FAMAT em Revista

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 09 - Outubro de 2007www.famat.ufu.br

Merece Registro

ÈÑÇ

Comitê Editorial da Seção Merece Registro

do Número 09 da FAMAT EM REVISTA:

Marcos Antônio da Câmara (coordenador da seção)

MERECE REGISTRO A) MESTRADO EM MATEMÁTICA NA UFU O curso de Mestrado em Matemática da UFU recebeu mais duas bolsas para os seus alunos, dessa vez da Capes. Assim, o curso, que tem seis alunos regulares, conta agora com cinco bolsas: 2 da Fapemig, 2 da Capes e uma bolsa fornecida pela UFU, via a Pró-Reitoria de Pesquisa. A única aluna do curso que não tem bolsa, tem vínculo empregatício e, portanto, não pode receber bolsa. Para o ano que vem, existe uma previsão de 4 bolsas novas, o que também será ótimo, se for concretizado. B) CURSO DE APERFEIÇOAMENTO

De 23 a 27 de julho de 2007 realizou-se, na Universidade Federal de Uberlândia, um módulo do Curso de Atualização para Professores de Matemática do Ensino Médio. O curso é desenvolvido com a participação de professores do IMPA Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, com o suporte do Instituto do Milênio IM/AGIMB, da FINEP, e apoio da Rede Nacional de Pesquisas. Na Universidade Federal de Uberlândia, o módulo realizado em julho de 2007 inseriu-se no projeto de extensão cadastrado na Pró-Reitoria de Extensão sob o número SIEX-5183.

Nesse projeto, professores de matemática do ensino médio, que atuam na região, assistem na parte da manhã a aulas ministradas por professores no IMPA, e transmitidas via videoconferência, e na parte da tarde resolvem e discutem exercícios relativos aos conteúdos expostos pela manhã.

Nesse módulo tivemos 54 inscrições e 36 professores foram freqüentes. As aulas foram sobre temas retirados do livro “A Matemática do Ensino Médio volume 1”, editora da SBM, 2001, e foram ministradas pelos professores Eduardo Wagner, Elon Lages Lima e Paulo Cezar Pinto Carvalho. C) VII ERMAC - VII Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional O VII ERMAC realizado de 20 a 22 de junho de 2007 na Universidade Federal de Uberlândia foi um momento histórico para as Faculdades de Matemática, Computação e o Instituto de Física, pois pela primeira vez estas unidades acadêmicas organizaram um evento conjuntamente. O VII ERMAC foi um sucesso e contou com a participação de aproximadamente 400 participantes incluindo a presença de pesquisadores, professores, alunos de pós-graduação e um grande número de alunos de graduação. A programação do evento foi diversificada contando com mini-simpósios em três áreas: Biomatemática, Otimização e Nanociência/Nanotecnologia). Além dos mini-simpósios, o público presente pode apreciar a apresentações de trabalhos científicos recentes em sessões técnicas. Professores de renome do meio acadêmico e científico ministraram mini-cursos e proferiram palestras com diferentes temáticas: Biologia Computacional, Equações Diferencias Parciais, Arte e Matemática, Nanotecnologia e Educação Matemática. A sessão de pôsteres se apresentou como um momento marcante do evento em que trabalhos de iniciação científica

foram avaliados por professores da UFU das respectivas áreas envolvidas no evento. Ressaltamos ainda a realização da Mesa Redonda com o tema ‘Aplicações da Matemática em outras Ciências’ que contou com a participação de um professor de renome de cada faculdade das Ciências Exatas da UFU e teve uma expressiva participação de toda a comunidade acadêmica. Merece também registrar a participação dos alunos do Departamento de Música e Artes Cênicas da UFU, coordenados pelo Prof. Ms. Eduardo Tullio, que abrilhantaram o evento em momentos especiais: Abertura, Coquetel e Encerramento.

COMITÊ ORGANIZADOR Rosana S. Motta Jafelice - FAMAT/UFU (Coordenadora) César Guilherme de Almeida - FAMAT/UFU Dulce Mary de Almeida - FAMAT/UFU Edmilson Rodrigues Pinto - FAMAT/UFU Fernando Antônio de Freitas - FAMAT/UFU Marcelo Rodrigues de Sousa - FACOM/UFU Maria Teresa Menezes Freitas - FAMAT/UFU Qu Fanyao - INFIS/UFU

COMITÊ CIENTÍFICO

César Guilherme da Almeida - FAMAT/UFU Eliana Xavier Linhares de Andrade - UNESP João Carlos Moreira - UFU/FACIP Márcia Aparecida Fernandes - FACOM/UFU Noélio Oliveira Dantas - INFIS/UFU Olímpio Hiroshi Miyagaki – UFV

COMISSÃO DE APOIO

Maísa Gonçalves da Silva - DAMAT/UFU Matheus Bartolo Guerrero - PETMAT/UFU Rene Felipe Keidel Spada - INFIS/UFU Gil Victor Teixeira Pinto - PET/COMPUTAÇÃO/UFU Helder R. Golveia Linhares - PET/COMPUTAÇÃO/UFU

Aproveitando este espaço de registro, a Equipe de Organizadores agradece aos palestrantes convidados, aos docentes e aos discentes pela participação no evento; a FAMAT, FACOM e INFIS pelo apoio e confiança na realização do VII ERMAC; aos Coordenadores das Graduações e dos Mestrados das Faculdades envolvidas na organização do evento; aos alunos do DAMAT, do PETMAT e ao tutor do PETMAT pelo apoio nas atividades de organização do VII ERMAC; aos funcionários da FAMAT pela dedicação na organização deste encontro e a todos os patrocinadores do evento.

D) MARCA IMPRESSIONANTE

Trabalho é o mais acessado na área de Matemática há nove meses consecutivos. Desde julho de 2005, o artigo Two new properties of ideals of polynomials and

applications – que trata de ideais de polinômios entre espaços de Banach – do professor da Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística da UFCG, Daniel Pellegrino, em parceria com o professor Geraldo Márcio de Azevedo Botelho, da Universidade Federal de Uberlândia, vem sendo a produção mais procurada para download (leitura ou gravação) na página eletrônica The ScienceDirect TOP25 Hottest Articles (top25.sciencedirect.com), que destaca os trabalhos científicos mais requisitados em várias revistas de diversas áreas do conhecimento. São nove meses consecutivos como o primeiro da lista de acesso para downloads na área de Matemática, da revista holandesa Indagationes Mathematicae, onde o trabalho foi publicado na edição de junho de 2005. Marca impressionante, segundo Pellegrino, por ser um trabalho desenvolvido numa área de pesquisa relativamente pequena.

Maiores detalhes:

http://www.jornaldaciencia.org.br/Detalhe.jsp?id=41946 ou no site (top25.sciencedirect.com) nos links SubjectArea: Mathematics e no Journal: Indagationes Mathematicae. E) PIEEX

Quatro dos alunos do Curso de Matemática foram contemplados com bolsa no projeto PIEEX – 2007 nos seguintes projetos: Mídias na Educação : O Estágio Colaborativo no Trabalho e Rede Rafael de Souza Duarte Virginia Helena Ribeiro Miranda Orientação: Prof. Arlindo José de Souza Júnior Objetos de Aprendizagem no Cotidiano da Escola Pública Estadual Éliton Meireles de Moura Maisa Gonçalves da Silva Orientação: Profa. Maria Teresa Menezes Freitas F) PIBEG Projetos PIBEG da Faculdade de Matemática. Titulo: Ações construtivas: uma experiência à luz da metodologia presente nas "Olimpíadas de Matemática". Curso beneficiado: Licenciatura e Bacharelado em Matemática

Membros da equipe executora do Projeto:

Prof. Dr. Walter dos Santos Motta Júnior - Coordenador/Orientador - FAMAT Tabata Saturnina Morais - Bolsista – FAMAT Viviane Carvalho Mendes - Bolsista - FAMAT

Título: Aperfeiçoamento das técnicas de ensino-aprendizagem da disciplina Cálculo Numérico.

Cursos beneficiados: Ciências da Computação, Engenharia Biomédica, Engenharia Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia Mecatrônica, Engenharia Química, Física dos Materiais e Matemática.

Membros da equipe executora do Projeto:

Profa. Dra. Sezimária F. Pereira Saramago – Coordenadora - FAMAT Prof. Dr. Alessandro Alves Santana – Colaborador - FAMAT Profa. Dra. Célia A.Zorzo Barcelos - Orientadora - FAMAT Prof. Dr. César Guilherme de Almeida – Orientador - FAMAT Paulo Balduino Flabes Neto – Bolsista - Eng. Mecânica Warlisson Inácio de Miranda – Bolsista - FAMAT

Título: Repensando o Ensino de Álgebra Linear na Universidade Federal de Uberlândia.

Cursos beneficiados: Todos os cursos da área de ciências exatas que possuem a disciplina Álgebra Linear em seus currículos: Matemática, Física, Física de Materiais, Computação, Engenharia Química, Engenharia Elétrica, Engenharia Biomédica, Engenharia Civil, Engenharia Mecânica, Engenharia Mecatrônica.

Membros da equipe executora do Projeto:

Prof. Dr. Valdair Bonfim – Coordenador e Orientador - FAMAT Profa. Dra. Lúcia Resende P. Bonfim – Orientadora - FAMAT Letícia Garcia Polac – Bolsista - FAMAT Otoniel Nogueira da Silva – Bolsista - FAMAT G) PARTICIPAÇÃO EM BANCAS

O Prof. César Guilherme de Almeida participou no dia 17 de agosto, da banca de defesa da tese de Doutorado de Simone Sousa Ribeiro, IPRJ - UFRJ, Pós-graduação em Modelagem Computacional, intitulada "Novos Esquemas Centrias de Diferenças Finitas para a Simulaçao de Escoamentos Multifásicos em Reservatórios de Petróleo".

O Prof. César Guilherme de Almeida participou no dia 17 de agosto, da banca de qualificação de Doutorado de Paulo Sérgio A S Jesus, IPRJ - UFRJ, Pós-graduação em Modelagem Computacional, intitulada "Análise de Incertezas em Escoamentos de Fluidos em Meios Porosos".

O Prof. César Guilherme de Almeida participou no dia 30 de agosto, da banca de defesa de dissertação de mestrado de Maria de Fátima Cursino Borges, UFU – Programa de Pós-Graduação em Educação, intitulada "Interdisciplinaridade e modelagem matemática: Saberes docentes em movimento na formação de professores".

O Prof. Cicero Fernandes de Carvalho participou em 20 de agosto de 2007 de banca

de defesa de tese de doutorado na UFMG, onde a aluna Flaviana Andrea Ribeiro defendeu a tese intitulada "Feixes Livre de Torção sobre Curvas com Pontos Duplos Ordinários".

O Prof. Márcio J H Dantas participou no dia 30 de julho, da banca de defesa da tese de Doutorado de Danilo Carlos Pereira, UNICAMP- Eng. Mecânica, intitulada "Dinâmica não-Linear e Controle de uma aeronave em Vôo Longitudinal".

A Profa. Rosana S Motta Jafelice participou, no dia 01/06/2007, da banca do exame

de qualificação de doutorado no IMECC-UNICAMP de Maristela Missio, intitulada "O Uso de Controladores Fuzzy em EDP Aplicado a Febre Aftosa em Bovinos". H) PRODUÇÃO CIENTÍFICA PERIÓDICOS Professor Dr. Cícero Fernandes de Carvalho CARVALHO, C., On V-Weierstrass sets and gaps. Journal of Algebra, v. 312, p.956-962,2007. CARVALHO, C.; MUÑUERA, Carlos ; SILVA, Ercílio ; TORRES, Fernando, Near Orders and Codes. IEEE Transactions on Information Theory, v. 53, p. 1919-1924, 2007. Professor Dr. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho BOTELHO, G.;PELLEGRINO, D., Coincidence situations for absolutely summing non-linear mappings, Portugaliae Mathematica 64 (2007),175-191. BARBOSA, J.; BOTELHO, G.; Diniz, D.; PELLEGRINO, D., Spaces of absolutely summing polynomials, Mathematica Scandinavica 101 (2007), 1-19. Professor Dr. Edmilson Rodrigues Pinto PINTO, E. R., PONCE DE LEON, A. C. M., 2006, Modelagem conjunta da média e dispersão de Nelder e Lee como alternativa aos métodos de Taguchi, Pesquisa Operacional, v. 26, n. 2, pp. 203-224. Professora Dra. Rosana Sueli da Motta Jafelice JAFELICE, R.M.; BASSANEZI, R.C., Curvas Padrões de Tratamento do HIV, Biomatemática 17 (2007), 55--64, Uma publicação do Grupo de Biomatemática da UNICAMP. Professor Dr. Vitor Gonzalo L Neumann Rational classes and divisors on curves of genus 2, V.G. Lopez Neumann (UFU) - Constantin Manoil (UNIGE - Genève - Suisse) manuscripta math. 120, 403 - 413 (2006)

CAPÍTULO DE LIVRO Professora Ms. Fabiana Fiorezzi de Marco Matos GRANDO, R. C.; MARCO, F. F. O movimento da resolução de problemas em situações com jogo na produção do conhecimento matemático. In: MENDES, J. R., GRANDO, R. C. (orgs.). Múltiplos olhares: matemática e produção de conhecimento. São Paulo: Musa Editora, 2007.

EVENTOS INTERNACIONAIS

O Prof. Cicero Carvalho participou de 12 a 18 de Agosto de 2007 do IV Congresso Iberoamericano de Geometria Complexa, em Ouro Preto, onde apresentará o trabalho "Bounds for the set of V-Weierstrass gaps".

O Prof. César Guilherme de Almeida participou de 12 a 16 de agosto de 2007 do VII Latin American Workshop on Magnetism, Magnetic Materials and Their Applications, Rio de Janeiro, onde apresentou o trabalho "Electrical control of nanomagnetism in magnetic ions doped single quantum dots".

O Prof. Edmilson Rodrigues Pinto participou, de 02 a 10/06, do congresso Model Oriented Design and Analysis, na Espanha, onde apresentou o artigo: "Bayesian Ds-optimal designs for generalized linear models with varying dispersion parameter", Model-Oriented Design and Analysis-Physica Verlag, v. 8, pp. 183-190.

O Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho apresentou os seguintes trabalhos:

Factorization of holomorphic mappings through operator ideals: the non-surjective case, II Encontro de Análisis Funcional, Universidad de Murcia, Murcia, Espanha, 5 de maio de 2007.

Summability and estimates for polynomials and multilinear mappings, 22nd Summer Conference on Topology and its Applications, Universidad Jaume I, Castellón, Espanha, 24-27 de julho de 2007.

Ideals of homogeneous polynomials from a historical viewpoint (Invited Speaker), Annual Meeting of the Irish Mathematical Society, Dublin, Irlanda, 3-4 de setembro de 2007.

A Profa. Fabiana Fiorezzi de Marco Matos participou da XII Conferência Interamericana de Educação Matemática em Julho de 2007, onde apresentou o trabalho Atividade de ensino na formação inicial de professores. NACIONAIS

O Prof. Alessandro A. Santana participou, no período de 03 a 06/09/2007, do CNMAC- Florianópolis, onde apresentou o trabalho: "Método de alta ordem - reconstrução de mínimos quadrados para a solução de equações de advecção - difusão em duas dimensões".

O Prof. Arlindo J S Júnior participou de 18 a 21 de julho da mesa redonda no IX ENEM, em Belo Horizonte: "Mídias na Educação Matemática" e apresentou o trabalho científico : Objeto de Aprendizagem e Modelagem Matemática: Saberes Docentes no Cotidiano da Escola".

O Prof. Arlindo J. S. Júnior participou, no período de 03 a 06/09/2007, do CNMAC-

Florianópolis, onde apresentou o trabalho: "Mídias na Educação: o Estágio Colaborativo no Trabalho em Rede".

A Prof. Aurélia A. Rodrigues participou de 28 a 31 de agosto de 2007 do XXXIX

Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional - SBPO, em Fortaleza - CE, onde apresentou o trabalho "Gráficos de Controle para Número de Defeituosos".

O Prof. Edmilson R. Pinto participou, de 22 a 27/07, do 52 RBRAS, em Santa Maria

-RS, onde apresentou o artigo "Planejamento ótimo de experimento para modelos conjuntos da média e da dispersão".

O Prof. Edmilson R. Pinto participou de 28 a 31 de agosto de 2007 do XXXIX

Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional - SBPO, em Fortaleza - CE, onde apresentou o trabalho "Avanços Recentes em Planejamento Ótimo de Experimentos para Modelos Lineares Generalizados".

O Prof. Edson Agustini participou, no período de 30/07 a 04/08/2007, do 26

Colóquio Brasileiro de Matemática - Impa - Rio de Janeiro - RJ, onde apresentou o trabalho: "Teoria da Informação e Codificação Hiperbólica: mergulho isométrico de constelações de sinais de H2 em R6".

O Prof. Edson Agustini participou de 03 a 06 de setembro de 2007 do XXX

Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, Florianópolis, onde apresentou o trabalho "Constelações de Sinais em Planos Hiperbólicos: Mergulhos Isométricos em R6 e em S8".

O Prof. Ednaldo C. Guimarães participou, de 22 a 27/07, do 52ª RBRAS, em Santa

Maria -RS, onde apresentou o artigo "Uso de análise de variância na determinação de sazonalidade e tendência índices inflacionários de diferentes instituiçãoes".

O Prof. Ednaldo C. Guimarães participou, de 30/07 a 02/08, do 35º CONBEA, em

Bonito -MS, onde apresentou o artigo "Precipitação decendial no município de Uberlândia - MG: Análise descritiva da série temporal".

A Profa. Fabiana Fiorezi M. Matos participou, de 18 a 21/07, do IX Encontro

Nacional de Educação Matemática., em Belo Horizonte, onde apresentou o artigo "Jogos Computacionais em aula de Matemática: uma perspectiva para a Resolução de Problemas".

A Profa. Izabel A. Almeida participou, no período de 23 a 25/05/2007, do ENEBI

2007 em Petrópolis -RJ , onde apresentou o artigo "Análise da Resistência à Fratura de Dentes Pré-Molares Tratados Endodonticamente utilizando o Método de Elementos Finitos".

O Prof. Luciano Ferreira Silva participou, de 28/05 a 01/06, do SRV 2007 (Simposium on Virtual and Augmented Reality 2007), em Petrópolis, onde apresentou os artigos:

1) Ambientes distribuídos de Realidade Virtual como suporte a Aprendizagem Colaborativa e a Resolução de Problemas;

2) Realidade Virtual e o Algoritmo de Busca Tabu Aplicados ao Problema de Carregamento de Veículos.

O Prof. Marcelo Tavares participou, de 22 a 27/07, do 52 RBRAS, em Santa Maria -RS, onde apresentou o artigo "Modelo de Previsão para Preciptação Decendial do Município de Corumbaíba-Go".

O Prof. Márcio J. Horta Dantas participou, no período de 22/02 a 24/05/2007, do VI DINCON em S. José do Rio Preto (UNESP), onde apresentou o trabalho "Remarks on Energy Transfer for a Class of Coupled Oscillators".

A Prof. Patrícia O. Costa participou, no período de 03 a 06/09/2007, do CNMAC- Florianópolis, onde apresentou o trabalho: "Mídia e Informação no Ensino de Cálculo"

O Prof. Rogério M. C. Pinto participou, de 22 a 27/07, do 52ª RBRAS, em Santa Maria -RS, onde apresentou o artigo "Modelo de Previsão para Produção de Sucos de Cajú em uma Indústria na Região de Uberlândia".

O Prof. Rogério Sales Gonçalves participou, no período de 22/05 a 25/05/2007, do VI

DINCON em S. José do Rio Preto (UNESP), onde apresentou o trabalho "Workspace Positioning and Orientation Optimization of a Parallel Robotic Structure". I) PALESTRAS E MINI-CURSOS

O Prof. Luiz A. Duran Salomão ministrou, no dia 10/05/07, uma palestra na 3a. Semana da Matemática em Divinópolis (UEMG), intitulada "O Centro de Massa e a Reta de Euler".

O Prof. Luiz A. Duran Salomão ministrou, no dia 20/09 a palestra "Desigualdades,

médias e valores extremos", no 5o. Encontro de Matemática da Unicerp - Patrocinio- MG.

A Profa. Rosana S. M. Jafelice proferiu no dia 10/09 no CEMEPE a palestra intitulada: "Modelagem Matemática no Ensino". Esta palestra faz parte do Programa de Formação Continuada para Docentes.

A Profa. Sezimária F. P. Saramago participou, no período de 22/02 a 24/05/2007, do VI DINCON em S. José do Rio Preto (UNESP), onde ministrou a palestra "A Study About the Optimum Path Planning of the Cassino Parallel Manipulator".

O Prof. Walter dos Santos Motta Júnior ministrou o mini-curso "Seqüências Generalizadas" na VII Jornada de Matemática realizada de 11 a 13 de setembro de 2007 em São Carlos. J) ORIENTAÇÕES - VIII CEMAT

Alunos do VIII Curso de Especialização em Matemática e seus respectivos orientadores de monografia de conclusão de curso, no período de abril de 2007 a março de 2008.

ALUNOS

ORIENTADOR

Adriano Rodrigues Teixeira

Valdair Bonfim

André Gustavo Cruz da Costa

Luís Antônio Benedetti

André Luiz Ribeiro

Lúcia Resende Pereira Bonfim

Cleuber Divino

Antônio Carlos Nogueira

Denise Nunes Melo

Edmílson Rodrigues Pinto

Espedito Rodrigues

César Guilherme de Almeida

Eva Paula P. Almeida

Arlindo José de Souza Júnior

Fabiano Elias Reis

Dulce Mary de Almeida

Hélen Cristina V. Freitas

Luiz Alberto Duran Salomão

Juscélia Dias Mendonça

Ednaldo Carvalho Guimarães

Keleey Silva Brito

Mario Luiz de Mendonça Faria

Márcia Aparecida Alvarenga

Fabiana Fiorezi de Marco Matos

Márcia Lemos Queiroz

Maria Teresa Menezes de Freitas

Melissa da Silva Rodrigues

Marcos Antônio da Câmara

Entrevista com o professor Luiz Alberto Duran Salomão em relação às

Olimpíadas Brasileiras da Matemática das Escolas Públicas – OBMEP

Neste número, Maria Luiza Maes, aluna do Curso de Matemática, entrevista o

professor Luiz Alberto Duran Salomão, professor da Faculdade de Matemática. O tema da

entrevista é a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), uma

promoção do Ministério da Educação e do Ministério da Ciência e Tecnologia em parceria

com a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e o Instituto de Matemática Pura e

Aplicada (IMPA), responsáveis por sua direção acadêmica. O entrevistado atua como

professor orientador dos bolsistas da OBMEP no pólo de Uberlândia pelo segundo ano

consecutivo e manifesta aqui sua opinião sobre esta importante realização que é muito mais

do que uma simples competição.

Maria Luiza – Qual é o objetivo da OBMEP?

Luiz Alberto – O objetivo principal da OBMEP é estimular o estudo da matemática através

de problemas motivadores que desafiem a criatividade dos alunos e atraiam o interesse dos

professores. Desse objetivo central, são esperados alguns desdobramentos não menos

importantes como, por exemplo, a revelação de talentos para a matemática, a formação de

futuros pesquisadores e professores dessa área do saber, o aperfeiçoamento de professores e a

melhoria da qualidade da Educação Básica, da qual a matemática é um dos principais

componentes.

M. L. – Os alunos bem classificados na OBMEP têm algum benefício decorrente de seus

desempenhos?

L. A. – Os 2001 alunos com melhor desempenho na OBMEP em todo o Brasil são

contemplados com bolsas de iniciação científica júnior, durante o período de um ano. Nesse

tempo, os bolsistas participam de um programa, sob orientação de professores designados

para este fim, no qual os estudantes têm oportunidade de desenvolver diversos estudos sobre

temas bastante variados da matemática. Como muitas vezes essas atividades são

desenvolvidas em universidades, temos aí um exemplo de forte integração entre as escolas

públicas e o ensino superior. O material que vem sendo utilizado nesse programa é produzido

pela própria OBMEP e está disponível no site www.obmep.org.br . Além disso, aos alunos

detentores de medalhas de ouro nas olimpíadas também têm sido oferecidos outros benefícios,

como a participação em eventos especialmente organizados para eles, nos quais lhes são

oferecidos minicursos, palestras e visitas a importantes centros de ensino e pesquisa. Os

professores e as escolas dos alunos mais destacados também são premiados: os docentes

participam de encontros que têm sido realizados no IMPA, onde desenvolvem diversas

atividades voltadas para sua capacitação profissional; já as escolas, ganham bibliotecas,

laboratórios e outras benfeitorias. Todavia, não devemos deixar de mencionar um outro

benefício: trata-se da melhoria no ambiente escolar. Recentemente, fui convidado a participar

da homenagem que uma tradicional escola pública de Uberlândia prestava a um de seus

estudantes que, pela segunda vez, foi contemplado com bolsa de iniciação científica. Nessa

oportunidade, fiquei bastante impressionado com a beleza da homenagem: os estudantes

participaram expressivamente da cerimônia e, com a orientação das professoras, criaram um

sem-número de artefatos de natureza matemática que utilizaram para decorar o salão. Essa

reunião ocorreu alguns dias antes da realização da prova de 1a fase da OBMEP do corrente

ano e pude perceber que os estudantes a aguardavam com muita expectativa e vibração. Este é

um resultado que, embora seja difícil de se quantificar, é de valor inestimável.

M. L. – As provas estão de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN’s?

L. A. – É claro que os objetivos dos PCN’s são muito mais amplos. Como se pode perceber

analisando-se brevemente as provas das OBMEP, essas não têm vínculos com conhecimentos

específicos, pautando-se principalmente pela avaliação de habilidades na resolução de

problemas, privilegiando sobretudo a criatividade dos alunos e seu potencial para estudos

posteriores em matemática. Contudo, os PCN’s enfatizam fortemente a questão da

interdisciplinaridade no desenvolvimento dos conteúdos de um modo geral e, nesse aspecto,

pode-se afirmar que as provas da OBMEP estão em plena conformidade com tais parâmetros,

trazendo questões interessantes e naturalmente contextualizadas.

M. L. – Qual a comparação que pode ser feita entre a OBMEP e a Olimpíada Brasileira de

Matemática (OBM)?

L. A. – A OBM é uma atividade que vem sendo desenvolvida pela SBM desde 1979 e é

através dela que são selecionados os participantes das olimpíadas internacionais, nas quais o

Brasil tem tido participações importantes. Todavia, com a criação da OBMEP, a SBM tem

conseguido atingir contingentes muito mais numerosos já que os estudantes das escolas

públicas não eram suficientemente incentivados a participar da OBM. No entanto, esse quadro

já vem sendo revertido uma vez que, no corrente ano, os bolsistas da OBMEP poderão

participar da OBM já na sua 2a fase.

M. L. – O que a OBMEP espera dos alunos?

L. A. – A resposta a essa pergunta, de certa forma, está inserida nos próprios objetivos da

OBMEP. Evidentemente, espera-se que os alunos das escolas públicas sintam-se, através dos

desafios para a resolução de problemas, mais motivados para o estudo da matemática e que

isso repercuta em uma educação de melhor qualidade para os nossos jovens.

M. L. – As etapas do Polya ficam evidenciadas nas provas?

L. A. – Certamente você deve estar se referindo às quatro etapas da resolução de um

problema que G. Polya descreve em seu conhecido livro “A Arte de Resolver Problemas”,

não é mesmo? Primeiramente, eu gostaria de dizer que esse livro é uma preciosidade e deve

ser lido por todos que se interessam pelo ensino de matemática. No entanto, acredito que o

uso do termo “evidenciadas” não é o mais adequado pois poderia induzir o leitor dessa

entrevista a acreditar que, conhecendo as tais etapas, o aluno teria algo como um roteiro para

resolver o problema. Na verdade, isso não acontece. O que deve ficar claro é que a leitura do

livro, embora útil e agradável, jamais irá substituir a importância do treinamento, da

experiência e do exercício da criatividade na resolução de problemas.

M. L. – Qual é o tipo de exercícios que ocorrem nas provas?

L. A. – As provas de um modo geral requerem pouco conhecimento. O fundamental na

resolução dos exercícios é a criatividade. Contudo, o leitor dessa entrevista deve consultar as

provas e decidir por si mesmo se compartilha de minha opinião. O site da OBMEP

disponibiliza todas as provas anteriores.

M. L. – Você poderia nos explicar por que motivo um mesmo exercício pode aparecer nos

três níveis de prova?

L. A. – A explicação é que muitos dos problemas propostos nas provas têm uma vinculação

muito pequena com conteúdos matemáticos e, por isso, suas resoluções dependem quase que

somente da habilidade do candidato. Assim, tais questões podem ser adequadas a mais de um

nível.

M. L. – Como você descreveria as provas da OBMEP?

L. A. – Acho que essa pergunta já foi respondida em parte. Além do que já foi dito, eu

poderia acrescentar que algumas questões, sobretudo de 1a fase, não são difíceis. Creio que

isso se deve à intenção de não afugentar os candidatos. Na 2a fase aparece questões um pouco

mais complicadas, sobretudo pelo fato da prova ser discursiva e requerer do candidato certo

domínio da linguagem. Conversando com alguns alunos que participaram de todas as

olimpíadas, tenho ouvido opiniões um pouco divergentes, mas parece-me que a opinião mais

freqüente é de que as provas, a cada ano, têm ficado um pouco mais difíceis.

M. L. – O aluno deve possuir qual tipo de conhecimento sobre resolução de problemas nas

provas?

L. A. – Na verdade, o aluno não precisa de conhecimentos sobre resolução de problemas. O

que ele precisa é gostar de resolver problemas, ter autoconfiança diante de um desafio e ter

adquirido alguma experiência na resolução de problemas. Além disso, alguns fatores como,

por exemplo, domínio da linguagem oral e escrita, capacidade de interpretação de textos e

uma boa formação inicial em aritmética e geometria são de grande valor para o desempenho

dos alunos.

M. L. – Para finalizar, diga-nos alguma coisa sobre sua experiência com a orientação dos

bolsistas da OBMEP.

L. A. – Para mim essa é a parte mais interessante das olimpíadas. A turma atual que eu e o

professor Jocelino Sato orientamos no pólo de Uberlândia tem dezenove alunos, com idades

variando de 12 a 18 anos. Os mais novos cursam a sexta série do Ensino Fundamental e, no

outro extremo, temos três bolsistas que já são universitários. Trabalhar com esses jovens é

para nós uma experiência muito rica. Temos, em média, dois encontros mensais com esses

bolsistas, com a duração de oito horas cada um. Nesses encontros, estes jovens, além de

estudar assuntos que lhes são inteiramente novos, são permanentemente desafiados a resolver

problemas não triviais. Freqüentemente ficamos admirados com a habilidade, o entusiasmo e

a criatividade desses jovens estudantes quando eles nos apresentam soluções absolutamente

originais para esses problemas. Acreditamos que esse programa, em um futuro muito

próximo, irá contribuir fortemente para a revelação de grandes talentos para a matemática e as

ciências de um modo geral.

Olimpıadas de Matematica

Prof. Antonio Carlos Nogueira

1 Introducao

Em cerca de 2500 a.C., os gregos realizavam festivais esportivos em honra a Zeus nosantuario de Olımpia - o que originou o termo olimpıada. O evento era tao importanteque interrompia ate as guerras. Os nomes dos vencedores das competicoes comecam a serregistrados a partir de 776 a.C. Atualmente, a cada quatro anos, atletas de centenas depaıses se reunem num paıs sede para disputarem um conjunto das mais variadas modali-dades esportivas. Sao os Jogos Olımpicos ou Olimpıadas.

Neste pequeno texto queremos destacar, na verdade, um outro tipo de Olimpıada: aOlimpıada de Matematica. Mas afinal, o que e uma Olimpıada de Matematica?

Podemos definir uma Olimpıada de Matematica como uma competicao equivalenteas esportivas (como natacao, futebol) ou como os concursos de literatura e festivais demusica. Como qualquer disputa, a Olimpıada de Matematica tambem exige preparacaoespecıfica. Os ”atletas”de matematica se preparam atraves da resolucao de problemas deMatematica, individualmente ou em grupos. Eles ”treinam”como objetivo de desenvolvera habilidade logica, a criatividade e a sociabilidade, bem como metodos adequados depensamento e de trabalho.

A importancia da resolucao de problemas e reconhecida mundialmente como um as-pecto central no processo de ensino-aprendizagem nao so de matematica mas de ciencias,em geral.

(...) a historia da matematica mostra que os avancos matematicos quase semprese originam de um esforco para resolver um problema especıfico. (Dieudonne,citado em [4])

A resolucao de problemas e o coracao desta disciplina. (Halmos, citado em [4])

A resolucao de problemas e a principal razao para estudar matematica, na linhade considera-la como um processo de conhecimentos previamente adquiridos parasituacoes novas e desconhecidas. Resolver problemas supoe apresentar questoes,analisar situacoes, traduzir resultados, desenhar diagramas e refutar provas e erros.(Blanco Nieto, citado em [4])

Problemas que envolvem raciocınio e criatividade sao muito estimulantes e envolventese despertam o interesse de jovens estudantes. O objetivo da resolucao de problemas naoe a busca de uma solucao especıfica, mas sim o ato de facilitar o conhecimento das ha-bilidades basicas, os conceitos fundamentais e a relacao entre ambos. Isto propiciaraao ”resolvedor”de problemas a capacidade de lidar com situacoes semelhantes e tambemcom situacoes novas, a partir do momento que ele comeca a desenvolver uma atitudeinvestigativa e inquiridora. Este e o objetivo da Olimpıada de Matematica: mostrar aimportancia da matematica no desenvolvimento das ciencias atraves da resolucao de prob-lemas e tambem comecar a formar naqueles que os resolvem esta atitude investigativa.

Uma grande descoberta resolve um grande problema; mas na solucao de todoproblema ha uma certa descoberta. (Polya, citado em [4])

Um problema e algo que precisa da criatividade de quem aprende, exigindo-lhe a in-corporacao de elementos de aprendizagem precedentes para se chegar a solucao. Quandoum problema e resolvido, aprende-se algo novo.

2 Olimpıadas de Matematica: historico

Encontramos nos textos de Historia da Matematica que, em tempos mais antigos, matematicosdesafiavam uns aos outros propondo problemas e muitas vezes estas disputas eram real-izadas em pracas publicas.

Por volta de 1515, Scipioni del Ferro (1465-1526), professor de matematica da Uni-versidade de Bolonha, resolveu algebricamente a equacao cubica x3+mx = n.(...)Ele nao publicou o trabalho mas revelou o segredo a seu discıpulo Antonio Fior.Por volta de 1535, Nicolo Fontana de Brescia, mais conhecido como Tartaglia (otartamudo), devido a lesoes fısicas sofridas quando crianca que afetaram sua fala,anunciou ter descobert uma solucao algebrica para a equacao cubica x3+px2 = n.Achando que se tratava de blefe, Fior desafiou Tartaglia para uma disputa publicaenvolvendo a resolucao de equacoes cubicas. Com muito empenho, Tartaglia con-seguiu resolver tambem, faltando poucos dias para a disputa, a equacao cubicadesprovida do termo quadratico. Como no dia marcado sabia resolver dois tiposde cubicas, ao passo que Fior so sabia resolver um, Tartaglia triunfou plenamente.([3])

O relato acima e apenas um dos varios episodios de disputas envolvendo a Matematica.Assim, o que nasceu talvez por um capricho de certas pessoas tomou forma mais salutarcom a realizacao da 1a Olimpıada de Matematica, realizada na Hungria, no sec. XIX.

A partir de entao vem se organizando por todo o mundo competicoes de matematicaentre estudantes de diversos nıveis de escolaridade. Desde 1959, se realiza, anualmente,

a Olimpıada Internacional de Matematica (IMO), da qual participam alunos do ensinomedio de cerca de 100 paıses (entre eles o Brasil). Outra competicao semelhante e aOlimpıada Ibero-Americana de Matmatica que conta com a participacao de mais de 20paıses da America Latina, alem de Espanha e Portugal. Em 1994, foi criada a OlimpıadaInternacional de Matematica para estudantes universitarios (a IMC).

No Brasil, em 1977, a Academia Paulista de Ciencias criou a Olimpıada Paulista deMatematica, que talvez tenha sido a semente para que, em 1979, fosse organizada, pelaSociedade Brasileira de Matematica (SBM), a primeira edicao da Olimpıada Brasileirade Matematica (OBM). A OBM esta hoje em sua 29a edicao. A partir daı, varias ini-ciativas regionais surgiram, de forma que foram implantadas varias Olimpıadas estaduais(Ceara, Sergipe, Rio de Janeiro, Minas Gerais, entre outros) e mesmo competicoes decarater regional (Olimpıada Regional de Rio Preto, Olimpıada Pessoense de Matematica,Olimpıada de Matematica de Sao Joao del Rey, etc).

Em 2005, foi criada a Olimpıada Brasileira de Matematica das Escolas Publicas (OB-MEP) com o aval dos Ministerios da Ciencia e Tecnologia e da Educacao. Como o proprionome diz uma Olimpıada de Matematica voltada exclusivamente para estudantes das es-colas publicas brasileiras.

3 O Brasil nas Olimpıadas

O Brasil tem tido participacao expressiva nas Olimpıadas Internacionais, como podemosver nas informacoes seguintes, fornecidas pela secretaria geral da OBM.

1. Olimpıada de Maio

• Paıses participantes: Todos os paıses ibero-americanos.

• Faixa etaria - escolar: Nıvel 1 12 a 13 anos; Nıvel 2 14 a 15 anos.

• Numero de estudantes por paıs por nıvel: 10

• Posicionamento: O Brasil tem mantido um amplo e consistente domınio. Sem-pre conseguimos obter a maior pontuacao dentre os participantes e a premiacaomaxima: 1 ouro, 2 pratas, 4 bronzes e 3 mencoes.

2. Olimpıada de Matematica do Cone Sul:

• Paıses participantes: Argentina, Bolıvia, Brasil, Chile, Paraguai, Peru e Uruguai.

• Faixa etaria - escolar: Estudantes ate 16 anos.

• Numero de estudantes por paıs: 4

• Posicionamento: O Brasil participa desta importante competicao desde 1988 etem dominado a competicao conquistando ate hoje um total de 65 medalhas,sendo 18 de ouro, 24 de prata e 23 de bronze.

3. Olimpıada Ibero-Americana de Matematica:

• Paıses participantes: Todos os paıses ibero-americanos.

• Faixa etaria - escolar: Estudantes ate 18 anos.

• Numero de estudantes por paıs: 4

• Posicionamento: Em 2004 e 2005, o Brasil conseguiu o feito, ate entao inedito,de uma equipe ganhar 4 ouros. Tais fatos mostram a primazia brasileira nacompeticao. O Brasil participa desta olimpıada desde 1985 conquistando desdeentao um total de 77 medalhas, sendo 42 de ouro, 25 de prata e 10 de bronze.

4. Olimpıada Ibero-Americana de Matematica Universitaria:

• Paıses participantes: Argentina, Brasil, Colombia, Cuba, Equador, Espanha,Mexico, Peru, Portugal, Uruguai e Venezuela.

• Faixa etaria - escolar: Estudantes universitarios.

• Numero de estudantes por paıs: 10

• Posicionamento: O Brasil tem mantido um amplo e consistente domınio. Sem-pre conseguimos obter a maior pontuacao dentre os participantes e a premiacaomaxima: 1 ouro, 2 pratas, 4 bronzes e 3 mencoes.

5. Olimpıada Internacional de Matematica (IMO):

• Paıses participantes: Aproximadamente 100 dos cinco continentes. Todos ospaıses de maior destaque na ciencia mundial participam.

• Faixa etaria - escolar: Estudantes pre-universitarios de ate 19 anos.

• Numero de estudantes por paıs: 6

• Posicionamento: Inicialmente, vale a pena conhecer um pouco do panoramamundial. As grandes forcas mundiais sao China, Russia e Estados Unidos.Tambem tem grande forca, da antiga Cortina de Ferro: Bielo-russia, Bulgaria,Hungria, Polonia, Romenia e Ucrania; da Europa Ocidental: Alemanha, Francae Reino Unido; da Oceania: Australia; da America: Canada; da Asia: Caza-quistao, Coreia do Sul, India, Ira, Japao, Taiwan e Vietna; alem de Israel eda Turquia. Pode-se perceber entao que, para obter um posto entre os 20primeiros, devem ser vencidos paıses de enorme tradicao. Desde 2001, quandoos 6 brasileiros ganharam medalhas e ficamos em 16o lugar na classificacaogeral, o Brasil tem conseguido vencer a varias destas nacoes. Nestas ultimasedicoes conseguimos ficar a frente em uma ou mais ocasioes de Franca, Ale-manha, Reino Unido, Canada, Hungria, Australia, Israel, India, Ira, Polonia eCazaquistao. Temos lutado bastante para garantir uma posicao estavel entreas 20 maiores forcas mundiais. O Brasil participa desta importante competicaodesde 1979 conquistando desde entao um total de 75 medalhas, sendo 7 de ouro,13 de prata e 55 de bronze. Este ano o Brasil foi o melhor paıs classificado noambito ibero-americano.

6. Olimpıada Internacional de Matematica Universitaria (IMC):

• Esta e uma olimpıada cuja participacao e por Universidade e nao por paıs.Cada equipe consta de um professor-lıder e 4 estudantes. 147 Instituicoes detodo o mundo tem participado da competicao, entre as quais podemos destacar:MIT, Princeton, Universidade de Moscou, Universidade Eotvos Lorand de Bu-dapeste, Ecole Polytechnique de Paris, Instituto Politecnico de Kiev, Uni-versidade de Bonn, Universidade Complutense de Madrid e Universidade deVarsovia. A edicao mais recente contou com a participacao de mais de 70 uni-versidades. Devido aos nossos bons resultados na IMO e, agora, no proprioIMC, temos uma autorizacao especial para enviar uma equipe brasileira comalunos de varias universidades e institutos de ensino superior.

• Posicionamento: O numero de medalhas conquistado pelos nossos estudantesem cinco anos de participacao e impressionante: 35 medalhas, sendo 1 de ouroespecial (Grand First Prize), 7 de ouro, 11 de prata, e 16 de bronze.

Mais informacoes sobre as Olimpıadas de Matematica no Brasil podem ser encon-tradas no site da OBM www.obm.org.br.

4 A OBMEP

No intuito de ampliar, a partir de experiencias bem sucedidas - por exemplo, o ProjetoNumeratizar, do Estado do Ceara - a participacao de estudantes de escolas publicas nasOlimpıadas de Matematica, foi criada, em 2005, a Olimpıada Brasileira de Matematicadas Escolas Publicas - OBMEP. Evento patrocinado pelo Governo Federal, atraves dosMinisterios da Educacao e da Ciencia e Tecnologia (MEC e MCT) a OBMEP tem sidoexecutada pelo Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada (IMPA), vinculado aoMinisterio da Ciencia e Tecnologia, e pela Sociedade Brasileira de Matematica (SBM). Otrabalho que vem sido desenvolvido responde a um desafio extremamente enriquecedor,cujos resultados, espera-se, valorizarao estudantes e professores, bem como suas escolas,seus municıpios e seus estados.

4.1 Objetivos da OBMEP

A OBMEP e um projeto de inclusao social voltado para a Escola Publica, seus estudantese professores. Tem por objetivo oferecer oportunidades a uma parcela da sociedade que,em geral, tem pouco convıvio e acesso ao exercıcio e producao do conhecimento. Seuspressupostos basicos sao:

• a Matematica contribui, de modo determinante, para a formacao do indivıduo con-sciente e oferece multiplas oportunidades para o seu desempenho na sociedade;

• o talento para a Matematica e Ciencias esta aleatoriamente distribuıdo pelo Paıs,nao dependendo de cor, sexo ou classe social;

• premiar a competencia e o esforco de alunos e professores e a forma mais eficientede motiva-los e de resgatar a qualidade como valor na Educacao publica;

• aproveitar o potencial cientıfico de nossos jovens talentos e estrategico para o de-senvolvimento do Paıs.

Os principais objetivos da OBMEP sao:

1. estimular e promover o estudo da Matematica entre alunos das escolas publicas;

2. identificar jovens talentos e fornecer oportunidades para seu ingresso nas areascientıficas e tecnologicas;

3. incentivar o aperfeicoamento dos professores das escolas publicas, contribuindo assimpara a sua valorizacao profissional;

4. contribuir para a melhoria do ensino da Matematica na rede publica;

5. contribuir para a integracao entre as escolas publicas, as universidades federais, osinstitutos de pesquisa e as sociedades cientıficas.

4.2 Descricao da OBMEP

A OBMEP consta da realizacao de uma competicao nacional de Matematica entre asescolas publicas seguida de treinamento para os alunos e os professores premiados. Ele edirigido as escolas publicas municipais, estaduais e federais.

A Olimpıada esta dividida em tres nıveis:

• Nıvel I - 5a e 6a series

• Nıvel II - 7a e 8a series

• Nıvel III - Ensino Medio.

A competicao e realizada em duas fases sendo que na primeira fase participam todosos alunos de todas as escolas inscritas. A prova, nesta etapa, consiste de 20 questoes demultipla escolha. Na 2a fase participam apenas 5% dos alunos, de cada escola, com melhordesempenho na 1a fase. A prova, nesta etapa, e discursiva e realizada sob a supervisao defiscais escolhidos pela SBM/IMPA em locais definidos pelos Coordenadores Regionais.

4.3 Alguns numeros

A OBMEP esta, hoje, em sua terceira edicao. No que segue relataremos alguns dadossobre a 1a e a 2a OBMEP e tambem alguns dados sobre a OBMEP - 2007.

4.3.1 OBMEP - 2005

Na OBMEP-2005 foram inscritos 10.520.830 alunos de 31.030 escolas distribuıdas em5.198 municıpios de todo o Brasil. No Estado de Minas Gerais foram inscritos 1.297.079alunos de 3498 escolas em 813 municıpios. A media de notas (nacional) da 1a fase foi10,9 pontos (num total de 20 pontos). Em Minas Gerais, a media foi 11,7 pontos. Paraa 2a fase foram classificados 457.718 alunos sendo 60.126 de Minas Gerais. Nesta etapaa media nacional de notas foi 23,5 pontos (considerando os tres nıveis) em 120 pontospossıveis. A media em Minas Gerais foi 29,6 pontos (terceira maior media do Brasil).

4.3.2 OBMEP - 2006

Em 2006, na 2a Olimpıada Brasileira de Matematica das Escolas Publicas participaramda 1a fase 14.181.705 alunos de 32.655 escolas publicas em 5259 municıpios brasileiros.Na segunda fase, participaram 630.849 alunos de 29.661 escolas. Em Minas Gerais, par-ticiparam da 1a fase 1.653.094 alunos de 3.558 escolas de 808 municıpios. Na segundafase, participaram 77.292 alunos de 797 municıpios.

4.3.3 OBMEP - 2007

A OBMEP esta, hoje, na 3a versao (a OBMEP - 2007). Mais uma vez, os numerossurpreendem: foram inscritos na 1a fase da OBMEP deste ano cerca de 17,3 milhoes deestudantes de 38.450 escolas de todo o Brasil. Isto faz da OBMEP a maior competicao dematematica do mundo. A primeira fase foi realizada em 14 de agosto passado e a segundaesta programada para 20 de outubro.

4.3.4 Premiacao

A OBMEP premia alunos (medalhas - ouro, prata e bronze -, professores, escolas e mu-nicıpios). Os alunos melhores classificados recebem uma bolsa do tipo Iniciacao CientıficaJr. do CNPq (em 2005 e 2006 foram distribuıdas 2001 bolsas, na OBMEP 2007 estaoprevista 3.000 bolsas) e outros 30 mil alunos recebem mencao honrosa pela participacaono evento; os professores dos alunos mais bem posicionados participam de um curso deaperfeicoamento oferecido pelo IMPA; as escolas recebem laboratorios de informatica,livros e certificados de merito nacional.

Ressaltamos, no entanto, que a OBMEP nao termina com a aplicacao das provas da2a fase ou com a entrega dos premios aos vencedores. Os alunos ganhadores das bolsasda OBMEP participam de um programa de capacitacao, durante um ano, programa esteque e orientado, em geral, por professores das universidades brasileiras, e organizado esuprevisionado pelo IMPA.

5 Conclusao

As Olimpıadas de Matematica sao um instrumento extremamente eficiente para a de-scoberta de jovens com talento cientıfico. O aprimoramento de tais jovens leva-os a de-senvolver uma enorme capacidade de resolver problemas e de apresentar solucoes criativase inovadoras. Se bem orientados, estes jovens serao os cientistas do futuro e com certeza,profundamente envolvidos com o desenvolvimento nacional.

Referencias

[1] www.obmep.org.br

[2] www.obm.org.br

[3] Eves, H.W. Introducao a historia da matematica , Campinas, SP : UNICAMP,1997.

[4] Huete, J.C.S. & Bravo, J.A.F. O ensino da matematica: fundamentosteoricos e bases psicopedagogicas, Ed. Artmed, 2006, Porto Alegre.