Nem Sherlock Holmes::: Alguns anos atrás, R. Creighton Buck publicada uma análise da famosa cuneiformtablet Plimpton 322, em um artigo que ele chamava de "Sherlock Holmes, na Babilônia" [Buck 1980]. A sua não é de forma alguma o único estudo do comprimido, e aquilo que se segue é mais enfaticamente não um ataque ao trabalho de Buck, em particular, que é em muitos aspectos considerados e sensato, mas uma refutação das muitas dezenas de estudos que tem inspirado Plimpton 322 desde a sua publicação em 1945. Buck's título articula mais eloquente e engagingly, embora inconscientemente, uma atitude comum dos matemáticos para a história do antigo matemática ao longo do último meio século (e provavelmente mais tempo): que pode ser tratado mais como uma peça de detetive ficção. A principal protagonista é o estudioso-beleguim (e nota que, na maioria dos clássicos detetive ficção, o nosso herói (INE) é mais decididamente não é um profissional correto, mas um amador, que o outwits plodding policiais / historiadores de cada vez). Sua tarefa é a de resolver os mistério do documento histórico na mão (O Mistério da cuneiforme Comprimido na nossa caso), com uma finita, a auto-selecionada, conjunto de pistas para ajudá-lo (O StrangeAffair de theNumerical Erros). E, naturalmente, a configuração é um delimitada uma: nem mesmo a casa de campo isolada ou o transporte ferroviário, mas apenas o próprio texto. O mundo real não se intrometer em nossos scholar - beleguim: histórico e contexto linguístico é uma irrelevância, somos levados a crer implicitamente, que só a história bronco-polícia incomodar-se com a escolha. Tal como os cenários detetive de ficção, peças de matemática são auto-contidas mundos, cujos mistérios pode ser resolvido pela análise perto de nada, mas eles próprios. Mas, embora se possa argumentar que a (re) construção da história é nada mais do que mais ou menos plausíveis inventar histórias sobre o passado, cada um dos quais será diferente consoante para os historiadores que lhes dizer, a matemática mais artefactos do passado certamente não eles parecem com o auto-contidas definições de uma casa de campo mistério. Matemática é, e sempre foi, escritos por pessoas reais, com particular matemática culturas que são eles próprios os produtos da sociedade em que os escritores da matemática vivo. É o objectivo deste artigo, para mostrar como uma história mais convincente dramaticamente uma possível contar sobre Plimpton 322, se for colocado no seu mathematico-histórico definição. Uma das atrações de Plimpton 322 duradouro para a comunidade matemática tem foi que ela exibe systematicmathematical sofisticados e técnicas para uma aparentemente "Puros" final, ou "número-teórico" ou "trigonométrica." 1 Mas uma cultura matemática composto por mais de suas mais espetaculares descobertas. É tanto perniciosa e simples - espírito de cerejeira para escolher o "cleverest" ou "mais sofisticada" matemática procedimentos (de qualquer sociedade) para se apresentar como a história da matemática. David Pingree argumentou que: [...] a atitude que o que é valioso para o passado é o que temos no presente [...] torna historiadores tesouro caçadores que procuram tornar-se pérolas no dung heap sem qualquer preocupação de que as ostras vivas e como eles fabricam gemas. [Pingree 1992, 562] Isto é exactamente o que os fornecedores das maravilhas do Plimpton 322 têm, em grande medida, sido fazendo até agora. Eles também têm perpetuado involuntariamente a colonização, a apropriação, e domesticação da pré-IslamicMiddle Oriente por theWestern presentes, como descrito por Zainab Bahrani: Trata-se de uma vez a fase inicial de uma história universal da humanidade em que o homem faz o passo gigantesco de barbárie à civilização, e é um exemplo da natureza imutável de culturas orientais. [Na Orientalista opinião] theMesopotamian passado é o lugar da cultura mundial da primeira infância etapas: primeiro

por escrito, leis, a arquitectura e todos os outros primeiros que são cotados em cada aluno manual e em todos os populares contas da Mesopotâmia. [Bahrani 1998, 162] Para muitas pessoas, a atração de Plimpton 322, foi exactamente o seu estatuto como um "primeiro infantil passo "no caminho tomodernWestern-stylemathematics. Cooke [1997], por exemplo, countsMesopotamia como produzir "EarlyWesternmathematics" simplesmente porque ela é anterior Clássica fontes, enquanto que expeça Islâmica matemática da mesma região a "outras tradições ", embora este último provavelmente teve mais influência sobre theWest que o primeiro.

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Além disso, e como um resultado direto dessa tendência para modernizar e civilizar, pouco que distinguem tem sido feito entre o histórico artefato Plimpton 322 e 322 do Plimpton matemática texto. A tabela numérica destinada a representar o original encontrado no história geral livros é um texto moderno: ela está em notação decimal, na moderna Indo-Árabe numerais com todos os erros erradicada, e impresso com tinta sobre papel. Além disso, as rubricas de as colunas, as palavras, no curto prazo, podem ser omitidos ou substituídos com silenciosamente (moderno) simbólico notação para as variáveis para cada rubrica é suposto representar. É fácil esquecer o cronológica distância e o estranhamento cultural da argila comprimido si e para analisar e interpretar a versão papel como matemática moderna. Uma força comparar leitor centrar-teorias da crítica literária, na qual autorais intenção é considerada secundária ao significado partir da texto extraído pelo leitor. Mas o resultado é matemático (ou talvez matemático críticas), mas não história. Isto não quer dizer que a matemática não é uma crítica válida exercida em seu próprio direito, mas qualquer interpretação histórica que produz maio tendem a ser simplista. Uma característica da antiga matemática que torna difícil lidar com ela é que tem (quase), não-identificáveis autores diferentemente, digamos, pós-renascentista européia matemática e portanto, não podemos começar a tratar autoral a intenção ou a caráter. Piotr Michalowski da descrição dos problemas enfrentados pelos leitores modernos de anônimos Mesopotâmia literatura aplica igualmente bem a antiga matemática, eu acho. Para "poeta" ou "escritor" ler "matemático":

Contemporânea leitores ter concedido para certos conceitos de autoria e da autoridade do escritor. A maioria destas ideias são de origem bastante recente e que são muito vinculados a Europa Ocidental idéias sobre identidade, originalidade, individualidade, e à elevada função social da arte verbal. Não é surpreendente que a maioria de nós é extremamente difícil encontrar barracão pós-romântico idéias básicas sobre a inspirações espirituais de escritores e os únicos talentos de poetas. [Michalowski 1995, 183] Ele passa a discutir um proeminente crítico de literatura vitoriana que foi recentemente tornou o seu a atenção para o antigo Oriente Próximo, mas quem se recusar a reconhecer as profundas diferenças que separam Ocidental relativamente recentes idéias sobre o literatura e sua privilegiada criadores partir da concepções de uma cultura que premiou anônimos composição e em que a pausa entre a composição e redação não pode ter existido, ou possam ter tido um perfil muito diferente, e onde originalidade pode ter sido visto em uma luz muito diferente. [Michalowski 1995, 183] Substituir a palavra "literatura" com a "matemática", e a análise continua a ser um útil um.

Mas mesmo quando não sabemos nada sobre os autores do antiga matemática como indivíduos - seus nomes, idades, ou mesmo que cidade ou viveram no século podemos agora (re) construir uma razoavelmente convincente retrato da cultural redondezas em que matemática foi criado. O uma melhor compreensão da nossa sociedade, a nossa maior chance de produzir um historicamente credível de uma análise da sua produção. Quando lemos vitoriana matemática, por exemplo, precisamos de pouco esforço consciente para contextualizar porque é cronologicamente, linguisticamente, e culturalmente tão perto de nós. Mas o mais antigo, o mais estranho, mais exóticas a matemática quanto maior a necessidade de se deliberadamente estabelecidas para explorar a sua fixação

e de ser conscientes da bagagem cultural que levamos conosco como leitores modernos, e as maiores são as dificuldades inerentes ao fazê-lo. Para os fins do historiador não pode haver tal coisa como um amor platônico de matemáticos existente independente do corpo humano descoberta: gravado matemática é essencialmente um produto social, concebido e articulado pelos indivíduos e sociedades, com especial preconceitos, motivações, e modos de comunicação. Fechar a leitura da linguagem e terminologia de textos antigos, portanto, é crucial para compreensão conceitual a realidades que lhes estão subjacentes. Com efeito, a interpretação da Plimpton 322 apoiado aqui é baseado na análise linguística em dois pontos: Jens Høyrup da compreensão da primeira, danificado palavra da primeira coluna, e minha análise das condições do formas geométricas. Este último permite que o "trigonométrica" teoria do Plimpton 322 (que sempre senti desconfortável para os históricos de sensibilidade), a ser refutada com mais vigor do que antes. No que se segue, quero em primeiro lugar apresentam-se como uma descrição neutra quanto posso cuneiforme do comprimido, a sua conteúdo, e um pouco da cultura que é produzida. Eu, em seguida, passar a apresentar um compósito imagem da interpretação geralmente aceite de que ao longo do último meio século. No terceiro seção, vou mostrar porque é composto imagem pode não ser correto, uma vez que é conhecido de a cultura que produziu Plimpton 322. Finalmente, apresento uma interpretação alternativa, primeiro apresentou logo após o comprimido da publicação, mas em grande parte ignorados, o que vai mostrar Plimpton 322 para ser plenamente integrada na programação geral da antiga Babilónia matemática pensamento. Meu argumento não descansa sobre Holmesian interno inferências matemática sozinho, mas em vez baseia-cultural, linguística e evidências arqueológicas também. ::: NOR BABYLON Plimpton 322 moderna é o rótulo dado a um comprimido escrita cuneiforme, na antiga iraquiano cidade de Larsa em meados do século 18 AC. Antiga Babilónia (OB) matemática, o mais antigo conhecido corpo de "puro" em matemática o mundo, provenientes de duas tradições distintas no início Mesopotâmia: um por via oral à base de "Inspectores" álgebra "e de uma cultura burocrática contabilidade. O "inspectores" álgebra "é fortemente baseado em charadas relativa cortar e colar geometria e tem sua origem fora do alfabetizados scribal tradição no final do terceiro milênio [cf. Høyrup 1990, 79]. Escribas, sobre a Por outro lado, tinham sido directamente relacionado com o controle quantitativo das mercadorias, o tempo, e trabalho desde o advento da escrita no final do fourthmillennium [Nissen et al. 1993; cf. Robson 2000b, 2000c]. Suas complexas systemofmetrology, normas trabalho, e outras técnicas constants também atingiu o seu ápice no final do terceiro milénio, ao abrigo do chamado Terceiro Dinastia de Ur III [Englund 1991; Robson 1999, 138-166]. As duas tradições coalesced na matemática do OB humanista scribal escolas do início do segundo milénio, onde a educação parece ter muito mais do que compreendeu a aquisição de profissionaiscompetências úteis. Embora a arqueologia da antiga Babilónia escolas não é claro e a grande maioria dos matemáticos OB comprimidos são completamente conhecidos unprovenanced, eu estou convencido de que a quase totalidade do corpo OB matemática como temos que deve ser interpretados como os produtos da scribal formação, ou, pelo menos, uma vez que os produtos de uma meio escolar. Elsewhere tenho elaborada uma tipologia dos funcionais OB matemáticos comprimidos, o que mostra que eles foram escritos por professores ou por estudantes scribal aprendizagem matemática por hábito ou por prática [Robson 1999, 174-183]. Eu certamente não me sinto justificada em referência aos autores e copyists de OB matemática como "matemáticos", com o conotações de criatividade e profissionalismo esta palavra carrega, eu prefiro a mais neutra "Escribas." Por outro lado, não tenho qualquer hesitação em usar o pronome "ele" para descrever

eles, OB scribal cultura tenha sido quase que exclusivamente masculino. Plimpton 322 é, fisicamente, pelo menos, um típico produto da cultura matemática OB (Fig. 1). É uma argila comprimido, medindo cerca de 12:7 £ 8:8 centímetros como é preservada, declarou em quatro colunas. Foi escavados ilegalmente durante o anos de 1920, juntamente com muitos milhares de outros cuneiforme comprimidos, da Babilónia, mas não a partir da antiga cidade de Larsa (moderna Tell Senkereh, 31 ± 140 N, 45 ± 510 E [Roaf 1990, 231]). 5 A sua proveniência é dado como "Senkereh" sem data, em uma lista de preços agora alojados com a Plimpton Colecção na Columbia [Bancos nd]; isto encaixa às características das categorias, com base em paleoambiental - gráficas e ortográficas comparação com os não-matemático comprimidos de Larsa agora nas Ashmolean Museum, Oxford. Um lote de material Larsa foi atingindo ocidental coleções (por exemplo, o Ashmolean, o Louvre, e de Yale babilôno Collection), a partir do antigüidades mercado na década de 1920, ao mesmo tempo que estava comprando comprimidos Plimpton [Banks & Plimpton 1922-1923, 1923]. Tabular formatação foi utilizado pela primeira vez em burocracias institucionais na vizinha Nippur de cerca de 1850 AC, embora o mais rapidamente atestada quadros administrativos da reino de Larsa data para o período 1837-1784 AC. Quadros, que, tal como Plimpton 322, estão na "paisagem" orientada comprimidos com cálculos correr horizontalmente na parte comprimido, e cuja posição final é MU.BI.IM "seu nome" (dos quais mais abaixo), estão comprovadas de AC 1822 em diante [Robson 2000d]. Isto permite-nos confiantes à data Plimpton 322 os 60 anos mais ou menos antes do cerco e captura de Larsa por Hamurabi da Babilônia, em 1762 AC. O nome "Plimpton 322" indica que ela é a 322. Mendelsohn do item no catálogo do cuneiforme comprimidos detidos pela bibliotecas da Universidade de Columbia, Nova Iorque. O catálogo inteiro entrada lê-se: 322. Clay comprimido, extremo esquerdo afastado, parte inferior do lado direito do canto, e um pedaço de colunas 3 e 4 estragou descolagem; bastante bem conservados, marrom-escuro. 8:8 £ 12:5 cm.; Sobre obverso 4 colunas com 16 linhas, reversa em branco. Conteúdo: Comercial conta. Não data. [Mendelsohn 1943, 71] O comprimido havia sido adquirida pelo New York editor Arthur George Plimpton para a sua colecção privada de artefactos históricos matemático, que foi legada à Columbia pouco antes de sua morte em 1936. Ele tinha comprado-lo a partir do famoso negociante Edgar J. Banks [Bancos º], mas é extremamente improvável que qualquer um dos seus homens entendido importância para a história da matemática [cf. Plimpton 1993; Donoghue 1998]. 6 Dada a notável semelhança no formato e Lexis Plimpton entre os 322 e os outros precoce de quadros Larsa o mencionado acima, é surpreendente que o seu verdadeiro caráter passou despercebida pelo concessionário, o proprietário, o catalogador e similares. O lado esquerdo, o comprimido está faltando, e tem sido, pelo menos, desde Plimpton ac -

exige-o. 7 Existe uma quebra limpa aqui, ao longo de um eixo vertical acórdãos que dividem da superfície da pastilha em colunas. Vestígios de cola permanecer neste intervalo, e tem sido implicado que os outros fração do comprimido, por isso, deve ter sido perdido na moder - ern vezes, deliberadamente ou não. No entanto, não era incomum para inescrupulosos precoce Do século 20. Antiguidades concessionários de fabrico "todo" comprimidos dos fragmentos díspares a fim de atrair um preço mais alto para eles. Such an occurrence is described, for instance, Neugebauer e por Sachs [1945, 24 s. 88]. No caso de Plimpton 322, é provável que Bancos, que tinha sido um profissional Assyriologist, foi suficiente para eliminar o escrupuloso matérias estranhas antes de colocar o comprimido à venda. Uma vez que é impossível como assuntos suporte para determinar o que foi originalmente anexado ao comprimido como nós o temos, ou quando se pode ser agora, vamos tratar apenas o sobrevivente, e deixar especulativo lacunas de enchimento para posterior.

Cada um dos quatro restantes colunas contém uma posição em uma mistura de Suméria e Acadiano e 15 linhas de dados numéricos. Essas linhas quase encher o anverso do comprimido; o reverso é branco, mas tem sido governado para acomodar a continuação das colunas. O comprimido teria sido escritos e lidos da esquerda para a direita, mas de momento é mais fácil de explicar o seu conteúdo em movimento da direita para a esquerda. Coluna IV é chefiado MU.BI.IM, Acadiano Sumerogram para a soma su "o seu nome", e os números estão abaixo dela, simplesmente os números de linha, 1-15. Sua função extra-matemático pode ser visto na sua forma: notação matemática enquanto escreve o número de 9 dígitos em até três verticalmente variou filas de três verticais cunhas, não-matemático unidades são escritos em apenas duas verticalmente variou filas, com quatro como dois acima duas cunhas (cf. três acima um) e de sete a nove como quatro acima de três, quatro acima quatro, cinco e quatro acima cunhas respectivamente. O meio sobrevivente duas colunas, da direita para a esquerda ainda, são intituladas «IB.SI8 (Dmitharti) s: iliptim" a praça da diagonal »e« IB.SI8 SAG (Dmitharti p ¯ utim) "o quadrado do lado curto." Eles conter os comprimentos das hypotenuses e larguras, respectivamente, de 15 em ângulo recto triângulos (Tabela 1). Após Neugebauer e Sachs' original notação [1945, 39], podemos abreviar d D diagonal ou hipotenusa, l D longa duração ou de lado, e, b D curto lado ou largura, enquanto mantendo em mente que esta notação é só para a nossa conveniência e não teve qualquer papel a desempenhar na antiga matemática. Por que as posições se referem a praças, as colunas contêm comprimentos de linhas? A resposta reside no Acadiano mithartum palavra, um substantivo derivado do caule reflexiva do verbo mah ¯ arum "para ser igual e / ou opostas", que literalmente significa "coisa que é igual e frente a si mesmo. "Em acadiano, como em outras línguas, a palavra para" praça "também pode remeter ao seu lado e, por conseguinte, também a "raiz quadrada" [Høyrup 1990a, 49-50]. Então aqui mithartum (em construir o seu estado antes do genitives de s: iliptum e p ¯ utum indicando posse) deve não significa "praça", mas "do lado da praça" ou talvez "raiz quadrada." De facto, este duplo sentido para mithartum não é tão confuso quanto ele aparece pela primeira vez. O OB utilizados os escribas Sexagesimal lugar valor sistema de resumo número exclusivamente para o cálculo: as dimensões, pesos, e capacidades dos indivíduos de seu cálculo foram registrados em invariavelmente a mais adequada metrológico units.With dois sistemas distintos de comprimento e de área, teria sido quase

impossível para um escriba para confundir o lado de um quadrado com a sua área, que em nenhum caso foi quase sempre por escrito explicitamente como A. S `A mithartim" a área de um quadrado. "Por exemplo, whenwe ler 1U Smithartumin a primeira linha de cada problemin BM15285 (provavelmente a partir de Larsa; [Robson 1999, 208-217]), temos de traduzir "1U S é o quadrado do lado" e não "1U S é o quadrado de área ", pois o U S é uma unidade do sistema metrológico lineares (ca. 360 m), não do sistema Areal. Não há ambiguidade. Dificuldades de interpretação surgem-nos - só quando estamos a lidar com decontextualised cálculos no valor Sexagesimal lugar sistema, que nunca foram destinados pelos escribas a ser visível no texto final. 9 O título da coluna da esquerda é um pouco danificado (vamos voltar ao que diria mais tarde), mas as 15 linhas abaixo dela conter nem a relação entre o quadrado no diagonal ao quadrado no lado longo ou a relação entre o quadrado sobre o lado para o curto quadrado no lado longo. Esta ambiguidade surge a partir da natureza do intervalo descrito anteriormente: cracking o comprimido ao longo da borda esquerda da coluna, e as impressões que permanecem maio simplesmente ser intersecções das linhas horizontais e decisões a coluna vertical line (em que caso, a segunda leitura está correcta), ou são os restos de uma série vertical de cunhas representando 1s, com os quais cada número na coluna começou inicialmente (caso em que estamos têm de aceitar a primeira interpretação). Deixamos para resolver o assunto do momento, mas observação de que, de qualquer forma, a coluna é classificada em ordem numérica descendente (ver Quadro 1). É sabido que existem sete erros no comprimido (ver Tabela 2), alguns dos quais são claramente trivial cópia erros, mas três têm uma incidência sobre howthe quadro deve ser interpretado. Voltaremos a estas mais tarde. O lugar de valor Sexagesimal sistema não marca valor absoluto, não existe qualquer meca - nismfor mostrando zeros de qualquer espécie, ou a fronteira entre inteiros e frações, que torna qualquer decimal tradução para o Quadro 1, em certa medida uma arbitrária um. Em Table3Ihave escolhidos, na sequência convencional prática, a assumir que os valores nas colunas II e III são inteiros. Um quadro analítico: SEIS CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Plimpton 322 teve sem dúvida themost extensa história publicação de qualquer cuneiforme comprimido, matemática ou outra. Após a sua publicação no cuneiforme Textos Matemáticos [Neugebauer & Sachs 1945, Texto A], Neugebauer discutidos o comprimido em sua mais alta Ciências Exatas influente na Antiguidade [Neugebauer 1951]. Este livro foi quase de certeza sua principal fonte de divulgação para o grande matemático e toda a comunidade padrão matemático história (onde ainda é encontrada hoje). O mais importante pós-SEC estudos foram por Bruins [1955], Price [1964], Buck [1980], Schmidt [1980], e Friberg [1981a]. Buck também remete para as teorias de um certo Voils, cujo trabalho eu não tenho conseguimos rastrear. Antes de analisar os méritos relativos dessas obras, temos de ser claros sobre o critérios que devem utilizar para julgá-los. Passando a partir do exterior para o interior e a partir do geral para o específico, uma teoria satisfatória sobre Plimpton deveria cumprir

essas condições: 1. Histórico sensibilidade. A teoria deve respeitar o contexto histórico do Plimpton 322 e não impor conceitualmente anacrónico interpretações sobre o mesmo. 2. Cultural consistência. A teoria deve explicar o funcionamento ea função de Plimpton 322, à luz do que é conhecido do resto do OB matemática, idealmente usando provas de Larsa e seus arredores. 3. Calculational plausibilidade. A teoria deve mostrar como Plimpton 322 foi calculado (e os errorsmiscalculated) com aritmética técnicas conhecidas fromotherOBtablets, de preferência de Larsa. 4. Realidade física. Ao fazer restaurações à esquerda das colunas existentes, a teoria deve reconhecer que Plimpton 322 é um artefato arqueológico e não uma disembod - IED texto. A restauração deverá resultar em uma (virtual) cuneiforme comprimido de tamanho e plausíveis proporções. 5. Textual Exaustividade. A teoria deveria por conta, não só o conteúdo numérico do comprimido, mas também as suas quatro colunas, explicando howthey referem-se aos números abaixo e fornecer um lingüisticamente matematicamente plausíveis e reconstrução do danificado palavras na coluna I. Qualquer palavra deve contar tanto como para cada número. 6. Tabular fim. A teoria deve explicar a ordem lógica das colunas, da esquerda para a direita, e as linhas, de cima para baixo, incluindo qualquer proposta de restaurações à esquerda do comprimido ou no verso. Em outras palavras, não deve violar a "gramática" do OB matemática tabelas. Quero com isto dizer que todas as tabelas numéricas, quer os seus conteúdos são matemática, econômica, astronomia, ou de outra, são ordenados de cima para baixo, e da esquerda para a direita, e classificados em ordem numérica ascendente ou descendente pelo conteúdo da primeira, ou seja, a coluna esquerda. É bem conhecido (mas em nenhum lugar explicitamente afirmou, eu acho) que a multiplicação ea metrológico quadros, bem como quadros associados tais como raízes quadradas, se comportam, portanto, [por exemplo, Sachs & Neugebauer 1945, 11-36], mas todos os conhecidos tabular fazer cálculos também: nove unprovenanced [Neugebauer & Sachs 1945, 17-18]; cinco de Ur [Robson 1999, 264-266], a partir de um Nippur [Robson 2000a, não. 10]. Em suma, Coluna I não deve ser entendido como derivado ofColumns II ou III, mas sim como um passo em a maneira de calcular primeiro II e III em seguida. Não se deve presumir que existe alguma coisa falta à direita do comprimido (como os comprimentos dos lados maiores). Do mesmo modo, a teoria deve fazer restaurações à esquerda das colunas existentes que estão na lógica colunar ordem da esquerda para a direita e com o conteúdo da coluna esquerda estão em ascendente ou descendente ordem numérica. Armado com estes seis desiderata, estamos agora numa posição forte para aferir como plausíveis as diferentes escolas de pensamento sobre Plimpton 322 realmente são. A SABEDORIA RECEBIDAS A teoria para a conta padrão para a construção da tabela presume que era geradas por um conjunto de pares p, q (ou em algumas anotações u, v). Este Aaboe resume em um particularmente inadequado modernização "teorema":

Seja ou não esse teorema, ou variantes sobre o mesmo, exactamente para todas as contas triplica no tabela (ver Tabela 4), existem vários argumentos contra a forte Plimpton 322 ter sido gerada diretamente a partir de p e q.

Primeiro, Neugebauer e Sachs observou que os valores de p e q estavam todos a ser encontrado na padrão recíproco tabelas (Tabela 5), excepto 2 05 (row4), o normal whichwas ponto para um alargamento dos quadros. Com 44 números diferentes na tabela, o escriba poderia ter 44 £ 43 = 2 D 946 pares para escolher. Agora, supondo o escriba estava familiarizado com a ideia de pares e ímpares (para a qual não existe uma noção antiga Babilónia provas), ele poderia eliminar um mais 12 £ 11 = 2 D 66 possíveis pares de números ímpares fromhis escolhas, deixando 880 pontos disponíveis. E se nós suspender nosso histórico acórdão ainda mais para um momento e imagine que o escriba estava familiarizado com a idéia de coprimes, ele seria esquerda, com um simples admissível 159 pares. Como é que o escriba ter sabido que a quinze escolher? Ou estamos a supor que ele trabalhou por todos eles? Foi salientado que o rácio de p para q desce constantemente através da tabela a partir de 2; 24 .-1.; 48 (ver a última coluna da Tabela 4), mas ainda estamos à esquerda querendo uma explicação sobre o modo como essas relações foram encontrados e ordenadas. Em segundo lugar, e talvez mais sério, qualquer contendor convincente para uma explicação da Plimpton 322 deve ter a ordem das colunas em conta (Critério 6, acima). Coluna I do Plimpton 322 como sobrevivente (contendo valores de [(P2 C q2 ) = 2pq] 2 ao abrigo deste regime) é bastante alheias ao cálculo esquema proposto. Porque isso ocorre à esquerda de Colunas II e III (P2 ¡Q2 e P2 C q2 respectivamente), devemos esperar que, de acordo com o habitual gramática da antiga Babilónia matemática tabelas, para conter cálculos intermédios para os resultados na II ou III, ou ambos. Plausível candidatos poderão ser p2 ou q2 , Por exemplo. Mas Em vez disso, temos resultados aparentemente derivada da coluna III. 11 Nem pode o título Coluna I de ser feita para se ajustar à p, q interpretação. Mesmo Neugebauer e Sachs' hesitante tentativa de tradução veio com "O takiltum [intraduzível] do que a diagonal foi subtraído tal que a largura ::::" Eles admitiram, "Estamos, no entanto, incapaz de sensato dar uma tradução desta passagem levando a d2 = (d2 ¡B2 ) "[Neugebauer & Sachs 1945, 40]. De acordo com o critério 6, a ordenação de Coluna I deve surgir como uma consequência numéricos da ordenação da coluna (s) anterior, mas é claro que nenhum dos p e q colunas da Tabela 4 (que supostamente estão em falta colunas do comprimido) está em um ordenadas ordem numérica.

Em terceiro lugar, que os erros na tabela (ver Tabela 2)? Descontar os quatro erros que provavelmente ocorreu na transferência de dados de cálculo bruto comprimido para a cópia limpa que é Plimpton 322, 12 temos de explicar como eles poderiam ter surgido. Muito tem sido dito por outros, sobre os três erros não trivial, mas o cerne da tese, segundo a sua proponentes, reside na explicação da linha III 2, que não tem nenhuma relação numérica simples para o valor correcto (P2 C q2 no p, q teoria):

Gillings [1953, 56] e Neugebauer [1951, 50 s. 20] concordam que o valor existente surgiu a partir de uma série de erros acumulados. Em primeiro lugar, por razões não explicadas pelos Gillings ou Neugebauer, o escriba escolheu para calcular p2 C q2 não como uma simples soma de dois quadrados (1 042 C 272 ) BUTAS (p C q) 2 ¡2pq. No entanto, para encontrar o segundo elemento que ele não conseguiu multiplicar por p, paragem em 2q (ou, em alternativa, tendo p D 1 00, e não 1 04). Então, em vez de subtrair o resultant 54 a partir de (1 04 C 27) 2 D 2 18 01, conforme o caso, ele acrescentou que para se chegar a 3 12 01. Em suma, somos convidados a acreditar que, assim como fazer um pouco de erro aritmético, o escriba primeira falhou ao utilizar os valores de p2 , Q2 , 2pq e que ele já deve ter encontrado na determinação colunas I e II, quer aqui sozinha ou em todo o comprimido, no método mais directo, disponível e, em seguida, fez uma bagunça das mais complicadas alternativa (mas somente nesta linha), acrescentando que ele deveria ter subtraído. Preço [1964, 9], por outro lado, acredita que o escriba fez tomar a direta p2 C q2 percurso, mas com segurança calcularam que 1 042 D 1 08 16 ele deve ter tomado incorretamente 272 D 20345 D 27 £ 25 £ 11. Por que ou como o escriba deveria ter feito isso, Price não posso dizer. Em suma, o p, q teoria tem essas fraquezas: é excessivamente dependente da matemática conhe - borda para o qual há, na melhor das hipóteses duvidosas corroborando evidências históricas, que dolorosamente contraria a forte convenções da OB tabela de decisão, ao não fornecer uma lista ordenada no início do quadro, mas não consegue explicar a Coluna I posição, a posição da coluna Eu em cima da mesa, ou mesmo a sua ocorrência em todos; 13

e não a conta de modo simples e convincente para os erros que aparecem não trivial em Plimpton 322. Em outras palavras, que não satisfazem os critérios 1-3 e 5-6 e não se envolver com o critério 4, Critério 5 é discutido mais adiante. Por estes motivos não podemos considerar a p, q uma teoria satisfatória interpretação do Plimpton 322. Perpendicularmente e errado ANGLES: CIRCLE MENSURAÇÃO NO ANTIGO babilôno PERÍODO Tanto é, de momento, para fazer a tabela poderia ter sido composto. Qual a sua suposto funcionar? Uma das teorias mais populares (que tende a cristalizar na unpub - leceu manuscritos e curtas debates no geral histórias [por exemplo, Joyce 1995; Calinger 1999, 35-36]) é que Plimpton 322 representa um trigonométrica mesa de algum tipo. Este interpretação-shouldmake que alguém com um conhecimento de passagem do pós-ptolemaico desenvolvimento da trigonometria se sentir mais do que um pouco desconfortável, parece ser o bas - tard prole de passar uma observação feita por Neugebauer e Sachs: Formular o problema com relação à triângulos, podemos dizer que começamos com quase metade de um quadrado (porque o valor de b: l, o que corresponde à primeira linha é 0; 59,30) e gradualmente diminuir o ângulo entre l e d passo a passo, o menor valor a ser quase exactamente 31 ±. [Neugebauer & Sachs 1945, 39]

Nowhere, no entanto, na sua conclusão de discussão de "consequências históricas" que eles menção "trigonometria" ou "ângulo", mas manteve as suas observações à (igualmente discutível) "puramente número caráter teórico "da Plimpton 322 [Neugebauer & Sachs 1945, 41]. Neugebauer reformulado estes comentários um pouco mais tarde, mas ele ainda absteve-se de concluir que o quadro foi de alguma forma trigonométrica em caráter: Se tomarmos a relação b = l para a primeira linha encontramos 1,59 = 2,00 D 0; 59,30 ou seja, quase 1. Assim, o primeiro triângulo direito está muito próximo da metade de um quadrado. Do mesmo modo, um direito considera que o último triângulo tem ângulos perto de 30 ± e 60 ±. A monótona decréscimo dos números na coluna I sugere ainda que o forma destes triângulos varia bastante regular entre os dois limites. [¢¢¢] Essa observação sugere que o antigo matemático estava interessada não apenas na determinação dos triplos Pitagórica números mas também nos seus rácios d = l. [Neugebauer 1951, 38] Elsewhere Tenho argumentado que todos Velha babilônico área de geometria é baseada na definição do pro - tituem elementos: linhas externas (que podem ser retas ou curvas) a partir do qual a área da figura que é definido e calculado [Robson 1999, 47-60]. Em muitos casos, os nomes para a definição componente e da própria figura, por que não me refiro à área da figura, são iden - tical. Tanto o círculo e da circunferência são chamados na antiga Babilónia kippatum de o verbo kap ¯ apum "a curva." Tanto a praça e seu lado estão mithartum da reflexiva caule de mah ¯ arum ", que será igual e oposta"-como já vimos, e do rectângulo e as suas diagonais são s: iliptum de s: al ¯ apum "através de greve" (mas, evidentemente, neste último caso, uma diagonal não definem inequivocamente a sua envolvente rectângulo, que só define o con - figuração como o [mais simples] figura possuindo uma diagonal, ou seja, um retângulo). O quadro conceptual identidade do (duas dimensões) e do seu círculo (um-dimensional) circunferência é revelada não só na terminologia, no entanto, mas também nos meios pelos quais os círculos foram tratadas com geometricamente.

Dois exemplos de Nice OB círculos pode ser visto em dois comprimidos argila agora detida pela Universidade de Yale (YBC 7302 e YBC 11120 [Neugebauer & Sachs 1945, 44]; provavelmente fromLarsa). Os comprimidos são próprios, em forma circular, um pouco como grandes bolachas, cerca de 8 cm de diâmetro, o que sugere fortemente que elas foram escritas pelos alunos, como áspero trabalho [Robson 1999, 10/12]. Na transcrição moderna olham como mostrado na fig. 2. O números no primeiro círculo são fáceis de ler: como eles são todos inferiores a 60 nós podemos tratá-los como modernas casas decimais. Nós podemos ver imediatamente que 9 D 32 e que 45 D 5 £ 9. Porque 45 é no meio do círculo, podemos adivinhar que este se destina a ser a sua área (que Uma será chamada), e podemos adivinhar também que 3 ou 9, do lado de fora do círculo, que significa ser a sua circunferência (que iremos chamar c). Sabemos que A D ¼ r2 , Mas não temos raio r marcados no círculo. Sabemos também que C D 2 ¼ r, tão-moderna por alguns algébrica manipulação, podemos ver que A D c2 ¼ = 4. Então, parece que a 3 é o comprimento do circunferência, e que 9 é o quadrado, c2 . Substituindo estes valores na nossa fórmula, temos A D 9 4 ¼ ¼ 9 4 £ 3 D 9 £ 0, 05 D 0; 45; ou 3 = 4. 14 Verificar esta fórmula em relação ao segundo círculo, com c = 1, 30, dá A D 1; 302 4 ¼ ¼ 2; 15 4 £ 3 D 2; 15 £ 0; 05 D 0; 11 15 ou 11 = 60 C 15 = 3600 D 3 = 16 moderna em frações. Em outras palavras, uma circunferência que é metade do comprimento da primeira envolve um círculo com um quarto do que a primeira área, como seria esperar. 15 Para além da aritmética diferença de ter de trabalhar na base 60, estes dois exemplos ilustrar lindamente uma distinção fundamental entre o moderno e do antigo círculo. Considerando que somos ensinados a conceptualizar o círculo como um número gerado por um raio de rotação em torno do centro (como acontece com um par de bússolas, e nossa fórmula AD ¼ r2 ), Na Antiga Babilônico período, foi visto como o valor rodeado por uma circunferência. Existem vários outros textos contemporâneos que corroboram esta interpretação. Por exemplo, YBC 7997: I 9-II 3 ([Neugebauer & Sachs 1945, texto Pa]; provavelmente fromLarsa) dá instruções para encontrar a área de um círculo com a mesma circunferência como o segundo exemplo acima: 16 Ki-130 [IP-pa]-tam = [tu] u-s-ta-ka-al = a-tu-na 5 ub-ba-ma-al = 11 15 i-li-um-ma

Você quadrado 1, 30, a circunferência. Você multiplicar (o resultado), por 0, 05 e 0; 1115 virá para cima, e (::: O texto continua). Haddad 104 (iii): II 26-8 ([Al-Rawi & Roaf 1984, 188-195, 214]; da M ¯ um e-Tur), mostra que o círculo da área é calculada a partir da circunferência, mesmo quando o diâmetro é conhecido (neste caso, o sujeito é um logwith já cilíndrico de diâmetro na bottomthan no topo): 140 mu-uh-oi é o seguinte: 'Eu su-im-ul-li-i-ma s = 5 ki-pa-se em:' Eu im-il 'I = 5 su-ta-ki-il - ma il 25 'i = 25 uma na 5-i-gi-gu - b "e-em-si-ma i = 205 A. S` A i-l 'I Triplo 1, 40, o início do registo, e 5, a circunferência do registo, irá surgir. Square 5 e 25 serão surgir. Multiplicar 25 por 0, 05, o coeficiente, e 2, 05, a área, surgirá.

Embora o diâmetro tallum regularmente culturas em OB problemas sobre círculos e, uma pode argumentar que, se necessário, a fim de conceber um círculo ou uma circunferência como um loop cujos pontos são eqüidistantes oposto ao raio-pirkum nunca é mencionado. 17 Isso é não quer dizer, porém, que o raio não interveio no OB geometry.We encontrá-lo, por exemplo, na problemas sobre semicircles. Nesses contextos, porém, ela funciona como a curto transversal da figura, perpendicular ao longo do diâmetro ou transversal, tallum. Na verdade, este é o função da pirkum no contexto de todas as formas geométricas OB [Robson 1999, 38], é nunca como uma conceptualizados rotatable linha. Figura 3, a partir de um "livro-texto" em encontrar as áreas de figuras geométricas, mostra um círculo inscrito em um quadrado (BM 15285 [Robson 1999, 208-217], provavelmente a partir de Larsa). Dá provas claras de que meios pode ser drawnwith bússolas froma point.My argumento central não é, certamente, que o raio não era conhecido na antiga Babilónia período, mas simplesmente que não foi central para o antigo conceito matemático de um círculo. Em suma, para tratar Plimpton 322 trigonométrica como uma tabela de qualquer natureza não violência extrema Critérios para 1-2. A antiga Babilónia círculo era uma figura-como todas as figuras geométricas OB - conceptualizados do exterior pol Em tal situação, não poderia haver noção de medir - ângulo poder no Antigo Babilônico período. 18 Sem um centro bem definido ou raio lá poderia ser nomechanismfor conceptualizar ormeasuring ângulos, 19 e, por conseguinte, o popular interpretação de Plimpton 322 trigonométrica como uma espécie de quadro torna-se inútil. 20 Qualquer hipótese plausível sobre a criação de Plimpton 322, portanto, devem ver a mais - ou-menos diminuição linear na Coluna I valores não como um objectivo do texto, mas como um acessório a - productwith não quase-trigonométrica significado para o seu antigo criador. É ismore historicamente som para ver o ponto de partida da tabela como um triângulo, que é mais ou menos metade de um quadrado, e as (alcançados) como ponto final de um triângulo com o lado longo e curto, quer no lado da rácios 3: 2 ou 2: 1.

RECÍPROCAS PARES E BETÃO GEOMETRIA: UMA ALTERNATIVA INTERPRETAÇÃO DOS Plimpton 322 Jens Høyrup do-chão quebrando trabalho ao longo da última década sobre a terminologia da Velha Babilônico "álgebra" tem revelado um subjacente "cortar e colar" ou "ingênua" geométrica metodologia, exemplificado pelo problema sobre YBC 6967 ([Neugebauer & Sachs 1945, texto Ua; Høyrup 1990a, 262-266], provavelmente a partir de Larsa): 21 [IGI.BI] e GII-li-tulo 7 i = [GII] `u IGI.BI mi-nu-no-ta hum = 7 sa IGI.BI / i UGU GII-te-ru = um-nd SI-na ele-p "e-ma 330 = 330 é 330 = su-ti-ta-ki-il-ma! 12 15 = a 12 15 sa-na-li-Kum i = [1 A. S `A] am-la-s:" I-ib-ma 11215 = [ 'IB.SI8 1] 12 15 mi-nu-hum 830 = [8 30 »u] 830-me-lhe-er-i su-di-ma = 330 ta-ki-il-tam nd i = i-s-te-pt 'u-su-uh = um nd i-s-te-en s: i = i ib-s-te-pt 12 sa-nu-hum 5 = 12 IGI.BI 5 i-gu-hum

O produto de um par recíproca é, por definição, 1 (ou qualquer outra potência de 60). O problema - setter aqui assumiu recíprocos que são da mesma ordem de grandeza, e que a sua produto é de 60, a fim de se obter uma diferença de 7 inteiro entre os dois desconhecidos. O problema é resolvido por "completar o quadrado" (Fig. 4), com as instruções dadas de uma forma muito concretos moda. Os dois desconhecidos recíprocos delimitar um retângulo de superfície 1 00. A diferença entre eles é medido até à longo dos lados do retângulo, e metade. Esta parte do rectângulo é rasgado e colado em off por baixo, para formar uma figura em forma de L da mesma área como antes. Mas os dois braços do interior L agora definir um quadrado de comprimento 3; 30 (e de área 12; 15). As armas do exterior L deve, portanto, descrever um quadrado de área 1 00C12; 15 D 1; 12; 15. Esta grande praça deve ter comprimento 8, 30, pelo que o comprimento do rectângulo original (nossa desconhecida recíprocos) deve ser de 8, 30 C 3; 30 D 12 e 8; 30 ¡3; 30 D 5, respectivamente. O que tem isto a ver com Plimpton 322? A solução para YBC 6967 descreve o formação de uma grande praça a partir da justaposição de um pequeno quadrado de espaço e uma forma de área 1 00. Se formos 1 00 redesenhar esta área como uma praça de tamanho médio com comprimento p100wehave um caso particular da d2 D b2 C l 2 . Em outras palavras, no decurso da resolução de um problema sobre encontrar um par recíproca devido à sua diferença inteiro, temos gerado um "Pitagórica" triplo: 8; 30, p60, and 3;30. Evidentemente esse é um pouco difícil de lidar com tripla em Old Babilônico aritmética, porque o segundo elemento é irracional (2 p15) e suscetível apenas para aproximar cálculo. Mas se reverter para o normal definição de reciprocidade pares, em que seu produto é 1 (ou mesmo algum poder de 60) e, em seguida, o nosso método irá servir para gerar "Pitagórica" triplos agradàvel. Se fizermos os ajustes necessários para a recíproca par em YBC 6967-saber

definindo o seu produto como 1, e não de 60 obtemos uma diferença de 12 ¡0; 05 D 11; 55. Metade deste é de 5, 57 30, os nossos pequenos quadrados de via. Praça e adicionar o número 1, para dar 36; 30 06 15. Encontrar o quadrado do lado da oferta: 6, 02 30. 22 Portanto, temos gerado o triplo 6, 02 30, 5, 57 30, e pode 1.We Agora multiplique por produtos de 2, 3, e 5 para obter uma tripla com a maior brevidade cordas de numerais: 6; 02 30 5, 57 30 1 £ 2 (porque os primeiros dois números terminam em 30) D 12; 05 11; 55 2 £ 12 (porque os primeiros dois números terminam em 5) D 2 25 2 23 24 Ou podemos também ter 5 ¡0; 12 D 4, 48 como o nosso ponto de partida. Metade de 4; 48 é de 2; 24. Praça presente e adicionar 1 a dar 6, 45 36. Sua praça do lado da oferta é de 2; 36. Então, é nosso triplo 2; 36, 2, 24, e 1. Nós podemos tentar multiplicando a novamente: 2, 36 2, 24 1 £ 5 (porque os primeiros dois números encerrar em produtos de 12) D 13 12 5 Neugebauer e Sachs [1945, 41] já havia salientado que era possível gerar os números encontrados em Plimpton 322 pares de reciprocidade, e eles figuram os quatro primeiros. (Eles não acreditam, porém, que foi o método utilizado, o argumento é retomada novamente na secção seguinte.) O conjunto completo de cálculos é dada na Tabela 6. O primeiro duas colunas contêm a recíproca pares; o terceiro eo quarto suas diferenças e semi - semi-somas (correspondente ao 3 1 = 2and81 = 2 na fig. 4). A quinta coluna (Coluna I sobre como Plimpton 322 existentes), inclui as áreas das grandes praças, encontrado (quando, como no YBC 6967, a recíprocos são desconhecidos), adicionando 1 ao quadrado do semi-diferença, ou (se os recíprocos são conhecidos) por quadratura do semi-soma. As próximas duas colunas mostram o quadrado de dois lados (pequenas e grandes) multiplicada por sucessivos fatores para obter o menor possível cordas (Colunas II-III da Plimpton 322), enquanto o penúltimo uma mostra do produtos desses fatores, a saber, o tempo corre lados. Tal como na coluna IV do comprimido, a última coluna simplesmente serve como uma linha de balcão. ANTERIORES defensores DA TEORIA RECÍPROCAS A teoria definidos aqui, não é nova e que eu certamente não gostaria de crédito é para mim. Em primeiro lugar, foi proposto por Bruins [1949, 1955] logo após o comprimido foi publicado e, em seguida, reapareceu em vários disfarces cerca de 25 anos mais tarde, em três estudos independentes aparentemente por Schmidt [1980]; Voils apud Buck [1980] e Friberg [1981], embora não tivesse o apoio linguístico e conceptual provas citados aqui, mas que apresentou na modernização algébrica da forma como Neugebauer p, q teoria. Então, por que tem sido praticamente ignorado pelo autores das histórias generalista de matemática, e por isso deve deixar de ser? Bruins enfrentou dois grandes obstáculos para a aceitação de suas teorias: ele tinha extraordinariamente difíceis relações pessoais com outros estudiosos [Høyrup 1996, 15] e, por vezes, feita surpreendentemente desleixado erros [por exemplo, Fowler & Robson 1998, 375 s. 14]. Seu estilo escrito é muitas vezes quase incompreensível e cheio de varrição generalizações, exclamação marcas, e peçonhentos hipérbole. Por exemplo, Bruins [1955, 118] alega, extravagâncias, Plimpton 322 que é um completo comprimido a fim de justificar a sua afirmação de que a primeira coluna não começa com 1s. No mesmo artigo [1955, 119] que alega que todos os 4-lugar recíprocas pares entre 2 24 e 1 48 são contabilizadas no comprimido, que não são (ver abaixo). Pelo mesma página ele alega que as raízes quadradas nas colunas II e III teriam sido encontrados por

controlo para fatores comuns quadrado. Não só isto é um método extremamente prático, 23 histórico, mas para apoiá-lo depende de um comprimido que ele tinha publicado extremamente mal e incompleta do ano anterior [Bruins 1954, 56]. 24 Novamente Bruins [1955, 119] tenta torcer o que significa "reduzido valor" fora da palavra mithartum (cf. acima), e tudo isso em um pobre impressão de qualidade iraquiano periódico disponível apenas em alguns especialistas Assyriological bibliotecas. Nenhum desses fatores foram de molde a incentivar os seus colegas para tratar a sua proposta a sério. Schmidt [1980] tem perto do cenário apoiado aqui-argumentando no sentido de que Plimpton 322 não diz respeito pitagorista triplica em si, mas a quantidade de pares recíprocos majorados por um factor-l mas apresentou talvez o mais fraco análise histórica. Para começar, é evidente que o tema do seu estudo não é uma antiga Babilónia comprimido isento de erros, mas uma tabela de indo - Algarismos arábicos no Sexagesimal sistema. Plimpton 322 é descrita pela primeira vez apenas como "uma texto contendo pitagorista números "[Schmidt 1980, 4], sem indicação da sua data, proveniência, ou mesmo aparência física e é posteriormente referido como "o texto Plimpton" [Schmidt 1980, 4, e passim]. Com efeito, "Plimpton o texto na sua actual forma" [Schmidt 1980, 4] é apresentado no seu Quadro 1 na página seguinte. Suas posições constituídas exclusivamente do Algarismos romanos I a IV, underwhich são quatro linhas de dados, três fileiras de elipses, e uma final linha de dados. Sua mensagem é que o material, a forma histórica de Plimpton 322 é irrelevante. Mais tarde, no mesmo artigo, quando Schmidt pretende prestar um maior apoio para a sua adaptação de Bruins' recíproca teoria, ele afirma que "[s] UCH um sistema realmente ocorre no texto material (Neugebauer, Mathematische Keilskrift-Texte [sic], vol. I, p. 106) "[Schmidt 1980, 9]. Ele não é o número museu e publicação de informações cuneiforme um comprimido que ele cita, mas um alemão "texto" da década de 1930. Neugebauer [1935-1937, estou 106], ao qual ele se refere nós, não é nem transliteração ou tradução de um comprimido Mesopotâmia matemática, nem mesmo uma cópia cuneiforme ou fotografia, mas uma discussão matemático intituladas "Quadratische Gleichungen f ¨ ur reziproke Zahlen (Rs. 10 bis 27). "Voltando dez páginas para o início da capítulo, que descobrimos que a discussão diz respeito a quatro problemas no AO 6484, a partir de um comprimido Uruk adquiridos pelo Louvre, e que a data é "Seleukidisch" [Neugebauer 1935-37, I 96]. 25 Em outras palavras, Schmidt admite que o apoio à sua argumentação a partir da matemática Seleucid (ou seja, helenístico) período, cerca de um milénio e meio após a data de Plimpton 322 e ainda mais jovem do que os elementos. 26

Schmidt da ignorância da historicidade do seu assunto permeia o artigo. Ele faz não interagir com, ou mesmo reconhecer a existência de, os erros sobre o comprimido, enquanto o rubricas (ou melhor, a twowords "largura" e "diagonal") arementioned apenas no último muito linha [Schmidt 1980, 13] durante uma tentativa pouco convincente de última hora para encaixar theminto sua inter - pretation.His final reconstrução é uma mesa oito ou nove columnswide [Schmidt 1980, 13] -- que wouldmean Plimpton 322 para restaurar uma largura total de 25-30 cmand uma acentuada asym -

métrica curvatura. (Schmidt, no entanto, não registra as implicações físicas de sua teoria.) Ele é, contudo, capaz de dar alguns internalist, matematicamente orientados justificações para suas propostas: Percebemos que no explicações dadas pelo Neugebauer e Sachs, e EM Bruins o número l [¢¢¢] desempenha um papel bastante significativo. Em nossa explicação do número l não ocorre explicitamente. Também não ocorrer l explicitamente no texto propriamente dito, e neste aspecto o nosso melhor explicação concorda com o texto do que os dois explicações anteriores. [Schmidt 1980, 10/11] Voils de trabalho, embora assinalada por Buck [1980, 344], para aparecer na Historia Mathematica, nunca fez em imprimir, por isso nem sempre é possível separar a sua teoria a partir de Buck's (má) interpretação do mesmo. Como Schmidt, Buck e Voils propor que Plimpton 322 diz respeito aos montantes de regular e recíproca pares x XR: [T] ele entradas em [nas colunas I-III das] Plimpton comprimido poderia ter sido facilmente calculado a partir de um especial recíproca tabela que enumerou os valores emparelhados x e XR. Na verdade, os números [em Colunas II-III] pode ser obtido a partir de x § XR simplesmente pela multiplicação por esses inteiros escolhidos para simplificar o resultado e Reduza o dígito representação. [Buck 1980, 344] Mas, mais uma vez como Schmidt, Buck e Voils têm dificuldade em lidar com os dados históricos. O problema matemático que apresentam não identificado (que é presumivelmente YBC 6967) é equivocadamente provenanced para a cidade de Nippur. Mais grave ainda, não estão a afirmar que não tais "especiais recíproca mesa" realmente existe ou para mostrar como é que a recíproca pode mesa foram calculados. Além disso, embora salientando que o p, q teoria não consegue explicar a presença, posição e conteúdo da Coluna I sobre o comprimido [Buck 1980, 343], não podem dar uma justificação convincente para a presença de colunas II e III e, mais uma vez, não tentativa de lidar com as rubricas. No ano seguinte, Friberg [1981a] produzido a análise mais detalhada do comprimido a data. Seus artigos sobre os povoamentos cúspide da velha e da nova época: por um lado ferozmente matemática e de modernização no que diz respeito ao conteúdo do comprimido, e, por outro extremamente perspicaz sobre intenção autoral. Ele resume a sua teoria da seguinte forma, com a, b, c e equivalente ao nosso l, b, e d: É fácil verificar que os valores listados [em Plimpton 322]::: são precisamente os que podem ser obtidas pela utilização do triângulo parâmetro equações b um D ¯ b; c um D ¯ c; b ¯ D 1 2 (t 0 ¡T) ¯ c D 1 2

(t 0 C t) se permite a um parâmetro t (com o número recíproca t 0 D 1 = t), para variar mais de uma convenientemente escolhidos conjunto de 15 números racionais t D s = r, e se o multiplicador é um escolhido de tal forma que se tornem b e c inteiros sem factores primos comuns. [Friberg 1981a, 277] Tal como as teorias de Schmidt e Buck / Voils, esta explicação resume-se a utilização recíproca pares para gerar a tabela. Friberg, mas reconhece que a recíprocos devem, eles próprios, têm sido gerados e define a fazê-lo sozinho. Ao invés de procurar o OB matemática corpus para um toolkit culturalmente de técnicas apropriadas (ver páginas 26-29) ele simplesmente mostra nós como ele fez isso: Ao escrever o parâmetro t e seus recíprocos t 0 como t r e D s = t 0 D r = s, e por deixar o par (r, s) variam admissível parâmetro de todos os pares (coprime regulares Sexagesimal pares de inteiros) dentro de um delimitadas "Alma" do (R, S) avião, pode gerar uma arbitrariamente um grande conjunto de valores do parâmetro de forma sistemática e de maneira simples. Este tipo de procedimento foi seguido na construção do quadro do Figura 2.2. [Friberg 1981a, 288] "Figura 2.2" [Friberg 1981a, 286] é um gráfico log-log! Esta é a "reconstrução racionalista" no trabalho: em nenhum lugar nesta discussão Friberg não reconhecer que um escriba OB pode ter tinham ideias muito diferentes sobre o que constituía um "convenientemente escolhidos" conjunto de números. Em contrário, ele então passa a anunciar que o conteúdo das colunas I-III pode ser obtida facilmente a partir dos valores de b e c, usando métodos que só teria sido disponível também para um matemático da antiga Babilónia período [Friberg 1981a, 289], por isso não é claro por que ele não tomou essa abordagem para a recíproca pares também. Após uma algebraised muito bem sucedida, mas principalmente em conta a possível aritmética-tech zadas para trás e, portanto, a natureza dos erros em, Plimpton 322, Friberg se move sobre a enfrentar "o objectivo do texto" [Friberg 1981a, 299-306]. Tal como toda a sua imediata predeces - sors ele não está preparado para lidar com os elementos fornecidos pela interno posições [Friberg 1981a, 300] e, como impropriamente Schmidt cita as quatro recíproca de par dos problemas Helenístico comprimido AO 6484 como a sua principal evidência externa [Friberg 1981a, 303]. O papel conclui-se com longas "reflexões sobre as origens da" Pitagórica Teorema "[Friberg 1981a, 306-315], que trabalha através de todas as provas Mesopotâmia, então conhecida por problemas sobre direito do triângulo. Em suma, a recíproca teoria, tal como apresentado pelo Schmidt, Buck / Voils, e não tinha Friberg evidentes vantagens sobre o mainstream p, q interpretação. Ainda que pretendia ser mais coerente com a cultura matemática OB (critério 2), as evidências históricas foi manuseados clumsily. Schmidt, em particular foi cronologicamente e artefactually insensitivo

(cf. Critérios 1 e 4). A não-numérico conteúdo do comprimido foram praticamente ignoradas (ver critério 5), e, embora a existência e localização dos erros (Critério 3) e Coluna de eu poderia justificar-se, agora não houve explicação satisfatória para Colunas II-III (cf. Critério 6). Face a esta situação, houve pouco de escolher entre recipro - CALs e p, q geradores, exceto que a última teoria tinha a autoridade de Neugebauer por trás dele. Sowhat doesmake Bruins' recíproca theorymore convincente do que o padrão p, q-gen erating função, ou, na verdade, a tabela trigonométrica? Já mostrou que o seu arranque pontos (pares recíprocos, recortar e colar álgebra) e ferramentas aritméticos (adição, subtração, reduzir para metade, encontrar praça lados) são todas as preocupações centrais da antiga Babilónia matemática: é sensível ao pensamento antigo-processos e as convenções de uma maneira que nenhuma outra tem mesmo tentou ser. Por exemplo, nesta teoria os valores da coluna I são um passo necessário para a cálculo desses na coluna III e pode também ser utilizado para Coluna II. E a Coluna I valores próprios são provenientes de uma lista ordenada de números. Em outras palavras, como se tem sido apresentadas até ao momento, a teoria satisfaz Critérios 1, 2, 3 e 6 razoavelmente bem. Mas há permanecem pendentes várias preocupações a serem respondidas: ² Qual das danificado posição na primeira coluna existentes? ² Faça o controverso 1s na Coluna I, existem ou não? ² Can os erros do comprimido ser explicado? ² Como seria a recíproca pares foram encontrados ou conhecidos? ² Estão faltando as inscrições a partir do comprimido, e porquê? ² Qual teria sido a falta de parte do comprimido? ² O que são colunas II e III, para? ² Porque foi Plimpton 322 escrito? Vamos lidar com essas questões na ordem dada. Coluna I: as palavras e os Então, o mistério da posição ao longo da primeira coluna e à controversa 1s? Sabemos (página 8) que as 15 linhas abaixo dela conter nem a relação entre o quadrado sobre o lado para o curto quadrado no lado longo ou a relação entre o quadrado na diagonal para o quadrado no lado longo (dependendo se você acredita na existência do 1s no início da coluna ou não). De acordo com a nossa teoria recíproco (cf. fig. 4), isto é equivalente à área da imaginário pequeno quadrado ou a área da grande praça (composto por 1 mais o pequeno quadrado). Neugebauer Sachs e ler a posição da [ta]-ki-il-ti s. i-li-tim-ip / [sa in]-na-como-um-s `-hu 'u-ma SAG -:::- i' u O takiltum diagonal do que foi subtraído tal que a largura:::. [Neugebauer & Sachs 1945, 40] Agora, s. iliptum "diagonal" (aqui no caso genitivo) e ao SAG Sumerogram para p ¯ utum "Lado curto" que já conheci na Coluna II e III rubricas. Entre eles estão sa o pronome relativo "que, a qual, cujo, a quem", eo verbo innassah "é arrancada" a partir do caule passiva do verbo nas ¯ ahum 'para rasgável out ». O verbo tem dois sufixos: o subjuntivo-u (regidos pela relativa SA) e da conjunção-ma "e depois", "para que". Nós ficamos com duas palavras difíceis: um substantivo na construção, no início do título subjuntivo e um verbo na terceira pessoa, no final. Porque p ¯ utum é escrito como uma logogram com nenhum caso que termina, não podemos dizer se ele é o assunto ou objeto do mistério verbo. O águia-eyed leitor já terá spotted 3; 30 ta-ki-il-tam em YBC 6967 (p. 17), quando, no

acusativo o caso, refere-se ao comprimento do pequeno quadrado que se imaginava na baixa canto direito do retângulo reorganizadas em fig. 4. Mas de acordo com nossa teoria recíprocas o conteúdo da coluna I são todas as praças, não comprimentos. Isto não é em si um problema, como já vimos que partilham as suas configurações geométricas nomes com sua definição componentes e, em particular, praças e sua praça-lados são nomeadas idêntica. Assim é de esperar que o takilti em Plimpton 322 poderão remeter para a área de um quadrado em vez de um quadrado de lado. Mas ainda temos uma dificuldade: em 6967 o YBC t .- praça é o um pouco, de a curto lado, enquanto na Plimpton 322 t o .- quadrado da diagonal só pode ser o grande, compósitos quadrado. E isso significa que temos de restaurar a 1s no início da linha, como os restos do comprimido sugerir que devíamos. Mas, mesmo se aceitarmos que takiltum pode referir-se a grandes e pequenos quadrados precisamos fazer uma adaptação para a nossa posição, pois claramente a grande praça não pode ser "arrancada" de qualquer coisa. Se, por outro lado, é inserir uma cunha vertical para "1" para a parte danificada do o comprimido, e restore27 [ta]-ki-il-ti s. i-li-tim-ip / [1 em sa]-na-como-um-s `-hu 'u-ma SAG-i::: -' u O takiltum da diagonal do que 1 é arrancada, para que a curto laterais::: temos uma significativa (e gramaticalmente correto) primeira cláusula: subtrair 1 a partir do quadrado t .- da diagonal, e você começará a t .- quadrado do lado curto, a partir do qual o lado curto si mesmo pode ser encontrado. O que faz takiltum realmente significa? Huber [1957, 26] timidamente é traduzido "Hilfzahl" (ajudando número), implicitamente decorrentes-lo a partir do verbo tak ¯ alúmen "para ajudar", como o feminino particípio t ¯ akiltum "ajudante". Este é, na verdade, uma proposta muito atraente. Mas o autoritativo Akkadisches Handw ¨ orterbuch [von Soden 1959-1981, 1306] lê takiltum (nomacron) e traduz "bereitstehende (verf ¨ ugungs-) Zahl" ( "número disponíveis"), enquanto o extremamente amável Høyrup [1990a, 49, 264] lê tak ¯ ıltum (com um Macron no i) sem traduzir. Tanto identificá-lo como um derivado nominais do verbo kullum "para manter, espera. "Como seria de esperar, von Soden's razões são primariamente filológico (e altamente técnico), que incide sobre Høyrup (similarmente técnico) matemático argumentos. Mas que tanto pode ser reduzida para o facto de o OB verbo "para multiplicar geometricamente" (ou seja, a construir um rectângulo ou quadrado a partir de duas linhas perpendiculares, como na fig. 4) é provavelmente a causativo kullum forma recíproca, e takiltum (um quadrado construído) só pode ser derivada a partir da mesma raiz. A forma do substantivo é demasiado causativo; que significa "algo que tem sido provocada a realizar (alguma coisa) "-que, como seria de esperar, sugere que a takiltum conceptualizados é como uma praça configuração ou moldura em vez de uma área ou um comprimento. Ele é difícil encontrar um sentido uma palavra-Inglês tradução que leva em conta tanto contexto da matemática e da semântica das limitações da sua forma gramatical, mas, para a Sugiro momento "exploração (-quadrado)," enquanto se aguarda uma melhor sugestão. 28 Tudo o que permanece é a último verbo, cujo significado podemos adivinhar em, mesmo que seja difícil de ler, o escriba tem procurado sem sucesso, squash no final da primeira coluna e ela acabou derramando em a segunda linha da coluna II. A palavra deve significar algo como "resultados", a norma OB termos matemáticos para os quais são tammar "vê", a segunda pessoa presente tenso sou de ¯ arum "" para ver ", e illi, a terceira pessoa do presente el hum" para ser (vir) alta ", que normalmente é traduzido "vem para cima" neste contexto. Podemos excluir imediatamente o primeiro

destas opções, como segunda pessoa todos os verbos são prefixados ta-(o que parece nada como o i-demonstrado claramente sobre o comprimido). Podemos explicar a certos final - 'u como outro subjuntivo marcador regidos pela relativiser sa que já foram restaurados, assim, estamos agora procurando de vestígios sobre o comprimido que se enquadraria com illiu ou doença contraída u. Legitimate silábico grafias são mostrados na fig. 5. 29 Tanto il e li sinais são longos, muito longos em conjunto para ajustar os traços sobre o comprimido (um), enquanto lu sozinho é demasiado simples para assinar uma conta para todos os o visível cunhas (d), e li como está escrito em. iliptim não se encaixa-los ou (b). Isto deixa nós com ortografia (c), e perto do original inspecção comprimido (ou a foto em Neugebauer & Sachs [1945, pl. 25]) mostra que este é um bom ajuste, com a il e os lu espremida em o fim da linha, como mostrado na fig. 6. De facto, esta primeira leitura foi proposto pelo Goetze Preço apud [1964, 8], mas não totalmente explicado lá. Portanto, agora temos uma gramática e matematicamente significativo rumo a Coluna I, [ta]-ki-il-ti s. i-li-tim-ip / [1 em sa]-na-como-um-s `-hu 'u-ma-il SAG i-lu-' u. A exploração-quadrado da diagonal a partir do qual 1 é arrancada, para que a curto lado surge, e ter, assim, preenchidas Critério 5. CONTABILIDADE DE ERROS Agora chegamos à três erros não trivial. A praça em linha II 13 podem ser facilmente contabilizada se partirmos do princípio de que foi derivado de Coluna II Coluna I, tal como este último da própria posição afirma explicitamente. O escriba esqueci, no presente um exemplo, para encontrar o quadrado lateral após Subtraindo 1 a partir da entrada na Coluna I. Então ele multiplicou o quadrado de lado a curto e o comprimento da diagonal por sucessivos fatores regular para obter o número mostrado no comprimido. Esta conclusão tem implicações para a nossa interpretação, vamos voltar a ela mais tarde. Ambos os restantes erros (o dobro ou metade do valor correto na linha 15, e de 3 12 01 1 20 25 na III 2) pode ser explicado, como Bruins [1955] e Friberg [1981a] tanto concluiu - por peritos independentes Factorização ido demasiado longe. Ou seja, depois de ter encontrado a base triplos (0, 37 20, 1, e 1, 10, 40 para a linha 15, e 0; 58 27 17 30, 1 e 1; 23 46 02 30 para a linha 2), o escriba multiplicou-se cada número na tríplice para eliminar factores comuns. Para a linha 15 cálculo deveria ter sido:

mas o escriba aparentemente duplicou o triplo resultando em uma tentativa de reduzir ainda mais a fatores comuns (a 56, 1 30, 1 46), e se esqueceu de voltar ao primeiro destes valores quando ele viu o resultado não foi satisfatório. Do mesmo modo, na linha 2, 0; 58 27 17 30 1 1; 23 46 02 30 2 £ porque dois números terminam em 30 1; 56 54 35 2 2; 47 32 05 12 £ porque dois números terminar em 5 23; 22 55 24 33; 30 25 £ 12, porque dois números terminar em 5 4 40; 35 4 48 6 42, 05 £ 12, porque dois números terminam em 5 56 07 57 36 1 20 25: Mais uma vez, o escriba, certos de que ele não tenha encontrado a melhor triplo, continua a multiplicar por 12: 56 07 57 36 1 20 25 12 £

11 13 24 11 31 12 16 05 00 12 £ 214 3648 2181 424 3130000 e sobre a reversão para o curto triplo esquece-se de converter o último dos três. Porque o cálculo foi feito muito aproximadamente [cf. Robson 1999, 66, 245-277], ele misreads o final três cunhas de 3 e 13 transferências 3 12 01 para o bom exemplar. Temos agora razoavelmente satisified Critério 3. RECÍPROCAS PARES E FALTA ROWS A julgar a partir da curvatura da parte da existente Plimpton 322 [cf. Friberg 1981a, 283 Fig. 1.3], não há espaço para duas colunas provavelmente de aproximadamente a largura das colunas II e III na falta porção, acrescentando assim não mais que cerca de 5 cm para a largura do comprimido. Vamos chamá-los colunas A e B. Vamos supor para o momento em que continha a recíproco pares listados nas duas primeiras colunas do quadro 6.As alreadymentioned, Neugebauer Sachs e não foram a favor da reciprocidade pares jogar qualquer papel na geração da tabela. Eles declararam: [O] não podem também produzir Pitagórica números usando um parâmetro ® e sua recíproca onde ¯ ® ® D p = q. Mas uma comparação entre o [primeiro] quatro linhas [de pares] mostra que nem imediatamente nem ® ¯ ® poderia ter sido o ponto de partida, mas apenas a simples números p e q. [Neugebauer & Sachs 1945, 41] O seu argumento é que, eu acho que, com base no fato de que a recíproca pares são até quatro sexagesi - lugares mal longwhile eles knewalmost exclusivamente uma lista de quadros e dois pares local para a antiga Babilónia período [por exemplo, Sachs & Neugebauer 1945, 11/12]. Apenas quatro conhecidos

exceptions30 recíprocos gerados pares até 8 ou 9 lugares Sexagesimal longo dos sucessivos reduzir para metade e duplica-se de dois pares facilmente derivável a partir da norma tabelas. Este método de encontrar pares atípico recíproca é algo generalizado em Str 366 (ii) fromUruk [1935-1937 Neugebauer, eu 257-259; Sachs 1947, 235]: consiste em dividir o (regular) por um número determinado (regular) factor-3-neste caso, para que um número napadrão recíproco tabela é atingido. Sua recíproca é então multiplicado por esse mesmo factor de produzir o recíproco do número original. Muito pouco tempo depois, Sachs publicou um considerável corpo ofOldBabylonian comprimidos demons - strating outro método (que ele intitulou "A Technique") para encontrar o recíprocos de números regulares [Sachs 1947]. 31 Ela pode ser resumida algebricamente (e anacronicamente) da seguinte forma. Um número sexagesimally regulares c tem de encerrar com uma certa - lugar inteiro ou dois, um, na lista padrão (ver Tabela 5). Chame a diferença entre eles b, c, para que D b C a. Portanto, 1 c D 1 b um C D 1 a ¢ 1 1 C b = um : Explicit instruções de utilização de "A técnica" são dados sobre a unprovenanced OB comprimido

IVA 6505 [1935-1937 Neugebauer, eu 270-273; Sachs 1947, 226-227], e muitos OB exemplos de seu uso são agora conhecidos [Robson 2000a, Tabela 3]. Tomemos 2; 22 13 20, a partir de o segundo par na Tabela 6, como um exemplo de como isso funciona. Em primeiro lugar, escolher uma entrada a partir de um o padrão recíproco tabela a partir do final do número. Podíamos escolher 20, mas vamos ser mais ambicioso e fixar uma D 0, 02 13 20, deixando b D 2; 20. A recíproca de 0, 02 13 20 é de 27. Multiplique isto por b dar 1 03. Adicionar 1.-1. 04-e tomar a recíproca: 0; 00 56 15. (No nosso caso, o par é a norma no quadro, mas em outros casos (e há exemplos OB conhecida) tem uma para iterar, tendo este último valor como um novo c.) Multiplicar 0; 00 56 15 até 27 para obter 0; 25 18 45 D 1 = c, como queria. Assim, embora não existam quatro mesas-lugar de recíprocos conhecido, foi facilmente dentro da habilidades de uma antiga Babilónia escriba para gerar regulares recíproca pares e para ordená-los em ordem. 32 E essa ordem numérica ascendente na primeira coluna, o método universal para triagem OB tabelas, contas para o facto de o sobrevivente Coluna I é ordenado enquanto Colunas II e III não são. Estamos agora caminhando para uma ampla resposta ao Critério 6. Mas não temos realmente abordada a questão de como o escriba teria encontrado um local adequado quatro regulares inteiros, cuja recíprocos, então ele poderia calcular. Este assunto está relacionado com a questão de terem ou não o quadro está completo. Trivialmente, não é: o reverso do comprimido foi deliberou verticalmente na preparação para a continuação da tabela. Menos trivialmente, é mais uma difícil questão para determinar se existem ou não a seqüência de omissões como nós tê-la. A maioria das análises anteriores do comprimido [por exemplo, Friberg 1981a, 284-289] tenham começado a partir do pressuposto de que o comprimido é exaustiva e tentaram determinar os critérios pelos o escriba, que escolheu seus pontos de partida, se p, q geradores ou recíproco pares. Todas estas tentativas de buscar uma única regra para a escolha desses pontos (por exemplo, Friberg's"Restrições sobre os parâmetros" [1981a, 284]). Mas somos justificados em assumir que o conceito ofmathematical Exaustividade havemeant seria absolutamente nada no início da segunda milénio AC? Ou que o escriba deve ter gerado o seu início números (p, q, ou recíprocos) usando um único algoritmo? E não reallymatter? Isso depende de um ponto de de vista, especificamente sobre se antiga ou moderna intenção autoral audiência recepção tem prioridade. Se estamos preocupados com Plimpton 322 esteticamente agradável como um pedaço de (implictly moderno) Matemática então aparentemente não interessa que o quadro está completo e elegantemente gerados: na verdade, essas hipóteses nunca foram questionadas. Mas nós São, assim, indulging em matemática crítica, não história. Mais grave ainda, somos culpados Pingree de agir como o "tesouro caçadores procurando pérolas no dung heap", privilegiando o aparentemente moderna em detrimento da antiga obviamente. Se, por outro lado estamos interessados no que poderia ter sido Plimpton 322 para, em seguida, seu grau de perfeição é um problema. Será que isso interessa aos seus antigos compilador? Será que é mesmo tem sido um problema significativo para ele? Eu argumentaria, quase de certeza que não. Os 40 padrão OB multiplicação tabelas, por exemplo, fornecer-nos com um informativo paralelo. Eles são completa nem em si mesmo (com multiplicands 1-20, 30, 40 e 50), nem como um conjunto (o conjunto completo ofmultipliers é mostrado na Tabela 7). Também não definir que parecem ter sido escolhida de acordo com qualquer critério ou gerar um algoritmo: muitos são um lugar-sexagesimally regular números (27, mas, por exemplo, está ausente), são muitos números significativos no sistema decimal (mas

4 10 [D250], por exemplo, está ausente). 33 Muitos também são encontrados na recíproco tabela padrão (Tabela 5) (mas 2 13 20, por exemplo, está em falta), e muitos também são comumente ocorrem coeficientes indicados nas tabelas constantes da técnica [cf. Robson 1999, 325-332] (mas 26 40, por exemplo, está ausente). Por outro lado, pertence a 22 30 nenhuma destas categorias, e parece ter sido incluída, porque é a metade do 45. Do mesmo modo, 7 está lá para completar o conjunto de inteiros a 10. Em suma, o conjunto de multiplicadores parece ter sido montado porque dá uma boa cobertura do número mais provável de ser utilizado pelos escribas em seu trabalho cotidiano aritmética. Retornando ao Plimpton 322, observamos que todos os quatro são recíprocos-lugar, ou menos, com o número total de lugares em cada par sempre inferior a sete. Sob estas condições selecção, acontece que recíproca três pares estão ausentes da mesa, como mostrado no Quadro 8, as linhas 4a, 8a, 11a. As três entradas correspondentes nas colunas de Plimpton 322 também são dadas lá, bem como o longo dos lados do triângulo e os análogos p, q geradores. Vamos supor que um minuto para o escriba não têm acesso a uma "função geradora" [cf. Friberg 1981a, 284-289], mas recolhidos ou omitido o seu recíproco pares utilizando uma variedade de critérios como o compilador (s) do conjunto padrão de multiplicação quadros presumivelmente tive. Porque ele ter escolhido o mais a partir da qual o quadro é derivado, e omitido o três no quadro 8? A recíproca pares como inteiros estão listados na Tabela 9, com as suas decimais equivalente emitido por uma questão de facilidade. Vamos supor que o escriba começou por escolher de dois pares recíprocos lugar no topo e no fundo da tabela, o que ele sabia (ou tinha cal - culado) daria agradável Pitagórica triplos. Ele já teve de encontrar tantos pares como ele poderia entre eles, e escolheu, para a facilidade de cálculo, para restringir-se a quatro-lugar ou menor números (que também resultará em quatro lugar ou menor número, no final colunas da tabela). Naturalmente, a apenas alguns pares na sua gama ocorrem na norma recíproca lista, mas muitos mais são dedutíveis desde que por meio da simples (e bem comprovado) de expediente sucessivamente reduzir para metade e duplica padrão recíproco pares, ou triplicação e dividindo por 3. Desta forma, 11 pares em nosso escriba da gama são simplesmente derivadas do padrão recíproco mesa, outros ele pode ter escolhido a partir da multiplicação tabelas padrão, coeficiente de listas, ou simplesmente o seu trabalho o conhecimento da Sexagesimal sistema. Apenas 4a e 8a, dois dos três pares ele omitido, não parecem ter sido facilmente derivável, utilizando métodos comprovados, de OB aritmética básica do ambiente. A selecção e ordenação processos não precisam de ter sido concomitantes, como vimos, era prática normal scribal para ordenar os dados numéricos por tamanho. E podemos também argumentam trás, a partir de colunas II e III. Olhando para os lados curtos e diagonais e os implícitos longo lados (Tabela 1), percebemos que nenhum lado é mais longo Sexagesimal longa do que dois lugares, e não curto lado ou diagonal seja mais de dois e um meia Sexagesimal lugares longa que seja, sem dezenas de o maior dos três lugares. Se Suponho que esse lugar de comprimento era um atributo desejado desses parâmetros, e não simplesmente coincidência, então nem 4.oA nem 11.oA deveria ter sido incluído: a curto lado e diagonal de metade de um lugar 4.oA são demasiado longos, enquanto o longa tem um lado da 11a lugar todo demasiados. Somente

8a linha deveria ter sido em cima da mesa sob essa hipótese, e esta foi uma das duas recíproco pares, que acabámos de ver não foi facilmente encontrados usando OB métodos. 34 É esta a explicação para o escriba escolhas historicamente menos plausível do que qualquer anterior eruditos "[por exemplo, Friberg 1981a 285-288], apesar da sua natureza ad hoc chocante? Temos que lembre-se (cf. Critérios 1-2) que estamos a tentar (re) construir o que é um verdadeiro ser humano, quase 4.000 anos atrás, poderia ter pensado e feito para produzir os dados sobre Plimpton 322, não um autômato idealizada matemática ea funcionar de acordo com implicitamente moderna regras. Deixo para o leitor a decidir, com um outro lembrete de que é histórico plausibilidade uma questão completamente diferente da matemática estética. Quem escreveu Plimpton 322, e por quê? Após audiência dismissedmodern recepção como o fator primordial na análise do antigo matemática e tentou mostrar-nos a luz do conhecimento atual howPlimpton-322 pode ser construído, eu amduty obrigados a abordar a questão da antiga intenção autoral: qual foi o comprimido para? Para começar, não há provas de que Plimpton 322 destinava-se a ter qualquer espécie de direito tabela de referência. Em primeiro lugar, não existem antigos duplicados do comprimido, em comparação com os muitos centenas de aritmética e sobrevivente padrão metrológico tabelas e listas e os diversos dúzia de cópias de outros tipos de tabela, como cubos ou poderes de 10 [cf. Neugebauer 1935-1937, 4-96 I, II 36-37; III 49-51; Neugebauer & Sachs 1945, 4-36]. Em segundo lugar, (o que Presumo que são) os resultados intermédios são mostrados, na Coluna I, enquanto que apenas dois dos três esperar o final de produtos estão aí: o comprimento l está faltando, contra expectativas moderna. Assim qualquer que seja o objectivo do escriba, não foi simplesmente a compilar uma lista completa de Pythagorean triplos. Também não é convincente para rotular como Plimpton 322 "investigação matemática" uma sofisticada ex - ercise em manipular números para qualquer outro fim que não para satisfazer a curiosidade ociosa: para o início segundo milénio Mesopotâmia não temos qualquer prova de um desocupado meio classe do tipo cujos membros ocasionalmente perseguidos Recreações matemáticas em Classi - cal antiquity35 ou em earlymodern Europa. Quatro mil anos atrás escribas tinham de trabalhar para um vivem, na sua maior parte como burocratas e administradores para as grandes instituições, templos e palácios, mas também serve o documentário entrepreneurially necessidades de-casa privada porões e os indivíduos. Scribes poderiam também formar outras escribas, mas a apenas dois OB scribal professores em todos sabemos quem tanto trabalhou intimamente principalmente como templo administradores e fiz um pouco de ensino do lado. Ku-Ningal servido themoon-S em Deus, no sul da cidade de Ur, em meados do século 18 [Charpin 1986, 432], enquanto Ur-Utu trabalhou para o templo do o sol-deus Shamash em Sippar, perto de Bagdad moderno, perto do final do século 17. [Gasche 1989, 40-41]. Claramente, houve escribas cuja função era a compor novas obras literárias obras na Suméria, e mais tarde Acadiano: royal elogios poesia foi encomendado por quase todos os grandes reis do início do segundo milénio. 36 Mas ao mesmo tempo, houve uma procura estável Suméria literatura, tanto para o culto e de tribunal, em nenhuma instituição estava lá um mercado de nova matemática. Por isso, estamos à esquerda, como já referi no início, com um ensino de matemática, definição ematical criatividade: novos problemas e situações que visem desenvolver a matemática competência do estagiário escribas. Apesar do fato de que muito pouco OB matemática é boa - tivos traceable escavados para as escolas, existe uma grande quantidade de elementos de prova contidos nos artefactos si. Um dos mais evidentes é Corresponderem confortavelmente em um peda - cional tipologia, amplamente compreendendo professores de saída (por exemplo, livros didáticos, soluções modelo com

instruções), e dos estudantes de saída (por exemplo, laboriosamente copiados matemáticos tabelas, trabalhou soluções para os problemas) [Robson 1999, 174-179]. O objetivo do texto livros e modelo soluções foi a de ensinar os métodos adequados para resolver problemas matemáticos. O nu - merical tomadas pelos valores dos parâmetros nas instruções foram meramente ilustrativos e foram escolhida para produzir respostas simples e evitar complicada aritmética procedimentos. Meia dúzia de ou tão matemática comprimidos são conhecidos que parecem ter sido escritas por professores em o processo de procura de conjuntos de numericamente "simpática" problemas para dar a sua classe. Realmente, Friberg [1981b, 62] demonstrou que o rascunhou números escritos no verso de uma das referidas listas foram escritos no decorrer de determinar os valores adequados para o último conjunto de problemas na lista. Estas listas de primeiras linhas parecem ter fornecido com o professor numericamente simples variantes sobre um determinado conjunto de problemas, para que os estudantes poderiam cada ser dado numérico individuais em prática um procedimento. O suporte para esta hipótese pode ser feita a partir de dois conjuntos de exercícios multiplicação de Ur. O produto de três números (que são diferentes em cada comprimido) é multiplicado por 6 40, em um grupo de cinco comprimidos, no outros grupos de cinco, é dividido, sucessivamente, em 10 e 30. Podemos compreendê-los como o cálculo de volumes (quando o comprimento, largura, altura e são diferentes em cada caso), que são multiplicados ou divididos por coeficientes específicos [Robson 1999, 253-259]. Já foi sugerido que o objetivo do autor de Plimpton 322 foi a de escrever um "professor de ajuda" para a criação e resolução problemas envolvendo triângulos direito [Friberg 1981a, 302], ou, alternativamente, Plimpton que o comprimido não tem nada a ver com Pitagórica tercinas ou trigonometria, mas, em vez disso, é um instrumento pedagógico destinado a ajudar um professor de matemática do período perfazer um grande número de GII-igibi [ou seja, da reciprocidade de par] equação quadrática exercícios com soluções conhecidas e intermédias solução para os passos que são facilmente controlados. [Buck 1980, 344] Isto é inteiramente em consonância com aquilo que é conhecido do meio educacional do OB matemática [Robson 1999, 172-183], e também explicar a razão pela qual, como ficou demonstrado anteriormente, os comprimentos das curto lados e diagonais em Plimpton 322 eram restritas a 2 1 = 2 Sexagesimal lugares ou menos: já seqüências numéricas levaria a difícil cálculos que poderiam interferir com o aprendizado dos alunos de métodos matemáticos. 37Mas ainda estamos à esquerda com uma decisão a fazer: foi esta a professores «lista um compêndio de adequados conjuntos de direito triângulos (Friberg) ou recíproca pares (Voils / Buck)? Se vamos com Friberg, temos de explicar por que razão Coluna I está em cima da mesa e por isso não existe (existentes) l para a coluna. Se, por outro lado que seguem Voils / Buck, o problema é explicar por que razão Colunas II e III contêm valores que tenham sido ajustados para cima pelo fator l-e por que razão a palavra "diagonal" surge nas posições de colunas I e III. Nem Friberg [1981a, 300], nem Buck [1980, 344], pode dar uma explicação satisfatória. Nem é que fazem este observação: que o método utilizado para compilar Plimpton 322 foi, com toda a probabilidade algo diferente do problema matemático do tipo que o seu compilador queria ensinar e teste. Pois, como acabámos de ver [cf. Friberg 1981b], exemplos numéricos para essas problemswere "cozido" de modo que os resultados fossem simples números inteiros. Que "cozinhar" processo (o que presumivelmente começou a partir da resultados estudantes foram supostamente para obter) deve ter sido amore-ou-menos um procedimento inverso ao pretendido para os alunos. São as colunas de Plimpton 322 dispostas em ordem para cozinhar ou para a resolução de problemas? Quais foram os problemas a ser cozinhado ou resolver? A resposta a ambas as perguntas devem influenciar as nossas tentativas de restabelecer a themissing colunas. Podemos tentar responder a primeira, fazendo comparações com outros matemáticos comprimidos. Todos os seis dos outros professores "listas de dar a nós sabemos numérica parâmetros do problema

a ser definido, frequentemente incorporados em uma questão matemática, mas as respostas são numéricas nunca dado [Robson 1999, 9]. Cálculos efectuados no decurso de encontrar os parâmetros foram escritos aproximadamente no fundo do comprimido ou não sobreviver a todos os-presumivelmente porque foram apagados, ou feita em separado "áspero trabalho" comprimidos. Plimpton 322 não contêm simplesmente começando parâmetros, como os títulos deixam claro (abaixo), mas, por outro lado, o asseio ea limpeza do comprimido (sem rasuras ou rascunhou números sobre as superfícies em branco, por exemplo) e os erros cópia falam contra sua roughwork. 38 Estes argumentos, do comprimido formato, são mais fortes do que o argumento de conteúdo: podemos facilmente imaginar um professor que queira para verificar os cálculos e resultados intermédios. (O outro sobrevivente dos professores listas são para problemas relativamente simples, as áreas de quadrados e círculos, por exemplo, e usar uma ou - iniciando-se dois parâmetros: o professor não tem presumivelmente necessários para registar as respostas a tais problemas fáceis. A aritmética de Plimpton 322, pelo contrário, é relativamente envolvidos.) Em suma, então, foi provavelmente Plimpton 322 (mas não certamente!) Uma boa cópia de um professores' lista, com duas ou três colunas, agora falta, contendo os parâmetros para iniciar um conjunto de problemas, uma ou duas colunas com resultados intermediários (Coluna I, e talvez falta uma coluna para a sua esquerda), e duas colunas com os resultados finais (II-III). Tudo o que permanece é para nós a decidir o que o tipo de problema poderia ter sido. Comecemos por reencapar a informações nas posições dos Plimpton 322. Na coluna I (com dois ou no máximo três curto colunas faltando antes dele), temos "a (área da) realizar-quadrado da diagonal, a partir dos quais 1 é arrancada para que a largura surge ", e Colunas II e III contêm "O quadrado do lado da largura" e da "praça do lado da diagonal", respectivamente. O posição da coluna I e II do erro na linha 13 revelam que tanto II e III, foram calculados, directa ou indirectamente, fromI. A presença da exploração-quadrado indica que corte-e-colar geometria está envolvido, enquanto que a ocorrência da diagonal sugere fortemente que estamos lidar com triângulos demasiado, ou, pelo menos, com uma diagonal configurações dentro do qual pode ser localizado. Da mesma forma, precisamos lembrar que a largura da coluna I e diagonal são de uma triângulo de comprimento 1 Considerando que os das Colunas II-III são de um triângulo de comprimento l (o que é diferente de cada vez). Além disso, se acreditarmos que Plimpton 322 foi concebido para ser uma lista de parâmetros para a definição de ajuda matemática escolar problemas (e as provas tipológica sugere que ele era), a pergunta "como foi calculado o comprimido?" não tem que ter o mesma resposta que a pergunta "Quais os problemas que o comprimido conjunto?" A primeira pode ser respondida mais satisfatório pelos pares recíproca, tal como sugerido primeira metade de um século atrás, eo segundo por uma espécie de direito-triângulo problemas. Esse é, talvez, tanto quanto nós podemos ir em apreço provas: sem aproximar paralelos, corremos o risco de atravessar a fronteira de fuzzy história para especulação. O Mistério da cuneiforme Comprimido ainda não foi totalmente resolvido. Em conclusão: o método, materiais e de cultura material Partes deste artigo foram deliberadamente provocativo e polêmico. Tenho comparado história do antigo matemática como ela é por vezes praticado para o funcionamento do popular detetive ficção e, com Pingree, comparado ao seu tratamento de artefactos antigos para "pérolas em a dung heap. "Mas eu não visam provocar raiva defensiva, mas sim uma reflexão sobre como devíamos estar a pensar e escrever sobre a história da ancientmathematics. Esta discussão Plimpton de 322, em parte tem sido simplesmente um estratagema para atrair a atenção: Eu seria muito menos interessados em chegar a esta interpretação da história geral do que em ver apresentações existe uma ampla variedade de Mesopotâmia matemática, historicamente abordado de uma forma mais forma consciente. Diz-se que houve muito pouca auto-consciência no antigo Oriente Próximo [por exemplo, Larsen 1987, 224-225], que podem aparecer em momentos que não há auto-consciência da nossa atitudes para com a sua mathematics.Most sobretudo, temos de agarrar o desafio da glimpsing o que é muitas vezes chamada de Big Picture: ou seja, olhar para o nosso momento favorito "textos" para

começar a explorar a matemática ambiente e mentalidade de um mundo antigo e aceitar que é preocupante character.While no estrangeiro "é uma ilusão supor que nós poderíamos sempre tornam-se contemporâneos do original leitores "[Fowler 1985, 49], temos de estar cientes de aquele Texto permite uma série de significados diferentes, ao mesmo tempo que restringe as possibilidades como a leitor é guiado pelos códigos literários ou instruções inerentes ao texto. ::: [Moderna] leitores' subjetiva resposta ao estrangeiro, antigo literaturewill necessidade de bemoderated por um maior grau de (explícita) a preparação para o encontro. [Black 1998, 48-49] Matemática é tão textual como um poema ou um autocarro bilhete e, ao mesmo tempo símbolos matemáticos tem tanta fisicalidade como um vaso ou um caco ônibus. Como espero ter demonstrado, linguística análise, textos críticos de abordagens, sensibilidade histórico, arqueológico e sensibilização pode fazer contribuições significativas para a história da matemática. O Inglês de língua matemática mundo tem uma foto de OB matemática que hoje baseia-se, eu acho, sobre uma fonte primária, ou seja Neugebauer da SEC [1951], com e um pouco de sua Sach's MCT [1945] e da Aaboe Episódios [1964] atirados por alguns dos mais aventureiros em geral histórias adicionar um pouco de conhecimento limitado de outras publicações que mesma época, ou seja, Baqir [1951] e Bruins & Rutten [1961]. Mas, embora o tema da estudo é (cerca de 10% com uma margem de erro) 4.000 anos, o campo de estudo é relativamente -menos de um novo século. Ao longo das últimas duas décadas o tema tem estalado para trás em vida, e da última década, em particular, tem assistido a uma mudança qualitativa: estudiosos já não são conteúdo para a "domesticar" Mesopotâmia matemática moderna em algo parecido produção. O clássico em que o volume geral histórias são baseadas estão agora a sério da data e limitadas no seu subjectmatter.We deve deixar de ser seduzido a pensar que simples matemática tem necessariamente uma simples história. O antigo Próximo Oriente, em particular a escrita cuneiforme-mundo-produziu uma grande quantidade de alta qualidade através de uma matemática 3000-ano period.We fazer-nos (e quem o escreveu) um enorme desserviço a restringir a história do antigo matemática para uma lista de "inteligente" procedimentos matemáticos, regurgitante as habituais interpretações do mesmo cansado comprimidos que aparecem em nossos livros uma e outra vez. ACKNOWLEDGMENTS Tenho muitas pessoas e instituições para agradecer as suas contribuições para este artigo. Eu primeiro ler Buck [1980], como uma undergraduate estudando underDavid Fowler-que encouragedmy entrada no campo de cuneiformstudies e tem sido uma fonte de motivação estimulando desde então. A seção sobre ângulo de deriva, em última instância, o meu doutoramento trabalho (agora chapt. 3 de Robson [1999]) e pode ser encontrado em forma de preliminar Robson [1997]. A re-interpretação de Plimpton 322 foi primeiramente exibida no math-history-list@enterprise.maa.org, na Primavera de 1996 [cf. Deakin 1996a; 1996b] e, em seguida, apresentados em diferentes projectos para o Português História da Matemática Associação em Novembro 1997, a Faculdade de Matemática da Universidade de Groningen, em Janeiro de 1998, a Associação de Matemática America's Summer Institute em História da Matemática e sua utilização no ensino (IHMT), em Julho de 1999, e da Reunião Conjunta Matemática, em Nova Orleans, em Janeiro de 2001. 39 Durante o seu longo período de gestação, fui primeiro apoiado pela Universidade de Oxford e, em seguida, a partir de Outubro de 1997 a Setembro de 2000 pela British Academy, e, desde então, por todas as Almas Colégio. Eu sinceramente agradecer Henry Mendell para a sua maravilhosa Sexagesimal plug-in para o MS Excel 4, sem que essa série de cálculos teriam sido insuportavelmente chato. Jane Siegel do Raros Recolha de livros e manuscritos Columbia University Libraries desde inestimável ajuda na detecção documentação original e permitiu-me para cotejar o original e cópia comprimido. Graças também ao Jeremy Black,

Mike Deakin, Maria Fernanda Estrada, Esther Fl ¨ uckiger-Hawker, David Fowler, Jens Høyrup, Victor Katz, jan. vanMaanen, DuncanMelville, LynnMeskell, Karen Parshall, Carlos Correia de S 'um, Jim Tattersall, Niek Veldhuis, IHMT e os "veteranos" para ouvir, ler e comentar o material neste artigo, uma vez que gradualmente tomou forma e, para Lucas Treadwell PRAZEROSO distrações para muitos como eu estava a escrever isso.