......................................................................... 136 QUADRO 4. ENUNCIADO DO ITEM 5.3 ................................................................ 138
LISTA DE FOTOS
FOTO 1. PERFURAÇÃO E MONTAGEM DAS TRANSPARÊNCIAS ....................... 41 FOTO 2. RECORTE DOS ESPAÇADORES E MONTAGEM.................................... 41 FOTO 3. COLAGEM E CORTE DAS EXTREMIDADES ........................................... 42 FOTO 4. UMA REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL DA HIPERBOLOIDE DE DUAS FOLHAS ......................................................................................................... 42 FOTO 5. MODELO 1 ................................................................................................. 96 FOTO 6. MODELO 2 ................................................................................................. 97 FOTO 7. MODELO 3 ................................................................................................. 97 FOTO 8. ESCADA EM ESPIRAL ............................................................................ 115 FOTO 9. CENTRO AQUÁTICO NACIONAL DE PEQUIM ...................................... 122
LISTA DE TABELAS
TABELA 1. EQUAÇÕES COM TRÊS E DUAS INCÓGNITAS .................................. 45 TABELA 2. GRÁFICOS OBTIDOS A PARTIR DAS EQUAÇOES COM DUAS INCÓGNITAS ............................................................................................................ 46 TABELA 3. TRATAMENTO DENTRO DE UM REGISTRO ALGÉBRICO ................. 53 TABELA 4. CONVERSÃO DO REGISTO ALGÉBRICO PARA O GRÁFICO ............ 53 TABELA 5. CONVERSÕES CONGRUENTES E NÃO CONGRUENTES ................. 54 TABELA 6. RESPOSTAS DA QUESTÃO 1 .............................................................. 81 TABELA 7. RESPOSTAS DA QUESTÃO 2 .............................................................. 84 TABELA 8. RESPOSTAS DA QUESTÃO 3 .............................................................. 86 TABELA 9. RESPOSTAS DA QUESTÃO 4 .............................................................. 89 TABELA 10. RESPOSTAS DAS QUESTÕES 1 A 4 ................................................. 91 TABELA 11. LOCALIZAÇÃO DE PONTOS NO R3 ................................................... 99
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 13
1: APRESENTAÇÃO .............................................................................................. 13 2: JUSTIFICATIVA ................................................................................................. 15 3: OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA .......................................................... 17
CAPÍTULO 1: REVISÃO DE LITERATURA ............................................................. 18 CAPÍTULO 2: UM MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL.............. 40 CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS ........................................................ 43
3.1 FISCHBEIN: A INTERAÇÃO ENTRE AS COMPONENTES FORMAIS, ALGORÍTMICAS E INTUITIVAS NA ATIVIDADE MATEMÁTICA .......................... 44 3.2 DUVAL: REPRESENTAÇÃO, VISÃO E VISUALIZAÇÃO ................................ 50
CAPÍTULO 4: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .......................................... 60 4.1 QUESTIONÁRIO DE REVISÃO SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS ...................... 61
4.1.1 Questão 1 .................................................................................................. 62
4.1.2 Questão 2 .................................................................................................. 63
4.1.3 Questão 3 .................................................................................................. 64
4.1.4 Questão 4 .................................................................................................. 64
4.2 INSTITUCIONALIZAÇÃO ................................................................................ 65 4.3 ATIVIDADES COM MODELO DE REPRESENTAÇÃO ................................... 66
4.3.1 Atividade 1 ................................................................................................. 66
4.3.2 Atividade 2 ................................................................................................. 69
4.3.3 Atividade 3 ................................................................................................. 70
4.3.4 Atividade 4 ................................................................................................. 70
4.3.5 Atividade 5 ................................................................................................. 71
4.3.6 Atividade 6 ................................................................................................. 71
CAPÍTULO 5: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS .................................. 73 5.1 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO DE REVISÃO SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS 73
5.1.1 Questão 1 .................................................................................................. 74
5.1.2 Questão 2 .................................................................................................. 81
5.1.3 Questão 3 .................................................................................................. 84
5.1.4 Questão 4 .................................................................................................. 86
5.2 INSTITUCIONALIZAÇÃO ................................................................................ 92
5.3 ANÁLISE DAS ATIVIDADES COM O MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL ................................................................................................. 95
5.3.1 Atividade 1 ................................................................................................. 96
5.3.2 Atividade 2 ............................................................................................... 120
5.3.3 Atividade 3 ............................................................................................... 126
5.3.4 Atividade 4 ............................................................................................... 131
5.3.5 Atividade 5 ............................................................................................... 135
5.3.6 Atividade 6 ............................................................................................... 142
CONCLUSÃO ......................................................................................................... 146 1: CONCLUSÕES ................................................................................................ 146 2: CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 153
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 158 APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO DE REVISÃO SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS ... 160 APÊNDICE B - ATIVIDADES COM O MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL ................................................................................................. 165 ANEXO A – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO ............... 171 ANEXO B – PARECER DA COMISSÃO DE ÉTICA .............................................. 174
13
INTRODUÇÃO
1: APRESENTAÇÃO
Considerei importante, nesta introdução, escrever um pouco sobre mim
mesmo, o autor deste projeto, assim como de minha tardia trajetória acadêmica.
Tendo em vista que se trata de um relato pessoal, tomei a liberdade,
exclusivamente nesta etapa, de escrever em primeira pessoa do singular.
Iniciei minha vida escolar em 1976, numa escola municipal de um bairro da
periferia de São Paulo. Lembro-me que uma das poucas ruas asfaltadas da
região era a rua da escola e que, quando chovia, apesar da roupa molhada e da
lama, que chegava aos joelhos, não deixava de frequentar as aulas. Numa época
em que a escola não era para todos, exceder o número de faltas podia levar à
expulsão.
Havia, na época, a instituição da repetência. Os alunos que não
conseguiam bom aproveitamento nas disciplinas eram mantidos na mesma série
escolar, ou como dizíamos na época, “repetiam de ano”. Àqueles que repetiam
consecutivamente, ano após ano e que se tornavam crianças grandes em salas
de pequenos, restava conformar-se com a sua “falta de jeito” para vida escolar e
abandonar os estudos.
Ainda escuto, vez por outra, alguns que dizem: “No meu tempo se
ensinava assim, e nós aprendíamos!”. Esquecem-se, no entanto, dos muitos que
não conseguiram aprender e que desistiram de estudar.
Neste contexto, em que o ensino tradicional exercia sua hegemonia, ao
focar-se no ensino e não na aprendizagem, pude conhecer, entre a 7ª e 8ª séries
do 1º Grau (atual Ensino Fundamental), um professor de Matemática chamado
Clóvis.
Embora fosse bastante severo e não admitisse que os alunos
conversassem durante as suas aulas (eu confesso que não gostava muito desta
sua rigidez), demonstrava preocupar-se com cada um de nós. Importava-se se
estávamos conseguindo acompanhar o desenvolvimento dos conteúdos.
Eu percebia que o professor preparava com antecedência as aulas e que
procurava contextualizar cada um dos conceitos matemáticos, fazendo com que
a aprendizagem desses novos conceitos se relacionasse com os conhecimentos
14
que já possuíamos. Nunca vinha de “mãos vazias”. Isto fazia com que nos
sentíssemos importantes e aumentava a nossa autoestima.
Em suas aulas, costumava incentivar-nos dizendo que “todos os dias
milhares de Albert Einsteins viajam apertados nos vagões do metrô”, fazendo-nos
acreditar que pudessem existir entre nós pessoas tão inteligentes quanto
Einstein, fazendo-nos ver que éramos capazes de vencer os obstáculos impostos
pela nossa origem humilde e que éramos capazes de aprender.
Passaram-se, desde então, quase trinta anos.
Depois de ter iniciado e interrompido um curso de Engenharia, depois de
ter concluído um curso Técnico em Eletrônica e depois de trabalhar na indústria
por mais de vinte e cinco anos, decidi voltar a estudar, e não tive dúvidas na hora
de escolher a minha futura profissão: Professor de Matemática.
Ingressei num curso de Licenciatura em Matemática, e pude perceber,
então, quanto avanço deu-se, não tanto quanto à Matemática, mas
principalmente quanto ao modo como se ensina Matemática. A escola atual,
diferentemente da que frequentei na infância, pretende ser para todos: os que
têm e os que não têm facilidade em aprender.
Mais à frente, quase ao final do curso de Licenciatura, fui apresentado aos
conceitos que controlam a representação tridimensional dos objetos matemáticos
e percebi que, apesar do avanço das metodologias em algumas áreas, a
passagem do mundo bidimensional para o tridimensional parecia ter sido
negligenciada. As representações de objetos tridimensionais eram feitas
basicamente em duas dimensões, no quadro negro, nos livros, e até mesmo nas
telas dos computadores.
Embora na época eu ainda não tivesse tido contato com as teorias de
aprendizagem que pude conhecer posteriormente no curso de Mestrado, tinha a
convicção de que era possível desenvolver estratégias que favorecessem a
aprendizagem relacionada à representação de objetos tridimensionais, e que
pudessem colaborar com a superação das dificuldades encontradas na mudança
do R2 para o R3.
Foi esta convicção que me possibilitou prosseguir e desenvolver esta
pesquisa, que agora tenho a felicidade de compartilhar com todos aqueles que
como eu, acreditam na possibilidade de transformação por meio da educação e
do saber.
15
2: JUSTIFICATIVA
As superfícies quádricas, como todos os objetos matemáticos, são
entidades abstratas, inacessíveis à nossa percepção sensorial. Não podemos
“ver”, “tocar”, ou “pegar” uma superfície quádrica. O acesso e a comunicação
sobre estas entidades se dão exclusivamente por meio de sua representação.
Para isso, podemos utilizar um sistema de representação, que pode ser
discursivo (quando nos referimos às quádricas por meio da linguagem escrita ou
falada, ou por meio da expressão algébrica correspondente), figural (quando
utilizamos desenhos) ou gráfico (quando utilizamos um sistema de coordenadas,
como o sistema cartesiano tridimensional).
No período em que frequentamos as aulas da disciplina de Cálculo
Integral, pudemos presenciar uma grande dificuldade de entendimento dos
conceitos envolvidos na representação de superfícies quádricas, aliada a uma
também grande dificuldade por parte dos professores em fazer-se entender sobre
tais conceitos.
Na ocasião, acreditávamos que a construção de um modelo de
representação tridimensional que apresentasse de forma simultânea a
representação gráfica da equação em diferentes cortes do plano, a exemplo do
que ocorre com as curvas de nível, porém em três dimensões, pudesse ajudar-
nos a avançar na aprendizagem deste conteúdo.
Incomodados com a ausência de tal recurso e em busca de uma
representação que superasse as limitações bidimensionais do livro didático e do
quadro negro, desenvolvemos um modelo de representação de equações no
sistema coordenado retangular tridimensional R3, composto pela sobreposição de
transparências impressas com gráficos bidimensionais. No CAPÍTULO 2: UM
MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL, apresentamos alguns
detalhes sobre a confecção das transparências e montagem do modelo.
Mais adiante, em nosso percurso dentro do programa de Mestrado em
Educação Matemática da UNIBAN-SP, pudemos ter contato com as ideias de
Efraim Fischbein (1993), sobre a necessidade da interação entre as componentes
formais, algorítmicas e intuitivas de um conteúdo matemático; e as de
Raymond Duval, (1999) que de um ponto de vista focado no desenvolvimento
cognitivo, distingue a visão (imediatamente acessível ao primeiro olhar, porém
16
incapaz de desenvolver as funções cognitivas fundamentais) da visualização
(responsável pela organização das informações obtidas pela visão em busca da
produção de representações semióticas) e defende a necessidade de que os
alunos desenvolvam a aprendizagem sobre os objetos matemáticos em pelo
menos dois diferentes registros de representação semiótica, e que saibam
coordenar a mudança entre estes registros. Este quadro teórico foi fundamental
durante a nossa pesquisa, ao nortear nossas ações e auxiliar-nos tanto na
elaboração quanto na análise das atividades que foram desenvolvidas. No
CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS, apresentamos com mais detalhes
estas concepções.
Além dessas leituras, que referenciaram teoricamente a concepção de
nosso trabalho, analisamos trabalhos já realizados de outros pesquisadores, que
em alguns de seus aspectos relacionam-se com a nossa proposta. Destes,
destacamos as pesquisas feitas por Tavares (1998), Medalha (1997) e Reis
(2006), que optaram, em seus procedimentos metodológicos, pela utilização de
modelos concretos de representação; por Possani (2002), que investigou as
possibilidades de representações planas de objetos tridimensionais em um
ambiente informático; e por Imafuku (2008), que buscou respostas sobre o motivo
das dificuldades envolvidas na passagem do estudo de funções de uma variável
para o estudo de funções de mais de uma variável.
Adicionalmente, fizemos a leitura de um dos artigos de Fischbein (1993)
sobre a dupla natureza das figuras geométricas, que são ao mesmo tempo
imagem e conceito; de um artigo de Parzysz (1988), sobre a inevitável perda de
informação quando da representação de figuras geométricas, e sobre o conflito
apresentado entre o que os alunos sabem sobre determinada figura geométrica
(sabido) e o que os alunos conseguem ver na representação desta figura (visto);
e de um artigo de Rommevaux (1998) sobre a importância do discernimento dos
planos em representações bidimensionais de objetos tridimensionais. Detalhes
sobre as pesquisas e sobre estes artigos, assim como as considerações sobre
como influenciaram nosso trabalho, podem ser encontrados no CAPÍTULO 1:
REVISÃO DE LITERATURA.
No CAPÍTULO 4: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS, apresentamos
os detalhes relativos à concepção da intervenção que fizemos junto a alguns
alunos do 3º ano de um curso de Licenciatura em Matemática, que consistiu na
17
resolução de um questionário de revisão sobre circunferências e em atividades
sobre superfícies quádricas mediadas por um modelo de representação
tridimensional.
A análise das respostas apresentadas no questionário e nas atividades em
que usamos o modelo de representação encontra-se no CAPÍTULO 5:
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS.
Nossas conclusões e considerações finais basearam-se na análise
qualitativa dos dados obtidos na intervenção que fizemos.
3: OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA
O objetivo de nossa pesquisa é verificar se uma abordagem que envolva
tratamentos e conversões entre diferentes registros de representação semiótica,
mediada por um modelo de representação tridimensional, pode favorecer a
visualização das superfícies quádricas.
Para isso, faremos uma intervenção junto a alguns alunos do 3º Ano de
um Curso de Licenciatura em Matemática, por meio de algumas atividades que
incluem a resolução de um questionário sobre circunferências e atividades que
envolvem a representação de superfícies quádricas em diferentes registros de
representação semiótica. Detalhes sobre estas atividades, assim como as razões
que nos levaram a propô-las, podem ser encontradas no CAPÍTULO 4:
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.
Ao final, após a análise dos protocolos que serão obtidos nas atividades,
gostaríamos de responder a seguinte questão, que se originou no período em
que fazíamos a graduação, e que acreditamos ter ganhado maior relevância em
nosso percurso pelo Programa de Mestrado:
Q. Uma sequência de atividades que envolvam tratamentos e conversões
de registros de representação semiótica, mediadas por um modelo de
representação tridimensional, pode favorecer a visualização das superfícies
quádricas?
18
CAPÍTULO 1: REVISÃO DE LITERATURA
Considerando que o objetivo de nossa pesquisa é verificar se uma
abordagem que envolva tratamentos e conversões entre diferentes registros de
representação semiótica, mediada por um modelo de representação
tridimensional, pode favorecer a visualização das superfícies quádricas, fomos
levados à leitura de pesquisas já realizadas, cujos autores houvessem se
preocupado em estudar os processos de ensino e de aprendizagem envolvidos
na representação de objetos matemáticos tridimensionais.
Alguns destes autores, como Tavares (1998), Medalha (1997) e Reis
(2006), desenvolveram suas pesquisas utilizando-se de modelos concretos de
representação. Outros, como Possani (2002), utilizaram-se de recursos
computacionais. Adicionalmente, a fim de entender os entraves que se
apresentam quando da passagem do estudo de funções de uma variável para o
estudo de funções com mais de uma variável, fizemos a leitura do trabalho de
Imafuku (2008).
Também tivemos contato com alguns artigos de Fischbein (1993) sobre a
Teoria dos Conceitos Figurais; de Parzysz (1988), sobre os conflitos entre o
“visto” e o “sabido”; e de Rommevaux (1998) sobre a importância do
discernimento dos planos em representações bidimensionais de objetos
tridimensionais.
Apresentamos a seguir um pequeno resumo sobre cada uma destas
pesquisas e artigos e as implicações destas leituras em nosso trabalho.
Baseado em sua prática docente como professor do Ensino Médio e de
Licenciatura em Matemática, Tavares (1998) afirma que os alunos apresentam
grande dificuldade no estudo da Geometria Espacial, e que esta dificuldade é
provocada, na maioria das vezes, pela deficiência das habilidades de
visualização e percepção do aluno (p. 11). Embora os livros didáticos de
Matemática e os desenhos feitos pelo professor no quadro negro representem
figuras espaciais, sua característica plana pode não favorecer aqueles alunos
que não têm o pensamento espacial desenvolvido (p. 15). Preocupado com este
aspecto, desenvolveu um trabalho de pesquisa, cujo objetivo era apresentar uma
proposta alternativa para a construção do conceito de volume de uma pirâmide
19
qualquer e identificar a importância da intuição, visualização, percepção e
representação na construção de uma ideia geométrica.
Seu trabalho pautou-se pelas seguintes questões de pesquisa
Como os alunos do 2.º grau constroem o conceito de volume de uma pirâmide qualquer? Qual a influência da visualização na construção da ideia de volume? Qual é o papel da utilização de diferentes abordagens na construção do conceito de volume? (TAVARES, 1988, p.16).
A fim de responder estas questões, o autor promoveu nove encontros de
duas horas-aula cada. Os alunos que participaram da atividade estavam
matriculados no 2º Grau (atual Ensino Médio) de uma escola estadual da cidade
de Campos, no Rio de Janeiro. Durante os encontros, foram propostas algumas
atividades que combinavam questionários e atividades experimentais
relacionadas ao cálculo de volume de pirâmides e prismas. Nas atividades
experimentais, foram utilizados sólidos geométricos feitos de sabão, que eram
mergulhados em vasilhames com água. A medição da variação do nível da água,
associada ao conhecimento das dimensões do recipiente, permitiram aos alunos
o cálculo do volume de cada um dos sólidos que era imerso. Esta atividade
simulava o experimento atribuído à Arquimedes, matemático da antiguidade que,
diante da tarefa de descobrir se uma coroa era feita de ouro maciço ou de
alguma liga que incluía prata, calculou o volume da coroa de forma indireta,
mergulhando-a numa banheira e observando o volume de água que era
deslocado. Munido das informações sobre o peso da coroa, seu volume e a
densidade do ouro e da prata, conseguiu provar que a coroa era feita de uma liga
de ouro e prata, e não de ouro maciço como havia encomendado o Rei Hierão ao
desonesto ourives que executara o trabalho.
No caso específico desta pesquisa, os alunos partiram da constatação
empírica do volume dos poliedros, de acordo com a proposição de Arquimedes,
chegando à formalização destes conceitos, conforme os princípios de Cavalieri.
Segundo Tavares (1998), as atividades experimentais, ao envolverem a
manipulação de modelos concretos, despertaram grande interesse por parte dos
alunos, favorecendo o desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos e
levando-os, ao final, a encontrarem a fórmula para o cálculo do volume de uma
pirâmide.
20
Medalha (1997) investigou o modo pelo qual os processos de visualização
atuam na construção de conceitos matemáticos, procurando identificar quais as
habilidades básicas e quais os facilitadores para o desenvolvimento do
pensamento espacial.
Para isso, desenvolveu uma sequência de atividades junto a alguns
alunos, entre 16 e 19 anos, matriculados na 2ª e 3ª séries do 2º Grau (atual
Ensino Médio) do Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro. Durante os encontros
foram construídos, manuseados e observados alguns sólidos geométricos, a
partir dos quais os alunos deviam produzir imagens mentais que os ajudassem a
abstrair e inferir sobre as propriedades dos objetos matemáticos, sem a presença
do modelo concreto correspondente.
Medalha (1997) analisou os dados obtidos durante as atividades à luz das
concepções de Van Hiele (1986) quanto às quatro etapas de desenvolvimento do
raciocínio (reconhecimento, análise, síntese e dedução informal) e na abordagem
de Hoffer (1991) sobre as habilidades necessárias para que se dê o
desenvolvimento do raciocínio (visual, gráfica, linguística e lógica).
A autora reforça a necessidade de que se trabalhem os aspectos da
Geometria Espacial com recursos adicionais ao giz, quadro negro e livro didático,
que apresentam possibilidades de representação essencialmente planas.
Concluiu que para o desenvolvimento da visualização são necessários alguns
elementos, como a construção da imagem mental, as múltiplas representações
do objeto matemático (gráfica, escrita, falada) e o raciocino visual. A análise dos
dados coletados comprova que os alunos participantes da pesquisa
desenvolveram habilidades relacionadas à visualização.
Concordamos com Tavares (1998) e Medalha (1997) quando se referem à
importância que a visualização e a percepção espacial podem apresentar na
construção de imagens mentais em atividades matemáticas, no entanto, a nosso
ver, apoiados nas ideias de Duval (1999), há uma diferença fundamental entre a
percepção visual que chamamos de “visão” e a “visualização”: a “visão” é capaz
de, ao primeiro olhar, obter acesso imediato à representação da figura, porém é
por meio da “visualização” que as informações obtidas pela visão, chamadas de
unidades representacionais, são compreendidas e organizadas de modo a formar
uma representação semiótica. Nas palavras de Duval, “[...] a visualização não
21
pode ser reduzida à visão, ou seja, a visualização torna visível tudo o que não é
acessível pela visão” 1 (DUVAL, 1999, p. 13, tradução nossa).
Em busca de pesquisas que, a exemplo da nossa, houvessem utilizado
modelos concretos de representação, encontramos o trabalho de Reis (2006), que se dedicou à identificação de materiais manipuláveis e à investigação do
modo pelos quais estes materiais poderiam colaborar com a aprendizagem dos
conceitos elementares de Geometria Esférica. Para isso, desenvolveu um curso
de extensão universitária sobre o tema, do qual participaram dez alunos do
terceiro ao oitavo semestres dos Cursos de Licenciatura e Bacharelado em
Matemática da UNESP de Rio Claro - SP.
O curso apresentava atividades que envolviam a resolução de problemas
relacionados à Geometria Esférica, a utilização de materiais manipuláveis como
caleidoscópios e esferas de isopor, e a utilização de um software de Geometria
Dinâmica.
Reis (2006) justificou a escolha da resolução de problemas como recurso
didático, em concordância com as concepções de Onuchic (1999) sobre “ensinar
por meio da resolução de problemas” e com as definições de Ponte e Matos
(2003) sobre as características da investigação como metodologia de ensino da
Matemática. Quanto às etapas necessárias a resolução dos problemas, orientou-
se pela abordagem proposta por Polya (1977), que as dividem em quatro:
compreensão do problema, construção de uma estratégia, execução da
estratégia e verificação dos resultados.
Ao optar pela utilização de modelos concretos, a autora cita Pais (1996),
para quem “o objeto é a forma de representação primária do conceito
matemático, ou seja, a forma mais acessível e imediata à sensibilidade humana”.
Após a análise qualitativa dos dados que foram coletados durante os
encontros, Reis (2006) pode verificar que, embora os materiais manipuláveis
(modelos concretos) fossem menos precisos que os modelos disponíveis no
software de geometria dinâmica, a possibilidade de tocá-los e visualizá-los
apresentou importantes contribuições às investigações dos alunos, mostrando-se
mais adequados às atividades que envolviam a percepção e a concepção de 1 […] visualization should not be reduced to vision, that is to say: visualization makes visible all that is not accessible to vision.
22
objetos geométricos. Em contrapartida, verificou que, nos processos onde havia
necessidade de demonstrações, os materiais manipuláveis não colaboraram de
forma significativa. Em síntese, a autora conclui que as atividades propostas
contribuíram para a aprendizagem dos conceitos básicos relacionados à
Geometria Esférica. Embora tenha usado apenas uma pequena quantidade de
materiais manipuláveis, acredita que sua pesquisa possa propor a busca por
novos materiais, objetivando alternativas para o ensino da geometria.
Efetivamente, nossa justificativa para a criação de um modelo concreto de
representação tridimensional surgiu diante de nossa dificuldade de entendimento
sobre os conceitos envolvidos na representação de superfícies quádricas, aliada
a uma também grande dificuldade, por parte dos professores, em fazer-se
entender sobre tais conceitos, porém, a exemplo de Reis (2006) e amparados
pelas suas conclusões, também acreditamos que nossa pesquisa possa propor a
busca de novas alternativas ao ensino de conteúdos que estejam relacionados à
objetos matemáticos em três dimensões.
Nossa convicção sobre a necessidade de utilização de recursos didáticos
adicionais ao livro didático e ao quadro negro é reforçada pelas conclusões da
pesquisa de Possani (2002), que procurou investigar quais as possibilidades que
um programa de Geometria Dinâmica, como o Cabri-Géomètre II, poderia
apresentar na exploração dinâmica de representações planas de objetos
espaciais. Desenvolveu, para isso, um conjunto de atividades, que se realizaram
em um ambiente informático e que propunham a representação tridimensional de
cubos e pirâmides por meio de suas secções planas.
A elaboração das atividades pautou-se pelas considerações sobre as
apreensões das figuras geométricas (Duval, 1995); sobre a diferenciação dos
planos (Rommevaux, 1997); sobre a funcionalidade do desenho em Geometria
Espacial (Chachooua, 1997) e sobre a distinção entre desenho e figura (Parzysz,
1988). Também foram considerados alguns elementos da teoria das Situações
Didáticas (Brousseau, 1986) e dos aspectos da metodologia da Engenharia
Didática (Artigue, 1990). De acordo com Possani (2002), o caráter dinâmico das representações de
figuras geométricas, possibilitado pelo programa de geometria dinâmica Cabri-
Géomètre II, permitiu uma melhor interação dos alunos com essas
23
representações, possibilitando-os observar certos tratamentos de figuras que
caracterizam a apreensão operatória dos conceitos matemáticos envolvidos nas
atividades.
As conclusões de Possani (2002) levaram-nos a considerar a necessidade
de que a sequência de atividades que iríamos propor aos sujeitos de nossa
pesquisa apresentasse as superfícies quádricas por meio de diferentes registros
de representação semiótica, além de prever a conversão entre estes registros.
Incomodado com as observações de sua prática docente como professor
em turmas de Cálculo Diferencial e Integral, Imafuku (2008) dedicou sua
pesquisa à investigação dos motivos pelos quais alguns alunos, até mesmo
aqueles que apresentam um bom rendimento nas aulas de Cálculo Diferencial e
Integral, apresentam tanta dificuldade quando da passagem do estudo de
funções de uma variável para o estudo de funções de mais de uma variável.
Também procurou identificar como essas dificuldades interferem no estudo das
derivadas parciais de primeira ordem.
Imafuku (2008) realizou uma pesquisa diagnóstica com análise qualitativa
dos dados, que foram coletados a partir da aplicação de dois questionários. O
autor baseou-se na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (Duval,
2003), tanto para a elaboração dos questionários quanto para sua análise. O
primeiro questionário, que o autor chama de “exploratório”, foi aplicado a quinze
duplas de alunos do quarto e quinto semestres de um curso de Licenciatura em
Matemática de uma universidade particular da região metropolitana de São
Paulo. Apresentava questões sobre localização de pontos no espaço, sobre
funções e seu domínio, e sobre a representação gráfica de funções. O segundo
questionário, que o autor chama de “definitivo”, foi aplicado a sete outras duplas
de alunos do quinto semestre do mesmo curso. Embora abrangesse os mesmos
conceitos matemáticos, continha cinco questões adicionais (treze ao todo), além
de algumas mudanças no enunciado, que objetivaram uma maior clareza quanto
às questões que não haviam sido bem interpretadas pelos alunos que haviam
respondido ao primeiro questionário.
Após a análise dos protocolos, o autor concluiu que a maioria dos alunos
que participaram da pesquisa não compreendia o sistema de representação
tridimensional, além de confundirem o conceito de domínio com o conceito de
24
função e com as curvas de nível. Também pode verificar que, embora os alunos
conhecessem o procedimento para determinar algebricamente derivadas parciais
de primeira ordem, não relacionavam este resultado à representação geométrica
da derivada. De acordo com o autor, uma prática docente que valorizasse os
registros de representação e a conversão entre estes registros, conforme
preconiza Duval (2003), poderia levar à superação de algumas das dificuldades
apresentadas pelos alunos.
Identificamo-nos com as inquietações de Imafuku (2008), principalmente
pelo fato de que uma das justificativas de nossa pesquisa relaciona-se à nossa
própria dificuldade de entendimento sobre tais conceitos e à busca do referido
entendimento por meio da construção de um modelo concreto de representação,
no período em que cursávamos as aulas de Cálculo Diferencial e Integral durante
nossa graduação. Acreditamos, em concordância com o quadro teórico sobre o
qual Imafuku (2008) se apoiou, que nosso trabalho, ao propor atividades que
promovam o tratamento e a conversão entre diferentes registros de
representação semiótica, pode colaborar para o avanço da aprendizagem e
superação das dificuldades identificadas pelo autor.
Um dos artigos de Fishbein (1993), chamado “The Theory of Figural
Concepts”, tem como principal objetivo esclarecer as características da dupla
natureza das figuras geométricas, que são ao mesmo tempo imagem e conceito.
Para Fischbein (1993), as teorias psicológicas atuais normalmente fazem a
distinção entre conceito e imagem mental. Nessas abordagens, conceito refere-
se à representação simbólica usada nos processos de raciocínio abstrato, ligado
principalmente à “ideia” que se tem de um determinado objeto, enquanto a
imagem mental relaciona-se à percepção sensorial e ao modo de representação
deste objeto. No entanto, existe uma terceira categoria, que ele chama de
“conceito figural”, e que reúne tanto as características de conceito quanto de
imagem mental.
Fischbein (1993) cita como exemplo a seguinte sequência por meio da
qual é possível demonstrar que os ângulos da base de um triângulo isósceles são
congruentes.
25
Consideremos o triângulo isósceles ABC, tal que o lado AB seja congruente ao lado AC (DESENHO 1). Nós queremos provar que os ângulos correspondentes aos vértices B e C são congruentes. Podemos imaginar a seguinte prova: consideremos que alguém destaca o triângulo de si mesmo, invertendo-o de tal forma que o lado AC fique do lado esquerdo e o lado AB fique do lado direito, sobrepondo o triângulo que foi girado sobre o triângulo original. O ângulo correspondente ao vértice A mantém-se o mesmo, e como os lados AB e AC têm o mesmo comprimento, AC coincidirá perfeitamente com o lado AB do lado esquerdo, e AB e AC coincidirão perfeitamente do lado direito. Desta forma, o triângulo que foi girado e o triângulo original coincidirão perfeitamente. Como consequência, os ângulos correspondentes aos vértices B e C só podem ser iguais, conforme se desejava demonstrar (FISCHBEIN, 1993, p. 140, tradução nossa 2).
DESENHO 1. TRIÂNGULO ISÓSCELES
Nesta demonstração, foram usados conhecimentos conceituais, como os
relativos a ângulo e congruência, ligados ao mundo das ideias, porém a operação
de rotação do triângulo sobre si mesmo encontra-se no domínio das
representações. Não se “destaca” nem se “rotaciona” uma ideia, a menos que
esta ideia esteja intimamente ligada a uma imagem. Temos, neste caso, uma
mistura entre o conceito e a imagem mental do objeto matemático. O triângulo ao
qual nos referimos não pode ser considerado puro conceito, tampouco pura
imagem. O processo de prova utilizado também não poderia desenvolver-se
exclusivamente por meio das ideias, ou unicamente por meio da representação
2 Consider the isosceles triangle ABC with AB ≈ AC. We want to prove that ^B = ^C. We may imagine the following proof: let us consider that one detaches the triangle from itself, one reverses it such that AC is on the left side and AB on the right side, and one superposes the reversed triangle on the original one. The angle A remaining the same and AB and AC having the same length, AC will coincide perfectly with AB on the left side and AB and AC will coincide perfectly on the right side. Then the reversed and the original triangle will coincide perfectly. As a consequence, the angles ^B and ^C must be equal. Q.E.D. (Fischbein, 1993)
26
gráfica do triângulo. Temos aqui um exemplo da terceira categoria à qual
Fischbein (1993) se refere: a categoria dos conceitos figurais.
De acordo com Fischbein
É necessário considerar três categorias de entidades mentais quando nos referimos às figuras geométricas: a definição, a imagem (baseada na experiência perspectiva sensorial, como a imagem de um desenho) e o conceito figural. O conceito figural é a realidade mental, é a elaboração favorecida pelo raciocínio matemático no domínio da geometria. Embora desprovido de qualquer propriedade figural concreta (como cor, peso, densidade, etc.), apresenta as propriedades figurais. Esta criação é controlada e manipulada, a princípio sem interferências, por regras lógicas e procedimentos no domínio de um determinado sistema axiomático (FISCHBEIN, 1993, p. 148, tradução nossa 3).
Para Fischbein (1993) as figuras geométricas são conceitos figurais.
Quando pensamos em uma circunferência, por exemplo, somos levados
imediatamente a pensar sobre sua representação gráfica, que é controlada
intrinsecamente pelos conceitos formais que caracterizam as circunferências
(conjunto de pontos equidistantes a um ponto dado, chamado de centro da
circunferência). Em Geometria, não existe sentido no conceito sem a imagem,
tampouco teria sentido a existência da Geometria como um dos ramos da
Matemática sem o conceito de imagem. Diferentemente das ciências empíricas,
como a Biologia, por exemplo, na qual os conceitos sobre o objeto de estudo são
determinados pelo próprio objeto, em Matemática são os conceitos que controlam
o objeto.
Conflitos podem ocorrer quando, ao contrário, as propriedades figurais do
objeto, pela característica intuitiva, inerente às percepções sensoriais, tendem a
controlar os conceitos. Fischbein (1993) cita como exemplo uma atividade
experimental realizada junto a alguns alunos com idades entre 6 e 11 anos.
Nesta atividade, os participantes eram solicitados a observar o DESENHO 2,
3 One has, then, to consider three categories of mental entities when referring to geometrical figures: the definition, the image (based on the perceptive-sensorial experience, like the image of a drawing) and the figural concept. The figural concept is a mental reality, it is the construct handled by mathematical reasoning in the domain of geometry. It is devoid of any concrete-sensorial properties (like color, weight, density, etc.) but displays figural properties. This figural construct is controlled and manipulated, in principle without residuals, by logical rules and procedures in the realm of a certain axiomatic system (Fischbein, 1993).
27
comparar os pontos 1 (formado pela interseção de quatro retas) e 2 (formado
pela intersecção de duas retas) e responder às seguintes questões:
Os pontos 1 e 2 são diferentes? Algum dos dois pontos é maior do que o outro? Se sim, qual é maior? Algum dos dois pontos é mais pesado do que o outro? Se sim, qual dos dois? Os dois pontos têm a mesma forma (FISCHBEIN, 1993, p.145, tradução nossa 4)?
DESENHO 2. QUAL DOS PONTOS É MAIOR?
Por meio da análise das respostas apresentadas, Fischbein (1993)
observou, nas argumentações dos alunos mais novos, que a intuição, reforçada
pela percepção sensorial, determinou o raciocínio, levando-os a responder que o
ponto 1 era maior e mais pesado que o ponto 2. Também pôde observar a
mudança dos padrões das respostas, de acordo com a maturidade escolar dos
sujeitos da pesquisa. Nas respostas dos alunos mais velhos, observaram-se
considerações corretas, sobre a igualdade dos pontos, que envolviam conceitos
formais relacionados à definição de ponto (não possui dimensão).
Para Fischbein (1993), os conceitos e as figuras interagem nos processos
de raciocínio, algumas vezes favorecendo a aprendizagem, outras vezes
dificultando-a, porém o desenvolvimento de conceitos figurais não é algo que se
desenvolva naturalmente, sendo esta uma das principais causas pelas quais a
Geometria é um tópico tão complicado para boa parte dos alunos. Fischbein
(1993) ressalta como uma das principais tarefas dos professores de Matemática,
principalmente aqueles que se dedicam ao ensino da Geometria, promover
4 Are these two points different? Is one of them bigger? If yes, which one? Is one them heavier? If yes, which one? Have the two points the same shape?
28
situações nas quais se favoreça a fusão entre os aspectos ligados aos conceitos
e os ligados às imagens, como modo de uni-los em um único objeto mental.
Recomenda o uso de exercícios cujos padrões da representação espacial
tendam a desobedecer as restrições formais, criando conflitos que levem os
alunos a conjecturar sobre os aspectos conceituais e figurais dos objetos
matemáticos.
A leitura deste artigo possibilitou-nos o entendimento acerca das três
categorias envolvidas na representação de figuras geométricas (conceitos,
imagens e conceitos figurais) e contribuiu para que, ao concebermos as questões
e atividades propostas aos sujeitos da pesquisa, levássemos em conta as
particularidades das circunferências e das superfícies quádricas, que são,
simultaneamente, conceito e imagem.
Em um de seus artigos, intitulado “’Knowing’ vs ‘Seeing’”. Problems of the
plane representation of space geometry figures, Parzysz (1988) apresenta alguns
aspectos do conflito existente entre o que é “conhecido” e aquilo que é “visto”
durante as tentativas de desenhar (codificação) uma figura geométrica, ou
durante as tentativas de interpretação de um desenho (decodificação) de uma
figura geométrica.
Incomodado com as dificuldades do ensino da geometria espacial na
França, que, a seu ver, estão intimamente relacionadas aos problemas de
representação (mental e material) dos objetos matemáticos que são estudados,
Parzysz (1988) desenvolveu estudos junto a alguns alunos do Ensino Médio (na
França), em que estes eram solicitados a “codificar” (desenhar) um objeto
matemático a partir da sua representação material em três dimensões e
“decodificar” (ler) um objeto da geometria espacial a partir de sua representação
plana. Esta pesquisa relaciona-se com algumas outras feitas na mesma época
em Grenoble e em Montpelier, na França.
Esses estudos fundamentaram-se nos princípios de que a) existe uma
dialética entre a aquisição do conhecimento em geometria espacial e o domínio
da representação em três dimensões; b) é fundamental que os alunos passem
por uma fase onde possam ser usados modelos concretos de representação
tridimensional (embora o objetivo seja que desenvolvam a aprendizagem sem os
modelos, o contato inicial com estes tipos de representação permite-lhes criar
29
imagens mentais sobre estes objetos); e c) é necessário que se explicitem as
regras para o desenho de figuras espaciais, regras estas não sujeitas a
convenções duvidosas, mas nas propriedades formais da geometria projetiva.
Os principais compromissos assumidos por meio dos estudos foram os de
investigar os princípios mais ou menos implícitos que subjazem a codificação e a
decodificação das representações planas de objetos tridimensionais, além de
desenvolver uma engenharia didática que permitisse que esses princípios fossem
analisados, e que levasse os alunos à elaboração de um conjunto de regras, não
estabelecidas de início, que controlassem as suas representações e que os
ajudasse a desenvolver aprendizagem destes conceitos
Parzysz (1988) opta, em seu trabalho por definir FIGURA como o objeto
matemático, regulado por suas propriedades formais e que só existe no mundo
das ideias; e por DESENHO a representação plana do objeto matemático, a
representação da figura. Em concordância com suas considerações, decidimos
usar estas mesmas definições em nosso trabalho.
Em outras palavras, sempre que nos referirmos a uma entidade
matemática, iremos chamá-la de FIGURA. A fim de evitar ambiguidade entre os
termos, quando formos nos referir às representações gráficas, ilustrações e
esboços, usaremos o termo DESENHO.
A representação de uma figura geométrica pode ser um desenho se a
figura pertence à geometria plana, ou pode ser um desenho ou modelo concreto
de representação, caso a figura pertença à geometria espacial. De acordo com
Parzysz (1988), podem ser distinguidos dois níveis de representação. No nível 1,
encontram-se as representações próximas, ou seja, a representação assemelha-
se ao objeto matemático que está sendo representado e possui a mesma
quantidade de dimensões deste; e no nível 2, encontram-se as representações
distantes. As representações deste nível possuem quantidade de dimensões
inferior à do objeto matemático.
Em outras palavras, a representação plana (2D) de um objeto da
geometria plana (2D) está no nível 1 (ambas possuem a mesma quantidade de
dimensões), enquanto que a representação plana de um objeto da geometria
espacial (3D) está no nível 2 (a representação apresenta-se em uma dimensão a
menos do que o objeto). Analogamente, um modelo de representação concreto,
30
em três dimensões, está no nível 1, quando utilizado para representar objetos da
geometria espacial, pois ambos possuem a mesma quantidade de dimensões:
três. Neste caso, embora exista a perda de informação, ela é menor do que
quando representamos o objeto 3D exclusivamente por meio do desenho.
Para Parzysz (1988), existe necessariamente a perda de informação
quando nos movemos de um nível para outro maior. Neste raciocínio, a figura,
que corresponde ao próprio objeto matemático, encontra-se no nível 0, ou seja,
não há perda de informação. Sua representação, no entanto, irá encontrar-se no
nível 1 ou 2. Quanto maior o nível, maior a perda de informação.
Nem tudo o que pertence à figura pode ser preservado na representação,
porém, algumas de suas propriedades podem eventualmente prevalecer. Parzysz
(1988) chama este fenômeno de “restituição do significado”, e que, todavia, só
ocorre devido à boa vontade do leitor, que estabelece uma conivência com o
autor da representação, graças ao seu repertório de imagens mentais, restrito a
um número limitado de tipos, tais como pontos, retas, planos, circunferências,
pirâmides, etc.
Para a maioria de nós, a representação do DESENHO 3 provavelmente
será interpretada como um cubo. Acreditamos que tal se deva, principalmente,
pelo fato de que esta figura já faz parte do acervo de figuras e de representações
que fomos acumulando durante a nossa vivência, dentro e fora da escola. Se nos
pedissem que reproduzíssemos esta representação de forma tridimensional,
provavelmente o faríamos da forma correta, respeitando os ângulos retos entre
as arestas, embora não estejam presentes no desenho. Acreditamos, em
concordância com Parzysz (1988), que isso pode ocorrer porque somos
coniventes com a ideia de que o desenho representa um cubo
DESENHO 3. REPRESENTAÇÃO BIDIMENSIONAL DE UM CUBO
31
Existem casos, entretanto, em que as figuras e suas respectivas
representações, (ao contrário de arquétipos como pirâmides, cubos, cilindros,
etc.) podem não fazer parte do acervo da maioria dos alunos, em virtude de sua
especificidade. Nestes casos, embora se espere que os alunos desenvolvam sua
aprendizagem de modo que possam apropriar-se das características abstratas
dessas figuras, para Parzysz (1988), é obrigatório que passem por uma fase de
contato com o modelo de representação.
Diante da impossibilidade de representação de todas as propriedades das
figuras geométricas por meio de seus desenhos, algumas convenções têm sido
utilizadas, como a representação de uma reta por um traço na folha de papel, ou
a representação de um plano por meio do desenho de um paralelogramo.
Embora a restituição do significado possa levar à representação próxima
do objeto, pode também, em alguns casos, apresentar outros tipos de problema,
devido à ambiguidade apresentada pela representação. Um traço no papel
também poderia ser a representação de um segmento de reta e não da reta toda,
que é impossível de ser representada.
Quando fazemos a representação plana de objetos da geometria espacial
os problemas são maiores ainda. Passamos do nível 0 para o nível 2, que
corresponde à representação distante do objeto. Se na representação próxima de
objetos da geometria plana eram mantidas algumas das propriedades do objeto
matemático (paralelismo e perpendicularismo, entre outras), no caso da
representação plana de objetos espaciais tal não ocorre. A fim de exemplificar
esta observação, Parzysz (1988) apresenta dois desenhos em seu artigo
(DESENHO 4), que reproduzimos aqui.
DESENHO 4. REPRESENTAÇÃO DE UM QUADRADO E DE UMA PIRÂMIDE
32
O desenho da esquerda (A) corresponde à representação de um quadrado
(geometria plana) e de suas diagonais. O desenho da direita (B) é a
representação plana de uma pirâmide de base quadrada. Enquanto no desenho
do quadrado as diagonais são perpendiculares, tanto idealmente quanto na
representação, tal não se observa na representação das diagonais da base da
pirâmide, que são perpendiculares na figura, mas que não mantém esta
propriedade na representação plana.
Para Parzysz (1988), a perda de informação relacionada às
representações em nível 1, e muito mais nas representações em nível 2, pode
ser minimizada, ou até mesmo evitada por meio de legendas que acompanhem
os desenhos, ou de textos com as definições formais, e reafirma que o modelo de
representação não pode, exclusivamente, substituir a figura.
De acordo com Parzysz (1988), parte dos erros relacionados à codificação
e decodificação de figuras geométricas deve-se à tendência natural em
considerar representações distantes (representações que possuem menos
dimensões do que o objeto) como representações próximas (representações que
possuem a mesma quantidade de dimensões que o objeto). Isto ocorre tanto na
interpretação quanto na representação da figura, onde os alunos procuram, por
meio de um desenho suficientemente sofisticado, representar todas as
propriedades formais do objeto matemático. O autor do desenho, neste caso, é
confrontado com um dilema insolúvel, ou seja, o que ele “sabe” sobre o objeto
matemático conflita-se com o que ele “vê” na representação. A fim de observar e
investigar detalhes deste conflito, que Parzysz (1988) nominou de conflito entre o
“visto” e o “sabido” (“knowing vs seeing” conflict), ele faz a análise de um teste
feito entre 88 alunos do Ensino Médio (na França), aos quais era apresentada
uma representação próxima de uma pirâmide de base quadrada, em forma de um
esqueleto feito com palitos de madeira. Em seguida, os modelos eram recolhidos
e os alunos eram solicitados a fazer a representação plana do sólido, de forma
que alguém que não tivesse visto ou conhecesse o sólido fosse capaz de
identificá-lo.
Dos 88 alunos que participaram da experimentação, apenas 18 optaram
em adicionar ao desenho alguma legenda ou informação que auxiliasse o leitor a
identificar as propriedades do objeto, sendo que destes, apenas dois alunos
fizeram de forma suficientemente eficaz. A grande maioria acreditou que o
33
desenho por si só seria capaz de transmitir todas as propriedades da figura ao
leitor.
Parzysz (1988) conclui seu artigo alertando sobre a necessidade de que
sejam trabalhados, pelo menos no Ensino Médio, os princípios que controlam as
representações planas de figuras espaciais, a fim de que os alunos consigam
desenvolver o domínio neste campo do conhecimento e a fim de que não fiquem
presos a desenhos estereotipados baseados em confusas convenções.
Esta leitura contribui com a nossa pesquisa ao possibilitar-nos
entendimento de que existem perdas quando representamos um objeto
matemático, e que esta perda é maior na medida em que a quantidade de
dimensões da representação se distância da quantidade de dimensões do objeto,
além de pontuar o conflito que ocorre quando não nos damos conta desta
limitação e tentamos, por meio de uma representação suficientemente
sofisticada, representar todas as propriedades do objeto (conflito entre o "visto" e
o "sabido").
O artigo de Rommevaux (1998) chamado “Le discernement des plans
dans une situation tridimensionnelle”, apresenta o resultado de suas
investigações sobre a possibilidade de ensinar os alunos a ver no espaço e sobre
as interações entre as representações utilizadas na geometria tridimensional. A
visualização sobre a qual a pesquisadora se refere, no entanto, não é a
capacidade de ver as coisas ou objetos matemáticos em representações
tridimensionais, mas ver três dimensões em uma figura bidimensionalmente
representada, como por exemplo, em uma perspectiva paralela.
Através da análise das etapas necessárias à resolução de problemas de
geometria tridimensional, a pesquisadora conseguiu observar uma sequência de
etapas, caracterizadas pela seleção de planos de situação, resolução de
problemas planos e coordenação dos resultados obtidos. A fim de ilustrar estes
passos, ela cita como exemplo um problema, que reproduzimos a seguir.
ABCA’B’C’ é um prisma de base triangular ABC, as arestas AA’, BB’ e CC’ são paralelas, I é o ponto médio de BC, I’ é o ponto médio de B’C’ e M um ponto da aresta AA’. a) Determine a interseção da reta MC’ e o plano ABC b) Determine a interseção da linha MB’ e o plano ABC c) Determine a interseção da linha MI’ e o plano ABC
prob
(ares
retas
cum
(repr
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36
sucessão dos passos aos quais Rommevaux (1998) se refere, ou seja: a) seleção
de planos (solução de problemas planos à partir dos planos AA’C’C, AA’B’B e
AA’I’I); b) resolução de problemas planos (intersecção das retas, a fim de
determinar os pontos b,c e i) ; e c) a coordenação do resultados planos (provar o
alinhamento dos pontos encontrados e o paralelismo entre a reta que os contém
e uma das arestas do prisma).
Rommevaux (1998) classifica as diferenças fundamentais entre a
representação de objetos 2D e de objetos 3D por meio de representações
bidimensionais, de acordo com elementos de referência (apoio da representação,
plano de referência e plano de situação) e de acordo com a natureza da relação
entre o objeto e a sua representação
De acordo com a referência, as diferenças são as seguintes:
• Em geometria bidimensional, o apoio de representação (a folha de
papel, a lousa ou a tela do computador onde é construída a
representação), o plano de referência (os planos representados no
desenho, como as faces dos poliedros, por exemplo) e o plano da
situação (aqueles por meio dos quais são permitidos os tratamentos
que levem à solução) coincidem;
• Em geometria tridimensional, o apoio da representação, o plano de
referência e os planos de situação podem não coincidir.
De acordo com a natureza da relação entre o objeto e a sua
representação, Rommevaux (1998) pontua as seguintes distinções:
• Em geometria bidimensional, os objetos são representados, e qualquer
alteração sobre a representação pode ser considerada como uma
alteração no próprio objeto matemático;
• Em geometria tridimensional, são os planos de referência que são
representados e que estruturam o objeto. Eventualmente estes planos
também são os da situação. A identificação destes planos deve
preceder a identificação dos objetos matemáticos.
37
A fim de obter subsídios à sua investigação, a pesquisadora desenvolveu
algumas atividades, fundamentadas na Teoria dos Registros de Representação
Semiótica de Raymond Duval (DUVAL, 1994) e que foram propostas à duas
classes de alunos da 2ª série secundária, com idades que variavam entre 15 e 16
anos.
Após submeterem-se a um questionário preliminar, com o qual se
procurou verificar se eram capazes de identificar figuras tridimensionais e
bidimensionais em representações bidimensionais, os alunos participaram de
duas atividades, incluídas em uma fase que a pesquisadora chama de
exploratória. Na primeira atividade, foram dados aos alunos desenhos com
representações de quatro polígonos, um cubo feito de acetato transparente e
uma folha de respostas. Rommevaux (1998) justifica a utilização de um modelo
de representação tridimensional, complementar aos dois diferentes registros de
representação semiótica (linguagem natural e perspectiva paralela) em que o
objeto matemático é apresentado aos alunos que participaram da
experimentação.
Os estudos históricos e certos estudos técnicos mostram, contudo, que estes objetos podem ter, para a compreensão do espaço real ou virtual, funções importantes: função heurística pelas simulações que permite, e função de verificação útil, mas que pode intervir apenas quando o problema é resolvido (ROMMEVAUX, 1998, p. 45, tradução nossa 6).
A tarefa proposta era verificar a possibilidade de, por meio de uma secção
do cubo, obter o polígono desenhado. Além da resposta os alunos eram
solicitados a justificar suas conclusões.
Na segunda etapa, ao invés dos desenhos de polígonos, os alunos
receberam moldes vazados com as formas de seis polígonos, inclusive os quatro
que haviam sido analisados na primeira tarefa desta fase. Da mesma forma,
foram solicitados a responder e a justificar se poderiam, por meio de uma secção
do cubo, obter o polígono vazado.
6 Les études historiques et certaines études techniques montrent cependant que ces
objets peuvent avoir, pour la compréhension de l'espace réel ou virtuel, des fonctions importantes: fonction heuristique par les simulations qu'elle autorise, fonction de vérification - utile -, mais qui ne peut intervenir que lorsque le problème est résolu.
38
Diferentemente da primeira atividade, agora os alunos podiam “mergulhar”
materialmente os moldes vazados no cubo a fim de justificar suas respostas. A
pesquisadora sublinha as reações de surpresa dos alunos, ao descobrirem, por
exemplo, a possibilidade de obter uma secção do cubo correspondente a um
pentágono.
Com o objetivo de dar à perspectiva paralela, além de sua função
intrínseca de comunicação, a função de tratamento e promover a sua utilização
como instrumento heurístico indispensável à solução de problemas em geometria
tridimensional, foram propostas algumas atividades por meio da quais os alunos
deviam descobrir quais eram, e como eram obtidos, os polígonos
correspondentes às secções do cubo, de acordo com pontos dados em suas
arestas. Nesta fase, que Rommevaux (1998) chamou de fase de tratamento
figurativo, os alunos deviam desenhar os pontos e os polígonos correspondentes
à secção sobre o cubo feito de acetato, desenhar os polígonos correspondentes
às secções em tamanho natural e representar os polígonos correspondentes às
secções desenhando-os na representação bidimensional em perspectiva
paralela. Gradativamente os alunos eram solicitados a realizar as atividades sem
o auxílio do modelo.
Após a análise das avaliações feitas pelos alunos, Rommevaux (1998)
concluiu que as atividades favoreceram a utilização da perspectiva paralela na
resolução de problemas da geometria tridimensional, além de ajudar os alunos a
desenvolverem a capacidade de discernir planos em representações
bidimensionais, ou seja, ver no espaço pode ser aprendido da mesma forma que
outros saberes.
Esta leitura permitiu-nos compreender as diferenças entre a representação
plana de objetos bidimensionais e a representação plana de objetos
tridimensionais. Diferentemente dos objetos 2D, em 3D o plano de apoio (folha ou
lousa onde a representação é feita), o plano de referência (a representação da
figura) e o plano de situação (o plano onde fazemos os tratamentos que
possibilitam a solução) podem não ser os mesmos. Em representações planas de
objetos 3D é fundamental o discernimento dos planos para que haja visualização.
Quando criamos o modelo de representação tridimensional, ainda não
tínhamos tido contato com as ideias de Rommevaux, porém, concordamos
quando afirma que “ver no espaço pode manifestar-se pela capacidade em
39
distinguir planos em uma representação bidimensional”. Na verdade, acreditamos
que as conclusões obtidas a partir de sua pesquisa possam justificar algumas de
nossas escolhas, como por exemplo, a utilização de um modelo concreto, e a
opção de representar a figura tridimensional por meio de recortes planos.
Além destas leituras, que nos orientaram quanto aos problemas e
impasses envolvidos nas pesquisas em Educação Matemática e que nos
possibilitaram considerar importantes aspectos envolvidos na representação de
figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais, fizemos a leitura de dois
outros artigos, escritos respectivamente por Fischbein (1993), sobre a interação
entre as componentes formais, algorítmicas e intuitivas do objeto matemático; e
por Duval (1999), sobre a necessidade de que os alunos desenvolvam a
aprendizagem sobre os objetos matemáticos em pelo menos dois diferentes
registros de representação semiótica coordenando a mudança entre estes
registros e sobre as diferenças entre a visualização e a visão, ajudaram-nos a
fundamentar teoricamente nossa pesquisa, seja quanto à concepção das
atividades, seja quanto à forma de análise que pretendemos fazer a partir dos
dados coletados durante as experimentações.
No CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS, detalharemos melhor
estes dois artigos.
40
CAPÍTULO 2: UM MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL
O modelo de representação gráfica que desenvolvemos consiste
basicamente na sobreposição ordenada de gráficos bidimensionais, impressos
em folhas de acetato transparente, a exemplo das curvas de nível. Como as
folhas são transparentes, podemos ver diferentes gráficos simultaneamente. Tal
efeito pode proporcionar a visão da representação tridimensional da equação
estudada.
A seguir, procuramos resumidamente ilustrar as etapas da construção do
modelo de representação gráfica tridimensional.
Os gráficos bidimensionais são obtidos por meio de um programa de
geometria dinâmica de uso livre chamado Geogebra (www.geogebra.org), e
correspondem à representação de cortes da superfície quádrica em diferentes
alturas do sistema de planos coordenados ortogonais. A fim de ilustrar esta
construção, reproduzimos no DESENHO 8, dois cortes da quádrica ,definida pela
equação 0422 =−+ zyx , feito em planos paralelos ao plano xy, respectivamente
com as cotas 2 e 16.
DESENHO 8. EXEMPLOS DE GRÁFICOS OBTIDOS PELO CORTE DE UMA SUPERFÍCIE
QUÁDRICA
Após impressos em folhas transparentes adequadas à impressão por jato
de tinta, os gráficos são recortados e perfurados nos quatro cantos, de modo que
seja possível montá-los nas hastes.
41
FOTO 1. PERFURAÇÃO E MONTAGEM DAS TRANSPARÊNCIAS
Recortamos diversos pedaços de canudo (do mesmo tipo utilizado para as
hastes) de forma que tenham um mesmo tamanho padrão, correspondente à
distância em que serão feitas as secções em determinado eixo. Estes pedaços
serão usados como espaçadores entre as transparências.
FOTO 2. RECORTE DOS ESPAÇADORES E MONTAGEM
Após a montagem das camadas, finalizamos a construção com a colagem
das extremidades, de modo que as folhas transparentes não se soltem.
42
FOTO 3. COLAGEM E CORTE DAS EXTREMIDADES
O resultado final é uma representação gráfica tridimensional da equação
no R3.
FOTO 4. UMA REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL DA HIPERBOLOIDE DE
DUAS FOLHAS
Nosso objetivo, ao ilustrar as etapas de criação e construção do modelo de
representação tridimensional, foi proporcionar ao leitor uma visão geral do
processo.
Consideramos, no entanto, que algumas das etapas da confecção do
modelo, como as tarefas de imprimir, recortar e perfurar, não contribuiriam para a
aprendizagem. Dessa forma, embora a dinâmica das atividades que iremos
realizar preveja a montagem dos modelos, esta se dará pelo uso de folhas já
impressas, recortadas e perfuradas.
43
CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
Em busca de subsídios que nos orientassem quanto aos aspectos
envolvidos na aprendizagem dos conceitos relacionados à representação das
superfícies quádricas, fomos levados à leitura de uma série de artigos científicos.
Alguns destes artigos já foram mencionados no CAPÍTULO 1: REVISÃO DE
LITERATURA, porém existem dois artigos, um de Efraim Fischbein (1993) e um
de Raymond Duval (1999), que escolhemos para referenciar teoricamente nosso
trabalho. Estes artigos, além de terem nos orientado quanto à concepção das
atividades que realizaremos junto aos alunos, nos auxiliarão no momento em que
fizermos análise dos protocolos que serão obtidos.
Fischbein (1993) aborda a importância da interação entre três
componentes fundamentais dos objetos matemáticos em uma atividade
matemática: a componente formal, a componente algorítmica e a componente
intuitiva; e defende que, para que haja aprendizagem é necessário que haja a
interação entre estas componentes.
Duval (1999) distingue a visão (imediatamente acessível ao primeiro olhar,
porém incapaz de desenvolver as funções cognitivas fundamentais) da
visualização (responsável pela organização das informações obtidas pela visão
em busca da produção de representações semióticas) e defende a necessidade
de que os alunos desenvolvam a aprendizagem sobre os objetos matemáticos
em pelo menos dois diferentes registros de representação semiótica, e que
saibam coordenar a mudança entre estes registros.
Neste capítulo, além de apresentar o resumo dos artigos, procuramos, por
meio de alguns exemplos, extraídos destes textos e de outras leituras, esclarecer
o leitor sobre os pressupostos teóricos que auxiliaram a concepção das
atividades envolvidas em nossa pesquisa, e que irão nos auxiliar nos no processo
de análise posterior.
44
3.1 FISCHBEIN: A INTERAÇÃO ENTRE AS COMPONENTES FORMAIS,
ALGORÍTMICAS E INTUITIVAS NA ATIVIDADE MATEMÁTICA7
Para Fischbein (1993), a Matemática pode ser considerada sob dois
pontos de vista diferentes. O primeiro, como um rigoroso conjunto de
conhecimentos, determinado por relações formais, logicamente estruturadas, tal
como se apresenta nos tratados matemáticos; e o segundo como fruto da
atividade humana e, portanto, sujeito a momentos de incerteza e de hesitações.
O fato de os matemáticos se preocuparem em desenvolver um corpo logicamente
estruturado de conhecimento não nos impede de considerar o processo criativo
no desenvolvimento da Matemática. É sobre esta segunda concepção que
estamos interessados em aprofundar-nos.
Fischbein (1993) considera a interação entre três diferentes componentes
básicas do objeto matemático na atividade matemática: a componente formal, a componente algorítmica e a componente intuitiva.
Os aspectos formais estão relacionados aos axiomas, definições,
teoremas e provas. Embora estejamos analisando a Matemática como fruto da
atividade humana, não podemos deixar de considerar este importante aspecto,
pois é por meio dos conceitos formais que se desenvolve a argumentação lógica
e o raciocínio matemático. Por outro lado, de acordo com Fischbein (1993) é pura
ilusão achar que apenas o conhecimento de teoremas, provas e definições, como
normalmente são expostos nos livros didáticos, torne o aluno capaz de resolver
problemas matemáticos.
Em sua tese de doutorado, De Souza (2008) cita um exemplo apresentado
por Kline (1973) em seu livro “Why Johnny can’t add: the failure of the new Math”,
em que um pai, ao perguntar para o seu filho quanto é 5 + 3, recebe a resposta
de que, de acordo com a propriedade comutativa da adição, 5 + 3 é igual à 3 + 5.
Diante da resposta, somos levados à pensar sobre a constatação de que o
conhecimento do fictício aluno sobre as propriedades da adição não foram
capazes de habilitar-lhe a dar a resposta esperada pelo pai, correspondente à
soma dos dois números.
7 The interaction between the formal, the algorithmic, and the intuitive components in a mathematical activity (tradução nossa)
45
Deparamo-nos, assim, com a necessidade de considerar outro aspecto
dos objetos matemáticos, que Fischbein (1993) chamou de aspecto algorítmico,
e que está relacionado aos procedimentos de resolução, ou seja, às habilidades
que podem ser aprendidas e sistematicamente treinadas. Isto não quer dizer,
entretanto, que o raciocínio matemático pode ser reduzido a um conjunto de
procedimentos e técnicas, mas sim da interação entre os aspectos formais e os
aspectos algorítmicos.
Encontramos um exemplo da importância da componente algorítmica no
período em que inicialmente nos dedicamos ao estudo das superfícies quádricas,
quando fazíamos o curso de Licenciatura em Matemática. Pudemos observar
que, para a maioria dos alunos, até mesmo para aqueles familiarizados com a
representação de pontos no R3, era difícil, a partir de expressões algébricas com
três incógnitas, inferir sobre qual era a figura geométrica correspondente.
Diante das três incógnitas, os alunos pareciam não saber por onde
começar. Notamos, no entanto, que após a sugestão de substituir uma das
incógnitas por um valor constante, a fim de observar o comportamento da figura
em diversas secções do espaço tridimensional, conseguiam relacionar a nova
expressão obtida a equações com duas incógnitas e esboçar, para cada um dos
valores eventualmente atribuídos à constante, a figura geométrica bidimensional
correspondente.
Observamos, neste caso, que o procedimento algorítmico, aliado às
propriedades formais relacionadas às cônicas, tornou possível a alguns dos
alunos o encaminhamento da solução, que até então, por meio exclusivo da
mobilização dos conhecimentos formais do assunto, não estavam conseguindo.
TABELA 1. EQUAÇÕES COM TRÊS E DUAS INCÓGNITAS
Equação original (três incógnitas) Equação com duas incógnitas e
uma constante
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6
47
autoevidente, e um postulado uma construção a partir de um axioma. Atualmente,
não notamos mais esta distinção, porém, independentemente disto, foram estas
asserções que fundamentaram o desenvolvimento de boa parte da Matemática
que chegou até nós.
Fischbein (1993) cita como exemplo um dos axiomas presentes nos
Elementos de Euclides: “o todo é maior do que cada uma de suas partes”,
puramente intuitivo, ao qual adicionamos os outros quatro: “coisas iguais à
mesma coisa são iguais entre si; adicionando-se iguais a iguais, as somas são
iguais; subtraindo-se iguais de iguais, as diferenças são iguais; coisas que
coincidem uma com a outra são iguais entre si”.
Fischbein (1993) exemplifica a importância do aspecto intuitivo na
construção do conhecimento matemático ao referir-se à distância temporal de
quase dois mil anos entre a geometria euclidiana (baseada em noções comuns
aceitas sem prova, como são os postulados e axiomas) e a geometria não
euclidiana, que embora se apresente lógica e coerente, é um campo do saber
extremamente contra-intuitivo.
Nós aceitamos a evidência de que através de um ponto fora de uma reta apenas uma linha paralela possa ser traçada. Nós não podemos intuitivamente aceitar outras alternativas, por exemplo, que nenhuma paralela possa ser traçada (a geometria de Riemann) ou que uma infinidade de paralelas possam ser traçadas (a geometria de Lobachevsky) (FISCHBEIN, 1987, p. 47, tradução nossa 8)
Além deste exemplo, podemos citar alguns outros, como é o caso da
criação do algarismo zero pelos hindus no século V (mais de três mil anos após
os egípcios terem desenvolvido seu sistema de numeração), em uma atitude
contrária ao bom senso ou às necessidades da contagem da época.
Acreditamos, do mesmo modo como se deu entre a geometria euclidiana e a não
euclidiana, que o longo intervalo de tempo entre a criação dos conceitos
fundamentais da contagem e a criação do número zero, ocasionou-se devido à
falta dos aspectos intuitivos envolvidos na representação do nada, na
representação da ausência.
8 We accept as evident that through a point outside a line only one parallel may be drawn. We cannot accept intuitively other alternatives, for instance that no parallel can be drawn (the geometry of Riemann) or that an infinity of parallels can be drawn (the geometry of Lobachevsky).
48
Os conhecimentos autoevidentes, pela natureza intuitiva, quando em
interação com os aspectos formais e com os aspectos algorítmicos, podem ter
um papel facilitador da aprendizagem matemática, porém, de acordo com
Fischbein (1993), o que ocorre com frequência é que esses conhecimentos
intuitivos conflitam com os demais aspectos, e ao exercer seu poder coercivo,
levam a erros e à falta de entendimento, criando obstáculos à aprendizagem.
Fischbein (1993) cita um exemplo, obtido a partir de uma série de
entrevistas feitas em um curso de formação de professores. Nesta ocasião, foram
apresentadas duas questões que envolviam proporcionalidade, sendo que na
primeira questão as grandezas eram diretamente proporcionais e na segunda,
inversamente proporcionais. Para um melhor entendimento reproduzimos a
seguir a segunda questão:
Sete trabalhadores terminam certo trabalho em 28 dias. Em quantos dias 5 trabalhadores terminariam o mesmo trabalho (FISCHBEIN, 1993, p. 241, tradução nossa 9)?
Os estudantes afirmaram que se tratava de um problema de proporção, e
escreveram x5
287
= , chegando ao resultado de x =20.
Quando chamados a refletir sobre o resultado, os estudantes perceberam
que haviam errado, afinal de contas, com menos trabalhadores o trabalho
demoraria mais tempo para ser terminado, e não menos tempo, como haviam
calculado. O que ocorreu, neste caso, é que os alunos aplicaram o procedimento
algorítmico de resolução, a despeito das restrições formais e até mesmo da
intuição, ou seja, não houve a interação entre as componentes formais,
algorítmicas e intuitivas. O aspecto algorítmico sobrepôs-se aos demais e
determinou exclusivamente, o caminho (errado) da resolução.
De Souza (2008) apresenta alguns outros exemplos sobre a prevalência
do aspecto algorítmico sobre os demais. Em um deles, afirma que “para a
inequação 252 ≤y , mais de 50% dos alunos extraem a raiz quadrada dos dois
lados e chegam à 5±≤y (procedimento próprio para equações)” (2008, p. 51).
9 Seven workers finish a certain piece of work in 28 days. In how many days will five workers finish the work?
49
Caraça (1978), ao fundamentar suas concepções sobre as dificuldades de
entendimento que podem se apresentar quando do contato com a noção do
infinito, expõe o seguinte exemplo, que reproduzimos:
Seja o triângulo ABC e tiremos ao meio de AB uma paralela A’C’ a AC; sabe-se, da geometria, que o segmento A’C’ tem o comprimento igual à metade do comprimento do segmento AC. Pois, apesar disso, o conjunto, infinito, de pontos A’C’ é equivalente ao conjunto, infinito, de pontos de AC. Para o verificar, basta estabelecer entre esses dois conjuntos uma correspondência biunívoca, do modo seguinte: a cada ponto P de A’C’ faz-se corresponder o ponto M (único) de AC em que AC é encontrado pela reta BP; a cada ponto N de AC faz-se corresponder o ponto Q (único) em que A’C’ é encontrado pela reta NB (CARAÇA, 1978. p. 15)
DESENHO 9. TRIÂNGULO ABC
Para Caraça (1978) “a simples aceitação da possibilidade de repetição
ilimitada de um ato mental exige o abandono de certas verdades fundamentais
cuja evidência a vida de todos os dias impõe” (p. 16)
Neste exemplo, percebemos o conflito entre os aspectos formais e
intuitivos. Como o segmento A’C’ é menor do que o segmento AC, intuitivamente
resistimos ao fato de que possa haver correspondência biunívoca entre seus
pontos. A aceitação ocorre, no entanto, quando, apesar do efeito coercivo
exercido pela intuição, consideramos os aspectos formais da situação, e como
afirma Caraça (1978), abandonamos “certas verdades fundamentais”,
intrinsecamente intuitivas.
A interação entre os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos é bastante
complexa, assim como é complexa a identificação destes aspectos na atividade
matemática, porém, em alguns casos, é possível perceber o conflito entre estas
50
componentes, que acarretam em erros e em falta de compreensão de
determinado assunto.
Acreditamos que, ao promover atividades matemáticas em que a interação
entre os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos esteja presente, possamos
favorecer o processo de aprendizagem dos conceitos envolvidos nesta atividade.
Estudar os conflitos que ocorrem entre as componentes pode subsidiar-nos
quanto à origem dos erros e das dificuldades de aprendizagem.
3.2 DUVAL: REPRESENTAÇÃO, VISÃO E VISUALIZAÇÃO10
Para Duval (1999), embora as pesquisas em Educação Matemática
tenham avançado nos últimos anos, o impacto delas tem sido mais efetivo no
estudo dos currículos e das metodologias em sala de aula do que na investigação
dos processos de aprendizagem em Matemática. As dificuldades deste tipo de
pesquisa originam-se da necessidade de definição de quadro teórico que se
encaixe dentro das restrições epistemológicas específicas da aprendizagem em
Matemática. Isto requer ir além do estudo local dos conceitos matemáticos, assim
como ir além da descrição das atividades em sala de aula.
A representação e a visualização encontram-se no cerne do
entendimento em Matemática e a comparação destes termos nos leva a associar
a representação a uma grande variedade de atividades significativas, como por
exemplo, o modo como a informação é codificada, ao passo que a visualização
parece relacionar-se às imagens e à intuição empírica dos objetos.
Duval (1999) considera três ideias chave na definição de um quadro
teórico que seja capaz de analisar as condições de aprendizagem:
a) O caráter paradoxal do conhecimento matemático.
Em algumas áreas, como a Biologia, por exemplo, a representação refere-
se a algo que existe no mundo real e que pode ser acessado (tocado, visto,
cheirado) diretamente, mas que, em virtude de sua ausência em um determinado
contexto, é representado. Nestes casos, a representação supre a falta do objeto
real. 10 Representation, vision and visualization: cognitve functions in mathematical thinking. Basic issues for learning (tradução nossa)
51
Em Matemática, entretanto, ocorre o contrário. O único modo de acesso
aos objetos é por meio de sua representação, sendo o representado (uma
equação, uma figura geométrica, uma função) inacessível diretamente. O
entendimento em Matemática requer que saibamos fazer a distinção entre essas
duas entidades: a representação e o objeto matemático representado.
b) A ambiguidade do termo “representação”.
Normalmente este termo é usado para referir-se a uma entidade mental,
que pode ser uma imagem, ou algo que não esteja presente no momento e que,
portanto, precisa ser representado. Neste contexto, a ideia de “imagem mental”
conflita-se com os símbolos, que, devido à sua função de comunicação, só
podem ser materiais ou externos ao pensamento. Para Duval (1999), esta é uma
divisão equivocada. Quando referimo-nos às representações, a distinção entre
representação mental e representação externa refere-se ao modo de produção
desta representação e não à natureza de sua forma.
Existem dois tipos de representações cognitivas: aquelas produzidas
intencionalmente pelo uso de algum sistema semiótico e aquelas que são
geradas automaticamente por um sistema orgânico (como sonhos ou imagens
mentais) ou por dispositivos físicos (como reflexos em um espelho ou
fotografias). Tanto no primeiro caso como no segundo, as representações podem
ser mentais ou externas ao pensamento. O que as distingue é o fato de que as
representações produzidas intencionalmente são frutos de uma ação e da
seleção do sistema de representação semiótico, enquanto as representações
automáticas são consequência de alguma ação física do objeto representado
sobre algum sistema orgânico ou alguma ação física sobre um dispositivo físico.
Para Duval (1999), a divisão básica encontra-se, dessa forma, entre as
representações semióticas e as representações físicas e orgânicas.
c) A necessidade de vários sistemas de representação semiótica.
O avanço da aprendizagem em Matemática está associado ao
desenvolvimento dos processos semióticos, derivados dos primeiros modos de
representação: a linguagem natural e as imagens. Da linguagem escrita, derivou-
se a escrita algébrica, que evoluiu até os nossos dias, dando origem à linguagem
formal. Das imagens, desenvolveram-se as figuras planas, as figuras em
52
perspectiva e os gráficos. Cada novo sistema semiótico fornece meios
específicos da representação e ação sobre os objetos, por isso, Duval chamou
estes sistemas de “registros de representação semiótica”.
Existem registros para representação discursiva (língua natural e
linguagem simbólica) e registros para representação não discursiva, por
visualização (gráficos e desenhos entre outros). Tanto para o discurso como para
a visualização, existem dois tipos de estrutura dos registros: estrutura diádica de
significância (língua natural, representação 2D ou representação 3D) e estrutura
triádica de significância (notações, símbolos, linguagem formal, diagramas).
De acordo com Duval (1999), de um ponto de vista didático, o raciocínio
matemático normalmente requer que ativemos dois ou três diferentes registros de
representação semiótica, mesmo quando apenas um registro parece ser
suficiente do ponto de vista matemático.
A falta de entendimento em Matemática pode estar relacionada à falta de
entendimento sobre como funcionam os registros de representação. Para Duval
(1999), um único registro de representação semiótica é incapaz de proporcionar
ao interlocutor todas as propriedades do objeto, pois cada registro apresenta um
modo particular de entendimento e, de acordo com as especificidades do objeto
matemático, um registro de representação pode apresentar-se mais apropriado
do que outro.
Duval (1999) considera a necessidade de distinção entre dois tipos de
operações cognitivas: o tratamento e a conversão. Os tratamentos referem-se às
operações que são feitas dentro de um mesmo registro de representação; e as
conversões são aquelas operações que implicam uma troca de registro (a
tradução da representação do objeto em outro registro).
A resolução de uma equação como ilustrado a seguir, pode servir como
exemplo de um tratamento. As operações foram todas feitas dentro de um
mesmo registro de representação semiótica: o registro algébrico.
( ) ( )
)(7)(4323
)(42324243)(3243
IVxIIIxx
IIxxxxIxx
=+=−
+−++=+−+−+=−
53
TABELA 3. TRATAMENTO DENTRO DE UM REGISTRO ALGÉBRICO
Registro de origem (algébrico) (I) Registro de destino (algébrico) (IV)
3243 +=− xx 7=x
O traçado de um gráfico a partir de uma equação dada (ou vice versa), é
um exemplo de conversão. O registro de origem é o algébrico e o de destino é o
registro gráfico.
TABELA 4. CONVERSÃO DO REGISTO ALGÉBRICO PARA O GRÁFICO
Registro de origem (algébrico) Registro de destino (gráfico)
( ) 02 2 =−x
A conversão de representações é um problema crucial da aprendizagem
matemática, e apesar de alguns estudantes conseguirem aprender alguns
“tratamentos”, de acordo com Duval (1999), poucos conseguem realmente
promover a “conversão” de representações. Muitos equívocos na aprendizagem
são originados desta incapacidade.
A atividade matemática presente na resolução de problema requer a
habilidade de troca de registros, seja porque outra representação dos dados pode
adequar-se melhor ao encaminhamento da solução, seja porque dois registros
precisam atuar juntos, como por exemplos os desenhos e a linguagem.
De um ponto de vista didático, Duval (1999) afirma que apenas os alunos
que conseguem fazer a troca dos registros não confundem o objeto matemático
com a sua representação e vice-versa, conseguindo desta forma, transferir seus
54
conhecimentos matemáticos para um contexto diferente daquele em que se deu
a aprendizagem.
A conversão apresenta dois fatos de grande complexidade, relacionados à
congruência das representações:
a) Qualquer conversão pode ser congruente ou não congruente.
Dissemos que a conversão é congruente quando a representação do registro de
saída é equivalente à representação do registro de destino
TABELA 5. CONVERSÕES CONGRUENTES E NÃO CONGRUENTES
Registro de origem
(língua natural)
Registro de destino
(algébrico)
Conversão
congruente
Antonio tinha 4 figurinhas e
ganhou mais 7 de seu
irmão. Quantas figurinhas
o Antonio tem agora?
1174 =+
Conversão não
congruente
Após uma aposta, Marcos
perdeu 7 bolinhas de gude
e ficou com 4. Quantas
bolinhas de gude Marcos
tinha, antes da aposta?
1174 =+
No primeiro caso (Antonio) a associação é imediata e a tradução do
registro algébrico é literal ao registro em língua natural. As palavras “ganhou” e
“mais” aparecem no registro algébrico por meio da operação de adição. No
segundo caso (Marcos), embora as representações em língua natural e algébrica
sejam equivalentes, não há congruência. A palavra “perdeu” não está associada
à adição.
b) A congruência e a não congruência dependem da direção em que
se dá a conversão. Uma conversão pode ser congruente em um sentido e não
55
ser no outro. Duval alerta sobre o fato de este fenômeno ser ignorado no ensino
da Matemática. A resolução de problemas posposta nos currículos normalmente
propõe a conversão congruente, evitando as situações não congruentes e suas
adversidades, que podem levar às reais dificuldades.
Partindo do princípio que a aprendizagem em Matemática se estabelece
quando os alunos conseguem transferir e utilizar seu conhecimento em contextos
diferentes daqueles em que se deu a aprendizagem, Duval (1999) sugere, que na
elaboração de atividades matemáticas, proponham-se exercícios em que seja
necessária a conversão em dois sentidos, de um registro de representação A
para um registro de representação B, e deste registro de representação B para o
registro de representação A.
Além disso, os exercícios devem contemplar casos de congruência e de
não congruência nas conversões. Esta coordenação entre os registros permite
aos alunos observarem diferentes representações do mesmo objeto matemático,
possibilitando-lhes o estabelecimento de conexões entre estas diferentes
representações.
Duval (1999) refere-se à duas funções cognitivas fundamentais: a função
epistemológica e a função sinóptica.
A função epistemológica está relacionada ao acesso direto a qualquer
objeto físico e a função sinóptica relaciona-se à apreensão simultânea de vários
objetos em um campo mais amplo.
A visão não consegue cumprir ambas as funções, primeiramente porque,
considerando o aspecto epistemológico, o acesso direto aos objetos não é por si
só capaz de produzir sua representação semiótica, e segundamente, ao
considerar o aspecto sinóptico, embora vivamos em um mundo tridimensional, só
vemos um lado das coisas de cada vez. A visão simultânea exigiria a
movimentação do observador ou do objeto que está sendo visto.
Diante da impossibilidade da visão em cumprir as funções
epistemológicas e sinópticas, Duval (1999) distingue-a da visualização, esta sim
responsável pela produção de uma representação semiótica a partir da
organização das relações entre as unidades representacionais, não acessíveis ao
primeiro olhar.
56
Para que se dê a visualização em diferentes registros, de acordo com
Duval (1999), é necessário que se considerem as limitações e restrições deste
registro, a fim de que se produzam e se relacionem estas unidades
representacionais em busca do entendimento sobre o objeto representado. Do
ponto de vista didático, três aspectos devem ser levados em conta sobre a
visualização: a discriminação, o tratamento e a coordenação com o registro
discursivo.
Ao considerarmos a discriminação, percebemos que, para alguns alunos,
existe uma deficiência heurística na interpretação geométrica da visualização.
Algumas figuras geométricas, de acordo com o problema apresentado, podem
oferecer uma grande quantidade de possibilidades de configuração, porém a
configuração que oferece apoio heurístico nem sempre é aquela percebida à
primeira vista.
Percebemos, durante o período em que fazíamos o curso de Licenciatura
em Matemática, que alguns alunos, embora conseguissem obter os gráficos
bidimensionais em diferentes alturas do espaço tridimensional, não conseguiam
visualizar a representação da figura tridimensional correspondente. A visão dos
gráficos, neste caso, não foi suficiente para a criação da representação da figura.
A visualização, que não se manifestou, poderia provocar o relacionamento dos
gráficos e a criação da representação em três dimensões.
DESENHO 10. SOBREPOSIÇÃO DE GRÁFICOS BIDIMENSIONAIS
57
Para Duval (1999), esta deficiência heurística está relacionada à falta de
habilidade dos estudantes em ir além da visão inicial apresentada, e questiona se
estas limitações se devem ao modo como os alunos são ensinados, ou a algum
modo por meio do qual a cognição opera.
Ao analisar o tratamento, verificamos que a existência de vários registros
de representação apresenta a possibilidade de optar pelos caminhos mais
adequados a fim de que se atue em cada registro. Se uma figura geométrica
pertence a um registro, devemos obter o melhor modo de atuar neste registro,
como meio de realizar as transformações necessárias na figura, de forma que
possamos, ao final e após este processamento, beneficiar-nos das propriedades
heurísticas da figura. Duval (1999) distingue três tipos de operação:
a) Mereológica: consiste em dividir o todo em partes e recombinar
estas partes, transformando a figura inicial em outra figura, que eventualmente
pode ser mais apropriada à resolução do problema proposto
b) Óptica: baseia-se no aumento ou diminuição das formas da figura,
sem no entanto, modificá-la;
c) Local: resume-se em alterar a orientação da figura no plano. Esta
operação afeta principalmente o reconhecimento de ângulos retos,
tradicionalmente desenhados por uma reta horizontal e uma reta vertical.
Estas transformações, quando operadas, individualmente ou por meio de
combinações, podem proporcionar às figuras geométricas sua função heurística.
Duval (1999) chama este fenômeno de apreensão operatória e distingue-a da
apreensão perceptiva (que fixa a imagem inicial da figura e a conserva inalterada)
e da operação discursiva.
A apreensão operatória é capaz de criar uma sequência de figuras a partir
de uma figura inicial, apresentada como ponto de partida e captada pela
apreensão perceptiva. Desta sequência, pode surgir alguma figura que apresente
propriedades heurísticas úteis à resolução do problema apresentado.
Para Duval (1999), existe uma concepção equivocada de que o que é
simples do ponto de vista matemático também é simples do ponto de vista
58
cognitivo. O que ocorre, na verdade, é que os objetos de estudo somente tornam-
se simples ao final da aprendizagem. Um ponto de partida no estudo dos
processos de ensino e de aprendizagem deve levar em consideração as
consequências desta falsa autoevidência.
Concordamos com Fischbein (1993) quanto à necessidade de interação
entre as componentes formais, algorítmicas e intuitivas na atividade matemática,
para que se dê a aprendizagem. Partindo deste princípio, ao conceber as
atividades que serão executadas pelos sujeitos desta pesquisa, procuramos
contemplar estes três aspectos. Como já dissemos anteriormente, essa interação
é bastante complexa, porém, apesar disso, acreditamos que, ao mediar algumas
atividades por um modelo de representação tridimensional, estejamos priorizando
a componente intuitiva da atividade, ao passo que nas atividades orientadas para
a montagem estejamos reforçando a componente algorítmica, e finalmente, ao
solicitar as justificativas da montagem, seja a componente formal a ser priorizada.
Na verdade, essa nossa crença somente poderá ser comprovada após a
análise dos protocolos.
Esperamos, ao analisar estes dados, à luz da abordagem proposta por
Fischbein (1993):
a) verificar se as atividades promoveram a interação entre as
componentes formais, algorítmicas e intuitivas,
b) verificar se houve a evolução dos saberes dos alunos com relação aos
conceitos envolvidos na representação de superfícies quádricas.
Orientados pela leitura de Duval (19990, em concordância com as suas
ideias sobre a necessidade de que os alunos desenvolvam a aprendizagem em
pelo menos dois diferentes registros de representação semiótica, e que saibam
coordenar a mudança entre estes registros, proporemos algumas atividades que
contemplem estas condições e, ao observar a realização destas atividades, e ao
analisar os protocolos obtidos:
a) verificar se os alunos conseguem desenvolver a visualização sobre as
quádricas, e a partir deste desenvolvimento, estabelecer relações entre as
unidades representacionais em busca da aprendizagem deste conteúdo;
59
b) verificar se os alunos conseguem fazer a representação das superfícies
quádricas em diferentes registros de representação semiótica, efetuando
tratamentos e conversões entre estes registros, nos dois sentidos, de ida e de
volta.
60
CAPÍTULO 4: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Nosso trabalho prevê uma intervenção junto a um grupo de, no máximo,
20 alunos do último ano do curso de Licenciatura em Matemática, que
trabalharão em forma de duplas durante os encontros.
Após obtermos a autorização do Conselho de Ética da UNIBAN, assim
como da universidade onde pretendemos que se realize a pesquisa, faremos o
convite aos alunos, informando-lhes que se trata de uma atividade de caráter
investigativo, ligada à linha Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas
Inovações, do programa de Mestrado em Educação Matemática da UNIBAN-SP
e que, embora possa caracterizar-se como uma forma de aprendizagem, a
participação nas atividades é voluntária. Procuraremos deixar claro aos alunos
que suas identidades, assim como da instituição de ensino, serão mantidas em
sigilo e que os resultados da pesquisa, aos quais terão pleno acesso, não
afetarão os conceitos ou notas de qualquer disciplina.
Também informaremos aos alunos que os protocolos e as eventuais
gravações de áudio e de vídeo obtidos nos encontros serão utilizados
exclusivamente como instrumento de análise, e que será necessário, aos que
queiram participar da pesquisa, que assinem o Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido (ver ANEXO A – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E
ESCLARECIDO).
A intervenção que faremos junto aos alunos participantes da pesquisa
consiste em uma sequência de atividades, previstas para ocorrer em seis
encontros de 50 minutos cada, fora do horário de aula.
Pretendemos, por meio destas atividades, promover a mobilização das
componentes formais, algorítmicas e intuitivas (Fischbein, 1993) envolvidas na
representação de algumas superfícies quádricas, assim como, apresentar
situações que impliquem a utilização de diferentes registros de representação
semiótica das superfícies quádricas, envolvendo tratamentos e conversões
(Duval, 1999).
As atividades ocorrerão de acordo com o seguinte roteiro:
61
1º Encontro: seção de apresentação e resolução de um questionário com
revisão sobre circunferências (ver APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO DE REVISÃO
SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS).
2º Encontro: institucionalização, correção conjunta do questionário sobre
as circunferências.
3º, 4º, 5º e 6º Encontros: atividades com a utilização do modelo de
representação tridimensional (APÊNDICE B - ATIVIDADES COM O MODELO DE
REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL).
Descreveremos a seguir, de forma detalhada, cada uma das etapas
previstas no cronograma.
4.1 QUESTIONÁRIO DE REVISÃO SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS
As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das
cônicas do plano. Em outras palavras, o corte de uma superfície quádrica pode
ser representado por uma cônica, seja ela uma circunferência, uma elipse, uma
parábola ou uma hipérbole.
Em nosso projeto, a fim de que não houvesse tantos pré-requisitos, como
por exemplo, a necessidade de que os sujeitos dominassem os conceitos
relativos às cônicas, optamos por apresentar-lhes exclusivamente as quádricas
obtidas por revolução em torno de um eixo, ou seja, as quádricas que podem ser
obtidas pela superposição de circunferências.
Considerando que os sujeitos de nossa pesquisa são alunos do 3º ano do
curso de Licenciatura em Matemática, que os conteúdos relativos às
circunferências são objeto de estudo do Ensino Médio e que (de acordo com a
grade curricular da universidade onde realizaremos a pesquisa) a disciplina de
Geometria Analítica é ministrada no 2º ano, acreditamos que o conhecimento
sobre as circunferências seja de domínio da maioria dos participantes.
A fim de certificarmo-nos disto, iremos propor um questionário envolvendo
algumas questões sobre circunferências (ver APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO
DE REVISÃO SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS).
62
Chamamos as atividades contidas neste questionário de “tarefas de
reconhecimento”, tendo em vista que o nosso objetivo com a aplicação do
questionário é verificar se os sujeitos sabem reconhecer e representar
graficamente uma circunferência por meio de sua expressão algébrica, assim
como verificar se são capazes de, a partir da representação gráfica da
circunferência, chegar à sua representação algébrica.
A análise das respostas obtidas por meio deste questionário irá subsidiar-
nos quanto à necessidade de uma etapa adicional de institucionalização sobre
este conteúdo matemático específico.
Apresentamos nos próximos parágrafos as questões que serão propostas,
e nossos objetivos, em cada uma delas:
4.1.1 Questão 1
Solicitamos aos sujeitos que façam a associação entre a representação
gráfica de uma circunferência e a sua respectiva representação algébrica.
Gostaríamos, dessa forma, de verificar se os participantes são capazes de
realizar a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Acreditamos que a análise das eventuais respostas possa levar-nos a
verificar se os sujeitos dominam os seguintes conceitos básicos sobre algumas
das características da expressão algébrica de uma circunferência:
• A expressão algébrica de uma circunferência sempre pode ser
reduzida a uma soma de quadrados. Algumas das alternativas não
apresentam esta característica e deveriam ser descartadas, como por
exemplo:
922 =− yx (item 1a)
222 =− yx (item 1b)
• Uma soma de quadrados sempre resultará em um número maior ou
igual à zero. Algumas das alternativas não apresentam esta
característica e deveriam ser descartadas, como por exemplo:
63
422 −=− yx (item 1b)
( ) ( ) 932 22 −=++− yx (item 1c)
• Na expressão algébrica reduzida de uma circunferência, os
coeficientes das incógnitas 2x e 2y são iguais. Algumas das
alternativas não apresentam esta característica e deveriam ser
descartadas, como por exemplo:
93 22 =+ yx (item 1b)
932
22
=+yx (item 1c)
• Quando reduzidas à forma ( ) ( ) 222 cbyax =−+− , as coordenadas do
centro são dadas por C (a, b), e o comprimento do raio é dado pelo
valor de c. Algumas das alternativas não apresentam esta
característica e deveriam ser descartadas, como por exemplo:
322 =+ yx (item 1a – de acordo com o gráfico o raio é 3 e não 3 )
222 =+ yx (item 1b – de acordo com o gráfico o raio é 2 e não 2 )
( ) ( ) 932 22 =−++ yx (item 1c – de acordo com o gráfico as coordenadas
do centro são (2, -3) e não (-2, 3)
Quando dizemos que algumas das alternativas devem ser descartadas,
acreditamos que os sujeitos que tenham desenvolvido a aprendizagem sobre as
circunferências o façam de forma rápida. Assim, determinamos um tempo
bastante limitado para que respondam a cada uma das questões (em torno de 2
minutos por item, 6 minutos ao todo).
4.1.2 Questão 2
64
Em um sentido oposto à conversão que se propôs na Questão 1,
solicitamos aos sujeitos que associem a representação algébrica de uma
circunferência à sua representação gráfica.
Esperamos verificar nesta etapa se os sujeitos conseguem rapidamente
associar a expressão na forma ( ) ( ) 222 cbyax =−+− às coordenadas do centro e
ao comprimento do raio. Apresentamos duas expressões, uma da quais
corresponde à uma circunferência com centro na origem (2a) e a outra com
centro fora da origem (2b), no ponto C (-3, 2). Assim como na Questão 1,
limitamos o tempo de resposta (2 minutos para cada item, 4 minutos ao todo).
4.1.3 Questão 3
Nesta etapa, solicitamos aos participantes que associem a representação
gráfica de algumas circunferências à sua descrição em língua natural.
Uma das circunferências apresenta o centro sobre a origem, outra
apresenta o centro sobre um dos eixos ordenados (eixo das abscissas) e outras
duas apresentam o centro em pontos que não estão nem na origem e nem em
um dos eixos ordenados.
Esperamos verificar se os sujeitos da pesquisa conseguem extrair da
representação gráfica duas informações básicas sobre as circunferências: as
coordenadas do centro e o comprimento do raio.
Da mesma forma que nas questões anteriores, acreditamos que os
sujeitos que tenham desenvolvido aprendizagem sobre este conteúdo devam, de
forma rápida, apontar as alternativas que correspondam à descrição correta da
circunferência, por isso também limitamos o tempo de resposta (1 minuto para
cada item, 4 minutos ao todo).
4.1.4 Questão 4
Nesta questão apresentamos algumas expressões algébricas e
solicitamos aos sujeitos que façam a associação destas com a respectiva
descrição. De forma análoga ao que foi proposto na Questão 3, gostaríamos de
verificar se os participantes são capazes de fazer a conversão, neste caso, da
representação algébrica para a representação em língua natural e se
65
conseguem, a partir das expressões algébricas que representam circunferências,
deduzir as informações sobre o centro da circunferência e o comprimento do raio.
Além disso, gostaríamos de verificar se os sujeitos conseguem, por meio
da análise da expressão, inferir algumas das características básicas da
representação algébrica das circunferências, ou seja:
• A expressão algébrica de uma circunferência sempre pode ser
reduzida à uma soma de quadrados. A expressão apresentada no item
4a contraria esta regra, portanto não pode corresponder à uma
circunferência:
( ) ( ) 1635 22 =+−− yx
• Na expressão algébrica de uma circunferência, os coeficientes das
incógnitas 2x e 2y são iguais. A expressão apresentada no item 4c
contraria esta regra, portanto não pode corresponder à uma
circunferência:
( ) 632 22 =++ yx
Limitamos o tempo de resposta à 2 minutos para cada item, 8 minutos ao
todo.
4.2 INSTITUCIONALIZAÇÃO
Considerando que nossa pesquisa relaciona-se à representação de
superfícies quádricas e que o corte das superfícies quádricas que escolhemos
estudar corresponde a circunferências, é fundamental, a fim de que possamos
desenvolver as próximas atividades, que os participantes tenham desenvolvido
aprendizagem sobre os conceitos envolvidos na representação das
circunferências.
Acreditamos que a análise das respostas ao questionário aplicado
previamente possa certificar-nos disso. Entendemos, no entanto, que, caso se
faça necessário, devamos fazer um fechamento sobre as questões levantadas no
66
questionário, como forma de universalizar os conceitos abordados entre todos os
sujeitos, dando a estes conceitos o estatuto de saber, visto que não dependem
de convicções subjetivas ou valores individuais, eventualmente atribuídos pelos
participantes.
Dessa forma, dependendo do aproveitamento obtido pelos sujeitos,
propomos que seja feita uma discussão, mediada pelo professor pesquisador,
sobre as questões apresentadas no questionário, objetivando a
institucionalização dos conteúdos matemáticos envolvidos.
4.3 ATIVIDADES COM MODELO DE REPRESENTAÇÃO
Após as tarefas de reconhecimento e eventual institucionalização,
propomos que os sujeitos sejam divididos em duplas, a fim de que desenvolvam
as próximas atividades, utilizando o modelo de representação gráfica
tridimensional como um dos recursos didáticos (ver APÊNDICE B - ATIVIDADES
COM O MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL).
Descrevemos a seguir cada uma dessas atividades, assim como, nossas
expectativas quanto à reação dos sujeitos e quanto às respostas que estes
possam eventualmente apresentar.
4.3.1 Atividade 1
Apresentamos aos sujeitos da pesquisa três modelos de representação
tridimensional, montados por meio da sobreposição de transparências (ver
descrição da montagem no CAPÍTULO 2: UM MODELO DE REPRESENTAÇÃO
TRIDIMENSIONAL).
No modelo 1 as transparências apresentam circunferências com o mesmo
comprimento de raio, cujos centros localizam-se numa reta não perpendicular ao
plano da base, representando um cilindro oblíquo.
No modelo 2 as transparências apresentam circunferências de mesmo
comprimento de raio, porém seus centros localizam-se sobre uma curva,
diferentemente do modelo 1
com
plan
meio
repre
cons
pess
mod
parti
obje
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expr
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No mod
primentos
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Nos iten
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solicitamos
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que form
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entam circ
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nível a
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modelo
ceber e
ara que
ossuem
que as
7
68
que formam o modelo 3 possuem circunferências com diferentes
comprimentos de raio
2. As transparências que formam os modelos 1 e 3 possuem
circunferências cujos centros localizam-se sobre uma reta, enquanto
que as transparências que formam o modelo 2 têm os centros
localizados sobre uma curva
3. As transparências que formam os modelo 1 possuem circunferências
cujos centros localizam-se sobre uma reta oblíqua ao plano da base,
enquanto que as centros das circunferências do modelo 3 localizam-se
sobre uma reta perpendicular ao plano da base
4. A localização em que a transparência é montada pode determinar a
forma do objeto tridimensional. A mudança da transparência de lugar
pode formar a representação de um objeto tridimensional diferente do
original
5. A distância entre as transparências pode determinar a
representação de diferentes objetos tridimensionais. Por exemplo,
poderíamos utilizar as mesmas 11 transparências para representar
tanto a equação 25222 =++ zyx , que é uma circunferência, quanto a
equação 259
222 =++
zyx , que é um elipsóide, bastando para isso
alterar o tamanho dos espaçadores que são colocados entre uma
transparência e outra
Alem disto, esperamos, pela análise das descrições, verificar se os
sujeitos são capazes de, além de usar a percepção visual, buscar dados
adicionais nas representações e organizar as relações entre estes dados, a fim
de criar uma representação semiótica das figuras representadas, e se são
capazes de fazer a conversão do registro gráfico para o registro figural, e deste
para o registro discursivo.
69
4.3.2 Atividade 2
Nesta etapa, recolhemos os modelos montados e entregamos a cada um
dos grupos 11 transparências impressas com representações gráficas de
circunferências com comprimentos de raio entre os valores inteiros de zero a 10
unidades. Além desse material, os grupos receberão hastes e espaçadores de
mesma altura, ambos feitos de canudos de refrigerante a fim de que
sobreponham as transparências (ver descrição da montagem no CAPÍTULO 2:
UM MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL).
Em seguida, no item 2.1, solicitamos que montem as transparências nas
hastes, escolhendo livremente o raio e a posição em que devem colocá-las, de
forma que fiquem sobrepostas umas às outras e igualmente espaçadas entre si.
Também solicitamos que os sujeitos justifiquem sua escolha, por escrito, quanto
ao tamanho da circunferência e quanto à ordem da montagem (item 2.2).
Terminada a montagem e a redação das justificativas, propomos uma discussão
entre os grupos, a fim de que compartilhem as ideias surgidas durante a
atividade.
É preciso deixar claro aos sujeitos que, nesta etapa, a justificativa que se
pede não é formal, tampouco deve obrigatoriamente ser apoiada em princípios
lógicos. Esperamos justificativas simples, como por exemplo “montamos da
menor para a maior”, ou “montamos as menores no meio e as maiores nas
extremidades”, ou até mesmo “montamos aleatoriamente”. Acreditamos que este
tipo de justificativa, por escrito, servirá para que os sujeitos exercitem a
visualização (Duval, 1999), além de promover a interação entre a componente
intuitiva (conhecimentos aceitos sem necessidade de demonstrações ou provas)
e a componente algorítmica (montagem) do objeto representado (Fischbein,
1993).
Esperamos nesta etapa que os sujeitos por si mesmos percebam a
potencialidade dos modelos tridimensionais para a representação de figuras
tridimensionais e que a escolha dos raios das circunferências e das posições em
que devem ser montadas podem gerar diferentes representações destas figuras.
Para verificar isso, perguntamos, no item 2.3, se os sujeitos acham
possível criar a representação de outro sólido a partir das mesmas 11
transparências.
70
4.3.3 Atividade 3
No item 3.1, solicitamos aos sujeitos que montem, a partir das 11
transparências que lhes serão entregues, a representação tridimensional
correspondente à expressão algébrica zyx =+ 22 , para os valores inteiros de z =
0 até z = 10.
Como nesta etapa as transparências apresentarão a indicação da cota z e
a indicação do comprimento do raio, acreditamos que os sujeitos não terão
dificuldade na montagem do modelo. Basta que coloquem a transparência com
indicação z = 0 em primeiro lugar, z = 1 em segundo lugar, e assim por diante,
respeitando o espaçamento implícito.
No item 3.2, esperamos verificar se os sujeitos conseguem estabelecer a
relação entre o aumento linear do parâmetro z (0, 1, 2, 3, ... , 10) e o aumento
não linear do comprimento do raio da circunferência.
O item 3.3 foi proposto a fim de verificar se os participantes conseguem
traçar, a partir da representação tridimensional, as curvas de nível
correspondentes, no plano cartesiano formado pelos eixos x e y. Acreditamos
que esta capacidade possa colaborar com o desenvolvimento da visualização.
4.3.4 Atividade 4
No item 4.1, solicitamos aos participantes que montem a representação
tridimensional de uma superfície quádrica, a partir de suas curvas de nível, que
são apresentadas em um plano cartesiano. Esperamos verificar por meio desta
atividade se são capazes de representar tridimensionalmente uma superfície
quádrica partindo de sua representação em duas dimensões.
No item 4.2, solicitamos que os sujeitos façam a descrição da figura obtida,
que neste caso é um elipsóide.
Esperamos, por meio da análise destas descrições, verificar se os sujeitos
conseguem realizar a conversão entre a representação tridimensional e o registro
em língua natural. Com isso esperamos aferir quais as propriedades formais os
participantes conseguem descrever. Acreditamos que esta análise pode indicar-
nos se houve a “visualização” da figura representada ou apenas a “visão” do
objeto concreto.
71
4.3.5 Atividade 5
Consideramos esta etapa como uma preparação para a atividade final.
Apresentamos a expressão algébrica 222 10 zyx +=+ e solicitamos aos sujeitos
que analisem o comportamento do comprimento do raio da circunferência em
função da mudança do parâmetro z.
Para tal, no item 5.1, sugerimos que façam variar o valor de z entre valores
inteiros de -4 a 4 e que registrem as informações em uma tabela.
Em seguida, os sujeitos serão solicitados a analisar os valores obtidos e
procurar estabelecer relações entre z e o comprimento do raio.
No item 5.2, perguntamos aos participantes qual a relação entre o valor de
z e o raio da circunferência. Ao propor esta pergunta, esperávamos verificar se os
sujeitos conseguiriam traduzir em palavras a relação algébrica que usaram para
completar a tabela do item 5.1.
Nos itens 5.3 e 5.4, perguntamos aos sujeitos se é possível que em algum
dos cortes da figura dada pela expressão algébrica 222 10 zyx +=+ existam
circunferências com raio 4,5 (item 5.3) e com raio 2,5 (item 5.4). Gostaríamos de
verificar se os participantes são capazes de perceber que, embora possamos
atribuir qualquer valor ao parâmetro z , o menor comprimento do raio possível é
igual à 10
4.3.6 Atividade 6
Nesta última atividade, entregamos 11 transparências impressas e
apresentamos a representação algébrica de uma superfície quádrica. No item
6.1, solicitamos aos sujeitos que esbocem as curvas de nível correspondentes,
em um plano cartesiano.
No item 6.2, solicitamos aos sujeitos que montem uma representação
tridimensional da figura, a partir da expressão algébrica, e (item 6.3) que a
descrevam em linguagem natural.
Esperamos verificar, nesta etapa final, se os participantes familiarizaram-
se com os modelos tridimensionais e com isso conseguiram relacionar os
diversos registros e organizar as relações entre as unidades representacionais.
72
Gostaríamos de analisar as descrições apresentadas nesta etapa e compará-las
com as descrições que foram feitas nas etapas anteriores, a fim de verificar se
houve alguma evolução quanto ao registro discursivo e quanto à capacidade de
visualização.
73
CAPÍTULO 5: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
5.1 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO DE REVISÃO SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS
Conforme previsto no CAPÍTULO 4: PROCEDIMENTOS
METODOLÓGICOS, após obter a aprovação da Comissão de Ética da UNIBAN
para pesquisas com seres humanos (ver ANEXO B – PARECER DA COMISSÃO
DE ÉTICA), procuramos alguns alunos de um curso de Licenciatura em
Matemática que estivessem cursando o último ano e que concordassem em
participar como sujeitos de nossa pesquisa.
Nessa procura, tivemos contato com a professora coordenadora de um
curso de Licenciatura em Matemática, por meio da qual fomos apresentados a
uma turma do 3º ano.
Falamos aos alunos sobre nossa pesquisa e sobre os trabalhos que se
desenvolvem no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
UNIBAN, assunto que despertou a atenção dos alunos, visto que boa parte
pretende dar prosseguimento aos estudos assim que terminar a graduação, seja
em cursos de Especialização, seja em um curso de Mestrado.
Após estes esclarecimentos, distribuímos o Termo de Consentimento Livre
e Esclarecido (ver ANEXO A – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E
ESCLARECIDO) para que os alunos lessem e, caso concordassem, assinassem
e nos devolvessem. Neste primeiro contato, recebemos quatorze termos
assinados. Em outra reunião, receberíamos o décimo quinto, de um aluno que no
primeiro contato não pode comparecer à aula, mas que compareceu às demais
atividades previstas em nossa pesquisa.
Aproveitamos a oportunidade e falamos aos alunos sobre um dos pré-
requisitos de nossa pesquisa, sobre a necessidade de que tivessem desenvolvido
a aprendizagem sobre as circunferências. Informamos que havíamos
desenvolvido algumas questões, que chamamos de “tarefas de reconhecimento”,
por meio das quais esperávamos verificar se saberiam reconhecer e representar
graficamente uma circunferência por meio de sua expressão algébrica, assim
como verificar se seriam capazes de, a partir da representação gráfica da
circunferência, chegar à sua representação algébrica.
74
Explicamos aos sujeitos que as tarefas apresentadas no questionário eram
objetivas e que eles teriam um tempo limitado para respondê-las. A fim de que
fosse evitado algum eventual constrangimento relacionado a esta restrição,
informamos aos participantes que pretendíamos verificar, por meio de uma
resposta rápida, se os conhecimentos sobre as circunferências estavam
disponíveis entre os saberes matemáticos que haviam desenvolvido ao longo de
sua vida acadêmica, ou em outras palavras, usando um termo de uso comum, se
estes conhecimentos “estavam à mão”, prontos para serem usados quando
necessário e que por este motivo, limitaríamos o tempo que teriam para
responder as questões. Os sujeitos demonstraram compreender nossa
argumentação e concordaram em responder o questionário, sem apresentar
objeções quanto à questão da limitação do tempo.
Na verdade, no decorrer da aplicação do questionário, verificamos que o
tempo que prevíamos para cada uma das questões foi suficiente, não sendo
necessário, em nenhuma ocasião, interromper qualquer dos participantes. Todos
entregaram as atividades no tempo previsto.
Apresentamos a seguir uma análise de como foi o desempenho dos
sujeitos nesta atividade e quais foram os pontos que consideramos necessários
abordar na atividade de institucionalização prevista, antes da aplicação das
atividades com o modelo de representação tridimensional.
5.1.1 Questão 1
Nesta questão, apresentamos três representações gráficas de
circunferências e cinco expressões algébricas para cada uma. Solicitamos aos
participantes que indicassem qual das expressões corresponderia ao gráfico.
Estimamos que levariam no máximo seis minutos para responder os três itens
desta questão.
No item 1A, apresentamos o gráfico de uma circunferência com centro em
C (0, 0) e raio igual a 3 unidades (ver DESENHO 12).
75
DESENHO 12. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (0,0) E RAIO 3
Ao analisar as respostas, verificamos que oito participantes indicaram
corretamente a expressão 922 =+ yx , quatro participantes apontaram a
expressão 322 =+ yx , e dois participantes apontaram a expressão 322 =− yx .
No item 1B, apresentamos o gráfico de uma circunferência com centro em
C (0, 0) e raio igual a 2 unidades (ver DESENHO 13).
DESENHO 13. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (0,0) E RAIO 2
Neste item, dez participantes indicaram corretamente a expressão
422 =+ yx , três participantes apontaram a expressão 222 =+ yx , e um
participante apontou a expressão 222 =− yx .
76
No item 1C, apresentamos o gráfico de uma circunferência com centro em
C (2, -3) e raio igual a 3 unidades (ver DESENHO 14).
DESENHO 14. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (2, 3) E RAIO 3
Verificamos, após a análise das respostas, que oito participantes
indicaram corretamente a expressão ( ) ( ) 932 22 =++− yx , três participantes
apontaram a expressão ( ) ( ) 932 22 =−++ yx , dois participantes apontaram a
expressão ( ) ( ) 932 22 −=++− yx e um participante apontou a expressão
( ) ( ) 332 22 =++− yx .
Conforme descrevemos no CAPÍTULO 4: PROCEDIMENTOS
METODOLÓGICOS, com a Questão 1 nossa intenção é verificar se os sujeitos
são capazes de realizar a conversão entre o registro gráfico e o registro
algébrico, e avaliar se dominam alguns conceitos básicos sobre algumas das
características da relação entre a expressão algébrica e o gráfico de uma
circunferência.
A análise das respostas mostra-nos que, em média, 62% das questões
foram respondidas corretamente, embora não possamos dizer que 62% dos
sujeitos responderam corretamente. Como veremos, houve casos em que um
participante respondeu erroneamente um item para logo em seguida, numa
situação similar, responder corretamente.
77
Quanto aos erros, chamou-nos a atenção o fato de que em 29% das
alternativas apontadas no item 1A, em 21% das alternativas apontadas no item
1B e em 7% das alternativas apontadas no item 1C, a expressão algébrica, que
deveria estar na forma 222 ryx =+ apresentava-se incorretamente como
ryx =+ 22 (sem que o raio estivesse elevado ao quadrado). Em nossa opinião,
tendo em vista o poder coercivo que o aspecto intuitivo pode exercer em uma
atividade matemática, é compreensível que o comprimento do raio e o valor
numérico apresentados na equação sejam associados um ao outro diretamente,
sem transformações. Diante do gráfico de uma circunferência que possua o
comprimento do raio igual a 3, um participante pode intuitivamente associar esta
circunferência à expressão 322 =+ yx , como efetivamente ocorreu no
questionário que aplicamos.
Isto parece mostrar, entretanto, a falta de compreensão das propriedades
formais que definem uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos do
plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência.
Neste caso, o raio é dado pela hipotenusa de um triângulo retângulo e as
medidas dos catetos correspondem, respectivamente, à distância entre as
abscissas e as ordenadas de um ponto qualquer da circunferência e as abscissas
e as ordenadas do centro. Se os sujeitos que responderam incorretamente esta
questão tivessem desenvolvido a aprendizagem dos aspectos formais envolvidos
na representação algébrica de uma circunferência, poderiam verificar que é
possível utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento do raio em
função da soma dos quadrados dos catetos. Assim, o raio deveria estar elevado
ao quadrado, conforme a equação ( ) ( ) ( )222 CPyyxx cpcp =−+− .
78
DESENHO 15. TRIÂNGULO RETÂNGULO XPPC
No item 1C, observamos que três participantes associaram o gráfico de
uma circunferência de centro no ponto C (2,-3) e raio 3 à expressão algébrica
( ) ( ) 932 22 =−++ yx . De um ponto de vista que considere aspectos intuitivos,
também consideramos compreensível este erro. Afinal, a associação é direta.
Como no gráfico o centro possui abscissa 2 e ordenada -3, e como na expressão
o valor que está junto com x dentro do parênteses é 2 e o que está junto com y é
-3, intuitivamente os sujeitos fizeram a associação entre o gráfico e a expressão.
Este erro pode indicar uma falha na aprendizagem, quanto à validação de
aspectos intuitivos por aspectos formais que definem as coordenadas do centro
da circunferência na expressão algébrica. O comprimento do raio da
circunferência relaciona-se com o comprimento dos catetos, cujas medidas são
determinadas pela distância entre as abscissas e as ordenadas de um ponto
qualquer da circunferência e as abscissas e as ordenadas do centro da
circunferência. Caso os participantes que responderam incorretamente inter-
relacionassem os aspectos intuitivos e formais, poderiam ter inferido que estes
módulos não correspondem a uma soma, mas sim a uma diferença. O cateto
horizontal corresponde ao módulo da diferença entre a abscissa de um ponto P
qualquer da circunferência e a abscissa do centro ( )cp xx − , e o cateto vertical, ao
módulo da diferença entre a ordenada de um ponto P qualquer da circunferência
e a ordenada do centro ( )cp yy − .
79
DESENHO 16. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (XC, YC) E RAIO CP
Observamos outro erro, presente em 14 % das alternativas apontadas no
item 1A e em 7% das alternativas apontadas no item 1B, que consistiu em indicar
uma subtração de quadrados como equação correspondente à representação
gráfica dada. Assim como no erro que comentamos anteriormente, sobre a
indicação do raio, acreditamos que estes erros podem indicar uma falta de
entendimento quanto às propriedades formais que definem uma circunferência e
que, sendo o comprimento do raio determinado pelas relações do teorema de
Pitágoras, a expressão algébrica deva apresentar uma soma de quadrados e não
uma subtração.
Ao responderem o item 1C, dois participantes indicaram que a expressão
algébrica ( ) ( ) 932 22 −=++− yx corresponderia à representação gráfica dada,
sem atentarem ao fato da impossibilidade de que existam, dentro do campo real,
valores de x e y que tornem a expressão verdadeira. Sendo uma soma de
quadrados, independentemente do valor numérico das variáveis x e y, o resultado
será sempre maior ou igual zero, nunca negativo.
Ao analisar pontualmente o desempenho dos sujeitos nesta questão,
conseguimos observar algumas regularidades quanto ao tipo de erro cometido e
algumas incoerências quanto ao padrão de resposta, como descrevemos a
seguir.
80
Os participantes, que aqui identificaremos como sujeitos 6, 7 e 12,
cometeram o mesmo erro no item 1A e no item 1B, ao associar a expressão
algébrica ryx =+ 22 (sem que o raio estivesse elevado ao quadrado) à
circunferência dada. O padrão de suas respostas parece demonstrar que para
esses três sujeitos a expressão algébrica indica o raio da circunferência e não o
raio ao quadrado. Apesar disto, ao responderem o item 1C (em que o centro da
circunferência encontrava-se fora da origem do sistema cartesiano), os três o
fizeram de forma acertada.
O sujeito 2, embora tenha cometido o mesmo erro dos sujeitos 6, 7 e 12
no item 1A, respondeu corretamente o item 1B e errou o item 1C, ao indicar a
expressão ( ) ( ) 932 22 −=++− yx , em que a soma dos quadrados resulta em um
valor negativo.
O sujeito 13 cometeu um erro duplo, tanto no item 1A como no item 1B.
Primeiramente associou uma subtração de quadrados à equação da
circunferência dada, quando na verdade deveria associar uma soma. Além disso,
as alternativas apontadas por este sujeito apresentam o valor que corresponderia
ao raio sem que estivesse elevado ao quadrado. Este mesmo erro foi observado
na resposta deste sujeito para o item 1C, no qual, apesar de ter associado uma
soma de quadrados à circunferência dada, não considerou que na equação o raio
deveria estar elevado ao quadrado.
Os sujeitos 9, 10 e 14 mostraram conhecer a representação algébrica da
circunferência quando esta se apresenta com centro na origem do sistema
cartesiano, pois responderam corretamente às questões 1A e 1B. No entanto, ao
responderem o item 1C, em que o centro da circunferência encontra-se no ponto
C (2, -3), associaram de forma direta as coordenadas do centro ao valor
numérico apresentado na expressão algébrica e apontaram como correta a
expressão ( ) ( ) 932 22 =−++ yx .
Na TABELA 6, apresentamos as respostas dos participantes às questões
1A, 1B e 1C. As células em tom cinza indicam as respostas corretas.
81
TABELA 6. RESPOSTAS DA QUESTÃO 1
Questões Sujeito 1A 1B 1C
1 c d b 2 a d e 3 c d b 4 c d b 5 d d e 6 a a b 7 a a b 8 c d b 9 c d d 10 c d d 11 c d b 12 a a b 13 d c a 14 c d d
5.1.2 Questão 2
Nesta questão, apresentamos a expressão algébrica de duas
circunferências e quatro gráficos para cada expressão. Em seguida, solicitamos
aos participantes que associassem o gráfico a uma das expressões dadas.
Estimamos que levariam, no máximo, quatro minutos para responder os dois
itens desta questão.
No item 2A apresentamos a expressão algébrica 422 =+ yx .
Ao analisar as respostas, verificamos que doze participantes responderam
corretamente e apontaram o gráfico que apresenta uma circunferência de
comprimento de raio igual a duas unidades, com centro na origem do sistema
cartesiano.
Quanto aos erros, um dos sujeitos associou à expressão dada o gráfico
cujo raio da circunferência era igual a 4 unidades com centro em C (0, 0) e o
outro sujeito apontou o gráfico cujo raio da circunferência é igual a 4 unidades
com centro no ponto C (4,4).
82
No item 2B apresentamos a expressão algébrica ( ) ( ) 923 22 =−++ yx .
Neste item apenas seis participantes apontaram corretamente o gráfico
que apresentava uma circunferência com centro no ponto C (-3, 2) e cujo
comprimento do raio era igual a 3. Os outros oito participantes associaram a
expressão dada ao gráfico de uma elipse (ver DESENHO 17).
DESENHO 17. ELIPSE COM CENTRO EM C (0, 0) E FOCOS SOBRE O EIXO X
Ao analisar as respostas dadas aos itens 2A e 2B, esperávamos verificar
se os sujeitos eram capazes de saber, a partir da expressão na forma
( ) ( ) 222 cbyax =−+− , as coordenadas do centro e o comprimento do raio.
Ao analisarmos o modo como responderam estes dois itens, conseguimos
observar que o sujeito 6, que nos itens 1A e 1B havia associado o valor numérico
da expressão ao raio da circunferência sem observar que o raio deveria estar
elevado ao quadrado, manteve seu padrão de resposta e cometeu os mesmo
erro no item 2A.
O sujeito 2, a exemplo do que havia demonstrado nas respostas aos itens
1A (quando errou quanto ao comprimento do raio), 1B (quando respondeu
corretamente) e 1C (quando considerou como negativo a soma de quadrados),
parece não seguir um padrão lógico quanto aos erros que comete, como se
estivesse escolhendo aleatoriamente as alternativas, dificultando nossa
investigação sobre as dificuldades de entendimento que apresenta. No item 2A
associou o gráfico do DESENHO 18 à expressão 422 =+ yx .
83
DESENHO 18. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (-3, 2) E RAIO 3
Ao observar o desempenho dos participantes no item 2B surpreendemo-
nos ao verificar que a maioria dos sujeitos associou a equação de uma
circunferência de raio 3 e com centro em C (-3, 2) ao gráfico de uma elipse.
Dentre estes participantes, destacamos os sujeitos 1, 6 e 7, que haviam
respondido corretamente o item 1C, ao associar o gráfico de uma circunferência
à sua expressão algébrica e que, no item 2A, não conseguiram associar
corretamente a expressão algébrica de uma circunferência ao seu gráfico.
Além destes, chamaram-nos a atenção as respostas dos sujeitos 9, 10 e
14. No item 1C, estes sujeitos erraram ao associar as coordenadas do centro da
circunferência ao valor numérico da expressão algébrica. Seguindo este padrão,
esperávamos que, ao fazer a conversão do registro algébrico para o registro
gráfico, os sujeitos associassem o gráfico da circunferência de raio 3 e centro C
(3, -2) à expressão algébrica ( ) ( ) 923 22 =−++ yx , porém, ao invés disto, eles
apontaram o gráfico de uma elipse.
Entre os que acertaram o item 2B, destacamos o sujeito 5, que no item 1C
havia errado ao associar as coordenadas do centro da circunferência ao valor
numérico da expressão algébrica. De acordo com as respostas que apresentou
anteriormente, acreditávamos que neste item poderia associar o gráfico da
circunferência de raio 3 e centro C (3, -2) à expressão algébrica
( ) ( ) 923 22 =−++ yx , o que não ocorreu, pois este sujeito respondeu de forma
correta este item.
Na TABELA 7, apresentamos as respostas dos sujeitos as questões 2A e
2B. As células em tom cinza indicam as respostas corretas.
84
TABELA 7. RESPOSTAS DA QUESTÃO 2
Questões Sujeito 2A 2B
1 a c 2 d c 3 a d 4 a d 5 a d 6 c c 7 a c 8 a d 9 a c 10 a c 11 a d 12 a d 13 a c 14 a c
5.1.3 Questão 3
Nesta questão, apresentamos quatro gráficos de circunferências e
solicitamos aos participantes que os associassem a uma das três descrições em
língua natural, disponíveis para cada um. Estimamos que levariam, no máximo
oito minutos para responder os quatro itens desta questão.
Devido a uma falha que cometemos no momento da entrega dos
questionários, dois dos quatorze sujeitos que estavam participando não
responderam esta questão. Infelizmente, percebemos este erro depois que já
havíamos deixado a universidade onde se deu o encontro e não tivemos como
corrigi-lo. De qualquer forma, doze participantes responderam o questionário,
possibilitando assim nossa análise.
No item 3A apresentamos o gráfico de uma circunferência com centro em
C (-3, 2) e raio 2. Verificamos que nove participantes responderam corretamente
este item, dois participantes informaram que o comprimento do raio era 4 (ao
invés de 2) e um participante inverteu as coordenadas do centro, trocando o valor
da abscissa pelo da ordenada e vice-versa.
85
No item 3B apresentamos o gráfico de uma circunferência com centro na
origem do sistema cartesiano e raio 3. Verificamos que onze participantes
responderam corretamente este item e que um participante informou que o
comprimento do raio era 6 (ao invés de 3).
No item 3C apresentamos o gráfico de uma circunferência com centro em
C (3,0) e raio 3. Verificamos que dez participantes responderam corretamente
este item, um sujeito informou que o comprimento do raio era 6 (ao invés de 3) e
um sujeito deixou e item sem resposta.
No item 3D apresentamos o gráfico de uma circunferência com centro em
C (2,2) e raio de comprimento 2. Verificamos que todos os doze sujeitos
responderam corretamente este item.
Por meio da análise das respostas dadas às questões 3A, 3B, 3C e 3D
esperávamos verificar se os sujeitos conseguem extrair da representação gráfica
duas informações básicas sobre as circunferências: as coordenadas do centro e
o comprimento do raio.
Ao analisarmos a resposta do sujeito 1 ao item 3A pudemos observar que
inverteu as coordenadas do centro, trocando o valor da abscissa pelo da
ordenada e nos itens 3B e 3C confundiu o valor do raio com o valor do diâmetro
da circunferência. Este erro também foi cometido pelos sujeitos 7 e 9 quando
responderam o item 3A.
Pareceu-nos, pela análise das respostas e pelo índice de acertos
demonstrado nesta questão, que os sujeitos, em sua maioria, conseguiram obter
os dados das coordenadas do centro e comprimento do raio a partir do gráfico da
circunferência, associando corretamente o registro gráfico com o registro em
língua natural.
Na TABELA 8, apresentamos as respostas dos sujeitos aos itens 3A, 3B,
3C e 3D. As células em tom cinza indicam as respostas corretas.
86
TABELA 8. RESPOSTAS DA QUESTÃO 3
Questões Sujeito 3A 3B 3C 3D
1 b a c a 2 a c b a 3 a c b a 4 5 a c b a 6 a c b a 7 c c a 8 a c b a 9 c c b a 10 a c b a 11 a c b a 12 13 a c b a 14 a c b a
5.1.4 Questão 4
Nesta questão, apresentamos quatro expressões algébricas e solicitamos
aos participantes que as associassem a uma das três descrições em língua
natural disponíveis para cada expressão. Estimamos que levariam, no máximo,
oito minutos para responder os quatro itens desta questão.
No item 4A, apresentamos a expressão algébrica ( ) ( ) 1635 22 =+−− yx .
Verificamos que apenas quatro participantes responderam corretamente este
item, informando que a expressão algébrica não correspondia a uma
circunferência. Os outros dez participantes informaram que se tratava de uma
circunferência com centro em C (5, -3) e raio 4.
No item 4B apresentamos a expressão algébrica ( ) 54 22 =−+ yx .
Verificamos que dez participantes responderam corretamente, informando que a
expressão algébrica correspondia a uma circunferência com centro em C (0,4) e
raio de comprimento 5 . Dois participantes informaram que o raio da
circunferência era igual a 5, numa associação direta entre o comprimento do raio
e o valor numérico da expressão algébrica. Outros dois participantes informaram
que a expressão algébrica não correspondia a uma circunferência.
87
No item 4C apresentamos a expressão algébrica ( ) 632 22 =++ yx .
Verificamos que apenas 5 participantes responderam corretamente, informando
que a expressão algébrica não correspondia a uma circunferência (a expressão
dada corresponde a uma elipse). Nove participantes associaram a equação a
uma circunferência com centro C (0, -3) e raio 6 .
No item 4D apresentamos a expressão algébrica 722 =+ yx . Verificamos
que 10 participantes responderam corretamente, informando que a expressão
algébrica correspondia a uma circunferência com centro em C (0, 0) e raio 7 .
Três participantes associaram o raio da circunferência ao valor apresentado na
expressão dada e informaram que o raio da circunferência era 7. Um participante
informou que a expressão algébrica não correspondia a uma circunferência.
Ao analisar as respostas dadas às questões 4A, 4B, 4C e 4D, gostaríamos
de verificar se os participantes conseguiriam fazer a conversão do registro
algébrico para o registro em língua natural e se conseguiriam, a partir das
expressões algébricas que representam circunferências, deduzir as informações
sobre o centro da circunferência e o comprimento do raio.
Dos dez participantes que responderam de forma incorreta o item 4A,
destacamos os sujeitos 3 e 4, que tiveram um bom desempenho nas questões
anteriores. Acreditamos que, neste caso específico, não perceberam que se
tratava de uma subtração e não de uma adição e que podem ter respondido de
forma errada por distração. No caso dos sujeitos 9, 10 e 14, entretanto, não
podemos dizer o mesmo. Estes sujeitos, ao responderem o item 1C e 2B já
haviam dado mostras de não conhecer a equação da circunferência com centro
fora da origem. Da mesma forma, os sujeitos 2 e 6, embora tenham tido um bom
desempenho nas associações entre o registro gráfico e o registro em língua
natural (questão 3) demonstraram limitações quanto à questão algébrica, seja
associando uma soma de quadrados a um número negativo (resposta do sujeito
2 à questão 1C, p. 80), seja associando uma elipse à equação da circunferência
(resposta do sujeito 6 à questão 2B, p. 82).
Entre os participantes que erraram o item 4B, os sujeitos 6 e 7 informaram
que a expressão algébrica ( ) 54 22 =−+ yx não correspondia a uma
circunferência. Estes mesmos dois sujeitos, ao responderem o item 2B haviam
88
associado a expressão algébrica ( ) ( ) 923 22 =−++ yx a uma elipse e nos itens 1A
e 1B, relacionado o valor numérico apresentado na expressão algébrica ao valor
do raio. Acreditamos que, para estes sujeitos, a equação da circunferência seja
ryx =+ 22 , sem considerar os casos em que o centro encontra-se em um ponto
fora da origem do sistema e sem considerar que na expressão algébrica o raio
deve apresentar-se elevado ao quadrado.
Ainda no item 4B, observamos que o sujeito 14 informou que o raio era 5
e não 5 , como deveria ser. Este participante ainda não havia cometido este
engano e havia feito com sucesso a associação entre o registro gráfico e o
registro em língua natural, embora houvesse invertido o valor da abscissa com o
valor da ordenada ao associar o registro gráfico ao algébrico, no item 1C.
Entre os participantes que informaram, no item 4C, que a expressão
( ) 632 22 =++ yx correspondia a uma circunferência, seis deles (sujeitos 2, 3, 5, 9
10 e 13) haviam cometido erro similar no item 4A, ao afirmar que a expressão
( ) ( ) 1635 22 =+−− yx também correspondia a uma circunferência. Para estes
sujeitos, não estão claras algumas das características que definem
algebricamente uma circunferência, ou seja, que a expressão resultará em uma
soma de quadrados e que os coeficientes de 2x e 2y devem ser iguais.
No item 4D, os sujeitos 5, 9 e 14 associaram o raio da circunferência ao
valor apresentado na expressão dada e informaram que era igual a 7. Destes,
apenas o sujeito 9 havia cometido erro similar, no item 3A. Os sujeitos 5 e 14,
nas associações anteriores, haviam respondido corretamente este tipo de
questão.
Na TABELA 9, apresentamos as respostas dos sujeitos às questões 4A,
4B, 4C e 4D. As células em tom cinza indicam as respostas corretas.
89
TABELA 9. RESPOSTAS DA QUESTÃO 4
Questões Sujeito 4A 4B 4C 4D
1 c a b c 2 a b b a 3 a b b a 4 a b c a 5 a b b b 6 a c c a 7 a c c a 8 c b c a 9 a b b b 10 a b b a 11 c b b a 12 c b c a 13 a b b a 14 a a c b
Ao analisar as respostas das questões apresentadas no questionário de
revisão, concluímos que haveria a necessidade de uma atividade de
institucionalização, com o objetivo de trazer à tona os saberes envolvidos na
representação de circunferências, a fim de que possamos discutir as questões
com os sujeitos e prosseguir com as atividades previstas em nosso projeto.
Como já informamos nos parágrafos anteriores, quatorze sujeitos
participaram da aula em que aplicamos o questionário. Considerando que havia
ao todo 13 itens (1A, 1B, 1C, 2A, 2B, 3A, 3B, 3C, 3C, 4A, 4B, 4C E 4D) e que
cada participante deveria apontar somente uma alternativa em cada item,
deveríamos receber ao final, um total de 182 alternativas. Devido a uma falha na
distribuição dos questionários e ao fato de que um dos sujeitos deixou uma das
questões em branco, conseguimos obter ao todo 176 alternativas.
Se analisarmos apenas o número de alternativas válidas, temos que 66%
delas apontavam para a resposta correta.
Quanto às alternativas não corretas, destacamos a seguir quais foram os
erros mais frequentes, que são importantes para a continuação de nosso
trabalho:
90
• 22 alternativas associam uma circunferência a uma expressão
algébrica em que o raio não se apresentava elevado ao quadrado,
como se a representação algébrica de uma circunferência fosse
( ) ( ) ryyxx pp =−+− 22
• 13 alternativas associam um número negativo a uma soma de
quadrados
• 8 alternativas associam expressões algébricas com coeficientes
diferentes de 2x e 2y a uma circunferência
• 5 alternativas indicam incorretamente as coordenadas do centro da
circunferência, seja quanto ao sinal, seja ao confundir o valor da
abscissa com o valor da ordenada
• 4 alternativas associam o comprimento do diâmetro ao comprimento
do raio, como se fossem a mesma coisa
• 3 alternativas associam uma expressão que representa uma diferença
de quadrados (e não uma soma de quadrados) a uma circunferência
• 5 alternativas apontam outros erros específicos, diferentes dos já
relatados, que podem ser observados comparando a tabela de
respostas e o questionário.
Apresentamos na TABELA 10, as respostas dos sujeitos às questões
apresentadas. As células em tom cinza indicam as respostas corretas.
91
TABELA 10. RESPOSTAS DAS QUESTÕES 1 A 4
Questões Sujeito 1A 1B 1C 2A 2B 3A 3B 3C 3D 4A 4B 4C 4D
1 c d b a c b a c a c a b c 2 a d e d c a c b a a b b a 3 c d b a d a c b a a b b a 4 c d b a d a b c a 5 d d e a d a c b a a b b b 6 a a b c c a c b a a c c a 7 a a b a c c c a a c c a 8 c d b a d a c b a c b c a 9 c d d a c c c b a a b b b
10 c d d a c a c b a a b b a 11 c d b a d a c b a c b b a 12 a a b a d c b c a 13 d c a a c a c b a a b b a 14 c d d a c a c b a a a c b
Esta análise ajudou-nos a compreender algumas das dificuldades dos
sujeitos quanto ao reconhecimento e a representação gráfica de uma
circunferência a partir de sua expressão algébrica e quanto à representação
algébrica de uma circunferência a partir da representação gráfica.
A compreensão destas dificuldades orientou-nos quanto às questões que
propusemos desenvolver e discutir com os alunos na institucionalização, como as
seguintes:
• A dedução da representação algébrica da circunferência, a partir do
cálculo da distância entre um dos pontos da circunferência e o centro,
por meio do Teorema de Pitágoras
• O cálculo do raio em ambos os casos, quando a circunferência tem
centro na origem do sistema cartesiano e quando o centro está fora da
origem
• A identificação das coordenadas do centro e do raio da circunferência
a partir da expressão algébrica
92
• A verificação da impossibilidade de que a adição de números
quadrados resulte em um número menor do que zero
5.2 INSTITUCIONALIZAÇÃO
Ao final da aula em que os participantes responderam o questionário,
conversamos sobre quais seriam os melhores dias para desenvolver as demais
atividades previstas. Nossa proposta inicial era que os encontros fossem
realizados uma vez por semana, durante o período de um mês, num horário
conhecido como “pré-aula”, que como o próprio nome deixa claro, é um horário
disponível antes do início das aulas.
Diante desta sugestão, alguns dos sujeitos apresentaram objeções, pois
gostariam de participar das atividades, mas não tinham como chegar a tempo
para a “pré-aula”. Como alternativa, propuseram que fizéssemos as atividades
aos sábados, porque poderíamos começar as atividades às 8h00 e desenvolvê-
las até próximo das 12h00, portanto teríamos um tempo maior, podendo assim
completar as tarefas em um menor número de encontros.
Consensualmente, decidimos que faríamos as atividades aos sábados e
tentaríamos desenvolvê-las em um único encontro. Caso se mostrasse cansativo,
ou o tempo necessário às atividades fosse insuficiente, reuniríamos novamente
em outro sábado.
Nesta ocasião, já deixamos agendados os dias de atividade, tanto junto
aos alunos quanto junto à universidade, que nos cedeu uma sala equipada com
computador e projetor multimídia.
No primeiro encontro, pudemos perceber que o tempo seria suficiente
tanto para que fizéssemos a seção de institucionalização sobre as
circunferências, como para que desenvolvêssemos as seis atividades previstas,
sem atropelos e com a dedicação necessária em cada uma das tarefas.
Reunimo-nos das 8h00 às 12h30min, com um pequeno intervalo para café,
sendo que utilizamos a primeira hora para que pudéssemos fazer a
institucionalização.
Dos quatorze alunos que fizeram o questionário, oito compareceram ao
encontro do sábado. Além destes, um aluno da mesma turma, que estava
ausente e não havia respondido ao questionário, apresentou-se e demonstrou
93
interesse em participar. Como ainda não havíamos feito a institucionalização,
acreditamos que sua participação seria positiva e por isso concordamos que
participasse. O aluno leu e assinou o Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido e se integrou aos demais participantes.
Utilizando o programa de geometria dinâmica Geogebra, apresentamos
aos alunos uma circunferência com centro no ponto C (0,0) e raio igual a 3. Em
seguida desenhamos um ponto P (xp,yp) na circunferência e traçamos um
triângulo retângulo formado pelos pontos C, P e pela projeção de P no eixo das
abscissas (xp), (ver DESENHO 19)
DESENHO 19. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (0,0) E RAIO 3
Associamos o segmento CP, raio da circunferência, à hipotenusa do
triângulo e as projeções do ponto P sobre os eixos das abscissas e sobre o eixo
das ordenadas, respectivamente xp e yp, aos catetos do triângulo, de forma que se
estabelecesse a relação descrita pelo teorema de Pitágoras:
222222 ryxCPyx pppp =+⇒=+
Utilizando-nos das possibilidades que o programa de geometria dinâmica
oferece, movimentamos o ponto P em torno da circunferência e alteramos o
comprimento do raio, a fim de que os sujeitos pudessem perceber que
independentemente do local em que o ponto P estivesse ou do tamanho da
circunferência, a relação se mantém, ou seja, a expressão encontrada é a
94
expressão que define os pontos da circunferência, conhecida como equação da
circunferência, nos livros didáticos.
Discutimos a seguir alguns pontos com os participantes, dos quais
destacamos os seguintes:
• O raio corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo. Quando a
equação da circunferência está na forma correspondente ao teorema
de Pitágoras, o raio apresenta-se elevado ao quadrado
• A equação de uma circunferência com centro em C (0,0) sempre pode
ser reduzida a uma expressão em que o coeficiente de 2x seja igual
ao coeficiente de 2y e 022 ≥+ kykx . As expressões que não possuem
esta característica não correspondem a uma circunferência, como por
exemplo 322 22 =− yx ou 432 22 =+ yx
• Uma soma de quadrados sempre resultará em um número maior ou
igual a zero, independentemente do valor assumido pelas variáveis x e
y. Nunca a soma de quadrados resultará em um valor negativo
Após esta discussão, apresentamos outra circunferência, com centro C (2,
-3) e raio igual a 3 (ver DESENHO 20).
DESENHO 20. CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO EM C (2,-3) E RAIO 3
95
Mostramos aos sujeitos que quando o centro da circunferência não está
localizado na origem do sistema, embora o raio continue correspondendo à
hipotenusa de um triângulo retângulo, o comprimento dos catetos é dado pelo
módulo da diferença, entre as coordenadas do centro e as coordenada de um
ponto P pertencente à circunferência.
Em notação algébrica, o cateto horizontal da figura é dado por
cppc xxxx −=− , e o cateto vertical é dado por cppc yyyy −=− .
Movimentamos então o ponto P em torno da circunferência, alteramos o
raio e transladamos a circunferência por todos os quatro quadrantes, para que os
sujeitos pudessem verificar que independentemente destas variáveis, a relação
se mantém.
Discutimos a seguir alguns pontos com os participantes, dos quais
destacamos o seguinte:
• Quando reduzidas à forma ( ) ( ) 222 rbyax =−+− , as coordenadas do
centro são dadas por C (a, b), e o comprimento do raio é dado pelo
valor de r. Se o centro encontrar-se sobre a origem do sistema, a
equação continua válida, porém como a = 0 e b = 0, teremos
( ) ( ) ( ) ( ) 222222 00 ryxryx =+⇒=−+−
Terminadas estas discussões, demos início às atividades em que
utilizamos o modelo de representação tridimensional.
5.3 ANÁLISE DAS ATIVIDADES COM O MODELO DE REPRESENTAÇÃO
TRIDIMENSIONAL
Após terminarmos a institucionalização sobre as circunferências
propusemos aos sujeitos que se dividissem em duplas. Como havia nove
participantes, foram formadas três duplas e um grupo com três sujeitos. No
decorrer de nossa análise, chamaremos estes grupos de G1, G2, G3 e G4,
respectivamente.
Informamos aos participantes que, nesta etapa de nossa pesquisa, iríamos
fazer a filmagem das atividades. Conforme o ANEXO A – TERMO DE
CON
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98
G1 É um cubo formado por várias folhas de transparência e cada folha de transparência representa um plano x0y, em cada plano temos formada uma circunferência de raio 5 e no primeiro plano esta circunferência se encontra no 1º quadrante e a cada plano a circunferência vai mudando de posição até o sétimo quadrante, formando uma diagonal como se fosse uma mangueira na diagonal e passando o centro da circunferência pela origem G2 i) Imagine uma linha inclinada cuja função é xy = ii) Coloque nesta linha várias circunferências representadas pela função
2522 =+ yx iii) Chegaremos à seguinte representação (fizeram o esboço abaixo)
DESENHO 21. RESPOSTA DO G2 – ITEM 1.1
G3 Plano tridimensional com 12 circunferências, de raio 5 cada uma. Cada circunferência tem centro diferente na medida em que percorre o eixo z. O importante a observar é que a diferença dos centros de cada circunferência define tal sobreposição G4 Em 12 planos sobrepostos bidimensionais, no conjunto total dos mesmos está representada uma circunferência de raio fixo 5, onde o centro varia, de acordo com z. No 1º plano x e y positivo chegando ao último onde x e y negativos, passando pela origem. Posição também
Quando representamos um objeto espacial utilizando o sistema de
coordenadas Oxyz, cada dois eixos determinam planos perpendiculares entre si,
ou seja, os eixos Ox e Oy determinam o plano xy, os eixos Ox e Oz determinam o
plano xz e os eixos Oy e Oz determinam o plano yz. Os planos xy, xz e yz
separam o espaço em oito regiões distintas, chamadas octantes.
Cada ponto pode ser localizado no espaço por meio de suas coordenadas
que correspondem a um terno de números reais (x, y, z). De acordo com os
valores destas coordenadas, podemos dizer qual é a localização do ponto, da
seguinte forma:
99
• Se P (0, 0, 0), então P localiza-se sobre a intersecção dos três planos
ortogonais, conhecida como a origem do sistema
• Se P (x, 0, 0) e Rx∈ , então P localiza-se sobre a reta de intersecção
entre os planos xy e xz, correspondente ao eixo Ox
• Se P (0, y, 0) e Ry∈ ,então P localiza-se sobre a reta de intersecção
entre os planos xy e xy, correspondente ao eixo Oy
• Se P (0, 0, z) e Rz∈ ,então P localiza-se sobre a reta de intersecção
entre os planos xz e yz, correspondente ao eixo Oz
• Se P é tal que as coordenadas de x, y e z são maiores que 0, então P
localiza-se no 1° octante
• Se P é tal que as coordenadas de y e z são maiores que 0 e a
coordenada correspondente a x é menor do que zero, então P localiza-
se no 2° octante e assim por diante, conforme a TABELA 11:
TABELA 11. LOCALIZAÇÃO DE PONTOS NO R3
x y z Posição no espaço
0 0 0 origem
x 0 0 eixo Ox
0 y 0 eixo Oy
0 0 y eixo Oz
> 0 > 0 > 0 1º octante
< 0 > 0 > 0 2º octante
< 0 < 0 > 0 3º octante
> 0 < 0 > 0 4º octante
> 0 > 0 < 0 5º octante
< 0 > 0 < 0 6º octante
< 0 < 0 < 0 7º octante
> 0 < 0 < 0 8º octante
Ao analisar a resposta dada pelos sujeitos do G1 (p. 98), observamos que
seu primeiro olhar fixou-se na forma do modelo e não nas curvas que estavam
impressas nos gráficos. Ao descrevê-lo, escreveram que era um “cubo”.
100
Acreditamos que como o modelo é constituído pela sobreposição de doze
transparências, seu formato de paralelepípedo pode ter feito com que os sujeitos
se lembrassem de “um cubo” e descrevessem-no como tal.
Ao referir-se à disposição das circunferências, escreveram que “no
primeiro plano esta circunferência se encontra 1º quadrante e a cada plano vai
mudando de posição até o 7º quadrante”.
Quando recorremos à filmagem desta atividade, verificamos que os
sujeitos alinhavam o olhar na direção do eixo Oz, de modo que pudessem ver o
modelo no sentido de Oz+ para Oz- e observar a transparência cuja cota era z =
5. Inicialmente, quando escreveram que “no primeiro plano esta circunferência se
encontra 1º quadrante” imaginamos que estivessem se referindo ao
posicionamento da circunferência em um sistema bidimensional. Como no gráfico
que estavam olhando o centro da circunferência encontra-se no ponto C (5, 5), a
descrição parecia correta, porém, em seguida escreveram que “a cada plano vai
mudando de posição até o 7º quadrante”, verificamos que se equivocaram quanto
ao termo quadrante. Um olhar mais atento nos mostra que estavam se referindo
ao 7º octante, e não ao 7º quadrante.
Considerando que tenham invertido os termos, a descrição tornar-se-ia
mais coerente se tivessem escrito que “no primeiro plano esta circunferência se
encontra no 1º octante (as coordenadas do centro possuem x > 0, y > 0 e z > 0) e
a cada plano vai mudando de posição até o 7º octante (as coordenadas do centro
da circunferência são C (-5, -5, -5), ou seja, x < 0, y < 0 e z < 0)”.
Os sujeitos do G1 completaram a descrição escrevendo que as
circunferências sobrepostas “formam uma diagonal como se fosse uma
mangueira na diagonal e passando o centro da circunferência pela origem”.
Referiram-se assim à inclinação do cilindro oblíquo representado pela figura, cujo
corte em z = 0 corresponde a uma circunferência com centro em C (0, 0, 0).
Ao considerarmos que a diagonal de um poliedro é o segmento de reta
definido por dois vértices desse poliedro não pertencentes à mesma face, a
referência que os sujeitos do G1 fazem à figura “como se fosse uma mangueira
na diagonal” parece-nos inadequada. Mesmo que estivessem se referindo ao
formato de paralelepípedo que o modelo apresenta, nem a reta oblíqua ao plano
de base que contém os centros das circunferências, nem as circunferências,
encontram-se sobre a diagonal deste paralelepípedo.
101
A descrição feita pelos sujeitos do G2 sugere que “imaginemos uma
função xy = ” e que “coloquemos nesta linha várias circunferências” (p. 98). De
acordo com o esboço que desenharam (indicam apenas os eixos x e y) e de
acordo com a função que apresentaram (uma “linha” representada pela função
xy = , que entendemos ser a reta que contém os centros das circunferências)
podemos observar que não estão se referindo ao espaço tridimensional, mas às
curvas de nível correspondentes à projeção das diversas circunferências em um
plano de base, cuja visão é possibilitada pela característica dos gráficos, que
foram impressos em folhas transparentes.
Observamos, ao analisar as descrições apresentadas pelo G1 e G2, que
aspectos intuitivos do objeto matemático trazidos à tona durante a atividade
prevalecem sobre aspectos algorítmicos e formais. Os sujeitos pareceram “ver” a
representação da figura, porém não mobilizaram conhecimentos formais ou
mostraram iniciativas de organizar as relações entre as informações disponíveis
na representação tridimensional em busca de uma representação semiótica do
objeto.
Notamos a ausência da componente formal quando descreveram um
objeto com formato de paralelepípedo como um “cubo”; quando escreveram
“quadrante” quando queriam dizer “octante”; quando usaram o termo “diagonal”
para referir-se a uma reta não perpendicular ao plano de base, ou ainda quando
descreveram uma “função y = x” sem informar em qual domínio se encontra,
podendo representar tanto um plano (se considerarmos que estão no R3) quanto
uma reta (considerando que estejam referindo-se ao plano bidimensional R2).
Os sujeitos do G3 descreveram o modelo referindo-se às “12
circunferências de raio 5” cujos centros variam “na medida em que percorrem o
eixo z” (p. 98). Ao analisar esta descrição percebemos que os sujeitos
conseguiram relacionar a mudança das coordenadas do centro da circunferência
à altura em que esta foi montada, embora não tenham explicitado que o valor de
z define as coordenadas do centro. Também observaram que “a diferença do
centro define tal sobreposição”, que de acordo com nosso entendimento, quer
dizer que a figura tem a forma que tem, graças à mudança dos centros das
102
circunferências. Se nos gráficos bidimensionais as circunferências tivessem o
mesmo raio e as mesmas coordenadas x e y de centro, teríamos a representação
de outra figura. Acreditamos que esta observação pode ter sido favorecida pela
visão simultânea dos centros das doze circunferências que compõem o modelo e
que se encontram alinhados sobre uma reta oblíqua ao plano de base.
Os sujeitos do G3 cometeram um equívoco, no entanto, ao descrever o
modelo como um “plano tridimensional”. Neste caso, acreditamos que não
perceberam a incompatibilidade entre as duas dimensões do plano cartesiano e o
termo tridimensional, numa demonstração clara de como conhecimentos prévios,
neste caso conceitos desenvolvidos durante a aprendizagem de geometria plana,
podem sobrepor-se a componentes formais e algorítmicas presentes na
aprendizagem da geometria espacial.
Na descrição apresentada pelo G4 os sujeitos escreveram “em 12 planos
sobrepostos bidimensionais” referindo-se a cada representação plana que
compõe o modelo e explicitaram a relação existente entre as circunferências e o
valor de z, ao escrever que “o centro varia de acordo com z” (p. 98).
Pela descrição que fazem do 1º plano, pudemos observar que olhavam o
modelo pela parte de cima e alinhavam a visão com o eixo Oz na direção de Oz+
para Oz-, de modo a observar a transparência correspondente ao z = 5. Como
tenham encontrado as coordenadas do centro da circunferência C (5, 5, 5),
escreveram “x e y positivo”, referindo-se às coordenadas x e y do centro da
circunferência. Ao escreverem “chegando ao último onde x e y negativos”,
deduzimos que mencionavam a última transparência onde as duas primeiras
coordenadas do centro da circunferência são negativas. Ao afirmarem que “passa
pela origem”, podem ter se referido à reta que contém os centros das 12
circunferências. Se considerarmos que estavam utilizando as três dimensões
para descrever o objeto, então esta é a reta que passa pelo ponto O (0, 0, 0) e é
paralela ao vetor ( )1,1,1=Vr
, ou seja, x = y = z, conforme a representação em
perspectiva do DESENHO 22.
103
DESENHO 22. REPRESENTAÇÃO DE UMA RETA NO R3
Por outro lado, se considerarmos que os sujeitos do G4 estavam baseando
a descrição da figura pela projeção horizontal das transparências em um plano de
base, compatível com a visão de um observador que alinha o olho na direção Oz
e direciona o olhar no sentido de Oz+ para Oz-, então a reta que contém os
centros das circunferências passa pela origem do sistema cartesiano
bidimensional, conforme a representação do DESENHO 23.
DESENHO 23. REPRESENTAÇÃO DE UMA RETA NO R2
Item 1.2 - Descrição do MODELO 2
Os grupos descreveram da seguinte forma:
G1 Segue as características básicas do MODELO 1, mas neste caso a circunferência tem início no 1º quadrante e segue até o sétimo girando em torno da origem (0,0) formando uma mola no formato de espiral
104
G2 i) Imagine uma mola ii) coloque nesta mola uma circunferência representada pela função
2522 =+ yx iii) Chegaremos a uma representação similar a (fizeram o esboço abaixo):
DESENHO 24. RESPOSTA DO G2 – ITEM 1.2
G3 O MODELO 2 segue os mesmos parâmetros do MODELO 1, o raio não muda e o que muda é o centro, comparando uma circunferência com outra. O que muda do MODELO 1 para o MODELO 2 é o desenho tridimensional de cada modelo
G4 Mesma prerrogativa do MODELO 1, começando no 1° quadrante, não passando pela origem, até o quarto quadrante, onde o centro é diferente do MODELO 1
A curva que contém os centros das circunferências do MODELO 2, quando
projetada no plano de base, pode ser descrita de forma bidimensional como uma
circunferência com centro em C (0, 0) e raio de comprimento 6 ou pode ser
descrita em três dimensões, como uma curva espiral cilíndrica, que na cota
correspondente ao z = -5 está no 7º octante e em z = 5 no 1º octante.
Ao escreverem que as circunferências “formam uma mola no formato
espiral” (p. 103) os sujeitos do G1 parecem ter analisado a figura considerando
as três dimensões. Esta impressão é reforçada pelas imagens que obtivemos da
105
filmagem do grupo enquanto desenvolviam esta atividade, porém, ao analisar a
resposta, observamos novamente que confundiram os termos “quadrante” e
“octante”. Acreditamos que quiseram referir-se ao “octante”, visto que
apresentam uma descrição tridimensional do modelo. Também mostram ter
observado que, diferentemente do MODELO 1, os centros das circunferências
que compõem o MODELO 2 encontram-se sobre uma curva.
A descrição apresentada pelo G2 sugere que “imaginemos uma mola e
coloquemos nesta mola uma circunferência” (p. 103). Acreditamos que, a
exemplo da descrição feita pelo G1, quando os sujeitos do G2 escreveram mola
estavam se referindo à curva espiral que contém os centros das circunferências.
Ao analisar as descrições que os grupos G1 e G2 fizeram do MODELO 2,
verificamos novamente que os sujeitos descreveram a figura de forma intuitiva,
sem a preocupação em escrever sobre aspectos formais envolvidos na
representação dos objetos. Os sujeitos do G1 escreveram que a figura “forma
uma mola no formato espiral” e os sujeitos do G2 sugeriram “colocar nesta mola
uma circunferência”, mas não deixaram claro qual é tipo de mola, tampouco qual
é o tipo de espiral a que se referiram. Pareceram “ver” que a figura tem o formato
de uma “mola”, mas não se preocuparam em “visualizá-la”.
Os sujeitos do G3 apresentaram uma descrição superficial. Apesar de
explicitarem algumas características importantes, como quando escreveram que
“o raio não muda e o que muda é o centro” (p. 103), não comentaram o fato de
que no MODELO 2 os centros das circunferências encontram-se sobre uma
curva. Ao comparar os modelos, escreveram que “o que muda do MODELO 1
para o MODELO 2 é o desenho tridimensional”. Embora tenham mostrado que
conseguiram “ver” a figura representada, não apresentaram argumentos que nos
levassem a concluir que tenham conseguido “visualizar” as figuras.
Ao descreverem a figura, os sujeitos do G4 parecem não ter levado em
conta que o modelo representava um objeto tridimensional, ou pelo menos não
demonstraram isso nas descrições que fizeram, tanto do MODELO 1 quanto do
MODELO 2. Na descrição que apresentaram escreveram que as circunferências
106
que compõem o modelo “começam no 1º quadrante até o 4º quadrante” (p. 103),
referindo-se às curvas de nível correspondentes à projeção das doze
circunferências no plano de base. Esta descrição é compatível com a visão que
se obtém quando o olho do observador está sobre o eixo Oz, com o olhar no
sentido de Oz+ para Oz-.
Quando analisamos a descrição do MODELO 1 feita por este mesmo
grupo (p. 98), não conseguimos saber se estavam se referindo ao objeto
tridimensional ou à projeção no plano de base, porém, se compararmos com a
descrição que fizeram do MODELO 2 (p. 103), podemos observar que realmente
se referiam às duas dimensões, ou seja, parecem não ter visto a figura
tridimensional, ou se viram não a descreveram, muito menos deduziram algumas
de suas propriedades formais.
Item 1.3 - Descrição do MODELO 3
As descrições que obtivemos do MODELO 3 são as seguintes:
G1 Segue as características básicas do 1º modelo. Neste caso temos uma circunferência com origem no centro e podemos notar que no 1º plano a circunferência tem raio 10 e vai diminuindo à medida que o z vai aumentado, formando um funil
G2 i) Imagine uma esfera representada pela função 100222 =++ zyx ii) Corte a esfera ao meio e separe uma metade iii) Desta metade faça 12 cortes com a mesma distância iiii) Teremos 12 circunferências com a mesma origem e variação de raio
G3 Circunferências sobrepostas, todas com centro (0,0) e raio diferente em cada uma
G4 Circunferência com centro em (0, 0) em todos os planos, variando o raio a cada plano
Para os sujeitos dos grupos G3 e G4, a figura é formada pela
sobreposição de diversas circunferências “com centro em (0, 0)”, cujo raio
107
aumenta (diminui) a cada plano. Ao escreverem “com centro em (0, 0)” (p. 106)
observamos que são explícitos quanto a característica bidimensional de sua
descrição e que a origem a qual se referem é a origem do sistema cartesiano
bidimensional. Ao analisar as descrições destes dois grupos, G3 e G4, não
encontramos indícios de que os sujeitos tenham conseguido observar que o
modelo representa uma figura tridimensional.
Ao assistirmos a filmagem desta atividade observamos uma discussão
entre os sujeitos do G4, que identificaremos como sujeito A4 (sujeito A do G4) e
como sujeito B4 (sujeito B do G4), sobre a relação existente entre a variação do
comprimento do raio em função de z.
Sujeito A4: “Não é proporcional.” (referindo-se a relação entre o raio e o valor de z) Sujeito B4: “Como não é proporcional?” Sujeito A4: “Anota aí... 3.02, 3.16, 3.33 e 3.54.” (referindo-se aos raios de circunferências que estavam montadas sequencialmente) Sujeito B: “Então, mas para cada uma também tem o valor de z. Olha aqui... z = 11, z = 12...” Sujeito A4: “Mas eu acho que este z não interfere em nada.” Sujeito B4: “Interfere sim. Veja aqui ... quando z = 11 o raio mede 3.02... Vamos passar a limpo (referindo à folha de respostas que deveriam preencher para entregar). Todas [as circunferências] têm centro em (0,0), certo?” Sujeito A4: “Certo.” Sujeito B4: “Com o centro variando em função do z (balbucia enquanto escreve), ou não? (dirigindo se ao outro sujeito)“ Sujeito A4: “Bom, se você considerar a equação [da circunferência] pode ser que sim, mas o z não tem o mesmo intervalo...”
O sujeito B4 termina de escrever que “modifica o raio em função de z” e o
sujeito A4, aparentemente contrariado, concorda e desiste do debate.
Ao analisar este trecho da filmagem verificamos que o sujeito A4, ao
observar que não há proporcionalidade entre a variação do comprimento dos
raios (3.02, 3.16, 3.33, 3.54, etc.) e os valores de z (11, 10, 9, 8, etc.), justificou
que não poderiam estar relacionados, ou seja, que o “z não interfere em nada”,
108
como se duas grandezas somente pudessem relacionar-se se houvesse
proporcionalidade entre elas.
Tendo em vista que os sujeitos da pesquisa são alunos do 3º Ano do
Curso de Licenciatura em Matemática, acreditamos que em sua trajetória
acadêmica tenham desenvolvido aprendizagem sobre funções do 2º grau e que
tenham verificado que, nestas funções, embora haja dependência entre os
valores da função e o valor da variável, não existe proporcionalidade entre um e
outro.
A justificativa do sujeito A4 parece indicar, no entanto, que se duas
grandezas não são proporcionais então elas não podem estar relacionadas. A
nosso ver, esta concepção pode indicar que durante a aprendizagem anterior não
tenha havido a interação entre aspectos intuitivos e algorítmicos (fazer tabelas
com valores de x e f(x), traçar gráficos da função) e aspectos formais dos
conceitos que definem as funções do 2º grau, entre os quais o conceito que
estabelece a dependência entre dois termos que não são proporcionais.
Outra possibilidade é de que o sujeito, embora tenha desenvolvido
aprendizagem sobre as funções do 2º grau e compreenda a possibilidade de
relação entre grandezas não proporcionais, não tenha conseguido mobilizar estes
conhecimentos em um contexto diferente daquele em que se deu a
aprendizagem anterior.
Acreditamos que, se houvesse tempo hábil para que entrevistássemos o
sujeito A4, poderíamos obter mais informações que pudessem esclarecer-nos
sobre suas concepções e complementar a análise desta atividade.
O MODELO 3 foi gerado a partir da equação da quádrica z
yx 10022 =+ . Os
gráficos bidimensionais que compõem o modelo representam cortes paralelos ao
plano xy. Caso representássemos a figura por meio dos gráficos bidimensionais
correspondentes a cortes feitos em planos paralelos ao plano xz ou ao plano yz,
obteríamos gráficos bidimensionais de hipérboles. Acreditamos que se o sujeito
A4 tivesse desenvolvido a visualização da figura iria perceber que o crescimento
dos raios, observável nas transparências, descreve uma hipérbole e não uma
reta e que embora as variáveis relacionem-se, esta relação não é linear.
109
Os sujeitos do G1 também informaram que as circunferências que
compõem o MODELO 3 têm centro na origem e que “vão diminuindo na medida
em que z vai aumentando” (p. 106). Ressaltaram o formato tridimensional da
figura que, de acordo com a descrição que deram, tem forma de “funil”. Ao
analisarmos esta resposta, observamos novamente que aspectos intuitivos
parecem prevalecer sobre os demais, ou porque os sujeitos evitaram descrever a
figura a partir de suas propriedades formais contentando-se em descrevê-la como
um “funil” ou porque não desenvolveram aprendizagem que mobilizasse aspectos
formais envolvidos nesta atividade.
Ao observarmos as respostas do G3 e G4 (p. 106), novamente verificamos
que a forma tridimensional do modelo foi deixada de lado e que os sujeitos
focaram a descrição na posição do centro e no tamanho das circunferências.
A resposta do G2 sugere que “imaginemos uma esfera” de raio igual a 10
unidades, que a “cortemos ao meio”, separemos uma das metades e que
façamos “doze cortes com a mesma distância“ nesta metade, obtendo assim
doze circunferências “com a mesma origem e variação de raio” (p. 106). Esta
descrição pode indicar que os sujeitos do G2 conseguiram desenvolver a
apreensão de que o modelo que apresentamos é formado pela planificação de
diversos cortes em um objeto tridimensional (sugerem uma esfera como
exemplo) feitos a mesma distância um do outro. Este detalhe parece não ter
sido observado pelos demais grupos, ou se foi, pelo menos não foi citado em
nenhuma das descrições. Vale ressaltar, no entanto, que as doze circunferências
obtidas pela sugestão do G2, embora possuam centro na origem e embora o
comprimento do raio aumente (diminua) em função de z, quando as sobrepomos
temos uma semi-esfera e não um hiperbolóide.
No item 1.4, pedimos aos sujeitos que escrevessem sobre as diferenças
que observaram entre um modelo e outro. Seguem as respostas que obtivemos
de cada um dos grupos:
110
G1 No MODELO 1 nós temos uma circunferência na 1ª transparência e que sai do 4º quadrante e vai até o primeiro [quadrante] passando pela origem nas demais transparências. No MODELO 2 nós temos uma circunferência do quarto vai para o 1º quadrante sem passar pela origem e passando pelo 3º quadrante. No MODELO 3 a circunferência parte da origem e conforme o valor de z vai diminuindo o raio vai aumentando
G2 A função da origem = variação de z
G3 Como podemos observar nos modelos 1 e 2, quase parecidos, apenas os centros fazem tal sobreposição, enquanto que o raio é o mesmo. No [MODELO] 3 os centros são os mesmos para todas [as circunferências] e o raio é o responsável por tal formato
G4 Em 1 e 2 o raio não modifica e não começa na origem, sendo apenas no MODELO 1 que fica na origem quando z = 0 e em 3 começa no centro e permanece no centro modificando o raio em função de z
Para os sujeitos do G1 e do G3, a principal diferença entre o MODELO 1 e
o MODELO 2 parece ser o fato de que no primeiro caso a reta que contém os
centros das circunferências passa pela origem do sistema e no segundo não
passa e que no MODELO 3 o raio varia em função de z.
Quanto à posição dos centros das circunferências, consideramos
importante observar uma das definições dada pelos sujeitos do G3 que
escreveram que nos modelos 1 e 2 “cada circunferência tem centro diferente” e
“no [MODELO] 3 os centros são os mesmos para todas [as circunferências]”.
Os sujeitos do G4 também observam esta característica e escrevem que
“no [MODELO] 3 [o raio] começa no centro e permanece no centro”.
Estas afirmações podem demonstrar que para estes sujeitos, quando os
centros das circunferências que compõem a figura estão contidos em uma reta
perpendicular ao plano de base, então os centros “são os mesmos” e quando
estão contidos em uma reta oblíqua à base, ou quando estão contidos em uma
curva, então as circunferências “têm centro diferente”. Acreditamos que, neste
caso, os sujeitos foram influenciados pela visão bidimensional dos gráficos e não
consideraram que estavam em diferentes alturas do espaço. Parecem ter “visto”,
mas não “visualizado” a figura como um todo.
111
Ao analisarmos a descrição que deram à luz de uma abordagem que leva
em conta aspectos intuitivos, algorítmicos e formais da atividade matemática,
acreditamos que o poder coercivo de componentes intuitivas, como a visão dos
gráficos e a constatação de que nesses gráficos bidimensionais todas as
circunferências possuem o mesmo centro tenha se sobreposto à interpretação
formal da figura.
O G2 tentou resumir as diferenças por meio da frase “a função da origem =
variação de z” (p. 110). Acreditamos que se tivessem escrito mais sobre as
diferenças que observaram teríamos condições de fazer inferências mais
fundamentadas, porém, pela curta frase, parece que se referiam à relação
observável entre os valores de z (“variação de z”) e as características das
circunferências que compunham os modelos, que ora variavam a localização do
centro, ora variavam o tamanho, dependendo do valor de z.
No item 1.5, perguntamos aos sujeitos se conseguiriam imaginar qual seria
a projeção dos modelos no plano de base e pedimos que justificassem. Seguem
as respostas que obtivemos:
G1 MODELO 1 – temos uma reta crescente que passa pela origem e que em todos os seus pontos temos uma circunferência. MODELO 2 – Várias circunferências que vão formando um círculo maior. MODELO 3 – Uma circunferência menor com origem no centro (0, 0) e vai aumentando o diâmetro como se fosse um alvo
G2 Anexo desenhos
G3 Imagino que todas as circunferências estariam no mesmo plano cartesiano, pois não daria para separar cada circunferência em um plano cartesiano diferente e colocar no plano de base
G4 MODELO 1: uma espiral, escala inclinada. MODELO 2: Uma escada circular: MODELO 3: uma mola, cone
112
Com este item (1.5), esperávamos verificar se os sujeitos, subsidiados
pela visão simultânea dos gráficos bidimensionais, conseguiriam fazer a relação
entre o registro de representação gráfico tridimensional e um dos registros de
representação gráfico bidimensional, que neste caso são as curvas de nível.
Dentre as respostas, observamos que o G1 foi o que melhor conseguiu
expressar a ideia da sobreposição das circunferências no plano de base.
Ao descreverem a projeção do MODELO 1 escreveram “temos uma reta
crescente que passa pela origem e que em todos os seus pontos temos
circunferências” (p. 111). A reta à qual se referem é a reta formada pela união
dos pontos centrais das circunferências que formam o modelo. Quando projetada
no plano de base, é uma reta crescente. Como na transparência z = -5 o centro
encontra-se no ponto C (-5, -5) e na transparência z = 6 encontra-se no ponto C
(6, 6), podemos calcular a inclinação da reta (igual a 1) e o coeficiente linear
(igual a zero).
Ao descreverem a projeção do MODELO 2, escrevem “várias
circunferências que vão formando um círculo maior” (p. 111). Considerando que
os raios das circunferências encontram-se sobre uma curva e que esta curva,
quando projetada no plano de base, corresponde à circunferência cuja equação é 222 6=+ yx , avaliamos como correta a descrição dada.
Ao descreverem a projeção do MODELO 3, escrevem “uma circunferência
menor com origem no centro (0, 0) e que vai aumentando o diâmetro como se
fosse um alvo” (p. 111). Embora tenham associado a visão que obtiveram a um
“alvo”, formado pela sobreposição das 12 circunferências concêntricas e de raios
diferentes, observamos que deixaram de expressar um detalhe importante sobre
a relação estabelecida entre a altura da transparência e o diâmetro da
circunferência. Neste modelo, gerado a partir da equação da quádrica
222 100
zyx =+ , a relação entre a altura em que a transparência se encontra e o
raio da circunferência não é linear, ou seja, se considerarmos a variação linear
entre as cotas, as curvas de nível correspondentes não obedecerão o mesmo
crescimento. No DESENHO 25 reproduzimos um alvo usado em competições de
arco e flecha e no DESENHO 26 reproduzimos as curvas de nível da figura
representada pelo MODELO 3 em alturas correspondentes aos valores inteiros
113
de z de 1 à 10. No DESENHO 25 podemos observar o distanciamento uniforme
entre os círculos e no DESENHO 26 não. De acordo com a descrição dada pelo
grupo, não é possível inferir se observaram ou não esta relação.
DESENHO 25. ALVO PARA COMPETIÇÕES DE ARCO E FLECHA
DESENHO 26. CURVAS DE NÍVEL CORRESPONDENTES AO MODELO 3
O G3 escreveu que “todas as circunferências estariam no mesmo plano de
base” (p. 111). Consideramos que apesar da concisão a descrição resume, em
parte, o que ocorre quando representamos um objeto tridimensional por meio das
curvas de nível. Os sujeitos poderiam ter sido mais específicos sobre como seria
114
a projeção dos modelos utilizados na atividade. Também poderiam complementar
a resposta e informar que as curvas são identificadas de acordo com a cota em
que se encontram. A justificativa que deram parece indicar que conhecem a
técnica envolvida na representação em curvas de nível, porém não apresentaram
detalhes que nos permitissem afirmar se seriam capazes de fazer a
representação das figuras estudadas nesta atividade. Ao analisar a descrição,
observamos que trazem à tona aspectos algorítmicos, mas parecem negligenciar
componentes formais das quádricas.
O G2 preferiu desenhar as representações das figuras em perspectiva,
embora solicitássemos que imaginassem a projeção em um plano de base.
Acreditamos que, neste caso, ou os sujeitos não entenderam que ao mencionar
as projeções planas estávamos nos referindo às curvas de nível e não às
perspectivas; ou a concepção de projeção plana que têm estava associada à
representação em perspectiva. A fim de complementar as conclusões desta
pesquisa, pretendemos posteriormente fazer uma entrevista com os sujeitos para
esclarecer-nos sobre a concepção que tinham sobre representação em
perspectiva e em curvas de nível.
Os sujeitos do G4 optaram por utilizar referências do cotidiano para
descrever os modelos. Descreveram o MODELO 1 como “uma espiral, escala
inclinada” provavelmente em referência à característica oblíqua (inclinada) do
cilindro; o MODELO 2 como “uma escada circular” aparentemente em analogia
com uma escada em formato de caracol (ou escada em espiral), como a
representada na FOTO 8; e o MODELO 3 como “uma mola, cone” (p. 111), o que
acreditamos ser uma referência a uma mola espiral em formato cônico.
115
FOTO 8. ESCADA EM ESPIRAL
Apesar das descrições dadas pelo G4 não se referirem a projeções
planas, conforme havíamos solicitado, pudemos observar que ao comparar o
MODELO 2 com “uma escada circular”, os sujeitos deram indicações de que a
percepção visual que tinham da figura era diferente da que nós imaginávamos
quando criamos o modelo. Nesta ocasião, diante da impossibilidade de
representar todas as características da figura, idealizamos uma representação
que pudesse reunir algumas dessas características. Para isso, simulamos alguns
cortes em planos paralelos ao plano xy e montamos estes cortes, obedecendo a
uma sequência e um espaçamento padrão, num modelo que, a nosso ver,
poderia representar a figura.
Para os sujeitos do G4, entretanto, a figura consistia em um conjunto de
“circunferências com centro em (0,0) em todos os planos, variando o raio a cada
plano” (p. 106), ou seja, consistia em um conjunto de planos bidimensionais e
não na representação de um objeto tridimensional. Esta descrição mostra que
para estes sujeitos, apenas algumas das características da figura contidas no
modelo não foram suficientes para que imaginassem a figura tridimensional que
desejávamos representar.
116
No item 1.6 perguntamos aos participantes se achavam possível imaginar
um objeto tridimensional a partir da projeção horizontal das diversas
circunferências sobre o plano de base. Além de responder solicitamos que
justificassem. Obtivemos as seguintes respostas:
G1 Só seria possível se fosse representado em perspectiva
G2 Sim. Com a representação com os três eixos conforme anexo gráficos
G3 Sim, pois se estivesse no plano de base todas as circunferências, seria só imaginar todas elas (circunferências) se separando cada uma em um plano
G4 Não, pois cada plano estaria paralelo
Neste item (1.6), esperávamos verificar se os sujeitos conseguiriam fazer a
conversão no sentido oposto ao que havíamos solicitado no item 1.5, ou seja, se
conseguiriam relacionar a representação gráfico-bidimensional (curvas de nível)
com o próprio objeto.
Ao analisar as respostas, consideramos a justificativa dada pelo G3 a que
melhor representa a conversão necessária entre as projeções planas e o objeto.
Após responder afirmativamente, o grupo justifica que “se estivesse no plano de
base todas as circunferências, seria só imaginar todas elas (circunferências) se
separando cada uma em um plano”.
Os sujeitos do G1, que no item anterior melhor tinham conseguido
expressar a ideia da sobreposição das circunferências em um plano de base, ao
responder este item escreveram que “só seria possível se fosse representado em
perspectiva”, ou seja, não seria possível chegar ao objeto a partir de suas curvas
de nível. A fim de investigar a aparente contradição entre o que fizeram no item
anterior e o que afirmaram nesta, recorremos à filmagem e conseguimos captar a
seguinte discussão:
Sujeito A1: “Só dá em perspectiva, porque em perspectiva você tem a noção de profundidade, agora se você desenhar assim óh (olhando o
117
modelo por cima, com o olho sobre o eixo Oz, no sentido de Oz+ para Oz- de modo a ver todos os gráficos simultaneamente, como se estivessem projetados em um único plano), não dá não!” Sujeito B1: “Desse jeito que foi feito dá para imaginar (levantando o modelo com as mãos e mostrando-o ao sujeito A1).” Sujeito A1: “Mas na lousa?” (perguntando se devem imaginar a figura a partir do modelo ou da projeção no plano, que aqui chamou de lousa)
Sujeito B1: “A questão diz no plano. Aí concordo com você. Só dá se for em perspectiva.”
A fim de compreender melhor a concepção que estes sujeitos tinham
sobre a projeção em um plano de base, adiantamo-nos na análise e fomos
verificar o modo como desenharam as curvas de nível, solicitadas no item 3.3 da
Atividade 3 (p. 129) e no item 6.1 da Atividade 6 (p. 142).
Observamos, tanto em uma atividade quanto em outra que, embora
tenham esboçado corretamente as curvas no plano cartesiano, não as
identificaram de acordo com a cota correspondente. Auxiliados por esta
informação, acreditamos que a resposta do grupo, apesar de incorreta, se
justifique se levarmos em conta o modo como os sujeitos compreendem o que
são curvas de nível. Para estes sujeitos, como não há informações adicionais
quanto às cotas nas curvas de nível (como nos esboços que fizeram), então não
é possível imaginar o objeto tridimensional a partir dessas curvas e neste caso, a
tarefa somente seria possível se a figura fosse representada em perspectiva.
Os sujeitos do G4 também responderam negativamente e escreveram que
“cada plano estaria paralelo”. Acreditamos que, a exemplo do G1, estes não
estavam considerando a necessidade de que as diversas projeções fossem
identificadas. Ao escrever que os planos estariam paralelos, provavelmente
estavam se referindo a planos paralelos e coincidentes e nesse caso, embora
incorreta, a resposta parece ser coerente com a concepção que estes sujeitos
têm sobre as curvas de nível.
Os integrantes do G2 responderam que seria possível “com a
representação com os três eixos” e desenharam gráficos em perspectiva, no
entanto, de acordo com o enunciado da pergunta (QUADRO 1), esta resposta
118
parece ser negativa e não afirmativa, pois referíamo-nos a projeção horizontal em
um plano de base e não a representação em perspectiva.
1.6) Você acha que seria possível imaginar um objeto tridimensional a partir da projeção
horizontal das diversas circunferências sobre o plano de base? Justifique.
QUADRO 1. ENUNCIADO DO ITEM 1.6
Acreditamos, a exemplo do que havíamos observado no item 1.5, que, se
houvesse possibilidade de entrevistar os sujeitos do G2, poderíamos aprofundar
a análise e procurar compreender quais são as concepções destes sujeitos sobre
representações por meio de perspectivas e por meio de curvas de nível.
Pretendemos realizar esta tarefa após o término deste trabalho.
Ao apresentar esta primeira atividade, esperávamos, além de proporcionar
aos participantes um primeiro contato com o modelo de representação
tridimensional, verificar se conseguiam perceber e expressar algumas das
características que consideramos importantes para o desenvolvimento da
visualização das superfícies quádricas como, por exemplo, o fato de que nos
modelos 1 e 2 as circunferências têm o mesmo comprimento de raio e no
MODELO 3 têm raios diferentes ou que nos modelos 1 e 3 os centros das
circunferências encontram-se sobre uma reta e no MODELO 2 encontram-se
sobre uma curva.
Ao observar as respostas dadas pelos sujeitos aos itens 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4,
verificamos que, apesar de se expressarem de maneiras particulares, alguns
usando notação matemática (“imagine uma linha inclinada cuja função é xy = ”)
(p. 98), outros usando comparações com objetos concretos do cotidiano
(“imagine uma mola” (p. 103), “como se fosse uma mangueira na diagonal” (p.
98), ou “à medida que z vai aumentando, formando um funil” (p. 106)) , em geral,
conseguiram observar e descrever as características que destacamos.
Observamos que nos itens 1.5 e 1.6, quando nos referíamos a
representações planas por meio da projeção no plano de base, os sujeitos do G2
e do G4 apresentaram respostas que envolviam perspectivas. Numa próxima
119
atividade, talvez devamos modificar o enunciado das questões a fim de tornar
explícito que nos referimos à projeção plana e a nenhum outro tipo de
representação.
Quando concebemos o MODELO 3, imaginávamos verificar se os sujeitos
perceberiam que o tamanho das circunferências e a altura em que as mesmas
estavam relacionavam-se de forma não linear, porém, com exceção da discussão
dentro do G4 (p. 116), não pudemos obter dados adicionais que nos permitissem
verificar se isso ocorreu ou não. Numa próxima oportunidade de repetir o
experimento, talvez devamos apresentar um modelo adicional em forma de cone,
a fim de que seja comparado ao MODELO 3, que representa um hiperbolóide e
verificar se os sujeitos conseguem perceber e descrever que em um existe uma
relação de proporcionalidade entre o raio e o valor de z e no outro não.
Acreditamos que alguns grupos, em alguns itens, não tenham conseguido
obter a percepção visual do objeto a partir do modelo de representação, como na
resposta que o G3 apresentou ao item 1.2 ao descrever o MODELO 2 (p. 103) de
forma excessivamente limitada, informando que os “raios não mudavam e o que
mudava era o centro”, sem referir-se a outras propriedades da figura, como por
exemplo o fato dos centros das circunferências encontrarem-se sobre uma curva
ou sobre a forma que a figura possuía.
Outras vezes observamos que um determinado grupo, em uma
determinada atividade, conseguiu captar a visão do objeto a partir do modelo de
representação, porém não demonstrou tê-lo visualizado, como nas descrições
sobre o comportamento dos centros das circunferências apresentadas pelos
grupos G3 e G4 (p. 110), nas quais escrevem que nos modelos 1 e 2 “as
circunferências tem centro diferente” e no MODELO 3 os “centros são os
mesmos”, sem levar em conta a tridimensionalidade do objeto.
Por outro lado, alguns grupos, em alguns itens, conseguiram mostrar
indicações de procurar a visualização das superfícies quádricas, como por
exemplo, a descrição do G3 no item 1.6, em que sugerem “imaginar as
circunferências se separando cada uma em um plano” (p. 116) para ilustrar o
modo pelo qual poderíamos idealizar uma figura a partir de suas curvas de nível.
120
5.3.2 Atividade 2
Esta atividade tem os itens 2.1, 2.2 e 2.3.
Inicialmente, entregamos aos participantes onze transparências impressas
com representações gráficas de circunferências com centro na origem e com
comprimentos de raio que vão de 1 a 10 unidades, além de espaçadores e
hastes plásticas, similares aos utilizados nos modelos da Atividade 1.
No item 2.1, solicitamos que montassem as transparências, espaçando-as
umas das outras, de modo que ficassem sobrepostas.
Observamos que o contato que tiveram com os modelos na Atividade 1
parece ter criado a familiarização com este tipo de representação, pois
executaram sem dificuldade as tarefas práticas da montagem (ordenação das
transparências, colocação das hastes, colocação dos espaçadores, etc.).
No item 2.2, pedimos que descrevessem, com palavras, quais foram os
critérios que utilizaram quanto à escolha do tamanho das circunferências e
quanto à posição em que decidiram colocá-las.
Transcrevemos a seguir as respostas obtidas.
G1 Separamos as circunferências de raio par e as de raio impar, e montamos as de raio par e as de raio impar do maior para o menor de fora para dentro do cubo, formando duas cônicas distintas
G2 Da menor para a maior
G3 Decidimos alternar o tamanho e a posição das circunferências, colocando assim uma maior e uma menor, depois novamente uma maior e outra menor, assim por diante, formando assim um zig zag
G4 Começamos onde a circunferência tinha raio 10 (maior) e sequenciando até chegar onde o raio foi igual a zero. Sendo sua posição da maior para a menor circunferência
Nosso objetivo ao propor esta atividade e solicitar as justificativas por
escrito era verificar se os alunos conseguiriam promover a interação entre
componentes intuitivas (conhecimentos aceitos sem necessidade de
121
demonstrações ou provas) e componentes algorítmicas (os procedimentos de
montagem) da atividade de criação de um modelo de representação
tridimensional e se conseguiriam desenvolver a visualização da quádrica a partir
desta representação.
Ao analisarmos a filmagem desta atividade verificamos que todos os
grupos, aparentemente de forma intuitiva, ordenaram as transparências em
ordem crescente (decrescente) antes de iniciar a montagem.
Observamos que os grupos G2 e G4 montaram obedecendo a uma ordem
determinada pelo tamanho das circunferências, da menor para a maior, ou da
maior para a menor, formando a representação de um cone. Os sujeitos do G1 e
do G3, no entanto, após ordenarem as transparências de acordo com o tamanho,
escolheram outros critérios de montagem.
Conforme a descrição feita pelo G1, “separaram as circunferências de raio
par e de raio ímpar e montaram da maior para a menor, de fora para dentro do
cubo” (p. 120).
Percebemos que, assim como haviam feito na Atividade 1, novamente
referiram-se ao modelo como “um cubo”. Como dissemos anteriormente, o
modelo é formado por transparências quadradas que, quando empilhadas, fazem
com que o modelo tenha a forma de um paralelepípedo reto, não de um cubo.
Apesar deste não ser o foco de nossa análise, observamos que, tanto nas
atividades desta pesquisa como em nossa prática didática e em situações
cotidianas, por vezes atribui-se a uma forma o nome de um objeto matemático
sem que esta forma possua as propriedades que definem tal objeto. Isso
acontece quando, por exemplo, os alunos referem-se a um retângulo chamando-
o de quadrado ou quando se referem a uma circunferência chamando-a de
“bola”. Nos Jogos Olímpicos de 2008, a cidade de Pequim mostrou ao mundo o
Centro Aquático Nacional, um conjunto para competições aquáticas que ficou
popularmente conhecido como “Cubo d’Água”. De acordo com a notícia de um
jornal da época, o complexo esportivo ganhou este nome por ser “um enorme
cubo formado por estruturas geométricas em forma de bolhas de água11”.
11 O local onde serão realizadas as competições de natação é um enorme cubo formado por estruturas geométricas semelhantes a bolhas de água (Folha de São Paulo, 11/11/2007 – Caderno Esporte, pag. D5)
122
As fotos do conjunto mostram (ver FOTO 9) que, apesar de possuir uma
base quadrada, o conjunto não tem a forma de um cubo, mas de um
paralelepípedo. Ao pesquisarmos o sítio oficial da competição verificamos que as
dimensões da construção não deixam dúvidas: o conjunto possui como base um
quadrado com 178 metros de lado e 31 metros de altura12.
Acreditamos que esta contradição pode demonstrar a falta de validação
dos aspectos intuitivos do objeto pelos aspectos formais. Neste caso, a forma do
modelo de representação pode ter feito com que os sujeitos se lembrassem de
um cubo, fazendo com que estes, intuitivamente, aceitassem isso como suficiente
e descrevessem-no como um cubo.
FOTO 9. CENTRO AQUÁTICO NACIONAL DE PEQUIM
De acordo com a descrição que fizeram, os sujeitos do G1 “separaram as
circunferências de raio par e as de raio impar” e montaram-nas da “maior para a
menor de fora para dentro”. Ao observar o modelo, verificamos que a
representação que montaram apresentava a sobreposição ordenada de
circunferências com os seguintes raios: 10, 8, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7 e 9.
Ao simularmos, por meio do programa de geometria dinâmica Cabri 3D,
uma das possíveis figuras obtidas pelos sujeitos, conseguimos as vistas em
perspectiva e em perfil (ver DESENHO 27) e verificamos que a figura apresenta
dois cones, com a mesma inclinação, porém com vértices distintos. Os sujeitos
do G1, no entanto, escreveram que a disposição das circunferências forma “duas
12 Official Olympics Site National Aquatics Center - http://en.beijing2008.cn
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124
Embora não possamos afirmar que os sujeitos vislumbraram a figura antes
da montagem, pudemos observar, ao ver a filmagem, que os gestos que faziam
com as mãos, imitando uma onda, parecem indicar que tinham uma ideia prévia
de como seria a figura depois de montada.
DESENHO 28. CORTE DE UMA FIGURA NO PLANO YZ
Após a montagem, promovemos um momento no qual os grupos
mostraram uns aos outros os modelos que haviam criado. Nossa intenção era
verificar se os sujeitos, ao verem figuras distintas formadas pelas mesmas onze
transparências, conseguiriam perceber a potencialidade do modelo para a
representação de diferentes objetos tridimensionais, de acordo com o tamanho
das circunferências, com a posição em que seriam colocadas e com o
espaçamento entre uma e outra.
No item 2.3 perguntamos aos participantes se consideravam possível criar
a representação de outro sólido a partir das mesmas 11 circunferências.
As respostas obtidas foram as seguintes:
G1 Sim, apenas mudando a ordem das figuras
G2 Sim. Dois cones com a mesma origem, sendo um formado com as circunferências de raio par e outro com raio impar
125
G3 Não, no meu ponto de vista não. Mas quem sabe por outro ponto de vista poderia ser feito
G4 Sim. Basta inverter as várias posições das circunferências. Esta que fizemos forma um funil. Se invertermos nos dava um cone
O G3, apesar de ter visto os modelos montados pelos outros grupos,
respondeu negativamente, dizendo que pelo seu “ponto de vista não”, porém “por
outro ponto de vista poderia se feito”. Apesar de termos recorrido à filmagem, não
conseguimos obter informações adicionais que nos permitissem entender se os
sujeitos estavam falando do “ponto de vista” matemático, em referência ao local
onde o observador se coloca para observar determinado fenômeno; ou se
estavam referindo-se ao “seu ponto de vista” como quem quisesse dizer “em
minha opinião”, “a meu ver”. Para um melhor entendimento, pretendemos
recorrer a estes sujeitos e entrevistá-los, após o término desta pesquisa.
Acreditamos que dessa forma possamos obter informações que complementem
as conclusões deste trabalho.
Dentre os grupos que responderam afirmativamente, a justificativa
apresentada pelo G4 pode apontar uma falha relacionada ao entendimento dos
conceitos matemáticos envolvidos na representação das superfícies quádricas.
Os sujeitos associaram duas figuras diferentes, um cone e um funil, a duas
figuras obtidas pela inversão da ordem de montagem. De acordo com a descrição
que fizeram, ao montarem da maior para a menor (a maior na parte de baixo)
obteriam um cone e ao montar da menor para a maior obteriam um funil (p. 124).
Ao analisar esta justificativa, pareceu-nos que, de acordo com o
entendimento do G4, em um funil as circunferências maiores estão em cima e em
um cone as circunferências maiores estão embaixo, ou seja, para estes sujeitos,
o objeto matemático que chamaram de “cone” e o que chamaram de “funil” são
diferentes.
Acreditamos que, neste caso, os sujeitos fizeram a associação direta entre
o objeto matemático e o utensílio funil, que normalmente é utilizado com a parte
maior para cima, assim como associaram o objeto matemático cone ao utensílio
de mesmo nome usado para sinalização, que normalmente está com a parte
126
maior para baixo. Ao desconsiderar as propriedades formais que definem um
cone e associá-lo aos objetos concretos do cotidiano, os sujeitos levaram em
conta a componente intuitiva da atividade (conhecimentos prévios, aceitos sem
necessidade de demonstrações ou provas) e a componente algorítmica
(relacionada à ordem em que dispuseram as circunferências e aos
procedimentos de montagem), porém negligenciaram aspectos formais
envolvidos na representação das figuras que haviam montado.
5.3.3 Atividade 3
Esta atividade tem os itens 3.1, 3.2 e 3.3.
No item 3.1, solicitamos aos sujeitos que montassem a representação
tridimensional correspondente à expressão algébrica zyx =+ 22 (parabolóide)
para os valores inteiros de z = 0 até z = 10, utilizando para isso as 11
transparências que lhes foram entregues.
Auxiliados pelas indicações do raio e do valor de z que estavam impressos
nas transparências, todos os participantes conseguiram realizar a tarefa sem
dificuldades, bastando que ordenassem as circunferências em ordem crescente
dos raios, respeitando uma unidade de espaçamento entre elas.
No item 3.2 solicitamos aos sujeitos que identificassem e descrevessem a
relação entre o valor de z e o comprimento do raio da circunferência.
Transcrevemos a seguir as respostas que obtivemos.
G1 A relação entre z e o raio é que o raio será sempre a raiz de z
G2 O raio é igual a nz
1016,3
...373,1
241,1
11
00
10
3
2
1
0
==
==
==
==
==
z
z
z
z
z
127
G3 Sim. O raio é a raiz quadrada de z, porque pela expressão algébrica
zyx =+ 22 e 2rz =
G4 Sim. O valor do meu raio é dado, ou melhor, encontrado em função do valor de z, quando o centro da circunferência está na origem
Ao propor a questão 3.2, esperávamos verificar se os sujeitos
conseguiriam estabelecer a relação entre o aumento linear do parâmetro z (0, 1,
2, 3, ... , 10) e o aumento não linear do comprimento do raio da circunferência.
Os sujeitos do G2 validaram a resposta de modo empírico. Ao perceberem
que o crescimento não era linear (o aumento de 1 unidade no valor de z não
correspondia a aumentos iguais no comprimento do raio), parecem ter
encontrado familiaridade com alguns dos números que indicavam o comprimento
dos raios (1,14, 1,73, 2, etc.) e relacionaram estes às raízes quadradas de
inteiros ( 4,3,2 , etc.) por meio de uma tabela que desenharam no verso da
folha. Quando verificaram que os valores relacionavam-se e que a raiz quadrada
correspondia ao raio das circunferências em cada uma das respectivas alturas,
responderam que “o raio é igual a nz ” (p. 126).
Os sujeitos do G1 apresentaram a mesma resposta do G2, mas não
fizeram nenhum esboço nos protocolos.
A nosso ver, apesar dos grupos G1 e G2 terem respondido corretamente,
a componente algorítmica, envolvida na determinação da relação entre z e o
comprimento do raio por meio de uma tabela, prevaleceu sobre as demais.
Embora houvéssemos solicitado que justificassem, pareceu-nos que, para estes
sujeitos, foi suficiente apresentar a solução. Não encontramos indicações, seja
nos protocolos, seja na filmagem, de que tenham relacionado a equação da
circunferência com a expressão algébrica da quádrica e verificado que quanto
maior o valor de z maior o raio, ou que tenham verificado que o crescimento dos
raios em função do valor de z corresponde a uma parábola e que, por este
128
motivo, a figura tem um formato parabólico, entre outras observações que
poderiam ter feito.
Os sujeitos do G4 responderam afirmativamente que haviam conseguido
identificar a relação entre o valor de z e o raio das circunferências, porém
justificaram que “o valor do raio é encontrado em função do valor de z, quando o
centro da circunferência está na origem” (p. 126) sem apresentar a relação que
afirmaram ter identificado. A princípio, como não explicitaram, imaginamos que
não haviam conseguido encontrar; porém, ao verificar o esboço que fizeram da
quádrica no item 3.3, pudemos observar que, além de identificarem cada uma
das curvas de nível corretamente, apresentaram indicações de que haviam
compreendido que o valor do raio é igual à raiz quadrada de z, conforme o
DESENHO 29.
DESENHO 29. ESBOÇO DO G4 – ITEM 3.3
Os sujeitos do G3 escreveram que “o raio é a raiz quadrada de z, porque
pela expressão algébrica zyx =+ 22 e 2rz = ” (p. 126), estabelecendo uma
relação direta entre a equação reduzida da circunferência, dada por 222 ryx =+ e a expressão algébrica da quádrica apresentada nesta atividade, dada por
zyx =+ 22 , chegando à conclusão que 2rz = .
Embora não tenham comentado, com palavras, que a relação entre a cota
e o raio da circunferência corresponde a uma parábola, ou que não existe
129
circunferência quando para valores de z negativos, a justificativa apresentada
pelo G3 foi a que mais se aproximou do entendimento que esperávamos que
tivessem desta atividade e mostra indicações de que os sujeitos conseguiram
estabelecer a relação formal entre as circunferências representadas nos cortes
paralelos ao plano xy e a figura tridimensional.
A nosso ver, a capacidade de fazer a conversão do registro gráfico
tridimensional para o registro gráfico bidimensional pode colaborar com o
desenvolvimento da visualização. Por isto propomos o item 3.3, no qual
solicitamos aos participantes que imaginassem a projeção das transparências no
plano de base e pedimos que as desenhassem em um plano cartesiano.
Os quatro grupos fizeram desenhos similares ao que apresentamos no
DESENHO 30, feito pelo G4. O G3 também desenhou as curvas com a
identificação do z correspondente, porém nos desenhos dos grupos G1 e G2 não
havia indicações que associassem as circunferências às suas respectivas cotas.
Ao analisar o esboço que os sujeitos do G4 fizeram, recorremos às
respostas que haviam escrito no item 1.6 da Atividade 1 (p. 116) e verificamos
que, naquele momento, responderam que não era possível imaginar um objeto
tridimensional a partir de sua representação plana, porém neste item (3.3)
representaram corretamente a quádrica por meio das curvas de nível,
identificando as curvas de acordo com as cotas, a partir da representação
tridimensional.
A nosso ver, a análise desta situação pode implicar uma de pelo menos
três constatações: a) os sujeitos não conseguem imaginar uma figura
tridimensional a partir das curvas de nível, porém conseguem fazer o caminho
inverso e representar a figura tridimensional por meio das curvas de nível; b) os
sujeitos desenvolveram algum tipo de aprendizagem entre a Atividade 1 e esta
atividade (Atividade 3) que os permitiu esboçar e identificar corretamente as
curvas de nível a partir da representação tridimensional da figura; ou c)
responderam a questão proposta no item 1.6 sem que houvessem compreendido
o enunciado.
130
DESENHO 30. PROJEÇÃO DE UMA QUÁDRICA NO PLANO DE BASE
Os sujeitos do G1 fizeram o esboço das curvas de nível, porém não as
identificaram de acordo com a cota correspondente. A fim de melhor
compreender a concepção que estes sujeitos tinham sobre representações
planas, recorremos ao item 1.6 da Atividade 1 e verificamos que, ao serem
perguntados sobre a possibilidade de representação plana de uma figura
tridimensional, responderam que “só seria possível se fosse representado em
perspectiva” (p. 116). Os esboços que estes sujeitos fizeram, assim com os que
foram feitos pelos sujeitos do G2, são compatíveis com a visão que se obtêm
quando olhamos o modelo de representação tridimensional e alinhamos a visão
com o eixo Oz. Parece-nos que, ao realizar esta etapa da atividade, os sujeitos
reproduziram intuitivamente a imagem obtida a partir do modelo, sem preocupar-
se com as propriedades formais da representação e com a necessária indicação
da cota correspondente a cada curva desenhada.
Aparentemente, apenas com o olhar, os sujeitos conseguiram obter a
percepção visual das curvas de nível, mas não mobilizaram outras informações
(como a identificação das cotas) em busca de uma organização do conhecimento
que os permitisse representar corretamente a quádrica por meio de sua projeção
num plano de base.
131
5.3.4 Atividade 4
Esta atividade tem os itens 4.1 e 4.2
No item 4.1, solicitamos aos sujeitos que montassem a representação
tridimensional de uma superfície quádrica, a partir de suas curvas de nível,
apresentadas em um plano cartesiano, conforme o enunciado no QUADRO 2.
As curvas apresentadas correspondem à representação plana de um
elipsóide.
4.1) Utilizando as 11 transparências que foram entregues ao seu grupo, monte a
representação tridimensional correspondente à representação bidimensional
dada no gráfico abaixo.
QUADRO 2. ENUNCIADO DO ITEM 4.1
Todos os grupos associaram corretamente a informação do valor de z, que
estava indicada no gráfico, com a altura em que deveriam colocar as
circunferências e chegaram à representação tridimensional de um elipsóide.
No item 4.2, solicitamos que descrevessem a figura obtida.
132
Todos os grupos, aparentemente influenciados pelo formato oval da
representação e pelas variáveis concretas envolvidas na montagem, como o
tamanho dos espaçadores, descreveram-na como um elipsóide, porém não
encontramos indicações de que tenham procurado validar a impressão visual que
tiveram após a montagem.
De um ponto de vista que considere a necessidade da interação entre
aspectos intuitivos, algorítmicos e formais na atividade, parece-nos que neste
caso aspectos intuitivos (a visão do objeto oval) e algorítmicos (as técnicas de
montagem, a feitura do objeto) sobrepuseram-se a aspectos formais.
Quando concebemos esta atividade, imaginávamos que os sujeitos
poderiam descrever a figura a partir das informações observáveis nas curvas de
nível e na representação tridimensional, elencando suas principais
características. Poderiam, por exemplo, comentar o fato de que o corte paralelo
ao plano xz ou ao plano yz pode determinar uma elipse e de que vem daí o nome
que se dá a esta figura, ou o fato de que os centros das circunferências
encontravam-se no eixo z, ou que o comprimento dos raios variava de 0 (na cota
z = 5 e z = -5) até 10 unidades (na cota z = 0), entre outras.
Ao descreverem a figura como elipsóide, os sujeitos mostraram conhecê-la
e nominá-la, reunindo em uma única palavra todas as propriedades formais do
objeto. Essa “economia”, no entanto, acabou privando-nos de argumentos que
nos permitissem avaliar se os sujeitos haviam desenvolvido a apreensão formal
sobre o objeto em questão ou se apenas sabiam o seu nome. A fim de
complementar as conclusões, após o término desta pesquisa pretendemos
entrevistar os sujeitos e obter mais dados sobre as impressões que estes possam
ter sobre a figura. Numa próxima oportunidade, ao repetir esta experiência,
devemos considerar uma mudança no enunciado, como forma de evitar a
concisão de respostas que observamos nesta atividade.
A fim de incitar uma discussão sobre a figura que haviam descrito,
chamamos a atenção dos participantes para o fato de que poderíamos ter
cortado os espaçadores em tamanho maior do que o que estávamos usando.
Supondo isto, perguntamos verbalmente se ainda teríamos um elipsóide ou outro
objeto. Os sujeitos dos grupos G1, G2 parecem ter reavaliado a resposta que
133
haviam escrito nos protocolos e responderam oralmente nosso questionamento,
como transcrevemos a seguir:
Sujeito do G2: “Então seria uma esfera” Sujeito do G3: “Aí sim, seria uma esfera!” Sujeito do G2: “É uma esfera. Está achatada por causa do tamanho dos canudinhos” (referindo-se aos espaçadores, que de acordo com sua argumentação são menores do que deveriam ser e fizeram com que a figura ficasse achatada)
Perguntamos então o que ocorreria se ao invés de aumentarmos,
diminuíssemos ainda mais o tamanho dos espaçadores, ao que um dos sujeitos
do G2 respondeu:
Sujeito do G2: “Ia ficar mais achatado ainda!”
A fim de eliminar o tamanho dos espaçadores como uma das variáveis que
pudessem determinar a forma do objeto, perguntamos se seria possível
identificar se a figura é uma esfera ou um elipsóide olhando apenas no gráfico
das curvas de nível, sem considerar a visão que haviam obtido a partir do modelo
de representação tridimensional.
Enquanto um dos sujeitos do G1 acredita não ser possível, um dos
sujeitos do G2 olhou novamente para o gráfico das curvas de nível e começou a
conjecturar.
Sujeito do G1: “Não. Olhando só no plano não dá!” Sujeito do G2: “O [valor de] z está subindo 5, e o [valor de] x vai até 10, então o z é menor do que o x”
Neste ponto da discussão o mencionado sujeito do G1, influenciado pela
iniciativa do G2, mudou de ideia e também recorreu às curvas de nível, a fim de
validar suas afirmações. Apesar de ter computando corretamente a altura da
figura ao falar que “o [valor de] z vai até 10, contando de -5 até + 5”, não
considerou que a “largura” corresponde ao dobro do raio e que, portanto, a
134
variação de x era igual a 20 unidades. Como em seus cálculos a figura teria 10
unidades de altura e 10 unidades de largura, falou que “seria uma esfera, só que
aqui (no modelo de representação tridimensional) ela está achatada por causa
dos espaçadores”.
Sujeito do G1: “Eles têm razão (referindo-se aos sujeitos do G2). O [valor de] z vai até 10, contando de -5 até + 5 e a largura também dá 10. O certo seria uma esfera, só que aqui ela está achatada por causa dos espaçadores”
O sujeito do G2, que havia afirmado que a figura era uma esfera, ao
recorrer às curvas de nível, tenta obter informações a partir do gráfico, que num
primeiro olhar haviam passado despercebidas e dá sinais de conseguir organizar
estas informações em uma argumentação lógica, conforme transcrevemos:
Sujeito do G2: “Mas é o raio que é 10. O comprimento total é o dobro. Dá 20, enquanto que a altura máxima é 10, então dá um elipsóide, uma esfera achatada”
Neste ponto da discussão os sujeitos dos grupos G1 e G4 deram sinais de
concordar com a argumentação do G2, de que a figura era realmente um
elipsóide, independentemente dos espaçadores, porém o sujeito do G4 comentou
sua dificuldade em “visualizar” a figura a partir das curvas de nível.
Sujeito do G4: “Eu estou vendo circunferência atrás de circunferência. Olhando assim em 2D eu não consigo imaginar. Em três dimensões eu consigo ver a figura, mas olhando no gráfico não” Sujeito do G1, dirigindo-se ao sujeito do G4: “Você tem que “puxar” as circunferências prá cima, de acordo com o z” Sujeito do G4: “Mas esta representação aqui é bidimensional, não é tridimensional!” Sujeito do G2: “Você tem que abstrair e imaginar o z “saindo” do papel”
A análise deste trecho da discussão pode indicar aspectos importantes
quanto à concepção que o sujeito do G4 tem sobre a representação de figuras
geométricas. De acordo com o seu argumento de que “esta representação é
bidimensional, não é tridimensional”, referindo-se à sua dificuldade em visualizar
a figura por meio das curvas de nível, parece-nos que para este sujeito: a) a
135
única maneira de acessar a figura é por meio da visão, disponível ao primeiro
olhar; b) a única maneira de representar uma figura tridimensional seria por um
modelo de representação tridimensional; c) as representações bidimensionais
serviriam exclusivamente para representar objetos da geometria plana. A nosso
ver, isto pode indicar uma dificuldade de “visualização” que não foi superada,
apesar da participação do sujeito nas atividades.
Por outro lado, esta atividade parece ter favorecido, pelo menos para os
sujeitos do G1 e do G2 que participaram da discussão, a interação entre as
componentes intuitivas, algorítmicas e formais envolvidas na representação da
quádrica. Nossa impressão é reforçada pela observação das recomendações que
deram ao sujeito do G4 (p. 134), a fim de que este conseguisse imaginar a figura
a partir das curvas de nível e pelos diferentes posicionamentos que mostraram no
decorrer das discussões. Inicialmente, descreveram a quádrica como um
elipsóide, depois consideraram a possibilidade dos espaçadores serem menores
e afirmaram, baseados apenas em aspectos intuitivos, que a figura era uma
esfera. Ao final, após mobilizarem as informações das curvas de nível,
concluíram que era realmente um elipsóide.
A nosso ver, o que distingue a apreensão sobre a figura que os sujeitos do
G1 e do G2 mostraram ter desenvolvido, relaciona-se em partes, ao fato de que
estes, quando incitados pelo nosso questionamento, diferentemente dos demais
grupos, procuraram ir além da percepção visual imediata, disponível nas
representações e buscaram reunir outras informações e organizá-las em busca
de uma representação semiótica. Parece-nos, desta forma, que conseguiram
“visualizar” a figura, enquanto que os demais conseguiram “ver” as
representações da figura.
5.3.5 Atividade 5
Esta atividade tem os itens 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4.
No item 5.1, solicitamos aos participantes que associassem a expressão
algébrica de um hiperbolóide de uma folha 222 10 zyx +=+ à expressão reduzida
de uma circunferência e que analisassem o comportamento do comprimento do
136
raio desta circunferência em função do parâmetro z. Para tal, sugerimos que
fizessem z variar entre -4 e 4 e que registrassem as informações em uma tabela.
Todos os grupos preencheram corretamente a tabela, conforme uma
amostra dos protocolos do G4 (QUADRO 3).
QUADRO 3. ATIVIDADE 5.1 – G4
No item 5.2, perguntamos aos participantes qual a relação entre o valor de
z e o raio da circunferência. Ao propor esta pergunta, esperávamos verificar se os
sujeitos conseguiriam traduzir em palavras a relação algébrica que usaram para
completar a tabela do item 5.1.
Obtivemos as seguintes respostas a esta questão:
G1
2rz = . A relação é que ( )102 += zr G2
zr += 10 G3 Independente do valor de z ser negativo ou positivo, o valor de raio sempre será o mesmo, para um determinado z G4 O valor simétrico de z não interfere no valor do raio
A resposta do G1 apresenta uma incoerência. Ao tentar explicitar a relação
existente entre o valor de z e o raio da circunferência, os sujeitos escreveram
137
2rz = e logo em seguida “a relação é que ( )102 += zr ”, como se uma afirmação
implicasse a outra.
Os sujeitos do G3 e do G4 observaram corretamente que tanto para kz =
como para kz −= , o raio seria o mesmo, ao escreverem que
“independente[mente] do valor de z ser negativo ou positivo, o valor do raio será
sempre o mesmo para um determinado z” (G3) e que “o valor simétrico de z não
interfere no valor do raio” (G4), porém não esclareceram se haviam entendido
que 210 zr += . Posteriormente, ao analisar as respostas que deram à questão
do item 5.3 verificamos que os sujeitos do G4 mostraram ter entendido e que os
sujeitos do G3 confundiram a relação e associaram 210 zr += .
Ao analisarmos as respostas do G1, G3 e G4 observamos que, apesar de
terem completado corretamente a tabela proposta no item 5.1, responderam
incorretamente o item 5.2 (G1) ou não explicitaram a relação entre o valor de z e
o raio da circunferência (G3 e G4). Isto pode indicar que os sujeitos fizeram o
preenchimento da tabela de modo mecânico ao substituir o parâmetro z pelos
valores inteiros de -4 até 4, conforme proposto na atividade, sem a mobilização
de aspectos formais que lhes permitissem validar seus procedimentos e
descrever o que estavam fazendo.
No item 5.3, perguntamos aos sujeitos se era possível , em algum dos
cortes da figura dada pela expressão algébrica 222 10 zyx +=+ , que houvesse
circunferências com raio 4,5 unidades e nesse caso em qual altura estaria.
Obtivemos as seguintes respostas:
G1 Sim. Colocaríamos no ponto 3,2
138
G2
24,324,325,10
1025,205,410
5,410
2
22
2
±===
−=
=+
=+
zz
zz
z
G3 Não, porque como o 210 zr += , e substituindo o r por 4,5, ou seja,
2105,4 z+= resultará em 5,52 −=z , que dentro do R (conjunto dos números reais) não existe G4 Sim.
2,325,10
1025,2010
2
2
22
±==
=−
+=
z
zzr
Quando distribuímos a folha com as questões, o enunciado do item 5.3
trazia o seguinte texto:
5.3) Dentre as circunferências obtidas, existe alguma cujo raio tenha o comprimento
igual a 4,5 unidades? Se existe, em que altura você a colocaria? Justifique.
QUADRO 4. ENUNCIADO DO ITEM 5.3
Diante da expressão “dentre as circunferências obtidas” alguns sujeitos
entenderam que estávamos mencionando aquelas que constavam na tabela,
correspondentes aos valores inteiros de z de -4 até 4. Esclarecemos que não
estávamos nos referindo exclusivamente àquelas, mas a todas as circunferências
possíveis, qualquer que fosse o valor real de z. Após este esclarecimento, os
sujeitos mostraram entender o que a atividade solicitava e deram continuidade às
tarefas. Em uma próxima oportunidade, ao repetir o experimento, devemos
considerar a modificação do texto para “Dentre os possíveis cortes paralelos ao
plano xy, existe algum que corresponda a uma circunferência com raio 4,5
unidades?”. Esta observação também vale para o item 5.4.
139
Verificamos que os sujeitos dos grupos G1 (que no item 5.2 haviam
expressado incorretamente a relação entre o raio e o valor de z) (p.116), G2 e G4
(que no item 5.2 haviam expressado parcialmente a relação entre o raio e o valor
de z) (p.116), responderam corretamente esta questão, ao informar que seria
possível que houvesse uma circunferência de raio igual a 4,5 unidades e que
esta circunferência se localizaria na altura correspondente a 25,10=z .
Os sujeitos do G3 (que no item 5.2 haviam expressado parcialmente a
relação entre o raio e o valor de z) se equivocaram ao escrever a equação210 zr += , quando deveriam escrever 22 10 zr += , ou seja, não consideraram
que na equação da circunferência o raio deveria estar elevado ao quadrado.
Quando analisamos os protocolos obtidos após a aplicação do
questionário sobre as circunferências, observamos que o erro de maior incidência
consistia em associar uma circunferência à equação reduzida da circunferência
sem que o raio se apresentasse elevado ao quadrado. A fim de complementar a
atual análise, recorremos novamente a esses protocolos e verificamos que, ao
contrário do que imaginávamos, nenhum dos sujeitos do G3 havia cometido este
erro naquela ocasião.
A nosso ver, o erro cometido neste item pode estar relacionado aos
diferentes contextos em que se desenvolveram as duas atividades, de resolução
do questionário e de estudo de quádricas.
Quando aplicamos o questionário, concebemos questões voltadas à
análise do entendimento que os participantes tinham sobre as circunferências e
nas atividades com o modelo de representação (embora utilizemos os conceitos
envolvidos na representação de circunferências) direcionamos as tarefas para o
estudo de superfícies quádricas. O equívoco do G3 pode indicar que numa
atividade sobre circunferências estes sujeitos mobilizaram conhecimentos que
não foram mobilizados em um contexto diferente, como por exemplo, no estudo
de quádricas.
Como não consideraram que o raio de medida 4,5 deveria ser elevado ao
quadrado, algebricamente chegaram à conclusão de que não poderia existir z e
140
que, portanto não seria possível que houvesse uma circunferência de raio igual a
4,5 unidades em nenhum dos cortes da quádrica, conforme a expressão:
5,5
5,5105,4
2
2
−=
−=
+=
z
zz
Ao observar os valores com os quais os sujeitos do G3 preencheram a
tabela, verificamos que para o valor de 4±=z o raio equivale a 1,526 ≅ e que
para o valor de 3±=z o raio equivale a 4,419 ≅ , ou seja, se considerarmos que
não há descontinuidade, 265,419 ≤≤ , então existe uma circunferência com
comprimento de raio igual a 4,5 situada entre os valores de z = 3 e z = 4 (idem
para valores de z entre -3 e -4).
O fato dos sujeitos do G3 chegarem à conclusão de que não havia
nenhuma circunferência com raio igual a 4,5 unidades entre os possíveis corte da
figura dada e apresentarem a resposta sem validá-la pode indicar que nesta
atividade, as componentes algorítmicas (preenchimento mecânico da tabela com
os valores da expressão e do raio) sobrepuseram-se a restrições formais.
Embora os sujeitos do G3 tivessem a sua disposição argumentos que
justificassem a existência da circunferência, o resultado que obtiveram
algebricamente parece ter sido suficiente para descartar tal possibilidade.
No item 5.4, perguntamos aos sujeitos se era possível que, em algum dos
cortes da figura representada pela expressão dada, houvesse circunferências
com raio 2,5 unidades e obtivemos as seguintes respostas:
G1 Não existe, pois não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos reais
141
G2 Não existe, pois o raio mínimo é 3,16.
75,3
1025,625,6105,210
5,210
2
2
22
2
−=
−=
=+
=+
=+
z
zzz
z
G3 Também não existe, como pode perceber abaixo dentro dos R (conjunto dos números reais) não existe raiz quadrada dos negativos
5,75,7
105,210
2
2
2
2
−=
=−
+=
+=
zz
zzr
G4 Não
75,3
1025,610
2
22
−=
=−
+=
z
zzr
Os sujeitos do G1 responderam que não era possível que houvesse uma
circunferência com raio igual a 2,5 unidades e justificaram dizendo que “não
existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos reais”, mas não fizeram
nenhuma anotação indicativa de que tenham feito algum cálculo para justificar a
afirmação.
Os sujeitos do G2 e G4 também responderam que não era possível.
Justificaram a resposta substituindo o valor do raio na expressão 102 −= rz e
mostraram que quando o raio mede 2,5 não existe solução dentro dos números
reais, pois 75,3105.2 2 −=−=z .
Os sujeitos do G3 se equivocaram novamente, a exemplo do que haviam
feito no item 5.3, e escreveram a equação 210 zr += , quando deveriam escrever 22 10 zr += . Apesar de responderem corretamente que não existia nenhuma
142
circunferência de raio 2,5 entre os possíveis cortes da quádrica, basearam-se em
premissas incorretas.
5.3.6 Atividade 6
Esta atividade tem os itens 6.1, 6.2 e ,6.3.
Inicialmente, apresentamos a representação algébrica 10222 =−+ zyx e
entregamos aos participantes 11 transparências impressas com circunferências
correspondentes à 11 cortes paralelos ao plano xy da quádrica dada.
No item 6.1, solicitamos aos sujeitos que esboçassem as curvas de nível
correspondentes, em um plano cartesiano.
Os sujeitos do G1 e do G2 desenharam as curvas corretamente, por meio
de um esboço que é compatível com a visão que se obtêm quando o observador
põe o olho sobre o eixo Oz e direciona o olhar no sentido de Oz+ para Oz-.
Notamos, no entanto, que os sujeitos do G2 identificaram as curvas de acordo
com a cota correspondente, enquanto os sujeitos do G1 não o fizeram, limitando-
se a reproduzir o que conseguiram “ver” através das transparências. Ao analisar
esta atividade, parece-nos que os sujeitos do G2 procuraram mobilizar aspectos
formais a fim de validar a representação plana da figura, enquanto os sujeitos do
G1 pareceram considerar suficiente a reprodução de aspectos intuitivos do
objeto. Aparentemente, os sujeitos do G1 conseguiram, ao primeiro olhar, obter a
percepção visual da figura, porém não mostraram iniciativas no sentido de reunir
e organizar as relações entre as informações disponíveis nas representações
algébricas e gráficas que os permitissem criar, a partir desta mobilização, uma
representação semiótica da figura.
Os sujeitos dos grupos G3 e G4 não fizeram o esboço solicitado. Na
tentativa de entender o motivo pelo qual isso ocorreu, recorremos à folha que
continha as atividades propostas (ver APÊNDICE B - ATIVIDADES COM O
MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL) e acreditamos ter
encontrado o motivo. O item 6.1, em que solicitávamos que desenhassem as
curvas, encontrava-se no topo da página e o gráfico onde deveriam desenhar as
143
curvas, devido a uma falha de diagramação, ficou localizado na parte de baixo da
folha, abaixo do item 6.4. É provável que os sujeitos do G3 e do G4 não tenham
prestado atenção a este detalhe e tenham deixado de fazer o esboço solicitado.
Numa próxima oportunidade, ao repetir o experimento, devemos modificar a
localização do gráfico a fim de evitar esse tipo de falha.
No item 6.2, solicitamos aos participantes que montassem a representação
tridimensional da expressão dada usando as transparências.
Acreditamos que, neste item, tenham sido priorizados aspectos
algorítmicos da representação da quádrica. A fim de que montassem
corretamente, os sujeitos poderiam, a exemplo do que fizeram na Atividade 5,
relacionar a expressão algébrica da quádrica à equação de uma circunferência e
de acordo com o parâmetro z, determinar o tamanho do raio correspondente.
Todos os grupos conseguiram realizar esta tarefa com sucesso.
No item 6.3, pedimos aos participantes que descrevessem com palavras a
figura que obtiveram, e conseguimos as seguintes respostas:
G1 Obtemos uma figura parecida com uma ampulheta, conhecida como hiperbolóide de uma folha G2 Hiperbolóide G3 Foi formada uma figura que chama hiperbolóide. Isso porque os raios foram diminuindo e depois aumentando G4 Como se fosse um funil ou dois cones unidos pelo vértice
Observamos nas descrições dos grupos G1, G2 e G3 referências ao termo
hiperbolóide.
Neste caso, assim como havíamos observado na análise do item 4.2 da
Atividade 4 (p. 131), ao nominar a figura chamando-a de hiperbolóide
conseguimos concluir que os sujeitos conseguiram “ver” a figura por meio do
144
modelo de representação, porém a falta de uma descrição que apresentasse
mais detalhes prejudicou a análise sobre o entendimento que os sujeitos tinham
ou que vieram a desenvolver sobre superfícies quádricas. Não conseguimos,
pelas descrições apresentadas, verificar se conhecem propriedades formais da
quádrica chamada hiperbolóide ou se sabem apenas associar o nome à
representação da figura. Pretendemos, a fim de complementar as conclusões
obtidas após o término desta pesquisa, recorrer aos sujeitos e entrevistá-los, em
busca de informações que possam nos esclarecer sobre qual é o entendimento
que esses têm sobre a figura que montaram nesta atividade.
Numa próxima oportunidade, ao repetir esta experiência devemos
considerar uma mudança no enunciado, como forma de evitar respostas tão
abreviadas como as que obtivemos nesta e na Atividade 4.
Os sujeitos do G1 escreveram que a figura é “parecida com uma
ampulheta” (p. 143) e os sujeitos do G3 justificaram que a figura é um
hiperbolóide “porque os raios foram diminuindo e depois aumentando” (p. 143),
porém não encontramos indicações de que os sujeitos tenham observado que
apesar do corte em planos paralelos ao plano xy corresponder a uma
circunferência, um corte paralelo ao plano xz (ou ao plano yz) corresponde à
representação plana de uma hipérbole.
Também não encontramos indicações de que tenham relacionado esta
atividade aos itens 5.3 e 5.4 da Atividade 5 e verificassem graficamente a
impossibilidade de que houvesse circunferências de raio igual a 2.5 em um dos
cortes paralelos ao plano xy.
Os sujeitos do G4 associaram a figura a um “funil ou dois cones unidos
pelo vértice” (p. 143). Ao escreverem “funil” acreditamos que estivessem
intuitivamente se referindo ao comprimento dos raios das circunferências que
compõem o modelo, que de acordo com o valor de z diminuem ou aumentam.
Ao referir-se à “dois cones unidos pelo vértice” os sujeitos não validaram
formalmente pelo menos dois aspectos importantes da figura: a) o crescimento
(decrescimento) das dimensões das circunferências não são lineares como são
em um cone, ou seja, não existe um constante k, tal que zkr .= ; b) inexistência de
145
um vértice, visto que a menor circunferência, correspondente a cota z = 0 tem
raio igual a 16,310 ≅ .
Neste capítulo apresentamos a análise dos dados obtidos a partir dos
protocolos das “tarefas de reconhecimento” e das atividades desenvolvidas com
o uso de um modelo de representação tridimensional.
Desenvolvemos esta análise com base nas ideias de Fischbein (1993),
sobre a necessidade da interação entre componentes formais, algorítmicas e
intuitivas de um conteúdo matemático; e de Duval (1999), que distingue a visão
(imediatamente acessível ao primeiro olhar, porém não suficiente para
desenvolver funções cognitivas fundamentais) da visualização (responsável pela
organização das relações entre as informações obtidas pela visão, em busca da
produção de representações semióticas, de forma a desenvolver tais funções).
Apresentaremos a seguir nossas conclusões e considerações finais, que
se tornaram possíveis a partir dos resultados obtidos na presente análise.
146
CONCLUSÃO 1: CONCLUSÕES
Ao desenvolver esta pesquisa, procuramos verificar se uma abordagem
que envolvesse tratamentos e conversões entre diferentes registros de
representação semiótica, mediada por um modelo de representação
tridimensional, pode favorecer a visualização de superfícies quádricas.
A fim de alcançar este objetivo, apoiados pelas considerações teóricas de
Fischbein (1993), sobre a necessidade de interação entre as componentes
formais, algorítmicas e intuitivas de um conteúdo matemático; e de Duval (1999),
que distingue a visão da visualização e defende a necessidade de que os alunos
desenvolvam a aprendizagem sobre os objetos matemáticos em pelo menos dois
diferentes sistemas de representação semiótica; concebemos uma questão de
pesquisa, que reapresentaremos e responderemos ao final deste texto, após
algumas reflexões que consideramos importantes.
Os sujeitos que participaram desta pesquisa apresentam dificuldade em
traduzir em palavras as particularidades envolvidas em uma representação e
mostram descuido quanto ao formalismo necessário à comunicação dentro de
uma atividade matemática.
De acordo com Duval (1999), embora não seja uma questão simples
definir quais são os melhores registros de representação, ou qual o melhor modo
de trabalhar em cada um deles, o registro descritivo em língua natural é essencial
para um controle cognitivo e para o desenvolvimento da aprendizagem em
qualquer atividade matemática.
Ao analisar as respostas apresentadas pelos participantes, notamos pelo
menos dois problemas, que a nosso ver estão associados à dificuldade dos
sujeitos quanto ao registro discursivo.
O primeiro problema que encontramos relaciona-se ao aparente descuido
quanto ao formalismo necessário à comunicação dentro de uma atividade
matemática, ao empregar um termo que define um objeto para referir-se a outro
objeto.
Sendo a Matemática um conjunto de conhecimentos, determinado por
relações formais, logicamente estruturadas, a comunicação entre aqueles que se
147
dedicam a estudá-la e a ensiná-la se dá por meio de uma linguagem própria,
regulada por conceitos e propriedades formais. Em uma atividade matemática,
quando nos referimos, por exemplo, a uma circunferência, estamos nos referindo
ao “lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo
chamado centro da circunferência” e não a outro objeto com propriedades
distintas destas. A denominação carrega consigo as propriedades do objeto.
Apenas para citar alguns exemplos, observamos que em algumas
ocasiões, os sujeitos do G1 referiram-se ao modelo como um “cubo” (p. 98),
apesar do modelo de representação não ter formato de um cubo; referiram-se a
uma reta oblíqua ao plano de base como “diagonal” (p. 98), não porque fosse a
diagonal de um poliedro, mas por sua obliquidade; escreveram “quadrante”
quando queriam dizer “octante” (p. 98); descreveram dois cones como duas
“cônicas” (p. 120).
Os sujeitos do G3, ao descrever uma das representações, escreveram que
era um “plano tridimensional” (p. 98) quando talvez quisessem referir-se às três
dimensões do modelo, sem perceber a incompatibilidade entre as definições
matemáticas dos termos “plano” e “tridimensional”.
Para Fischbein (1993), com quem concordamos
[...] normalmente é a interpretação intuitiva baseada em uma experiência primitiva, limitada, mas firmemente enraizada, que aniquila o controle formal ou as necessidades da solução algorítmica e assim distorce ou mesmo bloqueia uma reação matemática correta (FISCHBEIN, 1993, p. 244, tradução nossa 13).
Nas descrições e respostas obtidas, percebemos a presença hegemônica
de aspectos intuitivos, remanescentes de aprendizagens anteriores, que foram
trazidos à tona e empregados sem que os sujeitos tentassem validá-los pela
mobilização de aspectos formais e algorítmicos. A nosso ver, o poder coercivo de
aspectos intuitivos bloqueou eventuais iniciativas que pudessem levar os sujeitos
à aprendizagem desejada.
Embora a identificação da interação e dos conflitos entre as componentes
formais, algorítmicas e intuitivas seja uma tarefa complexa, ao analisar o modo
13 […] usually, it is the intuitive interpretation based on a primitive, limited, but strongly rooted individual experience that annihilates the formal control or the requirements of the algorithmic solution, and thus distorts or even blocks a correct mathematical reaction
148
como os sujeitos se utilizaram de termos próprios da geometria plana em
referência a objetos tridimensionais, acreditamos estar diante de um desses
conflitos citado por Fischbein (1993), ou seja, aparentemente as noções intuitivas
da geometria plana, mobilizadas pelos sujeitos sem a necessária validação,
mostraram-se tão enraizadas que acabaram anulando qualquer controle formal
que possibilitasse a correta interpretação da figura.
O segundo problema que encontramos, também relacionado ao registro
discursivo, está no fato dos sujeitos utilizarem termos do quotidiano para designar
objetos que possuem designação própria dentro da Matemática.
Os sujeitos do G1 se referiram ao cilindro como uma “mangueira” (p. 98);
relacionaram o formato do hiperbolóide a uma “ampulheta” (p. 143) ou a um
“funil” (p. 106). Os sujeitos do G2 descreveram um dos modelos como uma “mola
espiral” (p. 103) e outro como “funil” (p. 106). Os sujeitos do G3 disseram que
iriam montar um modelo “como se fosse um zig zag” (p. 120).
A nosso ver, os termos conseguem transmitir algumas das características
da figura e podem ser utilizados normalmente e sem restrições em situações
quotidianas, mas quando utilizados em uma atividade matemática, podem
caracterizar a ausência de aspectos formais necessários ao próprio entendimento
ou à comunicação que deve existir entre aqueles que participam de uma
atividade matemática.
O aparente descuido com a linguagem também foi verificado na concisão
com que os grupos descreveram algumas das representações. A nosso ver, isto
pode indicar que para estes sujeitos, aspectos intuitivos da figura parecem ser
suficientes para descrevê-la, ou que a visão (Duval, 1999) imediata, captada a
partir da representação, pode reunir em si as propriedades da figura.
Notamos isso ao observar como os sujeitos do G2 descreveram a
diferença entre os três modelos pela frase “a função da origem = variação de z”
(p. 110); ou como os sujeitos do G3 descreveram o MODELO 3: “circunferências
sobrepostas, todas com centro (0,0) e raio diferente em cada uma” (p. 106); ou
como os sujeitos do G3 justificam a denominação da figura hiperbolóide: “porque
os raios foram diminuindo e depois aumentando” (p. 143) ou ainda como o G4
definiu a relação entre o comprimento do raio e a cota na representação de um
149
parabolóide ao escrever que “o valor simétrico de z não interfere no valor do raio”
(p. 136).
Para Duval (1999) existe um ponto de ruptura entre a percepção visual e a
visualização
A representação semiótica não mostra as coisas como elas são em um ambiente 3D ou como podem ser fisicamente projetadas sobre um pequeno suporte material 2D. Este é o problema da percepção visual. A representação semiótica mostra relações, ou melhor, organização de relações entre as unidades de representação (DUVAL, 1999, p. 12, tradução nossa 14).
Ao observar as constantes tentativas de associação entre representações
icônicas (tais como “mola”, “funil”, “escada”), acessíveis ao primeiro olhar e
representações de superfícies quádricas, percebemos que diante da percepção
visual possibilitada pelas representações, os sujeitos descartaram a necessidade
de organizar as informações e analisá-las, em busca de uma representação
semiótica. Na maioria das vezes consideraram a visão obtida suficiente para
descrever a figura.
No item 4.2 da Atividade 4, notamos que um dos sujeitos do G4, diante da
impossibilidade de “ver” a figura tridimensional a partir das curvas de nível,
objetou quanto à capacidade do desenho em fazê-lo imaginá-la. Seu argumento
era de que a representação era em 2D e que a figura era tridimensional (p. 134).
Em outras palavras, de acordo com as concepções deste sujeito, se a figura
pertence ao ambiente 3D, então deveria ser representada em 3D. Neste caso,
entendemos que o sujeito refere-se à percepção visual da figura e não às
possibilidades de visualização que podem ser mobilizadas por meio da
organização de unidades representacionais (Duval, 1999), presentes tanto na
representação tridimensional como em uma representação em duas dimensões.
14 A semiotic representation does not show the things as they are in the 3D environment or as they can be physically projected on a small 2D material support. That is the matter of visual perception. A semiotic representation shows relations, or better, organization of relations between representational units
150
Observamos, ao ler os protocolos, que os sujeitos do G3 e do G4
pareciam não relacionar as diferentes representações planas, tridimensionais e
algébricas às figuras. No item 1.5 da Atividade 1, os sujeitos do G4 descreveram
a representação do MODELO 2 como uma “escada circular” (p. 111),
possivelmente em referência aos degraus que cada um dos gráficos parecia
lembrar e no item 1.3 da Atividade 1 os sujeitos do G3 descreveram o MODELO
3 como “circunferências sobrepostas, todas com centro (0,0) e raio diferente em
cada uma” (p. 106) e os sujeitos do G4 como “circunferência com centro em (0, 0)
em todos os planos, variando o raio a cada plano” (p. 106).
No item 6.3 da Atividade 6, os sujeitos do G4 parecem ter conseguido “ver”
a figura tridimensionalmente, porém não mostraram ir além da percepção visual e
descreveram a representação de um hiperbolóide de uma folha “como se fosse
um funil ou dois cones unidos pelo vértice” (p. 143). Acreditamos que, caso
tivessem desenvolvido a visualização da figura, iriam mobilizar e organizar as
informações presentes na expressão algébrica e na representação tridimensional;
e verificar que não havia vértices e que a figura não era um cone.
Nos itens 3.3 da Atividade 3 e 6.1 da Atividade 6, solicitamos aos
participantes que desenhassem as curvas de nível a partir do modelo de
representação tridimensional. Nas duas oportunidades, verificamos que os
sujeitos do G1 reproduziram um desenho compatível com a visão que se obtém
quando o olhar do observador fica alinhado com o eixo Oz, no sentido de Oz+
para Oz-, porém não deram indicações de ter ido além da visão imediata
possibilitada pelo modelo, quando poderiam coletar outras informações e
organizá-las de modo a criar uma representação semiótica da figura. Em outras
palavras, ao reproduzir nos protocolos a imagem que conseguiram captar por
meio do olhar, mostraram que “viram”, mas não “visualizaram”.
Observamos, contudo, que em pelo menos duas ocasiões, alguns sujeitos
procuraram mobilizar outros aspectos, além dos intuitivos, e criar uma
representação semiótica da figura.
No item 3.3 da Atividade 3, ao esboçar as curvas de nível, os sujeitos do
G2 não as identificaram de acordo com as cotas correspondentes, porém, na
última atividade (item 6.1 da Atividade 6) mostraram observar outras informações
151
da representação, além da visão captada pelo primeiro olhar e identificaram-nas
corretamente. A iniciativa de coletar e organizar informações adicionais presentes
na representação, em busca de uma representação semiótica, pode indicar que
neste caso e para este grupo, houve algum avanço em direção a aprendizagem
esperada.
No item 4.2 da Atividade 4, após todos os grupos terem respondido que a
figura representada era um elipsóide, provocamos uma discussão sobre o
tamanho dos espaçadores e verificamos que os sujeitos do G1 e do G2, depois
de incitados, recorreram à representação plana em busca de informações que
lhes permitisse validar a resposta que haviam dado, inicialmente baseada em
aspectos intuitivos (p. 133). Os sujeitos analisaram os raios, as cotas, as curvas
de nível e o espaçamento entre as transparências e concluíram que,
independentemente do comprimento dos espaçadores (que poderiam
inadvertidamente ter sido cortados em tamanho maior ou menor), a figura
representada era um elipsóide. Para estes sujeitos, esta atividade foi capaz de
promover a interação entre aspectos intuitivos, algorítmicos e formais envolvidos
na associação entre o registro gráfico de representação e o objeto matemático
representado.
Ao analisar o percurso dos participantes dos grupos G1 e G2, concluímos
que, pelo menos nesta atividade, a discussão desencadeada parece ter
provocado a necessidade de ir além da visão imediata da representação
tridimensional, levando-os a buscar outras informações. Como consideramos a
visualização (Duval, 1999) essencial para a aprendizagem em Matemática, o
processo de coleta e organização das informações, a nosso ver, permitiu, nesta
atividade e para estes sujeitos, a visualização da figura e o avanço em direção à
aprendizagem matemática do conteúdo estudado.
No entanto, para a maioria dos sujeitos, as atividades que propusemos
não foram suficientes para promover a visualização das superfícies quádricas ou
a interação entre as componentes formais, algorítmicas e intuitivas envolvidas na
aprendizagem deste conteúdo. Aspectos intuitivos, frutos de aprendizagens
anteriores e fortemente enraizados, sobrepuseram-se aos demais, bloqueando
152
iniciativas que pudessem levar os sujeitos a buscar a validação formal de suas
concepções prévias.
Concluímos, a partir da consideração de que a visualização é fundamental
para o entendimento em Matemática que, para a maioria dos sujeitos desta
pesquisa, as atividades, embora mediadas por um modelo de representação
tridimensional, não favoreceram o desenvolvimento da visualização de
superfícies quádricas que lhes permitisse criar representações semióticas destas
figuras e avançar em direção à aprendizagem esperada deste conteúdo.
Como dissemos anteriormente, a fim de alcançar o nosso objetivo,
elaboramos uma questão de pesquisa, que respondemos a seguir, subsidiados
pela análise dos protocolos e das filmagens que foram coletados durante as
atividades.
Q. Uma sequência de atividades que envolvam tratamentos e conversões de registros de representação semiótica, mediadas por um modelo de representação tridimensional, pode favorecer a visualização das superfícies quádricas?
R. As atividades que desenvolvemos foram mediadas por um modelo
de representação tridimensional e previam a conversão entre diferentes registros de representação semiótica, porém, os dados que obtivemos não nos permitem afirmar que favoreceram a visualização, ou que tenhamos observado a interação entre as componentes formais, algorítmicas e intuitivas das superfícies quádricas.
Não temos evidentemente condições de estender esta conclusão aos
demais alunos, tampouco aos demais cursos de licenciatura, porém, acreditamos
que mudanças no currículo que incluíssem a demonstração matemática como um
dos tópicos a serem desenvolvidos poderiam fazer com que os estudantes
mobilizassem, além de aspectos intuitivos, aspectos formais e algorítmicos em
busca de respostas.
153
Além disso, ao considerar as dificuldades dos sujeitos desta pesquisa
quanto ao registro discursivo, avaliamos que as disciplinas e atividades
desenvolvidas nos cursos de licenciatura devem incentivar os futuros professores
ao uso da linguagem natural em sua futura prática docente e que, no caso da
Matemática, esta linguagem deve enquadrar-se dentro das restrições e
formalidades, próprias desta área do conhecimento.
2: CONSIDERAÇÕES FINAIS
Não consideramos como pré-requisito a condição de que os participantes
não soubessem algo, como por exemplo, identificar a representação de uma
superfície quádrica e relacioná-la ao seu nome. Acreditamos, é verdade, que
quanto menos soubessem sobre as quádricas mais poderíamos inferir se houve
ou não algum tipo de avanço que pudesse caracterizar o desenvolvimento da
aprendizagem sobre este conteúdo. Salientamos, porém, que o desconhecimento
sobre as superfícies quádricas não era um pré-requisito.
Os participantes de nossa pesquisa tiveram aulas sobre superfícies
quádricas, previstas em uma disciplina do curso, dois meses antes que
iniciássemos as atividades. Não nos dedicamos em saber quão detalhadas e em
que nível de aprofundamento se desenvolveram estas aulas. Entretanto, de
acordo com a análise dos protocolos e subsidiados pelas discussões que
conseguimos filmar dentro dos grupos e entre os grupos, acreditamos que não
tenham atingido o nível de formalidade que conferisse aos alunos o domínio
sobre este conteúdo. Parecem, no entanto, ter desenvolvido alguma
aprendizagem, principalmente quanto à identificação das figuras, como por
exemplo, na Atividade 4, quando nominaram a figura obtida como “elipsóide” (p.
131), ou na Atividade 6, quando chamaram a figura obtida de “hiperbolóide”
(p.143).
Ao encontrarem um nome que resumisse todas as propriedades da figura
obtida, os sujeitos de certa forma “economizaram” outros tipos de descrições, que
poderiam nos fornecer mais argumentos para que desenvolvêssemos nossa
análise. Ao escrever que uma figura é um elipsóide, embora estivessem
nominando-a corretamente, os sujeitos acabaram privando-nos involuntariamente
154
de material que poderia nos permitir verificar o quanto sabiam e o quanto teriam
eventualmente evoluído com a utilização do modelo tridimensional.
Devemos considerar, em um estudo que possa complementar as
conclusões desta pesquisa, desenvolver as atividades em uma turma que ainda
não tenha estudado o assunto e verificar se as descrições que dão sobre as
figuras podem ser mais detalhadas.
Ao conceber as atividades, consideramos a necessidade de que os
sujeitos já tivessem desenvolvido aprendizagem sobre circunferências.
De acordo com o conteúdo programático da universidade onde aplicamos
a pesquisa, os alunos do curso de Licenciatura em Matemática frequentam a
disciplina Geometria Analítica no 2° ano. Como o estudo das circunferências faz
parte desta disciplina e como os sujeitos de nossa pesquisa são alunos
matriculados no 3º ano, acreditamos que poderiam preencher esta condição.
Apesar disto, consideramos que fosse necessário aplicar um questionário
de revisão e propor uma retomada deste assunto, de modo que os participantes
tivessem condições de desenvolver as atividades que proporíamos. A análise
deste questionário permitiu-nos desenvolver uma atividade de institucionalização,
com o objetivo de trazer à tona os saberes envolvidos na representação de
circunferências.
Como o objetivo de nossa pesquisa relaciona-se ao estudo das quádricas,
embora tenhamos feito a análise das repostas que os sujeitos deram no
questionário (p. 73), não aprofundamos esta análise a fim de verificar se
conseguiram ou não desenvolver aprendizagem sobre as circunferências.
Acreditamos, no entanto, que os dados obtidos a partir da análise das respostas
que obtivemos indicam pontos importantes, como a grande incidência de erros
relacionados ao fato dos sujeitos associarem o raio à equação reduzida da
circunferência sem elevá-lo ao quadrado, ou ao fato dos alunos associarem um
número negativo a soma de quadrados correspondente à equação reduzida da
circunferência (p. 89). Estas constatações podem suscitar novos estudos e
pesquisas sobre o tema.
Ao elaborar a sequência de atividades, esperávamos, entre outras coisas,
explorar a capacidade descritiva dos sujeitos. Para isso, solicitamos em algumas
155
atividades que descrevessem livremente os modelos, ou que imaginassem e
descrevessem a figura a partir da sua projeção em um plano de base.
Acreditávamos que, a partir dos registros discursivos em língua natural
poderíamos fazer inferências sobre como os sujeitos conseguiam “ver” a
representação e como conseguiam “visualizar” a representação, ou seja, como
conseguiam mobilizar e organizar as relações entre as informações vistas em
busca de uma representação semiótica da superfície quádrica estudada em cada
atividade.
Como dissemos nas conclusões da pesquisa, em alguns casos a concisão
das descrições e a brevidade das respostas não foram suficientes para que
conseguíssemos obter as impressões que gostaríamos. Em uma próxima
oportunidade, ao repetir o experimento ou ao rever os objetivos em uma nova
pesquisa, devemos considerar modificações no enunciado das questões,
tornando-as mais direcionadas e menos genéricas, eventualmente dividindo-as
em mais de um tópico, de modo a incitar nos sujeitos a reflexão e um maior
detalhamento nas descrições.
Em virtude da limitação de tempo que se impõe à produção de uma
pesquisa de Mestrado, tendo em vista que havíamos concebido: a) resolução de
um questionário de revisão sobre circunferências, b) análise das respostas do
questionário, c) institucionalização sobre as circunferências, d) atividades com
modelo de representação e finalmente e) análise das atividades; apesar de
termos previsto a necessidade de entrevistas com os sujeitos, não tivemos
condições de fazê-las e dirimir algumas dúvidas sobre as respostas que
apresentaram no decorrer das atividades.
Para citar um exemplo, no item 2.3 da Atividade 2, quando perguntamos
sobre a possibilidade de representar outra figura a partir das mesmas
transparências, os sujeitos do G3 responderam negativamente, dizendo que pelo
seu “ponto de vista não”, porém “por outro ponto de vista poderia se feito” (p.
124). Não conseguimos descobrir, pela análise dos protocolos, se estavam
falando do “ponto de vista” matemático, em referência ao local onde o observador
se coloca para observar determinado fenômeno; ou se estavam referindo-se ao
“seu ponto de vista” como quem quisesse dizer “em minha opinião”, “a meu ver”.
Neste caso, uma entrevista com estes sujeitos poderia esclarecer-nos.
156
Em uma próxima oportunidade, devemos considerar um número menor de
atividades, menos abrangentes, direcionadas a um número menor de superfícies
quádricas, porém mais específicas além de prever no cronograma da pesquisa
um tempo dedicado à entrevista individual dos sujeitos, logo após a análise das
atividades, como modo de complementar as descrições por escrito.
A componente intuitiva, conforme escreve Fischbein (1993), parece, por
vezes suplantar qualquer iniciativa de formalismo. Orientados por esta
consideração teórica, procuramos desenvolver atividades que, a nosso ver,
pudessem mobilizar aspectos formais, algorítmicos e intuitivos dos conteúdos
matemáticos relacionados às superfícies quádricas.
Ao analisar os protocolos, no entanto, nos demos conta de quão coercivos
podem ser aspectos intuitivos, que nas atividades foram trazidos à tona sem a
necessária validação teórica, a bloquear eventuais possibilidades de interação
com aspectos formais e algorítmicos e a dificultar possíveis organizações de
informações em direção à visualização das superfícies quádricas. Em uma
próxima investigação, devemos considerar atividades e questionamentos
específicos, que levem os sujeitos a desenvolver uma reflexão sobre as
respostas, validando-as teoricamente por meio da mobilização de outras
componentes além das intuitivas.
Para Duval (1999)
O uso de visualização requer um treinamento específico para visualizar cada registro. Figuras geométricas ou gráficos cartesianos não são diretamente disponíveis como podem ser as representações icônicas. A aprendizagem não pode ser reduzida à treinar a construção destes registros (DUVAL, 1999, p. 14, tradução nossa 15).
Subsidiados por esta consideração teórica, acreditamos que, para que
haja aprendizagem, é necessário que os sujeitos compreendam que o acesso
aos objetos matemáticos não se dá de forma direta e imediata, como ocorre nos
casos de representações icônicas (um carro, uma casa, uma árvore).
15 The use of visualization requires a specific training, specific to visualize each register. Geometric figures or Cartesian graphs are not directly available as iconic representation can be. And their learning cannot be reduce do training to construct them.
157
Acreditávamos que as unidades representacionais (gráficos de
circunferências, informações impressas sobre cotas, informações impressas
sobre raios, expressões algébricas, curvas de nível) presentes nos modelos de
representação tridimensional e nas atividades que propusemos, pudessem fazer
com que os sujeitos, além de “vê-las”, considerassem-nas e organizassem-nas, a
fim de desenvolver a visualização e criar representações semióticas das
superfícies quádricas. Notamos, no entanto, que, por vezes, os sujeitos se
referiam às representações como se fossem ícones, relacionando-as a “molas”,
“funis”, “alvos”, “escadas”, entre outros.
Devemos considerar, em uma próxima oportunidade, a concepção de
atividades que façam com que os sujeitos sintam-se impelidos a mobilizar outros
aspectos que não a percepção visual. A discussão que provocamos na Atividade
4 (p. 133) mostrou que é possível incitar os sujeitos nesta direção e pode servir
de referência para a criação de outras atividades.
Não tínhamos condições de filmar todos os participantes durante todo o
tempo da atividade, então optamos em solicitar ao cinegrafista que nos
acompanhou que filmasse as atividades por amostragem, ora focando um grupo,
ora outro, de acordo com as discussões que ocorriam nos grupos e de acordo
com a nossa orientação. A estratégia rendeu bons resultados, pois conseguimos
captar algumas discussões importantes, porém, o eco da sala onde realizamos
as atividades acabou prejudicando a audição de outros diálogos, que poderiam
complementar a análise. Em uma próxima oportunidade devemos considerar,
além da filmagem, a colocação de um gravador de áudio em cada grupo, a fim de
evitar esta limitação.
Terminamos esta pesquisa, mas não acabamos com a curiosidade, nem
com a vontade de investigar e aprofundar-nos sobre o assunto, pelo qual
acabamos nos apaixonando, relacionado às representações.
Acreditamos que mudanças nos enunciados das questões, na concepção
dos modelos tridimensionais e na dinâmica das atividades possam oferecer
outras oportunidades de estudo e reflexão, em busca de uma abordagem que
favoreça a aprendizagem de superfícies quádricas, para que outros, como nós,
também se apaixonem pelo saber.
158
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159
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(Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Santa Úrsula, Rio de Janeiro,
1998.
160
APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO DE REVISÃO SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS
1) Indique qual é a expressão algébrica correspondente à representação gráfica, de acordo com a tabela abaixo, sabendo que o ponto C corresponde ao centro da circunferência:
322 =+ yx
922 =− yx
922 =+ yx
322 =− yx
93 22 =+ yx
222 =+ yx
422 −=− yx
222 =− yx
422 =+ yx
42 =+ yx
( ) ( ) 332 22 =++− yx
( ) ( ) 932 22 =++− yx
932
22
=+yx
( ) ( ) 932 22 =−++ yx
( ) ( ) 932 22 −=++− yx
a)
b)
c)
161
2) Indique qual é a representação gráfica correspondentes à expressão algébrica:
422 =+ yx
a)
162
( ) ( ) 923 22 =−++ yx
b)
163
3) Indique qual é a descrição correspondente à representação gráfica:
i. Circunferência com centro em
(‐3, 2) e raio de comprimento 2
ii. Circunferência com centro em (2, ‐3) e raio de comprimento 2
iii. Circunferência com centro em
(‐3, 2) e raio de comprimento 4
i. Circunferência com centro em
(0, 0) e raio de comprimento 6
ii. Circunferência com centro em (0, 0) e raio de comprimento 9
iii. Circunferência com centro em (0, 0) e raio de comprimento 3
i. Circunferência com centro em
(0, 3) e raio de comprimento 3
ii. Circunferência com centro em (3, 0) e raio de comprimento 3
iii. Circunferência com centro em (3, 0) e raio de comprimento 6
i. Circunferência com centro em
(2, 2) e raio de comprimento 2
ii. Circunferência com centro em (2, 0) e raio de comprimento 4
iii. Circunferência com centro em (2, 2) e raio de comprimento 4
a)
b)
c)
d)
164
4) Indique qual é a descrição correspondente à expressão algébrica:
( ) ( ) 1635 22 =+−− yx
i. Circunferência com centro em (5, ‐3) e raio de comprimento 4
ii. Circunferência com centro em (5, ‐3) e raio de comprimento 16
iii. A expressão algébrica não corresponde a uma circunferência
( ) 54 22 =−+ yx
i. Circunferência com centro em (0, 4) e raio de comprimento 5
ii. Circunferência com centro em
(0, 4) e raio de comprimento 5
iii. A expressão algébrica não
corresponde a uma circunferência
( ) 632 22 =++ yx
i. Circunferência com centro em (0, ‐3) e raio de comprimento 6
ii. Circunferência com centro em
(0, ‐3) e raio de comprimento 6
iii. A expressão algébrica não
corresponde a uma circunferência
722 =+ yx
i. Circunferência com centro em (0,
0) e raio de comprimento 7
ii. Circunferência com centro em (0,
0) e raio de comprimento 7
iii. A expressão algébrica não corresponde a uma circunferência
a)
b)
c)
d)
165
APÊNDICE B - ATIVIDADES COM O MODELO DE REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL
Atividade 1
Seu grupo irá receber três modelos feitos a partir de transparências sobrepostas. Observe‐os e
procure descrevê‐los com palavras, fornecendo as informações que julgar necessárias para que
alguém que não tenha visto os modelos consiga reproduzi‐los.
1.1) Modelo 1
1.2) Modelo 2
1.3) Modelo 3
1.4) Quais são as diferenças observadas entre um modelo e o outro?
1.5) Como você imagina que seria a projeção destes modelos no plano de base? Justifique.
1.6) Você acha que seria possível imaginar um objeto tridimensional a partir da projeção
horizontal das diversas circunferências sobre o plano de base? Justifique.
166
Atividade 2
Seu grupo receberá 11 transparências impressas com representações gráficas de circunferências
com centro na origem e com diferentes comprimentos de raio. Também receberá hastes e
espaçadores para que as transparências possam ser montadas, a exemplo do modelo que
estávamos usando na atividade anterior.
2.1) Monte as circunferências nas hastes, de forma que fiquem sobrepostas umas às outras e
espaçadas entre si.
2.2) Descreva, com palavras, quais foram os critérios que o seu grupo utilizou quanto à escolha
do tamanho das circunferências e quanto à posição em que decidiram colocá‐las.
2.3) Você acha que seria possível criar a representação de outro sólido, a partir das mesmas 11
transparências? Justifique.
167
Atividade 3
3.1) Utilizando as 11 transparências que foram entregues ao seu grupo, monte uma
representação tridimensional correspondente à expressão algébrica zyx =+ 22 , para os
valores inteiros de z=0 a z=10.
3.2) Você consegue identificar alguma relação entre os valores de z e o raio das circunferências?
Justifique sua resposta.
3.3) Após terminar a montagem, imagine que as transparências sejam projetadas no plano da
base. Desenhe as diversas projeções no plano cartesiano representado abaixo, identificando‐as.
168
Atividade 4
4.1) Utilizando as 11 transparências que foram entregues ao seu grupo, monte a representação
tridimensional correspondente à representação bidimensional dada no gráfico abaixo.
4.2) Descreva a figura que foi obtida.
.
169
Atividade 5
Diante da expressão 10222 =−+ zyx , um aluno verificou que pode isolar as variáveis x e
y em um dos lados da equação e obter assim a equação reduzida de uma circunferência, cujo
raio depende do valor de z.
222 10 zyx +=+
5.1) A partir das ideias deste aluno, complete a tabela e responda as questões abaixo.
Valor de z Expressão Raio
z= ‐4
z= ‐3
z= ‐2
z= ‐1
z= 0
z= 1
z= 2
z= 3
z= 4
5.2) Qual é a relação entre o valor de z e o raio da circunferência?
5.3) Dentre as circunferências obtidas, existe alguma cujo raio tenha o comprimento igual a
4,5 unidades? Se existe, em que altura você a colocaria? Justifique.
5.4) Dentre as circunferências obtidas, existe alguma cujo raio tenha o comprimento igual a
2,5 unidades? Se existe, em que altura você a colocaria? Justifique.
170
Atividade 6
6.1) Utilizando o plano cartesiano abaixo, desenhe as curvas correspondentes à expressão
algébrica 10222 =−+ zyx para os valores inteiros de z=‐5 a z=5.
6.2) Reproduza a figura tridimensional correspondente à expressão dada, utilizando as 11
transparências que foram entregues ao seu grupo.
6.3) Descreva, com palavras, a figura obtida.
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6 – Somente no final do estudo poderemos concluir a presença ou não de algum
benefício, na forma de propostas de abordagens de ensino diferentes da usual, para a
Matemática em geral e para o caso da codificação e da decodificação de representações
planas de superfícies quádricas.
7 – Garantia de acesso: em qualquer etapa do estudo, você terá acesso aos profissionais
responsáveis pela pesquisa para esclarecimento de eventuais dúvidas. O principal
investigador é o mestrando Renato Mendes Mineiro, que pode ser encontrado em seu
local de trabalho, à Rua Carlos Villalva, 01 - 11º andar, tel. (11) 3779-0670 ou (11)
8509-5925, email [email protected]; e a orientadora é a Prof.a Dra. Vera
Helena Giusti de Souza, que pode ser encontrada na UNIBAN – Campus MR, à Av. Braz
Leme, 3029 – 1º andar , tel. (11) 2972-9045 ou (11) 3743-7240, e-mail
[email protected]. Se você tiver alguma consideração ou dúvida sobre a ética da
pesquisa, entre em contato com a Comissão de Ética – Av. Braz Leme, 3029 – 1º andar
Telefones 2972-9020 / 9021, FAX: 2972-9028 – E-mail: [email protected];
9 – É garantida a liberdade de retirar o consentimento a qualquer momento e de deixar
de participar do estudo, sem qualquer prejuízo à continuidade de seu vínculo com a
Instituição.
10 – Direito de confidencialidade – As informações obtidas, assim como as imagens e
sons obtidos pela filmagem serão analisados no conjunto de participantes, não sendo
divulgada a identificação de nenhum destes.
11 – Direito de ser mantido atualizado – Os resultados parciais das análises serão
compartilhados, à medida que forem obtidos.
12 – Despesas e compensações: não há despesas pessoais para o participante em
qualquer fase do estudo. Também não há compensação financeira relacionada à sua
participação.
13 – Os dados analisados serão utilizados somente para esta pesquisa.
173
Acredito ter sido suficientemente informado a respeito das informações que li ou que
foram lidas para mim, descrevendo o estudo “Atividades para o Estudo de Superfícies
Quádricas, Mediadas por Modelos de Representação Tridimensional”. Eu discuti com o
mestrando Renato Mendes Mineiro a minha decisão em participar desse estudo. Ficaram
claros para mim quais são os propósitos do estudo, os procedimentos a serem realizados,
seus desconfortos e riscos, as garantias de confidencialidade e de esclarecimentos
permanentes. Ficou claro também que minha participação é isenta de despesas.
Concordo voluntariamente em participar deste estudo e poderei retirar o meu
consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem penalidades ou
prejuízos ou perda de qualquer benefício que eu possa ter adquirido, ou no meu
atendimento nesta unidade de ensino.
Assinatura do aluno/representante legal Data
/ /
(Somente para o responsável do projeto)
Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e Esclarecido
deste paciente ou representante legal para a participação neste estudo.
Assinatura do responsável pelo estudo Data / /
174
ANEXO B – PARECER DA COMISSÃO DE ÉTICA
