Retracção em Lajes

ESTUDO DA FENDILHAO EM LAJES RESTRINGIDAS, DEVIDA AO EFEITO

CONJUNTO DA RETRAO E DAS AES

DISTRIBUDAS NO PISO

JORGE FREIRE DE CARVALHO

Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM ESTRUTURAS

Orientador: Professor Doutor Rui Manuel Carvalho Marques de Faria

Coorientador: Professor Doutor Carlos Filipe Ferreira de Sousa

JUNHO DE 2013

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2012/2013

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Tel. +351-22-508 1901

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Editado por

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

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mencionado o Autor e feita referncia a Mestrado Integrado em Engenharia Civil -

2012/2013 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade

do Porto, Porto, Portugal, 2013.

As opinies e informaes includas neste documento representam unicamente o ponto de

vista do respetivo Autor, no podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou

outra em relao a erros ou omisses que possam existir.

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minha famlia

Nothing is our own except the few cubic centimetres inside your skull

George Orwell

Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso

i

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar expresso o meu apreo ao Professor Rui Faria, orientador cientfico da presente

dissertao, pelo apoio, motivao e disponibilidade prestada ao longo da realizao deste trabalho. A

sua orientao e ensinamentos foram importantes no s para uma correta realizao deste trabalho

mas tambm para a minha vida futura profissional.

Estou tambm grato ao Professor Carlos Sousa, co-orientador cientfico desta dissertao, pela ajuda

prestada na anlise dos modelos numricos realizados e por todos os conhecimentos transmitidos

bastante teis ao longo da realizao desta dissertao.

Gostaria tambm de agradecer ao Professor Mrio Pimentel e aos colegas do LABEST, em especial ao

Lus Leito, pela disponibilizao do software e concelhos uteis de utilizao do mesmo.

A todos os meus amigos que me apoiaram e motivaram atravs da sua amizade para que a realizao

deste trabalho fosse bem sucedida. De diferentes formas a ajuda deles foi importante.

Ao concluir este trabalho no poderia deixar de agradecer aos meus pais e minha irm por terem sido

um exemplo durante toda a minha vida. Pelo apoio e dedicao que sempre me deram e por todas as

possibilidades que me proporcionaram. Tornam-se poucas as palavras que traduzem o meu

agradecimento.


iii

RESUMO

No presente trabalho elaborado o estudo da fendilhao em lajes macias armadas numa direo,

fortemente restringidas axialmente, pela existncia de paredes ou ncleos de caixas de elevadores,

tendo tambm em considerao o efeito das aes distribudas no piso. Como essas lajes se encontram

fortemente restringidas, as deformaes impostas devidas retrao esto impedidas, originado um

esforo axial de trao na laje, provocando assim o aparecimento de fendas. Deste modo, a laje

encontra-se submetida a flexo composta com trao em situaes de servio.

Com vista a perceber este fenmeno, inicialmente caracterizou-se o comportamento diferido do beto

no fendilhado atravs dos fenmenos de retrao e fluncia, e a modelao do comportamento do

beto fendilhado, atravs dos efeitos de tension softenning e tension stiffening, tendo em conta um

modelo de mltiplas fendas fixas com decomposio de extenses, permitindo a combinao dos

efeitos de fendilhao, retrao, fluncia e variaes de temperatura.

Numa fase seguinte, procedeu-se anlise de tirantes de beto armado com diferentes percentagens de

armadura, sujeitos a: (i) uma deformao imposta externa, provocada por um assentamento de apoio

horizontal; (ii) uma deformao imposta interna (retrao). Com a anlise destes tirantes, pretendia-se

perceber qual a diferena, em termos de variao do esforo axial e abertura de fendas, devida ao tipo

de deformao imposta (externa ou interna), e a importncia que essa variao pode ter no

dimensionamento de estruturas de beto armado. Com estas anlises, pretendia-se tambm

compreender e validar o procedimento empregue na anlise no-linear.

Posteriormente, foram estudadas lajes, com diferentes tipos de vos, apoios estruturais e espessuras. O

tipo de lajes em estudo, encontram-se fendilhadas em fase de servio, no sendo possvel estimar de

modo simples o esforo axial instalado. Assim, comeou-se por estimar a armadura necessria, usando

procedimentos correntes de projeto, considerando dois valores limite para o esforo axial instalado: (i)

esforo axial N=0; (ii) esforo axial N=Ncr. Numa ltima etapa, recorrendo a uma anlise no linear,

empregando o programa de clculo DIANA, obteve-se o esforo axial verdadeiramente instalado na

laje, valor esse que pode ento ser usado na determinao da quantidade de armadura que garante o

cumprimento do limite mximo para a abertura de fendas (sendo considerado, neste trabalho, uma

limite de 0,3 mm). Concluiu-se que o esforo axial verdadeiramente instalado bastante inferior ao

esforo de fendilhao Ncr=Acfctm, tendo sido possvel obter valores indicativos, a usar em projeto,

para o valor do esforo axial verdadeiramente instalado, em percentagem do esforo de fendilhao.

Foi tambm avaliada a importncia da dispensa de armaduras, em termos de comportamento em

servio, assim como a resistncia ao esforo transverso destas lajes.

PALAVRAS CHAVE: retrao, deformao imposta, laje axialmente restringida, fendilhao, esforo

axial.


v

ABSTRACT

The presente work focuses on the analysis of cracking in uni-directional solid slabs, axially restrained

by the presence of earth retaining walls or bracing walls, considering the influence of vertical loads. In

these structures, shrinkage deformations are heavily restrained, giving rise to important axial forces,

and consequently cracking generally occurs. Thus, the slab is subjected to bending and axial forces, in

service.

In order to understand this phenomenon, initial studies were carried out, focusing on the numerical

simulation of: (i) the long-term behaviour of non-cracked concrete structures, considering the effects

of of shrinkage and creep; (ii) the mechanical response of concrete structures after cracking,

considering the effects of tension softening and tension stiffening (by employing a model of multiple

fixed cracks with strain decomposition, which makes possible the consideration of creep, shrinkage

and temperature effects).

Then, reinforced concrete ties with different reinforcement ratios were analysed, considering the

following actions: i) external imposed deformation caused by a support displacement; ii) internal

imposed deformation (shrinkage). The main purpose of these analyses consisted in understanding the

influence of the nature of imposed deformations (internal or external), in terms of axial force in the tie,

crack openings, and consequences for structural design works. These analyses also aimed at

understanding and validating the adopted procedure for nonlinear analysis.

Finally, different reinforced concrete slabs (with different spans, support conditions and thicknesses)

were analysed. In these structures, the applied axial force (in service) can hardly been quantified by

means of current analysis procedures. That effort can be quantified by using the adopted nonlinear-

analysis procedure. Thus, lower- and upper-bound values for the required areas of steel reinforcement

were initially quantified (by applying current design procedures): (i) a lower-bound value was

estimated considering an axial force N = 0; (ii) an upper-bound limit was calculated considering N =

Ncr in the verification of the maximum crack widths (which, in the present work, were limited to 0.3

mm). Then, nonlinear analyses (using the finite element package DIANA) were carried out, in order to

obtain realistic estimates for the applied axial force in service. It was found that the actual applied

axial force, in service, is significantly lower than cracking effort Ncr=fctm*Ac. Indicative values for the

applied axial force could be established, in percentage of the cracking effort. Some considerations

regarding the curtailment of tensile reinforcements and shear strength were also made

KEYWORDS: shrinkage, imposed deformations axially restrained slab, cracking, axial force,

nonlinear analysis.


vii

NDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ............................................................................................................................ i

RESUMO ........................................................................................................................................... iii

ABSTRACT.......................................................................................................................................... v

1 Introduo ....................................................................................................................................... 1

1.1. Enquadramento do tema e objetivos da dissertao ................................................................ 1

1.2. Organizao em captulos ...................................................................................................... 2

2 Modelao do Beto fendilhado, incluindo os efeitos da retrao e da fluncia ................................ 5

2.1. Introduo ............................................................................................................................. 5

2.2. Comportamento diferido do beto no fendilhado .................................................................. 6

2.2.1. Retrao ...................................................................................................................... 6

2.2.2. Evoluo da retrao e da tenso no beto .................................................................... 8

2.2.3. Fluncia ......................................................................................................................10

2.2.4. Curage e Aging ...........................................................................................................13

2.3. Comportamento do beto fendilhado .....................................................................................15

2.3.1. Modelos de fendilhao ..............................................................................................15

2.3.2. Definio do Diagrama de Reteno de Tenses de Trao no Beto Simples,tension

softening. ...................................................................................................................16

2.3.3. Reteno de Tenses de Trao no Beto Armado,Tension Stiffenning .....................18

2.3.4. Abertura de Fendas segundo o MC90 (CEB-FIP, 1991) ..............................................23

2.4. Consideraes finais .............................................................................................................24

3 Simulao da fendilhao em tirantes de beto armado devido a deformaes impostas internas e

externas .........................................................................................................................................25

3.1. Introduo ............................................................................................................................25

3.2. Caracterizao das estruturas em anlise e do modelo adotado ..............................................26

3.2.1 Materiais, geometria e condies de apoio ..................................................................26

3.2.2 Esquema de integrao e definio das zonas de stiffening e softening .........................27

3.2.3 Malha de elementos finitos e variao da resistncia de trao do beto ao longo dos

elementos finitos. ........................................................................................................28

3.3. Tirante sujeito a uma deformao imposta externa ................................................................28

3.3.1 Modelao da deformao imposta e anlise numrica incremental. ............................29

3.3.2 Anlise da variao do esforo axial ...........................................................................30

3.3.3 Anlise da Abertura de Fendas ....................................................................................32


viii

3.4. Tirante sujeito a uma deformao imposta interna ................................................................. 33

3.4.1 Anlise do Esforo Axial ............................................................................................ 34

3.4.2 Tenso no ao e no beto na seo da fenda ................................................................ 37

3.4.3 Anlise da abertura de fendas...................................................................................... 39

3.5. Concluses ........................................................................................................................... 40

4 Simulao de lajes sob a ao de cargas verticais com impedimento das deformaes devido

retrao. ......................................................................................................................................... 41

4.1. Introduo ............................................................................................................................ 41

4.2. Descrio do caso de estudo e do modelo adotado ................................................................ 43

4.2.1. Propriedades dos Materiais e modelao das aes...................................................... 43

4.2.2. Tamanho dos elementos finitos e sua importncia. ...................................................... 44

4.2.3. Clculo da abertura de fendas e tenso do ao na seo da fenda ................................. 46

4.3. Estimativa da espessura e armadura necessria com base em metodologias correntes de

dimensionamento. ................................................................................................................ 46

4.3.1. Deformao ................................................................................................................ 46

4.3.2. Estado limite ltimo (ELU) e estado limite de servio (ELS)....................................... 48

4.4. Analise no linear ................................................................................................................. 54

4.4.1. Dispensa de armaduras ............................................................................................... 59

4.4.2. Esforo transverso ...................................................................................................... 61

4.5. Concluses ........................................................................................................................... 62

5 Concluses e desenvolvimentos futuros ......................................................................................... 63

5.1. Concluses ........................................................................................................................... 63

5.2. Desenvolvimentos futuros .................................................................................................... 65

Bibliografia ...................................................................................................................................... 66


ix


x

NDICE DE FIGURAS

Fig. 2.1 Componentes ci(t0), cc(t) e cs(t) da deformao total de um elemento de beto sujeito a

tenso constante. (Sousa, 2004) ......................................................................................................... 6

Fig. 2.2 Modelo utilizado na caracterizao do fenmeno de retrao. ............................................. 8

Fig. 2.3 Evoluo da tenso no beto devido retrao com o tempo.............................................. 9

Fig. 2.4 Evoluo da extenso de retrao do beto com o tempo ................................................. 10

Fig. 2.5 Modelo usado na caracterizao da fluncia. .................................................................... 11

Fig. 2.6 Tenso constante instalada no beto. ................................................................................ 11

Fig. 2.7 Evoluo da Fluncia do beto com o tempo. .................................................................... 12

Fig. 2.8 Evoluo da retrao para Aging 3 dia Curage 5 dias ........................................................ 14

Fig. 2.9 Evoluo da retrao para Aging 14 dias Curage 0 dias. ................................................... 14 Fig. 2.10 Modelos de tension cut-off implementados no programa. (DIANA, 2012) ......................... 16

Fig. 2.11 Diagrama de reteno de tenses de trao no beto simples (Sousa, 2004). ................. 17 Fig. 2.12 Diagrama de reteno de trao no beto simples considerado pelo software. ................ 18

Fig. 2.13 Determinao da rea de beto efetivo: a) vigas; b) lajes; c) elementos em trao. (CEB-

FIP, 1991) ......................................................................................................................................... 19

Fig. 2.14 Diagrama de reteno de tenses de trao em elementos de beto armado. (Sousa,

2004) ................................................................................................................................................ 19

Fig. 2.15 Diagrama tenso-extenso para um tirante tracionado (Sousa, 2004). ............................. 21

Fig. 2.16 Diagrama tenso-extenso considerado para a armadura no presente estudo. ................ 22

Fig. 2.17 Diagrama, ilustrativo, de reteno de tenses de trao em elementos de beto armado

fornecido ao software. ....................................................................................................................... 22

Fig. 3.1 Modelo tipo utilizado para os tirantes de beto armado...................................................... 26

Fig. 3.2 Esquema ilustrativo da integrao usado no modelo.......................................................... 27

Fig. 3.3 Variao da resistncia a trao ao longo dos elementos finitos. ....................................... 28

Fig. 3.4 Modelo utilizado na anlise de um tirante com deformao imposta externa. ..................... 29

Fig. 3.5 Evoluo do incremento da deformao imposta externa ao longo do tempo..................... 29

Fig. 3.6 Variao do esforo axial para tirantes com deformao imposta externa com diferentes

percentagens de armadura. .............................................................................................................. 30

Fig. 3.7 Abertura de fendas para um tirante com deformao imposta externa com percentagem de

armadura de 0.85 %. ........................................................................................................................ 32

Fig. 3.8 Abertura de fendas para um tirante com deformao imposta externa com percentagem de

armadura de 1.68 %. ........................................................................................................................ 33

Fig. 3.9 Esquema representativo da combinao de efeitos num tirante sujeito a deformao

imposta interna. ................................................................................................................................ 34

Fig. 3.10 Variao do esforo axial para tirantes com uma deformao imposta interna com

diferentes percentagens de armadura. .............................................................................................. 35

Fig. 3.11 Representao, simplificada, das tenses mdias na armadura em estado fendilhado

(esquerda) e no fendilhado (direita). ................................................................................................ 35

Fig. 3.12 Representao, simplificada, das tenses mdias no beto em estado fendilhado

(esquerda) e no fendilhado (direita). ................................................................................................ 36

Fig. 3.13 Variao, ilustrativa, da tenso no beto devido ao fenmeno de retrao....................... 36

Fig. 3.14 Variao da tenso no beto ao longo do 1 elemento fissurado (t=363 dias, cs=-0,277

) .................................................................................................................................................... 38

Fig. 3.15 Variao da tenso na armadura ao longo do 1 elemento fissurado (t=363 dias, cs=-

0,277 ) .......................................................................................................................................... 38


xi

Fig. 3.16 Abertura de fendas para um tirante sujeito a uma deformao imposta interna com

percentagem de armadura de 0.85 %................................................................................................39

Fig. 3.17 Abertura de fendas para um tirante sujeito a uma deformao imposta interna com

percentagem de armadura de 1.68 %................................................................................................39

Fig. 4.1 Variao do esforo axial considerando diferentes tamanhos de elementos finitos. ...........45

Fig. 4.2 Variao da abertura de fendas a meio vo considerando diferentes tamanhos de

elementos finitos. ..............................................................................................................................45 Fig. 4.3 Laje com armadura estritamente necessria pra cumprir ELU e ELS com N=0. .................48

Fig. 4.4 Equilbrio usado para estimar armadura em flexo composta com trao numa seo

generalizada. ....................................................................................................................................50

Fig. 4.5 Armadura superior e inferior necessria para garantir wk< 0.3 mm em 3 sees

transversais, com N=Ncr. ...................................................................................................................51

Fig. 4.6 Esforo axial realmente instalado para uma estimativa de armadura com N=Ncr e N=NDIANA

.........................................................................................................................................................57

Fig. 4.7 Momento flector no apoio realmente instalado na laje para uma estimativa de armadura

com N=Ncr e N=NDIANA

......................................................................................................................58

Fig. 4.8 Padro de fendilhao para um instante de tempo igual a meio ano. .................................58

Fig. 4.9 Padro de fendilhao para um instante de tempo igual a 1 ano. .......................................58

Fig. 4.10 Padro de fendilhao para um instante de tempo igual a 3 anos. ...................................58

Fig. 4.11 Padro de fendilhao para um instante de tempo igual a 5 anos. ...................................59 Fig. 4.12 Dispensa de armadura na laje com um esquema estrutural de vo interior com N=N

DIANA.

.........................................................................................................................................................60 Fig. 4.13 Dispensa de armadura na laje com esquema estrutural de vo exterior com N=N

DIANA. ....60

Fig. 4.14 Padro de fendilhao para um vo interior num instante de tempo igual a 50 anos: a)

antes da dispensa; b) aps a dispensa. .............................................................................................61

Fig. 4.15 Padro de fendilhao para um vo exterior num instante de tempo igual a 50 anos: a)

antes da dispensa; b) aps a dispensa. .............................................................................................61


xii

NDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 Caractersticas dos materiais do modelo......................................................................... 9 Tabela 2.2 Valores de e bk de acordo com MC90. (CEB-FIP, 1991) Erro! Marcador no definido.

Tabela 3.1 Propriedades dos materiais considerados. .................................................................... 26

Tabela 3.2 Percentagens de armadura utilizadas. .......................................................................... 27

Tabela 3.3 Comparao entre o esforo axial de fendilhao sem recorrer a uma anlise no linear

com o obtido pelo software para um tirante com deformao imposta interna. ................................... 37

Tabela 4.1 Propriedades dos materiais utilizados na modelao da laje. ........................................ 43

Tabela 4.2 Espessuras consideradas para um sistema estrutural de vo interior. ........................... 47

Tabela 4.3 Iteraes para obteno de um critrio de deformao para um sistema estrutural de vo

exterior. ............................................................................................................................................ 47

Tabela 4.4 Espessuras consideradas para um esquema estrutural de vo exterior. ....................... 47

Tabela 4.5 Armadura estritamente necessria para cumprir ELU e ELS com N=0 .......................... 48

Tabela 4.6 Abertura de fendas e tenso na armadura na seo da fenda para flexo simples. ....... 49

Tabela 4.7 Armadura necessria para cumprir abertura de fendas em flexo composta com trao,

com N=Ncr ........................................................................................................................................ 51

Tabela 4.8 Abertura de fendas, tenses na armadura e deformaes (N=Ncr) ................................ 51

Tabela 4.9 Comparao do esforo axial usado no clculo e o realmente instalado na laje. ........... 52

Tabela 4.10 Estimativa de armaduras para esquema estrutura de vo interior com N=Ncr .............. 52

Tabela 4.11 Estimativa de armaduras para esquema estrutura de vo exterior com N=Ncr ............. 52

Tabela 4.12 Abertura de fendas, tenso na armadura e deformao para o esquema estrutura de

vo interior (N=Ncr)............................................................................................................................ 53

Tabela 4.13 Abertura de fendas, tenso na armadura e deformao para o esquema estrutura de

vo exterior. (N=Ncr).......................................................................................................................... 53

Tabela 4.14 Comparao do esforo axial usado no clculo e o realmente instalado na laje para um

vo interior. ....................................................................................................................................... 53

Tabela 4.15 Comparao do esforo axial usado no clculo e o realmente instalado na laje para um

vo exterior. ...................................................................................................................................... 54

Tabela 4.16 Armadura resultante do clculo segundo uma anlise no linear para o sistema

estrutural de vo interior. (N=NDIANA

) ................................................................................................. 55

Tabela 4.17 Armadura resultante do clculo segundo uma anlise no linear para o sistema

estrutural de vo exterior. (N=NDIANA

) ................................................................................................ 55

Tabela 4.18 Abertura de fendas, tenses no ao e deformaes para um esquema estrutura de vo

interno com N=Nreal

. .......................................................................................................................... 55

Tabela 4.19 Abertura de fendas, tenses no ao e deformaes para um esquema estrutura de vo

extremo com N=Nreal

. ........................................................................................................................ 56

Tabela 4.20 Esforo axial para um sistema estrutural de vo interior .............................................. 56

Tabela 4.21 Esforo axial para um sistema estrutural de vo interior .............................................. 57

Tabela 4.22 Comparao entre esforo transverso resistente e actuante. ...................................... 62


xiii

SMBOLOS E ABREVIATURAS

Para clareza de exposio no texto proceder-se- descrio de cada smbolo e abreviatura,

simultaneamente com a sua primeira utilizao. A seguinte lista apresentada por ordem alfabtica.

SMBOLOS

L (t) Deslocamento horizontal num determinado tempo

L Deformao externa aplicada

Valor reduzido do momento fletor

A Varivel auxiliar de clculo da fora de trao axial superior e inferior

Ac rea da seo transversal de beto

Ac,ef rea da seo efetiva de beto tracionado que envolve as armaduras tracionadas

As rea transversal da armadura

B Varivel auxiliar de clculo da fora de trao axial superior e inferior

d Altura til dada pela distncia entre o centro de gravidade das armaduras e o bordo da

seco

e Excentricidade do esforo axial dado por N/M

*2 Extenso de clculo associada ao diagrama tenso-extenso da metodologia tension

stiffening

*3 Extenso de clculo associado ao diagrama tenso-extenso da metodologia tension

stiffening

Ec Mdulo de elasticidade do beto

c(t) Deformao total de um elemento de beto no instante t

Ec,adj Mdulo de elasticidade efetivo ajustado do beto

cc (t) Deformao de fluncia num instante t

Eci (t0) Mdulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tenso-deformao do beto

Eci Mdulo de elasticidade tangente na origem, para uma idade de carregamento igual a

28 dias

ci(t0) Deformao instantnea do beto

Ecm Mdulo de elasticidade mdio do beto

cs (t,t0) Deformao total de retrao do beto no instante t

cs0 Coeficiente de retrao nominal do beto

cT(t) Deformao trmica, dada pelo produto da variao de temperatura pelo coeficiente de

dilatao trmica

ct(t) Deformao total de um elemento de beto

m Extenso mdia no tirante de beto armado tracionado igual a L(t)/L

emax Excentricidade mxima do esforo axial dado por d-(h/2)


xiv

Es Mdulo de cedncia do ao

s(fcm) Extenso dependente do tipo de beto

sy Extenso de cedncia do ao

ts Extenso de clculo associada ao diagrama tenso-extenso associada ao diagrama de

efeito softening

fck Valor caracterstico da resistncia do beto compresso em provetes cilndricos

fcm Valor mdio da resistncia compresso no beto aos 28 dias

fct Resistncia trao do beto

fctm Resistncia mdia trao do beto

Finf. Fora axial de trao na armadura inferior

Fsup. Fora axial de trao na armadura superior

fsy tenso de cedncia na armadura

fsy

tenso de cedncia fictcia na armadura

fyk Valor caracterstico da tenso de cedncia trao do ao das armaduras de beto

armado

Gf Energia de fratura do material

gf rea do grfico que define o efeito de tension softening

Gk Valor caracterstico da ao permanente

h Altura total da seco de beto

hb Banda de fendilhao, dependente do tamanho do elemento finito

hc,eff Altura de beto envolvente da armadura que efetivamente contribui para determinar o

valor de Ac,eff

heq Espessura equivalente do elemento de beto, dada pela razo entre o dobro da rea do

elemento de beto e o permetro do mesmo em contacto com atmosfera

L Comprimento do tirante

l vo da laje em estudo

L,elm Comprimento do elemento finito

lk

s,max Comprimento mximo ao longo do qual ocorre deslizamento entre o ao e o beto,

calculado com base no valor relativo ao quantil inferior da tenso de aderncia

M Momento fletor

N Esforo axial

Ncr Esforo axial que provoca a fendilhao num tirante de beto armado

NDIANA

Esforo axial realmente instalado obtido atravs de uma anlise no linear recorrendo

ao programa de clculo usado (DIANA)


xv

Nreal

Esforo axial realmente instalado obtido atravs de uma anlise no linear recorrendo

ao programa de clculo usado (DIANA)

P Efeito das aes

Qk Valor caracterstico de uma ao varivel isolada

RH Humidade relativa

s Coeficiente que depende do tipo de cimento

t Idade do beto

t0 Idade do beto data da aplicao da tenso

tdiana Idade do beto desde o final da cura

treal Idade do beto desde a betonagem

ts Idade do beto no incio da retrao

u Permetro do beto exposto atmosfera

wk Abertura de fendas

wmax Valor limite para a abertura de fendas

e Razo entre o mdulo de elasticidade do ao e o mdulo de elasticidade do beto

RH Coeficiente que depende da humidade relativa

s Coeficiente que exprime o desenvolvimento da retrao com o tempo

sc Coeficiente que depende do tipo de cimento

t Parmetro que depende da durao da carga

Peso volmico do beto

cr Extenso de fendilhao

Coeficiente de Poisson

s Percentagem de armadura

sef Percentagem efetiva de armadura dada por As/Ac,ef

c Tenso no beto

s,cedncia Tenso de cedncia da armadura

s,fenda Tenso na armadura na seo da fenda

s,mdia Tenso mdia na armadura

s2 Tenso na armadura calculada em seo totalmente fendilhada

sE Tenso da armadura no ponto de deslizamento nulo

bk Tenso de aderncia mdia ao longo do comprimento de deslizamento entre ao e

beto relativo ao quantil inferior

(t,t0) Coeficiente de fluncia

s Dimetro do varo


xvi

Coeficiente de envelhecimento do beto

0 Coeficiente para a determinao do valor de combinao de uma ao varivel

1 Coeficiente para a determinao do valor frequente de uma ao varivel

2 Coeficiente para a determinao do valor quase permanente de uma ao varivel

ABREVIATURAS

B.A Beto Armado

C.A. Clculos Analticos

c.q.p. combinao quase permanente

EC2 Eurocdigo 2

ELS Estado Limite de Servio

ELU Estado Limite Ultimo

inf. inferior

MC90 CEB-FIP Model Code 1990

MEF Mtodo de Elementos Finitos

NR Normal and Rapid hardening cements

REBAP Regulamento de Estruturas de Beto Armado e Pr-esforado

RS Rapid hardening high Strengh cements

RSA Regulamento de Segurana e Aes para estruturas de edifcios e pontes

SL Slowly hardening cements

sup. superior


1

1

INTRODUO

1.1. ENQUADRAMENTO DO TEMA E OBJETIVOS DA DISSERTAO

A fendilhao um fenmeno quase inevitvel em estruturas de beto armado, devido essencialmente

baixa resistncia trao do beto. Como tal, deve ser encarado como um fenmeno natural numa

estrutura de beto sendo o seu controlo um dos requisitos que o projetista deve respeitar. O controlo de

fendilhao baseia-se no controlo da abertura de fendas que, dependendo do tipo de estrutura e seu

ambiente envolvente, contribui de maneira decisiva para a funcionalidade, durabilidade e aspeto

esttico, isto , para a qualidade estrutural. O controlo de abertura de fendas implica uma correta

quantificao e distribuio de armadura por parte do projetista para evitar/prevenir anomalias como

por exemplo a corroso de armaduras. Este fenmeno no independente e deve ser analisado

conjuntamente com o controlo de tenses e deformaes na estrutura. Neste trabalho ser estudado o

comportamento em fase fendilhada tendo sempre em considerao as deformaes da estrutura em

anlise.

A origem da fissurao est normalmente associada ao efeito das deformaes impostas, como por

exemplo a prpria retrao do beto, a variao de temperatura e os assentamentos diferenciais. Estas

aes podem no provocar o colapso da estrutura mas so responsveis pelo seu incorreto

comportamento em servio da estrutura. Ao serem restringidas, isto , ao haver um impedimento do

movimento livre, pelas condies de apoio ou de ligao a outros elementos estruturais, estas

deformaes impostas geram esforos de trao significativos que, ao atingirem valores da resistncia

trao do beto, resultam no aparecimento de fendas.

A presente dissertao aborda o efeito das deformaes impostas no comportamento de estruturas

laminares de beto armado (lajes) fortemente restringidas, em conjunto com aes verticais

distribudas no piso, incidindo no estudo da retrao e da fendilhao atravs do controlo da abertura

de fendas. Este efeito conjunto claramente visvel em pisos estruturais de obras enterradas, como por

exemplo, caves de edifcios e parques de estacionamento, que esto submetidos restrio que as

paredes de conteno laterais e ncleos de rigidez oferecem livre contrao da laje por efeito da

retrao e das variaes de temperatura, e a cargas verticais provocadas pela movimentao de

veculos. Nestas condies, a laje em situaes de servio encontra-se submetida a flexo composta


2

com trao. Como nessas situaes de servio as lajes esto fendilhadas, o seu comportamento dever

ser estudado recorrendo a uma anlise no-linear. No presente estudo essa anlise no-linear em fase

de servio realizada tendo em conta os efeitos de fluncia e retrao, e simulando a fendilhao

atravs de modelos de fendilhao distribuda.

Para a anlise do comportamento destas estruturas laminares recorreu-se a simulaes numricas

atravs de um programa de clculo baseado no Mtodo de Elementos Finitos (MEF) vocacionado para

anlises no-lineares e diferidas em estruturas de beto armado. O software utilizado o DIANA que

foi desenvolvido na Holanda pela empresa T.N.O. com a colaborao da Universidade de Delft.

A utilizao deste software permitiu simular o processo de fissurao do beto em trao, a interao

do beto entre fendas com as armaduras (efeito tension stiffening) e incluir os efeitos de retrao e

fluncia do beto (essenciais para este tipo de analises a longo prazo). A obteno de resultados fiveis

e realistas s possvel com uma correta caracterizao dos modelos constitutivos dos materiais, das

aes e das condies de apoio.

Contudo, os regulamentos de projeto para beto armado garantem o controlo de fendilhao impondo

quantidades de armadura, que de um modo geral, so superiores s efetivamente necessrias. Este

facto resulta da falta de informao sobre a influncia do efeito do grau de restrio na estrutura e sob

o real efeito das deformaes impostas. Exemplo disto a quantificao da armadura mnima por parte

do Eurocdigo 2 Parte 1-1 (EN 1992-1-1) no subcaptulo 7.3.2. (CEN, 2010).

O objetivo final deste estudo a apresentao de indicaes prticas que auxiliem os projetistas a

determinar a armadura efetivamente necessria para controlar a abertura de fendas nas lajes

restringidas axialmente. Esta armadura dever estar compreendida entre a armadura estritamente

necessria para fazer face, em estado limite ultimo de resistncia, atuao do momento flector devido

s cargas aplicadas (caso de lajes no restringidas axialmente, N=0kN) e a armadura que corresponde

armadura mnima para controlo de fendilhao de um tirante totalmente restringido considerando o

esforo axial igual ao esforo de fendilhao N=Ncr (condio de armadura mnima do subcaptulo

7.3.2. do Eurocdigo 2 Parte 1-1 (EN 1992-1-1) (CEN, 2010).

Para que esse objetivo seja cumprido ter de ser dado ao projectista a quantificao do esforo axial

que fica efetivamente instalado na laje, e resultado do impedimento s deformaes, esforo esse que

deve ser usado para quantificao da abertura de fendas de um modo mais realista.

O presente estudo incide em lajes macias, fortemente restringidas no contorno, com funcionamento

unidireccional para uma gama de vos correntes (5,5 metros a 8,5 metros).Para alm do vo tambm

feita a variao da espessura e do esquema estrutural.

1.2. ORGANIZAO EM CAPTULOS

O presente trabalho est dividido em 5 captulos, sendo o primeiro uma Introduo onde se pretende

reportar ao leitor uma viso geral do tema apresentado no trabalho e seus objetivos.

No captulo 2 apresentado o comportamento do beto no fendilhado atravs dos fenmenos de

fluncia e retrao recorrendo a pequenos exemplos elaborados atravs do programa de clculo

DIANA. Tambm so apresentados os modelos constitutivos do beto fendilhado de acordo com o

efeito de tension softening e tension stiffening e ainda a modelao da fendilhao atravs do modelo

de mltiplas fendas com decomposio de extenses permitindo a combinao com efeitos no

lineares como a retrao e a fluncia. No final deste captulo apresentam-se consideraes finais

acerca dos temas desenvolvidos no mesmo.


3

No captulo 3 apresenta-se a anlise de tirantes com diferentes percentagens de armaduras sujeitos a

deformaes impostas externa e interna. Para cada um dos tipos de deformaes analisado a variao

do esforo axial e a abertura de fendas, com recurso ao programa de clculo automtico baseado no

MEF usado neste trabalho. So apresentadas as caractersticas das estruturas e do modelo adoptado na

simulao numrica, assim como as propriedades dos materiais, geometrias e condies de apoios

adoptadas. Tambm se refere a importncia da malha de elementos finitos neste tipo de tirantes

sujeitos exclusivamente a deformaes impostas e o seu esquema de integrao. No final do captulo

so retiradas concluses importantes a reter para o leitor.

No captulo 4 apresentado o estudo de lajes sob a ao de cargas verticais com impedimento das

deformaes por retrao. Nesse captulo apresenta-se os critrios adotados para a variao de vo,

espessura e apoios estruturais considerados para este tipo de laje. Seguidamente apresenta-se a

estimativa de armadura tendo em conta metodologia correntes dimensionamento considerando N=0,

depois recorrendo a flexo composta com trao estima-se a armadura com N=Ncr e por fim tomando

em considerao uma anlise no-linear, com recurso ao programa de calculo, obteve-se o esforo

axial verdadeiramente instalado na laje. Neste captulo so retiradas concluses importantes para a

correta quantificao da armadura neste tipo de laje.

Por fim no captulo 5 apresentada uma sntese do trabalho realizado, salientando as concluses mais

importantes, sendo sugeridos alguns desenvolvimentos futuros no seguimento do presente trabalho.


4


5

2

MODELAO DO BETO

FENDILHADO,

INCLUINDO OS EFEITOS DA

RETRAO E DA FLUNCIA

2.1. INTRODUO

Neste captulo pretende-se apresentar os fenmenos de retrao e de fluncia atravs de exemplos

simples, elaborados no programa de clculo DIANA. Atravs destes exemplos, pretende-se perceber

como se desenvolvem os fenmenos de retrao e de fluncia num elemento de beto ao longo do

tempo. Posteriormente sero apresentados os modelos constitutivos, que se ter em conta nas anlises,

para o comportamento do beto fendilhado.

As componentes de deformao por fluncia e por retrao so tambm designadas por deformaes

diferidas, por se processarem lentamente ao longo do tempo. importante referir que a distino entre

fluncia e retrao convencional porque, na realidade, estes fenmenos no so independentes. No

entanto, essa distino facilita a anlise e, para a maioria das aplicaes prticas, conduz a uma

aproximao suficiente (Sousa, 2004).

A extenso total num instante de tempo t, c (t), de um elemento de beto carregado uniaxialmente

num instante de tempo t0 com uma tenso constante c (t0) pode ser expressa pela equao (2.1) (ver

Fig. 2.1)

(2.1)

em que:

ct(t) deformao total de um elemento de beto;

ci(t) deformao instantnea;

)()()()()( 0 ttttt cTcscccict


6

cc(t) deformao de fluncia;

cs(t) deformao de retrao;

cT(t) deformao trmica, dada pelo produto da variao de temperatura pelo coeficiente de

dilatao trmica;

t0 inicio da ao.

As componentes de deformao ci(t0) e cc(t) dependem do estado de tenso, sendo por isso tambm

designadas por componentes de deformao mecnica. Por outro lado, cs(t) e cT(t) no dependem do

estado de tenso, sendo tambm conhecidas por componentes de deformao no mecnica.

Fig. 2.1 Componentes ci(t0), cc(t) e cs(t) da deformao total de um elemento de beto sujeito a tenso

constante. (Sousa, 2004)

2.2. COMPORTAMENTO DIFERIDO DO BETO NO FENDILHADO

2.2.1. RETRAO

A retrao uma propriedade reolgica do beto que consiste numa variao gradual de volume desde

o final da compactao e ao longo do tempo, no sujeita a tenses exteriores, a uma temperatura

constante. Distinguem-se quatro tipos de deformaes de retrao:

Retrao plstica: devida evaporao de gua superfcie, quando o beto est ainda no seu

estado plstico (antes da presa);


7

Retrao autgena: resulta da diminuio de volume durante a hidratao do cimento, sendo

independente das condies de humidade;

Retrao de secagem: originada pela difuso da gua para as faces expostas secagem, na

presena de um gradiente hdrico entre o beto e o meio ambiente;

Retrao por carbonatao: causada pela reao da pasta de cimento hidratado com o dixido

de carbono do ar na presena de humidade, que comea superfcie do beto e evolui para o

interior medida que avana a carbonatao do beto;

Retrao trmica: designada simplesmente como a contrao do beto, aps a sua presa, que

ocorre com a dissipao das elevadas temperaturas geradas pela libertao do calor de

hidratao. A evoluo deste tipo de retrao no igual em todos os pontos de uma estrutura,

pois a hidratao do cimento tambm no se desenvolve de modo uniforme. (Sousa, 2004)

Normalmente o conceito de retrao esta associado diminuio das dimenses de um elemento de

beto, devido retrao por secagem. Este tipo de retrao processa-se essencialmente da superfcie

para o interior das peas, dando origem ao aparecimento de tenses internas autoequilibradas (traes

superfcie e compresses no interior do elemento).Esta propriedade revela-se importante nas

construes em beto, pois devido restrio que normalmente imposta s variaes de volume,

resultam tenses de trao que quando superiores resistncia trao do material originam o

aparecimento de fissuras (Leito L. , 2011).

A retrao depende de diversos fatores: da dimenso da pea, do teor de gua da amassadura, da

dosagem de cimento, da a natureza e a da granulometria dos inertes, da durao do perodo inicial da

cura, da luminosidade ambiente e da composio qumica do beto (Leito L. , 2011).

No presente trabalho a deformao por retrao estimada a partir do Model Code 1990 (CEB-FIP,

1991),de acordo com a equao (2.2),(2.3),(2.4) e (2.5).

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

)(.),(00 sscscs

tttt

610

10910160)( cmsccms

ff

3

100155.1

RHRH

s

eq

sss

tth

tttt

2

100350

)(


8

em que :

cs (t,t0) deformao total de retrao no beto no instante t;

cs0 coeficiente de retrao nominal;

s(fcm) extenso que depende do tipo de beto;

fcm valor mdio da resistncia compresso no beto aos 28 dias (MPA);

s coeficiente que depende do tipo de cimento : sc=4 para cimentos do tipo SL, sc=5 para

cimentos do tipo NR e sc=8 para cimentos do tipo RS (sendo os diferentes tipos de cimento

identificados no MC90 (CEB-FIP, 1991));

RH coeficiente que depende da humidade relativa;

RH humidade relativa (%);

s (t-ts) coeficiente que exprime o desenvolvimento da retrao com o tempo;

t idade do beto (dias);

ts idade do beto no inicio da retrao (dias);

heq espessura equivalente do elemento, dada por 2Ac/u;

Ac rea de beto transversal;

u permetro do beto exposto atmosfera (mm).

2.2.2. EVOLUO DA RETRAO E DA TENSO NO BETO

Para melhor se perceber a evoluo da retrao ao longo do tempo e a tenso que esta provoca no

beto foi realizado um pequeno exemplo recorrendo ao programa de clculo DIANA. Este exemplo

consiste na modelao de 1 elemento finito, de trs ns, impedido totalmente de rotao e translao

num dos ns de extremidade. A nica ao relevante aplicada consiste na retrao do beto. Para alm

dessa, aplicada uma fora de valor negligencivel para garantir um estado de equilbrio no incio da

anlise. Este modelo tem um comprimento de 1 metro, uma espessura 0.24 metros e uma taxa de

armadura de 0,42 % por metro linear, tal como se pode observar na Fig. 2.2.

Fig. 2.2 Modelo utilizado na caracterizao do fenmeno de retrao.

A barra do meio representada com os nmeros 1 2 3 (numerao dos ns) corresponde ao eixo da

seco do modelo e as restantes barras verdes correspondem ao eixo da armadura de baixo e o eixo da

armadura de cima.

Nestes modelos foi considerado os efeitos de retrao, fluncia e a ausncia de fendilhao. Foram

tambm consideradas as caractersticas dos materiais de acordo com a Tabela 2.1.


9

Tabela 2.1 Caractersticas dos materiais do modelo

Propriedades Unidades

Beto

Ec 30.5 GPa

fck 30 MPa

Gf 0.058 kN.m/m2

Humidade relativa 60 %

Coeficiente de Poisson ()

0.2

Temperatura 20 C

heq=2.Ac/u 240 mm

Ao fsk 500 MPa

Es 200 GPa

De acordo com as caractersticas mencionadas dos materiais e com o modelo apresentado observamos

que a tenso no beto devido retrao e o prprio fenmeno de retrao variam de acordo com Fig.

2.3 e Fig. 2.4,respetivamente.

Fig. 2.3 Evoluo da tenso no beto devido retrao com o tempo

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Tenso (

MP

A)

Tempo(dias)


10

Fig. 2.4 Evoluo da extenso de retrao do beto com o tempo

Foi considerado uma escala de tempo at aos dez mil dias por ser suficiente para a caracterizao da

curva de retrao, visto que a partir de determinado tempo (aproximadamente 5 anos) esta se mantm

praticamente constante.Com o desenvolvimento da retrao observa-se que este fenmeno no linear

provoca tenses de trao no beto.

2.2.3. FLUNCIA

A fluncia define-se como sendo uma deformao adicional deformao elstica instantnea que

ocorre num elemento de beto quando este se encontra sujeito a um estado de tenso constante (Leito

L. , 2011).

geralmente aceite que a fluncia do beto devida, exclusivamente, fluncia da pasta de cimento

hidratado, uma vez que os agregados de densidade normal apresentam fluncia desprezvel. A

fluncia da pasta de cimento hidratado condicionada, principalmente, pela gua contida na pasta.

Para alm dos movimentos de gua (dependentes do estado de tenso) no sistema poroso da pasta,

ocorrem processos de deslizamento e compactao. A alterao do contedo de humidade na pasta

provocado, por exemplo, pela secagem, acelera este processo (Sousa, 2004).

Como a presente dissertao envolve o estudo dos efeitos da retrao nas estruturas de beto armado,

principalmente em lajes, ao diferida que envolve longos perodos de tempo para se desenvolver na

sua globalidade, revela-se essencial modelar corretamente o fenmeno da fluncia. Neste trabalho usa-

se a lei de fluncia preconizada pelo MC90 (que se revela praticamente idntica forma de estimar a

fluncia sugerida pelo EC2). Convm referir que as normas existentes que permitem definir a fluncia

so baseadas na idealizao que o beto se encontra sobre a influncia de tenses de compresso, pois

muitas vezes, conhecida s a classe de resistncia na altura em que esto a ser realizados os clculos.

Assim, a sua aplicabilidade a anlises que lidem com tenses de trao, tal como o caso do presente

estudo, deve ser feita com alguma reserva. No entanto considera-se, que de uma forma global, o

comportamento do beto em termos de fluncia consegue ser bem simulado pela aplicao do

predisposto no MC90.No caso de solicitaes de longa durao, a fluncia altera significativamente a

resposta da estrutura, devendo ser devidamente contabilizada pelos projetistas. Por este motivo,

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

cs (

)

Tempo (dias)


11

convm realar alguns dos fatores de que depende a fluncia: a idade do carregamento, o perodo do

carregamento, a humidade relativa do ambiente, a temperatura relativa do ambiente, a composio do

beto, a consistncia do beto e a forma da seco (Leito L. , 2011).

Como o exposto para a retrao, procedeu-se anlise de um pequeno modelo para a compreenso do

fenmeno de fluncia e como varia ao longo do tempo. Neste modelo as caractersticas das materiais

mantm-se de acordo com a Tabela 2.1. Porm o esquema estrutural altera-se para apenas um

elemento de beto com 3 ns onde um dos ns de extremidade se encontra impedido de rotaes e

translaes em qualquer direo, como apresentado na Fig. 2.5. No foram considerados elementos de

armadura, o fenmeno de retrao e fendilhao nem cargas verticais. Somente foi considerado uma

pequena fora horizontal no n de extremidade para implementao de um estado de tenso constante

no elemento. Esta fora foi estimada para que as tenses no beto fossem de 1 MPa, tal como mostra o

grfico da Fig. 2.6.A evoluo do fenmeno de fluncia ilustrado pelo grfico da Fig. 2.7.

Fig. 2.5 Modelo usado na caracterizao da fluncia.

Fig. 2.6 Tenso constante instalada no beto.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Tenso (

MP

A)

Tempo (dias)


12

Fig. 2.7 Evoluo da Fluncia do beto com o tempo.

Como apresentado na Fig. 2.7 verifica-se que a extenso para o elemento de beto dada pelas

equaes (2.6) e (2.7).

(2.6)

isto ,

(2.7)

em que ,

c(t) deformao de um elemento de beto;

ci(t0) deformao instantnea (inicial);

cc (t) deformao por fluncia;

c (t0) tenso constante aplicada ao beto;

Eci (t0) mdulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tenso-deformao do beto;

Eci mdulo de elasticidade tangente na origem, para uma idade de carregamento igual a 28 dias;

(t,t0) coeficiente de fluncia (podendo ser estimado de acordo com o MC90)

t0 idade do beto data da aplicao da tenso.

)()()( 0 ttt cccic

),()(

)(

)()( 0

0

0

0 ttE

t

tE

tt

ci

c

ci

c

c


13

Segundo o Model Code 1990 o mdulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tenso-

deformao do beto dado pela equao (2.8).

(2.8)

Onde o mdulo de elasticidade tangente na origem para idade de carregamento igual a 28 dias dado

pela equao (2.9).

(2.9)

O coeficiente cc(t) depende da idade do beto e estimado segundo o MC90 pela equao (2.10).

(2.10)

Onde,

s coeficiente que depende do tipo de cimento: s = 0.20 para cimento RS, 0.25 para cimento NR

e 0.38 para cimento SL.

Pela observao da Fig. 2.6 a tenso no beto aparece junta ao eixo das ordenadas, ou seja, para um t-

t0 igual a zero dias. Este facto acontece porque neste exemplo, temos uma ao muito pequena a

provocar tenses e logo no primeiro incremento de tempo sem a considerao da retrao.

De acordo com a Fig. 2.7, depois de uma deformao inicial a deformao por fluncia tem uma

variao no linear e a partir de uma determinado tempo torna-se praticamente constante. Neste

exemplo a extenso de fluncia apresenta valores muito baixos pois o estado de tenso instalado

muito pequeno.

2.2.4. CURAGE E AGING

Curage e Aging so dois conceitos associados ao software utilizado (DIANA) relativos ao modelo de

retrao e fluncia. A compreenso destes dois conceitos fundamental para a modelao posterior de

tirantes e lajes. Entende-se por Curage como sendo a idade (dias) do elemento no final da cura e Aging

a idade do beto (dias) no incio da anlise. Para melhor se perceber a sua definio e diferena foram

realizados 2 modelos com diferentes valores para as variveis. Estes exemplos tm por base as

caractersticas dos materiais e o modelo apresentado em 2.2.2 do presente captulo.

ciccci EttE )()(

8

1

4

101015.2 cmci

fE

tstcc

281exp)(


14

Os resultados obtidos so representados na Fig. 2.8 e na Fig. 2.9.

Fig. 2.8 Evoluo da retrao para Aging 3 dia Curage 5 dias

Fig. 2.9 Evoluo da retrao para Aging 14 dias Curage 0 dias.


15

2.3. COMPORTAMENTO DO BETO FENDILHADO

2.3.1. MODELOS DE FENDILHAO

De acordo com a modelao de elementos finitos tm sido adotados dois tipos de modelos de

fendilhao: o modelo de fenda discreta e o modelo de fenda distribuda.

Nos modelos de fenda discreta, esta modelada atravs da separao dos ns pertencentes aos

elementos adjacentes, introduzindo-se uma descontinuidade na respetiva interface. Este tipo de

modelo torna-se mais apropriado para problemas com poucas fendas e onde a sua localizao pode ser

prevista antes da anlise (Sousa, 2004) (Leito L. , 2011).

Por outro lado, no modelo de fenda distribuda, o material fendilhado considerado como um meio

contnuo, mantendo-se a continuidade da geometria e do campo de deslocamentos da malha. O efeito

de fendilhao considerado atravs de uma modificao da lei tenso-extenso, inicialmente

isotrpica substituda por uma relao tenso-extenso ortotrpica. Estes modelos so mais adequados

para a anlise de problemas caracterizados pela ocorrncia de padres de fendilhao difusa, podendo

tambm ser utilizados na anlise de problemas com fratura de tipo localizado (Sousa, 2004).

Dentro do conceito de fenda distribuda, distinguem-se ainda dois tipos de modelos: modelos de fenda

fixa e os modelos de fendas rodadas. Nos modelos de fendas fixas a direo normal fenda permanece

inalterada aps a sua formao. Nos modelos de fendas rodadas a normal fenda pode rodar durante o

processo de fratura do material (mantendo-se a co-axialidade com os eixos principais de deformao

ou com os eixos principais de tenso) (Sousa, 2004).

No sentido de representar com um maior grau de aproximao as leis constitutivas que definem a

evoluo da fenda e tendo em conta o conceito de fenda distribuda revela-se fundamental uma correta

interpretao das extenses na zona de fratura. Por este motivo, os modelos de fendilhao distribuda

apresentam uma decomposio da extenso mdia em duas extenses distintas, tal como demostram as

equaes (2.11) e (2.12): uma devido aos efeitos elsticos correspondentes ao beto existente entre as

microfissuras (e) e outra correspondente prpria fissura (cr),denominado na nomenclatura inglesa

de tensile crack strain.

(2.11)

Ento,

(2.12)

Em que c a tenso de trao no beto.

No presente trabalho optou-se por um modelo de fendilhao distribuda que tem a possibilidade de

formao de mltiplas fendas fixas com decomposio de extenses denominado na nomenclatura

inglesa como multi-directional fixed crack devido essencialmente sua grande vantagem de

combinao do efeito da fendilhao com efeitos no-lineares do beto, como a retrao e a fluncia.

De referir ainda a possibilidade da existncia de mais do que uma fenda aberta simultaneamente num

dado ponto de integrao. Este facto resulta de: aps a formao de uma fenda, quando usado um

crem

cm

cmcr

E


16

modelo de reteno de tenses de trao entre fendas, o valor da tenso normal retida e o valor da

tenso de corte instalada na fenda podem originar uma rotao dos eixos principais de tenso e o

surgimento de uma tenso principal de trao tal que justifique a formao de uma nova fenda com

orientao diferente da primeira. Forma-se uma nova fenda assim que atingido o critrio limite da

relao entre os valores das tenses principais, designado na nomenclatura inglesa por tension cut-off

criteria (Sousa, 2004).Na Fig. 2.10 encontra-se ilustrado as duas formulaes para tension cut-off

disponveis no software. Em todos os modelos analisados no presente estudo utilizou-se o critrio de

tension cut-off constante.

Fig. 2.10 Modelos de tension cut-off implementados no programa. (DIANA, 2012)

2.3.2. DEFINIO DO DIAGRAMA DE RETENO DE TENSES DE TRAO NO BETO SIMPLES,TENSION

SOFTENING.

O beto, mesmo aps fissurar, apresenta alguma capacidade de reteno de tenses de trao. O efeito

de amaciamento ou tension softening ocorre numa rea que se encontra afastada dos vares,

caracterizada somente por beto simples. O efeito de tension softening representado por um

diagrama tenso-extenso descendente aps fendilhao, sendo a rea delimitada pelo diagrama e o

eixo das extenses correspondente relao Gf/hb (energia de fratura do beto) (Leito, Faria, Azenha,

& Sousa, 2012).

Gf uma propriedade do material correspondente quantidade de energia necessria para formar uma

fenda, numa superfcie com rea unitria. O valor da energia de fratura no depende da banda de

largura hb. A banda de largura hb est relacionada com a configurao da malha de elementos finitos,

para que os resultados da anlise no dependam da discretizao usada. Note-se que Gf pode ser

estimado de acordo com o MC90 e depende essencialmente do tipo de inertes utilizados no fabrico do

beto. No presente trabalho considera-se uma forma linear para o diagrama de reteno de tenses de

trao no beto simples, tendo como principal vantagem a sua simplicidade e porque no presente

trabalho analisam-se estruturas de beto armado pouco sensveis ao efeito de tension softening.

O diagrama que representa o efeito softening dever ter uma rea gf=Gf/hb tal como definido na Fig.

2.11.O parmetro ts, que define o ramo descente da curva ilustrada na Fig. 2.11 obtido pela equao

(2.13).


17

Fig. 2.11 Diagrama de reteno de tenses de trao no beto simples (Sousa, 2004).

(2.13)

em que :

ts extenso de clculo associada ao diagrama tenso-extenso do efeito softening;

Gf energia de fratura do material;

hb banda de fendilhao, dependente do tamanho do elemento finito;

fct resistncia trao;

gf rea que define o grfico que traduz o efeito de tension softening.

A definio deste ramo descendente do diagrama permite que a soluo no dependa da malha de

elementos finitos. A definio de hb, de acordo com a malha de elementos finitos, serve somente para

que exista uma correta dissipao da energia de fratura. Se tal no acontecesse os resultados ficavam

dependentes do refinamento da malha e no do material utilizado. Podemos dizer ento que

introduzimos dados em funo da malha para que os resultados obtidos no dependam desta (Leito L.

, 2011).

Os diagramas fornecidos ao DIANA so a relao tenso-extenso de fendilhao. Deste modo, em

termos de tension softening o seu diagrama o representado na Fig. 2.11 e o considerado pelo

software o representado na Fig. 2.12.

ctb

f

tsfh

G

2


18

Fig. 2.12 Diagrama de reteno de trao no beto simples considerado pelo software.

Neste caso basta fornecer ao programa Gf (energia de fratura) e hb (banda de fendilhao) e o

comportamento do beto simples modelado como se verifica na Fig. 2.12 sem qualquer pr-

processamento.

2.3.3. RETENO DE TENSES DE TRAO NO BETO ARMADO,TENSION STIFFENNING

O tension stiffenning permite traduzir o efeito que o beto entre fendas provoca na rigidez dos

elementos de beto armado atravs da reteno de tenses de trao aps fendilhar. Nesses elementos

de beto armado a reteno de tenses de trao superior, ao que acorre no beto simples, devido

transferncia de tenses entre os materiais associada sua aderncia. Deste modo confere ao elemento

um aumento de rigidez adicional. O efeito de tension stiffening s deve ser considerado na zona

efetiva de beto que envolve a armadura tracionada, tal como definido na Fig. 2.13 em que :

h altura total da seco;

d altura til dada pela distncia entre o centro de gravidade das armaduras e o bordo da seco;

x profundidade do eixo neutro;

dimetro do varo;

t espessura;

c recobrimento.


19

Fig. 2.13 Determinao da rea de beto efetivo: a) vigas; b) lajes; c) elementos em trao. (CEB-FIP, 1991)

Esta abordagem adequada quando a armadura modelada atravs de elementos embebidos no beto.

Quando recorremos modelao baseada no efeito de tension sitffening, assente em parmetros

mdios, possvel obter resultados bastante prximos da realidade, quer durante a fase de formao de

fendas, quer na definio da rigidez do elemento aps a fendilhao estabilizar.

Na presente dissertao, o efeito de tension stiffening modelado de acordo com o diagrama da Fig.

2.14.

Fig. 2.14 Diagrama de reteno de tenses de trao em elementos de beto armado. (Sousa, 2004)


20

Como observamos pela Fig. 2.14, o tension stiffening representado por um ramo multilinear, no

qual existe um patamar de tenso de trao assumido durante a fase de fendilhao estabilizada. Neste

diagrama o esgotamento da energia de fratura Gf durante a fase de formao de cada fenda simulado

igualmente atravs de um ramo descendente, correspondente ao adotado para o tension softening

(que garante uma correta dissipao da energia de fratura) (Leito, Faria, Azenha, & Sousa, 2012).

Este ramo descendente termina quando a tenso atinge t.fctm e uma extenso dada pela equao (2.14)

(2.14)

Onde a extenso associada tenso de rotura do beto traco simples obtida pela equao (2.15).

(2.15)

em que :

*3 extenso de clculo associado ao diagrama tenso-extenso da metodologia tension

stiffening;

t parmetro que depende da durao da carga;

fctm resistncia mdia trao do beto;

ts definido pela equao (2.13);

Ecm modulo de elasticidade mdio do beto.

Na presente dissertao, por questes de ordem prtica e coerncia com o diagrama considerado para

efeito de tension stiffening, na zona referente a esse efeito, aps a cedncia da armadura na seco da

fenda, considerada uma reduo da tenso de cedncia da armadura, de modo a garantir na zona da

seo da fenda que a tenso de cedncia nas armaduras no ultrapassada tal como ilustra a Fig.

2.15.A tenso de cedncia fictcia da amadura, fsy, dada pela equao (2.16).

ctm

cttsctmtts

f

f

3*

cm

ctmct

E

f


21

Fig. 2.15 Diagrama tenso-extenso para um tirante tracionado (Sousa, 2004).

(2.16)

onde:

fsy tenso de cedncia das armaduras;

Ac,ef rea da seo efetiva de beto tracionado que envolve as armaduras tracionadas, calculada de

acordo com a Fig. 2.13;

As rea transversal da armadura.

Os valores referentes s extenses, *2 e sy, representadas na Fig. 2.15 so dados pelas equaes (2.17)

e (2.18).

(2.17)

(2.18)

em que:

*2 extenso de clculo associada ao diagrama tenso-extenso para modelao do ao em

cedncia na seo da fenda;

sy extenso de cedncia do ao;

s,cedncia tenso de cedncia do ao;

Es mdulo de cedncia do ao;

s

efc

ctmsysyA

Afff

,' 4,0

efss

ctmtsy

E

f

,

2*

s

cedncias

syE

,


22

s,ef parmetro que traduz a percentagem de armadura existente na zona de beto que afetada pela

interface ao/beto. O clculo deste parmetro est de acordo EC2, indica-se a leitura do seu

subcaptulo 4.3.1 de forma a proceder a uma estimativa correta deste valor (ver Fig. 2.13).

No presente estudo a armadura modelada em elementos embebidos de acordo com o grfico da Fig.

2.16.

Fig. 2.16 Diagrama tenso-extenso considerado para a armadura no presente estudo.

A correta modelao do efeito de tension stiffening torna-se importante em estruturas em estado

limite de servio para que sejam traduzidas corretamente as caractersticas de rigidez dos elementos de

beto armado tracionado e a correta quantificao da abertura de fendas (Sousa, 2004) .

Como j referido para a modelao do efeito de tension softening, os diagramas fornecidos ao

software tm em conta as extenses de fendilhao. De acordo com as equaes (2.11) e (2.12),o

diagrama fornecido ao programa para modelar o comportamento do beto armado entre fendas o

ilustrado pela Fig. 2.17.

Fig. 2.17 Diagrama, ilustrativo, de reteno de tenses de trao em elementos de beto armado fornecido ao

software.

De referir, que no presente trabalho no usado nenhum modelo de aderncia ao/beto concreto pois

entendeu-se que esse fenmeno bem caracterizado pelo efeito tension stiffening.


23

Nas anlises numricas efetuadas no presente estudo considera-se, durante a fase de fendilhao

estabilizada, uma tenso mdia retida pelo beto igual a 40 por cento da sua resistncia a trao, tal

como mostra a Fig. 2.14 e Fig. 2.17.Assim, o valor da abertura de fendas pode ser calculado (de forma

coerente com o que estabelecido no MC90, para situaes em que as aes so de longa durao),

multiplicando o valor da extenso de fendilhao dado pelo DIANA, , pela distncia mxima

entre fendas, lks,max. (calculado de acordo com o MC90),tal como demonstram as equaes (2.19) e

(2.20).

(2.19)

onde,

(2.20)

em que,

lk

s,max distncia mxima entre fendas em fase de fendilhao estabilizada;

s dimetro do varo;

sef percentagem efetiva de armadura dada por As/Ac,ef;

2.3.4. ABERTURA DE FENDAS SEGUNDO O MC90 (CEB-FIP, 1991)

Ao longo do presente trabalho o clculo analtico de abertura de fendas ser realizado de acordo com o

estipulado pelo MC90.Este critrio usado para que o clculo analtico seja coerente com os

resultados das anlises no lineares.

Segundo o MC90 a abertura de fendas calculado pela equao (2.21).

(2.21)

A determinao da deformao relativa entre beto e ao calculada pela equao (2.22).

(2.22)

onde,

s2 tenso na armadura calculada em seo totalmente fendilhada;

sE tenso da armadura no ponto de deslizamento nulo;

k

s

DIANA

crk lw max,

efs

sk

sl,

max,6.3

cscmsmk

sk lw max,

s

efse

efs

ctms

cmsmE

f,

,

2 1


24

bk tenso de aderncia mdia ao longo do comprimento de deslizamento entre ao e beto

relativo ao quantil inferior;

e razo entre o modulo de elasticidade do ao e o modulo de elasticidade do beto.

Os respetivos valores de e bk encontram-se na Erro! A origem da referncia no foi encontrada..

Tabela 2.2 Valores de e bk de acordo com MC90. (CEB-FIP, 1991)

Fase de Formao de

fendas

Fase de Fendilhao

estabilizada

bk bk

Ao de Curta

Durao 0.6 1.8 fctm (t) 0.6 1.8 fctm (t)

Ao de Longa

Durao 0.6 1.35 fctm (t) 0.38 1.8 fctm (t)

De referir que a abertura de fendas segundo o MC90 resulta do deslizamento relativo entre os

materiais ao longo do comprimento para um valor de aderncia relativo ao quantil inferior

(bk).A contribuio da extenso de retrao (cs) tambm considerada sendo coerente com o tipo de

anlise que se pretende com este trabalho, ao contrrio por exemplo do EC2 no subcaptulo 7.3.4, que

no considera a extenso de retrao no clculo de abertura de fendas.

2.4. CONSIDERAES FINAIS

No presente captulo pretendeu-se clarificar as consideraes gerais efetuadas no presente trabalho

para o comportamento do beto no fendilhado e fendilhado. Tendo em conta um comportamento do

beto no fendilhado procurou-se analisar os fenmenos de retrao e fluncia com pequenos

exemplos recorrendo ao programa de clculo DIANA. Por outro lado, atravs da caracterizao dos

efeitos de tension softening e tension stiffening pretendeu-se explicar o comportamento do beto

em fase fendilhada, assim como o clculo de abertura de fendas na presente dissertao. A fendilhao

tratada usando modelos de fendilhao distribuda de mltiplas fendas fixas com decomposio de

extenses permitindo considerar em simultneo os efeitos de fendilhao, retrao e fluncia. S uma

correta modelao constitutiva dos materiais permite obter resultados realistas


25

3

SIMULAO DA FENDILHAO

EM TIRANTES DE BETO

ARMADO DEVIDO A

DEFORMAES IMPOSTAS

INTERNAS E EXTERNAS

3.1. INTRODUO

No presente captulo pretende-se analisar a variao do esforo axial e a abertura de fendas em tirantes

sujeitos a deformaes impostas interna e externa. Entende-se como deformao imposta interna como

a resultante de deformaes intrnsecas ao elemento em estudo, em resultado da retrao do beto ou

de variaes de temperatura. De referir, que a prpria armadura apesar de no estar sujeita a

deformaes impostas como o beto (por exemplo retrao), esta provoca uma restrio ao elemento

de beto devido compatibilizao de extenses dos materiais. Por outro lado uma deformao

imposta externa resulta de aes exteriores ao elemento em estudo, aplicadas nas suas fronteiras (um

assentamento de apoio, por exemplo, ou deformaes de elementos vizinhos).

A anlise numrica baseada no MEF surge ento como uma ferramenta essencial ao estudo destes

fenmenos no-lineares. Porm no deixam de existir limitaes inerentes a esta anlise

nomeadamente na discretizao da malha de elementos finitos e nos processos de convergncia. Neste

captulo so usadas malhas no muito refinadas que consigam modelar o comportamento do beto, de

acordo com o explicado no captulo 2, de modo a que se obtenham resultados realistas. Estas malhas

sero aplicadas em modelos simples (tirantes) para que sejam posteriormente aplicveis a outras

estruturas, como lajes.

Os objetivos principais deste captulo so: perceber que influncia o fenmeno de retrao, quando

restringido, tem na variao do esforo axial e na abertura de fendas e validar o procedimento de

simulao numrica para posterior aplicao em lajes. Para que estes objetivos fossem concretizados,

no presente captulo foram elaborados tirantes de beto armado, com 3 diferentes percentagens de

armadura. Os mesmos tirantes so analisados com deformaes impostas externas e internas. Neste


26

capitulo considerou-se as propriedades geomtricas e materiais iguais quelas que foram consideradas

por (Lus, 2005).Este autor analisou tambm, na sua dissertao de mestrado, o comportamento de

tirantes de beto armado sujeitos a deformaes impostas impedidas, usando diferentes procedimentos

de anlise. Deste modo podem ser comparados os resultados obtidos atravs das duas estratgias.

De referir que em todas as simulaes efetuadas no presente captulo utilizou-se o programa de clculo

DIANA.

3.2. CARACTERIZAO DAS ESTRUTURAS EM ANLISE E DO MODELO ADOTADO

Neste captulo, o modelo adotado comum aos dois tirantes de beto armado mudando apenas o tipo

de deformao imposta. No foi considerado qualquer peso prprio para no introduzir nenhum tipo

de flexo.

3.2.1 MATERIAIS, GEOMETRIA E CONDIES DE APOIO

O modelo caraterizado por um tirante constitudo por beto armado, bi-encastrado para que as

deformaes estejam completamente restringidas, uma espessura de 0.24 m, um vo de 7 m e um ao

S500, tal como mostra a Fig. 3.1 e a Tabela 3.1.

Fig. 3.1 Modelo tipo utilizado para os tirantes de beto armado.

Tabela 3.1 Propriedades dos materiais considerados.

Propriedades Unidades

Beto

Ec 30.5 GPa

fck 30 MPa

fct 2.56 MPa

Gf 0.058 kN.m/m2

Humidade relativa 60 %

Coeficiente de Poisson ()

0.2

Temperatura 20 C

heq=2.Ac/u 240 mm

Ao fsk 500 MPa

Es 200 GPa

Foi considerado nos dois modelos um recobrimento de 25 mm, medido at face da armadura, por se

tratar do recobrimento para uma exposio ambiental normal (XC1) e para um tempo de vida til de


27

projeto de 50 anos segundo EC2.Tambm foi considerado um dimetro de 12 mm que entendemos

adequado para esta anlise e para que o eixo da armadura fosse constante e igual para todos os tirantes.

No presente trabalho foi considerado um cimento de classe NR.

As quantidades de armadura utilizadas so as representadas na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 Percentagens de armadura utilizadas.

Casos de

Anlise

As, superior

(cm2/m)

As, inferior

(cm2/m)

total (%)

1 6.28 6.28 0.260+0.260

2 10.18 10.18 0.425+0.425

3 20.11 20.11 0.840+0.840

Nestes tirantes a armadura simtrica por metro linear, sem qualquer tipo de dispensa e modelada no

software por elementos embebidos com o diagrama de tenso-extenso que se apresenta na Fig. 2.16 e

de acordo com o explicado em 2.3.3 relativo tenso fictcia de cedncia do ao.

3.2.2 ESQUEMA DE INTEGRAO E DEFINIO DAS ZONAS DE STIFFENING E SOFTENING

O modelo desenvolvido assume uma representao dos elementos de BA atravs de elementos finitos

do tipo viga de trs ns e dois pontos de integrao na direo do eixo da barra. Cada ponto de

integrao na direo do eixo da barra tem nove pontos de integrao na seco transversal de acordo

com o mtodo de Simpson, tal como se pode observar na Fig. 3.2.Na transio de zonas h

sobreposio de dois pontos de integrao na seco transversal, pois cada zona caracterizada por 3

pontos de integrao nessa direo.

Fig. 3.2 Esquema ilustrativo da integrao usado no modelo

Na zona 1 e 3 o beto modelado de acordo com o diagrama de tension stiffening (ver Fig. 2.14) e a

zona 2 de acordo com o tension softening (ver Fig. 2.11).Nestes modelos como a percentagem de

armadura simtrica o diagrama de tension stiffening ser igual na zona 1 e na zona 3.A rea efetiva


28

associada ao efeito de tension stiffening, calculada segundo o EC2 para elementos de beto

armados quando sujeitos a trao pura, semelhante ao considerado pelo MC90 e como representado na

Fig. 2.13.

3.2.3 MALHA DE ELEMENTOS FINITOS E VARIAO DA RESISTNCIA DE TRAO DO BETO AO LONGO DOS

ELEMENTOS FINITOS.

Neste modelo foi considerado um tamanho do elemento finito igual distancia mxima entre fendas,

na fase de fendilhao estabilizada segundo MC90 (ver equao (2.20)).A reduo de rigidez que

ocorre quando se forma uma fenda sente-se ao longo desse comprimento, estando em coerncia com o

diagrama de tension stiffening adotado, que traduz o comportamento mdio ao longo desse

comprimento. Ao longo desse elemento finito (hb=lks,max) a energia de fratura ser corretamente

dissipada.

Para que o tirante no fendilhe integralmente e simultaneamente, foi considerado uma variao da

resistncia trao de 0,5% ao longo dos elementos sendo a resistncia trao do primeiro elemento

considerada fct,1= 2,56 MPA, tal como ilustra a Fig. 3.3.

Fig. 3.3 Variao da resistncia a trao ao longo dos elementos finitos.

A utilizao deste critrio tambm visa aproximar o comportamento do tirante o mais prximo da

realidade pois o valor constante da resistncia a trao ao longo de um tirante real no acontece.

Se no fossem aplicados estes critrios quando aplicado uma deformao imposta axial todos os

elementos fissuravam de uma s vez originam problemas de convergncia no modelo.

3.3. TIRANTE SUJEITO A UMA DEFORMAO IMPOSTA EXTERNA

O tirante seguidamente apresentado modelado de acordo com o descrito nos subcaptulos anteriores

tendo em conta o fenmeno de fluncia, fissurao e no considerando a retrao. Este tirante sujeito

a uma deformao imposta externa atravs de um assentamento de apoio horizontal (ver Fig. 3.4).


29

Fig. 3.4 Modelo utilizado na anlise de um tirante com deformao imposta externa.

3.3.1 MODELAO DA DEFORMAO IMPOSTA E ANLISE NUMRICA INCREMENTAL.

A utilizao de uma deformao imposta externa atravs do controlo de um assentamento de apoio

horizontal deve-se ao facto de que atravs desta simulao verifica-se a queda

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