Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1

8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1

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Universidade Federal de AlagoasInstituto de Matemática

Banco de Questões

Calculo 1

(Resolução)

Organizador: Carlos Alberto Santos Barbosa

Maceio, Brasil

Janeiro de 2015


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Apresentação

O objetivo principal desta resolução do Banco de Questões (extraídodas avaliações escritas de turmas de Cálculo Unificado da Universidade

Federal de Alagoas - UFAL) é auxiliar no desempenho dos estudantesda disciplina Cálculo 1, que durante o processo de conhecimentocomeçam a inserir-se no aprendizado de modo a melhorar seudesempenho acadêmico, mostrando-lhes uma noção de como resolverquestões das provas realizadas, visando sempre a clareza eobjetividade na obtenção dos resultados e suas implicações referentesao quesito.


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3

Sumário

1. 2005 ............................................................................................................. 5

1.1 1ª Avaliação-21 de Fevereiro de 2005 ................................................... 5

2. 2007 ............................................................................................................. 9

2.1 1ª Prova-15 de Setembro de 2007 ........................................................ 9

2.2 2ª Prova-05 de Outubro de 2007 ........................................................ 12


2.4 4ª Prova-01 de Dezembro de 2007 ..................................................... 19

2.5 4ª Prova-06 de Dezembro de 2007 ..................................................... 23

2.6 Reavaliação da 2ª média-07 de Dezembro de 2007 ........................... 29

3. 2008 ........................................................................................................... 35

3.1 1ª Prova-14 de Março de 2008 ........................................................... 35

3.2 2ª VPA-12 de Abril de 2008 ................................................................ 38

3.3 3ª Avaliação-17 de Maio de 2008 ....................................................... 41

3.4 4ª Prova-14 de Junho de 2008............................................................ 46

3.5 Reavaliação da 2ª média-21 de Junho de 2008.................................. 52

3.6 VPA 1-12 de Setembro de 2008 ......................................................... 54

3.7 VPA 1-13 de Setembro de 2008 ......................................................... 59


3.9 2ª Avaliação-04 de Outubro de 2008 .................................................. 66

3.10 3ª Prova-01 de Novembro de 2008 ................................................... 70

3.11 Reposição da 1ª Média-13 de Dezembro de 2008 ............................ 74

3.12 Reavaliação da 2ª média-13 de Dezembro de 2008 ......................... 78

3.13 Prova Final-18 de Dezembro de 2008 .............................................. 83

4. 2009 ........................................................................................................... 93

4.1 1ª Avaliação-21 de Março de 2009 ..................................................... 93

4.2 2ª Avaliação-17 de Abril de 2009 ........................................................ 96

4.3 2ª Avaliação-18 de Abril de 2009 ........................................................ 99

4.4 3ª Avaliação-16 de Maio de 2009 ..................................................... 102

5. 2010 ......................................................................................................... 106

5.1 1ª Prova-03 de Setembro de 2010 .................................................... 106

5.2 1ª Prova-04 de Setembro de 2010 .................................................... 110

5.3 2ª Avaliação-07 de Outubro de 2010 ................................................ 114


5.5 3ª Avaliação-12 de Novembro de 2010 ............................................. 120


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4


5.7 4ª Avaliação-10 de Dezembro de 2010 ............................................. 128


5.9 Reavaliação AB1-17 de Dezembro de 2010 ..................................... 139

5.10 Reavaliação AB2-17 de Dezembro de 2010 ................................... 142


5.12 Avaliação Final-21 de Dezembro de 2010 ...................................... 147

6. 2011.1 ...................................................................................................... 153

6.1 1ª Avaliação-25 de Março de 2011 ................................................... 153

6.2 1ª Avaliação-26 de Março de 2011 ................................................... 157

6.3 2ª Avalição-15 de Abril de 2011 ........................................................ 161

6.4 2ª Avaliação-16 de Abril de 2011 ...................................................... 163



6.7 4ª Avaliação-17 de Junho de 2011 ................................................... 172

6.8 4ª Avaliação-18 de Junho de 2011 ................................................... 176

6.9 Reavaliação AB1-22 de Junho de 2011 ............................................ 181

6.10 Reavaliação AB1-25 de Junho de 2011 .......................................... 186



6.13 Avaliação Final-01 de Julho de 2011 .............................................. 202

7. 2011.2 ...................................................................................................... 210

7.1 1ª Avaliação-02 de Setembro de 2011 .............................................. 210








7.9 Reavaliação AB1-09 de Dezembro de 2011 ..................................... 241




7.13 Avaliação Final-16 de Dezembro de 2011 ...................................... 256


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5

Capítulo 1

2005

1.1 1ª Avaliação-21 de Fevereiro de 2005

1. 15 20 15

1 1

5 1 3

, ℝ 0,1,3. ∗í : é í :

lim→ ±∞ lim→ ±∞

0; 1 3 ã í .

∗ : → 0+, ã > 0. , 5 > 0.

lim→ lim→ 1−↑ 1 ↑5↓ 1 ↓− 3 ↓−

l i m→ 1 1−↑

5 1 3 ↓ ∞

, 0 é í á . ∗ : → 1, ã ≠ 1. , 1 ≠ 0 , , 1

1 1 , ∀ ≠ 1 .

lim→ lim→ 1 15 1 3 l i m→ 1 ↑5 3 ↓− 310

lim→ lim→ 1 15 1 3 l i m→ 1↑

5 3 ↓− 310

, 1 ã é í á .

∗ : → 3+, ã > 3., 3 > 0.


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6

lim→ lim→ 1↑ 1

↑5

↓

1↓

3↓

l i m→ 1 1↑

5 1 3↓

∞ , 3 é í á . ∗í : é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 15 20 15 l i m→+ 1

1

5 20

15

l i m→+ 1

1

5 20

15

lim→+ 1 l i m→+ 1lim→+ 5 l i m→+ 20 l i m→+ 15 1 05 0 0 15. , 1 5 é í ℎ á . lim→− l i m→− 15 20 15 l i m→− 1

1 5 20 15 l i m→−1 15 20 15

lim→− 1 l i m→− 1

lim→− 5 l i m→− 20 l i m→− 15 1 05 0 0 15.

á. , 0 , 3 1 5 í á . 2. lim→ √ 2 2 8 lim→ (√ 2 2 ) 8 . (√ 2 2 )(√ 2 2 ) lim→ 2 8(√ 2 2 ) lim→ 2 2

2 4 (√ 2 2 ) lim→ 1

2 4 ↓ (√ 2 2 ) ↓ 1

48

∗ : → 2, ã ≠ 2. , 2 > 0 , , 2 2 1 , ∀ ≠ 2 . l i m→ 1 1||. : || , ≥ 0, 0. , || . lim→ 1 1|| l i m→ 1 1 l i m→ 0 l i m→ 0 0 .

lim→ 50√

∗ é :


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7

1 ≤ 50√ ≤ 1 :

≤

50√ ≤

, 50√ ℎ ., ≤ ≤ ℎ , lim→ 0 lim→ ℎ 0, , lim→ lim→ ℎ , ≤ ≤ ℎ lim→ lim→ ℎ ,ã lim→ lim→ lim→ ℎ 0., lim→ 50√ 03. 4 2 1 0 , < 22 , ≥ 2

2 2 2 1 0 , < 22 , ≥ 2 ∗ : < 2 ã ≠ 2. , 2 ≠ 0 , , 2 2 1 , ≠ 2 . , :

2 10, < 22 , ≥ 2 1 2 , < 22 , ≥ 2 é çã , ç ã çõ ã , ã ã í í ê., é í ∈ ∞,2 ∪ 2,∞. é í 2, ℎá ç ç çã. ∗ : → 2

+

, ã > 2. , 2

lim→ l i m→2 l i m→ 2 l i m→ 1 6 2 1 4 .∗ : → 2−, ã < 2. , 1 2 . lim→ l i m→ 1 2 l i m→ l i m→ 1 2 2 1 2 1 4 . ,lim→ 14. ∗ 2 2.2 2 1 6 2 1 4 .

lim→ 2, ã é í 2.

,í é í ∈ ℝ.


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8

2 14, 3.ã,: 3 2.3 3 5 4 3 5 1 . ∈ ℝ 15. é çã í ℎ 2, 3 2 < < 3, á ∈ 2, 3 15.

4. ℎ | 1| | 1| 1, ≥ 1 1, < 1 ℎ , ≥ 1 , < 1 ℎ é í 1. ∗ ℎ1 1

1 1 1 0 .

lim→ ℎ l i m→ l i m→ l i m→ 1 1 0 .

lim→ ℎ l i m→ l i m→ l i m→ 1 1 0 . lim→ ℎ l i m→ ℎ , ã lim→ ℎ 0. ,, lim→ ℎ 1.,ℎ é í 1. ℎ+′ 1 l i m→ ℎ ℎ1 1 l i m→ 1 l i m→ 1 1 l i m→ 1 . ℎ−1 l i m→ ℎ ℎ1 1 l i m→ 1 l i m→ 1 1 l i m→ 1 .

∗ 1 ã , , ℎ+

1 ≠ ℎ−

1,ã ℎ ã é á 1. 2, 2 à ℎ. ℎ2 2 2 4 2 2 . á 1 é çã . , : , ℎ2. , 2 ℎ2 2 ℎ2 lim→ ℎ ℎ2 2 lim→ 2 2 lim→ 1 2 2 lim→ 1 3. , çã 2, 2 é: 2 3 2 2 3 6 3 4


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9

Capítulo 2

2007

2.1 1ª Prova-15 de Setembro de 2007

1. | 3| 3, ≥ 3 3, < 3

çã é í , ,

1 ;

2 lim→ ; 3 lim→ . çã 3 : 1 3 |3 3| |0| 0. 2 lim→ . ,: lim→ l i m→ 3 l i m→ l i m→ 3 3 3 0 . lim

→ l i m

→ 3 l i m

→ l i m

→ 3 3 3 0 .

, lim→ l i m→ ã lim→ 0.

33 lim→ 0. ∗ , é í 3. ∗ 3 : +3 l i m→ 3 3 lim→ 3 0 3 l i m→ 3 3 1. −3 l i m→ 3 3 lim→ 3 0 3 l i m→ 3 3 1. +3 ≠ −3 ã é á 3. ² ³ 2 → ³ 2 0 2. 2 0. 2 2 2 2 8 4 2 1 0 . 0 0 0 2 0 0 2 2 . 0. é çã ,,í ℎ 2,0, 2 < < 0, á ∈ 2,0 0. é ú é 2.2.


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10

2 7 çã çã , õ:

l i m∆→

∆

∆ , ∆ : l i m→ ,1 õ . ,: 1 lim→ 1 1 lim→ 1

1 lim→ √ 2 7 3

1 lim→ (√ 2 7 3 )

1. (√ 2 7 3 )

(√ 2

7 3 )

lim→ 2 7 9 1(√ 2 7 3 ) lim→ 12 9 1(√ 2 7 3 ) lim→ 2 9(√ 2 7 3 ) 2 9√ 9 3 116 . ,1 116 . çã á 1 é: 1 1 1 3 116 1 6 1 8 1 1 1 1 6 1 1 7

116 76 3. lim→ 3 4 32 , é 3 4 çã é 6, lim→ 32 ɛ > 0 ℎá ú > 0 32 < ɛ 0 < | 6| < . 32 < ɛ → 3 4 32 < ɛ → 32 4 < ɛ → 14 | 6| < ɛ ∴ | 6| < 4ɛ

∗ | 6| < , í ℎ 4ɛ. ∗! ℎ . ɛ > 0 , 0 < | 6| < , ã 32 4 < → 14 | 6| < 14 14 4ɛ → 14 | 6|


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11

, ≤ 12 ≥ 12. 2 3 4 ≠ 0 → ≠ 43. , ∈ ℝ | ≤ 12 ≥ 12 , ≠ 43}.

∗í : é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ 43 é í : lim→ lim→ √4 13 4↓

∞. , 43 é í á . ∗í : é í ℎ : lim→+ lim→−

lim→+ l i m→+ √4 13 4 l i m→+ √4

1||3 4|| l i m→+√4 1

√3 4 l i m→+ 4

13 4 lim→+ 4

13 4 lim→+ 4 1lim→+ 3 4

lim→+ 4 1lim→+ 3 4 lim→+ 4 l i m→+ 1lim→+3 l i m→+ 4

√ 4 03 0 23. , 23 é í ℎ á .

lim→− l i m→− √4

13 4 l i m→−√4 1

||3 4|| l i m→+√4 1

√

3 4 l i m→+ 4 1

3 4

lim→+ 4 13 4

lim→+ 4 1lim→+ 3 4 lim→+ 4 1lim→+ 3 4

lim→+ 4 l i m→+ 1lim→+3 l i m→+ 4 √ 4 0 3 0 23.

, 23 é í ℎ á . ∗ : á í çã ||. , → ∞ ã || → ∞, || . ,

çã || .


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12

4. lim→ 7 √ 3 8 lim→ 7 √

3 8 . 7 √ 3 7 √ 3 lim→ √

2 8 7 √ 3

lim→ (√ 2)(√ 2)(√ 2√ 4 ) 7 √ 3 lim→ 1(√ 2√ 4 ) 7 √ 3 14 4 43 3 1129 172. 3 ⟦⟧2 . 3. lim→ lim→ 3 ⟦⟧2 l i m→ 3 l i m→ ⟦⟧2 3 32 92 ∗ : → 3+, ã > 3. , ⟦⟧ 3 lim→ lim→ 3 ⟦⟧2 l i m→ 3 l i m→ ⟦⟧2 3 22 4∗ : → 3−, ã < 3. , ⟦⟧ 2. 5. 25616 2 5 6 3 2 → 25632 ∴ 6 256 32 × 6 256 192 64 /

0 → 2 5 6 3 2 0 32256

8 8 2 5 6 × 8 3 2 × 8 8 2.048256 8 1.7922.2 2ª Prova-05 de Outubro de 2007

1. 4 çã í : 2 2 . 0 ∗çã é : . é é , â , ,75°.

75°.


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13

75°30°45° 30°45°130°.45° 1√ 3 11 1

√ 3

1 √ 3√ 3√ 3 1√ 3

√ 3 1√ 3 1

∗ çã à ê 4 é

ã: . . . . . . 4 4 ∗ é à ,ã é é

é . 1√ 3 1√ 3 1 1 √ 31 √ 3

1 √ 31 √ 3 165°. , é â çã .165°120°45° 120°45°1120°.45°

√ 3 11 √ 3

1 √ 31 √ 3

∗, â 15° çã

. 2. 3. 1 0 7 ² çã í : (3. ) 107 3 3. 1 1 0 2 3 3 3 1 2 3 1 3 3 21 1 ′1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 2 1 1 3 log 5+ . . 1 5

log

:


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14

. . 2. 5 ln5 . 1.ln3 2.5

+ ln55+ ln3 2 . ln5ln3 3. 2 2cos 2..cos 0,2 á é ℎ. 0,2 0 0 → 2 c o s 2..cos 0

2cos 1 0

2cos 01 0 ∗ ç : cos 0 → 2 32 ∗ ç : 12 0 1 → 32

, 0,2 á é

ℎ,ã:2 , 3 , 32 ,1. ∗ 2 2 2 2 2 1 2 1 3 . 2 , 3 ; ∗ 32 32 32 1 1 1 1 0 . 32 , 0 ;

4.

1 cos . 0. 10 cos0 10 1 11 1. (cos ) cos cos cos 0 0 cos00 cos0 0 10 1 11 1.

∗ çã 0,1 é:

1 1 0

1 1


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15

²3(). . ; ; 3; .

,:

. . . 4. 11 . 3 ln3 .2.cos 4. 3(). ln3.21 4. 3(). ln3.(2.3())1 5. 9 . çõ 2, 1

2,1 ã à 9 . à à ! çã ã: , é à , . 1 2 1 2 2

9

1 2

4

4 8 0

∆ 1 6 3 2 1 6 . í ã ∈ ℝ ç çã . , ã à 9 2,1. , ã ℎá çã!∗ : 9 , é 2,1. í çã : 1 2. 2

1 3.2

2

1 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 5 → , çã é 12.2.3 1ª Prova-06 de Outubro de 2007

1.

. 1 1 . í ℎ.


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16

é í ℎ : lim→+ lim→− . lim→+ l i m→+ .1

1

. çã 1

,: ∗ → ∞, ã → 0. lim→ l i m→ lim→ cos 1 1 0 . , 0 é í ℎ á . lim→− l i m→− .1 1 . çã 1 ,: ∗ → ∞, ã → 0. lim→ l i m→ lim→ cos 1 1 0 . , 0 é í ℎ á . , .arccos . çã í :

arccos 1

1 0 2 .

arccos 1 2 . 1 2 1 arccos 1 arccos [1 ] 21 2. 2

1 . çã á

4,13. 4 ∗ çã à : 1 3 4 4 2 1 1 3 4 16 2 1 6 1 4 0 8 7 0 ∆ 6 4 2 8 3 6 8 ± 62 → 7 1 ∗ 1, 4


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17

, çã : 1 3 4 4 1 3 4 1 6 4 3 ∗ 7, 28

, çã : 1 3 2 8 4 1 3 2 8 1 1 2 2 8 9 93. 3 || 34 ||4 ; 0 0 ã , ∘ 0 .

+0 l i m→ 0 0 lim→ 4 0 l i m→ 4 4.

−0 l i m→ 0 0 lim→ 2 0 l i m→ 2 2. ∗ +0 ≠ −0 , ã ã é á 0. +0 l i m→ 0 0 lim→

2 0 l i m→2 12. −0 l i m→ 0 0 lim→ 0 l i m→ 1.∗ +0 ≠ −0 , ã ã é á 0.

∘ :

() 3 . || 94 3||4 34 ||4 () 94 34 34 4 , ≥ 094 34 34 4 , < 0 () 2, ≥ 02, < 0 ,() 2 .

∘ +0 l i m→ ∘ ∘ 0 0 lim→64

24 0 l i m→ 2 2.

∘ −0 l i m→ ∘ ∘ 0 0 lim→ 3 0 l i m→ 2 2. ∗ ∘ +0 ∘ −0 , ã ∘ é á 0. ∘ 0 2. 4. 1

sec . 0.

∗ 0 0 1sec0 0 11 1. 0,1


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18

.sec 1 sec . ² sec . sec .

²

; 1 → 1 1 → 0 1 00 1 01 1. ∗ , çã 0 é: 1 1 0 1 1

cos .

.

cos ; √ ; ; cos : . . . (). 12√ .().() (). 12 cos .² cos. cos

cos² cos2 cos

√ . . √ ; √ ; : .

1 1

2√ 1

2√

1 12√ 12 √ 5. 5(). . ; ;; 5 . : . . . 2. cos. 11 . 5 . ln5


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19

2cos 11 . 5(). ln5 2.cos . 5(). ln5

1

. çã 5 6 0 . ; ² . çã : ² 5 6 0 → ≠ 0 ∀ ∈ ℝ, 5 6 0 ∆ 2 5 2 4 4 9 5 ± 72 → 1 6. ∗ , çã ã 1 6. 2.4 4ª Prova-01 de Dezembro de 20071. 4 1000 0 , á, í . 41000. é çã ,,í á í. ℎ 1 í , ℎ ℎ í . í á , ,ã, é ∈ , :

0 0 0 4 4 0 → 4 4 0 → 1 → 1 í, çã: < 1 < , ℎ í, ã é ≠1 0. ! ó í., , á, í . é í 2, 5 1 ≤ ≤ 4 2, 5, 3 ≤ 5 2 ≤12.

í 2, 5 á 2, 5, é ∈ 2,5 : 5 25 2 çã : 1 ≤ 5 25 2 ≤ 4 1 ≤ 5 2

3≤ 4

3 ≤ 5 2 ≤ 12

2.


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20

1 0 1 7 ; çõ á çã, : 2 2 2 1 2 0

1 7 2 4 2 2 2 0 74 2 2 →

2 0 7 2 → 2; 9 ; 18 ∗, 9 1 8 2 3.

çã

² :

2

2 > 0 → 2 > 0 ∴ > 0 . , > 0 . , .. > 0. < 0 → 2 < 0 ∴ < 0. , < 0 . , .. < 0. lim→ 1 − . . lim→ 1 l i m→ + l i m→ .+ lim→ + → + . lim→ ln11 lim→

ln1 l i m→ 1² 1

→

+ − → + − 1 → → 1 → 1 4.ç á ²−² I çõ : 0 → . − 0 ; − ≠ 0 ∀x ∈ ℝ 0 → 0 → 0 . 0, 0 çã . II :

′ 2 . −

2. −

′ −2 2

′ . −2 2


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21

Obs: − > 0 , ∀ ∈ ℝ ,: 0

1

1

2

2

−

1 0 1 . −2 2 ∗, é ∞,1 ∪ 0, 1 1,0 ∪ 1,∞. í: 0 ã . , í 1; 0 1. 1 1 ; 0 0 ; 1 1. , í ã 1, 1 , 0, 0 1, 1.

2. −2 2 −6 2 −4 4 6 2 −4 10 2 : ã 4 1 0 2 0 → ∆ 1 0 0 3 2 6 8

10 ± √ 688 → ± 10 ± √ 688 ;

çã 4 10 2 é çã çã é é çã . ,

á : 1 ∞, 10 √ 688 ∪ 10 √ 688 , 10 √ 688 ∪ 10 √ 688 ,∞ 2

10 √ 688 , 10 √ 688 ∪ 10 √ 688 , 10 √ 688


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22

ã:

0, , ± 10 ± √ 68

8 .

í: : ã ! , − ℝ.,ã ℎá çã çã , í . : é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+

− lim→+ 2

2

− l i m→+ 1

− 0.

lim→− l i m→− − lim→− 22− l i m→− 1− 0. , 0 é í ℎ á .

5. ²

1 . ℎé ó 0,1.

, à ℎé, : 1 2 1 2 2 2 4 222 2 2 2 12 2 2 0 → 2 1 0 → 12 , 12 :

14 1 →

54 → ±

√ 52 . ℎé ó 0,1 ã √ 52 , 12 √ 52 , 12.


23/265

23

0 á çã çã é 3 0 0. çã . ∗ 3. í , é .

0 0,í 0., . 1, 1. , é 1,1. ∗ 14 , é . 1 1, ã : 14 1 1 → 1 14 → 34.

,í 14

34.2.5 4ª Prova-06 de Dezembro de 2007

1. çã √ 7 − ⁄ 3 7 çã , . :

. √ → . − ⁄ → .− ⁄ 1 → . − ⁄ 1.ã,: 32 0 1 → 32 1 23. ∗ é: 23 ⁄ . . − ⁄ → . − − ⁄ → .−− ⁄ 1 → . + ⁄ 1.ã,

14 0 1 →

14 4.

∗ é: 7.[4− ⁄ ] 2 8 − ⁄ . . 3 → 3 → 3 . ∗ é:3 . ∗ é ∶ 7. . ∗ é: . , 23 ⁄ 28− ⁄ 3 7. . é , , .

3 4, 0 0 0.

∗ . 3 4cos , é .


24/265

24

∗ ú çã : 3 4 , é . 0 0 → 3 40 . 0 0 3 0 0 0 3 .

0 → 3 4 . 3 0 3 0 . 3 0 . 3 3 3 3 . , 3 4 3 3 3 . 2.

ℎç â :

ℎ → ℎ → ℎ

.

ℎ → . → . é á. 23; 0 → 2 3 0 ; , 23 ; : 0 ã çã ! 2

3, ℎ 23

→ ℎ 3

→ ℎ

3

∗ 1 1 : 23 ℎ 13. á . . ℎ . 23 . 13 49 . 3. lim→

cos lim→

lim→

. lim→

→ . :


25/265

25

lim→ lncossec lim→ cossec . l i m→ sec . lim→ 1sec lim→cos 0. ,

lim→cos →

1.

lim→ 1 3 5 l i m→ ++ l i m→ .++ l i m→ ++

→ ++ . :

lim→ ln1 3 51 l i m→ 3 10 1 3 5 1 l i m→

− −1 3 5 l i m→ 3 101 3 5 3 01 0 0 31 3. ,

lim→ 1 3

5

→ +

+

.

4. á ã á , 0 1.

é : Á lim→ ∑ ∆= ∆ 1 0 1 ; . ã,: Á lim→ ∑ 1

=

l i m→ 1 ∑

=


26/265

26

l i m→ 1 1 ∑

= 1 ∑

=

∗ : ∑

= 2 3 1

6

∗ : ∑ = ² ² 2 14 Á lim→ 1 1 ² 2 1 4 1 2 3 16 l i m→ 1 2 14 2 3 16

l i m→ 1 6

2 1 42

3 124

l i m→ 14 2 4 1 024 l i m→

14 24 1024 l i m→ 14

24 1024

1 4 0 024

Á 1424 712 .5. á 1 ; í çã; ∗ é çã , é çã í ú , í çã

, .∗, ≠ 0 ⇒ ≠ 0 . ℝ 0. çõ ; ∗ã ℎá çã , 0 ã í ; 0 → 1 0 2 1:

2 8 2 1

4 54 1

1 1 11 1.

∗ é çã , , í 2,1, 2 < 0 < 1, á


27/265

27

∈ 2,1 0. , í 2 1. ;

3 1 12 3 2 2 2 2 ; ≠ 0 : 2

0 → 2

0 ⇔

2 0

í á 2, 1, 1 2 : 2 8 2 28 108 ; 1 1 1 21 4 ; 1 1 1 21 0 ; 2 8 2 28 1. ∗ , 1 0. : 2 1 2 é í, ,ã . , ó 1. 1 1

1 11 1. 1, 1. ;

∗ : 1 1 2 0 0 1 +− ∗ á í : é ∞,0 ∪1,∞ é 0, 1 ;

3 1 23 3 3 3 6

2 6 ; ≠ 0


28/265

28

2 6 ∗ ′: 3 2 6 0

0 3 −+ ∗ á í : ∞,0 ∪0,3 3, ∞ ã; ∗ ℎá ç çã , , 3. 3 3 3 13 259

ã ∶ 3,259

í: ∗ : é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ → 0 é í :

lim→ l i m→ 1 l i m→ 1↑

↓ ∞ , 0 é í á .∗ : é í ℎ : lim→+ lim→−

lim→+ l i m→+

1 lim→+ 3 ² 12 l i m→+ 62 l i m→+ 3 ∞

lim→− l i m→− 1 lim→− 3 ² 12 l i m→− 62 l i m→− 3 ∞ , ã í ℎ á . ∗ í: é í í lim→± 0

∗

1 1

1


29/265

29

lim→± l i m→± 1 l i m→± 1 l i m→±

1 11

lim→± 1 1 l i m→± 1 l i m→± 1 0 0 0

, é í í á .

2.6 Reavaliação da 2ª média-07 de Dezembro de 2007

1.

á , á á . ã: , é á , é 8³/ .,

8

ã , , .,


30/265

30

8 : ℎ . ℎ : ℎ 1/0,1/ ℎ3 . ℎç â : ℎ 205 > ℎ4 .ã: ℎ48 , ℎ 3ℎ48 ℎ16 . , 0 , 1 × ℎ²16 > 0,1ℎ²16 . 8 0,1ℎ16 . ℎ 16 : 8 0,11616 81,6/

2.

çã à 1. 1 : 1 → 1 . ã é 1, 1. ∗ í ,: ln l n . ln . ln → çã í í, : . l n . 1 l n . . l n . l n

. l n l n l n l n 1, 1 :

l n 1 11l n 1 11

0 1

0 1 1

1 1.

, ã 1, 1 1: 1 1 1 1 1 cosh 1. ℎ 1 → ℎ 1 ℎ −

2 ; çã :

−2 1 − 2


31/265

31

1 2 0 2 1 0 çã ã : 2 1 0

∗ : , ã > 0 ∀ ∈ ℝ. çã ,: ∆ 4 4 8 2 ± 2√ 22 → 1 √ 2 1 √ 2 < 0 ã çã ! à ã: 1 √ 2 l n ( 1 √ 2)

∗ , ln(1 √ 2): cosh((1 √ 2)) (+√ ) − (+√ )2 1 √ 2 11 √ 22 1 2√ 2 2 12 2√ 2 4 2√ 22 2√ 2 2 √ 21 √ 2 √ 2. ∗ , é (ln(1 √ 2) , √ 2 ).

3.

. á 2, 1. . ,, 2 1 2 0., 2 2 . 1 . 2. 2 . 8. 0 ; ≠ 0 ∀ ∈ ℝ . 2. 1 8 0 → ã,: 1 8 0 0 1 8 0 → 18 ; 0, ã 0 . ! ,

2 1., 18 . ã: 2.− ⁄ 1 2√ 1 → 2 √ → 12 √ ; 12 √ . .− ⁄

lim→1 ⁄ .


32/265

32

∗ ç 1 , ã , → 0 ã → ∞. lim→1 ⁄ l i m→ 1 1

lim→ 1 1

∗: lim→ 1 1 4. í20 . 2 2 0 → 1 0 → 1 0 . . → . . 1 0 10 203 0 : 203 0 → 0 203 . 0 ã çã!

1 0 → 1 0 203 103 . , õ ã 203 103 . 5. ç á 29 . 29 í: ∈ ℝ; 9

≠ 0

ℝ 3,3.

çõ : : 0 2.09 0 09 0. 0, 0 : 0 → 2 0 → 0 . 0, 0 í: : é í

: lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ 3 3 ã í : ∗ l i m→− lim→− 29 ; çã : 3 3 9 : → 3+, ã > 3 . , 9 > 0 ã 9 → 0+. 0+ , > 0. ,

lim→− lim→− 29 ∞


33/265

33

∗ l i m→− lim→− 29 ; : → 3−, ã < 3 . ,9 < 0 ã 9 → 0−.

0− , > 0. ,

lim→− lim→− 29 ∞. → , 3 é í á . ∗ l i m→ lim→ 29 ; : → 3+, ã > 3 . ,9 < 0 ã 9 → 0−. 0− , > 0. ,

lim→ lim→ 2

9 ∞

∗ l i m→ lim→ 29 ; : → 3−, ã < 3 . ,9 > 0 ã 9 → 0+. 0+ , > 0. , lim→− lim→− 29 ∞. → , 3 é í á .

: é í ℎ

: lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 29 lim→+

29 l i m→+29 1

21 2. lim→− l i m→− 29 lim→−

29

l i m→−

29

1 21 2.

→ , 2 é í ℎ á .

: 4. 9 2. 29 364 49 369 ; ∗ ,: 0 3 6 3 3 9


34/265

34

3 0 3 − á í :

é 0, 3 ∪ 3,∞

é ∞,3 ∪ 3,0 : ó ℎá , 0, , 0 0 0. 0, 0. ã:

369

36229

9

369 1449 108 3249 108 39 ∗ ,: 1 0 8 3

3 3 9 3 3 (+)− á í :

3,3 ∞,3 ∪ 3,∞

∗ã ℎá ã

, ∄ ∈ ℝ;

0.

, ç á 2²9 ² é:


35/265

35

Capítulo 3

2008

3.1 1ª Prova-14 de Março de 2008

1. 1 ; 2 , 1 4⁄ ∗ çã á 2. l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→ 1 ∆ 1∆ l i m∆→

∆

∆ ∆ lim∆→ 2 . ∆ ∆ ∆ ∆ lim∆→ 2.∆∆∆ ∆ l i m∆→ ∆2∆∆ ∆ lim∆→ 2∆ ∆ 2 . 2 2 2 22 28 14. çã é :


36/265

36

14 14 2 14 34 2.

lim→ lim→ cos lim→ cos lim→ .cos.coscos lim→ cos lim→ 1cos 1cos 11 1. lim→ 2

2 1

1 lim→ 4 4

8

12

6 1

1

lim→ 4 48 12 6 9 12 6 1 lim→ 4 48 12 6 9 12 6 1

lim→ 1 4 48 12 6 9 12 6 1

1 0 08 0 0 0 0 0 0 18.

lim→ s ec cos cos l i m→ cos 1cos coscos lim→ 1cos cos lim→ 1 1 1 lim→

1 l i m→ 111 lim→ 1 11 1 12. 3. ã çõ í ℎ , ã

çõ:

∗ ã í , ,1 ; 2 lim→ lim→ ; 3 lim→ lim→ ,: 1 ; 2 lim→ lim→ ;

3 lim→ lim→ ;

∗ çõ ã,:


37/265

37

2 7 ; 2 2 ; 5 4 5 5. lim→ 25

5 l i m→ 5 5

5 l i m→ 5

lim→ l i m→ 5 5 5 1 0 .

2 2 2 2 7 5. 5 5 5 5 4 1. á 1 çõ í é çã í , , é í 2,5, , 2 < 0 <

5., á ∈ 2,5 0. , 0 → 0 → . 4.

32 5 , ≤ 2 , 1 , > 2

í 2.

∗ 2 l i m→ , à á 2., 2 32 2 5 3 5 2 lim→ l i m→ 1 4 2 1 2 5 ,: 2 5 2 → 2 7 → 72.

∗ é çã , é í í ç,

, çã ℎá ç çã, 2. ç ã çõ , ã í í ê.,á é í ∞,2 ∪ 2,∞. , 7 2⁄ , é í 2 , , é í ∞,∞., é í ℝ. 5. í çã √ 1√ 1. ∗, í çã!

∈ ℝ| ≥ 0 , ≠ 1 í : é í


38/265

38

: lim→ ±∞ lim→ ±∞

∗ 1 é í :

lim→ l i m→ √ 1√ 1 ∞ ; : √ 1 → 0+ : → 1+ã > 1 , , √ > 1 ⇒ √ 1 > 0 ; ∗ , 1 é í á . í : é í ℎ :

lim→+ lim→− ∗ ó , çã 1, ã lim→− . , → ∞. lim→+ l i m→+ √ 1√ 1 lim→+ √ 1

1√ √ 1 1√ l i m→+1 1√ 1 1√

1 01 0 11 1.

, 1 é í ℎ á

.

3.2 2ª VPA-12 de Abril de 2008

1. 1 2 3 ⋯ 10 0 cos .cos ² .cos ⋯ .cos

cos 1

⋯

′6 c o s 6 1 6 6 6 ⋯ 6 ∗ ê ã é . ã 6, 12. . é ã: 1 1

1 1 1

21 12


39/265

39

2 1212

2102411024 1023512

′ 6 √ 32 × 1023512 1023√ 31024 cos 1 ⋯ 1 ⋯ 1 1 c o s ⇔ 1 1 1

ã,:1 1

1 0 0 1 0 → 0 2 ;∗ 0, 2 , ã ∈ ℝ cos. 2. 3, ≤ 1

, > 1 .

í 1 ã: 1 l i m→ , á 1. 1 3.1 3 . 1 3 lim→ l i m→ , çã: 3 á 1. ∗ á çã 1.

1, :

−1 l i m→ 1 1 l i m→ 3 ² 3 1 l i m→ 311 1 l i m→3 3 6 +1 l i m→ 1 1 l i m→ 3 1 l i m→ 3 3 1 lim→ 1 1 l i m→ . á 1 . ,−1 +1 ⇒ 6. , çã 3. 3. ℎ ² 32 152

çã í, :


40/265

40

2 3 0 ′3 2 2 3 é é . , 1 3 2 ; 2,1 : 2 31 4 55 1. , çã 2,1 é: 1 1 2 1 2

1

1 ã . 1 32 1 152 32 2 1 152 4 2 3 6 3 1 5 7 8 1 2 0 ∆ 6 4 3 3 6 4 0 0

8 ± 2 0

14 → 1214 2 . 2 á 2,1

,, 1214 67. 1 67 1 137 . , , , 67 , 137 . 4. 10++ .çã 0,10.

10++

. 2 1. ln10

0 10.ln10

çã 0,10: 1 0 1 0 . l n 1 0 0 10.ln10 1 0 ; 1 1 1. çã á 1 . 1 . 1, .

2.

.

1 21. 1.

1 2 .1 .1 . 2


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41

çã 1, ∶ 2 1 2 2 2 5.

; çã 4. 4 4 4 √ 21. : 4 , √ 2 1 . ′ 4 √ 2 2 çã 4 , √ 21: (√ 2 1 ) (√ 2 2 )

4

( √ 2 2 ) (√ 2 2 )4 √ 2 1 ( √ 2 2 ) √ 2 4 2 2 4 ²cos 1 . . 1 ; cos ; ,: . .

2.().2.cos

2. 1.2 2. 1.2cos 1 3.3 3ª Avaliação-17 de Maio de 2008

1. ; çã í, . ln l n

ln ln

2 . l n . 1 2 . l n . − 2−. ln cosh 1. ∗ çã: é â ,, 4 1. é à çã , , 1.

ℎ

1 → ℎ 1


42/265

42

ℎ −2 ; çã : −2 1 − 2

1 2 0 2 1 0 çã ã : 2 1 0 ∗ : , ã > 0 ∀ ∈ ℝ. çã ,: ∆ 4 4 8 2 ± 2√ 22

→ 1 √ 2 1 √ 2 < 0 ã çã ! à ã: 1 √ 2 l n ( 1 √ 2) ∗ , ln(1 √ 2): cosh((1 √ 2)) (+√ ) − (+√ )2 1 √ 2 11 √ 22 1 2√ 2 2 12 2√ 2 4 2√ 22 2√ 2 2 √ 21 √ 2 √ 2. ∗ , é (ln(1 √ 2) , √ 2 ). 2.

ℎç â, : ℎ1,8 151 5 → ℎ 271 5

ã 1,5/

,:


43/265

43

ℎ ℎ . ℎ 271 5 .1,5 9 …

ℎ 271 5 9 .1,5 ℎ 2736 .1,5 ℎ 34 . 1 , 5 4,54 /3. 8,01 . 8,01 . çã á é: √ 13 ² .

ó 8,01, ℎ √ 8 , 80,01. : . ∆ ≅∆,ã: ≅ . 8 0,01 8 0,01, :

80,01 8 ≅1

3 8²

. 0,01

8,01 √ 8 ≅ 0,0112 8,01 ≅ 0,0112 2 8,01 ≅ 24,0112 é 0,∞ > 0 ∞,0 < 0 .

. é .

ó é á ℝ.

2 . ∗ > 0 ∀ ∈ ℝ., , 2. > 0 > 0 . , é 0,∞ < 0 < 0. , é ∞,0. 4. −+ , á, í 1,1, .

1 2 . −+ ∗ çã í, ∈ ℝ;


44/265

44

0 ã . ∗ ã ℎá çã , , ∃∀∈ℝ., 0.

: −+

> 0 , ∈ ℝ.

1 1 1 . −− 1 1 1 . −+ ∗ ℎ > 11, , 1 > 0 1 > 0. çã, ã í 1,1; ∗ ℎ < 11, , 1 < 0 1 < 0. çã, ã í 1,1; ∗ℎ 11


45/265

45

5. 2 ; 1 í ; ∗ ℝ 2

2çõ ; 0 0 0 ⇔ 0 . ∗çã 0, 0. 3 í; : é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ 2 é í :

lim→ l i m→ 2 l i m→ −↑

2 ↓ ∞ ∗ : → 2+, ã > 2 , , 2 > 0 ⇒ 2 → 0+. < 0, 0+ . ∗ , 2 é í á . : é í ℎ : lim→+ lim→−

lim→+ l i m→+ 2 lim→+ 4 4 l i m→+ 4 4 lim→+

4 4 l i m→+ 1⏞↑

1 4⏟↓ 4↓

01 0 0 01 0.

∗, 0 é í ℎ á .

4 ; 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 ∗ :

2

2

2 2

2 2 2 2 ³⁄


46/265

46

∗ á , í : é ∞,2 ∪ 2,∞ é 2,2

5 ã;

2 3 2 2 2 2 3 6 2 2 8 2 ∗ : 4 2 8 2 2 4 2

2 8 2

⁄

∗ á , í : ∞,2 2,∞. ã ℎá ç çã , ú í ç. ∗ í ã ã!

ç á!

3.4 4ª Prova-14 de Junho de 2008

1.

lim→+

1

: ç á 1 , : ∗ → ∞ , ã → ∞.


47/265

47

lim→+ 1 l i m→+ 1 − l i m→+ 1 1− l i m→+ 1 1 1 1− ; → ∞, ã → ∞ lim→− 1 1

−

1 1−

l i m→− 1 1

−

× l i m→− 1 1−

− × 1 1 ∗ lim→± 1 1 . lim→ 1 1ln l i m→ . l n 1 1. ln l i m→ l n 1 1 1. ln ; ∗ ô: lim→ l n 1 1

l n 1 1 lim→ ln

l n 1 1 l i m→

11 1

l i m→ 1

1 l i m→

1

11 1 12. 2. 3 3 é á . . ∗ 3 é , é . 3 é à , ã á . , 3 ; 3 3 → ± 1 1, 3. , ã é 1, 3

1 1 1 3 → 2 .

2 1, 3. , ã é 1,3 1 1 1 3 → 2 2. 3. 25 ; 2,0 2, 0 ∗ â : á: , , : , ± 2 5 â , : 2 2 5 √ 4 2 9 2 2 5 √ 429 √ 4 2 9 √ 429 12√ 4 2 9 . 4 12√ 429 . 4

2√ 4 2 9 2√ 429


48/265

48

0,: 2√ 4 2 9 2√ 429 0 ⇔ √ 4 2 9 √ 4 2 9

√ 4 2 9 √ 4 2 9 → 4 2 9429 1 → 4 2 9 4 2 9 → 0 .

0, ±5. , 0,5 0, 5 ∗ â á. √ 4 . 0 2 9 √ 4 .0 2 9 √ 29 √ 2 9 2√ 29 ∗ ã ! â çã çã 5 ≤ ≤ 5. ., é çã ! ∗: çã ã çõ í 5,5 çã. é çã

ó 5 5. 5 √ 4 .5 2 9 √ 4 .5 2 9 √ 49 √ 9 7 3 1 0 < 2√ 29∗,2√ 29 é á â! í: ∗ â í á , , í, â 3 , ã ℎ. , â 5. ∗ 5, 0 , é, 5 → 0.

5 10 5 10.

4. 2 ; ; 1 5.


49/265

49

∫ 2 12 2 12 5 2. 5 12 1 2. 1 252 1 0 12 2 24

2 8 1 2 8 4 .

∗: , á!

∫ 2 ; ∆ 2 0 2 ; 2 ; 2 ∫ 2 l i m→ ∑ ∆

=

lim→ ∆ ∑

= lim→ 2 ∑ 2 2= lim→ 2 ∑ 2

= ∑ 2

= lim→ 2 2 ∑

= 2

lim→ 2 2 . 12 2

lim→ 2 1 4 lim→ 2 2 4 lim→ 2 2 2.

5.

1 ; 3 1 ; 2 31 í : ℝ 1,1; çõ :

0 0 ; 0 ⇒ 0 ⇒ 0 .

çã 0, 0.


50/265

50

í: : é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ 1 1 ã í:

lim→− l i m→− 1 l i m→− −↑

1 ↓ 1 ↓ ∞

∗ , 1 é í á .

lim→

l i m→

1 l i m→−

↑

1 ↓ 1 ↓ ∞

∗ , 1 é í á . : é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 1 lim→+ 32 l i m→+ 32 ∞.

lim→− l i m→−

1 lim→− 3

2 l i m→+ 32 ∞.

∗,ã ℎá í ℎ á . í: é í lim→± 0 1 1

1

lim→± l i m→± 1 l i m→± 12 0. ∗ , é í í á . : 3 1 ∗ ,: 0 ( √ 3 ) (√ 3 ) 3

1 1 1

( √ 3 ) 1 0 1 (√ 3 ) (−)−


51/265

51

∗ á , í : é (√ 3,1)∪ 1,1 ∪(1, √ 3) é (∞, √ 3 ) ∪ (√ 3,∞). ∗ í 0 ã

ã 1 1.é, 1 1 ã í çã ,,ã ã í! 0 ±√ 3 0. (√ 3) (√ 3)1 (√ 3) 3√ 32 3√ 32 . á √ 3, 3√ 32 (√ 3) (√ 3)1 ( √ 3) 3√ 32 3√ 32 . í √ 3, 3√ 32

ã:

2 31 ∗ ,: 0 2 3 1 1 1 1 0 1 (+)−

∗ á , í :

∞,1 ∪ 0, 1 1,0 ∪ 1,∞ ∗ ã ℎá ç çã . , 0 ã. . 0,0


52/265

52

3.5 Reavaliação da 2ª média-21 de Junho de 2008

1.

lim→ l i m→

l i m→

∞ lim→. 1.

lim→ . l i m→ . l i m→ . lim→ . l i m→ 2 . lim→ 2 l i m→ . 2 1 3 . lim→

4 . .

∗ ç ç á :

: → ∞, ã → ∞. lim→ l i m→ 2 + l i m→ 1 2 + ; ú ç á 2 : lim→ 1 2 + l i m→ 1 1+ l i m→ 1 1 1 1 lim→ 1 1 × l i m→ 1 1 : lim→ 1 1 lim→ 1 1 . lim→ 1 1 1. lim→ 4 ⇒ 2 ln 4 ⇒ 12 l n 4 l n 4 ⁄ ∴ ln 2 ∗: ã ô ê çã çã . 2. − ; á í 0, 1. 2 1− : − > 0, ∀ ∈ ℝ. , é 2 1. > 0 > 12 ; 0 12 < 0 < 12. 12

∗ , í 12.


53/265

53

12 − − 1√ ; ∗ ,: 0 1; 1 1;

∗ , á 0, 1 é 1 í é 1√ . 3. 1 0 1 7 ; çõ á çã, : 2 2 2 1 2 0 1 7

2 4 2 2 2 0 74 2 2 → 2 0 7 2 → 2; 9 ; 18 ∗, 9 1 8 2 4.

A

100 km

1 0 0 2 0 15 B

∗ â á ℎ â , çã à ó . 2. 2. 2. . . . 1002020 1515 10020 15

À 16ℎ ã 3ℎ çã 100 .

3 10020.320 15.315

10020.3 15.3

3 800675√ 40 225.9


54/265

54

3 125√ 16002025 3 125

√ 3625 /ℎ

∗ , ã ! â , 3 < 0. 5. , á : , ± 32 4 , á â á 2. 2, , |2.2| . ã: 6 4 . 6 4 ; | | 6 4 6√ 4 . 0 6 4 6√ 4 > ² 4 >2 4 > 2 ∴ ±√ 2 ±√ 2 í á í . ,

çã Á é ó ,, ±√ 2 á .:

6. √ 2 4 √ 2 6√ 2√ 4 2 6√ 2√ 2 |6.2| |12| 12 . 6. √ 2 4 ( √ 2) 6√ 2√ 4 2 6√ 2√ 2 |6.2| |12| 12. 3.6 VPA 1-12 de Setembro de 2008

1. , ≤ 1 , 1 < < 4 2 , ≥ 4 í . ∗: ç ã çõ ,,í . çã á é í ∞,1 ∪ 1, 4 ∪ 4,∞.

í 1 4. ∗ 1, :


55/265

55

1 l i m→ 1 1 1 ² 1 . 2 lim→ l i m→ . 3 , : 1

∗ 4, : 4 l i m→ 14 2. 4 8. 2 l i m→ l i m→ 4 . 3 , : 4 8 ∗ : 14 8 → 13 9 → 3 ; 4 .

2. 1 ; çã. çã çã , ã: l i m∆→ ∆ ∆

∗ ã:

l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→ ∆ ∆ 1 1∆

l i m∆→ 1 ∆ ∆ 1 ∆ 1 1∆ l i m∆→ 2∆∆ 2 ∆ ∆ ∆

∆ ∆ 1 1

l i m∆→ ∆∆ 2 ∆ ∆ ∆ ∆ 1 1


56/265

56

l i m∆→ ∆ ∆ 2 ∆ ∆ ∆ 1 1 l i m∆→ ∆ 2 ∆

∆ 1 1 2

1 1 2

1

4 ⇒ 1 4 4 4 → 4 4 0 → 2 0 ∴ 2 ∗ çã : 2 2 2.22 1 4 41 01 0. çã 2, 4: 4 0 2 43. 9√ 16 3 2 ; í, . ∗ , í . 16 3 2 ≠ 0. 16 3 2 > 0 ∗ çã é á , á çã.

çõ: 16

≥ 0 ∀ ∈ ℝ 3 > 0 ≥ 0.

ã, > 0 ∶ 16 3 2 > 0 ∗ 16 3 < 0 < 0 ? 116 3 0 → 0 316 16 3 316 16 16 316 9256 ∗ é ô 2º í, ,ã í ., é .

, é ! ∗ é , ó 2, í 16 3 2 > 0 ∀ ∈ ℝ. 64 3 0 ⇒ 6 4 3 0 ⇒ √ 34 √ 34 1 6 . √ 34 3 √ 34 9 √ 316 ; é 2.

∗, ℝ.

: ℎó í á .


57/265

57

: é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 9√ 16 3 2 l i m→+ 9||√ 16 3 2 || ; : || . → ∞, ã || .

lim→+ 9||√ 16 3 2 || l i m→+

9√ 16 3 2 √ l i m→+ 1

9 16 3 2 1 0√ 1 6 0 0

1√ 16

12.

, 12 é í ℎ á . lim→− l i m→− 9√ 16 3 2 l i m→−

9||√ 16 3 2 || ; : || . → ∞, ã || .

lim→− 9

||√ 16 3 2 || l i m→− 9

√ 16 3 2 √ l i m→− 1 9 16 3 2

1 0√ 1 6 0 0 1√ 16 12. , 12 é í ℎ á . á: ã í , í

0.

1 3 2 ; 1 1 2 í : ∗ é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ 1 2 ã í á , ã çã.


58/265

58

lim→ l i m→ 1 1 2 l i m→ 1 1 ↓ 2 ↓− ∞

: → 1+

, ã > 1., 1 > 0.

lim→ l i m→ 1 1 2 l i m→ 1 1 ↓ 2 ↓− ∞

: → 1− , ã < 1., 1 < 0. ∗ , 1 é í . lim→ l i m→ 1 1 2 l i m→ 1 1

↓

2↓

∞

: → 2+ , ã > 2., 2 > 0. lim→ l i m→ 1 1 2 l i m→ 1 1 ↓ 2 ↓ ∞

: → 2− , ã < 2., 2 < 0. ∗ , 2 é í .

, á í ,

1 2 ã .

4. lim→ | 2| 8 ; : | 2| 2, ≥ 2 2, < 2.lim→ | 2| 8 l i m→ 2 8 l i m→ 2 2 2 4 l i m→ 1 2 4 112 ∗ : → 2+, ã > 2. , | 2| 2

lim→ | 2|

8 l i m→ 2

8 l i m→ 2

2 2 4 l i m→ 1

2 4 1

12

∗ : → 2−, ã < 2. , | 2| 2. lim→ | 2| 8 ≠ l i m→ | 2| 8 , lim→ | 2| 8 ∄. lim→ √ ∙ 2 0 1 ≤ 2 ≤ 1 2− ≤ 2 ≤ 2 1

2 ≤ 2

≤ 2

√ 2 ≤ √ ∙ 2 ≤ 2√


59/265

59

√ 2 , √ ∙ 2 ℎ 2√ . ã, : ≤ ≤ ℎ , lim→

0 lim→

ℎ 0, , lim→

lim→

ℎ , ≤ ≤ ℎ lim→ lim→ ℎ ,ã

lim→ lim→ lim→ ℎ 0., lim→ √ ∙ 2 0 5. 1 . çã . > 0. ∗ : , 1

.

1 . 1. 1 1 1 2 ∗ çõ : 0, 2 2,0

∗, á â

é:

Á 12 ∙ 12 2 2 2 . 3.7 VPA 1-13 de Setembro de 2008

1.

1 , ≤ 1

2 4 , 1 < ≤ 4 2 , > 4

∗ é çã , ç ã çõ ,,í í. , é í ∞,1 ∪ 1,4 ∪ 4,∞. é í ℎá ç çã, , 1 4. ∗ é í , , 1 ; 2lim→ ; 3lim→ 1: 1 1 1 ² 1 1 1 2 .


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60

2 lim→ l i m→ 2 4 l i m→ 2 l i m→ 4 12 4 72. lim→ l i m→ 1 l i m→ l i m→ 1 1 1 2 . ∗ lim→ ≠ l i m→ ã lim→ ∄.

∗ , ã é í 1. 4: 1 4 42 4 8 4 4 . 2 lim→ l i m→ 2 2 . lim→ l i m→ 2 4 l i m→ 2 l i m→ 4 8 4 4 . ∗ lim→

≠ l i m→

ã lim→

∄. ∗ , ã é í 4.

∗ í 1 4 , , ã é í . ç á :

2. 5 3 2 ;, çã,. l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→

5 3 ∆ ∆ 2 5 3 2∆ lim∆→

25 3 ∆ ∆ 25 3 2 ∆ 2∆

lim∆→5 3 3 ∆ 1 0 6 6 ∆ 5 5 ∆ 1 0 3 3 ∆ 6

∆ 2 ∆ 2

lim∆→ 5 3 3 ∆ 1 0 6 6∆ 5 5∆ 1 0 3 3 ∆ 6 ∆ 2 ∆ 2


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61

lim∆→ ∆∆ 2 ∆ 2 l i m∆→ 1 2 ∆ 2 1 2

∴

1

2.

çã 3,4 ∗ 3 13 2 11 1. ∗ ,: 4 1 3 4 3 7 3. ℎ √ 1 ; í. ∗ í çã ℎ. 1 > 0 ⇒ 1 > 0 ; > 1 ; : > 0 ∀ ∈ ℝ. ² 1 > 0 ∀ ∈ ℝ.,ℎ ℝ.∗ ℎ é í , , ã ℎá , ℎ ã í ‼!

í :

é í ℎ : lim→+ ℎ lim→− ℎ lim→+ ℎ l i m→+ √ 1 l i m→+

||√ 1|| l i m→+√ 1√

l i m→+ 1 1 1 1√ 1 0

1√ 1 1. : → ∞, ã || . ||

.

∗ , 1 é í ℎ á ℎ. lim→− ℎ l i m→− √ 1 l i m→− ||√ 1|| l i m→−√ 1√

l i m→+ 1 1 1 1√ 1 0 1√ 1 1. : →∞,ã || . || . ∗, 1 é í ℎ á ℎ.

lim→ l i m→ ∙ (√

√

)(√ √ )


62/265

62

lim→ √ √ l i m→ 2√ √ ;

lim→+2

√ √ l i m→+2||

√ || √ || l i m→+2√ √ √ √

lim→+ 2 1 1 1 1 2√ 1 0 √ 1 0 21 1 22 1. lim→− 2√ √ l i m→−

2||√ || √ || l i m→−2√ √ √ √

lim→−2

1 1 1 1 2

√ 1 0 √ 1 0 2

1 1 22 1.

∗,lim→ ∄. 4. lim→ | | lim→ | | ;: | | , ≥ , < . lim→ | | l i m→ l i m→ 2.

lim→ | | l i m→ l i m→ 2.

∗ , ã ,ã lim→ | | ∄. lim→ √ 6 2√ 3 1 lim→ √ 6 2√ 3 1 ∙ (√ 6 2 )(√ 6 2 ) ∙ (√ 3 1 )(√ 3 1 ) lim→ 2(√ 3 1 ) 2(√ 6 2 ) lim→ (√ 3 1 )(√ 6 2 ) √ 3 2 1√ 6 2 2 √ 1 1√ 4 2 24 12.

5. | 4| < 2 3 ; lim→ . ∗ : 2 3 < 4 < 2 3 2 3 4 < < 2 3 4 2 3 4 ℎ 2 3 4,ã : < < ℎ , lim→ 0 lim→ ℎ 0, , lim→ lim→ ℎ , < < ℎ lim→ lim→ ℎ ,ã

lim→ lim→ lim→ ℎ 4. , lim→ 4


63/265

63

ℎ 1 5 6 ; ℎ 1 2 3 . ∗ ℎ ℝ 2,3. , , ℎ é í, í . é í : lim→ ℎ ±∞ lim→ ℎ ±∞

lim→− ℎ l i m→− 1 2 3 l i m→− 1 2 ↓ 3 ↓ ∞

: → 2+, ã > 2 ∴ 2 > 0.lim→− ℎ l i m→− 1 2 3 l i m→− 1 2 ↓ 3 ↓ ∞

: → 2−, ã < 2 ∴ 2 < 0. ∗ , 2 é í á ℎ.

lim→− ℎ l i m→− 1 2 3 l i m→− 1 2 ↓− 3 ↓ ∞

: → 3+, ã > 3 ∴ 3 > 0.

lim→− ℎ l i m→− 1 2 3 l i m→− 1 2 ↓− 3 ↓ ∞

: → 3−, ã < 3 ∴ 3 < 0. ∗ , 3 é í á ℎ. 3.8 2ª Prova-03 de Outubro de 2008

1. ln|cossec3 .cotg3| . . cossec3 .cotg3cossec3 .cotg3 3cossec3 .cotg3 3cossec3cossec3 .cotg3

3cossec3cotg3 cossec²3

cossec3 .cotg3 ; 1 cot g

cossec²

32cossec3 1cotg3 .


64/265

64

sen cos 2 sen ; çã 0 , 4⁄ . ∗ çã í, : s en . cos 2 . sen2 cos

. .cos2cos2 c o s s e n

cossen.cos2sen2 ã ã , : cos0sen 42.sen 2

1 √ 222 √ 2 24 . çã :

4

√ 2 24 0

√ 2 24 4 (√ 2 2 ) 4 2. √ 12 3 ; 0 çã í. ln ln √ 12 3 ln ln √ 1 l n2 ln 3 ln

12 ln 1 5 l n2 4 l n 3

12 ∙ 1 1 5 ∙ 12 4 ∙ 1 3 ∙ 12 1 52 4 3 √ 12 3 12 1 52 4 3 0 √ 0 12 00 3 120 1 52 0 40 3 √ 123 12 52 43

3281 2 43 3281 ∙ 103 320243.

3. loglog . 2. ∗ log , ã log . , ∙ 1.ln2 ∙ 1. ln3 1.log ln2. ln3 ; log ln ln 2 ç !


65/265

65

1 . l n . l n 3 ∴ 1ln . ln 3 . 2 1ln 4 . ln 3. || . . l n . ln|| 2. . ln|| . 1 . 2.ln|| 1 || . 2.ln|| 1.

4.

senh ; 1. cosh −2 . 1 ⇒ −2 1 − 2 − 2 0 1 2 0 2 1 0 ; . : > 0, > 0 ∀ ∈ ℝ. 2 1 0 → 1 0 ∴ 1 .

→ 1 ; ln 1 ∴ 0. ∗, ã é 0,senh0 0, 0. 2 . 1. ∗ arctg . ã, 2 . ,: ∙ ∙

2 ∙ 11 ∙ 2 ∙ ln2

2. 2 . . ln21 1 2. 2.1 . ln21 1 2. 2.1 . ln21 1 2.2

. ln22 2 . ln2 5. sen cos tg ; 0 2 , 0 6 4 .

0 .sen0 .cos0 . t g0

0 ; 0 2 ∴ 2 .

.cos 2 .s en .s ec


66/265

66

.cos 2 .s en .s ec ; 0 ∴ 0 . s e n 2 . c o s 2.sec . t g 6 .s en 6 2.cos 6 2.sec 6 . tg 6

6 2 √ 3 2 . 43 . √ 33 6 2 √ 3 8√ 39 ; 6 4 ∴ 2 √ 3 8√ 39 4 ∗ çã . ,: 2 √ 3 8√ 39 4 → 12 8√ 39 4 √ 3 → 9 1 6√ 318 4 √ 3 → 18(4 √ 3)16√ 3 9 ; , 18(4 √ 3)16√ 3 9 2. lim→ sen 1 2 lim→ sen 1 1 2 ;∗ ç çã 1 ã , : ∗ : → 1, ã → 0. lim→ sen 1 1 2 lim→ sen 3 lim→ sen . 1 3 lim→ sen ×lim→ 1 3

1 × 13 13. ∗,lim→ sen 1 2 13. 3.9 2ª Avaliação-04 de Outubro de 2008

1.

cos ∙ t g 1 ; çã í. l n l n cos ∙ t g 1 l n l ncos lntg ln 1 l n 2 . l ncos 4 . lntg 3.ln 1 2. sencos 4. sec tg 3 2. 1

2 . t g 4cotgtg 6.

1


67/265

67

∙ 2 . t g 4cotgtg 6. 1 ∙ 2. tg 4. cotg 6.

1

2 ∙ t g 2 . c o t g 3. 1 2 ∙cos ∙ t g 1 ∙ t g 2 .cot g 3. 1. 2. 2 ; 0 ? ∗ , : 2 2 0 2 2

2 2

2 12 1 ∴

;

0 ⇔ 0 .

∗ 0 ã : . 0 . 0 2 0 2 !, 0 ≠ 2 .∗ , ã 0 , , ã ℎ 5. 3. 3 ; çã 1 0 ≤ ≤

2.

1 ⇒ 3 1 → 3 3 ∴cos2 0.

∗ 2 2 ±2 2 32 ±2 ∗ 4 ± 34 ±. 0 ≤ ≤ 2 , , é 1º , ã 4. ∗ 2 cos , ã 3 . ,:

∙

∙

2. sen. 3 . ln3

2 .3.sen2 . ln3 4 2 . 3.sen2 . l n3 4 2 . 3.1 . ln3 4 2 . l n3 ∗çã 4 ,1: 1 2 . l n3 4

2.ln3 2 ln3 1


68/265

68

ln ; . ln sen2 . lnln 2.cos2. lnln sen2 .

1 .

1ln

2.cos2. lnln sen2 l n ln 2.cos2. lnln sen2 l n . 4. arcsen 1 ; , 0 < < 1. ∗ 1 √ . ã arcsen. ,: ∙ ∙ 2 ∙ 12√ ∙ 1√ 1 √ 1 ∙ √ 1 1 √ 1 ∙ √ ; : || ||√ 1

log ; 1. log . .log 1 l n ∙ 2.log 1 2 l o g . ln ∴ 1 1 2 l o g 11. l n 1 2 . 0ln 1ln . 5. tgh(√ ) ; çã 0,0. ∗ çã é é . , 1 .tgh(√ ) . [tgh(√ )] tgh(√ ) . 1

2√ .sech(√ )

∗ 0, 0,:


69/265

69

0 tgh(√ 0 ) . 12√ 0.sech(√ ) ; ∗ ℎá çã 0.

∗ ,

tgh(√ ) . 1

2√ .sech

(√ ) ó

> 0. , ó +0 á . lim→ l i m→ tgh(√ ) . 12√ .sech(√ ) lim→ tgh(√ ) l i m→ .sech(√ )2√ ∗ ã é ! ∗ çã à . lim→ .sech(√ )2√ ; → 0+ ã > 0., √ √ .

lim→ .sech(√ )

2√ l i m→ √ .sech(√ )

2 0.12 0.

∗,+0 0. , −0 ∄. 0 ∄. ,ã ℎá ℎ 0, 0 ,, ã ℎá ! ∗ : á +0,í í,, çã ã é í 0, , ã é á . arccos

3 ; 1

2.

1 ∙ 1 1 3

1 1 3 1 1 23 9

31 √ 9 9 6 .

12 1 1 4⁄ 1 1 2 1 5 7 6⁄ 24. 3 4⁄ √ 455 18√ 455.

ln l n 31 √ 9 9 6 ln ln 3 3 ln 9 9 6 ln ln 3 3 12 ln9 9 6 6 3 3 12 ∙ 6 24 189 9 6

∙ 2

1 6 24 1829 9 6


70/265

70

12 12 . 2 121 14

6. 132 24. 18 18. 122 9 9 . 14 6. 116 164

12 18√ 455 43 316 3 9 2 9 94 38 164 12 18√ 455 43 991645532 12 18√ 455 43 198455 12 24

√ 455 3564

455√ 455.

3.10 3ª Prova-01 de Novembro de 2008

1. çã 1√ 1 7.

∗ 7 1√ 7 1 1√ 8 12. ∗ 13 ∙ 1 1(√ 1 ) 13 1√ 1 ; 7 137 1√ 7 1 13. 8. √ 8 148. ã çã:

12

148 7

148 3148 ln1,08 . çã á é: l n 1 ∗ ó 1,08, ℎ ln 1 0., 10,08.∗ : . ∆

∗ ≅ ∆, ã: ≅ .


71/265

71

∗ 1 0,08 1 0,08, : 10,08 1 ≅ 11 . 0,08 1,08 0 ≅ 0 , 0 8 1,08 ≅0,08

2. 2 s e n c o s2 . ú í ≤ ≤ . ∗ ú í çã é ú í 0 ã . 2 c o s 2 s e n2 2 c o s 4 s e n . c o s 2 c o s 1 2 s e n

0 ⇒ 2 c o s 01 2 s e n 0 2 cos 0 ; 2 2 . é ,. 1 2 s e n 0 → s e n 12 ; 6 56 . ∗ , ú í ã: 2 , 6 , 2 56 . é ℎ, á í çã í ℎ , . 1 ú í , ; 2 ; 3 1 2 é á , é í . ∗ 1 2 2 s e n 2cos 2 1 3 . 6 2 s e n 6 cos 3 1 12 32.

2 2 s e n

2 c o s 2 1 1 .

56 2 s e n 56 cos 53 1 12 32. ∗ 2 2sen cos 2 0 1 1. 2sencos2011.∗ 3 á ,, á é 6 56 32 í é 2 3 .

3.

3 2 ; ã ∈ 0,5 5 05 0 .


72/265

72

83 325 2530 56.

2 3

2

5

2

∗ : 5 2 56 → 2 6 → 2 √ 6 . ∗ , ã ℎá ∈ ℝ ç çã . ∗ ã é? çã ç ℎó: 1 é í ℎ , ; 2 é á , ; ã ∈ ,

.

1 çã 3 2 ã é í 0, 5, , 2 ã í . , é í 2. 2 çã 3 2 ã é á 0,5,, 5 2 ó ≠ 2, 2 ∈ 0,5. ∗ , ã ∈ 0,5 5 05 0 ã

é!

³ 9² 33 8 í . 0 8 1 35. ∈ ℝ 0. ∗ é çã , , í 0, 1 , 0 < 0 < 1, á ú , ∈ 0, 1 0. , ê í 0,1. ∗ ℎ ℎ 2 í , , 0, ≠ . é çã í á , , ú ∈ , 0. 3 1 8 3 3

0 → 3 1 8 3 3 0 6 1 1 0 ∆36448. ∆


73/265

73

∙

1

32 1

1 ∙ 4

83 1 8.33 3 1 8 8² 84 2/∗ á, é çã ã çã , : 1 → 12 (3. ). 1 1 4 12 (3. 2. ). 1√ 1 2 4 12 (12). 13 2 4 1 2 . → 2/5. ∗ õ:

4 43 ∗ 4/ 0,1/ ∗ . ∙ 4 8 . 0,1

5

∙ 4. 0,1 4. 25 . 0,1 10 ³/


74/265

74

3.11 Reposição da 1ª Média-13 de Dezembro de 2008

1. ; çã . → → cosh 1 ∴ 0. : 0, .

s e n h . . ∗ : é à . , , 1 1senh. ∗ 0, ∄ , é, lim→|| ∞. ∗ ℎ ã. ∗ , é . é

10 0

0 0 . √ 3 24 3 ; í ℎ. ∗ í . ℝ 34}. ∗í: : é í

: lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ ê í çã., 34⁄ é í : lim→ l i m→

√ 3 24 3 l i m→√ 3 2

√ ⁄↑4 3 ↓

∞

∗ : → 3 4⁄ + , ã > 3 4⁄ 3 4⁄ > 0. lim→ l i m→ √ 3

24 3 l i m→ √ 3 2 √ ⁄↑4 3 ↓

∞ ∗ : → 3 4⁄ − , ã < 3 4⁄ 3 4⁄ < 0. ∗ , 3

4 é í .

: é í ℎ :


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75

lim→+ lim→−

lim→+ l i m→+ √ 3

24 3 l i m→+√ 3 2

||4 3|| l i m→+√ 3 2

√

4 3 l i m→+ 3 2

4 3

√ 3 04 0 √ 34 . ∗ : → ∞ ã || ; || . , √ 34 é í ℎ á .

lim→− l i m→−√ 3 2

4 3 l i m→−√ 3 2||

4 3|| l i m→−

√ 3 2√4 3 l i m→−

3 24 3

√ 3 0 4 0 √ 34 . ∗ : → ∞ ã || ; || . , √ 34 é í ℎ á . 2. . || ; , ≥ 0

, < 0.

∗ çã ,: ∗ ∆ > 0, ã: l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→ 2 ∆ ∆ ∆ l i m∆→ 2∆∆∆ l i m∆→ ∆2 ∆ ∆ l i m∆→2 ∆ 2 . ∗ ∆ < 0, ã: l i m∆→ ∆

∆ l i m∆→ ∆

∆ l i m∆→ 2 ∆ ∆

∆

l i m∆→ 2∆∆∆ l i m∆→ ∆2∆∆ l i m∆→2∆ 2. , ã : 2, ≥02,


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76

lim→+ 2 5 l i m→+ (√ 2 5 ) (√ 2 5 )(√ 2 5 )

lim→+

2 5

(√ 2 5 ) l i m→+ 25√ 2 5 l i m→+25||√ 2 5 ||

lim→+ 25√ 25√ l i m→+ 25 1 25 1

25√ 1 0 1 251 1 252 . ∗ : → ∞ ã || ; || .

3. , < 22 1 , ≥ 2.

∗ çã é í , , : 1 ; 2 lim→ ; 3 lim→ . ∗ çã 2,: 1 2 2. 2 1 8 1 7 . 2 lim→ l i m→ 2 . : ã ℎá à 2,

lim→ 2. 3 lim→ 2 → 2 7 ∗ é çã í 2. á 2: +2 l i m→ 2 2 l i m→ 2 1 7 2 l i m→ 2 8 2 l i m→ 2 4 2 lim→ 2 2 2 2 l i m→ 2 2 22 2 8.

−2 l i m→ 2 2 l i m→ 7 2 l i m→ 7 2 7 2 lim→ 2 2 l i m→ . ∗ á 2 +2 −2., 8. çã : 2 . 7 → 1 6 7 → 9 . ∗ çã: 8 9. 4. ³ ³ 6 ; çã 3,3.

∗ çã í, : 3 3 6 6


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77

2 2 . 2 2 2 ²

² 2 ; 3,3 2.33²

3²2.3 6 9

9 6 3

31.

∗ çã :

3 1 3 3 3 6 é ℎ 0 0 ⇔ 2 0 2 ≠ 0 2 → 2 . ã , :

2 6 2 8 3 → 2 8 → 16 0 → 16 0 , 0 1 6 0 → 0 √ 16 . ∗ 0 : 0

6 . 0 . →

0 → 0 . 0, 0.

: 0, 0 ã çã ≠ 2. , ã

ℎ .∗ √ 16 : (√ 16 ) 6. √ 16 . → 6√ 16 1 6 0 çã ≠2. 2 . , 2 √ 16 . çã ,:

± 2 √ 16

6√ 16

± 2√ 16

1 6 0

2√ 16 ± 2√ 16 6√ 16 ± 2√ 16 1 6 0 2√ 16 (2√ 16 6 √ 16 ) 1 6 0 4√ 16 2 √ 16 1 6 ≠ 0 . , ≠ 2. , ℎ √ 16 . ã ℎ çã

2 → √16

2 .


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78

∗, ℎ √ 16 , √16 2 .

5.

sen(tg √ sen) ; .

∗ sen , √ tg , ã sen ,: ∙ ∙ ∙ cos. 12√ . sec . cos cos.sec(√ sen).cos(tg √ sen)2√ sen

2 ∗ 1. , 3 . ã 2 . ,: ∙ ∙ 2 ∙ 3 ∙ ln3 ∙ 2 ∙ ln2 2 ∙ 3 ∙ ln3 ∙ 2 ∙ ln2

1 2 ∙ 3

∙ ln3 ∙ 2

∙ ln2

1 4 8 ∙ l n3 ∙ ln2 3.12 Reavaliação da 2ª média-13 de Dezembro de 2008

1.

∗ çã , õ: 2

, é é â

. ;

∗ ã 2/


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79

çõ,: 100 100 2. 2. 0 .′ : 2/ . . . 2 2 2 1 0 0 2 1 0 0

∗ 6 :

2√ 1 0 0 3 6 2 36√ 10036 2√ 64 72√ 64 1697²/ 2.

, ℎ ,

. çã â â,: ℎ → ℎ → ℎ 13 . ℎ 13 . → 3 ∗ : ã ! 3 23 ; 0 : 23 0 2 3 0 ∴ 23 .


80/265

80

23 , ℎ:

ℎ

ℎ 23

3

3 .

, 23 ℎ 13 . á 13 . . ℎ 13 49 . 3 481 . 3. ∫ 5

12

5

12

² 5 12

5

2 5 .

1 ú í .

0 2: 0 0 0 0 1 1 . 2 2 2 2 1 5 . ∗,0 < 0 < 2, é, 0 é ú 0 2. é í 0, 2, á ú 0 2 0. , çã ³ 1 í 0, 2. ∗ℎ ℎ 2 í . é í á , , é ô, ú ∈ , 0.

3 2 1 ; ∆ 4 12 8. , ã í . ,ã ú 0 , , ú í . ∗: í ã é í á ô 3º . 1 é í . , 1 1. é í, , ã í . 1, 0. 4.

1 ; ç á!

1 í : ℝ 1. 2 çõ : 0, 0. 3 : 3 1 . 2. 1 1 3 1 2 1 3 1 3 1 ; 3 1 ∗ ,: 0

3 3

1 1 0 1 3 ²3/1³


81/265

81

∗ á , í: é ∞,1 ∪ 3,∞ é 1, 3

4 í:

0 ã . 0 0 3. 0 0 ; 3 33 1 274 . í∶ 0, 0 3, 274 . ã 1. , 1 ã í , ,ã é ú í. 5 :

3 6 1 3. 3. 1

1

3 6 1 3 9 1 6 1 : 0 6 1 1 0 1 6 / 1 ∗ á , í:

0, 1 ∪ 1,∞ ∞,0 6 ã: 0 0. 0 0 . ã 0, 0. 7 í: ∗ : é í :

lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ é í 1. 1 é í : lim→ l i m→ 1 l i m→

↑ 1 ↓

∞ ∗ : → 1+ , > 1 ã 1 > 0 ⇒ 1 > 0


82/265

82

lim→ l i m→ 1 l i m→ ↑

1↓

∞ ∗ : → 1− , < 1 ã 1 < 0 ⇒ 1 > 0. , 1 é í á . ∗ : é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 1 l i m→+ 2 1 l i m→+ 32 2 l i m→+ 62 l i m→+ 3

∞.

, ã í ℎ.

∗ í: é í í , lim→± 0 2 1 2 3 2 2 1 lim→± 2 l i m→± 3 2 2 1 l i m→±

3 2 2 1 l i m→±3 21 2 1

lim→± 3 l i m→± 2lim→±1 l i m→± 2 l i m→± 1 0 01 0 0 01 0. ∗ , 2 é í í á


83/265

83

5. lim→2 1 (+)⁄ lim→ +()⁄ lim→ ++ → ++; ∗ : lim→ ln2 1sen lim→ 22 12 1 cos² lim→ 22 1²cos² 20 1.cos0 0 2cos0 21 2. ∗ lim→2 1 (+)⁄ → ++ . ⁄ 2 c o s ; 0 1 0 . ∗

é:

35 ⁄ 2 s e n 0 1 ; 0 1 ∴ 1 1 → 2. 35 ⁄ 2 s e n 2 ∗ é: 2 940 ⁄ 2 c o s 2 0 2 1 3 ; 0 ∴ 3 → 3. , 2 940 ⁄ 2 c o s 2 3.3.13 Prova Final-18 de Dezembro de 2008

1. 2ℎ 1/

6

/

2ℎ2 ↔ 2ℎ2 12 (. ℎ 2ℎ)

12 (

. ℎ . ℎ

2ℎ

)

12 . ℎ . ℎ 2 ℎ


84/265

84

6 12 . ℎ .1 2 .1 12 . ℎ 2 1 0 ℎ .

ℎ ã ,, çã çã . é 10 á é 50,: 50 2. 102 ⇒ 2 1 0 → 8 ∴

1 0 8

10 2

100,2/.

2. ln 1 , ≥ 0ln1 , 1 < < 011 , ≤ 1∗ é çã ,, é í í ç. ç, : ∗ ç é çã í, 1 > 0 1. í , á çõ . , çã

ln 1 > 1. ç é á ≥ 0, ã é í 0,∞. ∗ ç é é çã í,é, ô ., ê çã ln1 , 1 >0., 1 1 1

∗ á, çã ln1 1 < < 1.

ç 1 < < 0, , é í 1,0. ∗ ç é çã , í, , ,á é çã . ç,: 11 ; 1 ≠ 0 ç 1 0 , ã 1 → ±√ 1 ; , ã çã ã. , 1

≠ 0 , ∀ ∈ ℝ .

, ç é á . ç ≤1., é í ∞,1.


85/265

85

∗ á, é í ∞,1 ∪ 1,0 ∪ 0,∞. é í ℎá ç çã, , 1 0.

∗ çã é í , ,

1 ; 2 lim→ ; 3 lim→ ∗ 1: 1 1 11 1 11 1 12. 2 lim→− ; lim→− l i m→− ln1 ; → 1+ ã > 1., 1 > 0. ∗ 1

→0 , lim→− ln1

∞;

∗,lim→− ∄, ã ℎá à 1. , ã é í 1. ∗ 0: 10 ln0 1 ln1 0. 2lim→ ; lim→ l i m→ ln1 l n l i m→1 l n1 0. lim→

l i m→

ln 1 l n l i m→

1 l n1 0. ∗,lim→ 0.

3 lim→ 0 0. , é í 0. ∗ á é í ∞,1 ∪ 1,∞. tg cotg ; ú í 0, 2. ∗

6

3:

6 t g 6 cotg 6 6 1√ 3 √ 3 6 6 1 8 √ 36√ 3 ( 1 2 √ 3)6√ 3 ; 3 tg 3 cotg 3 3 √ 3 1√ 3 3 9 3 √ 33√ 3 6 √ 33√ 3 ;∗ é çõ, tg cotg ã çõ é í 6 , 3 , çã é é í ., é í 6 , 3.,6 < 0 < 3, ã, á ∈ 6

, 3

, 0. , í 0, 2.


86/265

86

∗ í á 0, 2 , ℎ 2 í , , ú ∈ , 0.

sec

cossec

1

0 → s e c cossec 1 0 → sec cossec 1 1cos 1sen 1 → sen c o s sen .cos 1 → 1sen .cos 1 ; sen .cos 1 → s e n . 1 s en 1 → s e n 1 0 s e n 1 0 ∗ sen ã: 1 0 → ∆ 1 4 3. ,ã ℎá çã çã! , ã ∈ , 0. , ú í 0,

2.

3. sec √ ; 16 .∗ √ , sec . ã √ . ,: ∙ ∙ 12√ ∙ s e c ∙ t g ∙ 12√ 14 ∙ 1√ sec √ ∙ t g √ ∙ 1 sec √

16 14 ∙ 1 16 sec 16 ∙ tg 16 ∙ 1 sec 16

16 14 ∙ 4 ∙sec 4 ∙ tg 4 ∙ 1 sec 4

16 14 ∙ 4 ∙ √ 2 ∙ 1 ∙ 1 √ 2

16 √ 2 √ 2 2 ⁄. 2 ⁄ 2 ⁄ .

2 ; 0. ∗ senh arctg , ã 2 . ,:

∙

∙

c o s h ∙ 11 ∙ 2 ∙ ln2


87/265

87

c o s h ∙ 11senh ∙ 2 ∙ ln2 0 cosh0 ∙ 11senh0 ∙ 2 ∙ ln2 0 1 ∙ 11 0 ∙ 2 ∙ ln2

0 2 ∙ ln2 0 ln2 4. cos ; ; ln ∙ l n cos ln ∙ l n l ncos

ln lncos 1 sencos l n cos 1 . t g cos ∙ ln cos 1 . t g lim→ lim→ cos lim→ lim→ . → . . ∗ , : lim→ . ln cos l i m→ . l n l ncos l im→ l n l ncos1

lim→ 1 t g 1 lim→ . t g 0. , lim→ → . 1. 5. 9 1 ; 3,1. çã í,:

2 9 2 2 1 2 4 1 8 4 2 4 184 2 ; 3,1: 4. 27 1834 2 542 27 ∗çã 3,1 27: 1 2 7 3 2 7 8 1 1 2 7 8 0 ln ; ∈ ℝ 0?


88/265

88

3 ∙ ln ∙ 1 3 ∙ 2 ∙ l n ∙ 1 ∙ 1 ln 1 3 ∙ 2 l n ln

→ 3 l n 2 l n

0 ⇔ 3 l n 2 l n 0 , ≠ 0 → ≠ 0 . 3 l n 02 l n 0 → l n 0 ∴ 1 . 2 l n 0 → l n 2 ∴ . ∗ , 0 ã: 1,: ln 1 0 0. 1, 0, ,: ln

2

8.

, 8.

6. 3 |2 4| ; ã é á. ∗ |2 4| 2 4 , ≥ 22 4, < 2 ; 5 4 , ≥ 2 4, < 2 . ∗ é çã , çõ ,,í á í. , é í á ∞,2 ∪ 2,∞. é í á 2, ℎá ç çã. 1 é í 2. ∗ 2 2 5. 2 4 4 1 0 4 2 . ∗ l i m→ l i m→ 5 4 4 10 4 2 ; ∗ l i m→ l i m→ 4 4 2 4 6 ; , lim→ ≠ l i m→ ,ã lim→ ∄. ∗ , ã é í 2. ∗ ã é á á 2.

7.

Á . ; . 1 8 0 0 → 1800 ; 2 4 2 4 3600 4


89/265

89

3600 4 → 4 3600 → 4 900 30 30 900 0

30 0 30 ′ ∗ ã < 0 . , 30 é ! 30, / . í . 30 360030 4. 30 1 2 0 1 2 0 2 4 0 ∗ ã çã, 10, 20 40: 10 360010

410 3 6 0 4 0 4 0 0 20 360020 420 1 8 0 8 0 2 6 0 40 360040 440 9 0 1 6 0 2 5 0 , 30 . 8. 2 ≤ ∫ 1 − ≤ 2√ 2 ;∗ çã 1 ; ∗ 1 > 0 ,∀ ∈ ℝ ., ℝ.1ª: é çã ! , ; 1 ² ; ℝ. 2ª : é í á ; çõ, 1 1, , ∈ 1,1 0. 0 → √ 1 0 ∴ 0. . 0, 0 1. é ℎ, :

1 ú í 1,1: 0 12 : 1 1 √ 2 ,í ∀∈ 1,1 : 1 ≤ ≤ √ 2 ã , : ∫ 1− ≤ ∫ − ≤ ∫ √ 2−

1(1 1) ≤ ∫ 1

− ≤ √ 2(1 1)


90/265

90

1 ∙ 2 ≤ ∫ 1 − ≤ √ 2 ∙ 2 2 ≤ ∫ 1 −

≤ 2√ 2 1√ 1 1 2 s en 1 0. . ∗ é:

arcsen ln 2 cos , é . 1 arcsen1 ln1 2cos1 1 2 0 2 c o s1

1

2 2cos

1

;

1

0 . ,

2 2cos1 0 → 2 2cos1. ∗, a r c s e n l n 2 c o s 2 2cos1 9. ℎ 10 ∗ 6,02 . , 60,02. : . ∆ ≅∆,ã: ≅ . 6 0,02 27 1, : 60,02 6 ≅′6. 0,02 6,02 10.6 ≅20.6.0,02 6,02 ≅2,4360 6,02 ≅ 362,4 ³

10.

1 1 ;1 í : ∗ 1 ≠ 0 ; 1 0 → 1 → √ 1 ∉ ℝ. 1 ≠ 0 , ∀ ∈ ℝ . ∗ ℝ. 2 çõ : 0 0 10 1 11 1. 0, 1.

0 → 1

1 0 → 1 0 → 1 . 1,0.

3 í:


91/265

91

∗ : ã ℎá í á , é í .,ã ℎá . ∗ : é í ℎ :

lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 1 1 l i m→+ 2 1 1 l i m→+ 2 1 1

lim→+ 1 2 11 1

lim→+ 1 l i m→+ 2 l i m→+ 1lim→+ 1 l i m→+ 1 1 0 01 0 11 1. ∗, 1 é í ℎ á .

4 : 2 1 1 ; 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 1 2 2 1 → 21 1 ∗ ,: 1 1 21

Documents

Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1