Sistemas de Proteção de Sistemas Elevatórios Contra Golpe de Ariete

Lus Filipe Martins Mendes

Licenciado em Cincias de Engenharia do Ambiente

Mtodos Clssicos de Proteco de

Sistemas Elevatrios Contra o Golpe de Arete

Dissertao para obteno do Grau de Mestre em

Engenharia do Ambiente, perfil Engenharia Sanitria

Orientador: David Jos Fonseca Pereira, Prof. Doutor, FCT/UNL

Jri:

Presidente: Prof. Doutor Pedro Manuel da Hora Santos Coelho

Arguente(s): Eng. Joo Maria Matos Lopes da Fonseca

Vogal(ais): Prof. Doutor David Jos Fonseca Pereira

Setembro, 2011

MTODOS CLSSICOS DE PROTECO DE SISTEMAS ELEVATRIOS CONTRA O GOLPE DE ARETE

i

MTODOS CLSSICOS DE PROTECO DE SISTEMAS ELEVATRIOS

CONTRA O GOLPE DE ARETE

Copyright Lus Filipe Martins Mendes, Faculdade de Cincias e Tecnologia, e Universidade Nova

de Lisboa, 2011

A Faculdade de Cincias e Tecnologia e a Universidade Nova de Lisboa tm o direito, perptuo e

sem limites geogrficos, de arquivar e publicar este Relatrio atravs de exemplares impressos

reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser

inventado, e de a divulgar atravs de repositrios cientficos e de admitir a sua cpia e distribuio

com objectivos educacionais ou de investigao, no comerciais, desde que seja dado crdito ao

autor e editor.


iii

DEDICATRIA

minha filha, Leonor


v

AGRADECIMENTOS

Ao Professor David Pereira, pela confiana que sempre depositou no meu trabalho, pelo livro de

conhecimento que me abriu, e, acima de tudo, pela amizade.

Sofia, pelo carinho e pelas condies que criou, para que tudo fosse possvel.

Aos meus avs, pelos valores que me transmitiram ao longo da vida, e pela inspirao que

representam para mim, em especial:

minha av Bia, pelo exemplo de dedicao ao trabalho, e ao meu av Afonso, pelo equilbrio e

sensatez dos seus conselhos.

minha av Rosa, pela convico e fora para lutar contra as adversidades, e ao meu av Antnio,

pela inteligncia e humildade, que o caracterizavam.

Ao meu irmo, pelo apoio e companheirismo.

Aos meus pais, Amlia e Nicolau, por tudo

A todos expresso a minha sincera gratido.


vii

SUMRIO

A ocorrncia de regimes transitrios, em particular do golpe de arete e subsequente propagao de

ondas de presso, em sistemas elevatrios de gua e guas residuais, um acontecimento normal e

frequente, que acompanha qualquer alterao nas suas condies normais de funcionamento. As

circunstncias mais violentas, associadas ao golpe de arete, normalmente, resultam do corte de

energia elctrica de uma bomba, com consequente paragem da mesma.

O presente texto apresenta em detalhe, um conjunto de conceitos bsicos que permitem

compreender as causas e os efeitos da propagao das ondas de presso, decorrentes dos regimes

transitrios. feita, tambm, uma descrio abrangente de alguns mtodos prticos de proteco

contra o golpe de arete. Um exemplo simples, baseado em mtodos expeditos, foi preparado para

ilustrar a sequncia de passos de clculo, associados ao estudo preliminar do golpe de arete, numa

conduta elevatria.

Palavras-chave: Escoamento em Presso, Regimes Transitrios, Golpe de Arete, Sistemas

Elevatrios, Reservatrio de Ar Comprimido.


ix

ABSTRACT

The occurrence of pressure surge, particularly waterhammer and pressure transient propagation,

within any force main of either water and wastewater pumping systems is a normal and frequent event

that accompanies any change in the system normal operating condition. The most severe

waterhammer circumstances generally result during pump shutdown of power failure.

This text presents a detailed fundamental understanding of transient propagation causes and effects.

A largely description of practical methods of waterhammer control is also included. A simple

demonstration example, based on quick methods of analysis, has been prepared to help illustrate the

complete procedure of a preliminary waterhammer study in a force main.

Keywords: Pressure Flow, Hydraulic Transients, Waterhammer, Pumping Stations, Air Chamber.


xi

SIMBOLOGIA

rea da seco transversal de escoamento, de uma conduta

Velocidade de propagao de uma onda elstica

Coeficiente de fecho, funo do gradiente hidrulico

Volume mnimo de ar comprimido, no interior de um reservatrio

Volume total de um reservatrio de ar comprimido

Dimetro interno de uma conduta

Espessura da parede de uma conduta

Mdulo de elasticidade de Young

Acelerao da gravidade

Altura, carga hidrulica

Altura de elevao de uma bomba, para as condies do regime permanente

Carga absoluta em regime permanente

Cota piezomtrica de rotura da veia lquida

Perda de carga

Mdulo de compressibilidade volumtrica

Coeficiente de perda de carga

Coeficiente adimensional, funo do comprimento da conduta;

Comprimento total de uma conduta

Comprimento de um dado troo de uma conduta

Comprimento crtico

Presso do escoamento, num determinado ponto

Presso do escoamento, em regime permanente


xii

Tenso de vapor de gua

Presso atmosfrica

Diferencial de presso crtico

Presso mxima de servio admissvel da conduta

Presso interna de esmagamento da conduta

Parmetro caracterstico da inrcia de um grupo electrobomba

Caudal escoado em regime permanente

Variao de caudal

, Tempo

Tempo de anulao de caudal

Velocidade de escoamento

Velocidade de escoamento, em regime permanente

Variao da velocidade de escoamento

Cota do eixo de uma conduta

ngulo que o eixo da conduta forma com a horizontal

Coeficiente de Poisson

Massa especfica do fluido

Parmetro caracterstico da conduta


xiii

ACRNIMOS E SIGLAS

LNEC Laboratrio Nacional de Engenharia Civil

RAC Reservatrio de Ar Comprimido

RUD Reservatrio Unidireccional

RHAAA Reservatrio Hidropneumtico de Alimentao Automtica de Ar


xv

NDICE DE MATRIAS

1. INTRODUO .................................................................................................................................... 1

2. ESCOAMENTOS EM PRESSO. ENQUADRAMENTO TERICO .................................................. 5

3. REGIMES TRANSITRIOS EM PRESSO. ENQUADRAMENTO TERICO ................................. 9

3.1. CONDIES DE RISCO E POTENCIAIS CONSEQUNCIAS ..................................................................... 9

3.2. PRINCIPAIS CAUSAS DA OCORRNCIA DE CONDIES DE RISCO ...................................................... 11

3.3. GOLPE DE ARETE. ANLISE QUALITATIVA ....................................................................................... 13

3.3.1. Mecanismo de Propagao das Ondas de Presso .......................................................... 13

3.3.2. Influncia do Tempo de Paragem de Uma Bomba ............................................................. 19

3.3.3. Cavitao e Rotura da Veia Lquida ................................................................................... 22

3.3.4. Entrada de Ar e Outros Gases nas Condutas .................................................................... 24

3.4. OSCILAO EM MASSA. ANLISE QUALITATIVA ................................................................................ 27

3.5. ANLISE TERICA DO GOLPE DE ARETE ......................................................................................... 29

3.6. MTODOS GERAIS DE ANLISE MATEMTICA .................................................................................. 33

4. ALGUMAS BASES PARA ANLISE PRELIMINAR DO GOLPE DE ARETE ............................... 35

4.1. CONSIDERAES GERAIS .............................................................................................................. 35

4.2. CELERIDADE DAS ONDAS ELSTICAS .............................................................................................. 36

4.3. GOLPE DE ARETE EM SITUAES DE MANOBRA RPIDA ................................................................. 39

4.4. GOLPE DE ARETE EM SITUAES DE MANOBRA LENTA ................................................................... 41

4.5. TEMPO DE ANULAO DO CAUDAL .................................................................................................. 42

4.6. ROTURA DA VEIA LQUIDA .............................................................................................................. 43

5. PROTECO CONTRA O GOLPE DE ARETE EM SISTEMAS ELEVATRIOS ........................ 45

5.1. CONSIDERAES GERAIS .............................................................................................................. 45

5.2. MEDIDAS DE ACO DIRECTA ........................................................................................................ 45

5.2.1. Aumento da Resistncia Mecnica das Condutas ............................................................. 46

5.2.2. Rectificao da Implantao das Condutas ........................................................................ 47

5.2.3. Reduo do Atraso no Fecho de Vlvulas de Reteno .................................................... 50

5.2.4. Aumento da Inrcia dos Grupos Electrobomba e Respectivos Motores ............................ 54

5.3. MEDIDAS DE ACO INDIRECTA ...................................................................................................... 58


xvi

5.3.1. Chamin de Equilbrio ......................................................................................................... 59

5.3.2. Reservatrio Unidireccional (RUD) ..................................................................................... 61

5.3.3. Reservatrio de Ar Comprimido (RAC) ............................................................................... 63

5.3.4. Acumulador ou Reservatrio de Membrana ....................................................................... 67

5.3.5. Reservatrio Hidropneumtico com Alimentao Automtica de Ar .................................. 71

5.3.6. Conduta de Aspirao Paralela ou By-Pass ..................................................................... 73

5.3.7. Vlvula de Alvio .................................................................................................................. 75

5.3.8. Ventosa ............................................................................................................................... 76

5.4. SELECO DE DISPOSITIVOS DE PROTECO .................................................................................. 78

6. EXEMPLO PRTICO DE ANLISE PRELIMINAR DO GOLPE DE ARETE, NUM SISTEMA

ELEVATRIO ....................................................................................................................................... 83

6.1. CARACTERIZAO GERAL DO SISTEMA ELEVATRIO ........................................................................ 83

6.2. DETERMINAO DAS ENVOLVENTES MXIMAS DE PRESSO ............................................................. 84

6.3. PR-DIMENSIONAMENTO DE UM RESERVATRIO DE AR COMPRIMIDO ............................................... 86

7. SNTESE, CONCLUSES E CONTINUAO DO TRABALHO .................................................... 91

8. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................................. 93


xvii

NDICE DE FIGURAS

Figura 2.1. Passagem entre dois regimes permanentes ........................................................................ 5

Figura 2.2. Arete utilizado em guerras no perodo medieval (Mori, 2011) ............................................. 6

Figura 3.1. Vlvula de reteno DN800 destruda devido a sobrepresso (KSB, 2008)...................... 10

Figura 3.2. Conduta elevatria colapsada devido a depresso (Chaudhry, 1987) ............................... 10

Figura 3.3. Efeitos da vibrao e deslocao numa conduta elevatria DN600 (KSB, 2008) ............. 11

Figura 3.4. Anlise qualitativa do golpe de arete (Adaptado de Swaffield e Boldy, 1993) .................. 15

Figura 3.5. Diagrama de presses ao longo das duas condutas idnticas que ligam os reservatrios,

aps o fecho instantneo da vlvula (Adaptado de Swaffield e Boldy, 1993) ...................................... 18

Figura 3.6. Diagrama de presses na seco da bomba, aps paragem instantnea da mesma

(Adaptado de Swaffield e Boldy, 1993) ................................................................................................. 19

Figura 3.7. Diagrama de presses junto de uma bomba aps paragem instantnea ou no (Adaptado

de Quintela, 1979) ................................................................................................................................. 20

Figura 3.8. Diagrama de presses mnimas ao longo de uma conduta elevatria, aps paragem da

bomba (Adaptado de Quintela, 1979) ................................................................................................... 21

Figura 3.9. Rotura da coluna ou veia lquida (Adaptado de Almeida, 1991) ........................................ 23

Figura 3.10. Escoamento bolhoso (Adaptado de Almeida, 1981) ........................................................ 24

Figura 3.11. Separao da coluna ou veia lquida (Adaptado de Almeida, 1981) ................................ 24

Figura 3.12. Vrtice gerado na tomada de uma bomba (KSB, 2008) ................................................... 26

Figura 3.13. Queda livre para o poo de aspirao (Adaptado de Stephenson, 1989)........................ 26

Figura 3.14. Nvel mnimo de lquido no poo de aspirao (Adaptado de Stephenson, 1989) .......... 27

Figura 3.15. Instalao de bombagem com chamin de equilbrio intercalada na conduta elevatria

(Adaptado de Thorley, 2004) ................................................................................................................. 28

Figura 3.16. Foras actuantes num troo elementar do escoamento (Adaptado de Popescu et al.,

2003) ..................................................................................................................................................... 30


xviii

Figura 3.17. Fluxo de massa atravs de um troo elementar do escoamento (Adaptado de Popescu et

al., 2003) ................................................................................................................................................ 31

Figura 4.1. Valor da celeridade das ondas elsticas em condutas com gua (Adaptado de Almeida,

1991) ...................................................................................................................................................... 38

Figura 4.2. Influncia de ar na forma livre e da presso numa conduta, no valor da celeridade

(Popescu et al., 2003)............................................................................................................................ 39

Figura 4.3. Variao da depresso ao longo da conduta para uma manobra rpida (Adaptado de

Dupont, 1979) ........................................................................................................................................ 41

Figura 4.4. Variao da depresso ao longo da conduta para uma manobra lenta (Adaptado de

Dupont, 1979) ........................................................................................................................................ 41

Figura 4.5. Mtodo de verificao de ocorrncia de rotura da veia lquida junto bomba. Definio do

ngulo (Almeida, 1982) ...................................................................................................................... 44

Figura 4.6. Mtodo de verificao de ocorrncia de rotura da veia lquida numa seco intermdia da

conduta. Definio do ngulo (Almeida, 1982) .................................................................................. 44

Figura 5.1. Perfis longitudinais alternativos de uma conduta elevatria, como base de exemplo do

texto (Adaptado de Thorley, 2004) ........................................................................................................ 47

Figura 5.2. Perfil inferior da conduta elevatria - Envolventes de presso mxima e mnima, aps

paragem do grupo electrobomba (Adaptado de Thorley, 2004) ........................................................... 48

Figura 5.3. Perfil superior da conduta elevatria - envolventes de presso mxima e mnima, aps

paragem do grupo electrobomba (Adaptado de Thorley, 2004) ........................................................... 49

Figura 5.4. Vlvula de reteno tipo charneira, com alavanca e contrapeso (Catlogos Tcnicos

Fucoli-Somepal, 2011) ........................................................................................................................... 50

Figura 5.5. Vlvula de reteno tipo charneira, com alavanca e mola (Catlogos Tcnicos AVK, 2004)

............................................................................................................................................................... 51

Figura 5.6. Vlvula de reteno de deslocamento axial e fecho rpido (Catlogos Tcnicos Erhard,

2006) ...................................................................................................................................................... 52

Figura 5.7. Variao de presso na seco das vlvulas de reteno de charneira, aps paragem de

um dos trs grupos a funcionar em paralelo (Adaptado de Thorley, 2004) .......................................... 53

Figura 5.8 Exemplo de variao de presso na seco das vlvulas de reteno de deslocamento

axial, aps paragem de um dos trs grupos a funcionar em paralelo (Adaptado de Thorley, 2004) ... 53

Figura 5.9. Vlvula de duplo prato (Catlogos Tcnicos AVK, 2004) ................................................... 54


xix

Figura 5.10. Volante de inrcia instalado no veio de uma bomba (Informao acadmica da disciplina

de Hidrulica Geral FCT/UNL, 2006) ................................................................................................. 55

Figura 5.11. Ilustrao da variao mxima de presso, aps paragem da bomba, para

(Adaptado de Sharp e Sharp, 1996) ..................................................................................................... 56

Figura 5.12. Ilustrao da variao de presses em duas seces da conduta, A1 e A2, aps

paragem da bomba, para (Adaptado de Sharp e Sharp, 1996) ..................................... 56

Figura 5.13. Representao da variao mxima de presso, aps paragem da bomba, para

(Adaptado de Sharp e Sharp, 1996) ......................................................................................... 57

Figura 5.14. Representao da variao de presses em duas seces da conduta, A1 e A2, aps

paragem da bomba, para (Adaptado de Sharp e Sharp, 1996) ..................................... 57

Figura 5.15. Chamin de equilbrio integrada no Sistema Elevatrio SP-2 Sarichioi, na Romnia

(Popescu et al., 2003) ........................................................................................................................... 59

Figura 5.16. Esquema genrico de um sistema elevatrio equipado com uma chamin de equilbrio

(Adaptado de Popescu, et al., 2003) ..................................................................................................... 60

Figura 5.17. Vlvula de Flutuador (Catlogos Tcnicos AVK, 2004) .................................................... 61

Figura 5.18. Esquema tipo de instalao de um reservatrio unidireccional (Almeida, 1990) ............. 62

Figura 5.19. Reservatrio unidireccional instalado no Sistema Elevatrio 3 de guas Residuais de

Avels de Caminho (Cortesia de SMAS de Anadia, 2011) ................................................................... 63

Figura 5.20. Representao esquemtica de um reservatrio de ar comprimido (Almeida, 1982) ..... 64

Figura 5.21. Esquema tpico de instalao de um reservatrio de ar comprimido, provido de by-pass

(Adaptado de Stephenson, 1989) ......................................................................................................... 65

Figura 5.22. Representao de uma tubeira (a) e um clapet perfurado (b) (Lencastre, 1996) .......... 66

Figura 5.23. Reservatrio de ar comprimido (Cortesia de Adductio, 2011) .......................................... 66

Figura 5.24. Esquema de instalao de um Reservatrio de Ar Comprimido de grandes dimenses do

tipo Air Cushion Surge Chamber (Adaptado de Thorley, 2011) ......................................................... 67

Figura 5.25. Exemplos de reservatrios de membrana prprios para guas residuais (esq.) e para

gua potvel (dir.) (Catlogos Tcnicos Charlatte, 2011) .................................................................... 68

Figura 5.26. Comportamento do reservatrio de membrana, prprio para gua de abastecimento,

durante um regime transitrio (Catlogos Tcnicos Charlatte, 2006) .................................................. 69


xx

Figura 5.27. Comportamento do reservatrio de membrana, prprio para guas residuais, durante um

regime transitrio (Catlogos Tcnicos Charlatte, 2006) ...................................................................... 70

Figura 5.28. Reservatrio de membrana instalado no Sistema Elevatrio de guas Residuais de

Vandoma (Cortesia de Veolia-guas de Paredes, 2011) ..................................................................... 70

Figura 5.29. Exemplo de um reservatrio hidropneumtico de alimentao automtica de ar, RHAAA

(Catlogos Tcnicos Charlatte, 2006) ................................................................................................... 71

Figura 5.30. Comportamento de um RHAAA, durante a ocorrncia de um regime transitrio em

presso (Catlogos Tcnicos Charlatte, 2006) ..................................................................................... 72

Figura 5.31. Instalao tpica de um sistema de by-pass ao grupo electrobomba para proteco

contra os efeitos do golpe de ariete (Adaptado de Lencastre, 1996) ................................................... 73

Figura 5.32. Sistema de by-pass numa instalao de bombagem, para pequena altura de elevao

(Adaptado de Thorley, 2004) ................................................................................................................. 74

Figura 5.33. Vlvula de descarga automtica (Catlogos Tcnicos Saint-Gobain PAM, 2006) ........... 75

Figura 5.34. Comportamento de uma ventosa de duplo efeito, durante o golpe de arete (Adaptado de

Almeida, 1990) ....................................................................................................................................... 76

Figura 5.35. Exemplos de ventosas de simples (a), duplo (b) e tripo efeito (c) (Catlogos Tcnicos

Fucoli-Somepal, 2011) ........................................................................................................................... 77

Figura 5.36. Esquema de instalao de uma vlvula de regulao de presso e de uma ventosa em

poos de aspirao profundos, com bombas submersveis (Adaptado de Thorley, 2004) .................. 78

Figura 5.37. Diagrama de apoio deciso na escolha de dispositivos de proteco contra o golpe de

arete (Adaptado de Thorley, 2004) ....................................................................................................... 80

Figura 5.38. Localizao comum para instalao de diversos dispositivos de proteco contra o golpe

de arete (Stephenson, 1989) ................................................................................................................ 81

Figura 6.1. Esboo das caractersticas gerais do sistema elevatrio que serve de exemplo ............... 83

Figura 6.2. Representao grfica das envolventes de presso extrema (perfis tericos), sem

dispositivos de proteco da conduta elevatria ................................................................................... 85

Figura 6.3. baco de apoio ao pr-dimensionamento de um RAC, K=0,3 (Adaptado de Parmakian,

1963) ...................................................................................................................................................... 88

Figura 6.4. Representao grfica das envolventes de presso extremas, considerando a aco do

dispositivo de proteco adoptado. ....................................................................................................... 90


xxi

NDICE DE TABELAS

Tabela 3.1. Condies inaceitveis em escoamentos em presso e riscos associados (Adaptado de

Thorley, 2004) ......................................................................................................................................... 9

Tabela 4.1. Propriedades fsicas dos materiais mais comuns de condutas (Adaptado de Thorley,

2004) ..................................................................................................................................................... 37

Tabela 4.2. Valores do coeficiente (Adaptado de Almeida 1990) ..................................................... 42

Tabela 4.3. Valores do coeficiente (Adaptado de Almeida, 1990) .................................................. 43

Tabela 5.1. Falha no fecho de uma vlvula de reteno. Quantificao de consequncias ................ 51

Tabela 5.2. Resumo dos mtodos de proteco contra o golpe de arete (Adaptado de Stephenson,

1989) ..................................................................................................................................................... 79


1

1. INTRODUO

Qualquer alterao, nas condies de funcionamento de uma conduta elevatria, faz com que, o

respectivo escoamento se processe, durante um determinado perodo de tempo, segundo um regime

varivel. Os termos choque hidrulico ou golpe de arete, so aplicados aos casos em que, do

referido regime varivel, resultem variaes de presso considerveis, quando comparadas com as

inerentes ao regime permanente, e a mobilizao das foras elsticas da conduta e do lquido.

Seja no mbito do projecto, seja no mbito da explorao de condutas elevatrias de saneamento

bsico, o fenmeno do golpe de arete, constitui um dos temas que requer a maior ateno, por parte

dos projectistas e tcnicos de operao e manuteno, dedicados aos sistemas hidrulicos, em que

esto integradas as condutas. O referido fenmeno constitui, dependendo da intensidade dos seus

efeitos, um srio risco de ocorrncia de acidentes, em instalaes elevatrias. Uma avaliao ntegra

dos efeitos, associados a eventuais regimes variveis, poder prevenir graves deficincias, no

funcionamento deste gnero de circuitos.

As condutas elevatrias, podem transportar fluidos de diversas naturezas, mas, nesta dissertao, s

se tratar do transporte de gua, no estado natural ou alterado pela aco humana (com melhorias,

para utilizaes exigentes, ou contaminada pela mistura de resduos, na prpria utilizao).

Almeida (1979), hierarquiza um conjunto de procedimentos associados ao projecto de sistemas

elevatrios, em particular, o estudo dos regimes transitrios. Segundo o autor, a referida fase de

projecto, deve envolver a seguinte sequncia de processos: Anlise Preliminar do Golpe de Arete,

Seleco de Dispositivos de Proteco Contra o Golpe de Arete, Anlise do Comportamento do(s)

Dispositivo(s) Seleccionado(s) e, finalmente, Disposies Construtivas e Ensaios.

Na fase de anlise preliminar, feita uma avaliao do comportamento das condutas elevatrias,

face s variaes extremas de presso, resultantes da ocorrncia de regimes transitrios, sem

dispositivos de proteco. Normalmente, nesta fase, admite-se como causa da perturbao das

condies do escoamento, em regime permanente, a paragem sbita dos grupos electrobomba, da

estao elevatria em estudo, e a hiptese de anulao instantnea do caudal. Apesar dos avanos

informticos, que transformaram as ferramentas computorizadas em questes tcnicas triviais,

continuam a ser os mtodos expeditos, os mais utilizados nesta fase.

Quando o resultado da anlise preliminar, determina a necessidade de recorrer a mecanismos, de

proteco contra os efeitos do golpe de arete, o passo seguinte ser, a seleco de dispositivos

adequados para o efeito. Tal como na fase anterior, habitual o recurso a mtodos empricos, para

determinao aproximada, das caractersticas dos dispositivos.

Seleccionado o dispositivo, procede-se anlise do seu comportamento, para o conjunto de

condies mais desfavorveis, que possam, eventualmente, ocorrer. Para este processo de anlise,


2

devem ser aplicados modelos de clculo, que produzam resultados mais rigorosos, em particular, o

mtodo grfico de Bergeron ou o mtodo das caractersticas.

A fase de projecto concluda, com a verificao das disposies construtivas, preconizadas

previamente, e com os ensaios de recepo de equipamentos especiais. A fase dedicada a

disposies construtivas e ensaios, permite avaliar os mtodos de clculo utilizados.

No que diz respeito anlise do golpe de arete, h muito que os mtodos de clculo automtico, se

afirmaram como os instrumentos mais versteis, rigorosos e apelativos, para engenheiros e outros

tcnicos, ligados a este campo da cincia hidrulica.

No passado, na ausncia de sistemas computacionais, foram desenvolvidos diversos mtodos

simplificados, para possibilitar uma anlise expedita, dos regimes variveis em presso.

Simultaneamente, foram sendo publicados, em vrios peridicos de referncia na comunidade

cientfica, processos matemticos e bacos, para pr-dimensionamento de dispositivos de proteco

de condutas, contra os efeitos do choque hidrulico. Alguns desses mtodos, foram os eleitos,

durante perodos de tempo extensos, por projectistas de infra-estruturas hidrulicas, na elaborao

dos estudos correspondentes.

Actualmente, num universo mais competitivo, o tempo disponvel para a elaborao de estudos e

projectos, bastante reduzido, pelo que a eficincia e rigor das ferramentas de clculo, se tornam

requisitos imperativos, para os consultores de engenharia. Deste modo, os mtodos clssicos, mais

trabalhosos, morosos e, relativamente a alguns dos quais, estar associada uma considervel

margem de erro nos resultados, foram sendo abandonados, de forma natural e gradual. Para uma

grande parcela, da nova gerao de engenheiros hidrulicos (civis, mecnicos, sanitaristas,

agrnomos), estes mtodos expeditos so, praticamente, desconhecidos.

Previamente aos mtodos de clculo, associados ao dimensionamento e anlise de comportamento,

de dispositivos para proteco anti arete, torna-se essencial a compreenso dos conceitos bsicos,

que norteiam os vrios processos de proteco. neste sentido, que se apresenta um conjunto de

elementos sobre o tema, coligidos de algumas das mais importantes publicaes da especialidade.

Por se tratar de um tema, associado a um elevado grau de especificidade e complexidade, no so

muitos os especialistas, que aprofundam a anlise do choque hidrulico. No obstante, existem

algumas publicaes de grande qualidade, sobre regimes transitrios. As referidas obras so, no

entanto, especialmente dedicadas, a mtodos matemticos e de clculo numrico, sobre os quais so

feitas exposies, com um elevado grau de detalhe.

O objectivo que norteou toda a preparao desta dissertao, ao invs, passa, fundamentalmente,

por proporcionar, a eventuais interessados, em iniciar-se nos estudos relacionados com o tema, o

acesso a um conjunto de elementos simples e teis. Para tal, incluiu-se a apresentao de conceitos

bsicos, sobre proteco de condutas elevatrias, contra o golpe de arete, numa linguagem to

simples, quanto possvel, e acompanhados por inmeras figuras, para auxlio da sua compreenso.


3

Na presente dissertao, so considerados, essencialmente, casos de sistemas elevatrios, de

reduzida complexidade. Esta opo permite, uma descrio mais adequada e simples de entender,

dos princpios de funcionamento, dos dispositivos mais comuns de proteco, contra os efeitos dos

regimes transitrios.

Assim, em termos de organizao da dissertao, na sequncia deste captulo introdutrio, feito um

enquadramento terico fundamental, sobre os regimes de escoamento em presso (Captulo 2), ao

qual se segue uma abordagem mais profunda, dedicada exclusivamente aos regimes transitrios

(Captulo 3). Nesta abordagem, so tratados temas como, as principais condies de risco,

consequncias e as causas dos regimes transitrios, e a anlise qualitativa e terica do golpe de

arete, terminando com uma breve descrio dos mtodos gerais de anlise matemtica do

fenmeno. O Captulo 4, dedicado apresentao de algumas bases essenciais para a anlise

preliminar do choque hidrulico, em sistemas elevatrios. Segue-lhe o Captulo 5, onde feita uma

descrio detalhada, das tcnicas mais comuns, para atenuar as variaes mximas de presso,

verificadas em sistemas elevatrios, na sequncia de regimes transitrios. Ainda no mesmo captulo,

apresentado um conjunto de critrios, de apoio deciso, na seleco do sistemas de proteco, a

adoptar, de acordo com algumas situaes padro. No Captulo 6, demonstrado um exemplo

prtico, de clculo aproximado, do golpe de arete, num sistema elevatrio. Neste exemplo, so

determinadas as envolventes mximas e mnima de presso, associadas a uma situao de paragem

sbita, dos grupos de um sistema elevatrio. O exerccio anterior, acompanhado por uma

apresentao detalhada, de um mtodo expedito, para pr-dimensionamento de um dispositivo de

proteco, contra o golpe de arete.


5

2. ESCOAMENTOS EM PRESSO. ENQUADRAMENTO TERICO

Numa perspectiva simplista, considera-se que as caractersticas de escoamento num sistema

elevatrio, se mantm independentes do tempo, em cada seco da conduta, ou seja, o seu

funcionamento processa-se segundo um regime permanente. Este regime, caracterizado por um

equilbrio, resultante da compatibilidade entre as caractersticas hidrulicas dos componentes do

sistema, e os valores da carga hidrulica, ou da cota piezomtrica, impostos em cada seco limtrofe

do mesmo (Almeida, 1990).

Ao regime em que so verificadas alteraes significativas, nas condies de funcionamento de uma

conduta elevatria, em particular na presso e no caudal, chama-se varivel.

Tipicamente, um regime varivel pautado por uma curta durao de tempo, em que esse perodo

limitado por dois regimes permanentes, nas fases inicial e final, sendo-lhe atribuda, por tal razo, a

designao de regime transitrio.

A Figura 2.1 representa a passagem de um regime permanente para outro regime permanente. A

situao ilustrada pode, por exemplo, corresponder ao funcionamento de um sistema elevatrio

provido de dois grupos electrobomba, onde o regime permanente 1 corresponde ao funcionamento,

exclusivamente, de um grupo, e o regime permanente 2 representa o funcionamento, em simultneo,

dos dois grupos. Na transio entre os dois regimes permanentes, ocorre um varivel.

Figura 2.1. Passagem entre dois regimes permanentes


6

A classificao dos regimes transitrios em presso, concebida, tendo em conta o comportamento

dinmico das colunas lquidas em presso, segundo trs situaes: regimes transitrios pseudo-

permanentes, regimes gradualmente transitrios de tipo rgido ou oscilao em massa, ou regimes

rapidamente transitrios ou de tipo golpe de arete.

A forma gradual como se processam as alteraes nas condies de explorao de um sistema, e a

no verificao de efeitos elsticos de compressibilidade e deformabilidade, so caractersticas

partilhadas pelos dois primeiros regimes transitrios em presso. Numa situao de oscilao em

massa, ao contrrio do que acontece num regime pseudo-permanente, j so verificadas algumas

variaes de presso mais fortes, resultantes da influncia das foras de inrcia das colunas lquidas,

e devido a um atraso, mais perceptvel, no estabelecimento das novas condies de compatibilidade

interna (Almeida, 1990).

As designaes choque hidrulico ou golpe de arete so, correntemente, utilizadas para qualificar os

regimes transitrios, que resultam na alterao das propriedades elsticas da conduta e do lquido,

quando as variaes de presso registam maior intensidade e violncia. Neste caso, notrio o

atraso no estabelecimento das condies de equilbrio hidrulico no sistema.

Na origem dos termos choque hidrulico e, principalmente, golpe de arete, est a semelhana entre

os rudos que, normalmente, acompanham a ocorrncia deste fenmeno nas condutas, e os sons

gerados por uma mquina de guerra medieval, o arete, utilizada para destruir portes e muralhas de

castelos.

Na Figura 2.2 apresenta-se um exemplo de um arete, constitudo por um tronco de madeira, com

uma das extremidades provida, geralmente, com uma cabea de carneiro fabricada em metal,

impulsionado para embater nas estruturas a desmoronar.

Figura 2.2. Arete utilizado em guerras no perodo medieval (Mori, 2011)

As perturbaes do escoamento no interior de uma conduta, que esto na base das referidas

variaes de caudal e de presso, podem ser de natureza acidental ou resultar da normal explorao

da respectiva instalao hidrulica. Nos casos mais comuns, so provocadas pela operao de fecho

ou abertura de vlvulas, por interrupo no fornecimento de energia elctrica ao motor do grupo


7

electrobomba, com consequente paragem sbita deste, ou por falha mecnica dos dispositivos de

proteco ou controlo.

Em sistemas hidrulicos, como o caso de condutas elevatrias, as condies inerentes ao choque

hidrulico, constituem um risco incontornvel de ocorrncia de acidentes. Deste modo, em projecto

de condutas, torna-se imprescindvel uma anlise rigorosa do fenmeno, para adoptar medidas de

preveno contra os seus efeitos, como so exemplo, a rotura da conduta por sobrepresso, o seu

colapso ou avarias nas bombas, entre outros.

Da mesma forma, a ausncia de um conhecimento absoluto, no domnio dos efeitos do golpe de

arete, exige um estudo mais pormenorizado, de forma a auxiliar o processo de seleco de

caractersticas mais adequadas para uma conduta, evitando paredes demasiado finas e, como tal,

estruturalmente dbeis ou, por outro lado, demasiado espessas e excessivamente dispendiosas.


9

3. REGIMES TRANSITRIOS EM PRESSO. ENQUADRAMENTO

TERICO

3.1. CONDIES DE RISCO E POTENCIAIS CONSEQUNCIAS

Durante a operao de circuitos hidrulicos, podem ocorrer variaes de presso, no apenas, em

situaes, de certa forma, controladas por projectistas e tcnicos de explorao, mas tambm em

circunstncias imprevisveis e inesperadas. Um exemplo simples do primeiro caso, a variao de

presso diria, que se verifica numa rede de distribuio de gua, em funo das necessidades de

consumo. Uma circunstncia inesperada resulta, por exemplo, da dificuldade em prever e controlar

uma falha no fornecimento de energia elctrica, ao motor de uma bomba hidrulica. Os movimentos

variveis, inerentes a situaes imprevisveis, no devem ser menosprezados, sendo importante

proceder a uma anlise de risco de ocorrncia de condies intolerveis, tal como as que se indicam

na Tabela 3.1.

Tabela 3.1. Condies inaceitveis em escoamentos em presso e riscos associados (Adaptado de Thorley, 2004)

CONDIES INACEITVEIS POTENCIAIS CONSEQUNCIAS

Presses muito elevadas (superiores presso

mxima de servio admitida por uma conduta,

equipamento ou acessrio)

Deformao permanente ou rotura de condutas e

elementos acessrios; danos nas juntas, selagens e

macios de amarrao; derrames para o exterior da

tubagem, originando desperdcio, poluio ambiental e

risco de incndio.

Presses muito baixas (inferiores tenso de

vapor do liquido escoado)

Colapso de condutas; infiltraes nas condutas,

atravs de juntas e selagens expostas a presses

inferiores atmosfrica; contaminao do fluido

bombeado; risco de incndio nos casos de transporte

de determinados fludos.

Inverso do sentido de escoamento Danos nas bombas e extravasamento de tanques e

reservatrios

Deslocamento de condutas e vibrao Danos em estruturas de suporte de condutas e na

prpria tubagem; danos em equipamento e estruturas

adjacentes.

Velocidades de escoamento demasiado baixas

(inferiores a 0,30 m/s)

Sedimentao de slidos e entupimento de circuitos

(principalmente em transporte de lamas)


10

Nas figuras seguintes, podem ser observadas algumas das consequncias indicadas na Tabela 3.1,

verificadas em casos reais, aps a ocorrncia de condies inaceitveis, em regimes transitrios em

presso.

Na Figura 3.1, apresentada uma vlvula de reteno DN800, destruda pelos efeitos do golpe de

arete, numa conduta elevatria, em particular devido ocorrncia de presses de intensidade muito

elevada (sobrepresses).

Figura 3.1. Vlvula de reteno DN800 destruda devido a sobrepresso (KSB, 2008)

Por sua vez, a Figura 3.2 retracta uma conduta elevatria colapsada, devido aos efeitos de presses

muito baixas (depresses).

Figura 3.2. Conduta elevatria colapsada devido a depresso (Chaudhry, 1987)

Outra das condies inaceitveis em escoamentos em presso, mencionada por Thorley (2004) e

transcritas na Tabela 3.1 o deslocamento de condutas e vibrao. Um exemplo da verificao desta


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condio de risco, pode ser observado na Figura 3.3, onde uma conduta, devido aos efeitos dos

regimes transitrios, se deslocou, danificando as estruturas de apoio, acabando por cair e ficar

destruda tambm.

Figura 3.3. Efeitos da vibrao e deslocao numa conduta elevatria DN600 (KSB, 2008)

No captulo seguinte so indicadas algumas das possveis causas, associadas s condies

apresentadas no Tabela 3.1.

3.2. PRINCIPAIS CAUSAS DA OCORRNCIA DE CONDIES DE RISCO

Como referido anteriormente, as condies transitrias num escoamento, ocorrem sempre que se

verifica uma perturbao das condies inerentes a um regime permanente.

Zruba (1993), descreve, com algum detalhe, algumas das causas mais comuns, associadas

ocorrncia de regimes transitrios. Seguidamente resume-se, a exposio apresentada pelo referido

autor.

Manobra de Vlvulas em Condutas

Considere-se uma instalao constituda por um reservatrio a montante, uma conduta e uma vlvula

de seccionamento a jusante. O caudal que escoa na conduta, varia, medida que se manobra a

vlvula. Esta variao de caudal, origina o fenmeno do golpe de arete. Caso a manobra da vlvula,

no se processe de uma forma controlada e adequada, as variaes mximas de presso, ocorrem

na fase final do fecho da mesma.

Numa rede de condutas de distribuio de gua, alimentada por um reservatrio, a simples variao

de caudal transportado na rede, provocada pela abertura e fecho de torneiras, geradora de regimes

transitrios.


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Paragem Sbita de Bombas em Sistemas Elevatrios

Considere-se um sistema constitudo por um reservatrio de aspirao e uma bomba que possibilita a

alimentao de um reservatrio mais elevado a jusante, atravs de uma conduta elevatria. Na

seco da conduta a jusante da bomba, est instalada uma vlvula de reteno que impede o

escoamento no sentido contrrio ao forado pela bomba. Aps a sada de servio da bomba, o

escoamento continua a processar-se, por instantes, em direco ao reservatrio de jusante. Tal

acontece devido inrcia prpria do lquido transportado. Com a anulao do caudal sada da

bomba, a presso na conduta, baixa rapidamente e a vlvula de reteno fecha. Numa fase posterior,

a coluna lquida na conduta elevatria pra e inverte o sentido do movimento, deslocando-se do

reservatrio de jusante em direco bomba. Quando a coluna lquida atingir a vlvula de reteno

com o obturador fechado, sofre uma desacelerao e, um subsequente aumento de presso,

gerando-se uma onda de sobrepresso. Dependendo da amplitude da onda de sobrepresso, a

conduta e restantes componentes do sistema elevatrio podem ser destrudos.

Uma situao ainda mais perigosa pode acontecer, caso a vlvula de reteno no evite o

escoamento em sentido contrrio de forma atempada. A coluna lquida, deslocando-se do

reservatrio de jusante, em direco bomba, pode, nesse caso, atingir velocidades de escoamento

muito elevadas. Quando, finalmente, acontecer o fecho da vlvula de reteno, a violncia da coliso

e consequente desacelerao da massa lquida, sero geradores de valores de sobrepresso

mxima ainda maiores.

Manobras em Sistemas de Turbinas

Quando, por exemplo, um gerador de uma turbina desligado, a velocidade desta comea a

aumentar de forma descontrolada. Como consequncia, o sistema de controlo automtico da turbina,

cessa o escoamento no sentido desta, originando um regime transitrio, do tipo golpe de arete, na

tubagem de alimentao da turbina.

Uma eventual deficincia mecnica da turbina, que provoque a vibrao das ps da mesma,

constituir um factor gerador deste tipo de fenmenos.

Ar Sob a Forma Livre em Condutas

A entrada de ar numa tubagem, outra causa frequente dos regimes transitrios, do tipo golpe de

arete, podendo provocar a rotura da veia lquida. A coliso das frentes das duas colunas de massa

lquida, anteriormente separadas, provoca, normalmente, sobrepresses muito elevadas.

Em certas situaes, a entrada de ar numa conduta, pode atenuar o efeito do golpe de arete, como

se justificar posteriormente.


13

Slidos em Condutas

A existncia de partculas slidas, no interior de uma conduta, tambm pode estar, directamente, na

origem de fenmenos de golpe de ariete, atravs da obstruo sbita de uma determinada zona da

mesma.

As partculas slidas tambm podem influenciar, de forma desfavorvel, os efeitos do golpe de arete

provocado por outras situaes. Estas partculas, podem aumentar a densidade da mistura, no

escoamento, reduzindo, desta forma, a sua compressibilidade, o que se traduzir no agravamento

dos efeitos dos regimes transitrios.

Por outro lado, a acumulao de slidos numa conduta, ir provocar uma reduo da seco de

escoamento, conduzindo a um aumento da velocidade para o mesmo caudal, de onde resultar um

aumento da magnitude da variao de presso, inerente ao regime transitrio.

Outras Causas

Os regimes transitrios no ocorrem apenas em escoamento em presso, verificando-se tambm nos

escoamentos em superfcie livre.

A ttulo de curiosidade, referem-se alguns mecanismos, que estaro na origem de regimes

transitrios em superfcie livre, como as alteraes bruscas de caudal escoado num canal, devido a

abertura ou fecho de comportas; a falha ou colapso de uma barragem, ou, por exemplo, o aumento

brusco de caudal afluente a um rio, ou a uma rede de esgotos, devido ocorrncia de uma

tempestade, com elevada precipitao (Chaudhry, 1987).

3.3. GOLPE DE ARETE. ANLISE QUALITATIVA

3.3.1. MECANISMO DE PROPAGAO DAS ONDAS DE PRESSO

Considere-se o caso ilustrado na Figura 3.4, relativo propagao das ondas de presso, aps fecho

de uma vlvula, localizada entre condutas que estabelecem a ligao entre dois reservatrios.

Durante o regime permanente, o escoamento processa-se, como indicado na alnea (a) da figura, ou

seja, da esquerda para a direita. Para simplificar a anlise da sequncia de acontecimentos, que se

verificam aps o fecho da vlvula, assumiram-se as seguintes condies:

O fecho da vlvula ocorre de forma instantnea;

O nvel nos reservatrios a montante e a jusante mantem-se constante;

Durante o regime permanente, que antecede o regime varivel, o caudal constante em toda

a extenso das condutas entre os reservatrios;

Consideram-se nulas as perdas de carga, pelo que a linha piezomtrica assinalada como

um segmento de recta horizontal;

A extenso da tubagem entre o reservatrio esquerda (montante) e a vlvula, e entre esta e

o reservatrio direita (jusante), igual;


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A velocidade, , de propagao de ondas de presso, constante, e igual em ambos os

troos de tubagem;

As linhas de presso, mantm-se sempre acima da presso de vapor.

Escolheu-se este exemplo, por permitir, de certa forma, ilustrar em simultneo, os dois casos mais

comuns apresentados em livros da especialidade, que se explicam em seguida.

O primeiro caso, pressupe o fecho instantneo de uma vlvula, instalada na extremidade de jusante

de uma conduta adutora, alimentada a partir de um reservatrio mais elevado, a montante (situao

ilustrada pelo conjunto de elementos apresentados no lado esquerdo da Figura 3.4, com a sequncia,

reservatrio-conduta-vlvula);

O segundo caso, compreende a paragem subida de uma bomba, que alimenta um reservatrio a

jusante, atravs de uma conduta forada (ilustrada pelo conjunto de elementos situados no lado

direito da Figura 3.4, com a sequncia vlvula-conduta-reservatrio). Para execuo deste exerccio,

deve imaginar-se que, no lugar da vlvula, estaria uma bomba, que forneceria uma presso ao

escoamento, idntica presso do reservatrio direita. Neste caso, o fecho instantneo da vlvula,

corresponderia paragem brusca da bomba.

Como foi referido, o sistema apresentado na alnea (a) da Figura 3.4, determina que o reservatrio

esquerda representa o reservatrio de montante, processando-se o escoamento no sentido do

reservatrio direita (jusante), numa situao de funcionamento normal, com a vlvula aberta.


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Figura 3.4. Anlise qualitativa do golpe de arete (Adaptado de Swaffield e Boldy, 1993)

No instante em que se verifica o fecho da vlvula, interrompe-se imediatamente o escoamento e, a

coluna de lquido junto vlvula, entra numa situao de repouso, sendo transportada esta

informao ao longo de cada troo de tubagem, a uma velocidade c. Aps um perodo de tempo , a

situao que se verifica est representada na alnea (b) da Figura 3.4, onde a frente das ondas de

presso, se moveram, numa extenso igual a , ao longo de cada troo de tubagem.

As ondas de presso chegam aos respectivos reservatrios na extremidade das condutas, aps o

fecho imediato da vlvula, no instante (alnea (c) da Figura 3.4). Nesta altura verifica-se uma

situao de desequilbrio, onde o lquido, na fronteira conduta-reservatrio, se encontra a uma

presso diferente da presso no reservatrio. Uma vez que no ser possvel suportar esta diferena

de presses, ter incio um escoamento, que tender a reestabelecer o equilbrio, ou a

compatibilidade da presso, na fronteira. Ondas de presso de intensidade igual, verificada, antes


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do fecho da vlvula so ento propagadas, no instante , no sentido contrrio, ou seja, com

origem em cada um dos reservatrios, em direco vlvula fechada. No caso do reservatrio de

montante, a onda de presso negativa, enquanto a onda de presso, com origem no reservatrio de

jusante, positiva.

Na conduta de montante, a onda de presso faz-se acompanhar do escoamento de caudal da

conduta para o reservatrio, enquanto a frente da onda na tubagem estiver a uma presso superior

registada no reservatrio. Tendo em considerao, que se assumiu, que as perdas de carga so

nulas, a velocidade de escoamento do caudal, idntica verificada durante o regime permanente,

tal como indicado na alnea (c) da Figura 3.4.

A justificao anterior tambm se aplica ao escoamento verificado, do reservatrio de jusante para a

conduta, e ao facto da velocidade com que se processa, ser idntica, verificada, antes do fecho da

vlvula, mas com sentido oposto (alnea (c) da Figura 3.4).

Na tubagem de montante, a onda de compatibilizao de presso, chega vlvula fechada no

instante . Neste instante, a presso, em toda a extenso da tubagem, entre o reservatrio de

montante e a vlvula fechada, idntica presso registada, antes do fecho da vlvula, e prepara-se

o incio do escoamento, da conduta para o reservatrio de montante.

No instante em que a onda atinge a vlvula fechada, j no existe lquido em frente da mesma, para

suster o escoamento, que se inicia no sentido do reservatrio de montante, razo pela qual, se forma

uma zona de baixa presso, junto face de montante da vlvula. O escoamento na vlvula regista

uma velocidade nula, e gerada uma onda de depresso, que se propaga no sentido conduta-

reservatrio de montante, anulando o caudal escoado na conduta, medida que se desloca, tal como

representado na alnea (e) da Figura 3.4.

Desta forma, a intensidade das ondas que agora se propagam em direco ao reservatrio de

montante, idntica magnitude das ondas que se propagaram inicialmente ( ), quando se

procedeu ao fecho da vlvula, uma vez que esto a ser desprezados os efeitos do atrito. A onda de

presso, que se desloca no sentido do reservatrio de montante, tem uma intensidade e

provocar uma reduo da presso, em toda a extenso da conduta, para um valor abaixo da

linha de presso, caracterstica do regime permanente (antes do fecho da vlvula).

Swaffield e Boldy (1993), na anlise da figura em causa, salientam um aspecto interessante,

relativamente variao total, instantnea da presso, na face de montante da vlvula fechada, no

instante , uma vez que esta tem uma intensidade . Tal deve-se, simultaneidade, com que

se processam, a chegada da onda de intensidade do reservatrio de montante, e a reflexo

imediata da onda, na vlvula fechada, com intensidade , no sentido contrrio, ou seja, em

direco ao reservatrio de montante.


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O estabelecimento de uma linha de presso, , abaixo da linha de presso, em regime

permanente, est completo no instante , quando a onda reflectida na vlvula fechada, no instante

, alcana o reservatrio de montante.

De forma anloga, a onda de reequilbrio, com origem no reservatrio de jusante, determina o incio

do escoamento no sentido inverso, em direco face de jusante da vlvula fechada, onde chega no

instante . Uma vez que a vlvula se encontra fechada, o escoamento anula-se e gera-se uma

onda de presso, de intensidade , na face de jusante da mesma. Esta onda propaga-se para

jusante, em direco ao reservatrio, anulando o escoamento no sentido inverso, que se processava

nesta conduta, e provocando um aumento da presso para , acima da linha de presso, em

regime permanente. Esta onda atinge o reservatrio de jusante, no instante , e, nesta altura, o

lquido no interior da conduta a jusante da vlvula, encontram-se em repouso, em toda a sua

extenso.

Assim, no instante , voltam a verificar-se condies de desequilbrio, semelhantes s registadas

no instante , nas fronteiras conduta-reservatrio, a montante e a jusante, mas agora na conduta

de montante que a presso inferior presso no reservatrio e na conduta de jusante que a

presso superior presso do reservatrio. Em qualquer uma das situaes o escoamento nas

condutas nulo.

Contudo, os mecanismos que desencadeiam a propagao de ondas de presso, so idnticos aos

descritos para o instante , e, consequentemente, duas novas ondas de reequilbrio so geradas.

No caso da conduta de montante, a onda de presso assume uma magnitude , e desloca-se no

sentido da vlvula fechada, repondo os valores da linha de presso e da velocidade de escoamento,

para os valores iniciais, antes do fecho da vlvula.

Um processo semelhante, origina a propagao de uma onda de presso de intensidade , com

origem no reservatrio de jusante, em direco vlvula fechada, reestabelecendo a linha de

presso e velocidade de escoamento, para valores iguais, aos verificados durante o regime

permanente.

Estas ondas de compatibilizao chegam vlvula fechada, no instante e, nesta altura, as

condies do sistema so idnticas s iniciais, antes do fecho da vlvula, com excepo da posio

da vlvula, que permanece fechada, impedindo que os escoamentos prossigam. Assim, todo o ciclo

descrito antes, e apresentado na Figura 3.4, repetir-se- indefinidamente, por perodos de tempo bem

definidos, e iguais a .

De uma forma geral, a anlise dos regimes transitrios, feita com base no perodo de tempo, que

decorre, entre o deslocamento de uma onda de presso, desde a origem da perturbao do

escoamento, chegada ao ponto de fronteira, onde acontece a refleco, e regresso ao ponto de

partida. No caso apresentado, para cada uma das condutas, o perodo que decorre, entre a partida


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das ondas de presso da vlvula fechada, a chegada aos respectivos reservatrios, onde so

reflectidas, e o regresso vlvula, igual a .

Atravs da leitura dos diagramas, apresentados na Figura 3.5, pode-se inferir a presso ao longo do

tempo, e em vrias seces de cada uma das condutas. Estas variaes, so obtidas com base na

determinao do instante, em que qualquer uma das ondas de presso , chega ao ponto de

referncia na conduta.

Figura 3.5. Diagrama de presses ao longo das duas condutas idnticas que ligam os reservatrios, aps o fecho instantneo da vlvula (Adaptado de Swaffield e Boldy, 1993)

Na realidade, a repetio indefinida dos ciclos descritos anteriormente, no se verifica, uma vez que

as perdas de carga, tero um efeito de amortecimento nas ondas de presso.

Na Figura 3.6, apresenta-se um diagrama de presses, idntico ao da figura anterior, mas

considerando uma bomba na posio da vlvula, e para uma situao de paragem instantnea da


19

mesma (passagem imediata de uma condio de caudal correspondente ao regime permanente, para

um caudal nulo na seco da bomba).

Figura 3.6. Diagrama de presses na seco da bomba, aps paragem instantnea da mesma (Adaptado de Swaffield e Boldy, 1993)

Para uma situao de arranque instantneo da bomba (passagem de uma condio de caudal igual a

zero, para um caudal correspondente ao regime permanente), o diagrama de presses seria simtrico

do apresentado na Figura 3.6.

3.3.2. INFLUNCIA DO TEMPO DE PARAGEM DE UMA BOMBA

Consideraes Gerais

Uma das condies normais de operao, consideradas na fase de estudo preliminar do golpe de

arete, em sistemas elevatrios, a interrupo sbita, do fornecimento de energia elctrica ao motor

da bomba, com subsequente paragem da mesma. Uma vez que representa a situao mais

desfavorvel, admitido, na fase de anlise em causa, que a paragem da bomba e, consequente

anulao de caudal, ocorrem de forma instantnea.

Na realidade, o que acontece, aps corte da alimentao do motor elctrico, programado ou

acidental, a reduo gradual do caudal escoado, fruto de uma paragem progressiva da bomba. Tal

efeito, provocado pela inrcia das massas girantes, do grupo electrobomba e da gua. Aps

anulao completa do caudal escoado, verifica-se o fecho de uma vlvula de reteno, normalmente

instalada a jusante da bomba, de forma a impedir o escoamento no sentido inverso, atravs da

bomba.


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Os factores que influenciam o tempo de paragem de uma bomba e, tambm, de anulao de caudal

so as curvas caractersticas de funcionamento do grupo instalado, as condies hidrulicas da

instalao e a inrcia do grupo instalado (Quintela, 1979).

A anlise que se segue, relativamente influncia do tempo de paragem de uma bomba, nas

variaes mximas de presso, assenta no cenrio seguinte:

Tem-se um sistema, constitudo por dois reservatrios, ligados atravs de uma conduta;

O escoamento forado, por uma bomba instalada num ponto da conduta, junto ao

reservatrio de montante (nvel de lquido inferior), para o reservatrio de jusante (nvel de

lquido superior);

Na seco a jusante da bomba est instalada uma vlvula anti-retorno;

Aps paragem da bomba, admite-se que o caudal se anula, segundo uma sequncia de

manobras elementares, to rpidas que possam ser consideradas instantneas.

Anlise Qualitativa da Influncia do Tempo de Anulao de Caudal

Aps paragem da bomba, a primeira manobra elementar de reduo de caudal, provocar, junto da

seco da mesma, uma diminuio de velocidade, que se ir traduzir numa depresso. Esta

depresso ser, naturalmente, inferior depresso, correspondente anulao instantnea da

velocidade.

Cada uma das manobras elementares que se seguem, provocar uma depresso, na seco da

bomba, e uma onda, que se propaga em direco ao reservatrio de jusante (Figura 3.7).

Figura 3.7. Diagrama de presses junto de uma bomba aps paragem instantnea ou no (Adaptado de Quintela, 1979)

A depresso na seco da bomba, num determinado instante, ser a resultante das depresses, que

at esse instante se originaram junto da bomba, em consequncia das vrias manobras elementares

(e das sobrepresses, caso, entretanto, as ondas provocadas pelas primeiras manobras, tendo sido

reflectidas no reservatrio de jusante, j atingiram a bomba).


21

Desta forma, colocam-se duas situaes distintas a ter em considerao:

Uma, em que o tempo de anulao de caudal, , inferior ao tempo de propagao de uma

onda, gerada na seco da bomba, at ao reservatrio e o seu regresso ao ponto de partida

( ),

Outra, em que o tempo, , superior a .

Quando o tempo de anulao de caudal, , inferior a , a depresso inerente ltima manobra

elementar de reduo de caudal, ainda ser adicionada, depresso, devida primeira manobra

elementar. Neste caso, s se verificar uma sobrepresso, na seco da bomba, no instante ,

aqui considerado superior a . Assim, a depresso mxima, atingida na seco da bomba, ser

idntica, registada, na hiptese de anulao instantnea de caudal.

Por outro lado, se o tempo de anulao de caudal, , superior a , verifica-se, na seco da

bomba, e aps o instante , a sobreposio das depresses com as sobrepresses, reflectidas, a

partir do reservatrio, decorrentes das manobras iniciais. Desta sobreposio, resultar um efeito

atenuante, na depresso mxima, verificada na seco da bomba. A atenuao, ser tanto maior,

quanto mais retardado for o tempo de anulao de caudal.

Apesar da igualdade, do valor mximo atingido, relativamente amplitude das depresses, verificada

nas situaes, em que o tempo de anulao de caudal, instantneo, ou inferior, ao tempo de ida e

retorno de uma onda de presso ( ), a sua distribuio ao longo da conduta, no se processar,

de modo uniforme, como se pode verificar na Figura 3.8.

Figura 3.8. Diagrama de presses mnimas ao longo de uma conduta elevatria, aps paragem da bomba (Adaptado de Quintela, 1979)

A depresso mxima, s ser igual, nas seces da conduta, em que se verifiquem, exclusivamente,

sobreposio de depresses, geradas pelo conjunto de manobras elementares.

Deste modo, existe uma seco limite, qual chegam, simultaneamente, a onda de depresso,

proveniente da bomba, e respeitante ltima manobra, e a onda de sobrepresso, que resulta da


22

reflexo, no reservatrio, da onda provocada pela primeira manobra. A distncia, medida na

horizontal, contada, a partir da seco da bomba, at esta seco, obtida pela expresso seguinte:

(3.1)

A reduo, de forma linear, da depresso mxima, a partir desta seco da conduta, at seco do

reservatrio, onde se anula, um procedimento simplificado, que, normalmente se utiliza. Nos casos

em que, o tempo de ida e retorno da onda de presso, gerada pela primeira manobra elementar,

iguala o tempo de anulao de caudal, a depresso mxima, faz-se sentir na seco da bomba. A

partir deste ponto, a depresso mxima, vai diminuindo, linearmente, at ao reservatrio (Figura 3.8).

A anlise efectuada, permite a deduo de dois importantes mecanismos, de reduo da amplitude,

das ondas de presso, associadas ocorrncia de regimes transitrios:

O aumento do tempo de anulao de caudal, que pode ser conseguido, com a instalao de

um volante de inrcia, no veio de uma bomba;

A reduo do comprimento da conduta, entre a bomba e o reservatrio, efeito que se pode

obter, recorrendo instalao de uma chamin de equilbrio, ou de um reservatrio de ar

comprimido.

3.3.3. CAVITAO E ROTURA DA VEIA LQUIDA

Considere-se um sistema elevatrio, com caractersticas semelhantes, s admitidas na anlise

anterior (dois reservatrios, ligados por uma conduta forada, onde uma bomba est instalada, junto

ao reservatrio de montante).

Ao longo da anlise conduzida at esta fase, considerou-se que a depresso mxima, gerada aps

paragem de uma bomba, no faria a respectiva presso mnima baixar, at tenso de vapor de

gua.

No entanto, admitindo que no possvel, o estabelecimento de esforos de traco na gua, o

cumprimento das condies de compatibilidade, tal como descritas nos subcaptulos anteriores, no

fisicamente possvel. O valor da presso mnima no pode ser, assim, teoricamente inferior ao zero

absoluto. A libertao de gases dissolvidos, expanso de gases livres e vaporizao da gua,

comeam, na realidade, a verificar-se, para presses, pouco superiores presso de saturao.

Assim, aps a paragem de uma bomba, a coluna lquida a jusante desta, no ficaria em repouso, tal

como descrito, havendo lugar a uma separao da mesma, formando-se uma cavidade ocupada por

vapor de gua e gases. Este fenmeno designa-se por rotura da veia lquida (Figura 3.9).


23

Figura 3.9. Rotura da coluna ou veia lquida (Adaptado de Almeida, 1991)

O grande problema da rotura da veia lquida, prende-se, com a possibilidade de se gerarem elevadas

sobrepresses na fase posterior. Ao atingirem a zona onde ocorre a rotura da veia lquida, as ondas

de sobrepresso reflectidas no reservatrio de jusante, que se propagam em direco bomba,

absorvem total ou parcialmente, o vapor e os gases libertados, o que provocar o colapso da

cavidade, e consequente coliso da coluna lquida, contra a vlvula de reteno, instalada a jusante

da bomba.

No apenas junto bomba, que a rotura da veia lquida poder acontecer. O perfil longitudinal de

uma conduta elevatria, tambm poder constituir um risco de ocorrncia, de presses inferiores

presso de saturao, em particular nos pontos altos. Neste caso, quando a onda de presso,

reflectida no reservatrio, atinge a cavidade, provocando o seu colapso, devido presso elevada, a

coliso ocorre, naturalmente, entre as duas fraces da coluna de gua.

Os mecanismos de proteco de condutas elevatrias, contra os efeitos do golpe de arete, tm, na

sua maioria, por objectivos, a reduo da depresso, de forma a no ser atingida a tenso de vapor

do lquido, e/ou a reduo da sobrepresso, inerente ao colapso da cavidade, originada pela rotura

da veia lquida (Quintela, 1979).

A rotura completa da veia lquida pode, eventualmente, no acontecer, verificando-se apenas o

aparecimento de um escoamento bolhoso, constitudo por uma mistura de lquido e bolhas de ar e de

outros gases, com propriedades ligeiramente diferentes das do lquido presso normal. A este

fenmeno, chama-se cavitao bolhosa (Figura 3.10).


24

Figura 3.10. Escoamento bolhoso (Adaptado de Almeida, 1981)

Quando a parcela gasosa significativa, e ocupa a zona superior da conduta, passando o

escoamento a processar-se em superfcie livre, diz-se que ocorre separao da veia lquida (Figura

3.11).

Figura 3.11. Separao da coluna ou veia lquida (Adaptado de Almeida, 1981)

3.3.4. ENTRADA DE AR E OUTROS GASES NAS CONDUTAS

A presena de ar e outros gases, numa conduta, dissolvidos ou livres, constitui um factor indicativo,

relevante sobre o comportamento de um sistema elevatrio, face s condies associadas

ocorrncia de regimes transitrios. Contrariamente rapidez, com que se se processa, a libertao

de gases e vapor de gua, quando a presso baixa, a taxa a que os mesmos so absorvidos pela

veia lquida, to reduzida, que pode ser ignorada (Thorley, 2004).

A reaco de um sistema, presena, na forma livre, de ar e outros gases, depende da distribuio

destes.


25

Quando o escoamento, numa conduta elevatria, se processa segundo velocidades reduzidas, h

tendncia para a agregao e formao de bolsas. Estas bolsas, podero tornar-se pontos de

refleco de ondas de presso, caso adquiram dimenses significativas.

Apenas nas situaes, em que o escoamento se faz com velocidades moderadas, que o ar se

separa em pequenas bolhas, formando uma massa homognea. Neste caso, mesmo para pequenas

quantidades de bolhas existentes no escoamento, a celeridade das ondas elsticas pode ser

reduzida, para um quarto da velocidade de propagao das mesmas, num lquido puro (Thorley,

2004).

A ocorrncia de fenmenos de cavitao e rotura da veia lquida, constitui uma srie de potenciais

riscos, dos quais se destacam os seguintes (Almeida, 1991):

Incorrecto funcionamento de alguns dispositivos, associados a um sistema elevatrio;

Deteriorao do revestimento interno de uma conduta;

Enfraquecimento estrutural de uma conduta, nas regies de ocorrncia de cavitao;

Colapso por esmagamento, de uma conduta, por incapacidade de resistncia presso

externa;

Ocorrncia de sobrepresses muito elevadas, aps colapso das cavidades preenchidas por

vapor e gases, com consequente coliso de colunas lquidas, ou coluna lquida e vlvula de

reteno;

Contaminao, por infiltrao numa conduta, de gua tratada.

No entanto, a cavitao e rotura da veia lquida, no representam apenas inconvenientes, uma vez

que, devido referida influncia que tm na celeridade das ondas, podero constituir uma vantagem,

do ponto de vista econmico, e em condutas de curta extenso, proporcionando a eventual dispensa

de dispositivos especiais de proteco.

Lencastre (1996), enuncia uma srie de factores, que podem estar na origem da existncia de bolsas

de ar, nas condutas:

Entrada de ar, atravs de vrtices, nas tomadas das bombas;

Entrada de ar, quer por ventosas, quer por cmaras de equilbrio;

Libertao gradual do ar dissolvido;

Enchimento defeituoso da conduta, onde a extraco integral do ar no foi garantida.

Na Figura 3.12, pode-se observar um vrtice gerado na tomada de uma bomba, provocando a

entrada de ar num sistema elevatrio. Esta situao poder ser prevenida, atravs da colocao de

anteparas na soleira, sob a tomada da bomba, de forma a quebrar a formao do vrtice.


26

Figura 3.12. Vrtice gerado na tomada de uma bomba (KSB, 2008)

Uma outra situao ainda no referida, mas no menos comum em sistemas elevatrios, o

arrastamento de bolhas de ar, para a massa de gua, contida nos respectivos poos de aspirao,

promovido pela queda livre do caudal afluente aos mesmos. Estas bolhas de ar, apresentam uma

baixa tendncia de coalescncia, e permanecem sob a forma livre durante muito tempo. Devido ao

extenso perodo, necessrio para que o ar seja absorvido pela gua, as bolhas de ar acabam por ser

aspiradas, e introduzidas no sistema, via tomada da bomba (Figura 3.13).

Figura 3.13. Queda livre para o poo de aspirao (Adaptado de Stephenson, 1989)

A instalao de uma chapa deflectora, a jusante do canal ou na tubagem de entrada no poo de

aspirao, minimiza este problema.

O nvel mnimo do lquido, na cuba de regularizao de caudal, tambm representa um factor a ter

em ateno, uma vez que se este for demasiado baixo, poder permitir a aspirao de ar,

conjuntamente com o lquido, para o sistema (Figura 3.14).


27

Figura 3.14. Nvel mnimo de lquido no poo de aspirao (Adaptado de Stephenson, 1989)

3.4. OSCILAO EM MASSA. ANLISE QUALITATIVA

Consideraes Gerais

O estudo do golpe de arete, feito de acordo com o modelo elstico, onde intervm a

compressibilidade do lquido e a deformabilidade da conduta. Por sua vez, para o estudo da oscilao

em massa, adopta-se o modelo rgido, onde se considera o lquido incompressvel, e a conduta

indeformvel.

Segundo o modelo rgido, os caudais num dado instante, em duas seces distintas de uma conduta

elevatria, so sempre iguais, o que implica a propagao de qualquer perturbao de forma

instantnea, ou seja, com uma velocidade infinita. Para as mesmas condies, de acordo com o

modelo elstico, os caudais podem ser diferentes. No caso do modelo elstico, o caudal depende, da

abcissa da seco da conduta e do tempo, enquanto no modelo rgido, o caudal depende unicamente

do tempo.

O modelo da oscilao em massa, aplica-se, por exemplo, a um sistema onde a manobra de uma

bomba, acontece de forma muito lenta, quando comparada com o tempo, que uma onda de presso

demora a percorrer, a distncia, entre a bomba e o reservatrio e a regressar bomba, ou seja,

segundos (Wylie e Streeter, 1993).

Anlise Qualitativa da Oscilao em Massa

Para auxiliar a anlise do fenmeno em causa, considere-se a instalao da Figura 3.15, com uma

chamin de equilbrio, intercalada numa conduta elevatria. A paragem da bomba, ocorre de forma

instantnea, a partir de um regime permanente.

Admite-se a hiptese simplificadora de que, aps a paragem instantnea da bomba, a coluna lquida,

a montante da chamin, se imobiliza instantaneamente, ou, ento, ao fim de (perodo muito

curto).


28

Durante o regime permanente, que antecede a paragem da bomba, as cotas do lquido, na chamin

de equilbrio e no reservatrio, so iguais, uma vez que se admitem nulas, as perdas de carga no

sistema, chamin, conduta e reservatrio, e desprezvel, a altura cintica na conduta.

Figura 3.15. Instalao de bombagem com chamin de equilbrio intercalada na conduta elevatria (Adaptado de Thorley, 2004)

No sistema elevatrio, apresentado na Figura 3.15, fraces de segundo aps a paragem da bomba,

ocorre a presso mnima na seco da mesma, e a onda de presso, propaga-se para jusante da

bomba. No ponto alto da conduta (distncia da bomba de 8 km), a presso local no sofre alteraes,

devido ao nvel de lquido no interior da chamin, e a onda de presso que chega, vinda da bomba,

reflectida na direco mesma, tal como aconteceria num reservatrio de grandes dimenses e de

nvel constante, igual ao inicial.

Como referido anteriormente, admite-se que, a coluna lquida, na parcela da conduta a montante da

chamin, fica imobilizada, no entanto, na parcela da conduta, entre a chamin e o reservatrio, a

coluna lquida continua a mover-se, no sentido do reservatrio. Uma vez que deixou de haver

escoamento, a partir da bomba, a alimentao da conduta, passou a processar-se, a partir da

chamin, medida que, a presso na conduta, vai diminuindo.

Como consequncia da descida do nvel de lquido na chamin, a presso na sua base, diminui,

provocando, por sua vez, a desacelerao da coluna lquida, que se desloca, em direco ao

reservatrio.

Quando se verifica a paragem da coluna lquida, ento atingido o nvel mnimo, na chamin de

equilbrio e, sendo inferior ao nvel no reservatrio, tem incio uma inverso do sentido do

escoamento, passando a processar-se do reservatrio em direco chamin, na qual o nvel

comea a subir. Este movimento acelerado, at que se verifique a igualdade, entre os nveis no

reservatrio e na chamin, sendo que, quando tal acontece, o escoamento na conduta, entre o

reservatrio e a chamin, se far, segundo uma velocidade igual, em mdulo, inicial.


29

Atingida a igualdade entre os nveis no reservatrio e na chamin, o movimento em direco

chamin desacelerado e quando se d a imobilizao da coluna lquida, atingido o nvel mximo

na chamin, e tem incio uma nova inverso, no sentido do movimento, que se repetir de forma

cclica.

Desprezando os efeitos do atrito, toda a massa de lquido na conduta, entre o reservatrio e a

chamin, tender a mover-se de forma harmnica, como se se movesse numa conduta em forma de

U (Thorley, 2004).

Se, eventualmente, fossem consideradas as perdas de carga, ento o movimento da coluna lquida

seria amortecido. Nesse caso, o nvel mnimo, atingido na chamin, na sequncia da paragem da

bomba, seria superior ao verificado, quando so consideradas nulas as perdas de carga. Pelo

contrrio, o nvel mximo na chamin, considerando as perdas de carga na conduta, inferior ao

registado, quando estas se consideram nulas (Quintela, 1979).

A descrio do fenmeno de oscilao em massa, feita com base em muitas simplificaes. O

prprio modelo elstico, tambm tem aplicao no estudo da oscilao em massa. Ainda assim, a

oscilao em massa ou modelo rgido, nos casos em que aplicvel, constitui uma vantagem, porque

as hipteses simplificadoras, nas quais se baseia, tornam, bastante mais fcil, a sua utilizao no

clculo, associado aos regimes transitrios.

3.5. ANLISE TERICA DO GOLPE DE ARETE

No processo de anlise, que se apresentar seguidamente, foram tomadas as seguintes hipteses

simplificadoras, vlidas na quase totalidade dos casos de aplicao corrente (Almeida, 1981):

Relativamente ao comportamento do escoamento e do fluido:

O escoamento considerado unidimensional, sendo as equaes vlidas dum ponto de vista

global. Nesta conformidade, admite-se, em cada seco da conduta e em cada instante, uma

distribuio uniforme, para a presso e para a velocidade;

Os coeficientes correctivos de Coriolis, e de quantidade de movimento, consideram-se

constantes e iguais unidade;

O fluido homogneo e monofsico, durante todo o regime varivel;

As condutas so consideradas perfeitamente impermeveis, pelo que no existem trocas de

caudal com o exterior, atravs das suas paredes laterais;

As perdas de carga so iguais s que se verificariam, em cada instante, num regime uniforme

tangente e permanente;

A variao da massa volmica do fluido, durante o regime varivel, pode ser desprezada,

face aos valores das variaes de outras grandezas. Da mesma forma, no se tm em

considerao, eventuais variaes de temperatura, que ocorram durante o regime varivel.


30

Relativamente ao comportamento da conduta:

O eixo da conduta, apesar de esta estar submetida a solicitaes dinmicas, mantm-se

imobilizado;

A parede da conduta tem um comportamento elstico, caracterizado pelos respectivos

mdulo de elasticidade e coeficiente de Poisson, sendo, contudo, pouco deformvel.

Em cada troo elementar, a conduta considerada como uniforme, sendo desprezadas as

foras da inrcia das suas paredes.

O processo de anlise terica do golpe de arete, assenta na aplicao, a um troo elementar do

escoamento, entre duas seces de uma conduta, dos princpios do equilbrio dinmico, e da

conservao da matria, podendo, de acordo com as hipteses acima enunciadas, ser expresso

pelas duas equaes diferenciais seguintes (Chaudhry, 1987):

Equao da dinmica:

| | (3.2)

A equao anterior, traduz o equilbrio das foras, que actuam no troo elementar de escoamento,

segundo o eixo da conduta, isto , garante a 2 Lei de Newton (Figura 3.16). Note-se que o termo

( ) | |, representa a perda de carga unitria, de acordo com a frmula de Darcy.

Figura 3.16. Foras actuantes num troo elementar do escoamento (Adaptado de Popescu et al., 2003)

Equao da continuidade:

(3.3)


31

A equao da continuidade, exprime o princpio da conservao da massa do lquido, ou seja, a

diferena, entre a quantidade de massa, que entra e sai pelas seces, que limitam o troo

elementar, ter que ser igual variao da massa existente no interior do referido troo, durante um

dado intervalo de tempo.

De outra forma, a condio da continuidade, garante, que todo o espao no troo de escoamento,

entre duas seces da conduta, est preenchido com lquido, em qualquer instante (Figura 3.17).

Figura 3.17. Fluxo de massa atravs de um troo elementar do escoamento (Adaptado de Popescu et al., 2003)

Considerando nulas as perdas de carga na conduta, o que, praticamente admissvel para a primeira

onda de presso, as equaes de escoamento, podem ser escritas da forma seguinte:

Equao da dinmica

(3.4)

Equao de continuidade

(3.5)

Derivando as duas equaes anteriores, em ordem a , e em ordem a , obtm-se, respectivamente,

as equaes diferenciais parciais hiperblicas, quase-lineares, seguintes (sistema de equaes das

cordas vibrantes):

(3.6)

e

(3.7)


32

A soluo geral, resulta da integrao do sistema, constitudo, pelas duas equaes anteriores, onde,

e representam duas funes arbitrrias, cuja expresso, depende da lei de variao de caudais e

das condies de fronteira:

{

( ) ( )

[( ( ) ( )]

(3.8)

No sistema apresentado, e , representam, respectivamente, a cota piezomtrica e velocidade de

escoamento no instante .

Na interpretao fsica da funo ( ), toma-se , e considera-se que, um observador se

desloca na conduta, a uma velocidade constante, dada pela condio (traduz a distncia percorrida

pelo observador):

(3.9)

Nestas condies tem-se, para o primeiro ramo do sistema de equaes, que ( )

e, consequentemente, a funo , representa a onda de presso, que se desloca, com uma

velocidade constante de propagao, , no sentido do escoamento (sentido positivo do eixo das

abcissas).

De forma anloga, admita-se que , e considere-se um observador, que se desloca, de acordo

com a seguinte condio de movimento:

(3.10)

Assim, tem-se que, a funo , representa a onda de refleco, que se desloca, segundo uma

velocidade, , no sentido contrrio, ou seja, no sentido negativo do eixo das abcissas, e contrrio ao

do escoamento.

Normalmente, admite-se que o reservatrio a jusante da conduta, apresenta dimenses muito

grandes, quando comparadas com a conduta, pelo que, no se registaro variaes do nvel

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