Sinais e Sistemas · 2014. 4. 14. · Transformada de Fourier Discreta (DTFT) ... exponencial complexa, modificada pelo seu respectivo autovalor. 14/04/2014 9/29 . Sinais e Sistemas

Sinais e Sistemas Série de Fourier

Renato Dourado Maia

Universidade Estadual de Montes Claros

Engenharia de Sistemas

Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Introdução “A Série e a Integral de Fourier englobam um dos desenvolvimentos matemáticos mais produtivos e

bonitos, que funciona como instrumento para vários problemas na área da matemática, ciências e engenharia. Maxwell ficou tão admirado com a

beleza da Série de Fourier que ele a chamou de um grande poema matemático. Na Engenharia Elétrica,

ele é fundamental a áreas de comunicação, processamento de sinais, e diversas outras áreas,

incluindo antenas.”

LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. Porto Alegre. Bookman, 2007. p. 544

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Introdução A representação e a análise de sistemas LTI utili-

zando convolução é baseada em expressar sinais como uma combinação linear de impulsos deslo-cados e ponderados.

Agora, desenvolveremos a representação e análi-se de sistemas LTI expressando os sinais como u-ma combinação linear de exponenciais comple-xas.

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Introdução Veremos que se a entrada de um sistema LTI é

uma combinação linear de exponenciais comple-xas, a saída poderá ser expressa nessa mesma forma.

Veremos primeiro a análise para sinais periódi-cos, que resulta nas Séries de Fourier: somas ponderadas de exponenciais complexas harmoni-camente relacionadas.

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Introdução Em seguida, veremos a análise para sinais ape-

riódicos, que resulta nas Transformadas de Fou-rier: integrais ponderadas de exponenciais com-plexas não-harmonicamente relacionadas.

A análise não será mais feita no domínio do tempo, mas sim no domínio da frequência!

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Representações de Fourier para Sinais

Sinal Representação Sinal Contínuo Periódico Série de Fourier (FS) Sinal Discreto Periódico Série de Fourier Discreta (DTFS)

Sinal Contínuo Aperiódico Transformada de Fourier (FT) Sinal Discreto Aperiódico Transformada de Fourier Discreta (DTFT)

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Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos analisar a resposta de um sistema LTI

contínuo a uma entrada exponencial complexa:

( ) , tsx t e é um número cos mplexo

Assim:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ts s sty t h x t d h e d e h e d

Tomando ( ) ( ) sH hs e d

=( ) ( ) tsy t H s e

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Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos analisar a resposta de um sistema LTI

discreto a uma entrada exponencial complexa:

[ ] , nx n é um número comp oz z lex

Assim:

[ ] ( ) ny n H z z

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k

k k k

zy n h k x n k h k h kz z

Tomando ( ) [ ] k

k

z zH h k

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Resposta a uma Exponencial Complexa Sintetizando

( ) , ( ) ( )s st tx t e é um número complexo y t H es s

[ ] , [ ] ( )n nx n é um número complexo y nz zHz z

Contínuo:

Discreto:

As exponenciais complexas são autofunções de sistemas LTI discretos e contínuos. H(z) e H(s), para valores específicos de “z” e “s”, são os autovalores associados às autofunções:

para uma entrada exponencial complexa, a saída é a mesma exponencial complexa, modificada pelo seu respectivo autovalor.

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Resposta a uma Exponencial Complexa Consideremos agora a seguinte entrada, para um sistema LTI:

= + + 31 2

31 2( ) s t t ss ta e ax e eat

O que se pode dizer sobre a saída?

→

→

→

1

3

2 2

3

1

2

3 3

1 1

2

3

1

2

( )

( )

( )

s st t

t

t s t

s s

s

t

e H e

e H

a a s

a a s

e

a

e

H e

a s

= + +1 2 3

31 321 2( ) ( ) ( ) ( )s st t tsa sy t H e H ea s esHa

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Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos generalizar o raciocínio:

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] ( )

k kt t

k kk k

kn n

k kk k

s s

k

k

k

x t a y t a H e

x n a y n a H

e

z z

s

z

= → =

= → =

∑ ∑∑ ∑

O que há de interessante

nisso?

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Resposta a uma Exponencial Complexa De um modo geral, as variáveis s e z podem ser

um número complexo geral. Todavia, a análise de Fourier envolve restrições nessas variáveis:

Para o tempo contínuo, o interesse está em valores pu-ramente imaginários:

Para o tempo discreto, o interesse está em valores de magnitude unitária:

( ) , , ( ) ts j tsx t e j x t e

[ ] , , [ ]n j j nx n z ez x n e

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Quando um sinal contínuo é periódico?

Um sinal contínuo é periódico se existe uma constante positiva T, tal que:

( ) ( ), x t x t T t

O MENOR VALOR PARA T QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – T0.

00

00

1: ( )

2: ( )

f frequência fundamental de x t em hertz

frequência fundamental de x t em radianos por segundo

T

T

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) O sinal é periódico, com frequência fun-

damental e período fundamental . Tal como já vimos, o conjunto de harmônicas é:

0( ) j tx t e

0

002T

0( ) , 0, 1, 2,...jk t

kt e k

Como as harmônicas possuem frequências que são múltiplas da frequência fundamental, elas também são periódicas com período

T0. Então, uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas também resultará num sinal

periódico com período T0.

0

0( ) , jk t

kk

x t a e é um sinal periódico com p Teríodo

Vejamos uma animação em Java...

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Sinais Contínuos Periódicos (FS)

0

0( ) , jk t

kk

x t a e é um sinal periódico com p Teríodo

1 ( )

2

k componentes fundamentais primeira harmônica

k componentes da segunda harmônica

k N componentes da enésima harmônica

Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico: Forma Exponencial

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0

31 12

3 2 2

3 3

1

1 4( )

1 2

1 3

jk tk

k

a

a ax t a e

a a

a a

Exemplo: Script em Matlab – M_10_SerieFourierProg1.m

Desenvolvendo o somatório, reorganizando os termos, e utilizando a relação de Euler:

2 2 4 4 6 61 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( )

4 2 3j t j t j t j t j t j tx t e e e e e e

1 2( ) 1 cos2 cos 4 cos6

2 3x t t t t

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

Tempo (t)

x0(t) = 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

Tempo (t)

x1(t) = (1/2)cos(2πt)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo (t)

x2(t) = cos(4πt)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo (t)

x3(t) = (2/3)cos(6πt)

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-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50.5

1

1.5

Tempo (t)

x0(t) + x1(t)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

0

1

2

3

Tempo (t)

x0(t) + x1(t) + x2(t)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

0

2

4

Tempo (t)

x0(t) + x1(t) + x2(t) + x3(t)

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1 2( ) 1 cos2 cos 4 cos6

2 3x t t t t

Esse resultado é um exemplo de uma forma alternativa da Série de Fourier, aplicável para sinais contínuos periódicos reais.

Vamos considerar um sinal periódico contínuo real:

0 0( ) ( )jk t jk t

k kk k

x t a e x t a e

Assim: 0( ) jk t

kk

x t a e

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0( ) jk t

kk

x t a e

0( ) jk t

kk

x t a e

Trocando k por -k

0 0( ) jk t jk t

k kk k

x t a e a e

Para sinais contínuos periódicos reais: k k

a a∗−=

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Vamos derivar as formas alternativas da Série de Fourier para

sinais contínuos periódicos reais:

ω ω ω+∞ +∞

−−

=−∞ =

= = + +∑ ∑0 0 0

01

( ) [ ]jk t jk t jk t

k k kk k

x t a e a a e a e

−=*

k ka a

ω ω ω+∞ +∞

−

=−∞ =

= = + +∑ ∑0 0 0*0

1

( ) [ ]k

jk t jk t jk t

k kk k

x t a e a a e a e

SOMA DE COMPLEXOS CONJUGADOS

ω+∞

=

= + ∑ 0

01

( ) 2 { }jk t

kk

x t a Real a e

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) ω

+∞

=

= + ∑ 0

01

( ) 2 { }jk t

kk

x t a Real a e

θω+∞

+

=

= + ∑ 0( )

01

( ) 2 { }kj k t

kk

x t a Real Ae

θω+∞

=

= + +∑01

0( ) 2 cos( )

kk k

x k tAt a

Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico real: Forma Trigonométrica Compacta.

θ= k

k

j

ka eA

(Forma Polar)

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ω+∞

=

= + ∑ 0

01

( ) 2 { }jk t

kk

x t a Real a e

ω ω+∞

=

= + −∑1

00 0( ) 2 [ cos( ) sen( )]

kk k

x t a k t k tB C

Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico real: Forma Trigonométrica.

= +kk k

Ba jC(Forma Retangular)

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Formas da FS para Sinais Contínuos Periódicos Reais:

ω+∞

=−∞

= ∑ 0( ) jk t

kk

x t a e

θω+∞

=

= + +∑01

0( ) 2 cos( )

kk k

x k tAt a

ω ω+∞

=

= + −∑1

00 0( ) 2 [ cos( ) sen( )]

kk k

x t a k t k tB C

Forma Exponencial

Forma Trigonométrica Compacta

Forma Trigonométrica

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) MAS COMO CALCULAR OS COEFICIENTES DA FS?

... contas, contas, contas ... (faremos depois!)

ω−= ∫ 0

00

1( ) jk t

Tka x t e

Tdt

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) FS de um Sinal Periódico Contínuo

ω

ω

+∞

=−∞

−

=

=

∑

∫

0

0

00

( )

1( )

jk t

kk

jk t

k T

x t a e

a eT

x t dt

Equação de Síntese

Equação de Análise

{ } → k

a coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais

Quantificam a contribuição de cada harmônica.

0a Corresponde ao valor médio sobre um período e é

chamado de componente DC.

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ω=0

( ) sen( )x t t

ω ωω −= = −0 0

0

1 1( ) sen( )

2 2j t j tx t t e e

j jRelação de Euler:

−

=

= −

= ≠ ≠ −

1

1

12

12

0, 1 1k

aj

aj

a k e k

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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo: Script em Matlab – M_10_SerieFourierProg2.m

ω ω πω= + + + +0 0 0

( ) 1 sen( ) 2 cos( ) cos(2 4)x t t t t

Aplicando-se a Relação de Euler:

Como os coeficientes da FS são números complexos, eles podem também ser expressos na forma polar – módulo e fase.

−

=

= −

= +

0

1

1

1

11

21

12

a

a j

a j

−

= +

= −

= >

2

2

2(1 )

42

(1 )4

0, 2k

a j

a j

a k

14/04/2014 28/29



-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

k

|ak|

Coeficientes Apresentados na Forma Módulo e Fase

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

k

∠ a

k

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14/04/2014 30/29

http://www.falstad.com/fourier/

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