Lucas – Revisão de Véspera – Professor Giacometto – 13.07.08 1

REVISÃO DE VÉSPERA – 2012 Disciplina: Matemática Professor(a): Eliomar

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Nomenclatura

C: capital inicial (dado em: real, dólar, euro,...) t: unidade de tempo (dado em: dia, mês, ano,...) i: taxa de juros por unidade de tempo (dado em: %, l,...) j: juro – pagamento por um empréstimo (dado em: real, dólar, euro,...) M: montante: M = C + j

Juro Simples

É aquele em que taxa incide apenas sobre o capital inicial.

js = C · i · t Juro Composto

É aquele em que a taxa incide sobre o capital acumulado (anterior) na unidade de tempo.

M = C(1 + i)t

01) José aplicou R$ 5.000,00 em um fundo de renda fixa, à

taxa de 2% ao mês. a) Se todo mês José retirar o juro produzido, deixando

aplicado apenas o capital, quanto terá retirado em três meses?

b) Se José não fizer retiradas, ou seja, ao final de cada mês o juro produzido se incorporar ao capital do mês anterior, formando assim um novo capital, qual será o juro produzido em três meses?

Nota: No item b, a taxa de juros não incide apenas sobre o capital inicial, mas sobre o capital acumulado a cada mês. Por isso o juro produzido ao final dos três meses é chamado de juro composto

Orientação a) J=C.i.t

J=5.000 . 0,02 . 3 => J=300,00

b) M=C (1+i)t

M=5000(1+0,02)3 => M=5.306,04

M=C+J J=M-C J=5.306,04-5.000 => J=306,04

MEDIDAS ESTATÍSTICAS

* Mediana A mediana para n números em rol será o termo central se n for impar e será a média aritmética entre os termos centrais se n por par. * Moda É o número que ocorre com maior freqüência possível.

* Desvio Padrão ( )

=

n2

i

i 1

(x - x)

n =

2 2 2

1 2 n(x - x) (x - x) ...... (x - x)

n

* Variância (V)

V = 2

02) Dada a amostra 8, 7, 6, 10 e 9. Determine:

a) a mediana (Md)

b) a média aritmética ( X ). c) a moda d) o desvio padrão ( )

e) a variância(V) Orientação a) Dada a amostra em rol:

6 7 8 9 e 10

Md=8(termo central)

b) 8 7 6 10 9

X 85

c) não apresenta moda, pois todos os seus elementos têm a

mesma frequência. d) Obs.: Quanto menor (mais próximo de zero) é o ,

mais regular, mais homogênea é a amostra.

e) V= 2 =2

2 2 2 2 2

1 2 3 4 5

2 2 2 2 2

(x x) (x X) (x X) (x X) (X X)

5

(6 8) (7 8) (8 8) (9 8) (10 8)2

5

2

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PORCENTAGEM

Custo “X” Aumento de 20% = 1X + 0,20X = 1,20X Desconto de 20% = 1X – 0,20X = 0,80X

GRANDEZAS (a e b)

Diretamente proporcionais

(a e b)a k.b K

(a e b)

Inversamente proporcionais

1 aa k. a.b k

1b

b

UNIDADES DE MEDIDA

m dm cm mm 1m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 litro equivale a 1 dm

3 (1L = 1 dm

3)

03) Uma fábrica trabalhando 8 horas por dia produz 400 automóveis em 20 dias. Se passar a trabalhar 10 horas por dia, em quantos dias produzirá 500 automóveis?

Orientação: 1º. ”Chamar” a pergunta (quantos dias) de x. 2º. Com os dados, determinar K. 20 dias 8h/dia 400 automóveis

3º. Achar x (com a mesma fórmula ).

x dias 10h/dia 500 automóveis

GEOMETRIA

TRIÂNGULO RETÂNGULO

a2 = b2 + c2

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

Altura: h = 2

3

Raio: R = h 3

2

Apótema: a = h . 3

1 = r

Área = 4

32

i

= 60o e e

= 120

o

04) Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 e 8.

Determine as projeções ortogonais dos catetos n e m e a altura h.

Orientação: b = 8 e c = 6

2

2

b a.m

8 10.m

64m 6,4

10

2

2

c a.n

6 10.m

36m 3,6

10

2

2

h n.m

64 36h .

10 10

48h 4,8

10

2

2

2

b a.m

c a.n

h m.n

a.h b.c

ℓ

ℓ ℓ

R

r = a

A

B C

x k.

DIR.

INV.

DIR.

INV.

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ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

R

a

R O

A B

HEXÁGONO REGULAR

O OAB é eqüilátero logo:

Raio: R = ℓ

Apótema: a = 2

3 = r

Área = 6 . 4

32

i

= 120o e e

= 60

o

QUADRADO

Diagonal: 2d

Raio: 2

2R

Apótema: 2

a

Área = 2

CÍRCULO

APLICAÇÕES

1. RETA TANGENTE

RAIO PERPENDICULAR

SEGMENTOS PA = PB

2. ALTURA DA PILHA DE CANOS (h).

05) Os catetos de um triângulo retângulo medem 6cm e

8cm. Determine a área: a) de um círculo inscrito no triângulo. b) da região externa ao círculo inscrito e interna ao

triângulo dado. c) comprimento da circunferência em questão Orientação:

6-r + 8-r = 10 r = 2

a) Ac = r2 = 4 cm

2

b) Aprocurada = AT – Ac

Aprocurada = 24 – 4

Aprocurada = 4(6 – )cm2

c) C = 2 r

C = 2 .2 = 4 cm

SEMELHANÇA

kh

H

z

c

y

b

x

a

)áreas(k

A

A 2

2

1

06) O lado BC de um triângulo ABC mede 6dm e a altura a ele relativa mede 4dm. Um retângulo de base o dobro da altura está inscrito nesse triângulo, sendo que uma base maior do retângulo está contida em BC. Determinar:

a) o lado menor do retângulo. b) a área do triângulo ADE. Orientação:

07) Assinale a soma das alternativas verdadeiras.

01) Se duas retas coplanares têm um único ponto em comum, então elas são concorrentes.

02) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas desse plano.

04) Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.

08) Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos.

16) Se uma reta formar ângulos retos (90°) com duas retas concorrentes de um plano, então a reta é perpendicular ao plano.

Comprimento da circunferência C = 2 R

Área do círculo

A = R2

R

O a) ABC ADE

6 4 12 x

2x 4 x 7

2

2ABC

ADE ADE

2

ADE

b) A razão de semelhança k é:

6 7 k

2x 4

Portanto a razão entre as áreas é:

A 12 7 k

A A 4

192 A dm

49

a

b c H

y z

x

t1 t

2 t

3

01 02 04

08 16

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r D R

a

a

a

a

R

A

E

H G

F

C

B

D

A

D C

F E

B

H G

POLIEDROS

V + F + A + 2 (Euler)

n F = +A 2

p V = +A 2

onde

n nº de arestas em cada face

p nº de arestas que saem de cada vértice

08) Um poliedro convexo possui 6 faces quadrangulares e

2 faces hexagonais. Determine o número de vértices desse poliedro.

Orientação: nF = +A2

+ 6 faces quadrangulares: 4.6 = +A’2 A’ = 12

+ 2 faces hexagonais: 6.2 = +A’’2 A’’ = 6

F= 8 A = 18

V + F = A + 2 V + 8 = 18 + 2

V = 12

PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO (ORTOEDRO)

09) Calcular o volume V de um paralelepípedo reto-

retângulo de área total 198cm2

e de dimensões diretamente proporcionais a 1, 2 e 3

Orientação

Sejam a, b e c as medidas, em centímetros, das dimensões do paralelepípedo a seguir.

Orientação:

10) Uma caixa d’água tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo com as dimensões de acordo com a figura a seguir. Quanto baixa o nível da água ao retirarmos 2 litros de água da caixa?

Orientação: 20(dm) · 10(dm) · h(dm) = 2(dm3)

200 · h = 2 h = 0,01 dm = 1mm h = 1mm

CUBO (HEXAEDRO REGULAR)

D = 3a r = 2

a

R = 2

3a Aℓ = 4a

2

V = a

3 At = 6a

2

11) Considerando o cubo representado na figura abaixo, de vértice A, B, C, D, E, F, G e H, e designando como α o plano que contém os pontos C, D, E e F, mostre que:

a) O plano α divide o cubo em dois prismas. b) O plano α é perpendicular à face EADH.

c) O plano α é paralelo à aresta AB . d) A pirâmide cujos vértices são A, B, C e F tem

volume igual a um sexto do volume do cubo. e) O volume do cilindro circunscrito ao cubo é maior do

que uma vez e meia o volume do cubo. f) A esfera inscrita no cubo tem raio igual à metade da

aresta do cubo. Orientação:

a) d)

b)

c)

e) f)

b

c D

d

c

Dimensões a b c x-r x x+r......P.A.

q

x x xq ......P.G.

2

a=

3

b=

5

c=x......dir. proporc.

1 1 12 3 5

a b cx inv. proporc.

c . b . aV

)bcacab(2A

cbaD

t

222

a

Temos :

a ka b c

k b 2k1 2 3

c 3k

E ainda AT = 2(ab+ac+bc) e AT = 198cm

2

Assim, podemos escrever: 2(k . 2k + k . 3 k + 2k . 3k) =198

k2 = 9 k 3 k = 3

Logo, as dimensões são a = 3 cm, b= 6cm e c = 9cm. Portanto: V = a.b.c = 162

2m = 20dm 1m = 10dm

h

2m 1m

A B

C

F

1L = 1dm3

Observação

Dicas

Dimensões P.A./P.G./Dir. proporc./Inv. proporc.

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ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

aℓ

= h

R

g =

h

R

V

g

R

h

ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ

aℓ

= h

ap

h

ℓ ℓ

ℓ

V

a ℓ

(2)

(1)

h1

h2

Ab1 Ab2

V2 = Ab2 · h2

V2 = 0,90Ab1 · 1,20h1

V2 = 1,08 Ab1 · h1 V2 = 1,08 · V1

PRISMAS REGULARES E CILÍNDROS RETOS

Exemplos

2p = 3ℓ 2p = 4ℓ 2p = 2 R

Ab = 4

32 Ab = ℓ

2 Ab = R

2

Aℓ = 2p . h At = Aℓ + 2 . Ab V = Ab . h

Onde: 2p perímetro da base

12) A área da base de um prisma diminui de 10% e a altura aumenta de 20%. O seu volume aumenta ou diminui e de quantos por cento (%)?

01) Diminui de 8%. 02) Aumenta 18%. 04) Não aumenta e nem diminui. 08) Diminui 18%. 16) Aumenta de 8%.

Orientação: V1 = Ab1 · h1

Portanto, o volume aumenta de 8%.

PIRÂMIDES REGULARES E CONES RETOS

Exemplos

p = 2ℓ p = R

Ab = ℓ2 Ab = R

2

Onde: p semi-perímetro da base

13) Um trapézio retângulo cujas bases medem 7cm e 4 cm e cuja a altura é de 4 cm, sofre uma rotação de 360° em volta da base maior, gerando assim um sólido. O volume desse sólido é:

Orientação:

VCilindro= R2.H

VCilindro= 42 . 4

VCilindro= 64 cm3

VSólido = VCilindro + VCone

VSólido = 80 cm3 SECÇÃO TRANSVERSAL

Onde: VT = Vpirâmide ou Vcone

14) Na figura tem-se um recipiente com a forma de um

cone circular reto, com um liquido que atinge a metade de sua altura. Se 80 litros é a capacidade do cone, então o volume do liquido é:

Aℓ = p . ap

At = Aℓ + Ab

V = 3

h . Ab

Aℓ(cone)= Rg

2

S

b

A d

A h

3

S

T

V d

V h

2

Cone

2

Cone

3

Cone

R .hV

3

4 .3V

3

V 16 cm

3

L

cone

V d

V h

3

L

3

L

V d

80 2d

V 1

80 2

Orientação

3

LV 10dm 10 litros

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g at

an = a1.qn–1

a4 = 1,2x(1,2)

3

a4 = 1,24 . x

a4 = 2,07.x

ESFERAS

15) Um plano secciona uma esfera a 4 cm do cento O, determinando uma secção plana de raio 3cm. Calcular o volume dessa esfera e a área de sua superfície.

Orientação

Seja R o raio da esfera:

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

R2

= 42

+ 32

R = 5cm

Logo, o volume V da esfera e a área A de sua superfície são:

A = 4 . 52

cm2

A = 100 cm2

TRONCOS REGULARES

Sendo:

B = AB área da base maior

b = Ab área da base menor

V = 3

h · (B + b + bB )

15) Um condomínio tem uma caixa-d’água no formato de um tronco de cone circular reto, conforme a figura. Se a caixa-d’água está completamente cheia, e o condomínio gasta 10 mil litros de água por dia, por quantos dias completos ela abastece o condomínio, considerando que não chegue mais água à caixa?

Orientação:

B = AB = R2 = 9

b = Ab = r2 =

V = )bBbB(3

h

V = )99(3

3

V = 13 m3 = 13000 dm

3

V 40840 dm3 (litros)

PROGRESSÕES

Seja a seqüência: a1, a2, a3, a4 ...... an, ......

P.A. P.G.

RAZÃO (r)

r = a2 – a1 = a3 – a2 = ...

Fórmula : Termo Geral

an = a1 + (n – 1) . r

Soma dos Termos

Sn = n . 2

aa n1

3 Termos

a1 , a2 , a3

x – r x x + r

4 termos a1 a2 a3 a4 x–3r x–r x+r x+3r

RAZÃO (q)

q = ...a

a

a

a

2

3

1

2

Fórmula : Termo Geral

an = a1 . q

n-1

Soma dos Termos

Finita

Sn = 1q

aq . a 1n (q 1)

Infinita

1n

n

aLimS

1 q (-1 < q < 1)

3 Termos

a1 , a2 , a3

q

x x x.q

4 termos a1 a2 a3 a4

3q

x

q

x x.q xq

3

16) A soma dos números inteiros positivos menores que 101 e não divisíveis por 4 é:

Orientação:

a) soma de todos *

< 101.

PA(1, 2, 3, 4 ,5, 6, ..., 100)

1 nT

a aS n 5050

2

b) Soma dos *

divisíveis por 4 < 101.

PA(4, 8, 12, 16, ..., 100) an = a1 + (n – 1)r ⟹ n = 25

1 nD(4)

a aS n 1300

2

Snão[D(4)] = ST – SD(4) = 3750 17) Alguns fenômenos da natureza crescem segundo uma

seqüência geométrica. Suponha que o desenvolvimento de um certo fungo ocorra à razão de 20% ao dia. Após quatro dias, o seu crescimento, em relação ao estágio inicial, será, aproximadamente:

Orientação: Estágio inicial: 1x Após o 1º dia: 1,20x...........a1 Após o 2º dia: 1,44x...........a2 : : : : : :

A = 4 R2

V = 3R

3

4

R

O

r

R

h h

g

(R-r)

r

33 34 .5 500

V cm V cm3 3

Se, 10000ℓ 1 dia

40840ℓ x dias

X = 4 dias

O

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18) Observe a seqüência a seguir:

S = 1 – 3

1+

2

1 +

9

1 +

4

1 –

27

1 +

8

1 +

81

1 +

16

1 –

243

1...

O valor de S é:

Orientação:

S1 = 1 + 2

1 +

4

1 +

8

1 + .......= 2 (P.G. Infinita)

1n

n

a1 1 1 1 1limS

3 9 27 81 4 1 q2S (F.G. →Infinita)

S = S1 + S2 S = 7/4

GEOMETRIA ANALÍTICA

01) A distância entre 2 pontos

dAB = 2

122

12 )yy()xx(

02) Ponto médio M (xm, ym)

Xm = 2

xx 21 ym=2

yy 21

03) Intersecção: I (x, y) Resolver o sistema, pois x e y são comuns

04) Área de um polígono (triângulo)

|Det|2

1A

05) Equação de reta:

5.2 Passa por dois pontos, A(x1, y1) e B(x2, y2)

Equação reduzida

y = mx + b

Coef. linear

Coef. angular ou declividade

5.3 Passa por um ponto (feixe)

=

. 08) Equação da circunferência

(x – a)2 + (y – b)

2 = r

2

x2 + y

2 – 2ax – 2by + = 0

r = 22 ba

M

B(x2, y2)

A(x1, y1)

x

y

I

x

y

B(x2, y2)

A(x1, y1)

dAB

y x

m1 = m2 m1 . m2 = –1

x

y

d r P(x0, y0)

x

C r

b

y

a

C(a, b)

(sentido anti-horário)

P(x0, y0)

x

y

P(x, y)

DETERMINANTE = 0

1 2

1 2

x x x x0

y y y y

y

x

B(x2, y2)

A(x1, y1)

1n

n

alimS

1 q

onde: m=tg

(+)

O x

b

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19) Prove que:

a) x2 + y

2 – 2x + 6y + 1 = 0 é a equação da

circunferência de raio r = 3 que é concêntrica com a circunferência (x – 1)

2 + (y + 3)

2 = 4.

b) O coeficiente angular da reta que passa pelos

pontos A(3, 2) e B(–3, –1) é 2

1.

c) O ponto P(–2, –1) é um ponto da circunferência de equação:

x2 + y

2 – x + 4y – 3 = 0.

d) As retas r: 2x – 3y + 5 = 0 e s: –6x – 4y + 1 = 0 são perpendiculares.

Orientação:

a) Determine o centro C(a, b) das equações.

x2 + y

2 –2 x +6 y + 1 = 0 (x –1 )

2 + (y +3 )

2 = 4

x2 + y

2 –2a x –2b y + γ = 0 (x –a )

2 + (y –b )

2 = r

2

b) Uma maneira é achar a equação da reta (determinante = zero) e colocá-la na forma reduzida.

c) Substituir as coordenadas do ponto P, na equação e verificar se satisfaz a equação, isto é, se o 1º membro é igual a zero.

d) Achar os coeficientes angulares (forma reduzida) e verifique que mr · ms = –1.

=

= =

= =