8/18/2019 Equações de Autovalor. Observáveis.
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Aula 09Solução da equação de autovalor
• Na aula passada mostramos que a equação de autovalor, A|ψi = λ|ψi, poderia
ser re-escrita com aux́ılio de uma base completa, {|uii}, com dimensão finita N
(para facilitar), desde que respeitassehui|uji = δ ij → ortonormalidade
PN i |uiihui| = 11 → completeza.
Primeiro, projetamos a equação em |uii, isto é: hui|A|ψi = λhui|ψi. Depois,
usamos o operador unidade para obter:
hui|A11|ψi=
N Xjhui|A|uji | {z } huj |ψi | {z } =λ hui|ψi | {z } ⇒
N XjAij−λδ ijcj = 0.
Aij cj ci z }| {
equação linear e homogênea
• O sistema de equações acima tem uma solução trivial. Qual? Que tal, cj = 0 ∀ j.
Qual é a condição para uma solução não trivial? ⇒ det
A − λI
= 0, onde A é
uma matriz cujo elemento é Aij . Essa é a equaç˜ ao caracterı́stica do sistema.
Esse determinante é uma equação de ordem N em λ. Consequentemente, possui
N ráızes
(reais ou complexas
iguais ou distintas⇒ Seria a equação caracterı́stica independente
da representação escolhida? No próximo slide mostraremos que sim.
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Aula 09Solução da equação de autovalor
• Digamos que para resolver a equação de autovalor, A|ψi = λ|ψi, tivéssemos
escolhido outra base completa, {|tki}, com mesma dimensão finita N, mas
respeitandohtk|t`i = δ k` → ortonormalidade
PN ` |t`iht`| = 11 → completeza.
⇒ Seguindo os passos que
executamos para a base {|uii}, teŕıamos: nova equaç˜ ao caracterı́stica
N X`
htk|A|t`i
| {z } ht`|ψi
| {z } =λ htk|ψi
| {z } ⇒
N Xj
A
(t)k` −λδ k`
c(t)`
= 0 ⇒ z }| {
detA(t) − λI
= 0
A(t)k` c
(t)`
c(t)k
z }| { equação linear e homogênea na nova base
Colocamos o super-escrito (t) para lembrar que todos os elementos estão escritos
em uma nova base. Nesse ponto ainda não sabemos se o conjunto de λ0s
continuará o mesmo. Para continuar, lembre que sabemos mudar de base.
htk|A|t`i = Xijhtk|uiihui|A|ujihuj |t`i → A
(t) = S †AS com S †S = I
Assim a nova equação caracteŕıstica, detA(t) − λI
= 0 poderia ser escrita por
detS †AS −λS †S
= 0 ⇒ det
S †(A−λI )S
= 0 ⇒ detS † det
A−λI
detS = 0, ou
ainda, detS †S
det[A−λI
= 0→det[A−λI
= 0 a equaç˜ ao de {|uii}.
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Aula 09Solução da equação de autovalor
• Consequência importante: As raı́zes λ0s independem da escolha da representaç˜ ao.
Estas ráızes, os λ0s, são os autovalores do operador A.
• Determinação dos autovetores.
Seja λ0 um autovalor de A. Vamos achar o(s) autovetor(es) correspondente(s).
Trataremos separadamente o caso de um autovalor não-degenerado (raiz simples)
e o caso degenerado (múltiplas ráızes iguais).
◦ Caso (1). λ é uma raiz simples da equaç˜ ao caracteŕıstica. Chame-a de λ0.
Graças a imposição da equação caracterı́stica, o sistemaN
XjAij−λ0δ ijc(λ0)j = 0
é linearmente dependente
(Quantas variáveis desconhecidas? N → c
(λ0)j j = 1, N ;
Quantas equações linearmente independentes? N −1.
Colocamos um sobrescrito (λ0) nos c(λ0)j para lembrar o vetor que eles dizem
respeito é o autovetor cujo autovalor é λ0. Como temos apenas N − 1 equações
linearmente independentes, podemos solucionar esse sistema e obter N −1 dos c0j
em função do N ́ezimo coeficiente (escolha arbitrária). O N ́ezimo coeficiente será
escolhido pela condição de normalização. Vamos escolher N ́ezimo = 1 e realizar
uma troca de variáveis c0j = α0jc
01 com α
01 = 1 (N −1 incógnitas).
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produz N equações, pois i = 1, ..., N.
Com essa escolha, teremos o autoket |ψ0(c01)i =
X
j
c0j |uji que pode se reescrito
por: |ψ0(c01)i =
X
j
c01α0j |uji = c
01
X
j
α0j |uji = c01|ψ0i com |ψ0i =
X
j
α0j |uji.
◦ Note que a arbitrariedade, até então, de escolha do c01 faz todos os |ψ0(c01)i
colineares (eles diferem entre si por uma constante multiplicativa). Ao forçar
hψ(c01)|ψ0(c01)i = 1, acha-se |c
01| e esta arbitrariedade se reduz à uma fase.
◦ Para achar os α0j faça uso da equação de autovalores do slide anterior usando
os α0j , isto é:N X
j
Aij−λ0δ ij
c(λ0)j = 0 ⇒
N X
j
Aij−λ0δ ij
α0jc
(λ0)0 = 0,
que pode ser reescrita porN X
j=2
Aij−λ0δ ij
α0j=−
Ai1−λ0δ i1
α01, um sistema de
N −1 equações L.I., não-homogêneas (uma delas é ignorada, pois é combinação
linear das outras) com N −1 incógnitas (lembre que α01 = 1). Realize os passos
usuais (álgebra linear) para resolver esse sistema e encontre α0j ( j = 2, ...N ).
Esse procedimento pode ser aplicado para
todos os autovalores n˜ ao-degenerados.
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tem componente |u2i mas n˜ ao |u1i
tem componente |u1i mas n˜ ao |u2i
|ψ01i e |ψ0
2i n˜ ao colineares
componente |u1i presente e |u2i ausente
componente |u1i ausente e |u2i presente
◦ Caso (2). λ é uma raiz m ́ultipla de ordem 2 da equação caracteŕıstica.
Chame-a, novamente, de λ0. Estudaremos só o caso onde A é Hermiteano.
No caso anterior, o caso não-degenerado, foi possı́vel obter uma solução não
trivial, impondo dependência linear entre as N equações. Isso resultou em
um sistema de N −1 equações linearmente independentes. Na situação com
um autovalor λ0 bi-degenerado, é posśıvel mostrar que neste caso teŕıamos
N −2 equações linearmente independentes.
Isso permite que os c0j sejam escritos em termos de dois deles, por exemplo,
c0
1 e c0
2. Uma troca de variáveis agora seria c0
j=β 0
j c0
1 + γ 0
j c0
2, com β 0
1=γ 0
2=1e β 02=γ
0
1=0. As variáveis β 0
j e γ 0
j podem ser encontradas da seguinte forma:
Suponha
(c02 = 0 e ache β
0
j → (N −2)β 0s, pois β 01 = 1 e β
0
2 = 0
c01 = 0 e ache γ
0
j → (N −2)γ 0s, pois γ 01 = 0 e γ
02 = 1
Todos os autovetores associados com λ0 tomam a forma:
|ψ(c0
1, c0
2)i =Xj
c0
j |uji =Xj
β 0
j c0
1|uji +Xj
γ 0
j c0
2|uji que pode ser reescrito
|ψ(c01, c0
2)i=c0
1
Xj
β 0j |uji+c0
2
Xj
γ 0j |uji=c0
1|ψ0
1i+c02|ψ
0
2i
|ψ(c01, c0
2)i ⇒ constitui um espaço vetorial bi-dimensional.
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• Quando A é Hermiteano, e se a multiplicidade da raiz λ0 for q, existem N −q
equações linearmente independentes e q vetores L.I. com autovalor λ0.
• Assim, para um operador A, Hermiteano, caso a dimensão do espaço seja N, é
possı́vel afirmar que existem N autovetores linearmente independentes.• Para operadores não Hermiteanos, isso pode não ser verdade (A pode até não
ser diagonalizável).
Observáveis.
Algumas propriedades dos autovetores e autovalores de operadores Hermiteanos:
• Os autovalores de um operador Hermiteano são reais.
hψ|A|ψi = λhψ|ψi ⇒ hψ|A|ψi = hψ|A†|ψi = hψ|A|ψi? ⇒ ∴ hψ|A|ψi é real.
Como hψ|ψi também é real, concluı́mos que λ é real.
implicações
(A|ψi = λ|ψi ⇒ hψ|A† = hψ|λ?
mas, como A† = A e λ? = λ=⇒ temos ∴ hψ|A = hψ|λ
Conclusão:
(se |ψi é autoket de A com autovalor λ, ent˜ ao hψ| é autobra de A
com o mesmo autovalor.
Note que ∀ |ϕi ∈ E , temos hψ|A|ϕi = λhψ|ϕi ⇒ será útil!
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Aula 09Observáveis
ortogonais
• Os autovetores de um operador Hermiteano, correspondendo a 2 autovalores
diferentes, são ortogonais.
Suponha
A|ψi = λ|ψi
A|ϕi = µ|ϕi→ do que aprendemos até agora, podemos escrever:
hϕ|A|ψi = λhϕ|ψi = µhϕ|ψi =⇒ (λ − µ)hϕ|ψi = 0 =⇒ Se λ 6= µ, z }| {
hϕ|ψi = 0 .
• Preparativos para uma definiç˜ ao matem´ atica de uma observ´ avel.
Quando E tem dimensão finita, vimos que é sempre possı́vel formar uma base
com autovetores de um operador Hermiteano. Considere agora uma base dedimensão infinita, porém discreta.
Seja gn, o grau de degenerescência de um autovalor an ⇒ A|ψini = an|ψ
ini.
Isto implica que i = 1, ...gn e que para i 6= i0, |ψini e |ψ
i0
n i são L.I.
Já mostramos que vetores de E n (com autovalor an) são ortogonais aos de E n0
(com autovalor an0), pois an 6= an0 =⇒ hψin|ψjn0i = 0 se n 6= n0
. Como são L.I.,dentro do subespaço E n, podemos sempre escolher |ψ
ini, tais que hψ
in|ψ
jni =δ ij .
O operador Hermiteano A é uma observável se:∞Xn=1
gnXi=1
|ψinihψin| = 11.
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Aula 09Observáveis
omentarios
• Uma vez que hψin|ψjni =δ ij, podemos definir P n =
gnX
i=1
|ψinihψin|. Compare
isso com
∞X
n=1
gnX
i=1
|ψinihψin| = 11 e conclua que
∞X
n=1
P n = 11.
• Note também que AP n = anP n, pois todos os kets que compõem P n tem o
mesmo autovalor.
• Finalmente, aplique as duas observações acima em
A|ϕi = A11|ϕi = A∞X
n=1
P n|ϕi =∞X
n=1
AP n|ϕi =∞X
n=1
anP n|ϕi = ∞X
n=1
anP n|ϕi
Como isso vale ∀|ϕi ⇒ A =∞X
n=1
anP n.
• Vamos aplicar essa definição em |ψini para ver se está coerente.
A|ψini =∞X
n0=1
an0P n0 |ψini =
∞X
n0=1
an0δ nn0 |ψini = an|ψ
ini, onde usamos
P n0 |ψini =
gn0X
i0=1
|ψi0
n0ihψi0
n0 |ψini =
gn0X
i0=1
|ψi0
n0iδ nn0δ ii0 = δ nn0 |ψini
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Aula 09Mais sobre operador unidade
• Alguns operadores Hermiteanos tem espectro cont́ınuo e discreto misturados.
Neste caso
A|ψini = an|ψ
ini, com n = 1, 2,... e i = 1,...,gn
A|ψν i = a(ν )|ψν i, com ν 1 ≤ ν ≤ ν 2
Estes kets são
obtidos de tal forma que
hψin|ψi0
n0i = δ nn0δ ii0
hψν |ψν 0i = δ (ν − ν 0)
hψin|ψν 0i = 0
e a relação de completeza
∞
Xn=1
gn
Xi=1
|ψinihψin| + Z
ν 2
ν 1
dν |ψν ihψν | = 11 garante que se trata de uma observável.
• Se levássemos em conta o spin da partı́cula, a parte cont́ınua também poderia
adquirir uma degenerescência discreta.
• Exemplo: considere o projetor P ψ = |ψihψ|, será uma observável?
Já sabemos que é Hermiteano, P †ψ = P ψ e que seus autovalores são 1 ou 0, isto é
o operador P ψ
autovalor = 1 ⇒ |ϕi = |ψi
autovalor = 0 ⇒ ∀|ϕi, tal que hψ|ϕi
◦ Um ket qualquer |ϕi sempre pode ser escrito na forma:
|ϕi =P ψ|ϕi+(1−P ψ)|ϕi.
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Aula 09Exemplo (continuação) e Observáveis que comutam
o su espaço e auto ets com autova or a
◦ Note também que P ψ|ϕi é um autoket de P ψ com autovalor 1, pois
P ψ(P ψ|ϕi) = P 2
ψ|ϕi = P ψ|ϕi
◦ E que (1 − P ψ)|ϕi é um autoket de P ψ com autovalor 0, pois
(1 − P ψ)(P ψ|ϕi) = (P ψ − P 2
ψ)|ϕi = (P ψ − P ψ)|ϕi = 0|ϕi
◦ Como ∀ |ϕi ∈ E pode ser escrito em termos de P ψ|ϕi e (1 − P ψ)|ϕi, podemos
concluir que eles formam uma base e ∴ P ψ é uma observável.
• Conjunto de observáveis que comutam.
Nosso livro texto trata esse assunto de maneira formal com aux́ılio de teoremas.
Teorema I:(
Se dois operadores A e B comutam, e se |ψi é um autovetor de A,
B|ψi também é um autovetor de A com o mesmo autovalor.
Demonstração:
Se |ψi é autovetor de A =⇒ A|ψi = a|ψi. Aplique B dos dois lados desta
equação e obtenha BA|ψi = aB |ψi. Como [A,B] = 0 ⇒ AB |ψi = aB |ψi e
conclua: B|ψi também é autoket de A com o mesmo autovalor a.Coment´ arios
(1) Se a não é degenerado, todos os autokets associados à ele são colineares,
∴ B|ψi ∝ |ψi.
(2) Se a for degenerado, B|ψi é uma combinação de autovetores de E a.
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Aula 09Observáveis que Comutam
Coment´ arios continuação :
(3) O subespaço E a é dito globalmente invariante sob a ação de B.
(4) Note que qualquer combinação de kets do subespaço E a é um autoestado de
A com auto valor a. Isso indica que uma determinada combinação poderáser autoestado de A e B simultaneamente.
(5) Podeŕıamos ter tratado esse último item como um Teorema I’:
Se dois operadores A e B comutam, qualquer subespaço de A é globalmente
invariante sob a aç˜ ao de B.
Teorema II:
Se duas observáveis A e B comutam, e se |ψ1i e |ψ2i são dois
autovetores de A com autovalores diferentes, o elemento de matriz
hψ1|B|ψ2i é zero.
Demonstração:
Se |ψ1i e |ψ2i são dois autovetores de A ⇒A|ψ1i = a1|ψ1i
A|ψ2i = a2|ψ2i
e z }| {
hψ1|ψ2i = 0
De acordo com o teorema I, B|ψ2i é autovetor de A com autovalor a2 e isso
garante que |ψ1i ⊥ |ψ2i, pois a1 6= a2. ∴ hψ1|B|ψ2i = 0.
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Aula 09Observáveis que Comutam
Demonstração (continuação):
Uma outra forma de provar o teorema seria:
Primeiro considere que hψ1|[A,B]|ψ2i = 0, uma vez que eles comutam, [A,B] = 0.
Note
hψ1|AB|ψ2i = a1hψ1|B|ψ2i
hψ1|BA|ψ2i = a2hψ1|B|ψ2i
⇒ hψ1|[A,B]|ψ2i = (a1 − a2)hψ1|B|ψ2i = 0
e como o produto precisa ser zero e um dos fatores não é (a1 6= a2), conclua que
hψ1|B|ψ2i = 0 se
A|ψ1i = a1|ψ1i
A|ψ2i = a2|ψ2i
com a1 6= a2
Conclusão importante:
Se a representaç˜ ao matricial da observ´ avel A for diagonal, a representaç˜ ao de B
nesta mesma base ser´ a no mı́nimo bloco-diagonal, onde os blocos ser˜ ao os
subespaços de autovalores degenerados de A.