Análise por Variáveis de Estado(4a parte)

Equação Característica, Autovalor e Auto Vetor

Autovalores:definição - são as raízes da equação característica e são também chamados como os autovalores da matriz A

•Propriedades dos autovalores

•Se os coeficientes de A são reais os autovalores também são reais

•Se 1, , ..., n os autovalores de A então

n

1i i)A(tr

Equação Característica, Autovalor e Auto Vetor

•Propriedades dos autovalores ( cont.)

•tr(A)= soma dos autovalores de A

•Se i, i=1,2...n é um autovalor de A então também o será de A’

•Se A é não singular, com autovalores i, i=1,2...n então 1/i, i=1,2...n serão autovalores de A-1

•

Tópicos:

•Autovetores generalizados

•Transformação de Similaridade

0p)A( ii Em que autovalor de A, é chamado de autovetor

•Se a matriz A tem autovalores múltiplos e é não simétrica então: nem todos os autovetores podem ser encontrados usando-se a equação abaixo

1mqnmqnj

2qn3qnj

1qn2qnj

1qnj

pp)A(

:

pp)A(

pp)A(

0p)A(

•Neste caso os autovalores distintos serão calculados utilizando a equação anterior e os repetidos chamados de autovetores generalizados por

1mqnmqnj

2qn3qnj

1qn2qnj

1qnj

pp)A(

:

pp)A(

pp)A(

0p)A(

Em que

• q= no. de autovetores distintos

• m= no. de autovetores generalizados

•Algumas formas das matrizes que descrevem a equação de estado e de saída são de particular interesse no controle.

•Exemplo a forma canônica de controlabilidade para testes de controlabilidade e projeto em sistemas com retroalimentação.

Transformações de Similaridade

)t(Du)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Axdt

)t(dx

•Dado as equações de estado e de saída

Transformações de Similaridade

)t(xPx

)t(xP)t(x

1_

_

)t(uD)t(xC)t(y

)t(uB)t(xAdt

)t(xd

____

____

Transformações de Similaridade

)t(BuP)t(PxAP

)t(BuP)t(xAPdt

)t(dxP

dt

)t(xd

11

111

_

BPB

APPA

1_

1_

•Equação de estado

Transformações de Similaridade•Equação de saída

)t(uD)t(CPxy__

DD

CPC_

_

Transformações de Similaridade, Transformações de Similaridade, (cont.)(cont.)•Estas transformações mantém propriedades tais como:

•equação característica

• autovalores

• autovetores e

•funções de transferência

Transformações de Similaridade, Transformações de Similaridade, (cont.)(cont.)

PAPPPsPAPSIASI 111_

Como o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos

determinantes então

Transformações de Similaridade, Transformações de Similaridade, (cont.)(cont.)

ASIPASIPASI 1_

Assim a equação característica é preservada o que implica em mesmos

autovalores e autovetores

Transformações de Similaridade, Transformações de Similaridade, (cont.) - função de transferência(cont.) - função de transferência

DBP)APPsI(CPG

DB)AsI(CG111

_

__1

___

)s(GDB)AsI(C)s(G 1

Forma da canônica da controlabilidade

0asa...sasAsI 011n

1nn

Forma da canônica da controlabilidade

SMP

BA...BAABBS1n2

Forma da canônica da controlabilidade

0

0

0

0...

0

1

1

a::::

01...aa

1a...aa

M

1n

32

121

Forma da canônica da controlabilidade

1n210

_1

_

a

1

a

...0

a

0

a

0::::

0...100

0...010

APPA

Forma da canônica da controlabilidade

1

:

0

0

BPB 1_