REPUBLICA DE CUBA

INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO "JOSE MARTI"

FACULTAD DE EDUCACIÓN INFANTIL DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA PRIMARIA

ALTERNATIVA DIDACTICA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS “NO RUTINARIOS” EN CUARTO GRADO.

Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. AUTOR: Lic. MAXIMILIANO COMPANIONI MASDEU. TUTORES: Dr. LUIS CAMPISTROUS PÉREZ. Dra. CELIA RIZO CABRERA.

CAMAGUEY 2005

INDICE CAPÍTULO 1: Fundamentos psicológicos y didácticos de la resolución de problemas en la Enseñanza de la Matemática de la escuela primaria. 1.1 Consideraciones sobre los problemas y la resolución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática escolar. 1.2 ¿Cómo se define el concepto de problema? 1.3 Características del pensamiento en los escolares de cuarto grado y posibilidades de su desarrollo en el proceso de solución de problemas. 1.4 La actividad y la resolución de problemas. 1.5 La estimulación de la actividad de los alumnos mediante la resolución de problemas. 1.6 Algunas consideraciones finales sobre la actividad y la comunicación en el proceso de solución de problemas CAPÍTULO 2: Propuesta didáctica para estimular la actividad de los alumnos en la resolución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática de cuarto grado”. 2.1 Algunos antecedentes del trabajo con la solución de problemas en la escuela primaria. 2.2 Características de los problemas del compendio propuesto. 2.3 Clasificación de los problemas compendiados. 2.4 Caracterización de la actividad de los alumnos en la solución de problemas en Matemática y su relación con el uso de técnicas y procedimientos de solución. 2.5 Proceder didáctico del maestro en el tratamiento de los problemas el compendio realizado. 2.6 Etapas de la Alternativa Didáctica para el tratamiento de los problemas propuestos. Algunas recomendaciones didácticas.

CAPÍTULO 3: Validación de la Alternativa Didáctica y sus resultados. Estudio de casos para facilitar el análisis del comportamiento de la actividad de los niños en las etapas de trabajo de la Alternativa Didáctica. 3.1 Algunas consideraciones sobre los pre experimentos y los estudios de caso. 3.1.1 Descripción del caso objeto de estudio. Familiarización con el grupo. 3.1.2 Aplicación del test de entrada. 3.1.3 Trabajo con la etapa de familiarización e inicio de la etapa de trabajo intensivo. 3.1.4 Aplicación del test intermedio. 3.1.5 Desarrollo de la etapa de aplicación. 3.1.6 Aplicación del test final. 3.2 Entrevista a la maestra (al inicio y al final). 3.3 Intercambio con expertos.

Agradecimientos A dos personas maravillosas que encaminaron mis resultados científicos y lo hicieron sin condiciones y que para mi son con todo respeto: Celia y Campi. A mis amigos Osmani, Ireibis, Maribel, Armandito, Omar y Eduardo por su apreciable ayuda en la parte más difícil del trabajo. A mis compañeros de la disciplina y del departamento que tanta comprensión tuvieron en cada momento. A mis compañeros de CEJISoft y en general a todos los que en el Instituto colaboraron o se preocuparon por los resultados de la investigación. A todos los que hayan tenido que ver con estos resultados y no he mencionado en las líneas anteriores.

Dedicatoria

A mi hija Claudia, la inspiración de todos mis actos y en especial de esta obra,

que dejo en sus manos a modo de enseñanza y estímulo en su futuro desempeño,

con la esperanza de que siempre sepa estar en la vanguardia.

A mi esposa por la ayuda incondicional que me brindó.

A mis padres que con tanta paciencia aguardaron el resultado final.

INTRODUCCIÓN

El siglo XXI depara enormes retos para la humanidad, pues los adelantos de la

ciencia se suceden todos los días a pasos acelerados, dejando perplejo a los

hombres, con la incertidumbre de cuál será el siguiente descubrimiento y cómo

utilizarlo a favor del progreso e incorporarlo a su beneficio, reformando las

tecnologías que con mayor rapidez se quedan obsoletas.

A este veloz desarrollo científico técnico, no escapa el objeto de ninguna ciencia,

pues todas ellas forman parte del conocimiento humano y constituyen su base y el

camino seguido para alcanzar el nivel que hoy se muestra en la transformación del

medio.

La Matemática como un elemento de ese conjunto de ciencias, hace importantes

aportes en este sentido, al brindarle al hombre mediante la solución de los

problemas inherentes a ella, los medios en forma de técnicas estrategias y

procedimientos, que se convierten en “herramientas” del intelecto, útiles en la

trasformación de la realidad circundante.

Para el logro de tales objetivos, es necesario formar a un hombre con

potencialidades para comprender los cambios que se están produciendo en el

mundo, dados por los avance científicos y tecnológicos de la época. Hacia este tipo de formación se encaminan los pasos del desarrollo presente y

futuro, para el cual existe la voluntad en Cuba de insertarse y se crean todos los

días las condiciones, con la idea de formar un pueblo, en el que su principal

fortaleza sea el conocimiento y la cultura que la humanidad ha creado hasta

nuestros días y la que se continuará creando.

La escuela es el medio por excelencia en el que se puede hacer posible este ideal,

por esa razón se trabaja en el perfeccionamiento continuo de la formación de los

niños y jóvenes que van a asumir estos retos, que incluye a los conocimientos, a

los medios para trabajar en la trasformación y también a los valores, sin los cuales

todo lo anterior carece de una guía y de sentido en ese proceso.

Para el logro de estos propósitos, la enseñanza y el aprendizaje, deben estar

caracterizados por formas de comunicación amplias y flexibles en muchos

sentidos, métodos que la propicien y claras intenciones de hacerlo. De este modo

el maestro puede demostrar su capacidad para lograr que los alumnos construyan

el conocimiento y asuman el papel protagónico que les corresponde.

En este proceso se dan elementos comunes a la didáctica de las ciencias

particulares, en relación con sus componentes, tanto los que tienen que ver con las

personas que intervienen de manera directa en él, como de aquellos más

subjetivos como son los métodos, los procedimientos, las formas de organización,

los objetivos, los contenidos y la evaluación, además de otros de tipo estructural

que también inciden.

En la enseñanza y el aprendizaje de cada ciencia, estos componentes tienen sus

especificidades, a lo que no está ajena la Matemática. La selección adecuada y el

uso óptimo de los componentes que tienen un carácter subjetivo, acompañado de

un buen trabajo del docente, favorecen la apropiación de las relaciones

cuantitativas y espaciales, necesarias para su inserción al medio circundante y el

desarrollo pleno de los alumnos.

La Matemática, al mismo tiempo que dota a los niños de los conocimientos

necesarios en esos dos grandes complejos, tiene la misión de prepararlos para la

vida, es decir, para enfrentar los retos mencionados al inicio, relacionados con los

constantes cambios científicos y tecnológicos. Esto significa que se tiene que

enseñar a pensar, de manera que el aprendiz busque las relaciones entre las

cosas e intervenga en ellas de la manera más económica, bajo el criterio de que

“aprender a pensar es aprender a buscar soluciones adecuadas”1.

Para lograr este propósito la Matemática utiliza varios recursos, unos relacionados

con los componentes del proceso de enseñanza y aprendizaje y otros que son

inherentes a su estructura como ciencia y que a su vez interactúan dentro del

proceso mencionado; este es el caso de la solución de problemas.

Este es uno de los complejos de materias más relevantes en la Enseñanza de la

Matemática, porque a través de él, la Matemática no solo relaciona el resto de los

contenidos entre sí, sino que es la vía ideal para comprender el mundo desde la

propia asignatura, de relacionar todo cuanto nos rodea en los órdenes cuantitativo

y geométrico.

En la enseñanza de la solución de problemas, no basta con poner a los niños

constantemente ante situaciones que les planteen exigencias relacionadas con

soluciones intra o extra matemáticas, es preciso además que se exija a través de

ellas un esfuerzo del pensamiento, en el que se tengan que utilizar procedimientos

alejados de las rutinas propias de la asignatura que surgen del tratamiento de los

1 Fidel Castro Ruz. Ideología, conciencia y trabajo político. 1959-1986. Ed. Política, p. 58. La Habana, 1987.

contenidos, dentro de una dirección del proceso de enseñanza aprendizaje que

propicie la actividad emprendedora del alumno en dicho proceso.

Los problemas que aparecen en los textos como apoyo a los currículos de la

asignatura, responden más a los contenidos y a los procedimientos de solución,

que a una legítima didáctica para la solución de problemas. Estos problemas se

consideran dentro de la clasificación de “problemas escolares”2, pues su única

función es la de servir para la ejercitación y la consolidación de esos contenidos y

procedimientos.

Como respuesta a los retos que se imponen en el presente y los que están por

venir, las características del proceso de resolución de problemas en Matemática

tiene que cambiar, de manera que se creen verdaderas interrogantes en las que

los niños se vean obligados a buscar estrategias no convencionales y

procedimientos reflexivos para resolver los problemas.

Si los problemas que se plantean a los niños responden a la definición asumida en

la investigación acerca de este tipo de ejercicio(Campistrous y Rizo, 1996) y

además exigen procedimientos de solución que no sean rutinarios, se va formando

en los niños una mentalidad diferente, respecto al proceso de su solución,

tendiente a no asumir las cosas dichas previamente, a ”no aceptar las cosas

simplemente sin hacer un solo razonamiento porque aparece en un libro, porque

se lo dicen”3, es decir, se flexibiliza el pensamiento en los mismos términos en que

se define esta cualidad individual del pensamiento.

Bajo estos preceptos los problemas no solo deben estar caracterizados por una

exigencia acerca de una vía desconocida a partir de determinadas condiciones,

sino que además debe influir en lo afectivo y lo motivacional del niño, por lo que se

debe tener en cuenta lo que se dice y cómo se presenta la situación.

En este sentido, los esfuerzos que se realizan a diario en nuestras aulas de la

escuela primaria no son suficientes, los resultados que se alcanzan en los

operativos del SERCE, evidencian las dificultades que aún persisten en los niños

2 Celia Rizo Cabrera y Luis Campistrous Pérez. Estrategias de resolución de problemas en la escuela —En: Revista latinoamericana de investigación en Matemática Educativa (RELIME. p.31 45, vol2, No 3).México, 1999. Los autores en el articulo se refieren a los problemas escolares para identificar aquellos que aparecen en los textos escolares. 3 Fidel Castro Ruz. Ideología, conciencia y trabajo político. 1959-1986. Ed. Política, p. 69. La Habana, 1987.

ante la solución de los problemas en general y, especialmente, en los que

responden a alguna característica diferente a la que tienen los problemas

escolares.

En el operativo nacional del año 2004, se alcanzó en la provincia de Camagüey el

64% en el ítem de conteo de figuras incluidas unas en otras, aunque en otras los

resultados son significativamente mejores con respecto a los anteriores, desde el

año 1996 cuando comenzó la aplicación de esta forma de medición de la calidad

del aprendizaje.

En la observación (Anexo 2) realizada al proceso, a través de la investigación, se

pudo constatar que los maestros realizan el tratamiento de los problemas, sujetos

a preconcepciones surgidas de la propia práctica escolar que van en sentido

opuesto a la concepción de los problemas como objeto de enseñanza.

Por ejemplo, se utilizan determinadas situaciones con el propósito de motivar, que

en primer lugar son muy comunes y similares a las de los textos y, por otra parte,

son utilizadas nada más en el momento inicial y por tanto no sostienen el interés

de los niños durante todo el tiempo de la actividad.

Se corroboró además el “exceso de ayudas” (Labarrere, 1987) por parte de los

maestros y la “tendencia a la ejecución” característica en los niños como resultado

del tratamiento formal que se da a los problemas en las clases, de donde surgen

las creencias que tienen los niños respecto al proceso de solución de problemas.

Las “creencias”4 que tienen los niños respecto a la solución de los problemas se

convierte en la primera evidencia o indicador del problema científico que originó a

esta investigación. Ellas constituyen falsas concepciones que se producen cuando

se repiten insistentemente problemas con las mismas características e intenciones,

como ocurre con el tratamiento de los problemas escolares a través de toda la

enseñanza de la Matemática.

Estas ideas equivocadas del proceso de solución de problemas, tienen

implicaciones en la interpretación práctica del concepto de problema, pues como

norma, lo asocian a un texto escrito acompañado de una interrogante que aparece

casi siempre al final, y por lo general la situación está relacionada con uno de los

procedimientos de solución que están aprendiendo en ese momento.

4 Curso prerreunión “Algunas técnicas de resolución de problemas” del evento internacional Pedagogía 99, realizado en el Palacio de las Convenciones.

Para resolver estos problemas se utiliza un mismo esquema, respondiendo al

criterio de datos, planteo y respuesta, que encasilla el proceso y no permite

apreciar alguna variación si la situación así lo exigiera.

Entre las creencias por lo general se consideran las siguientes: las soluciones

pueden ser erróneas cuando conducen al cero o a ninguna solución y cuando hay

alternativas de solución se conforman con una sola, no se exploran nuevos

caminos para obtener un mismo resultado y se opera con todos los datos.

En otras investigaciones en realizadas por Campistrous y Rizo en Cuba y

Schoenfeld en Estados Unidos, fueron aisladas otras creencias, muy útiles para

esta investigación, en las que se puede apreciar cuanto limitan el aprendizaje de la

resolución de problemas.

Otra evidencia del problema de investigación se da en la incorrecta utilización de la

heurística y del sistema de ayudas por parte del maestro en el proceso de solución

de problemas. En la bibliografía consultada se considera que los procedimientos

algorítmicos han colmado la Enseñanza de la Matemática, a partir de que resulta

fácil enseñar y aprender algo estrictamente organizado de una manera

convencional, pero lo mismo no sucede con los procedimientos heurísticos, “no

resulta sencillo formar los recursos de pensamiento necesarios para utilizar la

heurística como herramienta”5.

A partir de las ideas de Polya (1989) respecto a la utilización de la heurística en el

proceso de solución de problemas, ha ocurrido una simplificación de este recurso y

en muchas de nuestras aulas se reduce el análisis a tres o cuatro preguntas: de

qué trata el problema, qué me dan, qué me piden y qué operación se debe realizar,

obstaculizando el análisis real de las relaciones que se pueden encontrar en el

problema, lo que se pudo corroborar además por medio de la observación directa

al proceso. La utilización de tipos de problemas que en general responden a la categoría de

rutinarios (Campistrous y Rizo, 1999), tanto en lo referido a la presentación como a

su contenido, se convierte en otro indicador de la existencia del problema de esta

investigación, pues con ello y con el efecto que provocan las creencias, se limita la

comprensión ampliada del concepto de problemas; estos “se consideran rutinarios

5 Ibid. En el mismo articulo en lo referido a la relación que se puede establecer entre el

tratamiento de los problemas rutinarios y las creencias que tienen su origen en esas rutinas, los autores consideran la necesidad de plantear problemas que necesiten menos de procedimientos algorítmicos y más de

cuando en el proceso de resolución se pueden encontrar las vías de solución de

una manera directa en el propio contenido de la asignatura que se aborda en la

escuela” 6.

La utilización de problemas cuyos procedimientos de solución responden a una

rutina, limitan la visión acerca de las múltiples formas en las que pueden ser

presentados estos y de las posibilidades de su resolución, así como, del

aprendizaje de estrategias y procedimientos válidos en el proceso de solución y en

el propio quehacer diario de los niños.

Todas estas deficiencias tienen como origen común el no considerar al tratamiento

de los problemas dentro de la Enseñanza de la Matemática como objeto de

enseñanza, con su sistema de objetivos y de principios, mediante los cuales se

pueda acercar más a los niños al aprendizaje pleno de la resolución de problemas,

con una estructuración adecuada dentro del currículo de la Matemática para todos

los grados y niveles de enseñanza.

Una modificación en la concepción del tratamiento actual de los problemas, puede

favorecer sustancialmente la enseñanza y el aprendizaje de este complejo de

materia de la Matemática, para lo cual se requiere entre otros aspectos que en las

aulas se planteen verdaderos problemas, evitando con ello que su tratamiento solo

sea visto con la única intención de lograr la fijación y la ejercitación de los

contenidos correspondientes a los demás complejos de materia.

La incorporación de los problemas cuyos procedimientos de solución no responden a determinadas rutinas, es una tarea importante de la Didáctica de la Matemática, a través de la cual se puede contribuir al aprendizaje de las “herramientas” necesarias para resolver nuevos problemas con mayor independencia y plena conciencia del proceso que se está llevando a cabo, y puede acercar más a los niños a los rasgos generales del concepto de problemas que deben dominar. Lo planteado hasta aquí permite inferir que en lo relacionado con la solución de

problemas en la escuela primaria, aún no se ha hecho todo lo necesario para

lograr un cambio favorable que se traduzcan en un incremento de la actividad de

los niños en la resolución de problemas, mediante la combinación de los

problemas escolares, con aquellos cuyos procedimientos de solución no son

procedimientos heurísticos y reflexivos, que los preparen para aprender a elaborar sus propias estrategias de solución.

6 Ibid

rutinarios y que exigen recursos propiamente heurísticos, que deben ser aprendido

por los niños como resultado de la actividad desarrollada en todo el proceso.

Todos los elementos hasta aquí analizados respecto a la resolución de los

problemas conduce a una contradicción fundamental que se produce en ese

proceso entre las condiciones externas y las internas, es decir, entre las acciones

que se llevan a cabo desde la enseñanza y los conocimientos, procedimientos y

estrategias que aún no son del dominio de los niños, entre lo objetivo representado

en este caso por el problema y lo subjetivo que se resume en la actividad

desarrollada en el proceso de solución de dicho problema por parte de los niños.

Esta contradicción antes expresada, es la que motivó continuar estudiando por

vías científicas el problema científico de esta investigación, que con la idea de

contribuir a su solución, se declara de la siguiente manera:

¿Cómo favorecer la estimulación de la actividad de los niños en el proceso de solución de problemas de Matemática en la escuela primaria? Como la enseñanza de la Matemática crea las condiciones para que los niños,

desde el primer ciclo, se apropien de algunas técnicas y procedimientos para la

resolución de problemas en las clases de Matemática, constituyendo uno de los

complejos de materia que la componen, la investigación se realiza en el marco de

“el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática del primer ciclo de la escuela primaria”, que se asume como su objeto de estudio y que a su vez se

centra en “la enseñanza y el aprendizaje de la resolución de problemas en Matemática en el cuarto grado”, considerado su campo de acción. El objetivo de la investigación es por tanto, “proponer una alternativa didáctica que favorezca la estimulación de la actividad de los alumnos en la resolución de problemas de Matemática en cuarto grado”. Las preguntas científicas que guiaron el trabajo realizado en la investigación son

las siguientes:

¿Qué situación tiene el proceso de solución de problemas en la Enseñanza

de la Matemática de cuarto grado?

¿Cuáles son los fundamentos psicológicos y didácticos que sostienen al

proceso de solución de problemas en el currículo de la Matemática en cuarto

grado y a la actividad de los niños en dicho proceso?

¿Qué características deben tener los problemas que resuelvan los niños

para estimular su actividad en el proceso de solución?

¿Qué elementos debe contener la alternativa didáctica que puede ser

utilizada por los maestros en el tratamiento de los problemas “no rutinarios”?

¿Cómo validar la viabilidad de la alternativa didáctica?

Durante la realización de todo el proceso investigativo se fueron cumpliendo las

siguientes tareas científicas:

Caracterizar al proceso de enseñanza-aprendizaje de la solución de

problemas matemáticos en cuarto grado y a los problemas que usualmente se

proponen en las clases.

Determinar los presupuestos psicopedagógicos que debe tener el proceso

de enseñanza aprendizaje de la resolución de problemas para lograr una

mayor actividad de los alumnos.

Determinar las características que deben tener los problemas y realizar un

compendio que respondan a las mismas.

Elaborar una alternativa didáctica que favorezca la estimulación de la

actividad de los alumnos en el proceso de solución de problemas.

Instrumentar un estudio de casos que posibilite comprobar la viabilidad de

la propuesta en las condiciones creadas al efecto.

Es considerado un aporte a la teoría de la Enseñanza de la Matemática, la

sistematización de la enseñanza de la resolución de problemas, sobre la base

de un compendio de problemas que se ajustan a la definición de “problemas no rutinarios”, en cuya resolución se emplean procedimientos, técnicas y

estrategias, unido a las características de la actividad que deben desarrollar el

maestro y los niños en este proceso dividido en tres etapas de trabajo. También

se realiza una clasificación de los problemas presentados, sobre la base de dos

criterios que difieren de los tomados en cuenta por anteriores clasificaciones: por la forma de presentación y la formulación que caracteriza a los problemas del

compendio y por el tipo de procedimiento que se debe utilizar en la búsqueda

de la solución de los problemas.

A la práctica escolar se ofrece una alternativa didáctica para el tratamiento de

problemas no rutinarios, que comprende una numerosa compilación de este tipo

de problemas, la caracterización de la actividad del maestro y la de los alumnos en

el proceso de solución de dichos problemas y las etapas concebidas para la

utilización de estos problemas en la enseñanza de la solución de problemas.

También es un aporte a la práctica, las estrategias para la solución de los

problemas propuestos en forma de acciones a realizar por los niños y la

contextualización de las técnicas y el procedimiento generalizado para la

solución de estos problemas.

La novedad científica de la investigación consiste en que en la Alternativa

didáctica se sugiere la utilización de una compilación de problemas que responden

a la denominación de problemas “no rutinarios” para cuarto grado, en

combinación con los problemas escolares que aparecen en el Libro de Texto. Es

también novedosa, la clasificación de esta colección de problemas, sobre la base

de dos criterios que no fueron tomados en cuenta en anteriores clasificaciones

realizadas por otros autores y que se refieren a la forma en que se presentan estos

problemas y las estrategias utilizadas para hallar la solución de estos. Por último,

la contextualización de las técnicas y el procedimiento generalizado y la

declaración de estrategias para la resolución de los problemas propuestos, resulta

novedoso para la enseñanza de la Matemática en cuarto grado.

El trabajo desarrollado durante todo el proceso investigativo desde el punto de vista metodológico, tiene su base en el método dialéctico materialista como método general de todas las ciencias, pues la recopilación de información mediante la utilización de métodos y técnicas empíricas y teóricas, fueron permitiendo la conformación del aporte a la teoría de la investigación, diferenciándolo respecto a otras investigaciones similares, relacionadas con la solución de problemas.

Como métodos teóricos fueron aplicados los siguientes:

Método de análisis y síntesis: se utilizaron con el propósito de entender el

desarrollo real del proceso de solución de problemas en toda su complejidad

concreta, en busca de las relaciones que se pueden establecer en este proceso

con la teoría de la actividad y la comunicación, a partir de las tendencias más

actualizadas respecto a este proceso en la enseñanza de la Matemática del nivel

primario y en consecuencia formular conclusiones, bajo el criterio de que el análisis es la premisa necesaria de la exposición sintética. Método histórico-lógico: permitió desentrañar la esencia del proceso de

resolución problemas y sobre esta base posibilitó la elaboración de una alternativa

didáctica en la que se agrupan aquellos elementos considerados necesarios para

influir en la actividad de los niños en dicho proceso.

Método de análisis de las fuentes de información: mediante el cual se pudo

extraer información cualitativa y cuantitativa desde diferentes posiciones

relacionadas con el proceso de enseñanza y aprendizaje y el proceso de solución

de problemas.

Como métodos empíricos fueron empleados los siguientes: Entrevistas para conocer en qué medida los maestros están preparados en lo

relacionado con el problema científico y a la maestra del grupo en el cual se realizó

el estudio de casos para conocer su opinión acerca del desempeño de los niños en

relación con el problema que se investiga antes y después de la aplicación

realizada.

La observación al proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, en

busca de las regularidades que sustentan las deficiencias que se dan en el

proceso de resolución de los problemas para hacer más sostenible alternativa

didáctica que se propuso.

Se aplicó una consulta con especialistas, en la que se encuestaron a maestros,

jefes de ciclo, metodólogos y profesores de ISP con basta experiencia en el trabajo

en la enseñanza de la Matemática, con el propósito de validar con sus criterios, las

principales características de la alternativa didáctica.

Método de estudio de casos: constituyó un importante recurso para recoger

información cualitativa durante la aplicación del pre-experimento, pues con la

ayuda de los protocolos obtenidos en el trabajo individual en la solución de los

problemas propuestos durante la aplicación de la intervención, se pudo conocer a

profundidad acerca de la actuación de los niños y su manera de pensar ante cada

situación y también permitió consolidar desde el punto de vista cuantitativo el

movimiento de los indicadores relacionados con los procedimientos de solución

propuestos derivados de las características de los problemas.

Como métodos estadísticos fueron empleados los siguientes:

La prueba de Wilcoxon que permitió rechazar la hipótesis de nulidad, Ho: no

existen diferencias significativas entre el control inicial y final.

Cálculo porcentual en la comparación de los resultados en cada etapa de trabajo

del estudio de casos, en la realización del preexperimento.

Determinación del Índice porcentual el cual se calculó ponderando por 1, 2, 3, 4 y

5 cada por ciento obtenido en la escala a partir de bajo hasta alto respectivamente.

Esos valores ponderados se promediaron (se sumaron y dividieron por 5). El

índice es un indicador numérico global del comportamiento de cada aspecto

considerado en la encuesta realizada a los especialistas.

La tesis está estructurada en una introducción, tres capítulos, conclusiones,

recomendaciones, bibliografía y anexos.

El capítulo 1 “Fundamentos psicológicos y didácticos de la solución de problemas en la Enseñanza de la Matemática de la escuela primaria”, se

realiza un análisis teórico del concepto de problemas y de las tendencias actuales

relacionadas con la solución de problemas en el contexto escolar, con el fin de

sistematizar los argumentos que se esgrimen para la utilización de problemas no

rutinarios en función de convertir a la enseñanza de estos ejercicios en objeto de

enseñanza. Todo lo anterior tiene la intención de estimular la actividad de los niños

en el proceso de solución de problemas, sobre la base de las características de

esta en los escolares de cuarto grado, lo que se precisa también en este capítulo.

El capítulo 2 “Requerimientos didácticos de la Enseñanza de la Matemática en cuarto grado para estimular la actividad de los niños en el proceso de solución de problemas”, se fundamenta una metodología para clasificar los

problemas propuestos en correspondencia con el aporte teórico de la investigación

y se dan los presupuestos teóricos y metodológicos que sustentan la alternativa

que incluye las características de los componentes del proceso de enseñanza y

aprendizaje implicados en el proceso de solución de los problemas propuestos en

el compendio, las técnicas, estrategias y el procedimiento que deben ser

empleados, las características de la actividad del maestro y los niños en ese

proceso y las etapas que pueden guiar la enseñanza y el aprendizaje de los

problemas clasificados.

El capítulo 3 “Validación de la alternativa didáctica y sus resultados. Estudio de casos”, se frece un meticuloso análisis de la aplicación del método de

estudio de casos, mediante el cual se fundamentan los resultados cualitativos

obtenidos en la realización del preexperimento, teniendo en cuenta las

características de la alternativa en las diferentes actividades previstas. También se

ofrecen valoraciones y ejemplos de las actividades realizadas con los niños en la

solución de los problemas propuestos.

CAPÍTULO I: Fundamentos psicológicos y didácticos de la solución de problemas en la Enseñanza de la Matemática de la escuela primaria.

En este capítulo se realiza una síntesis, a partir de una extensa revisión

bibliográfica, acerca de lo que significa resolver problemas en Matemática bajo la

concepción de proceso y no de resultado exclusivamente y de los elementos que

caracterizan al concepto de problemas. Sobre esta base se examina

seguidamente, la relación estrecha que existe entre desarrollo del pensamiento y

solución de problemas, términos que no se pueden identificar uno con el otro, pero

que están dialécticamente relacionados.

Con estos elementos se procede a caracterizar el intelecto y la actividad de los

niños de cuarto grado, especialmente en el proceso de solución de problemas, con

el propósito de sustentar las vías para estimular la actividad y la realización de los

niños en este proceso, en el que también se ven imbricadas las características de

la comunicación, en esta parte del proceso de enseñanza y aprendizaje de la

Matemática.

1.1 Consideraciones sobre los problemas y la solución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática escolar.

Uno de los fundamentos de la teoría Histórico Cultural de Vigotsky es el referido a

que “la experiencia social juega un importante papel en el desarrollo psíquico del

individuo”7. Cada individuo es ante todo ser social, pues de alguna manera refleja

en su accionar las relaciones que sostienen con sus semejantes, como resultado

de la cultura creada a través del tiempo por la humanidad, en particular, aquella

que responde a las características del momento histórico en que tiene su

existencia.

Las situaciones que se presentan en el medio particular en que se desarrolla

aparecen ante el individuo, en su mayoría, en forma de incógnitas, de

interrogantes, para las cuales no siempre encuentra respuestas inmediatas; unas

veces por falta de medios, otras por no tener suficiente experiencia anterior y en

7 TATIANA CHKOUT, Universidad Latina de Mexico, III Congreso Regional de Psicología.

ocasiones porque la situación no forma parte de su esfera de intereses o muchas

razones más que pueden influir en el orden subjetivo.

De manera general, el estudio de las reacciones, modos de actuación y disposición

de los individuos ante el proceso de búsqueda de la solución de los problemas, ha

sido objeto de estudio en la Psicología, en ocasiones como diagnóstico clínico y en

otras para la elaboración de teorías acerca del desarrollo del ser humano, en

relación con el objeto de la Pedagogía y de las Didácticas de las diferentes

Ciencias del saber. En relación con lo antes planteado, es el proceso pedagógico

un espacio ideal para conocer su comportamiento en el ejercicio de uno de los

procesos más exigentes desde el punto de vista intelectual: la resolución de problemas.

La búsqueda de solución a los problemas en general es una actividad instintiva

de los hombres, sobre la base de las necesidades que estos tienen de transformar

las condiciones naturales para poder subsistir. En medio de las complicadas

situaciones que impiden de manera directa o indirecta su plena adaptación, se ven

implicados en la búsqueda constante de alternativas y en la utilización de

estrategias que les faciliten su inserción social y cultural en el momento de su

existencia.

Con respecto a lo anterior, autores clásicos de la Psicología (Rubinstein, 1964 y

Petrovsky, 1980) aseguran, a partir de los estudios realizados en relación con el

pensamiento, que el desarrollo de este es el resultado de la solución sucesiva de

problemas o tareas sin resolver que el medio circundante plantea al hombre. Esta

es una de las principales aristas desde la cual es considerado el proceso de

solución de problemas. Respecto a esta relación se plantea “del análisis de las

vías fundamentales con que el hombre conoce la realidad, se ha llegado a la

conclusión de que la actividad cognoscitiva independiente del hombre es posible

solo mediante la solución de problemas”8.

La relación existente entre el desarrollo del pensamiento y la solución de

problemas, al considerar que esta última tiene sentido no solo como una actividad

necesaria que realiza el hombre, sino que interviene en su crecimiento humano,

convierte a esta actividad en un elemento esencial de la educación del hombre. Es

por ello que en lo adelante, en este trabajo, la solución de problemas es tomada

como componente esencial en la enseñanza de la Matemática.

Es necesario entonces considerar, lo que significa la solución de problemas en el contexto escolar. Sobre esto, hay que tener en cuenta que el conjunto de

acciones manuales o intelectuales, que lleva a cabo el individuo para esclarecer

una incógnita de la práctica diaria o de la formalización de esta en el medio

escolar, constituyen un proceso que va desde la orientación en la tarea a

búsqueda de recursos y medios que les permitan encontrar las relaciones que

existen entre las premisas de la situación, con el propósito de encontrar una vía

que conduzca a la meta propuesta. De esta manera la solución de un problema no

debe verse como un momento final, sino como todo un complejo proceso de

búsqueda, encuentros, avances y retrocesos en el trabajo mental.

Resolver un problema consiste en la búsqueda de las vías para provocar la

transformación deseada y no solo la solución del problema en sí misma, ello

significa que es algo más que obtener la respuesta a la interrogante que asume el

individuo ante una situación planteada, e incluye elementos de valor subjetivo en

función de ese resultado final que debe obtenerse.

De manera coincidente con el criterio anteriormente expresado, se manifiestan

otros autores como Fredy González (1995) que asume la solución como un

proceso que no puede ser resuelto a través de “un modelo o algoritmo universal”.

Otros Siguenza (1990), Blazer (1982), Kempa (1986), citados por Andrés García

(2000) y Blanca Parra (1991) reconocen en general todas las acciones, llámense

reformulación, experimentación, tanteo, conjetura y validación así como los

conocimientos que se ponen en función de “salvar el espacio existente entre el

problema y la solución” 9. Como parte de este análisis, y en correspondencia con uno de los elementos que

integra la definición de problema que más adelante se asume por el autor, para

que ocurra el proceso es indispensable que el camino a recorrer de inmediato sea

desconocido para la persona que se identifica con el problema planteado, o dicho

de otra manera “la respuesta no se encuentra al instante y de manera directa; hay

8 JOSÉ MANUEL RUIZ SOCARRÁS. En Enseñanza de las Matemáticas. p. 36-39, 2002. Coincidiendo con la idea antes expresada. 9 PARRA, BLANCA. La resolución de problemas en la construcción de esquemas

de razonamiento. –p. 58-61. –En Educación Matemática. –vol.3 N°1. –México, abril, 1991.

que buscarla utilizando distintos eslabones intermedios entre la pregunta y la

respuesta”10.

La interrelación de los conocimientos tantos de la Matemática, como otros de

carácter más general, llámense procedimientos, reglas, resultados de una

búsqueda heurística o algorítmica, principios y estrategias, van constituyendo las

vías o eslabones intermedios entre la pregunta y la respuesta.

Todos estos conocimientos son considerados como parte de la experiencia que

acumula la persona y es patrimonio exclusivo de cada individuo, pues aún en los

análisis en busca de respuestas colectivas a determinada situación, cada uno

aporta los conocimientos que atesora y que afloran en la medida en que los

resultados que se van obteniendo en la búsqueda le son significativos en relación

con lo que conoce y que se “almacena” en la memoria a corto y largo plazo.

La interrogante a realizar en este momento es ¿cómo opera todo esto desde la

perspectiva de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática?

Como ha sido analizado por los doctores Celia Rizo y Luis Campistrous, en las

últimas décadas se extendió el uso de la solución de problemas como recurso para

potenciar la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, de manera que con esta

práctica se apuntalan los métodos a favor del cumplimiento de los objetivos

propuestos en determinado programa.

Los autores mencionados ponen a consideración dos perspectivas en las

investigaciones realizadas respecto a la solución de los problemas en el proceso

de enseñanza y aprendizaje: “una en la que los problemas son utilizados como vía para obtener los conocimientos y que se incluye la motivación hacia los

contenidos y la aplicación de estos a los fenómenos y sucesos de la vida y otra

que está enfocada en la dirección de convertir la solución de problemas en objeto de enseñanza”11. Este análisis realizado se sustenta en las corrientes observadas en los últimos

años en países de Hispanoamérica, en los que ambas tendencias se reflejan en

numerosas investigaciones.

Autores como Miguel de Guzmán (1989) y Antonio Bautista García-Vera (1987) de

España y Schoenfeld (1991) de Norteamérica, han sugerido, a partir de sus

experiencias, distintas maneras de utilizar la solución de problemas en función de

10 Plata Casáis y Trillo Alonso En Enseñanza, p. 307-324, vol.19, España, 2001. 11 Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógica. María Cristina Pérez Lazo de la Vega. Ciudad de la Habana, 2001.

enseñar a los alumnos a realizar este proceso y de obtener nuevos conocimientos,

bajo el criterio de que los procesos cognitivos que subyacen en la resolución

facilitan la asimilación y transferencia de conceptos genuinos para los alumnos y el

desarrollo de estrategias de pensamiento y acción.

Los dos investigadores españoles defendieron la posibilidad de concebir un

método basado en la solución de problemas, lo que responde a la idea de enseñar a través de problemas y se auxilián del término “verdaderos”, para referirse a

aquellos que no solo exigen los conocimientos sobre los contenidos de los

programas, sino que además precisan de una mayor actividad del pensamiento.

El propósito de este método es que los alumnos puedan manipular con los objetos

matemáticos, activar su propia capacidad mental, que reflexionen sobre su propio

proceso de pensamiento a través de la solución, que transfieran estrategias y

procedimientos, se sientan seguros y se preparen de esta manera para enfrentar

con éxito los problemas de la vida.

Schoenfeld por su parte, sugiere varias técnicas dirigidas a la enseñanza de la

solución de problemas, que implican directamente a la actividad de los alumnos y

del maestro en la búsqueda de la solución: los alumnos trabajan unas veces solos

y otras en grupos, buscan posiciones extremas, en ocasiones se enfrascan en la

solución de un solo problema que aporta más que muchos a la vez, el profesor

participa sin preparación previa y otras.

Estas ideas previas ponen a relieve las dos principales tendencias en la utilización

de la solución de los problemas identificadas por Campistrous y Rizo en Cuba,

autores que han dedicado sus investigaciones a la enseñanza y el aprendizaje de la solución de problemas, tendencia que ha tenido más arraigo no solo en la

Matemática.

En las últimas ediciones del evento Internacional de Pedagogía que cada dos años

tiene lugar en Cuba, se pueden encontrar desde muy diversas posiciones y

disciplinas la idea evidente de enseñar a resolver problemas, por las ventajas que

tiene para comprender mejor no solo los contenidos de estas disciplinas, sino

también por el aporte que hace al desarrollo de formas de pensar y a los propios

procesos del pensamiento.

En el análisis del trabajo titulado “Algunas técnicas de resolución de problemas”,

sus autores Campistrous y Rizo (1999), resumen cuatro variantes de lo que

especialmente se conoce como “las tendencias más importantes en la llamada

enseñanza por problemas”. Los autores de este trabajo hacen un recorrido desde

la enseñanza problémica como una de las tendencias más estructurada, pasando

por la enseñanza por problemas, la enseñanza basada en problemas, hasta la

enseñanza de la resolución de problemas.

En general, se aprecia un propósito bien definido, en cuanto a poner al aprendiz en

función de sujeto capaz de operar con el objeto del conocimiento, en este caso los

problemas desde las dos posiciones ya mencionadas, es decir, utilizar los

problemas en función de la apropiación de los contenidos y la otra relacionada con

el aprendizaje de la solución de problemas.

En lo concerniente a la Enseñanza de la Matemática en Cuba, existe el propósito

de centrar la atención en la enseñanza de la solución de problemas, por el aporte

que desde estos se puede hacer al desarrollo del intelecto, dotando a nuestros

educandos de técnicas, estrategias y de formas de proceder ante la solución de los

problemas, que después pueden ser transferidas a las situaciones de la vida.

Todo lo analizado hasta aquí sobre la resolución de problemas está íntimamente

relacionado con el concepto de problema que se asuma, aspecto que será

abordado a continuación.

1.2 ¿Cómo se define el concepto de problema? Muchos criterios al respecto fueron y son emitidos en la actualidad sobre lo que

significa un problema, tanto para las investigaciones como para la práctica

concreta que desarrollan pedagogos, psicólogos y otros investigadores cuyos

trabajos tienen que ver, de alguna manera, con este concepto.

Labarrere12 hace una delimitación acerca del tratamiento que algunos autores

realizan al concepto de problema atendiendo a la posición de estos en el campo

concreto de la ciencia en que desarrollan sus investigaciones, y considera que, en

lo fundamental, hay autores que desde alguna ciencia como la Matemática,

definen a los problemas en lo relacionado con la obtención de un resultado.

Otros autores como Leontiev, Rubinstein, Esaulov y Ball, centran su atención en el

contenido subjetivo, es decir, en la apreciación que se hace la persona que lo

asume como tal y las acciones a realizar.

12 En “Bases Psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria”, p. 5 a la 14, 1996, Labarrere divide a los autores según definen a los problemas por lo objetivo de este o los que destacan en la definición el elemento subjetivo.

Esta segunda posición es más completa, pues tiene en cuenta la actividad del

sujeto a partir de la toma de conciencia de la situación que tiene ante sí, a

diferencia de la primera, en la que el problema solo refiere al objeto presentado.

Fredy González por ejemplo, plantea “que un problema constituye una

discrepancia entre una situación actual observada y una situación deseada, cuyo

alcance exige la realización de un conjunto de acciones por parte de quien debe

resolver el problema” 13, definición que también considera la necesidad de realizar acciones, como la de otros autores que tienen el mismo criterio. Por ejemplo,

Woods(1985), Perales Palacios(1993), Gil y colaboradores(1988), Krulik y

Rudnik(1980), coinciden en afirmar que, “un problema es una situación frente a la

cual el individuo no ve o no conoce una solución evidente, por lo cual produce

incertidumbre y además una conducta tendiente a la búsqueda de una solución”14.

En el mismo sentido de incluir la actividad del sujeto en la definición de problema,

encontramos la siguiente: “una situación que debe ser modelada para encontrar la

respuesta a una pregunta que se deriva de la misma situación”15 y otros autores

citados por Lisett Poggioli16, refieren definiciones similares: “un problema se define

como una situación en la cual un individuo desea hacer algo, pero desconoce el

curso de la acción necesaria para lograr lo que quiere” (Newell y Simon, 1972), o

“como una situación en la cual un individuo actúa con el propósito de alcanzar una

meta utilizando para ello alguna estrategia en particular“(Chi y Glaser, 1983). Esta

autora por su parte considera que: “la meta o solución está asociada con un estado

inicial y las actividades llevadas a cabo por los sujetos tienen por objeto operar

sobre el estado inicial para transformarlo en meta”.

Como se puede apreciar son disímiles los términos utilizados para definir la

actividad que realiza el sujeto en aras de obtener un resultado y como generalidad

se habla de deseo y necesidad de emprender la acción. De esta manera al definir

13 GONZÁLEZ, FREDY E. El corazón de la Matemática. – Ed. COPIHER, p. 52,

Maracaibo, 1995. 14 Todos estos autores son citados por Martha Yudith Huerta Valencia. HUERTA

VALENCIA, MARTHA YUDITH. La resolución de problemas una estrategia para el desarrollo de las competencias científico, tecnológico y comunicativa hermenéutica. –p. 12-16. –En Boletín PPDQ. –Colombia, Agosto, 2002.

15 BLANCA PARRA en Educación Matemática, p. 22-31, Vol.2 N°3, México, diciembre, 1990.

16 Autores citados por Lisette Poggioli Serie Enseñando a aprender. Estrategias de resolución de problemas.-- Soporte Electrónico.

a los problemas desde la perspectiva que incluye la actividad del sujeto se ponen

en juego, de una u otra manera, los elementos que se muestran a continuación y

que conforman el concepto de problema:

1.- El sujeto que recibe la información asume que efectivamente tiene ante sí una

interrogante, y que en lo inmediato “no está capacitado para resolverla”.

Este elemento es de suma importancia y de hecho constituye el punto de partida

de un problema, pues la situación existe independientemente de su conciencia, y

es solo, en el momento en que el sujeto recibe la información, que determina

asumirla o dejarla a un lado, lo que depende de las necesidades o de

determinadas influencias externas, como puede ser su presencia en una clase de

Matemáticas.

2.- Seguidamente debe ocurrir algo no menos importante y es que el sujeto debe

sentir que requiere de cierto “esfuerzo cognoscitivo”,17 encaminado a encontrar los

medios para obtener la vía de la solución.

3.- La persona que ya asumió estar ante un problema, siente la necesidad de

resolverlo impulsado por el interés que le provoca el propio cuestionamiento o por

una exigencia exterior.

4.- Otro elemento que caracteriza a los problemas se relaciona con el carácter

individual y el carácter relativo de estos (Labarrere, 1996), pues cada situación no

es asumida como problema por todas las personas por igual, aún estando estas

agrupadas por determinadas características semejantes, lo que depende de los

conocimientos y experiencias precedentes que tienen los sujetos que interactúan

con la situación.

5.- Esta experiencia es la que determina en general la necesidad de asumir un

problema, además de otras exigencias de orden externo que se dan

fundamentalmente en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Casi todas las definiciones encontradas consideran a los problemas, aunque de

diferentes maneras, como un reto provocado por una situación que no tiene

solución en lo inmediato y que además de incertidumbre crea necesidad de ser

abordada.

En esta tesis se asume, la definición dada por Campistrous y Rizo18 en la que se

considera que “un problema es toda situación en la que hay un planteamiento

17 Labarrere Sarduy, Alberto. Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver

problemas matemáticos. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1988.

inicial y una exigencia que obliga a transformarla y la vía para pasar de la situación

o planteamiento inicial a la situación exigida, tiene que ser desconocida”. Agregan

los autores “que esta situación la persona debe querer resolverla”, añadiéndole al

concepto un componente subjetivo en el plano afectivo, volitivo y motivacional.

Como se puede apreciar, en esta definición se resumen de manera sintética los

aspectos antes señalados, como son la presencia de condiciones iniciales, de

exigencias que obligan a transformar dichas condiciones, del reconocimiento por

parte de la persona que asume la situación de la imposibilidad de resolverla en el

momento, por desconocer el camino que lo conduce a la solución, y de su postura

de querer resolverla.

En el concepto de problemas se debe inferir tanto el “aspecto objetivo del sujeto

que aprende, considerando lo que debe saber hacer (métodos, procedimientos) y

también los factores afectivos y volitivos que se comprometen en la resolución de

problemas”19

En lo referido a lo subjetivo del problema, es importante tenerlo en cuenta con el

propósito de planificar apropiadamente los momentos de la enseñanza y del

aprendizaje por los que ha de transcurrir el proceso de solución.

El estudio de lo objetivo en los problemas, también ha sido formulado de

diferentes maneras por investigadores y autores en la bibliografía consultada y su

significación radica en que facilita el modo de conocer la estructura de estos, para poder influir en su formulación con intereses didácticos. Las condiciones que son el elemento esencial en lo objetivo del problema,

pueden contribuir en la concepción didáctica del tratamiento de estos si no se

esquematiza su presentación, es decir, no siempre aparecen de forma explícita en

el cuerpo del problema, no se corresponden con un texto elaborado, se da a través

de un patrón o un dibujo mediante los cuales se brinde la información necesaria

para asimilar al problema, y otras variantes que serán posteriormente analizadas.

Las metas en el problema son en general interrogantes que se realizan en relación

con los datos y las condiciones dadas y que determinan la actividad a realizar en la

18 CAMPISTROUS PEREZ, LUIS Y RIZO CABRERA, CELIA. Aprende a resolver problemas aritméticos. Ed. Pueblo y Educación, p. VII y VIII, La Habana, 1996. 19 MARIBEL FERRER VICENTE. La resolución de problemas en la estructuración de un sistema de habilidades matemáticas en la escuela media cubana Tesis en

opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico Frank Paìs, Sgo de Cuba, 2000.

búsqueda de la solución del problema. La meta expresa en sí la existencia objetiva

del problema, pues las condiciones por sí solas no lo conforman.

Estos dos elementos antes mencionados están relacionados entre sí por un

espacio más o menos duradero que se crea para acercar las condiciones a la

meta, en el que se lleva a cabo un proceso de búsqueda de relaciones, de

realización de operaciones, de formulación de conjeturas, de exploración de

nuevos caminos o vías con el propósito de satisfacer las demandas de la situación.

La conjugación de los factores objetivos y subjetivos garantizan las condiciones de la existencia de un problema, es decir, “estar enterado de la

existencia de la situación, reconocer que debe ejecutar algún tipo de acción ante

ella, desear o necesitar actuar, hacerlo y no estar capacitado, al menos en lo

inmediato para superar la situación” 20.

Este conjunto de factores objetivos y subjetivos constituyen un elemento de fuerza

para que sea considerado el tratamiento de los problemas, como un recurso

importante y una vía adecuada para potenciar el contenido de las disciplinas, lo

que ocurre de manera especial en la Matemática.

Desde la didáctica de esta disciplina se han realizado propuestas que ya fueron

analizadas como tendencias, de las cuales, la más aceptada en Cuba es la

referida a la enseñanza de la resolución de problemas, para la cual se cuenta

hoy con bibliografía actualizada, referida al empleo de técnicas y procedimientos

de resolución, que deben ser convertidos en herramientas de trabajo en las

escuelas.

Todo lo analizado hasta aquí refuerza una idea importante expresada de alguna

manera, pero que a pesar de ello es preciso reiterarla: es determinante si se quiere enseñar a resolver problemas, considerar a este complejo de materia como objeto de enseñanza en el currículo de la Matemática.

A criterio del autor esto debe repercutir directamente en que la tendencia

relacionada con la enseñanza de la solución de problemas fructifique en el

pensamiento y la acción de los niños de este nivel.

1.3 Algunas potencialidades del desarrollo intelectual de los escolares en el cuarto grado que favorecen y posibilitan su actividad ante la solución de problemas.

20 Ibid

El cuestionamiento acerca de las cosas, del por qué ocurren, de los rasgos que las

caracterizan, sus propiedades y de la medida en que se dan los hechos y

fenómenos, son características de la actividad del pensamiento. Rubinstein define

al pensamiento de la siguiente manera: “es una penetración en nuevas capas de

los existente de modo que excava y se saca a la luz del día algo hasta entonces

escondido en ignotas profundidades, consiste en plantear y resolver problemas del

ser y de la vida…”21.

En cierta medida el planteamiento del problema organiza al pensamiento, es decir,

le ayuda a encontrar la dirección, la trayectoria que este asume en función de

controlar lo conocido para hallar lo desconocido. Al respecto señala Labarrere “la

formación del pensamiento del alumno se produce fundamentalmente a través de

la solución de problemas, cuando ante este se plantea la necesidad y la tarea de

realizar el proceso de razonamiento que lleva a hallar la solución” 22.

Este postulado de la Psicología encierra en sí, la esencia misma de la formación y

el desarrollo del pensamiento en los seres humanos, pues a las personas

constantemente se les van presentando problemas inherentes a la actividad que

desarrolla en su medio.

Ante un problema en las personas se activan los conocimientos y experiencias

anteriores que tienen puntos comunes y que se reproducen de alguna manera en

una forma más acabada del conocimiento.

El desarrollo del intelecto23 es un complejo proceso dirigido a “penetrar en la

esencia real de los objetos y fenómenos, comprender las complejas relaciones

que existen entre ellos”.

Esta “mirada” al interior de los objetos y fenómenos de la realidad se produce en

dos planos: el teórico y el práctico. El primero tiene que ver con la ubicación de las

relaciones encontradas en el sistema conceptual que tiene el individuo, mientras

que el segundo se refiere a las operaciones que se pueden realizar con las nuevas

propiedades descubiertas en relación con el dominio de conocimientos que se

21 Rubinstein, S. L. El desarrollo de la Psicología; Principios y Métodos. –La Habana: Ed. Nacional de Cuba, 1964. En la página 73 aparece la definición de pensamiento que se asume en esta investigación.

22Labarrere Sarduy, Alberto.Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas matemáticos.—p.31. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1988.

23Octavio Porras. Proceso de resolución de problemas aplicando la creatividad. –p. 93-98. –En Psicología Iberoamericana. –Vol. 1, N°1. –México, marzo 1993.

tienen y la consecuencia más importante de lo ocurrido es un nuevo elemento o

característica hasta ahora inédita para la persona que enfrenta el problema.

En este proceso es vital la acumulación de experiencias que tenga el sujeto, así

como sus posibilidades de seleccionar las que son necesarias y suficientes para

solucionar cada nueva situación que se le presenta, pero el acto de pensar viene

por lo general, cuando ante él se presenta una interrogante o una insatisfacción de

un asunto no terminado, en esencia, la contradicciones son el núcleo y “el tener

conciencia del problema o de la tarea que se le plantea al pensamiento determina

todo su desarrollo”24.

Este proceso de desarrollo como es un producto de la actividad del sujeto y de la

comunicación de este con otros, tiene en su trasfondo un origen social, ya que las

situaciones que lo motivan, de alguna manera han surgido del medio socio

histórico cultural. Es esta razón la que permite afirmar que el tipo de enseñanza

determina el alcance del desarrollo que se logre en los niños y jóvenes que

estudian en las escuelas y siempre va delante de este guiándolo, lo que constituye

uno de los pilares en la teoría de Vigotsky en relación con el desarrollo de los

seres humanos.

El desarrollo del intelecto depende de la conjugación de factores que se dan en la propia actividad de los niños:

1. Interrelación del aspecto interno con el externo, es decir, la búsqueda de

compatibilidad entre las ideas, necesidades, motivos y sentimientos con el sistema

de exigencias que la sociedad y el medio ponen ante cada individuo, quien las

asimila de manera muy particular, a partir de la interrelación que se da entre estos

dos aspectos.

2. Acumulación de un “fondo de conocimientos” 25 y experiencias, de

desarrollos anteriores y de las operaciones de pensamiento que utilizan a dichos

conocimientos en función de resolver las contradicciones concientizadas de ante

mano por la persona.

3. En el proceso de apropiación de nuevos conocimientos se debe producir la conjugación de un pensamiento convergente, capaz de organizar la

información, buscar las relaciones de manera coherente y lógica, con un

24 Albertina Mitjans Martínez: Creatividad, personalidad y educación. –p. 154. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1995. 25 En este sentido es que se refiere el autor a la experiencia acumulada. Ver:

KRUTETSKY, V. A. Bases de la psicología pedagógica. –Moscú: Ed. Prosvieshenie, 1972.

pensamiento divergente dado más a la búsqueda espontánea, no planificada y

flexible26.

4. Además de lo resumido anteriormente es necesario insistir en cuestiones

como la plena conciencia que se debe tener del problema o contradicción como

fuente del desarrollo, considerar al error como otra manera eficiente de impulsar la

obtención de los conocimientos y considerar la tesis vigotskiana que ubica el

verdadero desarrollo en lo que el niño puede hacer mediante ayudas provenientes

de los adultos o de otros niños más capacitados y lo que es capaz de hacer por sí

solo

En función de corroborar el desarrollo del intelecto se han planteado indicadores27,

que pueden servir a los maestros e investigadores en el empeño de conocer la

medida en la que los alumnos van evolucionando en este importante aspecto de la

enseñanza y el aprendizaje. En la realización de las tareas se incluyen acciones

que van dirigidas a la orientación y el análisis de las condiciones, pasando por la

ejecución, hasta las de control y valoración, considerando a estas últimas como

expresión de un pensamiento desarrollado.

A estos indicadores la referida autora añade uno que a su criterio resume el más

alto nivel de desarrollo intelectual, es decir, mediante la generalización se puede

operar de manera independiente y con éxito en la realización de tareas que

requieren del conocimiento o procedimiento que está siendo generalizado.

Labarrere28 anteriormente había puesto en consideración dos aspectos, que

sirven para identificar el nivel de desarrollo alcanzado por un sujeto en la

realización de las tareas; estos son la independencia con que se es capaz de

ejecutar las acciones y el carácter crítico con que se enfrenta a la tarea, el cual le

permite hacer valoraciones acerca del trabajo desarrollado.

Lo visto hasta este momento refleja los principales criterios a tener en cuenta en la

función de desarrollo de la solución de problemas y que se puede resumir en tres

aspectos generales: organizar la solución de problemas:

a. como objeto cabal y específico de asimilación por el alumno.

26 SMIRNOV, A. A. Psicología. A. A. Smirnov, A. N. Leontiev, S. L. Rubinstein y B. M. Tieplov. –La Habana: Ed. Universo, 1996.

27 Pilar Rico Montero. Reflexión y aprendizaje en el aula. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1996.

28 Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas matemáticos. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1988.

b. utilizar problemas dirigidos al desarrollo del pensamiento en los alumnos.

c. estructurar la enseñanza de la solución de problemas, atendiendo a

determinados índices de desarrollo del pensamiento escolar.

El hecho de convertir a la solución de problemas en objeto de enseñanza

significa prestar atención a su contenido y valores, a su formulación original y a las vías de solución que puedan ser utilizadas, entre otros aspectos que despiertan el interés y mueven el pensamiento de los niños.

A partir del criterio de que “la Matemática es sobre todo saber hacer”29, según

expresa Miguel de Guzmán, se debe estructurar de manera coherente la

enseñanza de la solución de problemas y a su criterio se debe “estimular la

resolución de verdaderos problemas” que unido a los problemas escolares tributen

procedimientos, estrategias y técnicas al intelecto de los escolares.

Y en lo referido a una estructuración de la enseñanza de la solución de problemas

atendiendo a los índices que favorezcan el desarrollo del pensamiento en los

escolares, debe constituir una aspiración de la escuela cubana, pues si los

problemas no constituyen la única vía, si se puede afirmar que es una de las más

importantes y de las actividades más inteligentes del hombre.

Mucho tiene que ver en este sentido, la manera en que se organicen las

actividades y la estimulación que reciban los alumnos por parte de los maestros, y

“la forma en que se estructure el sistema de problemas”30, en el que se pueden

mezclar diversos tipos, encaminados a provocar formas de pensar que se

diferencien de las que comúnmente se utilizan en la solución de los problemas

escolares.

Con la presentación de estos tipos de problemas se puede no solo motivar a los

niños hacia su solución, sino que se puede lograr una posición diferente en el

sentido de acoger y hacer suya cada situación que se le presente y de promover

cualidades del pensamiento que se considera desarrollado: el carácter crítico y la flexibilidad.

29 Miguel Guzmán. Tendencias actuales de la enseñanza de la Matemática. –p. 19-26.

–En Studia Paedagógica. –N°21. –Madrid, enero-diciembre, 1989. 30 Luis Campistrous Pérez y Celia Rizo Cabrera, determinan las características que

debe tener un sistema de problemas con determinado fin didáctico, dentro de las que se aborda la relacionada con mezclar los problemas determinados y los indeterminados. Ver: Aprende a resolver problemas aritméticos, La Habana: Ed.Pueblo y Educación, 1996.

Lo visto hasta aquí acerca del desarrollo del pensamiento en la solución de

problemas, tiene sus especificidades en cada una de las etapas de la vida escolar

por lo que se analizará su comportamiento entre los nueve y diez años de vida de los niños, en el medio escolar creado en el sistema educacional cubano,

precisamente en el momento en que estos cursan el cuarto grado.

En primer lugar, “el pensamiento se desarrolla solo en el proceso de la actividad

mental” 31 y en consecuencia se debe estar poniendo constantemente al niño ante situaciones que le exijan un esfuerzo mental elevado. Atendiendo a los

postulados de Vigotsky32, estas acciones se deben dirigir no a lo que el niño

conoce y que puede realizar el solo, si no a aquello que puede conocer mediante ayudas que les pueden llegar a través del propio maestro o por niños

que ya alcanzaron ese nivel de desarrollo.

El pensamiento en este nivel de desarrollo está pasando por un cambio, de aquel

que se produce a partir de la manipulación de objetos que llegan al niño a través

de los analizadores, a uno en el que el descubrimiento de las características de los fenómenos y las cosas y el establecimiento de relaciones entre ellas se va haciendo más constante33. Este pensamiento que se consolida en la edad escolar, comienza a partir de la

realización de abstracciones que permiten obtener los primeros conceptos con la

formación de clases. De los primeros conceptos aparecen también las relaciones

entre ellos y sus características, de manera que se va formando un pensamiento conceptual34.

El surgimiento de este tipo de pensamiento se ve favorecido por los cambios de

motivos respecto a la actividad de estudio, en la medida que el niño va avanzando

en la enseñanza primaria. Ellos comienzan a sentir mayor interés por aquellas

materias que exigen un elevado nivel de tensión mental y por las situaciones que

los implican en tareas complicadas.

A su vez se forman métodos de estudio más generales como aprender a escuchar,

que está relacionado con la aparición de la atención voluntaria, dirigir más la

31 Gonobolin, F. N. Psicología. – p. 79 – 101, Moscú: Ed. –Previeschenic, 1973. 32 VIGOTSKY, L. S. Obras Completas. Tomo 5. p. 297-300, La Habana: Ed. . Pueblo y

Educación, 1989. 33 Ver: Programa de 4to grado. –p. 5. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1989. 34 ZUBIRÍA SAMPER, MIGUEL. Tratado de Pedagogía conceptual 1. –Colombia: Ed.

Alberto Meroni, 1994.

observación hacia lo esencial del fenómeno, controlar sus resultados personales y

priorizar más la actividad de estudio por sobre otras actividades como el juego,

aunque este sigue siendo importante en esta etapa escolar.

Lo anterior no implica un desarrollo en forma de un movimiento regular, de manera

lineal. En la caracterización que aparece en el programa de cuarto grado, se

enfatiza en la necesidad de ofrecer espacios para que los alumnos puedan hacer

abstracciones y generalizaciones aunque de poco alcance, en la medida que la

respuesta de ellos ante tales situaciones lo permita.

En ese mismo sentido, se ofrecen resultados de investigaciones que demuestran

cómo es posible influir en el nivel de los análisis, reflexiones y generalizaciones en estas edades, cuando se crean las condiciones específicas, es decir, el alumno adquiere conocimientos acerca de la resolución

de problemas como resultado del trabajo con el procedimiento generalizado.

Estas reflexiones y generalizaciones, sin embargo, pueden causar un efecto no

deseado en el proceder de los niños, ya que si los maestros desde el primer grado en la clase de Matemática, no realizan un trabajo extensivo en relación con el tratamiento de la solución de problemas, los alumnos pueden recibir una visión en general equivocada de los problemas, su solución, y el proceso para encontrarla. Esta idea tergiversada de la realidad de los problemas y su proceso de solución,

no solo limita sus posibilidades, si no que también decide en los éxitos o fracasos,

que pueden incluso marcar para siempre la actividad de las personas en dicho

proceso, tanto en la práctica escolar, como en las situaciones de la vida.

En la bibliografía consultada, a estas ideas preconcebidas en el pensamiento de

los escolares respecto a la Matemática y especialmente sobre el proceso de

solución de problemas se les conoce como “creencias”. Autores como Celia Rizo y

Luis Campistrous35 han logrado en investigaciones realizadas, aislar algunas de

ellas en los grados de la escuela primaria y en sus artículos citan los trabajos de

Alan Schoenfeld, autor norteamericano que dirigió también alguna de sus

investigaciones en este sentido.

35 Evento Internacional Pedagogía 99. Algunas técnicas de resolución de problemas /Celia Rizo y Luis Campistrous. Curso Prerreunión, La Habana: Palacio de las

convenciones, 1999.

Las creencias están en relación directa con el tipo de enseñanza que ha recibido el

alumno respecto al tratamiento de los problemas y su proceso de solución y a las

ideas que respecto a este tema, se van transmitiendo en un determinado sistema

educativo. El hecho de que el alumno haga suya estas creencias y las utilice como

algo común en el proceso de solución, se debe en gran parte a la utilización

sistemática de procedimientos rutinarios, que a la larga son los que provocan la

generalización por parte de los alumnos de estereotipos que ellos tratan de aplicar

después a la solución de cualquier problema, con independencia de su tipo y de

las características de sus condiciones y de lo que se exige como incógnita.

Una de las creencias que afectan al proceso de solución de los problemas se

puede encontrar; en el uso de todos los números dados cuando se busca la solución de un problema, sin importar el origen de estos, ni el contexto en el que

se encuentran mezclados. Esta tendencia está asociada a la creencia de que al resolver problemas hay que realizar al menos una operación de cálculo y en

consecuencia, es necesario utilizar números y es por eso, que se utilizan de

manera indiscriminada los datos numéricos que aparecen en el problema.

Esta forma de actuación tiene que ver con la tendencia a la ejecución ya citada

de los textos de Labarrere y presente en la mayoría de las aulas, cuyo fin es dar siempre un resultado a la situación, creencia que provoca la falta de análisis de

las condiciones del problema. Este fenómeno fue analizado por Rizo y

Campistrous (2002) y lo caracterizaron como aquella conducta poco reflexiva de los estudiantes a ejecutar, sin que medien los procesos de análisis y el razonamiento requeridos.

Schoenfeld36 hizo alusión a una creencia que es característica de un pensamiento

inflexible en el proceso de solución de los problemas, pues como tendencia los

niños asocian a cada problema con una sola solución, obtenida por una vía también única.

Estas creencias y otras que como ya se dijo han sido aisladas en las

investigaciones mencionadas, traen aparejadas determinadas formas de actuación

de los niños en el proceso de solución de problemas, contrarias a lo que se aspira

que obstaculizan el buen desenvolvimiento de ellos en dicho proceso.

De esta manera para una buena parte de los niños es una limitante en la solución

de un problema, el hecho de no haber resuelto uno antes con características

36 Alan H Schoenfeld. Ideas y tendencias en la resolución de problemas. Olimpiadas

Matemáticas. Argentina, 1991

semejantes; ante situaciones nuevas o aparentemente nuevas se detienen y en la

mayoría de las ocasiones no se someten a realizar un examen, al menos

superficial de las condiciones que les son dadas a través de la situación,

esperando de esta manera que le llegue una ayuda externa. De igual manera un

problema cuyo análisis requiera un tiempo prudencial que más o menos el niño

tiene calculado, es considerado como un problema difícil y abandonado de

inmediato.

Algunas acciones están relacionadas con una deficiente planificación de los

problemas, al no considerar las características que debe tener un sistema de

problemas con determinada intención didáctica, pues estos son con frecuencia

utilizados para la ejercitación y la consolidación de los procedimientos de cálculo, y

como generalidad el alumno se acostumbra a ver los tipos de problemas

correspondientes al procedimiento que se está tratando en ese momento.

De esta manera, el niño quiere aplicar el procedimiento que se está dando a

cualquier situación que se presente y el propio hecho de haber logrado la habilidad

en el procedimiento, se convierte este en una rutina y en consecuencia tratan de

“adivinar” la operación que se debe realizar, lo que tiene repercusión en las

necesidades y los motivos ante este tipo de tareas.

Por último el aceptar siempre “la formulación original del problema como correcta,

inmutable y que no requiere transformación para la solución”37, constituye otro

obstáculo en la formación de un pensamiento flexible ante la solución de

problemas en la Matemática de cuarto grado.

Todo lo analizado en este epígrafe contribuye a comprender como opera el

pensamiento de los niños de cuarto grado en general y de manera específica en la

solución de problemas en la asignatura y el grado referido.

En las visitas a clases y también en entrevistas a maestros, se pudo corroborar

que este panorama predomina aún en lo relacionado con el tratamiento de este

complejo de materia, sin embargo, la utilización de los medios audiovisuales, la

puesta en práctica de algunas experiencias pedagógicas y otros programas deben

favorecer la transformación hacia la permanencia en nuestras aulas de niños y

jóvenes más capaces y mejores preparados en la solución de los problemas de las

disciplinas y de la vida.

37 Labarrere Sarduy, Alberto. Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver

1.4 La actividad y la resolución de problemas. Cuando se hace referencia a un alumno activo ante la resolución de problemas, no

se habla solo de un niño que se manifieste externamente activo , es decir

participativo, entusiasta, incluso motivado, ante la resolución de un problema, en

este caso se refiere a que esté mentalmente activo, o sea que su pensamiento esté en función de dicha actividad.

En la solución de un problema asumido por una o varias personas, se activan

simultáneamente los procesos del pensamiento que en general son necesarios, de

manera que a partir del análisis de las condiciones, debe producirse un lógico

proceso que permita sintetizar la información y con ello elaborar un plan de

solución para dar la respuesta apropiada.

La generalización usualmente aparece en los momentos en que se necesita

hacer una transferencia de estrategia de solución para determinados tipos de

problemas o en situaciones similares en cuanto a su estructura y presentación de

la situación. Los procesos de comparación y abstracción en general se

emplean en la búsqueda de la solución o aparecen como un resultado de ésta.

Estos procesos en mayor o menor medida siempre están presentes en la actividad

del sujeto y su influencia en la solución de los problemas de la vida, depende

fundamentalmente del grado de desarrollo alcanzado, los conocimientos

precedentes, los motivos y necesidades que impulsan la acción de las personas,

entre otros.

La combinación de estos procesos determina el pensamiento, como actividad,

cuando se materializa en su relación con el sujeto y con los objetos que ha de

alcanzar. El pensamiento al mismo tiempo que surge en la actividad, reproduce

nuevo pensamiento en el individuo, ocurre una especie de transición de un

pensamiento a otro más enriquecido con más potencialidades para alcanzar otro

desarrollo superior. “La actividad del pensamiento es siempre, al mismo tiempo,

proceso del pensar; el proceso del pensar es por la propia actividad un

determinado aspecto o un componente de la misma”38. En la actividad humana

está presente el pensamiento, al mismo tiempo que este se enriquece a través de

ella.

problemas. Ed: Puebo y Educación. p. 16-43, La Habana, 1988. 38 Ibid

Sobre lo que es el pensar matemáticamente, el Dr. Campistrous (2002) ha

expresado que ello significa39:

Interpretar datos de la vida diaria y tomar decisiones en función de esa

interpretación.

Usar la Matemática en forma práctica desde simples sumas algorítmicos hasta análisis complejos (incluyendo estadísticos) y usar la modelación.

Poseer un pensamiento flexible y un repertorio de técnicas para enfrentarse a situaciones y problemas nuevos.

Poseer un pensamiento crítico y analítico tanto al razonar como al considerar razonamientos de otros.

Como se puede apreciar, en la anterior caracterización de lo que es la actividad de

pensar en Matemática, y por tanto válido para la resolución de problemas, ligado a

los procesos del pensamiento que generalmente tienen lugar a través de la

actividad pensante, hay determinadas cualidades que tienen que ver directamente

con el desarrollo alcanzado por cada sujeto en cuanto al pensamiento y en cierta

medida permiten diferenciar este nivel de desarrollo.

Estas cualidades del intelecto marcan los rasgos distintivos de la personalidad de

los sujetos, pues a causa del desarrollo en el pensamiento, estos rasgos se

pueden apreciar más en unas personas respecto a otras.

El Dr. Campistrous (2002), al referirse a la matemática, habla de pensamiento flexible, crítico y analítico, además de la posibilidad de interpretar datos de la vida diaria y ponerlos en dicha práctica. Obviamente, todas estas

características rigen una parte de las acciones que realiza el alumno en la

actividad cognoscitiva y de manera especial en la solución de problemas,

expresando así, el desarrollo alcanzado por éste en cada tipo de situación a la

que es sometido.

En el caso de la flexibilidad que puede desarrollar el pensamiento en la solución de

problemas en la asignatura Matemática, es muy importante pues ante la solución

de un problema se requiere de un pensamiento sin ataduras a esquemas rígidos,

ni a determinadas preconcepciones relacionadas con el proceso de solución. Es

precisamente esta cualidad, la que permite alejar a las personas de todo

39 Conferencia Magistral dictada en la XVI Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME XVI) celebrada en la Ciudad de la Habana en Julio del 2002, y que aparece recogida en las memorias de dicho evento.

formalismo, pues evita la presencia “estereotipos en la solución de problemas y de

opiniones preconcebidas”40.

A criterio de Brito (1987) la flexibilidad del pensamiento “...es la posibilidad de

cambiar los medios o vías de solución cuando estos no resultan adecuados. Es

saber encontrar nuevos caminos para estudiar un objeto, sin aferrarse a lo dado,

sin atenerse al plan mental prefijado, cuando surgen situaciones que modifican las

situaciones originales. Es decir, la flexibilidad se expresa en saber apreciar los

cambios que exige un planteamiento nuevo del problema y de la solución de

este”41.

Con respecto a las cualidades del pensamiento matemático de ser crítico y

analítico, lo cual se asume también en este trabajo, está referido, en el caso de lo

crítico, a aquella persona que es capaz de juzgar, establecer juicios acerca de la

actividad que está realizando, o que está haciendo, por supuesto

fundamentándose en los principios de la ciencia42, en este caso en los de la

matemática.

Lo analítico es muy importante también para la solución de problemas en

matemática, pues se refiere a la persona que procede descomponiendo la

información que procesa, de modo de encontrar las relaciones esenciales en ella,

es decir, distingue y separa las partes en un todo, hasta llegar a conocer sus

principios o elementos. Esta acción de análisis siempre va acompañada de la

síntesis, o sea de un proceso posterior de integración de las partes recompuestas

de modo que la nueva información esté más cercana al que está resolviendo el

problema.

Según Campistrous y Rizo ”a esta sucesión de análisis y síntesis podemos

llamarla análisis a través de la síntesis”43 lo que se considera como el

procedimiento específico mediante el cual el pensamiento humano se enfrenta a la

solución de problemas.

Esta cualidad de ser analítico (y sintético) llega a ser esencial incluso para una de

las técnicas más recomendada y utilizada en la resolución de un problema, en su

etapa de orientación, y se refiere a la Lectura Analítica.

40 Gonobolin, F. N. Psicología. – p. 117 - 129, Moscú: Ed. –Previeschenic, 1973. 41 Brito Fernandez, Hector. Psiclogía General para ISP. Tomo2. Colectivo de autores. p. 175-176, Ed Pueblo y Educación, La Habana, 1987 42 Diccionario de la Real Academia. Enciclopedia Encarta 2004. 43 Campistrous Pérez, Luis y Celia Rizo Cabrera. Aprende a resolver problemas aritméticos. p. 29, La Habana: Ed Pueblo y Educación, 1996.

Obviamente, para el caso de este trabajo, hay que tener en cuenta cuando se habla de la actividad del alumno ante la solución de problemas, en el sentido de su pensamiento, la variable relacionada con la edad del escolar de cuarto grado de aproximadamente 10 años, que como se explicó anteriormente tiene

sus particularidades en el proceso de desarrollo del niño.

1.5 La estimulación de la actividad de los alumnos mediante la solución de problemas. La solución de problemas como ya se ha expresado, no se puede identificar con el

pensamiento de forma categórica, sin embargo, es la forma fundamental en que

este se manifiesta, dicho de otra manera, el pensamiento está presente en otras

formas de la actividad del individuo, sin embargo, “la solución de tareas se realiza

solo con ayuda del pensamiento”44

El niño no solo conoce más profundamente la realidad a medida que va

desarrollando su pensamiento, sino que este se desarrolla también a medida que

va profundizando su penetración cognoscitiva en la realidad, lo que significa que

en el pensamiento ocurre un proceso de retroalimentación mediante el cual el

individuo, cuando realiza su actividad sobre la base de un determinado objeto ya

“visto”, reconoce en él cualidades nuevas, que surgen de ponerlo en relación con

otros objetos, alcanzando un conocimiento nuevo y más completo.

Siguiendo el precepto Vigotskiano de que la enseñanza precede al desarrollo, es preciso organizar la enseñanza de la solución de problemas y en

investigaciones de Campistrous y Rizo (1999), estas ideas se concretan y se dan

los elementos precisos acerca de qué es considerar a los problemas como objeto

de enseñanza en Matemática, así como las características que debe poseer un

sistema de problemas con intenciones de desarrollar el pensamiento de los

escolares.

La realidad de la escuela está alejada del cumplimiento, tanto de estos puntos de

vista generales, como de los específicos para el tratamiento de los problemas, en

función de desarrollar el pensamiento de los alumnos.

En esta tesis se asume la posición, de que en la práctica de la solución de problemas en Matemática se debe lograr una diferenciación y al mismo tiempo combinación, de problemas dirigidos a la asimilación y consolidación

44 Petrovsky, A. V. Psicología General. p. 364-365. Ed Pueblo y Educación, La Habana, 1978.

de los conocimientos y de problemas cuyos procedimientos de solución son “no rutinarios”45.

Mediante la utilización de estos últimos problemas, se puede contribuir a eliminar

las creencias que respecto a la solución de los problemas, tienen los niños. En

función de contribuir a desarrollar el pensamiento Krutetsky (1972), por ejemplo,

señaló la necesidad de plantear problemas con determinadas características como

tareas sin preguntas formuladas, problemas con datos incompletos o con datos de

más, así como situaciones que conducen a varias soluciones.

En otra consulta realizada, se agregan a los anteriores aquellas situaciones en las

que las respuestas no son numéricas, así como la necesidad de variar

constantemente los contenidos de los problemas y su forma de presentación a los

niños (Campistrous y Rizo, 1996). Ambos autores logran diferenciar además, los

problemas atendiendo a su solución en determinados e indeterminados; asociando

a los primeros con aquellos problemas que siempre tiene una solución y, además,

que es única, mientras que los indeterminados son los que tienen más de una

solución (número finito o infinito de soluciones), e incluso los que no tienen

solución.

Los problemas abiertos también son de gran utilidad, ya que en ellos se deben

modificar las condiciones y buscar nuevos elementos que permitan trazar la vía,

pues los elementos que se dan no son suficientes en relación con la exigencia. En

los sistemas de problemas pueden ser utilizados además, los problemas

contradictorios, o sea, los que no tienen solución, pues cualquiera que se

encuentre contradice alguna de las condiciones dadas en el enunciado.

Finalmente sugieren tener en cuenta todas las funciones de los problemas en el

momento de confeccionar un sistema con determinada intención didáctica, pero

siempre considerar dentro de estas la más importante, que es la función de desarrollo.

Labarrere(1988) por su parte, sugirió la necesidad de utilizar además de los

problemas descritos anteriormente, aquellos que no tienen solución al menos que

se modifiquen las condiciones.

En resumen, la solución de problemas se puede constituir en un espacio propicio

para estimular la actividad de los niños, si se tiene en cuenta lo siguiente:

45 Evento Internacional Pedagogía 99. Algunas técnicas de resolución de problemas / Celia Rizo y Luis Campistrous. Curso Prerreunión, La Habana: Palacio de las convenciones, 1999.

Utilizar problemas que exijan de los niños un esfuerzo mental suficiente,

como para que ellos sientan la necesidad de asumirlos y cuyos procedimientos

de solución no sean rutinas de acuerdo al nivel alcanzado por los niños.

Los problemas deben responder a algunas de las exigencias vistas

anteriormente, es decir:

A. Problemas con datos numéricos o sin ellos.

B. Problemas que admiten una, varias o ninguna solución.

C. Problemas cuya formulación sea escrita o no.

D. Problemas en que la presentación de las condiciones sea por medio de

textos o a través de modelos, dibujos o patrones.

E. Utilizar problemas en los que halla que transformar las condiciones

dadas.

Mezclar los problemas del compendio realizado con los problemas

escolares, para evitar la aparición y permanencia de creencias respecto a la

solución de estos.

Crear espacios suficientes para el tratamiento de sistemas de problemas,

que reúnan los requisitos adecuados, con la intención didáctica de estimular el

desarrollo del intelecto, y en especial se debe procurar a través de los

problemas que los niños adopten un pensamiento flexible respecto a su

solución. (Campistrous y Rizo, 1996)

Convertir el tratamiento de los problemas en “objeto de la enseñanza”, con

sus objetivos bien definidos y los demás retos que esto implica para el trabajo

de los maestros en las clases de Matemática y especialmente en la concepción

de los métodos de enseñanza.

En la práctica escolar la actividad de solucionar problemas puede ser

enriquecida, si se tienen en cuenta los parámetros antes mencionados, pues ellos

deben contribuir a elevar las necesidades y motivos hacia la solución de problemas

y definir los propósitos de los niños en este proceso a partir de las características

de las condiciones de los problemas según estos criterios.

Esta reflexión está estrechamente relacionada con las características de la

actividad en general y con sus especificidades en la solución de problemas,

cuestión que será analizada a continuación.

1.6 Algunas consideraciones finales sobre la actividad y la comunicación en el proceso de solución de problemas. Comenzaremos hablando un poco acerca de la actividad. Como se conoce, la actividad46 desde las posturas vigotskianas, está sujeta a las necesidades que

provocan los motivos para llevarlas a cabo y está regulada a su vez por las acciones que el sujeto realiza para hacerla efectiva y esta última depende de las operaciones precisas para la ejecución de la actividad.

Las acciones tienen su origen en “la subordinación del proceso de la actividad a

determinados objetivos”, mientras que las operaciones surgen a partir de “las

condiciones en que la actividad se desenvuelve, que dictan las vías, los

procedimientos a seguir en la ejecución de la acción”. El esquema (Anexo18)

refleja las relaciones entre la actividad, las acciones y las operaciones y las causas

de su surgimiento en cada caso.

Una caracterización de la solución de problemas sobre la base de estos

componentes de la actividad, puede ser vista de la siguiente manera:

La primera de las acciones mencionadas se realiza por medio de

operaciones como la lectura analítica, la extracción de la información necesaria

así como la organización de los datos. En el proceso de realización de esta acción

también pueden intervenir la reformulación del texto del problema y la utilización de

modelos. En los problemas compendiados juega un importante rol, la búsqueda de

información en modelos y dibujos en general, constituyéndose en uno de los

grupos que se presenta en la clasificación realizada.

La realización de la acción relacionada con la ejecución de la vía de

solución del problema, depende de operaciones mencionadas como la

modelación, la reformulación del texto y la lectura analítica, a las que se añaden la

determinación de problemas auxiliares, el tanteo inteligente, el conteo de números

y figuras geométricas, la transformación de las condiciones dadas en el problema y

la búsqueda de alternativas de soluciones, estas tres últimas relacionadas con los

problemas que se proponen en esta investigación.

Finalmente a la acción relacionada con el control del proceso realizado,

le sirven como sostén operaciones como; la comparación de los resultados en

relación con el texto, la comparación de la solución con problemas ya resueltos

46 Referencias de Campistrous y Rizo (1996), Rico (1996) y Colectivo de autores (1995). Las precisiones se refieren a este último de estos textos: Psicología para educadores.

que tienen características similares, la búsqueda de nuevas vías de solución y la

utilización de técnicas de control del resultado numérico obtenido.

Como se puede apreciar las operaciones que se ejecutan en la realización de las acciones, coinciden en su mayoría con las técnicas (Campistrous y Rizo,

1996) que pueden ser empleadas por los niños en la solución de problemas y por

otra parte, dichas acciones se asocian a las fases de orientación, ejecución y

control que caracterizan cualquier actividad humana.

Por supuesto que la actividad de resolver problemas como cualquier otra

actividad, está estrechamente relacionada con la comunicación que se establece

en este proceso entre el maestro y los niños y entre los propios niños. Como es

conocido a partir de la teoría de Vigotsky, la interiorización del conocimiento pasa

necesariamente primero por un proceso de socialización, mediante el cual se

produce ese intercambio.

Por esta razón los procesos que ocurren con objetos materiales concretos (puede ser la resolución de un problema) se convierten en procesos que ocurren en el

plano de la conciencia, es decir, primero ocurren en un plano externo, de intercambio y de colaboración y luego pasan a un plano interno a formar parte de la “actividad intelectual” de los individuos.

Es bajo este criterio correspondiente a la teoría Histórico Cultural de Vigotsky, que

se da la relación entre la actividad y la comunicación, o sea, la actividad genera un imprescindible proceso de intercambio de la experiencia entre los sujetos, que conduce al desarrollo de los procesos psíquicos y por consiguiente a la apropiación de la cultura. De tal manera es vista en esta

teoría la necesaria interacción con “otros”, que se da en la actividad de los sujetos

por alcanzar determinadas metas, como relaciones de colaboración y de

intercambio de criterios, lo que es asumido en esta investigación como uno de sus

fundamentos psicológicos.

En la actividad de resolver problemas se puede apreciar la idea de que estos

procesos, es decir, la comunicación y la propia actividad que se realiza, no ocurren

de forma paralela y de manera independiente, ya que no solo es suficiente la

orientación del maestro, sino que, el intercambio de experiencias entre los niños,

organizados en pequeños grupos, acerca de las relaciones que pueden ser

encontradas en el texto del problema y las diversas vías que pueden ser “vistas”,

según la apreciación de cada cual en la búsqueda de la solución, constituyen

ejemplos de esta interdependencia. Esto se pude lograr mediante la utilización de

problemas no rutinarios, que requieran de una amplia actividad intelectual y del

intercambio de criterios alrededor de la propuesta que se hace.

En la actividad de solución de problemas lo relacionado con los motivos como

ya se ha dicho, tiene mucho de subjetivo en relación con las particularidades y la

riqueza de factores que condicionan el proceso docente educativo. Resolver

problemas para algunos niños puede constituir un reto y una satisfacción pues lo

han incorporado como una actividad interesante y productiva, mientras que para

otros se convierte esta actividad en algo de lo cual no pueden escapar, pero que

realmente no la desean o la realizan como una actividad más entre otras.

Es por eso que esta actividad tan importante en la vida de las personas, hay que

tratarla de manera que todos se involucren de la misma manera, lo que se puede

lograr si el maestro utiliza recursos como el empleo de problemas no rutinarios en

sus clases y estimula la participación activa de los niños en este proceso, mediante

el empleo de técnicas, procedimientos y estrategias que despierten la motivación.

CAPÍTULO 2: Alternativa didáctica para estimular la actividad de los alumnos en la resolución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática de cuarto grado.

En este Capítulo se presenta la alternativa didáctica que responde al objetivo de

esta investigación, y que constituye su principal resultado al sistematizar47 la

teoría relacionada con la enseñanza de la resolución de problemas, mediante el

empleo de un compendio de problemas no rutinarios.

La alternativa está organizada a partir de un estudio preliminar de los problemas del compendio, que por sus características pueden estimular la actividad de los alumnos, mediante el empleo de algunas técnicas, estrategias y procedimientos que pueden ser útiles para orientarse en las vías de solución y en

el propio proceso de resolución de dichos problemas.

Se analiza también en la propuesta la actividad del maestro y la del alumno en el proceso de enseñanza aprendizaje de la solución de problemas y

finalmente se hace una propuesta de las etapas de trabajo que pueden ser

utilizadas como alternativa didáctica para el tratamiento de los problemas propuestos. En el siguiente esquema se sintetiza la alternativa didáctica que será

desarrollada en el Capítulo.

47 Organizar según un sistema. Sistema: Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto. Biblioteca de Consulta Microsoft® Encarta® 2005. © 1993-2004 Microsoft.

Dirección del

proceso por

d l

Algunas técnicas y procedimientos de solución

Alternativa Didáctica

Características de los problemas

Actividad de los

alumnos en la

solución de

ETAPAS DE TRABAJO CON

Como se puede apreciar en el esquema, la alternativa didáctica que se pone en

consideración interrelaciona los elementos antes descritos, constituyendo los

pilares sobre los cuales ella se asienta.

Esta alternativa se basa fundamentalmente en la actividad del maestro y de los

niños de cuarto grado, en el proceso de solución de problemas que en este caso

tienen la característica de responder a la definición de problemas no rutinarios.

Para ayudar a la dirección de la actividad de resolución de estos problemas que

debe realizar el maestro, se sugiere la utilización de las etapas en las que se

enmarcan las actividades realizadas durante el pre experimento: familiarización

con los problemas, trabajo intensivo en la resolución de estos problemas y

aplicación.

Se tener en cuenta que una alternativa consiste en una “opción entre dos o más

variantes con que cuenta el educador para trabajar con los educandos, partiendo

de las características, posibilidades de estos y de su contexto de actuación”48.

Como otras variantes se pueden tomar como referencia, lo que aparece en las

Orientaciones Metodológicas respecto a este contenido y otras alternativas

mencionadas en el capítulo I.

2.1 Algunos antecedentes del trabajo con la solución de problemas en la escuela primaria. Para comenzar, y como información previa a la propuesta que se hace en este

capítulo, es necesario sistematizar algunas deficiencias observadas a través de la

investigación realizada por el autor de la tesis, a través del trabajo científico

estudiantil (Anexo 2), y que fundamentan claramente la necesidad objetiva de

48 CD Aprender es Crecer. Carrera de Educación Primaria. Pag. 173 y 174

continuar investigando en este campo de la resolución de problemas en la escuela

primaria cubana.

A continuación se realiza un resumen de las principales deficiencias observadas

en el proceso de solución de problemas:

1. Esquematización de la dirección del proceso de solución de problemas. La

dirección que realiza el maestro se caracteriza por un exceso de “ayuda” que

consiste en “pensar por el alumno”, la ausencia de preguntas especulativas y de

impulsos heurísticos, así como, no arriesgarse a probar el trabajo que el alumno

puede realizar con ayuda de estos impulsos, además de lo que ya sabe hacer de

manera rutinaria.

Esta deficiencia es un reflejo de lo que sucede en el proceso de enseñanza –

aprendizaje; el conocimiento se ofrece como “producto terminado” ajeno a

cualquier tipo de cuestionamiento. La curiosidad y la alternativa quedan pendientes

para otro momento que en realidad nunca llega.

2. Esquematización de la ejecución. La ejecución es poco fértil, acompañada de

esquematismos desde la manera de proceder (datos, planteo, operación,

respuesta), hasta la falta de recursos y de formas generalizadas de acometer la

solución de los problemas.

3. Falsas creencias respecto a la solución de problemas. Esto sucede ante otras

causas por presentar a los alumnos problemas del mismo tipo, correspondientes

al contenido que se imparte en ese momento. Por otro lado, no se trabajan

problemas, sin solución, con varias soluciones, con alternativas de solución, con

vías diferentes de solución, es decir, problemas que sean un reflejo de lo que en

realidad sucede en la vida.

4. Obsesiva tendencia a realizar el problema sin que medien procesos de

análisis y síntesis. Establecen un paralelo entre los ejercicios formales y los

problemas, sólo que como en estos últimos no está indicada la operación, esta

acción se ejecuta colocando cualquier signo, posiblemente el que corresponda a

los ejercicios que se han realizado en la clase.

5. Los problemas son utilizados en las clases de Matemática en función de la

motivación, que definitivamente no se logra por esta vía. Lo que sucede

actualmente es que son propuestos al principio de la clase con este propósito,

pero se resuelve en ese momento y no es retomado en el resto de la clase.

6. No se presentan los problemas en sistemas para el tratamiento de una

deficiencia concreta en la enseñanza de la solución de problemas.

7. La falta de entrenamiento o muchas veces desconocimiento acerca de las

técnicas para la solución de problemas, priva al niño de recursos necesarios para

el trabajo en las situaciones que se les presentan.

8. Se pone énfasis en el resultado y no en el proceso de solución de los

problemas. Esto no favorece el control que debe ejercer el niño sobre su propia

actividad, no favorece la búsqueda de otras posibles vías de solución para el

mismo problema, no facilita la toma de conciencia de los recursos puestos en

práctica durante el proceso, obstaculizando el proceso auto regulado y de

reflexión sobre la actividad realizada.

9. Ausencia de generalización en la solución de tipos de problemas comunes.

El esfuerzo desplegado en los anteriores problemas puede servir de impulso

para encontrar la solución de otros con los que hay puntos de coincidencia.

10. No se practican procedimientos que puedan ser comunes a la solución en

general de los problemas.

Como se puede apreciar las insuficiencias están centradas en dos aspectos

fundamentales, lo que también pudo ser apreciado en el contexto de la

investigación, que desde el punto de vista empírico respalda a estos criterios:

I. En la dirección del proceso por parte del maestro, que limita la actividad del

alumno y propicia la tendencia a la ejecución al hacer énfasis en los resultados

y no en los procesos.

II. En el contenido mismo de los problemas y de los procedimientos de solución,

pues hay ausencia de técnicas de solución y de procedimientos generalizados,

que por tanto no son objeto de enseñanza y los tipos de problemas que se

proponen se resuelven mediante procedimientos rutinarios, lo que impide una

mayor actividad mental en la búsqueda de la idea de la solución.

Este último aspecto constituye uno de los pilares de la investigación que se

presenta en el informe, el cual sirvió de sustento al conformar las características de

la colección de problemas realizada por el autor de este trabajo, utilizando como

criterio fundamental para la selección realizada, el que no respondan a las rutinas

que con frecuencia aparecen en la solución de los problemas escolares.

Los elementos que conforman la propuesta didáctica, responden a la realización de los niños en la solución de los problemas que aparecen en el compendio y las

características de las actividades preparadas por el autor de esta investigación. En

lo relacionado con la dirección del maestro en esta actividad que realizan los niños,

es conveniente analizar cómo se puede, en las condiciones normales de un aula,

lograr no solo que los alumnos trabajen, sino que además quieran hacerlo y se

apropien de recursos que les permitan alcanzar las exigencias de las situaciones

que se les presentan, sobre la base de una alta motivación por la actividad, lo que

forma parte también de esta propuesta.

2.2 Características de los problemas del compendio propuesto. Antes de iniciar a caracterizar la propuesta de problemas que se hace, es

necesario primero discutir un poco acerca de las características de los problemas

que normalmente se utilizan en la escuela y que aparecen, en su gran mayoría, en

los libros de texto de la Matemática Escolar.

En este sentido se puede afirmar, a partir de investigaciones realizadas con

anterioridad a esta en Cuba (Cervera 1998, Fonte 2003, Capote 2003, entre

otros), que la principal cualidad que caracteriza a los problemas escolares

utilizados en las clases de Matemáticas de la escuela primaria, es la de constituir

un tipo de ejercicio para diversificar la ejercitación y consolidar los contenidos

recién aprendidos por los niños y consolidar los procedimientos de solución para el

cálculo, o aplicaciones en el tratamiento de las magnitudes, la geometría o la

numeración.

A estas características se añade el hecho de el aumento de dificultades de un

problema a otro se hace atendiendo al nivel de los conocimientos adquiridos por

los niños en un momento dado y se considera como requisito fundamental la

cantidad de operaciones a realizar y las relaciones que entre ellas se producen.

De manera muy aislada se toman otros criterios para reconocer otras dificultades

de los problemas dadas en el texto y que influyen en la solución si no se toman en

cuenta, como es el caso de la presencia de datos innecesarios, en los que la

tendencia a “ejecutar de inmediato”, lleva a los niños a utilizarlos en la búsqueda

de la solución.

Por estas razones la solución de problemas se va convirtiendo en un hecho

rutinario y de hecho los problemas también lo son, pues como se dijo los

problemas se consideran rutinarios cuando en el proceso de resolución se pueden

encontrar las vías de solución de una manera directa en el propio contenido de la

asignatura que se aborda en la escuela.

En relación con lo anterior, las investigaciones antes referidas y las realizadas en

este campo han recomendado la necesidad de incluir otro tipo de problemas, que

difieran en el planteamiento y también en el proceder y que promuevan la

imaginación infantil, la intuición, el ánimo de enfrentar la situación y en general la

motivación. De esta manera se contribuye también al logro de una mejor

preparación de los alumnos en el aprendizaje de la solución de problemas.

Estas investigaciones fundamentan la necesidad de emplear problemas que se

diferencien de los problemas escolares que actualmente aparecen en los libros de

textos de Matemática, de modo que realmente logren una mejor disposición y una

actitud más flexible en la realización del proceso de solución.

Esta recomendación de incluir problemas no rutinarios, o con más propiedad, de

aquellos problemas cuyo procedimiento de solución no es rutinario49, la mayor

parte de los autores que se refieren a esta problemática , recomiendan que en el

marco de las situaciones escolares, si se quiere uno acercar a una situación didáctica que pueda ser utilizada como vía para enseñar a resolver problemas, como es el caso de esta propuesta, sí es necesario incluir problemas con procedimientos de solución no rutinarios, que se acerquen lo

más posible a los rasgos generales antes establecidos para la definición del

concepto problema en sentido amplio. Pero también se plantea que no es

conveniente provocar una ruptura entre los hábitos ya establecidos en la escuela

que se acercan mucho a la solución de problemas rutinarios, por lo que se deben

combinar con los anteriores.

En los problemas propuestos (Ver Anexo1), se pueden encontrar diferencias

respecto a los problemas escolares, tanto en lo relacionado a su aspecto externo y

la manera en que se presenta ante el niño, como a las particularidades de su

contenido o esencia interior y de los procedimientos que se necesitan para

resolverlos.

En cuanto a lo externo, en una buena parte de los problemas propuestos, la lectura

hay que hacerla a partir de una información que se brinda a través de una

representación que refiere ligeramente un procedimiento a utilizar o de un patrón a

seguir que da indicios de la manera en que se puede proceder en la búsqueda de

la vía de solución u otros dibujos a modo de orientación. Esta información viene

generalmente antecedida por una orientación dada en un texto breve.

49 Los procedimientos de solución no rutinarios son entonces aquellos en los que se exige un proceso de búsqueda propiamente heurístico. Campistrous y Rizo, Didáctica y Solución de problemas. En proceso de Edición por la Editorial Iberoamericana. México.

En general se puede afirmar que en esa colección de problemas, atendiendo al

texto escrito, es decir, lo relacionado con su contenido interno y las

transformaciones que se realizan en ellos, lo fundamental se da en dos

direcciones:

El texto da indicaciones precisas sobre lo que se debe realizar de

inmediato, bien para proceder a la búsqueda de información en modelos o

patrones, o para ejecutar acciones como el conteo y la búsqueda de alternativas

de solución.

Las condiciones que se dan en un grupo de problemas, no satisfacen las

exigencias y en consecuencia se debe proceder a hacer cambios en las mismas.

Ante estos últimos problemas se debe acometer la búsqueda de condiciones

nuevas, que transformen a la situación presentada en otra, pues las que se dan en

la situación original, no satisfacen las exigencias del problema. En estos problemas

es importante la intervención del maestro, empleando impulsos que estimulen la

incorporación de nuevos datos para completar la insuficiencia de las condiciones o

para transformar la incógnita y acercarla a la información dada, contribuyendo de

esa manera a que los niños no abandonen la situación.

De cierta manera la transformación de las condiciones existentes, por otras

que le den nuevo sentido a la situación presentada es una reformulación que se

está haciendo del problema, que denota comprensión de lo planteado y al mismo

tiempo constituye una técnica o estrategia que deben atesorar los niños como

“herramienta” mental de gran utilidad en el proceso de solución.

Es preciso señalar que en la colección aparecen problemas que no admiten ninguna solución, pues las condiciones no son suficientes para encontrar una

respuesta razonable. Ante estas situaciones, como ya se ha dicho, el modo de

proceder de los niños debe ser el transformar las condiciones existentes, actitud

que demuestra flexibilidad en el pensamiento, en el sentido de no aceptar lo dado

como definitorio en el análisis de la situación.

En los problemas que dan indicaciones sobre cómo proceder en la búsqueda de la nueva información a través de patrones, representaciones u otros dibujos, se pueden diferenciar orientaciones en varios sentidos, es decir, se

precisa qué es lo que se debe realizar de inmediato con la revelación que se

puede encontrar en la parte gráfica del problema: un conteo, el seguimiento de

patrones o la búsqueda de alternativas de solución.

En los primeros problemas la precisión de la orden está dirigida a realizar algún

tipo de conteo tanto numérico como de figuras geométricas, algunas veces

aisladas y en otros casos incluidas unas en otras. Para aumentar las dificultades

de estos problemas, se dan indicaciones de construir las figuras y se utilizan

también objetos que se relacionan con juegos de mesa como son el dominó y los

dados.

En cuanto al conteo de los números, son de interés aquellos que se refieren a la

utilización de las relaciones que se dan entre ellos, específicamente entre las cifras

básicas, lo que permite ganar destrezas en la solución de los problemas y también

conocer estas propiedades y aplicarlas en la formulación de nuevos problemas.

De esta manera los niños descubren mediante la solución de algunos problemas,

que la suma de las cifras básicas incluyendo al cero, de dos en dos, de manera

que los sumandos sean la menor y la mayor cifra y siguiendo este orden, la suma

que se obtiene siempre será nueve. De igual manera, colocadas las cifras básicas

sin contar al cero en dos filas compuestas por las cifras impares y las pares debajo

siempre de menor a mayor, de manera que estas últimas queden entre dos

impares, se puede comprobar que la suma de la dos impares es siempre el doble

de la cifra par que se encuentra en el medio.

Estos conocimientos no aparecen explícitos en los problemas, los mismos pueden

ser inferidos en la práctica de la resolución sistemática de este tipo de problemas.

El conteo en ocasiones está dirigido a figuras geométricas, con la particularidad,

de que se realiza a figuras que están aparentemente aisladas y también a figuras

incluidas entre sí, lo que aumenta su grado de dificultad, pues en la combinación

de figuras es más difícil desentrañar la cantidad, ya que generalmente se tiende a

no tener en cuenta la variedad de tamaño de una misma figura.

En los problemas correspondientes a este grupo, se da la particularidad de que

encierra en sí dos incógnitas, la primera relacionada con la cantidad de cosas que

deben ser contadas coincidiendo con la exigencia del problema y la otra con la

extensión del conteo de manera que no se exceda, ni se quede a medias, es decir,

se refiere a la duda que queda respecto a si el conteo se hizo.

Es aquí donde se puede apreciar que lo contado es también información respecto

a lo que falta por contar y orienta sobre ello, al mismo tiempo que controla los

resultados que se van obteniendo.

Este ir y venir del pensamiento desde las condiciones de los problemas hacia la

búsqueda de las metas, de los resultados parciales obtenidos nuevamente hacia

las condiciones del problema, de las nuevas condiciones ahora enriquecidas con

estos resultados, hacia la búsqueda de la solución del problema otra vez hasta

realizar todo el conteo, identifican a la movilidad del pensamiento en los problemas

de conteo.

En cuanto a los problemas que tienen alternativas de solución, se dan los que

están asociados a una representación de la situación y los que brindan toda la

información en el texto. En algunos de ellos la ilustración de la situación hay que

construirla, pues constituye parte de la exigencia del problema.

En una parte de estos problemas ocurre, que se deja abierta la cantidad de

respuestas correctas que son posibles, lo que de hecho, sin estar declarada, es

otra incógnita que el niño debe dar solución y los modelos que va obteniendo, son

la guía respecto a las nuevas alternativas de solución que está por construir.

En los problemas que convocan a buscar alternativas de solución, el valor de la

reflexión en el pensamiento de los niños es definitorio, pues como ya se ha dicho

su meta no radica solo en reconocer que son varias soluciones, sino que muchas

veces es más difícil reconocer hasta donde llegar para que no se repitan

soluciones, e incluso estar alerta para que las soluciones obtenidas hasta un

momento determinado, no sean las mismas que otras anteriores.

En este tipo de problemas es vital tener conciencia de todo el proceso; desde las

condiciones a los resultados obtenidos y de estos a las condiciones nuevamente.

Este movimiento en dos sentidos opuestos es una evidencia más de la

manifestación de la reversibilidad del pensamiento en la solución de los problemas

propuestos.

Otros problemas asociados a la búsqueda de información en modelos, patrones y otros dibujos que ilustran la situación que se quiere presentar, no

necesitan de construir estos modelos y por lo general tienen una solución

asociada. En ellos la información puede aparecer de manera explícita o implícita,

esta última funciona al estilo de los problemas compuestos (Campistrous y Celia,

1996), en los que se debe realizar o descubrir algo sobre lo que no se ha

preguntado.

Hay problemas con estas características, en los que la información se brinda en forma de una cadena, de manera que cada parte de esta se relaciona con la

anterior y la secuencia completa es la que da las condiciones del problema, es

decir, que cada parte aislada, por sí sola, no da la idea de la solución y además

debe tenerse en cuenta el orden.

En el proceso de búsqueda de la solución, el niño debe descubrir generalmente un

patrón, que se obtiene poniendo en relación toda la información visual que se

ofrece, y después de haber establecido las relaciones entre ellas entonces

integrarlas como un todo (ver problema 41, grupo 1).

En estos problemas hay dos elementos que influyen en la búsqueda de las regularidades que conducen a la solución del problema: uno relacionado con “la

forma” en la cual se presenta determinada “información” de manera que se pueda

establecer un patrón y el otro relacionado con la “búsqueda de la información” y de

organización de los datos, que permita extraer conclusiones respecto a la

secuencia que se debe seguir y que determina el resultado esperado (ver problema 21, grupo 1).

El primero ha sido objeto de análisis en anteriores ocasiones dentro de este

informe, por ser uno de los elementos puestos en la consideración de los niños,

con la intención de ampliar la visión sobre el concepto de problemas y de variar su

actitud ante la solución de los problemas por lo novedoso que resulta, si se

compara con la solución sistemática de los problemas escolares.

El otro elemento se relaciona con la manera de proceder en la búsqueda de la

solución que es en esencia lo característico en este tipo de problemas, ya que las

condiciones dadas en el problema conlleva a descubrir y seguir una secuencia y

conservar un orden establecido y de lo que se trata es de colocar a la incógnita en

el lugar que le corresponde en dicho ordenamiento.

Los niños deben hacer conciencia primero del patrón que se manifiesta en la

información, para descifrar el lugar que ocupa en ese patrón lo que se exige como

respuesta del problema. En ese primer tránsito en los dos sentidos, para buscar la

esencia de las relaciones entre las partes que lo componen, se produce el

recorrido de la incógnita a la secuencia visible que se da como información y

viceversa.

Ante problemas de esta naturaleza, el pensamiento de los niños queda libre de

“suposiciones impuestas” o creencias que se van formando con la solución de

problemas escolares que se vuelve rutinaria y que generalmente responde a la

parte instructiva del objetivo. En la acción de volver al estado inicial, “debe lograrse

la comprensión de las nuevas relaciones que aparecen”50, lo que favorece la visión

del todo y las partes que es posible establecer en los procesos reversibles.

Los niños pueden identificar los cambios en la formulación y en la vía de la

solución, y en ello se ven obligados, en algunos casos, a modificar el planteamiento de los problemas como recurso para continuar avanzando en el

análisis, lo que se convierte en una técnica conocida como Técnica de la

Reformulación de los autores Campistrous y Rizo (1996).

Este movimiento libre del pensamiento puede dirigirse a la verificación del proceso

y de los resultados obtenidos ya sean parciales o finales, aspecto que resulta de

gran importancia en la actuación de los niños en la solución de problemas y evita

la tendencia ejecutiva ya abordada anteriormente.

Otra característica muy asociada al pensamiento matemático de los escolares en

estas edades, recogida por Rico (1996) es la reflexividad en la solución de

problemas, relacionada con el carácter analítico y crítico de este pensamiento,

pero que sus intenciones están dirigidas a tener conciencia permanente de las

acciones que se están realizando en el proceso de solución y especialmente para

evaluarlo, tal como plantea Pilar Rico al decir que... “la formación de acciones de

control y valoración, resulta tanto condición del proceso de formación de la

reflexión, como el medio de su funcionamiento”51.

Este nivel de conciencia sobre las acciones realizadas por el niño que tiene una

actitud reflexiva en el proceso de solución de problemas, influye en la seguridad

que siente, en el momento de “seleccionar” una determinada estrategia a emplear

y sobre los medios en pos del resultado esperado.

Sobre esta característica de la actitud reflexiva del niño, América González ha

planteado refiriéndose al niño que “él vuelve sobre sus pasos, revisa lo hecho,

regula las acciones”52, todo lo cual está estrechamente relacionada con un modo

flexible del pensar, en cuanto a producir cambios en la vía que se emplea y en los

medio si no satisfacen las expectativas, realizar otras acciones hasta ahora no

puestas en consideración y realizar valoraciones de los nuevos resultados así

obtenidos.

50 Smirnov, A. A. Psicología. p. 187-190. Ed: Pueblo y Educación, La Habana, 1966. 51 RICO MONTERO, PILAR. Reflexión y aprendizaje en el aula, p. 9- 17, La

Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1996. 52 González Valdés, América. Creatividad y métodos de indagación. p. 13 -15.Ed: Pueblo y Educación, La Habana, 2004.

La reflexividad en el pensamiento permite variar las condiciones cuando se

descubre que no son adecuadas para alcanzar la meta exigida, es responsable

también de reconocer si el camino escogido en el análisis de los modelos,

patrones o dibujos es el apropiado para obtener la información precisa y de

reconocer todas las alternativas de solución posibles ante problemas que admiten

varias soluciones, así como de encontrar las maneras de realizar el conteo de

figuras y el conteo numérico, evitando que se escapen soluciones.

El móvil de la compilación y la clasificación de los problemas que será presentada

a continuación, es el de propiciar la participación activa de los niños en el proceso de solución, al mismo tiempo que flexibilizar su pensamiento, en el sentido de ampliar su visión respecto a dicho proceso, a partir de las

posibilidades que brindan los problemas no rutinarios de romper con esquemas y

preconcepciones, lo que equivale a lograr un aprendizaje desarrollador en este

complejo de materia de la Matemática. 2.3 Clasificación de los problemas compendiados. Para facilitar el trabajo de la didáctica de la Matemática en lo relacionado con la

utilización de los problemas en el proceso de enseñanza de este complejo de

materia y de la asignatura en general, los problemas son clasificados con la

intención de determinar las dificultades que ellos presentan y de esta manera

facilitar su selección y ordenamiento.

Las clasificaciones de problemas más conocidas en la Matemática del sistema

educacional cubano en las últimas décadas, son las relacionadas con las ideas de

autores alemanes en la década de los años sesenta (Geissler, 1979) y más

reciente la clasificación dada por los investigadores Celia Rizo y Luis Campistrous

(1996).

La primera de estas clasificaciones se sustenta en dos criterios fundamentales,

uno referido a la cantidad de operaciones y el otro a la estructura verbal que se

observa en el texto del problema. Si es una o son varias las operaciones a realizar,

los problemas pueden ser considerados simples o compuestos y en este último

caso se analiza si hay algún tipo de dependencia entre dichas operaciones. En

cuanto a la estructura verbal, los parámetros se refieren a la formulación de la

situación con mayor o menor claridad, la colocación de la pregunta en el texto y la

complejidad del texto utilizado, entre otros aspectos que pueden complicar su

comprensión y el proceso de búsqueda de las relaciones a partir de los datos

dados en el problema.

La segunda clasificación se basa en tres parámetros a partir de los cuales se

puede determinar el nivel de complejidad en un sistema de problemas. Ellos se

refieren a el paso del texto al modelo intuitivo, es decir, la complejidad en la

utilización de modelos, a la estructura de las operaciones en lo que es

determinante la necesidad de resolver o no problemas auxiliares y la cantidad de

estos que aparecen en el proceso de solución y finalmente a las dificultades del

lenguaje presentes en el texto, en cuanto a si es directa o indirecta la manera en

que se presenta dicho texto, si es comprensible lo que se dice, dificultad que

depende en gran medida de los conocimientos previos que tiene la persona que

resuelve el problema.

Estos criterios de clasificación de los problemas escolares constituyen un valioso

recurso en mano de los maestros, para dosificar las dificultades de los problemas

en un sistema determinado y ajustar la intención didáctica que sustenta la

selección de estos ejercicios y con ello atender más de cerca a la diversidad que

es característica en el proceso de enseñanza aprendizaje.

Sin embargo, estos criterios de clasificación anteriormente analizados, no se

ajustan a las características de la mayoría de los problemas compilados en esta

investigación y expuestas en el epígrafe anterior, por lo que el autor de esta tesis,

creyó conveniente realizar una clasificación con ayuda de otros criterios.

Es por eso que los problemas del compendio realizado para esta investigación no

se clasifican sobre la base de las ideas de los autores antes mencionados, pues la intención fue la de agruparlos por sus características en lo referido a la presentación, es decir, a lo externo del problema y a los procedimientos que deben ser empleados en la búsqueda de la solución.

Los criterios de clasificación se basan fundamentalmente en aquello que resulta nuevo y que puede provocar la motivación y disposición espontánea,

porque llama la atención, porque se sale de lo rutinario, de lo que el alumno tiene

como patrón de problema y del tipo de información que recibe cuando se le

presenta este.

Para clasificar los problemas (anexo 1), se mezcla entonces lo externo, lo visible, lo referido a la manera de presentarlo ante la persona que lo asume,

con lo interno en el sentido de la acción o del proceder que debe seguirse,

unas veces explícitas y otras implícitas en el texto que está relacionado por lo

general con un dibujo, modelo o patrón.

Esta combinación de elementos que caracteriza a los problemas del compendio

realizado, tiene también un efecto en el concepto de problema que hasta ahora

tiene el niño y la solución de éste, es decir, flexibiliza su manera de pensar al

respecto y amplía su visión acerca de estos dos elementos que tiene incorporados

al pensamiento y la acción.

Desde el punto de vista del cumplimiento del objetivo científico y de la organización

de las actividades del pre experimento, también resultó provechoso el

agrupamiento realizado a estos problemas.

Los criterios de clasificación asumidos en la investigación se pueden resumir de la

siguiente manera:

La forma de presentación y la formulación que caracteriza a los problemas

del compendio.

El tipo de procedimiento que se debe utilizar en la búsqueda de la

solución de los problemas.

Como se puede apreciar, los criterios de clasificación seleccionados, no tienen

directamente el propósito de establecer un orden en los problemas atendiendo a

parámetros para identificar el nivel de las dificultades que se puedan encontrar en

ellos, es decir, lo que se pretende es agruparlos atendiendo a los dos aspectos ya

mencionados. El análisis de los grupos así obtenidos, se realiza utilizando como

referencia el modelo empleado por Luis Campistrous Pérez y Celia Rizo Cabrera

(1996), de la siguiente manera:

GRUPO 1: Problemas que se resuelven mediante la búsqueda de información en una representación gráfica. La búsqueda de la información se produce mediante la observación y análisis de la

las condiciones dadas en la representación gráfica del problema, que

generalmente viene acompañado de un texto muy breve que indica la exigencia.

Los problemas compilados con estas características, tienen la posibilidad de

romper con el esquema que tienen los niños acerca de qué es un problema en

Matemática, pues la formulación de estos responde a una estructura que no es la

acostumbrada a apreciar en los problemas escolares que aparecen en los textos

de la asignatura.

Se pueden identificar dos tipos de problemas que responden a las características

definidas para este grupo:

La información que se busca está asociada a un patrón. Ej. del 1 al 13

La información que se busca conduce a realizar reflexiones lógicas. Ej.: del

14 al 46.

En el primer tipo cuando se habla de patrón, se refiere a un ordenamiento de las

acciones mentales que se deben realizar de manera consecutiva y dependientes,

en este caso mediante la observación de algún dibujo que sirve de guía, para

obtener algo similar (ver problema 8, grupo 1).

Como se puede apreciar en la búsqueda de la solución al problema planteado, el

niño debe proceder realizando dos acciones mentales; mediante la primera

identifica cuál es el rasgo que caracteriza a los representantes dados y con la

ayuda de la otra reconoce las características de la figura que falta, atendiendo a la

forma, el tamaño y el color o la combinación de estos. En algunos problemas estas

acciones se dan por separado (ver problemas 12 13, grupo 1).

Este último problema permite que los niños puedan realizar una acción en la

nueva situación, partiendo de la comprensión del patrón que debe ser imitado,

para lo cual es imprescindible tener seguridad de las características de dicho

patrón, las que deben ser aplicadas con exactitud a partir del dato que se da en

esta segunda situación.

Este problema brinda la posibilidad al maestro de discutir colectivamente a raíz del

trabajo individual o en pequeños grupos, un grupo numeroso de soluciones que

son posibles, las que pueden ser utilizadas como motivación en la descomposición

de los números como suma de dos sumandos, en la enseñanza de los elementos

de la combinatoria, etc.

La realización en estos problemas es importante, no solo para la actividad

Matemática que se desarrolla en la escuela, sino que en el resto de las asignaturas

y en la práctica resulta un recurso que se utiliza con frecuencia. En relación con el

problema en el que se debe identificar la figura que debe ocupar el espacio en

blanco, la situación para lograr la realización por parte de los niños puede ser

planteada en otro problema (ver problema 10, grupo 1).

GRUPO 2: Problemas que se resuelven mediante la búsqueda de alternativas. Este grupo contiene a aquellos problemas que admiten múltiples soluciones y que

en la investigación se les considera de manera significativa, no solo por lo atractivo

de la propuesta que se ofrece desde cada problema de la colección, sino por la

actividad mental que desarrolla el niño en la búsqueda de las soluciones que se

precisan en ambos casos.

Mediante el proceso de solución de los problemas de este grupo, los niños tienen

la posibilidad eliminar la creencia relacionada con una sola solución para los

problemas y que la vía de solución es única también, aspectos de significativa

importancia tanto en la actividad Matemática, en la práctica escolar en su conjunto

y en la vida, pues la visión que puedan tener en este sentido les permite asumir la

solución de los problemas en general desde una posición más flexible.

Los problemas que se presentan en esta colección se caracterizan por tener dos

tipos de soluciones, es decir, en una parte de ellos las respuestas aunque

parezcan excesivas todas son necesarias, mientras que en el resto de los

problemas las soluciones son varias, pero una de ellas es suficiente. El maestro en

todos los casos debe procurar que los niños se empeñen y logren encontrar todas

las soluciones posibles o al menos que expresen ideas claras respecto al

procedimiento que se emplea para obtener todas las soluciones.

En este grupo se pueden identificar dos tipos de problemas:

De múltiples soluciones. Ej.: del 1 al 18

De selección de soluciones alternativas. Ej.: del 19 al 23

En el primer tipo de problemas aparece una característica que resulta común para

todos y es que ellos aparecen acompañados de una ilustración, que tiene dos

funciones fundamentales: servir de guía y orientación inicial en los niños para

comenzar el trabajo y ayudar en la realización de las acciones que el niño debe

emprender para encontrar las soluciones de dichos problemas (ver problemas 1 y 5, grupo 2).

En estos problemas se debe dejar que los niños encuentren la mayor cantidad de

respuestas posibles y luego con ayuda de los impulsos heurísticos, lograr que se

fijen en el procedimiento utilizado por ellos para obtener esas primeras soluciones

e instarlos a que continúen buscando otras diferentes a las anteriores. Problemas

como el relacionado con el tablero geométrico, pueden ser utilizados para el

trabajo extraclase o de encuentro de conocimientos y concursos por la cantidad y

variedad de las soluciones a encontrar.

Es conveniente no declarar previamente la cantidad de soluciones que tiene cada

problema (por ejemplo el problema de las pentacuadrículas tiene doce soluciones

diferentes) y convertir esto en otra dificultad, que también sea parte del análisis

que el niño debe realizar, de esta manera no se le pone límites a su imaginación y

se contribuye a flexibilizar su pensamiento y que realice nuevas realizaciones, ya

que cada solución se convierte en un reto que supera los esquemas prefijados en

las anteriores soluciones obtenidas.

Lo anterior debe tenerse en cuenta también en los problemas del segundo tipo

perteneciente a este grupo, en los que la diferencia respecto a los primeros se ciñe

a que, si en aquellos era preciso que los niños encontraran todas las soluciones

pues todas responden a la exigencia establecida en cada situación, en estos de las

múltiples soluciones se puede considerar una sola según se considere o se

seleccione, es decir, todas son soluciones pero una sola es suficiente (ver problema 20, grupo 2).

En este caso las soluciones están en relación con la descomposición en factores

primos y no primos del 18, que da respuesta al problema auxiliar: ¿con cuántos libros cuenta la parte de la mitad de la colección que se vende a $18?

Después de que se halla resuelto este problema auxiliar y seleccionado una de las

cantidades que sea divisor de 18, entonces la solución del problema ya es

evidente. En este problema el resto de los datos ayuda a seleccionar como las

posibles soluciones a los divisores del 18, pues 42 es múltiplo de 14 que

representa la otra mitad de la colección, lo que unido al dato se vende a $4 cada libro, dan la idea de que en estas partes, los libros tienen los mismos precios. En

otros casos pueden ser considerados como soluciones del problema auxiliar antes

mencionado, cualquier variante del 1 al 23.

En otros casos las respuestas que se obtienen pueden salir de un valor

seleccionado por el niño o de la combinación de varios valores (ver problema 21, grupo 2), es decir, se pueden comprar 40 gomas de 9 centavos o 30 gomas de

12centavos o 20 gomas de 9 centavos y 15 de 12 centavos, etc.

En este problema se fijan mediante el 6, 9, 12, 18 y 36 centavos, los múltiplos de

$3.60 que es lo que queda después de haber comprado los lápices.

GRUPO 3: Problemas que se resuelven realizando un conteo. En la vida diaria de las personas posiblemente el procedimiento matemático más

empleado es el de conteo, por las aplicaciones que tiene en las relaciones de los

hombres entre sí y entre ellos y la naturaleza que ha sido transformada por el

propio hombre.

Para realizar determinado conteo existe por lo general un criterio, que depende de

las circunstancias tomadas como premisa por el sujeto que lo realiza y que

determina las características de dicho conteo. Este se puede hacer objeto a objeto

o agrupando los objetos por características determinadas que lo agilizan, por

ejemplo de dos en dos, de tres en tres, etc.

También es posible realizar un conteo en el que varias cantidades están reunidas

por otras relaciones establecidas entre ellas. En la Matemática muchas veces

estas cantidades están asociadas a contenidos de la Geometría.

En los problemas compilados, se repite lo anterior una y otra vez, lo que motivó la

aparición de este grupo de problemas en el que se pueden delimitar dos tipos de

conteo:

Conteo directo. Ej.: 1 al 9

Conteo indirecto. Ej.: del 10 al 27

Cuando se habla de conteo directo se está refiriendo a aquel que se realiza con los

objetos de conteo físicamente presentes, mientras que el conteo indirecto se

realiza por medio de relaciones entre cantidades dadas.

En el primero de los casos los objetos pueden estar independientes unos de otros,

como cuando se cuentan lápices, cajas estibadas u otros objetos y también puede

haber una interdependencia entre los objetos de conteo (ver problemas 4 y 9, grupo 3).

En el primer caso no se ven todos los objetos, pero la idea de cómo obtener el

“todo” está presente si se manejan con acierto las cantidades que se observan en

las filas y las columnas. En el otro problema hay que contar los segmentos que se

observan independientes y también aquellos que se forman de la unión de los

anteriores. En este problema se puede promover el empleo de dos estrategias de conteo, una en la que se cuentan los segmentos independiente y después los

formados por la unión de dos, tres y cuatro segmentos independientes y la otra

estrategia se basa en contar todos los segmentos posibles desde cada punto,

comenzando por cualquiera de los extremos.

El conteo indirecto, por su parte, es el que se realiza por medio de reflexiones

lógicas acerca de las relaciones que se establecen entre las cantidades implicadas

en la situación (ver problema 27, grupo 3).

En el ejemplo anterior se puede apreciar que la relación que constituye la base del

problema planteado, se obtiene a partir de conocer que la suma de los dígitos es

igual a 45 y como el 3(cantidad de pelotas) es un divisor de este número, el

mismo se puede descomponer en tres partes iguales, de manera que la suma de

los dígitos agrupados de tres en tres sea exactamente 15, colocación que se hace

realizando un tanteo. Si se incluye al cero se pueden colocar de dos en dos, de

manera que la suma sea nueve.

En los problemas compilados, aparecen también algunos relacionados con los

juegos de mesa como es el caso de los dados y el dominó, propicios para elevar la

motivación de los niños. En todos los casos los niños tienen que realizar acciones, encaminadas a la búsqueda de las condiciones para ejecutar el conteo.

La actividad que promueve la solución de estos problemas demanda reflexión y

movilidad del pensamiento, en el sentido de volverse para retomar lo que ya fue

elaborado, para continuar hasta completar la solución.

GRUPO 4: Problemas en los que se debe realizar transformaciones en las condiciones dadas. Para el cuarto grupo se dejaron los problemas que se caracterizan, por una

formulación muy peculiar, a la que generalmente los niños no están

acostumbrados y que de momento obstaculiza la toma de decisión en cuanto al

proceder que se debe utilizar para encontrar la vía de solución. Estos problemas

son de gran utilidad ya que en la vida de las personas son muchas las situaciones

que se presentan, a las que no se les puede dar una solución aparente de

inmediato y no por estar en el último lugar de la compilación de problemas que se

ha presentado en esta investigación carecen de importancia.

Una de las creencias que tienen los niños respecto al proceso de solución de

problemas, es que siempre es posible encontrar una solución y la buscan a todo

costo, muchas veces tratando de adivinar la o las operaciones que se deben

realizar, manifestación esta de la tendencia a la ejecución que como ya se dijo

anteriormente caracteriza en no pocas ocasiones el proceso de solución de

problemas en las aulas de la escuela primaria.

Es por eso que en esta compilación de problemas, se consideró conveniente

organizar un grupo con aquellos problemas que no tienen solución a menos que se

les transforme sus condiciones, que conducen a la solución cero, que no tienen

datos numéricos, que no se corresponden las condiciones del problema con la

incógnita planteada, que las exigencias no conducen a realizar operación alguna,

entre otras con características similares.

Los problemas de este grupo completan la visión de los niños acerca del proceso

de solución en Matemática y pueden ser utilizados en el trabajo sistemático, que

se realiza en el aula con este complejo de materias y enriquecido por el propio

maestro en dependencia de las deficiencias que se pueda apreciar a partir del

diagnóstico sistemático.

El principal propósito de este grupo de problemas es el de dejar clara la idea de

que cuando el problema no tiene solución, no se debe dejar a un lado sin al menos

intentar transformar aquello que lo impide, acción que no se realiza comúnmente

en la práctica por no haberse formado desde la escuela esta convicción. Las

acciones que los niños realicen en problemas de este tipo, pueden contribuir a que

en su futuro sean capaces de transformar aquello que obstaculiza su vida plena y

a tomar decisiones firmes ante las adversidades. En este grupo se pueden precisar

dos tipos de transformaciones a realizar:

Cambiar o agregar datos numéricos.

Cambiar la formulación en lo relacionado con las condiciones dadas o con

la pregunta del problema.

En este grupo también se agregaron otros problemas que responden a la siguiente

característica:

Se resuelven mediante reflexiones lógicas.

En el siguiente problema de la colección, por ejemplo, con los datos que se dan no

se puede alcanzar la solución y la pregunta no conduce a la búsqueda de un

resultado numérico, en todo caso el niño debe sugerir cómo hacer posible el pago,

lo que puede propiciar un rico intercambio que el maestro puede conducir hasta

que los niños “descubran” que la vía adecuada está relacionada con la

transformación de las condiciones dadas (ver problema 4, grupo 4).

En este problema cambiando algunos datos se puede acceder a la solución, a

diferencia de otros problemas en los que no se trata de cambiar, sino que se hace

evidente la ausencia de datos necesarios para proceder en la búsqueda de la

solución (ver problemas 5 y 12, grupo4).

En ambos casos sería suficiente agregar un número que denote la cantidad de

dinero que tiene en el otro bolsillo para el primer caso y el valor de las revistas

compradas en el segundo, lo mismo ocurre otro ejemplo en el que se debe dar

valor a la cantidad de libros que hay en el otro estante o la cantidad de novelas y

libros policíacos por separado (ver problema 7, grupo 4). Los datos que se dan

en este y el anterior aparecen encubiertos, lo que se considera otra dificultad que

se produce en el análisis del problema:

En los anteriores ejemplos la transformación de las condiciones que se produce,

está relacionada con los datos numéricos que se dan o que están ausentes, pero

en ocasiones esta transformación es necesario realizarla, cambiando en alguna

medida la formulación del problema.

En otros ejemplos (ver problema 2 y 14, grupo 4) se puede precisar esta última

característica, ya que en el primero de ellos se debe realizar una precisión acerca

de si el dinero utilizado es el que había ahorrado la niña o se refiere a otro dinero

diferente invertido por los padres en comprar lo necesario para festejar su

cumpleaños. Estas variantes determinan si la solución es cero o si Claudia se

quedó con todo el dinero que había ahorrado, respuestas poco utilizadas en los

problemas que se resuelven comúnmente en las aulas de la escuela primaria:

En el segundo de estos problemas, al no existir relación entre las condiciones y la

exigencia, se hace necesario también transformar la formulación, de manera que

se refiriera en el texto lo relacionado con la per cápita de arroz que consumen los

niños o de lo contrario cambiar la pregunta, de manera que se haga corresponder

con la información que se da en el problema.

Estos son en resumen los cuatro grupos de problemas obtenidos en la compilación

presentada a partir de los criterios dados al comienzo de este epígrafe. Esta

clasificación no pretende ser rígida, pues en determinadas circunstancias es

posible tener en cuenta otros criterios para realizar una agrupación de los mismos

problemas distinta a la que se ofrece en este trabajo.

Es necesario señalar que los grupos obtenidos en esta clasificación, por sí sola, no

determinan el orden de aparición de los problemas en las actividades que con

posterioridad se conformaron. Fue necesario tener en consideración otros

elementos para decidir la manera en que serían tomados los problemas, en

relación con los conocimientos precedentes en los alumnos y con el nivel de las

dificultades que los problemas presentan.

La utilización de los tipos de problemas antes identificados, contribuye con la

flexibilización del pensamiento, en el sentido de convertir a la búsqueda de la

solución en un proceso no rutinario y lleno de sorpresas por la variedad de la

formulación y de las características de las soluciones a encontrar.

2.4 Caracterización de la actividad de los alumnos en la solución de los problemas y su relación con el uso de técnicas, estrategias y procedimientos de solución. Como antes se ha planteado, la contribución de la solución de problemas a la

enseñanza de la Matemática viene dada, fundamentalmente, a través de las

características de los problemas en cuanto a que se formulan situaciones del

medio en las que se deben superar exigencias relacionadas con los conocimientos

de la asignatura, en un proceso de búsqueda de una vía desconocida,

contribuyendo así al desarrollo del pensamiento y a la educación ideológica de los

alumnos.

En consecuencia la actividad de los niños debe consistir, de manera esencial, en la

apropiación de “las herramientas” necesarias, que les permita asumir la resolución

de los problemas que se les presentan en las clases de Matemática, sin necesidad

de esperar por la “ayuda” del maestro, que generalmente lo que hace es

anticiparse a un razonamiento y minimizar las posibilidades que tienen los niños de

resolverlos por sí solos.

La asimilación de las técnicas53 constituye un inestimable recurso, en el que se

pueden apoyar los niños para enfrentar la búsqueda de la vía de solución de

problemas escolares y también pueden ser utilizados en la resolución de los

problemas no rutinarios que se proponen en el compendio realizado en esta

investigación.

La técnica de la lectura analítica y la reformulación y la técnica de la

modelación, cuando son dominadas por los niños, pueden constituir una especie

de alerta ante los problemas de cualquier naturaleza que les sean presentados,

pues es este el momento en el que ellos están tratando de comprender los datos y

las condiciones asociadas a estos, para ponerlos en relación con la incógnita que

se le plantea.

Estas técnicas según la bibliografía consultada, corresponden a la etapa de

orientación en la actividad de resolver problemas y por eso considera de suma

importancia que los niños las conviertan en “herramientas” de su trabajo, ya que

muchas veces la desmotivación de ellos para realizar las “transformaciones” que

conducen a la solución del problema, viene dada por no saber cómo comenzar, en

lo relacionado con la comprensión de este.

53 Campistrous y Rizo (1996) ofrecen cinco técnicas para la solución de los problemas, que pueden ser empleadas por las personas que se apropien de ellas en la diferente

La primera acción que debe realizar el niño cuando asume el problema y lo lee, es

tratar de identificar las partes de este y descubrir los datos no solo en el sentido de

la cantidad numérica, sino del significado que cada uno de ellos tiene en el

contexto del problema y la incógnita, a esto se llama lectura analítica.

La tendencia a buscar los números aislados de su significado en relación con la

situación presentada, sobre todo en el caso de los problemas aritméticos, conduce

a la ejecución inmediata que es característica en las aulas de la escuela primaria y

en la mayoría de los casos, ocurre que los niños se fijan en el tamaño de estos o

en el orden en que aparecen y por este criterio “deducen” la operación que

posteriormente realizan.

Por esta razón es necesario que los niños aprendan a encontrar lo conocido,

independientemente de las cantidades y lo desconocido, de manera que pueda

encontrar las relaciones entre lo dado, por su significación y por el contexto y no

por la posible relación entre las cantidades u otro tipo de dato específico, en

resumen, no se debe trabajar directamente con los datos (ver problema 18, grupo 4).

Si ante una situación como esta el niño trata de encontrar las relaciones entre lo

que se da, directamente con la utilización de las cantidades, puede suceder que

después de encontrar la diferencia entre los metros que sube en el día y los que

posteriormente baja en la noche, en este caso un metro, de como respuesta cinco

días.

Si por el contrario se reconoce el significado de la acción de subir tres metros y

bajar dos metros, se podrá reconocer entonces que cada día el caracol amanece

un metro por encima de donde comenzó el día anterior, es decir cada día se acorta

la distancia en un metro, por lo que al tercer día podrá alcanzar la superficie.

Lo dicho en el párrafo anterior es una manera de decir la situación presentada de

otra manera, de forma sintética después del análisis realizado, se trata de una

reformulación de dicha situación, es una manera de sintetizar lo comprendido, de

reproducirla en un lenguaje más próximo a los conocimientos que tiene la persona

que la resuelve.

Otra acción que debe formar parte de la actividad que desarrolle el niño en el

proceso de solución de problemas, como apoyo al logro de la comprensión de la

situación que tiene ante sí, es la de modelar dicha situación, que consiste en la

disciplina, pues constituyen métodos para el trabajo en el proceso de su solución.

reproducción de las relaciones fundamentales que se establecen en el enunciado

del problema.

La modelación de una situación determinada, no constituye una acción obligatoria

para aquellas personas que se someten a encontrar la vía de solución adecuada,

pues esto depende de las posibilidades de cada sujeto y de la interpretación que

realice para lograr la comprensión del problema planteado, sin embargo, constituye

un inestimable recurso para los niños en este proceso.

En un ejemplo se puede reconocer la necesidad de utilizar los modelos en el

intento de comprender las relaciones que pueden conducir a la solución del

problema (ver problema 20, grupo 4):

Después de una lectura detallada se puede apreciar que lo conocido es que una

tabla se fraccionará en dos partes y que esta acción se realiza en un tiempo

determinado y por otra parte, lo desconocido es el tiempo que debe transcurrir en

fraccionar en seis partes a otra tabla igual a la primera.

La atención debe centrarse entonces en el tiempo que demora realizar un corte,

pero la modelación es determinante para comprender que las seis partes se

obtienen realizando solo cinco cortes en la tabla, lo que genera un razonamiento

equivocado y como tendencia se multiplica el tiempo que se necesita para hacer

un corte (dos segundos) por seis, lo que pudo ser corroborado en el

preexperimento realizado.

La utilización de estas técnicas con el propósito de lograr la comprensión, debe

estar acompañada de la capacidad para identificar las características de los problemas propuestos, es decir, los niños deben decidir si se trata de un

problema de conteo, si deben buscar soluciones alternativas o información visual

en un patrón o dibujo, si los datos no son suficientes y se deben realizar

transformaciones u otras particularidades de estos problemas.

En relación directa con el reconocimiento del tipo de problema que se asume, está

lo relacionado con la estrategia de solución que en ese caso corresponde aplicar.

Debe tenerse en cuenta que una estrategia “es en un proceso regulable (como la

resolución de problemas), el conjunto de las reglas que aseguran una decisión

óptima en cada momento”54. En este caso cada grupo de problemas puede ser

resuelto utilizando como recurso, un conjunto de sugerencias con carácter

heurístico que sirven para orientar en cada momento a los niños.

De manera que los niños deben aprender a utilizar progresivamente las estrategias de solución que se ofrecen en forma de acciones a realizar por ellos,

en correspondencia con el tipo de problema que se les ha planteado.

En el primer grupo las orientaciones respecto a cómo proceder para resolver los

problemas correspondientes, puede darse en las siguientes acciones:

1. Identificar el rasgo que falta y que caracteriza a la composición presentada en

el problema.

-¿qué es lo que observo en el dibujo?, ¿qué es lo que se repite?, ¿qué debo

colocar?

2. Determina la característica de ese rasgo que da la solución del problema.

-¿qué color, forma, tamaño o disposición tiene el rasgo en el dibujo?

-¿en qué orden se repite lo observado?

-¿cómo debo colocar lo que me piden?

3. Intenta colocar en el lugar señalado una posible solución.

- coloco el resultado que pensé.

4. Comprobar las soluciones obtenidas.

- pongo en relación la respuesta obtenida con las condiciones que me dio el

problema.

Las acciones que deben ser aprendidas por los niños en la solución de los

problemas del segundo grupo son:

1. Encontrar el rasgo que identifica al problema planteado, mediante la búsqueda

de información en los dibujos.

-¿qué es lo que debo realizar?

-¿cómo dice en el problema que lo debo hacer?

2. Establecer un orden de realización según las condiciones dadas.

-¿por dónde puedo comenzar?

- Elijo un lugar (tamaño, color, valor, etc.) por donde sea conveniente

comenzar.

3. Realizar un tanteo de las posibles soluciones.

-¿por dónde me conviene continuar el trabajo?

54 Diccionario de la Lengua Española. Edición electrónica. Versión 21.1.0. Real Academia Española, 1992.

-¿se pueden realizar nuevas combinaciones?

-¿se repiten algunas características de las combinaciones realizadas?

4. Determinar todas las soluciones posibles.

-¿utilicé todos los datos?

- reviso y comparo nuevamente todas las combinaciones obtenidas.

En el caso de los problemas de este grupo en los que las soluciones se presentan

como alternativas, de las cuales cualquiera puede ser la respuesta, entonces se

les sugirió a los niños otra indicación que se anexa a las anteriores:

5. Elige la que consideres apropiada.

- escojo una para responder a la pregunta del problema, expresando

que es una posibilidad entre otras.

Para los problemas del tercer grupo el proceder tiene dos variantes en

dependencia de si el conteo se realiza sobre figuras incluidas en una composición

o en la colocación de cifras bajo determinadas condiciones en una composición. El

primer caso las acciones se resumen de la siguiente manera:

1. Precisa la o las condiciones del conteo.

-¿qué debo contar?

2. Trata de descomponer la composición.

-¿cuántas veces está contenido lo que debo contar en la composición?

3. Precisa un orden para comenzar a contar.

-¿por dónde comienzo?

-¿cómo continuo contando?

4. Comprueba si se agotaron todas las posibilidades.

- veo la composición desde otras posiciones.

-¿se repiten figuras? ¿aparecen nuevas?

- compruebo nuevamente la cantidad encontrada.

Las acciones correspondientes al segundo tipo de problemas de conteo tienen

elementos específicos como se puede apreciar a continuación:

1. Precisa la o las condiciones del conteo.

-¿cómo me dicen que deben ser colocadas las cifras?

2. Realiza un tanteo.

- pruebo cómo puedo colocar las cifras.

- si no me da el resultado que quiero, vuelvo aprobar hasta resolver el

problema.

3. Comprueba el resultado obtenido.

- trato de colocar las cifras de otra manera.

- rectifico nuevamente si coloqué las cifras como me piden en el

problema.

Por último en el cuarto grupo las acciones a seguir por los niños en la resolución

de los problemas son:

1. Reconocer que se debe hacer transformaciones.

-¿me dieron los datos que necesito?

-¿me dieron datos de más?

-¿puedo relacionar lo que me dan con lo que me piden?

-¿qué es lo que me falta agregar a las condiciones para resolver el

problema?

2. Realizar las trasformaciones necesarias.

-coloco un dato que me convenga o arreglo el dato que no me sirve.

3. Presentar el nuevo problema y resolverlo.

-escribo de nuevo el problema y lo resuelvo.

En el caso de que los problemas se resuelvan mediante reflexiones lógicas, se

pueden agregar las siguientes acciones:

-¿cómo puedo representar lo que me dicen en el problema?

-¿cómo puedo representar lo que me preguntan?

Todo lo anterior sirve de apoyo al transcurso del procedimiento generalizado que

debe formar parte de la actuación de los niños, para lo cual se ofrecen

indicaciones55, con el propósito de que en aproximadamente tres etapas

enmarcadas en el primer ciclo de la escuela primaria, se convierta en

“herramientas” que los niños utilicen en la solución de los problemas aritméticos y

en cualquier otro tipo de problema.

La actividad de los niños en el proceso de resolución de los problemas del

compendio se puede sintetizar de la siguiente manera:

1. Comprender el problema que quiere resolver, para lo cual se puede basar en

la utilización de técnicas. Esta comprensión se puede basar en los siguientes

elementos:

Identificar las partes del problema.

55 Ver: “Aprende a resolver problemas aritméticos”, página 68 a la 70. Los autores Luis Campistrous Pérez y Celia Rizo Cabrera, después de analizar la manera en que se imbrican las técnicas en el procedimiento generalizado, sugieren cómo lograr que los niños se apropien de este proceder de manera escalonada.

Identificar los datos del problema y su significado en el contexto del cual

provienen.

Reformular la situación en caso necesario.

Modelar la situación en caso necesario.

2. Identificar la principal característica del problema a resolver. Esto permitirá

orientarse respecto al tipo de problema que quiere resolver.

3. Utilizar la estrategia correspondiente, así como, las técnicas y el

procedimiento generalizado. Para ello debe familiarizarse primero con las

estrategias, técnicas y procedimientos y luego en otras etapas de trabajo,

emplear la que se corresponde con el tipo de problema que tiene ante sí.

Esta forma de actuación es posible lograrla, a través de un trabajo sistemático del

maestro, quien debe considerar el tratamiento de los problemas como objeto específico de enseñanza, incorporándolos al trabajo diario en sistemas

preconcebidos con intenciones didácticas bien definidas, con la intención de

enseñar a resolver problemas.

2.5 Proceder didáctico del maestro en el tratamiento de los problemas del compendio realizado. Para comprender las características del modo en que los maestros deben proceder

desde los elementos de la Didáctica, es conveniente realizar una breve

aproximación a las manifestaciones externas de la mayoría de los problemas

seleccionados para completar el compendio presentado en el Anexo1 de esta

investigación.

Estos problemas se presentan en disímiles formulaciones, que marcan algunas

diferencias respecto a los que aparecen en los libros de textos en apoyo al

tratamiento de los contenidos de los programas de la escuela primaria. La

formulación casi siempre breve, acompañada de modelos, patrones y esquemas

es su principal característica.

Al tomar como referencia al problema 21 del grupo 1, se puede apreciar estas

características, que influyen considerablemente en los motivos de los niños y por

consiguiente, casi siempre se sienten en la necesidad al menos de explorar en las

condiciones y en las metas exigidas. Como se podrá apreciar en este problema no

será necesario realizar operación de cálculo alguna y por otra parte se emplea

como estrategia el trabajo hacia atrás, que no es característico en la búsqueda de

la solución en los problemas escolares.

Esta primera impresión que causa el aspecto externo de los problemas,

provocan como efecto una primera alerta en la persona que lo tiene ante sí,

algo que resulta positivo pues al menos hace conciencia momentánea de ella

y siente curiosidad por aquella situación que se revela diferente a lo comúnmente

ha reconocido como problema en Matemática.

La toma de conciencia puede ser un primer indicio de la necesidad que siente la

persona (en este caso el niño) que ha recibido la información de experimentar de

alguna manera, de penetrar un poco más en la situación y hacer conjeturas al

respecto, o al menos hacer un primer intento que satisfaga esa curiosidad

provocada por la manera en que le llegó el "mensaje".

Este momento inicial es muy importante en el trabajo que se realiza en el aula,

a partir de él los alumnos comienzan a percibir que están dentro de la situación y

por eso la dirección del maestro debe estar dirigida a la estimulación del trabajo

en el problema .

El papel del maestro en este instante de reflexión que hacen los niños ante la

solución de los problemas presentados, debe estar encaminado a provocar la

motivación de los niños con preguntas, que se constituyen en impulsos56, para

estimular ese primer acercamiento que los niños han tenido.

El impulso se está considerando (aquí) como una actividad externa que provoca un estímulo en el sistema de conocimientos y recursos en general del alumno, sobre una situación dada y que lo incita, instiga, impele a buscar en el mismo lo que requiere en un momento dado para resolver una situación no conocida total o parcialmente, pero que no le da directamente la vía de solución, que debe ser encontrada por el alumno57. Los impulsos en este caso forman parte del primer nivel de ayuda que se puede

ofrecer durante la realización del proceso de solución de los problemas y que en

este momento compromete al niño con la situación y son de mucha importancia

en el logro de una disposición de estos para solucionar el problema, así como en

el reconocimiento de los elementos que se dan como condiciones y de la

identificación de la meta.

56 Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. 57 Luis Campistrous Pérez Y Celia Rizo Cabrera. Ponencia presentada en Redome 5 (Reunión Dominicana de Matemática Educativa), 25 de Abril de 2004.

Estos en general deben ser dirigidos a la comprensión de la situación y de los

elementos que componen al problema en cuestión, para lo cual, el maestro se

puede auxiliar en la enseñanza de la técnica de la lectura analítica, de inestimable

ayuda en el empeño de los niños por entender la situación presentada.

El segundo nivel de ayuda debe estar dirigido a la búsqueda, en las condiciones

dadas, de aquellos elementos que son portadores de la vía de solución y las

preguntas deben ser elaboradas de tal manera que promuevan la reflexión, que le

permitan al niño, participar en la búsqueda activa de las relaciones, utilizar

estrategias de comparación con casos semejantes ya resueltos, reducir a

situaciones más simples que la que se analiza, entre otras.

Las características de los problemas reunidos en el anexo 1, facilitan la realización

de estas preguntas, ya que en general van a estar dirigidas a la transformación de

las condiciones y a la realización de los procedimientos que como regla se apoyan

en dibujos, modelos y patrones.

Por la subjetividad que contiene el planteamiento y asimilación de los problemas

presentados y las características del tratamiento heurístico a la búsqueda de la

solución de los mismos, es que se considera omitir las preguntas correspondientes

a los siguientes niveles de ayuda, aunque es prudente continuar con el trabajo

colaborativo, en el que el maestro o alumnos aventajados puedan brindar su

ayuda, sin excesos, a aquellos niños más necesitados.

Se deben realizar también preguntas que ayuden al niño a realizar el control valorativo de los resultados que se van obteniendo y de todo el proceso realizado,

a modo de perfeccionar procedimientos como el conteo y la búsqueda de

alternativas y de información relacionada con los problemas, implícita en los

dibujos asociados a cada texto.

Este tipo de preguntas debe hacerse durante todo el proceso, de manera que el

niño adquiera la costumbre de verificar las acciones que realiza a cada momento,

con el propósito de poder rectificar los errores y tener plena conciencia del camino

recorrido, para comparar estos resultados con la meta asignada por el problema,

durante el desarrollo de todo el proceso.

El hecho de tener “a mano” las condiciones del problema mediante la

representación de la situación en patrones, esquemas o dibujos, favorece una

actitud reflexiva de los niños en el proceso de su solución. Es más cómodo para

repasar lo que se está haciendo al volver sobre los pasos y tratar de encontrar

nuevas relaciones que se comparan con las utilizadas anteriormente.

El análisis de las condiciones se favorece al hacerse visibles las partes del

problema, esto a su vez propicia la orientación constante en la tarea, en cuanto

a lo que se da como datos, a la meta exigida y a los resultados parciales que se

obtienen, hasta llegar a un resultado final.

En tal sentido el papel del maestro es de guía de las acciones que realizan los

niños, les hace observaciones para que pongan constantemente en relación los

resultados obtenidos. Así por ejemplo, en el conteo de figuras geométricas o de

números, el hacer un seguimiento adecuado de las cantidades obtenidas y tener

conciencia de ellas, puede facilitar la cuenta progresiva y también la regresiva, es

decir, la visión de lo que falta por contar, de manera que lo que antes fue un

resultado parcial, en determinado momento se convierte en información respecto a

lo que falta.

En los demás factores de orden subjetivo que están presente en el proceso de

solución de los problemas, es también importante la dirección del maestro en el

sentido de reconocer las demandas del niño en cuanto al conocimiento matemático

propiamente y de otros recursos que se necesitan, así como de las potencialidades

que tienen y su experiencia en la realización de este tipo de actividad.

Si el niño no encuentra rasgos que le resulten significativos en algún sentido la

echará a un lado, de lo contrario iniciará un proceso casi siempre asociado a un

proceso de transferencia inmediata y no meditada de los conocimientos que

posee en pos de un resultado, lo que constituyen rasgos de un pensamiento

inflexible. Por eso el maestro debe tener siempre presente, si aquello de lo que se

habla en el problema es conocido o puede de alguna manera llegar a ser

comprendido y puede promover motivos en el niño y actuar en su zona de

desarrollo próximo.

Por otra parte un reproche adelantado acerca del trabajo que realiza el niño,

puede lesionar su interés y alejarlo de cualquier intento por encontrar la vía de

solución del problema. Si el maestro utiliza adecuadamente el error cometido por

el alumno, será beneficioso en dos sentidos, pues el hecho de asumir la falta, sin

hacerle mellas al aspecto afectivo por un lado y reconocer dónde se produjo y las

causas de la equivocación por otro, constituyen los dos pilares del tratamiento de

las equivocaciones que puede cometer un niño en la realización de una tarea.

Por eso son importantes los recursos que el maestro utilice para que sin

perderse el entusiasmo de los alumnos y su deseo de ejecutar acciones, los

procesos del pensamiento comiencen a servir de mediadores entre la situación y

el proceso de solución de dicha.

Como parte de la organización del aula, después de este primer contacto

individual con el problema en cuestión el maestro debe propiciar otro momento de reflexión colectiva, que resulta efectivo en la misma medida en que el aula se

organice en pequeños grupos de hasta cuatro niños.

La comunicación que se establece en el trabajo en grupos de pequeño tamaño,

tiene importancia desde el punto de vista del desarrollo que se alcanza en el

plano individual, pues mientras que para unos sirve a modo de reafirmar los

conocimientos y posiciones asumidas anteriormente, explicitarlas, darles cuerpo y

organizar estas ideas, en otros funciona como impulsos para desarrollar las

ideas incipientes que necesitan ser removidas, puestas al descubierto y

utilizadas en el proceso de solución que se está gestando.

En este espacio de reflexión en pequeños grupos y también de forma colectiva, se

puede concretar una estrategia, se puede conocer algo relacionado con lo que

se está discutiendo o se puede consolidar una idea que se encontraba en un nivel primario de formación, mediante la ayuda del “otro”, llámese el maestro

o un niño más aventajado.

Se trata de que se puedan comunicar libremente, ya que ellos entre sí se

transmiten las experiencias, las ideas que tienen acerca de la solución, manipulan

objetos en su conjunto, modelan la situación atendiendo a criterios de grupo, de

manera flexible, sin que se imponga la forma de pensar preconcebida del maestro.

Es este el momento para precisar el rol protagónico que le toca desempeñar a

cada alumno y la determinación de los niveles de ayudas ya precisadas que

permitan realizar, en la justa medida, el trabajo en la zona de desarrollo próximo

como se indica en la teoría de Vigotsky asumida en esta investigación, atendiendo

a las destrezas alcanzadas por los alumnos en la solución de problemas, la calidad

de los conocimientos que posee y el dominio de procedimientos y técnicas.

En general el maestro como dirigente del proceso de enseñanza-aprendizaje “debe

promover estrategias que promuevan el diálogo y la reflexión, así como la solución

cooperada de problemas”58, valorar el aporte y la opinión de los niños, logrando

que todos se incorporen a las discusiones, fomentar el trabajo en equipos, hacer lo

58 Soporte electrónico. CD Aprender es crecer. Carrera de primaria. Autor: Msc Carmen Reinoso Cápiro, p. 223.

posible para que el objeto de estudio ejerza influencia en los intereses y motivos

de los niños y cooperar solo con las ayudas e informaciones necesarias, acciones

que deben promover la comunicación en todos los sentidos y favorecer la actividad

de resolución de problemas en las aulas de la escuela primaria.

En esta concepción de la enseñanza y del aprendizaje, respecto a la relación de

los alumnos con otros compañeros y con el maestro, tiene mucho que ver el

método de enseñanza que seleccione este último en el desarrollo de la clase, en

cuanto a que dicho componente facilite ese tipo de comunicación en varias

direcciones.

El método en la solución de los problemas propuestos, tiene que ser por

excelencia de participación, tiene que promover el intercambio en base a la

producción de ideas y de la búsqueda de relaciones nuevas, a partir de los

elementos dados en las condiciones de los problemas.

Los procedimientos que complementen al método seleccionado, deben estar

estrechamente relacionados con la heurística, de manera que faciliten la

producción por parte de los niños de “estrategias reflexivas”, que contribuyan a

tomar conciencia del proceso en el que están implicados en toda su dimensión, así

como de poner a relieve los recursos intelectuales disponibles para orientarse en la

vía de solución.

En ocasiones los niños no hacen más, porque no se les “tienta”, se creen

incapaces de asumir determinados problemas que se alejen de los contenidos que

se están dando en el momento o que ya fueron impartidos, asumiendo que es una

tarea difícil para ellos, de la cual no podrán alcanzar resultado alguno, todo lo

anterior a criterio del maestro, que no asume riesgos muchas veces por el temor

de “perder” el tiempo.

Una enseñanza activa requiere también de métodos y procedimientos que

promuevan la incertidumbre y el cuestionamiento acerca de las cosas y de cómo

se obtienen. Hay procedimientos específicos propuestos por Margarita Silvestre

(1999) que deben ser aplicados a la enseñanza de la solución de problemas,

mediante los cuales el niño se acostumbra a indagar y a buscar respuestas,

llevando el control de los pasos que sigue a lo largo de todo el proceso. El momento que se conciba para la utilización de estos problemas, ya se ha dicho

que depende del diagnóstico realizado por el maestro en lo relacionado con la

resolución de los problemas y de las condiciones preparadas por este, desde el

contenido de la asignatura Matemática, evitando que el tratamiento de los

problemas del compendio, obstruya los objetivos del currículo en lo relacionado

con este complejo de materia.

El proceder del maestro en función de lograr una actividad intensa de los niños en

la solución de los problemas compendiados, se pueden precisar de la siguiente

manera:

1. Diagnóstico de las potencialidades de los niños respecto al dominio de

técnicas, estrategias y procedimientos en la solución de problemas.

2. Sobre la base de este diagnóstico el maestro debe estructurar las etapas de

trabajo con los problemas propuestos, combinándolos con los problemas

escolares.

3. Propiciar una comunicación fluida y multidireccional, en la que los niños no

se vean limitados bajo ninguna circunstancia. En este caso se deben

combinar e trabajo individual con el colectivo, así como la creación de

pequeños grupos de trabajo.

4. Propiciar zonas de desarrollo próximo en base al diagnóstico de los niños y

de la efectividad de la comunicación que se establezca en el proceso de

solución de los problemas presentados.

5. Utilizar de manera adecuada las ayudas que se correspondan con las

necesidades de los niños en la solución de los problemas, evitando los

excesos que tanto daño causan a las posibilidades de los niños en este

proceso.

6. Propiciar el uso de los softwares educativos relacionados con la temática.

En cada una de las etapas de trabajo que se proponen a continuación para la

utilización de los problemas compilados, el maestro debe realizar una selección de

estos en combinación con los problemas escolares y conformar sistemas de

problemas, de manera que sin afectar el sentido de estos últimos, se vallan

cumpliendo de manera paulatina los objetivos que serán definidos para cada una

de dichas etapas.

2.6 Etapas de la Alternativa didáctica para el tratamiento de los problemas

propuestos. Algunas recomendaciones didácticas. En la solución de problemas, como ya se ha podido precisar, subyacen

determinados procesos cognitivos estrechamente relacionados con otros procesos

y cualidades del pensamiento que se complementan en una lógica coherente, que

a su vez propicia las condiciones de su desarrollo. La forma en que todo lo

anterior se conjuga y se convierte en modo de actuación en los niños es

multifactorial y, además, tiene sus particularidades en las condiciones del proceso

de enseñanza aprendizaje de un aula de la escuela del nivel primario, a lo que se

suma las características de una enseñanza masiva.

Uno de los factores que puede influir en un cambio de actitud hacia la solución de

problemas en la escuela, está relacionado con el tipo de problemas que se aborde

y de sus exigencias, entendidas estas no solo en el sentido de la profundidad de

los conocimientos que dicha solución exige, sino también por la manera en que

promueven un comportamiento reflexivo, una postura flexible y desprendida de

ataduras hacia formas preestablecidas y esquemáticas de resolución. Los

problemas con estas características, facilitan la asimilación y transferencia de

conocimientos genuinos para los alumnos en el orden del proceso de solución en

particular, así como el desarrollo de estrategias de pensamiento y de acción

válidas para la orientación en la actividad práctica cotidiana.

Todo lo antes planteado sugiere que lo recomendable es incorporar en la escuela

problemas que difieran de los que tradicionalmente se resuelven. Esto significa

introducir nuevos problemas que difieran en el planteamiento y también en el proceder para la búsqueda de la idea de la solución y que promuevan la imaginación infantil, la intuición, el ánimo de enfrentar la situación y en general la motivación. De esta manera se puede contribuir también al logro de

una mejor preparación de los alumnos para la solución de problemas, que no

significa renunciar al tratamiento de los problemas que se encuentran en los libros

de textos de la escuela, pues ellos sirven de apoyo al logro de los objetivos del

currículo de cada grado de la enseñanza primaria.

Para lograr este cambio de actitud ante la solución de problemas de la mejor

manera posible, y a modo de orientación a los maestros en cuanto a cómo utilizar

los problemas propuestos en esta investigación, se establecieron tres etapas (anexo 3) que pueden servir de guía, sin que estas constituyan un esquema rígido para el trabajo en las aulas, por lo que las mismas son solo propuestas para

una posible organización del trabajo, que han sido puestas en práctica en esta

investigación.

A continuación se explicará en qué consiste cada etapa.

La primera etapa es la de familiarización con los problemas propuestos, mediante la cual se pretende además de poner en conocimiento de los niños las

características de estos problemas, ampliar su visión acerca del concepto de

problemas que ellos tienen concebido y de lo que buscar la solución de un

problema significa. La familiarización incluye también el trabajo con técnicas,

estrategias y procedimientos de solución relativamente desconocidos en la

solución de los problemas escolares.

El propósito central de esta etapa el de familiarizar a los niños con los problemas

que fueron coleccionados, sobre la base de las diferencias descritas respecto a los

problemas escolares y también el de despertar el interés y la motivación de

ellos.

Los problemas del compendio que se sugieren ser utilizados para el desarrollo de esta etapa son los de los grupos 1 y 4 (Ver Anexo 1) de la

clasificación realizada, ya que en estos grupos se dan las primeras condiciones

para que los niños de cuarto grado se familiaricen con una visión más amplia del

concepto de problemas, pues la formulación de dichos problemas se aparta de la

de los problemas escolares en los que por lo general la información casi siempre

consiste en un texto acompañado de datos numéricos. Lo anterior se fundamenta

en que:

En los del Grupo 1, que aparecen en el Anexo 1 bajo la denominación de

problemas que se resuelven mediante la búsqueda de información en una representación gráfica, la información acerca de las condiciones dadas está

asociada a dibujos, esquemas y patrones, por lo general acompañados de poco

texto en el que se precisan las indicaciones de cómo proceder con dicha

información visual.

En los del grupo 4, que aparecen en el Anexo 1 como problemas que se resuelven mediante reflexiones lógicas o por la transformación de las condiciones dadas, unas veces las condiciones no son suficientes, en otras hay

datos de más o no hay coincidencia entre los datos y la exigencia, lo que obliga a

transformarlas. Estas características permiten que los alumnos amplíen su visión

acerca del proceso y de la solución de los problemas en su conjunto, lo que

resulta diferente a cuando se trabaja con los problemas rutinarios típicos de la

escuela.

Algunas recomendaciones para el trabajo con esta etapa están directamente

relacionadas con el que se hizo en el preexperimento en esta investigación y con

las posiciones teóricas asumidas en la investigación, y que se resumen a

continuación.

En la parte inicial de esta etapa se puede comenzar con situaciones problémicas diferentes, en un entorno lúdico, pero que sean familiares, atractivas y motivantes a los alumnos, como es el caso de los llamados

rompecabezas, que en cierta manera simbolizan el concepto de problema pues

las condiciones iniciales se dan en las fichas que los componen y el camino para

alcanzar la meta, pero cómo armar el rompecabezas es desconocido.

En esta etapa de este proceso de búsqueda de la idea de la solución es

recomendable la organización del trabajo en equipos.

Si es necesario, el maestro le dará a los alumnos impulsos que en forma de

sugerencias (o de preguntas), lo suficientemente generales para que no se

conviertan en barreras para la actividad independiente del alumno, y que

favorezcan sus acciones de búsqueda.

En la experiencia se apreció el uso de estrategias de solución menos o más

acertadas pues unos trataron de distribuirse las piezas para armar partes por separado, constituyendo esta una estrategia sin progreso; otros acometieron la

tarea en conjunto unas veces tratando de adivinar la colocación de las fichas;

otras trataron de partir de un punto de referencia como es el caso de una de las

esquinas, una parte de la cara de los personajes representados, etc., que es

estrategia más razonable para este tipo de ejercicio.

No obstante a los aciertos y desaciertos de los niños en el planteamiento de esta

primera tarea, se logró la expectativa por parte de los niños, pues este tipo de

ejercicio planteado desde la Matemática resultó una experiencia fuera de lo

común, razón por la cual se cumplió el propósito de atraer su atención hacia las

actividades que luego sucedieron.

Por último, combinando adecuadamente la actividad individual con la actividad en equipos, se proponen los problemas antes referidos y que,

atendiendo a sus a sus características, permite trabajar en la orientación de los niños hacia un concepto de problemas más amplio en relación con el que ya

tienen de los problemas escolares, y que como se ha dicho son los utilizados

tradicionalmente en las clases de Matemática.

A partir de esta primera familiarización debe comenzar una segunda etapa en

la que se realizará un trabajo intensivo en los problemas propuestos.

En esta etapa de trabajo intensivo en la solución de los problemas recopilados, el

principal objetivo es enseñar a utilizar determinadas técnicas y estrategias

que como resultado, pueden ser convertidas en herramientas para el desempeño

de los niños en este complejo de materias.

Los problemas del compendio que se sugieren ser utilizados para el desarrollo de esta etapa son los de los grupos 3 y paulatinamente los del grupo 2

(Ver Anexo 1) de la clasificación realizada, en conjunto con los dos grupos que se

comenzaron a utilizar desde la etapa anterior. Con ellos se favorecen los

procedimientos de búsqueda de la idea de la solución y de la solución misma, y

permiten contribuir a una mayor flexibilidad del pensamiento de los alumnos, en

este proceso de solución de problemas. Lo anterior se fundamenta en que:

Los del grupo 3, que aparecen en el Anexo 1 bajo la denominación de

problemas que se resuelven mediante el conteo, tienen la particularidad de

que el proceso de solución no es un simple conteo de elementos aislados, por lo

que tienen que comenzar a un proceso de búsqueda sistemática que va a

caracterizar una técnica que es la que se denomina “tanteo inteligente”. Por otra

parte, la información en ocasiones depende también de un modelo u otro tipo de

dibujo o trazos como son los casos del conteo de segmentos y figuras geométricas

incluidas unas en otras, que da la posibilidad de emplear técnicas como la de “modelación”. Es necesario destacar el hecho de que buscar constantemente información visual

en modelos asociados a las exigencias, educa la concentración que debe

caracterizar a la actividad de estudio y que en ocasiones producto de la edad no se

logra todo cuanto quiere el maestro. Con este propósito en este grupo se

incluyeron también problemas relacionados con juegos de mesa como el dominó,

los dados y otros.

Los del grupo 2, que aparecen en el Anexo 1 como problemas que se resuelven mediante la búsqueda de alternativas, son más exigentes en cuanto

a las manifestaciones de un pensamiento flexible y las dificultades en ellos no solo

depende de la manera en que se brinda la información, si no de la capacidad de

encontrar múltiples soluciones y poder definir si en las soluciones encontradas

están todas las que realmente. La flexibilidad se manifiesta en el hecho de que por

sus características:

exige de los alumnos el constante movimiento de una condición a otra o

recorrer en dos sentidos opuestos una misma situación,

tener que transformar las condiciones para que el problema sea resuelto

porque las existentes no son suficientes,

poder escoger soluciones dentro de varias posibilidades o buscar más de

una solución como alternativas ante una situación que así lo exige.

Esta multiplicidad de elementos a tener en cuenta en la búsqueda de la solución

de los problemas propuestos son las que favorecen las condiciones para el

desarrollo del intelecto en estos niños de cuarto grado y especialmente estimula la

disposición de ellos hacia el proceso de solución de problemas en su conjunto y

flexibiliza el pensamiento en cuanto a la manera de enfrentarse a la búsqueda de a

solución de los problemas propuestos.

Algunas recomendaciones para el trabajo con esta etapa están también

directamente relacionadas con lo que se hizo en el preexperimento en esta

investigación, y otras dependen de posturas teórica asumidas en esta

investigación, pero que también se implementaron y que se resumen a

continuación.

Incluir entre las actividades a realizar, al igual que en la primera etapa,

situaciones problémicas diferentes, en un entorno lúdico, pero que sean familiares, atractivas y motivantes a los alumnos, como es el caso de los

llamados juegos de mesa como el dominó, los dados y otros, en los que es

necesario usar determinadas estrategias de actuación si se quiere aumentar las

posibilidades de éxito.

En la etapa del proceso de búsqueda de la idea de la solución y en el proceso mismo de resolución o de discusión de resultados, es recomendable

la organización del trabajo en equipos, combinándola armónicamente con las

actividades individuales y de todo el grupo, que también son necesarias.

Hay que introducir explícitamente el trabajo con algunas técnicas o estrategias útiles para favorecer la etapa de orientación, en la de búsqueda de la

idea de la solución y de la solución misma y en la de comprobación de la vía o las

vías que se pueden ser utilizadas. Todo ello debe hacerse mediante un proceso de discusión colectiva de un problema seleccionado convenientemente y que permita de ello sistematizar algunas acciones de dichas técnicas. Si es necesario el maestro le dará a los alumnos también impulsos que favorezcan la actividad del alumno y pueda inducirle el empleo de alguna técnica o estrategia determinada que le permita continuar el proceso de solución.

Algunos de los problemas que resultan útiles para introducir estas técnicas

son:

Para el tanteo inteligente aquellos problemas relativos a cuadrados mágicos

u otros similares a ellos.

La técnica del tanteo también es muy utilizada en los problemas que tienen

varias soluciones (Grupo 2), ya que en muchos de ellos se procede haciendo

“pruebas sistemáticas”, en relación con los resultados que se van obteniendo, a

modo de orientación para continuar la búsqueda de la solución y de encontrar

la extensión de esta (Ver problema 12, grupo 2). En otros casos el conteo no solo depende de las técnicas sino también de la

capacidad de “ver” lo que se pide, es decir, el conteo se relaciona con otras

variables convirtiéndose los problemas en compuestos, lo que complica la

búsqueda de la solución (Ver problema 17, grupo 3), ya que además de

contar, el niño debe reconocer todos los cuadrados que se forman en la

combinación presentada en el dibujo.

Tener en cuenta, además, que hay otros procedimientos generalizados de actuación que se dan en la búsqueda de la solución de estos problemas, que

en este trabajo se les ha denominado estrategias, y que aunque no hay que

asociarlos a acciones particulares de solución de problemas, como es el caso de

las denominadas técnicas por los doctores Campistrous y Rizo (1996), ni se tienen

que convertir en objeto explícito de enseñanza, pero si hay que irlas incluyendo paulatinamente en los modos de actuación de los alumnos pues son también

herramientas mentales útiles para el tratamiento de los problemas en la

Matemática y en la vida. En el epígrafe 2.4 se especifican las acciones que deben

ser seguidas por los niños en cada una de estas estrategias utilizadas en la

solución de los problemas compilados, las que se pueden resumir de la siguiente

manera:

Búsqueda de información en dibujos y en patrones.

Búsqueda de múltiples soluciones y de soluciones alternativas.

Conteo sistemático y exhaustivo sujeto a una o más condiciones.

Transformación de las condiciones dadas en una situación.

Esta etapa de trabajo con los problemas del compendio, debe propiciar la

utilización consecuente y sistemática de las técnicas y de las estrategias antes

referidas, para hacer conciencia a los niños de su empleo en la solución de estos

problemas y se familiaricen con estos términos.

Por otra parte, en las condiciones del ambiente escolar, el empleo de estas

técnicas y estrategias cobra mucha vitalidad, pues en este espacio hay múltiples

factores antes descritos, que se conjugan para reforzar su aprendizaje por parte de

los niños y dan claridad a la intención didáctica para la cual fueron propuestos:

enseñar a resolver problemas.

La tercera etapa denominada Aplicación de los problemas está dirigida a la reflexión acerca de la resolución de los problemas propuestos en particular y del proceso de solución de los problemas en general en la

asignatura Matemática.

Este momento de reflexión debe centrar la atención tanto en las estrategias específicas utilizadas en la solución de los problemas de la compilación

presentada, como en las técnicas y procedimiento generalizado que tipifican este proceso. En ella se trata de poner a prueba todo lo que pueden hacer los

niños de manera independiente, aunque no se desprecie totalmente el trabajo en

grupos pequeños y el frontal, sobre todo en el momento de evaluar resultados

finales del proceso seguido para encontrar la vía de solución en cada caso.

En esta etapa es conveniente seleccionar un sistema de problemas extraídos de la

colección aportada en este trabajo, del libro Aprende a Resolver Problemas

Aritméticos (Campistrous y Rizo, 1996), y de los propios problemas escolares que

están su Libro de texto de Cuarto Grado y que propicien hacer generalizaciones acerca de las características de los problemas en general y del proceso de solución.

Para ello, debe procurarse en esta etapa, que los niños reconozcan las

estrategias de solución utilizadas en su conjunto y que las asocien indistintamente

con los tipos de problemas que les sean planteados.

La consideración en esta etapa de la generalización como proceso de pensamiento jerarquizado para ella, está fundamentada en el hecho de que: Las características del pensamiento en estas edades, en las que de manera

paulatina va transitando de lo concreto a lo teórico, dan la posibilidad de analizar los objetos y las cosas cada vez desde perspectivas y posiciones diferentes, y también de lograr las primeras generalizaciones de lo que aprenden. Las generalizaciones respecto a los problemas ayudarán a los niños a tener

una idea más amplia acerca de qué es un problema, de qué partes consta y de

la variedad de formas en que estos pueden ser presentados, elementos estos que

enriquecen el concepto hasta ahora formado con la utilización exclusiva de los

problemas escolares.

Las generalizaciones que se hagan respecto al proceso de solución en su

conjunto, también permitirá que los niños tomen conciencia acerca de cada una de las técnicas y que además se apropien de ellas, las identifiquen y las apliquen en los momentos oportunos y necesarios. Las consideraciones anteriores, reafirman la necesidad de que los problemas

deben ser seleccionados con mucho cuidado por los docentes, a partir de la solución personal de cada uno de los que aparecen en los materiales antes

referidos, u obtenidos por otra vía que el docente conozca e incluso puede ser de

su propia elaboración, pero siempre debe tenerse en cuenta que se ajusten a las condiciones realmente alcanzadas por sus alumnos en las etapas precedentes. A modo de conclusión, se puede apreciar que esta última etapa resume las dos

anteriores, ya que después de haber trabajado en ellas, los niños se encuentran en

mejores posibilidades de utilizar los problemas propuestos en función de superar

los conocimientos sobre la resolución de los problemas y prepararse para alcanzar

metas superiores, respecto a la Matemática.

Un trabajo con las características anteriores, puede convertir realmente a la

escuela en un espacio muy importante en la formación intelectual de los niños y

que de hacerse como se aspira con esta investigación, debe ser utilizado en

función de desarrollar a plenitud su estructura de pensamiento.

En el manejo de los problemas propuestos, esta aspiración queda más cerca de

constituirse en un hecho real. A través de ellos es posible influir en la imaginación

que en estas edades es tan pródiga y desprendida de formatos y de

preconcepciones. Pero ese trabajo solo conduce a obtener buenos resultados en

la resolución de problemas en general, siempre que se acompañe, además, con lo

orientado en el currículo de cuarto grado respecto a este complejo de materia, lo

que de hecho es condición previa para el trabajo posterior en el segundo ciclo.

Para finalizar, a modo de síntesis, se resumen algunas consideraciones teóricas y didácticas de la propuesta realizada. En esta síntesis se va a considerar en primera instancia, sus fundamentos, que

están dados desde tres puntos de vistas diferentes: psicológicos, pedagógicos y de

la teoría de la resolución de problemas propiamente dichos. En síntesis ellos son:

Fundamentos psicológicos En lo relacionado con los contenidos de la Psicología son aportes significativos los

postulados de la teoría Histórico-cultural de Vigotsky(1989), en lo particular los que

tienen que ver con potenciar la zona de desarrollo próximo, mediante el uso de

los niveles de ayudas correspondientes según el diagnóstico de cada sujeto y

también con el aporte que realiza el “otro” que puede ser el maestro u otro niño

del grupo a través del intercambio y la comunicación en la actividad de

resolución de los problemas presentados, cuyas exigencias asociado a las

características de las acciones que deben realizar los niños en la búsqueda de la

solución, son evidencias de que en la propuesta se cumple el postulado que

asevera que la enseñanza precede al desarrollo, dado en este caso por la

asimilación y aplicación consciente de las técnicas, estrategias y procedimientos

relacionados con la resolución de los problemas propuestos en particular y en

general con el proceso de solución de problemas.

Fundamentos pedagógicos En lo pedagógico son de mucho interés los trabajos de autores cubanos como

Margarita Silvestre, Pilar Rico(2002) que en primera instancia conceden la

importancia que merece el alcanzar un desarrollo intelectual en los niños, sobre la

base de las exigencias del proceso de enseñanza y aprendizaje, dentro de las que

se incluyen la del protagonismo de los niños a partir del nivel de implicación en

las tareas, la organización y dirección del proceso de enseñanza y aprendizaje

sobre la base del trabajo en grupos que facilite la comunicación entre los niños y

entre ellos y el maestro, así como, la concepción y formulación de la tarea que

permita concretar las acciones y operaciones a realizar por los niños en este caso

de los problemas propuestos, con el propósito de alcanzar la interrelación entre la

instrucción, la educación y el desarrollo.

Fundamentos con respecto a la teoría de la solución de problemas. En lo relacionado con la teoría acerca de los problemas y su proceso de resolución

son significativos los trabajos de Alberto Labarrere(1987), que analiza los factores

psicológicos que sustentan la ocurrencia de este proceso en el entorno pedagógico

de las aulas de la escuela primaria y especialmente la obra de Celia Rizo y Luis

Campistrous(1996, 1999, 2001) en la que revelan técnicas y procedimientos, así

como las características de la enseñanza de la resolución de problemas.

En este punto de los fundamentos teóricos es necesario reiterar que la propuesta se estructura sobre la tendencia de “aprender a resolver problemas”, que

lleva implícita la necesidad de “enseñar a resolver problemas”, y está orientada

a estimular la actividad de los niños ante la solución de los problemas en la

clase de Matemática.

Desde el punto de vista didáctico, es necesario precisar que la propuesta parte de los conocimientos de los alumnos en este complejo de materia y de las habilidades desarrolladas y lo que se espera como efecto es que se produzca un

salto cualitativo en este sentido en el orden individual y colectivo. Por ello, el diagnóstico de la situación relacionada con la solución de problemas, es el

elemento que el maestro debe tener en cuenta en primera instancia para

seleccionar el momento y el tipo de problema a utilizar. En este sentido los tipos de problemas propuestos pueden contribuir a eliminar cualquier tipo de barrera

aún existente, pues en su mayoría pueden ser utilizados en el trabajo colectivo,

siempre que el maestro defina bien las intenciones respecto a este tipo de trabajo

con el o los problemas que esté trabajando.

Tanto los problemas propuestos como otros que el maestro seleccione deben responder esencialmente al criterio de problemas “no rutinarios“, los que se

deben utilizar junto a los problemas escolares cuando estén creadas las

condiciones y el maestro así lo considere. El empleo de estos problemas

contribuye a la función de desarrollo del intelecto y como tal su tratamiento difiere

del que tradicionalmente se le da a los problemas escolares.

En el caso particular del trabajo con los problemas identificados en esta propuesta,

es muy importante definir con claridad, al seleccionar los problemas, la intención

de los mismos en correspondencia con el momento o etapa del tratamiento por la

cual se está transitando, y tener en cuenta también el tipo de estrategia que será trabajada en la clase o sistema de clases y cualquier otro elemento que se considere importante. Respecto a la organización es conveniente no aferrarse a un solo criterio pues el

trabajo en pequeños grupos y la discusión colectiva de la tarea son dos momentos

muy productivos en aras de una buena comunicación. Por otra parte, el momento

de reflexión individual es también sumamente importante y los tres se

complementan cuando de asumir estrategias, procedimientos, técnicas y

conocimientos en general sobre la solución de problemas se trata. De manera que el maestro sobre la base del dominio pleno que tiene de su grupo, debe aprender a colocar en una balanza estas u otras maneras de dirigir el análisis del problema en cuestión y elegir la que en cada momento corresponde y considere adecuada. Otro aspecto a tener en cuenta es la utilización sistemática de ayudas, que no

solo favorece la comunicación entre el maestro y los alumnos y entre los alumnos,

sino que también provee al alumno de recursos heurísticos, que pueden servir

de procedimientos generales para la resolución de problemas desde la asignatura

como preparación para la vida .

Como se puede apreciar, existen múltiples factores que intervienen en el proceso

de solución de los problemas propuestos que pueden lograr una postura flexible

del pensamiento pero es esencial crear condiciones desde la didáctica de la Matemática para que todos los componentes que intervienen en el proceso de

solución de los problemas propuestos, actúen en función de los principios de una clase desarrolladora en la que los niños participen de manera activa.

CAPÍTULO 3: Validación de la alternativa didáctica y sus resultados. Estudio de casos.

En este capítulo final se analizan los principales resultados obtenidos con la

Alternativa didáctica propuesta en el Capítulo 2 que, a modo de validación

empírica, se introdujo en la práctica.

Este trabajo se realizó durante el curso escolar 1999-2000, y el objetivo de esta

etapa fue el de poner en práctica la alternativa didáctica, con las características de

un pre experimento, y con ello comprobar en qué medida era realizable dicha

propuesta. Se utilizó para ello un estudio de casos, con tests inicial, intermedio y

final, y valoraciones cualitativas en el desarrollo de todo el trabajo, tal como se

muestra en el siguiente esquema.

ESTUDIO DE

CASO

CONTROL INICIAL Etapa de

familiarización

Etapa de trabajo

intensivo

Etapa de aplicación

CONTROL INTERMEDIO

CONTROL FINAL

3.1 Algunas consideraciones sobre los pre experimentos y los estudios de caso. Los pre-experimentos, según Campistrous (1995)59 son estudios en determinadas

condiciones producen información valiosa, pero carecen del control necesario

para poder asegurar la validez interna. En este tipo de estudio no puede llegarse a

conclusiones acerca del efecto de la variable independiente (en este caso la

alternativa pedagógica) con respecto a la dependiente (la actividad de los alumnos

ante la resolución de problemas). Los principales tipos de pre experimentos son:

Estudio de caso de una sola medición

Diseño de un grupo pretest y post-test

Diseño de dos grupos no equivalentes (post-test solamente)

En esta investigación se realizó un diseño de un estudio de caso, con grupo

pretest y postest, y se incluyó un control intermedio para poder interactuar con

más elementos sobre cómo se iba produciendo el aprendizaje de los alumnos.

Un significado del término “Estudio de casos” es el siguiente: ‘’En pedagogía, es

una investigación que afecta a un alumno, un grupo, una institución educativa,

considerada bajo todos los aspectos que pueden ayudar a comprenderlos:

Biográfico (historia del caso), psicológico, social, fisiológico, medio ambiente.

A veces se efectúan estudios de casos para descubrir las variables más

particulares de medir, para continuarlas de forma extensiva, con objeto de obtener

unos resultados estadísticos significativos ‘’. (Landssheere, 1985)60.

Ary y otros en 1987 (citados por Martínez y Musito, 1995)61 aseguran que entre los

objetivos del estudio de caso pueden contarse:

Generar hipótesis que contrastar posteriormente con otros estudios más

rigurosos.

Adquirir conocimientos.

59 Campistrous Pérez, Luis A. (1995). Diseño Experimental. Maestría en Investigación Educativa. Editado por ICCP. Ministerio de Educación. La Habana, Cuba. 60 Landssheere de G. (1985) Diccionario de la evaluación y de la investigación educativas. España. 61 Martínez, A. y Musitu, G. (1995). El estudio de caso para profesionales de la acción social. NARCEA, S. A. de Ediciones Madrid.

Diagnosticar una situación para orientar o llevar a cabo un asesoramiento.

Completar la información aportada por investigaciones estrictamente

cuantitativas.

Al caracterizar este tipo de diseño, Campistrous (1995) señala que se trabaja con

un solo grupo al que se le aplica el tratamiento experimental y se mide la

variable dependiente antes y después del tratamiento para ver su efecto. En este

caso se aumentan las medidas respecto al estudio de casos y se desecha la

posibilidad de que el resultado sea el mismo antes del experimento.

No obstante, en este diseño todas las variables concomitantes están libres (no se

controlan) y hay explicaciones alternativas para las diferencias observadas. Sin

embargo, en muchas ocasiones es necesario trabajar en esta forma.

Por ejemplo, en este caso se quiere estudiar la influencia de un procedimiento de

trabajo para la dirección del proceso de enseñanza aprendizaje de la resolución de

problemas, que produzca una mayor actividad de los alumnos en ese proceso,

sobre la base de la utilización de un grupo de problemas no rutinarios que

normalmente no se trabaja en la escuela. Dada la situación antes descrita, no se

presta un estudio en el cual se compare un grupo experimental con un grupo de

control, ya que en los cursos normales no se trabaja de esa manera.

Entonces, se trabaja con un solo grupo, se analizan la características de los

alumnos ante la solución de problemas con esas características, antes y después

del experimento, y si se observa que se han formado esas ideas, se asume que

se debe al procedimiento de trabajo utilizado en el curso, aunque sabemos que

puede haber otras explicaciones, como por ejemplo la historia del grupo, que las

pruebas suministradas han familiarizado a los alumnos con las ideas que deben

utilizar para contestar, dificultades con los instrumentos de medición, la interacción

de los sujetos y el experimentador, entre otras.

El Dr. Campistrous considera que independientemente de las críticas que se le

pueden hacer a este tipo de estudios, de todas formas son necesarios y

revelan factores y efectos que pueden quedar ocultos si no se realiza, también

se pueden elaborar hipótesis que faciliten la organización de un experimento

verdadero. Este investigador considera que en los pre-experimentos la validez

interna es mucho menor que en los experimentos verdaderos; sin embargo, en

muchos casos su validez externa es mayor. (Se habla de validez externa

cuando los resultados del experimento pueden generalizarse a otras personas y a

otras condiciones).

Sobre lo antes planteado en cuanto a las objeciones que se le hacen a este tipo de

estudios de caso, que según Simons en 1980 (Citado por Marcelo y otros, 1991)

se refiere a la falta de validez externa de estos, a su escasa posibilidad de

generalización científica; tanto Simons como Marcelo, C. y otros (1991) consideran

que esta es una objeción desafortunada dado que se ha visto que en la

concepción del estudio de caso, el problema no es tanto de generalización como

de transferibilidad. En este sentido, el estudio de caso no representa una muestra

y el objetivo del investigador es expandir y generalizar (generalización analítica) y

no enumerar frecuencias.

La situación inicial encontrada en el grupo objeto de estudio reflejaba apatía por la

solución de problemas y en algunos casos por la Matemática, de niños

considerados perdidos en la asignatura por la maestra y hasta por ellos mismos,

de inercia en el pensamiento, en el sentido de no aceptar los problemas por

considerar que no podían solucionarlos, ni hacer el intento siquiera, de no probar

si con los datos podían hacer alguna representación.

Por otro lado una tendencia a utilizar los datos numéricos de manera irreflexiva

para operar con ellos, por criterios como el tamaño de los números y la operación

o el procedimiento que estaban aprendiendo en el momento que se les planteaba

el problema, a lo que se pueden agregar creencias como las relacionadas con que

los problemas siempre tienen solución y es única y se obtiene de todas formas a

base de la realización de operaciones de cálculo.

Para la utilización de los problemas en las actividades desarrolladas durante la

intervención que se hizo con la muestra seleccionada, sirvieron como condición

previa, determinados requisitos, que relacionan las bases de la clasificación de los

problemas propuestos con los principios antes mencionados.

Estos requisitos para la conformación de las actividades del pre-experimento,

reflejan las características de estos problemas y el efecto que ellos causan en el

logro de la disposición de los niños hacia el proceso de solución de los problemas

propuestos y que condiciona la adopción de una postura flexible del pensamiento

hacia este proceso en su conjunto. Los requisitos son los siguientes: 1.- La utilización de los problemas dentro de cada grupo de la clasificación

realizada, no responde a un orden preestablecido, excepto el relacionado con

alguna intención que desde el punto de vista didáctico asuma el maestro.

2.- No existe prioridad en el tratamiento de los grupos por el orden en que aparecen en la clasificación, pues este responde en primera instancia a criterios

del investigador respecto a las características de ellos para garantizar el objetivo

en cada etapa de trabajo.

3.- Las actividades de la intervención se realizaron de manera independiente con

respecto a las clases de Matemática por las características de dicha intervención.

4.- Las actividades fueron planificadas previamente, pero en determinadas

circunstancias se realizaron cambios, en aras de no limitar el sentido de las

discusiones en torno a la solución de los problemas.

3.1.1 Descripción del caso objeto de estudio. Familiarización con el grupo. El Estudio de Casos fue utilizado como método empírico de rastreo de la conducta

y la acción de diez niños de cuarto grado de la escuela primaria Renato Guitart

Rosell del municipio Camagüey.

El Estudio de Casos es un corte longitudinal del desarrollo y se concentra en la

investigación de los factores, componentes, relaciones, dinámica, motivaciones,

problemas y tendencias que corresponden a la evolución de las características que

expresan el trabajo de los niños respecto a la solución de los problemas y que

reflejan los rasgos de un pensamiento flexible en este proceso.

La muestra corresponde a un grupo de cuarto grado, que a través de todo el

primer ciclo había recibido la influencia de siete maestros, razón por la cual se

manifestaban indisciplinados, desconcentrados en la actividad de estudio y con

muy poca motivación por esta.

En cuanto a la asignatura Matemática, a través del diagnóstico realizado, se

observaron deficiencias arrastradas desde el primer grado como el no dominio de

los Ejercicios Básicos y de los procedimientos de solución para el cálculo oral, lo

que se reflejaba en los errores frecuentes en el cálculo escrito, no dominio de las

características de las figuras geométricas y dificultades con la numeración en

números de cuatro o más lugares y las magnitudes estudiadas.

En relación con la solución de problemas escolares, en el primer período de 22

niños estaban aprobados solamente 12, lo que representaba el 54%, reflejando

además enormes lagunas en el procedimiento algorítmico que puede conducir a la

solución de estos problemas. Las deficiencias se centraban en no reconocer las

partes del problema después de la lectura realizada y en consecuencia no podían

establecer las relaciones correspondientes entre estas.

La selección de los diez niños para el Estudio de casos se realizó bajo el criterio de

tres niños evaluados de bien, cuatro niños evaluados de regular y tres niños

evaluados de mal en la asignatura Matemática, atendiendo al diagnóstico

actualizado de la maestra.

En el Estudio de casos realizado se conservaron los elementos que se señalan en

la bibliografía consultada (Aebli, 1971; Collazo, 1992; Rodríguez, 2000), los que

conforman la planificación de este método de investigación cualitativa, considerado

efectivo por cuanto permite conocer la actuación de los individuos o grupos de

individuos y los móviles de esa forma de actuar, en este caso en la solución de los

problemas presentados a los niños.

El Estudio de casos fue organizado para esta investigación según el diseño que se

muestra en el anexo 5.

En la etapa de preparación del Estudio de casos se tuvo en cuenta lo siguiente:

Determinar los indicadores a medir partiendo de las estrategias que deben

ser empleadas en la solución de los problemas presentados. (Anexo 6)

Prever el orden de aparición de los problemas propuestos, atendiendo a las

condiciones previas que tenían los alumnos, para asumir los problemas de

determinados grupos y la complejidad de los problemas.

Organizar y preparar las actividades a las cuales serían sometidos los niños

objetos del estudio de Casos, sobre la base de la selección de los problemas

del compendio realizado. (Anexo 20)

Determinar los “síntomas” que reflejan en cada problema la intensidad con

la que acometen los niños la solución de los problemas correspondientes a

cada actividad: intenta pero no puede, trabaja pero no concluye y la realización

plena del ejercicio. (Anexo 19)

Estructurar las interrogantes que serían realizadas a los niños objetos del

Estudio de Casos, con el propósito de conocer el origen y las características

relevantes del proceso de solución concebido por ellos para los problemas

propuestos y confeccionar los protocolos correspondientes.

Concebir el momento y las características de los controles a aplicar en el

desarrollo de las actividades.

Ya con este esquema que refleja la organización de las actividades a realizar y con

el resto de los elementos que complementan las características que tendría el

Estudio de casos, se procedió a realizar un primer acercamiento del investigador

con los niños, con la intención de verificar las condiciones dadas en el diagnóstico

del grupo y de comenzar un proceso de familiarización con el grupo, mediante el

cual se dieron a conocer los objetivos y se dieron los primeros pasos en la

motivación hacia la actividad organizada.

En dos sesiones de trabajo con los niños a modo de familiarización con las

características de la investigación, se les planteó la tarea de armar rompecabezas

de una serie coleccionada y conocida por ellos a través de los dibujos animados.

Las intenciones de este primer momento estaban relacionadas con la idea de

proponer una actividad conocida por ellos, que se les planteaba como un problema

a resolver en la asignatura Matemática, lo que resultaba algo fuera de lo común.

De esta manera comenzaba un primer acercamiento a otra concepción de este tipo

de ejercicio y se pudo observar las manifestaciones de los niños ante esta tarea,

en el plano individual y también en la organización de grupos pequeños.

Las observaciones realizadas sirvieron de apoyo a la aplicación posterior de la

Alternativa y a la planificación y dirección del Estudio de Casos. Mediante el

trabajo en los rompecabezas se pudo corroborar lo siguiente:

no existía costumbre de trabajo en grupos pequeños, no organizaban el

trabajo y trataban de realizarlo cada uno por su parte,

resultaban más fáciles de armar los rompecabezas que tenían un primer

plano, mientras los que se daban en paisajes y detalles lejanos resultaban más

difíciles,

en la generalidad no se utilizan estrategias como la de comenzar a armar

los rompecabezas desde una esquina u otro punto de referencia como un

rostro por ejemplo,

no reconocen un problema en esta actividad, la asocian más con un juego,

lo que se considera lógico por la manera en que comúnmente se enfrentan a

ella.

En los protocolos realizados para conocer acerca de cómo se procedió en los

equipos para armar los rompecabezas, se pudo corroborar que los equipos en los

que se trabajó de conjunto y se logró ubicar un punto por donde comenzar,

consumieron menos tiempo (6 min. como promedio), mientras en aquellos en los

que sus integrantes trataron cada uno por separado de comenzar el trabajo,

repartiéndose incluso las fichas demoraron tres veces el promedio anterior.

En lo planteado por ellos se pueden precisar las dos posiciones:

“vamos a comenzar a armar por el techo”.

“empezamos por la derecha”.

“empezamos por el castillo, después por la princesa y allí seguimos con los

tejados de la casa”.

“comenzamos por unos animalitos, estamos tratando de armar el castillo.

Está difícil de armarlo”.

Como se puede apreciar las dos posiciones primeras son precisas en cuanto al

criterio de grupo por donde comenzar a armar el rompecabezas, contrario a las

dos últimas posiciones, en las que se puede apreciar que se intenta comenzar por

puntos diferentes e incluso algunas de las referencias se reiteran.

Con las ideas de esta primera experiencia se procedió a la selección de los

problemas (anexo 7) y a la definición del significado que tenían las tres

categorías otorgadas a la actividad de los niños: no resuelven el problema,

trabajan pero no pueden llegar a un resultado o encuentran la o las soluciones del problema.

Esta manera de dimensionar la actividad de los niños ante cada situación, se hizo

en correspondencia con los procedimientos de solución de manera que se pudiera

encontrar una relación entre lo que el niño realizaba y los indicadores que se

estaban midiendo.

Para recoger los resultados de los niños objetos del estudio de casos en cada

actividad desde el punto de vista cuantitativo, se confeccionó una tabla (Anexo 6)

como se sugiere en la bibliografía, asignándole a cada uno de los indicadores una

de las tres categorías mencionadas; intenta pero no puede, trabaja pero no

concluye y realiza plenamente el ejercicio, con evaluaciones de 0, 1 y 2

respectivamente.

Para hacer una medición cuantitativa de la intervención realizada como es

características en los pre experimentos, se concibieron tres controles; al inicio, a

mediación y al final. En todos los casos el comportamiento de los indicadores fue

favorable en la medida que se fue avanzando en la aplicación, resultados que

serán declarados más adelante en este informe.

3.1.2 Aplicación del test de entrada. El inicio del preexperimento lo marcó la aplicación de un control a modo de entrada

y completamiento del diagnóstico de la situación en que se encontraban los niños

respecto a la solución de problemas en general y en particular respecto a los

problemas del compendio.

Estos problemas (anexo 7) pertenecen como ya se explicó a todos los grupos,

tratando de seleccionar aquellos que representaban menores niveles de dificultad

atendiendo al criterio del investigador, los que se utilizaron como condición previa

para la segunda etapa de trabajo intensivo en la solución de los problemas.

La pregunta de ese control perteneciente al primer grupo trata de un problema en

el que se debe establecer, a través de la información visual, un patrón en la

colocación de los colores para llenar el espacio en blanco. En este tipo de

problemas hay evidente búsqueda de relaciones que se establecen entre el todo y

las partes, bajo el criterio de que las partes se refieren a las figuras aisladas en las

que se combinan las formas, los tamaños y los colores.

Teniendo en cuenta que este tipo de problemas es similar con otros utilizados por

los psicólogos en la determinación de rasgos del intelecto, se les condicionó la

solución con el tiempo a cada uno de los diez niños objetos del estudio de casos y

en el período de treinta segundos (considerado un tiempo prudencial), ninguno de

los niños logró dar la respuesta correcta. Pasado el primer minuto, siete niños

comenzaron al menos a trabajar, pero no concluyeron con una respuesta

satisfactoria y el resto no pudo abordar el problema todavía, en lo que debe haber

influido la sorpresa ante las características de dicho problema.

En este y otros problemas similares propuestos, es común el procedimiento que

debe ser seguido, el cual consta de dos momentos: uno en el que se determina

qué rasgo es el que caracteriza al cuadrado presentado en cada problema, es

decir, si se trata de un color, del tamaño o de la forma o la combinación de estos y

el otro en el que se identifica de ese o esos elementos qué es lo que realmente falta en relación con ese rasgo.

El problema del segundo grupo utilizado en el control inicial, tiene semejanzas

con los problemas escolares en cuanto a su presentación, en el sentido de que se

mezclan en el texto algunas cantidades y la interrogante aparece al final. Estas

condiciones visibles en el problema, fueron premeditadas en la elaboración de este

control de entrada, para no provocar una total ruptura entre los problemas

propuestos y los que ellos están acostumbrados a resolver.

De manera evidente la diferencia de este problema con los problemas escolares se

encuentra en el procedimiento de solución, por el hecho de que se pueden

encontrar varias soluciones, unas se obtienen a partir de las capacidades de cada

uno de los envases propuestos y otras son el resultado de la combinación de dos o

más envases.

Como resultado de no haber trabajado sistemáticamente con problemas de esta

naturaleza, los niños comenzaron a utilizar los datos tratando de adivinar qué

hacer con ellos, generalmente sumaron las cantidades que representaban a las

capacidades de los envase y esta suma se la restaron a la cantidad total de litros

que se necesitaban. Solo dos niños intentaron resolver el problema y hallaron una

solución con uno de los datos, pero no lograron “ver otras soluciones”, pues como

creencia consideraban que una solución es suficiente.

También fueron objeto de este control inicial, los problemas del tercer grupo

relacionados con el conteo, los que se constituyeron en los problemas de mayor

aceptación por parte de los niños de todos los grupos de problemas propuestos.

El conteo debía realizarse en este caso sobre la base de una composición de

segmentos, cuya dificultad radica en ver no solo los segmentos cuya longitud la

determina cada uno de los puntos nominados, si no también aquellos que se

forman dos o más puntos no consecutivos, hasta llegar al segmento que se forma

con los puntos extremos. Se puede utilizar también otro tipo de procedimiento si

desde cada punto se cuentan todos los segmentos que son posibles, siguiendo

siempre un orden, que puede ser de adelante hacia atrás o al revés.

Todos los niños estudiados (10) contaron solo los primeros segmentos, es decir,

aquellos que se forman entre dos puntos consecutivos de los nominados en el

segmento y solo tres hicieron mención al segmento que se forma entre los puntos

extremos, demostrando serias deficiencias en el conteo cuando se trata de una

combinación de figuras, en este caso segmentos.

El siguiente problema perteneciente al cuarto grupo, relacionado con la

transformación de las condiciones cuando estas no son suficientes, responde a

una de las principales características de un pensamiento flexible.

El problema en cuestión sugiere de momento una solución que no se corresponde

con las condiciones dadas y que de darse dicha solución responde a una posición

de ejecución inmediata, pues no hay relación alguna entre el dinero ahorrado y el

importe de la compra realizada.

En casos como este, de existir una postura reflexiva, se debe meditar en el hecho

y agregar alguna condición que relacione los dos elementos dados o de lo

contrario proponer dos soluciones, una de las cuales lleva implícita la

transformación de las condiciones dadas en el problema.

Los resultados de ese primer control realizado a los ejercicios de este grupo,

fueron deficientes, ya que de los 10 niños, 4 no pudieron realizarlo y los restantes

niños comenzaron pero no concluyeron, es decir, para estos seis niños se

consideró la categoría 1, pues respondieron operando con los datos del problema

de manera irreflexiva y no controlaron el resultado obtenido con las condiciones

dadas.

El comportamiento de los niños ante este problema refleja la tendencia ejecutiva

que fue mencionada con anterioridad, ellos trataron de utilizar los datos

arbitrariamente, operando con estos de cualquier manera, buscando a todo costo

un resultado que ofrecer, modo de actuación que se ha convertido en una de las

creencias arraigadas en su modo de pensar y en su acción en el proceso de

solución de problemas.

En general este control inicial aplicado a los niños en base a los problemas

coleccionados para esta investigación, arrojaron resultados desfavorables que se

pueden resumir de la siguiente manera:

El 60% de los niños se queda en la primera categoría de respuesta (anexo 11),

es decir, intentan pero no pueden siquiera comenzar a trabajar, pues los

problemas propuestos les resultan totalmente desconocidos, no tienen ideas

acerca de cómo proceder, por donde comenzar, no hay tarea parecida que

ellos hallan resuelto y mucho menos desde la clase de Matemática.

El resto de los niños (40%) comienza a trabajar en algunos de los grupos 2, 3 y

4, sin embargo no pueden dar respuesta definitiva. El ejercicio de conteo de

segmentos fue el más abordado en este control pues como se explicó antes se

consideró en esta categoría a todos los que contaron los segmentos que se

encuentran entre dos puntos consecutivos.

Ninguno de los niños pudo alcanzar plenamente una respuesta razonable para

los problemas propuestos en este control.

etapa de familiarización e inicio de la etapa de trabajo

flexible y que fuera “rompiendo” paulatinamente con las creencias y

3.1.3 Trabajo con la intensivo. A partir de los dos primeros requisitos se fueron seleccionando los problemas y

conformando el contenido de las actividades a realizar, bajo el criterio de graduar

en lo posible las dificultades de los problemas propuestos que se fueran aplicando,

según la complejidad de las características que podían promover un pensamiento

preconcepciones relacionadas con el proceso de solución de problemas en general

y en especial con los que se estaban presentando escalonadamente.

Para lograrlo de manera que no significara un rompimiento brusco con la realidad a

la que estaban habituados respecto a solución de problemas, se comenzó una

etapa de familiarización de los niños con los problemas compilados,

seleccionando problemas de los grupo 1 y 4, relacionados con la búsqueda de

información en dibujos y patrones, así como, la transformación de las condiciones

de los problemas cuando estas no resultan suficientes y el empleo de reflexiones

lógicas.

El objetivo de esta etapa es el de familiarizar a los niños con los problemas

que en lo adelante serán resueltos, con lo que se debe transformar su concepto de

problema en la Matemática y despertar el interés y la motivación por medio de

dichos problemas y de la utilización de estrategias y técnicas prácticamente

desconocidos en la realización de este proceso.

El primer grupo, por ejemplo, contienen problemas que pueden cambiar la

concepción que tienen los niños acerca de qué es un problema y ampliar su visión

al respecto, ya que ellos se identifican por su forma de presentación, asociada

generalmente a dibujos, figuras geométricas u otros que sirven de patrones y

modelos.

Los problemas del cuarto grupo están diseñados con el propósito de eliminar las

creencias que respecto a la solución de problemas tienen los niños, pues además

de aquellos problemas en los que las condiciones “no alcanzan” y deben ser

transformadas, en este grupo se presentan problemas con solución cero, con

datos de más y sin datos numéricos, todo lo cual le da una visión más amplia de la

representación que tienen los niños acerca de lo que es un problema y del proceso

de solución de estos.

Esta etapa comprendió aproximadamente las cuatro primeras actividades

desarrolladas con los niños, bajo el criterio de que con ayuda de los problemas de

los grupos señalados, no solo se familiarizaba a los niños con la colección de

problemas, sino que, sería posible también trabajar en la motivación, buscando

que sintieran la necesidad de resolverlos, lo que se logró con creces ya que los

niños esperaban con beneplácito cada nueva actividad.

Como se puede apreciar en el anexo 8, en esta etapa de familiarización, las

respuestas de los niños ante los problemas presentados, se centraron como

tendencia en el segundo tipo de respuesta, lo que significa que la mayoría trabajó

en el problema, pero sin obtener resultados en el trabajo desplegado.

Esto constituye un indicio de lo novedoso de estos problemas para ellos por una

parte y de las consecuencias de las creencias que ellos tienen acerca de los

problemas y su solución y de la poca flexibilidad en el pensamiento como

consecuencia del tratamiento de los problemas escolares de manera irreflexiva.

El mismo anexo revela que alrededor de un 20% de los niños no pudo siquiera

comenzar a resolver algunos de estos problemas, por no contar con estrategias

que les permitiera abordarlos. No obstante, estos resultados son superiores a los

alcanzados en el control inicial, en el que el 60% de los niños objeto del estudio de

casos no pudieron realizar los problemas propuestos para ese momento del

trabajo.

Sin embargo es significativo que el otro 20% haya abordado los problemas y

alcanzado la respuesta esperada, lo que ayudó a comprender a todos los niños

que los problemas no eran insolubles y ayudó decisivamente en el logro de la

motivación que se fue incrementando paulatinamente.

Con la culminación de esta etapa inicial del estudio realizado, comenzó la segunda

etapa de trabajo intensivo en la solución de problemas caracterizada en primer

lugar por la utilización de problemas de los grupos 2 y 3, relacionados con la

búsqueda de alternativas de solución y de realización de conteo respectivamente.

El nombre dado a estos grupos de problemas coincide con las estrategias que se

necesitan en la búsqueda de la vía de solución, es decir, en el primer caso se trata

de problemas que tienen más de una solución y en la actividad con los niños, el

maestro debe dar impulsos suficientes con el propósito de que no queden

soluciones sin encontrar, mientras que los problemas del segundo grupo se

resuelven mediante el conteo de números o figuras.

El objetivo de esta etapa de trabajo con los problemas compilados es el de hacer énfasis en la utilización de las técnicas y estrategias apropiadas para la

resolución de los problemas de cada grupo, que al mismo tiempo permitan

precisar los rasgos que los caracterizan.

En el análisis de estas técnicas y estrategias(ver epígrafe 2.6) se pueden

reconocer aquellos que son específicos y responden a las características de un

determinado grupo y otras que pueden ser usadas en más de uno de los grupos

establecidos en la clasificación hecha a la colección de problemas.

En el primer grupo por ejemplo, no solo se emplea la “búsqueda de información

en dibujos y en patrones”, técnica que responde esencialmente a este grupo de

problemas, ya que en problemas como el resuelto en la actividad 7 al hacer

coincidir los números en la reglilla, se “establece un orden en el conteo”

atendiendo al intervalo en que aparece la sucesión de estos números en cada

reglilla.

En la actividad 8 también se resolvió un problema de este mismo grupo, en el que

además de la técnica correspondiente, se realiza la “descomposición” y posterior

“composición” de las partes, en este caso de las diferentes posiciones de equilibrio

de la balanza, que responde al proceso de análisis y síntesis bien identificado en la

resolución de dicho problema.

De igual forma en los problemas del grupo dos, cuyo tratamiento comenzó en

esta etapa de trabajo, se utilizan las técnicas o estrategias de solución

relacionadas con la característica que los identifica, es decir, “la búsqueda de

múltiples soluciones” y “la búsqueda de soluciones alternativas” como se puede

apreciar en los problemas presentados en las actividades 5 y 10 respectivamente.

En el problema de la actividad 5, las soluciones parciales que se van obteniendo

constituyen información visual de lo hecho respecto a las penta cuadrículas que

faltan por dibujar, de manera que en la solución de este problema se utilizan

además las técnicas de “búsqueda de información en dibujos”, “realización según

las condiciones dadas en el problema” y “la búsqueda de múltiples soluciones”.

En los problemas de la actividad 10 no hay realización, sin embargo, el que

aparece en el orden 18 es un típico problema en el que la información se da a

través de dibujos y tanto en este como en el 21 resueltos en la misma actividad

sugieren “la búsqueda de soluciones alternativas”, estrategia que desconocían los

niños en la solución de un problema similar planteado en el control inicial.

Los problemas del grupo tres relacionados con el conteo de figuras geométricas y

números, se apoyan esencialmente en el procedimiento llamado “conteo sujeto a

una o más condiciones”, ya que este se hace, la mayoría de las ocasiones, sobre

composiciones de figuras y otros dibujos y como en el caso del problema 6, el

conteo se realiza sobre dos condiciones: la cantidad de veces que está contenida

la pieza en la composición y el valor que alcanza esta última atendiendo al valor de

dicha pieza.

Generalmente la realización del conteo se auxilia en la “descomposición” de la

figura compuesta, para determinar la cantidad de partes que la forman y la

posterior “integración” de estas, para considerarla de nuevo como un todo, lo que

se pudo corroborar mediante los protocolos obtenidos, cuando se indagó en el

procedimiento utilizado en el conteo realizado por los niños, en los problemas de

este grupo resueltos en esta etapa.

En el problema 9 por ejemplo, el conteo se puede realizar descomponiendo cada

figura en columnas o filas o grupo de cubos, que por alguna característica pueda

ser reconocida y se determina las veces que dichas filas y columnas o grupo

reconocible de cubos caben en la composición. En otros problemas de este grupo

se utilizan también como estrategias el “establecimiento de un orden en el conteo”

y “el tanteo inteligente”, como se puede apreciar en el primer problema de este

grupo.

Del grupo cuatro se resuelven problemas que responden a la cualidad que los

identifica como grupo, y en consecuencia la realización de los niños para resolver

estos problemas se basa en la “transformación de las condiciones que fueron

dadas”, ya que con ellas no es posible satisfacer la exigencia planteada. En otros

problemas de este grupo se “utilizan reflexiones lógicas” como estrategia, en el

sentido de aplicar en su solución experiencias de la vida, apoyados siempre que

haga falta, en gráficos o representaciones de la situación planteada.

Los resultados en esta etapa comenzaron a demostrar que el trabajo encaminado

a lograr en los niños una posición activa ante la solución de los problemas, y a

flexibilizar su pensamiento respecto al concepto y al proceso en general,

empezaron a dar sus frutos.

Contando todas las intervenciones (15) realizadas por cada niño en los problemas

presentados durante el desarrollo de esta etapa (anexo 8), se pudo corroborar lo

siguiente (ver anexo):

Solo doce niños no pudieron abordar los problemas presentados, lo que

representa el 8% del total de respuestas (estas son casi el doble de las

intervenciones realizadas con respecto a la etapa de familiarización).

También disminuyó la cantidad promedio de niños, que a pesar de no concluir

con una respuesta satisfactoria, comienzan a trabajar de manera consciente

en el problema. En esta etapa el 43.3% de los niños no pudo concluir, con

respecto al 59% en la etapa anterior, lo que representa un indicador

satisfactorio en el estudio de casos.

El salto más importante que se produjo en esta etapa con relación a la etapa

anterior, está relacionado con los niños que pudieron realizar plenamente el

ejercicio. En este caso el 48,7% de los niños alcanzaron la respuesta

adecuada, contra el 20% alcanzado en la etapa anterior.

En los protocolos obtenidos como resultado del trabajo individual con los diez

niños objetos del estudio de casos, se pudo corroborar las deficiencias y aciertos

de las estrategias pensadas y muchas veces aplicadas por los niños en la solución

de los problemas que se les plantearon en esta etapa.

Por esta vía se pudo conocer, por ejemplo, cómo procedieron los niños en la

actividad 8, en el problema que se debe buscar la relación entre dos tipos de

pelotas, haciendo el seguimiento a una sucesión de equilibrios en una balanza.

En las respuestas siguientes se puede apreciar un razonamiento adecuado:

Yusdel: “como una pelota naranja es igual que una azul, y la pelota azul hace

equilibrio con dos pelotas amarillas, entonces la pelota naranja hace equilibrio con

dos pelotas amarillas también.” Alenis: “son dos porque la pelota naranja está con la pelota azul, la pelota azul

con dos pelotas amarillas, por lo tanto, a la pelota naranja le corresponden dos

pelotas amarillas”.

Estas respuestas demuestran la manera más razonable de encontrar la vía, en la

primera usando la función proposicional “si.... entonces...” y en la segunda

auxiliándose de la transitividad entre tres elemento que se corresponden entre sí.

No ocurre igual con la opinión siguiente, en la que se puede apreciar la

inconsistencia al solo trabajar con una parte de las condiciones:

Yolanda: “la pelota azul se montó dos veces, una de ellas con dos pelotas

amarillas, a la pelota naranja le falta una vez con dos pelotas amarillas.”

De manera similar en la realización del problema 1 del tercer grupo, presentado en

la actividad 11, una de las niñas dio una solución que es correcta, sin embargo el

razonamiento por ella realizado no tiene nada que ver con la solución de esta

situación. Ella manifestó de la siguiente manera la acción realizada en la búsqueda

de la solución:

Jessica: “le fui agregando la suma anterior obtenida, a la cantidad de cuadraditos

iguales que podía contar en la figura y ya.”

Los impulsos utilizados en esta etapa para que reconocieran las técnicas que

debían ser aplicadas, ayudaron a familiarizarse con ellas y a comprender sus

posibilidades de aplicación, como se puede apreciar a continuación con impulsos

en forma de preguntas y de realizaciones prácticas.

Actividad 5: se hicieron marcas en algunas cuadriculas con la sugerencia: “prueba

mover las cuadriculas marcadas”

Con estas condiciones nuevas los niños con dificultades encontraron nuevas

soluciones. De manera similar ocurrió con el problema de conteo de cubos resuelto

en la actividad 12(problema 9, grupo3), en la que los impulsos se dirigieron a

reconocer primero la cantidad de cubos que se podían contar por el frente y la

cantidad de veces que esta parte estaba contenida en el resto de la figura.

Con recursos similares los niños fueron reconociendo las técnicas aplicadas en la

solución de los problemas correspondientes a cada grupo, las que en la siguiente

etapa de trabajo, fueron utilizadas pero no como reconocimiento o familiarización,

sino a modo de aplicación en los problemas planteados en esa etapa.

3.1.4 Aplicación del test intermedio. El control intermedio (Anexo 7) constituye un momento dentro del preexperimento

tomado en este caso con tres finalidades:

1. Recibir información acerca de lo logrado en el trabajo con los problemas

recopilados en las etapas de familiarización y trabajo intensivo.

2. Hacer un reajuste en el resto de las actividades previstas, de acuerdo al

comportamiento de los niños en esas etapas.

3. Dar la posibilidad a los niños de comparar los resultados con los del

control inicial y de esta manera alimentar la motivación hacia la solución

de estos problemas.

En este último aspecto se pudo apreciar resultados alentadores, que serán

analizados posteriormente y que reflejan una mejoría considerable de los niños en

el proceso de solución de problemas.

Del primer grupo les fue planteado a los niños un problema relativamente sencillo,

aunque con mayores dificultades que el utilizado en el control inicial. El resultado

más sobresaliente en relación con ese control es que todos los niños, al menos,

pudieron comenzar el trabajo y la mitad de ellos lograron alcanzar una respuesta

satisfactoria.

En el segundo grupo se utilizó para el control un problema diferente con relación

al control inicial, pues en este se trata de ordenar tres cifras con la condición de

que el producto de ellas sea 72 y que se den todas las variantes posibles; en

principio aparenta ser un problema fácil pero tiene dos problemas auxiliares.

En los resultados de la aplicación del problema se observa la familiarización de los

niños con este grupo, pues en el momento inicial, ellos no tenían ideas de los

problemas con varias soluciones y en este caso todos pudieron comenzar y el 60%

logró dar la respuesta exigida (tres distribuciones diferentes y algunas variantes de

ellas).

Uno de los aspectos relevantes en la búsqueda de la solución de este problema,

es que las soluciones parciales que se van obteniendo, constituyen también

información para continuar, a la que se debe recurrir para “llevar cuenta” de lo que

se ha hecho y comparar con los nuevos resultados obtenidos, a fin de comprobar

si cumplen con la condición dada.

En el problema del tercer grupo aplicado en el control intermedio, se da una

situación interesante, pues estos números fueron combinados de esta manera con

la ausencia del trece y producen así la característica de que las sumas de los

números que están en las diagonales de todos los cuadrados que se pueden

formar son iguales.

En este problema como en el resuelto en la actividad 11, la principal dificultad se

da en la forma de conteo de los cuadrados, que casi siempre los niños la realizan

buscando los cuadrados que alcanzan a “ver” de manera aislada, proceder en el

que se corre el riesgo de perder cuadrados a menos que se establezca un orden.

Con respecto a la actividad 11, tres niños más pudieron llegar al resultado final(el 40%), lo que constituye un paso de avance, si se tiene en cuenta que no es el simple conteo, sino que se combina la delimitación de las diagonal en cada cuadrado que se pueda formar y la determinación y comparación de las sumas de los números que se encuentran en dichas diagonales.

En el control intermedio en lo relacionado con los problemas del cuarto grupo, no

se observan diferencias significativas, en los alumnos que están en la segunda

categoría con respecto al control inicial, sin embargo, el resto de los niños que

representa el 40% encontró la solución del problema, a diferencia del control inicial

en la que ningún niño pudo lograrlo.

Los 6 niños que no pudieron encontrar la vía de solución, no emplearon un modelo

para representar la situación, mientras que los otros se auxiliaron en este recurso,

es decir, lograron representar la primera condición y luego mediante un proceso de

reflexión hacerlo también con la otra condición que transformaba la anterior.

Al resumir los resultados de este control intermedio se puede aseverar lo siguiente:

Después de estas dos etapas de familiarización primero y de trabajo intensivo

después en los problemas coleccionados, ningún niño se encuentra en la

categoría “intenta pero no puede” emprender la tarea (anexo 10), lo que para

este momento del trabajo es significativo.

La cantidad de niños en la categoría “trabaja pero no concluye” aumenta,

elevando el por ciento de un 40 a un 52.7 con respecto al control inicial (anexo 11), pero a su vez el 47.5% de los niños logran terminar satisfactoriamente los

problemas propuestos, cuando en ese mismo primer control ningún niño pudo

terminar el ejercicio correspondiente.

Las respuestas de los niños evidencian la identificación de estos con los

problemas que se les han planteado y reconocen ya algunos tipos de problemas

por su característica principal: si se trata de buscar múltiples soluciones, si los

datos no alcanzan respecto a las exigencias y aislar las figuras dentro de una

composición, lo que muestra también una visión más completa acerca de la

solución de los problemas.

3.1.5 Desarrollo de la etapa de aplicación. En la última etapa de trabajo del preexperimento realizado para esta investigación,

se procedió a la selección de problemas de los cuatro grupos con un grado de

dificultad más elevado y que a la vez permitieran cumplir su objetivo: reflexionar sobre las características de los problemas propuestos y sobre las técnicas utilizadas, para poder aplicarlas a la resolución de estos. En el desarrollo de la última etapa de trabajo se propiciaron amplios intercambios,

en todos los sentidos de la comunicación que se da en el proceso de enseñanza y

aprendizaje, con la intención de realizar valoraciones y generalizaciones en casos

posibles, acerca de las características de estos problemas que contribuyen a

ampliar el concepto que se tiene sobre este tipo de ejercicios y sobre las

particularidades del proceso de solución en los problemas presentados en cada

uno de los grupos.

Para lograr lo antes expresado, la atención fundamental se centró en las

características que permitieron agrupar a los problemas y en las estrategias que

fueron utilizadas para la solución de estos, pues el principal provecho de este

trabajo desarrollado, es que los niños se apropiaran de esas estrategias, como

ablecidos, mediante los cuales se puede

o en el orden

ue

es

problemas de este

los

s resueltos en las actividades 13 y 14 realizadas en esta etapa de trabajo,

recursos en su desempeño ante la solución de problemas y en general en la

asignatura Matemática.

Los problemas del primer grupo seleccionados para esta etapa, responden a la

característica fundamental de este grupo, es decir, su resolución está asociada al

seguimiento de patrones preest

identificar el rasgo esencial que sugiere la sucesión de objetos o cosas y dar

solución así al problema planteado.

La identificación en el problema 41 de la actividad trece se produce, cuando los

niños se dan cuenta que los símbolos comienzan a repetirse de nuev

cruz, círculo y estrella, de tres en tres, por lo que mediante el conteo o con ayuda

de la adición y la sustracción encuentra la respuesta a la exigencia.

En el caso de los balones, el patrón se encuentra con ayuda de la adición, pues la

suma de las dos cifras de abajo es igual a la cifra que se encuentra en el balón q

está arriba. En este tipo de problemas la atención de los alumnos se dirigió hacia

los elementos que a criterio del investigador deben ser tenidos en cuenta en su

proceso de solución, ya que ellos se manifiestan siempre y de lo que se trata

que los niños lo incorporen como un proceder a seguir en los

grupo, para lo cual se repasó mediante la resolución de estos problemas las

indicaciones dadas en forma de acciones en el epígrafe 2.4.

Estas acciones las fueron logrando los niños con más seguridad a través de

problema

y también fueron utilizadas con el fin de realizar generalizaciones en este

sentido.

En las actividades 15 y 16 se resolvieron problemas del cuarto grupo con las

mismas intenciones expuestas en los del grupo anterior, en cuanto a buscar

elementos que caracterizan a los problemas y a su proceso de solución, aunque

las estrategias utilizadas no coinciden. En la actividad 15, los niños pudieron

realizarla transformando las condiciones de los dos problemas presentados.

Com

alumnos formaciones que se pueden realizar son las

sigu

mpletos.

responden

s lógicas, en el que la indicación generalizable fue la

o, con el

ara ayudar

ión activa pro medio de esas indicaciones:

ncia con las

los niños a modo de generalización de las estrategias en cada caso.

o resultado del trabajo realizado con los problemas de este grupo, los

aprendieron que las trans

ientes:

1. Agregar datos a situaciones en la que no existen o están inco

2. Realizar ajustes en datos incoherentes o en los que no se cor

con las exigencias.

3. Aclarar condiciones cuando estas son imprecisas.

4. Desechar datos de más que aparezcan en la situación.

5. La combinación de algunas de las mencionadas anteriormente.

En la actividad 16, se presentaron problemas de este mismo grupo, pero que se

resuelven mediante reflexione

de apoyarse en la técnica de la modelación, conocida en la resolución de

problemas aritméticos. En todos los casos se discutió mediante la organización

grupal de los niños, las acciones a realizar en los problemas de este grup

propósito de generalizarlas.

En los problemas del segundo grupo también se dan dos tipos que responden a

las estrategias principales que son utilizadas en el proceso de su solución:

búsqueda de múltiples soluciones y búsqueda de soluciones alternativas.

En las actividades 17 y 18 se emplearon problemas en los que se deben buscar

múltiples soluciones pero estas no son alternativas, es decir, que todas las que se

encuentran responden a las exigencias de los problemas planteados. P

a la solución de esos problemas, como generalidad, se les sugirió a los niños la

utilización del proceder que se dio en forma de acciones en el epígrafe 2.4, lo cual

se logró en discusiones de los problemas en pequeños grupos, de manera que

todos tuvieran una participac

Las dos últimas actividades se emplearon en la búsqueda de la solución de

problemas del tercer grupo relacionado con el conteo de figuras conocidas dentro

de una composición o del conteo que se realiza al ordenar las cifras bajo

determinadas condiciones.

Las indicaciones acerca de cómo proceder, generalizadas en esta etapa para

ambos tipos de problemas, tienen sus diferencias en corresponde

técnicas y estrategias que en ellos se utilizan, como se puede apreciar de manera

explícita en el epígrafe 2.4. En los problemas resueltos en las actividades 19 y 20

se pueden apreciar esas diferencias que también fueron objeto de discusión con

Los resultados en el orden cuantitativo reflejan los avances de los niños en esta

etapa final de la investigación, así como la incorporación paulatina de los

mas con su característica fundamental, la que determina su ubicación en

ca

Estos ueden resumir de la siguiente

ma

n obtener la respuesta satisfactoria ante la

as al orden de

bién en lo relacionado con el

ue antes tenían esquematizado.

o

izar comparaciones con los controles anteriores después de haber

realizado varias jornadas de trabajo con los niños, pues el principal resultado que

procedimientos correspondientes a cada uno de los grupos y la identificación de

los proble

da uno de los cuatro grupos clasificados.

resultados cuantitativos (anexo 8) se p

nera:

Todos los niños pudieron abordar los problemas presentados durante las

ocho actividades realizadas en esta etapa.

Continuó en descenso el porcentaje de niños que no lograron alcanzar una

solución adecuada después de asumir el problema. Para esta etapa bajó a

un 26.9%, de un 43.3% en la etapa anterior.

En proporción inversa aumentó a un 73.1% de 48.7% en la etapa anterior, la

cantidad de niños que pudiero

búsqueda de la solución de los problemas de cada tipo.

En los problemas presentados de los grupos 1 y 4 se encuentra la mayor

cantidad de niños que no obtienen una respuesta correcta (16 respuestas

incompletas en cada grupo)

En correspondencia con estos resultados, en el trabajo individual con los niños, las

respuestas obtenidas en los protocolos son más precisas y ajustad

los procedimientos en cada grupo. A través de los protocolos obtenidos se pudo

conocer el movimiento del pensamiento de los niños hacia posturas más flexibles

en cuanto a la búsqueda de la solución y tam

concepto estrecho de problemas q

A partir de este momento estaban creadas todas las condiciones para aplicar en

control final, con la intención de medir los resultados de la experiencia con estos

niños en la solución de los problemas propuestos.

3.1.6 Aplicación del test final. El propósito de este control (Anexo 7), no es solo obtener un resultado cuantitativ

para poder real

se busca en esta investigación, es el de cambiar modos de actuación ante la

solución de problemas y lograr una comprensión en sentido amplio del concepto

de problemas.

En consecuencia además de valorar los resultados cuantitativos (anexo 9), se

hará referencia a los avances de los niños ante los problemas compilados para

esta investigación.

En el control final realizado a los problemas del primer grupo, todos los niños

s niños se “mueve” en las dos direcciones en

o un

do a las partes y de estas

po, pues en este último, uno solo

los resultados que se esperaban

posición más flexible en el proceso de solución de los problemas,

s anteriores y al final un solo niño no pudo llegar a la meta del

pudieron arribar al resultado esperado y en la entrevista individual posterior,

demostraron haber utilizado un orden coherente bastante próximo a la estrategia

generalizada en la última etapa del pre experimento.

En este caso para ir del todo (el dado), a las partes (consideradas aquí como las

caras del dado), el pensamiento de lo

busca de las relaciones entre las caras visibles y las no visibles del dado, se

detiene con el primer resultado parcial, reconoce nuevamente el dado com

todo y realiza el nuevo”movimiento”.

Es evidente en estos movimientos del pensamiento del to

de nuevo al todo, en el que el niño realiza búsqueda de relaciones y chequeo

sistemático de los resultados que se van obteniendo, la manifestación de un

pensamiento flexible y reflexivo, que no es estático.

Es evidente la diferencia entre los resultados de los controles inicial y final (Anexo

9) efectuados a los problemas del segundo grude los diez niños no pudo determinar con éxito la solución. Este dato es altamente

significativo, porque al comenzar el pre experimento, para ellos los problemas en

general estaban asociados a una sola solución.

En el control final para este grupo se utilizó un problema con características

similares en cuanto a la búsqueda de la vía de solución, lo que permitió corroborar

que efectivamente la intervención había arrojado

y que se ratificaron con la ayuda de las entrevistas para los protocolos, pues en la

búsqueda de la solución, la mayoría de los niños manifestaron haber tenido en

cuenta un orden en la realización del problema.

Los resultados en este grupo son un reflejo de la mejoría de los niños en cuanto a

manifestar una

en el sentido de no aceptar una sola solución y buscar vías y alternativas siempre

que sea posible, lo que además evidencia plena conciencia en la realización de

este proceso.

Como se puede apreciar (anexo 10) son significativas las diferencias entre los tres

controles del tercer grupo, pues la tendencia es siempre a mejorar los resultados

respecto a lo

problema escogido para este control después de haber trabajado en él, deficiencia

que está relacionada sobre todo a la búsqueda de información en figuras

compuestas.

El trabajo de los niños en este se basó en el reconocimiento de todos los

cuadrados posibles, aunque no respondieran a las posiciones habituales, para lo

squeda sistemática

intervención realizada

similar

cuya solución parece sumamente evidente, sin embargo dos niños no

n los casos

ele

Co

imento, son estos los

lora su recorrido se puede apreciar

un cambio significativo a lo largo de toda la intervención.

cual habría que ver desde el cuadrado exterior que representa el todo, cada uno

de los cuadrados más pequeños, incluido el que se forma con las diagonales de

estos y después en la búsqueda de la mayor y menor cantidad de puntos.

Las acciones ejecutadas por los niños en los problemas de este grupo, con

independencia de los resultados cuantitativos, revelaron el cambio en su

pensamiento, de una posición inmóvil y de inercia a una de bú

de relaciones, de chequeo constante de los resultados, de movimiento dirigido de

los datos a la incógnita y de esta hacia nuevas informaciones, muchas veces

llegadas a través de modelos o patrones o dibujos en general.

Esta característica es común en estos problemas y en los del grupo uno y resultó

uno de los avances más palpables como resultado de la

durante la realización del preexperimento. La incorporación de la búsqueda de

informaciones de manera visual fue una de las estrategias que quedó como

referencia en el pensamiento y en el accionar de los niños.

En el cuarto grupo se siguió la misma idea de controlar con problemas en que

debían realizarse reflexiones lógicas para encontrar su solución, de manera

a los que realizaron los niños en los controles anteriores, pero que a su vez

exigiera flexibilidad en el sentido de probar posibilidades, sin preconcepciones

respecto al contenido de los recipientes al ubicar las bolitas dentro de ellos.

Un ejercicio

pudieron concluirlo, lo que demuestra deficiencias en reconocer e

extremos una posible solución (en este caso que un recipiente no contenga ningún

mento).

mo resultado de este último control se puede resumir lo siguiente:

Solo dos niños tienen dificultades para alcanzar el resultado después de haber

comenzado, en dos problemas cada uno. Si se observa la tabla general (anexo 9) en la que se recogen todos los resultados del preexper

dos niños que reflejan un pensamiento menos flexible, al no aceptar fácilmente

las estrategias propuestas, aunque si se va

Se aplicaron estrategias que se fueron consolidando como la de establecer un

orden cuando aparecen varias soluciones.

Resulta más fácil para los niños “move rse” entre lo que se da y lo que se pide,

ue la escala de medición

rdenada62, es decir, una escala

abilidades que posibilitaron en la

ente significativos.

btenidos en cuanto a la solución de los problemas

problemas, así como el

así como entre los resultados parciales obtenidos y las exigencias, en el

proceso de búsqueda de información.

Para constatar la significación estadística de los cambios producidos en los

alumnos se aplicó la prueba (no paramétrica) de rangos señalados y pares

igualados de Wilcoxon (anexo 12), teniendo en cuenta q

utilizada cumple con los requisitos de ser métrica o

que se halla entre una escala ordinal y una de intervalo.

La hipótesis estadística formulada fue la siguiente:

Hο: No existen diferencias significativas entre el control inicial y final.

Se tomó como nivel de significación de la dócima α = 0.05. Al comparar los

resultados inherentes a las tres evaluaciones realizadas (controles inicial,

intermedio y final), y procesando los datos con el paquete estadístico Statistic en la

versión 12 para Windows, se obtuvieron las prob

mayoría de las comparaciones rechazar la hipótesis Ho, lo cual indica que los

cambios producidos son altam

Para constatar las diferencias solo se utilizaron los datos correspondientes a los

controles inicial y final.

Esta hipótesis fue rechazada al tomarse como nivel de significación de la prueba el

0,05 y obtenerse p=0.01, menor que el tomado y que indica un alto nivel de

significación de los resultados o

propuestos, después de trabajar sistemáticamente con los niños en las etapas

resumidas en el Capítulo dos.

Estos resultados también avalan una práctica diferente de los niños en la solución

de los problemas en general, lo que se manifiesta en mejor disposición y más

motivación de estos para acometer la resolución de

dominio de técnicas, estrategias y de procedimientos no rutinarios bien diferentes a

los que generalmente se emplean en la práctica diaria.

62 Ver: R. Davidson y J. Swift (Eds.). Proceedinqs of the Second International Con ference en Teaching Statistics. University of Victoria, 1998, pp. 17-27<<y<<S. Sieggel. Diseño Experimental no Paramétrico, Edición Revolucionaria, 1956, pp.100.

Los niños demostraron en cada momento del preexperimento y sobre todo en la

última etapa y en la realización del control final, mucha seguridad y en problemas

como los del grupo II que exigía varias soluciones, casi todos cuando comenzaron

a trabajar en él, no lo abandonaron hasta obtener todas las respuestas. En estos

ciones, caracterizan a los problemas y a las técnicas y estrategias

mpleadas por los niños en su proceso de solución, las que se pueden inscribir a

omo formas de proceder no

atemática, bajo la consideración de que no eran capaces de

ndo de manera constructiva la colaboración que

btenidos por los niños y estos quizás decepcionados por sus

problemas los errores cometidos fueron utilizados en el proceso de solución como

impulsos para obtener nuevas soluciones, lo que fue corroborado en las

entrevistas individuales realizadas después de cada actividad.

La búsqueda constante de la información en los dibujos y el seguimiento de

patrones, que dan indicios acerca del comportamiento de determinadas

características para encontrar la vía y con ello la solución exigida, la búsqueda de

alternativas de solución o el conteo de figuras y números sobre la base de

informaciones contenidas de la manera explicada anteriormente y la

transformación de condiciones que sugieren y al mismo tiempo exigen no atenerse

a preconcep

e

partir de las características antes expresadas c

rutinarias.

3.2 Entrevista a la maestra (al inicio y al final). Por su parte la maestra además de la visión que tenía respecto a estos diez niños,

en entrevista (Anexo 13) realizada antes de comenzar la intervención, expresó su

desaliento por los resultados de los niños en general ante la solución de los

problemas en M

asumirlos por sí solos, que necesitaban constantemente de ella y que la mayoría

no hacía el intento por comenzar el análisis de las situaciones de manera

independiente.

Después de la aplicación de la intervención cambiaron significativamente los

criterios de la maestra (Anexo 14) al respecto y también el de los niños respecto a

sus propias posibilidades, asumie

se brindaban entre sí y también cambió su concepción acerca de los problemas,

por una más amplia en la que según sus propias palabras, en Matemática “no solo

hay que hablar de números”.

Desde las propias actividades del preexperimento se pudo influir en las relaciones

entre la maestra y los niños, pues ella un poco agobiada por los resultados hasta

ese momento o

propios resultados y por un tipo de enseñanza en la que no tenían un rol

protagónico, caracterizaban un clima en cierto sentido hostil que poco a poco se

fue cambiando.

La maestra reconoció las potencialidades que tenían sus niños, inclusos los

más dinámicos y que molestan cuando han concluido su

19 niños que tenía

n ese momento el aula que habían participado en aquellas actividades, todos

ma 5 del grupo 2 y problema 26 del grupo 3 ) y

a, por el trabajo sistemático que

eñan

evaluados de mal, dentro de los cuales uno de ellos con algunos problemas de

conducta, siempre estuvo entre los de mejores resultados y terminó

satisfactoriamente la enseñanza primaria.

La maestra también manifestó agradecimiento, pues le fue mostrado y de paso

aprendió cómo lograr la participación activa de los niños en las actividades y sobre

todo de aquellos que son

labor. Por otra parte reconoció las deficiencias en la elaboración de un diagnóstico

ajustado a las características de cada niño, lo que también estaba influyendo en

sus relaciones con ellos.

Como la maestra continuo con estos niños en el segundo ciclo, en el segundo

período del quinto grado se les aplicó un pequeño instrumento, con el propósito de

comprobar en qué medida las estrategias promovidas a través del preexperimento,

formaban parte del modo de actuación de estos niños y de los

e

acometieron los problemas(proble

12 de ellos lograron llegar al resultado esperado para un63%.

3.3 Intercambio con expertos. Con el propósito de respaldar los sustentos teóricos de la Alternativa didáctica

realizada en esta tesis, se pone en consideración una consulta a especialistas63,

considerando en esta condición a maestros de experiencia en el trabajo con la

Matemática del primer ciclo, jefes de ciclo experimentados también en este nivel

de enseñanza y metodólogos de la enseñanza, así como, a profesores del ISP

José Martí de Camagüey, teniendo en cuenta que en la materia investigada tienen

un caudal de experiencias, en unos casos dad

realizan desde los programas que imparten en el nivel respecto a la solución de

problemas en la Matemática del primer ciclo y por la propia labor que desemp

los otros en el asesoramiento de los primeros.

63 Ver tesis presentada en opción al grado de doctor en ciencias pedagógicas: “Estrategia didáctica para la resolución de problemas de geometría descriptiva en la carrera de ingeniería mecánica en cuba”, Autora: Msc María Cristina Pérez Lazo de la Vega.

La consulta realizada a estas personas, aunque no alcanza el rigor que la

denominada “Criterio de Expertos” es capaz de generar, si satisface aquellas

incógnitas relaci

técnica

onadas con la factibilidad de utilizar los tipos de problemas

o

a

nor a mayor

e

esta contiene las ideas más

imp e se añadió una presentación

ta en

presentados, así como el reconocimiento del resto de los elementos que

componen a la Alternativa didáctica que sirven para complementar el tratamient

de los mismos.

La consulta a especialistas se basó en la aplicación de una encuesta (Anexo 15)

maestros, jefes de ciclo, metodólogos y profesores del ISP a través de la cual

debieron ofrecer su criterio respecto a la propuesta y una valoración cuantitativa en

una escala de uno a cinco, haciéndola coincidir con un rango de me

grado de aceptación de las cuestiones puestas en consideración, con cuyos datos

se realizó una valoración clásica de los resultados a partir de la frecuencia d

aparición de los criterios emitidos y los por cientos respectivos.

Como se puede apreciar la presentación de la encu

ortantes de la Alternativa didáctica, a lo qu

real ada por el autor del trabajo, acerca de las características de la propuesiz

cuestión, basada en los siguientes aspectos:

Posibilidad de utilizar los problemas.

Relación de los problemas con los procedimientos en Matemática.

Posibilidad de que los niños amplíen su representación del concepto de

problemas.

Contribución de la propuesta a la Orientación en el proceso de solución de

problemas.

Contribución de la propuesta a la participación activa en el proceso de

solución.

Novedad de la propuesta.

Valoración global de la propuesta.

Las características de los profesionales seleccionados como especialistas para

realizar la valoración de la Alternativa didáctica presentada en esta investigación,

se resumen en una tabla en el anexo 16.

En resumen se puede apreciar una selección basada en los maestros licenciados

de la escuela en la que fue aplicada la experiencia, los jefes de ciclo,

los

sector rural con más de 20 años de experiencia y los profesores de la asignatura

metodólogos que tienen que ver con la asignatura, incluyendo los que atienden el

Matemática en la facultad de Educación Infantil del ISP José Martí.

Los maestros y jefes de ciclo de la escuela han recibido entrenamientos en el t

de la solución de problemas, a través, de las preparaciones metodológicas co

parte de la investigación desarrollada en este lugar, a partir de las cuales han

desarrollado otras experiencias pedagógicas relacionadas con el tema. Los

metodólog

ema

mo

os por su parte han sido entrenados por los profesores del ISP en el

ación

los valores

En

de es

consenso en cuanto a la posibilidad de

os problemas propuestos. En este caso el índice asciende al

no se observan en los problemas escolares.

tema, como parte de esta línea de investigación del departamento de Educ

Primaria.

Con el propósito de contrastar los resultados obtenidos en la encuesta, se

determinó un índice mediante el cual se realiza una integración de

obtenidos, lo que da una idea del comportamiento de los aspectos puestos a

consideración de los especialistas y de la Alternativa en general.

la correlación entre las valoraciones dadas por los encuestados y la expresión

tas en valores de uno hasta cinco (Anexo 17), se pudo apreciar lo siguiente:

Las objeciones que se produjeron en cuanto a la posibilidad de usar los

problemas, se deben a sus características en relación con los problemas

escolares, lo que según algunos criterios puede distraer la atención de los

niños hacia los problemas propuestos, minimizando la función de los otros,

sin embargo, en general hay

emplearlos en las clases de Matemática. El índice en este caso es el más

bajo que se alcanza con el 88.8.

A favor de este último criterio de la posibilidad de utilizar los problemas, los

especialistas encuestados observaron las relaciones que se dan entre

algunos procedimientos de solución empleados en la asignatura y las

estrategias y procedimientos válidos en el proceso de búsqueda de la

solución de l

93.6, superior al anterior, un tanto contradictorio aunque la diferencia no es

mucha.

La mayoría de los especialistas consideran que con la utilización de estos

problemas en las clases de Matemática, los niños pueden ampliar su

concepto acerca de lo que es un problema, en el sentido de considerar en

ellos otras características que

En este sentido el índice fue del 92, representativo de la opinión antes

expresada.

Con un índice del 92,8 los especialistas hicieron un reconocimiento de las

posibilidades vistas en los problemas compilados para orientar a los niños en

el proceso de su solución. En este aspecto hicieron referencia a el tipo de

información que

se brinda a través de ellos, que facilita establecer relaciones

ades que aquellos necesiten. En este

a práctica

a la

or

lente y en

uanto a los índices, excepto al relacionado con la conveniencia de utilizar los

roblemas compilados con un 88.8, los demás están por encima de 90.

por medio de los procedimientos y estrategias analizadas en epígrafes

anteriores.

En relación con las posibilidades de lograr por medio de la conjugación de los

factores que se incluyen en la propuesta didáctica, un papel protagónico por

parte de los niños, el índice obtenido fue de 91.8 y las valoraciones giraron

alrededor de la utilización de los problemas acompañados de métodos y

formas de organización que propicien la comunicación en todos los sentidos.

Muy favorable fue el reconocimiento por parte de los encuestados, acerca de

la novedad de la propuesta presentada por el autor de la tesis, lo que

fundamentaron, en las características de los problemas comprendidos en la

categoría de no rutinarios y el resto de los elementos de dicha propuesta, en

los que se enmarca la actividad protagónica de los niños y el papel del

maestro para darle todas las oportunid

caso el índice se considera también favorable con un valor del 92.8 y ninguna

respuesta en categoría inferior a tres.

Por último en la valoración general de la propuesta, algunos metodólogos

encuestados la consideraron muy valiosa al igual que los demás, sugiriendo

que se profundice en la relación de los problemas con otros contenidos y

complejos de materia de la asignatura Matemática, como las magnitudes y la

numeración, lo que consideramos razonable para la aplicación en l

de estos resultados. El índice en este caso fue de 94.4, lo que reflej

aceptación general de la propuesta realizada para la investigación.

De esta consulta con los especialista se infiere que la Alternativa didáctica

presentada, se considera coherente y como se puede apreciar en la tabla, los p

cientos más altos tienden a muy bien y sobre todo a la categoría de exce

c

p

De los

1.

rma de técnicas, estrategias y

3. su

4.

cluye

5.

as y el procedimiento generalizado, pueden

6. lución

7.

este proceso, a las técnicas,

CONCLUSIONES resultados de la investigación realizada se concluye lo siguiente:

La solución de problemas propuestos aporta desde la Enseñanza de la

Matemática “herramientas” mentales en fo

procedimientos útiles a los niños, por lo que es importante su tratamiento

sistemático en las clases de la asignatura.

2. Que el tratamiento de los problemas no es considerado como objeto de

enseñanza en la Didáctica de la Matemática del nivel primario.

Los problemas propuestos responden al criterio de “no rutinarios” y

utilización sistemática junto a los problemas escolares, favorecen la

estimulación de la actividad de los niños en su proceso de resolución.

La clasificación de los problemas compendiados en esta investigación,

responden a criterios no tomados en cuenta anteriormente, e in

problemas en los que la información es insuficiente o se ofrece de manera

visual, así como en problemas de conteo y de soluciones alternativas.

Las estrategias propuestas para la resolución de los problemas del

compendio realizado, las técnic

ser incorporadas a la Matemática de cuarto grado, con la intención de

enseñar a resolver problemas.

Los componentes del proceso de enseñanza y aprendizaje en la so

de los problemas propuestos, según las exigencias de la alternativa

didáctica responden a los criterios de una enseñanza desarrolladora.

La alternativa didáctica tiene como componentes esenciales a los

problemas que se compilaron y clasificaron, a las características de la

actividad de los niños y el maestro en

estrategias y procedimientos empleados y a las etapas en las que se

enmarca el trabajo con estos problemas. La instrumentación práctica de la alternativa didáctica a través de las tres

etapas concebidas para su realización, con ayuda de los métodos y formas

de organización y la comunicación que promueven la participación activa de

los niños dentro de una pe

8.

rspectiva desarrolladora, constituye un estímulo

en el proceso de enseñanza aprendizaje de la resolución de problemas en

la asignatura Matemática.

y estrategias también novedosas. Con la intención de continuar

pro

lo sigu

1.

es el grado terminal de un ciclo

2.

3.

osibilidades que

tiene el mismo de ampliar los conocimientos sobre el tratamiento de este

tema y se constituya en la base de futuras investigaciones.

RECOMENDACIONES

La investigación realizada por el autor de esta tesis, aborda por primera vez lo

relacionado con el tratamiento de los problemas “no rutinarios” en la enseñanza de

la resolución de problemas para la Matemática del nivel primario, con la utilización

de técnicas

fundizando a través de la investigación científica en este tema, se recomienda

iente:

Que los resultados de la investigación sean dados a conocer para su

aplicación posterior a la enseñanza de la resolución de problemas en cuarto

grado, teniendo en cuenta que este

importante de la escuela primaria, en el que se deben generalizar

estrategias, técnicas y procedimientos.

Que los resultados de esta experiencia y el aporte teórico que lleva

implícito, sirvan para lograr que el tratamiento de problemas sea

considerado como objeto de enseñanza en el primer ciclo, con todas las

consideraciones y requerimientos esgrimidos en el Capítulo 2 de esta tesis.

Que sea incorporado el aporte teórico de la investigación a la disciplina

Metodología de la enseñanza de la Matemática, por las p

BIBLIOGRAFÍA AEBLI, HANS. La pregunta del maestro y la enseñanza sin preguntas. – p. 127-

132. En Educación. – Vol. 3. –Alemania, 1971.

------------------- Una didáctica fundada en la Psicología de Piaget. –Argentina: Ed. KAPELUSZ, 1986.

------------------- Factores de la enseñanza que favorecen el aprendizaje autónomo. –España: Ed. Narcea, S.A, 1991.

ALBINA, YSALI. La resolución de problemas matemáticos por estudiantes mexicanos-norteamericanos. –p. 47-54. –En Educación Matemática. –Vol.2 N°3. –México, diciembre, 1990.

AGUAYO, A.M. Didáctica de la escuela nueva. -- La Habana : Ed. Cultural S.A., 1932.

ALMAZAR FLORES, CELIA. E. Método de aprendizaje basado en problemas: rol del maestro y del alumno. –p.34-35. –En Academia. –Año 5 N°31. –México, febrero-marzo, 2003.

VAREZ VALDIVIA, IBIAL S MARLENE. La comprensión y el desarrollo de la excepcionalidad intelectual. Necesidad de trascender del enfoque centrado en el sujeto al análisis funcional y de contexto. –p. 43-57. –En Aula Abierta. –N°79. –España, junio, 2002.

ALVAREZ DE ZAYAS, CARLOS M. Hacia una escuela de excelencia. –La Habana: Ed. Academia, 1996.

ARCE, ENRIQUE. La creatividad: ¿Qué es y como promoverla?. – p. 11-20. –Vol. 1, N°1. –México, marzo 1993.

ARZATE ROBLEDO, ROBERTO. Caracterización de las matemáticas como unidades subjetivas de desarrollo en niños de edad escolar. –En Educativa. –N° 8. –México, sep. 1997.

AVILA, ALICIA. Los niños también cuentan : Procesos de contrucción de la aritmética en la escuela primaria. –México: Ed. Unidad de Publicaciones Educativas, 1994.

BAUTISTA GARCÍA-VERA, ANTONIO. Fundamentación de un método basado en la resolución de problemas. –p. 151-160. –En Educación. –N° 282. –España, enero-abril, 1987.

BEte. Guillermo

RNAZA RODRÍGUEZ, GUILLERMO. El planteamiento y resolución de problemas como una vía para diagnosticar la ZPD del estudianBernaza Rodríguez, Carolina Douglas de la Peña y Maribel del Valle García. –p. 88-110. –En Avanzada. –N°10. –Medellín, noviembre, 2001.

BRITO FERNÁNDEZ, HECTOR. Psicología general para Institutos Superiores Pedagógicos, T-2. /et al/. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1987.

OWN, STEBR PHENT. A new multiplication algorithm : on the complexity of simplicity. –p. 546. –En the Arithmetic Teacher. – Vol. 22, N°5. –USA , nov. 1975.

UNI, JAMES V. An introductionBR to weight measurement. /James V. Bruni y Helene Silverman. –p. 4-10. –En The Arithmetic Teacher. –Vol. 23, No.1. –Estados Unidos, Febrero, 1976.

BURNS, MARILYN. Ideas. – p. 34-46. –En The Arithmetic Teacher. –Vol. 22, N°1. –USA, enero, 1975.

---------------------. Ideas. –p. 271-279 –En: The Aritmetic Teacher. Vol. 23, No.4. –USA, Abril, 1976.

BURTON, GRACE. Estandares curriculares y de la evaluación para la educación matemática. –Estados Unidos, 1991.

------------------------ Ideas. – p. 124-132. –En The Arithmetic Teacher. – Vol. 22, N°1. –USA, febrero, 1975.

------------------------Ideas. – p. 48-49. –En The Arithmetic Teacher. – Vol. 23, N°1. –USA, febrero, 1976.

-------------------------Ideas. – p. 271-279. –En The Arithmetic Teacher. –Vol. 3, N°4. –USA, abril, 1976.

CHA, FRAN

CA CES B. Subtraction: re grouping with flexibility. – p. 402-404. –En

CA ROUS PEREZ, LUIS A. Diseño Experimental. Maestría en Investigación

CA ROUS PÉREZ, LUIS. Aprende a resolver problemas aritméticos. Luis

CA IS. Didáctica y Solución de problemas. Luis

CA VICTORIA. La actividad de aprendizaje grupal: una

The Arithmetic Teacher. –Vol. 22, N°5. –USA , may.1975.

MPISTEducativa. Editado por ICCP. Ministerio de Educación. –La Habana: Cuba. 1995.

MPISTCampistrous Pérez, Celia Rizo Cabrera. –La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1996.

MPISTROUS PÉREZ, LUCampistrous Pérez, Celia Rizo Cabrera. En proceso de Edición por la Editorial Iberoamericana. México.

STELLANO NODA, ANApropuesta teórica. –p. 99-105. –En Revista Cubana de Psicología. –Vol.19 N°2. –La Habana, 2002.

CASTELLANOS SIMONS, DORIS. Aprender y enseñar en la escuela. /Castellanos Simons.../et al/. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 2002.

Doris

iencia y trabajo político. 1959-1986.— CASTRO RUZ, FIDEL. Ideología, conc

La Habana: Ed. Política, 1987.

CÁZAREZ SOLORZENO, JORGE A. La inserción de problemas en los escolares de primaria. Un estudio evolutivo. –p. 19-39. –En Aula Abierta. –N°10. –España, 1998.

CERRILLO MARTÍN, MARIA DEL ROSARIO. Enseñar a pensar: desarrollo del pensamiento lógico. –p. 63-86. –En Aula Abierta. –N°80. –España, diciembre, 2002.

COLUNGA SANTOS, SILVIA. Intervención educativa destinada al incremento de la autoestima en escolares con dificultades para aprender. -2000. –Tesis (en opción al título de doctor en Ciencias Pedagógicas). –Universidad, Camagüey, 2000.

CORDERO RIPAMONTI ROSANNA. Un acercamiento hacia la solución de problemas. –p. 36-41. –En Revista Educación. –Vol.3 N°1. –Perú, diciembre,

CO

1993.

RRAL, ANTONIO. Los matemáticos: fundamento de un desarrollo equilibrado. –p. 39-55. En tarbiya. –Vol. 5. –España, noviembre, 1993.

------------------------ M---- ás allá del pensamiento lógico-formal en la enseñanza de

DA blo

DIA émica/ Pío Díaz Acanda,

las Matemáticas. –p. 65-73. –En Tarbiya. –N°10. –Madrid, mayo-agosto, 1995.

VÝDOV, V. V. Tipos de generalización en la enseñanza. La Habana: Ed. Puey Educación, 1982.

Z ACANDA, PÍO. Escuela primaria y enseñanza problLeyda Martín Pulín. –p. 32-38. –En Educación. –Vol.96. –Cuba, abril, 1999.

LARD ROGER, BÁRBARA. The basic fact “bug”. – p. 265-266. –DIL En The Arithmetic Teacher. –Vol. 23, N°4. –USA, abril, 1976.

EQUILUZ ROMO, LUZ DE LOURDE. Una alternativa epistemológica: Los métodos cualitativos en las Ciencias Sociales. –En Psicología Iberoamericana. –Vol.5,

FE

FE RIBEL. La resolución de problemas en la estructuración de

s conceptos matemáticos en primaria. –En

N°3. –México, septiembre, 1997.

RNÁNDEZ, JUAN ANTONIO. Tipos de pensamientos en la solución de problemas. –p. 29-38. –N°9. –México, otoño, 1995.

RRER VICENTE, MAun sistema de habilidades matemáticas en la escuela media cubana. –2000. –Tesis (en opción al título de doctor en Ciencias Pedagógicas). ISP. Frank País. Santiago de Cuba.

FIGUERA I LATORRE, ELVIRA. La interacción lenguaje-pensamiento y la construcción de lo Revista sobre la

FLO En

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. –N°16. –España, 1994.

RES, ALFINIO. Problemas. –p. 62-64. Educación Matemática. –México,

FR . –En

diciembre, 1990.

AME, MAXINE R. Hamann´s conjeture. – p. 34-35 The Arithmetic Teacher.

FU s y el conocimiento matemático.

GA978.

–Vol. 23, N°1. USA, febrero 1976.

ENLABRADA, IRMA. La didáctica, los maestro–México: Ed. Investigaciones Educativas, 1996.

RCIA GALLÓ, GASPAR. Bosquejo Histórico de la educación en Cuba. –La Habana: Ed. Libros para la educación, 1

GARCÍA, MARÍA TERESA. La concepción histórico-cultural de L. S. Vigotsky en la educación especial. –p. 95-98. –En Revolución Cubana de Psicología. –Vol. 19 N°2. –La Habana, mayo-agosto, 2002.

GARCÍA RAMÍREZ, MAYULI M. Estrategia metodológica para la comprensión de textos expositivos. –2003. –Tesis (en opción al título de doctor en Ciencias de

GA o y

la Educación). Universidad, Camagüey.

RCIA, ROLANDO. Antología del curso creatividad constructivismpráctica educativa. –México: [ s. n. ], 1996.

GARCÍA RUIZ, ANDRÉS. La resolución de problemas como estrategia didáctica en medio ambiente. –p. 69-80. En tarbiya. –Vol.24. –España, junio, 2000.

GONOBOLIN, F. N. Psicología. –Moscú: Ed. –Previeschenic, 1973.

GONZÁLEZ, DIEGO. Didáctica o dirección del aprendizaje. –La Habana: Ed.

GO ática. –Venezuela: Ed. COPIHER,

----

s generados por PRYCREA.. –En

Cultural S.A, 1997.

NZÁLEZ, FREDY E. El corazón de la Matem1995.

-------------------La resolución de problemas. Temas de Educación Matemática Tercera parte. –Venezuela, [ s. n. ], 1995.

GONZÁLEZ VALDÉS, AMÉRICA. Criterios básicos en la elaboración y puesta en práctica de los método Revista de Psicología

---

Cubana. –Vol.19 N°2. –La Habana, 2002.

------------------- PRYCREA. Pensamiento reflexivo y creatividad. –La Habana: Ed. Academia, 1995.

GRADAILLE MARTÍN, LUIS ALBERTO, Motivación en las clases de Matemática/ Luis Alberto, Eloy Arteaga Valdés. –p. 11-17. –En Educación. –Vol.96. –Cuba,

GR

abril, 1999.

EEN, J. G. El pensamiento desde una perspectiva alterna. –p. 51-69. –En Acción Pedagógica. –Vol.8 N°2. –México, Julio-diciembre, 1989.

GUERRERO, ROBERTO. El debate de la escuela tradicional y la escuela nueva. –p. 47-51. –En Psicología y Sociedad. –Año 2 N°5. –México, abril-junio, 1988.

ÉTMANOVA, ALEXANDRA. Lógica. –Moscú: Ed. Progreso, 1989. GU

GUISASOLA, JENARO. Heurística y sesgo de los estudiantes de primer ciclo en la resolución de problemas de probabilidad. Jenaro Guisáosla y José Ignacio Barragués. –p. 285-302. –En Enseñanza de las ciencias. –Vol.20 N°2. –España, 2002.

TIERREZ MÁRTÍNEZ, F. Enseñar a razonar: un enfoque metacognitivo. GU F Gutiérrez Martínez y J. Alonso-Tapia. –En Tarbiya. –N°9. –España, 1995.

ZMÁN, JESÚS CARLOS. Implicaciones educativas de seis teorías psicológicas. GU

GU s de la enseñanza de la Matemática. –p.

/Jesús Carlos Guzmán, Gerardo Hernández. –España: Ed. CONALTE, 1993.

ZMÁN, MIGUEL. Tendencias actuale19-26. –En Studia Paedagógica. –N°21. –Madrid, enero-diciembre,1989.

ZMÁN, MIGUEL. TendGU encias innovadoras en educación matemática. –

HE ativos. –Buenos Aires: Ed. CAPELLUSZ, 1979.

Argentina: Ed. EDIPUBLIC, 1997.

INELT, GOTTFRIED. Maestros creativos. Alumnos cre

HERNÁNDEZ MONTES DE OCA, SILVIA. ¿Qué es la Matemática Educativa? –En Pedagogía. –Vol.6 N°17 . –México, enero-marzo, 1989.

HILLERBRAND, M. J. Psicología del aprendizaje y de la enseñanza. España, Ed.

HUia para el desarrollo de las competencias científico, tecnológico y

Aguilar, 1970.

ERTA VALENCIA, MARTHA YUDITH. La resolución de problemas una estrategcomunicativa hermenéutica. –p. 12-16. –En Boletín PPDQ. –Colombia, Agosto, 2002.

INMERZEEL, GEORGE. Ideas/ George Inmerzeel y Don Wiedevanders. – p. 310-316. –En The Arithmetic Teacher. _Vol. 18, N°5. –USA, mayo 1971.

------------------------------.Ideas/ George Inmerzeel y Don Wiedevanders. – p. 38-44. –En The Arithmetic Teacher. _Vol. 19, N°1. USA enero 1972.

------------------------------.Ideas/ George Inmerzeel y Don Wiedevanders. –p. 29-33. –En The Arithmetic Teacher. _Vol. 20, N°1. –USA, enero 1972.

------------------------------.Ideas/ George Inmerzeel y Don Wiedevanders. – p. 201-208. –En The Arithmetic Teacher. _Vol. 19, N°1. –USA, marzo 1972.

------------------------------.Ideas/ George Inmerzeel y Don Wiedevanders. –p. 297-301. –En The Arithmetic Teacher. _Vol. 19, N°4. –USA, abril 1972.

------------------------------.Ideas/ George Inmerzeel y Don Wiedevanders. –p. 363-364. –En The Arithmetic Teacher. _Vol. 19, N°5. –USA, mayo 1972.

KR D O. Geobard Activities for primary grades/ Richard O Kratzer

KLIMBERG, LOTHAR. Introducción a la didáctica general. -- La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1985.

ATZER, RICHARy Bruce A. Allen. –p. 625-627. –En The Arithmetic teacher. –Vol. 22, N°8. –USA, dic. 1975.

KRUTETSKY, V. A. Bases de la psicología pedagógica. –Moscú: Ed. Prosvieshenie, 1972.

BARRERE, SARDULA Y. Bases Psicopedagógicas de la enseñanza de la solución

de problemas matemáticos en la escuela primaria. –La Habana: Ed. Pueblo y

88.

Educación, 1987.

---------------------------Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas matemáticos. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 19

--------------------------- Inteligencia y creatividad en la en la escuela. –p. 20-25. –En Educación . –N°88. –La Habana, mayo-agosto, 1996.

--------------------------- Pensamiento. Análisis y autorregulación de la actividad cognoscitiva de los alumnos. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación,1996.

blo y Educación, 1992.

ny, 1923.

MARTÍ PÉREZ, JOSÉ. Obras Completas. –La Habana. Ed. Ciencias Sociales, 1975.

Lecciones de Filosofía Marxista-Leninista. Tomo 2. /Colectivo de Autores. –La Habana: Ed. Pue

LENNES, N. J. The teaching of arithmetic. –New York: Ed. The Macmillan Compa

MARTÍNEZ JUÁREZ, JOSÉ JUAN. La relación sujeto objeto al interior de la teoría y el método del conocimiento. –p. 71-82. –En Psicología y Sociedad. –Año 7. –México, enero-marzo, 1999.

MARTÍNEZ LLANTADA, MARTA. La enseñanza problémica de la filosofía Marxista-Leninista. –La Habana, 1987.

Matemática: Quinto Grado. Libro de texto. –México: Ed. Offset, 1994.

Metodología de la Enseñanza de la Matemática. /Sergio Ballester Pedroso.../et al/. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1992.

Metodología de la investigación educacional. I parte. / Gastón Pérez Rodríguez.../et al/. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1996.

MIÑANO SÁNCHEZ, A. Vértice. Matemática 5°. –España : Ed. Bruño, 1994.

MITJANS MARTÍNEZ, ALBERTINA: Creatividad, personalidad y educación. –p. 154. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1995.

MUJINA, TRAVIATA. Conferencia sobre Psicología Pedagógica. /Traviata Mujina y Nadieshda Cherkes-Zade. La Habana: Ed. Libros para la Educación, 1979.

NAVARRO PELAYO, VIRGINIA. Razón combinatoria en alumnos de secundaria./ Virginia Navarro Pelayo, Carmen Batanero, Juan Díaz Godino. –p. 26-39. –En Educación Matemática. –Vol.8 N°1. –México, abril, 1996.

NEVA RIVERA, ARMANDO. –Técnicas de creatividad en el proceso de enseñanza y aprendizaje. –p. 63-67. –Vol.1, N°1. –México marzo 1993.

NIETO GIL, JESÚS MARÍA. Como enseñar a pensar. Los programas de desarrollo de las capacidades intelectuales. –España: Ed. Escuela Española, 1997.

OROBIO, HECTOR. Educación matemática y desarrollo del sujeto/ Héctor Orobio Ocoro y Marina Ortiz Legarda. —Colombia.— Ed. Magisterio, 1997.

PALACIO LOPERA, NUVIA AMPARO. Vigotsky: valor pedagógico a la zona de desarrollo próximo. –p. 44-53. –En Avanzada. –N°10. –Medellín, noviembre, 2001.

PARRA, BLANCA.. Dos concepciones de resolución de problemas de Matemática. –p. 22-31. –En Educación Matemática. –Vol.2 N°3. –México, diciembre, 1990.

----------------------- La resolución de problemas en la construcción de esquemas de razonamiento. –p. 58-61. –En Educación Matemática. –vol.3 N°1. –México, abril, 1991.

PEDAGOGÍA 90 (La Habana) Estudio de la flexibilidad del pensamiento en estudiantes de 12° grado–1990.

PEDAGOGÍA 93 (La Habana) El desarrollo de la flexibilidad del pensamiento en la escuela: una vía para optimizar la actividad creadora./ Irela Paz Domínguez. –1993.

PEDAGOGÍA 99 (La Habana) Algunas técnicas de resolución de problemas aritméticos /curso81/ Celia Rizo Cabrera y Luis Campistrous Pérez. –1999.

PEDAGOGÍA 99 (La Habana). La creatividad: en proyección didáctica en la escuela /Juana Teresa Meriño. –1999.

PEÑA RAMÍREZ, JAIME. El proceso de enseñanza aprendizaje en investigación. –p. 13-16. –En Psicología y Sociedad. –Año 4 N°9. –México, septiembre, 1990.

PÉREZ LAZO DE LA VEGA, MARÍA CRISTINA. Estrategia didáctica para la resolución de problemas de geometría descriptiva en la carrera de ingeniería mecánica en cuba. –2001. –Tesis (en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógica), Ciudad de la Habana.

PEREZ RODRÍGUEZ, GASTÓN. Metodología de la investigación pedagógica y psicológica. I parte. / Gastón Pérez Rodríguez e Irma Nocedo León. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1983.

PETROVSKI, A. V. Psicología general. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1978.

-------------------------Psicología General. –Moscú: Ed. Progreso, 1980.

PLATA CASÁIS, A y TRILLO ALONSO, F ¿Qué modelos de enseñanza-aprendizaje adoptan los profesores de Secundaria de Matemáticas? ¿O, cómo los profesores han seguido haciendo lo de siempre pese a la Reforma? –p. 307-324. En Enseñanza. –Vol.19, –España, 2001.

PORRAS, OCTAVIO. Proceso de resolución de problemas aplicando la creatividad. –p. 93-98. –En Psicología Iberoamericana. –Vol. 1, N°1. –México, marzo 1993.

POZO, IGNACIO. Una nueva forma de aprender. –p. 58-65. En Cuadernos de Pedagogía. –Vol.180. –España, abril, 1990.

PRADO DIEZ, DAVID DE. El torbellino de ideas. –La habana: Ed. Academia, 1997.

Programa Director de las Asignaturas Priorizadas para la Enseñanza Primaria. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1989.

QUEVEDO PÉREZ, DELIA.. La solución de problemas en el área de Ciencias Exactas de Secundaria Básica. –2000. –Tesis (en opción al título de Máster en Didáctica de la Matemática). –Instituto Superior Pedagógico Enrique José Varona, La Habana, 2000.

REGUENA, MARCOS. Resolución de problemas algebraicos de las olimpiadas venezolanas de Matemática. Procesos cognoscitivos II parte. –p. 285-302. –En Enseñanza de las Ciencias. –vol.9 n°2. –Venezuela, julio, 2000.

RICO MONTERO, PILAR. Reflexión y aprendizaje en el aula. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1996.

RIZO CABRERA, CELIA. Estrategias didácticas para solucionar los problemas de aprendizaje detectados. Celia Rizo Cabrera, Luis Campistrous Pérez. Tercer Seminario Nacional a Docentes. MINED. Noviembre 2002.

RODRÍGUEZ ROJO, MARTÍN. Credibilidad de la investigación cualitativa o reflexiones sobre qué y cómo observar en un estudio de casos. –p. 119-130. –En Revista Universitaria de Formación de Profesorado. –N° 39. –España, diciembre 2000.

ROLDÁN, JUANITA. Dificultades alternativas en la resolución de problemas matemáticos. Juanita Roldán, Juanita Díaz García, Carmen Méndez-Villamil Camejo. –p. 40-52. –En Educación Matemática. –Vol.8 N°1. –México, abril, 1996.

RUBINSTEIN, S. L. El desarrollo de la Psicología; Principios y Métodos. –La Habana: Ed. Nacional de Cuba, 1964.

RUGARCIA, ARMANDO. Desarrollo de la creatividad por la docencia. –p. 38-48. –Vol. 1, N°1. –México, marzo 1993.

RUIZ SOCARRÁS, JOSÉ MANUEL. Enseñanza por problemas en Matemática en la carrera de Ciencias Exactas. –p. 36-39. –En Enseñanza de las Matemáticas. –Vol.9 N°2. –Venezuela, julio, 2002.

RUVALCABA FLORES, HERMINIA. El objetivo como categoría didáctica. –p. 18-23. –En Academia. –Año 5 N°31. –México, febrero-marzo, 2003.

SCHOENFELD, ALAN H. Ideas y tendencias en la resolución de problemas. —Argentina: Ed. EDIPUBLISA.( Olimpiada Matemática) Argentina, 1991.

SHARDAKOV, M. N. Desarrollo del pensamiento en el escolar. –La Habana: Ed. De libros para la educación, 1978.

SKEMP, RICHARD R. Psicología del aprendizaje de las matemáticas. –España: Ed. Morata, 1980.

SMIRNOV, A. A. Psicología. A. A. Smirnov, A. N. Leontiev, S. L. Rubinstein y B. M. Tieplov. –La Habana: Ed. Universo, 1996.

SIMÓN CONSUEGRA, JOSÉ. Estrategias Psicológicas que Favorecen la Actividad Docente. –En Conferencia presentada en el Primer Encuentro Nacional de Educación y Pensamiento. –República Dominicana, julio, 1998.

TORRES FERNÁDEZ, PAÚL. ¿Cómo redactar una tesis? Recomendaciones Generales. Bolivia: Ed. A.B.,1997

------------------------- La enseñanza problémica de la matemática del nivel medio. –1995. –Tesis (en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico Enrique José Varona, La Habana, 1995.

TORRES LIMA, PASTOR GREGORIO. Influencias de la computación en la Enseñanza de la Matemática. –1997. –Tesis (en opción al grado científico de doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico Capitán Silverio Blanco Núñez, Sanctis Spíritus, 1997.

VARNOM CARTER, SOFÍA. La educación de niños, la construcción de un nuevo proyecto. –p. 30-36. –En Psicología y Sociedad. –Año 2 N°5. –México, enero-marzo, 1989.

VIGOTSKY, L. S. Fundamento de Defectología. Obras Completas. Tomo 5. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1989.

-----------------------Historia del desarrollo de las Funciones Psíquicas Superiores. –La Habana: Ed. Científico Técnica, 1989.

-----------------------Pensamiento y lenguaje. –La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1982.

WALS, ELSA. Las tres erres de la educación se convierten en cuatro: Las escuelas hacen énfasis en el razonamiento. –p. A1-A24. –The Washintong Post. –Estados Unidos, 20 agosto, 1984.

ZILBERSTEIN TORUNCHA, JOSÉ. ¿Diagnosticamos el aprendizaje de nuestros alumnos? –p. 3-6. –En Desafío Escolar. –Año 2. – La Habana, febrero, 1998.

------------------------- Problemas actuales del aprendizaje escolar. –p. 2. –En Desafío Escolar. –Año 1 Vol.0. –La Habana, febrero-abril, 1998.

ZUBIRÍA SAMPER, MIGUEL. Tratado de Pedagogía conceptual 1. –Colombia: Ed. Alberto Meroni, 1994.

ANEXO 1 Problemas que se resuelven mediante la búsqueda de información en una

representación gráfica. (Grupo 1) 1. Determine el color de la figura que se debe colocar en el espacio en blanco.

2. Determine la figura que

3. Determine la figura que

4. Determine la figura que

5. Determine la figura que

se debe colocar en el espacio en blanco.

se debe colocar en el espacio en blanco.

se debe colocar en el espacio en blanco.

se debe colocar en el espacio en blanco.

6. Determine la figura que se debe colocar en el espacio en blanco.

7. Determine la figura q

8. Determine la figura qu

9. Determine la figura qu

ue se debe colocar en el espacio en blanco.

e se debe colocar en el espacio en blanco.

e se debe colocar en el espacio en blanco.

10. Complete los espacios en blanco teniendo en cuenta el patrón observado en los ejercicios anteriores.

11. Complete los espacios en blanco teniendo en c

observado en los ejercicios anteriores. uenta el patrón

12. Los números en estas pelotas siguen un patrón. ¿Cuál es?

13. Completa la pirámide formada por pelotas usando el mismo patrón.

14. a) Completa la tabla atendiendo a la posición de las reglillas. b) Corre la reglilla de abajo dos pasos hacia la derecha (izquierda) y

completa la tabla nuevamente.

15. Completa la tabla atendiendo a la posición de las reglillas.

16. Completa la tabla atendiendo a la posición de las reglillas.

17. Completa los espacios en blanco atendiendo a la posición de las plomadas.

18. Completa los espacios en blanco atendiendo a la posición de las plomadas.

19. Completa los espacios en blanco atendiendo a la posición de las plomadas.

20. Identifica en el cuadrado los números que se pueden representar de una sola manera, igual que el siete.

Representación del número 7

Representación del número 8

21. ¿Cuántas pelotas amarillas hacen equilibrio con la pelota naranja?

22. ¿Cuántas pelotas verdes hacen equilibrio con la pelota naranja?

23. ¿Cuántas pelotas violetas hacen equilibrio con la pelota naranja?

24. ¿Cuántas

pelotas amarillas o cuántas pelotas violetas hacen equilibrio con la

pelota naranja?

n la figura se muestran tres posiciones diferentes de un dado ¿Cuál es el número que se opone al 2?

6. En la figura se muestran tres posiciones diferentes de un dado. ¿Qué número

se opone al 4?

7. Determina el número que va en el centro de la última hoja. Para lograrlo tienes que olocar en esta hoja el número que sobra en cada una de las hojas anteriores.

8. Determina el número que va en el centro de la última hoja. Para lograrlo tienes que

colocar en esta hoja el número que sobra en cada una de las hojas anteriores.

9. Determina el número que va en el centro de la última hoja. Para lograrlo tienes que

colocar en esta hoja el número que sobra en cada una de las hojas anteriores.

25. E

2

2

c 2

2

30.

32.

34. 35.

Retirando un fósforo, ¿cuáles dígitos se pueden formar?

31.

Retirando dos fósforos, ¿cuáles dígitos se pueden formar?

Si retiras un fósforo en la figura representada solo quedarán cuatro triángulos. ¿Cuál es?

33. La figura representada se

construyó con trece fósforos. ¿Coloca la menor cantidad de fósforos de manera que obtengas seis cuadrados?

Si añades tres fósforos a la figura de manera conveniente puedes contar cinco cuadrados. ¿Dónde lo colocarías?

Si en la figura siguiente retiras ra

conveniente, sólo quedarán tres cuadrados. Prueba a hacerlo.

dos fósforos de mane

37.

8. Transforma el pollito de la izquierda en el pollito de la derecha moviendo el botón y la menor cantidad posible de fósforos.

36.

3

r 39. Voltea a tu derecha el perro salchicha moviendo los botones y la menocantidad posible de fósforos.

Si mueves convenientemente dos fósforos en la figura formada, podrás contar seis cuadrados. Indícalos.

¿Dónde colocarías un fósforo para poder contar seis cuadrados?

40. Mueve la menor cantidad de fósforos y el botón, de manera que el pollito pique los granos que están a la derecha.

41. Determina qué símbolos corresponden a los lugares catorce y

die inueve. c

2 . Indique el menor (mayor)recorrido que se puede hacer entre los puntos A y B utilizando los lados de los rectángulos, sin transitar dos veces por el mismo lado.

4

Problemas que se resuelven mediante la búsqueda de alternativas. (Grupo 2) 1. Construye con cinco cuadrículas todas las figuras diferentes que se pueden

obtener, de manera que cada dos cuadrículas tengan un lado común como se muestra en la figura.

2. Dibuja utilizando dos colores, de manera que siempre obtengas cuadrados

diferentes a los anteriores y que cada cuadrícula tenga un solo color.

. . . 3. Dibuja utilizando tres colores, de manera que siempre obtengas cuadrados

diferentes a los anteriores y que cada cuadrícula tenga un solo color.

. . . 4. Dibuja utilizando dos colores, de manera que siempre obtengas cuadrados

diferentes a los anteriores.

. . . 5.

6.

Representa en el tablero geométrico tantos triángulos como te sea posible, de manera que un vértice esté situado en la puntilla que se encuentra en la fila dos y la columna tres.(las filas se cuentan de abajo hacia arriba y las columnas de izquierda a derecha)

Presenta en el tablero geométrico

en la puntilla que se encuentra en la fila cuatro y la columna cuatro.(las filas se cuentan de abajo hacia arriba y las columnas de izquierda a derecha)

tantos cuadrados como sea posible, de manera que un vértice esté situado

7.

8.

Dobla el papel por la línea discontinua para formar las siguientes figuras. Inventa otras.

9.

formas que aparecen a10. Indica cuáles de las bajo se pueden armar al doblar la siguiente figura p laor s líneas discontinuas.

Componga tres

cuadrados iguales

utilizando todas las

piezas que se dan en

Si doblas el triángulo por las líneas discontinuas puedes formar algunas de estas figuras, ¿cuáles?. Inventa otras.

11. Coloca un dígito en cada cuadradito de tal manera que la suma de los números en cada circunferencia sea diferente. Indica cuál es la mayor (menor) suma que se puede obtener.

Equilibra la balanz12. a todas las veces que puedas hacerlo.

13. ¿Cuántas banderas de cuatro franjas se pueden form

diferentes (rojo, amarillo, verde y azul) de tal manera que ar con cuatro colores las franjas verde y roja

no aparezcan juntas?

14. Coloca un número de tres dígitos de manera que el producto de estos dígitos sea

72. Diga todas las posibilidades que tiene de obtener números de tres lugares diferentes.

15. ¿Cuántos triángulos se pueden formar de manera que A sea siempre un vértice de

cada triángulo?

16. Traza tres rectas que dividan al rectángulo en seis regiones, de tal manera que en ellas queden exactamente tres puntos.

cada una de

17. En la figura se muestra una instalación con pasillos dispuestos de esa manera y cada círculo representa una silla. ¿Cuál es la menor cantidad de guardias que se necesitan y en qué sillas deben estar sentados para vigilar todos los pasillos al

mismo tiempo?

18. Observa el precio de los siguientes artículos y responde.

a) Compra con un billete de $5 los artículos que quieras y decide el vuelto que debes llevarte.

b) Compra con $1 un mínimo de tres artículos. c) Compra con otro billete de $5 varios artículos sin que te devuelvan

nada. lección de libros de literatura consta de 150 títulos. El pre de los primeros

da mitad de la colección se vende a $2 cada libro. ¿Cuál es el importe

de toda la colección?

2 s de José Martí tiene 28 ejemplares. Una parte vende en $18 y la otra parte se vende a $4 cada

libro. Si la otra mitad de la colección se vendió en $60, ¿cuál es el importe de la colección?

21. ¿Cuántas gomas de borrar se pueden comprar con $5 si hay gomas de 6 centavos, 9 centavos, 12 centavos, 18 centavos y 36 centavos y ya se compraron 7 gomas por un valor de 20 centavos cada uno?

19. Una co cio juntos es $27 y el precio de los restantes hasta la mitad de la colección es $3 cada

libro. La segun

0. La colección de las obras completade la mitad de la colección se

22. Dispongo de $3 para comprar gomas de borrar. Hay gomas de 5 centavos, 10

23. En un centro comercial se vende aceite en pomos de medio litro, de un litro, de dos litros y de cinco litros. Si para un comedor obrero se necesitan 50 litros de aceite, ¿cuántos pomos se pueden comprar?

Problemas que se resuelven mediante el conteo.(Grupo 3)

cuadrados que apa ecen en las figuras a, b, c y d.

centavos y 20 centavos. Ya se compraron $ 2 de gomas. ¿Cuántas gomas más puedo comprar?

1. Cuenta todos los r

2. Cuenta todos los rectángulos que aparecen en las figuras a, b, c, d, e y f.

3. ¿Cuántos cuadrados observas en la figura?

4. ¿Cuántos segmentos puedes contar en la siguiente figura?

5. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?

6. ¿Cuántas veces está incluida la figura a en la figura b ? ¿qué precio tiene la figura b ?

cantidad de veces que está contenido el triángulo en las7. Determine la siguientes

figuras:

8. Determina los valores que se puede

n alcanzar en las siguientes figuras:

9. ¿Cuántos cubos puedes contar en las siguientes figuras?

10. Completa según convenga la cantidad de líneas rectas que se pueden trazar y

la cantidad correspondiente de partes que se obtienen en el interior de cada circunferencia.

11. Observa las caras visibles del dado y escribe todas las posiciones que pueden tener sus caras opuestas.

minó en el cuadrado de manera que las sumas en cada lado sea diez.

12. Coloca las fichas del do

Coloca las fichas del dominó en el cuadrado de manera que las sumas en cada 13. lado sea igual.

14. Comprueba qué sucede con la suma de los números que están en las ales dia

n de

gon de todos los cuadrados que se pueden formar en la siguiente combinació números.

15.(nueve

16.(cinco

Se tiran dos dados, ¿cuántas posibilidades hay de que la suma sea siete o

diez)? Se tiran tres dados, ¿cuántas posibilidades hay de que la suma sea nueve

o trece)? 17. Indica el cuadrado que tiene mayor (menor) cantidad de puntos en sus vértices.

18. Distribuye los dígitos del uno al seis, uno en cada casilla, de tal manera que las

sumas sean las indicadas.

19. Distribuye los dígitos del uno al seis, uno en cada casilla, de tal manera que las sumas sean las indicadas.

20. Coloque los números del uno al nueve dentro de los círculos sin repetir de modo que la

suma de los dos de abajo sea el doble del círculo que está arriba.

21. Coloca los dígitos del uno al nueve de manera que se obtenga la menor suma posible en cada lado del triángulo.

22. Coloca los dígitos del uno al nueve de manera que se obtenga la mayor suma posible en cada lado del triángulo.

23. Si colocas correctamente en las casillas del cuadrado mágico las cifras del uno al nueve lograrás que la suma de los números que están horizontal, vertical y en la diagonal sea quince.

24. Coloca en cada casilla un número del dos al diez de forma tal que la suma de todos sus lados sea igual a dieciocho.

25. Coloca en cada círculo un número del uno al nueve de manera que la suma de los números de los círculos exteriores sea el doble de la suma de los números de

los círculos interiores.

26. Sustituye los puntos negros por un dígito del cero al nueve de manera qu

al sumar las dos cifras correspondientes cada punta de la estrmismo valor.

e

ella tenga el

27. Coloca en cada parte de las tres pelotas un dígito del uno al nueve de forma

que cada pelota alcance el mismo valor.

bas y ella las reparte por igual entre sus uayabas se comió Roxana?

4. Quiero pagar exactamente $17.50 y tengo en la billetera 40 centavos, un billete de $5, otro de $10 y otro de $20. ¿Cómo puedo lograrlo?

Problemas que se resuelven mediante reflexiones lógicas o por la transformación de las condiciones dadas. (Grupo 4)

1. Ana y Alejandro quieren preparar un mural para el aula y pretenden forrarlo con papel. Ana quiere cortar doscientos centímetros de un rollo que tiene 4 metros de largo. Alejandro bromea: “eso no puede hacerse pues el ejercicio cuatro menos doscientos no lo puedes calcular”. ¿Qué cree usted?

2. Para su cumpleaños Claudia tiene ahorrado $200. Sus padres le compran un cake de $4, una caja de refresco en $25 y ropa por un valor de $135. ¿Qué cantidad de dinero le quedó a Claudia?

3. El papá le trae a Roxana seis guayados primos más pequeños, ¿cuántas g

5. Tengo en un bolsillo $21 para comprar 7 paquetes de galleticasuna y en el otro bolsillo tengo más dinero. ¿Cuánto dinero tengo en total?

6. En una escuela dan 7 libretas y 2 lápices a cada niño. Si 2 niños no alcanzan libreta, ¿cuántos niños hay en la escuela?

7. En un estante hay noventa libros de cuentos. Las novelas y los libros policíacos están en otro estante, ¿cuántos libros ha

de $ 3 cada

y en total? 8. En una escuela dan siete libretas y dos lápices a cada niño y sobran tres

9.

10. hay dos terceros grados. En el grupo A hay 18 alumnos.

.

12.

13. unzún. ¿Cuánto dinero le queda? 14. e 4to B. ¿Cuántos gramos de

15.

16.

17.

18.

19. mo tiempo de Florida para Camagüey a sesenta

20.

21. n tres pedazos. ¿Qué tiempo necesita si quiere cortar una tabla igual en nueve pedazos?

22. Si para una dieta médica se necesita consumir a la semana dos mil miligramos de

vitamina C como mínimo, ¿qué cantidad de este producto se puede comprar?

Anexo 2

Resumen del trabajo científico estudiantil como estudio empírico relacionado con el tratamiento de los problemas en el primer ciclo.

La observación realizada al proceso de enseñanza y aprendizaje de

ta tesis algunas veces de manera directa y otras, a través del

libretas, ¿cuántos niños hay en la escuela? Rafael compra una postal de 30 centavos y una goma de borrar. ¿Cuánto debe pagar en total? En una escuela ¿Cuántos alumnos hay en total en tercer grado en la escuela?

11 Marta tiene 170 sellos y regala algunos a una compañera; el resto los coloca en un álbum. ¿Cuántos sellos coloca Marta en el álbum? Olga compra una tarjeta de un peso, una revista Zunzún y un Pionero. ¿Qué dinero le devolvieron? Carlos tiene $1 y compra una revista ZAl comedor pasaron 23 alumnos de 4to A y 17 darroz consumieron en total estos niños? Al comedor pasaron 23 alumnos de 4to A y 17 de 4to B, también pasaron 6 maestros y 2 auxiliares pedagógicas. ¿Cuántos niños entraron al comedor ese día? ¿Cómo se pueden distribuir cuatro bolas en tres cajitas de manera que en ningún par de cajitas quede igual cantidad de bolas? Una isla está separada de la tierra firme por un canal de dos metros de ancho y para alcanzarla se cuenta con dos listones de madera de 1metro y 80 centímetros cada uno. ¿Cómo colocarías los listones de madera para poder pasar sobre el canal? Un caracol está en el fondo de un pozo que tiene cinco metros de profundidad. Si en el día sube tres metros y en la noche baja dos metros, ¿cuántos días demorará el caracol en salir del pozo? Un ciclista sale de Camagüey a Florida a veinticinco kilómetros por hora y un automovilista salió al miskilómetros por hora. ¿Cuál de los dos está más cerca de Camagüey cuando ambos se encuentran en la carretera? Si un carpintero se demora dos minutos en cortar una tabla en dos pedazos, ¿qué tiempo necesita para cortar esta misma tabla en seis pedazos? Jorge utilizó seis minutos para cortar una tabla e

la Matemática

por el autor de es

trabajo científico estudiantil, se puso al descubierto la escasa actividad que

alizan los niños durante la realización del proceso de búsqueda de la solución de

s problemas, hecho que se da en lo fundamental, porque no dominan las

cnicas y los procedimientos y son excesivamente ayudados y además los

problemas que se les presentan en l ática no son exigentes en

uanto al “esfuerzo cognoscitivo”64 que se requiere y en general responden a la

enominación de problemas rutinarios, asociados casi siempre a los

rocedimientos de solución que se están consolidando en el momento en que se

resentan.

ediante el trabajo científico estudiantil se pudo seguir una secuencia de visitas a

s clases de Matemática en los últimos años, en busca de datos relacionados con

sta investigación, razón por la cual se considera una muestra pequeña en cada

eríodo.

n las primeras observaciones realizadas (veinte) en el curso 1996-97, cuando

obre el tema se encontraban escasos artículos en la revista Educación y se

o s con el título “Cómo enseñar a los alumnos de primaria a

so áticos” y se podía consultar también “Bases

sic eñanza de la solución de problemas matemáticos en la

scuela primaria”, ambos de ó la tendencia a utilizar los

roblemas solo en las clase olidación de los contenidos

orrespondientes a los demá de la asignatura.

sta visión de la utilización de los problemas responde también a la estructura de

s libros de texto elaborados para los niños tradiciona cuales

s problemas aparecen como una aplicación de los con n y

ún se mantiene. Desde entonces en los textos menciona re explica s funciones de los problemas, dentro de las cuales se encuentra la de

esarrollo que no es tenida en cuenta en la concepción de los problemas para

ste tipo de clases.

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opedagógicas de la ens

lmente, mediante los

tenidos que se imparte

dos, Labarre

re

P

e Labarrere, se constat

s de ejercitación y cons

s complejos de materia

p

c

E

lo

lo

a

lade

Labarrere cuando define a los problemas, se refiere al “esfuerzo cognoscitivo” que plica resolver un problema. Ver Bases Psicopedagógicas de la enseñanza de la

solución de problemas matemáticos en la escuela primaria, p 19, 1987.

64

im

Ya en aquellos momentos Labarrere llamaba la atención acerca de los excesos de yuda por parte de los maestros durante la realización del proceso de solución,

uestión observada en las visitas a clases realizadas, que constituye todavía la

rincipal causa de lo que él también denominó como tendencia a la ejecución.

La siguiente etapa ados con esta

vestigación en el curso 1998-99, no tiene mucha variación con respecto a la

etección de las dificultades antes mencionadas, sin embargo, dos hechos hacen

ue se comiencen a tener en cuenta elementos que en cierta medida favorecen el

atamiento de los problemas en la enseñanza primaria.

l primero está relacionado con las orientaciones del Ministerio de Educación,

irigidas a la generalización de las experiencias obtenidas en la aplicación de los

strumentos del LLECE, en los que los items sugieren ejercicios y problemas que

ueven el pensamiento de los niños, por la manera de la presentación y por el tipo

e respuesta de selección que estos exigen.

ste suceso obligó al maestro a reconocer que efectivamente hay otros tipos de

roblemas que desarrollan el pensamiento, en los que las condiciones no

iempre se acompañan de un texto y las exigencias se correspondan o no con un

rocedimiento de solución, conllevan a un proceso de análisis que evita las rutinas

aracterísticas en el tratamiento de los prob mas en el currículo de la Matemática.

l otro hecho de trascendencia fue s bibliotecas escolares de

cuelas primarias del libro “Aprende a resolver problemas aritméticos”

istrous y Rizo, en el que se podían encontrar tres elementos

mentales para enseñar a los niños a resolver problemas: los significados

e las operaciones sobre las relaciones de parte y todo entre los

s, cinco técnicas para aprender a resolver problemas y un procedimiento

eneralizado con el mismo propósito.

as treinta y una observaciones permitieron corroborar además que el tratamiento

e los problemas se hace de manera aislada, sin un fin didáctico predeterminado y

ac

p

del trabajo científico de los estudiantes relacion

in

d

q

tr

E

d

in

m

d

E

p

s

p

c le

la ubicación en la

E

todas las es

de Camp

funda

prácticos d

conjunto

g

L

d

no se seleccionan sistemas de problemas, aún teniendo las características que

stos deben reunir y que aparecen en el texto antes mencionado.

ente en el curso 2000-01 se realizó la observación de 24 clases en

busca de nuevas causas, de la co jecutiva de los niños y los pobres

resultados en el apren s. Una de las causas

etectadas fue la relacionada con el análisis de las condiciones, el cual se realiza

tilizando los propios datos y no las relaciones de parte y todo para facilitar el

conocimiento del significado de la operación de cálculo correspondiente.

tra de las causas que depende directamente del trabajo del maestro en el aula

ara que los niños aprendan a resolver problemas, está relacionado con la no

tilización de técnicas como la lectura analítica y la modelación, propias de la

tapa de orientación del niño en el problema planteado.

n todas las clases visitadas en estos trabajos, el maestro indica las acciones a

alizar lo que obliga a los alumnos a seguir determinados patrones y convierten

ste proceso de solución de problemas en un algoritmo, estas acciones se dirigen

asi siempre mediante la realización de dos o tres preguntas(qué dan, qué piden,

ué operación se debe realizar), cuyas respuestas no conducen a un proceder

decuado y obstaculizan cualquier intento de realización por parte del niño, que

omo resultado se anticipa a la respuesta del problema planteado, tratando de

divinar la operación de cálculo a realizar.

inalmente en el 2003-04 se visitaron un total de 16 clases, dirigidas

ndamentalmente a la etapa de orientación del proceso de solución de problemas,

bservación que permitió corroborar la persistencia de las dificultades antes

encionadas y que se resumió de la siguiente manera:

• las orientaciones dadas para trabajar se esquematizan en la lectura frontal

después que la lectura en silencio no ha dado el resultado esperado y el

tiempo apremia.

• en ocasiones el análisis se realiza directamente de manera frontal, lo que

no es incorrecto si se deja pensar al niño y se conduce con un sistema de

e

Posteriorm

nducta e

dizaje de la solución de problema

d

u

re

O

p

u

e

E

re

e

c

q

a

c

a

F

fu

o

m

impulsos65 coherentes a encontrar las relaciones entre las condiciones y

los datos de manera independiente.

• Existe una tendencia a emplear a los problemas como motivación al

comienzo de la clase, lo que no se logra esencialmente porque dicha

situación no se retoma en el r clase y no se convierte la búsqueda

l

ecesidad. En otros casos la situación p tead ili d so r

poyarse en el contexto que ella brinda y a m rfic

rmativo que debe esta pre en l e

e n l xt cluyendo

ue a c e e st e n su a

niños.

i a a n sibilidad de rl

a y tamp o se an liz po ib ad

s situaciones similare

esto de la

de la solución en la máxima aspiración de los niños o su principa

n lan a es ut za a lo pa a

a d r salida de anera supe ial al

componente fo s te en cada c as .

• Solo se utilizan los problemas que apar ce en os te os, ex

aquellos que tienen asteriscos o q rit rio d l mae ro pu de re lt r

“difíciles” para los

• Después de hallar una solución, no se nd g e la po halla a

por otra vía diferente a la transitad oc a a la s ilid de

generalizar la vía a otra s.

Anexo 3

65 E u tá ir id a n específico qu es se req ie n n n o to a , plo e stímulo directo para bu a d ho c s , pindirecto en cuanto a la solución de la situación dada que es el objbú uCelia Rizo Cabrera y Luis Campistrous Pérez.Ponencia presentada en Redome 5 (Reunión Dominicana de Matemática Educativa). 25 de Abril de 2004. Qué número de fe

s na ayuda, pero muy particular pues es d ig a u fin muye la búsqueda de los recursos que u re e u m men d do or qu opera como un e sc r ic s re ur os ero

eto de la sq eda por parte del alumno.

¿ re rencia es?

cto c t os l Pr u ta id i

ETAPAS DE TRABAJO CON LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

PRIMERA ETAPA

Familiariz ió conlos

ac n

Anexo 4

Aspe s on enid en a op es D áct ca.

pro em s bl a

SEGU D E AP

abajo nt vo nlos problemas

N A T A

Tr i ensi co

TERCERA ETAPA

Aplicación de los r p oblem

Características de los problemas

as

Anexo 5

rga iza n l estu o de casos.

O n ció de di

Etapa de familiarización Orientación

Anexo 6

d de los alumnos en la realización del pre experimento.

Control Inicial

Control Intermedio

Control Final

Control de la activida

Niños Características I II III IV I II III IV I II III IV

Y Búsqueda de alternativas. 1 1 2 2 L Transformación o variación de condiciones. 6 1 2 2 Búsqueda de información en patrones. 7 0 2 2 Conteo inteligente. 8 1 2 2 M Búsqueda de alternativas. 1 0 1 1 S Transformación o variación de condiciones. 6 0 1 1 Búsqueda de información en patrones. 7 0 1 2 Conteo inteligente. 8 1 1 2 Y Búsqueda de alternativas. 1 0 2 2 D Transformación o variación de condiciones. 6 0 1 2 Búsqueda de información en patrones. 7 0 2 2 Conteo inteligente. 8 1 2 2 M Búsqueda de alternativas. 1 0 1 2 Transformación o variación de condiciones. 6 0 1 2 Búsqueda de información en patrones. 7 0 2 2 Conteo inteligente. 8 1 1 2 J Búsqueda de alternativas. 1 0 1 2 C Transformación o variación de condiciones. 6 1 1 2 Búsqueda de información en patrones. 7 0 1 2 Conteo inteligente. 8 1 1 2 Y Búsqueda de alternativas. 1 0 1 2 S Transformación o variación de condiciones. 6 1 1 2 Búsqueda de información en patrones. 7 0 1 2 Conteo inteligente. 8 1 1 2 A Búsqueda de alternativas. 1 0 1 2 S Transformación o variación de condiciones. 6 0 2 2 Búsqueda de información en patrones. 7 0 1 2 Conteo inteligente. 8 1 1 2 F Búsqueda de alternativas. 1 0 2 2 Transformación o variación de condiciones. 6 0 2 2 Búsqueda de información en patrones. 7 0 2 2 Conteo inteligente. 8 1 2 2 Y Búsqueda de alternativas. 1 0 1 2 N Transformación o variación de condiciones. 6 0 1 1 Búsqueda de información en patrones. 7 0 1 2 Conteo inteligente. 8 1 1 1 R Búsqueda de alternativas. 1 1 2 2 L Transformación o variación de condiciones. 6 1 2 2 Búsqueda de información en patrones. 7 0 2 2 Conteo inteligente. 8 1 2 2

cont…

Actividades de las etapas de Familiarización y Trabajo Intensivo.

act 3 act 4 act.5 act 6 act 7 act 8 act 9 act 10 act 11 act 12

act 1 act 2

I I IV IV IV IV I I III III I I I I IV IV II II III III III III

1 2 2 1 1 0 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2

2 1 1 2 2 2 1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2

1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 2 2 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

2 1 1 2 2 2 1 1 2 0 0 1 0 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2

1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

2 2 1 2 2 2 c ont…

Actividades de la etapa de Aplicación.

act 13 act 14 act 15 act 16 act 17 act 18 act 19 act 20

I I I I IV IV IV IV II II II II III III III III

2 2 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2

1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2

2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Anexo 7

Relación de los problemas de cada una de las actividades del

experimento.

Control Inicial. regunta 1: Grupo 1, problema 4.

regunta 2: Grupo 2, problema 23.

regunta 3: Grupo 3, problema 4

Pregunta 4: Grupo 4, problema 2.

ctividades del preexperimento

, problema 8.

ctividad 2

4, problema 3.

Grupo 4, problema 15.

Actividad 3

Grupo 4, problema 12.

Grupo 4, problema 19.

Actividad 4

Grupo 1, problema 33.

Grupo 1, problema 34.

idad 5

rupo 2, problema 1.

ctividad 6

rupo 3, problema 18.

rupo 3, problema 20.

ctividad 7

rupo 1, problema 14.

rupo 1, problema 16.

ctividad 8

rupo 1, problema 21.

Grupo 1, problema 22.

Actividad 9

rupo 4, problema 22.

Actividad 10

P

P

P .

A . Actividad 1

Grupo 1

Grupo 1, problema 10.

A

Grupo

Activ

G

A

G

G

A

G

G

A

G

Grupo 4, problema 4.

G

Grupo 2, problema 18.

Actividad 11

1.

Grupo 3, problema 5.

problema 6.

rupo 3, problema 9.

ontrol intermedio.

1, probl a 42.

problema 14.

Pregunta 3: Grupo 3, problema 14.

4, prob a 21

Actividad 13

40.

problema 41.

rupo 1, problema 12.

13.

10.

Actividad 16

17.

Grupo 4, problema 18.

17

rupo 2, problema 12.

rupo 2, problema 16.

Grupo 2, problema 13.

Grupo 2,

ctividad 19

Grupo 2, problema 21.

Grupo 3, problema

Actividad 12

Grupo 3,

G

CPregunta 1: Grupo em

Pregunta 2: Grupo 2,

Pregunta 4: Grupo lem .

Grupo 1, problema

Grupo 1,

Actividad 14

G

Grupo 1, problema

Actividad 15

Grupo 4, problema 1.

Grupo 4, problema

Grupo 4, problema

Actividad

G

G

Actividad 18

problema 15.

A

Grupo 3, problema 2.

Grupo 3, problema 3.

ctividad 20

rupo 3, problema 21.

Grupo 3, problema 27.

Pregunta 1: Grupo 1, problema 26

upo 2, problema 2.

Pregunta 3: Grupo 3, problema 17.

Pregunta 4: Grupo 4, problema 16.

An o 8

Comportamiento de las respuestas en cada etapa de trabajo.

A

G

Control final.

.

Pregunta 2: Gr

ex

intenta

pero no puede

%

trabaja pero no concluye

%

realización plena del ejercicio

%

Etapa de familiarización. (hasta la actividad No. 4) 17

47 21

59

16

20

Etapa de trabajo intensivo. (hasta la actividad No. 12)

12

8

65

43.3

73

48.7

Etapa de aplicación. (hasta la actividad No. 20)

0

0

43

26.9

117

73.1

020

4060

80100

120

intenta pero nopuede

trabaja pero noconcluye

realización plenadel ejercicio

Etapa defamiliarización.

Etapa de trabajointensivo.Etapa de aplicación.

ategorías alcanzados en cada control

Anexo 9

Resumen de las resultados por c

Control Control Control final Inicial intermedio

0 1 2 0 1 2 0 1 2 Búsqueda de información 10 0 0 0 5 5 0 0 10

Búsqueda d

e alternativas 8 2 0 0 4 6 0 1 9

Conteo

0

10

0

0

6

4

0

1

9

Transformación de condiciones 6

4

0

0

6

4

0

2

8

Total

24

16

0

0

21

19

0

4

36

0

51015202530

3540

Control Inicial ControlIntermedio

Control final

Anexo 10

Comparación de los resultados obtenidos en cada categoría.

Primera categoría: intenta pero no puede realizar el ejercicio(0).

Control inicial %

Control intermed %

Control final %

Leyenda

Intenta pero no puede

Trabaja pero no concluye

Realización plena

del ejercicio

PRIMER GRUPO 10 100 0 0 0 0

SEGUNDO GRUPO 8 80 0 0 0 0

TERCER GRUPO 0 0 0 0 0 0

CUARTO GRUPO 6 60 0 0 0 0

TOTAL 24 60 0 0 0 0 Segunda categoría: trabaja en el ejercicio pero no concluye(1).

Control inicial %

Control intermed %

Control final %

PRIMER GRUPO 0 0 5 50 0 0

SEGUNDO GRUPO 2 20 4 40 1 10

TERCER GRUPO 10 100 6 60 1 10

CUARTO GRUPO 4 40 6 60 2 20

TOTAL 16 40 21 52.5 4 10 Tercera categoría: realiza plenamente el ejercicio(2).

Control inicial %

Control intermed %

Control final %

PRIMER GRUPO 0 0 5 50 10 100

SEGUNDO GRUPO 0 0 6 60 9 90

TERCER GRUPO 0 0 4 40 9 90

CUARTO GRUPO 0 0 4 40 8 80

TOTAL 0 0 19 47.5 36 90

Anexo 11

Resumen de los resultados obtenidos en cada control realizado

intenta

pero no puede

%

trabaja pero no concluye

%

realización plena del ejercicio

%

Primer control. 24

60

16

40

0

0

Segundo control. 0

0

21

52.5

19

47.5

Tercer control. 0

0

5

12.5

35

87.5

253035

101520

Primer control.Segundo control.Tercer c

50

intenta pero nopuede

trabaja pero noconcluye

realizaciónplena delejercicio

ontrol.

Control intermedio

Control final

Anexo 12

Control Inicial

0 1 2 0 1 2 0 1 2 Búsqueda de información

10

0

0

0

5

5

0

0

10

Búsqueda de alternativas

8

2

0

0

4

6

0

1

9

Conteo

0

10

0

0

6

4

0

1

9

Transformación de condiciones 6

4

0

0

6

4

0

2

8

Total

24

16

0

0

21

19

0

4

36

Resultados de la aplicación de la prueba de rangos y pares señalados de Wilcoxon. Ho: No existen diferencias significativas entre el control inicial y final.

Probabilidades asociadas Control inicial VS Control final

Búsqueda de información 0,00000234 ** Búsqueda de alternativas 0, 000021 ** Conteo

0,000145 **

Transformación de condiciones 0, 022 * p<0,05 *; p<0,01 ** *: Diferencias significativas. **: Diferencias muy significativas.

Anexo 13 GUIA DE ENTREVISTA AL MAESTRO.

OBJETIVO. Obtener información sobre el criterio que tiene la maestra acerca

re la

olución de los problemas, antes del experimento.

e en

n las

en la solución de los problemas ?

. - ¿ Explique si usted considera que tiene implicaciones en los resultados

relacionados con la solución de problemas?

. - ¿ Cuáles son las principales deficiencias observadas por usted en el

roceso

de solución de problemas?

GUIA DE ENTREVISTA AL MAESTRO.

de la enseñanza de la Matemática en su grupo y especialmente sob

s

CUESTIONARIO.

1. -¿Cuáles son las principales deficiencias que a su juicio inciden

desfavorablemente en la Enseñanza de la Matemática en su grupo?

2. - ¿En qué medida usted considera que la solución de problemas incid

estos

resultados desfavorables?

3. - ¿ En qué aspecto pudiera cambiar esta situación si se elimina

deficiencias

4

5

p

Anexo 14

OBJETIVO. Obtener información sobre el criterio que tiene la maestra acerca

de la enseñanza de la Matemática en su grupo y especialmente sobre la

n

2. - ¿En qué medida usted considera que la aplicación de la Alternativa

individual y

Anexo 15

Encuesta a Especialistas

solución de los problemas, después del experimento.

CUESTIONARIO.

1. -¿Considera que se hallan producidos cambios cualitativos que incida

favorablemente en la Enseñanza de la Matemática en su grupo? ¿ Cuáles?

Pedagógica relacionada con la solución de problemas incida en estos

resultados favorables?

3. - ¿ En qué aspectos ha cambiado la solución de los problemas en lo

lo colectivo?

Nombre:__________________________________________________

Lic. en Educación Si____ No____ Año_________

Maestro _______ J de ciclo_______ Metodólogo_______

Años de experiencia______ 1er ciclo______ 2do ciclo______

Profesor del ISP_______ Profesor adjunto al ISP______

Estimado Maestro:

Como parte del trabajo encaminado a perfeccionar el tratamiento de los

problemas en la asignatura Matemática, tanto en lo relacionado a la dirección

del proceso por parte del maestro, como al papel que le corresponde asumir a

los niños en dicho proceso, con el fin de que estos se apropien de estrategias,

técnicas y procedimientos en favor de una mayor independencia en el

desarrollo de este proceso, se realizan investigaciones por parte de los

profesores del ISP José Martí de Camagüey.

La investigación que realiza Maximiliano Companioni Masdeu tiene como

propósito, la utilización de determinados problemas considerados dentro del

grupo de los problemas no rutinarios, en los que los niños deben emplear

estrategias, técnicas y procedimientos de solución, que promueven la actividad

intelectual intensa en el campo de los conocimientos matemáticos que tiene y

de otros que se promueven con la actividad que realicen en la solución de los

mismos.

La propuesta metodológica que ponemos a su consideración en relación con

las características de esto problemas y de la actividad que se debe desplegar

en la solución de los mismos se resume de la siguiente manera:

• En la solución de los problemas se deben utilizar procedimientos no

rutinarios, como los de conteo, de seguimiento de patrones, búsqueda de

información visual en dibujos y modelos y otros.(ver ejemplos)

• En la propuesta aparecen problemas con una solución, con varias

soluciones, sin solución mientras no se transformen las condiciones dadas

y otros problemas no rutinarios.

• La forma de organización del aula debe propiciar el libre intercambio y la

comunicación en todos los sentidos entre los alumnos y entre estos y el

maestro.

• Los métodos que se utilicen deben favorecer la actividad sin límite de los

niños en busca de la vía o las vías de solución de los problemas, sobre la

base de los impulsos que el maestro le ofrezca.

• El empleo de estos problemas puede hacerse en combinación con los

problemas escolares, a partir de la elaboración de sistemas de problemas

con determinada intención didáctica.

Después de conocer los detalles de la propuesta en cuestión, quisiéramos que

opinara, de manera libre, abierta, en términos de aspectos positivos,

negativos y de duda o cuestionamiento, sobre cada uno de los elementos

que se le darán a continuación, y al final de cada uno de ellos hiciera una

valoración en una escala creciente de 1 a 5 (de menor a mayor satisfacción con

la propuesta) para lo cual se le incluye al final una tabla con ese fin.

1. Posibilidad de utilizar estos problemas en la enseñanza de la solución de

problemas en la Matemática de la escuela primaria.(utilización de técnicas y

procedimientos y estrategias como “la búsqueda de información en patrones” )

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

2. Relación que tiene con algunos procedimientos de la Matemática del nivel

primario como son el conteo de números y figuras geométricas, el cálculo con

números naturales, la identificación de figuras geométricas y otros.

(ver problemas 6,7,8 y 9)

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

3. Posibilidad de ampliar la representación que tienen los niños del concepto de

problema en la asignatura Matemática.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

4. Contribución de la propuesta a la Etapa de Orientación, mediante la búsqueda

de información en patrones, modelos y otros dibujos. (ver problemas 1,2 9 y 10)

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

5. Contribución de la propuesta al logro de una participación activa de los

niños en el proceso de solución de problemas.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

6. Novedad de la propuesta.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

7. Valoración Global de la propuesta.

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

En la tabla siguiente puedes sintetizar cada uno de los aspectos considerados

en la encuesta entrevista, y recuerda que debes valorarlos en una escala

creciente de 1 a 5 ( de más baja opinión a más alta opinión) teniendo en

cuenta los criterios expuestos en la parte teórica acerca de lo que se espera a

partir de los presupuestos establecidos.

ASPECTOS CONSIDERADOS EN

LA Encuesta (Bajo)

1 2 3 4 (Alto) 5

Posibilidad de utilizar los problemas.

Relación de los problemas con los procedimientos de la Matemática.

Posibilidad de ampliar la representación que tienen acerca del

concepto de problema. Contribución de estos problemas a la Orientación de los alumnos en e proceso de solución.

Se logra la participación activa de los niños en el proceso de solución de los problemas.

Novedad de la propuesta. Valoración Global de la propuesta Si desea añadir alguna otra cuestión relacionada con la propuesta no abordada

hasta ahora puede hacerlo de manera sintética

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

¡Gracias por su colaboración!

Ejemplos de problemas.

1.Completa la tabla atendiendo a la posición de las reglillas. c) Corre la reglilla de abajo dos pasos hacia la derecha (izquierda) y

completa la tabla nuevamente.

2. Determina el número que va en el centro de la última hoja. Para lograrlo tienes que colocar en las esquinas de esta hoja, un número que sobra en cada una de las hojas anteriores.

3. La colección de las obras completas de José Martí tiene 28 ejemplares. Una parte

de ella se vende en $18 y la otra parte de la mitad de la colección se vende a $4 cada libro. Si la otra mitad de la colección costó $30, ¿cuál es el importe de la colección?

4. ¿Cuántas gomas de borrar se pueden comprar con $5 si hay gomas de 6 centavos, 9 centavos, 12 centavos, 18 centavos y 36 centavos y ya se compraron 7 gomas por un valor de 20 centavos cada uno?

5. En un centro comercial se vende aceite en pomos de medio litro, de un litro, de dos litros y de cinco litros. Si para un comedor obrero se necesitan 50 litros de aceite, ¿cuántos pomos se pueden comprar?

6. Coloca un número de tres dígitos de manera que sus productos sean 72. Diga todas las posibilidades que tiene.

7. ¿Cuántos triángulos se pueden formar de manera que A sea siempre un vértice de

cada nuevo triángulo?

8. ¿Cuántos rectángulos se pueden contar en la figura?

9. Indica el cuadrado que suma mayor cantidad de puntos en sus vértices.

10. Si añades tres cerillos a la figura de manera conveniente puedes contar cinco

cuadrados. ¿Dónde lo colocarías?

11. Para su cumpleaños Claudia tiene ahorrado $200. Sus padres le compran un cake

de $4, una caja de refresco en $25 y ropa por un valor de $135. ¿Qué cantidad de dinero le quedó a Claudia?

12. Tengo en un bolsillo $21 para comprar 7 paquetes de galleticas de $ 3 cada una y en el otro bolsillo tengo más dinero. ¿Cuánto dinero tengo en total?

Anexo 16

Caracterización de los especialistas

Años de experiencia De 5 a 10

años

De 10 a

20 años

Más de 20

años

Profesor Adjunto al ISP

Categoría científica

Maestros

2

7

1

un

diplomados

Jefes de ciclo

2

2

2

dos

diplomados

Metodólogos 1 5 6 dos

diplomados,

una

maestría

Profesores de ISP 5 tres

maestrías

Anexo 17 Resumen de la consulta con especialistas. Índice porcentual por aspectos consultados.

ASPECTOS CONSIDERADOS EN LA Encuesta

(Bajo) 1

2 3 4 (Alto)

5

No tiene aceptación

Tiene baja aceptación

Se conside ra acep table

Se considera muy acep table

Se conside ra nota blemen te acep table

Índice por cen tual

Posibilidad de utilizar los problemas.

1

4% 3

12%

3

12%

18

72%

88.8

Relación de los problemas con los procedimientos en Matemática.

3

12%

2

8%

20

80% 93.6

Posibilidad de ampliar la representación del concepto de problemas.

3

12%

4

16%

18

72% 92

Contribución a la Orientación en el proceso de solución de problemas.

3

12%

3

12%

19

76% 92.8

Contribución a la participación activa en el proceso de solución.

4

16%

3

12%

18

72% 91.2

Novedad de la propuesta.

3

12%

3

12%

19

76% 92.8

Valoración global de la propuesta.

1

4%

4

16%

20

80% 94.4

Anexo 18

Relaciones entre la actividad, las acciones y las operaciones.

Condiciones Operación

Acción

Motivo

Objetivo

Actividad

Anexo 19 Comportamiento de los indicadores en cada una de las actividades.

Control inicial.

Problema 1 0_ no identifica el color y el tamaño. 1_ reconoce las características tamaño y color, pero da la respuesta equivocada. Solo reconoce una de dos características de manera correcta. 2_ reconoce la combinación de tamaño y color que se da en el ejercicio. Problema 2 0_ no puede responder el problema. 1_ encuentra una solución y no puede seguir, se muestra inseguro. 2_ encuentra varias soluciones, de un mismo precio y de varios precios a la vez.

Problema 3 0_ no puede responder el problema. 1_ cuenta solo los segmentos sencillos, es decir no reconoce los segmentos compuestos por dos más segmentos. 2_cuenta los segmentos sencillos y además todos los segmentos compuestos que se dan en la figura. Problema 4 0_ no puede responder el problema o realiza un cálculo arbitrario. 1_ da como solución el cero o el dinero que había reunido la niña. 2_ reconoce que las condiciones son insuficientes y da las dos variantes posibles respecto a si el dinero utilizado fue o no el que tenía ahorrado la niña.

Actividad 1

Problema 1 0_ no identifica el color y la forma. 1_ reconoce las características forma y color, pero da la respuesta equivocada. Solo reconoce una de dos características de manera correcta. 2_ reconoce la combinación de forma y color que se da en el ejercicio. Problema 2 0_ no reconoce el patrón que se debe seguir en el ejercicio. 1_ reconoce el patrón pero no puede llenar los espacios en blanco. 2_ completa el cuadro atendiendo al patrón reconocido, incorporando otra figura.

Actividad 2

Problema 1

0_ no puede responder el problema. 1_ la respuesta solo incluye o deja de incluir a la niña. 2_ en la respuesta se dan alternativas de solución en la que se mencionan ambas posibilidades, expresando dudas acerca de las carencias que se dan en las condiciones. Problema 2 0_ no puede responder el problema. 1_ la solución es una simple suma de los datos numéricos dados en el problema. 2_ Se reconoce la insuficiencia en las condiciones del problema presentado respecto al dato del resto de los niños de la escuela o la mención en la pregunta de os niños de cuarto grado solamente.

Actividad 3

Problema 1 0_ no puede dar una respuesta. 1_ la respuesta se refiere a la ausencia de datos en las condiciones respecto a el precio de los dos artículos o a la cantidad de dinero que entregó. 2_ reconoce la ausencia de ambos datos en las condiciones del problema. Problema 2 0_ no puede responder el problema. 1_ toma en cuenta el lugar de origen, la velocidad de ambos móviles o la distancia entre uno y otro extremo y realiza cálculos para fundamentar que la distancia es la misma. 2_ solo se refiere a que el lugar de encuentro guarda una misma distancia con relación a los extremos.

Actividad 4

Problema 1 0_ no entiende cómo se deben colocar los fósforos. 1_ hace el intento y logra dar variantes de soluciones con más de dos fósforos, favorezcan o no las condiciones. 2_ encuentra la verdadera solución del problema planteado, con solo dos fósforos. Problema 2 0_ no entiende cómo se deben colocar los fósforos. 1_ hace el intento y logra dar variantes de soluciones obteniendo más cuadrados de los exigidos, siempre que se conserve esta última condición, es decir, que las figuras obtenidas en cada propuesta sean siempre cuadrados. 2_ encuentra la verdadera solución del problema planteado, colocando de manera acertada los tres fósforos.

Actividad 5

0_ no tiene comprende lo que se pide y por tanto no sabe por donde comenzar. 1_ obtiene algunas figuras nuevas y otras repetidas. 2_ pudo realizar el problema, obteniendo la mayoría de las figuras o todas, sin repetir alguna. * la cantidad de repeticiones de las figuras demuestra deficiencias en el reconocimiento de la información que se brinda y con ello en la comprensión del problema.

Actividad 6

Problema 1 y 2 0_ no encontró la relación entre los dígitos y por tanto no soluciona el problema. 1_ realiza varios intentos y obtiene soluciones parciales, pero no coloca bien los dígitos. 2_ encuentra la solución del problema que se ajusta a las condiciones descritas.

Actividad 7 Problema 1y 2 0_ no encuentra las relaciones entre la representación y el cuadro donde aparece la exigencia del problema. 1_ aunque reconoce las características de la numeración en cada reglilla, no logra establecer las relaciones entre los elementos correspondientes de las reglillas o se equivoca en el llenado de algunos espacios en blanco. 2_ hace el ejercicio, llenando los espacios en blanco en cada caso.

Actividad 8

0_ no encuentra el rasgo que caracteriza la representación mostrada. 1_ encuentra relaciones entre cada ilustración, pero de manera aislada, que no logra integrar. 2_ encuentra las relaciones y además las integra, utilizando expresiones como “si...entonces...”

Actividad 9

Problema 1 0_ no resuelve el problema al no darse cuenta de las insuficiencias que se dan en las condiciones del mismo. 1_ reconoce las insuficiencias que se dan en las condiciones del problema, sin embargo, no encuentra la manera de resolverlas. 2_ propone cambiar las condiciones del problema y reformularlo o proponer el cambio del billete más grande. Problema 2

0_ no resuelve el problema al no darse cuenta de las insuficiencias que se dan en las condiciones del mismo. 1_ reconoce las insuficiencias que se dan en las condiciones del problema, sin embargo, no encuentra la manera de resolverlas. 2_ propone cambiar las condiciones del problema y reformularlo.

Actividad 10

Problema 1 0_ no entiende lo que debe hacer, al no encontrar las relaciones entre los datos. 1_ obtiene una solución, pero no es capaz de reconocer otras posibles soluciones. 2_ realiza el problema al buscar varias soluciones en cada inciso. Problema 2 0_ no entiende lo que debe hacer, al no encontrar las relaciones entre los datos. 1_ obtiene una solución, pero no es capaz de reconocer otras posibles soluciones. 2_ realiza el problema al buscar varias soluciones a partir del precio que tienen las gomas, e incluso combina los datos para obtener variantes.

Actividad 11

Problema 1 0_ no puede realizar el conteo. 1_ solo puede contar los cuadrados unidad y aisladamente alguno formado por más de un cuadrado. 2_ puede contar todos los cuadrados posibles, siguiendo generalmente un orden. Problema 2 0_ no puede realizar el conteo. 1_ solo puede contar los cuadrados unidad y aisladamente alguno formado por más de un cuadrado. 2_ puede contar todos los cuadrados posibles, siguiendo generalmente un orden.

Actividad 12

Problema 1 0_ no puede realizar el conteo. 1_ en algunos casos logra superponer mentalmente la figura A y obtiene algunas soluciones. 2_logra superponer la figura todas las veces que se puede. Problema 2 0_ no puede realizar el conteo. 1_ solo logra contar los cubos que se pueden ver a simple vista.

2_logra contar todos los cubos en cada caso.

Control intermedio.

Problema 1 0_ No entiende lo que representa el dibujo. 1_ a pesar de intentarlo varias veces, le falta siempre más de un segmento o transita más de una vez por el mismo segmento. 2_ reconoce cómo hacer más largo el recorrido. Problema 2 0_ no realiza el problema. 1_ encuentra a lo sumo una solución para el problema. 2_ encuentra todas las posibles soluciones que tiene el problema, haciendo combinaciones en las que pueden o no repetirse las cifras. Problema 3 0_ no realiza las operaciones, pues no encuentra los cuadrados. 1_ identifica algunos cuadrados, con ayuda del cálculo. 2_ identifica todos los cuadrados y realiza las sumas según lo indicado. Problema 4 0_ no responde el problema. 1_ la respuesta no es acertada al querer dividir el tiempo entre la cantidad de pedazos en que se corta la tabla. 2_ resuelve el problema, ilustrando además la situación como recurso adicional.

Actividad 13

Problema 1 0_ no reconoce relación entre el texto y el dibujo. No entiende lo que se representa. 1_ logra deshacer la figura y coloca algunas piezas pero al no dejar referencia no concreta la construcción hacia el otro lado. 2_ realiza el ejercicio moviendo solo las piezas necesarias. Problema 2 0_ no encuentra el rasgo que identifica la sucesión de marcas. 1_ se equivoca por un espacio como máximo. 2_ logra la ubicación de las marcas en el espacio indicado según corresponde.

Actividad 14

Problema 1 y 2 0_ no encuentra el rasgo que identifica la composición presentada. 1_ comprende la relación que se da entre los números en el primer modelo pero no logra transferirlo al segundo modelo.

2_ resuelve el ejercicio transfiriendo la relación entre los números al segundo modelo y reconoce varias formas de lograr la misma relación en este modelo.

Actividad 15

Problema 1 0_ no encuentra la vía para resolver el problema 1_ no encuentra la respuesta correcta, sin embargo lo intenta tratando de ilustrar la situación. 2_ encuentra la respuesta del ejercicio e incluso ilustra la situación, lo que favorece la búsqueda de la solución. Problema 2 0_ trabaja con los datos que le dan, manifestando tendencia a la ejecución y no lo resuelve. 1_ reconoce que le faltan datos, pero no asocia este hecho a la solución del problema, no sabe cómo hacerlo. 2_ comprende que la ausencia de datos impide dar una respuesta al problema planteado y ofrece sugerencias para transformar el problema para poder resolverlo.

Actividad 16

Problema 1 y 2 0_ no encuentra la vía para resolver el problema 1_ no encuentra la respuesta correcta, sin embargo lo intenta tratando de ilustrar la situación. 2_ encuentra la respuesta del ejercicio e incluso ilustra la situación, lo que favorece la búsqueda de la solución.

Actividad 17

Problema 1 0_ no sabe cómo comenzar pues no comprende las relaciones entre los pesos y la acción de equilibrar. 1_ logra formar uno o dos pares de grupos que hagan equilibrio, para lo cual necesita de muchos impulsos. 2_ forma todas o la mayoría de las parejas de grupos que hacen equilibrio entre sí. Problema 2 0_ intenta pero no logra dividir los puntos atendiendo a las condiciones. 1_ realiza una división de los puntos con imprecisiones. 2_ traza las tres rectas de manera que se cumple la condición dada.

Actividad 18

Problema 1 0_ no comprende la orden, aunque realiza algunos intentos.

1_ logra realizar algunas banderas, haciendo varias repeticiones. 2_ dibuja más del 80% de las banderas dando el indicio de que pueden ser formadas otras más y reconoce un orden en la distribución de los colores, sin repetir banderas iguales. Problema 2 0_ no encuentra la manera de enlazar los puntos para obtener triángulos. 1_ intenta pero solo reconoce algunos que son evidentes. 2_ traza todos los triángulos o al menos en una cantidad superior al 80% y reconoce que aún se pueden construir otros triángulos.

Actividad 19 Problema 1 y 2 0_ no da la respuesta correcta. 1_ solo tiene en cuenta los cuadrados convencionales, por lo que equivoca la respuesta. 2_ al encontrar todos los posibles cuadrados que se forman en la figura logra dar la respuesta acertada y es capaz de seguir un orden en el conteo.

Actividad 20

Problema 1 0_ no sabe cómo colocar los números. 1_ obtiene la posición de uno o dos lados del triángulo al colocar los números, pero los otros lados no cumplen las condiciones exigidas. 2_ obtiene la posición correcta de los números en cada lado del triángulo. Problema 2 0_ no sabe cómo colocar los números. 1_ al no reconocer las relaciones que se da entre la suma de los dígitos, intenta realizando varias combinaciones pero no encuentra la solución. 2_ al encontrar la suma la divide en tres partes iguale, agrupando a los números que lleguen a la cantidad requerida.

Control Final

Problema 1 0_ no reconoce el rasgo mediante el cual se relaciona la colocación de los dados. 1_ reconoce que solo falta el dos, pero no está seguro de la posición que le corresponde. Es capaz de seguir una secuencia, pero no llega al resultado final. 2_ reconoce el dos explicando la correspondencia entre las caras del dado. Problema 2 0_ no comprende lo que significa dibujar con dos colores para obtener varias posibilidades. 1_ encuentra algunas soluciones. Sobrepasa los diez minutos de trabajo.

2_ encuentra todas las posibles variantes y sigue un orden en un tiempo que no excede los diez minutos. Problema 3 0_ no da la respuesta correcta. 1_ solo tiene en cuenta los cuadrados convencionales, por lo que equivoca la respuesta. 2_ al encontrar todos los posibles cuadrados que se forman en la figura logra dar la respuesta acertada y es capaz de seguir un orden en el conteo. Problema 4 0_ no sabe como realizar el problema. 1_ trata de ilustrar la situación, pero se ajusta a la idea de que en cada caja halla al menos una bolita. 2_ encuentra la solución acertada.

Anexo 20 Ejemplos de actividades con el uso de problemas no rutinarios.

I Objetivo: Continuar el tratamiento de los problemas en los que se deben transformar las condiciones del problema. Se realiza breve comentario sobre los problemas que quedaron en la actividad anterior, reflexionando acerca de qué es lo que impide dar solución a los problemas analizados en esa actividad, es decir, la ausencia de datos y la falta de relación entre los datos que se dan y entre estos y la incógnita. Es preciso insistir en que es muy importante antes de comenzar a operar con los datos de un problema, buscar las relaciones, así como, la suficiencia o no de los datos que se ofrecen en este para no cometer errores. Se presentan las siguientes situaciones relacionadas entre sí:

Al comedor pasaron 23 alumnos de 4º.A y 17 alumnos de 4º.B ¿Cuántos gramos de arroz consumieron en total los niños?

Al comedor pasaron 23 alumnos de 4º.A y 17 alumnos de 4º.B. También pasaron 25 personas entre maestros y auxiliares. ¿Cuántos niños entraron ese día al comedor?

El análisis de estas situaciones se debe apoyar en las siguientes preguntas: -¿De qué tratan ambas situaciones? En la primera: -¿Qué se dice sobre la entrada de personas al comedor? -¿Qué se pregunta? -¿Existe alguna relación entre las condiciones del problema y la pregunta? En este problema se pide un “todo” que no tiene que ver con las partes y su contenido. -¿Es posible resolver la situación? En la segunda situación: -¿Qué se dice de los comensales? -¿En los datos están incluidas todas las personas que deben pasar al comedor ese día? En este problema se pide el “todo”, pero las partes no son suficientes. Se les orienta la siguiente actividad:”escribe alguna conclusión sobre estos dos problemas que se refiera a por qué no tienen solución”. A continuación se propone un problema:

En una biblioteca hay 108 estantes que contienen 79 libros cada uno y 93 estantes con 52 libros cada uno ¿ Cuántos estantes hay en la biblioteca?

El análisis se apoya en las siguientes preguntas: -¿De qué trata? -¿Qué dice acerca de los estantes y de los libros? -¿Qué pregunta sobre los estantes? -¿Qué necesito saber para dar la respuesta al problema? -¿Están todos los datos? -¿Sobran datos? -¿Cuáles? Como se puede apreciar, al tratar de buscar relaciones entre los datos y la pregunta del problema puede suceder que no exista esa relación, que no estén los

datos suficientes o que haya datos de más, por eso es necesario estar alerta de cada una de estas situaciones. ¿Qué se puede decir de los problemas resueltos en la actividad de hoy? Por último, se proponen los problemas siguientes para que los resuelvan y luego escriban lo que han analizado acerca de la solución de estos problemas:

Para su cumpleaños, Claudia tiene $200 en su alcancía. Sus padres le compran un cake de $40, una caja de refrescos en $25 y ropas por un valor de $135. ¿Qué cantidad de dinero le quedó a Claudia en la alcancía?

El papá le trae a Roxana 6 guayabas y ella las reparte por igual entre sus dos primos más pequeños. ¿Cuántas guayabas se comió Roxana?

II Objetivo: Continuar el tratamiento de los problemas en los que se deben

transformar las condiciones del problema.

-Se explica que la actividad está dedicada totalmente al trabajo independiente de

los niños. Ellos van a resolver los ejercicios propuestos siguiendo las orientaciones

que se precisan a continuación:

1.- Lee detenidamente. Relee si es necesario.

2.- Descompone el problema en dos partes: lo que se dice y lo que se pide (la

pregunta).

3.- Responde las preguntas:

¿Hay relación entre lo que me dicen y lo que me preguntan?

¿Con ayuda de segmentos puedo representar la situación?

4.- Resuelve si es posible.

5.- Responde las preguntas del problema después de comprobar el resultado.

A continuación los problemas propuestos:

En un estante hay 90 libros de cuentos. Las novelas y los libros policíacos están en otros estantes. ¿Cuántos libros hay en esta biblioteca?

En la cocina hay una cesta con dos docenas de panes y además hay 4 platos con 10 galletas cada uno ¿Cuántas galletas hay en la cocina?

El papá de Cristina tiene 2 listones de madera de 95 cm. Y 87 cm. Respectivamente. Cada listón debe ser de 60cm. ¿Cuántos centímetros de más tiene cada listón?

Después de un tiempo prudencial para que los equipos trabajen de manera

independiente, se recoge un trabajo escrito realizado por cada equipo y

posteriormente se sigue por el mismo orden las indicaciones en cada problema.

Primero lo realizarán en los equipos y luego una breve revisión colectiva.

Para la próxima actividad los alumnos deben resolver el siguiente problema:

Problema 21 del grupo 1

III

Objetivo: Continuar el tratamiento de problemas combinados de dos o más grupos.

Para comenzar la actividad se comenta la tarea orientada, ofreciendo algunos impulsos que permitan registrar las ideas seguidas por los alumnos en la búsqueda de la solución. ¿Recibieron ayuda de algún adulto? ¿Se sintieron incapaces de hacerlo? ¿Alguien no entendió las condiciones del problema? ¿Cómo se puede decir lo que está escrito en los dibujos? ¿Cómo pensaron para resolver el problema? ¿Buscaron las relaciones de derecha a izquierda o de izquierda a derecha? Se precisa la conveniencia de hacer el análisis de atrás hacia delante en la solución de este problema. Se orienta que los problemas de esta y las próximas actividades pueden tener estas características por lo que se exhorta a estar alertas y a no dejarse vencer por las dificultades que estas puedan tener. Se presentan los siguientes problemas:

Problema 18, grupo 4. En este caso se sugiere que representen en un segmento vertical el recorrido realizado por el caracol, dejando bien precisado lo que cada día avanza. Se compara la solución así obtenida con la respuesta dada en aquella ocasión. Se destaca la necesidad de utilizar modelos siempre que no encontremos la vía.

Problema 29, grupo1. Las indicaciones deben estar dirigidas a: ¿Cuáles son las condiciones y qué se pide? ¿Qué relaciones se dan en las condiciones que no están dichas en el problema? ¿Cómo se pueden aplicar estas relaciones a los números de la última hoja?

Problema 10, grupo 3. a) Cómo se pueden trazar 4 segmentos para obtener 11 partes? Las indicaciones deben estar dirigidas a: ¿Cuáles son las condiciones que se dan en el problema y cuál las preguntas? ¿Hay otra manera de trazar 2 (3) segmentos en la circunferencia? ¿Están trazados los tres segmentos de manera que haya la menor (mayor) cantidad de partes? Transfiere la misma idea al trazado de 4 segmentos en la última circunferencia. Como se puede apreciar en estos problemas hay que buscar los medios que le permita abordar el problema, es decir, no basta con poner en relación directa las condiciones con la pregunta, sino, que se precisen encontrar otras relaciones que se dan entre los datos y muchas veces volviendo hacia atrás. Finalmente se deja indicada la situación siguiente para el trabajo independiente en sus casas.

Un ciclista sale de Camagüey hacia Florida, a 25 km/h y un automovilista sale a la misma hora desde Florida hacia Camagüey, a 60 km/h. ¿Cuál de los dos está más cerca de Camagüey cuando ambos se encuentran en la carretera?

IV

Objetivo: Continuar el tratamiento con los problemas en los que la información se

da a través de modelos y dibujos y los que dan varias soluciones.

Se comienza realizando algunas preguntas para conocer cómo reflexionaron en la solución de los problemas que se dejaron en la actividad anterior: -¿Qué datos se dan y cuál es la pregunta? -¿Hicieron una representación de la situación con ayuda de segmentos? -¿Para qué sirven los datos sobre la velocidad de ambos vehículos? -¿Pudieron reconocer la relación entre el modelo y la pregunta? -¿Es necesario operar con los números? -¿Qué se puede concluir acerca de los datos numéricos en este problema? Hacer el siguiente comentario: Los datos no dicen siempre todo lo que se necesita para resolver el problema y en ocasiones, enmascaran la información necesaria para encontrar la vía de solución. En esta actividad también se analizarán problemas que tienen esta peculiaridad respecto a la información que brindan.

Se presenta el primer problema para el cual debe confeccionarse un medio de enseñanza con la orden siguiente:

Problema 9, grupo 1. Al finalizar el trabajo en los diferentes ejercicios del problema los alumnos deben concluir que “no es suficiente la orden pues la información concreta debe buscarse en el modelo”. A continuación se presentan los siguientes problemas: Continuar el tratamiento de los problemas en los que se deben transformar las

condiciones del problema.

Problema 14, grupo 1. Problema 7, grupo 3. Problema 8, grupo 3.

En cada caso se deben presentar los impulsos siguientes: -Determina las condiciones y las preguntas del problema. -Determina las condiciones que no aparecen escritas en la orden a través de las ilustraciones.

-Escriba algunas instrucciones que te permitan resolver el ejercicio.

Debe lograrse que los alumnos elaboren las instrucciones necesarias para resolver cada uno de los ejercicios indicados. Esto puede quedar como se ilustra a continuación:

1.- Determina el aumento en cada reglilla.

2.- Fija las correspondencias que se establecen.

3.-Teniendo en cuenta estas correspondencias determina las demás correspondencias.

Se debe concluir que en este tipo de problemas “las condiciones hay que encontrarlas en la información visual que se ofrecen”.

Como ejercicio para el trabajo independiente se orienta el siguiente:

Problema 15, grupo 1.

V Objetivo: Comenzar el tratamiento de los problemas que requiere la utilización de alternativas en la búsqueda de la solución La actividad debe comenzar con juegos de mesa como dominó, parchí, dados, etc. Y posteriormente se plantea el siguiente problema:

Observa las caras visibles del dado y escribe las posibles soluciones de sus caras opuestas:

Se puede apoyar escribiendo las alternativas de las caras opuestas: arriba-abajo, frente-fondo, lateral, izquierdo-derecho.

-¿Qué se puede decir de la exigencia de este problema, qué la caracteriza?

-¿Es única la solución?

-¿Depende la solución de que se haga alguna operación aritmética?

-¿Qué limita la cantidad de soluciones que tiene el problema?

Se explica que este tipo de problemas se realiza fundamentalmente a base de combinaciones que son posibles o probables según las condiciones que las precisan. A continuación se presentan otros problemas relacionados con los juegos de azares y el dominó. En la solución deben traban trabajar los alumnos en grupos de a cuatro.

Se tiran 3 dados: ¿Cuántas posibilidades hay de que la suma de los valores obtenidos en cada dado sea 7 (9 ó 10)?

a) Menciona en cada caso 3 posibilidades de que no sea la suma indicada. b) ¿Cuántas posibilidades hay de que sea la suma indicada pero sin repetir

los números? Problema 12, grupo 3. Problema 25, grupo 1.

Se apoya la solución con los impulsos siguientes:

Para el primer problema:

-¿Cuántas veces puedo tirar los dados?

-¿Se puede saber el resultado que voy a obtener antes de tirar los dados?

-¿Cuántas veces puede salir el resultado que se quiere y cuántas veces puede no salir?

Para el segundo problema:

-¿Qué me dan y qué me piden?

-¿Se puede decir este problema de otra manera?

-¿Puedo colocar la misma ficha 2 veces?

-¿Tiene que ver el orden en que coloque las fichas?

Para el tercer problema:

-Determina qué número se opone al 5.

-Determina qué número se opone al 3.

-Determina qué número es el que falta.

Finalmente, se les dice a los alumnos: “también en los juegos de mesa como en tiro de dados y el dominó aparecen muchos problemas interesantes. Coméntalo en tu casa y trae algún problema relacionado con estos juegos”.

VI Objetivo: Continuar el tratamiento de los problemas que requieren la utilización de alternativas en la búsqueda de solución.

Esta actividad se dedicará a la solución independiente y por equipos (4 alumnos) de los problemas de combinatoria que aparecen en el libro de texto de cuarto grado. A continuación se elabora junto con los niños el sistema de acciones que debe seguir en todos los casos:

1.- En cada caso determina las partes del problema.

2.- Analiza todas las posibilidades que se pueden obtener atendiendo a las condiciones. Establece un orden cuando analices todas las posibilidades para que no se quede ninguna.

3.- Reformula la situación si lo crees necesario.

4.- Escribe también de manera ordenada todas las respuestas.

5.- Compara las respuestas entre sí, algunas son parecidas y te pueden ayudar a encontrar posibles errores.

Seguidamente, se orientan los problemas siguientes del libro de texto de cuarto grado:

Ejercicio 86, página 83. Ejercicio 40, página 94. Ejercicios 1 al 7, página 139. Ejercicio 48, página 9.

El control se realizará con intercambio de integrantes de todos los equipos para propiciar el intercambio de ideas.

VII Objetivo: Continuar el tratamiento de los problemas que requieren la utilización de alternativas en la búsqueda de la solución.

Para el comienzo de la actividad se forman grupos de cuatro niños y se orienta el análisis del siguiente problema:

Problema 23, grupo 2.

Se analizan las respuestas dadas por los alumnos y se hacen precisiones con ayuda de algunas preguntas:

-¿Provoca alguna dificultad en el comedor el tipo de envase que se utilice?

-¿Sea cualquiera el envase utilizado, cuál es la cantidad que se necesita?

-¿Qué cantidad de pomos se debe comprar?

-¿Es importante ahora tener en cuenta el recipiente?

-¿Por qué?

-¿Será la misma cantidad de pomos si contienen medio litro que si contienen un litro, dos litros o cinco litros?

Estas interrogantes son las que los niños tienen que hacer cuando se enfrenten a un problema de este tipo.

Seguidamente se debe repasar el significado práctico de la división: “repartir el todo conociendo el contenido de las partes”.

A continuación se presentan algunos problemas similares:

¿Cuántas gomas de borrar se pueden comprar con $5.00 si hay gomas de 6 centavos, 9 centavos, 12 centavos, 18 centavos y 36 centavos si ya se compraron 7 gomas por el valor de 20 centavos cada una? Ojo con el grado...Celia

Dispongo de $3.00 para comprar caramelos. Hay caramelos de 5 centavos, 10 centavos y 20 centavos. Si ya había comprado 4 caramelos de 50 centavos, cuántos caramelos más puedo comprar?

Ejercicio # 72, página 162 del libro de texto de cuarto grado. El trabajo en estos problemas puede hacerse con una lectura global de todos y después una lectura analítica buscando definir en cada uno las partes, para sintetizar la manera en que se presentan y poder definir que pertenecen a un mismo tipo y que por tanto la vía de solución es común. Aquí es importante que los alumnos encuentren las respuestas de las siguientes preguntas:

-¿Qué me dan y cuál es la exigencia?

-¿Qué conozco sobre lo que me dan?

-¿Con lo que se compró inicialmente en el caso de los dos primeros problemas se agotó el dinero ?

-¿El dinero que me queda lo tengo que dividir en partes iguales?

-¿Existe un solo contenido para las partes que debo obtener?

-¿La solución que se obtiene será única?

-¿De qué dependen entonces las soluciones que se obtengan?

-¿Puedo combinar el contenido de las partes para obtener nuevas soluciones?

Después de obtenida las soluciones se deben resumir las características de estos tipos de problemas y el procedimiento para obtener la solución.

Como actividad final se invita a los alumnos a que consulten con sus padres la solución del siguiente problema en el trabajo independiente:

Una colección de libros de literatura consta de 150 títulos. El precio de los primeros juntos es $27.00 y el precio de los restantes hasta la mitad de la colección es $3.00 cada libro. La segunda mitad de la colección se vende a $2.00 cada libro. ¿Cuál es el importe de toda la colección?

VIII Objetivo: Continuar el tratamiento de los problemas con alternativas de solución, combinándolos con los problemas escolares.

Se comienza la actividad dividiendo en dos partes el grupo. Cada subgrupo designará a un alumno para que trabaje en la pizarra. En la solución de las tareas, se les permitirá a los alumnos que de forma ordenada les den sugerencias al compañero que los representa en la pizarra.

Los problemas seleccionados para comenzar la actividad son los siguientes:

Problema 72, página 162 del libro de texto de 4º. Grado. Laura tiene en su alcancía igual número de monedas de $1, de $0.40 y de $0.20. En total tiene $32. ¿Cuántas monedas tiene de cada una?

Problema 20, grupo 3 En cada caso se puede apoyar el análisis colectivo con preguntas de impulso:

-¿Qué significa que tenga igual número de cada una de las monedas?

-¿Si en total tiene $32, esto significa que debe tener también 32 monedas?

-¿Qué significado tiene la pregunta del problema?

-¿Qué piensas hacer para resolver este problema?

Para el segundo problema:

- Coloque en hilera todos los números del1 al 9.

-¿Qué relaciones se dan en estos números?

- Coloca en hileras separadas los números pares y los números impares.

-¿Cuántos números pares y cuántos números impares hay?

- Trata de encontrar alguna relación entre ellos que te pueda ayudar. - Cuenta en cada hilera la cantidad de círculos que hay. - Insiste nuevamente en encontrar la relación entre los números que se

piden en el problema. Seguidamente y a modo de competencia entre los mismos equipos que ya estaban formados, se resolverán los siguientes problemas:

Equipo 1

Problema 34, grupo 1. Problema 21, grupo 3.

Equipo 2

Problema 35, grupo 1. Problema 22, grupo 3.

En la pregunta relacionada con la obtención de cuadrados es importante llamar la atención sobre los siguientes aspectos: -¿Es necesario operar con los números? -¿Qué tamaño deben tener los 3 cuadrados que se forman? La solución del resto de los problemas puede ser apoyada por las siguientes preguntas: -¿Por dónde se pueden comenzar a ubicar los números? -¿qué debes tener en cuenta para continuar colocando los restantes números? - Inténtalo una vez más si no logras el resultado que esperas. - Prueba otra variante, etc. Para finalizar la actividad se les indica, que los ejercicios que a continuación se

orientan para el trabajo independiente deben ser resueltos en compañía de los

adultos:

Problema 25, grupo 3. Problema 25, grupo 3