2 - Matem

MATEMÁTICA

Didatismo e Conhecimento 1

MATEMÁTICA

JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital: é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros: representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

Juros Simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

Juros Compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros: indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros

incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P . i . n

Onde:J = jurosP = principal (capital)i = taxa de jurosn = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + JurosMontante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número

de períodos)

M = P . ( 1 + ( i . n ) ) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de

R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

Solução:

M = P . ( 1 + (i.n) )M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n

A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma

unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:


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J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.

Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.PDados: i = 150/100 = 1,5Fórmula: M = P (1 + i.n)

Desenvolvimento:2P = P (1 + 1,5 n)2 = 1 + 1,5 nn = 2/3 ano = 8 meses

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M =

P x (1 + i) x (1 + i)3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M =

P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M - P

Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:P = R$6.000,00

t = 1 ano = 12 mesesi = 3,5 % a.m. = 0,035M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 → log x = 12 log 1,035 → log x = 0,1788 → x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.Portanto o montante é R$9.054,00

Exercícios

1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros?

Primeiramente iremos calcular o valor do capital. A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do

juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital:

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades.

Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo:

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:

n=j

C.iSubstituindo o valor dos termos temos:

n=1,800,00

2.500,00 . 0,36

Logo: n= 2 anos

Portanto: • O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o

prazo de pagamento foi de 2 anos. Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo

resultado, pelo seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros,

iremos obter o juro referente a cada período:

2.500,00 . 0,36 ⇒ 900,00

Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado:


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1.800,00900,00

⇒ 2

2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material?

Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total. Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante

(R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00):

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades.


Resolvendo:

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:

n=j


n=11.664,00

27.00,00 . 0,288

Logo:

n: 1,5 ano

Portanto: • Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos. Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo

resultado, pelo seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros,

iremos obter o juro referente a cada período:

27.00,00 . 0,288 ⇒ 7.776,00

Desta forma, basta-nos dividir o valor de R$ 11.664,00, referente ao valor total do juro, por R$ 7.776,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado:

11.664,007.776,00

⇒ 1,5

Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro to-tal. Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante (R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00):

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:

n=j


n= 11.664,0027.000,00 . 0,288

Logo: n = 1,5 anos

Portanto: Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos. Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período:

27.00,00 . 0,288 ⇒ 7.776,00

Desta forma, basta-nos dividir o valor de R$ 11.664,00, referente ao valor total do juro, por R$ 7.776,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado:

11.664,007.776,00

⇒ 1,5

3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.?

Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00):

Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades.


Resolvendo:

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

C: R$ 52.000,00J: R$ 22.932,00n: 3,5 semestre ⇒ 10,5 bimestre{

Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:

i= J C . n

Substituindo o valor dos termos temos:

i = 22.932,00 52.000,00 . 10,5 ⇒ i = 0,042

Logo: 4,2 100i = 0,042 ⇒ i= ⇒ i = 4,2% a.b


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Portanto: • 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha

investiu. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros,

R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de sorte a encontrar a taxa de juros total do período:

22.932,0052.000,00

⇒ 0,441

Dividindo-se então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 10,5, obteríamos a taxa desejada:

0,44110,5

⇒ 0,042

Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00): Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo: Identificando-se os termos disponíveis, temos: C: R$ 52.000,00J: R$ 22.932,00n: 3,5 semestre ⇒ 10,5 bimestre{


i= J C . n


i = 22.932,0052.000,00 . 10,5

⇒ i = 0,042

Logo: 4,2 100i = 0,042 ⇒ i= ⇒ i = 4,2% a.b

Portanto: 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha investiu. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de sorte a encontrar a taxa de juros total do período:

22.932,0052.000,00

⇒ 0,441

Dividindo-se então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 10,5, obteríamos a taxa desejada:

0,44110,5

⇒ 0,042

4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?

Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtraindo-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00):

Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo.

Quando isto acontece, devemos converter uma das unidades. Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

C: R$ 2.000,00J: R$ 450,00n: 1 mês ⇒ 30 dias{


i= J C . n


i = 450,00 2.000,00 . 30

⇒ i = 0,0075

Logo:

i = 0,0075 ⇒ - = 0,75100 ⇒ i = 0,75% a.d

Portanto: • A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros,

R$ 450,00, pelo valor do principal, R$ 2.000,00, de forma a encontrar a taxa de juros total do período:

450,002.000,00 ⇒ 0,225

Dividindo-se então, esta taxa de 0,225 pelo período de tempo, 30, obteríamos a taxa desejada:

0,22530

⇒ 0,0075

Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtrain-do-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00): Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos con-verter uma das unidades. Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

C: R$ 2.000,00J: R$ 450,00n: 1 mês ⇒ 30 dias{


i= J C . n


i = 450,00 2.000,00 . 30

⇒ i = 0,0075

Logo:

i = 0,0075 ⇒ - = 0,75100 ⇒ i = 0,75% a.d

Portanto: A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 450,00, pelo valor do principal, R$ 2.000,00, de forma a encontrar a taxa de juros total do período:

450,002.000,00 ⇒ 0,225


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0,22530

⇒ 0,0075

5) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros?

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades. Identificando-se os termos disponíveis, temos: Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula:

j = C . i . n


j = 1.800,00 . 0,013 . 12Logo:

j = 280,80

O montante é obtido somando-se ao valor do capital, o valor total dos juros. Tal como na fórmula:

Ao substituirmos o valor dos termos temos:

Portanto: o valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria:

Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 23,40, resta-nos multiplicar este valor por 12, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado:

O valor do montante será encontrado, simplesmente somando-se ao valor do principal, o valor total dos juros:

6) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado por este investimento?

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo.

Nestas condições, devemos converter uma das unidades.


Resolvendo:


Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula:

J = C . i . n


j = 35.000,00 . 0,1236 . 1

Logo:

j = 4.326,00

Portanto: • Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao

mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado

multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria:

35.000,00 . 0,1236 ⇒ 4.326,00

Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 4.326,00, resta-nos multiplicar este valor por 1, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado:

4.326,00 . 1 ⇒ 4.326,00

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-ter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula:

J = C . i . n


j = 35.000,00 . 0,1236 . 1

Logo:

j = 4.326,00

Portanto: Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria:


MATEMÁTICA

35.000,00 . 0,1236 ⇒ 4.326,00

Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 4.326,00, resta-nos multiplicar este valor por 1, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado:

4.326,00 . 1 ⇒ 4.326,00

7) Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação?

Identificando-se os termos disponíveis, temos: C: R$ 3.500,00j: R$ 141,75n: 45 dias

{Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:

i = J C . n

Substituindo o valor dos termos temos: i = 141,75

3.500,00 . 45⇒ i = 0,0009

No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘dias’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.d. (‘dias’) para a.a. (‘anos’).

Logo:

Resolvendo:

Portanto: • 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros,

R$ 141,75, pelo valor do principal, R$ 3.500,00, de forma a encontrar a taxa de juros total do período:

141,75 3.500,00 ⇒ 0,0405


0,040545

⇒ 0,0009

Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de conversão conforme efetuado acima.

Identificando-se os termos disponíveis, temos: C: R$ 3.500,00j: R$ 141,75n: 45 dias

{Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: i = J

C . n


i = 141,75 3.500,00 . 45

⇒ i = 0,0009

No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘dias’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.d. (‘dias’) para a.a. (‘anos’).

Portanto: 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 141,75, pelo valor do principal, R$ 3.500,00, de forma a encontrar a taxa de juros total do período:

141,75 3.500,00 ⇒ 0,0405


0,040545

⇒ 0,0009


8) Maria realizou uma aplicação por um período de 1 bimestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada?

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: C: R$ 18.000,00j: R$ 1.116,00n: 1 bimestre


i = J C . n

Substituindo o valor dos termos temos: i = 1.116,00

18.000,00 . 1⇒ i = 0,062

No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘bimestres’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.b. (‘bimestres’) para a.a. (‘anos’).

Logo:

Resolvendo:

Portanto: • A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à uma taxa de

juros simples de 37,2% a.a. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros,

R$ 1.116,00, pelo valor do principal, R$ 18.000,00, de maneira a encontrar a taxa de juros total do período:

1.116,0018.000,00

⇒ 0,062



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0,0621 ⇒ 0,062



C: R$ 18.000,00j: R$ 1.116,00n: 1 bimestre


i = J C . n


i = 1.116,00 18.000,00 . 1

⇒ i = 0,062

No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘bimestres’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.b. (‘bimestres’) para a.a. (‘anos’).

Portanto: A aplicação de Maria foi realizada à uma taxa de juros simples de 37,2% a.a. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 1.116,00, pelo valor do principal, R$ 18.000,00, de maneira a encontrar a taxa de juros total do período:

1.116,0018.000,00

⇒ 0,062


0,0621 ⇒ 0,062


9) Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria havia emprestado?

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo: Identificando-se os termos disponíveis, temos: Para calcularmos o capital vamos utilizar a fórmula:

i = J C . n

Substituindo o valor dos termos temos: C = 5.000,00

0,03125 . 1

Logo:

C: 160.000,00

Portanto: Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período de 1 mês. Poderíamos chegar à mesma conclusão pela seguinte forma: Se dividirmos o valor total dos juros pelo período de tempo, iremos obter o valor do juro por período:

5.000,001

⇒ 5.000,00

Portanto, ao dividirmos o valor do juro por período, R$ 5.000,00, pela taxa de juros de 3,125%, iremos obter o valor do capital:

5.000,000,03125

⇒ 160.000,00

10) Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação em meses?

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades.


Resolvendo:


Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: n = J

C . iSubstituindo o valor dos termos temos:

n = 1.049,60 8.200,00 . 0,032

Logo:

n: 4 meses

Portanto: • O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que

rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s.

Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio:

Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período:

8.200,00 . 0,032 ⇒ 262,40


1.049,60262,40

⇒ 4

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo.


MATEMÁTICA

Nestas condições, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:

n = J C . i


n = 1.049,60 8.200,00 . 0,032

Logo: n = 4 meses

Portanto: O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período:

8.200,00 . 0,32 ⇒ 262,40


1.049,60262,40

⇒ 4

11) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis fornecidas pelo enunciado do problema:

Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em meses e não em anos como está no enunciado do problema.

Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o montante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante:

Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante:

Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então:

Portanto:• Após um ano de aplicação receberei de volta um total de

R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros.

Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis for-

necidas pelo enunciado do problema: Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em meses e não em anos como está no enunciado do problema. Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o montante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante:

Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante: Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então:

Portanto: Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros.

12) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? Calculando o valor da entrada para financiar a compra do seu carro a partir do valor da prestação

Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado:

Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro composto é:

Mas como estamos interessados em calcular o capital, é melhor que isolemos a variável C como a seguir:

Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos:

Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior:

Vamos então novamente isolar a variável C:

Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado:


MATEMÁTICA

Logo:• O capital tomado emprestado foi de R$ 20.801,96.

Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado: Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro composto é:

Mas como estamos interessados em calcular o capital, é melhor que isolemos a variável C como a seguir:

Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos:

Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior:

Vamos então novamente isolar a variável C: Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado: Logo: O capital tomado emprestado foi de R$ 20.801,96.

13) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?

Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:C: R$ 18.000,00n: 18 meses M: R$ 26,866,57

{A partir da fórmula básica para o cálculo do juro composto

iremos isolar a variável i, que se refere à taxa de juros que estamos em busca:

Como já vimos na parte teórica, esta variável pode ser isolada com os seguintes passos:

Por fim substituiremos as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado:

O valor decimal 0,0225 corresponde ao valor percentual de 2,25%.

Logo:• Para que eu venha obter o montante desejado, é preciso que

a taxa de juro composto seja de 2,25% a.m.

Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:

C: R$ 18.000,00n: 18 meses M: R$ 26,866,57

{A partir da fórmula básica para o cálculo do juro composto

iremos isolar a variável i, que se refere à taxa de juros que estamos em busca:

Como já vimos na parte teórica, esta variável pode ser isolada com os seguintes passos: Por fim substituiremos as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado: O valor decimal 0,0225 corresponde ao valor percentual de 2,25%. Logo: para que eu venha obter o montante desejado, é preciso que a taxa de juro composto seja de 2,25% a.m

4) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital? Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:

Tendo por base a fórmula básica para o cálculo do juro composto isolemos a variável n, que se refere ao período de tempo que estamos a procura:

Substituindo o valor das variáveis na fórmula:

Assim sendo:• Para que eu consiga dobrar o valor do meu capital precisarei

de 41,12 meses de aplicação. Do enunciado identificamos as seguintes variáveis: Tendo por

base a fórmula básica para o cálculo do juro composto isolemos a variável n, que se refere ao período de tempo que estamos a pro-cura: Substituindo o valor das variáveis na fórmula: Assim sendo: Para que eu consiga dobrar o valor do meu capital precisarei de 41,12 meses de aplicação.

• 5) Se um certo capital for aplicado por um único período a uma determinada taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento?

Na modalidade de juros simples, temos que o montante pode ser obtido através da seguinte fórmula:

Mas como já sabemos, o juro é obtido através da fórmula:

Logo substituindo j na fórmula do montante, chegamos à seguinte expressão:


MATEMÁTICA

Que após colocarmos C em evidência teremos:

Como o enunciado diz se tratar de apenas um período de aplicação, ao substituirmos n por 1 e realizarmos a multiplicação, a fórmula ficará apenas como:

Já na modalidade de juros compostos, o montante é obtido através da fórmula:

Com a substituição de n por 1, segundo o enunciado, chegaremos à expressão:

Como já era de se esperar, em ambas as modalidades chegamos à mesma fórmula. Por quê?

Como sabemos, o que difere uma modalidade da outra é que no caso dos juros simples o juro não é integrado ao capital ao final de cada período, assim como acontece na modalidade de juros compostos. Como há apenas um período, não há distinção entre uma modalidade e outra, já que após a integração do juro ao valor principal, não haverá um outro cálculo para um próximo período, por se tratar de apenas um período de aplicação.

Temos então que:• Em qualquer uma das modalidades o rendimento será o

mesmo.Na modalidade de juros simples, temos que o montante pode

ser obtido através da seguinte fórmula:

Mas como já sabemos, o juro é obtido através da fórmula:

Logo substituindo j na fórmula do montante, chegamos à seguinte expressão:

Que após colocarmos C em evidência teremos:

Como o enunciado diz se tratar de apenas um período de aplicação, ao substituirmos n por 1 e realizarmos a multiplicação, a fórmula ficará apenas como:

Já na modalidade de juros compostos, o montante é obtido através da fórmula:

Com a substituição de n por 1, segundo o enunciado, chegaremos à expressão:

Como já era de se esperar, em ambas as modalidades chegamos à mesma fórmula. Por quê? Como sabemos, o que difere uma modalidade da outra é que no caso dos juros simples o juro não é integrado ao capital ao final de cada período, assim como acontece na modalidade de juros compostos. Como há apenas um período, não há distinção entre uma modalidade e outra, já que após a integração do juro ao valor principal, não haverá um outro cálculo para um próximo período, por se tratar de apenas um período de aplicação.

Temos então que: Em qualquer uma das modalidades o rendimento será o mesmo.

TAXAS DE JUROS:NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTES, PROPORCIONAIS, REAL E APARENTE

RELAÇÃO ENTRE JUROS E PROGRESSÕES

No regime de juros simples: M ( n ) = P + n r P

No regime de juros compostos: M( n ) = P . ( 1 + r ) n

Portanto:- num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce

em progressão aritmética;- num regime de capitalização a juros compostos o saldo

cresce em progressão geométrica.

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

- Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia. - O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M

= P(1 + i a ) - Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12

meses a uma taxa mensal im. - O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a

M’ = P(1 + im)12. Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos

ter M = M’.Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12

Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12

Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplos:1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?


MATEMÁTICA

Em um ano temos dois semestres, então teremos:1 + ia = (1 + is)

2

1 + ia = 1,082 ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?1 + ia = (1 + im)12

1 + ia = (1,005)12

ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS NOMINAIS

A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 340% ao semestre com capitalização mensal.- 1150% ao ano com capitalização mensal.- 300% ao ano com capitalização trimestral.

Exemplo: Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

15/12 = 1,251,2512 = 1,1608

TAXAS EFETIVAS

A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 140% ao mês com capitalização mensal.- 250% ao semestre com capitalização semestral.- 1250% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

FLUXO DE CAIXA

O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo.

O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:

150 450 VF = 100

VP = 100 ↑ ↑ ↑0 1 2 3 4 5

↓ ↓ ↓250 350

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.

VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO

Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).

Então essa fórmula pode ser escrita como FV = PV (1 + i) n

Isolando PV na fórmula temos: PV = FV / (1+i)n

Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV. Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.

Exemplo: Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?

Solução: FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36

Exercícios

01- A taxa efetiva de 21% a.a. equivale a qual taxa efetiva mensal?

Um capital qualquer capitalizado em 21% após 1 ano da aplicação, deve produzir o mesmo montante que o mesmo capital sendo capitalizado mensalmente a uma taxa i por 12 meses. Os dados que possuímos são os seguintes: Substituindo tais valores na fórmula iremos obter a taxa efetiva ao mês: Portanto, a taxa efetiva mensal é de aproximadamente 0,016 a.m. ou 1,6% a.m.:

i = 0,016 ⇒ i = 0,016 . 100% ⇒ i = 1,6%A taxa efetiva de 21% a.a. equivale a uma taxa efetiva mensal

de 1,6% a.m.

02- A taxa efetiva de 1,8% a.b. equivale a qual taxa efetiva semestral?

Uma certa quantia capitalizada bimestralmente em 1,8% durante 3 bimestres de aplicação, deve produzir o mesmo montante se for capitalizada após 1 semestre a uma taxa i.

Então temos os seguintes dados para utilizar com a fórmula: Os aplicando na fórmula temos: Temos então uma taxa efetiva semestral de aproximadamente 0,055 a.s. ou 5,5% a.s.:

i = 0,055 ⇒ i = 0,055 . 100% ⇒ i = 5,5%

A taxa efetiva de 1,8% a.b. equivale a uma taxa efetiva semestral de 5,5% a.s.

TAXAS PROPORCIONAIS

As taxas de 24% a.a. e de 2% a.m. são taxas proporcionais, pois utilizando meses como a unidade de tempo, temos a seguinte proporção:


MATEMÁTICA

É importante observar que no regime de capitalização composta taxas proporcionais não são equivalentes. Como vimos, uma taxa efetiva de 2% a.m. equivale a 26,82418% a.a. e não a 24% a.a. Note porém, que no regime de capitalização simples taxas proporcionais são equivalentes, neste regime elas produzem o mesmo montante quando aplicadas a um mesmo capital e período.

03- A taxa de 24% a.a. equivale à taxa de 2% a.m. em uma aplicação a juros simples?Certamente que sim, por exemplo, vamos verificar o rendimento de uma aplicação de R$ 8.000,00 por 6 meses. Para isto utilizaremos

esta fórmula:

À taxa de 24% a.a. temos: Como a taxa de juros está em anos e o período de aplicação em meses, foi preciso convertê-lo de 6 meses para 0,5 anos, a fim de que a unidade de tempo sendo a mesma, possamos realizar os cálculos: À taxa de 2% a.m. temos:

Portanto: A aplicação de R$ 8.000,00 por 6 meses em qualquer uma das taxas proporcionais, rende juros de R$ 960,00 no regime de capitalização simples, portanto ambas as aplicações produzem o mesmo montante de R$ 8.960,00 durante um mesmo período de aplicação e por isto as taxas proporcionais são taxas equivalentes neste regime. Sim, a taxa de 24% a.a. equivale à taxa de 2% a.m. no regime de capitalzação simples.

PLANOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC

Consiste em um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, em que o valor da prestação é composto por uma parcela de juros uniformemente decrescente e outra de amortização que permanece constante.

Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um empréstimo por prestações que incluem os juros, amor-tizando assim partes iguais do valor total do empréstimo.

Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.

O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento.

Esse percentual de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do finan-ciamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de amortização.

Exemplo: Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao mês (em juros simples). Aplicando a fórmula para obtenção do valor da amortização iremos obter uma valor igual a R$ 10.000,00. Essa fórmula é o valor do empréstimo solicitado divido pelo período, sendo nesse caso: R$ 120.000,00 / 12 meses = R$ 10.000,00. Logo, a tabela SAC fica:

Nº Prestação Prestação Juros Amortização Saldo Devedor0 1200001 11200 1200 10000 1100002 11100 1100 10000 1000003 11000 1000 10000 900004 10900 900 10000 800005 10800 800 10000 700006 10700 700 10000 600007 10600 600 10000 500008 10500 500 10000 400009 10400 400 10000 3000010 10300 300 10000 2000011 10200 200 10000 1000012 10100 100 10000 0


MATEMÁTICA

Note que o juro é sempre 10% do saldo devedor do mês anterior,a prestação é a soma da amortização e o juro. Sendo assim,o juro é decrescente e diminui sempre na mesma quantidade, R$ 100,00. O mesmo comportamento tem as prestações. A soma das prestações é de R$ 127.800,00. Gerando juros de R$ 7.800,00.

Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem em progressao aritmética(PA) de r=100.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE – SACRE

O sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. Por isso, ele começa com prestações mensais mais altas, se comparado à Tabela Price.

Pelo sistema SACRE, as prestações mensais mantêm-se próximas da estabilidade e no decorrer do financiamento, seus valores tendem a decrescer. A prestação inicial pode comprometer até 30% da renda familiar e o prazo máximo de financiamento é de 25 anos.

Este sistema de amortização é utilizado SOMENTE pela Caixa Econômica Federal. A diferença básica entre este sistema e os outros é o de apresentar o valor da parcela de amortização superior, proporcionando uma redução mais rápida do saldo devedor. Também neste plano a prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto nos outros o comprometimento máximo é 25%.

O valor das prestações é decrescente.

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO - TABELA PRICE

Pela Tabela Price, o comprador começa a pagar seu imóvel com parcelas mensais mais baixas que às do Sacre. Ao longo do contrato, no entanto, as parcelas sobem progressivamente, superando, e muito, às do Sacre.

Pelo sistema Price, as prestações e o saldo devedor são corrigidos mensalmente pela TR, pelos bancos privados e anualmente pela Caixa. A amortização inicial dos juros nesse sistema é menor, fazendo com que apenas a partir da metade do número de anos estabelecido em contrato comece a ser reduzido o saldo devedor do comprador.

Apenas 25% da renda familiar pode ser comprometida com a aquisição do imóvel e o prazo máximo de financiamento é de 20 anos.Consiste em um plano de amortização em que as prestações são iguais. As amortizações crescem ao longo do período da operação:

como a prestação é igual, com a redução do saldo devedor o juro diminui e a parcela de amortização aumenta.

Comparativo SAC SACRE TABELA PRICE - TPPrestações = Amortização

+ Juros Decrescentes Decrescentes Constantes

Amortizações Constantes Decrescentes CrescentesJuros Decrescentes Decrescentes Decrescentes

Vantagem Saldo devedor diminui mais rapidamente em relação ao TP

Saldo devedor diminui mais rapidamente em relação a TP

ou SAC

Prestação inicial menor em relação a calculada pelo SAC oi

SACRE

Desvantagem Prestação inicial maior Prestação inicial maiorSaldo devedor diminui mais

lentamente em relação ao SAC ou SACRE

O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,...,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte.

Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão: Co = C - C i = C (1-i), mas o cliente deverá pagar C no final do período.

No início do 2º período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento: C1 = C - A1

Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser: P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C - A1)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.No início do 3º período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo: C2

= C1 - A2Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a

i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2), ou seja P2 = A2 + i (C - A1 - A2)


MATEMÁTICA

O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.No início do 4º período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste

momento de: C3 = C2 - A3Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que

corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 - A3) = A3 + i (C1 - A2 - A3), ou seja P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período.Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever: Ck = Ck-1 - Ak e Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak)Resumindo até o momento, temos:

n Cn Pn1 C1 = C - A1 P1 = A1 + i (C - A1)2 C2 = C - A1 - A2 P2 = A2 + i (C - A1- A2)3 C3 = C - A1 - A2 - A3 P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3)4 C4 = C - A1 - A2 - A3 - A4 P4 = A4 + i (C - A1 - A2 - A3 - A4)... ... ...k Ck = C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak)

A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então segue que P1 = P2 = P3 = ... = Pn = P

Como P1=P2, então A1 + i (C - A1) = A2 + i (C - A1 - A2), Logo A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) - i A2Assim A1 = A2 - i A2 e dessa forma A1 = A2 (1-i) e podemos escrever que A2 = A1 / (1-i)De forma análoga, podemos mostrar que A3 = A2 / (1-i), para concluir que A3 = A1 / (1-i)2

Temos em geral que, para todo k=2,3,4,...,n: Ak = A1 / (1-i)k-1

Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que: C = A1 + A2 + A3 + ... + AnSubstituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos:

Evidenciando o último termo, poderemos escrever:

Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então:

e desse modo

Já observamos antes quem

e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos:

Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n.


MATEMÁTICA

Para obter os cálculos com as fórmulas básicas

com os seguintes elementos:

Objeto DescriçãoC Capital financiadoi Taxa de juros ao períodon Número de períodosP Valor de cada prestação

A1 Primeira amortizaçãoAk Amortização para

k=1,2,...,n.

Problema Típico

Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização.

Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para obter a prestação

SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO

O Sistema de Amortização Americano é uma forma de paga-mento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida,deixando o valor da dívida constante,que pode ser paga em apenas um único pagamento.

Esse sistema de amortização tem a vantagem em relação ao sistema de pagamento único,pois nele não há incidência de juros sobre juros.Os juros sempre incidem sobre o valor original da dí-vida.Com isso o devedor pode quitar sua dívida quando quiser.

Tem como desvantagem que o pagamento de juros pode,em tese,ser perpétuo mesmo quando já se pagou o equivalente a dívida em si.Para isso,basta que o número de prestações exceda 100% quando soma em juros simples.Vamos a um exemplo.

Vamos supor que foi-se contraido uma dívida no valor de R$13.000,00 que será paga em 1 ano com juros de 9% a.m. através do Sistema de Amortização Americano.Teríamos algo como:

Nº Prestação Amortização Juros(9% de 13.000,00) Dívida

0 0 0 13000

1 0 1170 13000

2 0 1170 13000

3 0 1170 13000

4 0 1170 13000

5 0 1170 13000

6 0 1170 13000

7 0 1170 13000

8 0 1170 13000

9 0 1170 13000

10 0 1170 13000

11 0 1170 13000

12 13000 1170 0

O total pago em juros foi R$ 14.040,00 e ainda sim a dívida só foi quitada quando se pagou os R$ 13.000,00,dando um total de R$27.040,00.No entanto,esse sistema de amortização tolera o pagamento parcial da dívida,o que reduziria proporcionalmente o valor dos juros.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO

O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5º período.

N° de Pretação Amortização Juros (9%

13.000,00) Divida

0 0 0 130001 0 1170 130002 0 1170 130003 0 1170 130004 0 1170 130005 0 1170 130006 0 1170 130007 0 1170 130008 0 1170 130009 0 1170 1300010 0 1170 13000

11 0 1170 13000

12 13000 1170 0

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO - SAM

No sistema de amortização misto as prestações são as médias aritméticas das prestações do sistema de amortização constante com o sistema francês.


MATEMÁTICA

Os juros é a multiplicação do saldo devedor com a taxa de desconto e a amortização é a subtração das prestações com os juros.

Exemplo: Admita que você esteja interessado na compra de um veículo no valor de R$35.000,00. Um vendedor lhe propõe uma entrada de R$8.000,00 mais 12 prestações mensais a uma taxa pré-fixada de 42,00% ao ano. Atenção! Utilize quatro casas decimais para taxas na forma unitária. Monte a tabela para esse financiamento. Veja o resultado na figura abaixo.

Veja que se tirarmos a média das prestações, a primeira ficaria assim.2879,76 = (3051,9 + 2707,62) / 2

Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).

Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.Cálculo: PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

n PSAC PPrice PSAM

1 72.000,00 67.388,13 69.694,062 69.600,00 67.388,13 68.494,073 67.200,00 67.388,13 67.294,074 64.800,00 67.388,13 66.094,075 62.400,00 67.388,13 64.894,07

Sistema de Amortização Misto (SAM)

n Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,001 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,942 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,113 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,204 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,145 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0

Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94


MATEMÁTICA

CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E

INVESTIMENTO

Alíquotas do Imposto sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguros - IOF

Imposto Sobre Operações de CréditoAlíquota: máxima de 1,5% ao dia sobre o valor das operações

de crédito. Alíquota reduzida vigente:Incidente sobre operações contratadas por Pessoas Jurídicas:a) 0,00137% ao dia para Pessoas Jurídicas optantes pelo Sim-

ples Nacional, em operações iguais ou inferiores a R$ 30.000,00; b) 0,0041% ao dia para os demais casos; Incidente sobre operações contratadas por Pessoas Físicas:

0,0082% ao dia;

Alíquota adicional vigente: Incide 0,38% sobre as operações de crédito, independentemente do prazo da operação contratadas por, pessoas físicas ou jurídicas;

Há casos com incidência de alíquota zero. Vide art. 8º do Dec. Nº 6.306, de 14 de dezembro de 2007.

Imposto Sobre Operações de CâmbioAlíquota máxima: 25%. A alíquota foi reduzida a 0,38%, excetuadas as hipóteses pre-

vistas nos incisos do Art. 15- A do Dec. nº 6.306, de 2007.Exemplificando:

1) - Nas liquidações de operações de câmbio contratadas a partir de 7 de abril de 2011, para ingresso de recursos no País, in-clusive por meio de operações simultâneas, referente a empréstimo externo, sujeito a registro no Banco Central do Brasil, contratado de forma direta ou mediante emissão de títulos no mercado inter-nacional com prazo médio mínimo de até setecentos e vinte dias: seis por cento. (Redação dada pelo Decreto nº 7.457, de 6 de abril de 2011).

2) - Nas operações de câmbio destinadas ao cumprimento de obrigações de administradoras de cartão de crédito ou de bancos comerciais ou múltiplos na qualidade de emissores de cartão de crédito decorrentes de aquisição de bens e serviços do exterior efe-tuada por seus usuários: 6,38%;

3) - Nas operações de câmbio relativas ao pagamento de im-portação de serviços: 0,38%;

Imposto Sobre Operações de SeguroAlíquota: 25%Alíquotas reduzidas vigentes:

Nas operações de resseguro, de seguro obrigatório vincula-do a financiamento de imóvel habitacional, realizado por agente do Sistema Financeiro de Habitação, de seguro de crédito à ex-portação e de transporte internacional de mercadorias, de seguro aeronáutico e de seguro de responsabilidade civil pagos por trans-portador aéreo e nas operações em que o valor dos prêmios seja destinado ao custeio dos planos de seguro de vida com cobertura por sobrevivência: zero;

Nas operações de seguro de vida e congêneres, de acidentes pessoais e do trabalho, incluídos os seguros obrigatórios de danos pessoais causados por veículos automotores de vias terrestres e por embarcações, ou por sua carga, a pessoas transportadas ou não: 0,38%;

Nas operações de seguros privados de assistência à saúde: 2,38%;

Nas demais operações: 7,38%;

Imposto Sobre Operações Relativas a Títulos ou Valores Mobiliários

Alíquota: máxima de 1,5% ao dia. Nas aplicações feitas por investidores estrangeiros em quotas

de Fundo Mútuo de Investimento em Empresas Emergentes e em quotas de Fundo de Investimento Imobiliário, alíquota de 1,5% ao dia, limitada a 5% para fundos regulares e até um ano da data do registro das quotas na CVM e limitada a 10% para os fundos sem funcionamento regular.

No resgate, cessão ou repactuação de operações com títulos ou valores mobiliários: alíquota de 1% ao dia, limitado ao rendi-mento da operação, em função do prazo, de acordo com Tabela anexa ao Decreto n. 6.306, de 2007. Nos resgates realizados depois de 30 dias a alíquota fica reduzida a zero.

No resgate de quotas de fundos de investimento antes de com-pletado o prazo de carência para crédito de rendimentos: alíquota de 0,5% ao dia.

Na cessão de ações que sejam admitidas à negociação em bol-sa de valores localizada no Brasil, com o fim específico de lastrear a emissão de depositary receipts negociados no exterior a alíquota é de 1,5%

Imposto Sobre Operações com Ouro Ativo Financeiro ou Ins-trumento Cambial

Alíquota: 1%.

Todos os rendimentos, provenientes de aplicações financeiras em Fundos de Investimentos sem prazo de carência, são tributados pelo Imposto sobre Operações Financeiras - IOF, conforme determinação legal da Portaria 264, do Ministério da Fazenda. A alíquota é de 1% ao dia, limitado ao rendimento da operação, de acordo com a tabela abaixo, decrescente em função do prazo. Isto significa que quanto mais tempo o investidor deixar o dinheiro aplicado, menos IOF vai pagar, aumentando a sua rentabilidade. A partir de 30 dias de aplicação, o Imposto deixa de ser cobrado. Confira abaixo a tabela do IOF cobrado de acordo com os dias de investimento.


MATEMÁTICA

Número de Dias % Limite do Rendimento01 9602 9303 9004 8605 8306 8007 7608 7309 7010 6611 6312 6013 5614 5315 5016 4617 4318 4019 3620 3321 3022 2623 2324 2025 1626 1327 1028 0629 0330 00

InflacionamentoA indexação, em economia, é um sistema de reajuste de pre-

ços, inclusive salários e aluguéis, de acordo com índices oficiais de variação dos preços. Em conjunturas inflacionárias, a indexa-ção permite corrigir o valor real dos salários e aluguéis e demais preços da economia, reajustando-os com base na inflação passada. No entanto, a indexação automática pode realimentar a inflação futura.

Experiência brasileiraEm 1994, a inflação anual no Brasil era de quase 5.000%, e

os preços subiam quase diariamente. Os salários, a fim de acompa-nhar os preços, também eram reajustados através do chamado “ga-tilho” inflacionário – que determinava uma correção automática dos valores assim que a inflação atingisse um determinado nível.

No Brasil, o Plano Real, implantado em julho de 1994, deu início à estabilidade econômica, reduzindo a inflação anual para cerca de 4%. No entanto, ainda permanece alguma indexação na economia, embora não automática. Os reajustes anuais de salários, por exemplo, ainda são negociados com base no índice inflacioná-rio do ano anterior.

Dada a conjuntura atual de estabilidade monetária, a corre-ção automática de contratos, via indexação, foi desaparecendo do cenário econômico brasileiro. Os preços não são mais reajustados com base na variação mensal dos índices de preços do IBGE. A inflação, medida pelo IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Am-plo), baixou em junho de 2006 para 4,03%. Os preços adminis-trados, ou seja, os monitorados pelo governo federal – tais como gasolina, energia elétrica, telefonia, planos de saúde, remédios, gás de cozinha, passagens aéreas e transporte público – os quais em 1999 aumentaram 20,9%, em 2006 aumentaram somente 4,4% . Os preços administrados eram apontados como os responsáveis pelo aumento contínuo da inflação. Também, os índices de ser-viços não-comercializáveis (cabeleireiro, escola, aluguéis etc), os quais de 2001 a 2005, que aumentaram entre 6 e 7%, tiveram au-mento menor (4,4%) entre julho de 2005 e junho de 2006.

A inflação em queda possibilitou a desindexação de grande parte da economia brasileira. No entanto, é senso comum entre os economistas que desindexação que uma desindexação total não é possível. Há alguns “vilões” que eventualmente provocam aumen-tos de preços.

Além dos preços administrados acima mencionados, há tam-bém o setor da telefonia, cujos índices de serviços aumentou, desde julho de 1994 (início do Plano Real), em 662,21%, contra o IPCA de 200,29% no mesmo período. Ocorre que as tarifas telefônicas sofriam correções através dos IGPs (Índices Gerais de Preços), da Fundação Getúlio Vargas (FGV), cujas taxas eram influencia-das pelo dólar, em baixa em 2006. Por conseguinte, com as crises cambais em 1999 e em 2002, os serviços de telefonia tiveram um aumento bem superior ao nível da inflação. Hoje, a telefonia segue uma combinação dos índices IPCA e IGP, com o que são suavi-zados os impactos de eventuais crises de câmbio. Ademais, basta notar que em 2005 o IGP beirou 1%, e o IPCA, como afirmado anteriormente, ficou em 4,03%. E com o surgimento da tecnologia Voip, as taxas de telefonia tenderão a cair ainda mais, segundo se comenta, em percentuais entre 50 a 80% em relação os níveis atu-ais. Outro vilão são as escolas, as quais ainda são reajustadas em níveis acima da inflação.

A consequência da estabilidade dos preços é boa, tanto para os fornecedores de serviços, quanto para os clientes: os primeiros aumentam sua clientela, enquanto que os segundos não sofrem no bolso os efeitos corrosivos da inflação. No Brasil, a tendência é continuar a vigorar a livre negociação dos contratos.

Atualização Monetária

Atualização Monetária (AO 1945: Atualização Monetária) é o nome que se dá no Brasil para os ajustes contábeis e financeiros, realizados com o intuito de se demonstrar os preços de aquisição em moeda em circulação no país (atualmente o Real), em relação ao valor de outras moedas (ajuste cambial) ou índices de inflação ou cotação do mercado financeiro (atualização monetária propria-mente dita).

Em Economia é também chamado de “Correção Monetária”, ou seja, um ajuste feito periodicamente de certos valores na econo-mia tendo em base o valor da inflação de um período, objetivando compensar a perda de valor da moeda.


MATEMÁTICA

Em termos de contabilidade tributária, a atualização monetá-ria pode ser uma receita (denomina-se variação monetária ativa), ou uma despesa (variação monetária passiva).

Exemplo de cálculo de uma variação monetária passiva:- Empréstimo em dólar = US$ 100,00- Cotação Cambial na data do empréstimo: 2,00- Cotação Cambial na data do vencimento da amortização:

4,00

Valor a ser contabilizado na data do recebimento do empresti-mo: Obrigação a Pagar = US$ 100,00 x 2,00 = R$ 200,00

Valor a ser contabilizado na data do vencimento da amorti-zação: Ajuste da variação monetária passiva = R$ 400,00 (US$ 100,00 x 4,00) (-) valor principal (R$ 200,00) = R$ 200,00

Existe uma controvérsia em relação aos juros: Se o juros for de 10% ao mês, a ser pago junto com a amortização, alguns dizem que o valor deve ser integralmente contabilizado como despesas de juros (R$ 40,00 ou 10% de R$ 400,00) enquanto outros afirmam que a despesa de juros é R$ 20,00 e os outros R$ 20,00 seriam variação monetária passiva.

Embora atualmente a questão não tenha implicações em ter-mos de contabilidade tributária, uma vez que ambos são “Despe-sas”, a questão se torna relevante tendo em vista uma conversão de um balanço em reais para um balanço em dolar, por exemplo. Na primeira hipótese, o balanço em dólar apresentaria a despesa de juros de US$ 10,00 (40,00 / 4,00), enquanto na segunda, a despesa a ser demonstrada seria de US$ 5,00 (20,00 / 4,00), considerando--se o critério de eliminaçãos dos ajustes cambiais contábeis para fins da referida conversão.

Correção Monetária de BalançosAté 1994, em função da hiperinflação, no Brasil os Balanços

eram demonstrados com os ajustes denominados de “Correção Monetária de Balanços” (Lei 6.404/76). Para fins de contabilida-de tributária, os itens permanentes do Balanço (basicamente Ativo Permanente e Patrimônio Líquido) eram ajustados em função de um coeficiente fornecido pelo governo (com base em algum índice de inflação). Nesse caso, havendo saldo credor da correção mone-tária, o valor era ainda ajustado pelas variações monetárias, que poderiam aumentar ou reduzir o saldo a ser tributado pelo imposto de renda. Esse sistema foi criado pelo DL 1.598/77, em função da preocupação com o acréscimo ao lucro de valores tido como não-financeiros (ajustes decorrentes da inflação), o que poderia re-sultar em impostos a pagar sem que as empresas tivessem de fato o numerário em caixa. Tal entendimento não era majoritário entre os acadêmicos da classe contábil, mas continuou durante muitos anos como um dos principais “incentivos tributários” às empresas brasileiras com vultosos ativos imobilizados (indústrias, principal-mente).

Princípios Contábeis Em função das características da Economia brasileira, e da

doutrina da essência econômica utilizada para o estudo das Ciên-cias Contábeis no Brasil, a Atualização Monetária é considerada pelo CFC - Conselho Federal de Contabilidade, um Princípio Fun-damental de Contabilidade. Antes denominado de “Princípio da Correção Monetária”, ele atualmente é denominado “Princípio da Atualização Monetária”.

Com o fim da hiperinflação, os ajustes dessa natureza nas De-monstrações Financeiras brasileiras são efetuados em razão das altas taxas de juros praticadas pelas instituições financeiras; e em decorrência do regime de “Câmbio Flutuante”, que periodicamen-te provoca grandes oscilações na cotação do Dólar americano em relação ao Real.

Processos InflacionáriosOs processos inflacionários podem ser classificados, segundo

algumas características como:- Inflação prematura - processo inflacionário gerado pelo au-

mento dos preços sem que o pleno emprego seja atendido.- Inflação reprimida - processo inflacionário gerado pelo con-

gelamento dos preços por parte do governo.- Inflação de custo - processo inflacionário gerado pelo au-

mento dos custos de produção.

Por causa de uma redução na oferta de fatores de produção, o seu preço aumenta. Com o custo dos fatores de produção mais altos, a produção se reduz e ocorre uma redução na oferta dos bens de consumo aumentando seu preço. A inflação de custo ocorre ce-teris paribus quando a produção se reduz.

- Inflação de demanda - processo inflacionário gerado pelo aumento do consumo com a economia em pleno emprego. Ou seja, os preços sobem por que há aumento geral da demanda sem um acompanhamento no crescimento da oferta.

Esse tipo de inflação é causada também pela emissão elevada de moeda e aumento nos níveis de investimento, pois, ceteris pa-ribus, passa a haver muito dinheiro à cata de poucas mercadorias. Uma das formas utilizadas para o controle de uma crise de inflação de demanda, é um redução na oferta de moeda, que gera uma re-dução no crédito, e conseqüente desaceleração econômica. Outras alternativas são os aumentos de tributos, elevação da taxa de juros e das restrições de crédito.

Há ainda aqueles que discutem a chamada inflação (por ra-zão) estrutural, proposta pela CEPAL, que tem a ver com alguma questão especifica de uma determinado mercado, como pressão de sindicatos, tabelamento de preços acima do valor de mercado (caso do salário mínimo), imperfeições técnicas no mecanismo de compra e venda.

Outro tipo de inflação, também muito danoso, é a Inflação Inercial, onde há um círculo vicioso de elevação de preços, taxas e contratos, com base em índices de inflação passados. Quase na mesma linha, podemos citar ainda a Inflação de Expectativas, con-sequência de um aumento de preços provocados pelas projeções dos agentes sobre a inflação.

AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

CDB da CAIXA: São títulos de renda fixa com pagamentos em datas preestabelecidas, remunerados a taxas pré ou pós-fixadas. A liquidez é diária e ainda é permitida a transferência de titularidade. Há várias opções de aplicação, ideais para investidores de perfil conservador, que não gostam de correr riscos.


MATEMÁTICA

CDB – TR

Valor de aplicação: No CDB TR CAIXA, a aplicação inicial é de apenas R$ 1.000,00, um valor bastante acessível. Prazos: O prazo mínimo para resgate no CDB TR CAIXA é de 30 dias e o máximo, de 750 dias. Rentabilidade: No CDB TR CAIXA, o crédito de rendimentos é realizado no vencimento da aplicação. E a forma de cálculo do CDB TR CAIXA é: Rendimento = valor aplicado x taxa contratada, sendo a taxa contratada = TR diária + juros. Resgate: Não há resgate antecipado. Mas, se você solicitar o estorno de sua aplicação, o crédito é imediato, porém sem recebimento de remuneração pelo período aplicado. Data de vencimento: A data de vencimento é calculada a partir do primeiro dia subseqüente ao da aplicação, conforme o prazo contratado, devendo ocorrer sempre em dia útil.

CDB – Pré

Feito sob medida para os investidores de perfil conservador, o CAIXA CDB Pré é contratado com base em taxa prefixada. Isso permite que você saiba desde o início quanto seu dinheiro vai render. A aplicação inicial do CDB Pré é bastante acessível, apenas R$ 1.000,00; e o prazo mínimo para resgate é de um dia. Além dos baixos riscos, você ainda conta com a credibilidade que só a CAIXA pode oferecer.

Valor de aplicação: Aplicação inicial: R$ 1.000,00; Valor mínimo para resgate: não permite; Valor máximo para aplicação: sem limites. Prazos: Os prazos para a aplicação no CAIXA CDB Pré variam de um a 720 dias. Rentabilidade: A forma de cálculo da aplicação é: Rendimento = valor aplicado x taxa efetiva contratada; e o crédito de rendimentos é realizado no vencimento da aplicação. Data de vencimento: A data de vencimento é calculada a partir do primeiro dia subseqüente ao da aplicação, conforme o prazo contratado, que deve acontecer sempre em dia útil.

CDB – Flex

O CAIXA CDB Flex é um título de renda fixa com data de pagamento preestabelecida, acrescido de rendimentos pré-fixados. Você escolhe quanto tempo quer deixar seus recursos aplicados. Mas se precisar, pode resgatá-los a qualquer momento.

Valor de aplicação: Aplicação inicial: R$ 200,00; Aplicações complementares: R$ 200,00; Valor mínimo para resgate: R$ 200,00; Valor mínimo para manutenção da aplicação: R$ 200,00. Prazos: Os prazos para a aplicação no CAIXA CDB Flex variam de 2 a 1.800 dias. Rentabilidade: O crédito de rendimentos é realizado no vencimento da aplicação ou quando você solicitar um resgate antecipado. E a forma de cálculo da aplicação é: Rendimento = valor aplicado x taxa efetiva contratada. Resgate: Você escolhe quanto tempo quer deixar seus recursos aplicados. Mas se precisar, pode resgatá-los a qualquer momento, desde que contratada essa opção no momento do investimento. Data de vencimento: A data de vencimento é calculada a partir do primeiro dia subsequente ao da aplicação, que deve acontecer sempre em dia útil.

CDB – Flex Empresarial

O CAIXA CDB Flex é um título de renda fixa com data de pagamento preestabelecida, acrescido de rendimentos pré-fixados.

Você escolhe quanto tempo quer deixar seus recursos aplicados. Mas se precisar, pode resgatá-los a qualquer momento.

Valor de aplicação: Aplicação inicial: R$ 200,00; Aplicações complementares: R$ 200,00; Valor mínimo para resgate: R$ 200,00; Valor mínimo para manutenção da aplicação: R$ 200,00. Prazos: Os prazos para a aplicação no CAIXA CDB Flex variam de 2 a 1.800 dias. Rentabilidade: O crédito de rendimentos é realizado no vencimento da aplicação ou quando você solicitar um resgate antecipado. E a forma de cálculo da aplicação é: Rendimento = valor aplicado x taxa efetiva contratada. Resgate: Você escolhe quanto tempo quer deixar seus recursos aplicados. Mas se precisar, pode resgatá-los a qualquer momento, desde que contratada essa opção no momento do investimento. Data de vencimento: A data de vencimento é calculada a partir do primeiro dia subseqüente ao da aplicação, que deve acontecer sempre em dia útil.

Tesouro DiretoO Tesouro Direto é um programa criado pela Secretaria do

Tesouro Nacional (STN) em parceria com a Companhia Brasileira de Liquidação e Custódia (CBLC). Com ele, você adquire Títulos Públicos Federais por meio do Tesouro Nacional. A compra dos títulos é feita pela internet, no site do Tesouro e constitui uma nova opção de aplicação financeira para pessoas físicas. A CAIXA atua como Agente de Custódia, efetivando o cadastramento e a habilitação do cliente para a aquisição e venda de títulos.

Valor de aplicação: O valor mínimo para sua aplicação é de 20% do título, ou de aproximadamente R$ 100,00, variando conforme o preço do título no dia da compra. O limite máximo é de R$ 400.000,00 por mês. Prazos: Vencimento dos títulos: Os prazos para vencimento dos títulos são definidos pelo emitente (Tesouro Nacional), no momento do seu lançamento. Compra e venda: As compras de títulos podem ser efetuadas diariamente, a partir das 9h. Os títulos podem ser vendidos pelo investidor, no Tesouro Direto, a partir das 9h das quartas-feiras, sem limitação de quantidade ou valor, desde que os títulos tenham sido adquiridos diretamente do Tesouro Nacional. O crédito é efetivado às quintas-feiras pela CAIXA na conta informada no cadastro do cliente, obedecidas as regras da Conta Investimento, sendo calculados e recolhidos os tributos pertinentes. Rentabilidade: Cada tipo de título admite um uma forma diferenciada de rentabilidade.

- Letra do Tesouro Nacional (LTN): Taxa prefixada, definida no momento da compra;

- Letra Financeira do Tesouro (LFT): Rentabilidade diária pós-fixada, vinculada à taxa de juros básica da economia (SELIC);

- Nota do Tesouro Nacional série C (NTN-C): Rentabilidade vinculada à variação do IGP-M, acrescida de juros definidos no momento da compra;

- Nota do Tesouro Nacional série B (NTN-B): Rentabilidade vinculada à variação do IPCA, acrescida de juros definidos no momento da compra;

- Nota do Tesouro Nacional série F (NTN-F): Rentabilidade definida, acrescida de juros definidos no momento da compra.

Letras de Crédito ImobiliárioAs LCI - Letras de Crédito Imobiliário – são assim. Títulos

de crédito, lastreados por crédito imobiliário garantidos por hipoteca ou por alienação fiduciária de imóvel. A aplicação em LCI tem todos os atrativos que você procura em um investimento diferenciado, com rendimento e segurança.


MATEMÁTICA

Os títulos são competitivos, com rentabilidade garantida e a segurança da CAIXA - instituição de maior experiência e tradição no mercado imobiliário.

Características- Títulos de Renda Fixa;- Emissão exclusiva de instituições financeiras autorizadas

pelo Banco Central, com carteira de crédito imobiliário;- Emitida sob forma de certificado ou escritural,

obrigatoriamente registrada na CETIP;- Nominativas, transferíveis e de livre negociação no mercado

secundário;- O preço unitário de emissão é de R$ 1.000,00 (hum mil

reais);- Garantia do emissor e FGC – Fundo Garantidor de Crédito;- Lastro de créditos imobiliários (recebível/imóvel), garantidos

por primeira hipoteca ou alienação fiduciária;- A LCI poderá contar com garantia pessoal, tais como aval e

fiança, adicional de Instituição Financeira;- A LCI não poderá ter prazo de vencimento superior ao prazo

de quaisquer dos créditos imobiliários que lhe servem de lastro.

Valor Mínimo: Aplicação Mínima*: R$ 50.000,00; Resgate Mínimo: R$ 5.000,00. As aplicações em LCI CAIXA deverão ser feitas em múltiplos de R$ 1.000,00

*A possibilidade de contratação (valor e prazo) depende da disponibilidade do papel.

Aplicação: Em dinheiro, com débito em Conta Corrente

Fundos de Investimento

- Fundos de Renda Fixa;- Fundos de Curto Prazo;- Fundos Referenciados;- Fundos Multimercado;- Fundos Cambiais;- Fundos de Ações;- Fundos Mútuos de Privatização;- Fundos Imobiliários;- Fundos de Previdência.

TAXAS DE RETORNO

A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos fu-turos ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos significa a taxa de retorno de um projeto.

Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse pro-jeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja “tentativa e erro”, ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo.

A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor

obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recupera-do progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é deter-minada a partir do cash-flow relativo.

A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:- Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o

investimento é economicamente atrativo.- Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está

economicamente numa situação de indiferença.- Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimen-

to não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno.

Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento.

A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.

Método: Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:

A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a com-putador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - cus-tos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios - custos do 2º período (valor positivo) e assim sucessivamente, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimestral, semestral, anu-al, etc.) Nota: recorrendo ao uso de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores).

A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva.

Quando a TIR calculada é superior á taxa efetiva de reinvesti-mento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, ás vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equi-valente ao do projeto de investimento.

Exemplo: Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros:


MATEMÁTICA

Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para ava-

liar investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um ban-co é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), este investimento não deve ser realizado.

Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as cal-culadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor.

Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múl-tiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de aná-lise. Para os casos de alteração frequente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER).

Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pesqui-sas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Apa-rentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as al-ternativas suficientemente ruins.

Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada.

QUESTÕES

01- Uma pessoa faz a aquisição de um imóvel ao valor global de R$ 200.000,00 e pagará esta dívida com uma taxa de juros de 10% a. a., num prazo determinado. A parcela mensal prevista é de R$ 150,00. Caso haja saldo residual, efetuará o devido pagamento ao final deste período. Desprezando a figura da correção monetária, podemos afirmar que neste caso:

a) se o prazo de pagamento for superior a 100 (cem) meses,

não haverá saldo devedor.b) independente do prazo, sempre haverá saldo devedor e este

é crescente.c) ao final de 100 (cem) meses, o saldo devedor é de R$

50.000,00 (valor arredondado na unidade de milhar – critério de arredondamento universal).

d) se a capitalização dos juros for mensal, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento.

e) se a capitalização dos juros for anual, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento.

Resolução: Dados que a questão nos fornece: Imóvel = R$ 200.000,00Taxa de Juros = 10% ao ano

Parcela Mensal Devida = R$ 150,00Saldo Residual = caso haja, será pago ao final do período I – Regime de Capitalização Mensal:

n = número total de meses de pagamento da parcela mensal Saldo Devedor Inicial = 200.000Saldo Devedor (Período 1) = 200.000 x (1 + i) – 150Saldo Devedor (Período 2) = [200.000 x (1 + i) – 150] x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período 2) = 200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período 3)= [200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150] x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período 3) = 200.000 x (1 + i)3 – 150 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n – 150 x (1 + i)n-1 – 150 x (1 + i)n-2 – ….

– 150 x (1 + i) – 150 Quando “n” tender ao prazo estabelecido (por exemplo: 15

anos x 12 meses) o termo que vai prevalecer é o de maior potência, tendo em vista que a prestação de R$ 150,00, com certeza, é menor que o valor da prestação que reduz o saldo devedor a zero,ou seja:

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n

Ou seja, quanto mais aumenta o prazo de pagamento, maior

o saldo devedor.

n = número total de meses de pagamento da parcela mensalNúmero de Parcelas Pagas no Ano = 150 x 12 = 1.800 Saldo Devedor Inicial = 200.000Saldo Devedor (Período 1) = 200.000 x (1 + i) – 1.800


MATEMÁTICA

Saldo Devedor (Período 2) = [200.000 x (1 + i) – 1.800] x (1 + i) – 1.800

Saldo Devedor (Período 2) = 200.000 x (1 + i)2 – 1.800 x (1 + i) – 1.800

Saldo Devedor (Período 3) = [200.000 x (1 + i)2 – 1.800 x (1 + i) – 1.800] x (1 + i) – 1.800

Saldo Devedor (Período 3) = 200.000 x (1 + i)3 – 1.800 x (1 + i)2 – 1.800 x (1 + i) – 1.800

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n – 1.800 x (1 + i)n-1 – 1.800 x (1 + i)n-2 –

…. – 1.800 x (1 + i) – 1.800

Quando “n” ao prazo estabelecido (por exemplo: 15 anos) o termo que vai prevalecer é o de maior potência, tendo em vista que a prestação de R$ 1.800,00, com certeza, é menor que o valor da prestação que reduz o saldo devedor a zero,ou seja:

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n

Ou seja, quanto mais aumento o prazo de pagamento, maior o

saldo devedor. Portanto, independentemente do prazo e do regime de capitalização (mensal ou anual), o saldo devedor sempre existirá e será crescente.

02- Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a

opção correta para as seguintes sentenças: I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos

numa seqüência histórica (de datas).II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo

uma determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo).

III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de caixa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero).

a) V, F, Vb) F, V, Fc) V, V, Vd) F, F, Fe) V, V, F

Resolução:

I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos numa seqüência histórica (de datas).

Fluxo de Caixa → Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos). As saídas são representadas por uma seta para baixo e as entradas por uma seta para cima.

Exemplo:

A alternativa é VERDADEIRA. II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma de-

terminada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo).

Fluxos de Caixa Equivalentes → dois ou mais fluxos de caixa, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nes-sa data, valores iguais.

A alternativa é VERDADEIRA. III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de cai-

xa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero).

Métodos de avaliação de fluxo de caixa: Os métodos mais uti-lizados de avaliação de fluxos de caixa são:

- Método do valor presente líquido (VPL)- Método da taxa interna de retorno (TIR)

Valor Presente Líquido → é o valor dos fluxos financeiros trazidos à data zero, considerando-se a taxa dada.

Taxa Interna de Retorno → é a taxa de desconto que iguala o valor atual líquido dos fluxos de caixa de um projeto a zero. Ou seja, é a taxa onde o valor atual das entradas torna-se igual ao valor atual das saídas (fluxo é nulo).

A alternativa é VERDADEIRA. 03- Um investimento consiste na realização de 12 depósitos

mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

(A) 1200,00 (B) 1224,00(C) 1241,21 (D) 1368,03(E) 2128,81

04- A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente.


MATEMÁTICA

O número de divisores inteiros positivos de i é (A) 4 (B) 5(C) 6 (D) 7(E) 8

05- A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.

Período (anos) 0 1 2Valor (milhares de reais) – 410 P P

Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser

(A) 216,5 (B) 217,5(C) 218,5 (D) 219,5(E) 220,5

06- Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será

(A) 50,00 (B) 52,00(C) 54,00 (D) 56,00(E) 58,00

07- Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é:

(A) 150/216(B) 91/216(C) 75/216(D) 55/216(E) 25/216

08- Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?

(A) 110,00 (B) 108,00(C) 106,00 (D) 104,00(E) 102,00

09- Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será

(A) 50,00 (B) 55,00(C) 60,00 (D) 65,00(E) 70,00

10- Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

(A) 75,0% (B) 72,8%(C) 67,5% (D) 64,4%(E) 60,0%

11- Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00, contraída pelo sistema de amortização constante (SAC), tenha sido paga em 6 prestações mensais e que o valor dos juros pagos na 5.a prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta.

(A) A taxa de juros cobrada nessa transação foi de 2% ao mês.(B) Todas as prestações foram de mesmo valor.(C) Após a 5.a amortização, o valor da dívida era de R$

4.000,00.(D) O valor dos juros pagos na 3.a prestação foi de R$ 200,00.(E) A soma das 3.a e 6.a prestações foi igual a R$ 4.000,00.

12- Uma instituição financeira capta investimentos oferecendo a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir determinada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$ 10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no valor restante de R$ 11.025,00, dois meses após o depósito, então o valor investido foi igual a

(A) R$ 18.000,00.(B) R$ 18.500,00.(C) R$ 19.000,00.(D) R$ 19.500,00.(E) R$ 20.000,00.

13- A Lei n.º 4.728/1965 permitiu a emissão, pelos bancos de investimentos, de certificados de depósito bancário (CDBs). A referida lei estabelece que o certificado é uma promessa de pagamento à ordem da importância do depósito, acrescida do valor da correção e dos juros convencionados. Os CDBs podem ser transferidos.

(A) mediante endosso em branco, datado e assinado pelo seu titular, ou por mandatário especial.

(B) mediante endosso em preto, exclusivamente.(C) sem endosso.(D) mediante endosso em cinza.(E) mediante endosso em branco, para certificados com prazo

superior a dezoito meses, e em preto, para certificados com prazo inferior.

Respostas: 01-B / 02-C / 03-D / 04-A / 05-E / 06-D / 07-B / 08-E / 09-C / 10-B / 11-A / 12-E / 13-A

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