SINAIS E SISTEMAS.pdf

8/19/2019 SINAIS E SISTEMAS.pdf

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J. A. M. Felippe de Souza 2 – Sinais

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2 – Sinais

2.1 – Introdução aos Sinais 3

2.2 – Exemplos de sinais 3

Circuito RC 4

Carro 5

Voz / Fala humana 6

Transmissões de rádio (AM & FM) 7

Música em CD ou no computador 9

Electrocardiograma (ECG) 10

Electroencefalograma (EEG) 11

Imagem monocromática (preto-branco) 13

Imagens coloridas e transmissões de TV 13

Sinais meteorológicos 14

Sinais geofísicos 15

Índices económicos e demográficos 17

2.3 – Sinais contínuos e discretos 18

2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos 202.5 – Energia e Potência de Sinais 21

Exemplo 2.1 23

Exemplo 2.2 24

Exemplo 2.3 25

Exemplo 2.4 25


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2

2.6 – Transformações da variável independente 26

Translação no tempo (“time shifting”) 26

Shift para direita (retardo) 26

Shift para esquerda (avanço) 27

Reversão no tempo / sinal reflectido (“time reversal”) 27

Escalonamento no tempo (“time scaling”) 28

Compressão ou encolhimento 28

Expansão ou esticamento 28

Caso geral 29Exemplo 2.5 30

2.7 – Sinais periódicos 32

Exemplo 2.6 33

Exemplo 2.7 33

2.8 – Sinais pares e ímpares 33

Exemplo 2.8 34

Exemplo 2.9 35Exemplo 2.10 35

2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais 37

O sinal sinusoidal contínuo x(t) = A cos(ωot + φ) 37

O sinal exponencial contínuo atC)t(x e= 40

Caso 1: C ∈ R e a ∈ R 40

Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro 42Caso 3: C ∈ C e a ∈ C 44

Exemplo 2.11 44

O sinal sinusoidal discreto 45

O sinal exponencial discreto [ ]nn CCnx β=α= e 47

Caso 1: C ∈ R e α∈ R 47

Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro 49

Caso 3: C ∈ C e α∈ C 55


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Sinais

2.1 – Introdução aos Sinais

A noção intuitiva de sinais e surge de uma variedade enorme de contextos. Qualquerapontamento que se faça: em números por exemplo; ou qualquer registo que se faça:do desempenho de uma máquina, ou da performance, ou dos consumos de um veículoao longo de uma viagem; ou qualquer medição que se faça: com o uso de algumaparelho ou instrumento de medida; ou qualquer gravação que se faça, de um som, oude uma imagem ou mesmo de um vídeo, pode facilmente se tornar em um sinal.

Existe uma linguagem própria usada para descrever sinais, assim como existetambém um conjunto bastante poderoso de ferramentas para analisá-los. Nestecapítulo trataremos da linguagem que descreve os sinais. Em outros capítulos maisadiante trataremos das ferramentas de análise.

2.2 – Exemplos de Sinais

Os sinais são usados para descrever uma grande variedade de fenómenos físicos epodem ser descritos de muitas maneiras: através de números, ou de gráficos, ou deuma sequência de dígitos (bits) para serem introduzidos no computador, etc.

Nesta secção iremos ver alguns exemplos de sinais antes de vermos as definiçõesbásicas do mesmo.


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Circuito RC

Considere um sistema eléctrico simples de um circuito RC, ilustrado na figura 1abaixo.

Fig. 1 – Um circuito eléctrico (circuito RC série).

O sinal da tensão vs(t) na fonte ou o sinal da tensão vc(t) no condensador, assimcomo o sinal da corrente i(t) que atravessa a única malha do circuito podem ser medi-dos por aparelhos (voltímetro / amperímetro) que também são vistos na figura 1.

Na figura 2 vemos um possível exemplo do sinal da tensão vs(t) na fonte (à esquerda)e do sinal da tensão vc(t) no condensador (à direita), ambos em Volts [V].

Fig. 2 – Um exemplo do sinal da tensão eléctrica vs(t) na fonte (à esquerda) e dosinal da tensão eléctrica vc(t) no condensador (à direita).


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Carro

Os carros andam quando são acelerados. Mas isso equivale a imprimir uma força f(t)que vai puxar o carro pois, pela Segunda Lei de Newton,

a força é igual a massa x aceleração[ f(t) = m⋅a(t)] ,

onde m = massa do carro.

Fig. 3 – Um carro que se desloca puxado pela força f(t).

Suponha que o sinal da força f(t) aplicada em um carro, que como vimos é proporcio-nal à aceleração que lhe foi dada, é mostrado na figura 3.

O sinal do deslocamento x(t) assim como da velocidade v(t) que o carro desenvolve,decorrente desta força aplicada, podem ser medidos por aparelhos.

Na figura 4 e 5 vemos um possível exemplo destes 3 sinais em um carro: f(t) emNewtons [N], x(t) em metros [m] e v(t) em metros/segundo [m/s].

Fig. 4 – Um exemplo do sinal da força f(t) aplicada num carro.


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Fig. 5 – Um exemplo do sinal do deslocamento x(t) (à esquerda) e do sinal davelocidade v(t) (à direita) desenvolvidos pelo mesmo carro.

Voz / fala humana

O mecanismo vocal humano produz fala criando flutuações na pressão acústica. O aré expelido dos pulmões pelo diafragma e no seu caminho produz vibrações. Estasvibrações são modificadas, ou moldadas, ao passar pelas cordas vocais, assim comopela boca, lábios e a língua para se produzir os sons que se deseja.

O sinal de voz é obtido através do uso de um microfone que capta as variações dapressão acústica e converte em sinais eléctricos. Estes sinais podem servir para uma

gravação do som da voz ou para serem transmitidos (telefone ou telemóvel porexemplo).

Exemplos do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone, podem ser visto nafigura 7.

Fig. 6 – O registo do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone. Sejapara uma gravação ou para ser transmitido, por telefone ou telemóvel,a voz humana se transforma em um sinal eléctrico.


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Fig. 7 – Exemplos do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone.

Transmissões de rádio (AM & FM)

Uma transmissão de rádio é também composta de sinais eléctricos que transportam osom (voz, música, etc.)

A portadora (sinal de frequência mais alta) transporta o sinal modulado (som) sejaele modulado em amplitude (AM) ou em frequência (FM).

Estes sinais podem ser vistos na figura 8 e 9.


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Fig. 8 – O sinal da portadora (à esquerda) e o sinal modulador, i.e., o som aser transmitido (à direita).

Fig. 9 – Os sinais que são realmente transmitidos: sinal modulado em ampli-tude, no caso de modulação AM (à esquerda); e o sinal modulado em

frequência, no caso de modulação FM (à direita).

Na modulação AM o som a ser transmitido molda (ou modula) a amplitude da porta-dora com o formato do seu sinal gerando um sinal modulado que é transmitido. Já namodulação FM a amplitude do sinal gerado para ser transmitido é constante. O quesom a ser transmitido molda (ou modula) é a frequência da portadora com o formatodo seu sinal.

Existem dispositivos electrónicos que modulam o sinal, sejam em AM ou em FM,assim como existem dispositivos electrónicos que demodulam o sinal, isto é, recupe-ram o som que vem modulando a portadora.

Fig. 10 – Os rádios, em casa ou no carro, recebem sinais modulados em AM

ou em FM e têm a capacidade de demodular estes sinais, isto é,transformarem de volta em som.


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Música em CD ou no computador

A música gravada em um CD ou armazenada no computador (em formato wav, wma ou mp3, por exemplo) é feita através de uma série de números, uma sequência digitalde “ zeros” e “uns”, que representam as tensões eléctricas (em Volts) do sinal de áudio

ao longo do tempo.

Fig. 11 – CDs (compact disc) demúsica.

Portanto, o sinal analógico de áudio convertidoem um sinal digital, ou seja, dados binários, auma taxa que é medida em “bps” (bits persecond ).

Claro que quanto maior o número de bits por

segundo melhor será a qualidade de reproduçãodo som.

Alguns valores usuais desta taxa em gravação de música são:

96 mil bits por segundo [ 96kbps], ou128 mil bits por segundo [128 kbps], ou

192 mil bits por segundo [192 kbps], ou256 mil bits por segundo [ 256 kbps].

Fig. 12 – Gravação de músicas em estúdio.

Existem dispositivos electrónicos que transformam um sinal analógico em digital(conversores A/D) assim como dispositivos electrónicos que transformam um sinaldigital em analógico (conversores D/A).


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Electrocardiograma (ECG)

O electrocardiógrafo é um dispositivo que mede sinais elétricos do coração para pro-duzir um electrocardiograma (ECG).

A Electrocardiografia estuda a actividade eléctrica do coração a partir de eléctrodoscolocados em determinados pontos do corpo humano. O registo do electrocardio-grama (ECG) é prática comum na medicina dos nossos dias, uma vez que é de reco-nhecido valor para a identificação e prognóstico de doenças cardiovasculares como oenfarte do miocárdio, arritmia, entre outras condições patológicas.

Fig. 13 – O electrocardiógrafo (à esquerda) e um paciente submetido a exame nomesmo (à direita).

Fig. 14 – Sinal típico de ECG, correspondendo a um ciclo completo, com o nome dasondas que o compõe. O ECG normal é formado por uma onda P, um com-plexo QRS e uma onda T. O complexo QRS muitas vezes aparece sob a

forma de três ondas: a onda Q, a onda R e a onda S.


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Os tipos de sistemas de aquisição de ECG, que podem ser encontrados, hoje, comer-cialmente, abrangem desde as grandes unidades fixas usadas em ambiente hospitalar,às pequenas unidades portáteis para uso móvel.

Os sinais cardiovasculares e os próprios complexos QRS no electrocardiograma

(ECG) apresentam variabilidade batimento a batimento. A análise da variabilidade desinais cardiovasculares é susceptível de variadas aplicações clínicas, sendo corrente-mente aceite que pode ser usada como um meio não invasivo para aceder à integri-dade do sistema cardiovascular e é como uma janela para a caracterização do sistemanervoso autónomo.

Fig. 15 – Amostra do ECG de um paciente.

Electroencefalograma (EEG)

O electroencefalógrafo é uma máquina que regista o gráfico dos sinais eléctricos ce-rebrais desenvolvidos no encéfalo produzindo o electroencefalograma (EEG). Isto érealizado através de eléctrodos que são aplicados no couro cabeludo, na superfícieencefálica, ou até mesmo (em alguns casos) dentro da substância encefálica.

Esses sinais cerebrais observados são muito fracos. Portanto coloca-se os electrodosem posições pré-definidas sobre o couro cabeludo do paciente e um amplificadoraumenta a intensidade dos potenciais elétricos para então ser construído um gráfico(EEG) analógico ou digital (dependendo do equipamento).

Analisando o EEG o médico pode detectar alterações dos padrões normais e isso per-mite fazer o diagnóstico clínico.


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Exemplos de descargas de ondas anormais (os casos patológicos) que são observadasem EEG são: os picos de onda, os complexos ponta-onda e atividade lentas, sejamestas locais (focais) ou generalizadas.

Algumas indicações dos exames EEG são;

o para avaliação inicial de sindromes epilépticos;o avaliação de coma;o morte encefálica;o intoxicações;o encefalites;o síndromes demenciais;o crises não epilépticas; eo distúrbios metabólicos.

Fig. 16 – Um paciente submetido a exame EEG.

Fig. 17 – Amostra do ECG se um paciente.


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Imagem monocromática (preto-branco)

Uma imagem monocromática (preto-branco) é constituída por um padrão de varia-ções no brilho através dela. Ou seja, o sinal da imagem é uma função da intensidadede brilho em todos os pontos da imagem (bidimensional).

Fig. 18 – Uma foto monocromática (preto-branco) e o sinal de intensidade de brilho.

Imagens coloridas e transmissões de TV

Se a imagem for colorida, obviamente o sinal torna-se mais complexo. Normalmentea imagem é decomposta em 3 cores básicas, que comummente são

“vermelho”, “verde” e “azul”

que é chamado de código de cores RGB:

R (red ), G (green) e B (blue)

mas às vezes também é usado outros códigos de cores, como o “magenta” (parecidocom cor de rosa), o “ciano” (uma espécie de azul) e o “amarelo”:

“magenta”, “cyan” e “ yellow”

que é comum em impressoras coloridas e em sistemas informáticos em geral. O sinalde uma foto a cores portanto terá que ter informação de 3 cores (e não apenas umacomo na foto monocromática).

A transmissão de imagens (“broadcast ”) como na televisão por exemplo, requersinais mais sofisticados ainda.

Enquanto que uma fotografia é um sinal “estático”, fixo no tempo, as transmissões deimagens via TV são sinais dinâmicos pois vão variando com o tempo. Além disso, na

transmissão de TV (TV broadcast ) a informação do som também tem que seguir juntocom a imagem.


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Desde que a TV à cores surgiu, muitos sistemas de transmissão já foram criados,como por exemplo: o sistema PAL (europeu), o sistema NTSC (americano), ou maisrecentemente o HDTV.

Fig. 19 – Exemplo de um sinal RGB [R (red ), G (green) e B (blue)] de umatransmissão de TV.

Sinais meteorológicos

Em meteorologia é comum o uso de sinais de medidas como

pressão atmosférica [mbar ] velocidade do vento [knots]x x

altitude [km] altitude [km]

Em particular, no tráfico aéreo usam este último sinal mas com outras unidades:

velocidade do vento [knots]x

altitude [metros]


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nas proximidades dos aeroportos para examinar as condições do vento que possamafectar uma aeronave durante a aproximação final da pista e aterragem.

Estes 3 sinais mencionados acima estão ilustrados na figura 20

Fig. 20 – Sinais da velocidade do vento, da temperatura e da pressão atmosféricaversus a altitude.

Sinais geofísicos

Em geofísica, sinais que representam variações de quantidades físicas do solo sãousados para estudar o solo, assim como a estrutura do interior da terra, como amesosfera e a endoesfera.


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Alguns destes sinais são mostrados na figura 21. Eles representam levantamentosgeofísicos de

resistividade eléctrica [Ω⋅m], temperatura [ºC], densidade [g/cm3],raios gama [eV] e porosidade [%]

versus profundidade [metros].

Fig. 21 – Sinais de levantamento geofísico de características do solo: resistividade

eléctrica, densidade, temperatura, raios gama e porosidade versus a profundidade.


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Índices económicos e demográficos

Os índices (ou indicadores) económicos (que normalmente só saem uma vez por mês)como:

inflação (mensal);

taxa de desemprego (mensal);

dão origem a sinais discretos (i.e., sinal não contínuos).

O índice da bolsa de valores é também um exemplo de um sinal discreto, emboraeste não seja mensal mas sim diário.

Fig. 22 – Um exemplo de sinal discreto (não contínuo) que retratao índice da bolsa de valores (que só sai uma vez por dia).

Há muitos outros exemplos de índices ou indicadores económicos como as taxas decâmbio ou as taxas de crescimento do Produto Interno Bruto (PIB), etc.

Fig. 23 – Taxa de câmbio do Euro (€) em relação ao dólar americano (US $).Apesar de parecer contínuo, este sinal é discreto pois os valores foramtomados diariamente e depois os pontos foram ligados.


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Quaisquer destes índices, se forem tomados ao longo de um período grande de tempoe os pontos forem ligados, fica-se com a impressão que o sinal é contínuo. Isso podeser visto na figura 23 com um exemplo da taxa de câmbio do Euro (€) em relação aodolar americano (US $) ao longo de vários anos.

As taxas de câmbio de uma moeda corrente em relação à outra são exemplos de sinaisdiscretos embora possam ser tomados diariamente, de hora em hora ou até de minutoa minuto, se desejar.

Isso é semelhante ao caso da música ou das imagens digitalizadas em CDs ou emcomputador (sistemas digitais de áudio ou de vídeo) ou da transmissão digital de ima-gens, casos já mencionados em exemplos anteriores.

Outros casos de sinais discretos:taxas de natalidade de uma nação (ano a ano, ao longo de um período);

consumo de uma veículo [l /100 km](medido a cada vez que é abastecido);

lucro de um estabelecimento comercial (mês a mês, ao longo dos anos);

etc.

2.3 – Sinais contínuos e discretos

Na secção anterior viu-se alguns sinais contínuos e alguns sinais discretos.

Para distinguir os sinais contínuos e discretos no tempo nós usaremos

“t” para denotar o tempo como variável independente contínua e

“n” para denotar o tempo como variável independente discreta.

Além disso, nos sinais contínuos usaremos parêntesis normais ( ),

x(t), y(t), v(t), etc.

enquanto que nos sinais discretos usaremos parêntesis recto [ ],

x[n], y[n], v[n], etc.

Esta é uma notação comummente adoptada na literatura de Análise de Sinais.


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Um sinal discreto pode ser a representação de um fenómeno (sistema) inerentementediscreto, como por exemplo o caso de índices demográficos ou os índices da bolsa devalores.

Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragem

de sinais contínuos.

Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragemde sinais contínuos.

os sistemas digitais de áudio ou de vídeo,

já mencionados acima, ou, para mencionar um outro exemplo:

o piloto automático digital;

Estes sistemas requerem o uso de sequências discretas no tempo que são representa-ções (discretizações) de sinais contínuos no tempo.

Assim, sinais que são naturalmente contínuos no tempo são tornados sinais discretos(por amostragem) para este propósito, como por exemplo:

a voz;

a música;

o som em geral;

(no caso de sistemas digitais de áudio), ou

as fotografias que aparecem nos jornais e livros;

as imagens de um filme gravado em DVD;

etc.

(no caso de sistemas digitais de imagem), ou

a posição da aeronave;

a velocidade da aeronave;

a direcção da aeronave;

(no caso do piloto automático digital).

Observe que esta digitalização é feita com uma quantidade muito grande de pontos.No caso da música digital, como já vimos, pode ter mais de 250 mil pontos em cada

segundo [256 kbps].


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2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos

Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveisindependentes.

Em vários sinais da secção anterior o tempo ‘t’ é a variável independente (ou uma dasvariáveis independentes), por exemplo, no caso de:

circuito RC músicas em CDscarro ECGemissões de rádio EEGvoz/fala humana transmissões de TVtransmissões de rádio bolsa de valores

Logo, estes sinais são do tipo x(t), y(t), f(t) ou f(x,t), etc. e são chamados de

sinais dinâmicos,

pois variam com o tempo (ou evoluem no tempo, ou propagam no tempo, etc.), eportanto representam

sistemas físicos dinâmicos.

Entretanto há sinais em que o ‘tempo’ não aparece como variável independente. Estes

sinais são desinais estáticos,

ousinais não dinâmicos,

pois não evoluem no tempo, e portanto representam

sistemas físicos estáticos.

Alguns sinais da secção anterior que são estáticos:

a imagem monocromática os sinais meteorológicosa imagem colorida os sinais geofísicos


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2.5 – Energia e Potência de Sinais

Em muitas aplicações, embora não em todas, os sinais são directamente relacionadoscom quantidades físicas que captam ou absorvem energia e potência no sistema físico.

Por exemplo, no caso do circuito RC que foi visto acima (na secção 2.1), a potênciainstantânea na resistência R é:

)t(vR

1)t(i)t(v)t(p 2=⋅=

onde:

v(t) = tensão na resistência R;

i(t) = corrente na resistência R.

e a energia total despendida no intervalo de tempo 21 ttt ≤≤ é:

∫∫ ==2

1

2

1

t

t

2t

tTotaldt)t(v

R

1dt)t(pE

e a potência média neste intervalo [t1, t2] é:

( ) ( ) ∫∫ ⋅=⋅=

−−

2

1

2

1

t

t

2t

tmédiadt)t(v

R

11dt)t(p

1P

1212 tttt

De forma semelhante no caso do exemplo acima do carro (secção 2.1), a potênciadissipada pela fricção é:

)t(v)t(p 2⋅ρ=

onde ρ = coeficiente de atrito da superfície.

E neste caso a energia total e potência média no intervalo [t1, t2] são respectivamente:

∫∫ ⋅ρ==2

1

2

1

t

t

2t

tTotal dt)t(vdt)t(pE

( ) ( ) ∫∫ ⋅ρ⋅=⋅= −−2

1

2

1

t

t

2t

tmédiadt)t(v

1dt)t(p

1P

1212 tttt

Motivados por exemplos como estes acima definem-se potência e energia para qual-

quer sinal contínuo x(t) e qualquer sinal discreto x[n] da seguinte forma:


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A potência instantânea de um sinal contínuo x(t) ou de um sinal discreto x[n]:

2)t(x)t(p = ou

2]n[x]n[p = eq. (2.1)

onde |x| é o módulo do número x (que pode ser real ou complexo).

A energia total no intervalo 21 ttt ≤≤ de um sinal contínuo x(t) é definida como:

∫∫ ⋅=⋅=2

1

2

1

t

t

2t

tdt)t(xdt)t(pE eq. (2.2)

A potência média neste intervalo [t1 , t2] é definida como:

( ) ∫ ⋅⋅=

−

2

1

t

t

2dt)t(x

1P

12 tt eq. (2.3)

A energia total e a potência média no intervalo 21 ttt ≤≤ de um sinal discreto x[n]

são definidas como:

[ ]∑∑==

==2

1

2

1

n

nn

2n

nn

nx]n[pE eq. (2.4)

( ) [ ]∑

=

⋅=+−

2

1

n

nn

2

12

nx1

P1nn eq. (2.5)

Para o caso de um intervalo de tempo infinito:–∞ < t < ∞ ou –∞ < n < ∞

as definições de energia total e potência média, no caso de um sinal contínuo notempo, ficam:

∫∫ ∞

∞−−∞→⋅=⋅=∞ dt)t(xdt)t(xlimE

2T

T

2

T eq. (2.6)

∫−→∞ ⋅⋅=∞T

T

2

Tdt)t(x

T2

1limP eq. (2.7)


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e, para um sinal discreto no tempo, ficam:

[ ] [ ]∑ ∑−=

∞

−∞=∞→

==∞

N

Nn n

22

NnxnxlimE eq. (2.8)

( ) [ ]∑

−=∞→

⋅=+

∞

N

Nn

2

NnxlimP

1N2

1 eq. (2.9)

Note que para alguns sinais E∞ e/ou P∞ podem não convergir. Por exemplo, se x(t) oux[n] = constante ≠ 0 para todo t, então este sinal tem energia infinita (E∞ = ∞).

Se um sinal tem energia E∞ < ∞ (energia total finita), então:

P∞ = 0Isto porque

0T2

ElimPT

== ∞∞∞ →

(no caso contínuo) eq. (2.10)

ou

( )0

ElimP

1N2N==

+

∞

∞∞ → (no caso discreto) eq. (2.11)

Por outro lado, pela mesma razão, isto é, usando se eq. (2.10) e eq. (2.11),concluímos que: se um sinal tem potência finita ≠ 0 (0 < P∞ < ∞), então:

E∞ = ∞.

Finalmente, existem sinais que possuem ambas: E∞ = ∞ e P∞ = ∞.

Exemplo 2.1:

Considere o sinal x(t), ilustrado na figura 24.

Fig. 24 – O sinal x(t) = 2, 0 < t < 1.

[ ]

∉


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Facilmente observa-se que para este sinal x(t):

2

020dt0dt1dt0

dt)t(xE

2

22

0

20 2

2

=

++=⋅+⋅+⋅=

⋅=

∫∫∫

∫∞

∞−

∞

∞−∞

e portanto, pela eq. (2.10),P∞ = 0.

Exemplo 2.2:

Considere o sinal n,2]n[x ∀= ilustrado na figura 25.

Fig. 25 – O sinal x[n] = 2, ∀n.

Para este sinal x[n]:

( ) [ ]

( )

( )

4

4)1N2(lim

)4444(lim

nxlimP

1N2

1

1N2

1

1N2

1

N

N

N

Nn

2

N

=

=⋅+⋅=

=+++++⋅=

=⋅=

+

+

+

∞→

∞→

−=∞→

∞ ∑

LL

e portanto, pela eq. (2.11),

E∞ = ∞.


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Exemplo 2.3:

Considere o sinal ,2,1,0,1,2n,2]n[x −−== e ,2,1,0,1,2n,0]n[x −−≠∀= ilus-trado na figura 26.

Fig. 26 – O sinal x[n] para n = 2, n = –2, –1, 0, 1, 2,e x[n] = 0, ∀n ≠ –2, –1, 0, 1, 2.

Para este sinal x[n]:

[ ] 202nxlimEN

Nn

2

2n

22

N=== ∑ ∑

−= −=∞→

∞

e portanto, pela eq. (2.11),

P∞ = 0.

Exemplo 2.4:

Considere o sinal x(t) = 0,25 t, ∀t ilustrado na figura 27.

Fig. 27 – O sinal x(t) = 0,25 t, ∀t.

Facilmente observa-se que para este sinal x(t) ambos E∞ e P∞ são infinito.

E∞ = ∞,

P∞ = ∞.

−−≠

−−==

2,1,0,1,2nse02,1,0,1,2nse2]n[x


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2.6 – Transformações da variável independente

Nesta secção apresentamos as transformações da variável independente em sinais

Translação no tempo (“ time shifting”):

A translação no tempo, “time shifting” ou simplesmente “shift ” é, o deslizamentolateral, para direita ou para a esquerda, do sinal x[n] (no caso discreto) ou x(t) (nocaso contínuo). Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’ou ‘t’:

n → n ± no ou t → t ± to.

Shift para direita (retardo):

sinal discreto: x[n] x[n–no], no > 0.

Fig. 28 – Ilustração de “shift ” para direita (retardo) no sinal discreto x[n].

sinal contínuo : x(t) x(t – to), to > 0.

Fig. 29 – Ilustração de “shift ” para direita (retardo) no sinal contínuo x(t).


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Shift para esquerda (avanço):

sinal discreto: x[n] x[n+no] , no > 0.

Fig. 30 – Ilustração de “shift ” para esquerda (avanço) no sinal discreto x[n].

sinal contínuo : x(t) x(t + to), to > 0.

Fig. 31 – Ilustração de “shift ” para esquerda (avanço) no sinal contínuo x(t).

Reversão do tempo / sinal reflectido (“ time reversal ”) em torno de t = 0:

sinal discreto: x[n] x[–n]

Fig. 32 – Ilustração de reversão do tempo “time reversal” no sinal discreto x[n].

sinal contínuo: x(t) x(–t)


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Fig. 33 – Ilustração de reversão do tempo “time reversal” no sinal contínuo x(t).

Escalonamento no tempo (“ time scaling”):

O escalonamento no tempo é na verdade uma mudança da escala do tempo ‘n’ (nocaso discreto) ou ‘t’ (no caso contínuo). Isso é obtido com a mudança da variávelindependente, o tempo ‘n’ ou ‘t’:

n → a n ou t → a t.

para uma constante a > 0.

Compressão ou encolhimento:

sinal discreto: x[n] x[an] , a > 1.

sinal contínuo: x(t) x(at), a > 1.

Expansão ou esticamento:

sinal discreto: x[n] x[an] , 0 < a < 1.

sinal contínuo: x(t) x(at), 0 < a < 1.


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29

Fig. 34 – Ilustrações de escalonamento no tempo (“time scaling”) feito aosinal contínuo x(t). Vê-se x(t), x(2t) e x(t/2).

Caso geral:

sinal discreto: x[n] x[αn + β]

sinal contínuo: x(t) x(αt + β)

Se | α | < 1 → sinal é esticado ( ←→ );

Se | α | > 1 → sinal é comprimido ( → ← );

Se α < 0 → sinal é invertido;

Se β < 0 → translação (shift ) para direita;Se β > 0 → translação (shift ) para esquerda.


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30

Exemplo 2.5:

Considere o sinal x(t) dado pela expressão:

∉

≤<

≤≤

=

]2,0[t02t15,0

1t01

)t(x

e que está representado na figura 35(a). Nas figuras 35(b)-(h) estão representadosalgumas transformações de x(t) através de translações (“time shifting”), reversão dotempo (“time reversal”) e escalonamentos no tempo (“time scaling”).

No caso do sinal x(t + 1) da figura 35(b) trata-se de uma translação (shift ) para

esquerda de uma unidade de tempo, enquanto que o sinal x(–t) da figura 35(c) é osinal x(t) reflectido, isto é, uma reversão no tempo (“time reversal”).

Por outro lado, os sinais

t32

x e

t23

x

da figura 35(d) e (e) são escalonamentos no tempo (“time scaling”) com ampliaçãoescala em 1,5 (ou seja, 3/2) no primeiro deles, e com compressão da escala de 0,666

(ou seja, 2/3) no caso do segundo.

Por sua vez o sinal

+1t

2

3x

da figura 35(f) trata-se de uma translação para esquerda de uma unidade, primeiro, euma compressão da escala de 0,666 depois. Entretanto, no sinal

+

2)1t(3

x

da figura 35(g) passa-se exactamente o oposto: uma compressão da escala de 0,666,primeiro, e uma translação para esquerda de uma unidade, depois.

Finalmente o sinal( )5,0t2x −

da figura 35(h) é uma translação para esquerda de uma 0,5, primeiro, e umacompressão da escala de 0,5 (ou seja, ½) depois.


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31

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Fig. 35 – Sinais do Exemplo 2.5.


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32

2.7 – Sinais periódicos

Um sinal contínuo x(t) é periódico se ∃ T > 0 tal que

x(t) = x(t + T) , ∀ t eq. (2.12)

T é chamado de período de x(t).

Ou seja, um sinal periódico x(t) fica imutável se fizermos uma translação (shift ) de T.

Fig. 36 – Sinal periódico.

Se um sinal x(t) é periódico de período T então x(t) também é periódico de período2T, 3T, 4T, …

O período fundamental To de x(t), é o menor valor positivo de T para o qual aeq. (2.12) acima é válida.

Esta definição tem uma excepção que é o caso de

x(t) = C (constante) , ∀ t

que também é periódico pois qualquer valor T > 0 é um período deste sinal, masentretanto não há um período fundamental To para este sinal.

Um sinal não periódico é chamado de “aperiódico”.

Analogamente, um sinal discreto x[n] é periódico se ∃ N tal que

x[n] = x[n + N] , ∀ n eq. (2.13)

N é chamado de período de x[n].

O período fundamental de x[n], No , é o menor valor de N para o qual eq. (2.13) éválida.


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33

Exemplo 2.6:

É fácil de verificar que To = (2π /a) é o período fundamental do sinal periódico:

x1(t) = b ⋅ cos (at + c)

e que To = (π /a) é período fundamental do sinal periódico:

x2(t) = b ⋅ | cos (at) |

Exemplo 2.7:

A figura 37 mostra um sinal discreto com período fundamental

No = 3.

Fig. 37 – Sinal do Exemplo 2.7.

2.8 – Sinais pares e ímpares

Um sinal contínuo x(t) é par se:x(–t) = x(t)

Um sinal discreto x[n] é par se:x[–n] = x[n]

Um sinal contínuo x(t) é ímpar se:x(–t) = –x(t)

Um sinal discreto x[n] é ímpar se:x[–n] = –x[n]


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34

Exemplo 2.8:

As figuras 38 e 39 mostram um sinal par e um sinal ímpar respectivamente.

Fig. 38 – Um sinal par.

Fig. 39 – Um sinal impar.


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35

Note que para um sinal ímpar x(t) (contínuo), ou x[n] (discreto), satisfaz respectiva-mente:

x(0) = 0,ou

x[n] = 0.

Exemplo 2.9:

x(t) = sen (t) é um sinal ímpar; e

x(t) = cos (t) é um sinal par.

Um sinal pode ser decomposto na soma de 2 sinais sendo um par e um ímpar.

No caso de um sinal contínuo:

{ } { })t(xOdx(t)Evx(t) +=

onde:

{ } ( ))t(x)t(x2

1x(t)Ev −+= (sinal par )

{ } ( ))t(x)t(x21x(t)Od −−= (sinal ímpar )

No caso de um sinal discreto:

[ ] [ ]{ } [ ]{ }nxOdnxEvnx +=

onde:

[ ]{ } [ ] [ ]( )nxnx21nxEv −+= (sinal par )

[ ]{ } [ ] [ ]( )nxnx2

1nxOd −−= (sinal ímpar )

Exemplo 2.10:

O sinal x[n] da figura 40 é chamado de degrau unitário (como veremos com detalhesno capítulo 3 sobre sinais singulares).


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Fig. 40 – Sinal degrau unitário.

Este sinal pode facilmente ser decomposto nos dois sinais

xev[n] = Ev{x[n]}

e xod[n] = Od{[n]} dados abaixo:

[ ] [ ]{ }

>

=

<

==

0nse,21

0nse,1

0nse,21

nxEvnxev [ ] [ ]{ }

>

=


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37

2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais

O sinal sinusoidal contínuo:

Fig. 42 – O sinal sinusoidal contínuo.

Este sinal descreve as características de muitos processos físicos, em particular: siste-mas no qual a energia é conservada, como os circuitos LC ; o movimento harmónicosimples (MHS); a variação da pressão acústica que corresponde ao tom de uma notamusical; etc.

O sinal acima x(t) = A cos(ωot + φ), ωo = 0 é periódico com período fundamental

oo

2 T

ω

π= .

e ωo é chamada de frequência fundamental.

A equação acima mostra que frequência fundamental e o período fundamental sãoinversamente proporcionais.

Se tivermos 3 sinais:

xo(t) = A cos(ωot + φ),

x1(t) = A cos(ω1t + φ), e

x2(t) = A cos(ω2t + φ),


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38

com ω2 < ωo


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39

As unidades de )tcos(Ax(t) o φ+ω= são:

T [segundos]

φ [radianos]

ωo

[radianos / segundo]

Às vezes a frequência natural ωo é escrita como

ωo = 2πf o

onde f o é a frequência do sinal x(t) = A cos(2πf ot + φ) e tem como unidade

f o [Hertz]

Note também (os casos particulares), para

)t(cosA)t(x o φ+ω⋅=

se φ = 0, ou φ = ±2π, ±4π, … ⇒ x(t) = A cos (ωot)

se

2

π=φ , ou L,4

2

,2

2

π±π

π±π

=φ ⇒ x(t) = − A sen (ωot)

se2π

−=φ ,ou

L,42

,22

π±π

−π±π

−=φ ⇒ x(t) = A sen (ωot)

se π=φ , ou L,7,5,3, π±π±π±π−=φ ⇒ x(t) = − A cos (ωot)

Além disso: se ωo = 0 ==> x(t) = C (constante)

Fig. 44 – O sinal x(t) = C (constante).

O sinal x(t) = C (constante), ∀t é também um sinal periódico, e com período T paraqualquer T > 0. Entretanto este sinal x(t) = C (constante) não tem um período funda-mental To.


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40

Outro detalhe: o sinal x(t) escrito na forma combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot e sem desfasagem, isto é,

)t(cos)t(sen)t(x oo ω⋅β+ω⋅α= ,

pode ser escrito como um seno com a mesma frequência ωot e desfasagem φ, isto é,)t(senA)t(x o φ+ω⋅= ; e vice-versa. Ou seja:

)t(senA

)t(cos)t(sen)t(x

o

oo

φ+ω⋅=

ω⋅β+ω⋅α=

onde:

φ⋅=α cosA e φ⋅=β senA eq. (2.14)

22A β+α= e

α

β=φ arctg eq. (2.15)

Por outro lado, o sinal x(t) que vimos mais acima, expresso na forma de um co-seno de frequência ωot e desfasagem φ, isto é, )t(cosA)t(x o φ+ω⋅= , pode ser escrito na

forma de combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot (evice-versa) da seguinte forma:

)t(sen)t(cos

)t(cosA)t(x

oo

o

ω⋅β−ω⋅α=

φ+ω⋅=

onde α, β, A e φ são dados acima em eq. (2.14) e eq. (2.15).

O sinal exponencial contínuo:

atC)t(x e=

Caso 1: C ∈ R e a ∈ R R = conjunto dos números reais.

Neste caso x(t) é chamado de um sinal exponencial real e pode ser crescente (sea > 0) ou decrescente (se a < 0).


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41

Fig. 45 – O sinal exponencial contínuo, caso 1 (C ∈ R e a ∈ R), a > 0, crescente.

Fig. 46 – O sinal exponencial contínuo, caso 1 (C ∈ R e a ∈ R), a < 0, decrescente.

A exponencial crescente é usada na descrição de muitos fenómenos físicos como areacção em cadeia em explosões atómicas e certas reacções químicas complexas.

A exponencial decrescente também aparece na descrição de muitos processos físicoscomo por exemplo: o decaimento radioactivo, a resposta vc(t) do circuito RC e siste-mas mecânicos amortecidos.

Obviamente se a = 0, então novamente x(t) = C eat = C = constante (já vista acima nossinais sinusoidais com frequência ωo = 0) e portanto x(t) deixa de ser um sinalcrescente ou decrescente.

Fig. 47 – O sinal x(t) = C (constante), caso particular a = 0 do sinal exponencialcontínuo.


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42

Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário purotaC)t(x e=

para C = 1 e a = j⋅ωo (imaginário puro)

t j o)t(x ω= e

Neste caso x(t) é um sinal exponencial complexo para cada t.

Fig. 48 – O sinal exponencial contínuo, caso 2 (C = 1 e a é um número imagináriopuro)

Observe que como θ∀=θ ,1 je , então:

| x(t) | = 1 , ∀t

Podemos interpretar este sinal x(t) como um ponto que se desloca na circunferênciade raio 1 no plano complexo com velocidade angular | ωo | rad/s.

Note que este sinalt j o)t(x ω= e

é sempre periódico pois:


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43

)t(x

e)Tt(x T jt j)Tt( j ooo

=

===+ ωω+ω ee

para muitos valores de T (período) para os quais o j T 1ω =e .

De facto, se

...,2,1k,k2

To

±±=ω

π= ,

então 1T j o =ωe e T é um período de x(t). No caso particular de

0,2

Tooo

≠ωω

π=

então To é o período fundamental de x(t) e ωo é chamada de frequência fundamentalde x(t).A família de sinais exponenciais complexos

tk jk

o)t( ω=φ e , ...,2,1,0k ±±=

é conhecida como sinais harmonicamente relacionados. Estes sinais são periódicos ea frequência fundamental de cada )t(kφ , k ≠ 0, é

ook k ω⋅=ω

e o período fundamental é

k

T

k

2T o

ook =

ω⋅

π=

No caso de k = 0, então )t(oφ = constante e não há uma frequência fundamental nemum período fundamental.

O termo “harmónico” advém da música e se refere aos tons resultantes de variaçõesda pressão acústica em frequências que são múltiplas da frequência fundamental.

Por exemplo, o padrão de vibração de uma corda de um instrumento musical (como o

violino) pode ser descrito como a sobreposição (ou a média ponderada) de sinais ex-ponenciais periódicos harmonicamente relacionados.


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44

Exemplo 2.11:

( )t5,1 jt5,1 jt5,3 jt5 jt2 j)t(x

⋅⋅−⋅

⋅⋅

+=

+=

eee

ee

agora, usando a Equação de Euler,)t5,1cos(e2)t(x t5,3 j ⋅= ⋅

e, como 1 j =θe , ∀θ, temos que

)t5,1cos(2)t(x ⋅=

que é o sinal sinusoidal de onda completa rectificado, visto no gráfico da figura 49abaixo.

Fig. 49 – Módulo do sinal x(t), )t5,1cos(2)t(x ⋅= .

Caso 3: C ∈ C e a ∈ C C = conjunto dos números complexos.

SeC = |C| e

j θ (‘C’ está escrito na forma polar)a = σ + j ωo (‘a’ está escrito na forma cartesiana)

então o sinal exponencial contínuo

a t

( j )t j o

( j t )t o

t t

o o

x(t) C

C

C

C cos( t ) j C sen( t )

σ+ ωθ

ω +θσ

σ σ

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅ ω + θ + ⋅ ⋅ ω + θ

e

e e

e e

e e

Logo:


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45

Re{ x(t) } e Im{ x(t) }

σ = 0 ⇒ Sinais sinusoidais

σ > 0 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes

σ < 0 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes

Re{x(t)} = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ > 0 Re{x(t)} = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ < 0

Fig. 50 – Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais (com σ > 0 e σ < 0).

Para exemplificar, a figura 50 mostra-nos dois sinais sinusoidais multiplicados porexponenciais. Um com σ > 0, logo o sinal cresce; e outro com σ < 0, logo o sinaldecai, ou fica amortecido.

Exemplos de sistemas físicos onde aparecem estes sinais são: Circuitos RLC ; siste-mas mecânicos com amortecimento e força restauradora (massa-mola, suspensão deautomóveis, etc.). Estes sistemas têm mecanismos que dissipam energia (como resis-tências, forças amortecedoras e atritos) com oscilações que decaem no tempo.

O sinal sinusoidal discreto:

x[n] = A cos (ωon + φ)

onde as unidades de x[n] são:

n [sem dimensão]

ωo [radianos]

φ [radianos]

f o = ωo / 2π [radianos]


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46

As figuras 51, 52 e 53 acima ilustram 3 sinais sinusoidais discretos x1[n], x2[n] ex3[n].

Fig. 51 – Sinal sinusoidal discreto x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π ≅ 0,628.

Este sinal é periódico e o período fundamental é No = 10.

Fig. 52 – Sinal sinusoidal discreto x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π ≅ 0,944.Este sinal é periódico e o período fundamental é No = 20.

Fig. 53 – Sinal sinusoidal discreto x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1.Este sinal não é periódico conforme veremos mais adiante.

Usando as equações de Euler, um sinal sinusoidal discreto x[n] pode ser escritocomo:


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47

n j j j on j

o

ee2

Aee

2

A

)(cosAx[n]

o ωφφ −−ω ⋅⋅+⋅⋅=

=φ+ω=

e, como 12 j =φe e 1

2no j =ω

e , então, para este sinal temos que a energia total E∞

e a potência total P∞ são:

E∞ = ∞, e P∞ = 1.

O sinal exponencial discreto:

Considere o sinal

[ ]n

n

C

Cnxβ

=

α=

e , onde

β=α e .

que é uma forma análoga ao sinal exponencial contínuo.

Caso 1: C ∈ R e α∈ R: R = conjunto dos números reais.

Neste caso x[n] pode ser um sinal crescente (se | α | > 1) ou um sinal decrescente (se| α | < 1).

Na figuras 54 e 55 vemos os gráficos deste sinal [ ] nCnx α= para α > 1, 0 < α < 1,–1 < α < 0 e α < –1.

Fig. 54 – Sinal exponencial discreto, caso 1, α > 1 e 0 < α < 1.


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Fig. 55 – Sinal exponencial discreto, caso 1, –1 < α < 0 e α < –1.

Obviamente, se α = 0, então [ ] nCnx α= é sinal da figura 56.

Fig. 56 – Sinal constante discreto, caso da constante α = 0,um caso particular do sinal exponencial discreto.

De forma semelhante, se α = ±1, então [ ] nCnx α= é um dos sinais da figura 57. Ouseja, um sinal constante ± |C|.

Fig. 57 – Sinais constantes discretos, casos da constante positiva e negativa, umcasos particulares do sinal exponencial discreto.


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49

Ou seja:Se α = 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = 0 ,

se α = 1 e C > 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = | C | ,

se α = –1 e C < 0, então ⇒ [ ]

n

Cnx α= = | C | ,se α = –1 e C > 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = –| C |.

se α = 1 e C < 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = –| C |.

Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro (isto é, | α | = 1):

O sinal exponencial complexo[ ] nn CCnx α== βe β=α e

para C = 1 e β = j ωo (imaginário puro), temos que | α | = 1, e x[n] fica:

[ ] n j onx ω= e .

Usando a equação de Euler temos que:

[ ] nsen jncosnx oon j o ω⋅+ω== ωe

Observe que, como ,n,1e2n j o ∀=ω então para este sinal temos novamente que

E∞ = ∞, e P∞ = 1.

Note que o sinal exponencial [ ]no jnx

ω= e satisfaz a seguinte propriedade:

[ ]

...,2,1,0m,

nx

n)mo( j

n)2o( jno j

±±==

===

π±ω

π+ωω

e

ee

ou seja, o sinal x[n] é o mesmo para frequência ωo e (ωo + 2π). Na verdade é omesmo para qualquer frequência (ωo ± mπ), m = 0, ±1, ±2, … Isto é, ele se repete acada 2π a medida que a frequência ωo varia.

Esta situação é diferente do seu sinal análogo contínuo x(t), onde para cada ωo, x(t)era um sinal diferente. Nunca se repetia para valores diferentes de ωo. Na verdade,quanto maior era a frequência ωo, maior era a taxa de oscilação de x(t).


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50

No caso discreto que analisamos aqui

[ ] no jnx ω= e

o que ocorre é que conforme ωo aumenta de 0 até π, obtemos sinais x[n] que oscilamcada vez mais rápido. Depois, continuando a aumentar ωo de π até 2π, os sinais x[n]vão oscilando cada vez mais lentamente até voltar a ser o mesmo que era em ωo = 0para ωo = 2π.

Os gráficos da figuras 58-61 abaixo dão uma ideia de como isto ocorre. Elas mostrama evolução da parte real de x[n], ou seja

{ } ,)ncos(Re]n[xRe]n[ o j no

ω===σ ω

e

desde 0 (nenhuma oscilação) até π (número máximo de oscilações) e depois conti-nuando até 2π (nenhuma oscilação novamente).

Fig. 58 – Sinais discretos σ[n] = cos (ωon), ωo = 0 e ωo = π /8.

8o

π=ω

0o =ω


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51

Fig. 59 – Sinais discretos σ[n] = = cos (ωon), ωo = π /4 , ωo = π /2 e ωo = π.

4oπ

=ω

2o

π=ω

π=ωo


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52

Fig. 60 – Sinais discretos σ[n] = cos (ωon), ωo = 3π /2 , ωo = 7π /4 e ωo = 15π /8.

2

3o

π=ω

4

7o

π=ω

815

oπ=ω


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53

Fig. 61 – Sinal discreto σ[n] = cos (ωon), ωo = 2π.

Se ωo = π, ou ωo = ±nπ para um valor de n ímpar, a oscilação é máxima pois

[ ]

.)1()(

ímparnpara,nx

nn

nno j

j

j

−==

==

π

πω

e

ee

ou seja, o sinal x[n] salta de +1 para –1 a cada ponto n no tempo.

Por outro lado se ωo = 0, ou ωo = ±nπ para m par, não há oscilação pois

[ ] n,10no j jnx ∀=⋅== ⋅ω⋅ ee

ou seja, o sinal x[n] é constante para todos os valores n no tempo.

Portanto, as oscilações baixas (ou variações lentas) do sinal x[n] tem valores ωo pró-ximo a 0, 2π, etc. (múltiplos pares de π), enquanto que as oscilações altas (ou varia-ções rápidas) do sinal x[n] estão localizadas próximas a ±π e múltiplos ímpares de π.

Outra propriedade importante é a “ periodicidade”. Esta situação aqui em x[n] tam-bém é diferente que no seu análogo contínuo x(t). Enquanto que o sinal x(t) é sempre

periódico, para o sinal x[n] isto não ocorre sempre.

Note que a equação

[ ] [ ]nxNnx no jNo jNn(o n j) j o == ωω+ω ⋅==+ ω eeee

só é válida quando 1No j =ωe , ou seja, se

...,2,1,0m,m2No ±±=π=ω

isto é, se

...,2,1,0m,N

m

2o ±±==π

ω eq. (2.16)

o que equivale a dizer

π

ω

2o

∈ Q = conjunto dos números racionais. eq. (2.17)

π=ω 2o


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54

Logo, o sinal discreto

[ ] no jnx ω= e

só é periódico quandoπ

ω

2o é um número racional.

Considere os 3 sinais ilustrados na figuras 51, 52 e 53,

x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π , eq. (2.18)

x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π , eq. (2.19)

x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1. eq. (2.20)

Somente os 2 primeiros sinais, i.e., x1[n] da eq. (2.18) e x2[n] da eq. (2.19), sãoperiódicos pois têm frequências múltiplas de π por um número racional.

Nota-se que na ilustração de x1[n] (figura 51) e x2[n] (figura 52) que os pontos voltama ter o mesmo valor de x[n] periodicamente.Já com o terceiro destes sinais, i.e., x3[n] da eq. (2.20), isso não acontece pois ωo = 1não é múltiplo de π por um número racional e portanto ele não é um sinal periódico.

Observe que x2[n] e x3[n] são sinais muito próximos pois

x2[n] = A cos (3π n) = A cos (0.9425 n) e x3[n] = A cos (1 n).

Entretanto, para o sinal x3[n] (figura 53) os pontos nunca voltam a ter um mesmovalor, pois não é periódico. Ele oscila infinitamente mas as sequências de valoresnunca torna a se repetir. Por exemplo, x3[0] = 1, pois o cos(0) = 1. No entanto estevalor 1 nunca torna a acontecer para nenhum outro x3[n], ∀n ≠ 0.

M x3[–2] = –0.4161x3[–1] = 0.5403x3[0] = 1,0

x3[1] = 0,5403x3[2] = –0,4161

x3[3] = –0,9899x3[4] = –0,6536x3[5] = 0,2837x3[6] = 0,9602x3[7] = 0,7539x3[8] = –0,1455

x3[9] = –0,9111x3[10] = –0,8391x3[11] = 0,0044x3[12] = 0,8439x3[13] = 0,9074x3[14] = 0,1367

x3[15] = –0,7597x3[16] = –0,9577x3[17] = –0,2752x3[18] = 0,6603x3[19] = 0,9887

M

Podemos escrever a condição das eq. (2.16) e eq. (2.17), i.e., (ωo /2π) ∈ Q, de umaoutra forma equivalente:

Se (ωo /2π) ∈ Q, então qualquer N que satisfaz

...,2,1,0m,2

mNo

±±=

ω

π⋅=

eq. (2.21)

é um período de x[n].


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55

Na verdade, se ωo ≠ 0, e se N e m forem primos entre si (não têm factores comuns),sendo N > 0, então o período fundamental é

No = N ,ou seja,

ωπ⋅=o

o 2mN .

Resumindo o Caso 2 para os sinais contínuos e discretos:

t j o)t(x ω= e [ ]n j onx ω= e

x(t) ≠ para valores de ωo ≠ x[n] se repete para

ωo, (ωo + 2π), (ωo + 4π), etc

x(t) é periódico ∀ ωo x[n] só é periódico se

π=ω

N

m2o

Para algum inteiro N > 0 e m inteiro.

(m e N primos entre si)

frequência fundamental de x(t)

ωo

frequência fundamental de x[n]

m

oω

(m e N primos entre si)

período fundamental de x(t)

se ωo = 0 ⇒ não existe!

se ωo ≠ 0 ⇒ o

o

2T

ω

π=

período fundamental de x[n]

se ωo = 0 ⇒ não existe!

se ωo ≠ 0 ⇒

ω

π⋅=

oo

2mN

Caso 3: C ∈ C e α∈ C: C = conjunto dos números complexos

SeC = |C| e j θ (C escrito na forma polar)

α = |α| e j ωo (α escrito na forma polar)

então o sinal exponencial contínuo


56/56


[ ]

)nsin(C j)ncos(C

Cnx

oo

nn

n

θ+ω⋅α⋅⋅+θ+ω⋅α⋅=

α=

Logo,Re{ x[n] } e Im{ x[n] }

| α | = 1 ⇒ Sinais sinusoidais discretos

| α | > 1 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes

| α | < 1 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes

Fig. 62 – Sinal exponencial discreto, caso 3, | α | > 1.

[ ] [ ]{ }

1

)ncos(nxRen on

>α

θ+ω⋅α==σ

[ ] [ ]{ }

1

)ncos(nxRen on

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