Simulação de Colunas de Destilação

ANLISE DE MODELOS REDUZIDOS DE COLUNAS DE DESTILAO PARA APLICAES EM TEMPO REAL

Antonio Jos Valleriote Nascimento

Dissertao de Mestrado apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia Qumica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Qumica.

Orientadores: Argimiro Resende Secchi Evaristo Chalbaud Biscaia Jr.

Rio de Janeiro Fevereiro de 2013



DISSERTAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PS-GRADUAO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM ENGENHARIA QUMICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Evaristo Chalbaud Biscaia Junior, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Argimiro Resende Secchi, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Maurcio Bezerra de Souza Jnior, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Eduardo Rocha de Almeida Lima, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2013

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Nascimento, Antonio Jos Valleriote Anlise de Modelos Reduzidos de Colunas de

Destilao para Aplicaes em Tempo Real / Antonio Jos Valleriote Nascimento. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2013.

XIV, 94 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Argimiro Resende Secchi

Evaristo Chalbaud Biscaia Junior Dissertao (mestrado) UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Qumica, 2013. Referncias Bibliogrficas: p. 83-87. 1. Modelos Reduzidos. 2. Colunas de Destilao. 3.

Otimizao Dinmica. I. Secchi, Argimiro Resende. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Qumica. III. Ttulo.

iv

AGRADECIMENTOS

A Deus por estar presente me ajudando em cada momento da minha vida.

A minha me, Nelcia, por todo amor, apoio e carinho ao longo destes 29 anos de vida.

Aos meus orientadores, Argimiro Resende Secchi e Evaristo Chalbaud Biscaia Jr., pela orientao, apoio e confiana com que sempre pude confiar.

minha namorada Lvia por todo apoio, carinho e compreenso.

Ao professor Eduardo Moreira de Lemos pela confiana e amizade a mim fornecidas.

Aos amigos do PEQ, pelo companheirismo ao longo de todos estes anos.

Aos grandes amigos que sempre estiveram ao meu lado nos momento mais difceis de minha vida.

A todos aqueles que participam da minha vida e no foram citados, o meu sincero muito obrigado.

v

Resumo da Dissertao apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc.)



Fevereiro/2013

Orientadores: Argimiro Resende Secchi Evaristo Chalbaud Biscaia Junior

Programa: Engenharia Qumica

Este trabalho tem como objetivo demonstrar a aplicabilidade e eficincia do uso dos modelos reduzidos para aplicaes em tempo real em colunas de destilao. So abordados problemas de simulao estacionria e dinmica de colunas de destilao, anlise da resposta do sistema a perturbaes e casos de otimizao estacionria e otimizao dinmica da partida de colunas de destilao. A fim de demonstrar a exatido da soluo obtida e a reduo dos custos computacionais, comparam-se os resultados obtidos com os modelos reduzidos com os resultados do modelo fenomenolgico completo. Alm disso, so feitas comparaes entre a tcnica de reduo de ordem implementada nesta dissertao, que baseada na anulao da soma dos resduos ponderados das equaes de balano, com outras tcnicas de reduo de ordem demonstrando a superioridade da tcnica desenvolvida sobre as demais.

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Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ANALIZES OF REDUCED MODELS FOR REAL-TIME APPLICATIONS IN DISTILLATION COLUMNS


February/2013

Advisors: Argimiro Resende Secchi Evaristo Chalbaud Biscaia Junior

Department: Chemical Engineering

In this work, the applicability and effectiveness of using the reduced models for real-time applications in distillation columns are demonstrated. Problems of stationary and dynamic simulation of distillation columns, analysis of the system response to disturbances, and cases of stationary optimization and dynamic optimization of distillation columns start-up are analyzed. The results of the reduced models are compared with the full model in order to demonstrate the accuracy of the solution and the reduction of computational costs. Besides, comparisons are made between the use of the technique of model order reduction based on weighted residuals in discrete domain and others techniques of models order reduction to are the greater robustness of this method.

vii

ndice CAPTULO 1: INTRODUO ____________________________________________________ 1

Captulo 2: Reviso Bibliogrfica ______________________________________________ 5

2.1- Coluna de Destilao ________________________________________________________ 5

2.2- Reduo de Ordem __________________________________________________________ 9

CAPTULO 3: TCNICAS DE REDUO ___________________________________________ 19

3.1- Colocao Ortogonal _______________________________________________________ 20

3.2- Modelo Agregado __________________________________________________________ 25

3.3- Mtodo dos Momentos ______________________________________________________ 28

CAPTULO 4: ESTUDOS DE CASOS ______________________________________________ 33

4.1- Objetivos Gerais ___________________________________________________________ 33

4.2- Caso 1 Modelos de Coluna de PINTO e BISCAIA (1987) ________________________ 34

4.3- Caso 2 Modelo de Coluna de LINHART e SKOGESTAD (2011) __________________ 44

4.4- Caso 3 Colunas Multicomponentes __________________________________________ 49

4.5- Caso 4 Prato timo de Carga _______________________________________________ 56 4.6- Caso 5 Otimizao das Condies de Operao ________________________________ 60

4.7- Caso 6 Reduo do Tempo de Regime Transiente ______________________________ 65

4.8- Caso 7 Otimizao da Partida (SCHRODER e MENDES, 1999) __________________ 67

4.9- Caso 8 Otimizao da Partida usando o Matlab acoplado ao EMSO _______________ 72

CAPTULO 5: CONCLUSO ____________________________________________________ 80

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS __________________________________________ 83 APNDICE I - PUBLICAES _________________________________________________ 88

viii

Lista de Figuras

Figura 1 - Esquema de uma Coluna de Destilao ...................................................................... 6

Figura 2 - Esquema de uma coluna de absoro com N estgios .............................................. 20

Figura 3 - Perfil de composio no estado estacionrio para os estgios da coluna do exemplo 1 de PINTO e BISCAIA (1987) nos Estados Inicial e Final. .................................................... 37

Figura 4 Perfil da composio do produto de topo obtido com a simulao dinmica do exemplo 1 de PINTO e BISCAIA (1987). ................................................................................ 38

Figura 5 - Perfil de composio no estado estacionrio para os estgios da coluna do exemplo 2 de PINTO e BISCAIA (1987) nos Estados Inicial e Final. .................................................... 39

Figura 6 - Perfil da composio do produto de topo obtido com a simulao dinmica do exemplo 2 de PINTO e BISCAIA (1987). ................................................................................ 40

Figura 7 - Perfil de composio no estado estacionrio para os estgios da coluna do exemplo 3 de PINTO e BISCAIA (1987) no Estado Inicial. ................................................................... 41

Figura 8 - Perfil de composio no estado estacionrio para os estgios da coluna do exemplo 3 de PINTO e BISCAIA (1987) no Estado Final. ..................................................................... 42

Figura 9 - Perfil da composio obtido com a simulao dinmica do exemplo 3 de PINTO e BISCAIA (1987). ...................................................................................................................... 43

Figura 10 - Perfil da composio do produto de topo no estado estacionrio para a coluna de LINHART e SKOGESTAD (2011). ......................................................................................... 45

Figura 11 Perfil obtido com a simulao dinmica da coluna de LINHART e SKOGESTAD (2011). ....................................................................................................................................... 47

Figura 12 - Resposta do sistema a um degrau positivo de 10% na vazo de alimentao e, posteriormente, um degrau negativo de igual magnitude. ......................................................... 48

Figura 13 - Perfil da composio nos estgios da coluna do exemplo 3 de KAMATH et. al. (2010) no estado estacionrio. ................................................................................................... 51

Figura 14 Perfil de composio do produto de topo obtido com a simulao dinmica da coluna do exemplo 3 de KAMATH et. al. (2010). .................................................................... 53

ix

Figura 15 - Perfil da composio do produto de topo do estado estacionrio da 3 coluna de DORNEANU et. al. (2008). ...................................................................................................... 54

Figura 16 - Perfil obtido com a simulao dinmica da 3 coluna de DORNEANU et. al. (2008). ....................................................................................................................................... 56

Figura 17 Composio obtida para o produto de topo de acordo o estgio de alimentao escolhido. ................................................................................................................................... 58

Figura 18 Composio obtida para o produto de fundo de acordo com o estgio de alimentao escolhido................................................................................................................ 60

Figura 19 Comparao dos perfis da composio do produto de topo com a utilizao de valores constantes para D e RR e com a utilizao dos valores de D e RR que levem ao lucro zero. ........................................................................................................................................... 66

Figura 20 Comparao do perfil de composio obtido com a simulao do modelo completo contnuo com o modelo completo discreto no tempo com 20 passos de discretizao. ................................................................................................................................................... 69

Figura 21 - Comparao do perfil de composio obtido com a simulao do modelo reduzido contnuo com o modelo reduzido discreto no tempo com 20 passos de discretizao. ............. 69

Figura 22 Estratgia obtida para a razo de refluxo a fim de minimizar o tempo de partida da coluna de SCHRODER e MENDES (1999). ............................................................................ 70

Figura 23 Perfil de composio do produto de topo quando utilizada a estratgia tima obtida para a razo de refluxo.................................................................................................... 71

Figura 24 Estratgia tima da razo de refluxo para a partida da coluna. .............................. 76

Figura 25 - Perfil de composio durante a partida da coluna com a adoo de uma RR constante (12,15) e com a adoo da estratgia tima. ............................................................. 78

x

Lista de Tabelas

Tabela 1: Especificaes da coluna de destilao apresentada no exemplo 1 de PINTO e BISCAIA (1987) __________________________________________________________ 35



Tabela 4: Erros obtidos com a utilizao do modelo reduzido na simulao estacionria dos estados inicial e final do exemplo 1 de PINTO e BISCAIA (1987)____________________ 37

Tabela 5: Erro obtido com a utilizao do modelo reduzido na simulao dinmica da transio entre os estados do exemplo 1 de PINTO e BISCAIA (1987) ________________ 38

Tabela 6: Erros obtidos com a utilizao do modelo reduzido na simulao estacionria dos estados inicial e final do exemplo 2 de PINTO e BISCAIA (1987)____________________ 39


Tabela 8: Erros obtidos com a utilizao do modelo reduzido na simulao estacionria do estado inicial do exemplo 3 de PINTO e BISCAIA (1987) __________________________ 41

Tabela 9: Erros obtidos com a utilizao do modelo reduzido na simulao estacionria do estado final do exemplo 3 de PINTO e BISCAIA (1987) ___________________________ 42


Tabela 11: Especificaes da coluna de destilao de LINHART e SKOGESTAD (2011) _ 44

Tabela 12: Erro obtido com a utilizao dos modelos reduzidos na simulao do estado estacionrio da coluna de LINHART e SKOGESTAD (2011) _______________________ 46

Tabela 13: Erros obtidos com a utilizao dos modelos reduzidos na simulao dinmica da coluna de LINHART e SKOGESTAD (2011) ____________________________________ 47

xi

Tabela 14: Erros obtidos com a utilizao dos modelos reduzidos na predio da resposta do sistema a uma perturbao na vazo de alimentao _______________________________ 48

Tabela 15: Especificaes da coluna de destilao apresentada no exemplo 3 de KAMATH et al. (2010) _________________________________________________________________ 50

Tabela 16: Especificaes da 3 coluna de destilao apresentada em DORNEANU et al. (2008) ___________________________________________________________________ 50

Tabela 17: Erros obtidos com o uso dos modelos reduzidos na simulao do estado estacionrio da coluna do exemplo 3 de KAMATH et al. (2010) _____________________ 52

Tabela 18: Erros obtidos com o uso dos modelos reduzidos na simulao dinmica da coluna do exemplo 3 de KAMATH et. al. (2010) _______________________________________ 53

Tabela 19: Erros obtidos com a utilizao dos modelos reduzidos na simulao do estado estacionrio da 3 coluna de DORNEANU et. al. (2008) ____________________________ 55

Tabela 20: Erros obtidos com a utilizao dos modelos reduzidos na simulao dinmica da 3 coluna de DORNEANU et. al. (2008) __________________________________________ 56

Tabela 21: Especificaes da coluna de destilao apresentada no exemplo 1 de KAMATH et al. (2010) _________________________________________________________________ 57

Tabela 22: Resultados obtidos com o uso dos modelos reduzidos na otimizao do prato de carga da coluna do exemplo 1 de KAMATH et al. (2010)___________________________ 58

Tabela 23: Resultados obtidos com o uso dos modelos reduzidos na otimizao do prato de carga da coluna do exemplo 2 de KAMATH et al. (2010)___________________________ 60

Tabela 24: Resultados obtidos com a otimizao das variveis de controle para a operao em regime estacionrio da coluna de destilao do exemplo 1 de KAMATH et. al. (2010) ____ 62

Tabela 25: Resultados obtidos com a otimizao das variveis de controle para a operao em regime estacionrio da coluna de destilao do exemplo 1 de PINTO e BISCAIA (1987) __ 63

Tabela 26: Resultados obtidos com a otimizao das variveis de controle para a operao em regime estacionrio da coluna de destilao do exemplo 2 de PINTO e BISCAIA (1987) __ 64

Tabela 27: Especificaes da coluna de destilao de SCHRODER e MENDES (1999) ___ 67

Tabela 28: Restries s Variveis de Controle (kmol/min) _________________________ 68

xii

Tabela 29: Resultados da otimizao da estratgia da razo de refluxo para minimizar o tempo de partida da coluna de SCHRODER e MENDES (1999) ___________________________ 71

Tabela 30: Erro obtido com a utilizao do modelo reduzido na predio da composio durante a partida da coluna de SCHRODER e MENDES (1999) _____________________ 72

Tabela 31: Especificaes da coluna de destilao utilizada na otimizao da estratgia de partida ___________________________________________________________________ 73

Tabela 32: Valores desejados para as Variveis de Controle no Estado Estacionrio ______ 75 Tabela 33: Resultados obtidos pela otimizao da estratgia da RR para a partida da coluna 76

Tabela 34: Comparao entre os valores da Fobj quando simulados os dois modelos com ambas as estratgias obtidas pelas otimizaes _________________________________________ 77

Tabela 35: Erro obtido utilizando o modelo reduzido para a predio do perfil de composio durante o regime transiente___________________________________________________ 78

xiii

Nomenclatura

Ai,j+ , Ai,j- Matrizes de discretizao

D Vazo de Destilado

f Relaes termodinmicas

hF Entalpia molar na fase lquida na alimentao

Hi Entalpia molar na fase vapor do estgio i

hi Entalpia molar na fase lquida do estgio i

Hi,j Entalpia na fase vapor do componente j no estgio i hi,j Entalpia na fase lquida do componente j no estgio i Ki,j Constante de equilbrio do componente j no estgio i Li Vazo molar na fase lquida do estgio i

lj Polinmio interpolador de Lagrange

mi Acumulo de massa na fase lquida do estgio i

ncomponentes Nmero de componentes

Nestgios Nmero de estgios

NE Nmero de pontos de colocao na seo de esgotamento

NF Estgio de alimentao da coluna

NR Nmero de pontos de colocao na seo de retificao

NT Nmero de pontos de interpolao total

Pi Presso total no estgio i

p(t) Perfil da composio na corrente de lquido que entra na absorvedora

Qi Carga trmica do estgio i

q(t) Perfil da composio na corrente de vapor que entra na absorvedora

xiv

Res(n+1)(sj, t) Resduo de grau n+1 no ponto de colocao sj devido aproximao polinomial

Resk(t) Soma dos resduos ponderados para o momento k

RR Razo de Refluxo

sj Ponto de colocao j

s(j)

Varivel representativa do estgio j reescalonado

Ti Temperatura no estgio i

Ui Retirada lateral na fase lquida do estgio i

Vi Vazo molar na fase vapor do estgio i

Wk Peso da quadratura no ponto de interpolao

xi,j Composio molar na fase lquida do componente j no estgio i x

(n+1)(sk,t) Composio molar de um componente no ponto de interpolao i

yi,j Composio molar na fase vapor do componente j no estgio i zF,j Composio do componente j na alimentao

Letras Gregas:

Volatilidade relativa

Razo entre vazo molar na fase lquida e a vazo molar na fase vapor

n(x) Polinmio ortogonal de grau n

i Matriz obtida atravs dos pesos da quadratura

i Elemento de agregao

1

CAPTULO 1: INTRODUO

Processos descritos por modelos matemticos de dimenso elevada, como os processos de separao por estgio, esto presentes em todas as reas de atuao do engenheiro qumico. E, como no caso das colunas de destilao, podem ser consideradas como sendo o corao de algumas plantas industriais, como por exemplo, uma planta de refino de petrleo.

Em algumas indstrias, as colunas de destilao constituem uma grande frao do investimento fixo e dos custos operacionais (ALFRADIQUE, 2003). O bom funcionamento e a otimizao destas unidades constituem, sob o ponto de vista econmico, fatores de grande importncia. A indstria do petrleo, por exemplo, tornou-se a maior empregadora de engenheiros qumicos (RICARDO, 2008). Este fato especialmente relevante nos tempos recentes em virtude de as destilaes simples dos anos iniciais da indstria terem sido substitudas, em geral, por procedimentos de refinao mais sofisticados, envolvendo numerosas operaes fsicas e converses qumicas, ou processos qumicos unitrios,

muitas vezes de grande complexidade e de grande porte.

Entretanto, industrialmente torna-se invivel aplicar fisicamente determinadas perturbaes com a finalidade de avaliar o comportamento do processo. Desta forma, a modelagem destes equipamentos tema de estudo h muito tempo, sendo que os primeiros mtodos prticos para a soluo das equaes do modelo foram os mtodos grficos de McCabe e Thiele e de Ponchon e Savarit (apud HENLEY e SEADER,1981). Os trabalhos base para os modelos rigorosos atuais foram os de Thiele e Guedes e de Lewis e Matheson (apud HENLEY e SEADER, 1981), que, apesar de ainda serem mtodos rudimentares, so uma generalizao dos mtodos grficos para misturas multicomponentes. Hoje os modelos desenvolvidos podem ser utilizados tanto para avaliao do desempenho do processo como para treinamento de pessoal. Juntamente com o avano dos computadores e da necessidade econmica de manter os vrios produtos dentro de faixas restritas, os modelos matemticos

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dos processos vm se tornando cada vez mais complexos e rigorosos. Sendo possvel descrever de forma bastante realista o comportamento fsico-qumico do processo. (MENEGUELO, ROQUEIRO e MACHADO, 2004). No entanto, devido principalmente alta interdependncia entre as diversas variveis presentes em um processo, a previso do comportamento da planta se torna difcil e, a fim de contornar este problema, pode-se utilizar a modelagem e simulao computacional dos processos.

No caso da simulao dinmica de uma coluna de destilao, um grande nmero de equaes algbrico-diferenciais deve ser resolvido, levando a um alto esforo computacional na tentativa de obter a soluo das equaes do sistema em cada instante de tempo. Quando o resultado da resoluo destes modelos matemticos deve ser aplicado em tempo real, como o caso da otimizao em tempo real e do controle preditivo, o custo computacional um dos fatores limitantes para se tornar vivel.

O objetivo da otimizao de processos em tempo real obter os setpoints das malhas de controle do processo de forma a aumentar os lucros (minimizar custos), obedecendo os limites operacionais da planta. Para conseguir este ponto timo de operao necessrio um modelo matemtico que descreva o processo com boa exatido. Porm, esses modelos tm por caracterstica elevada dimenso, principalmente quando se tratam de modelos de processo de separao por estgios, o que torna o tempo computacional muito elevado para determinao da condio tima de operao da planta em estado estacionrio, dificultando ou, em casos mais crticos, at restringindo a sua implantao em tempo real (SIMES, 2000).

A estratgia do controle preditivo consiste em determinar a trajetria de uma varivel manipulada dentro de um horizonte de controle, atravs do conhecimento da dinmica do processo em estudo. A determinao desta trajetria permite otimizar uma funo objetivo em um horizonte de predio. Durante a otimizao da funo objetivo, necessrio solucionar o sistema de equaes algbrico-diferenciais do modelo vrias vezes, at a determinao da trajetria tima da varivel manipulada em cada instante de tempo. Modelos de processos de separao por estgio so descritos por um sistema de equaes

3

algbrico-diferenciais de elevada dimenso, o que pode induzir a um elevado esforo computacional para obteno da soluo do sistema a cada instante de tempo. Este fato pode impossibilitar a implantao do controle preditivo em situaes em que o tempo de clculo para determinao da soluo for maior que o tempo de amostragem, inviabilizando o uso da estratgia em tempo real (SIMES, 2000).

Neste contexto, os modelos de ordem reduzida surgem como uma excelente opo para a obteno de solues de sistemas de ordem elevada com uma significativa reduo do custo computacional mantendo a capacidade preditiva da soluo do modelo completo. Tais modelos podem tambm assumir papel relevante no tratamento de problemas de otimizao, controle e demais aplicaes em tempo real.

O objetivo desta dissertao investigar a aplicabilidade e eficincia do uso de modelos de ordem reduzida em problemas de coluna de destilao, tendo em vista sua implementao em tempo real.

Sero realizadas simulaes estacionrias e dinmicas, anlises das respostas do sistema a perturbaes, otimizaes estacionrias e otimizaes dinmicas da estratgia de partida de colunas.

A fim de demonstrar a exatido das solues e a reduo dos custos computacionais alcanados sero comparados os resultados obtidos com o uso dos modelos de ordem reduzida e com o uso do modelo fenomenolgico completo. Sero tambm feitas comparaes entre o mtodo de reduo de ordem baseado na anulao da soma dos resduos ponderados com outros mtodos de reduo, a fim de demonstrar a maior robustez e adaptabilidade deste mtodo.

No Captulo 2, intitulado de Reviso Bibliogrfica, discute-se um pouco sobre os mtodos de reduo de ordem existentes na literatura e que vm sendo aplicados em trabalhos da literatura.

4

No Captulo 3 a discusso ter seu foco voltado para o mtodo de reduo utilizado nas anlises feitas no presente trabalho, que o mtodo baseado na anulao da soma dos resduos ponderados. Tambm ser feito um pequeno resumo dos mtodos da colocao ortogonal e de estgios agregados.

No Captulo 4, intitulado Estudos de Casos, so apresentados os problemas abordados neste trabalho, fazendo uma descrio detalhada dos modelos de colunas utilizados e dos objetivos especficos de cada simulao, bem como a estratgia utilizada na busca das solues. So apresentados tambm, os resultados obtidos e a discusso sobre estes resultados.

No Captulo 5 realizada a concluso deste trabalho, destacando-se as principais contribuies do mesmo.

5

CAPTULO 2: REVISO BIBLIOGRFICA

2.1- Coluna de Destilao

O equipamento que promove a transferncia de massa e calor entre correntes de lquido e de vapor a conhecida Coluna de Destilao. Esta constituda por um recipiente cilndrico dentro do qual se encontra uma srie de pratos internos entre os quais circulam vapor e lquido em contracorrente. As duas fases presentes em cada estgio sofrem transferncia de massa e calor e considera-se que se encontram em equilbrio ao deixar o estgio. No topo da coluna existe, geralmente, um condensador que condensa o vapor proveniente da coluna, sendo parte do condensado, designado por refluxo, reenviado para o prato superior. Denomina-se por razo de refluxo (RR) a razo entre o a corrente reenviada e a corrente produzida no topo, que deixa a coluna, o destilado. Na base da coluna encontra-se um refervedor que vaporiza parte da corrente de lquido da base, para o prato inferior, onde entra sob a forma de vapor. A corrente retirada na base da coluna designa-se por resduo ou produto de fundo. Na Figura 1 apresenta-se um esquema de uma coluna de destilao.

A configurao convencional de uma torre de destilao consiste em uma nica alimentao de carga e duas retiradas, no topo (destilado) e no fundo (produto de fundo). O prato de alimentao separa a coluna em duas sees: seo de retificao (enriquecimento) que envolve o destilado e seo de esgotamento, englobando o produto de fundo.

Algumas simplificaes foram adotadas para o desenvolvimento dos modelos da coluna de destilao, no entanto sem que estas prejudiquem o objetivo do trabalho (CARVALHO, 1996).

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Figura 1 - Esquema de uma Coluna de Destilao

As simplificaes feitas durante a modelagem foram:

Coluna composta de:

N2 pratos internos (incluindo o de alimentao),

Condensador e refervedor em equilbrio termodinmico.

Balano de energia quase-estacionrio;

Equilbrio termodinmico entre as correntes que saem de cada prato;

Estgios adiabticos (Qi = 0, 1 < i < NF, NF < i < N);

Mistura perfeita em ambas as fases;

No existncia de zonas de disperso, zonas mortas ou caminhos preferenciais;

Reteno de lquido constante e igual em todos os pratos, podendo ser diferente no condensador e no refervedor.

Reteno de vapor desprezvel.

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2.1.1 - Balanos de Massa e Energia

Com i = 1, ...,Nestgios e j=1,..., ncomponentes tem-se:,

a) Condensador:

= + (1)

= (2)

, = , ( + ) ,(3)

= 0(4)

b) Prato interno:

+ = 0(5)

, = , + , , ,(6)

+ = 0(7)

c) Prato de Alimentao: #$ + #$ + % #$ #$ = 0(8) #$ #$, = #$ #$, + #$ #$, + % '#$, #$ #$, #$ #$,(9)

8

#$ #$ + #$ #$ + % $ #$ #$ #$ #$ = 0(10)

d) Refervedor: # # # = 0(11)

# #, = # #, # #, # #,(12)

# # # # # # # = 0(13)

e) Relaes de Equilbrio: , = ), ,(14)

f) Relaes Algbricas: , = * ,(15)

+ , = + , =,-./0.121324

51

,-./0.121324

5(16)

* = 67(17)

8 = 67ouper>illinear, dependendodocaso.(18)

g) Relaes Termodinmicas:

),(G) HIJG, 8, ,K = HLJG, 8 , ,K(19)

9

, = FJG, 8, ,K(20)

= + , ,,-./0.121324

5(21)

, = fJG, 8 , ,K(22)

= + , ,,-./0.121324

5(23)

Todas as variveis termodinmicas envolvidas nos modelos foram calculadas atravs do pacote termodinmico VRTherm (Portal VRTech) acoplado ao simulador de processos EMSO - Environment for Modeling, Simulation, and Optimization (SOARES e SECCHI, 2003) e (Projeto ALSOC Ambiente Livre para Simulao, Otimizao e Controle), utilizando-se das respectivas equaes de estado que descrevem o comportamento termodinmico dos modelos adotados em cada exemplo abordado neste trabalho.

2.2- Reduo de Ordem

Como j dito no captulo anterior, a modelagem matemtica rigorosa de processos de separao resulta na necessidade de se resolver um sistema de equaes de dimenso elevada. Alm disso, problemas de otimizao desses processos demandam a resoluo repetitiva do modelo. Esses fatores levam a um esforo computacional bastante elevado, o que, muitas vezes, acaba inviabilizando a aplicao do modelo fenomenolgico completo na resoluo de aplicaes em tempo real.

Logo, a necessidade de se obter sistemas de menores dimenses, que utilizem menores recursos computacionais, mantendo a exatido e a confiabilidade da soluo do

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modelo completo, levou a uma intensificao do desenvolvimento das chamadas tcnicas de reduo de ordem.

Os modelos de ordem reduzida so sistemas de baixa ordem de equaes diferenciais ordinrias ou algbrico-diferenciais. Em outras palavras a reduo de ordem a aproximao de um sistema com um grande nmero de equaes por um sistema menor do que o original. No entanto, importante que sejam mantidas, mesmo que de maneira aproximada, as principais caractersticas do sistema mais complexo. desejvel que o modelo reduzido consiga prover uma soluo prxima soluo do modelo completo e que o sistema obtido pela reduo de ordem seja um sistema de resoluo mais simples.

Inmeros artigos so encontrados na literatura descrevendo alguns mtodos de reduo de ordem e suas diversas adaptaes e aperfeioamentos. A seguir, so comentados alguns dos mais importantes trabalhos que guiaram esta dissertao.

A resoluo de problemas de valor de contorno atravs de mtodo baseado na tcnica de colocao ortogonal foi apresentada por VILLADSEN e STEWART (1967). Os autores aproximam o resduo por um polinmio ortogonal e, atravs de uma escolha apropriada da funo peso, foi possvel conseguir uma boa preciso para mtodo. Os pontos de colocao escolhidos so os pontos timos da quadratura para a integrao numrica da soluo ao longo da mesma regio.

WAHL e HARRIOT (1970) foram os pioneiros na utilizao de reduo de ordem na resoluo de problemas de separao por estgio. No trabalho, os autores aproximaram o comportamento dinmico do sistema de separao binrio por uma nica equao diferencial, caracterizada por dois parmetros dependentes do tempo. Atravs da linearizao da equao em torno de um ponto do estado estacionrio, a funo de transferncia do sistema pode ser obtida. Baseando-se no conhecimento das condies de estado estacionrio, os polos e zeros de tal funo de transferncia puderam ser encontrados.

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A ideia de tratar as colunas de destilao como sistemas compartimentados foi apresentada em ESPAA e LANDAU (1975). Eles, ao considerarem a concentrao de um dos componentes da mistura como uma varivel de sada, assumiram que a coluna de destilao pode ser considerada como um sistema compartimentado, com trs compartimentos, cada um deles substituindo um conjunto de pratos de destilao. Estas consideraes permitem uma caracterizao da coluna de destilao por um modelo bilinear com apenas trs variveis de estado, uma concentrao para cada compartimento, e oito parmetros estruturais. Um algoritmo para a identificao do modelo de ordem reduzida bilinear apresentado e baseado na minimizao do erro da sada. Os resultados obtidos no trabalho demonstraram a validade da abordagem proposta, bem como o desempenho do mtodo de identificao. O modelo de ordem reduzida bilinear obtido robusto e vlido para grandes variaes das entradas.

WONG e LUUS (1980) introduziram a tcnica da colocao ortogonal para a reduo de sistemas de separao por estgio. Eles propuseram que o sistema original poderia ser transformado em um sistema de equaes diferenciais parciais e que, ento, o mtodo da colocao ortogonal fosse aplicado para se obter um modelo reduzido de baixa ordem. Os autores garantiram que o modelo reduzido obtido pode ser aplicado em problemas de controle e ilustraram o procedimento em uma absorvedora com 20 estgios, reduzindo-os a cinco estgios.

CHO e JOSEPH (1983 a, 1983 b, 1984) apresentam uma discusso a respeito da seleo adequada dos pesos e das famlias dos polinmios a serem usados na aproximao da soluo. Assim, eles mostraram ser possvel a aplicao do mtodo da colocao ortogonal no conjunto original de equaes diferenciais, gerando assim, uma evoluo em relao ao trabalho de WONG e LUUS (1980). O modelo foi testado em problemas de absoro simples (CHO e JOSEPH, 1983 a) e sistema de destilao multicomponente (CHO e JOSEPH, 1983 b).

STEWART et al. (1985) exploraram as caractersticas discretas dos modelos de reduo de ordem e concluram que os resultados da reduo so mais confiveis quando os

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polinmios ortogonais utilizados para a aproximao tambm forem definidos dentro do domnio discreto. Com a resoluo de problemas estacionrios e dinmicos, os autores demonstraram que a famlia dos polinmios de Hahn capaz de alcanar resultados bem mais refinados. Os autores tambm propuseram alguns critrios para o uso dos mtodos de reduo de ordem:

Preservao da estrutura do modelo completo;

Convergncia para a soluo do modelo completo;

Predio dos estados em qualquer estgio;

Ajustes dos parmetros de forma otimizada para reproduzir o modelo completo com a menor ordem possvel;

Ajuste dos parmetros do modelo dever ser feito de forma explcita, no deixando parmetro algum para ser ajustado por tentativa e erro;

Capacidade de aplicao a problemas no lineares e multicomponentes de forma direta;

Permitir a livre escolha de rotinas termodinmicas;

Permitir o uso de eficincia local por estgios.

Uma tcnica de modelagem de baixa ordem para processos de separao foi desenvolvida por BENALLOU et al. (1986) considerando uma coluna como um sistema compartimentado no qual um certo nmero de fases so aglomeradas de modo a formar uma fase equivalente. Este mtodo leva a modelos de baixa ordem de processos de separao e sem linearizao. Alm disso, as variveis e parmetros dos modelos resultantes tm significado fisico. A anlise compartimental garante a preservao dos balanos materiais e dos estados estacionrios para mudanas arbitrrias nas variveis de entrada. Os autores fazem uma comparao da anlise compartimental com uma tcnica de

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reduo baseada na colocao ortogonal e demonstram a eficcia e a robustez do mtodo compartimental.

PINTO e BISCAIA (1987) utilizaram o mtodo de colocao ortogonal, e apresentaram quatro estratgias para a reduo de ordem de modelos de sistemas de separao por estgio: colocao ortogonal por seo sem extrapolao; colocao

ortogonal por seo com extrapolao, colocao ortogonal "spline"; e colocao ortogonal

global. As estratgias foram aplicadas a trs exemplos de colunas destilao. Os autores concluram que a estratgia da colocao ortogonal por seo sem extrapolao apresentou bons resultados e um bom potencial para a aplicao em problemas onde h uma grande descontinuidade da composio ao redor do prato de alimentao, j a colocao ortogonal global apresentou bons resultados em problemas onde a descontinuidade no prato de alimentao foi pequena.

Partindo-se dos resultados alcanado por PINTO e BISCAIA (1987), a estratgia de reduo de ordem baseada na colocao ortogonal por seo sem extrapolao foi utilizada para a resoluo de problemas de controle adaptativo em colunas de destilao por SECCHI (1988).

Um novo mtodo de reduo, usando uma combinao do mtodo de colocao ortogonal e o conceito de aproximao polinomial bimodular (MPA) foi apresentado por KIM et al. (1989). O modelo foi avaliado em dois exemplos de colunas de destilao (binrio e ternrio). O trabalho apresentou uma reduo do tempo de processamento de cerca de 40% e com uma preciso comparvel dos mtodos rigorosos. Os autores concluram, tambm, que o mtodo proposto pode reproduzir bem as variaes das variveis nas sees prximas alimentao.

Baseando-se no modelo apresentado por KIM et al. (1989), um outro mtodo de reduo foi apresentado por CHOI et al. (1991). No entanto, para fazer a aproximao eles utilizaram funes do tipo spline cbicas. O trabalho demonstra que essa abordagem foi

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capaz de obter solues mais prximas ao modelo completo do que com o uso das funes interpoladoras de Lagrange.

Um mtodo para a reduo da ordem de modelos dinmicos de colunas de destilao foi apresentado por MUSCH e STEINER (1993). A abordagem feita, foi uma modificao e ampliao dos modelos compartimentais apresentados em BENALLOU et al. (1986), formulando as equaes algbricas e as equaes diferenciais para o balano global dos compartimentos, mas mantendo as equaes diferenciais para a concentrao para cada estgio.A eficincia de prato de Murphree foi usada para aumentar a preciso da resposta. O modelo resultante de ordem substancialmente inferior e quando aplicados a uma coluna de destilao binria, mostrou boa conformidade na simulao dinmica e na previso do estado estacionrio, quando comparado com o modelo completo rigoroso.

CARVALHO (1996) estende a aplicao do mtodo da colocao ortogonal soluo de equaes de diferenas, a partir do desenvolvimento de uma metodologia que unifica o uso da colocao ortogonal tanto para a soluo de equaes diferenciais quanto para a de equaes de diferenas. O autor reescreve as equaes de balano de massa e energia do modelo prato a prato original na forma de equaes de diferenas finitas e em seguida essas diferenas so aproximadas por tcnicas de colocao ortogonal discreta. A diviso de cada seo da coluna em elementos finitos mostrou-se bastante adequada para representar o comportamento de colunas onde os perfis de concentrao apresentam regies onde a variao de composio bem pequena e outras regies onde a variao bastante acentuada. O trabalho mostra que possvel conseguir uma boa reduo dos custos computacionais ao mesmo tempo em que mantm uma boa concordncia dos resultados com o modelo prato a prato.

CABALLERO e GROSSMANN (1999) apresentaram uma representao agregada para colunas de destilao. Um modelo agregado foi apresentado para as sees de enriquecimento e retificao de colunas de destilao. O modelo baseado em balanos de massa e equilbrio de fases expressos em termos de fluxos, concentraes de entrada, e recuperaes. O balano de energia foi dissociado do balano de massa. O modelo proposto

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teve seu desempenho em termos de robustez e tempo de processamento ilusstrado com vrios exemplos.

Utilizando a tcnica da colocao ortogonal, SCHRODER e MENDES (1999) obtiveram um modelo de ordem reduzida para uma coluna de destilao e o aplicaram em um problema de otimizao do tempo de transio durante a partida de colunas. Os autores propuseram um algoritmo de otimizao misto como uma alternativa para superar a lentido do IDP (Iterative Dynamic Programming) e a pobre robustez dos algoritmos SQP (Sequencial Quadratic Programming) para este tipo de problemas. Os autores demonstraram que, uma vez que os algoritmos IDP e SQP so fortemente afetados pela ordem do sistema, o uso do modelo reduzido se mostrou eficiente para este tipo de problema. Foi possvel concluir tambm que a estratgia mista levou a um algoritmo robusto e rpido, capaz de resolver problemas de otimizao de grande dimenso e partindo-se de condies iniciais relativamente ruins.

Baseando-se na teoria de propagao de onda, KIENLE (2000) obteve um mtodo de reduo de ordem. Os parmetros da onda foram calculados atravs das condies de operao e as variveis dependentes puderam ser calculadas em cada estgio atravs do comportamento de propagao da onda. Quando aplicado a misturas com comportamentos prximos a idealidade ou um pouco no ideais, o mtodo se mostrou eficiente e capaz de prever com boa qualidade os perfis de concentrao e temperatura.

RAMASWANY e SARAF (2002) apresentaram um modelo de ordem reduzida para uma coluna de destilao de petrleo cru. O modelo foi comparado com o modelo completo e com os dados experimentais de uma refinaria em funcionamento. O modelo reduzido apresentado no trabalho, que representa apenas o estado estacionrio da unidade, apresentou timos resultados e, quando comparado com o modelo rigoroso, se revelou mais flexvel para o ajuste com os dados do sistema e tambm mais tolerante para medies de rudo.

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O uso de dois modelos reduzidos, compartimentado e onda no linear, em problemas de controle preditivo de colunas com alta pureza na separao foi comparado por KHOWINIJ et al. (2004). Os autores demonstram que o modelo de ondas no foi capaz de produzir previses precisas sobre as condies de funcionamento da coluna. As previses foram ruins quando um degrau positivo foi aplicado vazo de alimentao. A principal limitao do modelo de onda foi o pressuposto de que o perfil de onda tinha um perfil constante. Por outro lado, o modelo de ordem reduzida com cinco compartimentos se mostrou capaz de produzir resultados bastante satisfatrios em relao ao modelo completo.

A aplicao dos modelos reduzidos em problemas de controle de plantas de processos foi demonstrada por DORNEANU et al. (2008). O trabalho prope uma abordagem para a obteno de modelos de ordem reduzida de processos qumicos com aplicao em projetos de sistemas de controle. A abordagem baseia-se na estrutura inerente, que existe em uma planta qumica e identifica as unidades ou grupos de unidades que determinam o comportamento do estado estacionrio e dinmico da planta. Tcnicas de reduo especficas e com precises diferentes so aplicadas a cada uma das unidades (a separeo de iso-butano, buteno, propano e dodecano avaliada em trs colunas de destilao com parmetros de operao e condies de alimentao distintas), seguido pelo acoplamento dos modelos reduzidos, de acordo com a estrutura do fluxograma do processo. Por meio de um estudo de caso, a avaliao das estruturas de controle de processos de fbrica, para a planta de alquilao iso-butano-buteno, prova a eficcia da abordagem. Alm disso, mostra-se que o mtodo capaz de reter a no linearidade do modelo da planta original.

WELZ et al. (2008) apresentaram um modelo reduzido, com a aplicao da colocao ortogonal em um modelo completo de coluna empacotada, construdo com foco em descontinuidade na alimentao, que foi tratada como um flash adiabtico. Os autores definiram uma funo objetivo, atravs de uma combinao dos graus de liberdade, como sendo a soluo do modelo. Esta definio permite que solues mltiplas possam ser encontradas. Posteriormente, a soluo ideal pode ser encontrada usando-se uma rotina de otimizao. A construo da funo objetivo assegura a existncia de uma soluo para o

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problema. O modelo de ordem reduzida resultante pode ser aplicado a colunas de destilao com pratos.

O uso de modelos de estgios agregados para a soluo de diversos problemas envolvendo colunas de destilao foi abordado por KAMATH et al. (2010). O modelos de estgios agregados foi implementado em trs etapas. Primeiro os autores consideraram os nmeros de estgios em cada seo como uma varivel contnua, de forma a suavizar o problema a ser resolvido. Feito isso, os valores encontrados foram arredondados para os valores inteiros mais prximos. Posteriormente, um algoritmo usado para se obter a melhor soluo dentre os valores inteiros possveis. Os autores introduzem modelo agregado modificado e demonstram a boa capacidade de predio e de reduo do tempo computacional, aplicando-o a problemas de simulao e otimizao. No artigo, demonstrado tambm que a aplicao do mtodo em trs etapas leva a melhores resultados.

LINHART e SKOGESTAD (2011) apresentaram um mtodo para se obter modelos dinmicos reduzidos de sistemas espacialmente discretos. Os modelos reduzidos so sistemas de equaes diferenciais ordinrias ou algbrico-diferencial de baixa ordem. O mtodo baseia-se no conceito de agregao, que foi utilizado por LEVINE e ROUCHON (1991) para deduzir modelos reduzidos de destilao. Neste mtodo, o conhecimento da resposta do modelo completo necessria para a escolha dos pontos de agregao e para o clculo dos parmetros que modificam a dinmica do sistema nos pontos de agregao. Os autores mostraram que este mtodo pode ser utilizado para aumentar a velocidade de simulao em vrias vezes, e estenderam o mtodo para modelos mais complexos de destilao. Neste caso, o mtodo apresentado como uma alternativa aos outros mtodos de reduo para este tipo de processos unidimensionais de separao, tais como mtodos de colocao ortogonal e propagao de ondas.

RIBEIRO (2011) apresentou uma nova tcnica de reduo de ordem de modelos baseada nos resduos ponderados no domnio discreto. Neste mtodo, os perfis de concentrao e temperatura so encontrados pela anulao da soma dos resduos ponderados pelos momentos para os n primeiros momentos. No mtodo, os pontos de

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colocao so as razes do polinmio ortogonal de Hanh. No trabalho, evidenciada a maior adaptabilidade do mtodo, devida principalmente ao fato de que os pontos de colocao no serem fixos. O autor demonstrou a superioridade da sua tcnica frente colocao ortogonal clssica em problemas estacionrios e dinmicos envolvendo torres de absoro e destilao.

Tendo em vista as diversas tcnicas de reduo de ordem presentes na literatura, o presente trabalho tem como finalidade investigar a aplicabilidade dos modelos reduzidos em problemas prticos de coluna de destilao.

O trabalho tem o foco voltado, principalmente, para o modelo reduzido desenvolvido por RIBEIRO (2011), a fim de investigar a exatido e confiabilidade da soluo quando comparada com o modelo fenomenolgico completo e tambm a maior robustez, adaptabilidade e menor esforo computacional quando comparado com outros modelos de ordem reduzida. No trabalho de RIBEIRO (2011), foi abordada a superioridade do mtodo dos momentos frente a colocao ortogonal clssica em problemas de simulao estacionria, dinmica e casos de otimizao do prato de carga. Na presente dissertao, o mtodo proposto por RIBEIRO (2011) ser comparado com a colocao ortogonal e com o modelo de estgios agregados apresentado em LINHART e SKOGESTAD (2011) e KAMATH et al. (2010) para uma variedade maior de problemas.

Os modelos reduzidos foram utilizados em problemas de simulao estacionria e dinmica, analisando as respostas dos sistemas a perturbaes, em problemas de otimizao estacionria, visando diminuir os custos da operao e em problemas de otimizao dinmica da partida de colunas de destilao, em que o objetivo a diminuio do tempo de regime transiente.

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CAPTULO 3: TCNICAS DE REDUO

Neste trabalho o foco principal a comparao de alguns modelos reduzidos, principalmente o mtodo baseado na anulao dos resduos ponderados dos momentos apresentado em RIBEIRO (2011), com o modelo fenomenolgico completo e com outros modelos de reduo de ordem, principalmente o mtodo da colocao ortogonal (PINTO e BISCAIA, 1987) e o mtodo dos estgios agregados (LINHART e SKOGESTAD, 2011) e (KAMATH et al., 2010). O objetivo comprovar a reduo dos custos computacionais alcanada com o uso dos modelos reduzidos, sem perder a confiabilidade e exatido da soluo e, tambm, mostrar a maior adaptabilidade e robustez do mtodo baseado na anulao dos resduos ponderados frente aos demais mtodos de reduo de ordem.

A seguir, feita uma breve descrio dos mtodos da colocao ortogonal e dos estgios agregados, a fim de fazer uma sucinta explanao sobre os mtodos. Para um aprofundamento nos mtodos, os trabalhos originais devem ser consultados, PINTO e BISCAIA (1987) e LINHART e SKOGESTAD (2011), respectivamente.

A tcnica de reduo de ordem de modelo baseada nos resduos ponderados pelos momentos est mais detalhada na seo 3.2.3. No entanto, para um melhor entendimento do mtodo sugere-se a leitura dos apndices 1, 2 e 3 do trabalho original de RIBEIRO (2011). Visando apresentar as tcnicas de reduo de forma mais simples nos itens a seguir, considerou-se como modelo teste uma coluna de absoro de N estgios de equilbrio envolvendo uma mistura binria, operando isotermicamente, com uma relao de equilbrio entre as composies das fases simples e linear e na qual as duas composies de alimentao so funes conhecidas da varivel tempo. A Figura 2 ilustra o exemplo descrito anteriormente:

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Figura 2 - Esquema de uma coluna de absoro com N estgios

3.1- Colocao Ortogonal

O mtodo considera que, para que o sistema de equaes diferenciais seja resolvido, as variveis dependentes podem ser aproximadas por uma funo polinomial das variveis independentes, de forma que as equaes sejam satisfeitas nos pontos de colocao, que so as razes de certa famlia de polinmios ortogonais.

No caso de uma coluna de absoro com retenes (holdup, m) nos estgios e vazes molares (L e V) constantes, um estgio i descrito pela equao abaixo:

() = () + () () ()

OPQPR = 1, ,T6UV() = O()7#() = W()(24)

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Considerando que a composio xi pode ser aproximada por uma funo polinomial do tipo:

() (,)(Y, ) = + Z(Y) ,

5V(,)JY , K(25)

YV = 0, s[ = N + 1 0 < s < s < s[ < T + 1Yoospontosdeinterpolaointernos

el`(s) = abs scs` scd[

c5Vce`(26)

Neste modelo no existem condensador, refervedor e prato de alimentao uma simples sequncia de estgios de equilbrio em que a composio de alimentao da fase

lquida do primeiro prato uma funo conhecida do tempo: (,)(YV, ) = V() = O() e a composio da fase gs no ltimo estgio tambm conhecida: (,)(Y,, ) =,() = W(). Os valores das composies de alimentao nos primeiro e ltimo estgio (x0 e yN+1) devem ser considerados na aproximao polinomial do perfil de composio e, em decorrncia, os estgios 0 (zero YV = 0 ) e N+1 ( Y, = T + 1) devem ser adotados como pontos de interpolao do perfil alm dos n pontos internos 0 < s < s < s[

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Simulação de Colunas de Destilação