Segunda lista de Cálculo II 1) Calcular o comprimento de arco da curva entre os pontos e . Resp.:

2) Determine o comprimento da curva dada:

a) r(t) = ⟨ 2sen t, 5t, 2cost ⟩ -10 ≤ t ≤ 10. Resp.: 29

20 b) r(t) = kejeit tt ˆˆˆ2 −++ , 0 ≤ t ≤ 1. Resp.: (e - e-1).

3) Determine os versores da tangente e da normal T(t) e N(t) e encontre a curvatura.

a) r(t) = ⟨ 2 sen t, 5t, 2 cos t⟩ Resp. : sentt ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−292,

295,cos

292

, ttsen cos,0, −− e 292

.

b) r(t) = ⟨31

t3, t2, 2t⟩ Resp.:

)2(

2,2,

2

2

+t

tt,

)2(

2,2,2

2

2

+

−−

t

ttt e

22 )2(

2

+t.

4) Utilize o teorema 10 para achar a curvatura:

a) r(t) = t2 î + t k Resp. : 2

32 )14(

2

+t. b) r(t) = tt eet −,,2 no ponto (0, 1, 1) Resp.:

221

.

5) Determine a velocidade, seu módulo e a aceleração de uma partícula com vetor posição:

a) r(t) = tt teet ,,2 Resp. : tt etettv )1(,,2)( += , tt eteta )2(,,2)( += e tt etettv 2222 )1(4)( +++= .

b) r(t) = tt ,12 − , em t = 1. Resp.: 1,2)( ttv = , 14)( 2 += ttv e 0,2)( =ta .

c) r(t) = jtit ˆˆ 23 + , t ≥ 0. Resp.: jtittv ˆ2ˆ3)( 2 += , jiv ˆ2ˆ3)1( += , jitta ˆ2ˆ6)( += , jia ˆ2ˆ6)1( += e

13)1( =v .

d) r(t) = sen t i + t j + cos t k , em t = 0. Resp.: ksentjittv ˆˆˆcos)( −+= , 2)( =tv e ktisentta ˆcosˆ)( −−=

6) Uma partícula se move de uma posição inicial r(0) = ⟨1, 0, 0⟩ com velocidade inicial v(0) = i - j + k . Sua aceleração é dada por

a(t) = 4t i + 6t j + k . Determine a sua velocidade e posição no instante t.

Resp.: ktjtittv ˆ)1(ˆ)13(ˆ)12()( 22 ++−++= e kttjttitttr ˆ21ˆ)(ˆ1

32)( 233 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

r

7) Um objeto de massa m que se move numa trajetória eclíptica com velocidade angular constante w tem vetor de posição dado por r(t) = a cos(wt) i + b sen (wt) j . Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para a mesma. Dica: F = ma.

Resp.: jwtsenbwiwtawtvta ˆ)(ˆ)cos()(')( 22 −−== e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−== )ˆ)(ˆ)cos(.)(.)( 2 jwtbseniwtawmtamtF .

8) Uma partícula se move com função de posição: r(t) = 322 ,, ttt . Determine os componentes tangencial e normal da aceleração.

Resp.: 42

3

98188

)(')(").('

tttt

trtrtraT

+

+== e

42

2

9826

)(')(")('

ttt

trtrtr

aN+

=×

= .

9) Determine os componentes tangencial e normal do vetor aceleração. a) r(t) = (3t - t3) i + 3t2 j . Resp. : 6t e 6. b) r(t) = cos t i + sen t j + t k . Resp. : 0 e 1.

c) r(t) = et i + 2 t j + e-t k . Resp. : tt ee −− e 2 .