Simbolização

Edgar Dias

Nuno Santos

Sílvia Dias

3 de Junho de 2006

Didáctica da Álgebra

Prof. Dr. João Pedro da Ponte

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

Representações

Internas

Externas

Estruturas mentais humanas destinadas a codificar, armazenar, recolher ou transformar informação

Artefactos humanos criados para pensar ou transmitir informação relacionada com um contexto distinto desses artefactos.

(Izsák, 2003)

(Izsák, 2003)

Podem ser mais ou menos icónicas

(Janvier, Girardon, & Morand, 1993, p.82)

Não icónico simbólico

“A maioria das representações matemáticas dão não icónicas”

Relação entre os dois tipos de representaçõesHomonimia Sinonimia (translacção)

Rep. Ext.Rep. Int. 1

Rep. Int. 22xRep. Int.

Rep. Ext. 1

Rep. Ext. 2Função x2

y=x2

f(x)=x2

Simbolização n.º2

Definição

SímboloSão entidades que representam ou tomam o lugar de qualquer coisa diferente. (…) podem assumir uma variedade de formas, desde objectos concretos a marcas escritas no papel.

(Hiebert, 1988)

Copiável

Não copiável

Pode ser produzido por pessoas diferentes em diferentes ocasiões sem perder a sua identidade.

Perde a sua identidade com pequenas alterações nas suas características físicas.

(Goodman, 1968 em Hiebert, 1988)

(Goodman, 1968 em Hiebert, 1988)

Re-presentação é uma das funções dos símbolos copiáveis.

Simbolização n.º3

Sentido de Símbolo

Componentes mais importantes:

Fazer amizade com os símbolos;

Capacidade de manipular e de “ler através” de expressões simbólicas;

Consciência de que os símbolos podem representar relações simbólicas que expressam uma determinada informação;

Capacidade de seleccionar uma possível representação simbólica;

Consciência da necessidade de rever os significados dos símbolos durante uma actividade;

Consciência de que os símbolos podem desempenhar papeis distintos, variando de acordo com o contexto.

Simbolização n.º4

Sentido de Símbolo

A caracterização da ideia não está completamente desenvolvida.

Como se desenvolve nas crianças o sentido dos símbolos?

Não é apenas cognitivo.

Está fortemente ligado à cultura de sala de aula;

Torná-los objecto de discussão na aula;

Estimular a expressão de percepções subjectivas acerca dos símbolos;

Respeitar e estimular ideias parcialmente desenvolvidas;

O que podemos fazer?

Acções desprovidas de significado

Aplicação do sentido comum em busca de significados

Simbolização n.º5

Nem sempre nos preocuparmos em obter a resposta certa;

Ser competente em álgebra escolar consiste em...

Ter paciência intelectual.

Desenvolvimento de competências

Teorias para...

Simbolização n.º6

Hiebert (1988)

Considerações cognitivas (sem descurar o aspecto emotivo)

Sucessão sequencial de 5 processos cognitivos:

1 – Conexão entre os símbolos individuais e seus referentes

2 – Desenvolvimento de procedimentos de manipulação simbólica

3 – Elaboração de procedimentos para símbolos

4 – Mecanização de procedimentos para manipulação simbólica

5 – Uso de símbolos e regras como referentes para construir sistemas simbólicos mais abstractos

Mason (1980) – Esquema de Mason

Doyle (1988) – Ênfase no tipo de tarefas propostas aos alunos

Exemplo de um Estudo“We Want a Statement That Is Always True”: Criteria for Good Algebraic Representations and the Development of Modeling Knowledge

Izsák, 2003

Questão do estudo

Como é que os alunos constroem as suas próprias soluções para modelar problemas sem apoio directo de elementos mais experientes?

(Izsák, 2003)

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º7

Desenvolvimento do conhecimento para Modelação algébrica

Modelação Matemática:(a) Examinar vários atributos de um contexto matemático, físico

ou social particular;

(b) Relacionar um subconjuntos destes atributos através de operações aritméticas, funções, ou outras estruturas matemáticas;

(c) Usar as representações resultantes para resolver problemas.

Enquadramento teórico que emergiu do trabalho dos alunos com o winch Avaliar

Representações

Construir Representações

Usar Representações

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º8

Metodologia

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º9

12 pares de alunos do 8º ano de uma escola da área da Baía de S Francisco

Participantes

1º verbalizar de forma clara e pormenorizada os raciocínios que realizavam e cada momento e à medida que iam progredindo

2º Construir novo conhecimento de modelação durante as primeiras entrevistas

3º Voltar a usar o novo conhecimento construído nas entrevistas seguintes

Estudo de Caso da Amy e da Kate

Instrumentos de recolha de dadosEntrevistas video-gravadas (1 vez por semana durante 4 a 5 semanas)

3 tipos de tarefas:

-Prever a distância vertical entre os dois pesos após um determinado número de voltas;

-Determinar, se possível, o momento em que:

- a altura de um peso é o dobro da altura do outro;

-os dois pesos estão à mesma altura.

Análise do Trabalho da Amy e da Kate

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º10

Fase I – Construção das representações algébricas para as alturas de cada peso e para as distâncias verticais entre os dois pesos;

Fase II – Dificuldades iniciais no uso de representações algébricas para determinar quando é que a altura de um peso seria o dobro da altura do outro;

Fase III – Previsão do momento em que os dois pesos se encontram à mesma altura com confirmação dessas previsões substituindo valores nas equações;

Fase IV – Aperfeiçoamento e reorganização do conhecimento da Kate para construir, usar e avaliar representações que lhe permitissem resolver equações para determinar o momento de determinado acontecimento.

Divisão em 4 fases (cronológicas)

Questão 4: Suponham, outra vez, que têm uma winch com 100-inch de altura. Será que um dos pesos alguma vez se encontrará ao dobro da altura do outro? Se sim, quando?

Análise do Trabalho da Amy e da Kate

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º11

Fase IVAvaliar Representações

Sempre verdadeiro (Amy)

Equações únicas (Amy/ Kate)Construir

Representações

Altura menor é igual à distância vertical dos

dois pesos (Amy/ Kate)

Usar Representações

Não usaram

Avaliar Representações

Equações únicas (Kate)

Construir Representações

Altura menor é igual à distância vertical

dos dois pesos (Kate)

Usar Representações

Resolvido para n (Kate)

Considerações Finais

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º12

A Kate e a Amy aprenderam a:

-distinguir equações que são verdadeiras para qualquer valor atribuído à variável independente de equações que restringem a variável independente a um valor único;

-Resolver este último tipo de equações para determinar quando é que ocorre uma determinada situação ocorre no modelo físico.

Desta análise emergem dois resultados:

-Os alunos têm e podem usar critérios para avaliar representações algébricas;

-Desenvolvimento de um quadro teórico que explica como os alunos podem desenvolver o conhecimento de modelação através da coordenação destes critérios com o conhecimento para construir e usar representações algébricas.

Considerações Finais

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º13

Implicações para outros estudos:

Desenvolvimento de tarefas e materiais que apoiem discussões em que os conhecimentos de modelação possam ser mais visíveis para investigadores, professores e alunos

Implicações pedagógicas:

Importância das discussões gerais, na sala de aula, sobre as relações existentes entre as representações e os contextos modelados e o uso de representações para atingir os objectivos da resolução de problemas;

Referências Bibliográficas

Simbolização n.º14

Arcavi, A.(1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3), 24-35.

Arcavi, A.(2005). El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos, Actas de Caminha.

Hiebert, J.(1988). A theory of developing competence with written mathematical symbols. Educational Studies in Mathematics, 19, 333-355.

Izsák, A.(2003). “We want a statement that is always true”: Criteria for good algebraic representations and the development of modelling knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 34(3), 191-227.

Janvier, C., Girardon, C., & Morand, J.-C.(1993). Mathematical symbols and representations. In P.S. Wilson (ED.), Research ideas for the classroom: High school mathematics (pp. 79-102). Reston: NCTM.