Simulação Numérica de Sistemasde N-Corpos com Atracção Gravítica

Mestrado em FísicaFaculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

Nuno S. A. Pereira

2001

Sumário (I)

• Parte I– Regularização Binária.

– Precisão das Soluções Numéricas / Métricas de Avaliação.

– Caso de Estudo: resolução numérica de um problema de 2-corpos.

• Parte II– O Problema do N-Corpos: modelo matemático, aplicações,

resultados teóricos: integrabilidade e singularidades.

– Resolução Numérica: abordagens, métodos e algoritmos.

Sumário (II)

• Parte III– O Problema da Instabilidade Exponencial.

– Métricas de Avaliação: equações variacionais e expoentes de Lyapunov.

– Caso de Estudo: simulação de sistemas com N=4,8,16.

– Simulações Numéricas: sim ou não, que futuro?

• Parte IV– O Pacote NNEWTON.

– Conclusões.

Parte I

• Regularização Binária.

• Precisão das Soluções Numéricas / Métricas de Avaliação.

• Caso de Estudo: resolução numérica de um problema de 2-corpos.

Regularização Binária

• Onde: Problema dos 2-corpos / Problema de Kepler.

• Quando: Colisões / Encontros próximos (órbitas muito excêntricas).

• Porquê: Singularidade das equações do movimento na origem.

rr

Gdt

Fd3

0r,||F||

Como: Técnicas analíticas para remover a singularidade.Como: Técnicas analíticas para remover a singularidade.

Regularização Binária

• Estabelecer a existência de soluções para condições iniciais arbitrárias.

• Acompanhar analiticamente as soluções que atravessam singularidades.

• Tratar com precisão os encontros próximos.

Importante para as simulações

numéricas

Importante para as simulações

numéricas

Técnicas de Regularização de Encontros Binários

Equação do movimentoem coordenadas físicas

singular

Equação do movimento em coordenadas regularizadas

não-singular

Equação do movimento em coordenadas regularizadas

não-singular

Transformaçãode coordenadas

Transformaçãode coordenadas

Técnicas de Regularização (I)Levi-Civitta (1903) - 2D

• Mudança na escala de tempo (Euler, 1765):

• Introdução do tempo fictício s.

• Identificação do plano do movimento com o plano complexo:

• Introdução da Matrix de Levi-Civitta/Transformação LC

dt

dr

ds

drdsdt .'def

22121 )iuu(ixxr

12

21

uu

uu)u(L

u)u(Lr

Técnicas de Regularização (II)Kustaanheimo-Stiefel (1965) - 3D

• Mudança na escala de tempo (Euler, 1765):

• Introdução do tempo fictício s.

• Transformação num espaço 4D.

• Introdução da Matrix de Kustaanheimo-Stiefel/Transformação KS

dt

dr

ds

drdsdt .'def

1234

2143

3412

4321

uuuu

uuuu

uuuu

uuuu

)u(L u)u(Lr

Regularização LC/KS

• Equação do movimento em coordenadas físicas

• Equação do movimento em coordenadas regularizadas

0rr

r3

0u2

h''u

)u.u(

)u.u(2h

Oscilador/repulsor harmónicoOscilador/repulsor harmónico

Equação RegularEquação Regular

Técnicas de Regularização (III)Método InOut - 2D/3D

• Definimos uma bola de regularização de raio R.

• Condições iniciais

• Condições finais

.0,0)v,r( oo

of r10

01r

of v10

01v

InIn

OutOutSimó, C. , Lacomba, E. A. (1992)Simó, C. , Lacomba, E. A. (1992)

Regularização de um Encontro BinárioExemplo numérico

• Condições iniciais– h=-2

– v=1

– m1=m2=1

– x1=y1=vx1=vy1=0

– P=/2 1.57

– e=0.9, 0.99, 0.999, 0.9999

• Definição das coordenadas– y=(1-e2)1/2

– x2 + y2=(4/5)2

• Parâmetros da simulação– ho=hmax= 10-3

– hmin=10-5

=10-15

reg=1

– t=15.71 (10P)

NNEWTONNNEWTON

Regularização IO de um Encontro BinárioResultados Numéricos

Sem regularizaçãoSem regularização Com regularizaçãoCom regularização

NNEWTONNNEWTON

e=0.9e=0.9SOLEXACT2

SOLEXACT2

Regularização IO de um Encontro BinárioResultados Numéricos

Sem regularizaçãoSem regularização Com regularizaçãoCom regularização

NNEWTONNNEWTON

e=0.99e=0.99SOLEXACT2

SOLEXACT2

Regularização IO de um Encontro BinárioResultados Numéricos

Sem regularizaçãoSem regularização Com regularizaçãoCom regularização

NNEWTONNNEWTON

e=0.999e=0.999SOLEXACT2

SOLEXACT2

Regularização IO de um Encontro BinárioResultados Numéricos

Sem regularizaçãoSem regularização Com regularizaçãoCom regularização

NNEWTONNNEWTON

e=0.9999e=0.9999SOLEXACT2

SOLEXACT2

Precisão das Soluções NuméricasMétricas de Avaliação

• Distância entre a solução numérica e a solução exacta

• Distância entre as partículas (numérica)

• Erros relativos

• Factores de Qualidade

2exacnum

2exacnum )yy()xx()exac,num(d

221

22112 )yy()xx(d

12rel d

)exac,num(d|E|

|EE|

o

fot,E

|L|

|LL|

o

fot,L

p,rela,relQ t,Lt,E*Q

Precisão das Soluções NuméricasExemplo Numérico - Factor de Qualidade Q*

NN-ELTNN-ELT

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

log(Q*)

Não reg. -6,77 -5,59 3,61 4,35

Reg. IO -6,77 -5,76 -5,52 -5,44

0,9000 0,9900 0,9990 0,9999

Parte II

• O Problema do N-Corpos: modelo matemático, aplicações, resultados teóricos: integrabilidade e singularidades.

• Resolução Numérica: abordagens, métodos e algoritmos

O Problema dos N-CorposEnunciado

• Consideremos um sistema com N massas pontuais com posições e velocidades conhecidas num certo instante to.

Quais são as posições e as velocidades de cada massa num instante arbitrário t ?

Quais são as posições e as velocidades de cada massa num instante arbitrário t ?

• A massas interagem de acordo com a Lei de Newton.

O Problema dos N-CorposSistemas (Astro)físicos

• Mecânica Celeste (N<10) • Dinâmica Estelar (N>10)

M15 - Enxame Globularhttp://www.seds.org

M15 - Enxame Globularhttp://www.seds.org“Desenho” de trajectórias“Desenho” de trajectórias

O Problema dos N-CorposFormulação Matemática

• Sistema de 3N equações diferenciais de 2ª ordem

• Sistema de 6N equações diferenciais de 1ª ordem

N,,1i,)rr(||rr||

mGmrm

N

ij,1jij3

ij

jii

N,,1i,)rr(||rr||

mGmv,vr

N

ij,1jij3

ij

jiiii

Aproximações:

• Massas pontuais • Dinâmica de Newton

Aproximações:

• Massas pontuais • Dinâmica de Newton

Lei de Newton da Gravitação para um Sistemas de PartículasLei de Newton da Gravitação para um Sistemas de Partículas

O Problema dos N-CorposIntegrabilidade & Singularidades

Reso lu ção An alítica

N=2Prob lem a d e Kep ler

Integrável

Reso lu ção Nu m érica

N>2Prob lem a g eralNão integrável

In teg rab ilid ad e6N-12 in teg rais p rim ários

T eo rem a d e Existên ciae Un icid ad e

Solu ção ú n ica

Eq u açõ es Reg u lares

Reg u larização B in ária

N=3tod as as sin g u larid ad es

são colisões(Painlevé)

Co lisio n aisp elo m en os d ois vectores

ten d em p ara o m esm olim ite

Xia, N=5 (1987)

N>3existem sin g u larid ad es

n ão colis ion ais(conj.,Painlevé)

Não Co lisio n aism ovim en to il im itad o

em tem p o fin ito(von Z eipel)

Sin g u larid ad es

Eq u açõ es Não Reg u lares

Co n d içõ es In iciaisN vectores d e p osição

e d e velocid ad e

Sistem a d e N-Co rp o s6N Eq . D iferen ciais

O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Sistemas (Astro)Físicos

• Número de partículas do sistema– esforço computacional

– estrutura de dados

• Dinâmica que se pretende reproduzir– resolução espacial

– relevância das colisões

• Processos/características a considerar:– perda de massa por evolução estelar

– espectro de massa

– formação de binários

– campo externo

– etc...

O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Abordagens

• Sistemas colisionais • Sistemas não-colisionais

M8 Enxame Aberto NGC6530 http://www.seds.org

M8 Enxame Aberto NGC6530 http://www.seds.org

M31 Andrómeda (M32 M110)

http://www.seds.org

M31 Andrómeda (M32 M110)

http://www.seds.org

O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Métodos/Modelos

F u n çã o d is trib u içã oE q u açã o d e B o ltzm an

(com ou sem te rm oco lis ion a l)

A b ord ag emE s ta tís t ica

F okker-P lan k

E q u açã o d e flu xod e ca lo r +

te rm o co lis ion a l loca ld e F okker-P lan k

A b ord ag em"Term od in â m ica"

C on d u çã o G asosa

L e i d e N ew ton P P / P M / P 3 M

M é tod os h ie rá rq u icos

In te racçã o"tod os -com -tod os "

P artícu las

R eso lu çã o N u m é rica

S is tem a d e N -C orp os

O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Método PP

• Resolução Espacial: – não se introduz qualquer discretização do espaço (e.g. métodos

partícula-malha: PM)

• Precisão Numérica:– interacção “todos-com-todos”

– não se introduzem aproximações no cálculo da força sobre cada partícula (e.g. métodos PM, P3M e hierárquicos)

• Hipóteses de Trabalho:– Nenhumas ! (e.g. isotropia, simetria)

• Inclusão de Processos Físicos– Sem dificuldade: (e. g. termos adicionais nas equações do

movimento)

O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Algoritmos

• Integrador baseado no método PP– Rotina RK78, C. Simó.

• Definição de binários num sistema de N-corpos

• Regularização (IO, LC, KS)

• Regularização “Múltipla”– heurística baseada em regularizações binárias encadeadas.

O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Programa NNEWTON

• Problema:– Esforço computacional !!

– Proporcional a N2.

• Consequência– Limita as dimensões dos

sistemas simulados e/ou o tempo de simulação.

Simulação N-corposPNNEWTON - 1 nó Alpha 150MHz

Cray T3D - EPCC (1997)

1

10

100

1000

10 100 1000

N

TN/T

32

32

64

128

256

512

TN/T32 N2.09 (=0.999)TN/T32 N2.09 (=0.999)

ComputaçãoDistribuida

ComputaçãoDistribuida

Parte III

• O Problema da Instabilidade Exponencial

• Métricas de Avaliação: equações variacionais e expoentes de Lyapunov.

• Caso de Estudo: simulação de sistemas com N=4,8,16

• Simulações Numéricas: sim ou não, que futuro?

O Problema da Instabilidade Exponencial

• Sistemas s e S=s+ (perturbado).

• Trajectórias no espaço de fases com divergência exponencial.

• Miller (1964), N 32.

• Duas questões importantes:

Mecanismo físico: cooperativo, encontros binários, ambos?

Qual a dependência da escala de tempo te com N e com tcr

Mecanismo físico: cooperativo, encontros binários, ambos?

Qual a dependência da escala de tempo te com N e com tcr

et

t

'e

elog

Métricas de AvaliaçãoEquações Variacionais

• Equações variacionais (1ª ordem):

• Variações (para cada partícula)

• Variação média (em cada iteração)

N

ij 3ji

j2

ji

jijijijii

||rr||

m

||rr||

rr)rr).(rr(3rrGr

)N,,1i(

|v||v||v|v,|z||y||x|r iziyixiiiii

N

1iia r

N

1r

N

1iia v

N

1v

Métricas de AvaliaçãoExpoentes de Lyapunov

• Crescimento exponencial:

• Expoente característico de Lyapunov:

• Indicador Característico de Liapunov: (t: tempo de simulação)

• Escala de tempo:

te|)o(q||)t(q|

t

|)t(q|loglimt

|)o(q|

|)t(q|log

t

1c

Medição da escala de tempo te que caracteriza a divergência de trajectóriasMedição da escala de tempo te que caracteriza a divergência de trajectórias

ce

1t

Caso de EstudoSimulação Sistemas de 4/8/16-Corpos

• Condições iniciais:– massas unitárias

– equilibrio virial (q=1)

– energia total E=-1 x1=10-6

• Parâmetros de simulação– ho=10-3

– hmax=10-2

– hmin=10-6

=10-6

– t=100

NNEWTONNNEWTON

NN-VIRIALNN-VIRIAL

N=4N=4

Caso de EstudoVariações (N=4)

PROCVARPROCVAR

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100

t

log

(dra

)

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 20 40 60 80 100

t

log

(dva

)

Média Aritmética das VariaçõesMédia Aritmética das Variações

Caso de EstudoEstimativa da escala de tempo te

• Relacionar os três parâmetros

• Supondo que existe uma relação do tipo

• “Ajuste” aos dados experimentais:

Ntt cre

53.0cre Ntt

N tcr te

4 6.6 2.88 60 2616 390 80

A menor escala de tempo que uma perturbação pode apresentar será = -1/2 (Miller, 1988).

A menor escala de tempo que uma perturbação pode apresentar será = -1/2 (Miller, 1988).

Simulações NuméricasSim ou Não, que Futuro?

• “Os resultados numéricos dão resultados consistentes porque são todos igualmente imprecisos”, Heggie (1991).

• Os resultados detalhados não têm significado.

• Abordagem estatística (um acto de “fé”):

Várias simulações do mesmo sistema com parâmetros iniciais idênticos

Várias simulações do mesmo sistema com parâmetros iniciais idênticos

Parte IV

• O Pacote NNEWTON

• Conclusões

O Pacote NNEWTONResolução numérica do problema de N-corpos

• Integradores– Sem regularização: NNEWTON1

– Com regularização: NNEWTON31/2/3

– Com regularização “múltipla”: NNEWTON51/2

– Com equações variacionais: NNEWTON2

– Com equações variacionais e regularização binária: NNEWTON41/2

• Condições Iniciais– NN-VIRIAL

• Ferramentas de Análise– Determinação de soluções exactas (N=2): SOLEXACT2

– Cálculo da energia e momento: NN-ELT

– Processamento de variacionais: PROCVAR

Conclusões

• Técnicas analíticas de regularização:– Regularização LC e KS (“standard”).– Regularização InOut.

• Integradores:– de N-Corpos: novo algoritmo; versões com regularização.– para as Equações Variacionais.

• Resultados Numéricos:– Encontros binários tratados com eficiência e “qualidade”.– Possibilidade de simular sistemas de N-corpos onde ocorram encontros

próximos (binários e múltiplos).– Estimativas das escalas de tempo de crescimento da instabilidade exponencial.

Fim