[email protected] MATEMTICA BSICACLCULO NUMRICO.1)
Calcule o valor das expresses:a) 71 (25 3x3) + 49 : 16 = b) , ,3
2358 4 : 6 . 12+ +=c)3141192:322+|.|
\| = d)225415143211|.|
\| +|.|
\| = e)232 3 8 45 3 =RESP: a) 55 b) 89 c)3 d) 16/3 e)12) Qual o
valor das expresses:a)0 , 2 2 , 33 , 0 2 , 0x= b) 1-4,8:24 = c)1 ,
0 1) 6 , 0 ( 32+ =RESP: a) 0,05 b) 0,8 c) 3,733...3) Calcule o
valor das expresses:a) 20 -(-45) :(-3)2 + (-2)x(-1)5= b) 14
+(-2)4(-2)3+07 +320 +8x22 =c) (-3)3(22)3 = d) (1)0 +23 = e)
[-32(-2)3] =RESP: a) 27 b) 58 c) -37 d) 7 e)14) Associe (V) ou (F)
a cada afirmao, conforme seja verdadeira ou falsa:a)-26 =(-2)6b)
-25 = (-2)5c) -20 = (-2)0RESP: a) F b) V c) F5) Calcule:a) A soma
dos quadrados, mais o quadrado da soma dos nmeros 5 e 3. (98)b) A
soma dos quadrados, menos o quadrado da soma dos nmeros 3 e 2.
(-12)6) Calcule o valor das expresses:a) [-2.223|.|
\| + 22] : (-2)2 = b), , 2 5 327 ) 2 (03 2 + = RESP: a) 1/8 b)
77) Escreva na forma de radical:a) 1032 = b) 521 = c) 243 = d) 631
= e) 265 =RESP: a)3 210 b)25 c)4 32 d)36 e)6 528) Escreva na forma
de potncia com expoente fracionrio:a)320 = b) 10 = c)3 22 = d)5120
= e)6 53 =RESP: a) 2031b) 1021c) 232d)51120 e) 3659) Calcule o
valor de:a) 64 = b)31 = c)664= d)481 = e)532 = f)364 = g)318 =
h)2125 = i) (-32)51= j) 421= l) (-27)31= m) (-1)51=RESP: a) 8 b) -1
c) 2 d) 3 e) -2 f) 4 g) 2 h) 5 i) -2 j) 2 l) -3 m) -110) Calcule o
valor das expresses:a) , ,, , , , 513311 1 . 1 1 +(]1
= b) -31241327 ) 2 ( 16 8 + + = RESP: a) -3 b) -111) Associe (V)
ou (F) a cada afirmao, conforme seja verdadeira ou falsa:a)2110 10
= b) 5 3 22 2= + c)6 35 5 = RESP: a) V b) F c)
[email protected]) Simplifique o radical: 2352 = RESP: 28
313) Simplifique as expresses:a)5 64 83 10 31 + = b)46 3 943 6 92
2|.|
\||.|
\|x = RESP:a) 2 b) 1614) Calcule as somas: a) 80 + 20 = b) 35 +
45 - 220 = RESP:a) 65 b) 2515) Se x = (23- 3) e y = ( 2 +3),
calcule x.y RESP: 316) Sabendo que A = 15 + 180 152e B = 15 - 180
152 , calcule:a) A +B = b) A B = c) AxB = RESP: a) 30 b) 65 c)
18017) Calcule: a) (2 + 2)2 = b) (23 1)2= c) (3 + 5)x(3 - 5) =RESP:
a) 6 + 42 b) 13 - 43 c) 18018) Qual o valor do nmero real: |.|
\| |.|
\|+ 8 4 8 4 x = RESP: 2219) Simplifique a expresso: (3 + 2)x(3 -
2) + (3 - 2)2= RESP: 6 - 2620) Racionalize o denominador das
expresses fracionrias:5 35 3)2 22 2)2 32)2 51)101)5 25)102)31)3++ h
g f e d c b aRESP:25 3 7) 2 2 3 ) 2 6 ) 2 5 )1010)25)510)33)3 2+ +
+ h g f e d c b aCALCULO ALGBRICO.1) Calcule o valor numrico das
expresses:a) x2 3x +1 para x = -4 b) a3 + b3 2 a2 + 3 b2 4ab +1,
para a=2 e b = -3c)b ab a+2 2 para a = -3 e b = 3 d) (a + b + c)x(a
+ b c)x(a b c), para a = b = 10 e c = -1e)yx xy2, quando x = - 1/10
e y = 1/100 f)yxy x++12 2, quando x = 2 e y = 3/2RESP: a) 29 b) 25
c) -3 d) 399 e) - 11/100 f)42 52) Sabendo que a = 5, b = 4, c = 3 e
p = (a + b + c)/2Calcule o valor numrico de p(p a)x(p b)x(p c).
RESP: 363) Reduza a expresso mais simples:a) 2x + 3(3-2x) 2(1 x) b)
3(a2 + a +1) + 2(a2 + 2 a -2) (a2 + 3 a -3)c) x(x2 xy + y2) + y(x2
xy + y2) d) a(a +b c) + b(b +c a) + c(a b +c)RESP: a) -2x +7 b) 2(2
a2 +2 a +1) c) x3 + y3d) a2 +b2 +c24) Desenvolva os seguintes
produtos notveis:a) (2x + 3)2b) (5 a -1)2c) (2 a2 + 3)2d) (3b
+7)(3b -7)e) |.|
\| |.|
\|+322.322k kf) (x +)2g) (2 a2 3b)(2 a2 +
3b)[email protected]: a) 4x2 +12x +9 b) 25 a2-10 a +1 c) 4
a4 +12 a2 +9 d) 9 b2-49 e) k2/4 4/9f) x2 +x + g) 4 a4 9 b25)
Simplifique as expresses:a) (a +b)2 +(a b)2b) (x -2)2 +x2 2(x 1)2c)
(m -1)2 (m +1)x(m -1)RESP: a) 2 a2 +2b2b) 2 c) 2 -2m6) Quanto
devemos somar a a2 + b2 para se obter o quadrado de a + b ? RESP: 2
ab7) Quanto devemos somar a x2 6xy para se obter o quadrado de x 3y
? RESP: 9y28) Seja n um nmero natural ( n 0); calcule o valor da
expresso: o quadrado do sucessor de n, mais oquadrado do antecessor
de n. RESP: (2 n2 +2)9) Fatore as expresses:a) 4ax 8ay = b) x2-64
=c) ax ay +2x -2y = d) x2 + 6x +9 = e) 9 a4 b2-1 =f) 81 a2 18 a +1
= g) 3/5 a 3/5 b = h) x2 mx + nx - mn =RESP: a) 4 a(x 2y) b) (x
+8).(x -8) c) (a+ 2).(x y) d) (x +3)2e) (3 a2 b +1)x(3 a2b -1) f)
(9 a -1)2g) 3/5(a b) h) (x m).(x +n)10) Fatore: a) a4 b4= b) 2 a m2
32 a = c) 5 a2-20 = d) 5 x2 + 20x +20 = e) x3-10 x2 +25x =RESP: a)
(a2 +b2).(a +b).(a b) b) 2 a (m +4).(m -4) c) 5(a +2).(a -2) d) 5(x
+2)2e) x(x -5)211) Simplifique as fraes:by bx ay axby bx ay axdb ab
ab b a acd aad adbyxy xa + + + + + + + 7 7) )1210 4)2)2 24 3 3 422
2RESP:, ,y xy xd b ab a cadbyy x xa++ ++ + 7) )65 2)2)2 212) Reduza
a expresso mais simples:, ,, ,, ,2 2 22 22 2 22 2 22)) ()b a b ab
ab b aby x y xy x y xa + + + RESP:a) -1, b) a/2b13) Efetue as
operaes indicadas:2222 22 3 3 3 31111) 1 : 1 )2 4 2 2) )1111)yxyxeb
ab ab ab ada xa bxa xb aa xb acy xy xy xy xbxxxxa+ |.|
\|+ |.|
\|+++++++++RESP: a) (2x2 +2)/(x2-1) b) 2xy c) 0 d) a/b e) (y2(x
+1))/x2EQUAES INEQUAES SISTEMAS DO PRIMEIRO GRAU.01)D o conjunto
soluo das equaes do 1o grau (em IR) :a) 22=+xxb) 12332= x xc) 558
242=++ x xd)335 211=++xxxxRESP.a) {2} b) {-1} c) {6} d) {7/3}02)
Quando o nmero x na equao (k 3)x + (2k 5)4 + 4k = 0, vale 3, qual
ser o valor de k? k=152903) D o conjunto soluo das equaes literais
do 1 grau ( em IR ):a) ax + bx + c = 2a + 2b + c b) (a + x)2 = ( a
+ 3 + x ).( a 2 + x ) RESP: a) {2}b) {6 -
a}[email protected]) Resolva as inequaes do 1 grau (em IR
):a) 5x 4 > x 3(2 x) b) 141102 -2} b) {x IR / x < 3}05)Quais
so os valores de x, no conjunto dos nmeros naturais (IN), que
satisfazem a inequao.7x 8 < 4x + 1 ? S = {0,1,2}06) Quais os
valores reais de x que satisfazem, simultaneamente, as inequaes:a)
5x 4 > 6 e 2x 1 > 5 x b) 2x 1 < 7 e 3x + 4 > -5RESP: a)
{x IR / x > 2} b) {x IR / - 3 m/3 = 3 => m = 99) Sabendo que
o produto das razes da equao 3x2 6x + 2k -3 = 0 - 4, calcule o
valor de k.P =x . x = c/a => (2k -3)/3 = -4 => k = - 9/210)
Se a equao mx2 (m -1)x + 3 = 0 tem uma raiz igual a 2, calcule o
valor de m.m = - 5/211) A equao x2 mx + m + 1 = 0 tem razes x e x
tais que x+x + x.x= 3.Ache o valor de m. m/1 + (m +1)/1 = 3 => m
= 112) resolva as equaes biquadradas em IR:a) x4-13x2+12 = 0 b) x4
+x2-2 = 0 c) 4x4 +(2x2-3)2 = (2x2 +1)2 +12RESP: a) { 1; 2 3 } b) {
1 ; -2 } c) { (2 + 5 )1/2; (2 - 5 )1/2}13) Resolva em IR as equaes
irracionais:a) 6 22 + x x = x +2 b) x + (x -1) = 13 c) (x +1) + (1
-x) = 2RESP: a) {-2, 5} b) {10 ; 17} c) 214) Resolva os seguintes
sistemas:= += += += + += += +23 2 29)220 ) 4 ).( 3 ()102)2 2 2 2y x
y xy xcy xy xby xy xaRESP: a) (3, -1), (-1, 3) b) (2, 0), (1, 1) c)
(5, 4), (4, 5).POTENCIAODefinies: Sendo a R, a >0, m Ztemos: Se
m > 1, ento: am = fatores ma ... a . a . aOBS: Quando a base
negativa: o expoente par o resultado da potncia positivo;o expoente
impar o resultado da potncia negativo.Casos Especiais: 1) a0 = 12)
a-m =ma|.|
\| 1, com a 0.Propriedades:Sendo a e b nmeros reais e positivos,
com m e n nmeros racionais, so vlidas as seguintespropriedades:a)
am . an=am + nb) am: an=am - nc) (a x b)m = amx b md)abmambm|\
|.| =, com b 0e) (am)n = am . n1) Efetue, observando as definies
e propriedades:a) (-2) b) 120c) 500 d) 0 e) 0 f) 5-1g) 2-3h)(-3)4i)
(0,5) j) 15 k) (1/2)-1l) (2/3)-2m) (4/5)[email protected]) O
valor de (0,2)3 + (0,16)2, :(a) 0,0264 (b) 0,0336 (c) 0,1056 (d)
0,2568 (e) 0,62563) O valor da expresso (-2)+ (-3).(-2)-1:(-3)1,
:(a) -5/6 (b) 5/6 (c) 1 (d) -5/3 (e) -5/24) O valor de2 21 2 12 2)
2 ( ) 2 ( 2 + + (a) -15/17 (b) -16/17 (c) -15/16 (d) -17/165)
Simplificando-se a expresso15405 , 023|.|
\|, obtm-se:(a) 0,16 (b) 0,24 (c) 1,12 (d) 1,16 (e)
1,24Concluses: No existe diviso por zero;00 Smbolo de
indeterminaoProblema: Como resolver215?Quantas vezes devemos
multiplicar a base 5?Esse tipo de potncia, com expoente fracionrio,
resolvido atravs da radiciao.RADICIAO. a operao matemtica oposta
potenciao (ou exponenciao).A notao matemtica da radiciao : b
an=Onde b a raiz, n o ndice, a o radicando e o radical.Para
facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em
uma potncia. Assim ficamuito mais fcil, pois podemos utilizar as
mesmas propriedade de potenciao.nna a1=Propriedades operatriasAgora
vamos dar uma viso mais genrica, visto que as propriedades iro se
repetir, pois soidnticas s de potenciao:a)ycxbyc x ba a x a+=Ao
transformarmos as razes da multiplicao em potenciao, utilizamos
apropriedade de multiplicao de potncias de mesma base: conserva a
base e soma os [email protected])n nb x a = nb a.Se
transformarmos a multiplicao de razes em multiplicao de
potncias,podemos utilizar a propriedade de multiplicao de dois
nmeros na mesma potncia.c)nya Novamente se transformarmos a raiz em
potncia, teremos:y xxy nya a a1.111=||.|
\|=Agora o que devemos fazer voltar de potncia para raiz:xy y x
y xxya a a a = = =||.|
\|.1 1.111Exerccios: 1) Aplicao de propriedades:1) 2 42 844= =a)
b) c) d) e)2)5 5 511 . 10 11 . 10 =f) g) h) i) j)3)3334343= l) m)
n)4) , ,433466 = 4.1)o) p) q) r)5) 2 64 64666 3 22 = = = s) t)6)3
43 .4 343 . 22= = 3 .12 42u) v) x) z)7)3 23222 = a`) 41/2b`)
104/5c`) (1/2)3/2d`)8) i) ii)e`) f`) g`) h`)
i`)[email protected] transformar equaes
algbricas em produtos de duas ou mais expresses, chamadas
fatores.Ex: ax + ay = a.(x+y)Existem vrios casos de fatorao como:1
Caso: Fator comum a todos os termos (ou evidncia) ax + bx mx = x(a
+b m)Ex.: 4x2y + 6xy2 2xy = 2xy(2x + 3y -1)2 Caso: Fator comum a
grupos de termos ( ou agrupamento) ax + bx + ay + by = = x(a + b) +
y(a +b)= (a +b) . (x +y). Ex.: 3x +5y + 5z +5x +4y +4z = (5 +4).(y
+z) + 8x = 9 (y +z) +8x3 Caso: Diferena entre dois quadrados. a2 b2
= (a +b).(a b).Ex.: 9x2-4 = (3x)2 22 = (3x -2).(3x +2)4 Caso:
Trinmio do 20 grau ( a 0 )Sejam x1 e x2 razes das equaes ax2 + bx
+c = 0, ento ax2 + bx +c = a(x x1).(x x2).Ex.: 2x2 4x 6 = 0, x1 = 3
e x2 = -1, logo: 2x2 4x 6 = 2(x -3).(x +1)5 Caso: Trinmio quadrado
perfeito: a2 + 2ab +b2 = (a +b).(a +b) = (a +b)2a2- 2ab +b2 = (a
-b).(a -b) = (a -b)2Exemplo:4x2 12xy + 9y2| || |2x
3y|__________||2.2x.3y = 12xynote que igual ao segundo termo de 4x2
12xy + 9y2Portanto trata-se de um trinmio quadrado perfeito.4x2
12xy + 9y2= (2x 3y)2 forma fatorada|_______________|SinalLogo: 4x2
12xy + 9y2 = (2x 3y)2 forma fatorada|_______________|SinalEx.: a)
ax+2a = b) a-b = c) a - 4ab + 4b = d) 2x-2 = 2(x-1) =e) x2-10xy
+25y2= f) 36a4 + 12 a2 +1 [email protected]: a) a(x+2) b)
(a+b)(a-b) c) (a-2b) d) 2(x+1)(x-1) e) (x -5y)2f) ( 6 a2 +1)21)
Fatore, colocando os fatores comuns em evidncia:a) 3ax-7ay b) x -x
+ x c) xy + xy + xy d) ab - abe) a + ab + ac + bc f) x - b g) x-25
h) (x/9 - y/16)i) x + 4x + 4 j) a + 6ab + 9b l) 144x-1 m) ab + ac +
10b + 10cn) 4a - 4 o) xy - xy p) x + 16x + 64 q) 2x + 4x + 2r) ax +
2ax + axProdutos Notveis:Por serem usuais, algumas multiplicaes de
expresses algbricas podem ser efetuadasobservando-se os seguintes
modelos:Produto da Soma pela Diferena.(a +b).(a b) = a2 b2ex.: (x3
+5).(x3-5) = Resp: x6-25Quadrado da Soma.(a +b)2 = a2 +2ab +b2ex.:
(3x +5)2 = R: 9x2 +30x +25Quadrado da Diferena.(a -b)2 = a2-2ab
+b2ex.: (5x -2)2 = R: 25x2-20x +4Existem muitas outras frmulas:( a
+ b ) =a + 3 a b + 3ab + b(a b ) =a - 3 ab + 3ab - bNo
freqentemente usadas:1) Calcule os produtos notveis: a) (a+2)(a-2)
b) (xy+3z)(xy-3z) c) (x-4y)(x+4y)d) |.|
\| |.|
\|+23522352 y x y xe) (x+3) f) (2a-5) g) (2xy+4) h)24 2|.|
\|+ y [email protected]) (x+4) j) (2a+b) l)
(a-1)Exerccio: Calcule 41.39 usando um produto notvel. (40+1)(40-1)
= 40 -1 = 1.5992) Calcule 101.99 usando um produto
notvel.RACIONALIZAOExistem fraes cujo denominador irracional.
Como:3 22,1 21,21+ Para facilitar os clculos, conveniente
transform-las em uma outra, equivalente, de denominadorracional.1
Caso: O denominador da forma a. b . Neste caso, basta multiplicar o
numerador e odenominador por b . Ex: a) b)2 caso: O denominador da
forman mba.onde n > 2. Neste caso, devemos multiplicar
onumerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no
denominador, o expoente do radicandoigual ao ndice do radical.
Ex:322Fator racionalizante =3 2233 23 23 34 .222222= =3 Caso: O
denominador possui uma destas formas:, ouNeste caso, basta
multiplicar o numerador e o denominador pelo *conjugado de
denominador.Assim, obteremos o produto pela diferena, que resulta
na diferena de dois quadrados.*Conjugado: Expresso \
Conjugado\\Ex.: 1)2)1) Racionalize o denominador de cada
frao:[email protected]) b) c) d) e) f) g)h) i) j) k) l) m)
n)o) p) q) r) s) t) u)v) w) x) y) z)a) b) c) d)2) Racionalize(a)
(b) (c) (d) (e)CLCULO ALGBRICOExpresses Algbricas so aquelas que
contm nmeros e letras. Ex: 2ax+bxVariveis so as letras das
expresses algbricas que representam um nmero real e que de princpio
nopossuem um valor definido.Valor numrico de uma expresso algbrica
o nmero que obtemos substituindo as variveis pornmeros e efetuamos
suas operaes.Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numrico (VN)
da expresso:x + y =1+ 2 =3Portando o valor numrico da expresso
3.Monmio: os nmeros e letras esto ligados apenas por produtos. Ex :
4xPolinmio: a soma ou subtrao de monmios Ex: 4x+2yTermos
semelhantes: so aqueles que possuem partes literais iguais
(variveis)Ex: 2 x y ze 3 x y zso termos semelhantes pois possuem a
mesma parte literal.FRAES ALGBRICASO clculo de fraes algbricas
utiliza o mesmo processo do clculo das fraes numricas,admitindo-se
sempre que o denominador no seja nulo, ou seja, diferente de
zero.Simplificao de fraes
algbricas:[email protected] uma frao algbrica
obter uma frao mais simples equivalente.Para simplificar uma frao,
fatoramos o numerador e o denominador.i) , ii) , iii)Adio e subtrao
de fraes algbrica:Quando as fraes possuem o mesmo denominador,
basta somar ou subtrair os numeradores.Ex:Quando as fraes possuem
denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador eem
seguida, somar ou subtrair os numeradores.Ex:Multiplicao e diviso
de fraes algbricasPara multiplicar ou dividir fraes algbricas,
usamos o mesmo processo das fraes numricas.Fatorando os termos da
frao e simplificar os fatores comuns.Exs:a)b)c)Potenciao de fraes
algbricasUtilizamos o mesmo processo das fraes numricas.Exs: a) b)
c)Exerccios:1) Ache o mnimo mltiplo comum (mmc) de:a) (x-9) e
(x+6x+9) b) (x+x), (x-x) e (x-x) c) (x-4), (x-4x+4) e (x+4x+4)2)
Simplifique:a) b) c) d)3) Efetue: a) b)[email protected])
Efetue as multiplicaes:a) b) c)d) e)5) Efetue as divises:a) b) c)
d)Sistemas de duas equaes do 10 grau com duas incgnitas.Noes: A
soma de dois nmeros 12 e a diferena entre eles 4. Quais so estes
nmeros?Para a resoluo de problemas como este que apresenta duas
incgnitas desconhecidas, utilizamosum sistema de equaes.Chamamos de
x o primeiro nmero (o maior) e de y o segundo nmero.Pelo enunciado:
A soma de dois nmeros 12, ou seja: x +y = 12 ...Ia diferena entre
eles 4, isto : x -y = 4 .....IIA soluo de um sistema de equaes com
duas variveis um par ordenado (x, y) de nmerosreais que satisfaz as
duas equaes ( I e II ).Verificando o par ordenado (8, 4), notamos
que satisfaz as duas equaes:8+4=12 e 8-4=4 , logo a soluo do
sistema (8,4)Vejamos agora os mtodos para a resoluo de sistema de
equaes:Mtodo da adio:Basta eliminar uma das variveis, atravs de
termos opostos, recaindo numa equao do 1 graucom uma varivel. Ex:x
+ y = 12 x y = 4Notamos que as duas equaes possuem termos opostos
(y e -y).Com isso, basta somar as duas equaes:16 2412== = +xy xy xx
= 8A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das
equaes. 8 + y = 12 ou 8 y = 4y = 12 - 8 -y = 4 8 y = 4 y = 4 O par
ordenado (x,y) = (8,4) a soluo do sistema.Outro exemplo:... I..
[email protected] que as equaes no possuem coeficientes
opostos, logo se somarmos membro a membro,no eliminaremos nenhuma
varivel.Para a resoluo deste sistema, devemos escolher uma varivel
para ser eliminada.Para isso, multiplicamos a equao I por -2:III y
xII y xI y x6 0 012 6 46 6 4= += + = Observe que a equao III no
possui soluo, logo a soluo do sistema seria vazio. S = { }Mtodo da
substituio: Consiste em eliminarmos uma das variveis isolando seu
valor numa das equaes do sistema,para em seguida substitu-la na
outra.Ex: x + y = 12 ... I x y = 4 .... IIEscolhemos uma das
variveis na primeira equao, para determinarmos o seu valor: x + y =
12x = 12 y Substitumos na outra equao: (12 - y) - y = 4 y =
4Substituindo o valor encontrado em uma das equaes: x + 4 = 12 x =
8Logo a soluo do sistema seria: S = {(8,4)}Mtodo da
comparao:Consiste em comparamos as duas equaes do sistema, aps
termos isolado a mesma varivel (xou y) nas duas equaes: x + 2y = 2
x = 2 - 2y x + y = 3 x = 3 yComparando as duas equaes: 2 - 2y = 3 y
y = -1Substituindo o valor de y encontrado: x = 2 - 2.(-1) x = 2 +
2 = 4Portando S = {(4,-1)}Exerccios: 1) Resolva os seguintes
sistemas:a) b) c) d)2) Problemas com sistemas j montados:a) Em um
terreiro h galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 ps.
Quantas so as galinhas e oscoelhos? x + y = 23 2x +4y = 82b) A soma
das idades de duas pessoas 25 anos e a diferena entre essas idades
de 13 anos. Qual aidade de cada uma? x +y = 25 x y = 13c) A soma de
dois nmeros 50 e o maior deles igual ao dobro do menor, menos 1.
Quais so osnmeros? x +y = 50 x = 2y [email protected])
Duas pessoas ganharam juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas
ganhou 25% do que a outra.Quanto ganhou cada pessoa? x +y = 50 x =
1/4ye) O preo de uma caneta o dobro do preo de uma lapiseira e duas
canetas juntas custam 30. Qual opreo da caneta e da lapiseira? x =
2y x +y = 303) (Fuvest) Um copo cheio de gua pesa 325g. Se jogarmos
metade da gua fora, seu peso cai para 180g.O peso do copo vazio
?(A) 20g (B) 25g (C) 35g (D) 40g (E) 45g4) (F.C.CHAGAS) Somando-se
os 2/3 de um nmero x como os 3/5 do nmero y, obtm-se 84. Se onmero
x metade do nmero y, ento a diferena y-x igual a:(A) 18 (B) 25 (C)
30 (D) 45 (E) 60== +2845332yxy xEQUAO DO 2 GRAUDenomina-se equao do
segundo grau, toda a equao do tipo ax + bx + c, com
coeficientesnumricos a, b e c com a 0.Equao a b cx+2x+1 1 2
15x-2x-1 -2 5 -1Classificao:- Incompletas: Se um dos coeficientes (
b ou c ) for nulo, temos uma equao do 2 grau incompleta.1 caso: b =
0. Considere a equao do 2 grau incompleta: x -9 = 0 => x = 9
=> x = 32 caso: c = 0 Considere a equao do 2 grau incompleta: x-
9x = 0Basta fatorar o fator comum x, x(x - 9) = 0 => x = 0 e x
=93 caso: b = c = 0 2x = 0 => x = 0Resoluo de equaes do 2 grau:A
resoluo de equaes do 2 grau incompletas j foi explicada acima,
vamos agora resolverequaes do 2 grau completas, ou seja, do tipo
ax+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.- Uma equao do 2 grau
pode ter at 2 razes reais, que podem ser determinadas pela frmula
deBhskara.Como Bhskara chegou at a frmula de resoluo de equaes do 2
grau?Considerando a equao: ax+bx+c=0, vamos determinar a frmula de
Bhskara:Multiplicamos os dois membros por 4a: 4ax+4abx+4ac=0
[email protected] b aos dois membros:
4ax+4abx+b=b-4acFatoramos o lado esquerdo e chamamos de (delta) =
b- 4ac:(2ax + b)= 2ax + b= 2ax = -b Logo: ouFrmula de
Bhskara:Propriedades:Duas razes reais e diferentesDuas razes reais
e iguaisNenhuma raiz realRelaes entre coeficientes e razesSoma =
-abProduto =acVamos provar as relaes descritas acima:Dado a equao
ax + bx + c = 0, com a 0 e 0, suas razes so:eA soma das razes ser:S
= -abO produto das razes ser: P =acPodemos atravs da equao ax + bx
+ c = 0, dividir por [email protected]: ,
Substituindo por S = -abe P =ac:Obtendo a Soma e Produto de uma
equao do 2 grau: x - Sx + P = 0Ex.: Determine a soma e o produto da
seguinte equao: x - 4x + 3=0Sendo a = 1, b = -4 e c = 3: S = -ab =
4 P =ac= 3Resoluo de equaes fracionrias do 2 grau:Equaes
fracionrias so as que possuem incgnitas no denominador e o processo
de resoluodestas equaes o mesmo das equaes no fracionrias.Ex.: e
m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)Ento:Eliminando os
denominadores: * Note que a soluo da equao deve ser diferente de 1
e 2 pois seno anularia o denominador, logo asoluo da equao ser
somente: x = -1 S = {-1}Resoluo de equaes literais do 2 grau:Equaes
literais so as que possuem uma ou mais letras alm da incgnita.Equao
a b cx - (m+n)x + p = 01-(m+n) pExemplo: Determine o valor da
incgnita x.x - 3ax + 2a = 0Aplicando a frmula de Bhskara: a = 1, b
= -3a, c = 2a.Logo: x = 2a e x = a S={a, 2a}Resoluo de equaes
biquadradasEquao biquadrada como o prprio nome diz, so equaes nas
quais esto elevadas ao quadradoduas vezes, sua forma : ax4 + bx2 +c
= 0 onde a 0Exemplo resolvido: x4-5x2 +4 = 0 Fazendo x = y ,
temosx4 = y2Substituindo os valores na equao, temos: y - 5y + 4 =
[email protected] Bhskara:Logo, y = 4 e y`= 1
Voltando a varivel x: Como y = x, temos:x = 4 => x = 2e x = 1
=> x = 1Ento a soluo ser: S = {-2, -1, 1, 2} ou simplesmente S =
{2, 1}Exerccios1) Determine as razes das seguintes equaes:a)
x-3x+2=0 b) 2y-14y+12=0 c) -x+7x-10=0 d) 5x-x+7=0e) y-25=0 f)
x-1/4=0 g) 5x-10x=0 h) 5+x=9i) 7x-3x=4x+x j) z-8z+12 = 02)
Determine o valor de k nas equaes, de modo que:a) x - 12x + k = 0 ,
tenha duas razes reais e iguaisb) 2x - 6x +3k = 0, no tenha razes
reais.c) x + kx + 4 = 0, tenha razes reais e iguais.d) kx - 2(k+1)x
+ (k+5) = 0, tenha duas razes reais e diferentes.3) Complete o
quadro:Lembre-se: Soma das razes de uma equao do 2 grau =
-b/aProduto das razes de uma equao do 2 grau = c/aEquao Soma das
razes Produto das razesx - 6x + 9 = 0 6 9x - 2x + 3 = 02x + 5x - 8
= 0x + 5x -24=0 -5 245 -6-6 -34) D o conjunto soluo das seguintes
equaes fracionrias:a) b) c)d) e) f)5) D o conjunto soluo das
seguintes equaes literais:[email protected]) x - (a+1) + x =
0 b) x - (a+m) + am = 0 c) y - by - 2b = 0d) ax - (a+1) + a = 0 e)
x - 3rx + 2r = 06) D o conjunto soluo das seguintes equaes
biquadradas:a) b) c)d) e)7) Resoluo de equaes
irracionais:Primeiramente devemos eliminar o radicalEleve ambos os
membros ao quadrado para eliminar o radicalEx.: x - 1 = x - 6x + 9
x - 7x +10 = 0Aplicando a frmula de Bhskara, encontramos as razes x
= 5, x` = 2Verificaco: Substitua os valores das razes em ambos os
membros e verifiquem se a igualdade satisfeita Para x=51 membro: 2
membro: x - 3 = 5 - 3 = 2Como o 1 membro igual ao 2 membro, x = 5
soluo da equao Para x` = 21 membro: 2 membro: x - 3 = 2 -3 = -1Como
o 1 membro diferente do 2 membro, x`=2 no soluo da equao Portanto,
V={5}Resolva: a) b) c)d) e)8) (UFSC) A soma das razes da equao
x-28/6 = 7x/2 - x/2 ? R: -3MULTIPLICAO E DIVISO DE POLINMIOSNa
multiplicao e diviso de expresses algbricas, devemos usar a
propriedade distributiva.1) a ( x+y ) = ax + ay2) (a+b)(x+y) = ax +
ay + bx + by3) x ( x + y ) = x + xyPara multiplicarmos potncias de
mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Na diviso de
potncias devemos conservar a base e subtrair os
[email protected]) 4x :2 x = 2 x2) ( 6 x - 8 x ) :
2 x = 3 x - 43) =O processo idntico ao empregado na multiplicao e
diviso na aritmtica.Exemplos 1) (x2-2xy +y2).(x y) = x3-3x2y
+3xy2y32) (x3-x2 y x.y2+y3) / (x2-2xy +y2) =(x y)Para aprendermos
matemtica, no devemos ficar "mergulhados" em teorias e
explicaes.Devemos expor nossos conhecimentos na prtica, ou seja, na
resoluo de muitos exerccios.Ex.: 1) Multiplicar:a) x2.(x2.y) = b)
x.y.(x2.y2) = c) (a b).(a2-2ab +b2) = d) (2x +y).(3x y) =RESP.: a)
x4 . y b) -x3.y3c) a3-3a2.b +3.b2b3d) 6x2 +xy y22) Dividir:a)
4m3-8m por 4m = b) (c2c +1) : (-1) = c) (6x3-12x2-30x) : (-3x) = d)
(a2-13a +12) : (a -1)RESP.: a) m2-2 b) -c2 +c -1 c) -2x2 +4x +10 d)
a -12Problemas:Exerccio resolvido: O problema clssico das
torneirasUma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma
torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em15h. Em quantas horas as
duas torneiras juntas enchero o tanque?Sendo V a capacidade do
tanque em 1 hora: A enche V/10 do tanque; B enche V/15 do tanqueA e
B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6 Portanto t = 6horasou15 10V VB
A+= 30 5302 3= +VV Vt = 6 horas1) (Fuvest) O dobro de um nmero,
mais a sua tera parte, mais a sua quarta parte somam 31. Determineo
nmero. R: 122) (Vunesp) Uma certa importncia deve ser dividida
entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilhafosse feita somente
entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a
mais. Calcule aimportncia. R: 50.000,[email protected])
(Unicamp) Roberto disse a Valria: "pense um nmero, dobre esse
nmero, some 12 ao resultado,divida o novo resultado por 2. Quanto
deu?". Valria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou
onmero original que Valria havia pensado. Calcule esse nmero. 15212
2=+ xR: 94) Obter dois nmeros consecutivos inteiros cuja soma seja
igual a 57. x + (x + 1) = 57 R: 285) (F.C.CHAGAS) Por 2/3 de um
lote de peas iguais, um comerciante pagou R$8.000,00 a mais do
quepagaria pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o preo do lote todo? 2/3x
= 8 + 2/5x R: 30.000,6) Uma torneira gasta sozinha 20 min para
encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min paraencher o
mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse
tanque?20 5 12045 20= =+= + VV V V VR: 4min7) A diferena entre o
quadrado de um nmero e o seu dobro 35. Qual o nmero? x2-2x = 58)
Qual o nmero que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14? x
+23|.|
\| x= 149) A metade do quadrado de um nmero menos o dobro desse
nmero igual a 30. Determine essenmero.22x-2x = 3010) Se do quadrado
de um nmero subtrairmos 6, o resto ser 30. Qual esse nmero? x2-6 =
3011) O produto de um nmero positivo pela sua tera parte igual a
12. Qual esse nmero? x.|.|
\|3x=1212) Determine dois nmeros consecutivos mpares cujo
produto seja 195. x.(2x +1) = 19513) A diferena entre as idades de
dois irmos 3 anos e o produto de suas idades 270. Qual a idadede
cada um? A B = 3 A.B = 27014) Qual o nmero inteiro positivo cuja
metade acrescida de sua tera parte igual ao seu quadradodiminudo
134?|.|
\|2x +|.|
\|3x = x2- 13415) Calcule as dimenses de um retngulo de 16cm de
permetro e 15cm de rea.2 a + 2b = 16 a.b = 15 R: a= 1 e b = 716) A
diferena de um nmero e o seu inverso 8/3. Qual esse nmero?x -38
[email protected] e PROPORO.Razoe Consequente
Antecedentba,Proporodcba= a igualdade de duas razes, onde a e d so
os extremos e b e c so aos meios.Propriedade Fundamental. a.d =
b.cEm toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos
meios, e vice-versa.Primeira Propriedade.Em toda proporo a soma ou
diferena dos dois primeiros termos est para o primeiro (ou
segundo), assim como asoma ou diferena dos dois ltimos termos est
para o terceiro ou quarto.dd cbb aoucd cab adcba = = =Segunda
Propriedade.Em toda proporo, a soma (ou diferena) dos antecedentes
esta para a soma ( ou diferena) dos conseqentes,assim como cada
antecedente est para seu conseqente.dcd bc aoubad bc adcba==
=Terceira Propriedade.Em toda proporo, o produto dos antecedentes
est para o produto dos conseqentes, assim como o quadrado deum
antecedente est para o quadrado de seu
conseqente.2222dcbxdaxcoubabxdaxcdcba= = =Exerccios:1 - Calcule X e
Y na proporo x/5 = y/2, sabendo-se que x + y = 84 R: 60 + 242 -
Calcule A e B na proporo a/7 = b/3, sabendo-se que a - b = 48. R:
84 - 363 - Calcule X e Y na proporo x/y = 8/3, sabendo-se que x +y
= 132. R: 96 + 364 - Calcule A e B na proporo a/b = 5/1, sabendo-se
que a +b = 60 a = 10, b = 405 - Calcule X e Y na proporo x/y =
10/4, sabendo-se que x y = 20 x = 100/3 y = 40/36) - Verifique se
os pares de razes formam uma proporo:a)2e6= b)3e9= c)1e5= 5 157 214
20d)2e5= e)1e5= f)5e10=3426612 Resp: V, V, V, F, F, V.7) - Calcule
o valor de X nas expresses:a)5=x b) x= 18 c)3= 12 d) x= 20 7 35
424x20 728e)x - 4= 3 f)x + 2= 15 g) 2x=5 h) 4=510 5 3 9 3 63x 6i) x
+ 2=x - 1 j) 2x = x - 6 l) 3x - 2=x + 8 m) 5x - 1 =66 2 9 54 2x+2
8Resp: 25, 3, 5, 5, 10, 3, 5/4, 8/5, 5/2, -54, 18,
10/[email protected]) - Determine a quarta proporo dos
nmeros :a) 9, 6 e 18 = b) 7, 5 e 21 = c) 9, 4 e 2 = d) 2, 5 e 3/4=
e) 3/4 , e 2/5 =f) 5, 5/2 e 5/3 =Resp.: 12, 15, 8/9, 15/8, 4/15,
5/6.9) Calcule o valor de X e Y, sabendo-se que:a)== +6 372y xy
xb)== +2 535y xy xc)== 2 740y xy xd)== 5 836y xy xe)== +5 856y xy
xf)== +1445yxy xg)== +6828yxy xh)== 2318yxy xi)= == + +4 3 472z y
xz y xj)= == + +5 3 296z y xz y xResp.: x= 24 e y= 48, 25 e 10, 56
e 16, 96 e 60, 16 e 40, 60 e 15, 16 e 12, 54 e 36, 26,18 e 19,63 e
26,18, 19,2 e 28,8 e 48.10 - Resolva os problemas:a) - A soma de
dois nmeros 45, e a razo entre eles 4/5 . Determine esses nmeros.20
e 25b) A diferena entre dois nmeros 36, e a razo entre eles 7/4.
Determine esses nmeros.84 e 48c) A razo entre a idade de dois irmos
2/3. Determine essas idades, sabendo-se que sua soma 20 anos.8 e
12d) Ache a razo equivalente a 3/7, sabendo-se que a soma de seus
termos 50.15/35e) Ache a razo equivalente a 9/4 , sabendo-se que a
diferena de seus termos 35.63/28f) As reas de dois terrenos esto
uma para a outra assim como 2 esta para 3.Determine a rea de cada
terreno,sabendo-se que elas somam 360 m2 .144 e 216g)- A diferena
entre idades entre Vera e ngela de 12 anos. Sabendo-se que suas
idades esto uma para a outraassim como 5/2. Determine a idade de
cada uma ?20 e 8h) -Divida R$ 7.200,00 entre duas pessoas de modo
que a primeira e a segunda recebam quantias proporcionais a 3e
5.2700 e 4500i) - Um segmento de 78 cm de comprimento dividido em
duas partes na razo de 4/9. Determine o comprimentode cada uma das
partes. 24 e 54DIVISO PROPORCIONAL ou REGRA DE SOCIEDADEDividir um
nmero em partes proporcionais significa dividir esse nmero em relao
a outros determinadosnmeros de modo que as partes obtidas sejam
proporcionais a esses outros nmeros dados.Casos Especiais de Diviso
Proporcional1o Direta x Direta *Multiplicam-se as partes entre si e
opera-se com os produtos obtidos.2 o Inversa x inversa *
Invertem-se os nmeros e multiplicam-se as fraes.* Reduzem-se as
fraes obtidas ao mesmo denominador.3 o Direta x Inversa *
Multiplicam-se as partes entre si, as direitas e as
inversas.EXERCCIOS1 Dividir R$ 60,00 em partes proporcionais a 5 e
7.x/5 = y/7 = 60/12 = 5 => x = 25 e y = 352 - Dividir o nmero
660 em trs partes, proporcionais aos nmeros 4, 7 e 11.x/4 = y/7 = z
/11 = 660/22 = 30 => x = 120, y = 210 e z = 3303 - Dividir o
nmero 40 em trs partes, proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4.x/2 = y/3
= z /4 = 40/9 => x = 80/9, y = 120/9 e z = 160/94 - Decompor o
nmero 76 em trs partes proporcionais aos nmeros 1,2; 3,5; e
4,8.x/1,2 = y/3,5 = z /4,8 = 760/95 => x = 912/95, y = 2660/95 e
z = 3648/[email protected] - Decompor o nmero 141 em trs
partes proporcionais aos nmeros 1/3, e 1/5.x/1/3 = y/1/4 = z /1/5 =
141/47 = 3 => x = 60, y = 45 e z = 366 Uma pessoa dividiu sua
fortuna de R$ 55.000,00 proporcionalmente a 2, 5 e 4.10.000,
25.000, 20.000.7 Uma pessoa dividiu sua fortuna entre trs outras,
recebendo a primeira proporcional a 5, a segunda a 8 e aterceira a
10. Quanto recebeu cada uma se a primeira recebeu menos que a
segunda R$ 9000,00 ?A/5 = B/8 =C/10 => B = A +9 => A/5 = (A
+9) /8 => A = 15, B = 24, C = 30 15.000, 24.000, 30.000.8 O
senhor A, ao morrer, deixou a fortuna de R$ 99.000,00 para se
repartir entre seus herdeiros,proporcionalmente aos seus graus de
parentesco, que so: o segundo, o quarto e o quinto. Quanto recebeu
cada ?18.000, 36.000, 45.000,9 - Uma fortuna foi repartida entre
trs pessoas proporcionalmente a 2/3, 1/5 e 3/4. Quanto recebeu cada
uma, se ototal da fortuna era igual a R$ 194.000,00 ?x/40 = y/12 =
z /45 = 194/97 = 2 => x = 80, y = 24 e z = 9010 - Uma fortuna
foi distribuda em partes proporcionais a 3/5, 2/4 e 3/9. Sabendo-se
que a primeira ficou maiorque a segunda R$ 30.000,00. Qual o valor
de cada parte ?A/108 = B/90 = C/60 => A = B + 30 => A = 180,
B = 150 e C = 100 => A + B + C = 43011 - Trs pessoas receberam a
importncia de R$ 23.500,00 que lhes foi repartida em partes
proporcionais a 0,5;3,4 e 0,8. Quanto toca a cada uma?2.500,
17.000, 4.00012 - Dividir R$ 288,00 entre trs meninas,
proporcionalmente s suas idades que so 4, 6 e 8 anos.64, 96, 12813
- Decompor o nmero 284 em trs partes inversamente proporcionais aos
nmeros 3, 5 e 7.x/35 = y/21 = z /15 => 284/71 = 4 140, 84, 6014
Dividir o nmero 770 em quatro partes inversamente proporcionais aos
nmeros 6, 9, 12 e 15.300, 200, 150 e 12015 Dividir o nmero 60 em
trs partes inversamente proporcionais aos nmeros , 1/3 e 1/5.12, 18
e 3016 Dividir o nmero 344 em duas partes inversamente
proporcionais ao nmero 4/7 e 6/11.168 e 17617 Decompor o nmero 4102
em trs partes inversamente proporcionais a 4.1/2 5.1/3 e
6.1/4.1600, 1350 e 115218 - Algum dividiu sua fortuna em trs partes
inversamente proporcionais a 2/3, 1/5 e 5/5. Quais so as partes
equal a fortuna se a primeira recebeu menos que a segunda R$
140.000,00 ?x/3 = y/10 = z /2 => x/3 b/10 = 140.000/7 = 2.000
60, 200 e 4019 - A fortuna de R$ 2.805.000,00 foi repartida entre
trs herdeiros em partes inversamente proporcionais a 04;
e3.1683.000, 897.600 e 224.40020 Reparta R$ 235.300,00 em partes
inversamente proporcionais a 0,2; 0,3 e 3,5. Qual o valor de cada
parte ?136.500, 91.000 e 7.80021 Trs pessoas receberam R$
980.000,00, que lhes foi repartida em partes inversamente
proporcionais a 0,4; 0,5e 2,5. Quanto recebeu cada ?500, 400 e 8022
Dividir R$ 26.058,00 em partes inversamente proporcionais a 3, 21/5
e 0,4.2828, 2020 e 2121023 - Dividir o nmero 2780 em trs partes
simultaneamente proporcionais a 3, 4 e 5, e a 8, 10 e 15.x/24 =
y/40 = z /75 = 2780/139 480, 800, 150024 Dividir 600 em trs partes
que sejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais aos nmeros 6, 15
e 28,inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4.120, 200 e
28025 Dividir R$ 39.500,00 em trs partes que sejam ao mesmo tempo,
diretamente proporcionais a 3, 5 e 6 einversamente a 2, 4 e
5.15.000, 12.500 e 12.00026 Uma pessoa morreu e deixou uma fortuna
de R$ 326.000,00 para ser repartida em trs partes que sejam aomesmo
tempo inversamente proporcionais a 3/3, 3/5, e 2/6 e diretamente a
3, 5 e 6/8. Quanto cabe a cada pessoa ?72.000, 200.000 e 54.00027 A
quantia de R$ 450.000,00 foi repartida em partes diretamente
proporcionais a 2, 5 e 4 e diretamenteproporcionais a 5, 4 e
5.90.000, 180.000 e 180.00028 Repartir a fortuna de R$ 201.000,00
em trs partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 8 e
inversamenteproporcionais a 5, 4 e [email protected],
30.000 e 144.00029- Trs operrios receberam juntos R$ 2.250,00
Sabendo que o primeiro trabalhou 12 dias, e o segundo 16 dias eo
terceiro 17 dias, quanto recebeu cada um ?600, 800 e 85030 - Dois
amigos jogaram na loteria e ganharam R$ 6.000.000,00. Como o
primeiro entrou com R$ 1.200,00 e osegundo com R$ 1.800,00
combinaram que o prmio seria proporcional. Quanto recebeu cada
?2400.000 e 3600.0008o REGRA DE TRSGrandezas Diretamente
Proporcionais.Kg custo R$( -)1100, (-)(+) 10 + 1000 + (+)Grandezas
Inversamente Proporcionalmente.Velocidade (Km/h) Tempo ( h )( - )
50 20 (+)(+) + 100 10 | ( - )EXERCCIOS1 - Se 20 operrios fazem
certa obra em 18 dias, em quantos dias 30operrios podero fazer o
mesmo trabalhos ? 122 - Em 5 dias, 8 operrios fazem um determinado
trabalho. Para faz-lo em 4 dias, quantos operrios seronecessrios
103 - Um corte de 2,80 metros de tecido custa R$ 840,00. Quanto
deve pagar por 20,5 metros desse tecido ? 61504 - Empregaram-se 36
Kg de fio para tecer 126 metros de fazenda. Quantos quilos sero
necessrios para tecer 140metros ? 405 - Um empregado despedido
depois de trabalhar 20 dias no ms de novembro. Se o salrio mensal
desteempregado era de R$ 1.500,00, Quanto ele recebeu ? 10006 - Em
10 dias, 8 operrios fizeram do trabalho de que foram incumbidos.
Depois disso 2 operrios abandonaramo servio. Quantos dias devem os
restantes trabalhar para concluir a obra ? 13d8h7 - Oito
trabalhadores fazem um servio com dificuldade 5. Qual ser a
dificuldade para 12 trabalhadores ? 3,33...8 - Vinte trabalhadores
fazem um trabalho com a dificuldade 8. 12 trabalhadores que
dificuldade tero ? 13.1/39 - Dez operrios fazem certo servio em 06
dias. Quantos operrios sero necessrios para fazer o mesmo servioem
4 dias ? 1510 - Para fabricar um determinado nmero de peas, uma
indstria utiliza 8 mquinas durante 15 dias. A fim deatender um
pedido urgente, foram empregadas 12 mquinas iguais s primeiras. Em
quantos dias foi fabricado omesmo nmeros de peas ? 10 dias11 - Duas
rodas dentadas que esto engrenadas uma na outra, tem
respectivamente, 12 e 54 dentes. Quantas voltasdar a menor enquanto
a maior d 8 ? 3612 - Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia
fazem 40 cadeiras. Quantas horas por dia devem trabalhar 30operrios
para construrem, 15 cadeiras no mesmo nmero de dias ? 2h13 - Um
circo armado por 15 homens que trabalham 10 horas por dia durante 3
dias. Em quanto tempo armariamesse mesmo circo, 25 homens se
trabalhassem 9 horas por dia ? 2d14 - Uma turma de 28 operrios,
trabalhando 7 horas por dia gasta 15 dias para construir 150 m3 de
uma muralha.Quantos dias de 8 horas, 12 operrios gastaro, para
construir 200 m da mesma muralha ? [email protected]
- Se US$ 50,00 valem R$ 400,00 quanto devo desprender para custear
uma viagem cujo preo de US$1.670,00 ? 13.360Exerccios: Regra de
Trs16 - Num intervalo, 35 alunos gastamR$ 15.400,00 pelas refeies
de 22 dias. Quanto gastariam 100 alunos pelasrefeies de 83 dias
nesse internato ? 166.00017 - 12 operrios fazem 15 metros de um
trabalho em 15 dias de 08 horas. Quantas horas devem trabalhar, por
dia,15 operrios, durante 30 dias, para fazerem 50 metros de mesmo
trabalho ? 10h40min18 - Quinze trabalhadores fazem 15 metros de um
trabalho em 8 dias de 6 horas. Quantos dias de 8 horas,
20trabalhadores podero fazer 25 metros do mesmo trabalho ? 7d4h19 -
Dez operrios fazem 200 metros de um trabalho em 15 dias de 8 horas.
Quantas horas devem trabalhar, pordia, 15 operrios em cuja
capacidade de trabalho de duas vezes a dos primeiros, para fazerem,
em 8 dias, 900metros de outro trabalho cuja dificuldade seja 2/5 do
primeiro ? 9h20 - Transportam-se 8 toneladas de mercadorias
distncia de 9 Km, por R$ 5.000,00. Determine co custo dotransporte
de 6.000 quilos de outra mercadoria, distncia de 15 quilmetros,
sabendo-se que as facilidades dosdois transportes esto na razo de
3/5, respectivamente. 375021 - Um homem d 2 passos de metros em 1/3
de minuto. Quantos passos de 2/5 do metro dar em 8 minutos, afim de
que ande a mesma distncia ? 90 passos22 - Um trem vai da cidade X
cidade Z em 120 minutos, velocidade de 60 quilmetros por hora.
Navolta, desejando-se fazer o percurso em 90 minutos, qual seria a
velocidade do trem ? 80km/h23 - A dificuldade na traduo do francs
est para a dificuldade na traduo do latim assim como 0,5para 0,72.
Um estudante que traduza, 3 x 2/5 pginas de um texto em francs, em
4 horas e 10 minutos,quanto tempo demorar para traduzir duas pginas
e de um texto de latim ? 3h58min24 - Cinco digitadores, que
trabalham 6 horas por dia, fazem um total de 6.000 gravaes.
Quantasgravaes sero feitas se colocarmos mais 3 digitadores e
aumentar a jornada diria para 8 horas. 12.80025 - Resolva o
seguinte problema, j montado: 30 funcionrios, 6 horas, 20 dias,
12.000 fichas,dificuldade 2; 45 funcionrios, 8 horas, 25 dias, x
fichas, dificuldade 3. 20.00026 -Certo automvel demora 5 min para
percorrer 8 km. Conservado essa velocidade, em que tempopercorrer
96km ? 1h27 - Um avio percorre 900 Km em 2h24min. Com a mesma
velocidade, que distncia percorrer em 3horas e 12 minutos ?
1200km28 - A velocidade do som no ar de 341 km/s e na gua 4 vezes
maior. A tripulao de um navio ouviu oestampido proveniente da
exploso de uma bomba a 5 segundos depois de produzida. A que
distncia damina se encontrava o navio? 6820km29 - O transporte de
54 m3 de terra a certa distncia custa R$ 270,00. Quanto se deve
pagar a remoo, mesma distncia de 180m3desse material ? 90030 - Uma
torneira, despejando 6 litros de gua por segundo, enche um tanque
em 15 minutos. Se a mesmadespeja-se 9 litros por segundo, em que
tempo poderia encher esse tanque ? 10min31 - Um andarilho, viajando
8 horas por dia, vence a distncia entre duas cidades em 20 dias;
secaminhasse diariamente 10 horas, em quantos dias teria vencido o
percurso ? [email protected] - Correndo com a velocidade
de 56 km/h, uma locomotiva demora 3h36min para percorrer 64 km,
emque tempo faria esse percurso ? 3h9min33 - Uma caldeira
alimentada por dois condutores de gua que podem abastec-la
respectivamente, em12 min. e 18 min. Funcionando conjuntamente, em
que tempo podero os condutores se ench-la ?V = S / t => S = V. t
=> Vel.= V/12 + V/18 = (3V + 2V)/36 = 5V/36V ou S = (5V/36). t
=> t = 36/5 = 7min12s34 - Trabalhando 8 horas por dia, certo
operrio, ganha em 15 dias R$ 144.00. Se trabalhasse diariamente,9
horas, qual seria sua remunerao em 21 dias ? 226,8035 - Com 12
lmpadas de igual intensidade, acesas durante 5 horas por dia, o
consumo de energia eltricade certa residncia particular, em 39 dias
atinge 26 quilowatts. Conservando-se acesas 9 lmpadas,durante 4
horas por dia, quanto se consumir em 30 dias ? 12kw36 - Com 30
operrios trabalhando 8 horas por dia, certo engenheiro, poder
concluir a construo deuma casa em 45 dias. Desejando, porm,
termina-la 15 dias antes contrata mais 6 operrios. Quantashoras por
dia devero todos trabalhar para que a obra fique terminada nesse
prazo ? 10h37 - Custou-me R$ 2.400,00 o frete de 600Kg de
mercadoria a 400Km de distncia. Quanto me custar ode 300 Kg, em 20
Km se a empresa cobra 4/15 a mais em virtude do pequeno percurso ?
76,0038 - Em 18 dias de 10 horas de trabalho, 7 operrios abriram
uma vala de 30m de comprimento.Trabalhando 11 horas por dia,
quantos dias gastaro 15 operrios, para abrir uma outra vala de 55m
decomprimento, se a habilidade da primeira turma est para a segunda
como 3 para 4, e a dificuldade dosservios como 7 para 4. 69 o
PORCENTAGEMPORCENTAGEM a denominao que se d a toda razo cujo
conseqente 100.1 - Num exame de seleo, no qual se apresentam 2.500
candidatos, 20 % so aprovados. Qual onmero destes ? R: 5002 - Na
cidade A, de 45.000 habitantes, 8% so analfabetos. Qual o nmero
destes ?R: 36003 - Certo comerciante ganha 3% das quantias que
recebe. Tendo cobrado R$ 17.500,00, quanto recebeu ?R: 5254 Calcule
quantos por cento.a) R$ 121,00 so de R$ 484,00 b) 936 g so de
15.660 gc) 912.5g so de 73 kg d)451m3 so de 180 m35 Calcule a
quantia da qual:a) R$ 42,00 represente 5% b) R$ 280,00 represente
8%c) R$ 33,00 represente 5,5% d) R$ 320,00 representa 1,25%6 Meio
representa quantos por cento de 5/8 ?7 Qual o nmero que cujos 7%
valem 28 ?8 Por quanto devo vender um objeto que me custou R$
750,00 para obter um lucro de 30 % ?9 Uma nota promissria, cujo
valor era de 50.000,00, foi paga com um desconto de R$ 2.500,00.
Qual ataxa de desconto [email protected]%10 Em So Paulo
colhem-se 1.268.000 sacas de caf. Se 25% desta produo destinam-se
ao consumointerno, qual a quantidade de sacas para este consumo
?317.00011 Um jornal recebia por dia R$ 420.000,00 d anncios. Os
preos dos anncios foram aumentado em6%. Qual ser a nova receita
diria do jornal ?445.20012 De quanto por cento aumentou a populao
de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora de92.400
habitantes ?13 Um terreno foi vendido por R$ 96.000,00, recebendo o
intermedirio 3% de comisso. Calcule acomisso.14 Em uma escola, 40%
dos alunos so meninas. O total dos alunos 750. Quantos so meninos
?15 Em uma cidade, 35% da populao constituda de homens e 40% de
mulheres. Qual a populaoda cidade se o nmero de crianas de 8.000
?16 Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em
trs prestaes de R$ 1.600,00 euma de R$ 1.800,00. Qual era o preo da
mercadoria ?17 Um vendedor recebe 3% de comisso sobre as vendas que
efetue. Qual a quantia a receber pelasvendas que efetua. Qual a
quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000,00, R$ 3.700,00 e R$
9.500,00 ?18 Em um dos grandes prmios de Frmula 1, largaram 24
carros e terminaram a competio 10 carros.De quantos por cento foi o
nmero de carros que no terminaram a corrida ?19 Um comerciante
comprou 120 bons a R$ 880,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 1.050,00
e orestante a R$ 1.232,00. De quanto por cento foi o lucro ?20 Um
comerciante pagou 20% de uma dvida. Determine a dvida inicial,
sabendo que com R$436.800,00 ele pagou 35% do restante ?21 Uma
pessoa entregou a um banco a quantia de R$ 56.300,00 para pagamento
de uma ordem a serexpedida por telegrama. O custo do telegrama foi
de R$ 50,00 e a comisso, de 1/8%. Qual o valor daordem ?22 Tm-se
duas misturas de lcool com gua, uma contm 24 litros de lcool e 120
litros de gua e aoutra, 21 litros de lcool e 112 de gua. Qual a
mais forte e de quanto por cento ?23 Comprei 6 pecas de tecidos de
50 metros a R$ 380,00 o metro. Quero vend-las com um lucro de30%.
Vendo a Tera parte razo de R$ 430,00 o metro. Por quanto devo
vender o metro de tecidorestante ?24 Em uma partida de futebol, um
dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a
gol:*bolas chutadas foram: 10; *bolas defendidas pelo goleiro
adversrio; * bolas na trave: 2; *gols;2.a) Qual a percentagem de
gols em relao s bolas chutadas a gol ?b) Qual a percentagem das
bolas chutadas fora ?c) Qual a percentagem das bolas defendidas
pelo goleiro adversrio ?25 Um relojoeiro adquire um lote de 120
relgios razo de 8.000,00 cada um. Vende 2/3 a R$9.550,00 cada um e
o restante a R$ 10.240,00 cada um. De quanto por cento foi o lucro
?26 Uma dona de casa compra um pedao de carne com osso e paga R$
192,00. Ao desoss-lo, percebeque os ossos correspondem a 12% do
peso total. Sabendo-se que o preo do quilo desta carne de
[email protected],00 e que, durante o cozimento, a carne
perde 15% de seu peso . Qual o peso do pedao de carnecozida ?27 Em
concurso prestado por um certo nmero de candidatos houve 18% de
aproveitamento, ou seja,117 aprovados: num outro, a que concorrem
350 candidatos, houve 225 de aproveitamento. Determinequantos
candidatos se submetem ao primeiro concurso e quantos foram
reprovados no segundo ?28 Uma pessoa deseja adquirir uma televiso
catalogada por R$ 46.400,00. Se o pagamento for vista,a loja
oferecer um desconto de 5%. Como a pessoa no pode faz-lo, para 2/5
vista e o restante em 3prestaes, sofrendo um aumento de 38% sobre a
parte relativa s prestaes.a) Qual o preo vista da televiso ?b) Qual
o valor de cada prestao ?Exerccios: Porcentagens1 - Sabendo-se que
certo comerciante recebeu R$ 3.515,00, por mercadorias vendidas com
desconto deR$ 185,00, determinar a taxa do referido desconto.5%2 -
Qual o valor da duplicata resgatada por certo comerciante por R$
15.600,00, com desconto de 2,5%?16.0003 - Em determinada fbrica de
meias, cuja a produo foi de 14.500,00 pares, 290 deles fora,
refugados naexpedio. Qual foi a porcentagem do refugo ?2%4 - Um
cobrador, tendo arrecadado certa quantia recebeu a sua comisso de
R$ 76,50 e entregou orestante de R$ 773,50. Qual a taxa devida ?9%5
- Num concurso foi certo nmero de candidatos houve 18% de
aproveitamento, ou seja, 117aproveitados; noutro, feito por 350
candidatos houve 22 % de aproveitamento. Determinar
quantoscandidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos
foram os aprovados no segundo ?650 e 776 - Fez-se a mistura de 40
litros de lcool com 80 litros de gua. Quanto por cento h de lcool
na mistura?10 - Em uma turma de alunos comprometidos a um exame, o
nmero de reprovaes, que atingiu a 15%,foi de 12 concorrentes.
Quantos compareceram ao exame ?33,33... %7 - O peso total de uma
caixa e seu contedo de 60 Kg. Pesando 48 Kg a mercadoria contida
nessacaixa, qual a taxa de porcentagem correspondente ao invlucro
?20%8 - Uma garrafa de refrigerante teve um aumento de R$ 5,00 o
que representou 20% do preo anterior.Qual era o preo anterior e
qual o novo preo desse refrigerante ?25 e 309 - Certo comerciante
vende um aparelho por R$ 15.525,00 obtendo um lucro correspondente
a 15%.Qual foi o custo desse aparelho ?13.50010 - Percebendo a
comisso de 5% sobre as vendas que realiza, certo representante
comercial ganhou R$720,00 em um ms. Quanto vendeu nesse tempo
?14.40011 - Um comerciante comprou 200 sacas de caf por R$
600.000,00. Ganhou na venda 15%, por quantovendeu cada saca de caf
?3.45012 - Uma geladeira vendida por R$ 10.400,00 d o lucro de 30%
sobre o custo. Qual o lucro ?2.40013 - Calcule 12% de R$
725,[email protected] - Calcule 6,5% de R$
385,00.25,02515 - Se R$60,00 a comisso de 10% recebida por um
corretor pela venda de determinada mercadoria,qual o valor dessa
mercadoria ?60016 - Qual o nmero cujos 15% valem 105 ?70017 - Qual
o nmero que aumentado seus 10% d 407 ?37018 - Para assistir a
deciso do campeonato Carioca de Futebol de 1982, entre FLAMENGO e
Vasco,compareceram ao Maracan 170.000 pessoas. Ao final do jogo 40%
dos torcedores saram tristes doestgio. Os restantes festejaram a
conquista do campeonato pelo Flamengo. Quantos assistentes
eramtorcedores do Vasco ?E do Flamengo ?68.000 e 102.00019 - Dos
125 alunos de um colgio, 36% so maiores. Quantos alunos menores h
?8020 - A lotao do estdio do Maracan de 350.000 pessoas. Qual a
porcentagem de lugares vagos, emrelao a lotao, no jogo citado no
problema 22 ?20%21 - A comisso de um viajante de 4% das vendas que
realiza. Em um ms recebeu a comisso de R$580,00. Quanto vendeu
neste ms ?14.50022 - Um comerciante compra 310 Kg de acar a
R$120,00 o quilo. Vende 1/5 com lucro de 20%; 2/5com 15% e o resto
com 10%. Qual o lucro total ?5.20823 - Na poca do BOOM da bolsa de
valores comprei R$ 54.000,00 em aes de diversas companhias eas
revendi por R$ 97.200,00. Qual foi a porcentagem do lucro ?80%24 -
O bairro de maior densidade demogrfica da Amrica do Sul o de
Copacabana no Rio de Janeiro. Arazo do nmero de mulheres para, o de
homens de 6 para 4. Em relao ao nmero de homens, quantopor cento a
mais, h de mulheres.33,33... %25 - Achar 1/8% de 96.0,12%26 - Achar
33x1/3 de 3x1/3.10/927 - Achar 1% de .0,00528 - De que nmero 3/7
corresponde a 5/7% ?6029 - Qual o nmero que subtraindo seus 25%, d
375 ?50030 - Qual o nmero cujos 3/4% so iguais a 15 ?200031 -
Calcular a comisso de 3,3% sobre R$ 5.000,00 .16532 - Uma pessoa
vai ao banco pede uma ordem de pagamento telegrfico sobre a cidade
de Livramento,ocasio em que entregou ao banco R$ 20.070,00, para
pagamento da ordem mais as despesas que so:Comisso %mais telegrama
de R$ 20,00. Quanto recebeu o beneficirio ?20.00033 -Uma duplicata
sofreu um desconto de 3,4% e ficou reduzida a R$ 2.898,. Qual o seu
valor nominal ?3.00034 - Num colgio 15% dos alunos foram
reprovados. Sabendo-se que 340 foram aprovados, pergunta-sequantos
alunos haviam no colgio e quantos foram reprovados ?400 e
[email protected] - Numa cidade, 20% da populao so
crianas, 30% so homens. Qual a populao da cidade equantos homens e
crianas h, se o nmero de mulheres de 30.000 ?60.000, 12.000 e
18.00036 - Uma casa por mm comprada por R$ 500.000,00 sofreu
algumas reformas do valor de R$ 60.000,00.Se desejar ganhar 20%
sobre o preo de venda, por quanto deverei vend-las ?672.00037 - Uma
pessoa vendeu uma mercadoria por R$ 500,00 , ganhando 25%. Qual foi
p custo ?40038 - Um aumento de R$ 8,00 representa quanto porcento
sobre o preo de R$ 64,00 ?12,5%39 - Um corredor conseguiu reduzir o
tempo de uma volta no autdromo em que treinava de 1min 40 seg,para
1 min e 37 seg.. Quantos por cento reduziu ?3%
