Resolução das Equações de Conservação da Massa, Energia e Momento em Termos de

Pressão, Título Mássico e Fração de Vazio para um Tubo Evaporador Utilizando o

Modelo de Drift Flux

Luís Henrique Gazeta de Souza Márcia Regina Vieira de Araújo

Diretoria de Ciências Exatas, Universidade Nove de Julho – UNINOVE Campus Santo Amaro

04752-005, São Paulo, SP E-mail: lhzeta@uninove.br, marcia.araujo@uninove.br,

Resumo: Os processos de transferência de calor com mudança de fase estão presentes em muitos dispositivos industriais como máquinas (bombas e turbinas) térmicas, tubos microaletados, e trocadores de calor em geral. Na mudança de fase, tem-se como característica, uma configuração bifásica, ou seja, fluido e vapor. Este trabalho tem por objetivo desenvolver uma formulação para a equação da conservação da massa, momento e energia acoplada com as correlações retiradas da teoria dos escoamentos multifásicos para um Tubo Evaporador. Para desenvolver a formulação, foi utilizado o modelo Drift Flux Model. Um tubo evaporador recebe calor em seu perímetro e água escoa em seu interior havendo trocas de calor por convecção. A saturação do líquido ocorre de forma a aparecer bolhas que escoam juntamente com a fase líquida. Foi modelado o problema com hipóteses consideradas por Wallis (1969) onde as correlações obtidas a partir de experimentação, foram utilizadas para a produção de um sistema com as variáveis (x, α, P) que foram denominadas, respectivamente, por título mássico, fração do vazio e pressão. Os resultados que foram analisados, indicaram que, se aumentado o calor na parede do tubo, nota-se que a coluna de vaporização diminui na mesma proporção se fosse considerado o modelo de escoamento homogêneo. Os dados do título mássico e fração do vazio podem ser ajustados a partir das variáveis pressão e fluxo de calor, indicando uma vantagem para o método. Verifica-se que trabalhar e manipular as equações de Drift é algo que permite uma rápida compreensão do fenômeno a ser estudado e ainda diante das inúmeras definições existentes, fica fácil a manipulação algébrica para modelar qualquer problema nesta ótica. A partir desta análise é possível verificar a possibilidade da intensificação da transferência de calor, essenciais para as novas tecnologias industriais e sua aplicabilidade em estudos na prospecção de petróleo, por exemplo.

Palavras-chave: Tubo Evaporador; Modelo de Drift Flux; Escoamento Bifásico, Simulação Numérica.

1. INTRODUÇÃO

Os tubos evaporadores se encontram na indústria nas mais variadas formas de aplicabilidade, como em radiadores, ar condicionado, serpentinas para intensificação de transferência de calor como em geladeiras, câmaras frigoríficas e em trocadores de calor em geral. Um evaporador é qualquer superfície de transferência de calor na qual o liquido volátil é vaporizado com o objetivo de remover calor de um espaço ou produto refrigerado. Como gás e líquido escoam nos tubos evaporadores, uma abordagem para se conhecer fisicamente e numericamente as grandezas envolvidas neste problema, é utilizar o Modelo Drift Flux Model.

Wallis (1969) iniciou os estudos sobre escoamento multifásico e construiu várias relações constitutivas algébricas que descrevem tais escoamentos. Essas relações serão utilizadas neste trabalho para descrever uma coluna de vaporização em termos de fração do vazio (α), título mássico (x), e pressões (P) essenciais para melhoramentos de intensificação dos processos de transferência de calor bem como para escoamentos com fases diferentes escoando em

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um mesmo tubo, como por exemplo, Petróleo e Gás Natural. Whalley (1996) aplicou a teoria das correlações de escoamento multifásico para descrever processos bifásicos. Neste trabalho, será utilizado as equações da conservação da massa, momento e energia, juntamente com as correlações constitutivas de escoamentos multifásicos denominado Drift Flux Model para encontrar as variáveis (α, x, p) na situação de saturação do fluido água. As bolhas formadas escoam juntamente com o líquido e trocam calor por convecção com as paredes do tubo.

A fração do vazio e o título mássico indicarão o ponto do tubo evaporador em que só haverá vapor, e as porcentagens de gás existente desde a saturação até o final deste processo. Os dados apresentados a seguir indicarão as dimensões do tubo evaporador que será estudado neste artigo e que foram fornecidos por Wallis (1969) que conseguiu ótimos resultados somente com as correlações algébricas. O Programa Computacional Engineering Equation Solver – EES foi utilizado para as simulações numéricas necessárias e o Software Excell da Microsoft foi empregado para apresentação gráfica dos resultados obtidos e discutidos neste trabalho. 1.1 DESCRIÇÃO DO SISTEMA TUBO - EVAPORADOR

Considere como constantes arbitradas ao problema: diâmetro do tubo (D), área da seção

transversal do tubo (A), vazão mássica de entrada (W), massa específica da água e ar ( steamwater ρρ , ) entalpia da água e do ar (hf, hg) e fluxo de calor na parede do tubo (q0).

Dados: smKgG2/1,0= , KPaP 5000 = , waterf Gj ρ/0 = ,

GAW = , D = 0,1m

g=9,8m/s2.

Parâmetros da relação Constitutiva de Drift: Cd = 1,2 e gDUd 35,0=

As entalpias e as densidades da água e do vapor que são constantes no problema se referem a

valores de saturação a uma dada pressão inicial KPaP 5000 = como já informado acima. Esses valores são fornecidos pelo Programa Computacional Engineering Equation Solver – EES.

Figura1: Esquema representativo de um tubo evaporador retilíneo

2. FORMULAÇÃO DO MÉTODO NUMÉRICO

As equações governantes do problema ilustrado na Figura 1 são as equações da conservação da massa, momento e energia, apresentadas a seguir para escoamentos bifásicos:

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{ } 0])1([1

])1([ =−+∂

∂+−+

∂

∂Auu

SAtffggfg ρααρρααρ

(2.1)

{ } +−∂

∂−=−+

∂

∂+−+

∂

∂

A

P

S

PAuu

SAuu

t

mpsffggffgg τρααρρααρ ])1([

1])1([ 22

sfg g])1([ ρααρ −++ (2.2)

++−++∂

∂=−++− )]

2

1ˆ()1()

2

1ˆ([])1([ 220

fffgggffggsc uuuu

tuug

A

Pqρααρρααρ

+−++∂

∂+ Auuhuuh

SAffffgggg ])

2

1ˆ()1()2

1ˆ([1 22 ρααρ

(2.3)

2.1 FORMULAÇÃO RESULTANTE DAS HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS PARA EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA

Observando a equação (2.1), nota-se que o termo transiente deve ser desprezado em virtude da hipótese de regime permanente do problema. Desta forma a equação de conservação da massa fica na forma

{ } 0])1([1

=−+∂

∂Auu

SAffgg ρααρ

(2.1.1)

Tomando a relação de fluxo volumétrico onde α

g

g

ju = e 1

f

f

ju

α=

− pode-se escrever,

{ } 0][ =+∂

∂Ajj

Sffgg ρρ

(2.1.2)

Integrando toda a equação em relação a S (direção onde ocorre o escoamento) e observando a

relação AjjWWW ffgggf )( ρρ +=+= , pode-se escrever

WAjj ffgg =+ )( ρρ (2.1.3)

onde (2.1.3) representa a equação da conservação da massa referente ao problema.

2.2 FORMULAÇÃO RESULTANTE DAS HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS PARA EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO

Observando a equação (2.2), nota-se que o termo transiente deve ser desprezado em virtude da hipótese de regime permanente do problema. A tensão de cisalhamento na parede também será desprezada. Desta forma, a equação (2.2) fica simplificada na forma

{ } sfgffgg gS

PAuu

SA])1([])1([

1 22 ρααρρααρ −++∂

∂−=−+

∂

∂ (2.2.1)

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Utilizando as relações de α

g

g

ju = , 1

f

f

ju

α=

− e 222 αgg uj = pode-se reescrever o termo da

derivada em relação a S de (2.2.1) da seguinte forma,

Ajj

Auuf

f

g

gffgg ]1

[])1([22

22

αρ

αρρααρ

−+=−+ (2.2.2)

Sabe-se que AjW ggg ρ= e AjW fff ρ= e que XWWg = e WXW f )1( −= então,

deve-se escrever a seguinte expressão abaixo

Wj

xXjjWjW fgffgg ]

1)1([

1 αααα −−+=

−+ (2.2.3)

Reescrevendo a equação da conservação do momento, tem-se,

sfg

fgg

S

PW

jx

Xj

SA])1([]

1)1([

1ρααρ

αα−++

∂

∂−=

−−+

∂

∂ (2.2.4)

Integrando a equação (2.2.3) em relação a S no intervalo de [0, S] a equação final da Conservação

do Momento fica:

∫∫

−++

∂

∂−=

−−+

∂

∂S

sfg

Sfg

dsgS

PdsW

jx

Xj

SA00

])1([]1

)1([1

ρααραα

(2.2.5)

e

dsgAPPAWj

jx

XjS

sfgf

fg

∫ −+−−−=−−

−+

0

00 ])1([)(]1

)1([ ρααραα

(2.2.6)

2.3 FORMULAÇÃO RESULTANTE DAS HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS PARA EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Tomando a equação (2.3), nota-se que o termo transiente deve ser desprezado em virtude da hipótese de Regime permanente do problema. O termo da energia cinética pode ser desprezado, pois se comparado a entalpia, é muito pequeno e por isso pode ser desprezível. Assim, escreve-se,

{ }AuhuhSA

uugA

Pqfffgggffggs

c ]ˆ)1(ˆ[1

])1([0 ρααρρααρ −+∂

∂=−++−

(2.3.1)

Reescrevendo o termo de influência gravitacional utilizando as relações α

g

g

ju = ,

α−=

1f

f

Ju obtém-se,

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ffggffgg jjuu ρρρααρ +=−+ )1( (2.3.2)

Reescrevendo também o termo da derivada em relação a S utilizando as relações de α

g

g

ju = e

α−=

1f

f

Ju tem-se;

AjhjhAuhuh fffgggfffggg ][]ˆ)1(ˆ[ ρρρααρ +=−+ (2.3.3)

Sabe-se que AjW ggg ρ= e AjW fff ρ= e que XWWg = e WXW f )1( −= então a

equação (2.3.3) fica,

fgffggfffggg hWXhXWhWhWAjhjh ˆ)1(ˆˆˆ][ −+=+=+ ρρ (2.3.4)

Colocando estes resultados na Equação (2.3.1), tem-se;

{ }fgffggsc hWXhXW

SAjjg

A

Pq ˆ)1(ˆ1][0 −+

∂

∂=++− ρρ

(2.3.5)

Integrando a equação (2.3.5) em relação a S no intervalo [0, S], consegue-se então a equação da

energia procurada,

{ }∫∫

−+

∂

∂=

++−

S

fg

S

ffggsc dshWXhXW

SAdsjjg

A

Pq

00

0 ˆ)1(ˆ1][ ρρ

[ ] { }0

0

0ˆˆ)1(ˆ][ ffg

S

ffggsc hhWXhXWdsjjgASPq −−+=+−− ∫ ρρ

(2.3.6)

Após a finalização da escrita das equações da conservação da massa, da energia e momento em

termos das variáveis PX ,,α , percebe-se que além das três variáveis têm-se ainda como variáveis nas

equações fj e lj totalizando três equações e cinco incógnitas. Para resolver este problema será

utilizado algumas relações constitutivas aplicadas ao modelo de Drift para reescrever fj e lj em

termos de PX ,,α obtendo o seguinte sistema:

{ }

0 0

0

0 0

0

( )

[ (1 ) ] ( ) [ (1 ) ]1

ˆ ˆ ˆ[ ] (1 )

g g f f

Sg f

f g f s

S

c s g g f f g f f

j j A W

Xj jX j W A P P A g ds

q P S A g j j ds XWh X Wh h

ρ ρ

αρ α ρα α

ρ ρ

+ =

+ − − = − − − + −−

− − + = + − −

∫

∫

(2.3.7)

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3. RESULTADOS

Para resolver o sistema de equações (2.3.7) foi utilizado o Software Engineering Equation Solver – EES. Dispondo estas equações no software e construindo um modelo computacional foram obtidos diferentes valores para a fração do vazio, título mássico e pressão.

As integrais que estão descritas no sistema (2.3.7) foram avaliadas numericamente pelo software proposto. O Método de integração foi escolhido pelo software de acordo com a complexidade do sistema. Apresentam-se agora, dois conjuntos de gráficos que mostram a variação de S (tamanho da coluna de vaporização) e q0 (fluxo de calor).

3.1 GRÁFICO DO TÍTULO MÁSSICO versus COMPRIMENTO DE VAPORIZAÇÃO VARIANDO q0

Figura 2: Gráfico do Título Mássico versus Comprimento de Vaporização variando q0

3.2 GRÁFICO DA PRESSÃO versus COMPRIMENTO DE VAPORIZAÇÃO VARIANDO q0

Figura 3: Gráfico da Pressão versus Comprimento de Vaporização variando q0

Observa-se que na Figura 2 o título aumenta conforme aumenta o comprimento da coluna, fato este possível, pois na medida em que o escoamento avança na coluna, maior quantidade gás será obtida, uma vez que a temperatura de saturação do líquido foi atingida logo no início do escoamento. Estes resultados corroboram as simulações já realizadas com o modelo homogêneo produzidos por Nemoto (2009) onde os comprimentos obtidos da coluna de vaporização diferem na ordem de 10-2.

A Figura 3 mostra a queda de pressão a partir de 500000 Pa (inicial) até 233804 Pa na saída da coluna que se dará a 26,52 metros ao atingir título igual 1. É uma função decrescente conforme aumenta a coluna de escoamento para fluxo de calor 200 W/m2. Aumentando o fluxo de calor na parede, a pressão mantém decrescimento, porém a pressão de saída da coluna é maior em detrimento do comprimento da coluna de vaporização, que diminui.

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4. CONCLUSÕES

Na resolução deste problema, muitas aproximações nas equações de conservação da massa, momento e energia foram feitas para atender o problema de forma simplificada. Sob as hipóteses de Drift, muitas relações foram trabalhadas no intuito de se ajustar o sistema definido pelas equações (2.3.7) em algo plausível de resolução através de um método numérico. Este método numérico, definido pelo software EES resolveu a contento o sistema de equações e colocou os resultados de forma simples para ser apurado.

Quando medido o título mássico até a vaporização percebe-se que o comprimento da coluna de vapor diminui à medida que se aumenta o calor na parede de tal forma que se pudéssemos aumentar o calor na parede indefinidamente, obteríamos o comprimento da coluna de vapor próximo de zero. A fração do vazio neste trabalho sempre será 10% do valor do título mássico, obedecendo às condições de saída da coluna de vapor.

A pressão dentro neste sistema sempre sofrerá decaimento. Na medida em que se adiciona calor na parede do tubo, menor a coluna de vaporização e por consequência menor o decaimento da pressão.

Os resultados de Wallis (1969) correspondem aos valores encontrados nos gráficos descritos anteriormente e também corroboram os resultados de Nemoto (2009) que resolveu o mesmo problema pelo Método Homogêneo. Não é possível realizar as comparações de resultados, pois na bibliografia se utiliza apenas correlações obtidas experimentalmente. O que foi utilizado aqui acoplou correlações fundamentais obtidas empiricamente com modelos diferenciais. Neste contexto, é fácil verificar que trabalhar e manipular as equações de Drift é algo possível e que permite uma rápida compreensão do fenômeno a ser estudado e ainda, diante das inúmeras definições existentes, fica fácil a manipulação algébrica para modelar qualquer problema nesta ótica de acordo com qual variável se pretende obter e analisar. Todavia, o método computacional se torna mais robusto e exige mais tempo de operação.

5. REFERÊNCIAS [1] R. H. NEMOTO; Dedução da equação de propagação da fração de vazio e estudo do comportamento da massa específica de uma partícula de fluido em função do tempo para um tubo evaporador, Trabalho da Disciplina Escoamento Multifásico, Departamento de Engenharia Mecânica - USP, 2009. [2] G. B. WALLIS, One-dimensional Two-phase Flow,1a. Edição, MacGraw-Hill Book Company, 1969. [3] P. B. WHALLEY, Two-Phase Flow and Heat Transfer, Oxford: Oxford University Press, 1996.

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