ROTEIRO Fisica Anglo 2010

7/29/2019 ROTEIRO Fisica Anglo 2010

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SISTEMA ANGLO DE ENSINO FSICA1

SISTEMA ANGLO DE ENSINO1

FSICALus Ricardo Arruda de AndradeRonaldo Carrilho

Ronaldo Moura de S

SEMI

anglo sistema de ensino


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Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Roteiro RevisAnglo So Paulo : Anglo 2010

Vrios autores.

1. Ensino mdio

02-2941 CDD-373.19

ndices para catlogo sistemtico:1. Ensino integrado : Ensino mdio 373.19

cdigo: 829312110

CONSELHO EDITORIALGuilherme Faiguenboim

Nicolau Marmo

COORDENAO EDITORIALAssaf Faiguenboim

ASSISTNCIA EDITORIALBeatriz Negreiros Gemignani

Creonice de Jesus S. FigueiredoDenise da Silva Rosa

Hosana Zatelli dos SantosKtia A. Rugel Vaz

Paula P. O. C. Kusznir

REVISO TCNICA

Flvia M. de Lima Moreira (Biologia)Fredman Couy Gomes (Histria)

Gae Sung Lee (Matemtica)Matheus Rodrigues de Camargo (Portugus)

Moiss J. Negromonte (Geografia)Nelson Vicente de Souza Jnior (Qumica)

Rodrigo C. dos Anjos Barbosa (Fsica)

PROJETO GRFICO E FOTOLITOGrfica e Editora Anglo Ltda.

ARTE E EDITORAOEquipe de Apoio

Grfica e Editora Anglo Ltda.

Grfica e Editora Anglo Ltda.

MATRIZ

Rua Gibraltar, 368 - Santo Amaro

CEP 04755-000 - So Paulo - SP

(0XX11) 3273-6000

www.angloconvenio.com.br

2010


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NDICE

FsicaUnidade I Cinemtica EscalarCaptulo 1

Fundamentos da cinem ica escalar ......................Captulo 2Movimento Uniformemen e Variado.....................

Unidade II Dinmica do Movimento RetilneoCaptulo 3Fundamentos da dinmica...................................... 1

Captulo 4Princpios da in cia e fundamen al ......................

Captulo 5Princpios da ao e reaoe suas consequncias...............................................

Unidade III BalsticaCaptulo 6Lanamentos pr ximos superfcie erres re ..................................................

Unidade IV EnergiaCaptulo 7Energia e suas ans ormaes ..............................

Captulo 8Potncia e rendimento.............................................

Captulo 9A energia como m odo de

resoluo de problemas de dinmica.................... 29Unidade V Dinmica ImpulsivaCaptulo 10Equao fundamen al dadinmica para valores mdios ...............................

Captulo 11Sis emas isolados.....................................................

Unidade VI HidrostticaCaptulo 12Gene alidades ..........................................................

Captulo 13eorema de S evin ................................................... 39

Captulo 14eorema de A quimedes .........................................

Unidade VII Movimento Circular UniformeCaptulo 15Cinem ica do MCU ..................................................

Captulo 16Dinmica do MCU.....................................................

Captulo 17rbi a ci cular ..........................................................


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Unidade VIII EletrodinmicaCaptulo 18Di erena de potencial,corrente e potncia eltrica .................................... 49

Captulo 19Condutores e resistores ...........................................

Captulo 20

Ge adores e ci cuito el rico simples..................... 57

Unidade IX EletromagnetismoCaptulo 21Magnetismo .............................................................. 59

Captulo 22eito magn ico da corren e el rica....................

Unidade X Foras Magnticas e Eltricassobre Cargas

Captulo 23Fora magn ica sobre cargas................................

Captulo 24

Fora el rica sobre ca gas ..................................... 66

Unidade XI ptica GeomtricaCaptulo 25Fundamen os da p ica ........................................... 68

Captulo 26O fenmeno da re oe o espelho plano.....................................................

Captulo 27Os espelhos es ricos...............................................

Captulo 28O fenmeno da refrao e suas leis ...................... 79

Captulo 29O fenmeno da re exo al................................

Captulo 30Len es es ricas: e udo g ico .............................

Captulo 31Len es es ricas: estudo analico........................... 89

Unidade XII TermofsicaCaptulo 32

ocas de calor p ocandoal ao de empe .......................................

Captulo 33

ocas de calor p ocandomudanas de e ado................................................ 94

Captulo 34Si ema ermicamen e isolado................................ 96

Captulo 35ermodinmica ......................................................... 97

Unidade XIII OndulatriaCaptulo 36Descrio e classi icao de ondas ........................102


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CAPTULO 1

1 POSIO

Na linguagem da Fsica, indicar aposio de um corpo informar o lugar onde ele se encontra em determinadomomento.

A escolha do modo de indicar a posio de um corpodeve ser adequada a cada situao particular. O modo delocalizar uma pessoa em uma multido pode no ser con-veniente para localizar um barco no mar. No entanto, emtodos os casos h algo em comum.

Um corpo s pode ser localizado em relao a outro

corpo, denominado referencial.

No caso particular de o corpo estar sobre uma linha co-nhecida, sua posio pode ser determinada por uma nicamedida.

A posio de um ponto sobre uma linha conhecida determinada por um nmero, positivo ou negativo, defini-do como segue:

No caso de a linha ser reta, escolhe-se arbitrariamenteum ponto dela como origem (O).

Escolhe-se, tambm arbitrariamente, um sentido positi-vo para a reta.

O espao (S) de um ponto (P), que vamos representar por

S(P), a distncia de O at P, qual se acrescenta o sinalpositivo (), se o sentido de O para P for o mesmo daorientao adotada, ou o sinal negativo (), se o sentidode O para P for contrrio ao da orientao adotada. Des-se modo, os espaos dos pontos P e P da figura so:

S(P) OP

S(P) OP

OP' P

No caso de a linha ser curva, procede-se do mesmomodo, efetuando as medidas sobre a linha. Desse modo,os espaos dos pontos Q e Q da figura so:

S(Q) OQ (medido sobre a linha curva)

S(Q) OQ (medido sobre a linha curva)

Q'

QO

Fundamentos dacinemtica escalar

2 MOVIMENTO

O que caracteriza um movimento a mudana de po-sio. Quando voc se movimenta em uma sala, sua posi-o em relao a ela se altera, pois voc se aproxima ou seafasta de uma parede ou do teto (no caso de pular). Comofoi explicado, um corpo s pode ser localizado em relaoa outro, denominado referencial. Portanto, s podemos de-terminar se h ou no mudana da posio de um corpoem relao a outro, tomado como referencial. No exemplocitado, o referencial a sala.

Um corpo se movimenta em relao a outro, tomadocomo referencial, quando sua posio varia em relaoa esse referencial.

3 TRAJETRIA

A ideia de trajetria a de percurso trajeto, caminhoque um corpo percorre. A estrada na qual o carro se mo-vimenta a trajetria dele. A pista de um autdromo atrajetria de um carro de corrida. A trajetria de um corpolargado prximo a Terra uma reta vertical. A trajetria deum avio pode ser observada quando ele deixa um rastro,como no caso dos avies da Esquadrilha da Fumaa. Emresumo:

Trajetria a linha sobre a qual o corpo se movimenta.

4 DESCRIO DO MOVIMENTO

Em fsica, descrever o movimento de um corpo signifi-caindicar sua posio em cada instante. Para isso, empre-gamos tabelas, grficos ou equaes.

No caso de o corpo estar se movimentando sobre umatrajetria conhecida, sua posio pode ser determinadaem cada instante pelo espao. Portanto, nesse caso, o mo-vimento pode ser descrito por uma tabela do espao em

funo do tempo.

Equao dos espaos

Quando um corpo se movimenta em uma trajetria co-nhecida, sua posio em cada instante pode ser determi-nada pelo espao. Podemos determinar o espao em cadainstante por uma tabela que relacione o espao com o tem-po, ou pelo grfico do espao em funo do tempo, ou poruma expresso matemtica denominada equao horriado movimento ou equao dos espaos, que permite obterS para cada valor de t.


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5 DESLOCAMENTO ESCALARSe um corpo percorre uma trajetria conhecida, pas-

sando por um ponto P num instante te por um ponto Pnum instante t, o deslocamento S do intervalo de ta t :

S S S

O deslocamento escalar (S) indica amudana de posi-

o em um dado intervalo de tempo.Quando a mudana de posio a favor da orientaoda trajetria: S 0.

Quando a mudana de posio contra a orientao datrajetria: S 0.

Quando no h mudana de posio: S 0.

S 0

tt'

S'S

S 0

t't

S'S

O smbolo

Nos livros de Fsica, assim como nos de Qumica ede Matemtica, aparece a todo instante o smbolo , em

geral acompanhado de outra letra: t, S, y.O smbolo corresponde letra grega delta, usadaem textos cientficos com o significado de diferena, va-

riao. Por exemplo, se a letra tfor adotada para indicaro tempo, t indicar a variao do tempo; se S indicar oespao, S ser a variao do espao.

Foi convencionado que, se G uma grandeza qual-quer que sofre uma variao, G deve ser calculadopela diferena entre o valor final e o valor inicial dessagrandeza.

G (valor final da grandeza G) (valor inicial da grandeza G)

Se a grandeza G permanece constante, G 0.

6 VELOCIDADE E RAPIDEZA palavra velocidade aparece sempre associada maior

ou menor rapidez com que um movimento ocorre. Podeser o movimento de um carro em uma estrada ou o do di-nheiro circulando de uma pessoa para outra para citarapenas dois exemplos.

Mas h diferenas entre as velocidades. Vamos estudaraqui o tipo particular denominado velocidade escalar, tilpara descrever o movimento de um corpo sobre uma tra-jetria conhecida.

Todos tm alguma ideia acerca de velocidade e co-nhecem pelo menos um aparelho para medi-la, o velo-cmetro, presente em quase todos os tipos de veculo.

A velocidade escalar indica no s a rapidez, mas tam-bm o sentido do movimento. Se um corpo percorre umatrajetria orientada, atribumos sinal positivo ou negativo velocidade, dependendo de o movimento ser no mesmo

sentido ou no sentido contrrio ao da orientao da traje-tria.

7 VELOCIDADE ESCALAR MDIASe um corpo percorre certa trajetria e se desloca S

num intervalo de tempo t, sua velocidade mdia (Vm) nes-se intervalo ser:

VmSt

S

t't

t t' t

Definio de velocidade mdia.

Unidade de velocidade escalarA unidade de velocidade escalar uma unidade de com-

primento dividida por uma unidade de tempo. Por exem-plo: m/s (metro por segundo), m/min (metro por minuto),km/h (quilmetro por hora). Embora a unidade km/h sejaa mais usual, o m/s a unidade de velocidade do Sistema

Internacional de Unidades (SI) e a empregada em Fsica.A converso de uma unidade de velocidade em outra

muito simples. Veja o texto em destaque.

Relao entre m/s e km/hVamos transformar a velocidade de 90 km/h em m/s.

Sabemos que:1 km 1 000 m1 h 3 600 s

Portanto: 90 km/h 90 1 000 m

3 600 s

Mas:1 000

3 600

1

3,6

Logo: 90 km/h 90 m3,6 s

25 m/s

Resumindo

Para transformar m/s em km/h:multiplica-se o valor por 3,6

Para transformar km/h em m/s:divide-se o valor por 3,6


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Observaes a respeito da relao S/t

A expresso VmSt

pode ser empregada para qual-

quer tipo de movimento.

Se a velocidade constante, o quociente do deslocamen-

to pelo tempo St tambm constante e denominadovelocidade escalar do movimento.

Se a velocidade no constante, o quociente do desloca-

mento pelo tempo St denominado velocidade esca-lar mdia no intervalo de tempo t.

8 PROPRIEDADE DO GRFICO DA VELOCIDADEESCALAR CONSTANTE

A rea do retngulo formado no grfico da velocidadeconstante representa o deslocamento (S) no corpo no in-tervalo de tempo (t).

D C

A B

S

t

V

t

V

S no grfico de V t.

9 PROPRIEDADE DO GRFICODA VELOCIDADE ESCALAR

De modo anlogo ao grfico da velocidade constante, area assinalada representa o deslocamento no intervalo detempo considerado. A nica diferena que agora no setrata de um retngulo.

V

t

S

S no grfico de V t.

10 MOVIMENTO ACELERADO, RETARDADO EUNIFORMEAnalise o exemplo. Um carro parte do repouso de um

ponto A de uma rua e dirige-se para um ponto B, comomostrado na figura.

A B

Carro se deslocando entre dois semforos.

A indicao do velocmetro do carro varia como indica-do no grfico a. Nesse grfico discutimos trs trechos.

Trecho 1: a indicao do velocmetro aumenta. Na lingua-gem usual, dizemos que o carro est arrancando. Na F-sica, dizemos que o movimento acelerado.

Trecho 2: a indicao do velocmetro constante. Na F-sica, dizemos que o movimento uniforme.

Trecho 3: a indicao do velocmetro diminuiu. Na lingua-gem usual dizemos que o carro est brecando ou frean-do. Na Fsica, dizemos que o movimento retardado.

Indicao do velocmetro

t

1

2

3

(grfico a)

O sinal da velocidade depende da orientao do eixo.

Orientando-se um eixo para a direita, obtemos o grfico b.Orientando-se um eixo para a esquerda, obtemos o gr-fico c.

No entanto, uma coisa no pode mudar:No trecho 1 o carro est arrancando; no trecho 2 a velo-

cidade constante; no trecho 3 o carro est brecando. Notrecho 1 o movimento acelerado; no trecho 2 uniforme;no trecho 3 retardado.

V

t

MA

MU

MR

(grfico b)

V

t

MAMU

MR

(grfico c)


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Tais consideraes levaram os fsicos a adotar as seguintes definies:

O movimento denominado uniforme (MU) quando apresenta velocidade escalar constante.

O movimento acelerado (MA) quando apresenta velocidade crescente emmdulo.

O movimento retardado (MR) quando apresenta velocidade decrescente emmdulo.

11 MOVIMENTO UNIFORMEVamos procurar a equao dos espaos do movimento uniforme, isto , uma expresso geral para a equao dos

espaos de um corpo que percorre uma trajetria qualquer em movimento uniforme, com velocidade escalar V. Se, noinstante t0, o corpo est no ponto de espao S0, o problema obter o espao S num instante qualquer t. Organizando osdados, temos:

1 O tempo decorrido entre o instante t0 e um instante t qualquer : t t t0

2 Como no instante t0 o carro est no ponto de espao S0, o deslocamento entre oinstante t0 e um instante t qualquer :

S S S0

3 Como a velocidade V constante: V St

4 Portanto: S Vt

5 Substituindo 2 e 1 em 4, assim: S S0 V(t t0)

6 Obtemos a equao dos espaos: S S0 V(t t0)

Se o instante em que o movimento se inicia t0 0, a equao horria passa a ser:

S S0 Vt (para o corpo em MU, com velocidade escalar constante (V).

t

S0

S

O

t0= 0


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CAPTULO 2

1 DEFINIO DE ACELERAO ESCALAR MDIA

Se um corpo sofre uma variao de velocidade V emum tempo t, define-se a acelerao escalar mdia (am)nesse intervalo pela expresso:

amVt

a V V

t t Vt

t

V

V

t

Definio de acelerao escalar.

Observaes

1-) Se o movimento uniforme, a acelerao escalar nula.

2-) Se o movimento acelerado, a acelerao escalar temo mesmo sinal da velocidade.

3-) Se o movimento retardado, a acelerao escalar temsinal contrrio ao da velocidade.

Unidade de acelerao

No Sistema Internacional de Unidades, aunidade de tempo o segundo:

s

e a de velocidade : m/s

A acelerao escalar foi definida pela ex-presso: a

Vt

Logo, colocando as respectivas unidades naexpresso anterior:

m/ss

Efetuando as devidas transformaes, obte-mos a unidade de acelerao:

m/s2

2 DEFINIO DE MOVIMENTOUNIFORMEMENTE VARIADO

Como veremos, so comuns as situaes em que o cor-po fica sob a ao de foras constantes e que, nessas situa-es, adquire acelerao constante.

MovimentoUniformemente Variado

O movimento de um corpo que apresenta aceleraoescalar constante denominado movimento uniforme-mente variado (MUV).

3 EQUAO DA VELOCIDADE

Seria conveniente uma expresso que permitisse cal-cular a velocidade de um corpo em movimento uniforme-mente variado num instante t qualquer. Suponha que a

velocidade do corpo no instante t 0,

Se a acelerao constante: a Vt

sendo t t 0 t

e V V V0.

Fazendo as substituies: V V0 at,

logo: V V0 at.

A expresso V V0

at a expresso procurada, poispermite calcular V a cada instante. Construindo o grficoda velocidade em funo do tempo, obtemos uma reta,pois a expresso que relaciona a velocidade com o tempo do primeiro grau.

Exemplo:

0 2 4 6 8 10 t(s)

4

3

2

1

V(m/s)

Grfico da velocidade em funo do tempo:V0 2 m/s e a 0,2 m/s

2.


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4 EQUAO HORRIA DO MUVVamos supor que, no instante t 0, o corpo esteja a uma distncia S0 da extremidade da mesa, movimentando-se para

a direita com velocidade V0, e que, a partir desse instante, sua acelerao escalar sejaa, constante, tambm para a direita.Todas essas informaes esto resumidas na figura a seguir.

Corpo deslizando sobre uma mesa, qual foi adaptada uma r-gua com a origem na extremidade esquerda. No instante t 0,o corpo movimenta-se para a direita com velocidade V0; a partirde t 0, a acelerao escalar do movimento a, constante.

V0 a = constante V = V0 + at

S0 S

S

0Entre os instantes

0 e t t

PAO

O propsito chegar a uma expresso matemtica que permita determinar o espao S, que a distncia at a extre-midade da mesa, em funo do tempo t.

Para esboar o grfico da velocidade em funo do tempo, devemos lembrar trs fatos. O primeiro que a velocidadeinicial conhecida e vale V0 ; o segundo que a acelerao escalar constante, ento, o grfico procurado uma reta; oterceiro que a acelerao positiva, logo, a velocidade ser crescente. Com essas informaes, chegamos ao grfico

abaixo. O deslocamento entre os instantes 0 e t(S) pode ser calculado pela rea sob o grfico da velocidade.

Grfico da velocidade emfuno do tempo.

V (m/s)

V0

S

t t (s)

V = V0 + at

V0

S

V = V0 + at

t

1 rea do trapzio de base menor (bm), base maior (BM) e altura h vale: S 12

(bm BM) h

2 No caso, a base menor a velocidade no instate t: bm V0

3 a base maior a velocidade no instante t: BM V V0 at,

4 e a altura o tempo: h t

5 Substituindo (2), (3) e (4) em (1), vem: S 12

(V0 V0 at) t.

6 Efetuando as devidas transformaes algbricas: S V0t 12

at2.

7 Como: S S0S,

8 obtemos a expresso procurada: S S0 V0t 12

at2.

Concluso

Em um movimento uniformemente variado, o espao pode sercalculado em cada instante pela expresso:

S S0 V0t 12

at2


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5 EQUAO DE TORRICELLI

A velocidade de um corpo em movimento uniformemente variado pode ser determinada em cada instante pela

expresso V V0 at. Tambm estabelecido que o espao pode ser determinado em cada instante pela expresso

S S0V0t12 at

2. H casos em que conveniente relacionar a velocidade V com o espao S. Para isso temos de eliminar

tdessas duas expresses.

1 Partimos da equao da velocidade: V V0 at

e da equao dos espaos: S S0 V0t 12

at2.

2 Isolamos t na equao da velocidade: t (V V0)

a

3 e o substitumos na equao horria: S S0 V0(V V0)

a

1

2a(V V0)a

2

4 Simplificando a no ltimo termo da expresso acima: S S0 V0(V V0)

a

(V V0)

2a

2

5 ou: S S0 V0(V V0)

a

(V V0)

2a

2

6Multiplicando a expresso anterior por 2a, efetuamos o produtoV0(V V0) e desenvolvemos o quadrado (V V0)

2:2a(S S0) 2V0V 2V0

2 V2 2VV0 2V02

7 Simplificando o que possvel: 2a(S S0) V2 V0

2

8 obtemos: V2 V02 2a(S S0)

Por razes ignoradas, a expresso V2 V0

2 2a(S S0), que estabelece a relao procurada entre a velocidade (V) e o

espao (S), conhecida, no Brasil, como equao de Torricelli.

No movimento uniformemente variado: a acelerao escalar constante e diferente de zero; a velocidade pode ser calculada em um instante tqualquer pela expresso: V V0 at; o grfico da velocidade em funo do tempo uma reta no paralela ao eixo t;

o espao pode ser calculado em cada instante pela expresso: S S0 V0t 12

at2;

a expresso que relaciona velocidade com posio : V2 V02 2a(S S0).


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CAPTULO 3

1 GRANDEZA FSICADenominamos grandeza fsica tudo o que pode ser me-

dido por um instrumento.Mediruma grandeza estabele-cer uma relao entre a grandeza de uma unidade de me-dida. Comprimento, massa e tempo so grandezas fsicas,pois podem ser medidas, respectivamente, por uma rgua,uma balana e um relgio.

A medida (nmero) acompanhada da unidade ainten-sidade da grandeza.

U

L

Intensidade

L 5 U

Medida

Unidade

2 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAISH certas grandezas denominadas escalares que

ficam determinadas quando se conhece sua intensidade.Podemos dizer, informalmente, que a grandeza escalar ficadeterminada quando se sabe quanto ela vale.

H certas outras grandezas denominadasvetoriais que s ficam determinadas quando se conhece, alm daintensidade, sua orientao espacial. Podemos dizer, in-formalmente, que a grandeza vetorial s fica determinadaquando se sabe quanto e para onde.

3 DIREO E SENTIDOA orientao espacial de uma grandeza vetorial dada

pela direo e pelo sentido.Uma reta define uma direo, e qualquer reta paralela a

ela possui a mesma direo. Logo, um feixe de retas para-lelas apresenta uma nica direo.

Uma rua ou um rio, caso sejam retilneos, definem di-rees. Podemos falar em direo da rua So Benedito, di-reo do rio Amazonas ou direo da ferrovia Norte-Sul.Claro que, nos dois ltimos casos, estaramos indicandoapenas uma direo aproximada, pois nem um rio nemuma ferrovia so perfeitamente retilneos.

A cada direo correspondem dois possveis sentidos.Podemos percorrer uma reta vertical em dois sentidos:para cima ou para baixo. direo horizontal correspon-dem os sentidos para a direita e para a esquerda. Umarua pode ser percorrida em dois sentidos diferentes, e po-demos subir ou descer um rio.

Fundamentosda dinmica

ca b

(a) Direo da reta; (b) retas paralelas apresentam a mesma dire-o; (c) a cada direo correspondem dois possveis sentidos.

Resumindo

Uma grandeza vetorial fica determinada pela intensi-

dade, que um nmero positivo acompanhado de umaunidade, e por uma orientao espacial, que a direoe o sentido.

4 NOTAO, REPRESENTAO, IGUALDADE DEGRANDEZAS VETORIAIS

O deslocamento uma grandeza que indica mudanade posio, e no o caminho percorrido. Em outras pala-vras, o deslocamento indica o ponto de partida e o pontode chegada. De maneira informal, poderamos escreverque o deslocamento segue a frmula geral sai-chega.

Se vamos de Natal at Fortaleza, h uma mudana deposio que, independentemente da trajetria seguida,pode ser representada por uma seta com origem em Natale extremidade em Fortaleza. Esse o deslocamento Natal-Fortaleza.

Observe que o deslocamento no fica determinadoquando se conhece apenas sua intensidade. Se informar-mos que Fortaleza fica a 450 km de Natal, o destino da via-gem pode ser qualquer cidade situada em uma circunfe-rncia com centro em Natal e raio de 450 km. Se o pilotosoubesse apenas que Fortaleza fica a 450 km de Natal, semsaber em que direo, ele poderia chegar cidade de Mi-lha, no Cear, ou Peba, em Pernambuco, como voc podeconfirmar em um mapa dessa regio. Em resumo:

Deslocamento uma grandeza vetorial

Fortaleza

Natal

Boqueirodo Cesrio

Mossor

L

N

S

O

NENO

SO SE

Deslocamento areo.


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quada, a grandeza vetorial. Por exemplo, se algum in-formar que so 4 horas da tarde ou que um saco de arroztem 60 quilos, ningum vai perguntar para onde. Mas, sealgum disser desloque-se 40 metros, a pergunta paraonde perfeitamente adequada, o que indica que deslo-camento uma grandeza vetorial.

Vamos aplicar esse critrio para diferentes grandezasassociadas ao movimento.

Velocidade vetorialSe voc receber a informao de que um barco se movi-

menta a uma velocidade 100 km/h, a pergunta para onde adequada? A resposta sim. Portanto, velocidade umagrandeza vetorial.

Velocidade vetorial (V) uma grandeza com as seguin-tes caractersticas:

V

Intensidade Sempre igual ao mdulo na velocida-de escalar.Em smbolos:VV

Direo Se o movimento retilneo, a veloci-dade tem a direo da trajetria.Se o movimento curvilneo, a velo-cidade tem, em cada ponto, direotangente trajetria.

Sentido O sentido do movimento.

Velocidade vetorial e velocidade escalarAo contrrio do que possa parecer, os conceitos de ve-

locidade escalar e de velocidade vetorial no so contra-ditrios. Na verdade, eles se completam, sendo a veloci-

dade vetorial uma ideia mais geral. De maneira informal,poderamos dizer que a velocidade vetorial a velocidadeescalar acrescida de direo e sentido.

O fato de algumas questes de Fsica serem resolvidassem levar em conta a direo e o sentido do movimentono torna desnecessrio o conceito de velocidade vetorial.Como veremos, de acordo com a situao fsica que seapresenta, decidimos pela convenincia de um tratamentoescalar ou vetorial velocidade.

6 A VELOCIDADE VETORIAL EM DIFERENTESMOVIMENTOS

Quanto trajetria, os movimentos so classificadosemretilneos ou curvilneos. Por sua vez, os curvilneos, deacordo com a curva que descrevem, so classificados emcirculares, parablicos, elpticos e assim por diante. A di-reo da velocidade sempre a mesma nos movimentosretilneos e varia nos curvilneos.

Quanto ao modo de percorrer a trajetria, um movi-mento classificado como uniforme ou variado, conformesua velocidade tenha intensidade constante ou varivel.Os variados podem ainda ser classificados em aceleradose retardados, conforme sua velocidade seja crescente oudecrescente em intensidade.

Mas que smbolo adequado para representar um des-locamento? No podemos chamar esse deslocamento deD, pois uma letra equivale a um nmero acompanhado deunidade, e a determinao do deslocamento exige que seindiquem sua intensidade, sua direo e seu sentido. Porisso, foi proposto que as grandezas vetoriais fossem repre-sentadas por uma letra grega ou latina qualquer, maiscu-la ou minscula, sobre a qual se colocasse uma seta. Escre-vemos, ento, que o deslocamento do corpo D. Quandoqueremos nos referir apenas intensidade da grandeza,utilizamos a mesma letra sem seta. Portanto, a intensidadedo deslocamento D D.

Na tabela que se segue, esto descritos os deslocamen-tos D, d1 e d2 da figura.

y

x

D

d2

d1

D d1 d2

Intensidade 3 m 3 m 3 m

Direo do eixo y do eixo y do eixo x

Sentido do eixo y do eixo ycontrrio ao

do eixo x

Em resumo, sendo G uma grandeza vetorial qualquer,de intensidade G, tenha os seguintes cuidados:

O smbolo G no pode ser igualado a nmero, G deveser descrito por nmero, direo e sentido.

O smbolo G pode ser igualado a nmero acompa-nhado de unidade.

Os smbolos G e G tmsignificados diferentes.

G1 G2 as duas grandezas apresentam mesma in-tensidade, mesma direo e mesmo sentido.

G1 G2 as duas grandezas apresentam mesma in-

tensidade. G1G2 as duas grandezas apresentam mesma

intensidade, mesma direo, mas sentidos contrrios.

5 GRANDEZAS VETORIAIS ASSOCIADAS AOMOVIMENTO

Um modo prtico de perceber se uma grandeza es-calar ou vetorial testar a validade da informao paraonde em relao a tal grandeza. Se a informao for ade-


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3) Se o movimento retardado, a acelerao tangencialtem a mesma direo e sentido contrrio ao da veloci-dade.

4) Se o movimento uniforme, a acelerao tangencial nula.

V

a MRA

MCA

V

a

V

a MRR

MCR

V

a

8 FORAS

Consideraes gerais importante lembrar que a acelerao uma medida

da variao de velocidade, mas no a causa. A variaoda velocidade de um corpo acontece pela ao de outroscorpos. A grandeza que caracteriza a ao de um corposobre o outro a fora.

Conceito de foraDizemos que um corpo age sobre outro quando puxa,

empurra, atrai ou repele outro. Em cada um desses fen-menos puxo, empurro, atrao ou repulso , um cor-po aplicafora sobre outro.

No se define fora. A fora no estabelecida por meiode relao matemtica com outras grandezas. O que pode-mos apresentar um conceito de fora:

Fora uma grandeza vetorial que caracteriza a aode um corpo sobre outro e que tem como efeito a defor-mao do corpo sobre o qual essa fora aplicada ou aalterao de sua velocidade.

Empregamos para foras a notao usual para gran-dezas vetoriais: uma letra sobre a qual se coloca uma seta.Exemplos: F, f , T, P . Para indicar a intensidade da fora,empregamos a mesma letra sem a seta. Exemplos: F, f, T, P.

Convencionamos representar a fora por uma seta comorigem no corpo que arecebe, e no naquele que a aplica.

dire

ocon

stante

V1

V2

V3

a b

V1

V2

V3

direo varivel

No movimento retilneo, a direo da velocidade sempre amesma, enquanto, no movimento curvilneo, varia de ponto pa-ra ponto.

Consideraes gerais sobre a variao davelocidade vetorial

A ideia de acelerao sempre a de estudar a variaode velocidade. Assim, como vimos, a acelerao a taxa devariao da velocidade escalar. Por analogia, a aceleraovetorial a taxa de variao da velocidade vetorial. Ocorre

que a velocidade vetorial pode variar tanto em intensidadecomo em direo. Em um movimento retilneo acelerado, adireo da velocidade constante, mas a intensidade varia.Em movimento circular variado, tanto a intensidade quan-to a direo variam. extremamente conveniente o estu-do separado da variao da intensidade com a variao dadireo. Aacelerao tangencial, que a que nos interessano momento, a taxa de variao da intensidade da veloci-dade. Aacelerao centrpeta, que ser vista mais tarde, ataxa de variao da direo da velocidade.

7 ACELERAO TANGENCIAL ( )A taxa de aumento ou diminuio de velocidade pode

ser expressa por uma grandeza vetorial, denominada ace-lerao tangencial, que apresenta as seguintes caracters-ticas:

a

Intensidade: igual ao mdulo da aceleraoescalar. Em smbolos: |a | |a|

Direo: a mesma da velocidade, tangen-te trajetria. Da ser chamada tan-gencial.

Sentido: No movimento acelerado, a favorda velocidade. No retardado, con-tra a velocidade.

A acelerao tangencial em diferentesmovimentos

Para assinalar a acelerao vetorial, proceda como sesegue:

1) Identifique para onde o corpo se movimenta. Marque avelocidade, seguindo o que foi explicado no item 5.

2) Se o movimento acelerado, a acelerao tangencialtem a mesma direo e sentido da velocidade.


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A fora de traoQuando um corpo A puxa um corpo B, dizemos que

A exerce sobre B umafora de trao (T), a qual impede aseparao entre eles.

Cordas, cabos de ao, linhas de costura ou quaisquerelementos de transmisso de fora de trao sero aquichamados de fio. A trao transmitida por um fio tem sem-pre a direo do fio e o sentido de puxar.

Corpo

Fio

Mo

T

Fio puxando corpo.

A fora de contato e suas componentesUma bengala apoiada no cho, em posio inclinada,

apresenta, ao mesmo tempo, tendncia de penetrao nopiso e de escorregamento. O piso aplica sobre a bengalauma fora (C) que impede, simultaneamente, a penetraoe o escorregamento.

C

Tendncia depenetrao

a fora de contato;ela impede a penetrao

e o escorregamento.

Tendncia deescorregamento

C

Fora de contato.

Uma das componentes, denominada componente nor-mal da fora de contato (N), impede, no nosso exemplo,

que a bengala penetre no solo. Ou seja, a normal quegarante a impenetrabilidade dos corpos quando no estadoslido. Ela tem direo normal (perpendicular) superfciede contato e sentido contrrio tendncia de penetrao.

A outra componente, denominada componente tangen-cial ou componente de atrito da fora de contato (A), impe-de ou dificulta o escorregamento de um corpo em relaoao outro. Ela tem direo paralela superfcie de contato esentido contrrio tendncia de escorregamento.

Para fins prticos, as componentes da fora de contatoso muito mais importantes que a prpria fora de contato.Por isso, usual trat-las como foras, e no como meras

A unidade de fora no Sistema Internacional onewton(N), cuja definio ser apresentada em momento oportuno.

Observe que s existe fora quando h dois corpos: umque aplica a ao e outro que sofre a ao. Por isso, no apropriado falar em fora do corpo, mas fora aplicadaourecebida pelo corpo. Em resumo, a fora no proprie-dade do corpo, mas de um par de corpos.

9 TIPOS DE FORAInicialmente, vamos estudar apenas as foras aplicadas

ou recebidas por corpos que estejam no estado slido. Essasforas se dividem em: foras de campo e foras de contato.

Como o nome sugere, as foras de contato s existemenquanto h contato entre os corpos, e, portanto, num da-do corpo, o nmero de foras de contato no pode superaro nmero de contatos. Essas foras esto presentes quan-do se empurra ou se puxa um corpo.

As foras de campo existem mesmo quando no hcontato entre os corpos. So exemplos de fora de campo:a fora eltrica (aplicada por corpos eletrizados); a foramagntica (aplicada por ms); a fora peso (aplicada por

um planeta ou por uma estrela sobre outros corpos). Nomomento, entre as foras de campo, s nos interessa a for-a peso.

A fora pesoEm 1687, o cientista ingls Isaac Newton (1642-1727)

formulou a hiptese de que todos os corpos se atraem mu-tuamente.

A existncia dessa atrao, denominadagravitacional, muito difcil de ser observada experimentalmente, quandose opera com objetos comuns dois cadernos, por exem-plo , pois, nessas condies, ela desprezvel e exigiriaum aparelho de grande sensibilidade para detect-la. Noentanto, quando um dos objetos tem massa muito grande,

como um planeta ou uma estrela, essa atrao passa a terconsidervel intensidade.

Um corpo na superfcie ou nas proximidades da Terra,ou de um outro planeta, est submetido a uma fora deatrao gravitacional, dirigida para o centro da Terra, tam-bm chamadafora peso (P), exercida pelo planeta sobreo corpo. A existncia dessa fora explica fenmenos corri-queiros como, por exemplo, a queda dos corpos.

P

A fora peso apontando para o centro da Terra.


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componentes so comuns as expressesfora normal efora de atrito, em lugar das formas corretas, que seriamcomponente normal e componente de atrito da fora decontato.

Em algumas situaes, a componente de atrito noexiste ou pode ser desprezada. Quando isso acontece, acomponente normal coincide com a fora de contato, epassa a ser correto denomin-lafora normal.

impede apenetrao

superfciespera

impede oescorregamento

C

N

A

N

A

superfcie muitoescorregadia A 0 N C

Componentes da fora de contato.

Quando o atrito desprezvel, CN.

10 CONSIDERAES GERAIS SOBRERESULTANTE

O conjunto das foras que agem sobre um corpo de-nominado sistema de foras. Muitas vezes, para o estudodo movimento de um corpo, interessa o efeito total que osistema de foras causa nesse movimento. Em tais casos,aplica-se o conceito de resultante do sistema.

Conceito de resultanteUm sistema de foras age sobre um corpo. A resultante

do sistema uma fora imaginria que, se agisse sozinha,produziria o mesmo efeito dinmico que o sistema.

A resultante no corresponde, necessariamente, a umaao de um corpo vizinho. A resultante um artifcio ma-temtico que facilita o estudo do movimento. Da ter sido

chamada deimaginria.

11 COMO OBTER A RESULTANTEA resultante a soma vetorial das foras que agem so-

bre o corpo. H mais de uma maneira de se obter a somavetorial. Para o estudo da Dinmica do movimento retil-neo, finalidade do prximo captulo, o mais conveniente o que segue, constitudo de quatro casos.

Caso Descrio Caracterstica da resultante

1As foras tm a mesma direo e sentidoF1

F2

Somam-se intensidades, conservam-se a direo e o sentidoR F1 F2

2

As foras tm a mesma direo, mas sen-tidos contrrios

F1F2

Subtraem-se as intensidades, conserva-se a direo. O sentido o da fora que possui maior intensidade

R F2 F1

3

As foras so perpendiculares entre si

F1

F2

A resultante a hipotenusa de um tringulo retngulo de ca-tetos F1 e F2

F1

F2

R

4

As foras formam entre si um nguloqualquer .

G

F

Decompomos uma das foras. Decompor obter duas foras,perpendiculares entre si, convenientemente escolhidas, de mo-do a cair nos casos anteriores.

Fy

Fx

G

F

R

Fy

Fx G


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CAPTULO 4

1 ENUNCIADO DO PRINCPIO DA INRCIAO princpio da inrcia trata da tendncia natural do mo-

vimento e pode ser enunciado da seguinte forma:

Princpio da inrcia, enunciado 1: Se, num dadoinstante, um corpo est em repouso, ele tende a perma-necer em repouso.

Se, num dado instante, um corpo est em movimen-to, ele tende a permanecer em movimento retilneo coma mesma velocidade.

2 PRINCPIO DA INRCIA ENUNCIADO FORMAL importante tambm uma formulao matemtica do

princpio da inrcia. Para chegar a essa formulao, algu-mas consideraes so necessrias.

A primeira se refere tendncia natural do corpo, quedeve ser entendida como o comportamento que o corpoteria se nenhuma fora agisse sobre ele ou se a resultantedas foras que agem sobre ele fosse nula. Em resumo, atendncia natural de movimento ocorre quando R 0.

A outra considerao de que um corpo em repousoou em movimento retilneo uniforme tem velocidade veto-rial constante. A nica diferena que, no primeiro caso,ela nula, e, no segundo, no nula. Em resumo:

Princpio da inrcia, enunciado 2:R 0 V constante.

Esse o enunciado formal do princpio da inrcia, cujarelao deve ser lida do seguinte modo:

Se a resultante das foras que agem sobre o corpo nula, ento, a velocidade vetorial constante; recipro-camente, se a velocidade vetorial constante, ento, aresultante nula.

EquilbrioH palavras ou expresses da Fsica que exigem redo-

brada ateno em seu emprego, pelo fato de terem um sig-nificado diferente daquele empregado na linguagem usual.Uma dessas palavras equilbrio.

H dois tipos de equilbrio: esttico e dinmico. O equi-lbrio esttico sinnimo de repouso. O equilbrio dinmico sinnimo de movimento retilneo uniforme. Portanto, umcorpo em equilbrio pode estar em repouso ou em MRU.

Podemos, ento, enunciar o princpio da inrcia de ou-tra forma:

Princpios da inrcia efundamental

Princpio da inrcia, enunciado 3: Se a resultantedas foras que agem sobre o corpo nula, ele est emequilbrio, que pode ser esttico ou dinmico.

3 A MASSA COMO MEDIDA DA INRCIAA massa indica tambm a tendncia do corpo de manter

seu estado de movimento. Quanto maior a massa do corpo,maior a tendncia de ele se manter em repouso ou em mo-vimento retilneo uniforme. Pode-se, ento, dizer que:

A inrcia do corpo medida por sua massa.

A massa no se altera se o corpo levado de um localda Terra para outro ou transportado para a Lua, ou parauma regio do espao onde a gravidade seja nula.

Resumindo

A massa de um corpo uma caracterstica desse cor-po, no do local.

4

O PESO DIRETAMENTE PROPORCIONAL MASSAPodemos medir o peso P e massa m de diversos corpos

num dado local da Terra. O peso medido com um dina-mmetro, e a massa, com uma balana. Os resultados obti-dos permitem concluir que o quociente do peso pela massa uma constante que no depende nem de m nem de P.

X

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Medindo peso e massa na superfcie da Terra.

Poderamos repetir essa experincia em outros pontosdo universo. Veramos que o quociente do peso pela massacontinuaria sendo uma constante que depende apenas doponto escolhido. Essa constante denominadaintensidadedo campo gravitacional do ponto considerado.


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Para um ponto X qualquer.

P/m g (constante caracterstica do ponto X).

Logo: P m g

Peso a fora com que a Terra, ou ou-tro astro, atrai um corpo.

medido com dinammetro em equi-lbrio.

A unidade, no SI, o newton (N). uma caracterstica do corpo e tam-bm do local.

A intensidade do campo gravitacional(g) em um ponto qualquer a constan-te de proporcionalidade entre o pesode um corpo no ponto considerado e amassa.

Depende apenas do local.

Massa indica a quantidade de matriae a inrcia (que a tendncia de man-ter-se em repouso ou MRU).

medida em balana.

A unidade, no SI, o quilograma (kg).

uma caracterstica do corpo, no dolocal.

P mg

5 A RESULTANTE, A ACELERAOE O TIPO DE MOVIMENTO

O princpio da inrcia estabelece que, se a resultantedas foras que agem sobre um corpo nula, ele permaneceem repouso ou em movimento retilneo uniforme:

R 0 V constante

Negando uma das afirmaes, a outra negada. Por-tanto, qualquer outro tipo de movimento exige resultantediferente de zero:

R 0 V no constante

Nessa ltima relao fica estabelecido que resultantediferente de zero causa alterao da velocidade, seja umaumento, seja uma diminuio, seja uma mudana de dire-o. Por exemplo, um corpo que est em repouso s iniciao movimento se o sistema de foras que age sobre ele ad-mitir uma resultante no nula. Ou: um corpo em movimen-to s atinge o repouso se a resultante no nula. Um corpos faz curva se a resultante das foras que agem sobre ele diferente de zero.

6 RESULTANTE E ACELERAO TANGENCIAL:DIREO E SENTIDO

Incialmente, estudaremos apenas o movimento retil-neo. Vamos imaginar duas experincias, primeiro com umcorpo em movimento retilneo acelerado e, depois, comoutro em movimento retilneo retardado.

Na primeira, o corpo colocado inicialmente em re-pouso sobre uma superfcie plana horizontal, com a qualo atrito desprezvel. Aplicando a esse corpo uma forahorizontal para a direita, verificamos que ele adquire umMRA para a direita. A velocidade, a resultante e a acelera-o tangencial esto indicadas na figura a seguir.

R

a

V

A experincia e a representao esquemtica da resultante,da velocidade e da acelerao tangencial do corpo em MRA.


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de submeter diferentes corpos a resultantes de diferentesintensidades e verificar, em cada caso, a acelerao adqui-rida.

Realizando essas experincias e adotando uma unidadeconveniente de fora, podemos escrever que a intensidadeda resultante dada por R m a.

A unidade de fora no SIA unidade de fora SI o newton (N), definida com

a unidade de massa, que o quilograma (kg), e a deacelerao, que o m/s2, j definidos.

1 N a intensidade da resultante necessria para um

corpo de massa 1 kg adquirir uma acelerao de 1 m/s2.

8 EQUAO FUNDAMENTAL DA DINMICAPARA O MOVIMENTO RETILNEO

Tudo o que foi discutido at aqui pode ser resumido emduas afirmaes, que constituem o enunciado do princpiofundamental da Dinmica:

R m a (para o movimento retilneo). Em um movimento retilneo, a resultante e a acelerao

tangencial tm sempre mesma direo e mesmo sentido.Essas informaes podem ser reunidas em uma nica

expresso, chamada equao fundamental da Dinmicapara o movimento retilneo, que a expresso matemticado princpio fundamental da Dinmica:

R m a

(para o movimento retilneo)

Na segunda experincia, um corpo lanado em umasuperfcie plana horizontal com velocidade V0 para a direi-ta. Se o atrito entre o corpo e a superfcie no desprezvel,o corpo adquire MRR at parar. A velocidade, a resultantee a acelerao esto indicadas na figura a seguir.

V

a

R

A experincia e a representao esquemtica da resultante,da velocidade e da acelerao tangencial do corpo em MRR.

Analisando esses exemplos, bem como qualquer outromovimento retilneo, chegamos seguinte concluso:

Nos movimentos retilneos, a resultante e a acele-rao tangencial tm sempre mesma direo e mesmosentido.

7 RESULTANTE E ACELERAO: INTENSIDADESExperimentalmente, verifica-se que a intensidade da

resultante das foras que agem sobre um corpo em movi-mento retilneo igual ao produto m a.

Essa verificao experimental bastante simples deser imaginada, masmuito difcil de ser realizada. Teramos


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CAPTULO 5

1 INTERAESO princpio da ao-reao estabelece que, na natureza,

no h ao isolada de um corpo sobre outro, mas ao entrecorpos, a qual denominamos interao.

Sempre que necessrio, vamos empregar o smbolo

F (A/B)

que deve ser entendido como a fora que A exerce em B.O princpio da ao-reao resolve a seguinte questo:conhecendo-se a fora que A exerce em B, determina-se

a fora de B em A.

2 CONSIDERAES FSICASNa montagem da figura abaixo so colocados, prxi-

mos entre si, um m e uma pea de ferro, presos a umsuporte pelos fios 1 e 2. Se os corpos so abandonados dorepouso com os fios na vertical, observa-se que o sistemaevolui para uma nova situao, na qual os fios ficam in-clinados. A inclinao do fio 2 se deve ao magnticado m sobre o ferro; a inclinao do fio 1 se deve aomagntica do ferro sobre o m.

Fmag. (m/ferro)

Fio 2 Fio 1

Fmag. (ferro/m)

Conclui-se, ento, que, em uma interao magntica, seum m atrai o ferro, o ferro atrai o m, ou o ferro e o mse atraem. Experincia anloga, realizada com dois corposeletrizados positivamente, permite verificar que, se A repe-le B, ento B, repele A. A repulso entre eles mtua.

Feltr (B/A).

Feltr. (A/B)

Fio 2 Fio 1

Princpiosda ao e reaoe suas consequncias

Empurrando e puxando corpos, verificamos que, tam-bm nesses casos, as aes so mtuas. A concluso que,na natureza, no h aes isoladas. As aes aparecemsempre aos pares. Quem atrai atrado, quem repele re-pelido, quem puxa puxado e assim por diante.

T(X/Y)T(Y/X)

X Y

3 ENUNCIADO DO PRINCPIO DA AO-REAOAnalisando os exemplos de interao citados ou qual-

quer outra interao da natureza, observamos que a cadauma delas corresponde um par de foras de mesma direoe sentidos contrrios. Isaac Newton (1642-1727) formulou ahiptese, confirmada por inmeras experincias, de que asforas que constituem um par ao-reao apresentam amesma intensidade. Dessa forma, podemos enunciar:

Princpio da ao-reao: se um corpo (A) aplica

sobre outro (B) uma fora F (A/B), ento, B aplica sobre A

uma fora F (B/A) de mesma intensidade, mesma direo

e sentido contrrio. Em smbolos: F (A/B)F(B/A)

Observaes

Um par ao-reao corresponde sempre a um par decorpos, a uma nica interao. Se um corpo A age sobreoutro B, a reao no pode envolver um terceiro (C). Areao necessariamente de B em A. Quando dois cor-pos interagem, eles trocam foras.

As foras que constituem um par ao-reao esto apli-cadas a corpos diferentes. Portanto, embora apresentema mesma intensidade, a mesma direo e sentidos con-trrios, elas no se equilibram.

Como um par ao-reao corresponde sempre a umanica interao, as foras que o constituem so de mes-ma natureza. Se uma delas uma fora de trao, suareao tambm ser uma fora de trao.

As foras que constituem um par ao-reao apresen-tam a mesma intensidade, mas no necessariamente osmesmos efeitos, pois esto aplicadas a corpos diferentes.


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5 AS INTERAES DE UM FIOVamos estudar uma pessoa erguendo um corpo, mas

as concluses valem para dois corpos quaisquer, A e B, in-terligados por um fio. Desde que a massa e o peso do fiosejam desprezveis, e ele seja totalmente flexvel, esse fio considerado ideal.

Numa ponta, a mo e o fio trocam foras de intensida-

de T. Na outra, o fio e o corpo trocam foras de intensidadeT. Se o fio tem massa e peso desprezveis, no necessita defora para ser equilibrado nem para ser acelerado. O fioideal , portanto, um elemento de ligao entre os corpos,que apenas transmite a fora de trao, sem alterar sua in-tensidade, e, portanto,

T T

Simplificadamente, podemos dizer, a mo puxa o corpoe o corpo puxa a mo, pois o fio, sendo ideal, apenas trans-mite a fora, sem alterar a intensidade.

O corpo pendurado est sob a ao do peso e da trao.Valem aqui consideraes muito parecidas com aquelas re-

lativas a peso e normal:

Peso e trao no constituem par ao-reao,

pois correspondem a diferentes interaes e tm naturezasdiferentes.

A fora que age no fio a trao, no o peso.

Se o fio se romper, a causa a trao, e no o peso.

Peso e trao no tm, necessariamente, a mesmaintensidade.

Por exemplo, se o corpo A est acelerando para cima,T P.

T

T

P

TT

4 PESO E NORMALDuas foras agem num corpo apoiado em um plano

horizontal: o peso (P), que a fora gravitacional aplicadapela Terra sobre o corpo, e a normal (N ), que a fora apli-cada pelo apoio sobre o corpo, que impede a penetraodo corpo no apoio.

Se a Terra atrai o corpo, pelo princpio da ao-reao,o corpo atrai a Terra. Logo, a reao do peso est aplicadano centro da Terra. Se o apoio empurra o corpo, impedin-do a penetrao, o corpo empurra o apoio. Conclui-se quea reao da normal est aplicada no apoio.

Com relao s foras peso e normal, trs fatos so re-levantes. O primeiro que:

peso e normal no constituem par ao-reao,

pois correspondem a diferentes interaes e tm naturezasdiferentes.

O segundo fato que:

a fora que age no apoio a normal, no o peso.

Essa discusso importante porque

peso e normal no tm, necessariamente, a mesma in-tensidade.

Por exemplo, quando o corpo est sobre o piso de umelevador que acelera verticalmente, P N.

N

P

N

P


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CAPTULO 6Lanamentos prximos superfcie terrestre

te vlido para movimentos balsticos de at alguns quil-metros.

O nomemovimento balstico se origina do aparelho deguerra romano denominado balista, e projtil qualquertipo de objeto em movimento balstico.

O instante inicial do movimento balstico aquele emque o projtil deixa de interagir com o dispositivo de lan-amento; o instante, por exemplo, em que uma bala deixao cano da arma. Salvo meno em contrrio, este ser sem-pre considerado t 0.

1 MOVIMENTOS BALSTICOSTanto o movimento de uma bola lanada por um joga-

dor como o de uma flecha disparada por um arco ou o deuma pedra que sai de um estilingue ou, ainda, o de um pro-jtil disparado por um canho podem ser divididos em doistrechos: no primeiro, o objeto impulsionado pelo dispo-sitivo de lanamento; no segundo, o objeto j foi lanado,no h mais interao dele com o dispositivo de lanamen-to. O que se pretende estudar neste captulo apenas osegundo trecho do movimento, denominado movimentobalstico, no qual o corpo, por no interagir mais com odispositivo de lanamento, fica sob a ao exclusiva da gra-vidade, desde que se despreze a resistncia do ar.

2 CONSIDERAES GERAISH uma pequena diferena entre o campo gravitacional

de um ponto para o de outro na superfcie terrestre. Porexemplo, o campo gravitacional num ponto da cidade deSo Paulo aproximadamente 0,24% maior que o campogravitacional no pico do Everest. Neste captulo, vamosnos limitar aos casos em que se pode desprezar as varia-es do campo gravitacional, procedimento perfeitamen-

Aplicando-se a Equao fundamental da Dinmica para ummovimento balstico retilneo

De acordo com a equao fundamental da Dinmicapara o movimento retilneo:

R m|a|

Desprezando-se a resistncia do ar, a nica fora queage em um corpo em queda livre o peso:

R P

Logo: P m|a|

Mas sabemos que P diretamente proporcional mas-

sa e que a constante de proporcionalidade g:P mg

Logo: mg m|a|

Portanto, g |a|

Um corpo em queda livre ou em lanamento vertical, desprezando-se a resistncia do ar, adquire movimento retilneo uniformemente va-riado com acelerao em mdulo igual ao campo gravitacional local:a g constante.


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3 EQUACIONAMENTO DO MOVIMENTO DEQUEDA LIVRE

Orientaoda trajetria

a g

Origem

S

Posio do corpono instante t 0

Na queda livre, o corpo parte do repousoe, portanto,

V0 0

Adotando-se a origem no ponto onde o cor-po foi abandonado, o espao inicial nulo:

S0 0

A acelerao do movimento , em mdulo,igual a g.Orientando-se a trajetria para baixo, a ace-lerao ser positiva:

a g

Substituindo esses valores das constantes S0,V0 e a

nas equaes do MUV, obtemos as equaes da queda li-vre:

MUV Queda livre

S S0 V0t 12at2 S 12gt2

V V0 at V gt

V2 V20 2aS V2 2gS

Equacionamento do movimento delanamento vertical para cima

Posio do corpono instante t 0

Orientaoda trajetria

a g

Origem

S

Adotando-se a origem coincidente com aposio inicial do lanamento, o espao ini-cial nulo.

S0 0

Orientando-se a trajetria para cima, a ace-lerao negativa, pois tem o sentido con-trrio ao eixo.

a g

Substituindo esses valores das constantes S0, V0 e a

nas equaes do MUV, obtemos as equaes do lanamen-to vertical para cima:

MUV Lanamento vertical

S S0 V0t 12at2 S V0t 12gt2

V V0 at V V0 gt

V2 V20 2aS V2 V20 2gS


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4 LANAMENTO HORIZONTALA ideia estudar os lanamentos horizontais por seus movimentos parciais nas direes horizontal e vertical. A equa-

o fundamental da Dinmica pode ser aplicada a uma direo particular do movimento:

a resultante numadada direo massa aceleraonessa direo

Vamos, com base nessa ideia, aplicar a equao fundamental da Dinmica para a direo horizontal e para a direovertical e, a partir da, determinar a acelerao horizontal e a vertical do lanamento horizontal e do oblquo, desprezandoa resistncia do ar.

a resultante nadireo horizontalmassa acelerao nadireo horizontal a resultante nadireo verticalmassa acelerao nadireo vertical

0 m ax mg m |ay|

logo: ax 0 logo: |ay| g constante

MRU queda livre

O lanamento horizontal pode ser estudado como sendoa composio de um MRU horizontal com uma queda livre.

Na direo horizontal, a equao ho-rria do movimento segue a formageral

x x0 Vxt

Mas, na direo horizontal, Vx V0

Como a origem foi adotada no ponto

de lanamento:x

0 0

Portanto: x V0t

V0

y

x V0 t

Vx V0

Se, na direo vertical, o movimento uma queda livre, valem as expres-ses:

y 12gt2Vy gt

V0

yVy g t

y 12

g t2

Em resumo, a posio do corpo lanado horizontal-mente pode ser determinada por suas coordenadas x ey, as quais podem ser calculadas, em cada instante, pelasequaes

x V0t e y12

gt2.

A velocidade do corpo obtida por meio de suas com-ponentes horizontal Vxe vertical Vy, que valem

Vx V0 e Vy gt.

y

Vy g t

y 12

g t2

x V0 t

Vx V0


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CAPTULO 7Energia e suastransformaes

AcervoAnglo

Energia elstica.

4 ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONALUm corpo de massa m que est a uma altura h em re-

lao a uma superfcie plana horizontal, em um local emque o campo gravitacional tem uma intensidade g, temuma energia potencial gravitacional (pgrav) dada pela ex-presso:

pgrav mgh

m

h

Plano de referncia

Observe que a energia potencial gravitacional dependedo referencial adotado, podendo at ser negativa, caso ocorpo esteja abaixo desse referencial.

1 O QUE ENERGIA?No se define energia. O que podemos reconhecer em

que fenmenos ela est presente, determinar suas quanti-dades, descrever as diferentes formas existentes na natu-reza, entender as transformaes de uma forma para outrae as transferncias de um corpo para outro. Um modo dereconhecer se um corpo tem energia pela capacidade deproduzir movimento. Podemos dizer, ento, que um corpo(ou um conjunto de corpos) tem energia quando est emmovimento ou quando est em uma situao a partir daqual se pode obter movimento.

2 ENERGIA CINTICAQualquer corpo ou conjunto de corpos em movimento

tem energia, denominada energia cintica.A energia cintica (c) de um corpo de massa m que

est a uma velocidade V dada pela expresso:

c12

mV2

Tratando-se de um conjunto de corpos de massas m1,m2, ... mn que esto s velocidades V1, V2, ....Vn, a energiacintica do sistema de corpos vale:

(c)sist12 m1V21

12 m2V22 ...

12 mnV2n

3 ENERGIA POTENCIALUm tijolo a certa altura h em relao ao solo e uma fle-

cha em um arco deformado tm energia, pois podemos ob-ter movimento de tais situaes. Nesses dois casos, os cor-pos tm condies de adquirir movimento; ou, dizendo deoutra forma, esto em situaes potenciais de movimento.Portanto, a cada um dos casos podemos associar algumtipo de energia, que denominamos energia potencial.

No primeiro, a energia existe devido ao gravitacio-nal da Terra, est associada altura do tijolo em relao ao

solo e denominada energia potencial gravitacional. Nosegundo, a energia deve-se deformao do arco, est as-sociada posio da flecha em relao a este e denomi-nada energia potencial elstica.

h Energia potencialgravitacional


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7 UNIDADE DE ENERGIA NO SIPodemos chegar unidade de energia partindo de qual-

quer uma das expresses apresentadas.A mais simples, para essa finalidade, a expresso da

energia potencial gravitacional.

pgrav mgh

No SI, a unidade de m kg, de g m/s2 e de h m. Logo,a unidade de energia ser:

kg (m/s2) m

Mas kg m/s2 uma unidade de fora, o newton (N).Portanto, a unidade de energia no SI N m, que deno-minada joule (J). Em smbolos:

J (joule) N m

8 ENERGIA MECNICA

Define-se a energia mecnica como a soma da energiapotencial com a cintica. Em smbolos:

mec p c

AcervoAnglo

Barragem de uma hidreltrica

9 ENERGIA QUMICA E ENERGIA INTERNAOU TRMICA

Tanto uma bomba quanto uma panela de presso nofogo com a vlvula de segurana travada podem explodir.Por isso, dizemos que, tanto uma quanto outra tm ener-gia, pois esto em condies de produzir movimento, masas causas so diferentes. No interior da bomba, ocorreuma reao qumica produzindo substncias gasosas quepressionam o recipiente at seu rompimento. Associamos

5 ENERGIA POTENCIAL ELSTICAUm corpo de massa m est em repouso, preso a uma

mola e apoiado sobre um plano horizontal. Afastando-seo corpo da posio de equilbrio, a mola se deforma dex, como indicado na figura. Quando a mola se deforma,aplica sobre o corpo uma fora, denominada fora elsti-ca, que tende a levar o corpo novamente para a situaode equilbrio, sendo por isso denominada tambm forarestauradora. A experincia mostra que essa fora tem in-tensidade

Fels. kx

sendo k uma constante de proporcionalidade denominadaconstante elstica da mola.

possvel demonstrar que a energia potencial elsti-ca armazenada no sistema massa-mola nessas circunstn-cias

pels.12

kx2

O

x

Fels.

A

Energia potencial elstica.

6 ENERGIA POTENCIAL ELTRICAA experincia mostra que corpos eletrizados com car-

gas de mesmo sinal se repelem e eletrizados com cargasde sinais contrrios se atraem. Logo, assim com no caso deum corpo a certa altura ou encostado a uma mola deforma-da, cargas eltricas prximas esto em condies poten-cias de movimento. Podemos, ento, definir energia poten-cial eltrica. A dificuldade nesse caso que no existe umaexpresso matemtica nica, pois depende da distribuioparticular de cargas.

Energia potencial eltrica.


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(movimento). Na parte de baixo do reservatrio encontra-se uma turbina, cujas ps so movimentadas pela gua. Aturbina aciona o gerador eltrico, que transforma energiacintica em eltrica.

Esquematicamente, podemos resumir as transforma-es de energia que ocorrem em uma hidreltrica da se-guinte forma.

Energiaeltrica

Energiacintica

Energiapotencial

H algumas outras formas alternativas de transformarenergia. Os aquecedores solares transformam energia ra-diante solar em trmica. Eles so constitudos de diversasplacas pintadas de preto (que aumentam a absoro da luzsolar), por onde circula gua, em tubulaes metlicas. Aenergia das radiaes solares transformada em energiatrmica, que transferida gua.

11 A CONSERVAO DA ENERGIAA experincia mostra que a energia pode ser transfor-

mada de uma modalidade em outra ou transferida de umcorpo a outro, mas no pode ser criada nem destruda.

Por isso, quando consideramos todas as formas deenergia contidas em um sistema, sua quantidade total per-manece constante, desde que o sistema no ceda nem re-ceba energia do exterior. Esse o princpio da conservaoda energia, um dos fundamentos da cincia moderna, quepode tambm ser assim enunciado:

A energia total do Universo constante. Nos pro-cessos que ocorrem na natureza, a energia no diminuinem aumenta, podendo apenas ser transferida de umcorpo para outro ou transformada de uma forma emoutra.

Reservatrio

Palheta

Bico

Duto

Jato

Esquema de uma turbina.

a cada substncia que est no interior da bomba um tipode energia denominada energia qumica, que liberadanessas reaes. No caso da panela de presso, a energiadeve-se agitao das molculas e denominada energiatrmica ou energia interna.

Caldeira Turbina

Gerador

Viso muito esquemtica de uma termeltrica

AcervoAnglo

Emisso de gases e partculas de uma termeltrica

10 ALGUMAS FONTES DE ENERGIA ESUAS TRANSFORMAESA vida depende diretamente de energia, que capta-

da nas mais diferentes formas. Para uso direto de nossoorganismo, conseguimos obter energia pela digesto dosalimentos que ingerimos. Tambm precisamos de energiapara aquecimento, refrigerao, movimentao de vecu-los e mquinas, funcionamentos de aparelhos mdicos,computadores, geladeiras, televisores, telefones. Basica-

mente, nossa sociedade dependente de dois tipos deenergia: uma a energia qumica, armazenada no petr-leo, e a outra a energia eltrica, que no est disponveldiretamente na natureza.

No Brasil, a maior parte da energia eltrica provm dequedas-dgua. A transformao em energia eltrica ocor-re nas chamadas usinas hidreltricas.

Certa massa de gua, cujo nvel est a determinadaaltura, acumulada em grandes reservatrios (lagos), ar-mazenando energia, portanto, na forma de potencial gra-vitacional. Durante a queda das massas de gua, a energiapotencial gravitacional se transforma em energia cintica


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Da definio de potncia:

t

t

103W;

t (10 h/dia) (3600 s/h) (30 dias)

1,08 109J(energia consumida em 1 ms)

Se o consumo de energia de uma residncia da or-dem de bilhes de joules por ms, podemos imaginar qualseria o consumo de um bairro, de uma indstria, de uma

cidade.Por isso, julgou-se conveniente criar uma outra unida-de de energia, o kWh (leia quilowatt hora, no quilowattpor hora) definido como sendo a energia consumida ou re-cebida por uma mquina de 1 kW funcionando por 1 h:

1 kWh 1 kW 1 h

A energia consumida por aquela residncia em um msser:

1 kW;

t (10 h/dia) (30 dias)

300 kWh

(energia consumida em 1 ms)

4 RENDIMENTOQuando temos em vista o desempenho de determinada

tarefa, geralmente necessitamos empregar mais energiado que a requerida pela tarefa em si, por causa das perdas.A potncia que corresponde estrita realizao da tarefadesejada denomina-se potncia til ( u). A potncia noaproveitada denomina-se potncia dissipada ( d). Paraobtermos a realizao da tarefa proposta , ento, neces-sria uma potncia total ( t), que corresponde soma daspotncias til e dissipada.

Para qualquer dispositivo, chamamos de rendimen-

to () a relao entre a potncia til ( u) e a potncia to-tal ( t).

u

t

1 APRESENTAO DO PROBLEMADesde que James Watt (1736-1819) construiu uma m-

quina que transformava controladamente a energia trmi-ca em mecnica dando incio era da utilizao racionale em larga escala dos recursos energticos da natureza ,apareceu a necessidade de uma grandeza, a potncia, paradescrever as mquinas.

A ideia de potncia a taxa de fornecimento de ener-gia, podendo ser aplicada a uma lmpada, um aparelhode som, um motor, uma pessoa, um chuveiro ou qualquersistema em que haja transferncia ou transformao deenergia.

2 DEFINIO DE POTNCIA MDIAChamando de a energia transformada ou transfe-

rida no intervalo de tempo t, definimos potncia mdia( m) pela relao:

mt

Potncia unidadesNo Sistema Internacional, medido em joules (J),

e t, em segundos (s). Por isso, a potncia medida emjoules por segundo (J/s).

A unidade J/s foi denominada watt, em homenagem aJames Watt. O smbolo do watt W. Em smbolos:

J/s W (watt)

muito comum usarmos tambm a unidade quilowatt(kW), equivalente a mil watts.

kW 103W

3 kWhQual seria a energia consumida numa residncia em

um ms de 30 dias, supondo que nela haja diversos apare-lhos que somam uma potncia de 1000 W e que permane-am ligados, em mdia, 10 h por dia?

CAPTULO 8Potncia erendimento


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2 TRS PERGUNTASO fato de, em determinados movimentos, a energia

mecnica se manter constante se constitui em um mto-do bastante eficiente de relacionar a velocidade do corpocom sua posio. Mostramos que em uma queda livre semresistncia do ar isso acontece. Mas, para que o mtodoganhe relevncia, temos de responder a trs perguntas:

1-) A energia mecnica se mantm constante em qualquertipo de movimento?

2-) Se a resposta da questo anterior for afirmativa, timo.Se for negativa, temos de descobrir a condio ou as

condies para que a energia mecnica se mantenhaconstante.

3-) Se houver movimentos em que a energia mecnica va-ria, como calcular sua variao?

A resposta da primeira pergunta negativa

Para nos mantermos no estudo de corpos em queda,imagine um corpo descendo de paraquedas. Durante umgrande trecho de queda, a velocidade permanece quaseconstante. Portanto, eleno ganha energia cintica me-dida que perde potencial, sua energia mecnica diminui.

V aproximadamenteconstante

1 A ENERGIA MECNICA EM UMAQUEDA LIVRE

Durante uma queda livre sem resistncia do ar, o corpoganha velocidade medida que perde altura. Em termosde energia, ele ganha energia cintica, enquanto perdepotencial. fcil verificar que, nessas condies, a ener-gia mecnica, que a soma da potencial com a cintica, semantm constante.

Supondo que o corpo de massa m seja abandonado dorepouso de um ponto de altura h0, a energia mecnicainicial :

(mec) inicial mgh0 0 mgh0

Quando atinge a altura h, a energia mecnica ser:

(mec) na altura h mgh12

mv2

Mas V2 2gS 2g(h0 h)

Logo:

(mec) na altura h mgh 12

m 2g(h0 h)

(mec) na altura h mgh0 (mec) inicial

h0 V

h

S

CAPTULO 9A energia como mtodode resoluo deproblemas de dinmica


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IV) Corpo apoiado em plano horizontal sem atrito, sendoimpulsionado por uma fora (F) aplicada por uma pes-soa.

Peso (fora gravitacional): conservativa

Fora F, Normal:no conservativas

P

N F

A ao de foras no conservativas evariao de energia mecnica

Analisando os exemplos apresentados ou qualquer ou-tro movimento que desejarmos, somos levados a concluirque:

Uma fora, seja ela conservativa ou no conservativa,ajuda o movimento quando tem a mesma direo e sen-tido do movimento (ou quando tem uma componente nadireo e sentido do movimento).

Quando uma fora conservativa ajuda o movimento, hum aumento de energia cintica, acompanhado de umacorrespondente diminuio de energia potencial, de ma-neira a manter constante a energia mecnica . Exemplo:queda livre sem resistncia do ar.

Quando uma forano conservativa ajuda o movimento,h um aumento de energia cintica sem a corresponden-te diminuio de energia potencial. Em consequncia, aao de uma fora no conservativa a favor do movimen-to causa um aumento de energia mecnica. Exemplo:pessoa puxando um carrinho de modo a aumentar suavelocidade.

Uma fora, seja ela conservativa ou no conservativa,atrapalha o movimento quando tem a mesma direoe sentido contrrio ao movimento (ou quando tem umacomponente na mesma direo e sentido contrrio aomovimento).

Quando uma fora conservativa atrapalha o movimento,h uma diminuio de energia cintica, acompanhadado correspondente aumento de energia potencial, demaneira a manter constante a energia mecnica. Exem-plo: um corpo subindo uma rampa.

Quando uma fora no conservativa atrapalha o movi-mento, h uma diminuio de energia cintica sem ocorrespondente aumento de energia potencial. Em con-sequncia, a ao de uma fora no conservativa contrao movimento causa uma diminuio de energia mecni-ca. Exemplo: o atrito agindo em um corpo que desliza emum plano horizontal at parar.

3 FORAS CONSERVATIVAS ENO CONSERVATIVASAntes de responder s outras questes, vamos lembrar

que cada tipo de energia potencial est associado a um tipoparticular de fora. A energia potencial gravitacional estassociada fora gravitacional; a energia potencial els-

tica, fora elstica; a energia potencial eltrica, foraeltrica.

Nomenclatura

As foras associadas energia potencial gravita-cional, elstica e eltrica so chamadas conservativas.Todas as outras so denominadasno conservativas.

Acompanhe os exemplos:

I) Paraquedista descendo com velocidadeconstante.


Resistncia do ar:no conservativa

Far

P

II) Corpo apoiado em um plano horizontal sem atrito, sen-do impulsionado por uma mola.


Fora elstica: conservativa

Normal:no conservativa

Fels.

P

N

III) Corpo descendo um plano inclinado com atrito.

Peso (fora gravitacional): conservativaNormal e atrito:no conservativas

P

NA


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Umafora no conservativa na mesma direo e sentido do movimento (ou quandotem uma componente na direo e no sentido do movimento) causa um aumento naenergia mecnica.

Umafora no conservativa na mesma direo e sentido contrrio ao movimento(ou quando tem uma componente na mesma direo e sentido contrrio ao movimento)

causa uma diminuio na energia mecnica.

4 UMA VISO ESQUEMTICA DA AO DAS FORAS E OS EFEITOS SOBRE A ENERGIA MECNICAA tabela e as figuras mostram os diferentes efeitos das foras da natureza sobre as modalidades de energia cintica,

potencial e mecnica.

Se agemsomente as

foras

Em relao aomovimento,essas foras

Se a fora Ecin Epot Emec

F ou G ajudam conservativa aumenta diminui constante

F ou G ajudam noconservativa

aumenta no se altera aumenta

H ou K atrapalham conservativa diminui aumenta constante

H ou K atrapalhamno

conservativadiminui no se altera diminui

Vnem ajudam

nem atrapalhamconservativa constante constante constante

Vnem ajudam

nem atrapalhamno

conservativaconstante constante constante

G

F

Gx d

d

H

K

d

d

Kx

V

d

O DesafioO desafio criar uma grandeza com as seguintes caractersticas:

Indicar se a fora ajuda ou atrapalha o movimento ao longo de um deslocamento.

Levar em conta apenas a componente da fora na direo do deslocamento.

Se a fora no conservativa, essa grandeza deve medir a variao de energia mecnica.


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= F cos

F

xF

c) Como vimos, a ao de uma fora que age sobre umcorpo ao longo de um deslocamento tem como resul-tado uma variao de energia. possvel demonstrarmatematicamente o teorema, como segue.

6 TEOREMA DA ENERGIA MECNICA

O trabalho das foras no conservativas (Fno cons.)atuantes sobre um corpo igual variao da energia me-

cnica do corpo. Em smbolos:

Fno cons.mec.

7 SISTEMA CONSERVATIVONo caso particular em que o trabalho das foras no

conservativas nulo, a diferena de energias mecnicas nula e, portanto, a energia mecnica constante. O sistema chamado conservativo. Em smbolos:

sistema conservativoFno cons. 0

Fno cons. 0 mec. constante

Observe que os itens 6 e 7 respondem s perguntas 2 e3, formuladas no item 2.

5 TRABALHO DE UMA FORA CONSTANTE EMUM DESLOCAMENTO RETILNEO: DEFINIO

Considere um corpo que sofre um deslocamento d, su-jeito ao de uma fora constante F, que forma com odeslocamento um ngulo . Define-se trabalho da fora F,no deslocamento d, pela expresso:

F F d cos

Posioinicial

Posiofinal

d

F

A unidade de trabalho no Sistema Internacional (SI) produto da unidade de fora (newton) pela unidade de dis-tncia (metro), que a mesma de energia (J).

Observaes

a) Quando 90, cos 0, o trabalho positivo; a foraajuda o movimento.

Quando 90 180, cos 0, o trabalho negativo,a fora atrapalha o movimento.

Quando 90, cos 0, o trabalho nulo. A fora noajuda nem atrapalha o movimento.

b) imediato verificar que Fcos , em mdulo, a inten-

sidade da componente da fora na direo do desloca-mento.


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3 EQUAO FUNDAMENTAL DA DINMICAPARA VALORES MDIOSVamos tomar como exemplo uma bola sendo chutada

e supor que a velocidade da bola seja V, antes do chute, eV, ao fim do chute. Como no sabemos se a fora exercidapelo jogador constante ou varivel, no podemos deter-minar o tipo de movimento da bola nesse intervalo.

Podemos aplicar a equao fundamen-tal da Dinmica para valores mdios.Sendo Rm a resultante mdia e am a

acelerao mdia, ento:

Rm m am

Como amVt

:

Rm mVt

Mas mV Q. Logo: RmQt

No caso de haver mudana na direodo movimento, precisamos escrever amesma equao na forma vetorial. As-sim procedendo, obtemos a equaofundamental da Dinmica para valores

mdios:

RmQt

V Rm

V'

Garoto chutando a bola.

1 INTRODUOA teoria da dinmica impulsiva foi criada para os casos

nos quais se deseja relacionar uma interao ocorrida numintervalo de tempo bem determinado com a variao develocidade.

O problema pode ser enunciado da seguinte forma: umcorpo de massa m est a uma velocidade V. Um sistemade foras age em um determinado intervalo de tempo t,causando uma alterao na velocidade, que passa a ser V.A questo relacionar o intervalo de tempo, a variao develocidade, a massa e o sistema de foras.

2 QUANTIDADE DE MOVIMENTOPara resolver as situaes mencionadas, julgou-se con-

veniente criar uma nova grandeza, denominada quanti-dade de movimento, que leva em conta tanto a massa docorpo quanto sua velocidade.

Se um corpo de massa m est a uma velocidade V, numdeterminado instante t, define-se quantidade de movimen-to (Q) no instante considerado como sendo a grandeza ve-torial:

Q mV

A unidade de quantidade de movimento uma unidadede massa multiplicada por uma unidade de velocidade. NoSistema Internacional: kg m/s.

Como a quantidade de movimento definida pelo pro-duto de uma grandeza vetorial (V) por uma escalar positiva(m), ela apresenta as seguintes caractersticas:

Q mV

Intensidade: Q mV

Direo: a mesma de V

Sentido: o mesmo de V

CAPTULO 10Equao fundamentalda dinmica paravalores mdios


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Apoio

Terra

Corpos no pertencentes ao sistema que aplicam forasnos corpos do sistema

Essas foras podem ser classificadas de acordo com oseguinte critrio.

Uma fora denominada interna quando trocadaentre corpos pertencentes ao sistema.

Uma fora denominada externa quando trocadaentre um corpo que pertence ao sistema e outro que nopertence.

Considerando-se o sistema constitudo pelos corpos Ae B, as foras Felst. e Felst. so internas, pois so aesmtuas, transmitidas pela mola, entre os corpos A e B. Asoutras todas so externas, pois a Terra e o apoio no per-tencem ao sistema.

3 QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UMSISTEMA DE CORPOSA quantidade de movimento de um sistema de corpos

a soma vetorial das quantidades de movimento dos cor-pos que o constituem. Considere o conjunto de avies dafigura, de massas m1, m2 e m3, movimentando-se a veloci-dades V1 V2 V3. Nesse sistema, a quantidade de mo-vimento vale:

Qsist. Q1 Q2 Q3 m1V1 m2V2 m3V3

Q2=m

2V2

1Q

=m1V1

Q 3

3 = m3V

Q3

Q1

Q2

Qsist.

Quantidade de movimento de um sistema constitudo por trsavies.

1 SISTEMA DE CORPOSNa Fsica, a palavra sistema comumente empregada

como sinnimo de conjunto. Um sistema de foras umconjunto de foras. Para estudar as influncias mtuas, que a finalidade deste captulo, vamos considerar um conjun-to de corpos que denominamos sistema de corpos inte-ragindo.

De modo geral, no interessam sistemas em que oscorpos apresentam massas muito diferentes, pois, nessescasos, a influncia no mtua. Se uma locomotiva choca-se com uma mosca, podemos nos interessar pela alteraode movimento da mosca, mas no da locomotiva.

Em alguns dos exemplos da figura a seguir, h elemen-tos transmissores de fora entre os corpos. Num deles amola e, no caso da exploso, so os gases resultantes daexploso. Em todos eles, o elemento transmissor de foradeve pertencer ao sistema.

A B

Elementos transmissores de fora.

2 FORAS INTERNAS E FORAS EXTERNASNas figuras a seguir esto indicadas, desprezando-se

eventuais atritos, as foras que agem nos corpos presos auma mola inicialmente comprimida.

NA

NB

Felst.

Felst.

PA

PB

A B

Sistema constitudo pelos corpos A e B

CAPTULO 11Sistemasisolados


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4 SISTEMA ISOLADOVamos imaginar um astronauta segurando um objeto. Vamos supor que a distncia entre o astronauta e qualquer as-

tro seja suficientemente grande para que se possa desprezar no s a atrao gravitacional, mas tambm qualquer outrafora externa ao sistema homem objeto.

AcervoAnglo

F

Um astronauta est em um ponto suficientemen-te distante de qualquer astro para poder despre-zar tanto a atrao gravitacional quanto qualqueroutra fora externa ao sistema constitudo por elee pelo objeto.

Se o homem empurra o objeto com uma fora F, o objeto empurra o homem com fora F. Essas foras so internas

ao sistema. Vamos aplicar a equao RmQt

tanto para o homem como para o objeto.

Como a fora que age no objeto F, ento, R F. Logo, para o objeto: F Qobj.

t

Analogamente, para o homem: F Qhom.

t

Somando essas duas expresses e cancelando t, obtemos: 0 Qhom.

Qobj.

Porm: Qhom.Qobj.Qsist.

Logo: 0 Qsist.

Se no h variao de quantidade de movimento do sistema, porque ela constante: Qsist. constante

Conclui-se que, no havendo influncias externas, como no sistema constitudo pelo astronauta e pelo objeto, a quan-tidade de movimento do sistema permanece constante.

Mesmo havendo foras externas, a quantidade de movimento pode permanecer constante, desde que a soma dasforas externas seja nula. Quando isso acontece, o sistema denominado isolado.

Podemos, ento, enunciar o teorema dos sistemas isolados:

Sistema isoladoFext. 0 Qsist. constante

Ou:

A quantidade de movimento de um sistema isolado constante.

Ou:

Foras internas no alteram a quantidade de movimento do sistema.


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AcervoAnglo

F1

F2

F3

F4F5

F

F

F

F

1 A MATRIA E SEUS ESTADOSDE AGREGAO

Um corpo est no estado slido, quando tem forma evolume definidos. Est no estadolquido, quando tem volu-me definido, mas toma a forma do recipiente que o contm.Est no estado gasoso, quando tem a forma e o volume dorecipiente que o contm. Fluido o nome genrico paralquidos ou gases.

2 FORAS TROCADAS E TRANSMITIDAS

PELOS FLUIDOSExperimentalmente, verificamos que lquidos no trans-

mitem fora de trao. Por exemplo, no podemos puxarum corpo utilizando uma corda lquida. Tambm experi-mentalmente, verificamos que lquidos em equilbrio notrocam foras de atrito. Mas os lquidos transmitem forasnormais.

Imagine um lquido qualquer no interior de um siste-ma constitudo por diferentes seringas interligadas pormangueiras. Comprimindo um dos mbolos, notamos quetodos os outros se movimentam. Como calcular o desloca-mento de cada mbolo no importa no momento. Nossointeresse est em destacar dois fatos.

Quando o mbolo da seringa 1 acionado, ele empurrao lquido, que, por sua vez, empurra os demais mbolos, oque permite concluir que:

lquidos em equilbrio s trocam foras normais.

A movimentao de todos os mbolos sugere que:

a transmisso da fora nos lquidos se d em todas asdirees e sentidos.

Essa experincia evidencia uma grande diferena entre

slidos e lquidos, pois a transmisso de foras nos slidosno se d em todas as direes.

CAPTULO 12Generalidades

AcervoAnglo

AcervoAnglo


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3 DENSIDADE E MASSA ESPECFICA

A densidade de um corpo (slido, lquido ou gasoso) definida como a razo entre sua massa e seu volume.A densidade uma propriedade do corpo: divide-se a massa do corpo pelo volume, incluindo seus espaos vazios. Por

exemplo: a densidade de um navio a diviso da massa total do navio (que inclui a massa de todos os materiais utilizadosem sua construo: ao, madeira, cobre, etc.) pelo seu volume total (que inclui o volume das partes vazias: salas, pores,cabinas, etc.).

Densidade do corpoMassa do corpo

Volume do corpo

No caso de uma substncia, sua densidade, que nesse caso tambm chamada de massa especfica, a diviso entrea massa da substncia pelo volume ocupado pela substncia. Por exemplo: a densidade (ou massa especfica) do ao quecompe o navio a diviso entre a massa do ao utilizado no navio pelo volume ocupado somente pelo ao.

No caso de um lquido, densidade ou massa especfica so conceitos idnticos.

Densidade ou massa especfica de uma substncia

Massa da substncia

Volume da substncia

A unidade de densidade (ou de massa especfica) no SI kg/m3. H, entretanto, outras unidades que so bastanteutilizadas: g/cm3 ou kg/L. Na tabela que segue h algumas relaes importantes entre as unidades de massa, volume edensidade.

Unidades

massa: 1 kg 1000 g 103g 1 g 103kg

comprimento: 1 m 100 cm 102cm 1 cm 102m

volume: 1 m3 (102cm)3 106cm3 1 cm3 106m3

volume: 1 L 1000 cm3 103cm3 1 cm3 103L

densidade:1 kg

m3

103g

106

cm310

3g

cm3

1 g

cm3

103kg

m3

densidade:1 kg

L

103g

103cm3

1 g

cm3

densidade da gua:1 g

cm3

1 kg

L

103kg

m3


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5 PRESSO ATMOSFRICANossa atmosfera possui massa que no desprezvel

e, como qualquer outro corpo, atrado pelo nosso pla-neta. Podemos, ento, falar que o ar tem peso.

Suponha uma poro de ar, ou de outro gs qualquer,em equilbrio, no interior de um cilindro, ao qual est adap-tado um mbolo de peso P e rea A. Se estiver no vcuo,o mbolo fica submetido exclusivamente a duas foras: opeso do mbolo (P ) e a normal (N) exercida pelo gs nasuperfcie inferior do mbolo. Se o mbolo est em equil-brio: N P.

Mas a presso que o gs exerce no mbolo dada por

p NA

. Das expresses, vem pP

A.

Portanto, a presso do ar pode ser calculada pelo quo-ciente do peso do mbolo pel

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ROTEIRO Fisica Anglo 2010