Revisão de Férias MATEMÁTICA IV SETOR 1713sistemavetor.com.br/wp-content/uploads/2018/07/16-Matematica-IV.pdf · SISTEMA DE ENSINO VETOR – 3 O triângulo ABV está inscrito em

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Revisão de Férias MATEMÁTICA IV

SETOR 1713

1. (Insper) A figura a seguir representa a vista superior de

um curral retangular, de y metros por 8 metros, locali-

zado em terreno plano. Em um dos vértices do retângulo, está amarrada uma corda de x metros de comprimento.

Sabe-se que y x 8.

Um animal, amarrado na outra extremidade da corda, foi deixado pastando na parte externa do curral. Se a área

máxima de alcance do animal para pastar é de 276 m ,π

então x é igual a a) 9,8. b) 9,6. c) 10,0. d) 10,4. e) 9,0. 2. (G1 - cftmg) No triângulo AEF da figura abaixo, temos

que med(AB) med(BC),= BC // DE e CD // EF. .

O valor de θ escrito em função de α e β é

a) θ α β= + b) θ β α= −

c) 180

2

α βθ

+ +=

d) 180

2

α βθ

− −=

3. (G1 - cftmg) Considere um hexágono regular ABCDEF. A partir dos pontos médios dos lados traça-se

um novo hexágono A 'B'C'D'E 'F '.

A medida do ângulo ˆBA 'B', em graus, é

a) 20. b) 30. c) 40. d) 60. 4. (G1 - cftmg) No trator da figura, o raio PS da maior

circunferência determinada pelo pneu traseiro é 80 cm,

o raio QR da maior circunferência determinada pelo

pneu dianteiro é 56 cm e as distâncias entre os centros

P e Q dessas circunferências é de 240 cm.

Considerando 3,π = a distância entre os pontos S e R,

em que os pneus tocam o solo plano é

a) igual ao comprimento da circunferência de raio PS. b) maior que o comprimento da circunferência de raio

PS. c) um valor entre as medidas dos comprimentos das cir-

cunferências de raios PS e QR.

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d) maior que o módulo da diferença entre os comprimen-

tos das circunferências de raios PS e QR. 5. (Puccamp) Quando a dimensão da tela de uma TV é indicada em polegadas, tal valor se refere à medida da di-agonal do retângulo que representa a tela. Considere uma

TV retangular de 16 polegadas e outra de 21 polegadas.

Se as telas das duas TVs são retângulos semelhantes, en-tão, a área da maior tela supera a da menor em, aproxi-madamente, a) 36%. b) 31%. c) 72%. d) 76%. e) 24%. 6. (Unicamp) A figura abaixo exibe um triângulo com la-

dos de comprimentos a, b e c e ângulos internos , 2θ θ

e .β

a) Supondo que o triângulo seja isósceles, determine to-

dos os valores possíveis para o ângulo .θ

b) Prove que, se c 2a,= então 90 .β =

7. (Udesc) Na figura abaixa sem escala, o raio da circunfe-

rência de centro O é r 3 cm= e o segmento OP mede

5 cm.

Sabendo que o segmento PQ tangencia a circunferência

no ponto T, pode-se dizer que o segmento OQ mede:

a) 1,25 cm

b) 5 cm c) 3,75 cm d) 4 cm e) 3,5 cm

8. (Unifesp) Em um tapete retangular decorado com cír-

culos idênticos, o círculo de centro C tangencia as late-

rais do tapete em P e Q. O ponto R pertence à circun-

ferência desse círculo e está à distância de 18 cm e de

25 cm das laterais do tapete, como mostra a figura.

a) Calcule a distância de R até o canto superior do tapete,

indicado por S. Deixe a resposta indicada com raiz

quadrada. b) Calcule o raio dos círculos que compõem a decoração

do tapete. 9. (Mackenzie) Em um triângulo retângulo ABC, reto em

B, as medidas de seus lados AB, BC e AC formam,

nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 3. En-

tão, das alternativas abaixo, as medidas de AB, BC e

AC são, respectivamente, a) 3, 6 e 9

b) 6, 9 e 12 c) 9, 12 e 15 d) 12, 15 e 18

e) 15, 18 e 21

10. (G1 - cftmg)


O triângulo ABV está inscrito em uma circunferência de

centro C e o segmento VD tangencia a circunferência

em V, como representado na figura a seguir. Sabendo

que a ˆmed(AVD) 30= e que a medida do raio da circun-

ferência é igual a 5 cm, o comprimento do arco VEF,

em cm, é

a) 5.3

π

b) 2

5.3

π

c) 5.6

π

d) 2 .π 11. (G1 - epcar (Cpcar)) Considere a figura e os dados a seguir:

DADOS:

- O é o circuncentro do triângulo ABC

- ˆmed(ACD) 50=

- ˆBEC e ˆBDC são retos

- FG é o diâmetro da circunferência de centro O

A medida do ângulo ÂFG, em graus, é igual a

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70

12. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Uma circunferência

tangencia o lado BC de um triângulo ABC no ponto F

e intersecta os lados AB e AC desse triângulo, nos pon-

tos E e D respectivamente, conforme mostra a figura.

Sabendo que essa circunferência passa pelo ponto A, a

distância entre os pontos D e E, em cm, é igual a

a) 10,5. b) 10,9. c) 11,3. d) 11,7. 13. (G1 - cftmg) O TANGRAM é um quebra-cabeças chinês

formado por 5 triângulos retângulos isósceles, um para-

lelogramo e um quadrado que, ao serem colocadas lado a

lado, sem sobreposição, formam um quadrado ABCD,

conforme mostra a figura 01.

Com as peças desse TANGRAM, pode-se formar uma casi-nha, como a representada na figura 02.


Suponha que as superfícies I, II, III e IV serão revestidas com pedaços de isopor que foram comprados em quadra-

dos de área igual a 245 mm . Se o quadrado ABCD tem

lado igual a 32 cm, a quantidade mínima “inteira” de pe-

daços de isopor necessária para cobrir toda a superfície desejada é a) 853. b) 854. c) 1.137. d) 1.138. 14. (Ufrgs) No retângulo ABCD a seguir, estão marcados

os pontos E, F e G de forma que o lado AB está divi-

dido em 4 partes iguais e P é um ponto qualquer sobre

o lado DC.

A razão entre a área do triângulo PFG e a área do retân-

gulo ABCD é

a) 1

8

b) 1

6

c) 1

4

d) 1

2

e) 1 15. (Unicamp) A figura abaixo exibe um setor circular di-

vidido em duas regiões de mesma área. A razão a

b é igual

a

a) 3 1.+ b) 2 1.+ c) 3. d) 2. 16. (Famerp) As tomografias computadorizadas envolvem sobreposição de imagens e, em algumas situações, é ne-cessário conhecer a área da região de intersecção das ima-gens sobrepostas. Na figura, um triângulo equilátero ABC se sobrepõe a um círculo de centro N e raio

NB NC NM,= = com M e N sendo pontos médios, res-

pectivamente, de AB e BC.

Sendo a área de triângulo equilátero de lado igual a

2 3

4 e a área de círculo de raio r igual a 2r ,π se o lado

do triângulo ABC medir 4 cm, então, a área de inter-

secção entre o triângulo e o círculo, em 2cm , será igual a

a) 3 3π +

b) 3 3

2

π +

c) 3π +

d) 2 6 3

3

π +

e) 2 3π + 17. (Ufrgs) Considere um triângulo equilátero circunscrito a um círculo. Se a distância de cada vértice do triângulo ao

centro do círculo é 2 cm, a área da região do triângulo

não ocupada pelo círculo, em 2cm , é

a) 4 3 2 .π− b) 3 3 .π−

c) 3 .π+ d) .π


e) 3 2. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O trapézio retângulo ABCD da figura representa a su-

perfície de um reservatório de água. Na figura, tem-se que:

AB 20 m;

CD 15 m;

AD 12 m;

=

=

=

o ângulo ˆDAB é reto. 18. (G1 - cps) Se, por uma questão de segurança, o reser-vatório precisa ser cercado, então o comprimento dessa cerca será, em metros, de a) 60. b) 59. c) 58. d) 57. e) 56. 19. (Unicamp) Considere o quadrado de lado a 0 exi-

bido na figura abaixo. Seja A(x) a função que associa a

cada 0 x a a área da região indicada pela cor cinza.

O gráfico da função y A(x)= no plano cartesiano é dado

por

a)

b)

c)

d) 20. (Epcar (Afa)) No plano cartesiano abaixo estão repre-

sentados o gráfico da função real f definida por 2f(x) x x 2= − − + e o polígono ABCDE.

Considere que:

- o ponto C é vértice da função f.

- os pontos B e D possuem ordenadas iguais.

- as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f. Pode-se afirmar que a área do polígono ABCDE, em


unidades de área, é

a) 1

816

b) 1

48

c) 1

44

d) 1

82


Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Considere a figura.

A área máxima de pastagem corresponde à soma de 3

4

da área do círculo de centro em A e raio x com a área

do quadrante de centro em B e raio x 8,− ou seja,

2 2 2

2

3 1x (x 8) 76 4x 16x 64 304

4 4

(x 2) 64

x 10.

π π π + − = − + =

− =

=

Resposta da questão 2: [D] Observe que:

Do fato de CD // EF, temos que F α=

Do fato de med(AB) med(BC),= temos que ACB θ=

Do fato de BC // DE, temos E θ β= +

Como a soma dos ângulos internos de um triangulo é 180 , temos:

180180

2

α βθ α θ β θ

− −+ + + = =

Resposta da questão 3: [B] Como um hexágono regular possui como soma dos ângu-los internos 720 e cada ângulo mede 120 logo o ân-

gulo B mede 120 e como o novo hexágono é traçado

nos pontos médios temos que A'B BB'= e assim o tri-

angulo A 'B 'B é isósceles.

Nesse sentido, sabendo que o ângulo B mede 120

tem-se que os outros dois ângulos possuem a mesma medida e assim:

A ' 30A ' B' 120 180

B' 30

= + + =

=

Resposta da questão 4: [D] Note o quadrilátero PQRS da seguinte forma:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo PQQ'

temos: 2 2 2

2 2 2

2

hip cat cat

240 24 x

x 57024

x 238,8

= +

= +

=

Note que as circunferências possuem os seguintes com-primentos:

PS 1

QR 2

C 2 R 2 3 80 480cm

C 2 R 2 3 56 336cm

π

π

= = =

= = =

Logo, o valor procurado é maior que o módulo da dife-rença entre os comprimentos das circunferências de

raios PS e QR. Observe que: 480 336 144.− =

Resposta da questão 5: [C] Sendo x e y as dimensões da TV menor, pode-se calcu-

lar:


( ) ( ) ( )

2 2 2

22 22 2 2 2 2 2 2

1

2

2 1 2 1

16 x y

2121 kx ky k x y 21 k 16 k

16

A xy

21A k xy A A 1,723 A 72% de acréscimo

16

= +

= + = + = =

=

= = =

Resposta da questão 6:

a) O triângulo é isósceles se = ou 2 . = Logo,

no primeiro caso, temos 4 180 , = o que implica em

45 . = Já no segundo caso, temos 5 180 , = o que

implica em 36 . =

b) Considere a figura, em que P é o pé da bissetriz do

ângulo ABC.

Sendo os ângulos MBP e MAP congruentes, pode-

mos concluir que o triângulo ABP é isósceles de base

AB. Ademais, se M é o ponto médio de AB, então

2aBM a

2= = e MP AB.⊥ Daí, como BC a,= BP é

lado comum e MBP CBP, segue que os triângulos

MBP e CBP são congruentes por LAL.

Portanto, temos 90 . =

Resposta da questão 7: [C]

Tem-se que OT 3cm= e OP 5cm= implicam de ime-

diato em PT 4cm.= Logo, vem

2 2 25OP PT PQ 5 4 PQ PQ cm.

4= = =

Em consequência, temos

25OQ OP OT PQ OQ 5 3 OQ 3,75cm.

4 = = =

Resposta da questão 8: Conforme enunciado:

a) Calculando:

2 2 2RS 18 25 RS 949= + =

b) Calculando:

( ) ( )2 22 2 2 2

2

r r 25 r 18 r r 50r 625 r 36r 324

r 13 (não convém, pois r 25)

0 r 86r 949 ou

r 73

= − + − = − + + − +

=

= − + =

Resposta da questão 9: [C] Para resolver a questão pode-se testar cada um dos con-juntos de valores utilizando o Teorema de Pitágoras. Ou-tra solução seria verificar quais dos conjuntos de valores são proporcionais aos triângulos pitagóricos, como o 3, 4 e 5. Nesse caso, percebe-se facilmente que os va-

lores 9, 12 e 15 formam um triângulo semelhante ao

pitagórico:

3 3 9

4 3 12

5 3 15

=

=

=

Resposta da questão 10: [B]

Sabendo que o arco é dado por: VEF

C .R

= Sabendo que

todo triângulo inscrito na semicircunferência é retângulo,

temos que o triangulo ABV possuirá ângulos: ˆ Â 90 , V 60= = e B 30 .= Observe que o ângulo

V 60= é dado devido a ˆmed(AVD) 30 .=

Dessa maneira, temos que o ângulo A ou ˆCAB será

igual a 30 , pois AC CB= e assim temos que o ângulo

ˆ ÂCB ECV 120 .= = Aplicando a fórmula acima:


VEF VEF 2C 120 VEF 5

R 35

π= = =

Resposta da questão 11: [A]

Se o ângulo BDC é reto, então também é o ângulo

CDA.

Se o ângulo CDA é reto e o ângulo ACD é igual a 50 ,

então o ângulo DAC é igual a 40 (pois a soma dos ân-

gulos internos de um triângulo qualquer é sempre igual a

180 ).

Se o ângulo BEC é reto, então também é o ângulo

BEA. Se o ângulo BEA é reto e o ângulo DAC é igual a 40 ,

então o ângulo ABF é igual a 50 .

Se o ângulo ABF mede 50 , então a corda FA mede

100 .

Se GF é o diâmetro da circunferência então a corda que

vai de F até G, passando pelo ponto A, mede 180 .

Se a corda FA mede 100 e a corda que vai de F até

G, passando pelo ponto A, mede 180 , então a corda

que vai de A até G mede 80 . Assim, seu respectivo

ângulo, AFG, medirá 40 .

Resposta da questão 12: [A] Calculando:

( )

( )

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

CD CA CF 4 4 AD 6 AD 5

BE BA BF 4 4 AE 8 AE 12

141 47BC BA CA 2 BA CA cosÂ 14 16 9 2 16 9 cosÂ cosÂ

288 96

47 441 21ED AE AD 2 AE AD cosÂ x 12 5 2 12 5 x x 10,5

96 4 2

= + = =

= + = =

= + − = + − = =

= + − = + − = = =

Resposta da questão 13: [B] Observe que as áreas são dadas pela metade do qua-drado menos a área VII, ou seja, a área do triangulo BCD menos a área VII.

Note que do fato do lado do quadrado valer 32 sua dia-

gonal valerá 32 2, via Teorema de Pitágoras (uma das

principais propriedades do quadrado).

Observe que a diagonal BD divide-se em quatro, e uma dessas quatro partes representam o lado do quadrado, no caso, da área VII. Sendo assim, dividindo o valor da di-agonal por quatro obtendo o lado do quadrado, logo:

32 28 2

4=

Como a área procurada é a área do triângulo BCD me-

nos a área VII, temos:

( )BCD VII32 32

A A 8 2 8 2 512 128 3842

− = − = − =

2512 128 384 cm− = ou 38400 milímetros quadra-

dos. Dividindo pelos quadrados de isopor temos:

38400853,3

45=

Logo, o mínimo devera ser de 854 peças. Resposta da questão 14: [A]

PFGS : área do triângulo PFG

ABCDS : área do retângulo ABCD

PFG

ABCD

PFG

ABCD

1xy

S 2

S 4xy

S 1

S 8

=

=


Resposta da questão 15: [B] Se as áreas são iguais e o ângulo central é , então

2 2 22 2(a b) a a

(a b) 2a 02 2 2

(a b 2a) (a b 2a) 0

a ( 2 1) b

a2 1.

b

θ θ θ+ − = + − =

+ − + + =

− =

= +

Resposta da questão 16: [D] A área de intersecção será igual a área de dois triângulos equiláteros de lado 2 somado com a área de um setor

circular de 60 , conforme a figura a seguir.

Calculando:

2

triângulo

2 2

setor

int er secção triângulo setor

2 3S 3

4

R 2 4S

6 6 6

4 6 3 2S 2S S 2 3

6 3

π π π

π π

= =

= = =

+= + = + =

Resposta da questão 17: [B] Do enunciado, temos:

S : área da região do triângulo não ocupada pelo círculo

ABCS : área do triângulo ABC

círculoS : área do círculo

No triângulo AOT, temos:

( )

( )

ABC círculo

2

2 2

2

rsen 30 r 1

2

acos 30 a 3

2

S S S

1S 2a 2a sen 60 r

2

1 3S 4 3 1

2 2

S 3 3 cm

π

π

π

= =

= =

= −

= −

= −

= −

Resposta da questão 18: [A] Calculando:

2 22 2CB 12 (20 15) CB 144 25 CB 169 CB 13

P 12 15 20 13 60 m

= + − = + = =

= + + + =

Resposta da questão 19: [D] Calculando:

( )2 2 2a a xA(x) a 2 a a ax A(x) ax

2

−= − = − + → =

O único gráfico que apresenta uma função linear é o mostrado na alternativa [D]. Resposta da questão 20: [B]


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

v v

2

v v

2

2D

2B

b ( 1) 1x x

2a 2 ( 1) 2 1 9C ,

2 41 1 9y 2 y

2 2 4

x 1f(x) x x 2 A 2, 0 e E 1, 0

x 2

D 0, y f(0) 0 0 2 2 D 0, 2

B x , 2 2 x x 2 x x 1 0 B 1, 2

− − − = = → = − −

− − −

= − − + → =

= = − − + → −

= −

→ = − − + = →

→ = − − + → − + = → −

1,5 0,5 0,5 0,25 1S 2 2 S 4

2 2 8

+ = + → =


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