Secretaria de Estado da EducaçãoSuperintendência da Educação

Departamento de Políticas e Programas EducacionaisCoordenação Estadual do PDE

Sonia Maria dos Santos Melo

Izolete Maria Aparecida Nieradka

Unidade Temática

Numeração e Sistema de Numeração

Brasilândia do Sul- PR

2008

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NUMERAÇÃO E SISTEMA DE NUMERAÇÃO

As Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica nos apontam da

necessidade de discutir a História da Matemática como campo de estudo que contempla as

várias dimensões da Matemática. Por meio dessa História, pode-se compreender a Ciência

Matemática desde suas origens e como a disciplina de matemática tem se configurado no

currículo escolar brasileiro. A história da Matemática revela que os povos das antigas

civilizações conseguiram desenvolver os rudimentos de conhecimentos matemáticos que

vieram a compor a Matemática que se conhece hoje.

As diretrizes ainda nos apontam que um dos objetivos da disciplina Matemática é transpor,

para a prática docente, o objeto matemático construído historicamente e possibilitar ao

estudante ser um conhecedor desse objeto.

Com esta unidade temática dirigida aos professores e alunos do curso de magistério, faz-se

um aprofundamento teórico sobre numeração e o sistema de numeração trazendo para o

professor a importância do conhecimento produzido pela humanidade a nós relatado na

História da Matemática, e o seu desenvolvimento nos diversos contextos históricos, até

chegarmos ao sistema de numeração decimal que hoje utilizamos.

Apesar de lidarmos com o sistema de numeração decimal no nosso dia a dia, sabemos que é

um sistema muito complexo, onde existem regras que devem ser obedecidas. Muitas das

dificuldades que os alunos das séries iniciais apresentam principalmente com as quatro

operações básicas devem-se a falta de compreensão desse sistema e faz-se necessário a

compreensão das mesmas pelos professores para que possam ajudar os alunos em suas

dificuldades.

Acreditamos que ensinar Matemática conhecendo melhor seu desenvolvimento histórico,

compreendendo a matemática produzida por homens e mulheres ao longo da humanidade na

busca de soluções para problemas do cotidiano são o ideal. Assim, pode-se fazer com que os

alunos a reconheçam como parte integrante de nossas raízes culturais e também como sendo

uma ciência em contínuo progresso e possível de ser praticada pelos indivíduos.

A história nos traz o relato de inúmeras línguas escritas, antigas ou modernas, que trazem as

marcas das limitações primitivas e, com o passar do tempo, o homem começou a fazer uso de

estratégias para conseguir maior exatidão quantitativa.

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Sistema de numeração é o conjunto de regras utilizado para escrever números. Antigas

civilizações possuíam formas bastante organizadas para registras os números e conhecê-las se

tornam imprescindível para compreensão do nosso próprio sistema de numeração e suas

propriedades.

É necessário passar aos alunos como se deu a evolução do Sistema de Numeração Decimal e a

comparação entre os vários sistemas de numeração para que aprendam a respeitar os valores e

a produção de outras culturas.

Uma abordagem histórica sobre o número

Houve um tempo em que o homem não sabia contar. Para fazer as representações numéricas

ele se utilizava de artifícios numéricos como entalhes no osso, nós em corda, marcas em

madeira, lascas de pedra, pedrinhas, gravetos e várias formas de registrar.

Fonte: Dante, Luiz Roberto, 2005, adaptado por Melo, Sonia M.S., 2008.

Sabemos de tribos indígenas, povos antigos, de civilizações bastante remotas que inicialmente

não sabiam contar, mas com o passar do tempo foram criando os seus próprios sistemas de

numeração.

Existem até hoje tribos indígenas que só se utilizam do equivalente na sua língua a dois

nomes de números: o do numero um e do número dois. Para eles a idéia de número é muito

confusa. Eles utilizam dois-um para expressar o três e dois-dois para expressar o quatro e

quando sentem a necessidade de expressar muitos apontam para sua cabeça como sinal de

inúmeros, tal qual é o número de fios de sua cabeça. Eles não conseguem abstrair a idéia de

número e não percebem que cinco cavalos, cinco peles de animais, cinco flechas, cinco peixes

apresentam uma característica comum, que é “ser cinco”.

O homem antigo só estabelecia diferença entre a unidade, o par e muitos. O um e o dois foram

os primeiros conceitos numéricos concebidos pelo homem.

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Estudos do comportamento humano nos mostram que nos estágios de desenvolvimento de

uma criança ela passa por etapas semelhantes a que passou a humanidade, pois inicialmente

ela só pode perceber apenas o um, o dois e o muitos.

A contagem é um atributo exclusivo do ser humano que além da capacidade de contar

também possuem senso numérico, mas quando nos deparamos com uma quantia maior do que

quatro objetos dificilmente conseguimos perceber esta quantidade num só golpe de vista,

porque não temos em nossa visão global a capacidade de identificar números superiores a

quatro ou cinco, havendo então a necessidade de fazer a contagem.

Muitos animais conseguem perceber a ausência de seus filhotes quando pequena quantidade

desaparece e esta percepção de diferenças entre pequenas quantidades chama-se senso-

numérico.

Pesquisas comprovam que algum pássaro também tem senso numérico, como é o caso do

corvo que demonstra a percepção de até quatro objetos. Conta-se uma história em que um

corvo construiu seu ninho na torre da residência de um agricultor. Incomodado com aquela

situação o agricultor decide matá-lo. O corvo percebendo a presença de alguém saia da torre.

Então o agricultor usou da seguinte estratégia: duas pessoas entraram na residência e uma

saiu, ficando a outra lá dentro e mesmo assim o corvo não retornou, pois percebeu que havia

uma pessoa lá dentro.

O procedimento foi repetido com três pessoas, ficando uma e saindo duas, com quatro,

ficando uma e saindo três e o corvo não retornava, pois percebia que havia uma lá dentro.

Quando entraram cinco pessoas e saíram quatro, então o corvo retornou ao seu ninho e foi

morto pelo agricultor por causa da sua percepção de contar até quatro.

O povo primitivo para representar quantidades utilizava-se de traços verticais, círculos, pontos

e outros sinais.

Quando houve a influência dos cinco dedos da mão, os agrupamentos passaram a ser de cinco

em cinco. O um era representado por um traço vertical, dois para o dois, três para o três,

quatro para o quatro e quatro verticais e um horizontal cortando-os, para indicar cinco

unidades, verificando-se aí que a idéia de percepção do homem não vai além do número

quatro.

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Para o dez, usavam dois grupos de representação utilizada para o cinco.

A correspondência biunívoca já era empregada pelos povos primitivos quando no pastoreio

havia a correspondência uma a uma das pedrinhas para cada ovelha.

Fonte: Andrini, Álvaro, 2002, adaptado por Melo, Sonia M.S., 2008.

Várias civilizações se utilizavam também, partes do corpo para expressar quantidades durante

a contagem, como dedo, pulso, cotovelo e ombro e apesar de desconhecerem um determinado

número, são capazes de representar a quantidade correspondente quando se deparam com

situações que exigem essa prática.

Outras civilizações utilizavam a combinação de partes do corpo e objetos concretos como pele

de animais para chegar a números relativamente elevados mesmo sem ter o conhecimento

deles, sendo assim uma maneira de contar por agrupamentos.

A partir da distinção entre o número cardinal e o número ordinal o homem fez a abstração dos

números, e as contas, conchas e pedrinhas passam a serem símbolos numéricos.

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Mas para representar números maiores não era possível multiplicar indefinidamente pedras,

nós nas cordas etc., chegando à conclusão que era mais fácil contar um grande número de

objetos agrupando-os.

Como temos dez dedos nas mãos foi natural que as contagens fossem feitas em grupos de dez,

dando origem à contagem de base dez.

Diferente dos pastores primitivos, os pastores da África Ocidental, contavam o rebanho

utilizando-se de conchas e três fios de lã nas cores branca, azul e vermelha e faziam o

seguinte procedimento: colocavam uma concha num fio de lã branca até o décimo animal do

rebanho. Quando completava dez animais o colar de conchas era esvaziado e se colocava uma

concha num fio de lã azul. Dava-se então a idéia de dezena. Novamente colocavam no colar

de lã branca uma concha para cada animal até completar o vigésimo animal. Então o colar era

esvaziado e colocavam a segunda concha no fio de lã azul repetindo o procedimento até

completar dez conchas no fio de lã azul e então o colar era esvaziado e colocavam uma

concha no fio de lã vermelha, dando assim a idéia de centena.

A idéia de raciocinar destes pastores está na utilização de agrupamentos por dezenas e

centenas, técnica hoje chamada de emprego da base dez, pois cada concha no fio de lã branca

representava uma unidade, cada concha colocada no fio de lã vermelha representava cem

unidades, o que equivale a dez dezenas, ou uma centena.

Atualmente nós e a humanidade utilizamos o sistema de numeração indo-arábico de base dez,

nascido na Índia por volta do século V.

O Sistema de Numeração Indo-arábico

A denominação indo-arábico para esse sistema de numeração deve-se ao fato de que os

símbolos e as regras que regem esse sistema terem sido inventados pelos antigos hindus,

habitantes do vale do rio Indo, e de ter sido um sistema aperfeiçoado e divulgado pelos árabes

aos europeus, por ser um sistema prático, pois facilitava os cálculos.

Mohammed Ibn Mussa AL-Khowarizmi, matemático, astrônomo e geográfo árabe do século

IX (viveu de 780 a 850, aproximadamente), foi um dos responsáveis pela divulgação do

sistema de numeração indo-arábico na Europa.

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Autor do primeiro livro árabe conhecido com explicações detalhadas dos cálculos hindus

ganhou tanta reputação nos países da Europa ocidental que seu nome passou a ser sinônimo

do sistema de numeração inventado pelos hindus. Assim, a palavra algarismo, que denomina

os símbolos desse sistema de numeração, origina-se de AL-khowarizmi.

Os símbolos empregados por esse sistema são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0.

Os nove primeiros símbolos representam às unidades e o último a idéia de ausência, de vazio.

O zero foi o último algarismo a ser inventado trazendo grandes revoluções para os povos

porque ajudou na facilitação de representação de números e expressão de quantidades.

Seu símbolo foi criado pelos hindus no século VI e era, inicialmente, representado por um

ponto ou um pequeno circulo.

O sistema de numeração indo-arábico não tinha os símbolos iguais aos que temos hoje e

passou por várias modificações pelo fato de que os copistas ao transcreverem um texto de um

lugar para o outro cometiam muitos erros e devido a estes erros cometidos utilizavam uma

escrita por extenso. Com o passar do tempo, estes símbolos foram sendo uniformemente

utilizados e chegou-se ao sistema de numeração que utilização hoje.

Fonte: Giovanni, Benedito Castrucci, 2002, adaptado por Melo, Sonia M.S., 2008.

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O sistema de numeração indo-arábico possui as seguintes características: possui dez símbolos

chamados de dígitos ou algarismos; são agrupados de dez em dez para facilitar a contagem

por isso dizemos que o nosso sistema de numeração é decimal; a posição de cada algarismo

define o seu valor, que é conhecido por valor posicional; todo algarismo tem valor posicional

dez vezes maior do que teria se estivesse ocupando uma posição imediatamente à direita.

Historiadores nos dizem que algumas civilizações tiveram sistemas de numeração fundados

em outras bases, como é o caso do sistema sexagesimal dos babilônios, da base vintesimal dos

ioruba, da Nigéria, de alguns povos da África Central e outros, da contagem duodecimal dos

sumérios. Relatam ainda que desses povos, ainda restam em nossos dias vestígios de seus

sistemas de numeração, como comprar ovos e algumas frutas por dúzia, na contagem do

tempo onde à hora tem 60 minutos e o minuto tem 60 segundos.

Não se conhece verdadeira origem da base sessenta, mas segundo relatos da história essa base

possivelmente tem origem nos 360 dias que existe no ano. Os 360 dias do ano eram

representados por meio de um circulo e dividiam este circulo em 360º onde cada grau

representava um dia, havendo também a explicação de que a origem está na combinação dos

cinco dedos de uma mão com os quatro dedos da sem contar o polegar, onde se contam as

falanges de cada um dos quatro dedos, dando um total de doze combinando com os cinco

dedos da outra mão.

Em todas as bases, suas descobertas tiveram grande importância na história das civilizações,

favorecendo inúmeras criações, invenções e revoluções em diversos campos.

A humanidade passou por diferentes experiências na tentativa de representar e manipular os

números antes de chegar aos algarismos arábicos.

Algumas civilizações utilizaram-se do sistema de numeração não-posicional, não importando

a posição dos símbolos para representar um número, como é o caso da civilização egípcia.

O Sistema de Numeração Egípcio

O sistema de numeração usado no Egito Antigo foi um dos primeiros sistemas de numeração

que a história tem registro.

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Para representar os números, os egípcios usavam sete símbolos, os quais lembravam objetos e

criaram o seu sistema baseado em agrupamentos.

O quadro abaixo apresenta os símbolos egípcios, criados por volta de 3300 a.C., na ordem que

obedeciam.

Fonte: Andrini, Álvaro, 2002, adaptado por Melo, Sonia M.S., 2008.

No sistema egípcio, as marcas só podem ser repetidas até nove vezes e então dez marcas são

trocadas por outra de agrupamento superior.

Era um sistema aditivo e dispunha de símbolos só para representar as potências de 10. Para

saber o valor do número escrito era preciso somar o valor dos símbolos utilizados.

A quantidade de símbolos de um número não informava a respeito do seu valor, pois para

representar 9.999 utilizam-se 36 símbolos, enquanto que 10.000 representam-se com um

símbolo só.

Cada símbolo representava sempre o mesmo valor, independentemente da posição que

ocupasse, sem importar a ordem em que os símbolos eram escritos, daí ser um sistema não

posicional.

A numeração egípcia não possuía um símbolo para o zero e é um sistema de numeração com

base dez, pois as trocas são efetuadas a cada grupo de dez símbolos.

O Sistema de Numeração Romano

Por volta dos séculos IX-VIII a.C. os romanos desenvolveram seus sistemas de numeração

bem mais evoluídos, mas ainda complicados quando se pretendia operar com tais

representações.

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Os romanos estabeleceram um sistema de numeração com sete símbolos, os quais lembram

letras do alfabeto latino.

São eles: I V X L C D M

Era um princípio aditivo.

Por exemplo: V I = 5 + 1 = 6

Efetuar cálculos era muito difícil e só alguns estudiosos dominavam as complexas técnicas de

cálculo.

No entanto os romanos acabaram complicando o seu sistema de numeração e utilizaram outra

estratégia que era a retirada de um número quando colocada anteriormente a um símbolo de

valor superior.

Por exemplo: I V = 5 - 1 = 4

Durante centena de anos, os europeus e uma grande parte do mundo conhecido fora da Europa

usaram o sistema romano de numeração.

Os romanos estabeleceram um sistema de numeração com sete símbolos, os quais lembram

letras do alfabeto latino.

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No sistema de numeração romano o I pode ser subtraído apenas de V e de X; X pode ser

subtraído apenas de L e de C; C pode ser subtraído apenas de D e de M; os símbolos V, L e D

nunca podem ser subtraídos de outros símbolos.

Fonte: Giovanni, José Ruy, 2000, adaptado por Melo, Sonia M.S., 2008.

O Sistema de Numeração Maia

Os maias já viviam na América muito antes de ser descoberta por Cristóvão Colombo. Por

volta de 500 de nossa era, eles usavam um sistema de numeração de base 20, fazendo os

agrupamentos de 20 em 20.

Os números eram representados por uma combinação de pontos e traços.

Fonte: Bigode, Antonio José Lopes, 2002, adaptado por Melo, Sonia M.S., 2008.

As unidades de primeira ordem- números até 19- são representadas por símbolos bem

simples: pontos e traços assim representados: de um a quatro pontos para as quatro primeiras

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unidades; traço horizontal para o 5; um, dois, três e quatro pontos acima do traço para os

números de 6 a 9; dois traços para o dez e assim sucessivamente.

Para números superiores a 20, os símbolos são escritos em forma vertical, com uma fileira

para cada ordem de unidades.

Para números compostos de duas ordens, coloca-se o algarismo das unidades simples na parte

de baixo e os algarismos das vintenas na parte de cima.

Assim o número 25 = 1. 20 + 5 é escrito do seguinte modo:

Desta forma evidencia-se o princípio multiplicativo e também dizemos que o sistema maia é

posicional, uma vez que o lugar ocupado pelos algarismos determina seu valor.

O sistema de numeração maia é aditivo, pois é necessário somar para saber o valor do número

e também possuíam um símbolo para o zero.

O Sistema de Numeração Decimal

Muitas das civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração e ao longo da

humanidade o homem organizou, sistematizou a escrita até formar o que nós chamamos hoje

de Sistema de Numeração.

O Sistema de Numeração é um conjunto de regras utilizado para escrever os números.

Dependendo da forma como são feitos os agrupamentos os sistemas poderão ter bases

diferentes.

Bases de um Sistema de numeração é a quantidade escolhida no processo de agrupar e

reagrupar os elementos de um conjunto.

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A base 10 é à base de nosso sistema de numeração decimal porque nós agrupamos os

elementos a serem contados de dez em dez.

Portanto:

10 unidades formam uma dezena

10 dezenas formam uma centena

10 centenas formam uma uma unidade de milhar

10 unidades de milhar formam uma dezena de milhar

10 dezenas de milhar formam uma centena de milhar

10 centenas de milhar formam uma unidade de milhão, e assim por diante

O nosso sistema de numeração decimal é posicional, pois um mesmo símbolo representa

valores diferentes dependendo da posição que ocupa.

Cada posição, contada da direita para a esquerda, recebe o nome de ordem.

1ª posição: ordem das unidades

2ª posição: ordem das dezenas

3ª posição: ordem das centenas

4ª posição: ordem das unidades de milhar

5ª posição: ordem das dezenas de milhar

6ª posição: ordem das centenas de milhar

7ª posição: ordem das unidades de milhão

E assim por diante

Por ex: O número: 688. O numeral 8 tem valor posicional 8 e valor posicional 80.

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Possui um símbolo (o zero) para representar uma posição vazia no número, que pode ser a

ausência de unidades, dezenas, centenas, etc.

O nosso sistema é multiplicativo, pois cada algarismo representa o produto dele mesmo pelo

valor da posição que ocupa.

Por ex: 684 = 6 x 100 + 8 x 10 + 4 x 1

É também aditivo, pois 684 = 600 + 80 + 4

O nosso sistema de numeração diferente dos demais evoluiu e hoje tem a grande vantagem de

ser um sistema econômico, pois com somente dez símbolos (os algarismos) é possível

registrar todos os números, pois o mesmo assume valor diferente de acordo com sua posição

na escrita do número.

Sistema de Numeração Binário

A contagem, no sistema de numeração binário, é feita na base2 e para representar um número

nesta mesma base, usamos apenas dois algarismos: 0 e 1.

Os computadores e as calculadoras trabalham com um código binário semelhante a esse

sistema.

Quando se digita uma letra, um número ou qualquer outro símbolo, os computadores os

transformam numa seqüência de “zeros” e “uns”.

No sistema binário o valor de cada algarismo depende da posição que ele ocupa no número,

da mesma forma que acontece no sistema decimal.

No sistema de base dois, um número imediatamente à esquerda de outro, representa, em

relação a este, um número de unidades duas vezes maior. (....,23 ,2

2 ,21 ,2

0 ).

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Fonte: BONGIOVANNI, Vincenzo; LEITE, Olímpio Rudinin Vissoto ; LAUREANO, José Luiz Tavares. Matemática & Vida -5ª série, 16ª edição. São Paulo: editora Ática, 2001

Os computadores são capazes de adicionar, subtrair, multiplicar, dividir e comparar através de

impulsos elétricos. Eles trabalham com o sistema binário, interpretando a ausência de corrente

elétrica como 0 e a presença de impulso elétrico como 1.

Entretanto, para o uso de computadores não é necessário conhecer o sistema binário, pois a

passagem para o sistema decimal é feita automaticamente pelo próprio computador.

O sistema de numeração binário é utilizado em vários cursos, entre eles os de algumas

tecnologias, eletrônica, engenharias e áreas do sistema de informação.

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REFERÊNCIAS

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BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode São Paulo: FTD, 2002. – (Coleção matemática hoje é feita assim).

BONGIOVANNI, Vincenzo.Matemática & Vida , 5ª série- 16ª Ed / Vincenzo Bongiovanni, Olimpio Rudinin Vissoto Leite, José Luiz Tavares Laureano- São Paulo: Ática,2001

CARVALHO, Ana Marcia Fernandes Tucci de. Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático./ Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho. Magna Natália Marin Pires. Marilda Trecenti Gomes - Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2005.

CAVALCANTE, Luiz G... [ ET al.]. Mais matemática, 5ª série 1. Ed- São Paulo: Saraiva, 2001.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. Luiz Roberto Dante, -- São Paulo: Àtica, 2005.

GIOVANNI, José Ruy. A conquista da matemática: a + nova / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior- Sâo Paulo: FTD, 2002. _ (Coleção a conquista da matemática).

GIOVANNI, José Ruy. Matemática pensar e descobrir: novo / Giovanni&GiovanniJr._São Paulo: FTD, 2000._ (Coleção matemática pensar e descobrir).

MORI, Iracema. Idéias e Desafios, 5ª série / Iracema Mori, Dulce Satiko Onaga. – 8. Ed. revista e atualizada – São Paulo: Saraiva, 1999.

PIRES, Magna Natália Marin. Prática Educativa do Pensamento Matemático/ Magna Natália Marin Pires, Marilda Trecenti Gomes. Nancy Terezinha Aldenburg Kock.- Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2004.

SEED/PR. DIRETRIZES CURRICULARES DE MATEMÁTICA PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA, 2006.

ZUNINO, Délia Lerner de. A matemática na escola: aqui e agora. 2ª Ed. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.

Online. Numeração Binária. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_binaria.htm> Acesso em: 18 out.2008.