SAPATA 24 04 2013

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Engenharia de Estruturas .

Turma: 2013/1

Disciplina: Fundações

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TENSÕES DE CONTATO EM FUNDAÇÕES

SUPERFICIAIS-SAPATA

DISCIPLINA: FUNDAÇÕES

Agradecimentos

• O material didático apresentado a seguir apenas foi possível

graças ao apoio dos Professores Élvio Mosci Piancastelli e José

Ernani da Silva Silveira, ambos profissionais renomados na

Engenharia Geotécnica Nacional.

• Os slides que seguem são adaptações das notas de aulas:

- Curso de Estruturas de Fundação

- Fundações Superficiais

- Fundações em Estacas

3


1. DEFINIÇÃO E TIPOS

Fundação superficial ( rasa ou direta) é definida pela NBR-

6122/2010 - Projeto e Execução de Fundações - como sendo:

o “elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno

pelas tensões distribuídas sob a base da fundação (tensões de

contato[1]), e a profundidade de assentamento em relação ao

terreno adjacente à fundação é inferior a duas vezes a menor

dimensão da fundação”.

4



As fundações superficiais, segundo a NBR 6122/2010, dividem-se nos seguintes

tipos:

• Sapata: “elemento de fundação superficial, de concreto armado, dimensionado de

modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de

armadura especialmente disposta para esse fim”.

• Bloco: “elemento de fundação superficial de concreto, dimensionado de modo que

as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo concreto, sem

necessidade de armadura”.

• Radier: “elemento de fundação superficial que abrange parte ou todos os pilares

de uma estrutura, distribuindo os carregamentos”.

Sapata Bloco Radier

5



• Sapata associada: “sapata comum a mais de um pilar”.

• Sapata corrida: “sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de

pilares ao longo de um mesmo alinhamento”.

Apesar de não descrito pela NBR 6122/2010, mas por ser muito utilizado em

edificações de um ou dois andares, convém incluir:

• Bloco corrido: “bloco sujeito à ação de uma carga distribuída linearmente”.

Sapata associada Sapata corrida Bloco corrido

6


2. FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS

Fundação rígida: quando a superfície de contato, inicialmente plana, continua plana

após o deslocamento do solo (recalque).

Fundação flexível: quando ela deixa de ser plana.

OBS: Pelas situações mostradas na Figura 2-1, pode-se deduzir que, para as mesmas condições de

solo e superfície de contato, a altura da fundação é que definirá se ela será rígida ou flexível.

Figura 2.1 - Fundações Superficiais Rígidas e Flexíveis

7



(Equação 2-1)

No caso em questão, como interessa a interação entre a fundação e o solo, deve-se

relacionar a rigidez da fundação com a do solo, conforme definido pela equação 2-1, ou

seja, relacionar a flecha da fundação superficial com o recalque do solo.

Em análise estrutural, o coeficiente de rigidez é definido como a relação entre uma

ação (carga) e um deslocamento provocado, ou seja:

kA

D

onde:

k = coeficiente de rigidez;

A = ação (carga concentrada, distribuída ou momento);

D = deslocamento (linear ou rotação).

8



Dentro do exposto, considerada como uma placa, uma fundação direta pode ter sua

rigidez definida numericamente pela expressão (Pires, A.C.X.):

(Equação 2-2)

Como pode ser verificado pela Equação 2.2, a rigidez de uma fundação superficial é

função do seu material (Ec), da sua geometria (m, n, I) e do tipo de solo (Es)

subjacente.

onde:

K = coeficiente de rigidez;

Ec = módulo de deformação longitudinal (ou de

elasticidade) do concreto;

Es = módulo de deformabilidade, ou edométrico (ou de

elasticidade) do solo;

m = dimensão da placa na direção da flexão analisada;

n = dimensão da placa ortogonal à dimensão “m”;

h = espessura da placa;

I = momento de inércia da seção transversal = ( );

KE I

E m n

c

s3

9



Para fundações superficiais retangulares, com superfície de contato de dimensões “a

b”, conforme Figura 2-2, a aplicação da equação 2-2 fornece:

(Equação 2-3a)

(Equação 2-3b)

flexão na direção de “a” KE

E

h

aa

c

s

12

3

flexão na direção de “b” KE

E

h

bb

c

s

12

3

Figura 2-2 - Dimensões de Fundações Superficiais Retangulares

10



A norma alemã - DIN 4018 - considera:

• estrutura rígida se K ≥ 0,5;

• estrutura flexível se 0 ≤ K ≤ 0,5.

Para que se tenham fundações rígidas, ou seja, K ≥ 0,5, as Equações 2-3 conduzem a:

(Equação 2-4a)

(Equação 2-4B)

Observa-se que é critério comum denominar como “a” a maior dimensão da sapata.

Assim sendo, salvo raríssimas exceções, basta a utilização da Equação 2-4a para a

definição da rigidez da sapata.

11



O valor do módulo de deformação longitudinal do concreto (Ec) pode ser obtido pela

expressão abaixo, conforme a NBR-6118/2003-2007:

[em MPa] (Equação 2-5)

Por ter sido utilizado nos exemplos do item 2.1, observa-se que, pela NBR 6118/1976, o

valor de Ec era dado pela fórmula

[em kgf/cm2] (Equação 2-6)

35000.219,0 ckc fE

ckc fE 600.585,0

12



O módulo de deformabilidade do solo (Es) pode ser obtido, com base no SPT, através

das correlações dadas pela Tabela 2-1 (Silveira, J.E.S.).:

TIPO DE SOLO Módulo Deformabilidade (Es) - kgf/cm2

Areia com pedregulhos 33,0 N

Areia 27,0N

Areia siltosa 21,0 N

Areia argilosa 16,5 N

Silte arenoso 22,5 N

Silte 17,5 N

Silte argiloso 12,5 N

Argila arenosa 21,0 N

Argila siltosa 10,0 N ( N = valor do SPT )

Tabela 2-1 - Valores do Módulo de Deformabilidade do Solo ( Es )

13



Apesar da formulação apresentada acima (Equações 2-4) não corresponder exatamente

à situação real, ela indica valores capazes de bem orientar o dimensionamento de

fundações superficiais.

Como exemplo dessa não fidelidade, cita-se o fato dela não considerar as dimensões dos

pilares, o que implica na obtenção de coeficientes de rigidez (K) inferiores aos reais, o

que conduz a uma altura de fundação acima da realmente necessária, quando se projeta

uma fundação rígida.

Para a consideração das dimensões do pilar (ao bo - Figura 2-2) pode-se, nas equações

2-3 e 2-4, como critério do autor, substituir as dimensões da fundação (a x b) por:

(Equação 2-7a)

(Equação 2-7b)

a a apor

o

b b bpor

o

14


2.1-EXEMPLOS SOBRE FUNDAÇÕES RÍGIDAS E FLEXÍVEIS

2.1 Calcular a altura mínima para uma sapata rígida de dimensões 3x2m,

fck=30 MPa, assentada sobre argila siltosa com SPT igual a 5..

onde a =maior dimensão da sapata

Para a sapata ser rígida h≥31cm

cmh

E

E

Eah

c

c

s

31000.261

50300.6

.kgf/cm 50 = 5 10 = E

kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0

6

3

3

2

s

2

3

3


15



fck=30MPa, assentada sobre areia c/ pedregulhos, com SPT igual a 20.




cmh

E

E

Eah

c

c

s

74000.261

660300.6

.kgf/cm 660 = 2033 = E

kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0

6

3

3

2

s

2

3

3

16



fck=30MPa, assentada sobre argila siltosa com SPT igual a 5..




cmh

E

E

Eah

c

c

s

63000.261

50600.6

.kgf/cm 50 = 5 10 = E

kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0

6

3

3

2

s

2

3

3

17



fck=30MPa, assentada sobre areia c/ pedregulhos, com SPT igual a 20.




cmh

E

E

Eah

c

c

s

149000.261

660600.6

.kgf/cm 660 = 2033 = E

kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0

6

3

3

2

s

2

3

3

18



fck=30MPa, assentada sobre rocha sã.


Para a sapata ser rígida h≥1.090cm (inviável)


cmh

E

E

E

Eah

c

c

c

s

090.1000.261

000.261600.6

kgf/cm 261.000 = E

kgf/cm 261.000 = MPa 26.10030600.585,0

6

3

3

2

s

2

3

3

19


2.6 Comparar os resultados dos exemplos 2-1 a 2-4, objetivando obter a

relação entre a altura da sapata e a sua maior dimensão em planta, para que

ela seja rígida.

Resumo dos resultados dos exemplos 2-1 a 2-4 (para a sapata ser rígida):

cmhcmKgfE

cmhcmKgfE

cmhcmKgfE

cmhcmKgfE

s

s

s

s

149/660 20SPT ped.c/ (areia resistente solo 6m,x 2Sapata

63/50 5)SPTsiltosa (argila fraco solo 6m,x 2Sapata

74/660 20)SPT ped.c/ (areia resistente solo 3m,x 2Sapata

31/50 5)SPTsiltosa (argila fraco solo 3m,x 2Sapata

2

2

2

2


20


Portanto sendo a= maior dimensão da sapata, tem-se:

Solo fraco:

Substituindo-se, conforme Equação 2-7a, “a” por “a - ao”, tem-se:

Solo resistente:

Substituindo-se, conforme Equação 2-7a, “a” por “a - ao”, tem-se:

(Equação 2-8)

aha

h10,010,0

600

63

300

31

aha

h25,025,0

600

149

300

74

10

oaah

4

oaah


21


2.2- RIGIDEZ SEGUNDO A NBR 6118/ 2003-2007:

Segundo o item 22.4.1 da NBR 6118/2003-2007, uma sapata será rígida se

atender às duas equações a seguir. Caso contrário ela deverá ser considerada

flexível.

(Equação 2-9a)

(Equação 2-9b)

Considerando a Equação 2-4, pode-se verificar que as Equações 2.9 garantem

ser rígidas sapatas apoiadas em solo com SPT ≤ 48, ou seja, solos com tensão

admissível próxima de 10 kgf/cm².

Salienta-se que a máxima tensão admissível normalmente adotada em projetos

é 5 kgf/cm², correspondente a um SPT da ordem de 25 golpes.


3

oaah

3

obbh

22


3. TENSÕES DE CONTATO - FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS

FLEXÍVEIS

No cálculo das tensões de contato (tensões no solo imediatamente sob a

fundação), o fator de maior relevância é a rigidez da fundação.

No caso de fundações superficiais flexíveis, a tensão de contato em um ponto

qualquer depende de seu recalque (deslocamento vertical). A expressão que

relaciona tensão com deslocamento é definida pela Equação 5.1.

(Equação 3-1)

Onde:

σ = tensão de contato em determinado ponto.

s = deformação do solo naquele ponto (recalque).

Cr = coeficiente de recalque do solo (unidade, p.ex., kgf/cm²/cm = kgf/cm³).

rCs.

23



FLEXÍVEIS

Normalmente, evita-se projetar fundações superficiais

flexíveis. Entretanto, quando a fundação é assentada

sobre rocha, não há como contornar o problema, sendo

a fundação flexível, visto que a altura a ser adotada

para torná-la rígida é inviável (ver exemplo 2-5).

Nesse caso específico (fundação sobre rocha), a

NBR6122/96 recomendava que, no cálculo estrutural,

fosse adotado o diagrama de tensões mostrado na

Figura 3-2.

Figura 3-1 - Fundações Flexíveis

Figura 3-2 - Distribuição de Tensões de

Contato para Fundações Apoiadas em

Rocha

24



FLEXÍVEIS

No caso de fundações rígidas - Figura 3-3 -, pelo fato da superfície de contato permanecer

plana, a tensão em determinado ponto sob a base será função, além do carregamento e da

geometria da fundação, principalmente, de sua posição em relação ao centro de gravidade

da seção da base.

Salienta-se que, nas expressões dadas a seguir, não existem termos relativos às

características do solo suporte, dando a falsa impressão deles não influírem. Deve-se

lembrar, entretanto, que para se definir a fundação como rígida, o tipo e a resistência do

solo foram considerados (ver exemplos 2-1 a 2-5).

As equações da resistência dos materiais, referentes a tensões normais e tensões normais

na flexão, podem ser utilizadas nos cálculos.

Figura 3.3 - Fundações Rígidas

25


As tensões de contato de fundações superficiais rígidas podem ser calculadas utilizando-se

as equações da resistência dos materiais, referentes às tensões normais e tensões

normais na flexão.

Condição necessária para a utilização daquelas equações é a de não haver deslocamentos

relativos entre os pontos da superfície de contato, ou seja, que essa superfície permaneça

plana (o que ocorre apenas nas fundações superficiais rígidas).

A equação básica:

(Equação 4-1)

4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES RÍGIDAS PELA

TEORIA DA ELASTICIDADE

xI

My

I

M

A

N

y

y

x

x

yx ,

26


A Figura 4-1 ilustra o descrito. Nela, os pontos I, II, III e IV são aqueles onde as pressões

são calculadas, visto que são locais onde ocorrem os valores máximo e mínimo.

Observa-se que os momentos “Mx” e “My”, podem também ser expressos em função da

carga normal (N) com excentricidades “ey” e “ex”, respectivamente, conforme Figura 4-2.



Figura 4-1 - Parâmetros da Equação 4.1

Figura 4-2 - Momentos Expressos como Excentricidades da Carga Normal (N)

27


Antes de continuar com o estudo da equação 4-1, convém comentar sobre a origem das

excentricidades da carga normal atuante na fundação, que são, como já visto, equivalentes

a momentos fletores aplicados na fundação.

As excentricidades podem ser classificadas como:

• Excentricidades Geométricas: quando devidas a pilares, mesmo aqueles solicitados

apenas por carga normal, cujo centro de carga não coincide com o centro de gravidade da

superfície de contato (pilar excêntrico).

• Excentricidades Estruturais: quando o pilar, mesmo concêntrico com a superfície de

contato, apresentar, pelo cálculo estrutural, reações horizontais ou reações momentos.

A Figura 4-3 ilustra os dois tipos de excentricidades.



Figura 4-3 - Origem das Excentricidades da Carga Normal na Fundação

28


Voltando à equação 4-1, é importante observar que ela só pode ser aplicada quando as

dimensões “lx” e “ly” e as excentricidades “ex”e “ey”, definidas na Figura 4-2, atenderem à

inequação:

(Equação 4-2)

A restrição imposta pela equação 4-2 garante que, ao se calcular as tensões no solo pela

equação 4-1, só sejam encontradas tensões de compressão, visto que é impossível existir

tensões de tração entre a fundação e o solo.



e ex

x

y

yl l

1

6

29


Em termos de geométricos, a equação 4-2 limita a excentricidade da carga normal ao

paralelogramo indicado na Figura 4-4, denominado “núcleo central”.



Figura 4-4 - Campo de Validade da Equação 4-1 - Núcleo Central

30


Em função da combinação de valores de carga normal e momentos, ou então, da posicão

da excentricidade dentro do núcleo central, podem ser obtidos, com a aplicação da

equação 4-1, diagramas de tensões de contato com as configurações indicadas na Figura

4-5.

Quando as excentricidades não atenderem à equação 14-2, as tensões no solo devem ser

calculadas conforme um dos dois subitens seguintes.



Figura 4-5 - Configurações do Diagrama de Tensões de Contato pela Equação 9

31


4.1. EXCENTRICIDADE EM RELAÇÃO A APENAS UM DOS EIXOS

PRINCIPAIS DE INÉRCIA

a) Quando ex ≠ 0 e ey = 0, o diagrama de tensões é o indicado na Figura 4-6.



Figura 4-6 - Diagrama de Tensões no Solo para ex ≠ 0 e ey = 0

32


b) Quando ey ≠ 0 e ex = 0, o diagrama de tensões é o da Figura 4-7.

Observa-se que as limitações impostas para 3 ex’ e 3 ey’ (Figuras 4-6 e 4-7) garantem a

área mínima comprimida da sapata.

A NBR 6122/2010 (em vigor), passou a exigir que, no mínimo 2/3 área da sapata esteja

comprimida (3e’x ≥ 2lx/3 e 3e’y ≥ 2ly/3).

A exigência de que mais de 50% da área da sapata estivesse comprimida (3e’x ≥ lx/2 e

3e’y ≥ ly/2) era citada na versão de agosto/1984 da NBR-6122.



Figura 4-7 - Diagrama de Tensões no Solo para ey ≠ 0 e ex = 0

33


4.2. EXCENTRICIDADES EM RELAÇÃO AOS DOIS EIXOS PRINCIPAIS DE

INÉRCIA

A determinação do diagrama de pressões no solo é, neste caso, mais complexa.

Quatro situações distintas podem ocorrer, dependendo da posição (região) onde se

localizar a carga normal excêntrica. A Figura 4-8 indica essas quatro regiões.



Para limite de 2/3 da sapata comprimida - NBR-6122/2010 (EM VIGOR)

34


OBS.: caso a maior dimensão da sapata (“a”) esteja na direção do eixo “y”, trocar “a” por

“b”, na Figura 4-8 e em todas as expressões a seguir.

Salienta-se, na Figura 4-8, que existem quatro regiões 1, duas regiões 2 e duas regiões 3.

Para cada região, os diagramas de tensão no solo podem ser obtidos como a seguir

descrito (Pires, A.C.X.).



Curiosidade: Para limite de 50% da sapata

comprimida – Até 2010

Figura 4-8 - As Quatro Regiões da Excentricidade

Externas ao Núcleo Central)

35


4.2.1. Região 1

A Figura 4-9 mostra a posição da linha neutra (lugar geométrico dos pontos de tensão nula)

para os casos em que a excentricidade da carga normal cai nessa região.

onde:

(Equação 4-3)

(Equação 4-4



Figura 4-9 - Região 1 - Posição da Linha Neutra

12

12 2

2

xx e

a

e

aat

12

12 2

2

yy e

b

e

bbs

36


A tensão máxima é dada pela expressão:

(Equação 4-3)

onde:

As tensões nos pontos I e III podem ser obtidas através das relações:

(Equação 4-6)

Obs.: deve-se lembrar de que as tensões no solo são proporcionais às distâncias dos

pontos considerados à linha neutra (LN).



23,221169,312max

ba

N

e

a

e

b

x y

I

I

III

III

max

maxd d d

37


Se desejado, maior precisão pode ser obtida pela geometria analítica, através das

seguintes expressões:

Equação da reta (a’x + b’y + c’ = 0) que passa por dois pontos P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2):

(Equação 4-3)

Obs.: os pontos P1 e P2 a serem considerados, correspondem, na Figura 4-9, às extremidades do

segmento que define a linha neutra, ou seja, P1 (-a/2 ; -s) e P2 (t ;b/2).

Distância de um ponto, P (xp, yp), à reta a’x + b’y + c’ = 0 :

(Equação 4-8)

Obs.: O ponto P corresponde ao ponto no qual se quer calcular a tensão no solo.



y yy y

x xx x

1

2 1

2 11

d

a x b y c

a b

p p

, , ,

, ,2 2

38


4.2.2. Região 2

A Figura 4-10 mostra a posição da linha neutra para os casos em que a excentricidade da

carga normal cai nessa região.

onde:

(Equação 4-3)

(Equação 4-9)




ta a

e

a

exx

12

122

2

tgb e

t e

y

x

1 3

2

2

39



(Equação 4-10)

A tensão no ponto I pode ser obtida através da relação:

(Equação 4-11)



maxN

a tg

a t

a t

12 2

122 2

I

I

max

maxd d

40


4.2.3. Região 3

A Figura 4-11 mostra a posição da linha neutra para os casos em que a excentricidade da

carga normal cai nessa região.

onde:

(Equação 4-4)

(Equação 4-12)




sb b

e

b

eyy

12

122

2

tga e

s e

x

y

1 3

2

2

41



(Equação 4-13)

A tensão no ponto I pode ser obtida através da relação:

(Equação 4-14)



maxN

b tg

b s

b s

12 2

122 2

III

III

max

maxd d

42


4.2.4. Região 4

Com a excentricidade nesta região, o cálculo das tensões conduziria a um

diagrama de tensões com área comprimida inferior a 2/3 da área total da

fundação (NBR-6122/2010).

Portanto, pelo motivo já citado (item 4.1), quando a excentricidade cair nessa

região, as dimensões da fundação devem ser alteradas de forma que a carga

normal excêntrica fique nas regiões 1, 2 ou 3, claro, no caso de ser inviável que

ela seja posicionada dentro do núcleo central.



43


Para que seja garantido que a carga normal excêntrica não cairá na região 4

(segundo a NBR-6122/2010), basta que as excentricidades “ex” e “ey” atendam à

inequação:

(Equação 4-15)

Por curiosidade, comenta-se que para o limite de 50% de área comprimida,

preconizado na NBR-6122/1984, a equação 4-15 se transformaria em:

(Equação 4-16)



96,12

122

y

y

x

xee

ll

e ex

x

y

yl l

2 21

9

44


Apenas como curiosidade, mostra-se, a seguir, o que a NBR 6122/1966 (não

mais em vigor) preconizava no item 6.3.1.3:

“No dimensionamento de uma fundação solicitada por carga excênctrica (V),

pode-se considerar a área efetiva (A) da fundação, conforme indicado na Figura

5-1 [4] . Nesta área efetiva atua uma pressão uniformemente distribuida ( ),

obtida pela equação:

[4] Figura 2, na NBR 6122.

(Equação 5-1)[5] ” [5] numeração do autor.

5. TENSÕES DE CONTATO PELA NBR 6122/1996 (NÃO MAIS

EM VIGOR

V

A

45


Preconizava ainda, no item

6.3.1.4:

“A pressão uniformemente

distribuída (σ) deve ser

comparada à pressão admissível

com a qual deve ser feito o

dimensionamento estrutural da

fundação.”

5. TENSÕES DE CONTATO PELA NBR 6122/1996 (NÃO MAIS

EM VIGOR

Figura 5-1 - Área Efetiva de Fundação com Carga Excêntrica

46


6.1 Calcular as tensões de contato para o bloco de fundação mostrado na figura.

6. EXEMPLO DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO

SOLUÇÃO: Pela equação temos.

Essa tensão é uniformemente distribuída em toda a

superfície de contato.

2

2

,

/67,2

/2675,12

800

cmkgf

mKNba

N

A

Nyx

47


6.2 Calcular as tensões de contato para a sapata da figura que está assentada sobre a rocha

e é solicitada por uma carga de 1500 KN.



22 /75,3/375

22

1500cmkgfmKN

ba

N

22 /5,7/75037522 cmkgfmKNmédio

48


6.3 Calcular as tensões de contato para a sapata da figura que está assentada sobre a rocha

e é solicitada por uma carga de 900 KN em um momento, em torno de ‘y’ de 180 KN.



A carga excêntrica cai dentro do núcleo central.

ma

mN

Me

y

x 5,06

3

620,0

900

180

²/9,0²/9060150

²/1,2²/21060150

²)/(601502

3

12

32

180

23

900

,

,

3,

mkgfmKN

mkgfmKN

mKNxI

M

ba

N

IIIII

IVI

y

y

yx

49


6.4 Calcular as tensões de contato para a sapata da figura sabendo que as solicitações são:

N= 1200KN, Mx= 180 KN.m e My= 300 KN.m.


Cálculo da excentricidades.

Verificando a validade das equações tem-se:

.

mN

Me

mN

Me

xy

y

x

15,01200

180

25,01200

300

167,06

1158,0

2

15,0

3

25,0

6

1

y

y

x

x

I

e

I

e

50



2

2

2

2

,

/39010090200

/19010090200

/1010090200

/21010090200

10090200

mKN

mKN

mKN

mKN

IV

III

II

I

yx

2

min

2

max

/10

/390

mKN

mKN

LOGO:

2

3

12

32

300

2

2

12

23

180

23

120033,

x

I

My

I

M

A

N

y

y

x

xyx

51



N= 1200KN, Mx= 0 KN.m e My= 720 KN.m.




.

mN

Me

mN

Me

xy

y

x

01200

0

6,01200

720

167,06

12,0

2

0

3

6,0

?)(!6

1

y

y

x

x

I

e

I

e

52


Como a excentricidade localiza-se sobre o eixo dos ‘x’ são válidas as relações seguintes.

Sendo


²/4440,29,03

200.12

1'3

2

)(5,12

3

2

17,29,03'3

9,06,02

3

2

1'6,0

max mKNe

N

okmx

me

mex

ee

yx

x

xxx

53



N= 1200KN, Mx= 180 KN.m e My= 600 KN.m.




.

mN

Me

mN

Me

xy

y

x

15,01200

180

5,01200

600

167,06

124,0

2

15,0

3

5,0

?)(!6

1

y

y

x

x

I

e

I

e

54


É sempre bom conferir se não está na região 4.

Cálculo da posição da linha neutra e da tensão máxima.


mse

b

e

bbs

mte

a

e

aat

yy

xx

37,41215,0

²2

15,0

2

12

212

²

12

72,2125,0

²3

5,0

3

12

312

²

12

22

22

9

1333,0

2

15,0

3

5,0

?)(!9

1

22

22

y

y

x

x

I

e

I

e

55


Cálculo da tensão máxima.

Cálculo de σI e σIII:


²/501242,023,2242,0211242,069,312242,023

1200

242,02

15,0

3

5,0

23,221169,312

max

max

mKN

b

e

a

esendo

ba

N

IV

yx

IV

0

²/146

²/316

33,3

501

97,010,2max

max

II

III

I

IIII

III

III

I

I

mKN

mKN

ddd

56


O dimensionamento geométrico de fundações superficiais consiste na definição da

geometria de sua superfície de contato (base = a x b), para que as tensões

transmitidas ao solo não ultrapassem sua tensão admissível ( ou ) e para que a

área comprimida seja maior ou igual ao mínimo exigido.

7.1. FUNDAÇÃO ISOLADA PARA PILAR SOLICITADO POR CARGA NORMAL.

A área da base é diretamente definida através do primeiro termo da Equação 4-1, a saber:

(Equação 7-1)

Para fundação de base retangular, a expressão, transforma-se em :

(Equação 7-2)

7. DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO

N

A

A a bN

s adm

,

57


Na definição das dimensões “a”e “b” da fundação, deve-se observar, conforme

Figura 7-1:

a) o centro de carga do pilar deve coincidir com o centro de gravidade da superfície

de contato;

b) nenhuma das dimensões deve ser menor do que 60cm (NBR-6122);

c) apesar de não haver qualquer menção na NBR-6122, é cultura difundida que,

sempre que possível, a relação entre os lados do retângulo (a/b) seja menor ou

igual a 2,5;

d) sempre que possível, os quatro balanços da fundação devem ser iguais (La =Lb),

pois isso conduz a um dimensionamento mais econômico.


58


Cabe, nesse momento, comentar sobre a carga normal (N) que solicita a fundação. Para que

haja filosofia única de cálculo, em qualquer situação de solicitação, a carga normal (N) a ser

considerada no projeto deve ser igual a:

(Equação 7-3)


N P PP PPpilar fund solo .

Figura 7-1 - Fundação com Carga Centrada -Condições para Determinação de a x b

onde:

Ppilar = carga normal do pilar;

PPfund. = peso próprio da fundação;

PPsolo = peso próprio do solo sobre a

fundação.

59


7.2. FUNDAÇÃO ASSOCIADA PARA PILARES SOLICITADOS POR CARGAS

NORMAIS.

Todas as considerações feitas nos itens “7.1.a” até “7.1.c” são válidas, desde que no item

“7.1.a” a expressão “centro de carga do pilar” seja substituída pela expressão “centro de carga

dos pilares”.

Com o parágrafo anterior, quer-se dizer que o centro de gravidade da fundação deve coincidir

com o centro de carga dos pilares, conforme ilustra a Figura 7-2


Figura 7-2 - Fundação com Carga Excêntrica - Condições para

Determinação de a x b

60


Observa-se que na determinação das dimensões “a” e “b” da sapata, devem ser

utilizadas as cargas máximas de todos os pilares.

Observa-se, ainda, que, após a definição das dimensões conforme descrito acima,

as tensões no solo sob a mesma deverão ser calculadas considerando todas as

combinações possíveis de cargas máximas e mínimas dos pilares.

Tais cálculos, necessariamente, deverão ser feitos com base no descrito no item

7.3, pois a carga normal resultante será excêntrica.


61


7.3. FUNDAÇÃO SOLICITADA POR CARGA NORMAL EXCÊNTRICA

Quando a fundação é solicitada, além de carga normal, por momentos fletores, as

dimensões da base são obtidas por tentativas, empregando-se a equação 4-1, ou

as dos itens 4.1 e 4.2.

O procedimento de cálculo consiste em:

• definição preliminar das dimensões da fundação (a x b), de forma a atender às limitações

dadas na Figura 7-3, que ilustra o caso de excentricidade geométrica;

• cálculo das tensões de contato;

• comparação da tensão máxima de contato com a tensão admissível no solo;

• novo ciclo de cálculo, caso a tensão máxima supere a admissível.


62


A NBR 6122/2010 define que, apenas nas hipóteses nas quais o vento seja o

carregamento principal, é permitido majorar a tensão admissível no solo de 30%.

Após o dimensionamento geométrico a definição final do projeto da fundação

depende apenas do dimensionamento estrutural, que será visto em itens adiante.


Figura 7-3 - Fundação com Carga Excêntrica -Condições para Determinação de a x b

63


7.4. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO

Muito bons exemplos de dimensionamento geométrico para fundações superficiais solicitadas

por cargas não excêntricas podem ser encontradas no livro “Exercícios de Fundações” de

Urbano Alonso Rodrigues e na apostila “Curso de Estruturas de Fundações - 1a Parte” -

Escola de Engenharia da UFMG, de José Ernani da Silva Silveira.

A seguir, alguns exemplos de dimensionamento geométrico de fundações diretas solicitadas

por cargas excêntricas.


64


Exemplo 7.4.1: Definir a seção da superfície de contato de uma sapata submetida a uma

carga normal de 20tf, momento de tfm, sabendo que a tensão admissível no solo é de 15tf/m²

.

Cálculo de ‘a’ para excentricidade ex ficar no limite do núcleo central(N.C):


mN

Me

mtfMM

y

x

y

325,020

5,6

.5,6

ma

ma

ea

x

95,1

325,066

65


1º tentativa:

Supondo que a=2,5


mbN

b adt

s

ref 153,05,215

12

²/28,1

²/2,14

64,682

5,2.

12

5,21

5,6

15,2

20

,

,

3

mtf

mtf

IIIII

IVI

66


Exemplo 7.4.2: Definir a seção da superfície de contato de uma sapata submetida a uma

carga normal de 120tf, dois momentos perpendiculares de 12tfm e 9tfm, sabendo que a

tensão admissível no solo é de 205tf/m².


mN

MemtfM

mN

MemtfM

xyx

y

xy

075,0120

99

10,0120

1212

mbamA refrefref 23²620

120

67


1º tentativa. Adotando a=3,5 e b=2,5



²/90,8

²/52,18

35,246,271,132

5,3

12

5,35,2

12

2

5,2

12

5,25,3

9

5,25,3

120

max

max

33

mt

mt

²/90,9

²/1,22

2,388,20,162

0,3

12

0,35,2

12

2

5,2

12

5,20,3

9

5,20,3

120

max

max

33

mt

mt

68




0

²/28,9

²/80,19

64,262,254,142

5,3

12

3,35,2

12

2

5,2

12

5,23,3

9

5,23,3

120

minmax

max

max

33

e

mt

mt

adm

69


Como já visto, os blocos são projetados de forma que as tensões de tração sejam resistidas

pelo próprio concreto.

Definidas as dimensões da superfície de contato, pelo dimensionamento geométrico, o

dimensionamento estrutural do bloco de fundação consiste apenas na definição de sua altura.

A Figura 8-1 mostra as seções transversais mais utilizadas para esse elemento estrutural.

8. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE BLOCOS

Figura 8-1 - Seções Transversais Mais Utilizadas para Blocos

70


Os blocos, pela teoria da elasticidade, são dimensionados de forma que o ângulo - em

radianos -, conforme Figura 8-1, atenda à equação:

(Equação 8-1)

onde: β= ângulo, em radianos, conforme mostrado na Figura 8-1;

σadm= tensão admissível do terreno;

σct= tensão admissível de tração no concreto

Cálculo de σct segundo a NBR 6118/2003-2007:

com fck em MPa.


tg adm

ct

1

323

2

125,04,12,1

3,07,0fck

fckct

71


Por curiosidade, apresenta-se o que era preconizado antes da NBR 6118/2003-2007, a saber:

(Equação 8-1)

resistência característica do concreto à tração, dada, pela

NBR 6118/1976 por:

para

ou

para


MPaf tk

ct 8,05,2

ftk

ff

tkck

10f PMPack 18

f f MPatk ck 0 06 0 7, , f MPack 18

72


Salienta-se que, sempre, deve-se ter:

(Equação 8-2)

Definido o valor de “”, a altura “h” é obtida com base nas expressões:

(Equação 8-2),

(Equação 8-3)

Para a altura “h’, deve ser adota o maior dos dois valores entre “h1” e “h2”.


45o

h tga ao

12

h tgb bo

22

73


O dimensionamento de um bloco econômico é obtido quando se tem h1 igual a h2, o que

implica no atendimento da relação:

ou seja

(Equação 8-2)

Através da Tabela 8-1, elaborada com base na Equação 8-1, pode-se obter rapidamente o

valor de “”, a partir da relação “adm / ct ”.


a a b bo o

2 2

a b a bo o

Tabela 8-1 - Valores de Beta () em Função de adm ct

74


8.1. EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DE BLOCO

Exemplo 8.1.1:

Dimensionar bloco de fundação para um pilar com carga de 70tf(seção 20x40cm),

considerando que a tensão admissível no solo seja de Kgf/cm².

Aplicando a equação 8.1

Concreto fck=15MPa


OKMPa

cmkgff

cmkgffck

f

ct

tRct

tR

8,0

²/65,2

15

5,2

²/1510

150

10

75


Considerando apenas a carga do pilar N=P pilar- 70000 kyf.

Resolvendo o sistema obtem-se:

Observa-se que a tensão no solo será:


cmba

cmba

202040

²000.352

000.70

cmbcmb

cmacma

adot

adot

180178

200198

2/94,1180200

000.70cmkgfs

76


Cálculo da altura:

Verificando o peso do bloco:


cmhcmtgtgh adot

ct

adm

95922

20180º49

2

40200º49

º49333,06

2

tfPPbloco 5,72,295,08,12

77


Verificando o peso do solo sobre o bloco:

Supondo o embutimento do bloco igual a 2m em somo com Ɣ=1,5t/m²

Cálculo da porcentagem da PP bloco + PP terra em relação a Ppilar.


tfPP

mhoembutimenth

terra

blocoterra

5,55,105,12,04,08,10,2

05,195,02

%6,18186.070

13

70

135,55,7

pilar

terrabloco

pilar

terrabloco

PP

PPPP

tfPP

tfPPPP

78


Portanto verifica-se que o peso do bloco e da terra sobre ele são significativos em relação a

carga do pilar.

Um bom procedimento de cálculo é o seguinte:


º49

195

215

202040

²000.422

84000

84000000.702,12,1

com

cmb

cma

cmba

cmba

kgfPN pilar

cmtgtgh 1002

20195º49

2

40215º49

79


Verificando a carga real normal: (h terra=2-1=1)

Cálculo do escalonamento do bloco:

H=100cm 4 espelhos de 25cm

Deve-se observar que o escalonamento deve ser tal que nenhuma reentrância se situe na

área definida pelos ângulos.β, conforme figura 8.1

Portanto a largura máxima de cada degrau deve ser calculada da seguinte forma:


cmP

cmtgtg

eP

P

etg

adot 20

7,21º49

25max

max

tf

PPPPP terrablocopilar

4,852,62,9705,112,04,095,115,2

2,2195,115,270

80


Verificação da carga normal final. (N).


tfN

mtfmmtfmPPPPPN terrablocopilar

840,90,570

)/5,1³01,6(³)/2,2³29,2(70 3

PLANTA VISTA

81


Definidas as dimensões da superfície de contato, pelo dimensionamento geométrico, o

dimensionamento estrutural de uma sapata, independentemente do método de cálculo

utilizado, consiste na definição de sua altura e das seções transversais de suas armaduras

(flexão, cisalhamento ou punção).

Inicialmente, ou seja, antes do dimensionamento a ser estudado, é conveniente que se

entenda claramente o conceito de “bielas comprimidas”.

Observem-se as duas vigas em balanço mostradas na Figura 9-1.

9. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS

MÉTODO DAS BIELAS COMPRIMIDAS

Figura 9-1 - Vigas em Balanço - Flexão e Cisalhamento

82


Constata-se que a diferença básica entre as duas vigas da figura consiste na ausência de

estribos na viga B, que ocorre em função da existência de uma única biela comprimida.

A viga B, na verdade, funciona como uma “mão francesa”, sendo dimensionada, portanto,

como uma treliça - o método das bielas comprimidas -, ao contrário da viga A que é

dimensionada à flexão e ao cisalhamento.

Balanços como o da viga B são chamados de “consolos curtos”, e se diferenciam dos demais

balanços pelo fato de obedecerem à relação:

(Equação 9-1)

Uma sapata cujas dimensões satisfaçam à equação 9-1 pode, por analogia, ser calculada

pelo método das bielas.



L d altura util L 2

83


A Figura 9-2 mostra a simbologia adotada para cada dimensão da sapata e as correlações

necessárias para que ela possa ser dimensionada pelo método das bielas.

Portanto, para poder ser utilizado o método das bielas, a altura útil da sapata deve atender,

simultaneamente a:

(Equação 9-2a)

(Equação 9-2b)



Figura 9-2 - Método das Bielas - Relações Geométricas Necessárias (altura útil “d”)

a ad

a ao o

4 2

b bd

b bo o

4 2

84


Salienta-se que os dois limites superiores da altura útil (d) da sapata, dados pelas

equações 9-2a e 9-2b, são pouco destacados na bibliografia técnica. Todavia, o

seu não atendimento pode causar surpresas desagradáveis, em função do

surgimento de elevadas tensões de tração bem acima da face inferior da sapata,

exigindo dois níveis de armadura.

Por não se tratar exatamente de um consolo curto, a altura útil “d” da sapata deverá

atender, também, ao dimensionamento à punção.

Entretanto, com o critério definido pela NBR 6118/2010 para uma sapata ser rígida,

o cálculo da punção é desnecessária (ver item 2.2)



85


Montoya, Messeguer e Morán recomendam que o rodapé (ho) e a inclinação () da sapata

(Figura 9-2) atendam às relações:

(Equação 9-3)

(Equação 9-4)

O ângulo de 30º corresponde, normalmente, ao ângulo de talude natural do concreto fresco.

Em sapatas com armadura de pequena bitola, tem-se projetado, sem problemas de

detalhamento, rodapé mínimo de 20 cm.



hh

cmo 3

30

30o

86


Observa-se que vários autores, limitavam inferiormente o valor da altura útil pela prática

fórmula a seguir, atribuída a Caquot:

(Equação 9-5)

A Figura 9-3 mostra o sistema de forças que formam a treliça interna, idealizada no método

das bielas, na direção do lado “a” da sapata.



cd

f

f

Pd

85,044,1

Figura 9-3 - Forças que Compõem a Treliça Interna Idealizada

87


Os triângulos de forças e geométrico indicados na Figura 9-3, permitem escrever:

(Equação 9-6)

(Equação 9-6)

onde:

P = carga do pilar.

Ta = força total de tração na direção do lado “a” da sapata.



tgT

P

a a

d

a

o

2

4 4

T

P a a

da

o

8

88


A armadura total de tração na direção do lado “a” é dada por:

(Equação 9-8)

Analogamente, considerando a treliça na direção do lado “b” da sapata tem-se:

(Equação 9-9)

(Equação 9-10)

A armadura total de tração na direção do lado “b” é dada por:

(Equação 9-11)



AsT

fAs b ha

a

yda min

140 001

,,,

tgT

P

b b

d

b

o

2

4 4

T

P b b

db

o

8

onde:

Tb = força total de tração na

direção do lado “b” da sapata.

AsT

fb

b

yd

1 4,

89


Para a utilização do método nos casos de carga normal excêntrica, é preciso uniformizar o

diagrama de tensões no solo.

O critério mostrado na Figura 9-4 é bastante razoável, sendo, também, um dos mais utilizados

para obras em geral.



Figura 9-4 - Método das Bielas - Uniformização do Diagrama de Tensões no Solo

90


A NBR-6122/1984 admitia, para efeito de dimensionamento estrutural, a uniformização

mostrada na Figura 9-5.

Tal critério de uniformização pode ser bem menos conservador do que o primeiro,

dependendo das relações existentes entre os valores das três tensões envolvidas.



Figura 9-5 - Método das Bielas - Uniformização de Tensões pela NBR-6122/84

91


A figura geométrica definida por uma sapata com superfície de contato retangular é a

combinação de um paralelepípedo e um obelisco de base retangular, conforme Figura 9-6.

O seu volume (paralelepípedo + obelisco) é dado pela seguinte expressão (ver Figura 9-6):

(Equação 9-12)



Figura 9-6 - Sapata – Paralelepípedo + Obelisco de Base Retangular

V a b hh h

ab a a b b a boo

o o o o

6

92


9.1 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO DE SAPATAS PELO MÉTODO DE BIELAS

9.1.1 Dimensionar pelo método de bielas, sapata para um pilar com carga normal de

100tf(25x40), sabendo que o solo possui σadm = 2,3kgf/cm².

Solução:

Concreto fck=15MPa

Aço CA50

Cálculo da carga normal



tfPPPPPN terrablocopilar 115100%15100

93


Para sapata mais econômica.

Entretanto bmax é limitado pela a distância a divisa.

As dimensões das sapatas serão:

a= 260cm e b=195cm



cmb

cma

cmba

cmba

216

231

³000.503,2

000.115

152540

cmacmb 4,256195

000.501952)5,2100(max

94


Carga normal a ser utilizada no dimensionamento.

Observa-se no dimensionamento da sapata, a carga normal utilizada é a carga do pilar, ou

seja, 100.000kgf.

Cálculo da altura util mínima(d)

- Em função das dimensões.



cmbb

d

cmaa

d

5,424

25195

4

554

40260

4

0

0

95


-Em função da punção.

a) Pela forma de Caquot (equação 9-8), sendo Ɣf=1,4 e =Ɣc1,4

b) Pela NBR 6118(equação 9-5)



cmfcd

Pfd 56

4,1/15085,0

1000004,144,1

85,044,1

kgfPF

ab

dgbadgba

p 300.86000.100)137,01()1(

137,01952604

²55)2540(554)25404(

4

².44 0000

96


Como a sapata terá altura variável, tem-se para α=30º.



cmhcmhcmd

cm

cm

cm

d

Capobtidovalorcmd

d

adot

quotp

706856363

63

5,42

55

/634929,1

29,1

cm

bafck

Fba

d

p

p

4928,6

25402150

300.8662,24²25404

28,6

262,24

²4 0000

97


Cálculo das armaduras:

a)

Verificando a fissuração pelo tirante fictício do CEB.

Altura do tirante (ht) = 5 + 7,5 x 1,25 = 14,4cm

Largura do tirante (bt) = 2 x 7,5 x 1,25 = 18,75cm > espaçamento = 17cm

bt (todas as barras)= b = 195cm



17/5,1212²1,1415,1/000.50

436504,14,1

650.43638

)40260(000.100

8

)( 0

ccmf

TA

kgfd

aaPT

yd

as

a

a

98




11/5,1218²6,,22

²7,1370195001,0

²6,2260,11,1460,1

60,12,0

/15/

91,12,0

/%50,0100

1954,14

1,14

min

5,125,12

5,12

2

5,12

1

%

ccmA

cmA

cmAR

RmmW

ptabelaMPafckp

RmmW

ptabela

a

a

s

s

fisssfiss

r

r

r

99


Verificando o uso de ø16: Asa=14,1 cm² => 7ø16@31

Observa-se que quanto maior o diâmetro, maior o consumo de aço em peso.



15/1613

²5,2581,11,1481,1

8,12,0

/15/

17,22,0

/%39,0100

2417

6,1

24)1(31246,15,72

17165,75

1616

16

2

16

1

%

c

cmAR

RmmW

ptabelaMPafckp

RmmW

ptabela

cmbarrabcmoespaçament

cmh

fisssfiss

r

r

r

t

t

a

100


b)

Verificando as fissuras



19/1014²9,1015,1/000.50

337304,14,1

730.33638

)40195(000.100

8

)( 0

ccmfyd

TA

kgfd

bbPT

bs

b

b

43,12,0

/15/

70,12,0

/%43,0100

155,12

8,0

15)1(191515,72

5,1215,75

10

2

10

1

10

RmmW

ptabelaMPafckp

RmmW

ptabela

cmbarrabcmoespaçament

cmh

r

r

r

t

t

101


Definição geral da geometria.

-já calculados: a=260cm b=195cm h=70cm

- Calculo de h0.



cmbdireçãobalanço

cmadireçãobalanço

equação

finasarmadurasparaadmitidoécmhobs

cmh

h

852/)25195(""

1102/)40260(""

)49(º30

.20:

303

0

0

11/1023²2,18

²2,1870260001,0

²6,1543,19,1043,11010

ccmA

cmA

cmAR

b

mim

a

S

S

fisssfiss

102


Verificando o valor de h0. para inclinação máxima (α=30º)



cmh

cm

cmh

hequaçãopela

cmtagtagLhhcasono

tagLhhL

hhtag

adot

b

30

30

5,233

70

3:39

21º308570º30:

0

0

00

min

103


Verificação da carga na fundação.

Detalhamento:

Obs: O detalhamento das barras deve atender a NBR 6118, os critérios a serem citados no

item 10 também devem ser atendidos aqui.



)(1156,1138,78,5100 OKtftfPPPPPN terrasapatapilar

104


9.1.2 Dimensionar pelo método de bielas, sapata com as dimensões e solicitaçoes dadas na

figura.

Concreto fck=15MPa

Aço CA50

Solução:

Cálculo das tensões divididas às carga do pilar.



xy

xy

92,203,252,9

12

³8,25,1

0,8

12

³5,18,2

6,1

5,18,2

40

105




²/1,154,192,275,003,252,9

²/0,74,192,275,003,252,9

²/9,34,192,275,003,252,9

²/1,124,192,275,003,252,9

mtf

mtf

mtf

mtf

IV

III

II

I

²/5,1115,092,275,003,252,9

²/6,1015,092,275,003,252,9

²/6,715,092,275,003,252,9

²/4,815,092,275,003,252,9

mtf

mtf

mtf

mtf

D

C

B

A

106


Cálculo da carga normal equivalente as cargas do pilar

- Considerando o lado direito da sapata (maiores tensões no solo):

- Considerando o quarto quadrante(maiores tensões no solo):

A carga equivalente a ser adotada no dimensionamento é 52tf.



tfba

mtf

mtf

mtf

equivequiv

equiv

IV

medio

IVDAI

0,505,18,28,11

²/8,11

²/1,101,153

2

3

2

²/8,114

1,155,114,81,12

''

'

,,,

tf

mtf

equiv

medio

525,18,24,12

²/4,124

1,155,110,106,13

'

107


Cálculo da altura útil

- Em função das dimensões.

-Em função da punção.

a)Pela forma de Caquot



cmd

cmd

5,324

20150

5,624

30280

cmd 414,1/15085,0

520004,144,1

108


b) Pela NBR 6118(equação 9-5)



cmhcmh

cmd

d

cmd

kgfPF

adot

p

p

p

7068563

443429,1

29,1

3428,6

20302150

4357662,24²20304

576.43000.52)162,01()1(

162,01502004

²5,62)2030(5,624)20304(

109


Cálculo das armaduras:

a)



cmbarrabespaç

cmh

ccmfyd

TA

kgfd

aaPT

t

t

as

a

a

8,18)1(23.8,1825,15,72

4,1425,15,75

23/5,127²3,815,1/000.50

257944,14,1

794.25638

)30280(000.52

8

)( 0

110




14/5,1211²9,13

²5,1070150001,0

²9,1368,13,868,1

68,12,0

/15/

91,12,0

/%46,0100

8,184,14

25,1

min

5,12

5,12

2

5,12

1

%

ccmA

cmA

cmAR

RmmW

ptabelaMPafckp

RmmW

ptabela

a

a

s

s

fisssfiss

r

r

r

111


b)



18/5,1216²6,19

²6,1970280001,0

²2,768,13,4

68,1

²3,415,1/000.50

412.134,14,1

412.13638

)20150(000.52

8

)(

min

5,13

5,12

0

ccmA

cmA

cmA

RpequenobemécomoA

cmfyd

TA

kgfd

bbPT

b

b

fissb

fckb

b

s

s

s

fisss

bs

b

112


- Calculo de h0.

Dados para detalhamento:



cmtgh

para

cmL

cmL

b

a

33º306570

º30

652/)20150(

1252/)30280(

min

0

cmh

cmh

cmb

cma

33

70

150

280

0

cmcobrimento

CAAço

cA

cA

b

a

s

s

3

50

18/5,1216

14/5,1211

113


No dimensionamento de sapatas pela teoria da flexão, referência utilizada por

diversos autores é o Boletim 73 - Fascículo 4 - “Recommandations particulières au

calcul et à l’execution des semelles de fondation”- do CEB - Comité Euro-

Internacional du Béton.

Os procedimentos descritos neste item, salvo observação explícita em contrário

(que inclui sombreamento), são os preconizados naquele boletim.

O texto será, portanto, resumo de seu conteúdo e , às vezes, transcrições, que,

pelo grande número, não serão colocadas entre aspas.

10. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS

RÍGIDAS - TEORIA DA FLEXÃO

114


10.1. DOMÍNIO DE APLICAÇÃO

Os métodos de cálculo e dimensionamento descritos referem-se a sapatas que apresentam

as características geométricas mostradas na Figura 10-1.

Convém destacar o valor mínimo da altura da sapata:

(Equação 10-1)

.



Figura 10-1 - Domínio do Método - Relações Geométricas

hLmax.

2

115


No caso de sapatas com altura variável, a resistência ao esforço cortante deve ser verificada

em todas as seções e o revestimento ser suficiente na zona de ancoragem.

Se as condições geométricas acima não forem satisfeitas, a sapata pode ser considerada

como viga ou placa, e calculada de acordo com a teoria correspondente.

Se a altura da sapata for maior do que o dobro de todos os balanços (L) da sapata, ela deverá

ser calculada como bloco de fundação, e as recomendações deste item não são aplicáveis.

Matematicamente, tal limitação é expressa por:

(Equação 10-2)

.



h L blocomax. 2

116


10.2. BASES DE CÁLCULO

O diagrama de pressões no solo é plano, e não admite esforços de tração.

As forças horizontais que porventura solicitem a sapata devem ser equilibradas

unicamente pelas forças de atrito na superfície de contato.



117


10.3. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA INFERIOR

10.3.1. Seções de Referência S1

Os momentos fletores que determinarão as armaduras inferiores são calculados em relação a

seções de referência denominadas S1 , situadas além da face do pilar, conforme ilustrado na

Figura 10-2.



Figura 10-2 - Seções de Referência S1 para Momentos Fletores

118


A altura útil (d1 ) das seções S1 são medidas junto às faces do pilar, coincidindo, portanto com

a chamada altura útil da sapata (d - altura útil máxima).

Essa altura não deve exceder a 1,5 vezes a dimensão do balanço na direção perpendicular à

da seção de referência (direção de instalação da armadura que está sendo calculada). A

expressão matemática dessa limitação é:

(Equação 10-3)

Comparando-se as equações 10-3 e 9-2a e 9-2b, verifica-se que o CEB admite, para as

sapatas, altura superior à admitida no método das bielas



min1 5,1 Ldd

119


10.3.2. Área da Seção Transversal da Armadura Inferior

Os momentos fletores em cada direção são calculados em relação à seção S1

correspondente, considerando-se a reação do solo em toda a área da sapata definida pela

seção S1 e suas bordas. Essas seções (S1 ) devem ser consideradas, em cada direção, do

lado onde ocorrem as maiores tensões no solo. A Figura 10-3 ilustra o descrito.



Figura 10-3 - Momentos Fletores

120


Definidos os momentos fletores nas duas direções, as áreas das seções transversais das

armaduras são calculadas como vigas à flexão simples, a partir das características

geométricas das seções de referência S1 (a x d1 ou b x d1). Essas seções transversais

devem ser, no mínimo, iguais a:

(Equação 10-4)

(Equação 10-5)

Se a armadura não for normal à seção de referência S1 , sua contribuição na resistência aos

momentos fletores deve ser avaliada segundo recomendações referentes às lajes.



hbAas 001,0

min,

haAbs

001,0min,

121


A relação entre as áreas das armaduras nas duas direções deve ser menor do que 1/5.

Se o peso próprio da sapata e o peso de terra sobre ela tiverem sido considerados na

determinação das tensões no solo, eles devem ser descontados na avaliação dos momentos.

Caso resulte em algum momento negativo, a sapata deverá ser dotada de armadura superior,

conforme Figura 10-4.



Figura 10-4 - Peso Próprio e Terra –

Momento Negativo –

Armadura Superior

122


10.4. DISPOSIÇÃO DA ARMADURA INFERIOR

As armaduras inferiores devem ser prolongadas, sem redução de seção, sobre toda a

extensão da sapata.

Nas sapatas de base quadrada, as armaduras inferiores podem ser uniformemente

distribuídas, paralelamente aos seus lados.

Um acréscimo de resistência ao esforço cortante pode ser procurado nas sapatas - placa,

localizando-se maior densidade de armadura em faixas paralelas aos lados do quadrado,

centradas sob o pilar e com largura conforme Figura 10-5.



Figura 10-5 - Sapatas / Placa - Base Quadrada - Resistência a Cortante

123


Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado maior (“a”) deve ser

uniformemente distribuida. A armadura paralela ao lado menor (“b”) deve ser colocada de

modo que uma maior fração da seção total fique situada numa faixa central, sob o pilar,

conforme mostrado na Figura 10-6.



Figura 10-6 - Sapatas Retangulares - Distribuição da Armadura Paralela ao Lado Menor

124


Se o balanço (L) da sapata for menor do que sua altura (h), a armadura inferior

deve ser totalmente ancorada na vizinhança das bordas da sapata, devendo o

comprimento de ancoragem ser medido a partir da extremidade da parte relilínea

das barras, conforme Figura 10-7.



Figura 10-7 - Ancoragem da Armadura Longitudinal - L ≤ h

125


Se o balanço (L) da sapata exceder sua altura (h), a armadura inferior deve ser

totalmente ancorada à partir da seção situada à distância “h” da face do pilar

(Figura 10-8).

Conforme já dito, em nenhum caso a armadura pode ser interrompida antes de ter atingido a

borda da sapata.



Figura 10-8 - Ancoragem da Armadura Longitudinal - L h

126


10.5. CONDIÇÕES DE ADERÊNCIA DA ARMADURA

A relação a ser verIficada é:

(Equação 10-6a)

onde:

V1d = esforço cortante de cálculo relativo à seção de referência S1 (por unidade de

comprimento);

d = altura útil da sapata;

n = número de barras por unidade de comprimento;

p = perímetro de uma barra = (sendo = diâmentro de uma barra);

(fcd em kgf/cm2).



V d n pd bu1 0 9 ,

bu b cdf 18 11 23, ,*

127


A equação 10-6a pode, então ser escrita como:

(Equação 10-6b)

A adoção de tensão de aderência (bu bu ) inferior (30%) à adotada para vigas

e lajes ( ) é justificada pelo fato de haver concentração de cargas sob o

pilar, e admitir-se, no cálculo da força cortante (V1d), distribuição uniforme da

carga em toda a largura da sapata



V d n fd cd1

230 9 11 , ,

1 6 23, fcd

128


10.6. RESISTÊNCIA AO ESFORÇO CORTANTE

10.6.1. Esforço Cortante de Referência

O esforço cortante de referência - Vd - é igual à resultante das forças verticais atuantes

na sapata, entre a seção de referência - S2 - e a borda da sapata paralela e mais próxima

à ela. Numa mesma direção, deve-se verificar o cortante nos dois balanços, e analisar o

maior deles.

10.6. 2. Seção de Referência S2

10.6.2.1. Caso Geral

A seção de referência - S2 - é perpendicular à superfície de contato da sapata, e situa-se

a uma distância, medida da face do pilar, igual à metade da altura útil (d/2).

Sua largura - b2 - é dada por:

(Equação 10-7)



b b do2 onde:

bo = dimensão do pilar paralela a S2.;

d = altura útil da sapata, (altura útil máxima -

junto ao pilar).

129


No caso de sapata sob parede, a largura “b2” é tomada igual à unidade de largura da

sapata, para a qual é avaliado o esforço cortante de referência “Vd”.

A altura útil - d2 - da seção de referência “S2”é igual à altura útil da sapata medida na seção

S2 considerada. Ela não deve ser maior do que 1,5 vezes a aba “t2” da sapata, medida a

partir de “S2”. A Figura 10-9 ilustra o descrito.



Figura 10-9 - Seção de Referência - S2

130


10.6.2.2. Caso das Sapatas Alongadas

Define-se como alongadas as sapatas nas quais o comprimento do balanço (L) é maior do

que 1,5 vezes a dimensão da sapata medida transversalmente ao balanço.

Nesse caso, a seção de referência S2 , relativa ao esforço cortante Vd , fica situada na face do

pilar, perpendicularmente à direção do balanço. A Figura 10-10 ilustra o descrito.



Figura 10-10 - Sapatas Alongadas - Seção de Referência - S2

131


10.6.3. Esforço Cortante Limite

O esforço cortante na seção S2 não deve ultrapassar os seguinte valores:

(Equação 10-8)

(Equação 10-9)

onde:

= taxa de armadura longitudinal na seção S2 =

= área da armadura longitudinal correspondente à largura b2 ;

c = 1,4 ; unidades = kgf e cm.



Vb d

fdc

ck,lim

15 2 2

Vb d

fdc

ck,lim,

15 2 2

A

b d

s*

2 2

As*

132


10.6.3. Esforço Cortante Limite

O segundo limite (equação 10-9), que resulta do primeiro (equação 10-8) colocando-se

= 0,01, é indicado por prudência, visto que não se dispõe de resultados de ensaios em

sapatas com > 1%.

Todavia, porcentagens elevadas de armadura não são freqüentes, mas, sendo o caso, o

critério de aderência (item 10-5) será decisivo.

Os valores limites do esforço cortante Vd,lim podem ser majorados quando se dispuser de

armadura de cisalhamento.

10.7. ARMADURAS SECUNDÁRIAS

A princípio, armaduras secundárias não são exigidas nas sapatas.



133


10.8. EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DE SAPATAS PELA TEORIA DA

FLEXÃO

10.8.1

Calcular as armaduras e fazer as verificações estruturais necessarias para a sapata da figura

e demais dados abaixo.

H=70cm

H0=30cm

d= 63cm

Concreto fck=15MPa

Aço CA50

Ppilar= 100tf

Ppsap=5,8tf

Ppterra=7,8tf(para embut.=1,5m e Ɣs=1,5tf/m³



134


Solução:

Calculo da armadura inferior:



cmL

cmL

b

a

852/25195

1102/40260

)(5,127855,163

)(552

110

270 max

okcmd

okcmL

h

135


Tensão no solo devido a Ppilar:

Momentos fletores na secção S1

a) Armadura na direção de a (Asa)

Com Ma=13,25tfm/m, bf=100cm d= 63cm



²/7,1995,16,2

110mtfs

mtfmM

mtfmM

b

a

/80,72

²89,07,19

/25,132

²16,17,19

18/5,1211

²7,1395,17

²0,70514,0 /

cA

cmA

cmAk

sa

sa

msa

136


Verificação da abertura de fissuras:



11/5,12189,21

²7,137095,1001,0²9,2160,17,1360,1

60,12,0

15

91,12,0

%49,010095,14,14

7,13

195)(

1875,1825,15,72

4,1425,15,75

min

5,12

1

5,12

1

5,12

1

%

ccmA

cmAcmAR

Rmmw

tabelaMPafck

Rmmw

tabela

cmbrastodasasbarbt

oespaçament

cmh

sa

ssa

k

k

r

t

137


b) Armadura na direção de b(Asb)



21/1013²5,10

²6,205,4/²05,40302,0

:

63

100

/8,7

/

ccmA

cmAmcmAR

setem

cmd

cmb

mtfmM

com

sb

sbs

f

b

mb

138


Verificação de abertura de fissuras.



11/10232,18

²2,1870260001,0²1543,15,1043,1

43,12,0

15

70,12,0

%43,0100155,12

8,0

15)(

211525,15,72

5,1215,75

min

10

10

2

10

1

%

ccmA

cmAcmAR

Rmmw

tabelaMPafck

Rmmw

tabela

cmbarraumabt

oespaçament

cmh

sb

ssbfiss

R

R

r

t

fiss

139


Disposição da armadura inferior:



22/19232/

1923195260

95,122

1023

11/5,1218

180702402195

12

1

0

sbssb

ssb

sb

sa

AAA

Aba

bA

A

cA

hacmb

140


armadura superior:

Pela figura ao lado observa-se que não ocorrerão momentos negativos na sapata.



²/4,227,27,19

95,16,2

8,78,5

95,16,2

100

mtf

PPP

ba

P

s

terrasappilar

s

141


Verificação na aderência da armadura.



)(611,101²4,1/1501,1114,323639,0²1,19,0

586,459926097,1

1023

)(562,79²4,1/1501,125,114,318639,0²1,19,0

561,4411619597,1

5,1218

)610(²1,19,0

33

1

33

1

31

OKkgffcdnd

kgfV

A

bdedireção

OKkgffcdnd

kgfxxV

A

adedireção

bequaçãofcdndV

d

sa

d

sa

d

142


Verificação do esforço cortante.

(punções)



kgfVkgfV

kgfV

x

xxV

kgftfV

V

com

fckdb

V

alongadaénãosapataaqueseobserva

cmdbb

OKcmd

cmd

dd

d

d

d

d

c

d

771,27160.30

771,27

1505,51195

9,21

4,1

5,518815

160.3016,30

785,095,17,19

01,0

...15

)(

886325

)(5,785,515,78110

4023

63

lim,

lim,

lim,

22lim,

02

2

143


Verifica-se portanto que o criterio do boletim 73 do

CEB é mais rigoroso que o da NBR6118, mas não

deve deixar de dizer que ele é mais realista.

Como Vd está um pouco acima de Vd antes de se

optar por aumentar a altura da sapata deve-se

afinar a ponta do lápis, corrigindo arredondamentos

feitos ao longo do cálculo inicial.

No caso em questão, basta reparar que o ‘d’-63cm

utilizando nos cálculos é menor que o real.



144




kgfVkgfV

kgfVV

kgftfV

V

cmdbb

OKcmd

cmdcmd

earmadura

cmcobrimento

cmh

dd

dd

d

d

110.29690.29

110,291505,53195

9,21

4,1

5,535,9015

690.2969,29

773,095,17,19

5,905,6525

)(3,775,533,77110

404,25

4,654,652

25,10,1370

5,1210

3

70

lim,

lim,lim,

02

2

145


Dados para detalhamento.



50

15

3

30

70

0

açoCA

MPafck

cmcobrimento

cmh

cmh

146


Para a situação indicada na figura dimensionar a viga de equilíbrio, sabe-se que

σadm = 3kgf/cm², fck=15Mpa e aço CA-50.

Consideração inicial: tomar-se a σadm = 2,5kgf/cm² para reserva de pesos próprios.

11. DIMENSIONAMENTO DE VIGA EM EQUILÍBRIO

147


Pilar 1

-definição de “b”

Fazendo a=2b e ∆P1 = 0 tem-se:

Pilar P2

Observa-se que para o calculo de

R1 e R2 usou-se a projeção da viga

de equilíbrio.


45,125

8,51

8,512

4,1660

)(5,242,23,1

15,3

15,312,33,125

4,101

4,1014,1685

4,1685,2

55,085

85,255,040,3

55,02

2,0

2

30,1

30,125

852

2

1

1

aaa

tfR

idealb

a

ma

tfR

tfP

md

me

mbbb

148


Cálculo da viga

Ao contrario do efeito do cálculo de R1 e R2,

para o cálculo dos esforços solicitantes

deve-se usar os vãos reais da V.E.

O ângulo da V.E. com a horizontal:

tgα1= 110/330=0,333 α1 18,44º


149



cm

cm

cm

cm

4,300º44,18cos

285

0,137º44,18cos

130

0,58º44,18cos

55

1,21º44,18cos

20

4,358º44,18cos

340

Observa-se que o peso próprio da V.E. será

considerada apenas qdo do cálculo da armadura

inferior.

Diagrama de cortantes.

Diagrama de momentos.

m22,074

16,4x

68,4tf =0,21) (74+0,21) (404,7-

tfm

tfm

tfm

9,82

21,07,404

8,392

22,07422,0319,24,16

03,38319,24,16

2

2

150


Dimensionamento da viga(junto a P1)

-Largura

-Altura


cmb

cmPdediagonal

cmPdediagonal

adot 45

4,35225

3,40²35²20

2

1

cmd

tfmM

flexãopela

60

376,0454,1

15085,0

4,1000.980.3

8,39

min

151


Armadura negativa de flexão (junto a P1)


cmdd

cmdd

ZZpara

cmkgffcdZ

tocisalhamenpelo

adot

wud

wu

120815,15,1

818,2645

400.694,1

²/8,264,1/15025,025,0

min

min

min

²/914,1/15085,0

120

45

8,39

cmkgffc

cmd

cmb

tfmM

152


Raios de laços( item 4.1.6.2-c)


60,181,102,2²/150

5,177,1

0,22,0%83,010012045

2,114

²2,11

25,1

1

16

1

20

1

25,1

1

16

1

20

1

%

RRRcmkgffck

RR

Rmmwtabela

cmA

TprofessordotabelaPela

Rr

s

NB

okcmrcmr

bcmrcmr

bcmrcmr

w

w

3021556,1/100

2056,1

100

150

50002

5

25,17,035,0

4422277,1/128

2077,1

128

150

50002

5

6,17,035,0

642322/161

202

161

150

50002

5

27,035,0

25,1

16

20

153


-armadura de cisalhamento (junto a P1)


cmh

h

cmA

cmA

camadasduasadotcmA

adot

s

s

s

fiss

fiss

fiss

130

12825,23120

5,1214²5,1756,12,11

1610²8,1977,12,11

208²4,2222,11

min

5,12

16

20

cd

wuwd

w

ZZ

okcmkgfZcmkgfZ

cmd

cmb

tfV

12045

400.6961,1

)²(/8,264,1/15025,0²/1812045

400.694,1

120

45

4,69

154



²/4,173,37,20

²/3,315027,0

27,012045

5,1715225,01

cmtfmZ

cmkgfZ

d

c

)4(5,17/102

5,17004,045/2,3

²2,38,0410/

0040,04350

4,17

ramosc

S

cmAduploestriboc

sb

A

sb

AZ

e

e

ew

ee

ew

e

e

dee

155


Dimensionamento da viga junto a P2

-Largura

bwadot= 45cm

-Altura: pelo cisalhamento


)4(20/102

²/7,1404045

400.1661,1

501040

40192

19²/8,2645

400.164,1min

min

ramosc

cmkgfZ

cmh

cmd

cmdcmkgfd

ZZ

d

adot

adot

wuwd

156


Armadura positiva.


cmd

cmb

mkgfM

mkgfM

mkgfPPmedio

viga

40

45

.1462

.14628/²4,31012

.1012250045,02

50,030,1

inf

162²4,35045%15,0

164²8,813045%15,0

²2,1

²/91

50

130

min

min

cmA

cmA

cmA

cmkgffc

h

s

h

s

s

157


Armadura de pele

Dados para detalhamento

Cobrimento=3cm

Concreto:fck≥15Mpa

Aço CA-50-A


peledesncmhcmA

cmA

h

s

h

s

pele

pele

60(82²1,15045%05,0

86²9,213045%05,0

50

130

158



159



cm

cm

cm

cm

4,300º44,18cos

285

0,137º44,18cos

130

0,58º44,18cos

55

1,21º44,18cos

20

4,358º44,18cos

340

Observa-se que o peso próprio da V.E. será

considerada apenas qdo do cálculo da armadura

inferior.

Diagrama de cortantes.

Diagrama de momentos.

m22,074

16,4x

68,4tf =0,21) (74+0,21) (404,7-

tfm

tfm

tfm

9,82

21,07,404

8,392

22,07422,0319,24,16

03,38319,24,16

2

2

160


12. BIBLIOGRAFIA:

[1] ABNT - NBR 6122/2010 - "Projeto e Execução de Fundações".

[2] ABNT - NBR 6118/2003 - "Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado".

[3] Boletim 73 - Fascículo 4 - “Recommandations particulières au calcul et à l’execution des semelles de fondation” -

CEB - Comité Euro-Internacional du Béton

[4] Montoya, P. J.; Mèseguer, A.G. & Cabrè, F. M. - "Hormigón Armado" - 2 Vols. , G. Gili, 1978.

[5] Santos, Lauro Modesto - “Edifícios de Concreto Armado - Fundações” -Apostila.

[6] Pires, Antônio Carlos Xavier - “Dimensionamento Estrutural de Fundações”, UFRS, Escola de Engenharia, Depto.

de Engenharia Civil, Porto Alegre, 1986, 79p.

[7] Silveira, J.E.S. - “Curso de Estruturas de Fundações” - 1a Parte, UFMG, Escola de Engenharia, Depto. de

Engenharia de Estruturas, Belo Horizonte, Fev/2002, 96pg.

[8] Pfeil, W. - "Pontes em Concreto Armado" - Livros Técnicos e Científicos, 1979.

[9] Tepedino, J. M. - "Fissuração" - Apostila - EEUFMG - Cotec, 1984.

[10] Tepedino, J. M. - "Flexão Simples" - Apostila - EEUFMG - Cotec, 1984.

[11] Tepedino, J. M. - "Cisalhamento" - Manual de Projetos - EPC - Engenharia , Projeto Consultoria Ltda, 1980.

161

Documents

SAPATA 24 04 2013