25

RETA Equação vetorial da reta

Consideramos um ponto ),,( 111 zyxA e um vetor não nulo ),,( cbav = . Só existe

uma reta r que passa por A e tem direção de v . Um ponto ),,( zyxP pertence a r se, e

somente se, o vetor AP é paralelo a v , isto é

vtAP = (1)

para algum real t.

De (1) vem

vtAP =− ou vtAP += (2)

ou, em coordenadas

),,(),,(),,( 111 cbatzyxzyx += (3)

Qualquer uma das equações (1), (2) ou (3) é denominada equação vetorial de r.

O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.

Exemplo: A reta r que passa por A(1,-1,4) e tem direção de )2,3,2(=v , tem equação

vetorial:

Observação: Vimos que a cada t real corresponde um ponto rP ∈ . A recíproca também

é verdadeira, isto é, a cada rP ∈ corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se

que o ponto P(5,5,8) pertence à reta r: (x,y,z) =(1,-1,4) + t (2,3,2)

26

Logo, o ponto (5,5,8) é um particular (x,y,z) na equação e, portanto, é verdadeira

a afirmação (5,5,8)=(1,-1,4) + t(2,3,2), para algum real t.

Da igualdade, vem

(5,5,8)-(1,-1,4) = t (2,3,2) ou (4,6,4) = t (2,3,2) 2=� t .

Equações Paramétricas da reta

Da equação vetorial da reta

),,(),,(),,( 111 cbatzyxzyx +=

ou ainda

),,(),,( 111 ctzbtyatxzyx +++=

pela condição de igualdade obtém-se:

��

��

�

+=+=+=

ctzz

btyy

atxx

1

1

(4)

As equações (4) são chamadas equações paramétricas da reta.

Exemplos:

1) A reta r que passa pelo ponto A(3,-4,2) e é paralela ao vetor )3,1,2( −=v , de

acordo com (4), tem equações paramétricas:

2) Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor )3,2,1( −=v , pede-se:

a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de v .

b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4, respectivamente.

c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.

d) Verificar se os pontos D(4,-1,2) e E(5,-4,3) pertencem a r.

e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m,5,n) pertence a r.

27

Reta definida por dois pontos

A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a

direção do vetor ABv = .

Exemplo: Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3,-1,-2) e B(1,2,4).

Equações Simétricas da Reta

Das equações paramétricas

atxx += 1 btyy += 1 ctzz += 1

supondo 0≠abc , vem

axx

t 1−= b

yyt 1−=

czz

t 1−=

Como cada ponto da reta corresponde um só valor de t, obtemos as igualdades

czz

byy

axx 111 −=−=−

(5)

As equações (5) são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto

),,( 111 zyxA e tem a direção do vetor ),,( cbav = .

Exemplo: A reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção do vetor )1,2,2( −=v ,

tem equações simétricas:

28

Equações Reduzidas da Reta

Em vez de realizar um tratamento genérico, tomaremos um caso particular.

Seja a reta r definida pelo ponto A(2,-4,-3) e pelo vetor diretor )3,2,1 −=v e expressa

pelas equações simétricas

33

24

12

:−+=+=− zyx

r (6)

A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira.

Isolando, primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtém-se

82424

)2(2)4(12

41

2

−=−=+

−=+

+=−

xy

xy

xy

yx

33633

)2(3)3(133

12

+−=+−=+

−−=+−+=−

xz

xz

xz

zx

(7)

Estas duas últimas equações são equações reduzidas da reta r, na variável x.

Observações

a) É fácil verificar que todo rP ∈ é do tipo )33,82,( +−− xxxP , onde x

pode assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x =3 tem-se o ponto

.)6,2,3(1 rP ∈−−

b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma ���

+=+=

qpxz

nmxy

c) Com procedimento idêntico, a partir das equações (6), pode-se obter as

equações

���

���

�

−−=

+=

923

421

yz

yx (equações reduzidas na variável y)

ou

���

���

�

−−=

+−=

632

131

zy

zx (equações reduzidas na variável z)

d) A reta r das equações (6) pode ser representada pelas equações paramétricas

��

��

�

−−=+−=

+=

tz

ty

tx

3324

2

29

Da primeira equação obtém-se 2−= xt que, substituindo nas outras duas as

transforma em 33)2(33

82)2(24+−=−−−=

−=−+−=xxz

xxy

que são as equações reduzidas de (7).

e) Para encontrar um vetor diretor da reta ���

+−=−=

3382

:xz

xyr uma das formas é

determinar dois pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o vetor

ABAB −= . Por exemplo, para x=0, obtém-se o ponto A(0,-8,3) e para x=1,

obtém-se o ponto B(1,-6,0). Logo )3,2,1( −=AB é um vetor diretor de r.

Retas paralelas aos Planos Coordenados

Uma reta r é paralela a um dos planos xOy, xOz ou yOz se seus vetores diretores

forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é

nula. A figura seguinte mostra a reta r ( r// xOy) que passa pelo ponto A(-1,2,4) e tem

vetor diretor )0,3,2(=v .

As equações paramétricas

de r podem ser dadas por:

��

��

�

=+=+−=

43221

z

ty

tx

Obs.: A terceira componente do vetor diretor é nula pois xOyv // . Assim, todos os

pontos de r distam 4 unidades do plano xOy.

30

A reta dada por ��

��

�

+==

−=

tz

y

tx

2351

é um exemplo de equação paramétrica de uma reta

paralela ao plano xOz.

Retas paralelas aos Eixos Coordenados

Uma reta r é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores

forem paralelos a )0,1,0(),0,0,1( == ji ou )1,0,0(=k . Neste caso, duas das

componentes do vetor são nulas.

Exemplo: A reta r que passa pelo ponto A(2,3,4) e tem vetor diretor )3,0,0(=v . Como a

direção do vetor v é a mesma de k , a reta r é paralela ao eixo Oz.

��

��

�

+===

tz

y

x

r

3432

:

Para o caso particular acima, diz-se que as equações de r são ���

==

32

y

x.

A figura seguinte são exemplos de retas paralelas aos eixos Oy e Ox, respectivamente.

31

Ângulo de duas retas

Sejam as retas 1r e 2r com direções de 1v e 2v , respectivamente.

Chama-se ângulo de duas retas 1r e 2r o menor ângulo de um vetor diretor de 1r

e de um vetor diretor de 2r . Logo, sendo θ este ângulo, tem-se

21

21.cos

vv

vv=θ com

20

πθ ≤≤ (8)

Exemplo: Calcular o ângulo entre as retas ��

��

�

−−==

+=

tz

ty

tx

r

21

3:1 e

113

22

:2

zyxr =−=

−+

Retas ortogonais

Sejam as retas 1r e 2r com as direções de 1v e 2v , respectivamente. Então,

0. 2121 =⇔⊥ vvrr

32

Observação: Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na figura, as retas

1r e 2r são ortogonais a r. Porém 2r e r são concorrentes. Neste caso, diz-se que são

perpendiculares.

Exemplo: As retas ���

=+−=

xz

xyr

412

:1 e ��

��

�

=+=−=

tz

ty

tx

r 423

:2 são ortogonais.

Interseção de duas retas

Exemplos: Verificar se as retas 1r e 2r são concorrentes e, em caso afirmativo,

determine o ponto de interseção:

1) ��

��

�

−=+=+=

hz

hy

hx

r

221

3:1 e

��

��

�

+=−−=

+=

tz

ty

tx

r

423

35:2

2) ���

−=−=

xz

xyr

32:1 e

��

��

�

+=−=

−=

tz

ty

tx

r

224:2

33

3) ���

−=+−=52

23:1 xz

xyr e

461

22

:2

zyxr =

−−=+

Observações:

a) Se duas retas, como no exemplo (1), se interceptam, elas são coplanares, isto é,

estão no mesmo plano. Também são coplanares as retas do exemplo (3).

b) Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. É o caso do exemplo

(2), pois as retas além de não concorrentes são não-paralelas, e, portanto, não-

coplanares.

34

Exercícios

1) Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2,-3,4) e

B(1,-1,2) e verificar se os pontos C(5/2,-4,5) e D(-1,3,4) pertencem a r.

2) Dada a reta ��

��

�

+−=−=+=

,2432

:tz

ty

tx

r determinar o ponto de r que:

a) a ordenada seja 6

b) a abscissa seja igual a ordenada

c) a cota seja o quádruplo da abscissa.

3) Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos

casos:

a) A(1,-1,2) e B(2,1,0) b) A(3,1,4) e B(3,-2,2)

4) O ponto P(m,1,n) pertence à reta que passa por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). Determine

P.

5) Verificar se os pontos 1P (5,-5,6) e 2P (4,-1,12) pertencem à reta

22

21

13

:−−=+=

−− zyx

r .

6) Obter as equações reduzidas na variável x, da reta

a) que passa por A(4,0,-3) e tem a direção de )5,4,2(=v

b) pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1)

c) dada por ��

��

�

−==

−=

5432

tz

tytx

7) Na reta ���

−=+=1

32:

xz

xyr , determinar o ponto de

a) ordenada igual a 9

b) abscissa igual o dobro da cota

c) ordenada igual ao triplo da cota

35

8) Determinar os pontos da reta 21

12

3:

−=

−+=− zyx

r que tem:

a) abscissa 5; b) ordenada 4; c) cota 1.

9) Determinar o ângulo entre as seguintes retas:

a) ��

��

�

−==

−−=

tz

ty

tx

r

23

2:1 e

11

16

2:2

−=+= zyxr

b) ���

−=+−=

232

:1 xz

xyr e

11

:2 −+= z

yr x =4

c) 21

124

:1 −+=

−=− zyx

r e ��

��

�

−=

=

32

4

1:2 zy

xr

10) Sabendo que as retas 1r e 2r são ortogonais, determinar o valor de m para os

casos:

a) ��

��

�

−=+=

−=

tz

ty

mtx

r

431

32:1 e

���

+−=−=

412

:2 yz

yxr

b) ���

−=+=1

3:1 xz

mxyr e :2r reta por A(1,0,m) e B(-2,2m,2m)

11) Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente

ortogonal às retas 1r e 2r , nos casos:

a) A(3,2,-1) ���

−==

13

:1 y

xr

���

+−=−=

323

:2 xz

xyr

b) A(0,0,0) 2

312

:1

−== zyxr

��

��

�

=+−=

=

21

3:2

z

ty

tx

r

12) Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto

de interseção:

a) ���

+−=−=

532

:1 xz

xyr e

���

+=+−=

173

:2 xz

xyr

36

b) 4

231

23

:1

−=−+=− zyx

r e ��

��

�

+−=−=+−=

tz

ty

tx

r

3841

:2

c) ���

−−=−=

1032

:1 xz

xyr e

21

34

:2 −+=−= zy

xr

13) Dadas as retas yx

r −=−2

1:1 , z=3 e

��

��

�

+=+−=

=

tz

ty

tx

r

21:2 encontrar equações

reduzidas na variável x da reta que passa por A(0,1,0) e pelo ponto de interseção

de 1r e 2r .