UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABCEN 2809 – TÓPICOS COMPUTACIONAIS EM MATERIAIS ­ LABORATÓRIO

MÉTODO DE MONTE CARLO

INTRODUÇÃO

Materiais   ferromagnéticos   são   materiais   onde   os   momentos   dos   átomos   magnéticos   alinham­seespontaneamente  em uma mesma direção  dando  origem a  um campo  magnético  macroscópico.  Estapolarização espontânea ocorre em temperaturas inferiores à uma temperatura crítica chamada temperaturade Curie. Acima desta temperatura os momentos magnéticos dos átomos apresentam orientação aleatória eportanto não existe um campo magnético macroscópico (estado paramagnético). O modelo de Ising é ummodelo muito utilizado para o estudo da transição entre o estado ferromagnético e paramagnético.

No modelo de Ising o sistema é representado como uma matriz de N pontos fixos e a cada um destespontos é associado uma variável , conhecida como variável de spin, que pode assumir os valores +1 ou ­1.Quando i assume o valor +1 dizemos que o spin na posição i está orientado para cima (“spin up”) e se i=­1 dizemos o spin na posição i está orientado para baixo (“spin down”). Um conjunto de valores {i} defineuma configuração do sistema. A energia do sistema na configuração {i} é dada por [1]:

E { ij}=−J∑⟨ ij⟩

i j−H∑i=1

N

i

Onde J é a energia de interação entre  spins, H é a intensidade do campo magnético externo. O primeirosomatório da equação acima é realizado sobre pares de spins vizinhos. Considerando uma rede quadradapodemos escrever:

E { ij}=−J12

Nz∑⟨ij⟩

i j−H∑i=1

N

i

onde z é o número de vizinhos próximos. Para o caso de uma rede quadrada em 2 dimensões temos z=4 ena ausência de campo magnético externo obtemos:

E { ij}=−2JN∑⟨ij⟩

i j

Dada sua simplicidade este modelo tem sido utilizado no estudo da transição ferro­paramagnética e tambémem outras aplicações onde as variáveis assumem dois valores (como por exemplo na ordenação de ligasmetálicas). A solução deste modelo em uma dimensão foi obtida por Ising em sua tese de doutorado (1925)e a solução analítica para o caso bidimensional por Lars Onsager [3] em 1944. Não existe solução analíticaconhecida para o  este  modelo  em três dimensões.  Assim o estudo do modelo  de  Ising baseia­se emmétodos numéricos para a sua análise e dentre estes métodos o Método de Monte Carlo é particularmenteútil.

O objetivo desta aula é estudar a transição ferromagnética – paramagnética de uma rede bi­dimensional nomodelo de Ising por meio do método de Monte Carlo com o algorítimo de Metropolis.

INSTRUÇÕES PARA EXECUTAR AS ROTINAS

Para a simulação do modelo de Ising serão utilizadas rotinas SCILAB apresentadas na referência [2]. Oarquivo inicia.sci contém as variáveis de entrada da simulação:

• T0: Quando T0 = 0 a condição inicial do sistema é o estado ordenado (todos os spins com a mesmaorientação) e para T0  0 o estado inicial é desordenado (spins aleatórios).

• T: temperatura do sistema

• H: intensidade do campo magnético externo (nesta atividade H=0)

• p: número de passos de Monte Carlo

• b: parâmetro  = 1/k T com k = 1 (k é a constante de Boltzmann)

Quando a rotina ising.sci é executada uma matriz com L x N pontos é criada (com spins ordenados oualeatórios dependendo da escolha do parâmetro T0) e são apresentados os gráficos da “microestrutura”inicial   e   a   microestrutura   após   “p”   passos  do  algorítimo.   Também  será   mostrado  na   tela  a   curva   demagnetização por spin  em função do número de passos do algorítimo. A  magnetização por spin,  m, édada por:

m=M

L×N=

∑i=1

L×N

i

L×N

onde M é a magnetização:

M=∑i=1

L×N

i

Ao fim dos “p” passos será apresentado na tela a média temporal de “m” e também o calor específico médio(no tempo). O programa então pergunta se é necessário continuar com a simulação e pede para que ousuário   forneça   o   novo   número   de   passos.   A   simulação   continua   e   os   gráficos   de   microestrutura   emagnetização são atualizados. Para encerrar  a simulação basta  pressionar  <enter>  sem fornecer umnúmero de passos ou fornecer como número de passos o valor zero.

ATIVIDADES

1. Execute a rotina  ising.sci  a partir de um estado  ordenado  (T0 = 0) a baixa temperatura (porvolta de 1.0) e escolha inicialmente p = 10 (número de passos do algorítimo). Os parâmetros desimulação devem ser alterados diretamente no arquivo  inicia.sci.  Compare a microestruturainicial  com a  microestrutura  obtida  após  a  execução de  10  passos  do algorítimo.  Forneça umnúmero   maior   de   passos   e   continue   a   simulação.   Observe   o   comportamento   do   gráficomagnetização   por   spin   x  número   de  passos  gerado  na   simulação  e   também  a microestruturaresultante  e  ainda  os  valores  de  energia   interna  e  calor  específico  (ATENÇÃO:  os  valoresfornecidos para estas variáveis não serão gravados pelo programa e devem ser anotados).Discuta os resultados obtidos.

2. Repita a atividade anterior para temperaturas maiores (entre 1.0 e 4.0) utilizando o mesmo tamanhodo sistema . Discuta o comportamento do sistema com a elevação de temperatura. Trace os gráficode magnetização por spin médio (no tempo) em função da temperatura e calor específico médio (notempo). Discuta os resultados obtidos.

3. Repita as atividades anteriores  iniciando agora a partir de um estado  desordenado  (T0    0) etemperatura alta. Execute as simulações diminuindo o valor de temperatura e discuta os resultadosobtidos.

4. Qual a temperatura de transição crítica para este sistema? Compare o valor de temperatura detransição que você calculou com o valores encontrados na literatura.

5. Verifique   se   há   alguma   histerese   nas   temperaturas   de   transição   medidas   a   partir   do   estadoordenado e a partir do estado desordenado.

6. Qual o efeito da variação do tamanho do sistema nos resultados?

REFERÊNCIAS

1. Huang, K. Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, 1987.2. Scherer,   C.  Métodos   Computacionais  da  Física,  Editora   Livraria  da  Física   (versão  SciLab),   2ª

edição, 2010.3. Onsager,   L.   Crystal   Statistics.   I.   A   Two­Dimensional   Model   with   an   Order­Disorder   Transition,

Physical Review, vol. 65, pag. 117–149 (1944).