Simulação Da Propagação Subcritica de Fissuras Em Materiais

7/25/2019 Simulao Da Propagao Subcritica de Fissuras Em Materiais

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Como citar este artigo: F.S. Soares, I. Iturrioz, Simulaco da propagaco subcrtica de fissuras em materiais quase frgeis apli-cando uma verso do mtodo de elementos discretos formados por barras, Rev. int. mtodos numr. clc. diseo ing. 2015.http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.03.001

ARTICLE IN PRESSG Model

RIMNI-151; No.of Pages10

Rev. int. mtodos numr. clc. diseoing. 2015;xxx(xx):xxxxxx

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Revista Internacional de Mtodos Numricos paraClculo y Diseo en Ingeniera

Simulaco da propagaco subcrtica de fissuras em materiais quasefrgeis aplicando uma verso do mtodo de elementos discretosformados por barras

F.S. Soares e I. IturriozGrupo deMecnica Aplicada,Departamento de Engenharia Mecnica,Universidade Federal do RioGrandedo Sul, Sarmento Leite 435, Porto Alegre, RioGrande do Sul, Brasil

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Historial do artigo:Recebido a 5 de novembro de 2014Aceitea 5 demarode 2015On-line a xxx

Palavras-chave:

FatigaMateriais quasefrgeisMetodo dos elementos discretos

r e s u m o

H numerosas aplicaces de interesse tecnolgico onde materiais de comportamento quase frgil, como o caso de materiais cimentcios, rochas e materiais compostos formados pela mistura de cermicas comoutras fases, so submetidos a cargas oscilantes e sofrem degradaco das suas propriedades. Desenvolverferramentas de anlise que permitam entender e prever os mecanismos que governam esta degradaco um problema aberto na engenharia moderna. Neste contexto, no presente trabalho, se utiliza umaverso do mtodo dos elementos discretos (DEM) formado por barras para explorar as possibilidades domesmo na simulaco dos mecanismos de degradaco que ocorrem em materiais quase frgeis quandosubmetidos fadiga. Simulaces sobre corpos de prova de geometria simples so apresentadas e vriosaspectos deste problema so discutidos, entre eles: explorada a relaco entre os parmetros micro emacromecnicos do modelo empregado e como o efeito de escala capturado e influi nesta relaco. Osresultados preliminares apresentados deixam em evidncia a potencialidade da metodologia propostapara compreender os micromecanismos de dano que ocorrem nos materiais quase frgeis e tambm parapredizer sua evoluco.

2014 CIMNE (Universitat Politcnica de Catalunya). Publicado por Elsevier Espaa, S.L.U. Todos osdireitos reservados.

Simulation ofsubcritical crack propagation in quase-brittlematerials applyingaversion ofthe discrete element method formed bybeams

Keywords:

FatigueQuasi-brittle materialsDiscrete elements methods

a b s t r a c t

There are numerous applications, of technological interest, where materials ofquasi-brittle behavior,as in the case of cement-based composite materials, rocks and composites formed by the mixture ofceramics with other phases, are subjected to oscillating loads and suffer degradation ofits properties. Todevelop analysis tools that allow to understand and to predict this degradation governing mechanismsis an opened problem in modern engineering. In this context, in the present work, it is used a version ofthe discrete element method formed by beams to explore its possibilities in simulating the degradationmechanisms that occur in quasi-brittle materials when subjected to fatigue. Simulations over simplegeometry test subjects are presented and several aspects ofthis problem are discussed and among the

problems: it is explored the relationship between micro and macro mechanic parameters ofthe usedmodel and how the scale effect is captured and influences this relationship. The presented preliminaryresults show the potentiality of the proposed methodology to understand the micro mechanisms ofdamage that occur in quasi-brittle materials and also to predict its evolution.

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Autor para correspondncia.Correios eletrnicos: [email protected](F.S. Soares), [email protected](I. Iturrioz).

http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.03.0010213-1315/ 2014 CIMNE (Universitat Politcnica de Catalunya). Publicado por Elsevier Espaa, S.L.U. Todos os direitos reservados.
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1. Introduco

Na engenharia moderna, em vrias situaces de interesse tecno-lgico, materiais com comportamento quase frgil so submetidos aco de cargas oscilantes, entre eles: estruturas convencionaiscomo estradas,pontes ou edifciosconstrudos comconcreto e con-creto reforcado, estruturas feitas em rocha como galerias e tneis,e tambm estruturas realizadas com cermicas ou materiais com-postos utilizados em dispositivos de engenharia de alta exignciamecnica.

O fenmeno de fadiga tem sido largamente estudado especi-almente em metais, existindo uma tradico de muitos anos nasua avaliaco, uma grande quantidade de informaco experimen-tal permite hoje contar com metodologias para avaliar e predizero tempo em que defeitos podem propagar devido fadiga. Isto sedeve a ser o fenmeno da fadiga um dos fatores mais importantesque produz degradaco de componentes metlicos.

Quando o material estudado quase frgil, as caractersticasque governam a degradaco so diferentes e muito menos estudosrelacionados com fadiga existem neste caso.

Mtodos que permitam prever o comportamento de materiais,levando em conta os diferentes tipos de no linearidades envolvi-dos, esto disponveis em sistemas de elementosfinitoscomerciais,ferramenta mais utilizada na modelagem de estruturas, mas noque se refere determinaco da vida em fadiga, os mtodos maiscomuns consistem em introduzir regras empricas ou semiempri-cas, entre eles se destacam 2 procedimentos tpicos, aqueles quepermitem prever a nucleaco de um defeito (descrita pela relacoentre tenso ltima e nmero de ciclos aplicados, a lei clssica deBasquin apud Moura Branco[1]) e os quese baseiam na propagacosubcrtica de um defeito j nucleado (metodologias fundamenta-das na lei proposta por Paris [2]). Existe uma farta bibliografiaque descreve as caractersticas destas 2 abordagens, aplicando-ass particularidades prprias de cada material. Como exemplo dereferncia bibliogrfica, se pode citar Suresh [3].

Metodologias de clculo baseadas na mecnica dos meios cont-nuostmtidouma sensvel evoluco nos ltimosanos, tornando-se

a ferramenta mais verstil para modelar problemas de engenha-ria. Como exemplo para ilustrar este enfoque, podemos citar ostrabalhos de Saintier et al. [4] e Infante et al. [5].

Por outro lado, para simular a possibilidade de nuclear defei-tos dentro do contnuo, 2 procedimentos podem ser citados:a utilizaco de elementos finitos com funces de interpolacoestendidas, que permitem introduzir singularidades dentro doelemento, os chamados elementos finitos estendidos. Como biblio-grafia bsica sobre este tipo de elementos podemos citar o livro deMohammadi [6] e como exemplo de aplicaco relacionada a simu-lar a propagaco de fissuras em estruturas de concreto podemoscitar o trabalho de Unger et al. [7]. Outra forma de encarar o pro-blema utilizar a tcnica das interfaces coesivas combinadas aomtodo dos elementos finitos. Esta tcnica foi implementada por

Xu e Nedeelman [8] em 1993 e basicamente consiste em intro-duzir uma lei de interface que permita o descolamento entreelementos. Como exemplo de aplicaces utilizando esta tcnica nasimulaco de fadiga em materiais quase frgeis pode-se mencio-nar os trabalhos de Yang et al. [9], Yamaguchi et al. [10], Siegmund[11] e Xue Yuan [12], em todos os casos a geraco de fissuras e suapropagaco devido a cargas oscilantes pde ser prevista atravs dautilizaco desta tcnica.

H mtodos alternativos para modelar o comportamento deslidos quase frgeis, nos quais fenmenos como a interaco denuvens de microfissuras e posterior localizaco, assim comooutrosefeitos,podem sermodeladoscom relativa facilidade dentroda mecnica do descontnuo, assim denominada por Munjiza [13].Vrias alternativas do DEM so plausveis de ser utilizadas no con-

texto de materiais frgeis, cabendo destacar a respeito os trabalhos

de Schlangen e Van Mier [14] e Rinaldi [15], nestes casos o DEM utilizadoparasimularo processode dano frentea cargascrescentes,no que diz respeito simulaco do fenmeno de fadiga em mate-riais frgeis possvel mencionar o review realizado por Hansenet al. [16] sobre aplicaces dos chamados Bundle Models, sendoque entre as aplicaces apresentadas figura a simulaco de fadigaem materiais frgeis. Tambm se destaca o trabalho de Rinaldi et al.[17] que aplica leis estabelecidas de propagaco de fadiga a nvelmicroscpico estudando qual o comportamento macroscpicoresultante.

Neste contexto, no presente trabalho se pretende explorar apropagaco subcrtica de defeitos nucleados em um modelo dematerial quase frgil, sob cargas oscilantes, sem embutir leis espe-cficas que induzam comportamentos de fadiga determinados. Ascaractersticas do mtodo utilizado so apresentadas na seco 3deste trabalho.

2. Lei deParis

Como apresentado por Anderson [18], a velocidade de cresci-mento de fissuras em forma subcrtica pode ser relacionada aoquociente e a diferenca do nvel de tenses trativas na regio ondea trinca se desenvolve. De forma geral pode-se escrever que:

da

dN= f

Smx/Smin, Smx Smin,h. . .

(1)

onde S representa a tenso trativa na regio da trinca, h representaa funco que leva em conta o histrico de tenses preexistentes eNrepresenta o nmero de ciclos. A lei proposta por Paris [2] umcaso particular de (1) que se expressa como segue:

da

dN= CKm (2)

onde C e m so constantes que dependem do material e da relacoentre tenses Smx/Sminadotada. Graficando estalei em escala bilo-gartmica se pode representar por uma reta como se ilustra naregio II da figura 1, onde se verifica que m seria o coeficienteangular e log Csua translaco no eixo das ordenadas. Na propostade Paris, apresentada na expresso (2), K representa o incre-mento do fator de intensidade de tenses que, segundo a mecnicalinear da fratura, pode ser escrito como:

K= (3)

onde indica o incremento das tenses num ciclo de carga, aindica o tamanho da fissura e um coeficiente adimensional querepresenta a forma da fissura e condices de contorno atuantes.

Na figura 1 se apresenta em escala bilogartmica uma curvatpica de comportamento de propagaco subcrtica de uma fissura

j nucleada, sendo que ela s cresce ao se exercer sobre a trinca um

log(K) KcritKth

Threshold

mlog(da/dN)

Fratura

I II III

Figura1. Lei de crescimento subcrtico tpica de uma fissura por fadiga.
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a

L

y

x

z

b

Figura2. Discretizaco do MED: a) clulacbica bsica, b) corpo prismtico.

Ksuperior a um valor mnimo, parmetro que depende do mate-rial e da relaco Smin/Smax, superando este valor mnimo a trincapropaga em forma subcrtica, incrementando sua velocidade atentrar em regime na regio II, modelada pela Lei de Paris. Quando afissura vai chegando sua condico crtica acelera seu crescimentona regio III, queestforadaregioabrangidapelomodelodeParis.Outros modelos mais sofisticados, que permitem simular o com-portamento em todos os estgios do crescimento da fissura, esto

disponveis na bibliografia, consultar a este respeito Anderson [18].

3. Descrico domodelo numrico utilizado

3.1. Fundamentos

A verso do DEM aqui empregado consiste na representacode um meio contnuo utilizando um arranjo de massas concentra-das em ns interligados por elementos uniaxiais que tm rigidezequivalente do contnuo que se deseja representar. A estrat-gia de discretizaco usa um mdulo cbico bsico, construdo com20 barras conectadas a 9 ns, 8 externos e um interno central.

Na figura 2 se apresenta a topologia do arranjo adotado. Cadan tem 3 graus de liberdade, sendo os deslocamentos nas direces

das coordenadas. No caso de um material elstico isotrpico, a reatransversal Ai dos elementos longitudinais na representaco dis-creta dada pela seguinte expresso:

Ai= L2 (4)

onde L o comprimentodos lados do mdulo cbico bsico. A reados elementos diagonais definida por:

Ad=23L2 (5)

Os comprimentos dos elementos longitudinais L e diagonais Ldesto relacionados pela equaco:

L =

23

Ld (6)

Finalmente, para materiais isotrpicos os coeficientes e resultam:

= (9 + 8)(18 + 24) (7)

= 9(4 8) (8)

onde ocoeficientedePoisson.Existeuma equivalncia completaentre o modelodiscreto e um contnuo isotrpico para =0.25.Para /= 0.25 pequenas diferencasaparecemnostermosdecorte.Mas oportuno observar que no existe um slido localmente isotrpico,como to pouco existe o denominado meio contnuo. A isotropianos slidos uma propriedade que resulta da distribuico aleatriada orientaco dos elementos constituintes. Equaces de movi-

mento podem ser determinadas a partir de condices de equilbrio

de todas as forcas que atuam sobre as massas nodais, resultandonum sistema da forma (9):

Mx + Cx + F(t) P(t) = 0 (9)

No qualx ex representam os vetores de velocidade e aceleraco,respectivamente, M e C as matrizes de massa e amortecimento,e os vetores F(t) e P(t) as cargas nodais internas e externas, res-

pectivamente. No modelo aqui utilizado, se considera a hiptesesimplificativa de considerar o amortecimento C proporcional massa M:

C=MDf (10)

sendoDfuma constante vinculada ao coeficientede amortecimentocrtico, n, atravs da equaco (11):

Df= n2fn (11)

onde fn representa a frequncia natural de vibraco do modo n,expresso em [Hz]. O modo n , em geral, o modo fundamental devibraco da estrutura.

Quando as matrizes Me Cso diagonais o sistema de equaces(9)no acoplado e pode ser integrado no domnio do tempo utili-zando um mtodo explcito de integraco (mtodo das diferencasfinitas centrais). Se as coordenadas nodais so atualizadas a cadapasso de integraco, grandes deslocamentos podem ser considera-dos sem dificuldade. Em materiais elsticos lineares, a estabilidadedo mtodo de integraco exige que o intervalo de tempo tnoexceda o valor dado por:

t 0.6LCp

(12)

ondeCp a velocidadede propagaco de ondaslongitudinais(ondasP) em barras com deslocamento axial:

Cp=

E/ (13)

Na expresso (13), Erepresenta o mdulo de Young e a densi-dade do material. No caso de materiais no lineares, a estabilidadedo processo de integraco pode ser verificada controlando a ener-gia total no processo. A convergncia de soluces utilizando o DEMem elasticidade linear e em problemas de instabilidade elstica foiverificada, entre outros, por Dalguer et al. [19]. Mais detalhes sobrea formulaco do DEM podem ser encontrados em Kosteski et al.[20].

3.2. Modelo constitutivo

Riera e Rocha [21] e Rocha et al. [22] adaptaram a lei cons-titutiva para materiais quase frgeis proposta por Hilleborg [23],estendendoesta verso do DEM ao estudo de problemas de fraturaem materiais quase frgeis por meio da relaco constitutiva bili-near (ECR) apresentada na figura 3, que permite a consideraco dosefeitos irreversveis de nucleaco e propagaco de fissuras.

A rea embaixo da curva forca versusdeformaco (rea do trin-gulo OAB na figura 3) representaa densidade de energia necessriapara fraturar a rea de influncia do elemento. Assim, para umdeterminado ponto P sob a curva, a rea do tringulo OPC repre-senta a densidade de energia elstica reversvel armazenada noelemento, e a rea do tringulo OAP define a densidade de energiadissipada pelo dano. Quando submetido compresso se admiteque o comportamento do material linear elstico, ou seja, a falha

por compresso induzida por traco indireta.


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Energia dissipadapor dano

A

B

P

p r

O C

EAi

F

Energiaelstica

Figura3. Lei constitutiva bilinear adotada no modelo utilizado.

Os parmetros do modelo constitutivo ilustrado na figura 3 so:

Forca, F: a forca agindo sobreo elemento, funco da deformacolongitudinal .

Rigidez do elemento, EAi: dependendo se o elemento normaloudiagonal diferente tipo de rigidez considerada (EAlou EAd) , asreasAle Adso definidas nas expresses (4) e (5).

Comprimento do mdulo cbico, clula bsica do modelo (L). TenacidadeGf:aenergiadissipadanafraturaporunidadederea. rea equivalente de fratura das barrasAf

i, onde o subndice i ser

l para barras normais e d para diagonais: este parmetro forcaa condico de que a energia dissipada na fratura do contnuo equivalente dissipada na fratura do modelo discreto. A energiadissipada pela fratura de uma porco de material de tamanhoL L L devido fratura paralela a uma de suas faces :

= Gf = GfL2 (14)

A energia dissipada pela fratura num mdulo tpico do modelo

discreto leva em conta a contribuico de 5 barras longitudinais (4coincidentes com as arestas do mdulo e uma interna) e 4 elemen-tos diagonais, ver figura 2(a).

Desta forma possvel escrever:

DEM= Gf

4 (0.25) cA + cA + 4cA

23

L2 (15)

O primeiro termo entre parnteses da expresso (15) leva emconta a contribuico dos elementos longitudinais localizados nasbordas do mdulo cbico. O segundotermo representa a barra lon-gitudinal interna e o terceiro termo representa a contribuico dos4 elementos diagonais. Neste terceiro termo, o fator

2/

3

corresponde relaco entre as rigidezes das barras diagonais elongitudinais, possvel chegar a esta relaco fazendo o quociente

entre as expresses (5) e (4), j vistas. O coeficientecApermite esta-beleceraequivalnciaentredadopelaexpresso(14)eDEMpelaexpresso (15), considerando que = 0.25 e utilizando a expresso(8) para definir = 1.125, possvel simplificar a equaco (15)comosegue:

GfL2 = Gf(

223 cA)L

2 (16)

E determinar que cA = 3/22. Finalmente, as reas equivalentesde fratura para as barras diagonais e longitudinais ficam definidascomo segue:

Afl= cAL2 =

322

L2

Afd=

cA

3L2d=

4

22

L2(17)

h

b

a = b/3x

z

Figura 4. Geometria do modelo estudado, onde b =0,75m (100 mdulos) eh =0,3075m (41 mdulos).

Este resultado est fundamentado em assumir certa relacoentre os modos de fratura I, II e III, definida quando considera-mos o fator

2/

3

no terceiro termo da expresso(15). Outrasrelaces entre os modos de fratura poderiam ser introduzidas nomodelo com extrema facilidade levando em conta esta caracters-

tica particular da microestrutura de cada material. Mais detalhesacerca desta propriedade do material se pode obter em Ayatollahiet al. [24].Se introduz a aleatoriedade no modelo de 2 formas:

a) Considerando a tenacidade do materialGfcomo um campo alea-trio com uma distribuico de probabilidades de Weibull tipo IIIcom mdia, desvio e comprimento de correlaco determinadoscomo parmetros de entrada.

b) Introduzindo um campo de perturbaces na malha dos elemen-tos, governada por uma distribuico de probabilidades normal,o que permite capturar melhor o comportamento de corpos deprova de materiais quase frgeis quando a ruptura governadapelas tenses de compresso. Sobre este particular ver em Itur-rioz et al. [25] e Riera et al. [26].

A verso do modelo de barras utilizado no presente trabalho foiproposta por Riera [27] para determinar a resposta dinmica deplacas e cascas sob carga de impacto. O DEM tem sido usado comsucesso para resolver problemas de dinmica estrutural, tais comocascas submetidas a carregamento impulsivo (Riera e Iturrioz [28],[29]), a geraco e posterior propagaco de um sismo (Dalguer et al.[30], [31]), o estudo do efeito de escala em concreto (Rios e Riera[32]) eembuchasderocha(Migueletal.[33]; Iturriozetal. [34]), noclculo dos parmetros de fratura em problemas estticos e din-micos(Kosteski [35]), no estudoda resistncia dosmateriaisfrgeissob altas taxas de deformaco (Riera et al. [36]), e na simulaco deensaios de emisso acstica (Iturrioz et al. [25]). Nas refernciascitadas possvel encontrar mais detalhes sobre a fundamentaco

terica da formulaco utilizada no DEM.

4. Simulaco da propagaco subcrtica de fissuras

Para estudar a propagaco subcrtica de fissuras em um corposubmetido a cargas oscilantes, foi desenvolvido um modelo utili-zando o DEM, que consiste numa placa retangular com uma trincareta que emana de uma de suas bordas laterais,com tenses aplica-das nas2 faces em direco normal fissura.Na figura 4 se apresentaa configuraco geomtrica do modelo e na tabela 1 os parme-tros que definem o mesmo. Considerou-se, para este estudo, estadoplano de deformaces, implementado no DEM utilizando somenteum elemento na espessura e restringindo todos os deslocamentosna direco perpendicular ao plano xz, no qual a figura exibida. Na

figura 4 so indicadas as outras condices de contorno aplicadas na


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Tabela 1Parmetros do modelo de elementos discretos

L (ver figura 2 a) 0,0075 mNmero de mdulos na direco x 100Nmero de mdulos na direco y 1Nmero de mdulos na direco z 41Coeficiente de Poisson [] 0,25Massa especfica [] 2.400 kg/m3

Mdulo de Young [E] 35 GPaDeformaco crtica, p 2.18

10-4

Energia especfica de fratura [Gf] 1.155 N/mCoeficiente de variaco de Gf 5%

placa. A introduco de fissura inicial tem por objetivo localizar apropagaco subcrtica do defeito na simulaco realizada. O modelode placa aqui utilizado foi submetido traco, abrindo a trincaem modo I, com forcas uniformemente distribudas nas superfciesinferior e superior, de forma simtrica.

Com os parmetros considerados, a relaco entre a deformacocrtica e a deformaco de ruptura ser de r/p =60.

importante salientar que, no presente trabalho, no se tempor objetivo caracterizar um material especfico, mas sim explorara capacidade da ferramenta em simular a propagaco subcrtica deum defeito.

Nesta anlise foiconsiderado, para definir a tenacidade do mate-rial, Gf, um campo aleatrio caracterizado por um valor mdio ecoeficiente de variaco especificado na tabela 1. Se considera nestecaso que o comprimento de correlaco do campo da ordem dadiscretizaco adotada, implementaces para desvincular o nvelde discretizaco do comprimento de correlaco do campo aleat-rio esto explicadas em Puglia et al. [37]. Para todos os modelosestudados foi utilizado um amortecimento proporcional massa,caracterizado por Df= 500. Um estudo mais aprofundado sobre ainflunciadoamortecimentopodeserencontradoemKosteski [35].

Para formar a macrofissura se debilitaram as barras correspon-dentes a um mdulo do modelo, formas mais sofisticadas de criartrincas nos modelos do DEM podem ser vistas em Kosteski et al.[38].

Para aplicar o carregamento, foram selecionados os ns centraisde todas as clulas cbicas localizadas nas faces superior e inferiorda placa. Na figura 5, a forma de aplicaco das forcas detalhada,assim como as restrices ao deslocamento aplicadas superfcietraseira ( direita) do modelo.

A variaco temporal da carga aumenta gradualmente, primeiroatingindo uma magnitude fixa e depois oscilando em torno dessevalor. Em cada n carregado, o vetor de forca atinge o valor mdiode 165 N. Aps entrada em regime, a amplitude do carregamentooscilatrio assumevalorconstantede 46 N, o quegeraforcamxima

Carga RestrioF

Figura5. Esquema de aplicaco de forca e condicesde contorno.

00

20

40

60

80

100

10 20 30

(t/tmx)x100

Fora[N]

1020 ciclos880 ciclos

Entrada em regime

40 50 60 70 75

Figura6. Curva forca aplicada versus tempo no modelo implementado.

de188Nemnimade142Nporn.Ocarregamentooscilaconformefunco senoidal. A tenso nominal agindo no modelo calculadadividindo o somatrio das forcasaplicadasnumasuperfciedaplacapela rea correspondente, desconsiderando a trinca. Na Equaco(18) calculada a tenso nominal mdia:

mdia=100ns 165N0,75

0,0075

= 2,93MPa (18)

As restrices ao movimento aplicadas superfcie traseira daplaca, indicadas na figura 4, correspondem restrico na direco xaplicada aos ns centrais das clulas cbicas constituintes daquelasuperfcie.

Na figura6 se ilustra a funco de forcatransferidaaumelementonormalprximo a ponta do defeitoinicial.At a entradaem regime,em aproximadamente 0,7(t/tmx), ocorrem 880 ciclos de cargacom amplitude ascendente. Aps entrada em regime, 1.020 ciclosde carga com amplitude constante so aplicados ao modelo at otempo mximo simulado (t/tmx) = 1.

4.1. Resultados

Na figura 7 so apresentadas 6 configuraces obtidas durantetodoo processo da propagaco.Os elementosem cinza claro corres-pondem a barras sem danos, barras danificadas so indicadas emcinza escuro e barras rompidas no so apresentadas. O modeloconstitutivo das barras no leva em conta plasticidade, ao seremdescarregadas, as barras retornam ao seu comprimento original,de modo que no h deformaco residual. Resultados obtidos como DEM onde a lei constitutiva uniaxial elastoplstica foram publi-cados em Kosteski et al. [38]. A regio em cinza escuro precedeo desenvolvimento da macrofissura, representando o cluster de

1

3

5

t* = 80

t* = 88

t* = 96

2

4

6

t* = 84

t* = 92

t* = 100

Figura 7. Configuraces que ilustram o avanco subcrtico da fissura, onde t* =

(t/tmx)100.


6/10





0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0

76 80 84 88 92 96 100

(t/tmx)x100

Energia elstica x 0,04

Energia cintica

Energia de dano x 0,02

1 2 3 4 5 6

En

ergia[J]

Figura8. Variaco de energia cintica, elstica e de dano no tempo.

microfissuras caracterstico na propagaco de trincas em materiaisquase frgeis.

Cabe salientar tambm quea direco de propagaco das fissurasno influenciada de forma significativa pela orientaco da malha

de elementos discretos. A este respeito ver Kosteski et al. [38].Para poder perceber com clareza at onde acontece a propagacosubcrtica da fissura, se apresenta na figura 8 o balanco energ-tico durante o processo, onde variaces abruptas nas formas deenergia so associadas instabilidade na propagaco da fissura.Nesta mesma figura, se indicam os tempos nos quais acontecemas configuraces apresentadas na figura 7. Da anlise da figura 8se observa que, at o momento em que a energia elstica cres-cente, o processo de propagaco da fissura pode ser consideradosubcrtico (at aproximadamente t/tmx = 0,93), aps este tempo adissipaco da energia se acelera junto com a energia cintica. Istoindica que desde (t/tmx = 0,70), quando se atinge a situaco deregime, at (t/tmx= 0,96), pode-se considerar que a fissura propa-gou em forma subcrtica. Notar que, para facilitar a visualizaco,

tanto a energia dissipada como elstica esto multiplicadas porfatores que reduzem seu valor em 50 e 25 vezes, respectivamente.

No trecho situado entre (t/tmx= 0,80) e (t/tmx= 0,82), nafigura 8, seobservaqueaenergiacinticadecaieaumentaaenergiaelstica (potencial), indicando acmulo energtico. Pode-se perce-ber que a velocidade de crescimento da trinca varia pouco nesteintervalo, esta ltima tendncia pode ser observada tambm nafigura 7, nos quadros 1 e 2.

Entre (t/tmx = 0,82) e (t/tmx = 0,88), a taxa de crescimento daenergia elstica diminui e aumenta a energia cintica e a dissi-pada, aps (t/tmx= 0,88) ocorre o contrrio. Entre (t/tmx= 0,92)e (t/tmx = 0,94), novamente h um decrscimo de energia els-tica acumulada acompanhado por uma aceleraco do dano eaumento de energia cintica. Este comportamento espasmdico

das energias tambm resulta em pequenas oscilaces na forma damacrofissuracomo se evidencia nas configuraces apresentadas nafigura 7. Aps (t/tmx= 0,94), o crescimento subcrtico comeca ase instabilizar. A energia elstica flutua e a energia cintica cresceabruptamente junto com a dissipada na fratura.

Quando a energia dissipada deixa de crescer sinal claro de queo corpo de prova rompeu. Entre o inciodo carregamentocclico emregime, em (t/tmx= 0,70),e a instabilizaco,emaproximadamente(t/tmx= 0,96), ocorrem 880 ciclos de carga em regime.

Ao examinar a variaco de energias no corpo, apresentada nafigura 8, possvel concluir que a trinca propaga, de forma est-vel (subcrtica), desde (t/tmx = 0,70), at eminncia da fratura,aos (t/tmx = 0,96). Com o crescimento da fissura ocorrendo emforma subcrtica, busca-se caracterizara vida em fadigado materialsegundo o modelo clssico de Paris [2].

0

0,80

0,84

0,88

0,92

0,96

1

0,20 0,40

x [m]

(t/tmx)

0,60 0,75

315 ciclos

650 ciclos

N

a

880 ciclos

Ruptura

Figura 9. Obtencode a versus Na partir da monitoraco da deformaco nas barras(nmero de ciclos Ncontados a partir de quando o carregamento entra em regime(0,7[t/tmx]), ver Figura 6).

4.2. Caracterizaco da vida em fadiga

Como citadoanteriormente,o modeloclssico de Parisrelaciona

comuma funco potenciala velocidadede propagaco subcrtica deuma fissuraversuso incrementodo fator de intensidade de tensesao qual o corpo fissurado est submetido.Na metodologia utilizada,o incremento do fator de intensidade de tenses, K, calculadoatravs da equaco extrada de Gdoutos [39], adequada geometriado corpo modelado:

KI= a

1.12 0.23

a

b

+ 10.55

a

b

2

21.72a

b

3+ 30.39

a

b

4 (19)

onde a tenso que atua na direco e sentido de abrir a trinca, sea trinca no estivesse l (equaco 18),a o comprimentoda trinca,b o comprimento do corpo e o termo entre colchetes equivale aocoeficiente de correco, , apresentado na expresso (3). Conhe-cendo a mnima e mxima tenso aplicada, se obtm Ka partirda Equaco (19). Esta varia no tempo, aumentando na medida emque cresce a trinca.

Obtendo a relaco (da/dN) versus (K), a partir dos valores obti-dos com o modelo de elementos discretos, e aplicando logaritmoem ambos os lados da expresso, se pode ajustar na regio ondea curva bilogartmica apresenta uma tendncia linear o modelo deParis, como se mostra a seguir:

logda

dN

= log

CKm

= m log (K) + log (C) (20)

4.3. Determinaco de da/dN utilizando a distribuico espacial doselementos queatingem a suadeformaco crtica p

Neste mtodo de obtencode da/dNtrabalha-se com a hiptesede que a velocidade de propagaco da fissura equivale velocidadecom que a rea afetada pelo dano na ponta da fissura avanca. Estavelocidade medida computando o instante em que cada barraatingea deformaco crtica p, versus as coordenadas do baricentroda barra respectiva. O mesmo procedimento foiaplicado utilizandoa deformaco de ruptura, r.

Na figura 9, o grfico gerado, onde se visualiza a coordenada xdo baricentro de cada barra no tempo em que se atinge p(pontosvermelhos) e r (pontos azuis), observa-se que a porco inferiorda fileira de pontos vermelhos representa as primeiras barras aatingirem p. Este conjunto de pontos forma uma curva que asso-

ciada velocidade de propagaco do dano atravs da peca e, logo,


7/10





6

3,9

3,7

3,5

3,3

3,1

2,9

2,7

2,56,25 6.5 6,75

log K [Pam]

logda/dN

[m/ciclo]

7 7,25

Figura 10. Curva log(da/dN) versuslog(K) utilizandoos resultadossimuladoscomDEM.

velocidade de propagaco da trinca. Desse modo, 10 pontos soselecionados para gerar a curva a versus N, os pontos so indicadosem verde na mesma figura 9. O nmero de ciclosN contado a par-tir do tempo normalizado de 70%, quando o carregamento entrouem regime, como j foi ilustrado na figura 6.

Se poderia argumentar que os instantes de ruptura, r, repre-sentariam melhor a propagaco da fissura, no entanto, preciso

considerar como ocorre o desenvolvimento do dano no modelo.O crescimentodo defeito no se d pela ruptura organizada de bar-ras sucessivas, mas pelo avanco de um cluster de barras afetadaspelo dano, dentro do qual elementos podem romper desordena-damente. Assim, justifica-se a hiptese de que existe correlacoentre a velocidade de propagaco do incio do dano, representadapela relaco x versus tempo normalizado onde as barras atingem adeformaco crtica p, e a propagaco da trinca. Conhecendo a velo-cidade de propagaco do trinca, na figura 10 se apresenta a curvalog (da/dN) versus log(K) obtida. A linha de tendncia modela ointervalo equivalente zona II de propagaco, j apresentada nafigura 1.

Na figura 10, a velocidade da/dNest expressa em micrmetrospor ciclo, o que translada a curva para cima do eixo x, salienta--se, entretanto, que os seguintes clculos so realizados com asunidades no SI (distncia em metros e tenso em Pascal).

A linha de tendncia aplicada fornece a equaco da reta:

logda

dN

= 0.22log (K) 4.37 (21)

Da onde se obtm:

m = 0.22log (C) = 4.37C= 4.26 105

O que permite caracterizar o material conforme a Lei de Paris:

da

dN= 4.26 105K0.22 (22)

Cabe salientar aqui que no se teve neste estudo interesse emmodelar um material em particular e sim realizar um estudo pre-liminar sobre as possibilidades de o mtodo escolhido simular ocrescimento subcrtico de uma fissura devido aco de cargas osci-lantes.

5. Estudo do efeito de escala

Apresentam-se seguidamente os resultados obtidos aplicandoo modelo de elementos discretos apresentado ao estudo doefeito de escala na propagaco subcrtica de macrofissuras nummaterial quase frgil sujeito fadiga. Siegmund [11], ao estudar omesmo efeito, aplicou o mtodo de zona coesiva (MZC) e verificou

diferencas na forma de propagaco da fissura e na distribuico

x

z

h/3

Figura 11. Regiode elementos compreduzido a 80% do valor base.

de dano para modelos de tamanhos diferentes. A geometria domodelo utilizado pelo autor semelhante ao modelo utilizadoneste trabalho, o que permite realizar comparaco entre osresultados obtidos atravs do DEM e do MZC.

Com o objetivo de estudar o efeito da escala na forma como umcorpo se danifica e rompe, foram gerados modelos com 3 tama-nhos diferentes, mantendo constantes a tenso e a intensidade detenses solicitantes.

Para garantir a propagaco da trinca em modo I, elementoscontidos numa faixa central longitudinal dos modelos tiveram suadeformaco crtica, p, reduzida para 80% do valor base para evitar

danos fora da rea de interesse induzida pelas condices de con-torno aplicadas. Na figura 11, verifica-se um dos modelos gerados,onde a faixa de elementos enfraquecidos indicada com um marcoem azul.

Para o estudo do efeito de escala no se aplicou restrico aodeslocamentona direco x. Fora isso,as condices de contorno apli-cadas aos modelos utilizados neste estudo so idnticas ao descritona figura 4.

Como no modelo apresentado anteriormente, a tenacidade domaterial definida por um campo aleatrio caracterizado por umvalor mdio e coeficiente de variaco de 5%. Trabalha-se comfator de falha Rf= 1.2, utilizando nas barras a lei constitutiva bili-near descrita anteriormente, com valores de p =8.281004 er=5.01002, o que implica num valor de kr= 60. A forca mdiaaplicada a cada n carregado, conforme figura 5, de 515 N e aamplitude de oscilaco de 48N. O efeito de escala verificado atra-vs de 3 modelos com tamanhos diferentes, cujas dimenses sodescritas na tabela 2.

Massa especfica, coeficiente de Poisson, mdulo de Young eo coeficiente de variaco da tenacidade permanecem como des-crito na tabela 1. Note que, como se trabalha em estado plano dedeformaces, s se considera um mdulo na direco da espessurae se restringem os deslocamentos dos ns na direcoy.

Siegmund [11] avalia o efeitoda escalaao comparar,para mode-los de diferentes tamanhos, a velocidadede propagaco das fissurase o nvel de dissipaco energtica devida ao dano ao longo do com-primento dos modelos. Neste trabalho, os mesmos aspectos soavaliados atravs das metodologias apresentadas, fundamentadasno DEM, e os resultados obtidos so comparados aos resultados do

autor citado.Seguindo o procedimento descrito anteriormente, em cada um

dos 3 modelos gerados a trinca verificada visualmente e a seguirsua criticidade avaliada atravs do balanco energtico durantetodo o processo. Os 3 modelos so submetidos mesma tenso eintensidade de tenses. Trabalha-se novamente com o tempo emforma normalizada.

Tabela 2Dimenses dos modelos estudados

Maior Interm. Menor

Mdulos na direc o x 100 (0,75m) 75 (0,5625 m) 50 (0,375m)Mdulos na direco y 1 (0,0075 m) 1 (0,0075 m) 1 (0,0075 m)Mdulos na direc o z 41 (0,3075m) 31 (0,2325 m) 21 (0,1575m)


8/10





Menor

89% tmx 86% tmx 90% tmx

94% tmx

100% tmx

89% tmx

100% tmx

93% tmx

100% tmx

MaiorIntermedirio

Figura 12. Diferentes configuracespara os 3 modelos analizados.

Na figura 12 os 3 modelos gerados, em instantes diferentes dapropagaco. Para os 3 modelos, o nmero de ciclos contado apartir do instante em que a carga oscilante entra em regime.

Percebe-se, na figura 12, que os modelos de 3 tamanhos tm astrincas propagando em modo I ao longo de toda sua extenso.

Novamente, para verificar com maior clareza at onde apropagac o da fissura ocorre de forma subcrtica, avali-ada a variaco das formas de energia (cintica, elstica e dissipada)em cada caso. Na figura 13 as variaces energticas em cada umdos 3 modelos so apresentadas. Salienta-se que, para facilitar avisualizaco no grfico, tanto a energia dissipada como a els-tica esto multiplicadas por fatores que reduzem seu valor em50 e 25 vezes, respectivamente. As regies indicadas por elipses

860

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,9

Intervalo de avaliaoda distribuio de dano

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0,8

1

0,4

0,6

0,2

0

88 90 92

(t/tmx)x100

(t/tmx)x100

(t/tmx)x100

Intermedirio

Maior

Energia[J]

Energia[J]

Energia[J]

Cintica

Dano x 0,02

Elstica x 0,04

a)

b)

c)

Menor

94 96 98 100

80 82 8684 88 90 92 9694 98 100

82 84 86 88 90 92 9694 98 100

Figura 13. Balanco de energia para os corposde 3 tamanhos.

250

30

50

70

90

110

300 350 400

Menor

N

(a/b)x100

Maior

Intermedirio

450 500 550 600 650 700

Figura 14. Curvas a versus Npara os 3 modelos simulados.

correspondem aos intervalos de tempo onde se avalia o nvel dedano, posteriormente.

O critrio de avaliacoutilizadoassumequeatrincapassaapro-pagardeformacrticaapartirdomomentoemqueseverificaquedada energia elstica acumulada no corpo. Dessa forma, observa-seque ocorre propagaco subcrtica at (t/tmx 0,94) para o corpode tamanho menor (t/tmx

0,91) para o corpo de tamanho inter-

medirio e (t/tmx 0,94) para o corpo de maior tamanho.Na figura 14 as curvasa versus Nso apresentadas, com o com-

primento da trinca, a, normalizado em relaco ao comprimento docorpo, b. A inclinaco da curva correspondente ao corpo menor ilustrada pela linha tracejada verde e a do corpo intermediriopela vermelha. Nessa figura se observa que, para corpo de maiortamanho, maior nmero de ciclos ocorre durante a propagaco dodefeito, at ruptura.

Na figura 15 se apresentam os resultados obtidos por Siegmund[11]. O autor simula corpos de diversos tamanhos, como se verificana quantidade de curvas geradas. O tamanho do corpo e a variacodo comprimento da trinca, a, so normalizados em funcodeumcomprimento caracterstico, 0, que proporcional discretizacodos modelos. Os nmeros associados s curvas correspondem

razohs/0(altura normalizada). Quantomaior o nmeroassociadoa uma curva do grfico, maior o corpo que esta curva representa.

Ao comparar os grficos exibidos na figura 14 e na figura 15 sepode perceber a tendncia comum de trincas em corpos maioresnecessitarem maior quantidade de ciclos at ruptura. Verifica--se tambm que a propagaco de trincas em corpos menores podeter um perodo de nucleaco mais longo do que em corpos maio-res. Atravs de mecanismos diferentes, ambos os mtodos (DEM e

0 10 20 30 40

10

2050

0

100

200

300

400

500

150100

200

240400

750

2hs

900

80

600

700

50

N[ciclos]

al0

60 70 80 90 100

Figura 15. Resultados de Siegmund em termos da velocidade de propagaco damacrofissura, o nmero do ladoda curvaindicaa dimensocaractersticado modelo

medida em hs/0 , (Siegmund [11]).


9/10





0

0,15

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

3

3 421

4

a

b

21

0,30

0,45x [m]

E[J]

0,60

0,75

Figura 16. a) Nvel de dissipaco energtica ao longo da direco x do modelo maior,b) regies indicadas do modelo.

MZC) captam tendncias semelhantes quanto ao efeito de escalana forma como se propaga a macrofissura. Para avaliar o efeito de

escala no nvel de dissipaco energtica, devida ao dano, ao longodo comprimento dos modelos (direco x), foram gerados grficosonde se verifica, num determinado instante, a coordenada x dospontos centrais de cada barra e a energia dissipadapelas barrasquese encontram com seu baricentro nesta posico. Para cada modeloo estado do dano foi avaliado em um instantedentro dos intervalosindicados por elipses na figura 13, onde a propagaco subcrtica damacrofissura acontece.

Na figura 16a se apresenta o grficogeradopara o modelomaior(L = 0,75m),onde esto indicadas as regies equivalentes ao defeitoinicial (1), ao macrodefeito (2), a regio microfissurada margemda trinca (3) e a regio microfissurada que precede a trinca (4).A localizaco de cada regio no modelo verificada na figura 16b.

Dentro da regio microfissurada (4), indicada na figura 16, a

ruptura das barras parcial e seu nvel de dissipaco energtica menor quanto mais distantes estiverem da macrotrinca. Os pon-tos dentro da regio 4 descrevem uma curva que capturada e ascurvas descritas pela regio 4 de cada modelo so sobrepostas evisualizadas na figura 17, onde as coordenadas x e a quantidade deenergia dissipadaem cada modeloso vistosde forma normalizada,para que se possa comparar os nveis de dissipaco energtica emcoordenadas correspondentes dos 3 modelos. Na figura 17 o com-primento b de cada modelo expresso em funco do comprimentol0, correspondente a 0,375m

Na figura 17 se verifica que, em uma coordenada x equiva-lente nos 3 modelos, a proporco de energia dissipada maior para

00

0,1

0,2

0,4

0,5

0,6 b

0,4b

0,7

0,8

0,9

1,0

0,3

0,02 0,04 0,06 0,08

x/xmx

E/Emx

Intermedirio (b =1,5l0)

Maior (b =2l0)

Menor (b =l0)

0,10 0,12 0,14 0,16

Figura 17. Comparaco entre nveis de dissipaco energtica.

00

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

50 100 150 200

x/0

Dc

12H

H

H

37,5H

Trinca 0discretizao

250 300

Figura 18. Resultados de Siegmundquanto distribuico de dano(Siegmund [11]).

modelos menores. De forma coerente, tambm se verifica que, paracorposmenores, o comprimento da regio microfissurada na pontada trinca representa uma extenso maior do corpo em questo.

Na figura18 estilustradoogrficogeradoporSiegmund[11] na

anlise do efeito de escala sobre o nvel de dissipaco energtica aolongo do comprimento dos modelos. O autor expressa o tamanhode seus modelos em funcode uma altura H. As coordenadas x sonormalizadas em funco de um comprimentocaracterstico,0,que proporcional a discretizaco dos modelos.

Na figura 18 se verifica que para os modelos de dimenses 12 e37,5Has curvas de dissipacoenergtica aolongo de x tm formatosemelhante ao verificado na figura 16, sendo possvel, em ambasas figuras, identificar a regio de dissipaco energtica correspon-dente regio da trinca.

As curvas correspondentes aos modelos de dimenses 12 e37,5H, na figura 18, tm concordncia qualitativa com as curvasobservadas na figura 17, onde se verifica que para coordenadasx correspondentes, corpos de menores dimenses tem nvel de

dissipaco energtica mais alto.Deve-se observar que as diferencas entre as escalas dosmodelossimulados por Siegmund [11] so muito maiores que as diferencasapresentadas neste trabalho. O autor citado consegue verificar que,para modelos de dimenses reduzidas, a ruptura ocorre de formaabrupta, sem haver propagaco subcrtica de um macro defeito.Dessa forma, o modelo de menores dimenses simulado por Sieg-mund [11] rompe muito antes do que acontece nos modelos dedimenses 12 e37,5Hda figura 18.

A partir da comparaco entre os grficos ilustrados na figura 14e na figura 15 e os ilustrados na figura 17 e na figura 18, se podeverificar concordncia qualitativa entre os resultados obtidos atra-vs das metodologias apresentadas neste trabalho, fundamentadasno DEM, e os resultados obtidos por Siegmund [11], que utiliza o

MZC.

6. Concluses

No presente trabalho se aplicou o DEM para simular apropagaco de uma fissura dentro de um corpo de geometria sim-ples constitudo de material quase frgil. No transcurso do trabalhofoi possvel obter as seguintes concluses:

- Mtodo numrico apresentado se mostrou uma ferramentaadequada para simular a propagaco de fissuras em regime sub-crtico.

- Os testesrealizados mostraramque a propagacosubcrtica segueo comportamento previsto pela Lei de Paris.


10/10

Como citar este artigo: F.S. Soares, I. Iturrioz, Simulaco da propagaco subcrtica de fissuras em materiais quase frgeis apli-cando uma verso do mtodo de elementos discretos formados por barras Rev int mtodos numr clc diseo ing 2015




- Estudo preliminar de escala realizado mostrou que os resultadosobtidos so coerentes com os apresentados por Siegmund [11],querealizouum estudosimilar utilizando elementos finitosjuntoao mtododas interfaces coesivas para simular a propagaco sub-crtica de uma macrofissura.

Agradecimentos

Se agradece FundacoCAPES(www.capes.gov.br/)peloauxliofinanceiro recebido durante a realizaco desta pesquisa.

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Simulação Da Propagação Subcritica de Fissuras Em Materiais