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TUIT
A
Matemáticae suas
Tecnologias
2a. série
Volume 1
2016Simuladoenem
G a b a r i t o
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 12
Questão 1 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários: ( A ) De acordo com a situação descrita, têm-se três
equações:
• Três pacotes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro somam 39 unidades de milho, ou seja, 3x+ 2y + z = 39.
• Dois pacotes do primeiro, três pacotes do segun-do e um do terceiro somam 34 unidades, ou seja, 2x + 3y + z = 34.
• E um pacote do primeiro, dois do segundo e três do terceiro somam 26 unidades, ou seja, x + 2y + 3z = 26.
Logo, o sistema linear de três equações e três in-
cógnitas é dado por
3 2 39
2 3 34
2 3 26
x y z
x y z
x y z
+ + =+ + =
+ + =
( B ) Interpretou a situação de maneira equivocada, in-vertendo a ordem dos termos independentes do sistema procurado.
( C ) Utilizou a incógnita x para representar a quantidade de unidades de milho no terceiro pacote e a incóg-nita z para representar a quantidade de milho no primeiro pacote.
( D ) Utilizou a incógnita y para representar a quantidade de unidades de milho no terceiro pacote e a incóg-nita z para representar a quantidade de milho no segundo pacote.
( E ) Utilizou a incógnita x para representar a quantidade de unidades de milho no segundo pacote e a incóg-nita y para representar a quantidade de milho no primeiro pacote. Invertendo a ordem dos termos independentes do sistema procurado.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algé-bricas que expressem a relação
Questão 2 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários:
( A ) Obteve a matriz
3 2 1
2 3 1
1 2 3
e não calculou o deter-
minante corretamente, encontrando apenas a dife-rença entre o produto dos elementos da diagonal secundária e o produto dos elementos da diagonal principal, nessa ordem, ou seja, fez 3 – 27 = –24.
( B ) Interpretou que a matriz composta pelos coeficien-
tes das incógnitas é dada por
3 2 39
2 3 24
1 2 26
cujo de-
terminante equivale a 3 3 26 2 24 1 39 2 2 1 3 39 2 24 3 26 2 2 73⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =3 3 26 2 24 1 39 2 2 1 3 39 2 24 3 26 2 2 73⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = .
( C ) De acordo com a situação descrita, têm-se três equações:
• Três pacotes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro somam 39 unidades de milho, ou seja, 3x+ 2y + z = 39.
• Dois pacotes do primeiro, três pacotes do segun-do e um do terceiro somam 34 unidades, ou seja, 2x + 3y + z = 34.
• E um pacote do primeiro, dois do segundo e três do terceiro somam 26 unidades, ou seja, x + 2y + 3z = 26.
Logo, o sistema linear de três equações e três in-
cógnitas é dado por
3 2 39
2 3 34
2 3 26
x y z
x y z
x y z
+ + =+ + =
+ + =
cuja matriz
composta pelos coeficientes das incógnitas é igual
a
3 2 1
2 3 1
1 2 3
e o determinante resulta
3 2 1
2 3 1
1 2 3
27 2 4 3 6 12 12= + + − − − = .
Simulado ENEM – 2016
3Matemática e suas Tecnologias
( D ) Interpretou que a matriz composta pelos coeficien-
tes das incógnitas é dada por
1 2 3
1 3 2
3 2 1
cujo de-
terminante equivale a 1 3 1 2 2 3 3 1 2 3 3 3 2 2 1 1 1 2 12⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −1 3 1 2 2 3 3 1 2 3 3 3 2 2 1 1 1 2 12⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − .
( E ) Obteve a matriz
3 2 1
2 3 1
1 2 3
e não calculou o deter-
minante corretamente, encontrando apenas a dife-rença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária, nessa ordem, ou seja, fez 27 – 3 = 24.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 3 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: ( A ) Interpretou que a matriz composta pelos coeficien-
tes das incógnitas é dada por
3 2 39
2 3 24
1 2 26
cujo de-
terminante equivale a 3 3 26 2 24 1 39 2 2 1 3 39 2 24 3 26 2 2 73⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
3 3 26 2 24 1 39 2 2 1 3 39 2 24 3 26 2 2 73⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = .
Logo, det .A− =1 1
73
( B ) Obteve a matriz
3 2 1
2 3 1
1 2 3
e não calculou o deter-
minante corretamente, encontrando apenas a dife-rença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal
secundária, nessa ordem, ou seja, fez 27 – 3 = 24.
Logo det .A− =1 1
73
( C ) De acordo com a situação descrita, têm-se três equações:
• Três pacotes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro somam 39 unidades de milho, ou seja, 3x+ 2y + z = 39.
• Dois pacotes do primeiro, três pacotes do segun-do e um do terceiro somam 34 unidades, ou seja, 2x + 3y + z = 34.
• E um pacote do primeiro, dois do segundo e três do terceiro somam 26 unidades, ou seja, x + 2y + 3z = 26.
Logo, o sistema linear de três equações e três in-
cógnitas, é dado por
3 2 39
2 3 34
2 3 26
x y z
x y z
x y z
+ + =+ + =+ + =
cuja matriz
composta pelos coeficientes das incógnitas é igual
a
3 2 1
2 3 1
1 2 3
e o determinante resulta
3 2 1
2 3 1
1 2 3
27 2 4 3 6 12 12= + + − − − = .
Pelo Teorema de Binet, tem-se que
A A I A A I A A AA
A⋅ = ⇒ ⋅( ) = ( )⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒− − − − −1 1 1 111
det det det det detdet
det 11 1
12=
A A I A A I A A AA
A⋅ = ⇒ ⋅( ) = ( )⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒− − − − −1 1 1 111
det det det det detdet
det 11 1
12= .
( D ) Interpretou que a matriz composta pelos coeficien-
tes das incógnitas é dada por
1 2 3
1 3 2
3 2 1
cujo de-
terminante equivale a 1 3 1 2 2 3 3 1 2 3 3 3 2 2 1 1 1 2 12⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −
1 3 1 2 2 3 3 1 2 3 3 3 2 2 1 1 1 2 12⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − .
Logo, det .A− = −1 1
12
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 14
( E ) Obteve a matriz
3 2 1
2 3 1
1 2 3
e não calculou o deter-
minante, corretamente, encontrando apenas a dife-rença entre o produto dos elementos da diagonal secundária e o produto dos elementos da diagonal principal, nessa ordem, ou seja, fez 3 – 27 = –24.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 4 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários: ( A ) Cada grama de castanha-do-pará possui
7 6
1000 076
,,= mg de vitamina E. Cada grama de
amêndoas secas possui 0,24 mg de vitamina E. Cada grama de avelãs secas possui 0,23 mg de vita-mina E. Logo, de acordo com as informações forne-cidas, tem-se que o sistema linear que representa esse problema é dado por:
0 076 0 24 10 24
0 076 0 23 8 79
0 076 0 24 0 23 15 9
, , ,
, , ,
, , , ,
x y
x y
x y z
+ =+ =
+ + = 99
7 6 24 1 024
7 6 23 879
7 6 24 23 1 599
⇒+ =+ =
+ + =
,
,
,
x y
x z
x y z
0 076 0 24 10 24
0 076 0 23 8 79
0 076 0 24 0 23 15 9
, , ,
, , ,
, , , ,
x y
x y
x y z
+ =+ =
+ + = 99
7 6 24 1 024
7 6 23 879
7 6 24 23 1 599
⇒+ =+ =
+ + =
,
,
,
x y
x z
x y z
( B ) Equivocou-se ao obter o sistema, deixando de con-siderar a quantidade de vitamina E em cada grama de castanha-do-pará, amêndoas secas e avelãs se-cas. Porém, multiplicou por 100 a quantidade total de vitamina E, resultante das combinações.
( C ) Considerou a quantidade de vitamina E em cada 100 gramas de castanha-do-pará, amêndoas secas e ave-
lãs secas, mas não multiplicou por 100 a quantidade total de vitamina E, resultante das combinações.
( D ) Equivocou-se ao obter o sistema, invertendo a or-dem dos termos independentes.
( E ) Equivocou-se ao obter o sistema, deixando de consi-derar a quantidade de vitamina E em cada grama de castanha-do-pará, amêndoas secas e avelãs secas.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algé-bricas que expressem a relação entre grandezas.
Questão 5 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Comentários: ( A ) Obteve o valor correto da incógnita y, que represen-
ta a quantidade, em gramas, de amêndoas secas. Porém, não atentou para o fato de que a embala-gem tipo 2 não tem amêndoas secas.
( B ) Interpretou que a variável x representa a quantida-de de avelãs secas.
( C ) Inverteu o valor das incógnitas y e z.
( D ) Obteve o seguinte sistema
x y
x z
x y z
+ =+ =
+ + =
1 024
879
1 599
cujas soluções são: x = 304;
y = 720 e z = 575.
( E ) Cada grama de castanha-do-pará possui 7 6
1000 076
,,= mg de vitamina E. Cada grama de
amêndoas secas possui 0,24 mg de vitamina E. Cada grama de avelãs secas possui 0,23 mg de vita-mina E. Logo, de acordo com as informações forne-cidas, tem-se que o sistema linear que representa esse problema é dado por:
0 076 0 24 10 24
0 076 0 23 8 79
0 076 0 24 0 23 15 9
, , ,
, , ,
, , , ,
x y
x y
x y z
+ =+ =
+ + = 99
7 6 24 1 024
7 6 23 879
7 6 24 23 1 599
⇒+ =+ =
+ + =
,
,
,
x y
x z
x y z
Simulado ENEM – 2016
5Matemática e suas Tecnologias
0 076 0 24 10 24
0 076 0 23 8 79
0 076 0 24 0 23 15 9
, , ,
, , ,
, , , ,
x y
x y
x y z
+ =+ =
+ + = 99
7 6 24 1 024
7 6 23 879
7 6 24 23 1 599
⇒+ =+ =
+ + =
,
,
,
x y
x z
x y z
Cuja solução pode ser obtida pelo método da substitui-ção. Da primeira equação, tem-se que 24y = 1 024 – 7,6x. Da segunda equação, conclui-se que 23z = 879 – 7,6x. Substituindo esses resultados na terceira equação, tem-se que 7,6x + 1 024 – 7,6x + 879 – 7,6x = 1 599, ou seja, 304 = 7,6x e assim, x = 40, que representa a quantidade, em gramas, de castanha-do-pará.
Substituindo x = 40 em 24y = 1 024 – 7,6x, tem-se que y = 30 e substituindo x = 40 em 23z = 879 – 7,6x, conclui-se que z = 25.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 6 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários: ( A ) O sistema linear que representa a situação descrita
é dado por x y
x y x y
x y
x y
x+ =+ = ⋅ +( )
⇒
+ =+ = ⋅( ) ⇒
+60
0 5 3 1 125
60
0 5 3 1 125 60, , , ,
yy
x y
=+ =
60
0 5 3 67 5, ,
x y
x y x y
x y
x y
x+ =+ = ⋅ +( )
⇒
+ =+ = ⋅( ) ⇒
+60
0 5 3 1 125
60
0 5 3 1 125 60, , , ,
yy
x y
=+ =
60
0 5 3 67 5, ,
Logo, isolando y na primeira equação e substituin-do na segunda, tem-se que
0 5 3 60 67 5, ,x x+ − =( ) .
( B ) Isolou x na primeira equação e substituiu na segun-
da, obtendo 0 5 60 3 67 5, ( ) ,− + =y y .
( C ) Concluiu que o sistema linear que representa situa-
ção descrita é equivalente a x y
x y
+ =+ =
60
0 5 3 1 125, ,.
Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda, tem-se que 0,5x + 3(60 – x) = 1,125.
( D ) Interpretou a situação-problema de maneira equivocada.
( E ) Concluiu que o sistema linear que representa situa-
ção descrita é equivalente a x y
x y
+ =+ =
60
0 5 3 1 125, ,.
Isolando x na primeira equação e substituindo na segunda, tem-se que 0,5(60 - y) + 3y = 1,125.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algé-bricas que expressem a relação entre grandezas.
Questão 7 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Comentários: ( A ) Não apresentou a solução na ordem solicitada.
( B ) Fez que o determinante de uma matriz 2x2 na for-
ma Aa b
c d=
equivale a detA = ad + bc e não
apresentou a solução na ordem solicitada.
( C ) Concluiu que o sistema linear equivale a
x y
x y
+ =+ =
60
0 5 3 1 125, ,.
( D ) Fez que o determinante de uma matriz 2x2 na for-
ma Aa b
c d=
equivale a detA = ad + bc.
( E ) O sistema linear que representa a situação descrita
é dado por x y
x y x y
x y
x y
x+ =+ = ⋅ +( )
⇒
+ =+ = ⋅( )⇒
+60
0 5 3 1 125
60
0 5 3 1 125 60, , , ,
yy
x y
=+ =
60
0 5 3 67 5, ,
x y
x y x y
x y
x y
x+ =+ = ⋅ +( )
⇒
+ =+ = ⋅( )⇒
+60
0 5 3 1 125
60
0 5 3 1 125 60, , , ,
yy
x y
=+ =
60
0 5 3 67 5, ,
Logo, as matrizes D, Dx e Dy equivalem respectiva-
mente a 1 1
0 5 3,
,
60 1
67 5 3,
,
1 60
0 5 67 5, ,
cujos
determinantes correspondem a 3 – 0,5 = 2,5; 180 – 67,5 = 112,5 e 67,5 – 30 = 37,5.
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 16
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 8 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: ( A ) Não obteve o sistema linear para determinar o va-
lor das incógnitas x e y e atentou apenas para a in-formação de que foram misturados x litros de leite desnatado e y litros de leite integral, concluindo que foram utilizados 30 litros de cada tipo.
( B ) Obteve corretamente as soluções do problema, mas não interpretou novamente as informações do texto referentes ao teor de gordura do leite desna-tado e do leite integral.
( C ) O sistema linear que representa a situação descrita
é dado por x y
x y x y
x y
x y
x+ =+ = ⋅ +( )
⇒
+ =+ = ⋅( )⇒
+60
0 5 3 1 125
60
0 5 3 1 125 60, , , ,
yy
x y
=+ =
60
0 5 3 67 5, ,
x y
x y x y
x y
x y
x+ =+ = ⋅ +( )
⇒
+ =+ = ⋅( )⇒
+60
0 5 3 1 125
60
0 5 3 1 125 60, , , ,
yy
x y
=+ =
60
0 5 3 67 5, ,
As matrizes D, Dx e Dy equivalem, respectivamente,
a 1 1
0 5 3,
,
60 1
67 5 3,
,
1 60
0 5 67 5, ,
cujos deter-
minantes correspondem a 3 – 0,5 = 2,5; 180 – 67,5 = 112,5 e 67,5 – 30 = 37,5.
Logo, as soluções do sistema equivalem a
xD
Dx= = =
112 5
2 545
,
, e y
D
Dy= = =
37 5
2 515
,
,, ou seja,
foram misturados 45 litros de leite desnatado com 0,5% de teor de gordura e 15 litros de leite integral com 3% de teor de gordura.
( D ) Inverteu as incógnitas x e y, concluindo que x = 15 e y = 45.
( E ) Inverteu as incógnitas x e y, concluindo que x = 15 e y = 45 e não interpretou novamente as informações do texto referentes ao teor de gordura do leite des-natado e do leite integral.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 9 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Não apresentou a solução na ordem solicitada.
( B ) Não utilizou o conceito de sistema de equações lineares, atentando para o fato de que se o consu-midor comprou chuchu e morango, num total de 8 quilos, então ele comprou 4 quilos de chuchu e 4 quilos de morango.
( C ) Não utilizou o conceito de sistema de equações lineares, atentando para o fato de que se o consu-midor comprou chuchu e morango, num total de 8 quilos, então ele comprou 7 quilos de chuchu e 1 quilo de morango.
( D ) De acordo com as informações apresentadas, tem-se que x e y são as soluções do seguinte sistema
de equações lineares x y
x y
+ =+ =
8
5 90 6 47 70, , cujas
soluções são x = 3 e y = 5.
( E ) Não utilizou o conceito de sistema de equações lineares, atentando para o fato de que se o consu-midor comprou chuchu e morango, num total de 8 quilos, então ele comprou 7 quilos de chuchu e 1 quilo de morango. Além disso, a questão não apre-sentou a solução na ordem solicitada.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 10 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Simulado ENEM – 2016
7Matemática e suas Tecnologias
Comentários:
( A ) Obteve a matriz 8 1
47 70 6,
e concluiu que o de-
terminante equivale a 48 + 47,70 = 95,70.
( B ) Obteve a matriz 1 1
5 90 6,
e concluiu que o de-
terminante equivale a 6 + 5,90 = 11,90.
( C ) Concluiu que a matriz dos coeficientes é igual a
1 8
5 90 47 70, ,
, cujo determinante equivale a
47,70 – 47,20 = 0,5.
( D ) Concluiu que a matriz dos coeficientes é igual a
8 1
47 70 6,
, cujo determinante equivale a
48 – 47,70 = 0,3.
( E ) De acordo com as informações apresentadas, tem-se que x e y são as soluções do seguinte sistema de
equações lineares x y
x y
+ =+ =
8
5 90 6 47 70, ,
cuja matriz composta pelos coeficientes das incóg-
nitas equivale a 1 1
5 90 6,
e o determinante é
igual a 6 – 5,90 = 0,1.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 11 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa B
Comentários: ( A ) Interpretou que a matriz composta pelos coeficien-
tes das incógnitas equivale a 8 1
47 70 6,
concluin-
do que sua inversa é igual a
1
48 47 70
6 1
47 70 8
10
3
6 1
47 70 8
2010
−
⋅−
−
=
−−
=
−
, , ,33
15980
3−
.
1
48 47 70
6 1
47 70 8
10
3
6 1
47 70 8
2010
−
⋅−
−
=
−−
=
−
, , ,33
15980
3−
.
( B ) De acordo com as informações apresentadas, tem-se que x e y são as soluções do seguinte sistema de
equações lineares x y
x y
+ =+ =
8
5 90 6 47 70, ,cuja matriz composta pelos coeficientes das incóg-
nitas equivale a 1 1
5 90 6,
.
A inversa de uma matriz 2x2 na forma a b
c d
é dada
por 1
ad bc
d b
c a−−
−
. Logo, a matriz inversa pro-
curada equivale a 1
0 1
6 1
5 90 1
60 10
59 10, ,⋅
−−
=
−−
.
( C ) Interpretou que a matriz composta pelos coeficien-
tes das incógnitas equivale a 1 8
5 90 47 70, ,
, con-
cluindo que sua inversa é igual a
1
47 70 47 20
47 70 8
5 90 1
10
5
47 70 8
5 90 1, ,
,
,
,
,−
⋅
−−
=
−−
=
−−
95 4 16
11 8 2
,
,
1
47 70 47 20
47 70 8
5 90 1
10
5
47 70 8
5 90 1, ,
,
,
,
,−
⋅
−−
=
−−
=
−−
95 4 16
11 8 2
,
,.
( D ) Interpretou que a matriz inversa da matriz
1 1
5 90 6,
equivale a
1
0 1
1 5 90
1 6
10 59
10 60,
,⋅−
−
=
−−
( E ) Interpretou que a matriz inversa da matriz
1 1
5 90 6,
equivale a
−−
1 5 90
1 6
,.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 18
Questão 12 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa B
Comentários: ( A ) Utilizou os valores na situação 3 (gasolina: R$ 3,00
o litro; Álcool: 2,26 o litro) e obteve 21 ∙ 3 + 25 ∙ 2,26 = 119,50.
( B ) De acordo com a situação apresentada, tem-se que x e y são as soluções do seguinte sistema de equa-
ções lineares x y
x y
+ =+ =
46
2 82 2 26 115 72, , ,. Da primeira
equação, tem-se que x = 46 – y. Substituindo esse resultado na segunda equação, tem-se que 2,82 ∙ (46 – y) + 2,26y = 115,72
129,72 – 2,82y + 2,26 y = 115,72 14 = 0,56y y = 25 e x = 46 – 25 = 21.
Para os valores apresentados na situação 2, tem-se que 21 ∙ 3 + 25 ∙ 2,36 = 122.
( C ) Inverteu os valores de x e y, calculando 21 ∙ 2,36 + 25 ∙ 3 = 124,56
( D ) Utilizou os valores na situação 4 (gasolina: R$ 2,90 o litro; Álcool: 2,26 o litro) e obteve 21 ∙ 2,90 + 25 ∙ 2,26 = 117,40.
( E ) Utilizou os valores na situação 3 (gasolina: R$ 3,00 o litro; Álcool: 2,26 o litro) e inverteu os valores de x e y, obtendo 21 ∙ 2,26 + 25 ∙ 3 = 122,46.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 13 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa B
Comentários: ( A ) Obteve apenas a matriz A.
( B ) Para o primeiro consumidor, tem-se que o sistema de equações lineares é dado por
x y
x y
+ =+ =
46
2 82 2 26 115 72, , , cuja matriz composta pe-
los coeficientes das incógnitas equivale a
A =
1 1
2 82 2 26, ,. Para o segundo consumidor,
tem-se que o sistema de equações lineares é dado
por x y
x y
+ =+ =
46
3 2 36 122, cuja matriz composta pe-
los coeficientes das incógnitas equivale a
B =
1 1
3 2 36,.
Expressão A2 – 2AB + B2 equivale a
A AB B A B2 2 22
20 0
91 1
2 82 2 26
1 1
3 2 36− + = −( ) =
=
−
, , ,
5500
1
100
A AB B A B2 2 22
20 0
91 1
2 82 2 26
1 1
3 2 36− + = −( ) =
=
−
, , ,
5500
1
100
( C ) Obteve a matriz A – B e multiplicou o resultado ob-tido por 2.
( D ) Obteve a matriz A – B, que equivale a
0 0
9
50
1
10
−
.
( E ) Obteve apenas a matriz B.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 14 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Não realizou a multiplicação de matrizes e olhou
apenas para a tabela, concluindo que os jogado-res já estavam em ordem de acordo com a melhor pontuação.
Simulado ENEM – 2016
9Matemática e suas Tecnologias
( B ) Identificou os dois treinadores menos pontuados.
( C ) Atentou apenas para a quantidade de gols marcados.
( D ) De acordo com o enunciado, tem-se que a pontua-ção dos treinadores é dada por
5 3 4
8 3 1
8 2 2
7 0 5
6 5 1
9 2 1
3
1
0
18
27
2
⋅
=
66
21
23
29
. Logo, os dois treinadores
melhores pontuados são A. Sabella e J. Pérkeman.
( E ) Interpretou a tabela de modo equivocado e con-cluiu que os treinadores estão em ordem crescente de acordo com a pontuação.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 15 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Obteve o seguinte sistema de equações lineares
x y
x y
+ =− =
103
23 cuja solução é dada pelo par ordena-
do x = 63 e y = 40.
( B ) Não apresentou a solução na ordem solicitada.
( C ) Não utilizou a ideia de sistemas de equações lineares para resolver o problema, concluindo que x é dado
por 103
214 9 5= ≅, e que y é igual a 23 – 20 = 3.
( D ) As informações apresentadas conduzem ao se-guinte sistema de equações lineares
21 20 103
21 20 23
x y
x y
+ =− =
cuja solução é o par ordenado
(3, 2).
( E ) Obteve o seguinte sistema de equações lineares
x y
x y
+ =− =
103
23 cuja solução é dada pelo par ordena-
do x = 63 e y = 40 e não apresentou a solução na ordem solicitada.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 16 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários: ( A ) A situação conduz ao seguinte sistema de equa-
ções lineares x y
x y
+ =+ =
1 200
62 31 63 240 cuja matriz
composta pelos coeficientes das incógnitas equiva-
le a A =
1 1
62 31 e seu determinante resulta
31 – 62 = –31. Pelas propriedades de determinantes, tem-se que
det( ) det detA A A2 31 31 961= ⋅ = −( )⋅ −( ) = .
( B ) Obteve a matriz A =
1 1
62 31 e calculou o seu de-
terminante fazendo 31 + 62 = 93.
( C ) Obteve o determinante da matriz A =
1 1
62 31
fazendo 62 – 31 = 31.
( D ) Obteve o determinante da matriz A =
1 1
62 31.
( E ) Obteve o determinante da matriz A =
1 1
62 31 e,
ao elevar o resultado ao quadrado, não atentou que potência de base negativa e expoente par resulta um valor positivo, obtendo (–31)² = –961.
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 110
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 17 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa B
Comentários: ( A ) Não atentou para a informação de que x representa
o total de adultos.
( B ) A situação conduz ao seguinte sistema de equa-
ções lineares x y
x y
+ =+ =
1 200
62 31 63 240 cuja solução é
x = 840 e y = 360.
( C ) Não atentou para o fato de que y representa o total de crianças de 06 a 12 anos.
( D ) Inverteu os valores de x e y.
( E ) Utilizou que o valor do ingresso para adultos equi-vale a R$ 31,00.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 18 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários: ( A ) De acordo com as informações apresentadas, tem-
se que o sistema de equações lineares equivale a
x y
x y
x y
x y
+ =
=
⇒
+ =
− =
54
1
3
2
3
54
1
3
2
30
. Assim, a matriz Dx
equivale a
54 1
02
3−
cujo determinante equivale
a -36. Portanto, detdet
DDx
x
( )( ) = ( ) = −−1 1 1
36.
( B ) Obteve apenas o determinante da matriz
54 1
02
3−
, fazendo 0
108
336− −
= .
( C ) Obteve o determinante da matriz
54 1
02
3−
, fa-
zendo 0108
336− −
= , concluindo que o deter-
minante da matriz inversa de Dx equivale a
1
36.
( D ) Obteve apenas o determinante da matriz
54 1
02
3−
.
( E ) Calculou o determinante da matriz
1 1
1
3
2
3−
, que resulta –1.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 19 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Obteve apenas o determinante da matriz D.
( B ) Obteve apenas o determinante da matriz Dx.
( C ) Obteve apenas o determinante da matriz Dy.
( D ) Obteve o determinante da matriz D fazendo 1
3
2
3
1
3− = − , da matriz D
x fazendo 0 – (–36) = 36 e
da matriz Dy fazendo 0 – (–18) = 18. Logo, concluiu
que det D D Dx y⋅ ⋅( ) equivale a –216.
( E ) De acordo com as informações apresentadas, tem-se que o sistema de equações lineares equivale a
x y
x y
x y
x y
+ =
=
⇒
+ =
− =
54
1
3
2
3
54
1
3
2
30
. Logo, D =−
1 1
1
3
2
3
;
Simulado ENEM – 2016
11Matemática e suas Tecnologias
Dx = −
54 1
02
3; Dy =
1 54
1
30 cujos determinan-
tes equivalem, respectivamente, a –1; –36 e –18. Logo,
det det det det .D D D D D Dx y x y⋅ ⋅( ) = ( )⋅ ( ) ⋅ ( ) = −( )⋅ −( )⋅ −( ) = −1 36 18 648
det det det det .D D D D D Dx y x y⋅ ⋅( ) = ( )⋅ ( ) ⋅ ( ) = −( )⋅ −( )⋅ −( ) = −1 36 18 648
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 20 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Comentários: ( A ) Ao solucionar o sistema pelo método da substitui-
ção, fez que x = –1 –y e ao substituir esse resulta-do na segunda equação, obteve x = 5 e y = –6, não apresentando a solução na ordem correta.
( B ) Inverteu a ordem da solução.
( C ) Ao solucionar o sistema pelo método da substitui-ção, fez que x = –1 –y e ao substituir esse resultado na segunda equação, obteve x = 5 e y = –6.
( D ) Ao solucionar o sistema pelo método da substitui-ção, fez que x = –1 –y e ao substituir esse resultado na segunda equação, obteve y = –6 e x = –1 – 6 = –7.
( E ) O ponto de intersecção das retas é dado pelo par ordenado que é solução do sistema
x y
x yx y
− = −+ =
⇒ = =
1
3 92 3; .
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão 21 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: Alternativa E( A ) Interpretou que o coeficiente angular da reta r é
igual a 1 e o coeficiente linear é igual a 3.
( B ) Interpretou que retas paralelas possuem coeficien-tes angulares opostos.
( C ) Como as retas r e s são paralelas, tem-se que o coeficiente angular da reta r é igual a –1. Logo, a equação da reta r é igual a y x y x y x− = − ⋅ − ⇒ − = − + ⇒ = − +3 1 1 3 1 4( ) .
( D ) Interpretou que a equação da reta que passa por (1, 3) e tem coeficiente angular igual a –1 equivale a y = –x + 3.
( E ) Interpretou que o coeficiente angular da reta r é igual a 1 e o coeficiente linear também é igual a 1.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébri-cos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão 22 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários: ( A ) O valor de x satisfaz a seguinte equação:
x xx
228
495 180 76+ ° + + ° = ° ⇒ = °.
( B ) Utilizou apenas a equação x
228+ ° e concluiu que
x deve ser um número par menor do que 124º para
que x
228+ ° seja menor do que 90º.
( C ) Fez que o valor de x satisfaz a equação x x x x x
x2
284
95 28 954 2
1233
4164+ ° = + ° ⇒ + = − ⇒ = ⇒ = °. e ao resolvê-la, obteve
x x x x xx
228
495 28 95
4 2123
3
4164+ ° = + ° ⇒ + = − ⇒ = ⇒ = °.
x x x x xx
228
495 28 95
4 2123
3
4164+ ° = + ° ⇒ + = − ⇒ = ⇒ = °.
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 112
( D ) Ao resolver a equação x x
228
495 180+ ° + + ° = ° ,
obteve x x x
x2
284
95 1802
657 171+ ° + + ° = ° ⇒ = ⇒ = °
x x xx
228
495 180
2
657 171+ ° + + ° = ° ⇒ = ⇒ = ° .
( E ) Fez que o valor de x satisfaz a seguinte equação: x x
x2
284
95 268+ ° = + ° ⇒ = °.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 23 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: ( A ) Interpretou que retas coincidentes possuem ape-
nas um ponto em comum, como é o caso das retas apresentadas no mapa da figura.
( B ) Interpretou que retas reversas pertencem ao mes-mo plano, como é o caso das retas representadas pelas ruas Bernardo de Vasconcelos, Rua dos Limi-tes e Maria Carvalho.
( C ) Retas concorrentes possuem um ponto em co-mum. E esse é o caso das retas representadas pelas ruas Bernardo de Vasconcelos, Rua dos Limites e Maria Carvalho.
( D ) Analisou apenas as retas representadas pelas ruas Bernardo de Vasconcelos e Maria Carvalho, con-cluindo que elas são perpendiculares.
( E ) Confundiu a definição de retas paralelas com a defi-nição de retas concorrentes.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de figu-ras planas ou espaciais.
Questão 24 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Dividiu 1 por 3,2.
( B ) Interpretou que a área de cada triângulo isóscele é dada por b ∙ h.
( C ) Interpretou que o octógono pode ser dividido em 8 triângulos equiláteros e que a altura de cada um desses triângulos coincide com o apótema do octó-gono e a base do triângulo, com o lado do octógo-
no. Assim, hl l
l= → = → = =3
20 4
3
2
0 8
3
8 3
30,
,.
( D ) O octógono pode ser dividido em 8 triângulos isós-
celes de área igual a b h⋅
2 cada, em que b represen-
ta a medida do lado da moeda e h, a medida do apótema. A área de cada um destes triângulos é
dada por 3 2
80 4
,,= cm². Assim, o lado procurado
corresponde, em centímetros, a
0 42
0 8, ,=⋅⇒ =
b hb .
( E ) Interpretou que o octógono pode ser dividido em 8 triângulos equiláteros e que a altura de cada um des-ses triângulos coincide com o apótema do octógono e a base do triângulo, com o lado do octógono. As-
sim, hl l
l= → = → = =3
21
3
2
2
3
2 3
3.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 25 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa B
Simulado ENEM – 2016
13Matemática e suas Tecnologias
Comentários: ( A ) Não atentou que o polígono regular possui 8 lados,
utilizando n = 6 e não apresentou a solução na or-dem solicitada.
( B ) A medida de cada ângulo interno é dada por
aS
n
n
nii= = − ⋅ = ⋅ = °( )2 180 6 180
8135 .
A medida de cada ângulo externo é dada por
ae = = °360
845 .
( C ) Não atentou que o polígono regular possui 8 lados, utilizando n = 6.
( D ) Calculou o número de diagonais do octógono e subtraiu o resultado de 180º.
( E ) Não apresentou a solução na ordem solicitada.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 26 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários: ( A ) A medida de cada ângulo interno é dada por
aS
n
n
nii= = − ⋅ = ⋅ = °( )
.2 180 8 180
10144
( B ) Interpretou que o polígono possui 8 lados.
( C ) Interpretou que a medida de cada ângulo interno é
dada por aS
nii=
2.
( D ) Obteve a medida de cada ângulo externo.
( E ) Obteve o número de diagonais do polígono que possui 10 lados.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 27 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: ( A ) Obteve o produto entre 6,5; 6,5 e 5.
( B ) Fez que a área de cada triângulo equivale a 6 5 5
216 25
,,
⋅= . Concluindo que a tenda cobre uma
área equivalente a 162 m².
( C ) Pela fórmula de Herão, tem-se que a área de cada triângulo é dada por
A m= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( ) = =9 9 6 5 9 6 5 9 5 225 15 2, , . Como a tenda é formada por 10 triângulos, conclui-se que a tenda cobre uma área de 10 ∙ 15 = 150 m².
( D ) Obteve apenas a área de cada triângulo fazendo 6 5 5
216 25
,,
⋅= .
( E ) Obteve apenas a área de cada triân-gulo isósceles pela fórmula de Herão
A m= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( ) = =9 9 6 5 9 6 5 9 5 225 15 2, ,
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 28 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: ( A ) Não realizou a conversão para metros quadrados.
( B ) Ao converter cm² para m², dividiu por 100.
( C ) O problema consiste em obter a área lateral e a área da base inferior de um prisma dodecagonal. Como a base é constituída por 24 triângulos retângulos cujos catetos medem 18 e 5,5 centímetros, tem-se que
a área da base equivale a 2418 5 5
21 188 2⋅ ⋅ =,
cm .
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 114
A área lateral é formada por 12 retângulos de di-mensões 11 6. Logo, a área lateral equivale a 792 cm². Assim, a quantidade de madeira, em me-tros quadrados, utilizada em uma caixa equivale a 1 188 + 792 = 1 980 cm². Para 1000 caixas, serão uti-lizados 1 980 000 cm² = 198 m².
( D ) Fez apenas 18 11
2
⋅ = 99 cm².
( E ) Calculou a área de cada triângulo fazendo 18 11
2
⋅,
concluindo que a área da base equivale a 1 980 cm² e realizando a conversão para m² de modo equivo-cado.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 29 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Não realizou a conversão de cm³ para litros.
( B ) Obteve apenas a área da base.
( C ) Não realizou a conversão corretamente.
( D ) O problema consiste em obter o volume de um prisma dodecagonal. Como a base é constituída por 24 triângulos retângulos cujos catetos medem 18 e 5,5 centímetros, tem-se que a área da base
equivale a 2418 5 5
21 188 2⋅ ⋅ =,
cm . Logo, o volume
corresponde a 1 188 ∙ 6 = 7 128 cm³ =
7 128 ml = 7,128 litros.
( E ) Obteve apenas a área da base e realizou uma con-versão equivocada.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 30 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Obteve a área da base do cilindro utilizando 17
como sendo o raio.
( B ) Obteve a área da base do cilindro.
( C ) Interpretou que a área lateral é dada por
πrh cm= ⋅ ⋅ =3 14 20 34 2, 2 135,2 .
( D ) O item consiste em obter a área lateral de um cilin-dro, que de acordo com as situações apresentadas,
equivale a 2 2 3 14 20 34 2πrh cm= ⋅ ⋅ ⋅ =, 4 270,4 .
( E ) Obteve a área da base utilizando 34 como sendo o raio.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 31 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários:
( A ) O volume é dado por π⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =r h2 23 14 2 5 18, ( , ) 353,25
π⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =r h2 23 14 2 5 18, ( , ) 353,25.
( B ) Obteve a área total, que equivale a 2 2 3 14 2 5 18 2 5 321πr h r( ) , , ( , )+ = ⋅ ⋅ ⋅ + = .
( C ) Obteve a área lateral do cilindro, que equivale a 2 2 3 14 2 5 18 282πrh = ⋅ ⋅ ⋅ =, , .
( D ) Obteve a área da base utilizando que o raio equiva-le a 5 cm.
( E ) Obteve apenas a área da base.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Simulado ENEM – 2016
15Matemática e suas Tecnologias
Questão 32 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: ( A ) Interpretou que a área do triângulo equilátero é
dada por Al
=3
4.
( B ) Interpretou que a área do triângulo equilátero é
dada por Al
l l= ⇒⋅= ⇒ =
3
2
15 3 2
1 718
,
,cm.
( C ) O volume do cilindro equivale a
π⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =r h2 23 14 2 5 18, ( , ) 353,25 cm³. O prisma deve ter 77,85 cm³ a menos que o volume do cilin-dro, ou seja, 353,25 – 77,85 = 275,4. Logo, a área da
base do prisma equivale a 275 4
1815 3
,,= . Assim,
Al l
l l l= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =2 2
2 23
415 3
3
4
61 2
1 736 6,
,
,
Al l
l l l= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =2 2
2 23
415 3
3
4
61 2
1 736 6,
,
,cm.
( D ) Obteve o produto entre 1,7 e 3,14.
( E ) Obteve o volume do cilindro e dividiu o resultado por 77,85.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de figu-ras planas ou espaciais.
Questão 33 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Comentários: ( A ) Obteve a área total de um prisma em centímetros
quadrados.
( B ) Obteve apenas a área lateral.
( C ) Não realizou a conversão de cm² para m² correta-mente.
( D ) Obteve apenas a área das bases inferior e superior.
( E ) A área total do prisma é dada por
23
43 3 12 2
9 1 7
4108 7 65 108 115 65
22⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = + =l
cm,
, ,
23
43 3 12 2
9 1 7
4108 7 65 108 115 65
22⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = + =l
cm,
, , . Para 500 prismas, tem-se que serão
necessários 57 825 cm² = 5,78 m².
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 34 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Obteve o perímetro da base, concluindo que o volu-
me equivale a 32 6 192⋅ = .
( B ) Fez que 32 2 6 2 192 2⋅ = .
( C ) Concluiu que a área da base equivale a 12 8
248
⋅=
e que o volume é igual a 48 6 2 288 2⋅ = .
( D ) A área da base do prisma é dada por
16 16 12 16 12 16 8 32 2⋅ − ⋅ − ⋅ − =( ) ( ) ( ) cm². Logo,
o volume equivale a 32 2 6 2 384⋅ = cm³.
( E ) Fez que 32 2 6 2 32 2 6 2 768⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = .
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 35 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 116
Comentários: ( A ) Não multiplicou a área da base por 2, fazendo que
Aa
aL
A al
aL
total
lateral
= ⋅
+
=
⇒ =
63
46
6
675
100
2
⋅ +
⇒ =( )
+( )
→ ≠( )
⇒ = +
3 3 6
63 6 3
16
3 6
40
96 18 3 72
2
2
a aL
aLa aL
a
L a L⇒⇒ = ⇒ = =24 18 318 3
24
3 3
4L a
L
a
Aa
aL
A al
aL
total
lateral
= ⋅
+
=
⇒ =
63
46
6
675
100
2
⋅ +
⇒ =( )
+( )
→ ≠( )
⇒ = +
3 3 6
63 6 3
16
3 6
40
96 18 3 72
2
2
a aL
aLa aL
a
L a L⇒⇒ = ⇒ = =24 18 318 3
24
3 3
4L a
L
a
( B ) Interpretou que como a área lateral corresponde a 75% da área total, então a aresta da base a equivale a
75% da aresta lateral L, ou seja, a LL
a= ⇒ =
75
100
4
3.
( C ) Interpretou que como a área lateral corresponde a 75% da área total, então a aresta lateral L, tam-bém equivale a 75% da aresta da base a, ou seja,
L aL
a= ⇒ =
75
100
3
4 .
( D ) Obteve a razão entre a e L.
( E ) De acordo com as informações apresentadas, tem-se que
Aa
aL a aL
A al
total
lateral
= ⋅ ⋅
+ = +
=
⇒
2 63
46 3 3 6
6
6
22
aaL a aL
aLa aL
a
=
⋅ +
⇒ =( )
+( )
→ ≠( )
⇒
75
1003 3 6
63 3 3
4
3 6
40
24
2
2
LL a L L L a L
aL
a
= + ⇒ − = ⇒ =
= ⇒ = =
9 3 18 24 18 9 3 6
9 39 3
6
3 3
2
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 36 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Comentários: ( A ) Ao obter o volume, utilizou a área total no lugar da
área da base e não apresentou a solução na ordem solicitada.
( B ) Obteve apenas a área da base no lugar da área total.
( C ) Ao obter o volume, utilizou a área total no lugar da área da base.
( D ) Não apresentou a solução na ordem solicitada.
( E ) A área da base corresponde a área de 10 triângulos retângulos como na figura a seguir.
O apótema (altura do triângulo retângulo) é dado
por tga
a363
4 1° = → = , . Assim, a área da base é
igual a 103 4 1
261 5⋅
⋅
=
,, cm².
Portanto, a área total equivale a 61,5 + 5 ∙ 6 ∙ 2,5 = 136,5 cm².
O volume equivale a 61,5 ∙ 2,5 = 153,75.
Simulado ENEM – 2016
17Matemática e suas Tecnologias
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 37 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa B
Comentários: ( A ) Analisou a imagem e contou apenas os vértices vi-
síveis.
( B ) O icosaedro regular possui 20 faces triangulares,
ou seja, o número de arestas é igual a 20 3
230
⋅= .
Pela relação de Euler, tem-se que V F A V+ = + → = − =2 32 20 12 .
( C ) Obteve apenas o número de arestas.
( D ) Contou o número de arestas visíveis e multiplicou por 2.
( E ) Interpretou que o número de arestas equi-vale a 60 e pela relação de Euler, obteve V F A V+ = + → = + − =2 60 2 20 42 .
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de figu-ras planas ou espaciais.
Questão 38 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: ( A ) Obteve o raio igual a 50 metros e multiplicando o
resultado por 2, concluiu que o diâmetro é igual a 100 metros.
( B ) Fez que 100 502= ⇒ =r r m .
( C ) A capacidade do reservatório cilíndri-co equivale a 5 500 000 litros que corres-ponde a um volume de 5 500 m³. Logo,
V r h r r r r m= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =π 2 2 2 25 500 3 14 17 52 5 500 55 100 10, ,V r h r r r r m= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =π 2 2 2 25 500 3 14 17 52 5 500 55 100 10, , , ou seja, o diâmetro é
igual a 20 metros.
( D ) Obteve apenas a medida do raio.
( E ) Dividiu 17,52 por 3,14.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 39 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Não apresentou a solução na ordem solicitada.
( B ) Concluiu que o número de arestas é igual a 60 e que o número de vértices equivale a V = 62 – 12 = 50 e não apresentou a solução na ordem solicitada.
( C ) Interpretou que o número de arestas é igual a 60 e que o número de vértices equivale a V = 62 – 12 = 50, concluindo que é preciso dividir esses resultados por 2, uma vez que cada aresta foi contada duas vezes.
( D ) O dodecaedro regular possui 12 faces pentagonais,
ou seja, o número de arestas é igual a 12 5
230
⋅= .
Pela relação de Euler, tem-se que V F A V+ = + → = − =2 32 12 20 .
( E ) Concluiu que o número de arestas é igual a 60 e que o número de vértices equivale a V = 62 – 12 = 50.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de figu-ras planas ou espaciais.
Questão 40 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 118
Comentários: ( A ) Obteve a soma dos ângulos em torno de cada
vértice e multiplicou o resultado pelo número de vértices, não apresentando o resultado na ordem solicitada.
Pela relação de Euler, o octaedro possui 6 vértices. Logo, obteve 1 440º.
Pela relação de Euler, o icosaedro possui 12 vértices. Logo, obteve 3 600º.
( B ) Multiplicou o ângulo interno de cada face regular pelo número de vértices.
( C ) Não apresentou a solução na ordem solicitada.
( D ) Obteve a soma dos ângulos em torno de cada vér-tice e multiplicou o resultado pelo número de vér-tices.
O octaedro possui 6 vértices. Logo, obteve 1 440º.
O icosaedro possui 12 vértices. Logo, obteve 3 600º.
( E ) O octaedro possui 8 faces triangulares e, de acordo com a imagem, em cada vértice concorrem quatro arestas. Assim, a soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice do octaedro equivale a 4 ∙ 60º = 240º. O icosaedro possui 20 faces triangu-lares e de acordo com a imagem, em cada vértice concorrem 5 arestas. Logo, a soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice do icosaedro é igual a 5 ∙ 60º = 300º.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 41 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa C
Comentários: ( A ) Obteve apenas a área de uma base do prisma.
( B ) Obteve a área lateral do prisma, utilizando que a al-tura também mede 6 centímetros e utilizando que o prisma possui bases hexagonais.
( C ) As bases inferior e superior representam octógonos regulares que podem ser decompostos em 8 triân-
gulos de área igual a 6 6
218
⋅= cm². Logo, a área
das bases inferior e superior do prisma, em centí-
metros quadrados, equivale a 2 8 18 288 2⋅ ⋅ = cm .
( D ) Obteve a área das bases inferior e superior fazendo 2 ∙ 6 ∙ 6 = 72.
( E ) Obteve apenas a área de uma base, fazendo 6 ∙ 6 = 36.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 42 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa B
Comentários: ( A ) Fez que a área de cada triângulo isóscele que com-
põe a base é dada por 6 ∙ 6 = 36 cm², concluindo que o volume equivale a 5 184 cm³.
( B ) As bases inferior e superior representam octógo-nos regulares que podem ser decompostos em
8 triângulos de área igual a 6 6
218
⋅= cm². Logo,
a área da base é dada por 8 18 144⋅ = cm² e o volume equivale a 144 ∙18 = 2 592 cm³.
( C ) Multiplicou a área da base por 3 para obter o volu-me.
( D ) Obteve apenas a área da base.
( E ) Obteve apenas a área de um triângulo isósceles que compõe a base.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Simulado ENEM – 2016
19Matemática e suas Tecnologias
Questão 43 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa E
Comentários:
( A ) Fez que 158 98 3 14 0 6158 982, , ( , )
,= ⋅ ⋅ ⇒ =h1,1304
= ⇒ = =h h dm m140 14 .
( B ) Obteve a altura em decímetros.
( C ) Inverteu a medida do raio com a medida da altura,
fazendo 158 98 3 14 0 6 842 2, , ,= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ =r r r
= =42 4 2dm m, .
( D ) Obteve h = 140 dm e, para transformar em metros, dividiu o resultado por 100.
( E ) Como 1L = 1dm³, tem-se que o barril possui um volume equivalente a 158,98 dm³. Logo,
158 98 3 14 3158 98
28 265 6
0 56
3, ,,
,,
,
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = =
=
h h h dm
m
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 44 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa A
Comentários: ( A ) Como 1L = 1dm³, tem-se que o barril possui um volu-
me equivalente a 158,98 dm³. Logo,
158 98 3 14 3158 98
28 265 6 0 563, ,
,
,, ,= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = =h h h dm m
158 98 3 14 3158 98
28 265 6 0 563, ,
,
,, ,= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = =h h h dm m . Logo, a área total de 1 barril equivale a
2 2 3 14 0 3 0 56 0 3 1 62 2πr h r m⋅ +( ) = ⋅ ⋅ ⋅ +( ) =, , , , ,.
Para confeccionar 1 000 barris, serão necessários, aproximadamente, 1 620 m² de material.
( B ) Obteve apenas a área lateral para confeccionar 1 000 barris, que equivale a
1 000 2 3 14 0 56 0 3 1 055 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =, , , m .
Obteve apenas a área da base correspondente a 1 000 barris, que equivale a
1 000 3 14 0 3 0 282 2822⋅ ⋅ = =, , , m².
( C ) Obteve apenas a área total equivalente a 1 barril.
( D ) Obteve apenas a área da base correspondente a 1 barril.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão 45 Matemática e suas Tecnologias
Disciplina << Matemática
Gabarito: Alternativa D
Comentários: ( A ) Fez com que a área central correspondesse a apro-
ximadamente 1262 8
8 2501− = −,
0,03185=96,9% .
( B ) Obteve a razão entre 9,15 e 75.
( C ) Obteve a razão entre 9,15 e 110.
( D ) A área do círculo central é dada por
3 14 9 15 262 82 2, ( , ) ,⋅ = m . A área total do cam-po equivale a 110 ∙ 75 = 8 250 m². Logo, a área central corresponde a aproximadamente 262 8
8 250
, = 0,03185 = 3,185% .
( E ) Obteve a razão entre 9,15 e 8 250.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 120
Anotações
Simulado ENEM – 2016
21Matemática e suas Tecnologias
Anotações
Simulado ENEM – 2016
2a. série – Volume 122
Anotações
CARTÃO-RESPOSTA
SIMULADO ENEM 2016 – 2.a SÉRIE – VOLUME 1
Matemática e suas Tecnologias
Nome da Escola:
Aluno(a):
Série:
Turma:
Data:
Assinatura:
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E