Sinais e Sistemas - CT - UFSMcoral.ufsm.br/.../Cap05_Aula01_Transformada_Laplace_Introducao.pdf · Derivada de segunda ordem ... tende a zero na equação da Transformada de Laplace

Sinais e SistemasUnidade 5 –

Representação em domínio da

frequência para sinais contínuos:Transformada de Transformada de LaplaceLaplace

Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]

Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]

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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

•

Introdução•

Definição da Transformada de Laplace

•

Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo

•

Função de Transferência•

Conceito de pólos e zeros

•

Estabilidade de sistemas

•

Sistemas com atraso de transporte•

Análise da resposta transitória

•

Análise da resposta em regime permanente

•

Resposta em frequência e Diagrama de Bode

Conteúdo da unidade

Aulas

01 e 02

Aula 03

Aula 04

Aulas

05 e

06

1/5


Aula 01

•

Introdução•

Definição da Transformada de Laplace–

Condição de existência da Transformada de Laplace

–

Transformada de Laplace

de funções do tempo–

Propriedades

–

Teoremas

–

Quadro de Transformadas de Laplace–

Quadro de Propriedades e Teoremas

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Introdução

•

Marquis

Pierre‐Simon de Laplace–

Francês (1749‐1827)

–

Contemporâneo de Lagrande

e Fourrier–

Astrônomo e matemático

–

Estudou a aplicação das Leis de Newtonda gravitação ao sistema solar

–

Pesquisou a Teoria da Probabilidade•

Origem da Transformada de Laplace

–

Oliver Heaviside

(Inglês, 1850‐1925) empregou aTransformada de Laplace

na solução de equações

diferenciais“O que nós sabemos não é

muito.

O que nós não sabemos é

imenso.”(Laplace)

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Introdução

•

Transformada de Laplace–

Método empregado na solução de equações diferenciais lineares•

Resposta transitória

•

Resposta em regime permanente

–

Funções no domínio “t”

Polinômios

no domínio “s”–

Derivação e integração em “t”

Operações algébricas

no domínio “s”

–

Métodos gráficos•

Prever o desempenho do sistema sem resolver as equações

diferenciais

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Definição

•

Sejamf(t)

= uma função da variável t

tal que f(t) = 0

para t

< 0

s

= uma variável complexa

•

Definição

0

stL f t F s f t e dt

s σ jω

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Condição de existência

•

Exigência: A integral de Laplace

deve convergir

•

Condições de convergência–

f(t)

deve ser seccionalmente

contínua

em todo o intervalo de tempo

finito na faixa t

> 0–

f(t)

deve ser de ordem exponencial

quando t

tende ao infinito

•

f(t) é de ordem exponencial

se existir um número real positivo σ

tal que

0σt

tlim e f t

0

stf t e dt

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•

Ou seja–

A função f(t) deve apresentar uma taxa de crescimento inferior

à

parcela exponencial da integral de Laplace

•

Abscissa de convergência–

Valor limite σ

= σc

para o qual

0lim ,

lim ,

σtc

t

σtc

t

e f t σ σ

e f t σ σ

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•

Exemplo: f(t) = A

e‐αt

lim lim lim σ α tσt σt αt

t t te f t e Ae A e

0σ α σ α cσ α

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

Tempo (s)

f(t)

A

= 10α

= ‐

σc

= 0,5 σ

= σc

/2

0 2 4 6 8 100

500

1000

1500

Tempo (s)

f(t)

A

= 10α

= ‐

σc

= 0,5 σ

= 2σc

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•

Funções do tipo t, sen

ωt, t

sen

ωt

σc

= 0•

Funções do tipo e‐ct, t e‐ct, e‐ct

sen

ωt

σc

= ‐c•

Funções do tipo et², t et²

Não possuem Tranf. de Laplace

•

OBS

–

Todos sinais que podem ser gerados fisicamente

possuem Transformada de Laplace

2

00 0

, para , para ,

te t Tf tt t T

Possui Transformada de Laplace

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Aplicação a funções do tempo

•

Sejam A

e α

constantes

•


Função exponencial

0 0

0

, para

, para αt

tf t

Ae t

0 0

α s tαt αt stL Ae Ae e dt A e dt

αt AL Ae

s α

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•

Seja A

constante

•


–

Observar que é um caso particular da função exponencial, com α

= 0–

A função degrau não é

definida para t

= 0

–

A função degrau unitário

f(t) = 1(t)

é um caso particular, onde A

= 1

Função degrau

0 0

0, para , para

tf t

A t

0 0

st stL A Ae dt A e dt

AL A

s

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•

Seja A

constante

•


Função rampa

0 0

0, para , para

tf t

At t

0 0 00

st stst ste Ae A

L At Ate dt At dt e dts s s

2A

L Ats

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•

Sejam A

e ω

constantes

•


Função senoidal

0 0

0, para

sen , para

tf t

A ωt t

senjωt jωt

ste e AL A ωt A e dt

j j s jω s jω

0

1 12 2

2 2senAω

L A ωts ω

Aj

2

s j ω s j

ω

s jω s jω

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•

Sejam A

e ω

constantes

•


Função cossenoidal

0 0

0, para

cos , para

tf t

A ωt t

2 2cosAs

L A ωts ω

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•

Seja α

constante

Função transladada

1 1f t f t α t α

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•


•

Como f(t) = 0

para t

< 0, então f(τ) = 0

para τ

< 0–

Mudança do limite de integração

0

1 1 stL f t α t α A f t α t α e dt

0t τ α

τ t αt τ

0 0

1 1s τ α s τ α s τ α

α

A f τ τ e dτ A f τ τ e dτ A f τ e dτ

0

sα sτAe f τ e dτ

1 0,αsL f t α t α e F s α

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•

Sejam A

e t0

constantes

•


Função pulso retangular

00

0

0

0 0

, para

, para ,

At t

tf tt t t

0 00 0 0 00

1 1 1 1stA A A AL f t A t t t e dt L t L t t

t t t t

001 stA

L f t et s

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•

Caso‐limite

da função pulso retangular

•

Observar que a área A

sob o impulso permanece a mesma•


(regra de L’Hopital)

Função impulso

000 0

0

0

0 0

lim , para

, para ,t

At t

tg tt t t

00 0 0

1lim st

t

AL g t e

t s

L g t A

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•

A função Delta de Dirac

ou impulso unitário

é um caso particular da função impulso, quando

A

= 1

–

Muito útil na descrição de funções descontínuas

–

Pode ser obtida a partir da derivação da função degrau unitário

00

0

0 , para , para

t tδ t t

t t

0 1δ t t dt

0 01dδ t t t t

dt

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Propriedades

Multiplicação por constante

Propriedade distributiva

L A f t A L f t

1 2 1 2L f t f t L f t L f t

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•

Descolamento na frequência

•

Exemplo

Propriedades

Multiplicação de f(t) por e‐at

s α tαt αt stL e f t e f t e dt f t e dt

0 0

αtL e f t F s α

αt ωL e senωt F s α

s α ω 2 2

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Propriedades

•

t

é

substituído por t/α, onde α

é uma constante positiva

Mudança de escala de tempo

stt tL f f e dt

α α

0

tL f αF αs

α

tt

ααs s

1

1

s t s ttL f f t e d αt α f t e dt αF s

α

1 1 1 1

1 1 1 1 10 0

Expansão no tempo equivale a compreensãona frequência, e vice-versa

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Propriedades

•

Exemplo–

Seja a função

–

A mudança na escala de tempo

por um fator 5

resulta

tt

L f L e F ss

5 55 5

5 5 1

tL f t L e F ss

11

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Propriedades

•

Em alguns casos,

f(t) possui uma

função impulso em

t

= 0–

Logo, o limite inferior da integral de Laplace

deve ser claramente

especificado se diz respeito a 0‐

ou a 0+

–

Obviamente, se f(t) não possuir impulso em t

= 0

Limite inferior da Transformada

st

st st

L f t f t e dt

L f t f t e dt f t e dt L f t

00

0 0

L f t L f t

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•

A Transformada de Laplace

da derivada

de uma função é

•

Prova–

Resolvendo a integral de Laplace

por partes, tem‐se

Teoremas

Teorema da derivação real

dL f t sF s f

dt

0

st st

st e d eF s f t e dt f t f t dt

s dt s

0 00

f d dF s L f t L f t sF s f

s s dt dt

0 1 0

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•

Derivada de segunda ordem

–

Pode ser estendido à

derivada de ordem n

•

OBS–

Em controle, diz‐se que o sistema encontra‐se relaxado

–

Logo, todas as condições iniciais são nulas

Teoremas

dL f t s F s s f f

dt

22

2 0 0

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Teoremas

•

Se f(t) e df(t)/dt

forem transformáveis por Laplace

e seexistir (convergir para algum valor), então

–

O teorema do valor final relaciona o comportamento de regime estacionário

(permanente) de f(t) ao comportamento de sF(s) nas

vizinhanças de s

= 0

Teorema do valor‐final

limt

f t

lim limt s

f t sF s

0

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Teoremas

•

Prova–

Tomando o limite quando s

tende a zero na equação da Transformada

de Laplace

da derivada de f(t)

lim lim limst

s s s

df t e dt sF s f sF s f

dt

0 0 00

0 0

Mas lim , logo

lim lim

st

s

st

s s

e

d df t e dt f t dt f t f f

dt dt

0

00 00 0

1

0

A partir daí resulta lim limt s

f f t sF s

0

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Teoremas

•

Se f(t) e df(t)/dt

forem transformáveis por Laplace

e seexistir, então

–

Através deste teorema é

possível obter o valor de f(t) em 0+ diretamente a partir da Transformada de Laplace

de f(t)

Teorema do valor‐inicial

lims

sF s

lims

f sF s

0

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Teoremas

•

Se f(t) é de ordem exponencial, então a transformada deexiste e é dada por

–

Onde

–

A integração

no domínio do tempo é convertida em divisãono domínio s

Teorema da integração real

F s fL f t dt

s s

1 0

f t dt

e para F s L f t f f t dt t 1 0 0

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Quadro de Transformadas

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Quadro de Transformadas (Continuação)

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(Continuação)

Quadro de Transformadas

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1/5



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Quadro de Propriedades e Teoremas

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Quadro de Propriedades e Teoremas (Continuação)

1/5


Quadro de Propriedades e Teoremas (Continuação)

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[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª

ed. Rio de Janeiro: Prentice‐ Hall, 2000.

[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011.

Bibliografia

Documents

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