Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

12a Aula: Controle por Realimentação de Estados (2.a Parte)

O primeiro passo na abordagem do projeto de sistemas reguladores de estado é o deslocamento de polos, ou seja, escolher as localizações dos pólos de malha fechada pretendidas.

Reguladores de Estado

A abordagem mais frequente utilizada é escolher esses pólos com base na experiência no método de projeto L.R. (root-locus).

Colocando um par de pólos dominante de malha fechada e escolher outros pólos, de modo que eles sejam muito à esquerda dos pólos de malha fechada dominantes.

Note que se colocarmos os polos dominantes de malha fechada longe do eixo jw, de modo que a resposta do sistema torne-se muito rápida, os sinais no sistema tornam-se muito grandes, e com o resultado o sistema pode tornar-se não linear. Isto deve ser evitado.

Escolha dos locais de pólos de malha fechada desejados

+-

Com realimentação negativa unitária a F. T de malha fechada:

Problemas na Localização de Polos

Problemas de alocação de pólos podem ser resolvidos facilmente com o MATLAB, que tem dois comandos para a computação do cálculo da matriz de ganho de realimentação K.

Comando acker

Comando place

O comando acker é baseado na fórmula de Ackermann e aplica-se somente para sistemas de entrada única.

Os pólos de malha fechada desejados podem incluir vários pólos (pólos localizados no mesmo local).

Problemas na Localização de Polos

Se o sistema envolve múltiplas entradas, então, para um determinado conjunto de pólos de malha fechada, o ganho da matriz K de realimentação não é único e tem-se uma liberdade adicional para escolher K.

Há muitas abordagens para utilizar essa liberdade adicional de forma construtiva para determinar K.

Um uso comum é o de maximizar a margem de estabilidade.

A alocação de pólos com base nesta abordagem é chamada de alocação robusta de pólos, o comando MATLAB para a colocação robusta de pólos é o place.

Problemas na Localização de Polos

Embora o comando place possa ser usado, tanto para múltiplas entradas e entrada única, é necessário que a multiplicidade de pólos nos pólos de malha fechada desejados, não sejam maior do que o rank da matriz B.

Isto é, se a matriz B é uma matriz n x 1, o comando place requer que não haja múltiplos pólos no conjunto de pólos de malha fechada desejados.

Para os sistemas de entrada única o comando acker e o comando place produzem o mesmo K.

Para sistemas de múltiplas entradas deve-se usar o comando place ao inves do comando acker.

Problemas na Localização de Polos

Note que quando o sistema de entrada única é pouco controlado, algum problema computacional pode ocorrer se o comando acker é usado.

Em tal caso, a utilização do comando place é preferida, desde que não haja múltiplos pólos envolvidos no conjunto de polos de malha fechada desejados.

O uso do comando acker e place necessita entrar com as seguintes matrizes no programa:

Matriz A , Matriz B e Matriz J

Problemas na Localização de Polos

Onde, a Matriz J é a matriz constituída dos polos de malha fechada desejados, tais que:

Então, os comandos no MATLAB devem ser assim digitados:

O comando a seguir pode ser usado para verificar que K obtido, dá os autovalores desejados:

Exercício 1:Considere um sistema regulador. A planta é dada por

Onde:

O sistema usa o controle de realimentação de estado: Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos alocados em:

Determine a matriz K com o MATLAB.

1) Solução com o comando acker

2) Solução com o comando place

Exercício 2:

Considere um sistema regulador. A planta é dada por

Onde:

O sistema usa o controle de realimentação de estado: Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos alocados em:

Determine a matriz K com o MATLAB.

0 1 0 00 0 1 , 06 11 6 10

A B

Solucao:

Note que, para o deslocamento de polos, as matrizes C e D nao afetam o ganho K de malha fechada.

Exercício 3:

Considere novamente do sistema discutido no exercício 1. Desejou-se que os polos de malha fechada fossem em:

A matriz K de estado de ganho de malha fechada foi calculada:

Usando o MATLAB obtenha a resposta do sistema para as seguintes condições iniciais:

Solução:

Resposta para as Condições Iniciais: para obter a resposta das condições iniciais dado x(0), deve-se substituir u = -Kx na equação da planta para obter:

Para plotar a curva de resposta (x1 versus t, x2 versus t e x3 versus t), pode-se usar o comando do MATLAB initial. Primeiro define-se a equação de estado de espaço para o sistema como:

Onde inclue-se u (um vetor de entrada tri-dimensional). O vetor u é levado a ser (0) zero na computação da resposta da condição inicial. Então define-se:

E use o comando MATLAB inicial, como segue:

Neste comando, t é a duração que deseja-se utilizar , tal como:

Então, obtem-se X1, X2 e X3 como:

A seguir o programa é apresentado.

Um sistema é dito ser observável no tempo t0, se for possível determinar o estado x(t0) do sistema a partir da observação da saída ao longo de um intervalo de tempo finito.

Observalidade

Se cada estado x(t0) do sistema pode ser determinado a partir da observação da saída y(t), sobre um intervalo de tempo finito , a planta é dita completamente observável.

OBSERVADORES DE ESTADO

Um controlador por realimentação de estados necessita que todos os estados do sistema sejam conhecidos a todo instante de tempo.

Frequentemente nem todos os estados do sistema estão disponíveis.

Usualmente somente as saídas do sistema são conhecidas e, assim, somente as saídas estão disponíveis para realimentação.

O que fazer para solucionar esse problema?

Utilizar um modelo do sistema para estimar os estados por meio das saídas do sistema.

Estimativa do vetor de estados

Controle é alterado de para

OBSERVADORES DE ESTADO

Problema do observador de estados

Observador em malha aberta

Observador em malha aberta

Observador em malha aberta

Observador em malha fechada

Observador em malha fechada

Figura 2

Observador em malha fechada

Figura 3

Observador em malha fechada

Observador em malha fechada

Observador em malha fechada

Observador em malha fechada

Cálculo dos ganhos do observador em malha fechada

No MATLAB o comando rank da matriz OBSER, determina a observabilidade

do sistema. Se rank (OBSER) é menor do que n, onde n é a ordem do

sistema , o sistema não é controlavel.

rank < ordem do sistema

Cálculo dos ganhos do observador em malha fechada

Localização dos pólos do observador

Localização dos pólos do observador

Exemplos

Exemplos

Exemplos

Exemplos

Exercício (Lista)

Projeto de observador usando o método algébrico (caso MIMO).

• Dado o sistema SISO. Verifique se o sistema e observável. Caso positivo determine a matriz de malha fechada do observador: