SÃO PAULO · 2016. 5. 8. · MACK-SP 2003 – 2o semestre Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f x. é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 . 2 e) 5 . 2 IIIIIIII

IIIII M12 – FUNÇÃO COMPOSTA IIIII

vestibularpassoapasso.com.br 08/05/2016 10:08 Editora VESTBULAR PASSO A PASSO 1

SÃO PAULO

MACK-SP 2003 – 2o semestre Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f

x.

é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 . 2 e) 5 . 2 IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII

A função f é uma função exponencial, de modo que seu gráfico não contém segmentos de reta.

Portanto o gráfico formado por semi-retas é da função g(x). Função definida por mais de uma sentença

Para x < 0 g(x) = 4

Para x 0 g(x) m x +n, sendo m, n constantes reais. Do gráfico, g(0) = 4 g(1) = 3 Consequencia Sistema m . 0 + n = 4 m . 1 + n = 3 P (0; 4) Q (1; 3)

g = y x + b

x g = 3 – 4 . x + b 1 – 0 g = - 1 x + b Aplicando o ponto P (0, 4) 4 = - 1 . 0 + b b = 4



a = - 1 b = 4 ou m = - 1 n = 4 Assim, g(x) = 4, se x < 0

Ou g(x) – 1 + 4, se x 0 Pedido = g(g(-1) + f(g(3)) Pedido = g(4) + f(-3 + 4) Pedido = g(4) +f(1) Pedido = (-4 + 4) + 3 Pedido = 3 Opção ( C )

4. (UEL) A função de R em R é definida por f(x) = mx + p. Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, então f(f(18)) é igual a: A) -2 B) -1 C) 1 C) 4 E) 5

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Passa pelos pontos S (- 3 ; - 10) e T (2 ; - 5) y = 1 x - 7 Pedido = f(f(18) ) Pedido = f (1 . 18 – 7) Pedido = f(11) Pedido = 1 . 11 – 7 Pedido = 4



(Fatec-SP) O valor da expressão y = x³- 8 . x²+2x+4 , para x = √2 , é: A) √2-2 B) √2+2 C) 2 D) -0,75 E) -4/3

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII

(x - 2) (x² +2 x + 4)

x² + 2x + 4 y = x - 2

Para x= √2 x - 2 √2 -2

PUC-SP Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale: A) -2 B) 0 C) 1 D) 3 E) 5

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII f (g(x) ) = x + 4 f(g(x) ) = 3 . g(x) - 4 3 g (x) - 4 = x + 4 3 . g (x) = x + 8 g(x) = x + 8 . 3 Pedido = g(1) Pedido = x + 8 . 3 Pedido = 1 + 8 . 3 Pedido = 3 Opção ( D )



5. (MACK) Seja f: R → R uma função definida por y =

f(x). Sabendo-se que f(0) = 3, f(1) = 2 e f(3) = 0, o valor de x tal que f(f(x+2)) = 3 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Observando a função composta f(f(x + 2)) = 3 f(0) = 3, f(x+2) = 0. f(3) = 0. Logo, x + 2 = 3 x = 3 – 2 x = 1. Opção ( B)

9. (ANGLO) Sendo f e g funções de R em R, tais que f(x) = 3x - 1 e g(x) = x

2, o valor de

f(g(f(1))) é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Aplicando os valores nas funções: f(1) = 3 (1) – 1 = 2; g(f(1)) = g(2) g(f(1)) = (2)² g(f(1)) = 4 f(g(f(1))) = f(4) = 3 (4) -1 = 11. Opção ( B)



11. (MACK) Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma dos possíveis valores de n é: a) 6 b) –12 c) –6 d) –18 e) 12

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Igualando as expressões das compostas f(f(x)) temos:

94))((

²).()())((

xxff

nmnxmnmnmxnmxfxff

94 xnmnxm² .

9

4²

nmn

m

9922

393922

nnnm

nnnnm

6)9()3(: Soma

Opção ( C )

12. (MACK-02)

Se x > 1 e 1

)(

x

xxf .

então f(f(x + 1)) é igual a:

a) x + 1 b) 1 / (x – 1) c) x – 1 d) x / (x – 1) e) x + 1 x – 1

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Calculando a expressão da composta de f(x) sobre f(x),

x

x

x

xxf

1

11

11

)(

x

xfxff

11))((

11.1

1

1

1

1

11

1

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

x

x

xx

x

Opção ( A )



10. (MACK) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, então o valor de k tal que g(f(k)) = 4 é:

a) 1/4 b) 4/5 c) 2 d) 3 e) 7/6

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Encontramos a lei de g(x) e posteriormente a composta g(f(x)) com a respectiva igualdade para x = k.

1)(.4))((

3))(()

xgxgf

xxgfi

4

13)(31)(.4

x

xgxxg

)14())(() xgxfgii

4

1143))(()

xxfgii

4

212

4

1312))(()

xxxfgii

4))((

4

212))((

)

kfg

kkfg

iii

44

212

k

21612 k

6

7

12

14k

Opção ( E)

16212 k



Função composta Para a função f(x) = 5x + 3 e um numero b, tem se f(f(b)) = -2. Valor de b é: A) -1 B) -4/5 C) -14/25 D) -1/5


f(f(1)= = f(a•1 - 2) = f(a - 2) = a(a-2) – 2 = a^2 – 2 a - 2 = -3 a^2 – 2 a + 1 = 0 a = (2+-raiz(4-4))/2 = 1 f(f(b)) = f( 5b+3) = 5(5b+3) + 3 = -2 25b + 15+3= -2 b= -20/25 = -4/5

3. (ITA) Sejam f(x) = x

2 + 1 e g(x) = x - 1 duas

funções reais. Então gof(y - 1) é igual a: a) y

2 - 2y + 1 b) (y - 1)

2 + 1

c) y2 + 2y - 2 d) y

2 - 2y + 3

e) y2 – 1

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Aplicando a lei das respectivas funções f(x) e g(x), temos: F(x) = x2 + 1 F(y – 1) = (y – 1)2 + 1 = y2 – 2 y + 1 + 1 = y2 – 2 y + 2 g(x) = x – 1 g(f(x)) = g(y2 – 2 y + 2) = (y2 – 2 y + 2) – 1 = y2 + 2 y + 1



PARANÁ UEL - PR A função de R em R é definida por f(x) = mx + p. Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, então f(f(18)) é igual a: A) -2 B) -1 C) 1 C) 4 E) 5

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Passa pelos pontos P (- 3 ; - 10) e Q (2 ; - 5) Y = a x + b

Y = y . x + b

x y = - 5 – (- 10) . x + b 2 – ( - 3) y = - 5 + 10 . x + b 2 + 3 y = 5 . x + b 5 F(x) = 1 x + b Aplicando Q na função - 5 = 1 . 2 + b

- 5 – 2 = b b = - 7 f(x) = 1 x - 7 Pedido = f(f(1) ) Pedido = f (1 . 18 – 7) Pedido = f(11) Pedido = 1 . 11 – 7 Pedido = 4 Opção ( C )



MINAS GERAIS UFMG Duas funções, f e g, são tais que f(x) = 3x - 1 e f(g(x)) = 2 - 6x. Nessas condições, o valor de g(-1) é:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII f(g(x) = 3 . g(x) – 1 2 – 6 x = 3 . g(x) – 1 3 . g(x) – 1 = - 6 x + 2 3 . g(x) = 6 x + 3 g( (x) = 6 x + 3 . 3 g(x) = 2 x + 1 Pedido = g(-1) Pedido = 2 .(-1) + 1 Pedido = - 2 + 1 Pedido = 3 Opção ( A )

SEM ORIGEM Para um número real fixo a, a função f(x) = ax - 2 é tal que f(f(1)) = -3. O valor de a é: A)1 B)2 C)3 D)4 IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII



29. (UFMG)

Para a função f(x) = 5x + 3 e um numero b, tem se f(f(b)) = -2. Valor de b é: A) -1 B) -4/5 C) -14/25 D) -1/5 IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII f(f(1)= = f(a•1 - 2) = f(a - 2) = a(a-2) – 2 = a^2 – 2 a - 2 = -3 a^2 – 2 a + 1 = 0 a = (2+-raiz(4-4))/2 = 1 ------------------ f(f(b)) = f( 5b+3) = 5(5b+3) + 3 = -2 25b + 15+3= -2 b= -20/25 = -4/5

29. (UFMG) Para função f(x) = 5x + 3 e um número b, tem-se f(f(b)) = - 2. O valor de b é: a) -1 b) -4/5 c) -17/25 d) -1/5




SEM SIGLA

Para um número real fixo a, a função f(x) = ax - 2 é tal que f(f(1)) = -3. O valor de a é: A)1 B)2 C)3 D)4


UFV –MG

Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = 2x + 1 e (fog)(x) = 2x³ - 4x + 1.

Determine os valores de x para os quais g(x) > 0.

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII f (x) = 2 x + 1 (fog)(x) = 2 x3 – 4 x + 1 g(x) = ? fog(x) = 2 [g(x)] + 1 2 g(x) + 1 = 2 x³ - 4 x + 1 2 g(x) = 2 x³ - 4 x g(x) = 2 x³ - 4 x 2 g(x) = x³ - 2 x g(x) > 0 x³ - 2 x > 0 x (x² - 2) > 0 x > 0 ou x² - 2 >0

x > 0 ou x > ± –

2



Estudo do sinal (-) (+) ------o------ 0 (+) (-) (+) -----o--------o-----

-–

2 –

2 (-) (+) (-) (+) ----o-------o------o---

-–

2 0 –

2

S= ]- –

2, 0[ ]–

2, + [

Função composta 14. (UFV) -MG Se f e g são funções reais tais que f(x) =

2x - 2 e f(g(x)) = x + 2, para todo xR, então g(f(2)) é igual a: a) 4 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII Encontrando a lei de g(x) e aplicando para x = 2 na composta g(f(x)), temos:

2)(.2))((

2))(()

xgxgf

xxgfi

2

4)(22)(.2

x

xgxxg

32

24

2

2)2(2))2((

fg

32

24

2

2)2(2))2((

fg

Opção ( E)



Função composta UF Para um número real fixo a, a função f(x) = ax - 2 é tal que f(f(1)) = -3. O valor de a é: A)1 B)2 C)3 D)4


Função composta PUC-SP Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale: A) -2 B) 0 C) 1 D) 3 E) 5

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII f(g(x) ) = 3 . [g(x)] – 4 3 g x – 4 = x + 4 3 g (x) = x + 8 g(x) = x + 8 . 3

Pedido = g(1) Pedido = x + 8 . 3 Pedido = 1 + 8 . 3 Pedido = 3 Opção ( D )



6) UERJ 2002 2a Fase Disc 02

Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes: - C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C (p) = 0,5 p - 1; - em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p (t) = 10 + 0,1 t

2 .

Em relação à taxa C, a) expresse-a como uma função do tempo; b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão.

lllll R E S O L U Ç Ã O lllll Paramétricas ou Função Composta a) C(p(t)) =0,5.(10 + 0,1t2) + 1 C (p(t)) = 6 + 0,50 t2 b) 13,2 = 6 + 0,05 t2 0,5 t2 = 7,2 t2 = 7,2 . 0,05 t2 = 7,2 . 100 0,05 . 100

t2 = 720 . 5 t2 = 144 t = 12 anos



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