Revista de História da Matemática para Professores

Revista de História da Matemática para Professores

Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019

ISSN 2317-9546 EXPEDIENTE Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat) Presidente: Iran Abreu Mendes Vice-Presidente: Marcos Vieira Teixeira Secretário Geral: Carlos Roberto de Moraes 1º Secretário: Lígia Arantes Sad Tesoureiro: Mariana Feiteiro Cavalari Editoras Responsáveis Bernadete Morey Ligia Arantes Sad Comitê editorial Iran de Abreu Mendes Sergio Roberto Nobre Comitê Científico Antonio Carlos Brolezzi, Dr. (USP) Antonio Henrique Pinto, Dr. (IFES) Antonio Vicente Marafiotti Garnica, Dr. (UNESP) Carlos Henrique Goncalves Dr. (USP-ABC) Circe Mary Silva da Silva Dynnikov Dra(UFES) Francisco de Assis Bandeira, Dr.(UFRN) Giselle Costa de Sousa, Dra. (UFRN) Iran de Abreu Mendes, Dr. (UFPA) John Andrew Fossa, Dr. (UFRN) Lucieli Maria Trivizoli da Silva, Dra. (UEM) Moyses Goncalves Siqueira Filho, Dr. (UFES) Romelia Mara Alves Souto, Dra. (UFSJ) Sergio Roberto Nobre, Dr. (UNESP) Severino Carlos Gomes, Dr. (IFRN) Tercio Gireli Kill, Dr. (UFES) Ubiratan D’Ambrosio, Dr. (UNIBAN / USP) Wagner Valente, Dr. (USP) ASSESSORIA Projeto gráfico Fabrício Ribeiro Diagramação Gerson Eugenio

Editorial................................................................................................................................................ 4

Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad

Diálogo com um educador.................................................................................................. 5 Entrevistado: Prof. Dr. John Andrew Fossa Entrevistadora: Rosângela Araújo da Silva

Artigo 1: História da matemática e o ensino da razão Áurea: uma sequência de atividades ............................................................................ 10

Ana Caroline Frigéri Barboza, Erica G. Jardim Bergamin e Lucieli M. Trivizoli

Artigo 2: A reconstrução dos círculos de proporção no Geogebra como uma atividade para a mobilização de conhecimentos matemáticos .................................................... 19

Verusca Batista Alves e Ana Carolina Costa Pereira

Merece ser lido, visto ou divulgado

Artigo 3: Resenha do Filme o Físico ............................................................................... 30

Kaline Andreza França Correia Andrade

Convite ao leitor........................................................................................................................32 Ligia Arantes Sad e Bernadete Morey

Caro Leitor,

É com muita satisfação que trazemos à luz, em nome da Sociedade

Brasileira de História da Matemática – SBHMat, o número da Revista de

História da Matemática para Professores (RHMP), referente a 2019.

Infelizmente, será este o único número referente a 2019, pelo que pedimos

desculpas aos nossos leitores. É nosso intuito regularizar as publicações a

partir de 2020, publicando dois números da revista anualmente.

O entrevistado neste número da RHMP na sessão Diálogo com um

educador e o Prof. Dr. John Fossa, que foi professor do Departamento de

Matemática da UFRN. O professor Fossa aposentou-se da UFRN, mas

continua a pesquisar e publicar em História da Matemática. Ele nos conta

sobre sua trajetória acadêmica e profissional e fala sobre como a História da

Matemática se insere em seus trabalhos.

Os dois textos publicados neste número são de cunho histórico, mas

ao mesmo tempo, algoritmo de multiplicação (História da matemática e o

ensino da razão áurea: uma sequência de atividades) e (A reconstrução dos

círculos de proporção no Geogebra como uma atividade para a mobilização

de conhecimentos matemáticos) são leituras relacionadas com a sala de aula

da escola básica.

No presente número da RHMP não há artigos de cunho recreativo;

há, porém, uma recomendação de entretenimento, a resenha de um filme

sobre as práticas médicas medievais na Europa cristã e na Pérsia

muçulmana.

Renovamos nossa expectativa de que professores com experiências

de sala de aula, relacionadas a História da Matemática, possam valorizar

esta revista, aceitando o convite para submeter propostas que sejam

pertinentes às seções da RHMP.

Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad

Entrevista com o Prof. Dr. John Fossa

Rosângela Araújo da Silva

(UFRN)

Prof. Dr. John Andrew Fossa

Fonte: Arquivo da Entrevistadora

A Revista de História da Matemática para Professores sente-se honrada

em conversar com o professor John Andrew Fossa, pesquisador que

possui graduação em Filosofia pela College Of The Holy Cross (1972),

mestrado em Filosofia pela Fordham University (1974) e doutorado em

Educação Matemática pela Texas A&M University System (1994). Tem

experiência na área de Matemática, com ênfase em História da

Matemática. Atuando principalmente nos seguintes temas: Educação

Matemática, Intuicionismo, Construtivismo Radical.

RHMP: Professor John Fossa, sua Graduação e Mestrado foram em

Filosofia, o que o levaram a trabalhar na Faculdade de Sociologia e

Política da Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Fale-nos um

pouco sobre sua adaptação no Brasil, como pessoa e como professor.

Prof. John Fossa: Bom, como pessoa não houve muitos problemas, eu

me adaptei facilmente, fui bem acolhido aqui, foi tudo tranquilo. Agora

como professor, era um pouco mais difícil porque o sistema aqui é

diferente do sistema que conheci, mas a gente vai se adaptando às

necessidades dos cursos e, no final das contas, não tive grandes

problemas.

RHMP: Posteriormente o senhor realizou o Doutorado em Educação

Matemática, por que a mudança?

Prof. John Fossa: Eu sempre tive interesse em várias áreas do

conhecimento, então eu estava aqui (UFRN) na Filosofia e na UFPB

também. Eu tinha alguns trabalhos sobre a História da Matemática, e o

pessoal daqui do Departamento de Matemática estava precisando de

alguém para ensinar esta disciplina. Eu soube disso, propus um plano de

trabalho que foi aceito pelo Departamento. Posteriormente, participei num

curso de aperfeiçoamento/especialização de ensino de matemática e o

Departamento sugeriu que eu fizesse o meu doutorado em Educação

Matemática. Achei uma boa ideia e assim o fiz.

RHMP: Como surgiu seu interesse por História da Matemática?

Prof. John Fossa: Como eu disse, eu tinha interesse por diversos campos

de estudo. Eu gostava muito da Matemática, da Física, eu já tinha estudado

bastante a Filosofia e História da Matemática da Ciência, de um modo

geral, e havia tecido alguns trabalhos na área. De fato, estava

desenvolvendo um projeto de pesquisa na área já naquela época.

6 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019

RHMP: Em sua visão, quais as co nexões entre a História da Matemática

e o Ensino de Matemática?

Prof. John Fossa: Ah, tem tantas conexões! Mas, acho que tem duas

conexões que são as principais.

A primeira é que a Matemática faz parte da cultura humana e, ainda mais,

é uma parte que permeia quase todas as outras partes da nossa cultura.

Desta forma, é algo do que o aluno deve ter conhecimento.

A outra conexão principal é o fato de que aprendemos a Matemática

através de constituir a própria Matemática perante o nosso pensamento.

Assim, precisamos ter uma maneira de levar o aluno a fazer a Matemática,

a pensar a Matemática. Uma maneira de fazer isso é colocá-lo em uma

situação na qual ele é pesquisador, obviamente não nas fronteiras da

Matemática, mas nas fronteiras do seu próprio conhecimento, e a História

da Matemática é uma maneira exemplar de fazer isso.

Mas, tem várias outras conexões, tem uma coisa muito importante é a

motivação. A História da Matemática era usada, talvez até uns 20 anos

atrás, somente para motivação. Depois essa função foi muito criticada

porque o pessoal queria mais. Mas, se você pensar que o aluno tem que

ser ativo na construção do conhecimento, então a motivação é muito

importante, pois ele não será ativo se não houver motivo. Temos também

as políticas de inclusão que são promovidas para a História da

Matemática.

RHMP: Há 25 anos ocorreu seu retorno ao Brasil, Doutor em Educação

Matemática. Quais foram as principais mudanças na Educação

Matemática nestes 25 anos?

Prof. John Fossa: Nesses 15 anos? Acho que a primeira grande mudança

foi a eclosão da área de Educação Matemática. Cresceu muito, tanto em

número de pessoas, quanto em tendências que são abordadas. Aqui no

Brasil a comunidade de educadores matemáticos, especialmente, abraçou

quase todas as tendências e começaram a aprofundar mesmo todas essas

tendências. Por exemplo, o uso da História da Matemática é uma

tendência que não era muito conhecido até recentemente, mas hoje em

dia, aqui no Brasil, tem pesquisadores conhecidos mundialmente.

RHMP: Professor em 31/08 (LATTES) fez 10 anos de sua aposentadoria,

neste período houve várias publicações suas. Conte-nos sobre suas

contribuições neste período de aposentadoria.

Prof. John Fossa: De fato, não tem uma diferença abrupta entre o antes e

o depois. Na verdade, continuei a agir como professor como visitante aqui

7 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019

na UFRN por alguns tempos e agora estou na UEPB (Campina Grande)

como visitante. Então continuo atuando no ensino. Talvez mais

importante, porém, é que sou pesquisador, e pesquisador não necessita ser

atrelado a uma posição acadêmica – claro que ajuda, mas não é necessário.

Nunca deixei de ser pesquisador e continuo fazendo minhas pesquisas e

tenho vários projetos que estão em andamento e outros que estão fluindo.

RHMP: Alguns de seus orientandos se tornaram colegas de trabalho, qual

seu sentimento sobre essa influência positiva na Educação Matemática?

Prof. John Fossa: Este é um fato de que me dá muito orgulho. O sucesso

dos meus alunos é muito importante para mim porque mostra que eu estou

fazendo alguma coisa útil. Quando eu os vejo tendo grande sucesso, se

destacando no cenário nacional como pesquisadores e educadores, isto me

dá muita felicidade.

RHMP: Professor Fossa muito obrigada pela sua atenção e

disponibilidade.


••• Artigo 1 •••

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E O ENSINO DA RAZÃO ÁUREA:

UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADE

Ana Caroline Frigéri Barboza

(UEM)

Erica Gambarotto Jardim Bergamin

(Unicesumar)

Lucieli M. Trivizoli

(UEM)

O presente texto tem por objetivo apresentar uma possibilidade de

inserção da História da Matemática para a sala de aula, abordando o

ensino do conteúdo Razão Áurea. É válido ressaltar que essa proposta tem

o intuito de elucidar que é possível abordar um conteúdo matemático por

meio da História da Matemática como um recurso pedagógico. Desse

modo, o presente texto concerne ao enfoque da História na Educação

Matemática, um campo de investigação da História da Matemática que

procura corroborar com propósitos destinados à formação de professores,

ao processo de ensino e aprendizagem, bem como a relação entre

professor, aluno e ambiente escolar (MIGUEL; MIORIM, 2004).

De acordo com Mendes e Chaquiam (2016, p. 12), o contexto

histórico envolvendo a matemática desenvolvida em determinado(s)

período(s) contribui para “desafiar a capacidade dos alunos para

exercitarem estudos, pesquisas e problematizações que estimulem suas

estratégias de pensamento e, daí culminar na sua produção de

conhecimento durante a atividade de estudar”. Ressalta-se que é nesta

perspectiv a que se embasa este escrito, pois busca-se apresentar uma

proposta de atividades que enfatiza o contexto histórico do

desenvolvimento da Razão Áurea para ensinar e proporcionar reflexões

sobre alguns aspectos desta razão. A seguir, apresenta-se uma sugestão de

sequência de atividades e direcionamentos relacionados ao conteúdo

supracitado.

Para a introdução do tema tem-se como sugestão fazer

questionamentos como: “Vocês já ouviram menções sobre a Razão

Áurea?”, “O que vocês conhecem sobre a Razão Áurea?”. Assim, tem-se

a possibilidade de valorizar os conhecimentos que os alunos já possuem,

relacionando-os ao modo como a Razão Áurea é retratada por muitos

historiadores e propiciando uma interação entre professor e alunos.

Em seguida, uma possibilidade é realizar uma contextualização

histórica abrangendo que “a primeira definição clara do que mais tarde se

tornou conhecido como a Razão Áurea foi dada por volta de 300 a.C. pelo

fundador da geometria como sistema dedutivo formalizado, Euclides de

Alexandria” (LIVIO, 2006, p. 13). Sendo assim, o primeiro registro

histórico sobre a Razão Áurea se encontra no VI Capítulo do Livro “Os

Elementos” de Euclides, em que o autor aborda a construção do

pentagrama, símbolo demasiadamente utilizado pelos antigos pitagóricos.

Conforme indicado na citação anterior, nesta época a denominação

“Razão Áurea” ainda não era conhecida e, para denotar um segmento

dividido de modo a conter esta razão, era utilizada a expressão “dividir

um segmento em média e extrema razão” (BOYER, 2010, p. 35). Essa

ação de explicar sobre a origem do conceito e de deixar claro que sua

denotação nem sempre foi a mesma, contribui para mostrar aos alunos que

os conceitos matemáticos passam por evoluções e se desenvolvem

conforme as necessidades humanas.

Para esclarecer a expressão mencionada, de acordo com o Clube

de Matemática da OBMEP, pode-se apresentar a seguinte definição:

Seja C o ponto que divide um segmento 𝐴𝐵 em média e extrema razão.

Chamamos de Razão Áurea, a razão entre os comprimentos do maior e

do menor segmentos resultantes da divisão inicial do segmento 𝐴𝐵, ou

seja, a

b .

Assim, os alunos poderão perceber que segmentos divididos em

média e extrema razão atendem à seguinte proporção: a razão do

comprimento de 𝐴𝐵 para o comprimento de 𝐴𝐶 é igual à razão do


comprimento de 𝐴𝐶 para o comprimento de 𝐶𝐵 (LIVIO, 2006). Sugere-

se a utilização do software Geogebra como apoio para construir um

segmento que contém a Razão Áurea e assim possibilitar que os alunos

tenham uma noção geométrica desta razão.

Para construir um segmento que contém esta razão, Boyer (2010)

apresenta que Euclides construía primeiro sob o segmento 𝐴𝐵 um

quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, e então construía o ponto médio 𝐸 sobre o lado 𝐴𝐶,

traçava o segmento 𝐸𝐵 e prologava a reta que contém os pontos 𝐶, 𝐸 e 𝐴

até 𝐹, de modo que 𝐸𝐹 = 𝐸𝐵. Assim, co mpletava-se o quadrado 𝐴𝐹𝐺𝐻

e o ponto 𝐻 no segmento 𝐴𝐵 é o ponto procurado.

Na continuidade, pode ser proposta a Atividade 11, que tem como

objetivo proporcionar que os alunos encontrem o número irracional que é

gerado pela Razão Áurea (também chamada de Razão Dourada), bem

como sua representação decimal e fracionária, a partir da definição já

apresentada.

Atividade 1: Se |AB| = 1 e |AC| = x, encontre o valor numérico para

a razão dourada.

Conforme definição apresentada, uma possível estratégia de

resolução para a Atividade 1 pode ser: 1

𝑥=

𝑥

1−𝑥⇒ 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 =

−1±√5

2 . Selecionando o valor positivo, temos . E,

considerando, por exemplo, a razão 1

𝑥, a razão dourada será

.

Na continuidade, após os alunos conhecerem o Número de Ouro,

ou seja, o valor numérico relacionado à Razão Áurea, é relevante propiciar

discussões acerca da presença de representações deste número na

natureza, uma vez que há muitos mitos acerca deste assunto. Assim, na

sequência, sugere-se solicitar aos alunos que realizem a Atividade 22, em

que o objetivo é construir um Retângulo de Ouro e verificar onde se

encontra a razão dourada em tal retângulo.

1 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de

Swetz (1994). 2 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de

Swetz (1994).


Atividade 2: Um retângulo cujo lados estão sob a medida da razão

dourada é conhecido como retângulo de ouro. Utilizando a régua e

compasso, construa um retângulo de ouro seguindo os seguintes

passos:

a. Construa um quadrado ABCD.

b. Construa o ponto médio 𝑀 de 𝐶𝐷 .

c. Construa o ponto E que está no prolongamento do segmento 𝐷𝐶 tais

que 𝑀𝐵 ≅ 𝑀𝐸.

d. Encontre o ponto 𝐹 que situa na perpendicular traçada por 𝐸 a 𝐴𝐵 .

e. O retângulo AFED é o retângulo dourado.

Fazer a validação.

Para a socialização acerca do modo como identificam a Razão

Áurea no Retângulo de Ouro, é interessante promover uma discussão para

que os alunos indiquem quais segmentos do retângulo construído devem

ser utilizados a fim de encontrar a razão dourada e, conforme as

indicações, tem-se como sugestão que o professor vá realizando a

verificação no software Geogebra. Após essa discussão, o professor deve

esclarecer que o Retângulo de Ouro é um retângulo cuja razão entre a

medida do lado maior e a medida do lado menor é a razão dourada, razão

esta que resulta no Número de Ouro.

Em seguida, o professor pode solicitar aos alunos que pesquisem,

com seus celulares e notebooks, objetos do cotidiano e construções

históricas que “contém” a Razão Áurea. Esta ação pode ser um momento

muito rico da aula, pois tem-se a oportunidade de desconstruir com os

alunos alguns mitos referentes à presença da Razão Áurea em construções,

monumentos, pinturas e objetos. Para promover uma reflexão com relação

à veracidade de algumas informações contidas na internet, o professor

poderá utilizar as próprias informações históricas, por exemplo, presentes

em Livio (2006), como apoio para explicar o porquê de algumas

indicações sobre a presença da Razão Áurea não poderem ser

comprovadas cientificamente. Indica-se, como direcionamento, reflexões

e discussões acerca de duas situações: o monumento histórico Partenon e

a obra de arte Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, pois estes são comumente

associados à Razão Áurea.

No que diz respeito ao primeiro monumento histórico, muito

autores afirmam que a sua parte frontal se enquadra impecavelmente em

um Retângulo Áureo. No entanto, alguns historiadores vão contra essa

asserção, indicando que partes do Partenon vão além do Retângulo, como


por exe mplo, as extremidades do pedestal; outra contestação indica que

as dimensões do Partenon variam conforme determinadas fontes (LIVIO,

2006). Com relação à Mona Lisa, há indícios de que no formato de seu

rosto possa-se encaixar um Retângulo Áureo, todavia, faltam-se

indicativos sobre qual lugar em específico o Retângulo poderia se

localizar, ou seja, não há comprovações científicas que garantem a

presença deliberada da Razão Áurea na Mona Lisa, e de maneira

semelhante, no Partenon (LIVIO, 2006). O autor supracitado ainda reitera

que as ideias apresentadas refletem mais um “forçar para se encontrar” a

Razão Áurea do que de fato constatar a presença desta razão nestes

monumentos históricos.

Na sequência, tem-se a sugestão da Atividade 33, que tem como

objetivo propiciar que os alunos conheçam e explorem a representação de

um objeto histórico que usa deliberadamente a Razão Áurea em sua

construção.

Atividade 3: Os pitagóricos usavam o

pentagrama como seu símbolo secreto. Dado

um pentágono regular, se todas as diagonais

possíveis são desenhadas dentro desse

pentágono, então temos formada uma estrela

pentagonal regular. Esta estrela é chamada de

pentagrama. Um pentagrama possui muitas

propriedades incomuns, uma delas é a que ele

gera um outro pentágono no qual outra estrela

pentagonal pode ser formada, então o pentagrama gera ele mesmo.

Além disso o pentagrama contém muitas razões douradas. Dado um

pentagrama, verifique onde se localiza a Razão Áurea.

Conforme mencionado no enunciado, a razão entre vários dos

segmentos que compõem o pentagrama contém a Razão Áurea. Sendo

assim, para realizar a verificação (com precisão) de que a divisão entre

3 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de

Swetz (1994).


determinados segmentos resulta n o Número de Ouro, indica-se que seja

feito o cálculo da divisão no software Geogebra.

Após este momento, é interessante explicar aos alunos que, no

pentagrama, a razão entre o comprimento da diagonal do pentágono que

o compõe e o comprimento do lado desse mesmo pentágono é igual ao

Número de Ouro. Cabe ressaltar que Boyer (2010) levanta a hipótese de

que talvez este símbolo possa ter sido o “causador” do descobrimento da

incomensurabilidade (e não a diagonal de um quadrado, conforme a

maioria de nós conhecemos), uma vez que quando se traçam as cinco

diagonais de um pentágono, elas formam um pentágono regular menor e

a diagonais desse segundo pentágono, por sua vez, formam o terceiro

pentágono ainda menor. “Esse processo pode ser continuado

indefinidamente, resultando em pentágonos tão pequenos quanto se queira

e levando a conclusão de que a razão da diagonal para o lado num

pentágono regular não é racional” (BOYER, 2010, p. 50).

Outra constatação interessante nas medidas dos segmentos que

compõem este símbolo histórico está no fato de que se considerarmos cada

segmento do pentagrama em ordem decrescente de comprimento, a razão

entre cada segmento e seu antecessor é igual à Razão Áurea, ou ao

Número de Ouro (LIVIO, 2006). Ou seja, utilizando algumas medidas de

segmentos do pentagrama da Atividade 3, podemos ter:

A partir desta atividade, pode-se discutir com os alunos a respeito

da influência da civilização grega para o desenvolvimento do conteúdo

Razão Áurea. Depois disso, avançando na cronologia histórica, o

professor poderá explicar que após esta civilização houve outras

civilizações que contribuíram para o desenvolvimento do conteúdo Razão

Áurea, mas que estudos conhecidos e que se destacaram surgem com

Leonardo de Pisa (conhecido como Leonardo Fibonacci) no século XII.

Assim, pode-se apresentar uma breve biografia deste matemático para

propor a Atividade 44, que tem como objetivo apresentar uma solução para

o problema dos coelhos presente no livro “Liber Abacci”, de Leonardo

Fibonacci, para posteriormente investigarem os números da sequência de

Fibonacci e descobrir o porquê da sequência de Fibonacci estar

relacionada ao Número de Ouro.

4 O enunciado da atividade foi retirado do livro “História da Matemática” de Boyer

(2010).


Atividade 4: “Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano,

começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par

que se torna produtivo a partir do segundo mês?” (BOYER, 1974, p.

186)

O número de pares de coelhos de cada mês no problema

apresentado forma os primeiros termos da sequência de Fibonacci. Essa

sequência possui a propriedade de que a partir do terceiro termo, cada

termo é igual à soma dos dois termos precedentes (os 12 primeiros termos

dessa sequência são apresentados no quadro 1). Dessa forma, assim que

os alunos resolverem o problema e conhecerem os primeiros termos da

sequência de Fibonacci, o professor poderá instigá-los a responderem a

seguinte pergunta: Qual a relação entre o problema dos coelhos de

Fibonacci e a Razão Áurea? Para respondê-la, os alunos terão que

investigar mais propriedades dos termos que compõem a sequência de

Fibonacci.

Espera-se, com a exploração dos termos da sequência e com a

condução do professor, que os alunos percebam que a divisão entre um

número de Fibonacci e seu precedente leva a aproximações do Número de

Ouro quando se avança para valores cada vez maiores na sequência,

conforme é apresentado no quadro abaixo.

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Fn/

Fn-1

1/

1=

1

2/

1=

2

3/

2=

1,

5

5/3

=

1,66

67

8/

5=

1,

6

13/

8=

1,6

25

21/1

3=

1,61

538

34/2

1=

1,61

905

55/3

4=

1,61

765

89/5

5=

1,61

818

144/

89=

1,61

798

Quadro 1 – Divisão de um número de Fibonacci por seu antecessor

Fonte: Belini (2015, p. 38)

A partir disso, explica-se que em termos matemáticos significa que 𝐹𝑛

𝐹𝑛−1

tende para 1+√5

2 quando n tende a infinito (BELINI, 2015), ou seja,

Para finalizar a sequência de atividades acerca do tema Razão

Áurea, sugere-se uma apresentação cronológica com momentos históricos


que caracterizam a evolução do tema retratado, desde especulações sobre

sua origem até os dias atuais.

Ao apresentar esta linha do tempo é relevante retomar com os

alunos as discussões feitas sobre o contexto histórico em que surge a

Razão Áurea, os diferentes momentos da história que caracterizam as

evoluções da Razão Áurea, bem como a influência de determinadas obras

(por exemplo, Divina Proportione, de Luca Paccioli) para o surgimento

de alguns mitos referentes à presença desta razão na natureza.

Espera-se que com essa sequência de atividades e direcionamentos

pedagógicos, possa-se desfrutar do conteúdo Razão Áurea de forma mais

rica e produtiva, contemplando a contextualização histórica do

desenvolvimento do tema elencado de modo a destacar contribuições já

presentes em produções científicas e oportunizar o encaminhamento de

futuras propostas para o ensino de Matemática por meio da História da

Matemática.

É válido ressaltar sobre o auxílio do software Geogebra para o

desenvolvimento da sequência de atividade apresentada, no que diz

respeito ao tempo destinado às atividades, bem como a precisão nas

medições solicitadas, uma vez que o Número de Ouro é um número

irracional. Ainda, reitera-se que esta sequência de atividades pode ser

desenvolvida desde o Ensino Básico ao Ensino Superior, cabendo ao

professor adaptá-la de acordo com o nível de ensino e seu objetivo.

Referências

BELINI, M. M. A razão áurea e sequência de Fibonacci. 2015. 67 f.

Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional).

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Universidade de

São Paulo. São Carlos: SP.

BOYER, C. B. História da matemática. 3ª ed. São Paulo: Blucher, 2010.

LIVIO, M. Razão Áurea: a história de Fi, um número surpreendente.

Tradução de Marco Shinobu Matsumura. Rio de Janeiro: Record. 2006.

MENDES I. A.; CHAQUIAM, M. História nas aulas de matemática:

fundamentos e sugestões didáticas para professores. Belém: SBHMat,

2016.


MIGUEL A.; MIORIM M. A. História na Educação Matemática:

Propostas e Desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.

SWETZ, F. J. Learning Activities from the History of Mathematics.

Portland: J. Weston Walch Publisher, 1994.


••• Artigo 2 •••

A RECONSTRUÇÃO DOS CÍRCULOS DE PROPORÇÃO NO GEOGEBRA COMO UMA ATIVIDADE PARA A

MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS

Verusca Batista Alves

(Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE)

Ana Carolina Costa Pereira

(Universidade Estadual do Ceará – UECE)

Associar a história com o ensino de matemática, é tema de recentes

investigações que promovem essa interface por meio do estudo de

instrumentos histórico. Dentre os instrumentos, pode-se citar os círculos

de proporção de William Oughtred (1574-1660), que era utilizado para

realizar cálculos algébricos e aritméticos. Objetiva-se apresentar uma

reconstrução de duas graduações dos círculos de proporção, através do

software GeoGebra, para auxiliar o professor de matemática que deseje

elaborar uma atividade partindo de uma articulação entra a história e o

ensino de matemática. Para isso, inicialmente é feita uma breve

explanação histórica sobre o instrumento estudado, apontando outras

fontes de leitura ao professor que busque aprofundar no tema. Em seguida,

relata-se a lista de procedimentos realizados no software para essa

reconstrução. Percebe-se que, por meio dessa reconstrução, há a

possibilidade de associar diversos conhecimentos matemáticos tais como,

noções de geometria, proporção, logaritmos, dentre outros. Com isso,

espera-se que o texto possa auxiliar na construção de ações do professor

de matemática, que queira articular a história com o ensino de matemática.

Introdução

A um tempo, tem-se estudado como inserir nas salas de aula os

recursos que a história da matemática fornece. Uma das possibilidades

investigadas é a articulação com o ensino de matemática através dos

instrumentos matemáticos históricos, que incorporam em si,

conhecimentos que podem ser explorados através do manuseio e da

reconstrução desses objetos (DIAS; SAITO, 2013; CASTILLO; SAITO,

2016).

Um dos instrumentos que se investiga para este fim são os círculos

de proporção de William Oughtred (1574-1660) que mobilizam

conhecimentos matemáticos, como por exemplo, os Logaritmos. Com

isso, o professor pode além de tratar do conteúdo de Logaritmos, articular

a história da matemática, contextualizando sobre o século XVII que

corresponde ao instrumento e ao conteúdo, fazendo uma análise histórica

e social da época (ALVES; PEREIRA, 2018a).

Desse modo, propõe-se apresentar aqui a reconstrução de duas

graduações do instrumento círculos de proporção, no GeoGebra, para

servir de base para uma atividade que o professor de matemática deseje

aplicar em sala de aula, envolvendo uma conexão entre a história e o

ensino e assim promover uma aula diferenciada.

Conhecendo o Instrumento

Os séculos XVI e XVII foram palco de diversas mudanças no

cenário social, político e econômico. Também, foi nesse momento que se

iniciaram as discussões a respeito do que conhecemos hoje como ciências.

Um dos itens que teve destaque nesse desenvolvimento, em especial da

matemática, foram os instrumentos matemáticos, principalmente em

Londres, que era confeccionados e publicados em tratados e atendiam a

um público específico.

Em 1632, no tratado The circles of proportion and the Horizontal

Instrvment (Os círculos de proporção e o instrumento horizontal),


publicado em nome de William Oughtred (1574-1660)5, é apresentado um

instrumento chamado de círculos de proporção (Figura 1).

Figura 1 – Círculos de Proporção.

Fonte: Adaptado de Oughtred (1633, s/p) e do Museum of the

History of Science, University of Cambridge (2018).

Oughtred (1633) descreve o instrumento como tendo oito círculos

graduados da seguinte forma: quatro para tangentes que variam de 35’ até

aproximadamente 89° 25’; dois para senos que variam de 35’ até 90°; um

para os valores desiguais, que correspondem aos logaritmandos e um para

os números iguais, que correspondem aos logaritmos.

O autor da obra ainda descreve que há um par de compassos que

são utilizados para o manuseio do instrumento, que devem ser chamados

de “braço antecedente” e “braço consequente” e que são posicionados de

acordo com o uso.

A Reconstrução dos Círculos de Proporção

A reconstrução dos círculos de proporção, perpassa por

conhecimentos matemáticos que vão desde conceitos geométricos, até o

cálculo de alguns valores algébricos. Desse modo, o processo é rico e pode

ser desenvolvido com os alunos, com a finalidade que o professor de

matemática desejar. Por isso, é importante deixar claro que a

reconstrução6 apresentada aqui, fornece uma base de conhecimentos para

5 Para uma descrição mais detalhada da obra e do autor vide Alves e Pereira (2018a,

2018b). 6 A reconstrução na nossa visão está constituída na proposta de Saito (2014) no qual

entende-se que não há como reproduzir as mesmas condições materiais e técnicas

mobilizadas na construção de um instrumento de outra época. Desse modo, essa


o professor de matemática explorar ao seu modo, de acordo com o seu

planejamento, não sendo portanto, uma “receita” a ser seguida.

Processo de reconstrução do primeiro círculo

Para esta reconstrução, é necessário um computador com o

GeoGebra instalado e sugere-se as seguintes etapas:

1) Utilizando o GeoGebra, na função “círculos dado raio e centro” trace

um círculo cujo centro seja (0,0) e que tenha raio igual a 1. Destaca-

se que esses valores são apenas sugestões, e que, de acordo com o

planejamento do professor, eles podem variar;

2) O passo seguinte é graduar o círculo, marcando pontos que

correspondem aos valores de 0 até 9. Esse círculo, é o que contém os

logaritmos e que o autor chama de números iguais. Essa nomenclatura

tem uma razão de ser, e equivale dizer que, a cada dois

3) pontos adjacentes marcados, eles devem ter a mesma distância. Assim,

dada a circunferência toda, 360°, e 10 pontos (0 à 9) a serem marcados,

temos que:

𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐴 à 𝐵 = 𝛼 =360°

10

𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐵 à 𝐶 = 𝛼 =360°

10

...

𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐼 à 𝐽 = 𝛼 =360°

10

Para marcá-los no Geogebra, utilizando a função “ângulo com amplitude

fixa”, selecione no eixo vertical, um ponto qualquer 𝐴 = (0, 𝑦), depois

selecione o centro (0,0) da circunferência e defina que o ângulo é 36° no

sentido horário e assim será marcado o ponto B. Até agora, a construção

deve corresponder ao que mostra a figura 2.

reconstrução não reproduz o real processo daquele período, mas sim, uma interpretação

baseada na investigação histórica, recuperada de documentos (SAITO, 2014).


Figura 2 – Distância entre os pontos A e B.

Fonte: Elaborado pelas autoras (2019)

Repita o processo, novamente selecionando o ponto A = (0, y) depois

selecione o centro (0,0) da circunferência e defina que o ângulo é 72° no

sentido horário e assim será marcado o ponto C. Continue tomando a

distância de A até os demais pontos utilizando: 108° (ponto 3), 144°

(ponto 4), 180° (ponto 5), 216° (ponto 6), 252° (ponto 7), 288° (ponto 8)

e 324° (ponto 9).

Para marcar o ponto na circunferência, trace uma reta passando pelo

centro (0,0) e pelo ponto A e outra que passe pelo centro (0,0) e pelo ponto

B (figura 3). Ao fazer isso, a primeira reta definirá o ponto 0 e a segunda

o ponto 1.


Figura 3 – Marcação de 0 e 1 no círculo interno.

Fonte: elaborado pelas autoras (2019)

Para marcar os demais pontos (2, 3, 4, ..., 9), basta traçar em cada,

uma reta que passe pelo centro e por cada um dos pontos.

Processo de reconstrução do segundo círculo

Depois de feita toda a graduação do primeiro círculo, segundo

deve ser traçado de modo que o centro seja o ponto (0,0) e o raio igual a

1,5. Desse modo, haverá dois círculos de mesmo centro e raios diferentes.

Para demarcar os valores nesse segundo círculo, segue-se o mesmo

procedimento feito no primeiro, no entanto, para definir a distância

angular entre os pontos, é preciso calculá-los através da seguinte equação

β𝑎 = log10 𝑎 . 360°

onde β é o ângulo e 𝑎 é o valor que varia de 1 até 10.

Ao calcular todos os pontos, os valores correspondem ao que

mostra o Quadro 1.


Quadro 1 – Distâncias em ângulos no círculo externo.

𝑎 log10 𝑎 . 360°

1 β1 = log10 1 . 360° = 0°

2 β2 = log10 2 . 360° ≈ 108,3708°

3 β3 = log10 3 . 360° ≈ 171,7637°

4 β4 = log10 4 . 360° ≈ 216,7416°

5 β5 = log10 5 . 360° ≈ 251,6289°

6 β6 = log10 6 . 360° ≈ 280,1345°

7 β7 = log10 7 . 360° ≈ 304,2352°

8 β8 = log10 8 . 360° ≈ 325,1125°

9 β9 = log10 9 . 360° ≈ 343,5273°

10 β10 = log10 10 . 360° = 360°

Fonte: Elaborado pelas autoras (2019)

Desse modo, a distância do ponto 1 até o 2 tem 108,3708°, do ponto 1 até

o 3 tem 171,7637° e assim por diante. Ao final, a reconstrução deve estar

semelhante ao que mostra a figura 5.

Figura 5 – Reconstrução finalizada no GeoGebra.

Fonte: Elaborada pelas autoras (2019)


Note que a figura 5 apresenta também, subdivisões no círculo

interno e no externo. Isso mostra que a graduação pode ser ampliada de

acordo com as necessidades de mediação com o instrumento. A partir

dessa reconstrução, o professor poderá trabalhar com seus alunos, em um

laboratório de informática, buscando explorar os processos matemáticos

adotados em cada etapa dessa reconstrução. Além disso, outra opção de

ação do professor, é levar o material impresso e sugerir aos alunos o

manuseio do instrumento mobilizando conhecimentos matemáticos

(ALVES; PEREIRA, 2018a).

Assim, em anexo a este artigo, há uma versão ampliada da mesma

reconstrução aqui descrita, que servirá ao professor que deseja somente

imprimir e trabalhar com a manipulação do instrumento. Para isso, ele

ainda terá de produzir dois ponteiros, de tamanhos iguais e fixa-los ao

centro (0,0) da circunferência, de modo que eles possam ser girados. Caso

o professor opte pela impressão e a confecção física do instrumento, ele

deverá estar semelhante à figura 6, que mostra uma outra reconstrução das

oito graduações dos círculos de proporção em curso para formação de

professores.

Figura 6 – Círculos de proporção com as oito graduações.

Fonte: Acervo das autoras (2019)


Ainda sobre a manipulação, o professor poderá consultar Alves e

Pereira (2018a), para conhecer como manusear o instrumento e como

fazer outra confecção, utilizando-se de compasso, transferidor, lápis e/ou

caneta, papel couchê, folha acetato transparente, tacha, fita adesiva

(opcional), para outros tipos de atividade com materiais manipuláveis.

Considerações Finais

O artigo apresenta a reconstrução de somente duas das oito

graduações do instrumento círculos de proporção, no entanto, percebe-se

as vastas possibilidades quanto aos conteúdos que podem ser mobilizados

em aplicações que envolvam esse tipo de estudo.

Pode-se citar dentre alguns conhecimentos matemáticos

apresentados nessa reconstrução, noções de geometria como ponto e reta,

o estudo das proporções e dos logaritmos, a noção da distância entre dois

pontos em uma circunferência, distância angular e o próprio cálculo

algébrico.

Além disso, percebe-se também que essa reconstrução pode ser

realizada também de outras formas, como por exemplo, utilizando

materiais que possam ser manipuláveis para uma construção palpável, que

também irá requisitar outros tipos de conhecimentos a serem mobilizados

para essa construção, tais como o uso de instrumentos de medida, como a

régua e o transferidor.

Referências

ALVES, Verusca Batista; PEREIRA, Ana Carolina Costa. A matemática

por trás da construção física e graduação da régua de cálculo circular.

Caminhos da educação matemática em revista, v .8, n. 2, 2018a.

ALVES, Verusca Batista; PEREIRA, Ana Carolina Costa. O instrumento

“círculos de proporção” exposto na obra de William Oughtred (1633): um

elemento na interface entre história e ensino de matemática. Rev. Prod.

Disc. Educ.Matem., São Paulo, v.7, n.2, pp. 89-108, 2018b.

DIAS, Marisa da Silva; SAITO, Fumikazu. Interface entre história e

ensino de matemática: aspectos teóricos e metodológicos. In:

CONGRESSO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN


MATEMÁTICA, 7., 2013, Montevideo. Actas del VII CIBEM.

Montevideo: La Sociedad de Educación Matemática Uruguaya, 2013. p.

7502 – 7509.

CASTILLO, Ana Rebeca Miranda; SAITO, Fumikazu. Algumas

considerações sobre o uso do báculo (baculum) na elaboração de

atividades que articulam história e ensino de matemática. In: SALAZAR,

Jesús Flores; GUERRA, Francisco Ugarte. Investigaciones en educación

matemática. Lima: Fondo Editorial Pucp, 2016. p. 237-251.

OUGHTRED, William. The Circles of Proportion and the Horizontal

Instrument (1633). Londres: William Forster, 1633. Tradução de

William Forster, reimpresso por EBBO Editions, 2010.

SAITO, Fumikazu. Instrumentos matemáticos dos séculos XVI e XVII na

articulação entre história, ensino e aprendizagem de matemática.

Rematec, v. 9, n. 16, mai.- ago., 2014, p. 25-47.


••• Artigo 3 •••

RESENHA DO FILME

O FÍSICO

Kaline França Correia Andrade

(Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do

Norte – IFRN)

Ano: 2013

Tempo: 150 minutos

Direção: Philipp Stölzl

Gêneros: aventura, drama, histórico

Baseado no livro homônimo de Noah Gordan

Trazemos aqui uma resenha sobre o filme O físico baseado no livro

homônimo de Noah Gordon, com direção de Philipp Stölzl. Este filme nos

conta sobre a vida na idade média europeia e sobre as doenças e sobre os

tratamentos médicos aos quais se recorria naquele contexto histórico e

cultural. O filme também nos fornece um vislumbre da grande diferença

entre o nível dos conhecimentos médicos na Europa e no mundo islâmico

de então.

A princípio nos pareceu estranho o título O físico para o filme,

porém, mais tarde ficamos sabendo que o termo mais correto para nomear

o profissional que cuidava da saúde física das pessoas naquela época era

“físico” e não “médico”.

O filme é ambientado na Inglaterra do século XI, nos arredores de

Londres, época em que o conhecimento de cura usado no império romano

tinha sido em grande parte esquecido e o que restava eram métodos

rudimentares misturados com crendices, superstições e tabus que

dificultavam o avanço do conhecimento sobre o corpo humano. Os

dogmas da igreja católica comandavam a vida das pessoas que aceitavam

http://www.adorocinema.com/personalidades/personalidade-237963/

http://www.adorocinema.com/filmes/todos-filmes/notas-espectadores/genero-13001/



o seu destino como completamente orientado pela vontade divina e os

infortúnios eram vistos como fruto do pecado e da ação diabólica.

Não havia médicos ou hospitais e os poucos que faziam algum tipo

de “cura” eram os chamados de barbeiros-cirurgiões que não eram bem

vistos, suas práticas eram consideradas muitas vezes heréticas e sempre

corriam o risco de serem condenados à fogueira da inquisição.

Neste cenário, Rob Cole, uma criança muito pobre que foi separara

do seu irmão e irmã após a morte da sua mãe, em decorrência da “doença

do lado”, passa a acompanhar um barbeiro-cirurgião que havia passado

por seu lugarejo. O tempo passa, ele se torna barbeiro-cirurgão e fica cada

vez mais curioso em saber o que se passa dentro do corpo humano. Até

que um dia ele ouve falar de Ibn Sina, um sábio que vive em Isfahan na

Pérsia, capaz de curar catarata, tuberculose e febre tifoide, que tem um

enorme palácio onde cuida dos doentes onde lá ficam até melhorar e outro

palácio onde ensina o que sabe, a madraça.

Assim, ele parte rumo a Pérsia disposto a vencer todos os

empecilhos chegando a se circuncidar para passar por judeu, visto que

cristãos não eram tolerados no oriente. Rob começa a ter aulas com o reitor

Ibn Sina na madraça, enfrenta um surto de peste negra em Isfahan e cuida

dos doentes junto com alguns dos demais alunos. Também se torna o

melhor amigo do Shah Ala ad-Daula.

No entanto, sua curiosidade em saber como é dentro do corpo

humano só aumenta e ele decide abrir o corpo de um zoroastrista. Os

zoroastristas acreditam na imortalidade da alma, crença que os leva a ver

a manipulação de cadáveres de modo distinto dos judeus, cristãos e

mulçumanos da época.

O roteiro do filme não para por aí. Conta ainda com um surto de

peste negra, um levante de muçulmanos radicais aliados aos turcos

seljúcidas contra a madraça e os estudiosos que nela vivem, e assim por

diante.

Para quem está interessado na História as referências são muitas.

O filme tem desfecho surpreendente, elementos históricos e culturais da

ciência oriental, por isso o recomendamos. Ele está disponível no Youtube

e na Netflix.


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Bem, caro leitor,

Chegamos ao final do número 1 do ano 5 da RHMP, outubro 2019.

Sintam-se à vontade para entrar em contato conosco com perguntas,

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As Editoras

Bernadete Morey e Ligia Sad


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Revista de História da Matemática para Professores