FACULDADE JAGUARIÚNA

Faculdade de Engenharia Civil

SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS

Adriano de Aquino Paiva da Silva

Jaguariúna, SP

2012

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FACULDADE JAGUARIÚNA

Faculdade de Engenharia Civil

Adriano de Aquino Paiva da Silva

Trabalho apresentado como parte das

atividades desenvolvidas ao longo do aprendizado no curso de Metodologia de Pesquisa Científica, da graduação em Engenharia Civil na Faculdade Jaguariúna.

Professora: Dra. Marilza das Neves

Jaguariúna, SP

2012

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Tente

E não diga que a vitória está perdida

Se é de batalhas que se vive a vida

Tente outra vez

(Raul Seixas)

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Resumo

Para identificarmos os Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos, é preciso de uma análise que

abrange os estudados da Estática e Resistência dos Materiais.

Neste trabalho serão apresentados os conceitos de Estática e Resistência dos Materiais, para

que se possa entender com clareza os Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos, também serão

apresentados os principais tipos de vínculos em estruturas, com exemplos de aplicações mais

usuais.

Palavras Chave: Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos, Vínculos, Estática, Resistência dos

Materiais

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Abstract

To identify the isostatic and hyperstatic systems, we need an analysis that covers the study of

Statics and Strength of Materials.

In this paper we present concepts of Statics and Strength of Materials, so you can clearly

understand the isostatic and hyperstatic systems also will present the main types of bonds in

structures, xamples of applications with more usual.

Key Words: Isostatic System, hyperstatic System, Bonds, Statics, Strength of Materials.

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Lista de Figuras

Figura 2.1 – Bloco sobre uma mesa ........................................................................................ 9

Figura 3.1 – Exemplo de estruturas ...................................................................................... 10

Figura 3.2.1 – Estruturas reticuladas ................................................................................... 11

Figura 3.2.2 – Estruturas de superfícies ............................................................................... 12

Figura 3.3.1 – Casa fabricada em estrutura metálica ......................................................... 12

Figura 3.3.2 – Estrutura de concreto (Ponte estaiada de São Paulo) ................................. 13

Figura 3.3.3 – Casa de campo em madeira........................................................................... 14

Figura 3.3.4 – Estrutura natural de pedra ........................................................................... 14

Figura 4 – Tipos de Ligações ................................................................................................. 15

Figura 4.1 – Ligação Flexível ................................................................................................ 16

Figura 4.2 – Ligação Semi-Rígida ........................................................................................ 17

Figura 4.3 – Ligação Rígida .................................................................................................. 17

Figura 5 – Sistemas Hipostáticos .......................................................................................... 18

Figura 6 – Sistemas Isostáticos .............................................................................................. 19

Figura 7 – Sistemas Hiperestáticos ....................................................................................... 19

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Sumário

1. Introdução .......................................................................................................................... 8

2. Estática ............................................................................................................................... 9

3. Estruturas ........................................................................................................................ 10

3.1 O que são Estruturas .............................................................................................. 10

3.2 Componentes de uma estrutura ............................................................................. 10

3.2.1. Classificação quanto aos elementos estruturais ............................................ 10

3.3 Materiais das Estruras ............................................................................................ 12

3.3.1. Estruturas em aço ............................................................................................ 12

3.3.2. Estruturas de Concreto ................................................................................... 13

3.3.3. Estruturas de Madeira .................................................................................... 13

3.3.4. Estruturas Naturais ......................................................................................... 14

4. Vínculos ............................................................................................................................ 15

4.1 Ligações Flexíveis ..................................................................................................... 16

4.2 Ligações Semi-Rígidas ............................................................................................. 16

4.3 Ligações Rígidas ....................................................................................................... 17

5. Estruturas Hipostáticas .................................................................................................. 18

6. Estruturas Isostáticas ...................................................................................................... 18

7. Estruturas Hiperestáticas ............................................................................................... 19

8. Conclusão ......................................................................................................................... 20

9. Referências Bibliográficas .............................................................................................. 21

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1. Introdução

Segundo (Nash, William Arthur, 1922) embora aos fundamentos da estática dos corpos

rígidos fossem do conhecimento dos cientistas da antiga Grécia, nada relativamente

importante até a Renascença. Então, Leonardo da Vinci (1452-1519) e, mais tarde, Galileo

(1564-1642), interessaram pela estática dos corpos deformáveis e pelas propriedades

mecânicas dos materiais que se utilizam na engenharia. O livro de Galileo, “Duas novas

ciências” apresentou, pela primeira vez, uma discussão das propriedades dos materiais que se

utilizavam nas estruturas, e também o primeiro estudo da resistência das vigas. A lei de

Hooke, segundo a qual as tensões são proporcionais são proporcionais às deformações,

simplificou os estudos, daí por diante, o progresso neste campo de conhecimento tomou um

novo impulso. Jacob Bernoulli (1654-1705) e Leonard Euler (1707-1783) prosseguiram nos

estudos de deformações das barras. A distribuição das tensões normais, nas seções

transversais das vigas, foi apresentada em 1776, por Coulomb (1736-1806). Navier (1785-

1836) aperfeiçoou o estudo da flexão das vigas podendo, mesmo, afirmar que as bases da

moderna Resistência dos Materiais são derivadas de Coulomb e Navier.

Cronologicamente, o desenvolvimento da Resistência dos Materiais seguiu-se ao

desenvolvimento das leis da estática. A estática considera os efeitos externos das forças que

atuam em um corpo, isto é, o fato o fato das forças tenderem a alterar o estado de movimento

do corpo. A Resistência dos Materiais considera os efeitos internos, isto é, o estado das

tensões e de deformações que se origina no corpo.

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2. Estática

A estática é a parte da física que estuda sistemas sob ação de forças que se equilibram. De

acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração destes sistemas é nula.

Com base na primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema em equilíbrio

também estão em equilíbrio. Este fato permite determinar as forças internas de um corpo a

partir do valor das forças externas.

Já a terceira lei de Newton, descreve que as forças entre dois corpos tem mesmo módulo

e direções contrárias, com isso se permite isolar partes do sistema, e verificar as forças

internas do sistema, tratando-as como forças entre dois corpos.

Figura 2.1 – Bloco sobre uma mesa

Na Figura 2.1, temos como exemplo um bloco de massa m colocado sobre uma mesa.

Como estamos na Terra, a gravidade está atraindo este bloco, então sobre ele existe uma força

de módulo mg apontando para baixo. Para este corpo estar em equilíbrio, precisamos que a

soma (vetorial) de todas as forças sobre ele sejam zero. Assim, é necessário que a mesa exerça

sobre ele outra força, igual em módulo mas de sentido contrário, ou seja, a força Fn.

Finalmente, pela terceira Lei de Newton, o bloco exerce sobre a mesa a força Fn’, igual

(vetorialmente) ao seu peso mg. A análise terminou aqui, mas, se fossemos analisar o

equilíbrio da mesa, seria necessário entrar com seu peso, e com a força que o solo exerce

sobre ela.

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3. Estruturas

3.1 O que são Estruturas

Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio

exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber

solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas

solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante a Figura 3.1 apresenta

esquematicamente alguns exemplos de estruturas mais utilizadas.

Figura 3.1 – Exemplos de estruturas

3.2 Componentes de uma estrutura

Os componentes de uma estrutura são chamados de elementos, barras ou membros

estruturais, que devem ser capazes de receber e transmitir esforços. Estes componentes podem

ser:

• Unidimensionais: Vigas, pilares, barras, travessas, colunas etc.

• Bidimensionais: Folhas: as lajes e as paredes.

• Tridimensionais: Sólidos, blocos etc.

3.2.1. Classificação quanto aos elementos estruturais • Estruturas reticuladas (compostas de barras): Vigas, pórticos planos e espaciais,

treliças planas e espaciais, grelhas, etc.

As barras são os elementos em que uma das dimensões é maior que as outras duas, as

dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha central. Barras de

forma prismática são retas e de seção constante. A Figura 3.2.1 apresenta exemplos de

estruturas reticuladas.

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Figura 3.2.1 – Estruturas reticuladas

• Estruturas de superfícies (folhas): placas (lajes) e Chapas (paredes, vigas paredes).

As folhas são os elementos em que uma das dimensões é muito menor que as outras duas,

a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. As placas recebem cargas

normais ao seu plano e as chapas na direção de seu plano. Na Figura 3.2.2 é possível ver

alguns exemplos de estruturas de superfícies.

Figura 3.2.2 – Extruturas de superfícies

• Estruturas de volume: Blocos de fundação, barragens de gravidade etc.

São os elementos tridimensionais em que as dimensões são de mesma ordem de

grandeza.

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3.3 Materiais das Estruturas

Atualmente as estruturas podem ser construídas tendo em vistas o tipo de matéria prima

mais abundante na região, outro aspecto que influencia no tipo de material a ser utilizado, é a

localização da estrutura, podendo ser escolhido um material resistente as condições do

ambiente, prevenindo assim a degradação prematura da obra.

3.3.1. Estruturas em aço

Figura 3.3.1 – Casa fabricada em estrutura metálica

Estruturas em aço estão cada vez mais sendo utilizadas devido à rapidez na execução, e

por resultar em uma obra mais limpa e organizada. Estruturas em aço são na sua maioria mais

leves se comparado com outros tipos de estruturas como as de concreto armado, para a

fabricação de galpões e coberturas as estruturas em aço são muito mais vantajosas, já são

muito utilizadas para a fabricação de pontes, passarelas de transação entre outros,

recentemente os arquitetos estão vendo um potencial muito grande também para a fabricação

de residências como mostra a Figura 3.3.1, aproveitando da sofisticação e beleza que as

estruturas metálicas podem proporcionar.

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3.3.2. Estruturas de Concreto

Figura 3.3.2 – Estrutura de concreto (Ponte estaiada de São Paulo)

O Concreto é um material da construção civil que se tornou um dos mais importantes

elementos da arquitetura do século XX. É usado nas estruturas de edifícios, pavimentos,

paredes, fundações, barragens, reservatórios entre outros.

O concreto por possui pouca resistência a tração, por isso recebe uma armadura metálica

responsável por resistir aos esforços de tração, enquanto que o concreto em si resiste à

compressão, esse conjunto recebe o nome de concreto armado, a Figura 3.3.2 ilustra a

utilização do concreto armado na ponte estaiada Octávio Frias de Oliveira na cidade de São

Paulo – SP.

3.3.3. Estruturas de Madeira

A madeira é um dos materiais de utilização mais antiga nas construções, foi utilizada por

todo o mundo, nas civilizações primitivas, nas desenvolvidas, no oriente ou ocidente. Com a

revolução industrial a Inglaterra, como grande potência impõe a arquitectura em metal e a

utilização da madeira vem diminuindo, outro agravante é o seu valor que vem aumentando,

tornando a sua utilização pouco atraente

madeira como na Figura 3.3.3 uma casa de campo totalmente em madeira.

Figura 3.3.3 – Casa de campo em madeira

3.3.4. Estruturas Naturais

Na natureza também econtramos exemplos de estruturas, como exemplo a Figura 3.3.4,

que apresenta a estrutura de um arco em pedra, semelhante a uma ponte

que se faz atualmente tem inspiração nas maravilhosas obras da natureza.

Figura 3.3.4 – Estrutura natural de pedra

tornando a sua utilização pouco atraente. Felizmente ainda podemos ver lindas estruturas de

madeira como na Figura 3.3.3 uma casa de campo totalmente em madeira.

Casa de campo em madeira

Estruturas Naturais

natureza também econtramos exemplos de estruturas, como exemplo a Figura 3.3.4,

que apresenta a estrutura de um arco em pedra, semelhante a uma ponte

que se faz atualmente tem inspiração nas maravilhosas obras da natureza.

Estrutura natural de pedra

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. Felizmente ainda podemos ver lindas estruturas de

madeira como na Figura 3.3.3 uma casa de campo totalmente em madeira.

natureza também econtramos exemplos de estruturas, como exemplo a Figura 3.3.4,

que apresenta a estrutura de um arco em pedra, semelhante a uma ponte. Muita das estruturas

que se faz atualmente tem inspiração nas maravilhosas obras da natureza.

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4. Vínculos

Estruturas podem ser planas ou espaciais, estruturas espaciais possuem seis graus de

liberdade: três translações e três rotações segundo três eixos ortogonais.

A fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdade precisam

ser restringidos. Estas restrições são dadas pelos vínculos ou ligações, que são dispositivos

mecânicos que por meio de esforços reativos, impedem certos deslocamentos da estrutura.

Estes esforços reativos, juntamente com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam

um sistema em equilíbrio estático. Estas ligações dividem-se nos seguintes tipos:

• Ligações Flexíveis

• Ligações Semi-Rígidas

• Ligações Rígidas

A Figura 4. ilustra as ligações descritas a cima.

Figura 4 – Tipos de Ligações

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4.1 Ligações Flexíveis

Nestas ligações a restrição à rotação relativa entre os elementos estruturais deve ser tão

pequena quanto se consiga obter na prática.

No caso de vigas, sujeitas à flexão simples, por exemplo, a ligação flexível transmite

apenas a força cortante.

A ligação é considerada flexível se a rotação relativa entre as partes, após o

carregamento, atingir 80 por cento ou mais daquela teoricamente esperada caso a conexão

fosse totalmente livre de girar, a Figura 4.1 apresenta o detalhamento de uma ligação flexível.

Figura 4.1 – Ligação Flexível

4.2 Ligações Semi-Rígidas

Nesse caso a restrição à rotação está entre 20 e 90 por cento daquela teoricamente

necessária para evitar qualquer rotação.

Então o momento transmitido através da conexão não é nem zero (ou próximo de zero)

como no caso de ligações flexíveis e nem o momento máximo (ou próximo dele) como no

caso de conexões rígidas. A Figura 4.2 é um exemplo desta ligação.

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Figura 4.2 – Ligação Semi-Rígida

4.3 Ligações Rígidas

A ligação é tal que o ângulo entre os elementos estruturais que se interceptam permanece

essencialmente o mesmo após o carregamento da estrutura, com uma restrição à rotação da

ordem de 90 por cento ou mais daquela teórica necessária à ocorrência de nenhuma rotação,

para isso são utilizados elementos com espessura elevadas para garantir que não se deforme

como mostra a Figura 4.3.

É mais onerosa em comparação às flexíveis, pois transmite, além do esforço cortante,

momento fletor. No entanto, pode tornar-se interessante do ponto de vista de economia global

da estrutura.

Figura 4.3 – Ligação Rígida

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5. Sistemas Hipostáticos

As estruturas hipostáticas não são estáveis, não possuem equilíbrio estático, tendo por

isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido.

De um modo geral, estas estruturas possuem um numero de reações de apoio inferior ao

numero e equações de equilíbrio estático. No entanto, é igualmente possível realizar uma

estrutura hipostática com um numero de reações iguais ou ate superior ao numero de equações

de equilíbrio estático desde que essas reações estejam dispostas de forma ineficaz.

A Figura 5. apresenta exemplo de estrutura hipostática com um numero de reações de apoio inferior ao numero de equações de equilíbrio estático.

Figura 5 – Sistemas Hipostáticos

6. Sistemas Isostáticos

As estruturas isostáticas têm o numero de rações estritamente necessário para impedir

qualquer movimento. As reações estão eficazmente dispostas de forma a restringir os

possíveis movimentos da estrutura.

Podem ser definidos dois tipos de estruturas isostáticas:

• Estruturas em que o numero de reações é igual ao numero de equações de equilíbrio da

estática.

• Estruturas em que o numero de reações é superior ao numero de equações de

equilíbrio da estática tornadas isostáticas mediante a libertação criteriosa de ligações entre os

possíveis corpos de estrutura global.

A Figura 6. apresenta exemplo de estrutura isostática com um numero de reações de

apoio igual ao numero de equações de equilíbrio estático.

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Figura 6 – Sistemas Isostáticos

7. Sistemas Hiperestáticos

Estruturas hiperestáticas têm um numero de reações superiores ao estritamente

necessário para impedir qualquer movimento. Verifica-se, então, a possibilidade de, ao

serem criteriosamente retiradas determinas reações, estas estruturas continuarem a não

apresentar movimento sendo, portanto estáveis. O grau de hiperestaticidade é igual ao

numero de ligações que podem ser suprimida de forma que a estrutura se torne isostática.

Dai se deduz que uma estrutura isostática terá um grau de hiperestaticidade igual à zero.

Estas estruturas não podem ser calculadas apenas com recursos das equações de equilíbrio

estático, é preciso de equações adicionais que levem em conta as condições de

deslocamento.

A Figura 7. apresenta exemplos de estruturas hiperestáticas com reações suprimidas,

de modo a caracterizar o grau de hiperestaticidade.

Figura 7 – Sistemas Hiperestático

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8. Conclusão

É possível observar que estruturas Hipostáticas, Isostáticas e Hiperestáticas se diferem

pelo tipo de vínculos que possuem, ou seja, pelo numero de graus de liberdade da estrutura.

As estruturas Isostáticas são estruturas mais utilizadas, devido aos cálculos das ligações

serem relativamente mais simples, por permitir rotação os elementos das ligações não

necessitam de espessuras elevadas, sendo que é preciso resistir apenas forças cortantes.

Estruturas Hiperestáticas necessitam de cálculos mais refinados no dimensionamento das

ligações, como a rotação neste caso não é desejada, os elementos necessitam de espessuras

elevadas para que não se deformem.

Uma estrutura pode possuir elementos Isostáticos e Hiperestáticos combinados, para

aproveitar ao máximo o desempenho dos componentes. Usando o exemplo de um pórtico, se

as vigas forem ligadas as colunas com ligações flexíveis elas não transmitira momento fletor

para as colunas assim as colunas irão receber apenas forças normais de compressão, no

entanto a ligação da coluna com a fundação deverá ser rígida para que a estrutura alcance o

equilíbrio, já a viga será mais solicitada.

A utilização de cada tipo de estrutura dependerá do tipo de solicitação, cabendo ao

projetista responsável analisar e definir qual a melhor opção para garantir uma estrutura

eficiente e econômica.

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9. Referências Bibliográficas

NASH W. A. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1971.

TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro:

Livros Técnicos e Científicos, 1989. v. 1.

VIEIRA, R. F. Estudo da influência dos contraventamentos na instabilidade de estruturas

metálicas aporticadas. Campinas, SP: [s.n.], 1998.

BEER, F. P., JOHNSTON Jr., R. Mecânica vetorial para engenheiros - estática.

São Paulo, Makron Books, 2004. 5ed.

SOUZA, A. S. C. Dimensionamento de elementos estruturais em aço segundo a NBR

8800:2008. São Carlos, 2011.

PAMPLONA, C. F. M., Barbosa, P., Resistência dos Materiais X, www.uff.br/teleresmat.