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arcelo Becke
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SEM0317 – Aula 6Dinâmica de Manipuladores Robóticos
Prof. Assoc. Marcelo Becker USP-EESC-SEM
LabRoM
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• Introdução • Método Newton-Euler
• Método de Krane • Exemplos de Aplicação • Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Sumário da Aula
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Introdução• O porquê do uso de modelos dinâmicos em robótica:
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Introdução• O porquê do uso de modelos dinâmicos em robótica:
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Introdução• Deseja-se compreender:
– Torques e Forças (internos/externos) • 2 problemas principais:
– Dados deseja-se: – Como o manipulador irá se movimentar
com a aplicação de ,ou seja, obter:
• Base: sistemas multi-corpos
θθθ !!!e, τ
τθθθ !!!e,
Controle
Simulação
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Introdução• Equações de Movimento...
),(),()( uqFuqVuqM =+!
),()( tqBqqAu += !iam ⋅=∑F
ω×ω+α=τ∑ II
Formulação Mínima → G.D.L.Formulação Completa → Corpos
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Introdução• Descrição da Dinâmica...
Dinâmica Direta (Simulação) Dados: Posições e Velocidades no instante inicial t0
Forças e Torques (F , τ) no instante inicial t0
Leis de Formação para F e τ quando t > t0
(Exemplo: Leis de Controle) Procura-se: Movimentos resultantes
(comportamento) para t > t0 SOLUÇÃO Integração das
Equações de Movimento Sist. de Equações Diferenciais
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Introdução• Descrição da Dinâmica...
Dinâmica Inversa (Comando, Controle em Malha Aberta) Dados: Movimentos desejados (posições, velocidades, acelerações) para t > t0
Forças e Torques de contato Procura-se: Forças e Torques nas articulações dos robôs
SOLUÇÃO Resolução das
Equações de Movimento Sist. de Equações Algébricas
Planejador deTrajetorias
Sistema deControle Robôτ
dθ
dθ!
dθ!!
θ
θ!
),(),()( uqFuqVuqM =+!
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Introdução• Métodos mais empregados em Robótica:
– Newton-Euler (N-E) – Krane – Lagrange-Euler (L-E) – Equações Generalizadas de d’Alembert (D)
• Qual empregar?
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Introdução• Comparação (Fu et al., 1987): n - DoFs
Método L-E N-E D
Multiplicações128/3n4 + 512/3n3 +
739/3n2 + 160/3n132n
13/6n3 + 105/2n2 + 268/3n + 69
Adições98/3n4 + 781/6n3 +
559/3n2 + 245/6n111n - 4
4/3n3 +44n3 + 146/3n2 + 45n
Representação Cinemática
Matrizes Homogêneas 4x4
Matrizes de Rotação e Vetores
de Posição
Matrizes de Rotação e Vetores
de Posição
Equações de Movimento
Equações diferenciais
“closed-form”
Equações Recursivas
Equações diferenciais
“closed-form”
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Introdução• Comparação (Fu et al., 1987): 6 - DoFs
Método L-E N-E D
Multiplicações 101.348 792 2.963
Adições 77.405 662 2.209
Representação Cinemática
Matrizes Homogêneas 4x4
Matrizes de Rotação e Vetores
de Posição
Matrizes de Rotação e Vetores
de Posição
Equações de Movimento
Equações diferenciais
“closed-form”
Equações Recursivas
Equações diferenciais
“closed-form”
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Introdução• Prós e Contras...
– L-E: ✓ Equações em uma forma bem estruturada; D Computacionalmente dispendiosas...
– N-E: ✓ Conjunto de Equações Recursivas; D Dificilmente empregadas para obter leis de controle
mais “avançadas”...
– D: ✓Equações em uma forma estruturada; D Computacionalmente dispendiosas...
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Newton-Euler • Cada corpo rígido é considerado separadamente • Quando da separação de cada corpo, as forças nos mancais
precisam ser introduzidas e posteriormente eliminadas. • O cálculo dos termos de inércia é feito através das acelerações. Lagrange-Euler • O sistema é considerado por completo. • Forças que não produzem trabalho (forças nos mancais), não
precisam ser introduzidas. • O cálculo dos termos de inércia, através da derivada da energia
cinética é trabalhoso em sistemas grandes. • Alguns dos termos calculados, anulam-se posteriormente em
simplificações.
Introdução
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Métodos de Projeção - Kane (Kane, T.R., Levinson, D.A.: "Dynamics: Theory and Application", McGraw-Hill,
1985) • Trata o sistema como um todo. • Forças que não produzem trabalho (forças nos mancais), não precisam
ser introduzidas. • Baseado no princípio das potências virtuais. Cálculo dos termos inerciais
através de acelerações e produtos escalares com velocidades parciais.
Outros Métodos de Projeção: destaque especial Manfred Hiller.
Introdução
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Introdução• Observações...
– É usual desconsiderar forças de Coriolis e Centrífugas para aumentar a velocidade de controladores de manipuladores.
– Porém essas forças são significantes no cálculo dos torques das juntas a altas velocidades...
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Possibilidades para o Controle
• Dedução das equações de movimento com o auxilio do computador
• Simulação das equações de movimento
Atenção: Equações de movimento são difíceis de comparar.
Introdução
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Software para análise de Sistemas Multicorpos Características importantes para diferenciar programas
Catalogo de critérios
• Numérico / Simbólico • Com / sem solução das Equações (Simulação) • Abrangência das equações resultantes respectivamente
duração das Simulações • Capacidade para lidar com equações Lineares / Não-Lineares • Capacidade de Linearização • Equações de Vínculos gerados automaticamente / pelo usuário • Dedução das Equações em modo interativo/ batch • Genérico / Específico para aplicações especiais • Somente corpos rígidos / corpos flexíveis • Forças internas disponíveis diretamente • Com / sem saídas e entradas gráficas • Equipamento necessário / Preço • Documentação e facilidade de ambientação e utilização • Manutenção, suporte técnico
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Softwares de Interesse p/ Robôs (Sistemas Multicorpos)
• Autolev (www.autolev.com) • MSC.ADAMS® (www.mscsoftware.com) • Matlab/Simulink (www.mathworks.com/products/matlab) • (www.cat.csiro.au/cmst/staff/pic/robot) • Matlab/SimMechanics
(www.mathworks.com/products/simmechanics) • Mathematica/TSI ProPac
(www.wolfram.com/products/applications/tsipropac)
• Mathematica/Robotica (robot0.ge.uiuc.edu/~spong/Robotica) • Simpact • GraspIt (www1.cs.columbia.edu/~allen/GRASPIT) • Modellica (www.modellica.org)
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Considerações sobre a construção de Modelos para Robôs
Modelo + Simples (Possibilidades) • Desprezar acoplamentos entre parte dos corpos dos robôs • Desprezar termos de inércia em V(Q,U), considerando a matriz M(Q) • Exclusão de termos que se mantêm muito pequenos • Corpos como pontos ou barras delgadas (momento de inércia)
Modelo + Completo (Possibilidades) • Considerar os atritos e as folgas • Mecanismos de transmissão de força como estruturas contendo
massas • Elasticidades locais (redutores) • Motores nos termos de inércia (inércia dos rotores e/ou efeitos
giroscópios) • Elos como estruturas elásticas contínuas • Comportamento de componentes não mecânicos (motor elétrico) • Ambiente externo, inclusão de contato
Compromisso: descrição mais exata possível e o esforço correspondente
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Auxilio de Software Análise de Sistemas Dinâmicos
1. Construção do Modelo Descrição simplificada → modelo mecânico simplificado. “Apenas” as características de interesse do sistema real, porem
da forma mais precisa possível.
2. Descrição Matemática Formulação matemática das relações e leis físicas.
3. Determinação dos Parâmetros Determinação dos parâmetros (valores) através de medidas
diretas ou de identificação no sistema real / experimental
4. Aquisição de Informações Informação sobre movimentos, forças e energia. Representação
na forma de tabelas, gráficos (2D / 3D, estáticos / dinâmicos)
5. Interpretação Conseqüências para a formulação construtiva,
dimensionamento de atuadores ajuste dos controladores, carregamentos para FEM, etc ...
Auxilio de Software
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Simulação de Sistemas MulticorposSimulação → Integração das E.d.M. Rotinas de Integração → Equações diferenciais de primeira ordem Representação de estados necessária a partir das E.d.M.
uqqJuqFuqVuqM
=
+−=
!!
)(),(),()( ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=qu
x
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= −
−
uqJuqVuqFM
qu
x 1
1
)()),(),((
!!
!
=uqM !)(
Vetor de estados
No entanto: O calculo explicito de M-1 e de J-1 em cada passo de integração é ineficiente e desnecessário.
Melhor: Solução do sistema de equações lineares .... e = ... para a cada passo de integraçãoqqJ !)(
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Composição do Modelo
Dedução das Equações deMovimento com auxilio do
Computador
Geração do Programade Simulação
Simulação dasEquações de Movimento
Representação Graficados Resultados
Eng
enhe
iroM
atla
b / C
Mat
lab
/ C /
Gnu
Plo
tA
utol
ev
Manipulador simbólico especializado para: • Cinemática • Dedução de Equações de Movimento para
sistemas multicorpos pelo Método de Kane (por exemplo...)
• Geração automática de Programas de Simulação (MatLab, C, ...)
Autolev
Introdução
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Flexíbilidade • Corpos de Ligação (elos) • Articulações • Tecidos
Contatos e Colisões
Extensão da Teoria Helicoidal
Solvers para tempo real (Hardware-in-the loop)
Modelagem do mundo externo
Dinâmica Reduzida com Simplificação do Modelo
Áreas de Pesquisa
Introdução
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• Introdução • Método Newton-Euler • Método de Krane • Exemplo de Aplicação • Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Sumário da Aula
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Método Newton-Euler• “Produto final” do Método de Newton-
Euler:
– Equações diferenciais de movimento – Reações dinâmicas (forças e torques)
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• Equacionamento:Método Newton-Euler
Massa total do link i.Posição do Centro de Massa do link i com relação ao sistema inercial.Posição do Centro de Massa do link i com relação à origem do sistema (xi, yi, zi).Origem do iésimo sistema de coordenadas com relação ao iésimo -1 sistema.
Velocidade linear do Centro de Massa do link i
Aceleração linear do Centro de Massa do link i
Força externa total aplicada no centro de massa do link i.
x0y0
z0
link i
ri
link i-1
link i+1
sipi
*
pi
(xi, yi, zi)
(xi-1, yi-1, zi-1)
→
→=
→=
→
→
→
→
i
ii
ii
i
i
i
i
Fdtvda
dtdrv
psrm
*
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• Equacionamento:Método Newton-Euler
Momento externo total aplicado no centro de massa do link i.
Matriz de inércia com relação ao sistema inercial.
Força exercida no link i pelo link i-1, no sistema(xi-1, yi-1, zi-1) para suportar o link i e os demais links “acima” dele.
Momento exercido no link i pelo link i-1, no sistema(xi-1, yi-1, zi-1).
x0y0
z0
link i
ri
link i-1
link i+1
sipi
*
pi
27
→
→
→
→
i
i
i
i
n
f
I
N
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• Desconsiderando atritos viscosos nas juntas, tem-se:
Onde:
Método Newton-Euler
Rotação
Translação
iiii
i amdtvmdF ==)(
)()(iiiii
iii II
dtIdN ωωωω
×+== !
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+××+
×+×+
+××+×
=
−
−−
−
1*
1*
1
1**
)(
)(2
)(
iiii
iiiiiii
iiiiii
i
vpqzpqzvpp
v!
!!!!
!!
!
ωω
ωω
ωωω
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• Com relação às forças e momentos externos exercidos no link i, tem-se:
E:
• Essas equações podem ser rescritas na forma de equações recursivas pois:
Método Newton-Euler
1+−= iii ffF
1*
11
111
)(
)()(
+−+
+−+
×−×−+−=
×−−×−+−=
iiiiiii
iiiiiiii
fpFrpnnfrpfrpnnN
iiii sppr +=− −*
1
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x0y0
z0
link i
ri
link i-1
link i+1
sipi
*
pi• Assim:
Método Newton-Euler
pi-1
iiii sppr +=− −*
1
11 ++ +=+= iiiiii famfFf
iiiiiiii NFspfpnn +×++×+= ++ )( *1
*1
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• Finalmente:
Método Newton-Euler
Rotação
Translação
11 ++ +=+= iiiiii famfFf
iiiiiiii NFspfpnn +×++×+= ++ )( *1
*1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
=
−
−
iiiTi
iiiTi
i
qbzf
qbzn
!
!
1
1
τ
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• Como aplicar? – Equações Forward
Método Newton-Euler
Rotação
Translação
Rotação
Translação
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
=
−−
−
−−
−
)(
)(
101
1
0101
1
0
ii
ii
iii
ii
ii
RR
qzRRR
ω
ω
ω
!
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ×++
=
−−
−
−−
−−
−
)(
))((
101
1
0101
0101
1
0
ii
ii
iii
iii
ii
ii
RR
qzRqzRRR
ω
ωω
ω
!
!!!!
!
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– Equações Forward
Método Newton-Euler
Rotação
Translação
( )( )
( )⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
××+
+×+
+×++
+
+××+×
=
−
−−−
−−
−
)()()(...
...)()(2...
...)()()(
...
...)()()()()(
*000
010
*001101
101
1
*000
*00
0
ii
ii
ii
iii
ii
ii
ii
iii
iii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
pRRRqzRR
pRRvRqzR
vRRpRRRpRR
vR
ωω
ω
ω
ωωω
!
!!!!
!
!
!
( ) ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii vRsRRRsRRaR !! 0000000 )()()()()( +××+×= ωωω
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– Equações Backward
Método Newton-Euler
Rotação
Translação⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
=
−
−
iiiiT
ii
iiiiT
ii
i
qbzRfR
qbzRnR
!
!
)()(
)()(
010
010
τ
iiii
ii
ii
i aRmfRRfR 0101
10 )( += ++
+
( )i
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
i
NRFRsRpRfRpRnRRnR
000*
0
101*
01
101
10
)()(...
...)()(
+×++
+×+= +++
++
+
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• Equações Forward e Backward – Em geral, as condições iniciais são:
Método Newton-Euler
0000 === vωω !
( )Tzyx gggv ,,0 =!
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• Introdução • Método Newton-Euler • Método de Krane • Exemplo de Aplicação • Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Sumário da Aula
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Exemplo de Aplicação• Pêndulo duplo...
Adept Cobra 600
SCARA Robot n1
n2a1
a2
b1b2
q1
B*
q2
LAL1
A*LB
L2
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Exemplo de Aplicação -1• Manipulador Planar de 2 DoFs com
duas juntas de rotação
38
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Exemplo de Aplicação -1• Matrizes de Transformação de
Coordenadas (Rotação):
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
10000
11
11
10 cs
scR
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
10000
22
22
21 cs
scR
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
10000
1212
1212
20 cs
scR
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
10000
22
22
12 cs
scR
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
10000
11
11
01 cs
scR
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
10000
1212
1212
02 cs
scR
39
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Exemplo de Aplicação -1• Assumindo as condições iniciais:
• Tem-se as equações forward, para i = 1:
e0000 === vωω ! ( )Tygv 0,,00 =!
1111
11
100
100
10000
θθ !!
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−= cssc
)( 10001
101 θωω !zRR +=
0000 === vωω !
40
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Exemplo de Aplicação -1• Para i = 2:
( )212122
22
100
100
100
10000
θθθθ !!!! +
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−= cssc
)( 20101
12
202 θωω !zRRR +=
41
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Exemplo de Aplicação -1• A aceleração angular das juntas de
rotação, para i = 1:
• Para i = 2:
110010001
101 )1,0,0()( θθωθωω !!!!!!! TzzRR =×++=
000 ==ωω !
[ ] ( )2120101
20101
12
202 )1,0,0())(( θθθωθωω !!!!!!!!! +=×++= TzRzRRR
42
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Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear das juntas de
rotação, para i = 1:
43
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )001*
101
101
101*
101
101
101 vRpRRRpRRvR !!! +××+×= ωωω
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
000
100
100
00
100
1
1
111 gcgsll
θθθ !!!!
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
=
011
121
gclgsl
θ
θ!!!
( )Tgv 0,,00 =!
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Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear das juntas de
rotação, para i = 2:
44
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )101
12*
202
202
202*
202
202
202 vRRpRRRpRRvR !!! +××+×= ωωω
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
=
010000
...
...000
000
000
0
11
121
22
22
212121
gclgsl
cssc
ll
θ
θ
θθθθθθ
!!!
!!!!!!!!
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Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear das juntas de
rotação, para i = 2:
45
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )101
12*
202
202
202*
202
202
202 vRRpRRRpRRvR !!! +××+×= ωωω
( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
+−−−−−
=
0
2
122121221
122122
21
21212
gcsclgscsl
θθθθ
θθθθθθ!!!!!!!
!!!!!!!
Prof. Dr. M
arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear do centro de
massa, para i = 1:
Onde:
46
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )101
101
101
101
101
101
101 vRsRRRsRRaR !! +××+×= ωωω
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
02121
1
1
1 ls
lc
s⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
002
02121
10000
1
1
11
11
101
l
ls
lc
cssc
sR
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arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear do centro de
massa, para i = 1:
Onde:
47
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )101
101
101
101
101
101
101 vRsRRRsRRaR !! +××+×= ωωω
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
02121
1
1
1 ls
lc
s⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
002
02121
10000
1
1
11
11
101
l
ls
lc
cssc
sR
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r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear do centro de
massa, para i = 1:
Onde:
48
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )101
101
101
101
101
101
101 vRsRRRsRRaR !! +××+×= ωωω
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
02121
1
1
1 ls
lc
s⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
002
02121
10000
1
1
11
11
101
l
ls
lc
cssc
sR
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Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear do centro de
massa, para i = 1:
49
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
+
+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
02
2
0...
...002
00
00
002
100
11
121
11
121
11
1101
gclgsl
gclgsl
ll
aR
θ
θ
θ
θ
θθ
θ
!!
!
!!!
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Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear do centro de
massa, para i = 2:
Onde:
50
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )202
202
202
202
202
202
202 vRsRRRsRRaR !! +××+×= ωωω
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
02121
12
12
2 ls
lc
s⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
002
02121
10000
12
12
1212
1212
202
l
ls
lc
cssc
sR
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Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear do centro de
massa, para i = 2:
51
( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
+−−−−
+
+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
=
0
2...
...002
00
00
002
00
122121221
122122
21
21212
212121
202
gcsclgscsl
ll
aR
θθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
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Exemplo de Aplicação -1• A aceleração linear do centro de
massa, para i = 2:
52
( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
+−−−−
+
+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
=
02121
2121...
...002
00
00
002
00
122121221
122122
21
21212
212121
202
gcsclgscsl
ll
aR
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θθθθθθ
θθθθθθ
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Prof. Dr. M
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r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• Tem-se as equações backward para i =
1, 2 e sem carregamento externo:
• A força exercida no link, para i = 2:
53
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
+−−−−
=
==+=
0)()(
)(
122221
1212
12122
12221222
1212
1212122
202220
220
230
33
220
2
cgmsclmsgmcslm
aRmFRFRfRRfR
θθθθ
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033 == nf
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Exemplo de Aplicação -1• Para i = 1:
54
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++−+−
+−−++−−+−−
=
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
+−−−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=+=
0)]()([(
)()]()([(
0)()(
10000
)(
111121
1221221
21222
2122
112
112112
112221222122
1212
22
2122
1212
101112222
112
1212122
12221222
1212
1222122
22
22
101
202
21
101
gcmlmcgmcsslmgsmlmscscgmscclm
aRmcgmsclmsgmcslm
cssc
FRfRRfR
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
θθθθ
θθθθθθ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!
Prof. Dr. M
arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• O momento no link, para i = 2:
Onde:
55
( ) ( ) 202
202
202*
202
202 NRFRsRpRnR +×+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
012
12*2 ls
lcp
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
00
010000
12
12
1212
1212*20
2
llslc
cssc
pR
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r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• O momento no link, para i = 2:
56
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
+−−−−
×
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
212
2121
2212
1
122221
1212
12122
12221222
1212
1212122
202
00
0000000
...
0)()(
002
θθ
θθθθ
θθθθθθ
!!!!
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lmlm
cgmsclmsgmcslm
l
nR
Prof. Dr. M
arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• O momento no link, para i = 2:
57
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
=
=
122212
12122
221
22
231
12
231
202
)(00
cglmsclmlmlm
nR
θθθθ !!!!!!!
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arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• O momento no link, para i = 1:
Onde:
58
( ) ( ) 101
101
101*
101
202*
102
202
21
101 ])([ NRFRsRpRfRpRnRRnR +×++×+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
01
1*1 ls
lcp
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
02
2*10
2 lslc
pR⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
00*
101
lpR
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arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1• O momento no link, para i = 1:
Assim:
59
( ) ( ) 101
101
101*
101
202*
102
202
21
101 ])([ NRFRsRpRfRpRnRRnR +×++×+=
( ) 101
101
202*
102
21
202
21
101 0,0,
2])[()( NRFRlfRpRRnRRnR
T
+×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+=
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arcelo Becke
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Exemplo de Aplicação -1• E finalmente o torque em cada link,
para i = 2, b2 = 0 :
60
212
222
11222
112
222
12
223
11
223
1
012
202
2 )()(
θθθθ
τ
!!!!!!! slmglcmclmlmlm
zRnR T
++++=
=
Prof. Dr. M
arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
Exemplo de Aplicação -1
• Para i = 1, b1 = 0:
61
1212221
1121
22
2222
121
22222
222
1
122
222
231
12
234
12
131
001
101
1
.........
...
)()(
glcmglcmglcmlsmlsmclm
clmlmlmlm
zRnR T
+++
+−−+
++++=
=
θθθθ
θθθθ
τ
!!!!!
!!!!!!!!
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r - SEM – EESC – USP
• Introdução • Método Newton-Euler • Método de Krane • Exemplo de Aplicação • Exercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada
Sumário da Aula
62
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r - SEM – EESC – USP
Exercícios Recomendados• Exercícios Recomendados:
– Livro do Craig (2005): pp. 194-200
63
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arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
• Introdução • Método Newton-Euler • Método de Krane • Exemplo de Aplicação • Exercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada
Sumário da Aula
64
Prof. Dr. M
arcelo Becke
r - SEM – EESC – USP
Bibliografia Recomendada• Santos, I.F., 2001, Dinâmica de Sistemas Mecânicos:
Modelagem, Simulação, Visualização e Verificação, Makron Books, ISBN 85-346-1110-6.
• Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence – Capítulo 3, McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-100421-1.
• Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics: Mechanics and Control – Capítulo 6, 3rd Edition, Pearson Education Inc., ISBN 0-201-54361-3
65
