Resoluo de exerccios propostos do Livro GEOMETRIA ANALTICA, de Alfredo

Steinbruch e Paulo Winterle

CAPTULO 2: Vetores no R2 e no R3

Seo 2.8

Problemas Propostos

1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor

v = (2,-5),

sabendo que sua origem o ponto A(-1, 3).

Seja B(x, y) a extremidade do segmento,

ABABv

)5,2(

)3,1(),()5,2(

yxv

)3,1()5,2(

yxv

21x

53 y

2;1 yx

v = (1,-2).

2) Dados os vetores

u = (3, -1) e

v = (-1, 2), determinar o vetor

w tal que:

a) 4(

u -

v ) + 3

1 w = 2

u -

w

Soluo:

3

1 w +

w = 4(-

u +

v ) + 2

u

uvuww 2443

3

3

1

vuw 423

4

vuw4

12

4

6

)2,1(3)1,3(2

3),( yx

)63(2

3,

2

9),(

yx

2

12

2

3,

2

6

2

9),( yx

2

15,

2

15),( yxw .

b) )34(2)2(3

uwuvw

Soluo

uvuww 2683

uvww 7283

uvw 725

uvw5

7

5

2

)1,3(5

7)2,1(

5

2),(

yxw

5

7,

5

21

5

4,

5

2),( yxw

5

7

5

4,

5

21

5

2),( yxw

5

11,

5

23),( yxw

3) Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5) e C(3, -1), calcular

ABOA ,

BCOC e

CBBA 43 .

][][ ABOAABOA

)]3,1()5,2[()]0,0()3,1[(

ABOA

)]35,12[()]3,1[(

ABOA

)2,3()3,1(

ABOA

)23,31(

ABOA

)1,4(

ABOA

][][ BCOCBCOC

)]5,2()1,3[()]0,0()1,3[(

BCOC

)]51,23[()]1,3[(

BCOC

)6,1()1,3(

BCOC

)61,13(

BCOC

)5,2(

BCOC

][4][343 CBBACBBA

= ]44[]33[ CBBA

= )]1,3(4)5,2(4[)]5,2(3)3,1(3[

= )]4,12()20,8[()]15,6()9,3[(

= )]420,128[()]159,63[(

= )24,4()6,9(

= )246,49(

)30,5(43

CBBA

4) Dados os vetores

u = (3,-4) e

v = (4

9 ,3), verificar se existem nmeros a e b tais

que

u = a

v e

v = b

u .

Se:

vau )3,4

9()4,3( a

)3,4

9()4,3( a

a

Pela igualdade de vetores

34

9

a

43 a

e

3

4

9

34

a

3

4a .

Prova

:

vau )3,4

9(

3

4)4,3(

= ( 33

4,

4

9

3

4 )

= (3, -4). CQP.

Se:

ubv )4,3()3,4

9( b

)4,3()3,4

9( bb

Por igualdade de vetores

4

93 b

34 b

4

3

43

9

b

4

3b .

Prova

ubv )4,3()3,4

9( b

)4,3(4

3)3,

4

9(

= ( 44

3,3

4

3 )

= ( 3,4

9 ). CQP.

5) Dados os vetores

u =(2,-4),

v =(-5, 1) e

w = (-12, 6), determinar k1 e k2 tal que

w = k1

u + k2

v .

(-12, 6) = k1(2, -4) + k2(-5, 1)

= (2k1, -4k1) + (-5k2, k2)

= (2k1 5k2, -4k1 + k2)

Por igualdade de vetores

2k1 5k2 = -12

-4k1 + k2 = 6

Usando a 2 equao

K2 = 6 + 4k1

Substituindo na 1 equao

2k1 5(6 + 4k1) = -12

2k1 30 20k1 = - 12

- 18k1 = -12 + 30

k1 = 18

1230

k1 = -1.

E k2 = 6 + 4(-1)

k2 = 2.

Prova

(-12, 6) = -1(2, -4) + 2(-5, 1)

= (-2, 4) + (-10, 2)

= (-2 -10, 4 + 2)

= (-12, 6). CQP.

6) Dados os pontos A(-1, 3), B(1, 0), C(2, -1), determinar D tal que

DC =

BA .

D = (x, y)

Se

DC =

BA

C D = A B

(2, -1) (x, y) = (-1, 3) (1, 0)

(2 x, -1 y) = (-1 1, 3 0)

= (-2, 3)

Por igualdade de vetores

2 x = -2

-1 y = 3

x = 4 e y = -4.

D = (4, -4).

Prova

C D = A B

(2, -1) - (4, -4) = (-1, 3) - (1, 0)

(2 4, -1 + 4) = (-1 1, 3 0)

(-2, 3) = (-2, 3). CQP.

7) Dados os pontos A(2, -3, 1) e B(4, 5, -2), determine P tal que

PBAP .

Seja P = (x, y, z)

Se

PBAP P A = B P

P + P = A + B

2P = A + B

2(x, y, z) = (2, -3, 1) + (4, 5, -2)

(2x, 2y, 2z) = (2 + 4, -3 + 5, 1 2)

= (6, 2, -1)

Por igualdade de vetores

2x = 6 x = 3

2y = 2 y = 1

2z = -1 z = 2

1

P(3, 1, 21 ).

Prova

P A = B P

(3, 1, 21 ) - (2, -3, 1) = (4, 5, -2) - (3, 1,

21 )

(3 2, 1 + 3, 21 - 1) = (4 3, 5 1, -2

21 )

(1, 4, 21

22 ) = (1, 4,

24

21 )

(1, 4, 23 ) = 1, 4,

23 ). CQP.

8) Dados os pontos A(-1, 2, 3) e B(4, -2, 0), determine o ponto P tal que

ABAP 3 .

Se

ABAP 3 P A = 3(B A) Seja P(x, y, z)

(x, y, z) (-1, 2, 3) = 3[(4, -2, 0) (-1, 2, 3)]

(x + 1, y 2, z 3) = 3(4 + 1, -2 -2, -3)

= 3(5, -4, -3)

= (15, -12, -9)

Por igualdade de vetores

x + 1 = 15 x = 14

y 2 = -12 y = 10

z 3 = -9 z = -6

P(14, -10, -6).

Prova

ABAP 3 P A = 3(B A)

3(B A) = P A

(15, -12, -9) = (14, -10, -6) (-1, 2, 3)

= (14 + 1, -10 - 2, -6 3)

= (15, -12, -9). CQP.

9) Determinar o vetor

v sabendo que (3, 7, 1) + 2

v = (6, 10, 4) -

v .

Se (3, 7, 1) + 2

v = (6, 10, 4) -

v

2

v +

v = (6, 10, 4) ( 3, 7, 1)

3

v = (6 3, 10 7, 4 1)

v = 3

1 (3, 3, 3)

v = (1, 1, 1)

Prova

(3, 7, 1) + 2

v = (6, 10, 4) -

v

(3, 7, 1) + 2(1, 1, 1) = (6, 10, 4) (1, 1, 1)

(3, 7, 1) + (2, 2, 2) = (6 1, 10 1, 4 1)

(3 + 2, 7 + 2, 1 + 2) = (5, 9, 3)

(5, 9, 3) = (5, 9, 3). CQP.

10) Encontrar os nmeros a1 e a2 tais que

2211 vavaw , sendo 1

v = (1, -2, 1), 2

v =

(2, 0, -4) e

w = (-4, -4, 14).

Se

2211 vavaw

(-4, -4, 14) = a1(1, -2, 1) + a2(2, 0, -4)

= (a1, -2a1, a1) + (2a2, 0, -4a2)

= (a1 + 2a2, -2a1, a1 4a2)

Por igualdade de vetores

a1 + 2a2 = -4 a2 = 32

24

2

4 1

a

-2a1 = -4 a1 = 2

a1 4a2 = 14

Prova

2211 vavaw

(-4, -4, 14) = a1(1, -2, 1) + a2(2, 0, -4)

= 2(1, -2, 1) + -3(2, 0, -4)

= (2, -4, 2) + (-6, 0, 12)

= (2 6, -4 + 0, 2 + 12)

= (-4, -4, 14). CQP.

11) Determinar a e b de modo que os vetores

u = (4, 1, -3) e

v = (6, a, b) sejam

paralelos.

Condio de paralelismo

ba

31

6

4

Ento

a

1

6

4

2

3

4

6a e

b

3

6

4

2

9

4

)3(6

b

Prova

29

23

31

6

4

9

)3(2

3

2

3

2

9

6

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2 . CQP.

12) Verificar se so colineares os pontos:

a) A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1)

ABAB

= (2, 1, 3) (-1, -5, 0)

= (2 + 1, 1 + 5, 3 0)

= (3, 6, 3)

BCBC

= (-2, -7, -1) (2, 1, 3)

= (-2 2, -7 1, -1 3)

= (-4, -8, -4)

Se so colineares

4

3

8

6

4

3

4

3

4

3

4

3 .

Resposta: Sim, os pontos A, B e C so colineares.

b) A(2, 1, -1), B(3, -1, 10) e C(1, 0, 4)

ABAB

= (3, -1, 10) (2, 1, -1)

= (3 2, -1 1, 10 + 1)

= (1, -2, 11)

BCBC

= (1, 0, 4) (3, -1, 10)

= (1 3, 0 + 1, 4 10)

= (-2, 1, -6)

Se so colineares

6

11

1

2

2

1 .

Resposta: No, os pontos A, B e C no so colineares.

13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1, -2), B(1, 5, 1) e

C(a, b, 7).

ABAB

= (1, 5, 1) (3, 1, -2)

= (1 3, 5 1, 1 + 2)

= (-2, 4, 3)

BCBC

= (a, b, 7) (1, 5, 1)

= (a 1, b 5, 7 1)

= (a 1, b 5, 6)

Se so colineares

6

3

5

4

1

2

ba

Assim

6

3

5

4

1

2

ba 31

3

)2(6

a

e

6

3

5

4

b 135

3

46

b

Prova

6

3

5

4

1

2

ba

6

3

513

4

13

2

6

3

8

4

4

2

2

1

2

1

2

1 . CQP.

14) Mostrar que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) so vrtices de

um paralelogramo.

- Supondo que os pontos esto em ordem alfabtica, tanto faz no sentido

horrio ou anti-horrio.

AB = (5 4, 1 - 0, 3 1) = (1, 1, 2)

BC = (3 5, 2 1, 5 3) = (-2, 1, 2)

CD= (2 3, 1 2, 3 5) = (-1, -1, -2)

DA= (4 2, 0 - 1, 1 3) = (2, -1, -2)

Prova

AB //

CD 12

2

1

1

1

1

BC //

DA 12

2

1

1

2

2

. CQP.

15) Determinar o simtrico do ponto P(3, 1, -2) em relao ao ponto A(-1, 0, -3).

- Seja Q(x, y, z) o simtrico de P em relao a A.

- Os trs pontos so colineares, com A no centro.

AP = P A = (3, 1, -2) (-1, 0, -3)

= (3 + 1, 1 0, -2 + 3)

= (4, 1, 1)

AQ = Q A = (x, y, z) (-1, 0, -3)

= (x + 1, y, z + 3)

AP e

AQ tm sentidos contrrios

AQ = -

AP

(x + 1, y, z + 3) = -(4, 1, 1)

= (-4, -1, -1)

Ento

x + 1 = -4 x = -5

y = -1

z + 3 = -1 z = -4

Q(-5, -1, -4).