Seminário TAEM

Seminrio do Curso TAEM I

Julho de 2015

Iara S. Ribeiro

Prof. Dr. Ricardo Silveira Azoubel

Universidade Federal de Ouro Preto

Escola de Minas Departamento de Engenharia Civil

Programa de Ps Graduao em Engenharia Civil

1 Artigo:

Um eficiente mtodo numrico para

a anlise inelstica de segunda ordem de trelias espaciais

Publicado em: Journal of Computing in Civil Engineering, Maro/Abril 2013

1 Artigo

Newton-Raphson

Resduos mnimos generalizados

(GMR)

Mnimos Quadrados

(LSQR)

Gradiente

Biconjugado

(BCG)

Introduo e Objetivos

1 Artigo

Anlise no linear de trelias espaciais

( )f = P

Equao de equilbrio:

Deslocamentos

Resultante das foras internas Foras nodais externas

= P

Forma diferencial da equao de equilbrio :

Incremento de carga

Incremento de deslocamentos

Matriz de rigidez tangente

do sistema

(1)

(2)

1 Artigo


Matriz de Rigidez do elemento:

TAEQL

T = g BB (3)

1 Artigo


Matriz de Rigidez do elemento:

TAEQL

T = g BB

No linearidade

Geomtrica

(3)

1 Artigo


Matriz de Rigidez do elemento :

TAEQL

T = g BB

No linearidade

Geomtrica No linearidade

Fsica

( )T

(3)

1 Artigo



TAEQL

T = g BB

No linearidade


Fsica

g

( )T

Onde:

: matriz de rigidez geomtrica

A : rea da seo transversal

Q : fora axial no elemento de trelia (referencial local)

L : comprimento do elemento

B : vetor de rotao

E : mdulo de elasticidade

(3)

1 Artigo



TAEQL

T = g BB

No linearidade


Fsica

g

( )T

Onde:

: matriz de rigidez geomtrica

A : rea da seo transversal

Q : fora axial no elemento de trelia (referencial local)

L : comprimento do elemento

B : vetor de rotao

E : mdulo tangente

(3)

1 Artigo


1 2[-( '/ ) '/ ]

1 2

1 3- ( - ) '/

2

X X u L u L

cr lE Q Q e X X u LA

' cru u u

1, 2X X : so constantes que dependem da esbeltez do elemento comprimido

Onde:

(4)

Para o caso inelstico:

1 Artigo


Relao carga-deformao proposta por Hill et. al. (1989):

Figura 1. Curva carga-deformao (Carregamento). Figura 2. Curva carga-deformao (descarregamento).

1 Artigo

Soluo do sistema de equaes no lineares

Mtodo de

Newton- Raphson

Gradiente

Biconjugado

(BCG)

Fluxo Normal

1 Artigo


Gradiente Biconjugado (BGC):

Resolve sistemas de equaes.

No necessita que a matriz dos coeficientes seja positiva-definida e auto-adjunta

(Saad, 2000).

O algoritmo BCG resolve um sistema dual

No qual so encontrados duas sequncia de vetores.

Os resduos so gerados de modo a serem mutuamente ortogonais (van der Vorst

2003).

Ax b * * *A x b (8)


Gradiente Biconjugado Modificado (BGC):

1 Artigo

Figura 3. BCG e BCG modificado.


1 Artigo

Figura 5. Tcnica do fluxo normal

FONTE: Maximiano, 2012

Tcnica do Fluxo Normal:

Figura 5. Vetores U e U da iterao k na tcnica do fluxo normal.

1 Artigo

Gradiente Bi-Conjugado (BGC)

Pro

cesso I

tera

tivo

Pro

cesso incre

menta

l

1 Artigo

Gradiente Bi-Conjugado (BGC)

Pro

cesso I

tera

tivo N

R

Processo Incremental :

Alternativa utilizada para evitar

o clculo da inversa da matriz de rigidez

na resoluo do sistema.

Pro

cesso incre

menta

l N

R

1 Artigo

Exemplo : Cpula Treliada de Schewdeler (Greco et al. 2006)

97 ns e 264 elementos

Propriedades:

3640 10 kN, EA325kN/cm ,yF

430.04 cm .I

Figura 6. Exemplo de estrutura de maior complexidade.

1 Artigo

Exemplo 1 : Cpula Treliada de Schewdeler

Figura 7. Trajetria de equilbrio para o n central

1 Artigo

Exemplo 1 : Cpula Treliada de Schewdeler

1 Artigo

Exemplos prticos

Figura 8. Exemplo de estrutura treliada de maior complexidade.

FONTE: L.R., 2014

1 Artigo

Exemplos prticos

Figura 9. Cpula - Shopping - Flamboyant.

FONTE: L.R., 2014

1 Artigo

Concluso

A formulao utilizada foi capaz de realizar com xito os clculos para

determinao da trajetria de equilbrio.

Atravs das Tabelas 1 e 2, pode-se perceber que o mtodo BCG modificado

acoplado ao mtodo de Newton-Raphson reduz consideravelmente o tempo de

processamento e o nmero de iteraes, quando comparado aos outros

mtodos indicados. Desta forma, conclui-se que este mtodo o mais eficiente.

Greco, M., Gesualdo, F. A. R., Venturini, W. S., and Coda, H. B. (2006). Nonlinear positional

formulation for space truss analysis. Finite Elem. Anal. Des., 42(12), 10791086.

Hill, C. D., Blandford, G. E., andWang, S. T. (1989). Post-buckling analysisof steel space

trusses. J. Struct. Eng., 115(4), 900919.

Kassimali, A., and Bidhendi, E. (1988). Stability of trusses under dynamic loads. Comput.

Struct., 29(3), 381392.

Maximiniano D. (2012). Uma Tcnica Eficiente para Estabilizar a Estratgia do Resduo

Ortogonal na Anlise No Linear de Estruturas. Dissertao de Mestrado, Escola de Minas,

Programa de Ps-graduao em Engenharia Civil, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro

Preto/MG.

Fischborn M. (2006) Computao de alto desempenho aplicado a anlise de dispositivos

eletromagnticos. Tese de Doutorado, Programa de Ps-graduao em Engenharia Eltrica,

Universidade Federal de Santa Catarina, Florianpolis/SC.

Saad, Y. (2000). Iterative methods for sparse linear systems, SIAM, Philadelphia.

Apostila do Professor Paulo Batista

Referncias

2 Artigo

Anlise inelstica de segunda ordem de prticos espaciais

com elementos de seo transversal do tipo H

2 Artigo

Superfcie de Resistncia

Critrio que define o limite de resistncia plstica dos elementos estruturais.

No artigo em questo, foi desenvolvida uma formulao baseada em resultados

obtidos da anlise de vrias sees transversais utilizando-se o modelo de fibras.

Figura 1. Discretizao da seo

no modelo das fibras

1

n

i i

i

P a f

1

n

y i i i

i

M a f z

1

n

z i i i

i

M a f y

(1.a)

(1.b)

(1.c)

2 Artigo


Figura 2. Representao da superfcie de

resistncia proposta

1

_*1 /

R

ryrz rzLrz y rzL ryL

rz rzL ryL

mm mM m m

m m m

2

_*1 /

R

ry ryL rzrz y rzL ryL

ry ryL rzL

m m mM m m

m m m

(2.a)

(2.b)

2 Artigo


Figura 3. Superfcie de plasticidade para um

perfil de ao de seo do tipo UC

Figura 4. Superfcie de plasticidade para um

perfil de ao de seo do tipo HD 400x1086

2 Artigo

Mdulo tangente

O efeito das tenses residuais so considerados de acordo com a recomendao

do European Convention for Costruction Steelwork (ECCS)

A magnitude da tenso residual considerada dependente da razo altura/largura

da seo.

Figura 5. Tenso residual (ECCS)

2 Artigo

Mdulo tangente

Figura 6. Mdulo inelstico

/ /(3.a) (3.b)

y y z ztry trz

y z

dM d dM dE E

EI EI

2 Artigo

Mdulo tangente

Figura 7. Razes de mdulo de flexo inelsticos para sees transversais em torno do eixo principal

2 Artigo

Mdulo tangente

Figura 8. Razes de mdulo de flexo inelsticos para sees transversais em torno do eixo principal

2 Artigo

Mdulo secante

A utilizao da rigidez tangente para clculo

das foras internas pode superestimar a

resistncia da estrutura.

Soluo proposta: utiliza-se a rigidez

secante incremental.

Para tanto, baseado nos clculos do mdulo

tangente, o mdulo secante

1

1

1(4)

j j

sr

j j

M ME

EI

Figura 9. Grfico momento curvatura

2 Artigo

Mdulo secante

2 Artigo

Exemplo 1 : Prtico de dois andares

Figura 9. Prtico de dois andares (Kim e Lee , 2003)

H150160106,5 mm

Propriedades fsicas:

=320, =221 e =85 .

O prtico possui as imperfeies

especificadas na Tabela 1.

2 Artigo


Tabela 1. Imperfeies decorrentes da montagem nos elementos do prtico

Imperfeies (mm)

Andar Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4

X Y x Y X Y X Y

Roof level 4,15 11,08 5,49 11,41 -9,17 6,58 -4,31 12,04

2 floor 1,39 6,88 -0,68 6,77 -5,11 2,11 -3,96 6,19

Base 0 0 0 0 0 0 0 0

2 Artigo

Figura 9. Relao carga-deslocamento (r=0) Figura 10. Relao carga-deslocamento


1 Artigo

Exemplo prtico

Figura 11. Edifcio de Mltiplos Andares.

FONTE: Manual de estruturas Metlicas - Transporte e Montagem

1 Artigo

Concluso

Foi desenvolvida uma nova e simplificada formulao para determinao da superfcie de resistncia de perfis do tipo H. Observando-se os resultados do

artigo, pode-se concluir que a nova formulao correlacionou-se bem com o

mtodo da zona plstica e com o mtodo desenvolvido por Batista (2012).

O ponto de extrema relevncia desse artigo foi a proposta de clculo do mdulo secante de forma incremental. O uso da rigidez tangente para calcular

as foras internas pode ligeiramente superestimar essa fora, deste modo o

autor optou pelo uso da rigidez secante incremental, a fim de avaliar os valores

das foras internas de forma mais precisa.

Deve-se ressaltar que toda a formulao vlida para sistemas estruturais espaciais, no entanto ela foi desenvolvida apenas para perfis do tipo H, os quais

no apresenta o problema de toro, que caracterstico de sistemas

tridimensionais.

Baptista AM. Resistance of steel I-sections under axial force and biaxial bending moment. J Constr

Steel Res 2012;72:111.

ECCS, Essentials of Eurocode 3 design manual for steel structures in building. ECCS-advisory

committee, vol. 5(65). 1991. p. 60.

Gonalves, G. A. Modelagem do Comportamento Inelstico de Estruturas de Ao: Membros sob

Flexo em Torno do Eixo de Menor Inrcia. Dissertao de Mestrado, Escola de Minas, Programa de

Ps-graduao em Engenharia Civil, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto/MG, 2013.

Orbison JG, McGuire W, Abel JF. Yield surface applications in nonlinear steel frame analysis. Comput

Methods Appl Mech Eng 1982;33(1):55773.

Zubydan AH. A simplified model for inelastic second order analysis of planar frames. Eng Struct

2010;32:325868.

Notas de aula da disciplina Tpicos Avanados em Estruturas Metlicas

Manual de estruturas Metlicas - Transporte e Montagem. Disponvel

em:. Acessado em

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