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Respostas de segunda ordem em função da relação de amortecimento
Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Subida: tempo para a resposta variar de 10% até 90% do seu valor final;
• Tempo de Estabilização: tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 98% do valor de estado estacionário;
Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Pico: tempo necessário para que a resposta alcance seu valor máximo;
• Ultrapassagem Percentual (Sobrenível Percentual): O quanto o valor da resposta (em Percentual) ultrapassa no tempo de pico o valor de estado estacionário da resposta.
Especificações da resposta de segunda ordem subamortecida
máx
1,02
0,98
0,9 cfinal
0,10,1 cfinal
Tempo de Pico
tsenedt
tdc
sssC
sssC
ssssC
dt
tdc
ntn
nn
nn
nn
n
nn
n
n 2
2
222
2
2
222
2
22
2
11
1
1
1
1
2
Tempo de Pico
2
2
2
2
2
2
1
11
...2,1,0;1
01
011
n
p
p
n
n
n
ntn
T
nparaocorreTn
t
nnt
tsen
tsenedt
tdcn
Percentual de Ultrapassagem (Sobrenível Percentual)
%100%
1
1cos1
11
111cos1
:1
11
1cos1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
22
21
2
2
2
2
xeUP
etc
senetc
senetc
temosTpicodetempoaoigualtpara
tsentetc
n
n
n
n
n
p
nnt
n
n
n
Tempo de Estabilização
ns
ns
n
t
t
nt
T
T
t
e
e
tetc
n
n
n
4
7,4102,0ln9,0;92,3102,0ln1,0
102,0ln
102,0ln
102,0
02,01
1
1cos1
11
22
2
2
2
2
2
2
%100%21 XeUP
100/%ln
100/%ln22 UP
UP
21
n
pTn
sT 4
Ultrapassagem percentual em
função da relação de amortecimento
Relação de amortecimento,
Ult
rapa
ssag
em p
erce
ntua
l,%U
P
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Tempo de subida normalizado
versus relação de amortecimento
para uma resposta de
segunda ordem subamortecida
Relação de amortecimento
Tem
po d
e su
bida
× F
reqü
ênci
a na
tura
l
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,90,80,70,60,50,40,30,20,1 1,104
1,2031,3211,4631,6381,8542,1262,4672,883
Tempo de subida
normalizado
Coeficiente de
amortecimento
Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores da relação de
amortecimento
0,11,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2
0,40,5
0,80,6
Exemplo
• Encontre para uma entrada degrau para o sistema abaixo
sp TeUPT %,
10015
1002
ss
sG
plano s
2
22 1
cos
nn
n
RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE RESPOSTA AO DEGRAU E A POSIÇÃO DOS PÓLOS DE G(S) NO PLANO “s”
AMORTECIDA
NATURALFREQUÊNCIAd
AMORTECIDA
LEXPONENCIAFREQUÊNCIAd
dn
pT
21
dnsT
44
AMORTECIDALEXPONENCIAFREQUÊNCIA
AMORTECIDAOSCILAÇÃODEFREQUÊNCIA
d
d
Linhas de valores constantes para tempo de pico, Tp, tempo de assentamento, Ts, e ultrapassagem percentual, %UP - Nota: %UP1 < %UP2
2
22 1
cos
nn
n
dn
pT
21
plano s
%UP1
%UP2
dnsT
44
Respostas ao degrau de sistemas de segunda
ordem subamortecidos à medida que os pólos
se movem:a. com parte real
constante;b. com parte imaginária
constante;c. com relação de amortecimento
constante.
A mesma envoltória
A mesma freqüência
A mesma ultrapassagem
plano s
plano s
plano s
Movimentaçãodo pólo
Movimentaçãodo pólo
Movimentaçãodo pólo
Exemplo:Encontre
plano s
spn TUPT ,,%,,
%100%21 xeUP
100/%ln
100/%ln22 UP
UP
21
n
pTn
sT 4
Resposta de Sistemas com três pólos
rdn
dn
s
D
s
CsB
s
AsC
22
tdd
t rn DetCsentBeAtc cos
Influência de Terceiro Pólo em um sistema de Segunda Ordem
• Quanto menor a Constante de Tempo do pólo menor sua influência na resposta
• Quanto mais a esquerda do plano “s” estiver o pólo menor será o resíduo associado a este pólo (ver exemplo a seguir)
Influência do Resíduo do Terceiro Pólo
000045,0,0067,0,135,0
0024,0....)10(22
2
024,0....)5(22
2
5,0....)2(22
2
1052
102
52
22
eee
etcssss
sC
etcssss
sC
etcssss
sC
t
t
t
Validade de aproximação de Segunda Ordem
• Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três (ou mais) pólos pode ser aproximado por um Sistema de Segunda Ordem se os pólos adicionais estiverem a esquerda dos pólos dominantes, pelo menos cinco vezes mais distantes.
EXEMPLO•
• -2.0000 + 4.5323i• -2.0000 - 4.5323i
3542,244
626,73
10542,244
42,245
542,244
542,24
23
22
21
sssssC
sssssC
ssssC
Respostas ao degrau dos
sistemas T1(s), T2(s) e T3(s)
Tempo (s)
Res
post
a no
rmal
izad
a
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4