Revisões de Estatísticaicm.clsbe.lisboa.ucp.pt/docentes/url/jfr/em/EM_AULA... · Revisões de Estatística: Inferência estatística 9 Estatística Multivariada 18-02-2010 José

Revisões de Estatística: Inferência estatística 1

Estatística Multivariada

18-02-2010 José Filipe Rafael 1

Revisões de Estatística

A) Independência estatística

B) Var. aleatórias

C) Distribuição normal

D) Dist. conjuntas e correlação

E) Inferência estatística




E.1) Distribuições amostrais

E.2) Intervalos de confiança e testes de hipóteses

E.3) Utilização do SPSS





DistribuiDistribuiçções amostraisões amostrais




1) Média amostral

2) Variância amostral

3) Diferença de médias

4) Rácio de variâncias

5) Proporção de sucessos

6) Diferença de proporções





MMéédia amostraldia amostral

s’ é o desvio padrão corrigido da amostra

n

ii 1

xX

n==∑

XN (0 ,1)

n

µσ

− ∩

(n 1)

Xt

s' n

µ−

− ∩

n é a dimensão da amostra

Universo Normal - σ conhecido

Universo Normal - σ desconhecido

Num Universo qualquer esta distribuição é assimptótica.




Variância Variância AmostralAmostral





n é a dimensão da amostra

e a variância corrigida

Por força das propriedades assimptóticas da média amostral, num Universo qualquer temos

( )2 2

22 1 1

n n

i ii i

x X xs X

n n= =

−= = −∑ ∑

( )2

2 21

1 1

n

ii

x Xn

s sn n

=

−′ = =

− −

∑

2 22( 1)2 2

( 1)n

n s n s χσ σ −

′− ×= ∩




DiferenDiferençça de Ma de Méédiasdias





Seja X uma v.a. com média µx e variância σσσσx2 para a qual se tem uma amostra de

dimensão n xe Y uma v.a. com média µy e variância σσσσy

2 para a qual se tem uma amostra de dimensão n y .

Sendo e as respectivas médias amostrais,

Universo Normal - σσσσx e σσσσy conhecidos

X Y

( ) ( )( )

2 20 , 1

X Y

X Y

X Y

X YN

n n

µ µ

σ σ

− − −∩

+




Universo Normal - σx e σy desconhecidos

Se σx = σy

onde

( ) ( )( 2)

1 1 X Y

X Y

n n

pX Y

X Yt

sn n

µ µ+ −

− − −∩

+

2 2 2 22 ( ) ( ) ( 1) ( 1)

2 2i i X X Y Y

pX Y X Y

x X y Y n s n ss

n n n n

− + − ′ ′− + −= =+ − + −

∑ ∑





Se σσσσx ≠≠≠≠ σσσσy

Num Universo qualquer estas distribuições são assimptóticas.

e permitem testar a igualdade de médias.

( ) ( )( 2)2 2 X Y

X Y

n n

X Y

X Y

X Yt

s s

n n

µ µ+ −

− − −∩

′ ′+

�




RRááciocio de Variâncias Amostraisde Variâncias Amostrais





Sendo X e Y duas v.a. (como definidas, e para as quais se dispõe de amostras de dimensão nx e ny )

que permite testar a igualdade de variâncias.

2 21

12 2X

Y

nX Yn

Y X

sF

s

σσ

−−

′× ∩

′




ProporProporççãoão de de sucessossucessos





Sendo π a probabilidade de ocorrência de um fenómeno observável numa dada população da qual se extrai uma amostra de nindivíduos dos quais x revelam a presença do fenómeno,

é a proporção de ocorrência do fenómeno na amostra.

que permite testar a valores para a probabilidade de ocorrência do fenómeno.

= xp

n

(0,1)(1 )

− ∩−

�pN

n

ππ π




DiferenDiferenççaa de de proporproporççõesões de de sucessosucesso





Sendo πx a probabilidade de ocorrência de um fenómeno observável numa dada população da qual se extrai uma amostra de nxindivíduos dos quais x revelam a presença do fenómeno e sendo πy a probabilidade de ocorrência do mesmo ou de outro fenómeno observável noutra população da qual se extrai uma amostra de nyindivíduos dos quais y revelam a presença desse fenómeno

e

são as proporções de ocorrência do fenómeno na amostra.

que permite testar a igualdade para as probabilidades de ocorrência dos fenómenos.

=XX

xp

n=Y

Y

xp

n

( ) ( )(0,1)

(1 ) (1 )X Y X Y

X X Y Y

X Y

f f p pN

p p p p

n n

− − −∩

− −+

�




A) Independência estatística

B) Var. aleatórias

C) Distribuição normal

D) Dist. conjuntas e correlação

E) Inferência estatística : Intervalos de confiança e Testes de hipóteses

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