São Carlos, v.10 n. 45 2008Isabella Andreczevski Chaves & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 45, p. 1-22, 2008 2 ferramenta

São Carlos, v.10 n. 45 2008

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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São Carlos, v.10 n. 45 2008

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SSUUMMÁÁRRIIOO Otimização de pilares de concreto armado mediante uniformização do índice de confiabilidade Isabella Andreczevski Chaves & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 1 Análise numérica da ancoragem em ligações do tipo viga-pilar de extremidade Edson Costa de Assis Júnior & José Samuel Giongo 23 Estudo e desenvolvimento de código computacional baseado no método dos elementos finitos para análise dinâmica não linear geométrica de sólidos bidimensionais Gustavo Codá dos Santos Cavalcanti Marques & Humberto Breves Coda 37 Modelagem numérica de vigas mistas aço-concreto simplesmente apoiadas: ênfase ao estudo da interface laje-viga Tatianne Iamin Kotinda & Jorge Munaiar Neto 55 Vigas de concreto armado em serviço, submetidas à carbonatação Valdirene Maria Silva & Jefferson Benedicto Libardi Liborio 75 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise não-linear de estruturas Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 91

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 45, p. 1-22, 2008

OTIMIZAÇÃO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO MEDIANTE UNIFORMIZAÇÃO DO ÍNDICE

DE CONFIABILIDADE

Isabella Andreczevski Chaves1 & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs2

Resumo

Atualmente, busca-se a minimização dos custos para uma estrutura que satisfaça a princípios de segurança, com respeito aos estados limites de ruptura e de utilização, e as imposições de normas técnicas. Entretanto, nenhuma estrutura é totalmente segura. O projeto envolve incertezas, pois há variações tanto nos carregamentos quanto na capacidade resistente e rigidez da estrutura. Deste modo, modelos de cálculo que se baseavam em hipóteses bastante simplificadoras estão sendo substituídos por modelos que consideram as variabilidades dos parâmetros estruturais e das solicitações, conseqüentemente, obtém-se uma avaliação mais confiável e realista da capacidade última da estrutura. Na prática, em estruturas que atendem aos requisitos básicos de segurança, dificilmente o grau de economia é verificado. Assim, através de técnicas de otimização matemática e de conceitos estatísticos, um programa computacional foi desenvolvido para a determinação da seção transversal de pilares de concreto armado com o custo mínimo e a determinação do índice de confiabilidade desta estrutura para um estado limite.

Palavras-chave: otimização; estruturas; pilares; concreto armado; confiabilidade; estatística.

1 INTRODUÇÃO

Incertezas são inevitáveis no projeto estrutural, pois há variações tanto nos

carregamentos quanto na capacidade resistente e rigidez da estrutura. Portanto, os

procedimentos de análise da engenharia devem, adequadamente, incluir métodos e

conceitos para avaliação de sua importância no desempenho e no projeto do sistema.

Com essa consideração, os princípios de probabilidade, estatística e teoria da decisão

oferecem a base matemática para a modelagem da incerteza e análise dos seus

efeitos no projeto.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professora do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Isabella Andreczevski Chaves & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs


2

ferramenta indispensável e talvez até a única realmente apropriada para a estimativa

da confiabilidade nas estruturas.

Com isso, o esquema do projeto estrutural está melhorando no que se refere à

introdução de novos modelos nas normas. Deste modo, modelos de cálculo que se

baseavam em hipóteses bastante simplificadoras estão sendo substituídos por

modelos que consideram as variabilidades dos parâmetros estruturais e das

solicitações, conseqüentemente, obtém-se uma avaliação mais confiável e realista da

capacidade última da estrutura.

Atualmente, busca-se a minimização dos custos para uma estrutura que

satisfaça a princípios de segurança, com respeito aos estados limites de ruptura e de

utilização, e as imposições de normas técnicas. Entretanto, em estruturas que

atendem aos requisitos básicos de segurança, dificilmente o grau de economia é

verificado.

Assim, através de técnicas de otimização matemática e de conceitos

estatísticos, um programa computacional foi desenvolvido para a determinação da

seção transversal de pilares de concreto armado de forma a terem custo mínimo e no

cálculo da confiabilidade desta estrutura para um estado limite.

2 OTIMIZAÇÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE UM PILAR

2.1 Introdução

Atualmente, busca-se a minimização dos custos de uma estrutura satisfazendo

à princípios básicos de segurança, respeitando os estados limites de ruptura e de

utilização, e as imposições de normas técnicas.

Como um dos objetivos deste trabalho, tem-se o equacionamento do problema

de minimização de custos da seção transversal de pilares de concreto armado em que

uma função custo, sujeita à restrições de ordem prática, resulta num problema de

análise não-linear, cuja solução fornece as seções transversais adequadas de pilares

e as respectivas armaduras.

A solução exata do problema é alcançada através da resolução analítica do

sistema de equações não-lineares gerado, a partir da aplicação do método dos

multiplicadores de Lagrange e das condições de Kuhn-Tucker.

Otimização de pilares de concreto armado mediante uniformização do índice de qualidade


3

2.2 Variáveis a serem otimizadas

As variáveis a serem otimizadas são as dimensões da seção transversal dos

pilares e a área de armadura longitudinal. Considerando-se uma seção transversal

retangular e com armadura simetricamente distribuída em duas faces da seção.

Denominando-se as variáveis de xi, para facilitar o procedimento matemático, têm-se

as seguintes variáveis no problema, como mostrado na Figura 2.1:

x1 = largura da seção transversal do pilar;

x2 = altura da seção transversal do pilar;

x3 = área de aço da seção transversal do pilar;

x4 = posição da linha neutra na seção transversal do pilar.

x1

x2

NL

x4

x3

CG

Figura 2.1 - Denominação das variáveis a serem otimizadas.

Apesar da variável a ser otimizada ser apenas a área de aço longitudinal total

da seção, considera-se a disposição das armaduras na seção transversal conforme

ilustrado pela Figura 2.1. Esta disposição é usada para garantir o atendimento à NBR

6118, que exige um espaçamento máximo entre as barras de armadura de 40 cm. A

fim de facilitar os cálculos e por ser um recurso comumente utilizado na prática,

consideram-se todas as barras da armadura com o mesmo diâmetro. Adota-se neste

trabalho o aço CA-50 A por ser o mais utilizado nas estruturas.

Apesar da posição da linha neutra não estar relacionada diretamente na função

objetivo como variável a ser otimizada, esta é necessária para o equilíbrio da seção,



4

sendo por isso incluída como variável de projeto. O valor de x4 é definido como a

distância entre a fibra mais comprimida da seção e a linha neutra da mesma.

2.3 Função objetivo

A função custo é a de menor custo por metro linear de pilar, levando-se em

conta os custos com o material e mão-de-obra para a execução do pilar; incluindo

nestes custos o concreto, a armadura longitudinal e a fôrma utilizada. Deste modo,

tem-se a seguinte equação:

F = (b.h).CC + AS .ρS . CS + (2b+2h). CF,

onde:

F : função de custo para o pilar, por unidade de comprimento;

CC : custo do concreto, por unidade de volume;

CS : custo da armadura, por unidade de massa;

CF : custo da fôrma, por unidade de área;

b : largura da seção transversal do pilar;

h : altura da seção transversal do pilar;

ρS : massa específica do aço;

AS : área de aço da armadura longitudinal.

Utilizam-se como unidades de medidas neste trabalho: (cm) para unidade de

comprimento e (kN) para unidade de força.

A função objetivo em função de x:

F(x) = (x1.x2).CC + x3 .ρS . CS + (2x1+2x2). CF.

Para simplificar os cálculos, adota-se as seguintes constantes:

c1 = CC;

c2 = ρS . CS;

c3 = 2 CF.

Assim, tem-se a função objetivo da seguinte forma:



5

F(x) = c1. (x1.x2) + c2 . x3 + c3 . (x1+x2).

2.4 Restrições de equilíbrio

Devido a incertezas na localização exata do carregamento atuante no pilar,

decorrentes de falhas no projeto, imperfeições no modelo estrutural adotado,

avaliações incorretas de cargas, falhas de execução e do “prumo” do pilar, a NBR-

6118 não permite o dimensionamento de peças de concreto armado à compressão

simples. Desta forma, consideram-se pilares sujeitos à flexão normal composta,

utilizando as condições de equilíbrio em força e momento para esta situação,

conforme é mostrado na Figura 2.2.

x3

CG

Nd

RSd2

RC

RSd1

Nd

Md

d’

d’

x1

x2

σc=0,85fcd

Figura 2.2 - Condições de equilíbrio.

Na prática, tem-se o uso de pilares com seção constante ao longo do edifício.

Desta maneira, costuma-se dimensionar a seção para resistir aos esforços na base.

Como nesta situação o esforço normal é preponderante sobre o momento fletor,

considera-se a seção transversal do pilar trabalhando no Domínio 5, ou seja, toda a

seção transversal é comprimida. Assim, as restrições de equilíbrio ficam definidas em

função de x, como segue.

ΣFH = 0:

0N)(2x

xxf85,0 d2S1S3

21cd =−σ+σ+⋅⋅⋅

ΣMCG = 0:



6

0M)()'d2x(4x

d2S1S23 =−σ−σ⋅−

onde:

d’ : distância do centro da armadura até a face da seção;

σSi : tensão atuante na armadura da camada i, sendo que as camadas são numeradas

no sentido da face menos comprimida para a mais comprimida da seção.

2.5 Restrições de compatibilidade

A fim de reduzir o número de restrições de igualdade na otimização, utiliza-se a

restrição de compatibilidade para definir a tensão atuante nas barras de armadura,

sendo este valor substituído nas restrições de equilíbrio.

Para o Domínio 5, deduz-se a equação de compatibilidade a partir da Figura

2.3, considerando-se o ponto de deformação fixa igual a 2‰, na faixa que dista 73

da

face mais comprimida da seção transversal.

x1

LN

hSi

3x2/72‰εSi

x2

x4

Figura 2.3 - Diagrama de deformações para o Domínio 5.

Através da semelhança de triângulos, tem-se:

Si

Si

24hx

73x

‰2 ε=

−



7

e após as devidas simplificações, obtém-se:

24

SiSi x3x7

h14)‰(−⋅

=ε .

De acordo com a Figura 2.4, a descontinuidade do diagrama situa-se no ponto

de deformação igual a 2,07‰. Como a posição da linha neutra é uma variável a ser

otimizada, não se dispõe deste valor no início do processo. Desta maneira, admite-se

inicialmente que as barras situadas na metade da seção transversal, entre o centro de

gravidade (CG) e a face menos comprimida, terão deformação abaixo de 2,07‰, e as

barras situadas acima do CG terão deformação acima deste valor.

σS

εS10‰εyd

εyd = 2,07‰3,5‰

fyd

fyd

tração

compressão

Figura 2.4 - Diagrama tensão x deformação para o aço CA-50 A.

Esta hipótese é baseada no fato de que uma vez o ponto de deformação igual

a 2‰, situa-se na faixa que dista 73

da face mais comprimida, ou seja, pouco acima

do CG. Deste modo, torna-se claro que todas as barras situadas abaixo do CG terão

deformação inferior a 2‰, e as barras superiores só terão valor inferior a este para

valores de x4 muito acima do valor de x2.

A relação tensão x deformação para o aço CA-50 A, considerando-se o

módulo de deformação do aço ES = 21000 kN/cm2, pode ser dada como:

para ‰07,2Si <ε :



8

SiSi 21000 ε⋅=σ

24

SiSi x3x7

h294−

=σ

para ‰07,2Si ≥ε :

ydSi f=σ

Calculam-se as tensões σSi nas barras, a partir da hipótese acima; substituem-

se os valores nas restrições de equilíbrio; e após feitos os cálculos e simplificações

possíveis, obtém-se as seguintes restrições de compatibilidade:

0Nfx3x7

'dxx2942x

xxf85,0 dyd24

24321cd =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−

+⋅⋅⋅

0Mfx3x7

'dxx294f)'d2x(4x

dyd24

24yd2

3 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−

−⋅−

2.6 Restrição para garantir o Domínio 5

Como a seção encontra-se no Domínio 5, ou seja, com toda a seção de

concreto comprimida, deve-se garantir que, utilizando o diagrama de deformações

simplificado retangular, a altura da seção seja menor que 80% da localização da linha

neutra, ou seja:

1,25x2 – x4 ≤ 0.

2.7 Restrições laterais

Segundo a NBR 6118, a menor dimensão dos pilares não deve ser inferior a 20

cm. A norma também solicita que a armadura longitudinal de um pilar deve ter seção

transversal compreendida entre 0,8% e 3% da seção do pilar. Já para o espaçamento

máximo entre as barras longitudinais, a norma indica o limite de 40 cm.

Portanto, de acordo com as recomendações normativas acima e a disposição

da armadura, conforme a Figura 2.1, utiliza-se no problema de minimização da seção

transversal de um pilar os seguintes limites mínimos e máximos para as dimensões da

seção transversal e para a taxa de armadura do pilar:

20 ≤ x1 ≤ 40 cm;

20 ≤ x2 ≤ 40 cm;

0,8% ≤ ρ ≤ 3%.



9

Onde:

ρ = taxa geométrica de armadura no concreto. Razão entre a área da armadura

longitudinal e a área da seção transversal do pilar.

Por serem apenas limitantes de variáveis específicas, não interferindo na

relação entre as variáveis, as restrições laterais não são consideradas explicitamente

no processo de otimização. Estas são verificadas após cada cálculo efetuado e, no

momento em que algum valor limite é atingido, a variável que atingiu este valor é

retirada do processo de otimização, utilizando para a mesma o valor fixo

correspondente ao limite atingido, reiniciando-se o processo de otimização.

2.8 Resolução do problema

Aplicando-se à função objetivo, as restrições de equilíbrio e para garantia do

Domínio 5, tem-se o seguinte problema de otimização:

Minimizar:

F(x) = c1. (x1.x2) + c2 . x3 + c3 . (x1+x2)

Sujeito à:

0Nfx3x7

'dxx2942xxxf85,0 dyd

24

24321cd =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−

+⋅⋅⋅ ,

0Mx3x7

'dxx294f)'d2x(4x

d24

24yd2

3 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−−⋅− ,

1,25x2 – x4 ≤ 0.

Aplicando-se o Lagrangeano, tem-se:



10

).xx25,1(

0Mx3x7

'dxx294f)'d2x(4x

0Nfx3x7

'dxx2942xxxf85,0

)xx(cxc)xx(c),,x(F

421

d24

24yd2

32

dyd24

24321cd1

21332211

−⋅μ+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−−⋅−⋅λ+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−

+⋅⋅⋅⋅λ+

++⋅+⋅+⋅⋅=μλ

Igualando-se o gradiente do Lagrangeano a zero e aplicando-se a condição de

complementaridade, encontra-se um sistema de equações que, após ser resolvido e

então verificado se as soluções satisfazem as restrições inativas e as restrições

laterais, fornecem os pontos de mínimo local do problema de otimização.

A resolução analítica do sistema de equações torna-se inexeqüível, uma vez

que existem vários valores de x2 como solução do sistema. Pelo fato de uma solução

iterativa gerar um esforço computacional muito grande e x2 variar, optou-se por

trabalhar com valores fixos de x2 e encontrar a solução analítica do sistema de

equações, após a retirada do termo derivado em função de x2.

O processo para resolução, incluindo a verificação das restrições laterais,

apresenta-se da seguinte forma:

1. Faz-se x2 variar entre os valores limites, com intervalo de variação

definido pelo usuário;

2. com x2 fixo, encontram-se as demais variáveis de projeto;

3. verifica-se se as variáveis estão dentro dos limites estabelecidos, caso

os mesmos sejam ultrapassados, fixa-se o valor limite retirando a

variável da otimização e retorna-se ao passo 2;

4. caso todas as variáveis estejam minimizadas e dentro dos limites,

calcula-se o custo da seção minimizada e compara-se com o custo

encontrado para a seção com o valor mínimo encontrado até o

momento;

5. se o custo da seção for menor, esta passa a ser a seção ótima;

6. dá-se um novo incremento em x2 e reinicia-se o processo.



11

2.9 Resultados numéricos

Para exemplificar o processo de otimização e verificar o comportamento da

função custo e das variáveis, várias séries de otimização foram executadas,

considerando excentricidades atuando na direção da altura da seção de 1, 2 e 3 cm,

respectivamente. Como dados para as resistências características do concreto e do

aço tem-se os respectivos valores, fck = 35 Mpa e fyk = 500 Mpa

2.9.1 Resultados obtidos para excentricidade de 1 cm: Tabela 2.1 - Resultados obtidos para excentricidade de 1 cm.

Nd (kN)

Md (kN.cm)

b (cm)

h (cm)

As (cm2)

LN (cm)

Custo

(R$/m)

250 250 20 20 3,2 25 34,46 500 500 20 21,58 4,37 26,97 36,21 750 750 20 23,95 5,68 29,93 38,82

1000 1000 24,12 25,89 6,82 32,36 45,99 1250 1250 26,50 27,73 7,79 34,66 51,21 1500 1500 29,34 32,91 7,51 41,13 61,53 1750 1750 31,71 33,04 8,72 41,3 65,01 2000 2000 33,16 34,36 9,49 42,95 68,87 2250 2250 35,74 37,09 9,72 46,36 76,49 2500 2500 36,78 38,23 10,41 47,78 79,72 2750 2750 40 40 10,85 50 87,30 3000 3000 40 40 11,83 50 87,32



12

0

20

40

60

80

100

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

2750

3000

Esforço Normal (kN)

x1x2x3x4Custo

Gráfico 2.1 - Resultados obtidos para excentricidade de 1 cm.

2.9.2 Resultados obtidos para excentricidade de 2 cm:

Tabela 2.2 - Resultados obtidos para excentricidade de 2 cm.

Nd (kN)

Md (kN.cm)

b (cm)

h (cm)

As (cm2)

LN (cm)

Custo

(R$/m)

250 500 20 20 4,88 25 34,50 500 1000 20 22,35 8,33 27,93 37,13 750 1500 20 24,76 10,87 30,95 39,81

1000 2000 25,71 26,82 13,03 33,52 49,20 1250 2500 27,82 28,09 15,33 35,11 53,48 1500 3000 29,42 30,33 16,66 37,91 58,47 1750 3500 31,95 32,89 17,55 41,11 65,32 2000 4000 32,07 34,36 18,99 42,95 67,53 2250 4500 34,47 36,65 19,74 45,81 74,19 2500 5000 35,6 38,23 20,83 47,78 78,16 2750 5500 40 40 21,70 50 87,53 3000 6000 40 40 23,67 50 87,57



13

0

20

40

60

80

100

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

2750

3000


x1x2x3x4Custo


2.9.3 Resultados obtidos para excentricidade de 3 cm:

Tabela 3.3 - Resultados obtidos para excentricidade de 3 cm.

Nd (kN)

Md (kN.cm)

b (cm)

h (cm)

As (cm2)

LN (cm)

Custo

(R$/m)

250 750 20 20 7,32 25 34,55 500 1500 20 23,48 11,68 29,35 38,43 750 2250 20 25,01 16,08 31,26 40,19

1000 3000 24,12 26,92 19,44 33,65 47,48 1250 3750 28,50 29,37 21,70 36,71 56,14 1500 4500 29,95 31,56 23,76 39,45 60,94 1750 5250 31,71 33,86 25,39 42,32 66,48 2000 6000 33,16 35,79 27,09 44,73 71,23 2250 6750 35,74 37,28 29,00 46,60 77,18 2500 7500 37,78 39,11 30,40 48,88 82,97 2750 8250 40 40 32,55 50 87,76 3000 9000 40 40 35,51 50 87,83



14

0

20

40

60

80

100

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

2750

3000


x1x2x3x4Custos


2.9.4 Análise dos resultados

Comparando-se os todos os resultados das três situações, nota-se

primeiramente a influência da excentricidade no aumento de tais valores. Através da

observação dos resultados, pode-se notar que a restrição de desigualdade para

garantir a seção totalmente comprimida está ativa para todos os valores de esforço

normal. Isto comprova a hipótese que este domínio é mais indicado para valores de

carregamentos mais altos.

Verifica-se nas séries de otimização o aumento na taxa de armadura no

momento em que os esforços passam a ser resistidos apenas com um aumento da

taxa de armadura, devido ao arranjo da armadura e as limitações das dimensões da

seção de concreto.

Assim, à medida que se aumenta a área de aço utilizada, aumenta-se também

a quantidade de material que não está com uma utilização otimizada, não podendo

desta forma levar a uma seção econômica. Esta perda de economia pode ser bem

verificada através dos Gráficos 2.1, 2.2 e 2.3, pelo sensível aumento da inclinação da

curva da função custo.



15

3 CÁLCULO DO ÍNDICE DE CONFIABILIDADE

3.1 Introdução

Para calcular a confiabilidade de qualquer estrutura é necessário conhecer a

solicitação S e a resistência R. No estado limite último, tanto a RS como S (quando for

o caso de estudo de coeficientes parciais de segurança), são definidos pela

singularidade da matriz de rigidez global da estrutura, ou seja, pela instabilidade global

da estrutura.

3.2 Determinação da solicitação (S)

O valor atribuído a S é o coeficiente de carga (coeficiente com o qual as ações

externas são multiplicadas), quando se deseja verificar a confiabilidade de uma

determinada estrutura, S é o coeficiente de carga equivalente ao próprio carregamento

externo médio, ou seja, S é igual a unidade. Se o objetivo é calcular índices de

confiabilidade para os coeficientes parciais propostos por diferentes Normas, o valor

de S é definido pelo coeficiente de carga que conduz a estrutura ao estado limite

quando essa é calculada com resistências e solicitações alteradas por coeficientes

parciais de segurança.

Para resistências de cálculo fcd e fyd, calcula-se o coeficiente de carga limite

global da estrutura (S*). Para este coeficiente obtido, a condição de projeto é dada

pela inequação: *SSf ≤γ . A respeito do coeficiente de carga limite, tem-se: f

*SSγ

= ,

onde S é o coeficiente de carga externa. Com esse procedimento, é possível encontrar

o índice de confiabilidade β relativo aos coeficientes parciais utilizados na prática da

engenharia.

É fácil notar que S* é o coeficiente de carga limite determinado pelo modelo

mecânico com resistência reduzida por coeficientes parciais, como γc e γs, ou seja:

*SmecânicoelomodV,f,f ydcd →→

V = variáveis estruturais tais como geometria, condições de contorno, etc.

Finalmente, S é determinado por:



16

f

*SSγ

=

3.3 Determinação da resistência (R)

O esforço resistente é representado pela superfície de resposta da estrutura

(SR). Se a SR for elaborada com as respostas da estrutura no estado limite, pode-se

dizer que a superfície de resposta se confunde com a superfície limite da estrutura.

Para encontrar a SR utiliza-se a seqüência seguinte:

1. Define-se o plano de experiência a ser utilizado.

2. Encontram-se as respostas mecânicas referentes ao plano de

experiência. As respostas mecânicas são escritas em termos de

coeficientes de carga que conduzem a estrutura ao estado limite. Estas

respostas mecânicas são obtidas sem considerar coeficientes parciais.

Os pontos, ou respostas, são definidos no espaço físico.

3. É feita a transformação isoprobabilística passar do espaço físico para

o reduzido.

4. Utiliza-se uma regressão para encontrar os coeficientes do polinômio

aproximador da SR no espaço reduzido.

5. Verifica-se o erro entre a SR real e a SR aproximada.

3.4 Cálculo do índice de confiabilidade (β)

Para calcular o índice de confiabilidade utiliza-se o algoritmo de Rackwitz &

Fiessler. A superfície de ruína FS que representa o estado limite é definido pela SR

subtraída da solicitação S, ou seja:

SSRFS −=

3.5 Resultados numéricos

3.5.1 Dados

3.5.1.1 Características determinísticas

Coeficiente parcial de segurança do concreto, γc =1,40

Coeficiente parcial de segurança do aço, γc = 1,15



17

Coeficiente parcial de segurança das ações externas, γc = 1,40

3.5.1.2 Características estatísticas

Variável Média Desvio Padrão Lei

fc 3,50 0,42 N

fy 50 3,00 N

3.5.2 Análise dos resultados Através de alguns resultados obtidos na Seção 2 para as seções transversais

ótimas, calculou-se o índice de confiabilidade para diferentes planos de experiência,

conforme mostra a Tabela 3.1 e Tabela 3.2.

Tabela 3.1 - Índices de confiabilidade para seções ótimas. Excentricidade

(cm) Solicitações

Seção Ótima (cm)

AS

(cm2)

Plano de Experiência

β

Estrela 4,2025

Estrela 45o 4,2018

Fatorial Completo 4,2011

Mínimo 4,2017

1 Nd = 750 kN

Md = 750 Kn.cm 20 x 23,98 10,45

Composto 4,2042

Estrela 4,6033

Estrela 45o 4,6048


Mínimo 4,6723

2 Nd = 1500 kN

Md = 2500 kN.cm 29,34 x 32,91 17,55

Composto 4,6947

Estrela 4,7315

Estrela 45o 4,7497


Mínimo 4,8126

3 Nd = 2500 kN

Md = 4000 kN.cm 35,6 x 38,23 25,39

Composto 4,6392

Pode-se observar através dos resultados acima que o PE Fatorial Completo e o

PE Composto conduziram o procedimento a uma rápida convergência, demonstrando

ótimo desempenho e resultados satisfatórios.



18

Comparando-se agora os valores dos índices de confiabilidade para novas

seções ótimas obtidos na Tabela 3.2 com os resultados do índice de confiabilidade

para dimensões usualmente utilizadas em projetos, pode-se verificar que estes são

muito próximos. Observa-se também que o PE Fatorial Completo e o PE Composto

conduziram o procedimento a uma rápida convergência, demonstrando ótimo

desempenho e resultados satisfatórios.

Tabela 3.2 - Índices de confiabilidade para seções ótimas.

Solictação Valores Ótimos Valores de Projeto Plano de

Experiência Nd

(kN) Md

(kN.cm) Seção (cm)

AS

(cm2) β

Seção (cm)

AS

(cm2) β

AS

(cm2) β

Estrela 4,2025 4,2025 4,4143

Estrela 45o 4,2018 4,2018 4,4129

Fatorial Completo 4,2011 4,2011 4,4118

Mínimo 4,2017 4,2017 4,4123

Composto

750 20 x 23,95 5,68

4,2042

5,36

4,2042

4 ∅ 16

8,04

4,4156

Estrela 4,6033 4,6033 4,6983

Estrela 45o 4,6048 4,6048 4,6996


Mínimo 4,6723 4,6723 4,7154

Composto

1500 20 x 24,76 10,87

4,6947

10,73

4,6947

4 ∅ 20

12,57

4,7231

Estrela 4,7315 4,7315 4,9517

Estrela 45o 4,7497 4,7497 4,9607


Mínimo 4,8126 4,8126 4,9967

Composto

750

2250 20 x 25,01 16,08

4,6392

20 x 25

16,09

4,6392

4 ∅ 32

32,16

4,7291

Conclui-se que o Método de Superfície de Resposta, utilizando polinômios de

ordem baixa como função aproximadora representativa da superfície de ruína, é

recomendado para calcular o índice de confiabilidade β em estruturas de concreto

armado. Entretanto, esse método apresenta uma forte dependência do plano de

experiência adotado. O custo computacional apresentado por esse método é bastante

reduzido, apresentando as respostas com precisão satisfatória.

O ponto crítico dos métodos baseados em superfícies de resposta é o custo

computacional do modelo mecânico. Qualquer melhoria em diminuir o número de

pontos dos planos de experiência, como conseqüência diminuir o número de respostas

mecânicas necessárias para verificar-se a convergência do método é de grande



19

aceitação no meio técnico. Portanto, caso deseje-se melhorar um MSR devesse tentar

diminuir o número de respostas mecânicas para construção da SR. Isso pode ser feito

otimizando a distribuição dos pontos dos PE.

Com relação à obtenção do polinômio aproximador das respostas mecânicas,

acredita-se que o método dos mínimos quadrados é o mais adequado. Finalmente,

acredita-se que os MSR são adequados para estimar índices de confiabilidade em

qualquer tipo de estrutura, composta por qualquer material ou conjunto de materiais de

comportamento linear ou não-linear.

4 CONCLUSÕES

Neste trabalho foi desenvolvido um programa para a otimização do

dimensionamento de pilares de concreto armado e cálculo do índice de confiabilidade.

É possível que a otimização global da estrutura traga resultados mais favoráveis, mas

a dificuldade de implementação e o custo computacional para se definir uma estrutura

ótima, utilizando um processo global e trabalhando com elementos de comportamento

como o concreto, faz com que este tipo de otimização, por aproximação combinada,

se torne de mais atraente implementação. A função objetivo foi uma função de menor

custo por unidade de comprimento do elemento. Foram consideradas restrições de

forma a garantir o equilíbrio e a compatibilidade das seções, além de restrições

laterais que trazem limitações de ordem prática ou normativa para as estruturas.

Para os pilares, as restrições laterais adotadas foram a de garantir a seção

totalmente comprimida, pois foi prevista a otimização da seção mais solicitada da

edificação que, geralmente, se encontra nesta situação, e as limitações de ordem

prática das dimensões da seção transversal e da taxa de armadura. Estas limitações

de ordem práticas também foram feitas em separado do processo de otimização em si,

pois se tratavam apenas de limitações em variáveis isoladas, não afetando a relação

entre as variáveis.

No estudo das seções dos pilares, o fato de se trabalhar com a seção de

concreto totalmente comprimida, onde este material é mais eficiente e com a

disposição simétrica da armadura, faz com que os esforços sejam melhor combatidos

com a utilização de maior área de concreto por ser o material melhor empregado nesta

situação.

Os valores das variáveis adotados como dados de entrada da estrutura tem

pouco significado na seção ótima dos elementos estruturais. O fato de se aplicar um

valor inicial muito diferente da realidade pode ser prejudicial apenas na velocidade de



20

convergência do programa, pois irão ocorrer grandes variações ao longo das primeiras

iterações, de forma a provocar uma grande redistribuição de esforços, fazendo com

que sejam necessárias mais iterações a fim de se chegar à seção otimizada.

Uma vez que as perturbações provocadas pelas grandes variações das

dimensões se dissipem, a estrutura tende a convergir rapidamente para os valores

ótimos. Devido a estas variações, é recomendável que se defina um número máximo

de iterações compatível com as incertezas quanto à proximidade dos dados de

entrada em relação aos valores ótimos da estrutura. Quanto mais incerto se estiver da

distância entre os valores adotados e os valores ótimos, maior deve ser o número

máximo de iterações, não sendo recomendado um número de iterações máximo

menor que vinte.

Há dois aspectos principais a se considerar em um modelo de projeto

adequado para ser aplicado às estruturas. O primeiro aspecto importante é a

possibilidade do modelo de poder quantificar a confiabilidade das estruturas no estado

limite de utilização e no estado limite último, garantindo assim uma probabilidade de

falha pré-definida.

O segundo aspecto importante é com relação ao modelo mecânico, onde as

condições de equilíbrio e compatibilidade geométrica devem ser satisfeitas junto com

os modelos adotados para descrever o comportamento dos materiais. O modelo

mecânico deve ser escolhido de tal forma que represente o mais fielmente possível o

comportamento atual da estrutura.

Por outro lado, o modelo de confiabilidade deve ser escolhido para estimar

precisamente probabilidades de falha, levando-se em consideração o aspecto

computacional que pode restringir sua aplicabilidade. Além de estimar a confiabilidade

das estruturas, verificou-se que os métodos adotados também podem ser utilizados

para otimizar a estrutura garantindo um mínimo de segurança.

O Método de Superfícies de Respostas conduz a excelentes resultados, com

rápida convergência e consistência. Esse método tem suas desvantagens, como

qualquer outro, a principal delas é a extrema dependência do plano de experiência

adotado para o desenvolvimento. Uma outra desvantagem para o engenheiro é que

exige o emprego de conhecimentos matemáticos mais complexos.

Problemas com elevado número de variáveis aleatórias conduzem a trabalhar

no espaço com um número elevado de dimensões. Isso pode trazer problemas para

definição do PE escolhido para governar o algoritmo.

O MSR associado a um algoritmo de otimização pode ser utilizado para estimar

o índice de confiabilidade da estrutura. Métodos de Confiabilidade de Primeira e

Segunda Ordem, FORM e SORM, respectivamente, são algoritmos que podem



21

estimar a probabilidade de falha da estrutura quando já se conhece seu índice de

confiabilidade.

5 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não

poderia ter sido realizada.

6 REFERÊNCIAS

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ANG, A.H.S.; TANG, W.H. (1974). Probability Concepts in Engineering Planning and Design. New York: John Wiley.v.1.

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22

MORRIS, A.J. (1982). Foundations of structural optimization: a unified approach. New York: John Wiley.

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SOARES, R.C.; MOHAMED, A.; VENTURINI, W.S.; LEMAIRE, M. (2002). Reliability analysis of non-linear reinforced concrete frames using the response surface method. Reliability Engineering and System Safety, v.75, p.1-16.

SOUZA, J.B.M.; VAZ, L.E. (1993). Otimização do dimensionamento de pilar padrão de concreto armado com seção retangular. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, 3., São Paulo. p. 393-405.

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ISSN 1809-5860


ANÁLISE NUMÉRICA DA ANCORAGEM EM LIGAÇÕES DO TIPO VIGA-PILAR

DE EXTREMIDADE Edson Costa de Assis Júnior 1 & José Samuel Giongo 2

R e s u m o

Este trabalho é uma contribuição ao estudo da ancoragem de barras de aço da armadura longitudinal em ligações de elementos fletidos de concreto armado em edifícios usuais. São investigadas importantes pesquisas que mostram os avanços em relação ao entendimento do tema nas últimas décadas. É proposto um método de aferição dos modelos constitutivos dos materiais, concreto e aço, no programa de elementos finitos ADINA para verificações de projeto seguindo recomendações da NBR 6118:2003 e MC CEB-FIP 1990. São realizadas análises numéricas de modelos bidimensionais em ligações viga-pilar de extremidade os quais são comparados a modelos experimentais e retirados de projetos já existentes. Os parâmetros de análise são o momento de fissuração e a força de tração a ancorar na seção mais solicitada da viga, conferidos com valores calculados por métodos analíticos e/ou expressões normativas, as tensões e deformações máximas em pontos ao longo do trecho ancorado das armaduras de longitudinais da viga e a influência da força normal. Os resultados revelam que as simplificações e hipóteses assumidas para a concepção dos modelos numéricos são consistentes. Palavras-chave: concreto armado; concreto armado – ancoragem e ligações; ligações viga-pilar de extremidade; análise numérica.

1 INTRODUÇÃO

No advento do concreto armado como alternativa para concepção de estruturas em geral, as ligações eram tidas como simples “prolongamentos” dos elementos suportados nos apoios, pois, acreditava-se que o comportamento estrutural ao longo de toda peça fosse invariável e uniforme. O posicionamento das barras das armaduras nos encontros entre peças estruturais era feito de acordo com a experiência do projetista em função de obras anteriores. Ao passar do tempo percebeu-se que, embora a estrutura estivesse corretamente dimensionada, ocorriam sérios problemas ou até mesmo a ruína das edificações geralmente nas regiões nodais. 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Edson Costa de Assis Júnior & José Samuel Giongo


24

Com o avanço das pesquisas, observou-se que a ancoragem inadequada das armaduras é uma das possíveis causas para a ruína das ligações. A partir daí, iniciou-se a tentativa do pleno entendimento dos mecanismos de transferência de tensões das barras componentes da armadura para o concreto adjacente (HRIBAR e VASKO, 1969; MINOR e JIRSA, 1975; MARQUES e JIRSA, 1975; SILVA, 1986, FUSCO, 1995; HEGGER, SHERIF e ROESER, 2003). O princípio da ancoragem é assegurar que as forças de tração e/ou de compressão sejam transferidas para massa de concreto adjacente as barras da armadura. Essa transferência só existe por causa das tensões de aderência geradas a partir do deslocamento relativo entre o concreto e o aço. Além das tensões de aderência, existem alguns fatores que influenciam de maneira significativa as condições e o comprimento adequado de ancoragem das barras, tais como, qualidade e resistência do concreto, conformação superficial das barras, posição da armadura em relação às etapas de concretagem, as forças de tração nas barras e o arranjo da própria ancoragem. Na maioria das edificações, os tipos de ancoragem comumente empregados são os das pontas das barras retas ou curvas. De acordo com Fusco (1995), nas ancoragens retas, as forças são transmitidas por solicitações tangenciais. Nas ancoragens curvas, parte da força a ancorar é transmitida para o concreto por compressão (solicitações normais) e não apenas por solicitações tangenciais. Contudo, essas tensões são acompanhadas por tensões transversais de tração que tendem a provocar o fendilhamento do concreto. Nos trechos curvos, onde estão concentradas as tensões normais, há um aumento na capacidade de ancoragem por atrito. Segundo os critérios de dimensionamento e detalhamento das armaduras de tração ancoradas por aderência, estabelecidos pela NBR 6118:2003, apenas parte das barras das armaduras dos elementos suportados devem ser levadas aos apoios. As barras prolongadas até os apoios, em elementos estruturais lineares e bidimensionais, para serem convenientemente ancoradas necessitam também de condições geométricas, isto é, dimensões dos elementos de apoio na direção do elemento estrutural analisado, suficientes para transferir a força a ancorar. Os objetivos do trabalho foram avaliar numericamente ligações do tipo viga-pilar de extremidade e aprofundar os conhecimentos a respeito do comportamento das ligações entre elementos estruturais de concreto armado, principalmente com relação às ancoragens das barras das armaduras longitudinais. Para tanto, foram estudados aspectos básicos relativos à ancoragem como, sua relação com a aderência entre o aço e o concreto e outras variáveis que interferem no seu comportamento adequado, e os tipos de ancoragem comumente empregados nas ligações entre elementos estruturais de concreto armado de edificações usuais. Além disso, verificou-se prescrições normativas sobre ancoragem e o desenvolvimento das pesquisas que revelam sua participação no comportamento das ligações. O método empregado se fundamentou em revisão bibliográfica acerca de trabalhos já desenvolvidos e disponíveis na literatura técnica a respeito do tema e algumas análises numéricas com base em modelos teóricos. Posteriormente, foram conduzidas simulações em modelos bidimensionais, no programa Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis – ADINA (2002), de ligações do tipo viga-pilar de extremidade de projetos estruturais já existentes.

Análise numérica da ancoragem em ligações do tipo viga-pilar de extremidade


25

A avaliação numérica teve como propósitos, a verificação do comportamento das armaduras longitudinais da viga em termos das tensões e deformações em pontos localizados na região do nó, do momento de fissuração e da força de tração a ancorar na seção mais solicitada e a análise da influência da força normal atuante nos elementos de apoio nas regiões nodais.

2 CRITÉRIOS ADOTADOS NA AVALIAÇÃO NUMÉRICA DAS ANCORAGENS NAS LIGAÇÕES

Neste capítulo são apresentados os critérios referentes às aproximações e hipóteses de comportamento físico e discretização na modelagem numérica. Por meio desses, foram conduzidas análises em ligações do tipo viga-pilar de extremidade. Para aferição do programa ADINA (2002), os resultados do modelo numérico foram comparados com aqueles obtidos experimentalmente por Ortiz (1993). Em seguida, realizou-se um estudo de caso para a verificação da ancoragem em ligações que fazem parte do sistema estrutural que compõe o edifício residencial Wassily Kandinsky em São Carlos (SP), cujo projeto estrutural foi feito pela empresa AEOLUS Engenharia e Consultoria Ltda.

2.1 Procedimentos de modelagem

2.1.1 Modelos constitutivos dos materiais

2.1.1.1 Concreto

O comportamento mecânico do concreto obedeceu ao modelo não-linear apresentado na Figura 1 o qual é baseado na relação tensão versus deformação uniaxial, generalizada para se obter em tensões biaxiais e triaxiais. Essa relação tem propriedades peculiares, como, o enfraquecimento do material sob acréscimos das tensões de compressão, envoltórias de ruína que definem a ruptura na tração e o esmagamento na compressão e uma estratégia para modelagem do comportamento do material na pós-fissuração e esmagamento (ADINA, 2002). Para a geração da curva mostrada na Figura 1 é necessário que se tenha um conhecimento prévio em relação ao comportamento do concreto por meio de valores experimentais e/ou estimados. Esses valores são representados pelas tensões e deformações explicitadas no gráfico que funcionam como dados de entrada os quais devem ser fornecidos pelo usuário. Neste caso, foi conveniente adotar os parâmetros de cálculo estabelecidos pela NBR 6118:2003, com algumas exceções, uma vez que a idéia central é a análise da ancoragem em situações usuais de projeto.

Para a resistência máxima à compressão do concreto ( )cc,máxf foi conferido o

valor de 85% da resistência de cálculo à compressão do concreto ( )cdf . Entretanto, a

resistência última à compressão do concreto ( )cc,uf foi determinada como sendo

aproximadamente igual à resistência máxima à compressão do concreto, já que esses



26

valores têm que ser obrigatoriamente diferentes no modelo de concreto disponível no programa ADINA (2002). Quanto às deformações, foram adotados os valores de 0,002 e 0,0035 para εcc e εcc,u , respectivamente.

~ fcc,u

~

ε

cc,máxf

c

εcccc,uε

σ

ctfα fct

c

Figura 1 - Relação uniaxial tensão-deformação do concreto – Adaptado de ADINA (2002).

Para o trecho da curva referente ao comportamento do concreto à tração, é preciso fornecer a resistência à tração do concreto ( )ctf que, nesta situação, adotou-se como sendo igual à resistência à tração de cálculo do concreto determinada de acordo com eq.(1):

( )= ↔ = ⋅ = ⋅γ

= ⋅ ↔ = γ ⋅

= ⋅

ctk,inf 2 3ctd ctk,inf ct,m ck

c2 3

ctd ck ck c cd2 3

ctd cd

ff f 0,7 f 0,3 f

f 0,15 f f f

f 0,19 f

(1)

Após a ruptura do concreto tracionado, admitiu-se que, em função dos efeitos da resistência de aderência, o concreto íntegro entre as fissuras contribui para a resistência a qual decresce gradativamente até atingir a resistência ( )α ⋅ ctdf em que o

mesmo não seja capaz de absorver tensões de tração. No que se refere ao coeficiente α , esse foi determinado conforme o modelo proposto por Figueiras (1983) para o comportamento do concreto tracionado, pois se

assemelha ao modelo conferido pelo programa, cujo valor é tal que ≤ α ≤0,5 0,7 . Para este trabalho, estabeleceu-se α = 0,7 .



27

Além dos parâmetros acima indicados, foi necessário fornecer o coeficiente de Poisson, ν = 0,20 , a massa específica do concreto armado, −γ = ⋅ 5 3

c 2,5 10 kN cm , o

módulo de elasticidade do concreto e a energia de fraturamento ( )FG .

O módulo de elasticidade do concreto foi admitido como sendo o módulo de elasticidade tangente inicial do concreto ( )ciE nas análises não-lineares, expresso pela eq.(2), conforme a NBR 6118:2003:

= ⋅ 1 2ci ckE 5600 f (2)

Sendo ciE e ckf dados em MPa.

Por definição, a energia de fraturamento ( )FG é a energia necessária para a propagação de fissuras por unidade de área no concreto tracionado que pode ser estimada pela eq.(3), segundo prescrição do MC CEB-FIP 1990:

( )= α ⋅0,7

F F cj coG f f (3)

Sendo cjf é a resistência média do concreto à compressão e =cof 10MPa .

De acordo com a NBR 12655:1996, na ausência de valores experimentais, a resistência média do concreto à compressão ( )cjf pode ser estimada pela eq.(4):

= + ⋅cj ck df f 1,65 S (4)

Em que dS é o desvio-padrão da dosagem, em MPa. Para as análises deste estudo, considerou-se =dS 4,0MPa em concordância com os critérios da NBR 12655:1996. O

coeficiente αF depende do diâmetro máximo do agregado ( )φmáx .

Ressalta-se que foi utilizado o método de Kupfer para a geração da curva triaxial de ruptura, conforme os exemplos de aprendizagem contidos no programa em uso.

2.1.1.2 Aço

Para a descrição do comportamento mecânico das barras de aço utilizadas no concreto armado, atribuiu-se um modelo elasto-plástico perfeito conforme se apresenta na Figura 2. O critério de ruptura que rege esse tipo de material foi o de von Mises. Assim como no modelo adotado para o concreto, foram conferidos valores de cálculo para a concepção do diagrama tensão versus deformação do aço, conforme os dados fornecidos pela NBR 6118:2003. Como se percebe, deve-se informar a deformação específica máxima de escoamento do aço ( )εy,máx que no caso foi adotada igual a 0,01, o módulo de

elasticidade do aço de armadura passiva ( )sE que para fins de projeto pode ser

admitido igual a 210GPa e a resistência de escoamento do aço ( )yf cujo valor de



28

cálculo para o aço categoria CA-50, o mais empregado na construção civil no Brasil, é de =ydf 435MPa .

Além dos dados discutidos, algumas informações complementares são pertinentes: Coeficiente de Poisson: ν = 0,30 ;

Massa específica do aço: 3γ ⋅ -5s=7,85 10 kN cm .

s

y,máxεε

σ

fy

s

Es

Figura 2 - Relação uniaxial tensão-deformação do aço.

2.1.2 Discretização dos objetos de análise

2.1.2.1 Seleção dos elementos

Para a descrição do comportamento do concreto em modelos planos, foi utilizado o elemento de superfície 2-D solid que pode ser definido por elementos quadrilaterais e/ou triangulares, conforme apresentados na Figura 3, com dois graus de liberdade por nó (translações nodais nos eixos pertencentes ao plano).



29

y

z

quadrilateralquadrilateral

triangulartriangular3 nós

triangular6 nós 7 nós

9 nós8 nósquadrilateral

4 nós

Figura 3 - Elemento finito 2-D SOLID – Modificado de ADINA 8.0 (2002).

Já as barras de aço que compunham a armadura foram discretizadas por meio de elementos de barra (“truss”) definidos quanto aos possíveis números de nós por elemento segundo a Figura 4. Como se trata de elementos constituintes de estruturas de concreto armado é sugerido que se opte por elementos de barra com 3 ou 4 nós cujo grau de liberdade implica apenas no deslocamento ao longo do eixo longitudinal.

z

y

3 nós2 nós

4 nós Figura 4 - Elemento finito TRUSS – Modificado de ADINA 8.0 (2002).

2.1.2.2 Descrição dos modelos numéricos

O programa experimental realizado por Ortiz (1993) consistiu na avaliação de sete ligações do tipo viga intermediária-pilar de extremidade para as quais foram utilizados diferentes detalhamentos de armadura e de cargas atuantes.



30

Neste trabalho, apenas a ligação BCJ2 foi modelada e os seus resultados serviram como parâmetro para aferição dos modelos constitutivos dos materiais na simulação numérica, a qual se fundamentou na modelagem da ligação contemplando a não-linearidade física dos materiais e calibrando o modelo com dados provenientes dos resultados experimentais, ou seja, valores médios, salvo exceções. Quanto à ancoragem, foram verificadas as deformações em alguns pontos da armadura longitudinal superior da viga. Para tanto, uma barra dessa armadura foi instrumentada com strain-gauges nos locais indicados na Figura 5.

20

2,552

Medidas em centímetros (cm).

E-1 E-2E-3

E-4

E-5

Figura 5 - Instrumentação da barra da armadura longitudinal da viga – Adaptado de ORTIZ

(1993).

No estudo de caso, foram avaliadas duas ligações, V325-P31 e V341-P31. Como as análises se limitam a modelos bidimensionais, esses nós foram avaliados em separado, desprezando os efeitos de um em relação ao outro. Para cada ligação, foram concebidos três modelos referentes à posição das mesmas em relação a toda estrutura. Assim, denominaram-se modelos 1, 2 e 3, as ligações entre o 1º e 2º pavimento-tipo, 4º e 5º pavimento-tipo e 6º e 7º pavimento-tipo, respectivamente. Para a avaliação do trecho ancorado das barras das armaduras longitudinais da viga, foram escolhidos alguns pontos conforme exposto na Figura 6. Neles, foi coletada a evolução da tensão, deformação e força de tração na direção do eixo das barras ao longo de toda história do carregamento.



31

P-1P-2P-3

P-4P-5P-6

(a)

P-1P-2

P-3

P-4

P-8

P-7 P-5P-6

(b)

Figura 6 - Pontos de medição na armadura longitudinal da viga: (a) Ligação V325-P31; (b) Ligação V341-P31.

2.2 Resultados

De acordo com a descrição da análise experimental feita por Ortiz (1993), as primeiras fissuras surgiram no canto superior da ligação entre a viga e o pilar no



32

instante em que a força aplicada na extremidade da viga foi de 27kN, e a primeira fissura diagonal no nó ocorreu quando a força foi de 50kN, a qual foi definida como sendo a força de fissuração do nó. Para esse valor da força, o momento de fissuração foi rM 6250kN cm= ⋅ . Na ruína do pórtico, a força última foi de 125kN e o momento correspondente foi uM 15625kN cm= ⋅ .

Para tal verificação, foi fornecida a evolução das deformações nas barras da viga ao longo da aplicação da força em cinco pontos ao longo do trecho ancorado da armadura longitudinal da viga. Os resultados experimentais foram apresentados mediante valores pontuais, ou seja, a deformação foi registrada em alguns estágios de força, ao passo que, pela análise numérica, puderam-se apreciar os acréscimos de deformações ao longo da história do carregamento. No âmbito geral, a aproximação entre os resultados experimentais e os numéricos melhorou à proporção que se verificou a deformação nas barras nos pontos mais internos da região nodal, com exceção do ponto E-4. O modelo numérico mostrou-se com um comportamento mais rígido no nó até o instante em que força aplicada foi a de 50kN. A partir daí, a deformação das barras da viga se elevaram substancialmente. Uma possível justificativa para tal fato se deve a limitação do modelo quanto à desconsideração do contato entre a armadura e o concreto. Em quase todos os pontos de análise, a perda de rigidez se deu num intervalo aproximado ao instante de força aplicada igual a 50kN. Isso significa que o momento de fissuração obtido numericamente se aproxima do avaliado na análise experimental. Entretanto, percebeu-se que, no ponto E-2 (o mais próximo da seção mais solicitada da viga) a perda de rigidez se iniciou quando a força na extremidade da viga foi um valor tal que 30kN F 35kN≤ ≤ , o que está razoável, visto que as primeiras fissuras apareceram no modelo experimental e nessa região, quando a força aplicada foi de 27kN. Quanto aos modelos do estudo de caso, os resultados foram bastante semelhantes. O momento de fissuração, verificado nas seções mais solicitadas das vigas, foi tal que r2000kN cm M 2500kN cm⋅ ≤ ≤ ⋅ . A ratificação dessa resposta é feita por meio da sua comparação com a expressão aproximada sugerida pela NBR 6118:2003 para o cálculo desse parâmetro. Segundo a norma brasileira, rM 1949,59kN cm= ⋅ .

No que se refere à transferência de tensão do aço para o concreto, os resultados foram bastante razoáveis visto que as deformações reduziram significativamente à medida que as seções transversais das barras da viga se afastaram da face pilar. Quanto à força normal, embora não seja tanto expressiva nas situações analisadas, foi perceptível que sua influência elevou as tensões e, conseqüentemente, as deformações nas barras. A avaliação da força de tração nas barras das armaduras longitudinais superior da viga determinada nos modelos numéricos foi conduzida comparando seus valores com aquele determinado pelo método analítico. Em suma, os resultados foram favoráveis à segurança.



33

2.3 Conclusão

2.3.1 Quanto à análise numérica O programa ADINA (2002) se mostrou um procedimento eficaz para a investigação da ancoragem dentro do propósito que foi adotado no desenvolvimento do trabalho. É óbvio que não se esperava alcançar resultados iguais aqueles determinados por experimentos ou por métodos analíticos de cálculo em virtude das hipóteses admitidas para a viabilização das análises numéricas que de certa maneira distorcem os resultados a obter. Além disso, tratou-se aqui da modelagem numérica de ligações de concreto armado que é outro agravante. Como o concreto é um material heterogêneo e de diferente comportamento quando submetido à tração e à compressão, sua avaliação se torna mais difícil e penosa. Acredita-se que os modelos constitutivos dos materiais tenham sido razoavelmente calibrados e a não consideração do atrito entre o aço e o concreto foi o fator mais relevante em relação à obtenção de melhores respostas. Como foi um estudo inicial sobre o tema, para a discretização das barras das armaduras e das superfícies de concreto buscou-se utilizar o meio mais simples ao invés do melhor para a geração da malha de elementos finitos, o que não comprometeu os resultados.

2.3.2 Quanto aos parâmetros de análise Como a proposta foi analisar ligações de projeto reais, a aferição desses só foi possível mediante comparação entre os resultados numéricos e as expressões analíticas e prescrições normativas que são habitualmente utilizadas no projeto e dimensionamento de edificações. Assim, os parâmetros-chave para aferição dos modelos reproduzidos no estudo de caso foram o momento de fissuração e a força de tração a ancorar na seção mais solicitada das vigas. Essas variáveis também serviram para a verificação dos valores experimentais do modelo concebido por Ortiz (1993), porém, havia o registro da relação deformação em alguns pontos da armadura longitudinal e força concentrada aplicada na extremidade da viga os quais foram de grande valia. Em síntese, os resultados referentes ao momento de fissuração e à força de tração a ancorar foram satisfatórios. Na comparação entre os valores obtidos pelos modelos numéricos e aqueles determinados pelo método analítico as respostas se apresentaram favoráveis à segurança. Em todos os modelos avaliados, verificou-se que a seção transversal em comum entre o pilar e a viga é a mais crítica e que as deformações e, por conseqüência, as tensões nas barras pertencentes às armaduras longitudinais da viga decresceram à proporção que as seções das barras se afastaram da face interna do pilar. Nos modelos cuja ancoragem das barras foi de ponta reta, as barras trabalharam somente a tração durante toda a aplicação das solicitações. Já nas ligações com as barras ancoradas com dobra e ponta reta vertical emendada por traspasse nas barras da armadura longitudinal do pilar, ao passo que



34

as seções das barras foram se afastando da seção de transição entre a viga e o pilar, a tensão foi decaindo até o fim do trecho horizontal reto. Na parte curva, as barras passaram a trabalhar comprimidas em virtude das tensões de compressão provenientes da ação da força normal atuante no pilar. Na ligação viga-pilar BCJ2 experimentalmente desenvolvido por Ortiz (1993) e simulado numericamente neste trabalho, no qual o pilar foi submetido apenas pelo seu peso próprio, constatou-se que, no modelo numérico, na seção final da dobra, as barras permaneceram comprimidas até o surgimento da primeira fissura diagonal no nó e, em seguida, essas barras passaram a estar tracionadas até o instante final de carregamento. A participação da força normal foi avaliada apenas nos exemplos apresentados no estudo de caso. Neles, percebeu-se que a sua influência é mais significativa no instante pós-fissuração do concreto. Sua atuação tende a provocar a flambagem do pilar ocasionando o alargamento da seção do elemento estrutural. Esse efeito provoca o surgimento de um incremento de tensão o qual é adicionado à tensão que provém da flexão da viga. Por essa razão, observou-se nos modelos que as barras das armaduras longitudinais da viga foram mais solicitadas na proporção que se elevou a força normal. Para a ancoragem das barras tracionadas, sua atuação é benéfica até certa intensidade por causa da sua contribuição para o aumento do confinamento na região nodal que, por sua vez, melhora as condições de aderência. Todavia, como a força normal eleva as tensões longitudinais de tração nas barras, essas podem provocar fissuração do concreto adjacente e, conseqüentemente, reduzir a capacidade de ancoragem.

3 AGRADECIMENTO

Os autores agradecem ao CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, pelo suporte financeiro.

4 REFERÊNCIAS

ADINA (2002). Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis. Watertown: ADINA R & D. 1 CD-ROM.

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CEB-FIB model code 1990: final draft. (1991). CEB Bulletin D’Information, Paris, n.203-205, July.



35

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SILVA, D. M. (1986). Análise experimental sobre o concreto, a aderência e a ancoragem de barras de aço para concreto armado. Porto Alegre. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

36

ISSN 1809-5860


ESTUDO E DESENVOLVIMENTO DE CÓDIGO COMPUTACIONAL BASEADO NO MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE DINÂMICA NÃO LINEAR GEOMÉTRICA DE SÓLIDOS

BIDIMENSIONAIS

Gustavo Codá dos Santos Cavalcanti Marques1 & Humberto Breves Coda 2

R e s u m o

O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento de uma formulação e sua implementação computacional para se analisar, via Método dos Elementos Finitos (MEF), o comportamento dinâmico não linear geométrico de sólidos bidimensionais. Inicialmente, trata-se o comportamento geometricamente não linear através de uma formulação posicional classificada como Lagrangeana total com cinemática exata. No estudo do comportamento dinâmico utiliza-se um algoritmo de integração temporal baseado na família de integradores temporais de Newmark. Para a consideração do impacto adota-se uma técnica que utiliza como integrador temporal o algoritmo de Newmark, modificado de forma a garantir sua estabilização, e limita-se a posição de cada nó da estrutura que por ventura sofra impacto. O código computacional desenvolvido é validado através de exemplos tradicionais da literatura científica. Analisam-se exemplos com comportamento apenas não linear geométrico e não linear geométrico dinâmico com ou sem impacto.

Palavras-chave: análise não linear geométrica; dinâmica; impacto; elementos finitos.

1 INTRODUÇÃO

O conhecimento do comportamento mecânico de uma estrutura, dentro de um regime não linear, é essencial para a concepção de estruturas cada vez mais leves e esbeltas sem ocorrer diminuição no seu padrão de segurança e de qualidade. Para isso, é necessário se utilizar teorias mais complexas, como formulações não lineares, de forma a melhor caracterizar o comportamento dos materiais utilizados na construção de estruturas e sua geometria, dentro dos critérios de segurança e utilização das mesmas. Nesse sentido, o objetivo principal deste trabalho é apresentar uma formulação, baseada no potencial de energia total e na primeira lei da termodinâmica,

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected].

Gustavo Codá dos Santos Cavalcanti Marques & Humberto Breves Coda


38

para se analisar, via Método dos Elementos Finitos (MEF), o comportamento dinâmico não linear geométrico de sólidos bidimensionais. O comportamento geometricamente não linear será tratado através de uma formulação posicional, desenvolvida em CODA (2003) e GRECO & CODA (2004), e que pode ser classificada como Lagrangeana total com cinemática exata. Para a modelagem dinâmica, utilizar-se-á um algoritmo de integração temporal baseado na família de integradores temporais de Newmark. Por fim, utilizar-se-á uma técnica de impacto entre estrutura e anteparo rígido que consiste na limitação de posição de cada nó da estrutura que por ventura sofram impacto.

2 FORMULAÇÃO NÃO LINEAR GEOMÉTRICA APLICADA A PROBLEMAS DINÂMICOS

Nesta seção, descreve-se a formulação dinâmica não linear geométrica. Posteriormente, descreve-se o modelo de impacto adotado neste trabalho. A função mudança de configuração é uma função matemática cujo seu gradiente irá indicar a mudança de direção e comprimento de um vetor infinitesimal dx em um ponto 0x para dy em uma nova posição, no ponto 0y na configuração genérica. Conforme já comentado anteriormente, a formulação não linear geométrica aqui descrita é baseada no Método dos Elementos Finitos (MEF), portanto a função mudança de configuração necessita ser parametrizada por valores nodais e funções de forma. Seja um elemento finito, com grau de aproximação qualquer e sobre o qual se mapeia, por meio de funções de forma usuais, o contínuo a partir das posições (configuração inicial e atual) de pontos nodais, tendo o espaço adimensional como base para o mapeamento numérico, conforme Figura 1.

Figura 1 - Configurações inicial e atual, mapeadas a partir de um mesmo espaço adimensional.

f

1f

( referência )

(-1,-1) (1,-1)

(-1,1) (1 1

1ξ

2ξ

(atual)

0f

Estudo e desenvolvimento de código computacional baseado no método dos elementos...


39

De acordo com a eq (1) podem-se criar dois mapeamentos 0f e 1f de ( 1ξ , 2ξ )

para a configuração inicial e final do corpo respectivamente.

Assim se escreve:

01 1 01 2 11 1 11 20 1

02 1 02 2 12 1 12 2

f f f fA A

f f f fξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦

(1)

sendo que em ijf , j representa a direção x ou y e i representa o mapeamento 0

ou 1. Deve-se observar que:

1 2( , )k kij ijf Xφ ξ ξ= (2)

1 1

kij k

ij

fXφ

ξ ξ∂ ∂

=∂ ∂

(3)

2 2

kij k

ij

fXφ

ξ ξ∂ ∂

=∂ ∂

(4)

tal que φ representa as funções de forma do elemento finito referentes ao nó k .

Assim, o gradiente da mudança de configuração total f , parametrizado por valores nodais e funções de forma, fica dado por:

11 1 2 0 1 2( , ) ( , )A A Aξ ξ ξ ξ−= (5)

Na implementação do código computacional utiliza-se um elemento finito triangular com aproximação cúbica, denominado elemento QST (ASSAN (1999)), conforme apresentado na Figura 2.

Figura 2 - Elemento triangular com 10 nós.

1ξ

2ξ

1 4 5 2

6

7

3

8

9 13 1 21ξ ξ ξ= − −



40

De posse dos valores das derivadas das funções de forma nodais determinam-se os gradientes da função mudança de configuração das posições inicial e atual, e posteriormente através da eq (5) o gradiente de f parametrizado por valores nodais e funções de forma. O conhecimento das expressões referentes às deformações não lineares longitudinais e de distorção é de extrema importância para o entendimento da formulação não linear geométrica adotada. As mesmas são apresentadas em função do gradiente da função mudança de configuração e consequentemente dos parâmetros 1ξ e 2ξ .

A deformação longitudinal de engenharia em relação à configuração de referência na direção u pode ser definida como:

( ){ }12( , ) 1t tdy dx

u u A Audx

ε ξ−

= = − (6)

Para se considerar a deformação xε , faz-se { }1 0u = , enquanto que na

deformação yε tem-se { }0 1u = .

Observa-se que esta medida é não linear, pois o vetor ur não é paralelo ao vetor vr .

De posse da expressão que define o ângulo θ , e fazendo com que u e 'u sejam ortogonais (logo 2πΘ = ), calcula-se a distorção de engenharia:

( )( ) ( )

'

'os

2 2

t

xy

u A Auarc

u uπ πγ θ

λ λ

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(7)

sendo u e 'u dois vetores perpendiculares.

A deformação xyε é dada por:

2xy

xy

γε = (8)

Deve-se contar que esta medida de deformação é objetiva, segundo OGDEN (1984).

2.1 Potencial de energia total

O funcional de energia potencial total pode ser escrito através de quatro tipos de energia, conforme eq (9):

eU P K Q∏ = − + + (9)

sendo que eU , P , K e Q representam a energia de deformação, energia potencial, energia cinética e energia de dissipação (ou perda de energia por amortecimento, GRECO (2004)), respectivamente.



41

A energia de deformação é fornecida através da integral da energia de deformação específica ( eu ) em relação às posições e considerando o volume inicial.

0

0e eV

U u dV= ∫ (10)

A energia potencial para um sistema de forças concentradas conservativo é escrita como:

i iP F X= − (11)

sendo iF as forças aplicadas e iX as coordenadas onde as cargas estão atuando. O índice i é referente ao grau de liberdade na qual força e posição estão associados. Neste estudo são consideradas apenas cargas concentradas. A energia cinética é dada por:

0

0 012 i i

V

K x x dVρ= ∫ & & (12)

na qual os termos ix& e 0ρ representam as velocidades e a densidade de massa, respectivamente. O termo de energia que representa a perda por amortecimento é escrito já diferenciado em relação às posições nodais como:

0 0

0 0 0m ii iV V

Q q dV x dVX X

λ ρ∂ ∂= =

∂ ∂∫ ∫ & (13)

tal que q representa o funcional de energia específica dissipativa e mλ é a constante de amortecimento proporcional. Substituindo as eqs (10)-(13) na eq (9) tem-se que:

0 0

0 0 012e i i i i

V V

u dV F X x x dV Qρ∏ = − + +∫ ∫ & & (14)

Aplicando-se o teorema da mínima energia potencial estacionária, na eq (14), em relação à posição nodal k

sX , sendo k o nó e i a direção, tem-se:

0 0

0

0 0 0

0 0

( , ) ( , )

( , ) 0

∂∂∏= − + +

∂ ∂

=

∫ ∫

∫

&&

&

k l le is s z z ik k

s sV V

k l lm s z z i

V

u X dV F X X dVX X

X X dV

ξ φ ρ φ ξ

λ φ ρ φ ξ (15)

simplificando a eq (15), encontra-se:

0einerc amort ext

s

Ug F F FX∂

= + + − =∂

(16)



42

tal que as variáveis ∂ ∂e sU X , inercF , amortF e extF representam o vetor de forças internas, o vetor de força inerciais, o vetor de forças referentes ao amortecimento e o vetor de forças externas respectivamente. A matriz de massa para cada elemento finito é definida como:

0

0 0= ∫ k ls z

V

M dVφ ρ φ (17)

A equação de equilíbrio dinâmico pode ser escrita da seguinte forma:

0eext i i

i

Ug F MX CXX

∂= − + + =∂

&& & (18)

2.2 Funcional de energia aproximado – Newmark

A eq (18) é diferencial nas variáveis posição ( X ) e tempo ( t ), necessitando assim da utilização de um algoritmo de integração do tipo Newmark de forma a integrá-la no tempo. Assim, escreve-se a eq (18) para um instante de tempo atual (S+1) como:

1 1 11 1

0eS S S

S S S

U F MX CXX X + + +

+ +

∂∂∏= − + + =

∂ ∂&& & (19)

Na eq (19) o vetor de forças internas é calculado de forma idêntica ao problema estático. O vetor de forças externas (carregamentos nodais) é definido aqui para cada passo de tempo através da seguinte expressão:

102 31 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9( ) cos( ) C t

SF F C C t C t C t C sen C t C C t C e+ ⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦ (20)

na qual as constantes iC são dados de entrada do programa e indicam o tipo de força aplicada no instante de tempo t .

Aplicam-se na equação de equilíbrio, para um instante de tempo atual, as expressões de Newmark de posição e de velocidade aproximadas, dadas por:

21 1

12S S s S SX X tX t X Xβ β+ +

⎡ ⎤⎛ ⎞= + Δ + Δ − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦& && && (21)

1 1(1 )S S S SX X t X tXγ γ+ += + Δ − + Δ& & && && (22)

sendo β e γ constantes referentes ao método de Newmark (GRECO, 2004) e tΔ o intervalo de tempo. Nas eqs. (21) e (22), pode-se isolar a aceleração do passo de tempo atual e posteriormente substituir na equação dinâmica de equilíbrio (eq(19)), resultando em:



43

1 1 1 121 1

( )

0

tS S S S S S

S S

S

U M Cg X F X MQ CR XX X t t

tCQ

γβ β

γ

+ + + ++ +

∂∂Π= = − + − + +∂ ∂ Δ Δ

− Δ = (23)

tal que os vetores SQ e SR representam as contribuições dinâmicas relativas ao passado (passo S ) e são dadas por:

2

1 12

S SS S

X XQ Xt tβ β β

⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟Δ Δ ⎝ ⎠

&&& (24)

(1 )S S SR X t Xγ= + Δ −& && (25)

Derivando-se a eq (19) novamente em relação à posição atual chega-se a matriz hessiana para o problema dinâmico.

( )22

02 2 2

1

1t m

S

Ug X MX X t t

γλβ β

+

⎛ ⎞∂∂ ∏= ∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ Δ Δ⎝ ⎠

(26)

sendo o primeiro termo 2

21

t

S

UX

+

∂∂

idêntico ao determinado no capítulo destinado a

formulação não linear geométrica estática.

2.3 Formulação numérica

Da mesma forma que no caso estático, a equação que rege o equilíbrio dinâmico da estrutura, segundo a presente formulação, também é de caráter não linear e é satisfeita pela configuração de equilíbrio da mesma. Para encontrar a configuração de equilíbrio, expande-se a eq (23) em série de Taylor, truncada em termos lineares, chegando-se a:

( ) ( )0 00 ( )g X g X g X X= ≅ +∇ Δ (27)

A eq (27) pode ser trabalhada de forma a melhor se adequar ao método de Newton-Raphson, como mostrado abaixo:

( ) ( )0 0g X X g X∇ Δ = − (28)

O vetor de resíduos é obtido a partir da eq (23), fazendo-se 0X idêntico à

última posição de equilíbrio conhecida 0 01sX X += . Para o início do intervalo de tempo

01s sX X+ = .



44

( )01 1 12

1

0tS S S S S S

S

U M Cg X F X MQ CR X tCQX t t

γ γβ β+ + +

+

∂= − + − + + − Δ =∂ Δ Δ

(29)

A partir da resolução do sistema apresentado na eq (28) chegam-se as correções das posições XΔ . Durante o processo iterativo, devem ser feitas correções nas posições 1SX + e nas acelerações 1SX +

&& :

1S SX X X+ = + Δ (30)

11 2

SS S

XX Qtβ+

+ = −Δ

&& (31)

Logo após as correções de posição e aceleração, calculam-se as velocidades pela eq (22). De posse do vetor XΔ , verifica-se se o mesmo é suficientemente pequeno dentro de determinada tolerância. Para isso, utiliza-se uma expressão denominada critério de convergência, que para este trabalho foi adotada a eq (32).

0

Δ= ≤

Xerro TOL

X (32)

sendo que ⋅ é a norma euclidiana.

Estando o critério de convergência satisfeito, muda-se para um novo passo de tempo. Para este novo passo os valores de passado ( )S assumem os valores recém calculados ( 1)S + .

É importante ressaltar que, antes de dar início ao processo iterativo assumem-se valores iniciais para as variáveis posição, velocidade e aceleração. Em se tratando de posição é conveniente considerar as posições tanto de passado ( )S como de presente ( 1)S + iguais à posição inicial do corpo. No caso da velocidade e aceleração de passado, estas podem ser assumidas como nulas ou então considerar uma velocidade inicial do corpo, onde a partir desta e através da eq (33) calcula-se a sua respectiva aceleração inicial.

10 0 0

0

tUX M F CXX

− ⎡ ⎤∂= − −⎢ ⎥∂⎣ ⎦

&& & (33)

Para casos dinâmicos, sem impacto, adota-se o Método da Aceleração Média (ou da Regra Trapezoidal) por ser um método reconhecidamente eficiente na solução dinâmica de estruturas convencionais (sem ocorrência de impacto). Porém, de acordo com TAYLOR & PAPADOPOULOS (1993), o mesmo não apresenta a mesma eficiência em problemas com ocorrência de impacto, especialmente em problemas com existência de altas freqüências. Estes casos serão comentados na seção seguinte.



45

2.4 Impacto de estruturas contra anteparos rígidos

Nesta seção apresenta-se o esquema adotado para a consideração do impacto na implementação computacional. Conforme já afirmado anteriormente, neste trabalho será considerado o impacto, sem atrito, entre sólidos bidimensionais e anteparos rígidos. O esquema de impacto adotado, baseado em GRECO (2004), consiste na limitação de posições dos nós impactantes da estrutura. De forma geral, considera-se o caso da Figura 3, onde a estrutura projétil encontra-se cercada pelos anteparos I, II, III, IV. Na situação de impacto, deve-se fazer a limitação das posições dos nós da estrutura projétil que satisfazem a condição para o impacto (eq (34)), fazendo com que as coordenadas ortogonais aos anteparos dos nós sejam igualadas as coordenadas do anteparo rígido. Portanto para os nós que sofrerem impacto deve-se fazer:

= ANTEPARONÓY Y (34)

sendo Y coordenadas horizontais ou verticais atuais do corpo.

Aplicando-se a metodologia adotada, na Tabela 1 encontram-se as condições para que ocorra impacto nos anteparos I, II, III e IV e as respectivas correções nas posições dos nós impactantes. Deve-se comentar que neste procedimento, ao se corrigir as posições nos nós de impacto o cálculo das forças internas é feito como anteriormente descrito, resultando em um desbalanceamento de forças intext contF F F− = , que de forma indireta simula a técnica do multiplicador de Lagrange descrita em GRECO (2004) e GRECO et al (2004). Tabela 1 - Condições para existência de impacto, e respectivas restrições.

ANTEPARO CONDIÇÃO LIMITAÇÃO I INÓ ANT

X X< INÓ ANTX X=

II IINÓ ANTY Y> IINÓ ANT

Y Y=

III IIINÓ ANTX X> IIINÓ ANT

X X=

IV IVNÓ ANTY Y< IVNÓ ANT

Y Y=



46

Figura 3 - Impacto entre uma estrutura e um anteparo rígido.

Na Tabela 1, X representa direção horizontal e Y a vertical. Para se corrigir a instabilidade numérica gerada em problemas envolvendo impacto pode ser encontrada em HU (1997). No mesmo foi apresentado um algoritmo de integração temporal que tem como base partir de uma hipótese relacionada com as acelerações que se desenvolvem na região de contato durante o impacto. O artigo propõe um algoritmo que se enquadre na família de Newmark, que conforme determinado em GRECO (2004) corresponde ao algoritmo clássico com 1,5γ = e

1,0β = .

3 EXEMPLOS DINÂMICOS COM OU SEM IMPACTO

Nesta seção analisam-se exemplos de validação para o programa não linear geométrico dinâmico implementado, com ou sem consideração de impacto, e cuja formulação encontra-se na seção 2. Para a visualização dos resultados obtidos, através da formulação numérica posicional, utiliza-se o pós-processador do GMEC (Grupo de Mecânica Computacional) desenvolvido em PACCOLA & CODA (2005).

3.1 Exemplo 1 – conjunto biela – manivela

No primeiro exemplo dinâmico, verifica-se a eficiência do programa na análise de um conjunto biela-manivela (Figura 4). Este exemplo foi baseado em CODA et al (2005).

AN

TEP

AR

O I

x

ESTRUTURA PROJÉTIL

NÓ

ANTEPARO II

ANTEPARO IV

AN

TEP

AR

OIII

Y



47

Figura 4 - Esquema do conjunto biela-manivela.

Na Figura 14, o ponto A representa um nó pertencente simultaneamente à biela e a manivela enquanto que o ponto B representa o centro de giro do conjunto. A manivela é composta por um retângulo com dimensões MH e ML e por duas semi-circunferências nas extremidades. Os pontos A e B ficam localizados no centro de cada extremidade (menores lados) do retângulo.

Na análise, o conjunto biela-manivela foi discretizado em 381 elementos e foram utilizados 6000 passos.

A força 2 2100010 . /=F kg cm s encontra-se aplicada durante o tempo em que a manivela permanece próxima à posição de máximo aproveitamento de força, ou seja, quando a biela forma um ângulo de 90 graus em relação à manivela ou quando a biela está se afastando do pistão. Quadro 1 - Condições para aplicação da carga F .

14,10 5,10CX− < <

0CX ≥& Os parâmetros do integrador de Newmark adotados foram 0,55γ = e

0,30β = .

No Quadro 1, apresentam-se as condições em que a força F encontra-se aplicada, considerando-se o sistema de eixos (fixo) adotado na Figura 15. Os dados de entrada para o problema são apresentados no Quadro 2.

BH

F

ML

2R

BLA

B

BIELA

MANIVELA

MH

1R



48

Quadro 2 - Dados de entrada do exemplo 1. 9 22,110 /E kg cm s= ⋅

14,4BL cm= 2BH cm=

1Bh cm= (espessura) 10,0ML cm=

1 22 2 9MH R R cm= = = 1mh cm= (espessura)

1 4,5R cm=

2 4,5R cm= 30,00790 kg/cmρ =

15mc s−= 0,00025t sΔ =

0ν = (coeficiente de Poisson)

No Quadro 1, CX representa a posição horizontal do ponto de aplicação da carga F . No exemplo é investigado o comportamento da velocidade angular do centro de giro do conjunto. Na Figura 5 encontra-se a solução numérica obtida com a utilização da formulação numérica posicional dinâmica do deslocamento angular do centro de giro em função do tempo. Na Figura 6 encontram-se as configurações deslocadas do conjunto biela-manivela para alguns valores de tempo.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

0

100

200

300

400

500

velo

cida

de a

ngul

ar (r

ad/s

)

t (s)

Figura 5 - Tempo x deslocamento do grau de liberdade vertical.



49

LEGENDA DESLOC.

HORIZONTAL CONF. DESLOCADA PARA

LEGENDA DESL. HORIZONTAL CONF.DESLOCADA PARA

LEGENDA DESL. VERTICAL LEGENDA DESLOC. VERTICAL

0,0125t s=

0,025t s=

0,0325t s=

Figura 6 - Tempo x deslocamento do grau de liberdade vertical.

3.2 Exemplo 2 - impacto de anel e anteparo rígido

Como segundo exemplo de impacto, analisa-se o caso do impacto entre uma malha anelar e um anteparo rígido horizontal (Figura 7). A estrutura se movimenta seguindo uma trajetória inclinada em relação ao anteparo e com velocidade constante. Este exemplo foi baseado em GRECO (2004). Neste exemplo, as variáveis são consideradas adimensionais. Os dados de entrada para o problema são apresentados no Quadro 3.

Na análise, a estrutura anelar foi discretizada em 80 elementos finitos e foi adotado um intervalo de tempo igual a 0,05tΔ = .

Na Figura 8 apresenta-se a configuração deslocada da estrutura anelar para o caso sem atrito.



50

Figura 7 - Esquema do impacto de anel e anteparo rígido.

LEG. DESLOC. HORIZONTAL CONF. DESLOCADA HORIZONTAL CONF. DESLOCADA VERTICAL LEG. DESLOC.

VERTICAL 5t s= 5t s=

10t s= 10t s=

20t s= 20t s=

Figura 8 - Configuração deslocada da estrutura anelar.

Quadro 3 - Dados de entrada do exemplo 2.

100,0E = 20extD =

int 18D = 1b = (espessura)

0,01ρ = 10mc s−=

0ν = (coeficiente de Poisson)

extD 1 2X =&

2 2X =& intD



51

3.3 Exemplo 10 – impacto de um disco e anteparo rígido

Como segundo exemplo de impacto, analisa-se o caso do impacto entre um disco e um anteparo rígido horizontal (Figura 9). A estrutura se movimenta seguindo uma trajetória inclinada em relação ao anteparo e com velocidade constante.

Figura 9 - Esquema do impacto do disco e anteparo rígido.

LEGENDA DESLOC.

HORIZONTAL

CONF. DESLOCADA PARA LEGENDA HORIZONTAL

CONF. DESLOCADA PARA LEGENDA VERTICAL

LEGENDA DESLOC. VERTICAL

5t s= 5t s=

7,5t s= 7,5t s=

15t s= 15t s=

Figura 10 - Configuração deslocada do disco.

D1 4X =&

2 4X =&



52

Os dados de entrada para o problema são apresentados no Quadro 4. Quadro 4 - Dados de entrada do exemplo 3.

100,0E = 20D =

1b = (espessura) 0,01ρ =

10mc s−= 0,3ν = (coeficiente de Poisson)

Na análise, o disco foi discretizada em 138 elementos finitos e foi adotado um

intervalo de tempo igual a 0,05tΔ = .

Na Figura 10 apresenta-se a configuração deslocada do disco para o caso sem atrito e com coeficiente de Poisson 0,3=ν .

4 CONCLUSÕES

Neste trabalho apresenta-se uma formulação dinâmica não linear geométrica para o estudo do comportamento dinâmico não linear geométrico de sólidos bidimensionais. Para a consideração do comportamento não linear geométrico, apresenta-se e aprimora-se uma formulação posicional estática, desenvolvida em CODA (2003), para o tratamento de sólidos bidimensionais considerando-se grandes deslocamentos. Expande-se a formulação NLG posicional para o caso dinâmico com a incorporação, no código computacional, de um algoritmo de integração temporal baseado na família de integradores temporais de Newmark. A adoção do algoritmo de integração temporal da Regra Trapezoidal se restringe a problemas envolvendo estruturas convencionais (sem consideração de impacto). Para o caso do exemplo da biela- manivela não se adota, para a consideração do problema dinâmico, o algoritmo da Regra Trapezoidal e sim um algoritmo da família Newmark modificado através dos parâmetros 0,55γ = e 0,30β = . Os parâmetros adotados neste exemplo são justificados em CODA et al (2005) por obter resultados mais estáveis e precisos na análise de máquinas em alta rotação. É importante enfatizar que para estruturas com comportamento dinâmico não convencionais (com consideração de impacto), a utilização do algoritmo de integração temporal da regra trapezoidal pode gerar respostas instáveis. Estas instabilidades na solução desaparecem quando o algoritmo de Newmark clássico ( 0,5γ = e 0,25β = ) é substituído pelo HU (1997) obtido a partir do algoritmo de Nermark modificado por GRECO (2004) ( 1,5γ = e 1,0β = ).



53

A inclusão do impacto é realizada através de um esquema simplificado, baseado em GRECO (2004), que consiste na limitação de posições dos nós impactantes da estrutura. Um ponto importante para o esquema de impacto implementado é que para alguns exemplos é importante a consideração de tΔ pequeno, pois quando não são podem fazer com que exista um amortecimento numérico indesejável que pode resultar em erro de fase. Este fenômeno pode ser explicado pelo fato do algoritmo de Newmark modificado ou de HU (1997) ser classificado em incondicionalmente estável, para qualquer tΔ existe resposta, e em convergente, quanto menor tΔ a resposta converge para a resposta esperada. Com a inclusão do impacto no código computacional não linear geométrico dinâmico, o mesmo passa a ter a capacidade de analisar o impacto, sem atrito, entre sólidos bidimensionais e anteparos rígidos. O código não linear geométrico com impacto é testado através de exemplos existentes na literatura consultada, apresentando resultados muito bons quando comparados com a mesma ou com suas respectivas soluções analíticas. A formulação pode ser futuramente extendida para análises mais complexas, como impacto entre estruturas e cascas.

5 REFERÊNCIAS

ASSAN, A. E. (2003). Método dos Elementos Finitos: primeiros passos. 2. ed. Campinas: Editora UNICAMP.

CODA, H. B. (2003). Análise não linear geométrica de sólidos e estruturas: uma formulação posicional baseada no MEF. (Texto complementar para concurso de professor titular, SET-EESC-USP)

CODA, H. B.; OLIVEIRA, M. G; PACCOLA, R. R. (2005). Simulação de motor a combustão utilizando formulação não linear geométrica. In: CONGRESSO LATINO-AMERICANO DE MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA, 26., Guarapari, Espírito Santo, 2005.

GRECO, M. (2004). Análise de problemas de contato/impacto em estruturas de comportamento não linear pelo Método dos Elementos Finitos. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

HU, N. (1997). A solution method for dynamic contact problems. Computer & structures, v. 63, p.1053-1063.

MARQUES, G. C. S. C. (2006). Estudo e desenvolvimento de código computacional baseado no MEF para análise dinâmica não linear geométrica de sólidos bidimensionais. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

PACCOLA, R. R.; CODA, H. B. (2005). Desenvolvimento e disponibilização de softwares acadêmicos de análise estrutural baseados no MEF, MEC e combinação de ambos. Relatório Científico FAPESP, USP, São Carlos, São Paulo.



54

TAYLOR, R.L; PAPADOPOULOS, P. (1993). On the finite element method for dynamic contact/impact problems. International journal for numerical methods in engineering, v.36, p.2123-2140.

6 AGRADECIMENTOS

À CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – pelo suporte financeiro.

ISSN 1809-5860


MODELAGEM NUMÉRICA DE VIGAS MISTAS AÇO-CONCRETO SIMPLESMENTE APOIADAS:

ÊNFASE AO ESTUDO DA INTERFACE LAJE-VIGA Tatianne Iamin Kotinda1 & Jorge Munaiar Neto 2

R e s u m o

Largamente utilizadas nas obras de engenharia civil, as vigas mistas de aço e concreto surgem como conseqüência natural da utilização de vigas de aço sob lajes de concreto, proporcionando um melhor aproveitamento das características de cada material constituinte. Para que se comporte como um elemento misto, é necessário haver um trabalho conjunto entre laje e viga, razão pela qual são utilizados elementos metálicos denominados conectores de cisalhamento, que visam restringir o escorregamento longitudinal e o descolamento vertical na interface. Tendo em vista os aspectos mencionados, são apresentados neste trabalho modelos numéricos tridimensionais de vigas mistas de aço e concreto com vistas a simular o seu comportamento estrutural, principalmente no referente à interface entre viga e laje, respectivamente. Os modelos são constituídos por vigas mistas simplesmente apoiadas com laje de faces planas e conectores de cisalhamento do tipo pino com cabeça. As simulações foram realizadas por meio do código de cálculo ANSYS versão 8.0, que tem como base o Método dos Elementos Finitos. Os resultados obtidos foram comparados com valores experimentais, extraídos de trabalhos apresentados por outros pesquisadores. Palavras-chave: estruturas de aço; estruturas mistas de aço e concreto; vigas mistas de aço e concreto; análise numérica, análise não-linear.

1 INTRODUÇÃO

Segundo Viest (1960), as primeiras vigas mistas de aço e concreto estudadas eram constituídas por perfil de aço embutido no concreto, cuja interação se dava pela força de adesão natural entre ambos os materiais. Gradualmente, este sistema foi sendo substituído por laje de concreto apoiada sobre a mesa superior da viga de aço, de modo que estudos relacionados à conexão mecânica entre os dois materiais se tornaram mais freqüentes. Na década de 60, predominaram os trabalhos de caráter experimental. Com o desenvolvimento dos microcomputadores, trabalhos com vistas a análises numéricas foram se tornando mais freqüentes, geralmente assumindo como ponto de partida a

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Tatianne Iamim Kotinda & Jorge Munaiar Neto


56

utilização de elementos finitos especialmente desenvolvidos para a simulação do comportamento das vigas mistas de aço e concreto. Atualmente, se percebe um direcionamento para o uso de elementos finitos pré-estabelecidos, disponibilizados em pacotes (códigos computacionais), para fins de pesquisa. Em geral, os trabalhos nesse tema têm utilizado uma estratégia de modelagem na qual a ligação entre laje e viga é realizada por meio de elementos do tipo mola. Essa estratégia, apesar de representar bem o comportamento global da viga mista, impossibilita análises localizadas, além de exigir o conhecimento prévio da relação entre força no conector e deslizamento relativo entre laje e viga, obtida experimentalmente por meio de ensaios denominados “Push-out”. O trabalho em questão teve como objetivo desenvolver uma estratégia de modelagem que permita simular satisfatoriamente o comportamento estrutural de vigas mistas de aço e concreto, com vistas principalmente à representação da interface entre laje de concreto e viga de aço. Para tanto se utilizou o pacote comercial ANSYS versão 8.0, que tem como base o método dos elementos finitos. Optou-se pela utilização de elementos finitos de viga para representação dos conectores de cisalhamento, dispensando assim o uso de parâmetros obtidos experimentalmente, e possibilitando a análise de aspectos localizados como a transferência de esforços na interface. Foram modeladas vigas mistas de aço e concreto simplesmente apoiadas, constituída por laje de faces planas, com conectores de cisalhamento do tipo pino com cabeça, submetidas a carregamento concentrado e uniformemente distribuído. A análise experimental dessas vigas é apresentada em Chapman e Balakrishnan (1964), cujos resultados foram utilizados como base para validação dos modelos numéricos desenvolvidos no presente trabalho.

2 ESTUDO DO COMPORTAMENTO DA INTERFACE ENTRE LAJE E VIGA A figura 1 ilustra a configuração deformada de uma viga mista aço-concreto simplesmente apoiada sob o efeito de cargas gravitacionais.

Figura 1 - Configuração deformada de uma viga mista simplesmente apoiada sob ação de

cargas gravitacionais. (Fonte: adaptada de Oehlers e Bradford (1995)). Nota-se que a fibra de concreto adjacente à interface entre o aço e o concreto tende a se expandir, enquanto a fibra de aço adjacente à mesma interface tende a se

Modelagem numérica de vigas mistas aço-concreto simplesmente apoiadas: ênfase ao...


57

contrair. Essa deformação relativa faz com que os conectores se deformem, aplicando uma força sobre o concreto em direção ao meio do vão. A situação descrita corresponde a uma viga mista de aço e concreto com interação parcial. Considere agora uma outra viga mista, cuja interface não promova a ação de forças restringindo a deformação relativa entre laje de concreto e viga de aço (interface sem conectores e com graxa por exemplo). Nesse caso, tem-se interação nula, em que ambos os elementos trabalham de forma independente, cada um resistindo a uma parcela dos esforços de flexão. Num outro extremo tem-se interação total, em que a deformação relativa na interface é totalmente impedida, possibilitando aos elementos viga de aço e laje de concreto resistir aos esforços de flexão de forma conjunta, como um único elemento. A figura 2, extraída de Queiroz, Pimenta e da Mata (2001), ilustra a distribuição de deformações para os casos de interação nula, total e parcial.

(a) interação nula (b) interação total (c) interação parcial

Figura 2 - Ação do conector de cisalhamento tipo pino com cabeça. A ação do conector sobre a laje de concreto é ilustrada em detalhe na figura 3, adaptada de Oehlers e Bradford (1995). Como mencionado na última referência, a ação do conector de cisalhamento gera uma zona de concreto comprimido, confinado pela viga de aço, conector de cisalhamento e concreto circundante.

zona de falha do aço

concreto comprimido e confinado

Figura 3 - Ação do conector de cisalhamento tipo pino com cabeça.



58

A força resultante na região de confinamento, equilibra a força imposta pelo movimento relativo entre laje e viga na interface, conforme ilustrado na figura 3. Para garantir o equilíbrio rotacional, surge um momento na base do conector, uma vez que o pino pode ser considerado engastado na mesa do perfil metálico. O conector fica então submetido a esforços de cisalhamento e de flexão, gerando uma possível zona de falha na ligação entre o pino e a mesa do perfil.

3 ASPECTOS DA MODELAGEM NUMÉRICA

3.1 Elementos finitos utilizados

Os modelos numéricos desenvolvidos foram elaborados com base em elementos pré-definidos, disponibilizados na biblioteca interna do ANSYS, e serão apresentados a seguir. A escolha dos elementos foi feita levando-se em consideração aspectos como número de graus de liberdade, esforço computacional e, principalmente, representatividade perante o comportamento a ser simulado.

3.1.1 Elemento solid65 O elemento solid65, esquematizado na figura 4a, foi utilizado na discretização da laje de concreto. Possui oito nós, cada nó com três graus de liberdade, no caso, as translações segundo os eixos x, y e z. É capaz de simular fissuração na tração e esmagamento na compressão. As armaduras podem ser incluídas sob a forma de taxas, orientadas segundo os ângulos φ e θ (figura 4a). Tanto o elemento em si quanto a armadura permitem a consideração da não linearidade dos materiais.

3.1.2 Elemento shell43 O elemento shell43, ilustrado na figura 4b, foi utilizado para discretizar o perfil de aço. Trata-se de um elemento plano com quatro nós e seis graus de liberdade por nó, no caso, três translações e três rotações. Possui deformação linear no plano em que está contido, bem como permite a consideração de não-linearidade do material, além de outras características não utilizadas nesta análise.

3.1.3 Elemento beam189 O elemento beam189 (figura 4c) foi utilizado na modelagem dos conectores de cisalhamento. Trata-se de um elemento de viga, com três nós (I, J e K) e seis graus de liberdade por nó, o que inclui as translações e as rotações. O elemento responde a esforços de flexão, possibilita a consideração da não linearidade do material e permite configurar a forma da seção transversal, neste caso, circular. A orientação local do elemento em questão se dá com o eixo x partindo do nó I em direção ao nó J, conforme figura 4c, enquanto os eixos y e z são definidos com o auxílio de um nó adicional (nó L, figura 4c). Vale salientar que testes realizados demonstraram que a orientação dos eixos locais y e z desse elemento interferem na estabilidade numérica dos modelos.



59

3.1.4 Elementos conta173 e targe170 Os elementos conta173 e targe170 (figura 4d) foram utilizados para representar o contato existente na interface entre laje de concreto e viga de aço. Tais elementos são utilizados em análises tridimensionais com contato do tipo superfície-superfície. São capazes de simular a existência de pressão entre os elementos quando há contato, e a separação entre os mesmo elementos quando não há contato. Permitem ainda a consideração de atrito e coesão (adesão) entre as partes.

(a) solid65 (b) shell43

(c) beam189 (d) conta173 e targe170

Figura 4 - Elementos finitos utilizados na modelagem numérica.

3.2 Definição da malha de elementos finitos

Os modelos desenvolvidos são constituídos por quatro conjuntos de elementos, no caso, a laje de concreto, a viga de aço, os conectores de cisalhamento e o par de contato na interface laje-viga, conforme esquematiza a figura 5. No grupo referente à laje de concreto, estão incluídas armaduras, inseridas sob a forma de taxa nos elementos pertencentes às faces inferior e superior da laje. Cada conjunto foi discretizado separadamente, porém, de forma a coincidir os nós de cada elemento na interface, possibilitando o acoplamento entre tais conjuntos, realizado por meio destes mesmos nós. O grau de refinamento da malha foi adotado



60

levando-se em consideração o esforço computacional e a confiabilidade do resultado, além da coincidência de nós entre grupos de elementos. A fim de reduzir o número de elementos e, conseqüentemente, o esforço computacional, fez-se uso da simetria, modelando-se apenas a metade correspondente ao lado esquerdo da viga. Vale mencionar que os resultados obtidos utilizando-se a condição de simetria foram satisfatórios quando comparados àqueles referentes ao mesmo modelo, porém, analisado sem a simetria (completo).

Figura 5 - Grupos de elementos finitos (metade simétrica simulada): (a) laje de concreto, (b)

conectores de cisalhamento, (c) viga de aço e (d) par de contato.

3.3 Acoplamentos e vinculações – considerações de interesse

A condição de simetria, disponibilizada pelo ANSYS, foi aplicada aos nós pertencentes à seção central da viga mista, segundo o plano que contém esta mesma seção, detalhe (a) da figura 6. Como mencionado no item 3.2, a utilização da simetria teve como objetivo minimizar o esforço computacional, reduzindo o tempo de processamento do modelo.



61

Figura 6 - Vinculações: Detalhe (a) simetria e Detalhe (b) apoio móvel.

Nos nós correspondentes ao apoio foram restringidos todos os graus de liberdade exceto a translação em x e a rotação em z, com vistas a reproduzir um apoio do tipo móvel, conforme detalhe (b) da figura 6. Os grupos de elementos finitos, como já mencionado, foram acoplados entre si por meio dos nós coincidentes, de acordo com a figura 6, seguindo os procedimentos descritos a seguir: • Perfil / Conectores - o nó da base de cada conector foi acoplado ao nó correspondente da mesa superior do perfil, compatibilizando-se todos os graus de liberdade (rotações e translações), caracterizando o engastamento do pino na viga; • Laje / Conectores - foram compatibilizadas, por meio dos nós (exceto o da base do conector, já acoplado ao perfil), as translações referentes aos eixos x e z. Adicionalmente, o nó logo abaixo da cabeça do pino foi acoplado segundo a direção y, a fim de representar a ancoragem mecânica existente nessa região; • Perfil / Laje - o contato existente entre laje de concreto e viga de aço foi estabelecido por meio dos elementos conta173, ligado à mesa superior do perfil e targe170, ligado à face inferior da laje. Informações mais detalhadas sobre as características estabelecidas para o contato são apresentas no item 3.6.



62

Figura 7 - Acoplamento entre grupos de elementos.

3.4 Considerações sobre a aplicação do carregamento

A simulação numérica foi dividida em duas etapas. Na primeira, foi considerado apenas o peso próprio da estrutura, definindo para tanto um valor para o peso específico de cada material (tabela 1) e impondo uma ação gravitacional. Na segunda etapa foi aplicada a carga externa, ou concentrada no meio do vão ou uniformemente distribuída entre apoios, dependendo do modelo. Em ambos os casos, a carga foi aplicada por meio de forças nos nós da face superior da laje de concreto, conforme ilustrado na figura 8. Vale salientar que a influência do peso próprio sobre as vigas analisadas é desprezível quando comparada à carga aplicada, tendo sido levado em consideração visando apenas estabilizar o contado na interface por meio da ação do peso da laje de concreto sobre a viga de aço. Os deslocamentos verticais ocorridos em função do peso próprio foram desprezados, sendo os resultados tomados a partir da aplicação do carregamento.

(a) (b)

Figura 8 - Carregamentos aplicados: (a) carga concentrada no meio do vão e (b) carga uniformemente distribuída entre apoios.

Perfil / Conectores: - ux, uy, uz - rotx, roty, rotz

Laje / Conectores: -ux, uz

Laje / Conectores: -ux, uy, uz

Perfil / Laje: -contato



63

Tabela 1 - Peso específico dos materiais. Material Peso específico (kN/m3) Concreto 24

Aço do Perfil 77 Aço dos Conectores 77

Aço da Armadura 77

3.5 Relações constitutivas utilizadas

Para o perfil de aço foi adotado um modelo constitutivo elasto-plástico multilinear com encruamento isótropo e critério de plastificação de von Mises. A curva tensão-deformação adotada, ilustrada na figura 9a, segue o modelo constitutivo apresentado em Gattesco (1999). Trata-se de um modelo elástico-linear até a tensão de escoamento (fy), perfeitamente plástico entre o limite de deformação elástica (εy) e a deformação de início de encruamento (εh) e, finalmente, descrito pela equação 1, deste último ponto até a tensão de ruptura (fu).

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−ε−ε

−ε−ε+=σyu

hhhhy ff4

E1Ef , com 2h cm/kN350E = (1)

Para os conectores de cisalhamento adotou-se um modelo bi-linear com encruamento isótropo, com base no critério de von Mises, conforme esquematiza a figura 9b. Também para o aço da armadura utilizou-se o critério de von Mises, com curva tensão-deformação com base em um modelo elasto-plástico perfeito, conforme esquematiza a figura 9c. Cabe mencionar que, a fim de evitar problemas numéricos, foi considerada uma pequena inclinação (E/1000) para o segundo trecho da curva da figura 9c. O comportamento do concreto, no referente à tração, foi representado por meio do modelo concrete disponibilizado pelo ANSYS, que tem como base o modelo de Willan-Warnke e permite simular a fissuração do concreto quando submetido a tensões de tração. Os parâmetros necessários para utilização deste modelo são apresentados na tabela 2. Maiores informações sobre o modelo concrete podem ser encontradas na documentação do ANSYS versão 8.0.



64

Tabela 2 - Parâmetros do modelo CONCRETE disponibilizado pelo ANSYS.

Descrição dos ParâmetrosCoeficiente de transferência de cisalhamento para fissura aberta

Coeficiente de transferência de cisalhamento para fissura fechada Resistência última uniaxial à tração (ft)

Resistência última uniaxial à compressão (fc) Resistência última biaxial à compressão (fcb)

Estado de tensão hidrostática ambiente (σha)Resistência última biaxial à compressão sob σha (f1)

Resistência última uniaxial à compressão sob σha (f2)Coeficiente multiplicador de rigidez para condição fissurada na tração

Com base em Queiroz, Vellasco e Nethercot (2005), foram adotados para os dois primeiros parâmetros da tabela 4.2, os valores 0,2 e 0,6, respectivamente. Os últimos cinco parâmetros foram omitidos, permitindo ao ANSYS adotar valores pré-estabelecidos para os mesmos. A resposta do concreto à compressão disponibilizada pelo modelo concrete foi desabilitada, estipulando-se para tanto fc com valor igual a -1. Admitiu-se, nesse caso, o critério de plastificação de von Mises para o concreto sob compressão. O modelo constitutivo adotado para o concreto na compressão foi do tipo multilinear com encruamento isótropo, cuja curva tensão-deformação utilizada, extraída do Eurocode 2 (2002 draft of prEN 1992-1-1), é apresentada na figura 9d. Segundo a última referência, o comportamento do concreto na compressão segue a seguinte relação:

( )η−+η−η

=σ2k1

kf2

cm , para 1c0 ε<ε< (2)

Na equação 2 valem:

1c/ εε=η ( ) 8,2f7,0 31,0cm00

01c <=ε cm1ccm f/E1,1k ε=

Nas últimas relações, fcm é o valor médio de resistência à compressão do concreto para corpo de prova cilíndrico, εc1 a deformação correspondente à tensão máxima de compressão, εcu1 a deformação última à compressão e Ecm o módulo secante de elasticidade do concreto.

Para o trecho que vai de εc1 a εcu1, a fim de evitar problemas numéricos, foi considerada uma pequena inclinação de Ecm/1000, analogamente ao que foi feito para o aço da armadura.



65

(a)

f y

f u

σ

ε ε h ε y

atan(E h)

εu

f y

fu

σ

ε εy ε u (b)

(c)

f y

σ

ε ε y

ε u

ε

0,4fcm

fcm

σ

εc1

atan(Ecm)

εcu1 (d)

Figura 9 - Diagrama tensão-deformação para: (a) aço do perfil, (b) aço dos conectores, (c) aço da armadura e (d) concreto comprimido.

3.6 Características do contato entre laje e viga

Como já mencionado, o contato entre laje e viga foi estabelecido por meio dos elementos conta173 e targe170, possibilitando o surgimento de tensões normais de compressão quando o contato é estabelecido, e ao mesmo tempo permitindo a separação entre tais elementos. Foram estabelecidos valores de atrito e coesão para o par de contato, com escorregamento regido pela Lei de Coulomb, descrita pelas equações 3 e 4 apresentadas a seguir:

cPlim +μ=τ (3)

limτ≤τ (4)

Nas equações 3 e 4, τlim é a tensão cisalhante limite, τ é tensão cisalhante equivalente, μ é o coeficiente de atrito, P é a pressão normal, e c é a coesão. Uma vez excedida a tensão cisalhante limite, as superfícies de contato passam a deslizar entre si. Vale mencionar que por coesão entende-se aqui uma resistência ao escorregamento exercida, mesmo que não haja pressão normal à superfície. No presente trabalho, com base em resultados apresentados em Baltay e Gjelsvik (1990), o coeficiente de atrito entre aço e concreto foi adotado igual a 0,4. Já para coesão foi estimado um valor igual a 0,18 kN/cm2 a partir de valores médios de tensão de adesão correspondentes ao surgimento de escorregamento na interface, apresentados em Chapman e Balakrishnan (1964).



66

O método de solução utilizado para o contato foi aquele denominado no ANSYS como “Pure Lagrange Multiplier”. Tal método utiliza dois parâmetros de controle: FTOLN e TNOP. O primeiro, tomado igual a 0,01 cm neste trabalho, se refere a um valor mínimo de penetração para que o contato seja estabelecido. O segundo parâmetro, TNOP, se refere a uma valor mínimo de tração, normal à superfície de contato, para que se estabeleça a separação entre os elementos. Tendo em vista que, dentre as referências coletadas na pesquisa bibliográfica, não foi encontrado nenhum valor mais adequado, adotou-se para o parâmetro em questão o mesmo valor utilizado para a coesão, ou seja, 0,18 kN/cm2.

3.7 Aspectos da análise não linear

O carregamento foi aplicado de forma incremental, devido à consideração da não linearidade física, sendo o valor do incremento de carga controlado por meio do recurso do ANSYS denominado ‘Automatic Load Stepping’. O método para resolução do sistema não linear utilizado foi o de ‘Newton Raphson Pleno’, caracterizado pela atualização da matriz de rigidez tangente a cada iteração. O critério de convergência foi estabelecido com base no vetor de resíduo de forças e momentos, sendo satisfeito quando a norma deste vetor atinge valores menores ou iguais a um por cento da norma do vetor de forças e momentos aplicados. A norma utilizada foi a quadrática. Para solução dos sistemas de equações lineares, utilizou-se o método denominado no ANSYS, como ‘Direct Sparse’. Em paralelo ao processo de ‘Newton Raphson Pleno’, foi ativado um recurso do ANSYS denominado ‘Adaptive Descent’, cujo funcionamento consiste, de acordo com a documentação do programa em questão, em alternar a configuração da matriz de rigidez entre secante e tangente, caso seja identificada, respectivamente, divergência ou convergência no processo. Esse recurso se mostrou eficiente, permitindo que os modelos atingissem níveis de carregamento próximos aos identificados experimentalmente como de ruptura. A fim de melhorar a convergência do processo, foi habilitado ainda o procedimento ‘Line Search’.

4 MODELOS ESTUDADOS E RESULTADOS OBTIDOS

Com vistas a validar a estratégia de modelagem adotada e descrita no item 3, foram construídos e simulados onze modelos numéricos de vigas mistas de aço e concreto, cujos resultados foram comparados com aqueles experimentais apresentados em Chapman e Balakrishnan (1964). Serão aqui apresentados quatro desses modelos, sendo três referentes a vigas mistas com carregamento concentrado no meio do vão, bem como um modelo referente a uma viga mista de aço e concreto com carregamento uniformemente distribuído e aplicado entre apoios. Na tabela 3 são especificadas as características de cada viga, enquanto na figura 10 são apresentadas dimensões referentes aos modelos. Os valores adotados, assim como a denominação utilizada para as vigas, foram estabelecidos em concordância com as informações descritas em Chapman e Balakrishnan (1964).



67

Tabela 3 - Características das vigas mistas e propriedades dos materiais. A3 A5 A6 U3

unif. distribuído68 44 32 5619 19 19 19102 102 102 1021,84 2,49 2,39 2,992642 2894 2857 3055

alma 19456 19608 21128 20064mesa 20064 20368 20368 19912alma 30,2 29,0 26,3 23,0mesa 25,2 23,2 23,6 23,2alma 44,4 44,4 45,9 41,5mesa 44,7 44,4 41,6 42,0alma 1,0 1,0 1,5 8,2mesa 1,0 1,0 1,7 5,2

E (kN/cm2) 20500 20500 20500 20500 fu (kN/cm2) conectores 51,4 51,4 51,4 51,4 fy (kN/cm2) ** 42,1 42,1 42,1 42,1 E (kN/cm2) 20500 20500 20500 20500 fu (kN/cm2) 32,0 32,0 32,0 32,0

Viga

fcm cilíndrico (kN/cm2)

fu (kN/cm2)

número de conectoresdiâm. corpo do conector (mm)

concentrado

* Ec = 2200 (fck)0,3 , EUROCODE 2 (2002 draft of prEN 1992-1-1).

** Adotado como 0,82 fy , com base em valores usualmente encontrados.

εh/εy (kN/cm2)

armadura

E (kN/cm2)

fy (kN/cm2)

tipo de carregamento

altura total do conector (mm)

Ecm (kN/cm2) *

Figura 10 - Dimensões (mm) utilizadas nos modelos numéricos.



68

Os gráficos que se seguem, figuras 11 e 12, retratam a evolução do deslocamento vertical no meio do vão em função da aplicação do carregamento para cada viga mista simulada. São apresentados, além dos resultados numéricos e experimentais, os valores da força correspondente ao momento resistente de cada viga mista, calculado segundo a NBR 8800 (2003 - texto base de revisão). Para fins de comparação não foram utilizados no cálculo coeficientes de segurança. Além disso, para as propriedades dos materiais foram adotados valores médios, e não os correspondentes valores característicos. Por meio de análises com relação às figuras 11 e 12, nota-se que as curvas obtidas numericamente recuperaram de forma satisfatória o comportamento das vigas mistas com relação ao deslocamento vertical no meio do vão, ajustando-se bem às curvas experimentais no trecho inicial e mantendo uma diferença, aqui considerada aceitável, ao longo do trecho com comportamento não linear.

Viga A3 - carga concentrada - 68 conectores - 102 x 19 mm

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Deslocamento vertical no meio do vão (cm)

Forç

a to

tal a

plic

ada

(kN

)

Experimental

Numérico

Força correspondente ao momento resistente: 394,5 kN

Viga A5 - carga concentrada - 44 conectores 102 x 19 mm

0

100

200

300

400

500

600


Forç

a to

tal a

plic

ada

(kN

)

Experimental

Numérico


Figura 11- Gráficos ‘Força x Deslocamento vertical’ para as vigas A3 e A5.



69


0

100

200

300

400

500

600


Forç

a to

tal a

plic

ada

(kN

)

Experimental

Numérico


Falha dosconectores

Viga U3 - carga distribuída - 56 conectores 102 x 19 mm

0

200

400

600

800

1000

1200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Deslocamento vertical no meio do vão (cm)

Forç

a to

tal a

plic

ada

(kN

)

Experimental

Numérico


Figura 12 - Gráficos ‘Força x Deslocamento vertical’ para as vigas A6 e U3.

Com relação ao escorregamento relativo entre laje de concreto e viga de aço os modelos também se mostraram suficientemente adequados, representando inclusive a adesão existente na interface, cuja ação impede a ocorrência de deslizamento até um dado nível de carregamento, a partir do qual a adesão é rompida (figuras 13 e 14).


0

100

200

300

400

500

600

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12Deslizamento relativo médio na extremidade (cm)

Forç

a to

tal a

plic

ada

(kN

)

Experimental

Numérico

Figura 13 - Gráficos ‘Força x Deslizamento Relativo para a viga A3.



70


0

100

200

300

400

500

600


Forç

a to

tal a

plic

ada

(kN

)

Experimental

Numérico


0

100

200

300

400

500

600


Forç

a to

tal a

plic

ada

(kN

)

Experimental

Numérico

Figura 14 - Gráficos ‘Força x Deslizamento relativo’ para as vigas A5 e A6.

A figura 15 apresentada a variação do escorregamento relativo ao longo do comprimento da viga U3. Nota-se na mesma figura uma variação no valor do escorregamento relativo de nós subseqüentes, provavelmente devido à ação dos conectores de cisalhamento. Os resultados numéricos e os experimentais apresentam certa correspondência quanto à evolução se seus valores, divergindo apenas no nó correspondente à extremidade da viga, talvez, em razão de uma diferença entre modelos numérico e experimental em relação à posição do último conector. A figura 16 apresentada a seguir ilustra a distribuição de tensões normais à seção transversal pertencente ao meio do vão das vigas mistas A3, A5 e A6 para um nível de carregamento de 392 kN. Nota-se que já para este nível de carregamento tem-se plastificação quase que total da seção mista, o que confirma o procedimento de cálculo recomendado pela NBR 8800 (2003 – texto base de revisão), o qual utiliza distribuição plástica da seção transversal para vigas com alma compacta, como é o caso das vigas aqui analisadas.



71

Viga U3 - carga distribuída - 56 conectores 102 x 19 mm

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

050100150200250300Distância em relação ao meio do vão (cm)

Esc

orre

gam

ento

rela

tivo(

cm)

ExperimentalNumérico

(Nível de carga: 883 kN)

Figura 15 - Variação do escorregamento relativo na interface ao longo da viga U3.

Viga A3

-10 0 10 20 30 40Tensão normal (kN/cm2)

Experimental

Numérico

Viga A5


Experimental

Numérico

Viga A6


Experimental

Numérico

Figura 16 - Distribuição das tensões normais à seção transversal pertencente ao meio do vão

das vigas mistas A3, A5 e A6 para um nível de carregamento de 392 kN. A figura 17 ilustra a variação das tensões longitudinais (direção x) nos elementos de concreto adjacentes aos dois conectores de cisalhamento mais solicitados da viga A3. É possível perceber o surgimento da zona de concreto comprimido adjacente à face dos conectores voltada para o vão central da viga mista (sentido de x), conforme mencionado no item 2 e ilustrado na figura 3. Experimentalmente, conforme descrito em Chapman e Balakrishnan (1964), o modo de falha das vigas mistas analisadas no presente trabalho foi por esmagamento da laje de concreto, exceto para viga A6, na qual ocorreu falha dos conectores de cisalhamento. Nos modelos numéricos, diferentemente dos modelos experimentais, não foi (ou não é) possível identificar o modo de falha das vigas mistas. Entretanto, tendo em vista que a estratégia de modelagem adotada considera o critério de plastificação de von Mises para o concreto na compressão, pode-se utilizar as tensões equivalentes de von Mises como indicativo da ruptura da laje por



72

compressão excessiva. A figura 18 ilustra essas tensões equivalentes na laje de concreto para o último passo de carga alcançado em cada viga.

Figura 17 - Ação dos conectores de cisalhamento sobre a laje de concreto no modelo

numérico, viga A3.

Viga A3 (fcm=1,84 kN/cm2) Viga A5 (fcm=2,49 kN/cm2)

Viga A6 (fcm=2,39 kN/cm2) Viga U3 (fcm=2,99 kN/cm2)

Figura 18 - Tensões de von Mises para o último passo de carga alcançado em cada viga. Nota-se, por meio da figura 18, que as tensões equivalentes na face superior da laje de concreto ultrapassam a resistência média à compressão do concreto (fcm), o que permite considerar provável ruptura da laje por compressão excessiva, em concordância com as informações referentes aos ensaios realizados e descritos em Chapman e Balakrishnan (1964).



73

Infelizmente não foi possível verificar se o modelo correspondente à viga A6 recuperaria a falha nos conectores identificada experimentalmente, pois para esse modelo numérico o processamento foi interrompido muito antes de se alcançar níveis de carregamento correspondentes à falha do modelo experimental (figura 12).

5 CONCLUSÕES

O presente trabalho teve como proposta desenvolver uma estratégia de modelagem numérica para simulação do comportamento estrutural de vigas mistas de aço e concreto simplesmente apoiadas, com vistas principalmente à representação da interface entre laje de concreto e viga de aço. A representação dos conectores de cisalhamento por meio de elementos de viga, proporcionou uma modelagem mais simples em relação àquelas em que são utilizados elementos do tipo sólido, os quais geralmente conduzem a uma malha bastante refinada e, conseqüentemente, um elevado esforço computacional. Esse mesmo caminho permite também evitar a utilização de elementos finitos do tipo mola, os quais necessitam para fins de utilização no programa, de parâmetros experimentais obtidos em ensaios do tipo Push-out. Entretanto, é necessário salientar que o elemento de viga escolhido para representação dos conectores, no caso, o elemento beam189, demonstrou não ser totalmente adequado, pois a orientação de seus eixos locais, a qual deve ser estabelecida pelo usuário, conforme documentação do ANSYS versão 8.0, influenciou diretamente na estabilidade numérica dos modelos. A associação do modelo CONCRETE para o concreto sob tração com o critério de von Mises para o concreto sob compressão mostrou-se eficaz, permitindo aos modelos numéricos alcançar níveis de carregamento próximos aos identificados experimentalmente como de ruptura. No mesmo sentido, a ferramenta adaptive descent disponibilizada pelo ANSYS foi de grande importância, estabilizando o processo numérico. Os resultados obtidos nos modelos numéricos (deslocamento vertical no meio do vão e escorregamento relativo entre laje de concreto e viga de aço) foram considerados satisfatórios quando comparados aos obtidos experimentalmente. A estratégia de modelagem adotada, com a representação dos conectores por elementos de viga (e não por molas) e uso de elementos sólidos na laje, possibilitou a visualização da concentração de tensões na região de transferência de esforços entre os elementos em questão, com configuração semelhante ao descrito nas referências estudadas. Tendo em vista os aspectos mencionados, a estratégia de modelagem desenvolvida foi considerada adequada em relação ao objetivo inicial estabelecido para simulação do comportamento de vigas mistas aço-concreto, possibilitando a análise de aspectos tanto globais como localizados.

6 REFERÊNCIAS

ANSYS Versão 8.0 Documentation. ANSYS, Inc.



74

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 8800 (2003 – texto base de revisão) - Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios.

CHAPMAN, J.C.; BALAKRISHNAN, S. (1964). Experiments on composite beams. The Structural Engineer, v.42, n.11, p. 369-383.

EUROCODE 2 (2002 draft of prEN 1992-1-1). Design of concrete structures. Part 1: General rules and rules for buildings.

GATTESCO, N. (1999). Analytical modeling of nonlinear behavior of composite beams with deformable connection. Journal of Constructional Steel Research, v.52, p. 195-218.

KOTINDA, T. I. (2006). Modelagem numérica de vigas mistas-aço concreto simplesmente apoiadas: ênfase ao estudo da interface laje-viga. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

OEHLERS, D.J; BRADFORD, M.A. (1995). Composite Steel and Concrete Structural Members. 1.ed., New York: Elsevier Science Ltd.

QUEIROZ, G.; PIMENTA, R.J.; DA MATA, L.A.C. (2001). Elementos da estruturas mistas aço-concreto. Belo Horizonte: O lutador.

QUEIROZ, F.D.; VELLASCO, P.C.G.S.; NETHERCOT, D.A. (2005). Structural assessment of composite beams using the finite element method. Proceedings of Eurosteel, v. B, s. 4.3, p.49-59.

VIEST, I. (1960). Review of research on composite steel – concrete beams. Journal of the Structural Division – ASCE, Proc., v. 86, ST6, p. 1–21.

ISSN 1809-5860


VIGAS DE CONCRETO ARMADO EM SERVIÇO, SUBMETIDAS À CARBONATAÇÃO

Valdirene Maria Silva1 & Jefferson Benedicto Libardi Liborio2

R e s u m o

Este trabalho apresenta uma análise do comportamento da frente de carbonatação em vigas de concreto armado em serviço, com a máxima condição de subarmação. As vigas foram curadas durante 7 dias e posteriormente submetidas à flexão, com o carregamento aplicado nos terços (L/3 da viga). Realizou-se o pré-condicionamento para a estabilização da umidade interna das vigas que foram expostas durante 28 dias a um ambiente com concentração de 50% de dióxido de carbono, umidade relativa de 65 ± 5% e temperatura ambiente. Foi determinada a profundidade de carbonatação em corpos-de-prova, ao longo do comprimento das vigas de concreto armado e na região fissurada dessas. Também foi verificada a presença de pontos de corrosão na região em que a armadura foi despassivada. Os resultados obtidos mostraram a eficiência da espessura do cobrimento e a tendência da carbonatação em elementos estruturais na condição de serviço. Palavras-chave: viga; carbonatação; fissura; concreto; durabilidade.

1 INTRODUÇÃO

As pesquisas sobre durabilidade de estruturas de concreto armado, em uma grande maioria, são desenvolvidas em corpos-de-prova e algumas estão direcionadas para a compreensão do fenômeno da carbonatação. No entanto, um elemento estrutural em serviço funciona como um sistema, no qual a interação entre os componentes desse sistema nem sempre apresenta o mesmo comportamento que o material isolado. Sabe-se que a vida útil dos elementos estruturais em serviço é influenciada pelo nível de carregamento, pela geometria da peça, pelas variações das condições ambientais e pelo grau de fissuração e suas respectivas aberturas. No entanto, o comportamento dessas variáveis em função dos materiais envolvidos não é conhecido. Outro fato importante a ser lembrado, é que os modelos teóricos existentes para previsão da profundidade de carbonatação, também não consideram tais variáveis. Em 2003 a norma de projeto de estruturas de concreto – procedimentos, NBR 6118:2003, foi revisada e foram estabelecidos parâmetros de durabilidade da estrutura em função das classes de agressividade ambiental, tais como: relação água/cimento, classe do concreto, cobrimento e abertura de fissuras. Por ser uma 1 Doutora em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Laboratório de Materiais Avançados à Base de Cimento da EESC-USP, [email protected]

Valdirene Maria Silva & Jefferson Benedicto Libardi Liborio


76

publicação recente não existem resultados de pesquisas sobre durabilidade das estruturas de concreto para cada classe de agressividade ambiental. Desta forma, este trabalho pretende mostrar o comportamento de vigas de concreto armado fissuradas e submetidas à carbonatação.

2 DETALHES EXPERIMENTAIS

Para verificar a durabilidade de vigas de concreto armado frente à ação da carbonatação foram definidos diferentes traços de concreto, seguindo as recomendações de Helene & Terzian (1992). Foram produzidos concretos estruturais executados sem adições minerais e com adição de sílica da casca de arroz (SCA) e sílica de ferro silício ou silício metálico (SFS) em substituição volumétrica de 10% do cimento Portland CP II E 32, tabela 1. Vale ressaltar que foi feita a opção de manter igual para todos os concretos o consumo de cimento, a consistência e a resistência à compressão simples.

Tabela 1 - Composição dos traços de concretos com CP II E 32. Concreto Traço

1:m Traço 1:a:p

a/agl SP (%)

Consistência (mm)

C (kg/m3)

Viga 1 Sem sílica 1:5,0 1:2,06:2,94 0,47 0 100 384 Viga 2 10% SFS 1:4,64 1:1,88:2,76 0,40 0,4 100 386 Viga 3 10% SCA 1:4,64 1:1,88:2,76 0,40 0,6 100 386 Sendo: C = consumo de cimento; a = areia; p = 70 % da brita 1 e 30% da brita intermediária; SP = superplastificante; a/agl = relação água/aglomerante. Na tabela 2 consta o programa experimental utilizado para verificar o comportamento da carbonatação acelerada em vigas de concreto armado e em corpos-de-prova.

Tabela 2 - Resumo dos ensaios realizados. Corpo-de-prova / Viga Detalhes Ensaios

Corpos-de-prova (10 x 20 cm)

cura - 7 dias, pré-condicionamento 21 dias, carbonatação - 28 dias, concentração de CO2 - 50%.

- Resistência à compressão; - Profundidade carbonatada.

Vigas

cura - 7 dias, pré-condicionamento 21 dias, carbonatação - 28 dias, concentração de CO2 - 50%, ciclos de molhagem em ambiente externo – 1 ano

- Aplicação de carregamento (flexo-compressão); - Abertura de fissuras; - Profundidade carbonatada: região tracionada, região comprimida e fissuras; - Verificação do surgimento da corrosão.

Vigas de concreto armado em serviço, submetidas à carbonatação


77

Tendo em vista que as vigas de concreto armado deveriam permanecer submetidas ao carregamento durante o período do ensaio de carbonatação, optou-se pelo carregamento por meio de protensão externa. As vigas foram ensaiadas à flexão composta, na condição de sub-armação. O carregamento foi realizado por duas forças concentradas de mesma intensidade, aplicada nos terços da viga. A condição estática do ensaio foi do tipo biapoiado, figura 1.

Figura 1 - Aplicação do carregamento em viga de concreto armado.

A medida do carregamento ao qual a viga estava sendo solicitada, durante todo o ensaio, foi realizada utilizando uma célula de carga posicionada em uma das extremidades do cabo de protensão. Foram realizadas leituras periódicas do valor do carregamento atuante na peça por meio de caixa seletora e um sistema indicador de marca Transdutec. Após a aplicação do carregamento a viga foi inserida em uma câmara de carbonatação acelerada, com volume de 2,63 m3 e as seguintes dimensões: 0,9 m x 0,6 m x 4,88 m. As condições internas desta câmara foram: 50% de concentração de dióxido de carbono, umidade relativa de 65 ± 5% e temperatura ambiente. Na figura 2 apresenta-se a câmara de carbonatação utilizada.

Figura 2 - Câmara de carbonatação acelerada.

A determinação da profundidade de carbonatação foi realizada por meio de uma solução ácido/base nas proporções de 1% de fenolftaleina, 70% de álcool etílico e 29% de água destilada. Esse indicador, em contato com a região carbonatada, não altera a cor do concreto, mas quando em contato com a região não carbonatada a cor é alterada para vermelho carmim.



78

Foram realizadas medidas de carbonatação em corpos-de-prova moldados, ao longo do comprimento da viga nas regiões tracionadas e comprimidas da mesma e na posição da fissura. Para determinara a profundidade da frente de carbonatação ao longo do comprimento da viga corpos-de-prova foram extraídos com o auxílio de uma serra-copo diamantada, figura 3. Após a extração dos corpos-de-prova os mesmos foram submetidos à tração por compressão diametral apenas para determinar a profundidade de carbonatação. Para determinar a profundidade de carbonatação nas fissuras foi utilizada uma serra elétrica para realizar cortes no concreto próximo à fissura com profundidade de 3 cm e utilizando uma ponteira foi sacado o concreto na região da fissura, figura 4.

(a)

(b)

(c)

(d) Figura 3 - Técnica utilizada na extração de corpos-de-prova - (a) Viga de concreto armado; (b) Detalhe do corpo-de-prova extraído da viga; (c) Ilustração do ensaio de tração por compressão

diametral dos corpos-de-prova extraídos; (d) Exemplo da técnica utilizada na verificação da profundidade de carbonatação.

Foram determinadas as profundidades de carbonatação ao longo da fissura e na posição com cobrimento de 3 cm. No concreto extraído da viga foram realizados os cortes das seções AA e BB para verificar o comportamento da carbonatação ortogonal e ao longo da fissura respectivamente, figura 4. A leitura de profundidade de carbonatação realizada ortogonal à fissura, seção AA, foi realizada com espessuras de 2,0 cm e 2,5 cm, simulando cobrimentos com tais medidas. As leituras de carbonatação na seção BB foram limitadas ao cobrimento de 3,0 cm, uma vez que a espessura do concreto sacado na região da fissura tinha esta espessura. A determinação da profundidade de carbonatação nas fissuras foi realizada após um ano com ciclos molhagem das vigas. Este procedimento foi realizado para verificar o surgimento ou não de pontos de corrosão na armadura.



79

(a)

(b)

(c)

A A

B

B

3 cm

Fissura

Fissura

Fissura

2 cm2,5 cm

Corte AA Corte BB

Fissura

3 cm

Região carbonatada Região não carbonatada Leitura

(d) Figura 4 - (a) Detalhes dos cortes realizados nas vigas; (b) retirada do concreto na região da

fissura; (c) região da viga em que o concreto foi retirado e (d) representação do posicionamento das seções AA e BB.

3 RESULTADOS E DISCUSSÕES

A resistência à compressão simples foi determinada segundo as recomendações da NBR 5739:1980. Os corpos-de-prova de concreto foram ensaiados nas idades de 3, 7, 28 e 56 dias e os resultados são apresentados na figura 5 e na tabela 3. A resistência à compressão simples do concreto aos 7 dias de idades foi de aproximadamente 37 MPa. Tendo em vista que a NBR 6118:2003 recomenda que seja utilizada uma resistência característica de 30 MPa para a situação de agressividade ambiental forte, optou-se por realizar a instrumentação e a solicitação das vigas após 7 dias de cura úmida.

Tabela 3 - Resistência à compressão simples dos concretos referentes às vigas. Resistência à compressão simples (MPa)* Tipo de exposição Idade

(dias) Viga 1 Viga 2 Viga 3 3 27,9 24,6 32,9 7 37,4 37,7 38,2 28 50,6 50,9 50,0 Câmara úmida

56 55,6 52,1 51,0 * Corpos-de-prova com 100 mm de diâmetro por 200 mm de altura.

Seção AA Seção BB



80

0

20

40

60

80

0 7 14 21 28 35 42 49 56 63Idade (dias)

fcj (

MPa

)

Viga 1

Viga 2

Viga 3

Figura 5 - Resistência à compressão simples dos concretos referentes às vigas.

3.1 Carbonatação da viga 1

No gráfico da figura 6 apresenta-se a profundidade de carbonatação dos corpos-de-prova de concretos depositados na câmara de carbonatação. Nas figuras 7 e 8 são apresentadas, respectivamente, as posições na viga onde foram extraídos os corpos-de-prova e as profundidades de carbonatação medidas em cada corpo-de-prova extraído. Esta viga foi exposta à atmosfera de dióxido de carbono durante 28 dias. A profundidade de carbonatação determinada em corpos-de-prova foi de 18,7 mm, enquanto que os valores observados na viga variaram de 11,0 mm a 22,0 mm, com valor médio de 16,7 mm obtido em quarenta amostras. Na região tracionada da viga foi observada uma maior profundidade de carbonatação com valor médio de 18,4 mm, enquanto que na região comprimida o valor médio foi de 15,0 mm. Estes valores médios foram obtidos em vinte amostras. Estes resultados mostram que existe diferença entre avaliar a profundidade de carbonatação em corpos-de-prova moldados e no elemento estrutural, uma vez que a estrutura pode estar comprimida e a difusão do dióxido de carbono é dificultada.

0

5

10

15

20

25

56Idade (dias)

x (m

m)

28 dias - Câmara de Carbonatação

Figura 6 - Profundidade da carbonatação medida em corpos-de-prova curados durante 7 dias em câmara úmida, pré-condicionados por 21 dias e submetidos à carbonatação acelerada por

28 dias – Viga 1. Nas figuras 7 e 8 os números ímpares referem-se às amostras extraídas na região tracionada da viga, enquanto que os números pares são referentes à região



81

comprimida. No gráfico da figura 8 as regiões denominadas extremidade referem-se à região em que o diagrama de momento fletor é variável, enquanto que na região denominada vão central o diagrama de momento fletor é constante e máximo.

Figura 7 - Desenho esquemático da viga 1 de concreto armado indicando as posições de

extração dos corpos-de-prova com suas respectivas numerações.

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40Corpos-de-prova

x (m

m)

____Extremidade_______________Vão central_____________Extremidade___

Figura 8 - Profundidade da carbonatação dos corpos-de-prova extraídos da viga 1.


Nos gráficos das figuras 9, 10 e 11 são apresentadas respectivamente as profundidades de carbonatação obtidas pelos corpos-de-prova moldados que foram depositados na câmara de carbonatação, os locais em que os corpos-de-prova foram extraídos da viga 2 e as profundidades de carbonatação medidas nos mesmos.



82

0

5

10

15

20

25

56Idade (dias)

x (m

m)



28 dias – Viga 2. O valor médio da profundidade de carbonatação dos corpos-de-prova moldados foi de 21,9 mm enquanto que o valor médio dos corpos-de-prova extraídos da viga foi de 17,5 mm, sendo 14,5 mm o valor mínimo e 20,3 mm o valor máximo. Neste caso o resultado dos corpos-de-prova foi superior aos do elemento estrutural, mesmo comparado ao valor máximo encontrado na viga. Na região tracionada da viga a profundidade de carbonatação foi de 18,1 mm e na região comprimida o valor foi de 16,6 mm. A figura 10 ilustra o posicionamento dos corpos-de-prova que foram extraídos da viga. A extração não foi uniforme ao longo do comprimento da viga, uma vez que a presença da armadura estava danificando a serra copo diamantada utilizada na extração das amostras. Conforme observado no gráfico da figura 11 a difusão da frente de carbonatação não é uniforme em toda a extensão de um elemento estrutural, uma vez que o concreto não é um material homogêneo e a estrutura pode sofrer diferentes tipos de solicitações. Neste caso, a viga apresenta uma maior profundidade de carbonatação na região tracionada.

Figura 10 - Desenho esquemático da viga 2 de concreto armado indicando o posicionamento

da extração dos corpos-de-prova com suas respectivas numerações.



83

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Corpos-de-prova

x (m

m)




Um valor médio de profundidade de carbonatação de 13,8 mm foi observado nos corpos-de-prova moldados, figura 12. Foram realizadas as medidas de profundidade de carbonatação ao longo do comprimento da viga, figuras 13 e 14. A profundidade de carbonatação média ao longo do comprimento da viga foi de 13,5 mm, sendo o valor mínimo de 11,1 mm e o valor máximo de 17,7 mm. A região tracionada apresentou uma profundidade de carbonatação de 14,4 mm, enquanto que na região comprimida foi de 12,6 mm.

0

5

10

15

20

25

56Idade (dias)

x (m

m)



28 dias – Viga 3.



84

Figura 13 - Desenho esquemático da viga 3 de concreto armado indicando o posicionamento

da extração dos corpos-de-prova com suas respectivas numerações.

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24Corpos-de-prova

x (m

m)



3.4 Comparação das profundidades de carbonatação determinadas em corpos-de-prova e nas vigas

Na tabela 4 são apresentados os valores médios da profundidade de carbonatação determinados em corpos-de-prova moldados, ao longo do comprimento das vigas nas regiões tracionadas e comprimidas.



85

Tabela 4 - Profundidade da frente de carbonatação determinada em corpos-de-prova moldados e em vigas.

Profundidade de carbonatação x (mm) Elemento estrutural Corpos-de-prova Vigas Região

tracionada Região comprimida

Viga 1 18,7 16,7 18,4 15,0 Viga 2 21,9 17,5 18,0 16,6 Viga 3 13,8 13,5 14,4 12,6 Comparando os valores de profundidade de carbonatação determinados em corpos-de-prova e o valor médio ao longo das vigas foi observado que todas as leituras em corpos-de-prova foram superiores, com acréscimo médio em torno de 15%, figura 15. Ao comparar os resultados de carbonatação, observa-se que os valores obtidos nos corpos-de-prova foram aproximadamente 7% e 26% superiores aos das regiões tracionadas e comprimidas das vigas respectivamente, figura 16. Portanto, a profundidade de carbonatação determinada em corpos-de-prova se aproxima mais dos valores de carbonatação determinados na região tracionada das vigas.

0

5

10

15

20

25

Viga 1 Viga 2 Viga 3 Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

x (m

m)

VigasCorpos-de-prova

Figura 15 - Comparação dos resultados de carbonatação determinados em corpos-de-prova e

vigas em escala natural e reduzida.

0

5

10

15

20

25

Viga 1 Viga 2 Viga 3 Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

x (m

m)

Região comprimidaRegião tracionadaCorpos-de-prova

Figura 16 - Comparação dos resultados da frente de carbonatação determinada em corpos-de-

prova e nas regiões tracionadas e comprimidas das vigas em escala natural e reduzida.



86

Comparando os resultados de profundidade de carbonatação apresentados nas figuras 6 à 16 pode-se afirmar que: a profundidade de carbonatação determinada em corpos-de-prova é maior que o valor médio determinado nas vigas; a região tracionada da viga sofre maiores profundidades de carbonatação que a região comprimida; a profundidade da carbonatação na região tracionada se aproxima aos valores determinados em corpos-de-prova; não foi verificada uma mudança de comportamento da carbonatação quando determinadas nas extremidades e vão central da viga. Conforme observado nos gráficos apresentados nas figuras 6, 9 e 12 a adição da SFS na viga 2 não proporcionou uma redução na profundidade de carbonatação, o comportamento da viga 1 e 2 foram parecidos. Já a viga 3 com a adição da SCA apresentou um comportamento muito satisfatório frente à ação da carbonatação e isto se deve a sua área superficial.

3.5 Análise estatística da profundidade de carbonatação determinada nas vigas

A análise estatística da profundidade de carbonatação determinada nas vigas não apresentou diferença significativa entre as vigas 1 e 2 (p = 0,1374), enquanto que com relação à viga 1, a viga 3 apresentou profundidade de carbonatação significativamente menor (p = 4,7.10-8). Comparando a profundidade de carbonatação ao longo do comprimento das vigas não foi verificada diferença significativa (p = 0,1623) entre as regiões com momento fletor máximo (Vão central) e momento variável (extremidades), figura 17.

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3Viga

x (m

m)

CompressãoTração

(a) Figura 17 - Profundidade da carbonatação nas regiões tracionadas e comprimidas das vigas. Nota: os valores à esquerda de 1, 2 e 3 correspondem às extremidades das vigas, enquanto

que os valores à direita de 1, 2 e 3 correspondem ao vão central.

3.6 Determinação da frente de carbonatação nas fissuras

Em todos os casos a abertura das fissuras foram inferiores às exigências relativas à fissuração. Para a classe de agressividade ambiental muito forte a NBR 6118:2003 recomenda que a abertura seja inferior a 0,2 mm e o maior valor de



87

abertura de fissura determinado foi: 0,16 mm para a viga 1, 0,14 mm para a viga 2 e 0,15 mm para a viga 3. Nos corpos-de-prova referentes à seção AA que foram possíveis realizar a leitura da profundidade de carbonatação foram determinados: − Viga 1 – 5,4 mm na posição de 2 cm e 2,4 mm na posição de 2,5 cm. − Viga 2 – 3,8 mm na posição de 2 cm e 0,9 mm na posição de 2,5 cm. − Viga 3 – 2,3 mm na posição de 2 cm e 0,2 mm na posição de 2,5 cm.

A diminuição da profundidade de carbonatação no interior da fissura deve-se à redução da quantidade de dióxido de carbono. Para a seção BB que foi determinada à profundidade de carbonatação e para a região tracionada das vigas obtiveram-se: − Viga 1 - valor médio de 24,2 mm na seção BB e 18,4 mm na região tracionada e

não fissurada da viga, o que corresponde a um aumento de 32%. − Viga 2 - valor médio de 24,8 mm na seção BB e 18,0 mm na região tracionada e

não fissurada da viga, o que corresponde a um aumento de 38%. − Viga 3 - valor médio de 21,4 mm na seção BB e 14,4 mm na região tracionada

não fissurada da viga, o que corresponde a um aumento de 48%. Em alguns cortes das seções BB a profundidade de carbonatação foi superior a espessura de 3 cm do corpo-de-prova que foi extraído da viga, portanto o valor da profundidade de carbonatação pode ser superior. Tendo em vista que o cobrimento da armadura foi de 3 cm as barras de aço foram despassivadas na região de algumas fissuras. Esta tendência indica o quanto a fissura facilita a difusão da frente de carbonatação.

3.7 Análise dos resultados da carbonatação em fissuras das vigas

Comparando os resultados de carbonatação na seção BB das vigas 1, 2 e 3 observaram-se uma mesma tendência de comportamento ao longo da fissura, figura 18. O valor médio da profundidade de carbonatação nas fissuras ficou entre 20 e 25 mm, mas vale ressaltar que em várias regiões da fissura a armadura que estava posicionada a 30 mm foi atingida. As fissuras proporcionam um caminho preferencial para a difusão do dióxido de carbono, o que proporciona uma redução na eficiência do concreto para idades avançadas.

0

5

10

15

20

25

30

x (m

m)

Viga 1Viga 2Viga 3

Seção BB

Figura 18 - Profundidade da frente de carbonatação medida na seção BB das vigas.



88

Na figura 19 são apresentados os valores da profundidade de carbonatação obtidos em uma determinada posição da fissura e com espessura do cobrimento de 2,0 cm e 2,5 cm, seção AA. Observa-se que para todas as vigas foram obtidos maiores valores de profundidade de carbonatação para um cobrimento com espessura de 2,0 cm. A redução da profundidade de carbonatação em direção ao interior da fissura deve-se à redução da intensidade de difusão do CO2. Os menores valores de carbonatação são atribuídos às vigas 2 e 3 com adição de SFS e SCA respectivamente, sendo a sílica da casca de arroz mais eficiente.

0

1

2

3

4

5

6

2,5 cm 2,0 cm

x (m

m)

Viga 1Viga 2Viga 3

3 cm

Fissura

Fissura

2 cm2,5 cm

Região carbonatada Região não carbonatada

Leitura

Figura 19 - Profundidade da frente de carbonatação medida na posição da fissura em espessuras de cobrimento de 2,0 cm e 2,5 cm, para as vigas 1, 2 e 3.

São apresentados no gráfico da figura 20 os valores médios da profundidade e carbonatação determinados ao longo de todo o comprimento das fissuras referentes às vigas 1, 2 e 3. Estas leituras foram realizadas na posição em que o cobrimento tem uma espessura de 3,0 cm.

0

1

2

3

4

5

Vigas

x (m

m)

Viga 1Viga 2Viga 3

Figura 20 - Profundidade da frente de carbonatação medida ao longo de todo o comprimento

da fissura e na espessura de 3,0 cm de cobrimento. Conforme observado no documento fotográfico apresentado na figura 20 a espessura do cobrimento foi satisfatória para as regiões sem a presença de fissuras, uma vez que a armadura não foi atingida pela frente de carbonatação. Na região



89

fissurada a função de proteção do cobrimento foi invalidada, o que facilitou a difusão do dióxido de carbono para regiões internas da viga, despassivou a armadura e com a presença da umidade desencadeou a corrosão da armadura.

4 CONCLUSÕES

A carbonatação não é uniforme ao longo do elemento estrutural e a tendência é que na região tracionada da viga a carbonatação seja maior que na comprimida. Na região comprimida existe o confinamento do concreto e consequentemente a dificuldade de difusão do CO2. A carbonatação na região tracionada da viga é a que mais se aproxima dos valores determinados em corpos-de-prova. Comparando os resultados de profundidade de carbonatação determinados em corpos-de-prova e nas vigas de concreto armado foi observado que os corpos-de-prova apresentaram maiores valores de carbonatação. Portanto, utilizar corpos-de-prova para determinar a frente de carbonatação é a favor da segurança para posições em que o elemento estrutural não esteja fissurado. Foi verificado que a fissura é um caminho preferencial para a difusão do dióxido de carbono, o qual ultrapassou o cobrimento e atingiu a armadura. Com a despassivação da armadura e com a presença da umidade tem-se o surgimento da corrosão. A adição da sílica da casca de arroz proporcionou uma redução significativa na profundidade de carbonatação, o mesmo comportamento não foi observado com a adição da SFS. Esta diferença de comportamento deve-se ao fato de que a SCA apresenta uma elevada superfície específica, o que proporcionou uma melhor aderência pasta agregado e o fortalecimento da zona de interface. A espessura do cobrimento de acordo com as recomendações da NBR 6118:2003 foi satisfatória para as regiões sem a presença de fissuras, uma vez que a armadura não foi atingida pela frente de carbonatação. Já na posição das fissuras a função de proteção do cobrimento foi invalidada, pois a fissura facilitou a difusão do dióxido de carbono para regiões internas da viga. Em várias regiões da armadura, com cobrimento de 3,0 cm, foi verificada a presença da carbonatação, apesar do valor médio da profundidade de carbonatação nas fissuras estar entre 20 e 25 mm. Para simular cobrimentos de 2,0 e 2,5 cm foram realizadas leituras de carbonatação ortogonais as fissuras nas respectivas posições (seção AA). Verificou-se que quanto mais próximo à superfície da viga, maiores foram os valores de profundidade de carbonatação ortogonais às fissuras. A redução da frente de carbonatação ortogonal à fissura e em direção ao interior da viga deveu-se à redução da intensidade de CO2. Conclui-se que a carbonatação é mais intensa na região tracionada do elemento estrutural e quando na presença da fissura tem-se um caminho preferencial. Portanto esta tendência de comportamento pode ser extrapolada para os demais tipos de elementos estruturais. Independente do elemento, se existir fissuras tem-se o caminho preferencial para a difusão, na região tracionada tem-se maior intensidade de carbonatação e na região comprimida menor.

5 AGRADECIMENTOS

Os autores são gratos à FAPESP por financiar esse trabalho.



90

6 REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (2003). NBR 6118 - Projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1980). NBR 5739:1980 - Ensaios de compressão de corpos-de-prova cilíndricos de concreto – Método de ensaio. Rio de Janeiro.

HELENE, P. R. L.; TERZIAN, P. (1992). Manual de dosagem e controle do concreto. São Paulo: Pini.

SILVA, V. M. (2007). Ação da carbonatação em vigas de concreto armado em serviço, construídas em escala natural e reduzida. São Carlos. Tese (Doutorado) – Universidade de São Paulo – Escola de Engenharia de São Carlos.

ISSN 1809-5860


MÉTODO SEM MALHA E MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS EM

ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ESTRUTURAS

Felício Bruzzi Barros1 & Sergio Persival Baroncini Proença2

R e s u m o

O Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, é brevemente descrito. Idealiza-se o comportamento do material (concreto) pela Mecânica do Dano Contínuo. No primeiro exemplo, as vantagens de aplicação do método em problemas não-lineares são salientadas. Objetivando-se a determinação de um estimador de erro, propõe-se a adaptação do Método dos Resíduos em Elementos. A estimativa do erro é realizada para o procedimento de solução do Método de Newton-Raphson. A boa qualidade do estimador é comprovada em cada passo da análise não-linear de uma chapa solicitada à compressão. Finalmente, são comentadas as perspectivas da utilização do estimador num procedimento de solução p-adaptativa.

Palavras-chave: método dos elementos finitos; métodos sem malha; análise não-linear; mecânica do dano; estimador de erro; adaptatividade.

1 INTRODUÇÃO

O Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, STROUBOULIS;; BABUSKCA; COPPS, K. (2000) e DUARTE; BABUSKCA, I (2000), pode ser interpretado como uma variação do Método dos Elementos Finitos, MEF, que compartilha diversas características com os métodos sem malha. A aproximação local é construída empregando-se uma malha convencional de elementos que serve apenas para se definir uma partição da unidade, sobre a qual é realizado o enriquecimento das funções de forma. Tal enriquecimento é nodal e pode ser polinomial ou não, conforme o tipo de problema modelado. Neste trabalho, o MEFG é explorado para a análise de problemas com não-linearidade física, particularmente estruturas de concreto. O comportamento do material é idealizado pela Mecânica do Dano Contínuo, aplicando-se o modelo de Mazars, MAZARS (1984). De acordo com esse modelo o meio é suposto elástico mas com rigidez reduzida por efeito da danificação progressiva. Como exemplo de aplicação, o problema de uma viga de

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença


92

concreto armado é analisado. Mostra-se que a resposta não-linear da estrutura, observada experimentalmente e reproduzida mediante uma análise convencional de elementos finitos com uma malha bastante fina, pode ser obtida pelo MEFG utilizando-se uma malha com poucos elementos. Na segunda parte do trabalho o Método dos Resíduos em Elementos, MRE, ODEN et al. (1989), é adaptado à formulação do MEFG tendo-se em vista o futuro estabelecimento de um processo p-adaptativo no contexto da análise não-linear física. Uma chapa de concreto comprimida por uma força de volume é então analisada. A medida global do erro de aproximação adotado, calculada mediante a contribuição de cada um dos elementos, é comparada com uma outra medida de erro calculada globalmente a partir dos resultados de uma análise convencional cuja solução é considerada muito próxima da exata. Conclui-se que, respeitando-se certas hipóteses iniciais, a medida de erro formulada pode ser utilizada com sucesso como indicador para um processo p-adaptativo em problemas de análise não-linear.

2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS

2.1 Formulação

O MEFG tem sua formulação oriunda de duas linhas de desenvolvimento dos métodos sem malha empreendidas por: • Babuska e colegas, sob a denominação inicial de Método dos Elementos Finitos Especiais, BABUSKA; Caloz; Osborn (1994), e posteriormente como Método dos Elementos Finitos Partição da Unidade, MELENK; BABUSKA (1996). ; • Duarte e Oden a partir dos trabalhos DUARTE; ODEN (1995) e DUARTE; ODEN (1996), correspondentes à formulação do método das Nuvens, e em ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ (1998) como uma abordagem do MEF em forma híbrida com o MEF.

A construção das funções de forma do MEFG tem por base o conceito de partição da unidade, PU, ODEN; REDDY (1976), que se caracteriza por conferir capacidade de aproximação a um conjunto de funções cuja soma é igual a um. Considere-se uma malha convencional de elementos finitos definida a partir de um conjunto de N pontos nodais N

j 1}{ =x em um domínio aberto e limitado Ω de

interesse. Seja, então, jω uma região, ou nuvem como definida em DUARTE; ODEN

(1995), formada por todos os elementos que concorrem no ponto nodal jx . O

conjunto das funções interpoladoras de Lagrange associadas ao nó jx , define uma

função PU de suporte compacto jω de tal modo que:

Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise...


93

Considere-se, também, os conjuntos formados por jq funções linearmente

independentes definidas em cada nó jx com suportes na nuvem jω :

As funções de forma jφ do MEFG, atreladas ao nó jx , são construídas por

enriquecimento, ou multiplicação, das funções PU correspondentes à nuvem jω , por cada componente do conjunto (2), ou seja:

Para melhor entender o comportamento das funções resultantes desse produto toma-se, como exemplo, o esquema da Figura 1 para o caso de aproximações definidas em 2ℜ∈Ω . Nela, encontram-se representados a PU de ordem 1 (função bi-linear) geradora de uma aproximação 0C , uma função especial arbitrária e o resultado do produto (3) entre essas duas funções. A função especial é escolhida para conferir à função produto certas propriedades locais, representativas do problema aproximado. Como resultado a função de forma correspondente apresenta as características aproximadoras da função especial, ao mesmo tempo que herda o suporte compacto da PU. Consegue-se, assim, graças ao suporte compacto de jφ , que a aproximação seja construída sem penalizar a continuidade entre os elementos da malha inicialmente adotada.

Figura 1 - Esquema de enriquecimento da Partição da Unidade. As funções do conjunto (2) podem ser polinomiais ou não, dependendo do tipo de solução que se queira aproximar. Pela maneira como é realizado, o enriquecimento pode variar entre elementos e ainda assim chega-se a uma aproximação sem ``costura'', DUARTE; BABUSKCA (2000), sem a necessidade de se estabelecer, como ocorre no MEF hierárquico, condições de restrição que garantam a continuidade dos



94

diferentes campos aproximadores. Além disso, o emprego das funções do MEF para a PU evita problemas relacionados à integração numérica e à imposição das condições de contorno, encontrados em algumas formulações sem malha, como o Método dos Elementos Livres de Galerkin, BELYTSCHKO; LU.; GU (1994), e o Método das Nuvens, DUARTE; ODEN (1995). A aproximação )(~ xu é, dessa maneira, obtida pela seguinte combinação linear das funções de forma:

onde jib são novos parâmetros nodais em correspondência a cada componente das funções enriquecidas.

2.2 O MEFG na elasticidade linear bi-dimensional

Seja o seguinte problema de valor de contorno, PVC, que exprime, em forma forte e em função dos deslocamentos cinematicamente admissíveis, o equilíbrio em um ponto genérico do domínio 2ℜ∈Ω :

sendo:

• [ ]yxT uu=u o vetor das componentes de deslocamentos nas direções dos

eixos x e y; • DΓ região do contorno em que as condições de Dirichlet são definidas; • NΓ região do contorno em que as condições de Neumman são definidas; • σ tensor de tensões; • b força volúmica; • t forças de superfície no contorno Ω∂ ; • u e t vetores de deslocamento e tração prescritos; • n versor que descreve a orientação do contorno NΓ .

A correspondente forma variacional pode ser descrita como:

onde:

• u é definido no espaço de Hilbert de ordem 1; • os operadores variacionais são definidos como:



95

• [ ]yx

T vv=v é o vetor das funções teste de deslocamento nas direções dos eixos x e y;

• )(•ε representa o operador de gradiente; • zl a dimensão do corpo elástico na direção z aqui tomada como constante.

A aproximação de Galerkin corresponde à solução do seguinte problema, em um sub-espaço de dimensão finita construído pelas funções do MEFG:

em que u~ e v~ são definidas, cada uma, a partir da expressão (4), ou seja:

Introduzindo-se, então, a matriz L que realiza os gradientes e determina o campo de deformações a partir dos deslocamentos, o operador B que relaciona os deslocamentos generalizados U às deformações ε :

pode-se chegar ao seguinte sistema de equações:

Sendo C o tensor das propriedades elásticas do material, K e F definidos como:

Quando as funções de forma Φ são obtidas pelo produto da PU, polinomial, por monômios, elas formam um conjunto linearmente dependente e, por essa razão, a matriz de rigidez torna-se semi-definida positiva. O sistema de equações (11) admite, portanto, infinitas soluções para a parcela de U correspondente aos parâmetros enriquecedores jib ; ainda assim a unicidade da solução de Galerkin é preservada.



96

Para resolver tal sistema emprega-se, neste trabalho, a estratégia iterativa sugerida em STROUBOULIS; BABUSKCA; COPPS (2000).

3 ANÁLISE NÃO-LINEAR

O material considerado neste trabalho é o concreto e a não-linearidade física decorre da propagação de defeitos ou dano inicial, simulado pela Mecânica do Dano Contínuo. O modelo constitutivo adotado é o de Mazars, MAZARS, J (1984), para o qual o concreto é considerado como um meio elástico em processo de dano evolutivo. A abordagem é não-local, DAVENE; SAOUIDIS; PIAU (1989), em que se aplica o critério de danificação a partir de médias ponderadas das deformações em uma região em torno do ponto de interesse. Tal região, definida pelo raio nlr está associada à dimensão do maior agregado no concreto. O problema não-linear é resolvido iterativamente pelo método de Newton-Raphson. Sendo ti o símbolo para iterações, o algoritmo de resolução é o seguinte:

tendo como condições iniciais:

onde tΔ é a variável de controle do processo incremental associada ao passo de carregamento imposto e )( tiUΔ é o acréscimo do vetor de deslocamentos na iteração

ti do passo tt Δ+ .O vetor de forças residuais é representado por )1( −tiΨ , intFtt Δ+ representa o vetor de forças internas equivalentes à uma distribuição equilibrada de tensões e ext

tt FΔ+ o vetor generalizado de força externa. Observa-se que para a matriz

de rigidez emprega-se, neste estudo, a forma secante secKtt Δ+ , obtida de:

onde 10 << D corresponde à variável de dano escalar do Modelo de Mazars. De forma geral, a estrutura para a solução do problema não-linear é idêntica à usada tradicionalmente no MEF. Excetua-se, é claro, a maneira com que os vetores e matrizes, presentes nas expressões acima, são montados. Um detalhe importante a ser considerado corresponde ao critério de parada do processo iterativo. Em razão da dependência linear das funções de forma para o caso de enriquecimento polinomial no MEFG, o ideal é que se utilize para o controle da convergência a norma energia incremental dada por:



97

A razão para esse fato está na dependência linear das funções de forma para o caso de enriquecimento polinomial, discutida na seção 2.1. Como são admitidas infinitas soluções para os parâmetros jib de )( tiUΔ é possível que se tenha a

convergência da solução sem que a norma 2L dos deslocamentos 2

)(

L

itUΔ tenha se

anulado. De forma análoga, a convergência do resultados não implica, necessariamente em se ter uma norma 2L nula para vetor de forças residuais

generalizadas, 2

)1(

L

it −Ψ . O produto interno entre )1( −tiΨ e )( tiUΔ preserva o

significado associado à energia de deformação, não sofrendo influência de uma eventual dependência linear das funções de forma, como poderia ocorrer com as normas isoladas de deslocamento ou forças residuais, BARROS, F.B. (2002).

4 VIGA DE CONCRETO ARMADO

O problema ilustrado na Figura (2), corresponde a uma viga de concreto armado, bi-apoiada, com seção transversal retangular e submetida a duas forças verticais F posicionadas simetricamente com relação ao meio do vão. O momento constante, que solicita a região entre as duas forças, induz uma distribuição difusa de micro-fissuras ao longo deste trecho. A seguir, são apresentados os dados relativos às propriedades do aço (sub-índice s) e do concreto (sub-índice c). Entre eles estão, também, os parâmetros dos modelos de Mazars e o raio adotado na abordagem não-local:

Figura 2 - Viga em concreto armado - geometria e detalhe de armaduras - medidas em cm.

Os parâmetros para o Modelo de Mazars foram obtidos por identificação paramétrica em ensaios apresentados em ÁLVARES (1993), onde também se encontram os resultados experimentais utilizados para confronto. Com relação ao



98

aço, considerou-se um comportamento elástico linear. Entre os meios concreto e aço admitiu-se aderência perfeita.

4.1 Análise numérica

Duas análises estáticas bi-dimensionais foram realizadas. As malhas de elementos finitos empregadas estão representadas na Figura 3. A Malha I apresenta elementos com funções de aproximação bi-lineares e um número total de graus de liberdade NGL=1376. Já na Malha II, foram utilizados poucos elementos com enriquecimento de grau variável para cada nuvem. Nesse caso, o conjunto de funções (2) empregado pode ser representado como:

Figura 3 - Condições de contorno e discretização adotadas.

Os monômios jip tem valores nulos no ponto nodal jx e foram normalizados por uma dimensão característica da malha, no caso a maior diagonal dos elementos que pertencem à nuvem jω . Essas características impostas tiveram o objetivo de eliminar a interferência das dimensões do problema na aproximação numérica, além de garantir, para as funções de forma, as propriedades do delta de Kronecker em relação aos nós. O parâmetro )( pq j corresponde ao número de funções necessário para que a aproximação reproduza exatamente polinômios completos até o grau p. A seguir são listadas outras considerações admitidas nas análises:



99

• condições de contorno: para se manter a coerência com a formulação bi-

dimensional as restrições nodais e as forças concentradas foram substituídas, respectivamente, por um vínculo de face no elemento adjacente ao apoio e uma carga distribuída q;

• aproximação das armaduras: utilizou-se para as malhas I e II a técnica de embutimento da armadura, descrita em RANJBARAN (1991) . Apenas a armadura positiva foi considerada;

• integração numérica: realizada através da quadratura de Gauss-Legendre. Para a Malha I foram utilizados 2 por 2 pontos por elemento. Já para a Malha II, foi empregado um conjunto de 4 por 4 pontos para os elementos próximos do apoio e da força q. Para os demais elementos, de dimensões maiores, foram adotados 6 por 6 pontos de integração para captar a evolução do dano;

• análise não-local: a utilização de cm 3=nlr tem um efeito regularizador, fazendo com que o dano, no limite, se concentre em bandas de largura finita, garantindo, com isso, a objetividade da resposta numérica;

• tolerância e passos de carregamento: como critério de convergência do algoritmo de solução iterativa, adotou-se uma tolerância de 0,5% para a norma energia incremental em relação à norma obtida para o primeiro passo elástico. Os primeiros 4 passos incrementais do carregamento representaram, cada um, 9% da força total aplicada (30 kN), sendo seguidos por um passo com 4%, 26 passos com 1% e os 17 últimos passos com 2%. Esta forma adotada para aplicação do carregamento se deve à elevada não-linearidade observada a partir de 12 kN;

• montagem da matriz de rigidez: para evitar o mal-condicionamento da matriz e rigidez, para efeitos de sua atualização quando da reaplicação do resíduo, o dano foi limitado (D<0,87);

Figura 4 - Análise estática.

No gráfico da Figura 4, os resultados experimentais de ÁLVARES (1993) são confrontados com os resultados das análises numéricas. As curvas descrevem a história do carregamento F (equivalente à resultante da carga distribuída q)



100

relacionando-o ao deslocamento vertical (medido no meio do vão, na face inferior da viga, como mostrado na Figura 3). Pode-se afirmar que as respostas são praticamente coincidentes para as análises com as malhas I e II, aproximando-se satisfatoriamente dos resultados experimentais. Optou-se por interromper a análise no nível de força correspondente a 30 kN. Acima desse nível caracteriza-se, experimentalmente, a plastificação das armaduras, não considerada nesta modelagem. As Figuras 5(a) e 5(b) ilustram a distribuição do dano, para o nível de força 14,4 kN com as malhas I e II, respectivamente. Nota-se que a região de distribuição do dano, obtida com as duas malhas, é bem semelhante. Na 5(a), porém, ocorre uma maior concentração, o que pode ser explicado pelo elevado nível de refinamento h da Malha I se comparado ao da Malha II. Testes realizados com aproximações polinomiais de ordem inferior e superior à apresentada na Figura 3(b) indicaram que à medida que se eleva a ordem polinomial da aproximação, mais próxima a distribuição do dano fica do observado na Figura 5(a).

Figura 5 - Mapa da distribuição do dano.

5 MEDIDAS DE ERRO EM ANÁLISE NÃO-LINEAR

A definição da medida de erro para o problema não-linear, obtida com base na formulação do MRE apresentada em ODEN et al. (1989), é escrita a seguir, resumidamente. Maiores detalhes podem ser encontrados em BARROS, F.B. (2002).

Seja um problema com não-linearidade física cuja a resolução é conduzida pelo procedimento descrito na seção 3. Admite-se que o equilíbrio já esteja verificado até o passo t. Sendo assim, no passo t+Δt o problema que se procura resolver equivale a encontrar utt Δ+ tal que:



101

onde:

• btt Δ+ e ttt Δ+ são as força de volume e de superfície no passo t+Δt; • utt Δ+ é o deslocamento prescrito ao final do passo t+Δt em DΓ .

Considere-se, agora, a aproximação p

tt uΔ+ da solução no passo t+Δt, onde p representa o grau máximo do polinômio capaz de ser reproduzido. Os conjuntos de funções empregados para o enriquecimento da solução são definidos como em (17). Por conveniência, o espaço das funções de aproximação é caracterizado ao nível dos elementos e pode ser representado por:

onde

Kpv refere-se à restrição da função pv ao elemento finito pertencente ao

domínio Ω.

Ao final do passo t+Δt pode-se definir a função erro de aproximação como:

A partir daí, uma opção seria substituir a (19) na (18) no sentido de se obter o PVC

expresso em função do erro. Uma ulterior medida do erro, expressa por meio de uma conveniente norma, poderia servir como controle da qualidade da solução obtida no passo.

Inicialmente, é importante observar que devido à não-linearidade do meio, as

propriedades de rigidez do mesmo, no caso da danificação, resultam diferentes comparando-se, por exemplo a solução utt Δ+ e a solução aproximada p

tt uΔ+ , correspondente a um certo grau de refinamento; a conseqüência disso é que:

Por outro lado, admitindo-se que a variação de rigidez seja contínua com o refinamento da solução numérica, pode-se tomar como válida a seguinte aproximação:

Com as relações (20) e (19) inseridas na (18), pode-se então exprimir o seguinte PVC, do qual resulta uma estimativa ∗Δ+

ptt e para o erro de aproximação

ptt eΔ+ :



102

onde são definidos as funções de resíduo no domínio e contorno:

A qualidade dessa estimativa depende fortemente de que utt Δ+ e

ptt uΔ+ estejam bastante próximos, de modo que a rigidez local utilizada em (20) resulte

suficientemente precisa. Tal condição pode ser atendida no problema não-linear tomando-se pequenos passos de carregamento. Para que o problema (21) possa ser formulado para cada elemento isoladamente, uma nova condição de contorno natural deve ser considerada nas fronteiras de cada elemento com seus vizinhos. Empregando-se, então, a expressão (20) para se definir as tensões normais à face dos elementos, pode-se estabelecer que:

Como não se conhece a função )( ut tt Δ+ , utiliza-se em seu lugar, como estimativa, a tensão média, )( ut tt Δ+ , dos valores calculados no elemento em questão$ e seus vizinhos. Dessa forma, a condição (23) torna-se:

Para se obter a forma aproximada de Galerkin do problema (21), considera-se o seguinte espaço de aproximação definido como:

As funções de tal espaço devem ser, portanto, ortogonais ao espaço Xp no sentido do operador de interpolação local Πp. Esse operador realiza a projeção de funções do espaço de Hilbert sobre o espaço das funções de aproximação ou seja:

Assim no espaço definido em (25) encontram-se apenas os monômios de ordem maior do que p.



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Sejam, então, as aproximações ptt e~Δ+ e 0

ptt vΔ+ denominadas função

indicadora de erro e função teste respectivamente:

onde os seguintes vetores e matrizes são definidos:

O sistema de equações resultante para o elemento K no passo t+Δt pode ser representado na forma:

onde são empregados:

• matriz de rigidez (em que tgC representa a expressão tangente para a relação tensão-deformação no modelo de dano de Mazars, BARROS, F.B. (2002)):

• vetor de forças residuais nodais generalizadas:



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Um comentário específico a respeito do vetor Kθtt Δ+ ,que aparece na (34) merece registro. O problema variacional que resulta no sistema (32) pela maneira como é definido, isto é, por elemento e sem condições de contorno essenciais, a menos que seja um elemento que intercepta a porção do contorno DΓ caracteriza-se como um problema de Neumman. Para que apresente solução única é necessário que os dados, representados por:

constituam vetores equilibrados. Para satisfazer essa condição, uma nova distribuição de tensões que equilibrem esses dados deve ser introduzida ao problema, de forma consistente com sua formulação. Para isso emprega-se a estratégia proposta em LADEVÈZE; MAUNDER (1996), em que essas tensões equilibradoras são determinadas ao longo da face dos elementos, gerando-se um vetor que, para o presente problema, é representado ao final de cada passo t+Δt pelo termo Kθtt Δ+ . No caso específico do MEFG, apenas as componentes de forças residuais associadas à PU são importantes para o equilíbrio e, por isso, as demais componentes, atreladas às funções enriquecidas, não são consideradas no equilíbrio dos dados utilizados no sistema (32). Depois que a função p

tt e~Δ+ é determinada para cada elemento, uma medida global do erro pode ser introduzida, empregando-se valores locais da norma energia:

onde para cada elementos tem-se:

Resta, finalmente, inferir sobre a qualidade de p

tt e~Δ+ obtido pela (32) a partir

das contribuições de cada elemento, como aproximação de ptt eΔ+ global. Como já

mencionado anteriormente, o cálculo proposto para o estimador foi decorrente da não-linearidade do problema analisado. É importante para sua validade que haja um controle sobre o tamanho dos passos no procedimento de solução incremental: quanto menores melhor é a aproximação resultante. Um outro aspecto a ser considerado e proveniente, agora, da suposta validade do estimador, está relacionado à possibilidade de controle do erro a cada passo mediante uma análise adaptativa. Nesse sentido, a medida local (36) poderia ser empregado como indicador para o enriquecimento da solução segundo o MEFG, em determinadas regiões do meio, evitando-se que a resposta p

tt uΔ+ afaste-se muito de

utt Δ+ ao longo da história de carregamento.



105

6 CHAPA DE CONCRETO

Figura 6 - Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em mm.

No exemplo descrito a seguir, procura-se avaliar a qualidade da medida global~(35) como estimativa do erro para um problema com não-linearidade física. A cada passo de carga, a norma~(35), calculada pela contribuição de valores locais, é comparada a uma medida clássica sobre todo o volume, baseada em energia, resultante do seguinte produto interno:

A razão entre os dois valores determina o índice de efetividade global θ. Se esse índice estiver próximo da unidade, significa que a medida (35) é capaz de representar bem o produto interno (37). O problema analisado está ilustrado na Figura 6 e corresponde a uma chapa de concreto, com espessura cm 10=zl , solicitada à compressão por uma força de volume 3MN/m 100=b . As condições de contorno naturais são representadas por uma tensão de reação 2MN/m 45=q ao longo da face AB que impede o seu deslocamento na direção x. Os vínculos utilizados como condições de contorno essenciais têm a função de eliminar os movimentos de corpo rígido. A análise, considerando-se um estado plano de tensão, foi realizada empregando-se a malha da 7(a), com aproximação linear, portanto, por simplificação, sem o enriquecimento do MEFG. Para o cálculo da medida de erro (35), aplicou-se o procedimento descrito na seção (5). Para o emprego da (37), adotou-se a solução numérica encontrada com a malha de 2400 elementos, ilustrada na Figura 7(b).



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Figura 7 - Malhas utilizadas com aproximação linear - medidas em mm.

Para simular o comportamento do meio, utilizou-se o Modelo de Mazars, neste caso com abordagem local. Os seguintes parâmetros do modelo foram adotados:

Para a representação das funções indicadoras de erro (27) em cada elemento K empregou-se o seguinte espaço de funções bolha:

gerado pelas funções de forma associadas a cada nó jx :

onde jh corresponde à medida da diagonal dos elementos usados para a análise. Para a resolução numérica e aplicação do MRE foram feitas as seguintes

considerações:

• montagem da matriz de rigidez: formulação secante para as matrizes utilizadas em (14) e formulação tangente, de acordo com as expressões (33) para o cálculo das funções de erro;

• integração numérica: na malha de 2400 elementos foram usados 2 por 2

pontos de Gauss-Legendre. Já na malha de 8 elementos, para melhor representar a distribuição do dano foram empregados 12 por 12 pontos de Gauss-Lobatto. O emprego da quadratura de Gauss-Lobatto visou facilitar o cálculo das parcelas da expressão (34) definidas nas faces dos elementos;

• equilíbrio: a convergência do processo iterativo de solução do Método de

Newton-Raphson foi averiguada pelo critério em energia, adotando-se uma tolerância de 0,001% com relação ao primeiro passo elástico. A força de



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volume b e a de superfície q foram introduzidas em 65 incrementos: um primeiro passo com 10% do total do carregamento, seguido de 26 passos com 2% e outros 38 com1%. A capacidade máxima encontrada para a chapa equivale a 76% do carregamento inicialmente previsto, correspondente ao passo 41. Os resultados em deslocamentos são exibidos no gráfico da Figura 8; no eixo das abscissas representam-se os deslocamentos horizontais medidos no ponto médio da face CD da Figura 6

Figura 8 - Reposta global da estrutura.

A título de ilustração, na Figura 9 mostram-se as distribuições de dano, ao final do passo 41, para as análises realizadas com as malhas de 2400 e 8 elementos.

Figura 9 - Mapa da distribuição do dano no passo 41.

O erro relativo estimado para a aproximação da malha com 8 elementos foi de

12,84% para o primeiro passo elástico,chegando a 16,55% ao final do passo 41. A medida (35) foi avaliada por meio do índice global de efetividade θ, calculado em cada passo e representado no gráfico da Figura 10. De acordo com os resultados obtidos, conclui-se pela boa qualidade do estimador de erro adotado. Deve-se, entretanto, observar que determinadas características deste problema favoreceram a excelência dos resultados. O dano, como mostrado nos ``mapas de dano'' da Figura 9 está limitado a 06. Como conseqüência, a relação tensão-deformação é ainda ascendente em todos os elementos e, por isso, a matriz tangente pôde ser usada nos problemas locais para ao cálculo das funções indicadoras de erro. Além disso, foram usados



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passos bem pequenos, especialmente a partir do instante em que se observa uma maior a evolução do dano.

Figura 10 - Índice de efetividade global em cada passo.

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesse trabalho, a formulação do MEFG foi brevemente revista com o objetivo de introduzi-la no contexto da análise não-linear física. Algumas considerações foram feitas para tal abordagem e o problema de uma viga de concreto armado foi então apresentado. Os resultados mostraram a eficiência da técnica de enriquecimento nodal do MEFG para aproximar a resposta global da estrutura. A principal vantagem com relação às análise convencionais com o MEF consiste na simplicidade com que o refinamento p não-homogêneo pode ser realizado, sem a necessidade que condições de restrição sejam impostas às funções de aproximações entre elementos. Para melhor aproveitar a potencialidade dessa estratégia, visando o estabelecimento de um procedimento p-adaptativo, foi proposta uma medida de erro baseada no MRE. Sua avaliação foi feita em um problema de uma chapa de concreto solicitada por forças de volume que provocam a danificação da peça por esmagamento. Os bons resultados obtidos apontam para o emprego dessas medidas de erro como indicadoras de enriquecimento nodal em um procedimento p-adaptativo, cuja implementação será assunto de um próximo artigo.

8 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) do Brasil.

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São Carlos, v.10 n. 45 2008Isabella Andreczevski Chaves & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 45, p. 1-22, 2008 2 ferramenta