Equações de Autovalor. Observáveis

8/18/2019 Equações de Autovalor. Observáveis.

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Aula 09Solução da equação de autovalor

• Na aula passada mostramos que a equação de autovalor, A|ψi = λ|ψi, poderia

ser re-escrita com aux́ılio de uma base completa, {|uii}, com dimensão finita N

(para facilitar), desde que respeitassehui|uji = δ ij → ortonormalidade

PN i |uiihui| = 11 → completeza.

Primeiro, projetamos a equação em |uii, isto é: hui|A|ψi = λhui|ψi. Depois,

usamos o operador unidade para obter:

hui|A11|ψi=

N Xjhui|A|uji | {z } huj |ψi | {z } =λ hui|ψi | {z } ⇒

N XjAij−λδ ijcj = 0.

Aij cj ci z }| {

equação linear e homogênea

• O sistema de equações acima tem uma solução trivial. Qual? Que tal, cj = 0 ∀ j.

Qual é a condição para uma solução não trivial? ⇒ det

A − λI

= 0, onde A é

uma matriz cujo elemento é Aij . Essa é a equaç˜ ao caracterı́stica do sistema.

Esse determinante é uma equação de ordem N em λ. Consequentemente, possui

N ráızes

(reais ou complexas

iguais ou distintas⇒ Seria a equação caracterı́stica independente

da representação escolhida? No próximo slide mostraremos que sim.


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• Digamos que para resolver a equação de autovalor, A|ψi = λ|ψi, tivéssemos

escolhido outra base completa, {|tki}, com mesma dimensão finita N, mas

respeitandohtk|tì = δ k` → ortonormalidade

PN ` |tìht`| = 11 → completeza.

⇒ Seguindo os passos que

executamos para a base {|uii}, teŕıamos: nova equaç˜ ao caracterı́stica

N X`

htk|A|tì

| {z } ht`|ψi

| {z } =λ htk|ψi

| {z } ⇒

N Xj

A

(t)k` −λδ k`

c(t)`

= 0 ⇒ z }| {

detA(t) − λI

= 0

A(t)k` c

(t)`

c(t)k

z }| { equação linear e homogênea na nova base

Colocamos o super-escrito (t) para lembrar que todos os elementos estão escritos

em uma nova base. Nesse ponto ainda não sabemos se o conjunto de λ0s

continuará o mesmo. Para continuar, lembre que sabemos mudar de base.

htk|A|tì = Xijhtk|uiihui|A|ujihuj |tì → A

(t) = S †AS com S †S = I

Assim a nova equação caracteŕıstica, detA(t) − λI

= 0 poderia ser escrita por

detS †AS −λS †S

= 0 ⇒ det

S †(A−λI )S

= 0 ⇒ detS † det

A−λI

detS = 0, ou

ainda, detS †S

det[A−λI

= 0→det[A−λI

= 0 a equaç˜ ao de {|uii}.


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• Consequência importante: As raı́zes λ0s independem da escolha da representaç˜ ao.

Estas ráızes, os λ0s, são os autovalores do operador A.

• Determinação dos autovetores.

Seja λ0 um autovalor de A. Vamos achar o(s) autovetor(es) correspondente(s).

Trataremos separadamente o caso de um autovalor não-degenerado (raiz simples)

e o caso degenerado (múltiplas ráızes iguais).

◦ Caso (1). λ é uma raiz simples da equaç˜ ao caracteŕıstica. Chame-a de λ0.

Graças a imposição da equação caracterı́stica, o sistemaN

XjAij−λ0δ ijc(λ0)j = 0

é linearmente dependente

(Quantas variáveis desconhecidas? N → c

(λ0)j j = 1, N ;

Quantas equações linearmente independentes? N −1.

Colocamos um sobrescrito (λ0) nos c(λ0)j para lembrar o vetor que eles dizem

respeito é o autovetor cujo autovalor é λ0. Como temos apenas N − 1 equações

linearmente independentes, podemos solucionar esse sistema e obter N −1 dos c0j

em função do N ́ezimo coeficiente (escolha arbitrária). O N ́ezimo coeficiente será

escolhido pela condição de normalização. Vamos escolher N ́ezimo = 1 e realizar

uma troca de variáveis c0j = α0jc

01 com α

01 = 1 (N −1 incógnitas).


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produz N equações, pois i = 1, ..., N.

Com essa escolha, teremos o autoket |ψ0(c01)i =

X

j

c0j |uji que pode se reescrito

por: |ψ0(c01)i =

X

j

c01α0j |uji = c

01

X

j

α0j |uji = c01|ψ0i com |ψ0i =

X

j

α0j |uji.

◦ Note que a arbitrariedade, até então, de escolha do c01 faz todos os |ψ0(c01)i

colineares (eles diferem entre si por uma constante multiplicativa). Ao forçar

hψ(c01)|ψ0(c01)i = 1, acha-se |c

01| e esta arbitrariedade se reduz à uma fase.

◦ Para achar os α0j faça uso da equação de autovalores do slide anterior usando

os α0j , isto é:N X

j

Aij−λ0δ ij

c(λ0)j = 0 ⇒

N X

j

Aij−λ0δ ij

α0jc

(λ0)0 = 0,

que pode ser reescrita porN X

j=2

Aij−λ0δ ij

α0j=−

Ai1−λ0δ i1

α01, um sistema de

N −1 equações L.I., não-homogêneas (uma delas é ignorada, pois é combinação

linear das outras) com N −1 incógnitas (lembre que α01 = 1). Realize os passos

usuais (álgebra linear) para resolver esse sistema e encontre α0j ( j = 2, ...N ).

Esse procedimento pode ser aplicado para

todos os autovalores n˜ ao-degenerados.


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tem componente |u2i mas n˜ ao |u1i

tem componente |u1i mas n˜ ao |u2i

|ψ01i e |ψ0

2i n˜ ao colineares

componente |u1i presente e |u2i ausente

componente |u1i ausente e |u2i presente

◦ Caso (2). λ é uma raiz m ́ultipla de ordem 2 da equação caracteŕıstica.

Chame-a, novamente, de λ0. Estudaremos só o caso onde A é Hermiteano.

No caso anterior, o caso não-degenerado, foi possı́vel obter uma solução não

trivial, impondo dependência linear entre as N equações. Isso resultou em

um sistema de N −1 equações linearmente independentes. Na situação com

um autovalor λ0 bi-degenerado, é posśıvel mostrar que neste caso teŕıamos

N −2 equações linearmente independentes.

Isso permite que os c0j sejam escritos em termos de dois deles, por exemplo,

c0

1 e c0

2. Uma troca de variáveis agora seria c0

j=β 0

j c0

1 + γ 0

j c0

2, com β 0

1=γ 0

2=1e β 02=γ

0

1=0. As variáveis β 0

j e γ 0

j podem ser encontradas da seguinte forma:

Suponha

(c02 = 0 e ache β

0

j → (N −2)β 0s, pois β 01 = 1 e β

0

2 = 0

c01 = 0 e ache γ

0

j → (N −2)γ 0s, pois γ 01 = 0 e γ

02 = 1

Todos os autovetores associados com λ0 tomam a forma:

|ψ(c0

1, c0

2)i =Xj

c0

j |uji =Xj

β 0

j c0

1|uji +Xj

γ 0

j c0

2|uji que pode ser reescrito

|ψ(c01, c0

2)i=c0

1

Xj

β 0j |uji+c0

2

Xj

γ 0j |uji=c0

1|ψ0

1i+c02|ψ

0

2i

|ψ(c01, c0

2)i ⇒ constitui um espaço vetorial bi-dimensional.


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Aula 09Observáveis

ortogonais

• Os autovetores de um operador Hermiteano, correspondendo a 2 autovalores

diferentes, são ortogonais.

Suponha

A|ψi = λ|ψi

A|ϕi = µ|ϕi→ do que aprendemos até agora, podemos escrever:

hϕ|A|ψi = λhϕ|ψi = µhϕ|ψi =⇒ (λ − µ)hϕ|ψi = 0 =⇒ Se λ 6= µ, z }| {

hϕ|ψi = 0 .

• Preparativos para uma definiç˜ ao matem´ atica de uma observ´ avel.

Quando E tem dimensão finita, vimos que é sempre possı́vel formar uma base

com autovetores de um operador Hermiteano. Considere agora uma base dedimensão infinita, porém discreta.

Seja gn, o grau de degenerescência de um autovalor an ⇒ A|ψini = an|ψ

ini.

Isto implica que i = 1, ...gn e que para i 6= i0, |ψini e |ψ

i0

n i são L.I.

Já mostramos que vetores de E n (com autovalor an) são ortogonais aos de E n0

(com autovalor an0), pois an 6= an0 =⇒ hψin|ψjn0i = 0 se n 6= n0

. Como são L.I.,dentro do subespaço E n, podemos sempre escolher |ψ

ini, tais que hψ

in|ψ

jni =δ ij .

O operador Hermiteano A é uma observável se:∞Xn=1

gnXi=1

|ψinihψin| = 11.


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Aula 09Exemplo (continuação) e Observáveis que comutam

o su espaço e auto ets com autova or a

◦ Note também que P ψ|ϕi é um autoket de P ψ com autovalor 1, pois

P ψ(P ψ|ϕi) = P 2

ψ|ϕi = P ψ|ϕi

◦ E que (1 − P ψ)|ϕi é um autoket de P ψ com autovalor 0, pois

(1 − P ψ)(P ψ|ϕi) = (P ψ − P 2

ψ)|ϕi = (P ψ − P ψ)|ϕi = 0|ϕi

◦ Como ∀ |ϕi ∈ E pode ser escrito em termos de P ψ|ϕi e (1 − P ψ)|ϕi, podemos

concluir que eles formam uma base e ∴ P ψ é uma observável.

• Conjunto de observáveis que comutam.

Nosso livro texto trata esse assunto de maneira formal com aux́ılio de teoremas.

Teorema I:(

Se dois operadores A e B comutam, e se |ψi é um autovetor de A,

B|ψi também é um autovetor de A com o mesmo autovalor.

Demonstração:

Se |ψi é autovetor de A =⇒ A|ψi = a|ψi. Aplique B dos dois lados desta

equação e obtenha BA|ψi = aB |ψi. Como [A,B] = 0 ⇒ AB |ψi = aB |ψi e

conclua: B|ψi também é autoket de A com o mesmo autovalor a.Coment´ arios

(1) Se a não é degenerado, todos os autokets associados à ele são colineares,

∴ B|ψi ∝ |ψi.

(2) Se a for degenerado, B|ψi é uma combinação de autovetores de E a.


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Aula 09Observáveis que Comutam

Coment´ arios continuação :

(3) O subespaço E a é dito globalmente invariante sob a ação de B.

(4) Note que qualquer combinação de kets do subespaço E a é um autoestado de

A com auto valor a. Isso indica que uma determinada combinação poderáser autoestado de A e B simultaneamente.

(5) Podeŕıamos ter tratado esse último item como um Teorema I’:

Se dois operadores A e B comutam, qualquer subespaço de A é globalmente

invariante sob a aç˜ ao de B.

Teorema II:

Se duas observáveis A e B comutam, e se |ψ1i e |ψ2i são dois

autovetores de A com autovalores diferentes, o elemento de matriz

hψ1|B|ψ2i é zero.

Demonstração:

Se |ψ1i e |ψ2i são dois autovetores de A ⇒A|ψ1i = a1|ψ1i

A|ψ2i = a2|ψ2i

e z }| {

hψ1|ψ2i = 0

De acordo com o teorema I, B|ψ2i é autovetor de A com autovalor a2 e isso

garante que |ψ1i ⊥ |ψ2i, pois a1 6= a2. ∴ hψ1|B|ψ2i = 0.


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Aula 09Observáveis que Comutam

Demonstração (continuação):

Uma outra forma de provar o teorema seria:

Primeiro considere que hψ1|[A,B]|ψ2i = 0, uma vez que eles comutam, [A,B] = 0.

Note

hψ1|AB|ψ2i = a1hψ1|B|ψ2i

hψ1|BA|ψ2i = a2hψ1|B|ψ2i

⇒ hψ1|[A,B]|ψ2i = (a1 − a2)hψ1|B|ψ2i = 0

e como o produto precisa ser zero e um dos fatores não é (a1 6= a2), conclua que

hψ1|B|ψ2i = 0 se

A|ψ1i = a1|ψ1i

A|ψ2i = a2|ψ2i

com a1 6= a2

Conclusão importante:

Se a representaç˜ ao matricial da observ´ avel A for diagonal, a representaç˜ ao de B

nesta mesma base ser´ a no mı́nimo bloco-diagonal, onde os blocos ser˜ ao os

subespaços de autovalores degenerados de A.

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