Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Autenticação · PDF fileColectânea de Problemas Resolvidos ... Introdução aos Circuitos Resistivos ... A fonte de 12V está a fornecer

Sistemas Eléctricos e Electromecânicos

Colectânea de Problemas Resolvidos

2010

DEEC – Área de Especialização em Energia

Gil Marques

Maria José Resende

Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Problemas – 2010

2


3

Índice

Problema Nº 1 – Introdução aos Circuitos Resistivos .............................................................................. 5

Problema Nº 2 - Circuitos Resistivos ....................................................................................................... 8

Problema Nº 3 - Circuito RL série (regime permanente) ....................................................................... 10

Problema Nº 4 – Circuitos em AC - Regime Permanente Circuito RLC série ................................. 12

Problema Nº 5 – Circuitos em AC - Regime Permanente + Compensação F.P. .................................... 15

Problema Nº 6 – Circuitos Trifásicos ..................................................................................................... 18

Problema Nº 7 – Circuitos Trifásicos com C. Factor Potência .............................................................. 20

Problema Nº 8 – Circuito Magnético I ................................................................................................... 22

Problema Nº 9 – Circuito Magnético II .................................................................................................. 24

Problema Nº 10 - Circuito Magnético – Cálculo de forças .................................................................... 27

Problema Nº 11 – Cálculo da Força electromecânica numa armadura .................................................. 29

Problema Nº 12 – Problema do conversor electromecânico rotativo elementar .................................... 33

Problema Nº 13 – Circuito Magnético ................................................................................................... 36

Problema Nº 14 – Transformador de distribuição monofásico .............................................................. 38

Problema Nº 15 - Máquinas Eléctricas - Transformador ....................................................................... 43

Problema Nº 16 – Determinação das características de uma máquina de indução a partir do circuito

equivalente. ............................................................................................................................................. 45

Problema Nº 17 – Funcionamento da Máquina de indução na zona de pequenos escorregamentos. .... 47

Problema Nº 18 –Máquina de indução controlada com o método u/f. ................................................... 49

Problema Nº 19 – Métodos de arranque da máquina Assíncrona de rotor em gaiola ............................ 52

Problema Nº 20 – O gerador de indução ................................................................................................ 54

Problema Nº 21 - Máquina de Indução ou Assíncrona .......................................................................... 56

Problema Nº 22 – Conversor de frequência rotativo com duas máquinas síncronas ............................. 58

Problema Nº 23 – Motor de Excitação em série..................................................................................... 61

Problema Nº 24 - Maquina DC – Veículo Eléctrico .............................................................................. 63

Problema Nº 25 - Máquina de corrente contínua de Excitação Separada ............................................. 65

Problema Nº 26 - Máquina de Corrente Contínua de Excitação em Série ............................................. 68

Problema Nº 27 Máquina de Corrente Contínua .................................................................................... 70


4


5

PROBLEMA Nº 1 – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS RESISTIVOS

Considere o circuito eléctrico representado na figura. Os valores das fontes e resistências encontram-se

representados na mesma figura.

Pretende-se resolver este circuito, isto é, determinar os valores das as corrente tensões e potências em todos

os elementos do circuito.

a) Estabeleça as equações resultantes da aplicação das leis dos nós necessárias para a resolução

do circuito.

Apenas interessam os nós com mais do que dois ramos. Do nó A tira-se:

321 iii

do nó B tira-se:

132 iii

que é equivalente à obtida na aplicação ao nó A o que ilustra que basta escrever N-1 equações dos nós.

b) Estabeleça as equações resultantes da aplicação das leis das malhas.

Escolham-se as malhas segundo a figura:


6

Na malha 1 tem-se:

012 31 uu

Na malha 2 tem-se:

0823 uu

Se estas duas equações forem verificadas, então a equação que resulta da circulação da malha exterior

também será verificada. Na realidade obter-se-ia:

0812 21 uu

Que resulta também da soma das duas equações anteriores. Isto quer dizer que esta terceira equação é

linearmente dependente das outras duas. Com efeito:

0)8()12( 2331 uuuu

c) Escreva as equações dos elementos do circuito

Tem-se:

313

212

111

2

1

8

12

iRu

iRu

iRu

u

u

s

s

Com R1, R2 e R3 os valores indicados na figura

d) Resolva o circuito utilizando o método das correntes fictícias.

Definam-se as malhas

Por inspecção, tem-se:

A)nó no nós dos lei a escrever a equivale que (o 213

22

11

JJi

Ji

Ji

Circulando nas malhas e introduzindo ao mesmo tempo as leis dos elementos tem-se:

0)(8

0)(12

12322

21311

JJRJR

JJRJR

Colocando na forma matricial, obtém-se:


7

2

1

323

331.

8

12

J

J

RRR

RRR

Numericamente obtém-se:

2

1.

1210

1011

8

12

J

J

Resolvendo o sistema de equações obtém-se como solução:

1

2

2

1

J

J

Aplicando a relação entre as correntes de ramo e as correntes de malha, tem-se:

112

1

2

3

2

1

i

i

i

As tensões nos ramos será:

ViRu

ViRu

ViRu

10110

212

221

333

222

111

e) Calcule as potências em todos os ramos.

A tabela apresenta os valores das correntes, tensões e potências.

Elementos I [A] U [V] P [W]

Us1 2 12 -24

Us2 1 8 8

R1 2 2 4

R2 1 2 2

R3 1 10 10

Pode verificar-se que a soma das potências é nula o que verifica o princípio de conservação de energia.

A fonte de 12V está a fornecer potência ao circuito.

As resistências estão a consumir potência eléctrica.

A fonte de 8V está a receber potência do circuito.


8

PROBLEMA Nº 2 - CIRCUITOS RESISTIVOS

Considere o circuito representado na figura com os valores das fontes e resistências indicados.

R1 R3

R2 R4Vs Js

AJs 80,

521 ,R

102R

103R

204RVVs 12

a) Determine todas as correntes nos ramos e tensões nas fontes utilizando o método das correntes

fictícias

Escolham-se as correntes de malha como se indica na figura. Não é necessário escolher uma corrente de

malha no ramo da fonte de corrente pois esta corrente já é conhecida neste ramo.

Circulando na malha 1, obtém-se:

021211 JJRJRVs

Circulando na malha 2, obtém-se:

02423212 sJJRJRJJR

Colocando na forma matricial, tem-se:

s

s

JR

V

J

J

RRRR

RRR

42

1

4322

221

Substituindo valores:

16

12

4010

105,12

2

1

J

J

Usando a matriz inversa tem-se:

16x0312,012x025,0

16x025,012x1,0

16

12

0312,0025,0

025,01,0

16

12

4010

105,121

2

1

J

J

2,0

8,0

2

1

J

J


9

b) Calcule as potências em todos os elementos e verifique o princípio de conservação de energia.

O cálculo das correntes e tensões nos elementos faz-se a partir do valor das correntes fictícias. Vamos arbitrar

as tensões como se representa na figura e as correntes no sentido do terminal + para o terminal -.

As correntes, tensões e potências serão:

Elemento Corrente [A] Tensão [V] Potência [W]

sV 801 , JIs 12sV 69,ssIV

1R 8011 , JI 2111 RIV 6111 ,IV

2R 1212 JJI 10222 IRV 1022 IV

3R 2023 , JI 2333 IRV 4033 ,IV

4R 6024 , sJJI 12444 IRV 2744 ,IV

sJ 80,sJ 124 VVsJ 69,sJ JV

s

Verifica-se que, por coincidência, ambas as fontes estão a fornecer ao circuito 9,6W.

Pelo princípio da conservação de energia,

DissipadaEnergiaFornecidaEnergia

2,74,0106,16,96,9

Processo simplificado

Aplicando a conversão Norton-Thevenin, tem-se o circuito:

Cujas equações são:

s

s

JR

V

J

J

RRRR

RRR

42

1

4322

221


10

PROBLEMA Nº 3 - CIRCUITO RL SÉRIE (REGIME PERMANENTE)

Determine a evolução temporal em regime permanente das tensões e correntes em cada um dos elementos,

quando aplica uma fonte de tensão alternada sinusoidal de valor eficaz V230efE , zf H50 .

)sin(2)( tEte ef ºjoef eEE

jLR eZjZZZ LR

sendo 22 LR Z

961030050220

232

essubs.v alor Z

e

R

Larctan º78

20

10300502arctan

3

essubs.v alor

j

efjef

j

jef eIe

Z

E

eZ

eE

Z

EI

0

AeeI jj 7878essubs.v alor 4,2

96

230

jefR eIIU RR VeeU jj

R7878

essubs.v alor 484,220

º9090 LLL jef

jef

jL eIeIeIjU

VeeU jjL

1278903 2254,210300502valoressubs.

A evolução temporal das grandezas será, então:

)º78180

sin(4,22)(

tti

)º78180

sin(482)(

ttuR

)º12180

sin(2252)(

ttuL

)(te

i)(tuR

)(tuL

R

L

20R

mH300L


11

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 90 180 270 360 450 540 630 720

[V]

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

[A]e(t) uR(t) uL(t) i(t)

RU

I

LU

RU

º78 E


12

PROBLEMA Nº 4 – CIRCUITOS EM AC - REGIME PERMANENTE CIRCUITO RLC SÉRIE

Resolução do circuito RLC em série

Impedância da resistência RRZ

Impedância da bobine L jZL

Impedância do condensador C

1

jZC

Como estas 3 impedâncias estão em série LC

1R

jjZZZZ LCRT

C

1LR jZT

1º Caso 0C

1L

RTZ

Circuito com carácter Resistivo

2º Caso 0C

1L

XR jZT

Circuito com carácter Indutivo

3º Caso 0C

1L

XR jZT

Circuito com carácter Capacitivo

Substituindo valores: V230efE , zf H50 , 20R , F300 C e mH300L

)(te

i)(tuR )(tuC

)(tuLL

R C

I

TZ

E

I

TZ

E

I

TZE


13

2

632

10300502

11030050220

Z

868420 22

º7720

84arctan

R

C

1L

arctan

7786 jeZ A impedância não é uma grandeza sinusoidal

Não faz sentido falar no seu valor eficaz nem na sua evolução temporal!!!

Aee

e

Z

EI j

j

jef

ef77

77

0

7,286

230

VeeIU jjefefR

7777 537,220R

VeeIjU jjefefL

137790 2527,2LL

VeeIjU jjefefC

1679077 287,2C

1

C

1

I

TZ

ECURU

LUCU

LC UU

RU

º13

º13

º13


14

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 90 180 270 360 450 540 630 720

[V]

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

[A]e(t) uR(t) uC(t) uL(t) i(t)


15

PROBLEMA Nº 5 – CIRCUITOS EM AC - REGIME PERMANENTE + COMPENSAÇÃO F.P.

Considere o seguinte circuito, alimentado a partir de uma rede de corrente alternada V230efE e

frequência zf H50 . Considere: 5021 ,'RR , mH51 L , mH42 'L , mH50ML e

10ExtR .

Determine:

a) A impedância equivalente do circuito, observada a partir dos terminais ab.

1Z é a série de '2R , '2L e ExtR :

'' 221 LjRRZ Ext 8,61 6,1026,15,10 jejZ

2Z é o paralelo de 1Z e ML :

2,552,634,86,107,15

6,107,15 6,388,690

8,690

12

122 je

ee

ee

ZLj

ZLjZ j

jj

jj

1R 'R 2

ExtR

1L 'L2

ML

a

b

a

b

1R 1L

ML1Z

1R 1L

2Z

a

b


16

Finalmente, TZ é a série de 1R , 1L e 2Z :

211 ZLjRZT 4475,977,602,72,552,657,15,0 jejjj

b) a corrente fornecida pela fonte, bem como as potências activa e reactiva.

Aee

e

Z

VI j

j

j

T

4444

0

6,2375,9

230

Potência Complexa VAeeeIVS jjj 44440*42856,23230

Potência Activa WSP 805344cos4285Re

Potência Reactiva VArSQ 771344sin4285Im

o valor da capacidade de um condensador , a colocar à entrada do circuito, de modo a assegurar um factor de

potência unitário.

No problema tem-se: factor de potência 72,044cos indutivo

e pretende-se que 1'cos º0' circuito com um carácter resistivo, globalmente, 0P e

0Q .

A potência fornecida por um condensador com uma tensão cV aos seus terminais e que está a ser percorrido

por uma corrente cI , é:

Sabendo que a impedância do condensador é C

jZc

1

Tem-se: 90j

cc

cc eVC

Z

VI

A potência complexa será então: 902* jcccc eVCIVS

TZ

a

b

cI

cV


17

090cosRe 2 ccc VCSP

22 90sinIm cccc VCVCSQ o condensador fornece Q

O problema pretende que se dimensione C que forneça toda a energia reactiva que está a ser consumida pelo

circuito; deverá ser então:

QQc

37712 cVC

3771230502 2 C FC 227


18

PROBLEMA Nº 6 – CIRCUITOS TRIFÁSICOS

Considere o circuito representado na figura

A fontes de tensão constituem um sistema simétrico e equilibrado de tensões de valor eficaz V400/230 e

frequência zf H50 . O valor dos parâmetros é:

101R 62R 36,43R mHL 5,25 FC 354

a) Calcule as 3 correntes nas fases bem como a corrente de neutro.

º01 230 j

s eV º1202 230 j

s eV º2403 230 j

s eV

As impedâncias de carga de cada fase são:

RZZ R 1 subs. valores 101Z

LR jZZZ LR 2 subs. valores 32 105,251006 jZ º6,52

2 10 jeZ

C

jZZZ CR

R3 subs. valores

63

1035410036,4

jZ º1,64

3 10 jeZ

1

11

Z

VI

s subs. valores Ae

eI j

jº0

º0

1 2310

230

2

22

Z

VI

s subs. valores Ae

e

eI j

j

jº6,172

º6,52

º120

2 2310

230

3

33

Z

VI

s subs. valores Ae

e

eI j

j

jº9,175

º1,64

º240

3 2310

230

A corrente de neutro será:

321 IIIIN subs. valores º9,175º6,172º0 232323 jjjN eeeI

º1692,244,48,22 jN ejI

b) Desenhe um diagrama vectorial representando as amplitudes complexas das tensões e das

correntes


19

c) Considere agora que todas as cargas são iguais à da fase 2 (carga trifásica equilibrada). Calcule

as amplitudes complexas das correntes nas fases e no neutro. Desenhe o respectivo diagrama

vectorial

ZZZZ 321º6,5210 je

Z

VI

s11 subs. valores Ae

e

eI j

j

jº6,52

º6,52

º0

1 2310

230

Z

VI


e

eI j

j

jº6,172

º6,52

º120

2 2310

230

Z

VI


e

eI j

j

jº4,67

º6,52

º240

3 2310

230

A corrente de neutro será:

321 IIIIN subs. valores º4,67º6,172º6,52 232323 jjjN eeeI

0NI


20

PROBLEMA Nº 7 – CIRCUITOS TRIFÁSICOS COM C. FACTOR POTÊNCIA

Considere um circuito trifásico simétrico ligado em triângulo, alimentado a partir da rede eléctrica nacional

230/400V, 50Hz. Cada fase da carga pode ser representada pelo seguinte circuito eléctrico:

R Z

RL

R = 2 L = 20 mH

a) Determine o valor da impedância Z , de modo a que o valor da impedância total em cada fase

seja 7ej50º

;

903,6 jL eLjZ 2 RZR

6,08,19,16,6

6,12comparaleloem 18

72

90

1 jee

e

LjR

LRjZZZ j

j

j

RL

1ZZZZ Rtotal

6,08,1250sen750cos71 jjZZZZ Rtotal

8285,48,47,0 jejZ

b) Calcule o valor das correntes na linha e as potências activa e reactiva fornecidas pela fonte

A577

400 5050

jjtotal

FaseFase e

eZ

VI

Como FaseLinha II 3 A7,98573 LinhaI

W9554350cos7,984003cos3 LinhaComp IVP

VAr3835250sin7,984003sin3 LinhaComp IVQ


21

c) Determine o valor dos condensadores, a colocar em paralelo com cada fase, de modo a

assegurar um factor de potência de 0,85.

Na nova situação (com condensadores) o circuito consumirá P’ e Q’

e o factor de potência é 85,0'cos º8,31'

Será então 'PP e 'tan''sin'' PSQ

Pelo que: VAr253278,31tan95543' Q

A potência reactiva fornecida pelos condensadores será:

VAr130252532738352' QQQ

Por outro lado, 3 condensadores alimentados com uma tensão condV a uma frequência , fornecem

23 condcond VCQ de potência reactiva.

Deverá ser então: QQcond

Como os condensadores deverão estar ligados em , será V400condV

Tem-se então: 130254005023 2 C

FC 16710167 6

Represente num diagrama vectorial as tensões e as correntes nas fases, antes e depois de compensar o factor

de potência.

As componentes activas das correntes, antes e depois da compensação, são iguais

8,31cos'50cos 11 II

1V

1I

3V

2V

1'I

2I

3I

2'I

3'I

O

º^

5011 IV

º,'^

83111 IV

º^^^

120313221 VVVVVV

º^^^

120313221 IIIIII

º''''''^^^

120313221 IIIIII

º,831

º50


22

PROBLEMA Nº 8 – CIRCUITO MAGNÉTICO I

Considere o circuito magnético representado na figura.

Considere que o ferro tem permeabilidade relativa igual a

10000, que o entreferro é de 1 mm e que a bobine de 400

espiras é percorrida por uma corrente de 1 A.

A permeabilidade magnética do ar pode ser aproximada à

do vazio.

10000rFe

mm1g

espiras400N

A1I

mHar /7

0 104

a) Determine os parâmetros do esquema eléctrico equivalente, calculando as reluctâncias

magnéticas.

O circuito eléctrico equivalente é:

Rarmadura

Rentreferro

Fmm

Rentreferro

Rnúcleo

As relutâncias magnéticas são:

1

47

3

Ae.Wb9947181042104

101

S

gR

arentreferro

1

474

2

Ae.Wb5968104210410

106

SR

arrFe

armarmadura

1

474

2

Ae.Wb17904104210410

1018

SR

arrFe

núcleonúcleo

As relutâncias magnéticas devidas aos entreferros são cerca de 80 vezes superiores às dos troços em ferro,

mesmo sendo o percurso no entreferro 240 vezes inferior ao no ferro!!

A relutância magnética total será:

i

N

2 cm

1 mm

6 cm

4 cm

2 cm 2 cm 2 cm

2 cm


23

1Ae.Wb30801322 núcleoarmaduraentreferroTotal RRRR

b) Calcule a relação Total

entreferro

R

R2.

988,03080132

43698912

Total

entreferro

R

R

c) Calcule o fluxo e o campo de indução B

AeiNFmm 4001400

mWbWbR

Fmm

Total199,010199,0

3080132

400 3

TS

B 248,0108

10199,0

4

3

Se se tivesse desprezado a relutância dos troços em ferro face à relutância dos entreferros, os valores seriam:

mWbWbR

Fmm

Total2,0102,0

1989436

400 3

TS

B 251,0108

102,0

4

3


24

PROBLEMA Nº 9 – CIRCUITO MAGNÉTICO II

Considere o circuito magnético representado na figura.

espiras400N 10000rFe A1I

mHar /104 70

Considere que o ferro tem permeabilidade relativa igual a

10000, que a bobine de 400 espiras é percorrida por uma

corrente contínua de 1 A.

A permeabilidade magnética do ar pode ser aproximada à

do vazio.

Considere duas situações distintas: entreferro de 10 mm e

entreferro de 2 mm

a) Determine o modelo de circuito magnético, os respectivos parâmetros e os valores dos fluxos e

campo de indução.

As diversas relutâncias magnéticas para mmg 2 são:

l [m] S [m2] R [Ae/Wb]

Rb 0,05 0,0008 4974

Rc1 0,07 0,0008 6963

Rc2 0,01 0,0008 995

Rar 0,002 0,0008 1989437

Do circuito magnético equivalente obtém-se:

2

1

2112

21

212112

222222

222222

carcbcarcb

carc

carccarcbcarcb

RRRRRRRR

RRR

RRRRRRRRRRR

Ni

Ni

Para mmg 2 resulta:

1 2


25

2

1

3006039998697

9986973006039

400

400

400

400

3006039998697

99869730060391

2

1

mWb1,021

mWbcentral 2,02

TS

Bar

ar 1245,0108

101,0

4

3

TS

Bcentral

centralcentral 1245,0

1016

102,0

4

3

Para mmg 10 resulta:

2

1

109637864977571

497757110963786

400

400

400

400

109727394980555

4980555109727391

2

1

mWb025,021

mWbcentral 05,02

TS

Bar

ar 03,0108

10025,0

4

3

TS

Bcentral

centralcentral 03,0

1016

1005,0

4

3


26

Método alternativo: Este método usa a simetria do circuito magnético para simplificar as equações; o

esquema equivalente é o representado na figura seguinte:

1122 cbcarcbcar RRRRRRRRNi

12 2222 cbcar RRRRNi

Substituindo valores para mmg 2 :

4016673400 mWbWb 1,01010 5

Substituindo valores para mmg 10 :

19932167400 mWbWb 02,0102 5

b) Repita a) desprezado as relutâncias do ferro face às do ar.

Para mmg 2 resulta:

2

1

298415594718

9947182984155

400

400 mWb105,021

Para mmg 10 resulta:

2

1

109419024973592

497359210941902

400

400 mWb025,021


27

PROBLEMA Nº 10 - CIRCUITO MAGNÉTICO – CÁLCULO DE FORÇAS

Considere o seguinte sistema electromagnético. Admita que não há dispersão.

a

b

C

R1

10 cm

10 cmN1

N2

R2

c

d

1 mm

.2001 espN 11R FC 1 800Fer 2cm4S

.1002 espN 12R V10abV 170 10x4 Hm

Determine:

o valor da relutância magnética do circuito magnético;

1WbAe

S

l

S

llR

ar

ar

arr

arFem

Fe

1647

3

47

32

WbAe10510410x4

102

10410x4800

10210104

mR

1WbAe

S

lR

ar

arm

os valores dos coeficientes de auto-indução das bobinas;

H008,0105

200

6

221

1

mR

NL H002,0

105

100

6

222

2

mR

NL

o valor da corrente solicitada à fonte, quando a bobina 2 está em vazio e aos terminais ab é aplicada

uma tensão alternada sinusoidal, com um valor eficaz de 10 V e uma frequência de 50 Hz;

CjLjRZeq

1comparaleloem

721 3,3101,05021 jejjLjRZ

906

1833183310502

11 jc ej

jLjZ

72

1

1 3,3 j

c

ceq e

ZZ

ZZZ

O Condensador é, praticamente, um circuito aberto


28

A3,33,3

10 72

72

j

jeq

eeZ

VI

o valor médio da força a que fica sujeita a peça 2, nas condições da alínea anterior e para valores de

entreferro de 1 mm.

Para I = constante é:

x

LiF

2

2

)(

21

1xR

NLL

m

S

xxRm

0

2)(

202

1

202

1

221

2

1

2 1

2222)(2)(

2 x

SN

i

x

S

dx

dN

i

xR

N

dx

dixL

dx

diF

m

N45

10

1

2

104104200

2

3)1(

23

472

2

mmxF


29

PROBLEMA Nº 11 – CÁLCULO DA FORÇA ELECTROMECÂNICA NUMA ARMADURA

Considere o dispositivo do problema nº8 redesenhado na figura

abaixo. A área da secção recta é igual a 8cm2.

A. Considere a armadura alinhada com o núcleo.

A1. Calcule a relutância magnética do entreferro.

A

gRar

0

A

gRentref

0

2

A2. Determine uma expressão para o coeficiente de auto-indução

da bobina desprezando a dispersão.

Por definição iL

Tem-se N

mR

iNN

mR

NL

2

Desprezando a contribuição do ferro no cálculo da relutância total

g

NA

R

NL

ar 22

20

2

A3. Calcule uma expressão para a força electromecânica que se exerce na direcção vertical, em função

da corrente e da espessura do entreferro. Determine o valor desta força considerando:

Espessura do entreferro igual a 2 mm e a corrente i=1A.

Espessura do entreferro igual a 10 mm e corrente i=1A.

Sendo a corrente imposta, a expressão da força deverá ser determinada através da co-energia magnética.

dx

dLiiL

xx

Wf mx

22'

2

1

2

1

dx

dLifx2

2

1

L em função da espessura do entreferro é x

NAxL

2)(

20

A força será dada por

xdx

dANixfx

1

4

1)( 2

02

2

20

2 1

4

1)(

xANixfx


30

2

2)( i

x

kxfx com

4

20AN

k

Substituindo valores: 510021,4 k

para mx 3102 e Ai 1 Nfx 05,10

para mx 31010 e Ai 1 Nfx 40,0

A4. Considere agora que a corrente é alternada sinusoidal de valor eficaz igual a 1A e de frequência

igual a 50Hz.

Com a espessura do entreferro igual a 2 mm, calcule a expressão da força que se exerce sobre a

armadura e o seu valor médio. Compare com o resultado alcançado na alínea A3. Se a frequência

passar para 400Hz, qual a influência no valor médio desta força?

Sendo tIi sin2 )2cos(1sin2 2222 tItIi

pelo que será: )2cos(1)( 2

2tI

x

kxfx

cujo valor médio é dado por: 2

2)( I

x

kxfxav

A expressão do valor da força média, em termos de valor eficaz, é igual à expressão da força na situação de

corrente contínua.

Não depende da frequência, mas depende do valor do entreferro x .

A5. Considere que esta bobina se encontra alimentada com uma fonte de tensão sinusoidal de

frequência igual a 50Hz e de valor eficaz igual a 60V. Calcule uma expressão para a força

electromecânica que se exerce sobre a armadura. Despreze o valor da resistência da bobina e

considere a espessura do entreferro igual a 2 mm. Se a frequência passar para 400Hz, qual a influência

no valor médio desta força?

Se a bobina se encontrar alimentada por uma fonte de tensão a força terá de ser determinada através da

expressão da energia magnética:

)(2

1 2

xLxx

Wf mx

Sendo desprezável a resistência da bobine, tem-se: dtudt

du

donde

tU

tUu

cos2

sin2


31

A força poderá ser obtida através da expressão da energia magnética: )(2

1 2

xLWm

como já se tinha calculado x

NAxL

2)(

20 obtém-se:

20

22 2

2

1

)(2

1

AN

x

xLWm

pelo que a força será: 2

0

2'

ANx

Wf mx

Esta força não depende da posição da armadura x .

O quadrado do fluxo será dado por tU

2cos1

22

Substituindo a expressão do fluxo, tem-se: tU

ANfx

2cos1

12

20

Cujo valor médio é dado por:

2

20

1

U

ANfxav A força depende agora da frequência.

Aumentando a frequência 8 vezes (400 Hz) a força diminui 64 vezes.

Para os valores indicados, obtém-se:

Valor médio da força Nfxav 227

coeficiente de auto-indução HL 04,0 com mmx 2

reactância 6,12LX

corrente AX

UI 7,4

B. O entreferro é agora constante e igual a 2mm, mas a armadura

está desalinhada do núcleo segundo a direcção longitudinal como

se mostra na figura.

B1. Calcule uma expressão para a força segundo y em função de

g e y . Comente o resultado.

Nesta situação uma das relutâncias magnéticas do entreferro vai variar

com y. A outra vai ficar constante.

CB

gRm

01

yCB

gRm

02

O coeficiente de auto-indução será dado por:

yCB

g

CB

g

NygL

00

2

),(

dy

ygdLIfy

),(

2

1 2

x

y

g

B

C


32

C. O entreferro é agora constante e igual a g mas a armadura está

desalinhada do núcleo segundo a direcção transversal como se mostra na

figura.

Calcule uma expressão para a força segundo a direcção z considerando

que a bobina se encontra alimentada com uma fonte de corrente contínua

de amplitude igual a 1 A. Comente o resultado. Calcule o valor da força

para g=1mm e I=1A.

Nesta situação ambas as relutâncias magnéticas vão variar com z.

zBC

gRar

0

O coeficiente de auto-indução será dado por: )(22

),( 0

22

zBCg

N

R

NzgL

ar

Daqui resulta a força:

dz

dLIfz2

2

1

Cg

NIfz 0

22

22

1

Para mmg 1 e AI 1 obtém-se Nfz 1

B


33

PROBLEMA Nº 12 – PROBLEMA DO CONVERSOR ELECTROMECÂNICO ROTATIVO ELEMENTAR

Considere um sistema electromagnético constituído por duas bobinas como o indicado na figura

Fs

Fr

Os coeficientes de indução destas bobinas são:

Ls=1H, Lr=1H, Msr()=0,9cos().

a) Determine uma expressão para a co-energia magnética.

A expressão para a co-energia magnética toma a forma:

rsrrssrsm iMiiLiLiiW 22'

2

1

2

1),,(

Substituindo valores, tem-se:

cos9,02

1

2

1),,( 22'

rsrsrsm iiiiiiW

b) Determine uma expressão para o binário electromagnético.

O binário pode ser obtido através da derivada da co-energia magnética. Obtém-se:

sin9,0

),,('

rsrsm

em iiiiW

M

c) Sabendo que as correntes são dadas por: is=10A, ir=10A, determine a expressão do binário em

função da posição .

Substituindo os valores das correntes, obtém-se: sin90sin9,0 rsem iiM


34

d) Calcule o binário máximo.

O binário máximo será 90Nm obtendo-se para = -/2.

e) Determine a posição de equilíbrio quando o binário exterior aplicado for 45Nm. Analise a estabilidade

dos pontos encontrados

O movimento é regido pela segunda lei de Newton. Para o movimento de rotação, na convenção motor, tem-

se:

extemm MM

dt

dI

O ponto de equilíbrio obtém-se quando o binário acelerador, dado pela diferença entre Mem e Mext se igualar a

zero, ou seja, quando Mem = Mext.

Desenhando ambos os binários no mesmo gráfico, o ponto de equilíbrio obter-se-á quando os gráficos destes

se cruzarem. Obtêm-se os pontos A e B. Para o ponto A tem-se =-/6. Para o ponto B tem-se =-+/6.

O ponto A constitui um ponto de equilíbrio estável. Com efeito, se houver uma perturbação no sistema e a

posição se deslocar para a direita, o binário acelerador fica negativo acelerando o rotor no sentido negativo,

isto é, no sentido de regressar ao ponto de equilíbrio. O mesmo se passa para a deslocação à esquerda. A

análise está feita graficamente na figura onde as setas a preto indicam o binário acelerador obtido depois da

perturbação e as setas a azul indicam o sentido de deslocamento do rotor. Pode verificar-se que para o ponto

A, depois da perturbação desaparecer, o sistema regressa ao ponto de equilíbrio. Para o ponto B o sistema

afasta-se do ponto de equilíbrio.

Mem

Mext

/6 -

A B


35

A figura ilustra o funcionamento do sistema nestas condições. Quando o binário exterior aplicado for nulo, o

ponto de funcionamento será dado por =0, isto é, as duas bobinas estão alinhadas. O binário

electromagnético será nulo também. Quando se aplicar um binário que faça rodar a peça móvel no sentido

negativo de , o rotor rodará para um novo ângulo negativo e surge um binário electromagnético em

oposição que vai equilibrar o sistema. Obtém-se um ponto de equilíbrio de modo que os dois binários sejam

iguais e de sinais opostos. Estas duas situações estão ilustradas nas figuras seguintes.

Fs

Fr

F

s

Fr

Posição de equilíbrio com Mext=0 Posição de equilíbrio com Mext>0

Uma vez que o binário é função da posição, pode fazer-se uma analogia mecânica considerando que tudo se

passa como se existisse uma mola entre o estator e o rotor. Quanto maior for o binário aplicado maior será o

ângulo de equilíbrio.

Mem

Mext

-/6 -

A B


36

PROBLEMA Nº 13 – CIRCUITO MAGNÉTICO

Considere um circuito magnético em que a peça móvel se desloca perpendicularmente às linhas de

força do campo. Admita para dimensões da figura os seguintes valores:

g=1 mm d=10 cm I=15 cm N=500 espiras

Determine, em função da coordenada x:

a) a expressão da relutância magnética do circuito;

ldS ld

S2

Para , 02

xd

ldS Para , 2

0d

x xdIxS )(

Então xdIxS )( para 2

0d

x e )0()( SxS para 02

xd

Admitindo que Fe armagmag RR

1

2

3

227

3

0 1010

1061,10

10101015104

1022

WbAe

xxxS

gRR

armagmag

para 2

0d

x

x0x

2

dx

x0x

2

dx

d

I

g

I

g

I


37

b) a expressão do coeficiente de auto-indução da bobine;

admitindo linearidade magnética

Hx

g

xdlN

xR

NxL

mag

20

22

10106,232)(

)(

c) A expressão da co-energia magnética ou da energia magnética armazenada na bobine;

admitindo linearidade magnética

2

)(

1

2

1

,

xL

xfWmag

2)(2

1

,'

ixL

xifWmag

20

2

4i

g

xdlN

Jx

210102651

d) O valor e sentido da força a que fica sujeita a peça móvel.

N

xdx

d

ig

xdlN

dx

d

Wdx

df mag

2651

10102651

4

'

2

202

Força que tenderá a colocar a peça móvel por forma a que seja ldS . Note-se que o valor desta força é

independente de x.


38

PROBLEMA Nº 14 – TRANSFORMADOR DE DISTRIBUIÇÃO MONOFÁSICO

Considere um transformador monofásico com as seguintes características nominais:

SN=100kVA 10kV/400V

No ensaio em curto-circuito, aplicando a tensão ao enrolamento de 10kV, obtiveram-se os seguintes

resultados:

U=500V I=10A P=1kW

No ensaio em vazio, aplicando a tensão aos terminais de 400V, obteve-se:

U=400V I=2,5A P=250W

NOTA: Os valores usados neste problema estão próximos dos valores encontrados nos transformadores de

distribuição trifásicos.

a) Calcule os valores das correntes nominais do transformador.

Pela definição de potência nominal, tem-se:

NNNNN IUIUS 2211

donde:

AI N 1010000

1000001 AI N 250

400

1000002

b) Qual o valor da tensão de curto-circuito em percentagem?

A tensão de curto-circuito é o valor da tensão a aplicar a um dos enrolamentos de modo a obter-se a

sua corrente nominal quando o outro enrolamento se encontrar em curto-circuito. Neste caso,

atendendo aos dados do enunciado, para o enrolamento de 10kV aplicou-se 500V para se obter 10A

que é o valor da corrente nominal deste enrolamento. A tensão de curto-circuito será igual a 500V. Em

percentagem da tensão nominal será:

%510000

500ccU

que é um valor vulgar para transformadores desta dimensão.

c) Qual o valor da corrente em vazio em percentagem?

A corrente em vazio foi medida no ensaio em vazio. Como esta medida foi efectuada no enrolamento

de 400V que tem uma corrente nominal de 250A, tem-se:

%1250

5,20 I


39

d) Determine os parâmetros do circuito equivalente deste transformador reduzido ao

enrolamento de 10kV.

O circuito equivalente de um transformador reduzido ao primário representa-se como:

I1 R

ccjX

cc

U1

U'2

I'2

R1fe jX

1mU

2

I2

A determinação dos parâmetros deste circuito é feita através dos ensaios em curto-circuito e em vazio.

Para o ensaio em curto-circuito, atendendo à forma como foi feito, tem-se:

I1 R

ccjX

cc

U1

U'2

I'2

R1fe jX

1m

I2

Como U2=0, tem-se U’2=0, e o circuito fica:

I1 R

ccjX

cc

U1

I'2

R1fe jX

1m

O ensaio em curto-circuito permite determinar o ramo Rcc +jXcc. Para isso recorre-se a uma

simplificação: a impedância do ramo de magnetização é muito superior em valor óhmico à impedância

do ramo de curto-circuito. Esta simplificação permite desprezar a corrente que circula no ramo de

magnetização neste ensaio. Note-se que em vazio, à tensão nominal, a corrente de magnetização é da

ordem de 1%. À tensão reduzida de 5% será ainda menor, pelo que esta simplificação se torna

perfeitamente admissível. Assim o circuito ficará:

I1=10A R

ccjX

cc

U1=500V

P1=1000W

O valor da resistência Rcc será dada por:

1010

1000

22I

PRcc


40

O valor da impedância será:

5010

500

I

UZcc

A reactância será dada por:

491050 22ccX

Note-se que este ramo é essencialmente indutivo. O termo indutivo Xcc é quase igual ao módulo da

impedância Zcc.

Para o ensaio em vazio, tem-se:

I1=0 R

ccjX

cc

U1

U'2

I'2

R1fe jX

1mU

2=400V

I2=2,5A

Aplicando ao secundário uma tensão de 400V vai corresponder U’2=10000V. À corrente 2,5A vai

corresponder uma corrente de 0,1A dado que a razão de transformação é U1/U2=25. O circuito ficará:

Rcc

jXcc

U'2=10000V

I'2=0,1A

R1fe jX

1mP=250W

Agora pode fazer-se uma outra simplificação: a queda de tensão no ramo de curto-circuito pode ser

desprezada face à tensão aplicada. Note-se que esta queda de tensão será aproximadamente igual a

50×0.1=5V que é muito inferior a 10000V aplicados. Assim, tem-se o circuito:

U'2=10000V

I'2=0,1A

R1fe jX

1mP=250W

Pode determinar-se os parâmetros a partir das potências activa e reactiva. A potência activa será

representada na resistência e a potência reactiva na reactância. Assim:

kP

UR fe 400

250

1000022

1

A potência reactiva é dada por:

var9682501,010000 2222 PSQ


41

kQ

UX m 103

968

1000022

1

Se, para a representação da magnetização do transformador, em vez do circuito RL em paralelo se

tivesse utilizado o circuito RL série, ter-se-ia:

kI

PRs 25

1,0

250

22

kI

UZs 100

1,0

10000

kRZX s 8,9622

e) Calcule o rendimento no ponto de carga nominal com factor de potência unitário. Considere

que a tensão do secundário é igual à tensão nominal.

O rendimento é igual à potência de saída a dividir pela potência de entrada que é igual à potência de

saída mais as perdas. Neste caso, para a potência de saída igual à potência nominal, tem-se:

%77,981000250100000

100000

f) Determine a carga para a qual se obtém o rendimento máximo. Qual o valor do rendimento

correspondente.

A carga para a qual o rendimento é máximo será obtida quando as perdas no cobre forem iguais às

perdas no ferro. Assim, a corrente I’2 correspondente será determinada por:

0

2'2 PIRcc

donde:

2510

2502'2

I

donde AI 5'2 , o que corresponde a metade da carga nominal.

A esta carga correspondem ¼ das perdas no cobre. As perdas em vazio mantêm-se em 250W. Assim o

rendimento será:

%01,9925025050000

50000

que é ligeiramente superior ao rendimento no ponto nominal. Conclui-se assim que o rendimento para cargas

superiores à carga nominal é uma função aproximadamente constante, embora ligeiramente decrescente.


42

g) Determine o valor da regulação de tensão com carga nominal e factor de potência cos=0,7

indutivo. Considere que a tensão no secundário é igual à tensão nominal.

Com factor de potência igual a cos=0,7 (sin=0,71) indutivo, o diagrama vectorial será:

jXcc

I'2

U'2

Rcc

I'2

U1

I'2

A que corresponde o vector U1 igual a

VjjjXRU cccc 2721041871,07,010100001

Este vector tem um módulo de U1=10421V. A regulação de tensão será dada por:

%04,410421

1000010421Re

g


43

PROBLEMA Nº 15 - MÁQUINAS ELÉCTRICAS - TRANSFORMADOR

Uma caldeira eléctrica monofásica apresenta uma potência de 2 kW e tem uma tensão eficaz de alimentação

de 115 V. É necessário dimensionar um transformador monofásico, uma vez que a rede eléctrica nacional,

230/400 V, 50 Hz, é a única fonte de alimentação disponível.

a) Tendo disponível as 3 fases da rede e o neutro, mostre, esquematicamente, como ligaria o

transformador à rede;

Fase 1Fase 2Fase 3

Neutro

Transformador

Fase 1Fase 2Fase 3

Neutro

Transformador

b) Considerando como ideal o transformador necessário, determine a sua relação de transformação e

as correntes eficazes do primário e secundário;

Ligação Fase-Neutro

VV N 2301 VV N 1152

2115

230

1

2

2

1 N

N

N

N

I

I

V

Vk

AIIV NNN 4,17102 23

22

AII

Ik N

N

N 7,82 11

2

Ligação Fase-Fase

VVV N 40023031

VV N 1152

5,3115

400k AI N 51 AI N 4,172

c) Sabendo que os dois enrolamentos são semelhantes e que apresentam iguais resistências

121 rr , e iguais coeficientes de fugas, mH121 , determine a potência activa absorvida

num ensaio em curto-circuito através do secundário;

Ensaio cc efectuado através do secundário


44

2r'1r '1X 2XNI2

ccV2 12r

25,0'2

11

k

rr

314,022 X

0785,0'2

11

k

XX

2eqZNI2

ccV2

172121 31,13925,025,1)'(' j

eq ejXXjrrZ

VeeIZV jjNeqcc

1717222 8,224,17x31,1

WIVP Ncccc 38017cosx4,17x8,22cos222

Se o ensaio cc fosse efectuado através do primário

'2r1r 1X '2XNI1

ccV1

11r

314,011 X

4' 222 krr 256,1' 2

12 kXX

1721211 24,557,15)'(' j

eq ejXXjrrZ

VeeIZV jjNeqcc

1717111 6,457,8x24,5

WIVP Ncccc 38017cosx7,8x6,45cos111

d) Determine o rendimento do transformador ideal e o rendimento do transformador real, isto é,

considerando as resistências e as fugas referidas na alínea c).

%100ideal

WPP Nout 2000

WPPP perdasoutin 23803802000

%842380

2000

in

outreal

P

P


45

PROBLEMA Nº 16 – DETERMINAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS DE UMA MÁQUINA DE INDUÇÃO A PARTIR DO

CIRCUITO EQUIVALENTE.

Uma máquina assíncrona de 400V, 50Hz, dois pares de pólos, tem o circuito equivalente indicado na figura.

Sabe-se que o ponto nominal de funcionamento se obtém com a velocidade de N=1491rpm.

R1 jXcc

j(X1+Xm)

r1+rm

R2

R2s

1-sU1

I1 I’’2

8900

0180

,

,

m

m

X

r

31 1044,R

32 1081,R

310344,ccX

31 10122,mrr

31 109,911mXX

a) Determine o valor da corrente em vazio 0I

Em vazio tem-se 0'' 2 I pelo que será:

mm XXjrr

UI

11

10

Aej

I j 688

330 5245

10991110122

231 ,,,,

Corrente fortemente indutiva.

b) Para o ponto nominal obtenha: 2''I , 1I , cos , e o binário

Velocidade de sincronismo rpmp

fNs 150060

Velocidade nominal rpmNn 1491

Escorregamento nominal %,60

s

nsn

N

NNs


46

Através do esquema equivalente obtém-se:

ccn

n

Xjs

RR

UI

21

12''

Ae

j

I jn

48

33

3

2 758

103440060

10811044

231 ,

,,

,,

''

Através do esquema equivalente obtém-se: 021 III nn ''

AeeeI jjjn

725688481 8395245758

,,, ,

O factor de potência será: 90725 ,,coscos n

O rendimento é:

n

n

in

outn

P

P

A potência mecânica útil à saída da máquina é: 222 ''1

3 nn

nout IR

s

sP

n

kWPnout 5147581081

0060

006013

23

,,

,

A potência eléctrica activa à entrada da máquina é: nnin IUPn

cos113

kWPnin 524908392313 ,

%98

n

n

in

outn

P

P

O binário útil é: 222

13n

n

n

nout IR

s

sM

n''

ou n

outout

n

n

PM

NmM

nout 3292

60

21491

105143

c) Determine as perdas em vazio, 0P , e no cobre em regime nominal, CnP

As perdas em vazio são as associadas ao ramo transversal.

2010 3 IrrP m

kWP 34524510321323

0 ,,,

As perdas no cobre são as associadas aos enrolamentos quando percorridos pela corrente nominal.

22213 nCn IRRP ''

kWPCn 710758108110443233 ,,,


47

PROBLEMA Nº 17 – FUNCIONAMENTO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO NA ZONA DE PEQUENOS

ESCORREGAMENTOS.

Conhece-se o catálogo de um fabricante de motores eléctricos de indução de rotor em curto-circuito. A tabela

apresenta as características de alguns destes motores.

PN Rendimento N

[rpm]

Factor

de

Potência

I [A]

1,1 80,6 1430 0,78 2,5

2,2 86,4 1425 0,83 4,4

3 87,5 1430 0,83 6

4 89,3 1445 0,83 7,8

5,5 90,7 1465 0,85 10,3

7,5 91,7 1465 0,85 13,9

11 92,6 1470 0,8 21,4

15 92,9 1465 0,82 28,4

22 94,3 1475 0,84 40,1

Pretende-se escolher um motor para accionar uma grua, como se indica na figura.

Considere que o conjunto “Tambor – multiplicador de velocidade” tem rendimento igual a 98%.

a) Calcule a potência no veio do motor e escolha o motor mais apropriado.

A potência na massa a ser içada é determinada por:

WFvP 9800110008,9

No veio da máquina será:

W 1000098,0

9800mP

Tendo em atenção a tabela, deverá ser escolhido o motor de 11 kW.

b) Calcule a velocidade de rotação da máquina.

Tendo em consideração que a máquina estará um pouco abaixo da potência nominal a sua velocidade de

rotação deverá ser diferente da velocidade de rotação no ponto nominal, isto é, 1470 rpm.


48

Dado que a velocidade de rotação não varia muito com a carga, a velocidade a calcular deverá ser um pouco

superior a 1470 rpm, podemos considerar que a potência é proporcional ao binário. Na zona de

escorregamentos baixos, pode considerar-se que a potência é função linear com a diferença entre a

velocidade de sincronismo e a velocidade de rotação. Assim, a velocidade de escorregamento (Velocidade de

sincronismo –velocidade de rotação) será:

XkW

rpmkW

10

3011

A velocidade de escorregamento será:

27,273011

10X

Ou seja

N=1500-27,27=1472,7 rpm

c) Calcule a velocidade de rotação da máquina quando elevar uma carga com metade da massa.

Nesta situação a potência será reduzida para metade.

XkW

rpmkW

5

3011

A nova velocidade de escorregamento será:

63,133011

5X

A velocidade de rotação será agora:

N=1500-13,63=1486,4 rpm


49

PROBLEMA Nº 18 –MÁQUINA DE INDUÇÃO CONTROLADA COM O MÉTODO U/F.

Considere um motor eléctrico de indução de 55kW, 400V, 50Hz, com dois pares de pólos e os seguintes

parâmetros do seu circuito equivalente em estrela:

mr 241 ; mr 272 ; mx 2201 ; mx 2002 ; 150FeR ; 6mX

A velocidade nominal da máquina é 1485 rpm.

Esta máquina vai ser alimentada através de um conversor electrónico com a lei de regulação U/f = constante.

Faça as simplificações que achar necessárias e verifique os erros cometidos.

a) Calcule o binário máximo para 50Hz e para 25 Hz com U/f constante

O binário máximo é calculado em função dos parâmetros do circuito equivalente em ângulo.

Conversão dos parâmetros do ramo transversal:

mm jXrj

j

6150

6150

99,5

24,0

m

m

X

r

Parâmetro a :

mX

xaa 11 0367,1 a

Parâmetros do circuito equivalente para 50 Hz:

02449,0111 RraR 029,0' 222

2 RraR

443,022

1 cccc XxaxaX

2636,01 mrr 21,61 mXx

Binário máximo:

22

11

21

2

3

ccXRR

pUMmax

Hzf 50 VU 2311 Nm

XRR

M

cc

1087

1002

23123

2211

2

max

Hzf 25 VU2

2311 Nm

XRR

M

cc

1028

22

1002

2

23123

22

11

2

max


50

0 500 1000 15000

200

400

600

800

1000

1200

N [rpm]

M [

Nm

]

Considere que o motor está a accionar uma carga cujo binário é constante e independente da

velocidade:

b) Para a carga referida anteriormente calcule: 0I , 2''I , 1I , efI1 , cos , emM , 2P , 1P e

mm Xxjrr

UI

11

10 AejI j 57,87

0 2,3712,3757,1

Velocidade de sincronismo rpmp

fNs 150060

Velocidade rpmN 1485

Escorregamento 01,0

s

s

N

NNs

ccXjs

RR

UI

2

1

12'' AejI j 6,8

2 787,1116,77''

021 III '' AejI j 8,311 6,92497,78

85,030coscos

2223

''Is

RpMem

NmMem 33878

01,0

029,0

100

23 2

synemmemem sMMP 1 kWPem 5,522

50201,01338

cos111 3 IUP kWP 5,5485,06,9223131

1P

Pem %2,965,54

5,52


51

c) Considerando que o binário de carga se mantém constante calcule a velocidade da máquina quando

alimentada a 25Hz.

se 2

5025

ff

2

5025

XX

como fU / constante 2

5025

UU

para escorregamentos pequenos (zona linear da característica electromecânica) tem-se:

212

3U

R

spMem

22

21

2123

cc

em

Xs

RR

U

s

RpM

Será então:

Hzf 25 VU 5,1152

2311

105,31 mXx

2215,0ccX

Como o binário exigido pela carga é constante e independente da velocidade a equação em s a resolver,

será:

5025 emem MM 03

2 22

212

2122

12

50

R

M

URpRRsXRs

emcc

cujas soluções são: 0204,01 s e 83,02 s

A solução 2s corresponde ao funcionamento a escorregamento elevado, pelo que a solução do problema é:

0204,01 s rpmN rot 7,734750)0204,01(

Alternativamente, utilizando a expressão aproximada para escorregamentos pequenos (zona linear da

característica electromecânica) tem-se:

212

3U

R

spMem

o valor é 020,s rpmNrot 73575002,01


52

PROBLEMA Nº 19 – MÉTODOS DE ARRANQUE DA MÁQUINA ASSÍNCRONA DE ROTOR EM GAIOLA

Considere uma máquina de indução de rotor em gaiola com as seguintes características: kWPN 55, ,

VUN 400 , Hzf 50 . Esta máquina está construída para funcionar em regime normal, ligada em

triângulo.

Sabe-se que no arranque directo absorve da rede 66A apresentando um 60,cos . Nesta situação tem um

tempo de arranque em vazio igual a 1,5 seg.

a) Qual a corrente e o tempo de arranque que se irão verificar se a máquina for ligada em estrela.

Do esquema equivalente obtém-se: FaseFase IsZU )(

No arranque 1s )()( 1ZsZ = constante

arranque em Y arrYF

c IZU

)(13

arranque em

arrFc IZU )(1

Na fase arrYFarrF II 3

como: FL II 3

Na linha arrYLarrL II 3 AII arrYLarrYF 223

66

2FUM (para um mesmo valor de s ) YMM 3

Pelo que deverá ser: arrYarr tt3

1 segtarrY 54513 ,,

b) Dimensione uma reactância para colocar em série de modo a reduzir a corrente de arranque

para 22A quando a máquina arranca em triângulo. Calcule a tensão aplicada à máquina nos

instantes iniciais e estime o valor do tempo de arranque.

em AIarrL 66

A impedância equivalente em estrela desta situação é: 5366

3400,Z

Pretende-se que AIarrL 22

com introdução de uma reactância em série.

Será então:

ZjXZ 322

3400


53

ZjXZ 3

como 60,cos 80,sin

ZXZZ 3806022 ,,

ZX 803609 ,, 57,X

A tensão aos terminais do motor será: VVjXZ

ZV Smotor 77231

510

53

,

,

Como arrt

UM12

segtU

Ut UU 51351

77

23122

2

112

,,

c) A máquina vai ser posta em serviço utilizando um transformador auxiliar. Determine o valor

nominal da tensão do secundário deste transformador de modo a reduzir a corrente pedida à

rede para 22A quando a máquina arranca em triângulo. Estime o tempo de arranque. Considere

o conceito de transformador ideal.

Admitindo que o transformador é ideal e tem uma relação de transformação m , a tensão aplicada ao motor,

motorU , será:

m

UU rede

motor

Com base no esquema equivalente e para um mesmo valor de escorregamento tem-se motormotor IU ; se

a tensão foi reduzida de um factor m , o mesmo acontecerá à corrente.

m

II arrmotor

Com base no conceito de transformador ideal redemotor ImI ; a corrente pedida à rede será então:

2m

II arrrede 3

22

662 rede

arr

I

Im 3m

Se VUrede 231 VU

U redemotor 133

3

231

3

Como arrt

UM12

segtU

Ut UU 5451

133

23122

2

112

,,

motorIredeI

ZmotorUredeU

jX

motorVSV Z


54

PROBLEMA Nº 20 – O GERADOR DE INDUÇÃO

Uma máquina de indução é representada pelo circuito equivalente por fase.

4,3m

1,8m

j55m

j0,65

22,75m

s

231V

I2"I

1

I0

Admita que a máquina tem dois pares de pólos e que a frequência é igual a 50 Hz.

Para a velocidade de rotação de 1510 rpm calcule as seguintes grandezas: corrente em vazio, corrente

equivalente no rotor, corrente no estator, factor de potência, potência no eléctrica estator, potência mecânica

no veio, rendimento

Resolução

Para a velocidade de 1510 rpm corresponde o escorregamento de:

0067,01500

15101500

s

Como o escorregamento é negativo, a máquina encontra-se a funcionar como gerador.

a) A corrente em vazio será dada por:

)(3553554,1265,00227,0

231 º880 Aej

jI j

b) A corrente equivalente do rotor vale:

º3,168''2 851173834

055,00067,0

0018,00043,0

231 jej

j

I

c) A corrente do estator será:


55

º28,147''201 976527821 jejIII

O diagrama vectorial das correntes será:

I2"

I1

I0

U1

d) O factor de potência será:

84,0)28,147cos(cos

e) A potência trocada pelo estator será:

kWP 567cos97623131

f) A potência mecânica no veio

kWIs

sRP 591

13 2''

222

g) O rendimento será dado por:

%3,962

1 P

P


56

PROBLEMA Nº 21 - MÁQUINA DE INDUÇÃO OU ASSÍNCRONA

Um motor assíncrono trifásico de 4 pólos, apresenta os seguintes valores nominais:

kWPN 5 %4Ns %90N 85,0cos N

Estando o motor alimentado por uma rede trifásica 230/400 V a 50 Hz, determine:

a) Os valores da velocidade em vazio e em condições nominais

vazio rpmsradp

S 15001,1574

2002 10

nominal rpmsrads SNN 14407,1501,15704,011 1

b) O valor do binário desenvolvido, a sua velocidade de rotação e escorregamento, quando acciona

uma carga cujo binário resistente varia linearmente com a velocidade de rotação, de acordo com a

expressão:

1012,0

)(carga

M

Binário nominal do motor NmP

MN

NN 2,33

7,150

5000

Equação da recta do motor 8152,50

S

sN

NMM

No ponto de funcionamento será: motorcarga MM

NmMM

rpmsrad

M

M

6,15

14687,153

8152,5

1012,0

cargamotor

1

motor

carga

O escorregamento correspondente a esta velocidade é %1,21500

14681500

s

ss

)(carga M

motorM

NN M,


57

c) Sendo o binário de arranque do motor, em ligação triângulo, de 20 Nm, justifique se o grupo

motor+carga poderá arrancar estando o motor ligado em estrela.

NmMarr 20 NmM Yarr 7,63

20

NmMarr 101012,0

0carga

Como Yarrarr TM carga o grupo NÃO arranca

d) Para o ponto de funcionamento nominal, determine a amplitude complexa da corrente que o motor

solicita à rede

WP

PN

NNabs 5555

9,0

5000

Independentemente do tipo de ligação do motor ( ou Y), tem-se sempre:

cos3 LinhaCompostaabs IVP

Em regime nominal será:

85,040035555 LinhaI AILinha 4,9

Como 85,0cos e a máquina é um circuito indutivo, º8,3185,0arccos

A amplitude complexa da corrente (valor eficaz) é: AeI jLinha

8,314,9

A amplitude complexa da corrente (valor máximo) é: AeI jmáxLinha

8,314,92

)(carga M

motorM

NN M,


58

PROBLEMA Nº 22 – CONVERSOR DE FREQUÊNCIA ROTATIVO COM DUAS MÁQUINAS SÍNCRONAS

Um laboratório de ensaios de material para aeronáutica dispõe de um conversor de frequência de Hz50 para

Hz400 . Este conversor é constituído por um motor síncrono com um par de pólos ligado à rede de 400V,

50 Hz e de um gerador síncrono de 8 pares de pólos. Ambas as máquinas, ligadas pelo veio, rodam à

velocidade de 3000 rpm. Esta velocidade é imposta pelo número de pares de pólos do motor ligado à rede de

50 HZ. Ambas as máquinas têm a mesma potência nominal, MW51, e a mesma reactância síncrona

150,sX , sendo desprezável a resistência. O valor da tensão nominal é V400 .

a) O gerador vai alimentar uma carga igual à carga nominal com factor de potência igual a

70,cos indutivo. A excitação foi regulada de modo a ter-se a tensão nominal aos terminais

do gerador.

Faça um diagrama vectorial que represente o gerador nesta situação e calcule o valor da força

electromotriz em vazio.

O circuito equivalente, na convenção gerador é o que se indica na figura seguinte.

jXs

EfU

I

No regime de carga nominal AII N 2165

7,0cos indutivo º6,45

O Gerador vai fornecer P e Q . O diagrama vectorial em convenção GERADOR é:

AeI j 6,452165 VejIjXUE jsf

1,268,5153,227463

b) A excitação do motor foi regulada para que em regime de meia carga se tenha factor de

potência unitário.

Faça um diagrama vectorial que represente o motor a meia carga e calcule o valor da força

electromotriz em vazio. Calcule a potência máxima que o motor pode fornecer ao gerador com

esta corrente de excitação de modo a não perder o sincronismo.


59

A que corresponde o diagrama vectorial, também na convenção gerador

No regime de meia carga 2

NII

admitindo %100 AU

PI

N

NN 2165

3

4003

1051

3

6

,

AI 10832

2165

Atendendo ao diagrama vectorial, e utilizando o teorema de Pitágoras, tem-se:

VIXUE sf 4,281108315,03

400 22

22

sin3s

f

X

EUP com

22

maxP

2

MWP 3,1max

( O sinal negativo resulta de se ter um funcionamento motor em convenção gerador)

c) Mantendo a potência no veio igual a meia carga, a excitação do motor é agora ajustada de modo

que esta forneça à rede uma potência reactiva de 500kVAr. Calcule de novo a alínea anterior.

M

Pmec

P

Q

admitindo %100 cos3 IUPPmec

Por outro lado, sin3 IUQ

Usando convenção gerador, tem-se:

sin3

400310500

cos3

400310

2

5,1

3

6

I

I

º3,146

1300 AI

o diagrama vectorial em convenção GERADOR é:


60

U

Ef

jXsI

I

AeI j )3,146(1300

VejIjXUE jsf

5,258,37521,162339

MWP 736,115,0

8,3753

400

3max

d) A excitação do motor é agora ajustada de modo que este absorva da rede 500kVAr. Calcule de

novo a potência máxima do motor.

Comparando com o caso anterior, a corrente e o ângulo são iguais em módulo, apenas se tem o simétrico do

ângulo. Alterando o ângulo como anteriormente, tem-se a figura.

U

jXsI

Ef

I

AeI j )7,33180(1300

VejIjXUE jsf

9,524,20321,16277,122

MWP 94,015,0

4,2033

400

3max

Da comparação entre c) e d) conclui-se que, se o motor fornecer potência reactiva à rede, a sua estabilidade

vem melhorada; é estável para uma maior gama de potência fornecida.


61

PROBLEMA Nº 23 – MOTOR DE EXCITAÇÃO EM SÉRIE

Um motor série, com uma resistência do induzido de 2,0ar e com uma resistência do indutor série de

1,0fr encontra-se alimentado sob uma tensão DC de V220 . A reacção do induzido é desprezável e o

circuito magnético não se encontra saturado.

À velocidade de rpm1000 o motor absorve uma corrente de A50

Representação esquemática da máquina série

ra

E

LarfLf

Enrolamento de

Campo ou Excitação

Enrolamento do

Induzido

Representação esquemática da máquina série quando alimentada em DC

a) Qual o binário electromagnético desenvolvido?

Como se desconhecem as perdas mecânicas ma MIE

Cálculo de E

EIrU a VE 205

O binário será:

NmM 9,97

60

21000

50205

b) Qual será a velocidade desta máquina se a corrente consumida passar para metade?

E

rpmN 1000

VU 220

aI 30,fa rrr


62

Numa máquina de corrente contínua NE

Na máquina série e admitindo linearidade magnética, também se tem aI

Pelo que será aINE

Cálculo de 1E

11 EIrU a VE 5,212253,02201

Será então: 111 a

a

IN

IN

E

E rpmN 2073

25205

5,2125010001

c) Na situação da alínea b) determine qual o novo valor do binário desenvolvido.

1

111

m

aIEM

NmM 5,24

60

22073

255,2121

d) Determine o rendimento do motor nas duas situações anteriores.

abs

útil

P

P

aabs IUP

mútil MP

kWPabs 1150220

kWPútil 252,1060

210009,97

%2,93

kWPabs 5,5252201

kWPútil 319,560

220735,241

%7,961

O rendimento melhora na segunda situação porque são menores as perdas de Joule nos enrolamentos

2

aIr

e não se estão a considerar as perdas mecânicas.


63

PROBLEMA Nº 24 - MAQUINA DC – VEÍCULO ELÉCTRICO

Um veículo eléctrico possui uma massa de 20 000 kg. Pretende-se acelerar este veículo com um valor

constante de 21,1 sm desde o arranque até uma velocidade constante de 120 sm . O veículo está equipado

com um motor de comutação (motor de corrente contínua excitação independente) através de uma caixa de

transmissão com uma relação de m1 por cada rad21 de rotação do motor. O motor está alimentado por uma

fonte de energia eléctrica contínua de valor variável e apresenta uma resistência do induzido de 04,0 e

desenvolve um binário de mN5,5 quando absorve uma corrente de A2 . Despreze perdas mecânicas e

magnéticas. Recorde que vFMPmec e dimensione:

a) A potência nominal do o motor

O motor deverá ter, no mínimo, uma potência nominal de:

kWWvamvFPmec 440000440201,100020

b) O valor do binário desenvolvido e da corrente solicitada à fonte, para atingir a aceleração desejada;

NmP

M mec 0481420

000440

aIkM ; na máquina de excitação independente aIM aI2

5,50481 AIa 381

c) Para alimentar o motor, dispõe-se de duas fontes contínuas de valor variável; uma pode fornecer até

600 V e outra 1200 V. Qual utilizaria?

aaIrkV

121325,5

38104,0600

srad

k

IrV aa equivalente a 11021

1213 smv

143025,5

38104,01200

srad

k

IrV aa equivalente a 15,2021

1430 smv

ou

NPkWP 6,228381600600 a tensão da fonte não permite uma transmissão de potência suficiente para

alimentar o motor

NPkWP 2,45738112001200 Suficiente para alimentar o motor

d) Se utilizasse a fonte de 600 V, explique onde poderia actuar para que o veículo atingisse a

velocidade de 120 sm .


64

De acordo com

k

IrV aa dever-se-ia baixar o fluxo de excitação para poder atingir 1420 srad . Deveria

ser: 139,1420

38104,0600

ANmIrV

k aa

Nestas circunstâncias deveria ter-se em atenção que a corrente do induzido seria muito superior.

e) Se arrancasse o motor com uma tensão de V400 qual seria a corrente de arranque? Qual seria o

procedimento mais correcto para o arranque?

No arranque tem-se 0 kEa e portanto será: arranqueaIrV Ar

VI

aarranque 00010

04,0

400 .

O arranque do motor deveria ser efectuado elevando lentamente a tensão da fonte variável para que a

corrente não atinja valores tão elevados.


65

PROBLEMA Nº 25 - MÁQUINA DE CORRENTE CONTÍNUA DE EXCITAÇÃO SEPARADA

Uma máquina DC de 25 kW, funciona a uma velocidade constante de 3000 r.p.m., com uma corrente de

excitação constante Aiexc 10 . Nestas condições tem-se VEa 125 . A resistência do induzido é de

02,0 e a do indutor é de 1 . Considere que as perdas de atrito são constantes e iguais a kW1 .

Determinar a corrente do induzido, a potência, o rendimento, o binário e o factor de carga, quando a tensão

aos terminais do induzido é:

a) 128 V b) 124 V

a) VEVV aa 125128 A máquina está a funcionar como motor

AIEIRV aaaaa 15002,0

125128

Potência absorvida pelo motor kWiVIVP excexcaaabs 3,19101150128 2

Perdas nos enrolamentos kWirIRp excexcaaenr 55,010115002,0 2222

Potência electromagnética osenrolamentabsaaa pPkWIEP 75,18150125

Potência útil do motor kWpPPP atritoamecútil 75,17175,18

Rendimento do motor %923,19

75,17

abs

útil

P

P

Binário electromagnético Nm

PM a

em 7,59

60

30002

1075,18 3

VEa 125

rpmN 3000

VVa 128

aI 020,aR

1excr

Aiexc 10

excV


66

Binário útil Nm

PM útil

útil 5,56

60

30002

1075,17 3

Factor de Carga %711025

1075,17..

3

3

N

útil

P

Pcf

b) aE não se altera de (a) para (b) pois N e são constantes

VEVV a 125124 A máquina está a funcionar como gerador

AIVIRE aaaaa 5002,0

124125

Potência útil do gerador kWIVP aaútil 2,650124

Perdas no enrolamento do induzido kWIRp aainduzidoenr 05,05002,0 22

Potência electromagnética induzidoenrútilaaa pPkWIEP 25,650125

Potência mecânica absorvida pelo gerador kWpPP atritoamec 25,7125,6

Potência total absorvida pelo gerador

kWpPP indutorenrmecabs 35,71011025,7 23

VEa 125

rpmN 3000

VVa 124

aI 020,aR

1excr

Aiexc 10

excV


67

Rendimento do gerador %3,8435,7

2,6

abs

útil

P

P

Binário electromagnético Nm

PM a

em 9,19

60

30002

1025,6 3

Binário fornecido ao gerador Nm

PM mec 1,23

60

30002

1025,7 3

Factor de Carga %251025

102,6..

3

3

N

útil

P

Pcf


68

PROBLEMA Nº 26 - MÁQUINA DE CORRENTE CONTÍNUA DE EXCITAÇÃO EM SÉRIE

Um motor SÉRIE roda a 1500 rpm e absorve uma corrente de 13,6 A sob 230 V. A resistência do induzido é

igual a 0,77 e a do indutor 1,06 .

a) Calcular a f.e.m. do motor

VEEIRV aaa 2056,1383,1230

b) Calcular o binário útil no veio

Como se desconhecem as perdas mecânicas,

kWIEPPP aamecútil 27886,13205

Binário Nm

PTT a

aútil 7,17

60

15002

2788

c) O motor é ligado a uma fonte de 115 V. Calcular a sua velocidade para uma corrente de 13,6 A

aa EIRV NkIRV a

I não se alterou IRa não se alterou

Na máquina série, I I não se alterou não se alterou

Das expressões anteriores conclui-se que NEIRV aa

aE

rpmN 1500

VV 230

I

83,1exca rRR


69

115

230

115

230

V

V

Va

Va

N

N

E

E

115

1500

6,1383,1115

205

VN

rpmNV 660115

d) Calcular o binário nas condições da alínea anterior

Genericamente tem-se:

aaaaa

útilútil

Ik

N

IkNIEP

PM

'

60

2

sendo 2

60'

kk

Na máquina de excitação série e admitindo linearidade magnética,

I 2'' IkM

Como a corrente não se alterou da alínea (b) para a alínea (c), o binário também não se alterará.


70

PROBLEMA Nº 27 MÁQUINA DE CORRENTE CONTÍNUA

Uma máquina de corrente contínua excitação independente é caracterizada pelos seguintes valores:

kWPN 0,2 VVN 230 rpmNN 1500

0,2aR mHLa 19 AIN 10

a) Determine a velocidade do motor, quando no induzido é aplicada uma tensão de 115 V e este acciona

uma carga com binário constante e igual a metade do valor nominal.

ateindependenMáquina

a EkE

Ainda não é possível calcular aE pois desconhece-se a corrente absorvida

ateindependenMáquina

aaaaamec IMIk

IkIEPPM

Tem-se então:

aNN IM

aN IM 2

VEEIRV aaaa 10552115

Nas condições nominais tem-se:

VEEIRV aNaNaNaN 210102230

Como aE , será então:

NaN NE

NEa

b) Qual o valor do binário máximo que o motor pode desenvolver a 3000 r.p.m. e com a tensão nominal,

sem entrar em regime de sobrecarga?

AI

I aa 5

2

rpmN

N N 7502


71

Como à velocidade de 3000rpm se está na zona de enfraquecimento de campo (3000rpm >> 1500 rpm) a

potência máxima da máquina é a sua potência nominal. Para não entrar em sobrecarga deverá ser

Nmáx PP

NmP

M Nmáx 4,6

60

30002

2000

c) Estime o valor máximo da corrente de arranque, admitindo que ao induzido é aplicada a tensão

nominal.

No arranque tem-se 00 aEN

A corrente de arranque é limitada apenas pela resistência equivalente do induzido

AIR

VI a

a

Na 115arranquearranque

e) O valor da tensão a aplicar no induzido da máquina para que, em vazio, esta rode a 1000 rpm.

Em vazio 000 0 VEI aa

Viu-se anteriormente que, na máq. independente aE . Será então:

0 ________ 0

________

Na

NNaN

E

E

00 1371500

1000205VVEa

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Sistemas Eléctricos e Electromecânicos - Autenticação · PDF fileColectânea de Problemas Resolvidos ... Introdução aos Circuitos Resistivos ... A fonte de 12V está a fornecer