Universidade de Brasília

Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Programa de Mestrado Pro�ssional em

Matemática em Rede Nacional

Sobre Juros e Aplicação de Conceitos Clássicos

em Matemática Financeira

Ulysses Orlando Júnior

Brasília

2015

Ulysses Orlando Júnior

Sobre Juros e Aplicação de Conceitos

Clássicos em Matemática Financeira

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Matemática da Uni-

versidade de Brasília, como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre.

Orientador: Prof. Dr. Kellcio Oliveira Araujo

Brasília

2015

Ficha catalográfica elaborada automaticamente, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

O71sOrlando Júnior, Ulysses Sobre Juros e Aplicação de Conceitos Clássicos emMatemática Financeira / Ulysses Orlando Júnior;orientador Kellcio Oliveira Araujo. -- Brasília, 2015. 76 p.

Dissertação (Mestrado - Mestrado Profissional emMatemática) -- Universidade de Brasília, 2015.

1. Matemática Básica. 2. Matemática Financeira.3. Educação Financeira. I. Araujo, Kellcio Oliveira,orient. II. Título.

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial deste trabalho

sem a autorização da universidade, do autor e do orientador.

Ulysses Orlando Júnior graduou-se em Matemática pelo Uniceub e atualmente é

Professor de Matemática na Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal.

Amatemática é a única linguagem que temos em comum

com a natureza.

Stephen Hawking

Este trabalho é dedicado à minha Esposa, �lhos e aos

meus pais, que muito me apoiaram e me incentivaram.

Agradecimentos

Primeiramente a Deus, que sempre me abençoou e me agraciou com mais essa opor-

tunidade, que me deu força e iluminação em todo o trajeto percorrido, possibilitando

a conclusão deste curso, tão importante para minha formação acadêmica.

À minha família, minha esposa Silvana e meus �lhos Renata, Bruna, Lucas, Ga-

briel e Rafael que muito me motivam na busca em tornar-me um ser humano melhor,

e em ser um esposo e pai à altura do amor que sinto e aos meus pais, fonte maior de

inspiração.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Kellcio Oliveira Araujo, pelas correções, conselhos,

orientações e contribuições fundamentais para este trabalho.

Aos professores do Departamento de Matemática, em especial àqueles que minis-

traram cursos para a turma de 2013, bem como aos colegas de curso, que de alguma

forma estiveram envolvidos com o Programa de Mestrado PROFMAT, pelos momen-

tos de partilha e companheirismo que contribuíram para que estreitássemos laços de

amizade. De modo especial aos amigos Emmanuel, Emerson, Gustavo e Ricardo que

tantas tardes e noites passamos ao longo de 2013 a 2015 nos dedicando a cumprir as

grati�cantes etapas desse curso de mestrado.

À CAPES, pelo suporte �nanceiro.

En�m, a todos que direta ou indiretamente, contribuíram para a conclusão deste

trabalho, que acreditaram e torceram por mim, o meu muito obrigado.

Resumo

Neste trabalho, abordamos o cálculo de juros aplicações de conceitos clássicos da

matemática básica, como por exemplo, frações, números decimais, regra de três, funções

a�m e exponencial, bem como progressões aritméticas e geométricas, que se revelam

como ferramentas e�cazes na aplicação do cálculo de juros e porcentagens e na reso-

lução de problemas do ambiente escolar, tanto para o aluno como para o professor.

Apresentamos tais conceitos como base dos conceitos da matemática �nanceira para

facilitar o entendimento e implementar a educação �nanceira que é um procedimento

educativo que aplica métodos próprios, em que o professor auxilia o aluno a construir

sua autonomia para analisar e argumentar sobre �nanças, desenvolver atividades para

auxiliar os consumidores a orçar e gerir a sua renda, a poupar e a investir. São elemen-

tos e concepções signi�cativas para que o cidadão exerça atividade, trabalho, pro�ssão e

lazer, analisando e argumentando diante dos apelos do consumismo. Ao associar noções

de Economia com conteúdos de Matemática, focando a Matemática Básica aplicada na

Matemática Financeira no ensino a intenção é mostrar possibilidades para melhorar a

problemática que reside no panorama �nanceiro dos estudantes.

Palavras-chave

Matemática Básica; Matemática Financeira; Educação Financeira; Poupar; Inves-

tir; Cidadania.

9

Abstract

In this paper we report the calculation applications interest of classic concepts of

basic math, for example, fractions, decimal numbers, three rule in order functions,

exponential, and geometric and arithmetic progression, that reveal themselves as ef-

fective tools in the application of interest calculation and percentages and resolving

problems of the school environment, both for the student and the teacher. Introducing

such concepts as the basis of the concepts of �nancial mathematics to facilitate unders-

tanding and implementing �nancial education which is an educational procedure that

applies own methods, in which the teacher helps the student to build their autonomy to

analyze and argue about �nances, develop activities to help consumers to budget and

manage your income, saving and investing. They are signi�cant elements and concepts

so that citizens exercise activity, job and leisure, analyzing and arguing appeals before

consumerism. By associating notions of economics with mathematics content, focusing

on Basic Applied Mathematics in Financial Mathematics in teaching the intention is

to show possibilities to improve the problem lies in the �nancial outlook of students.

Keywords

Basic Mathematics; Financial math; Financial education; Save; Investing; Citi-

zenship.

10

Lista de Figuras

1 Grá�co da Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Representação da Progressão Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Representação da Progressão Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

11

Lista de Tabelas

1 Apresentação de Taxas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Vantagens e Desvantagens do Cartão de Crédito . . . . . . . . . . . . . 70

12

Sumário

1 Introdução 15

2 Matemática Financeira no Ensino Fundamental 18

2.1 As frações e os números decimais no cálculo das porcentagens . . . . . 18

2.1.1 Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 A regra de três no cálculo das porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Conceitos Clássicos da Matemática aplicados à Matemática Finan-

ceira 27

3.1 A Matemática Financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Função A�m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Função Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Progressões Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Termo Geral de uma Progressão Aritmética . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética . . 38

3.5 Progressões Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.1 Termo Geral de uma Progressão Geométrica . . . . . . . . . . . 41

3.5.2 Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica . . 43

3.6 Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6.1 Fórmulas de Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6.2 Fórmulas do Montante ou Valor Futuro . . . . . . . . . . . . . 47

3.6.3 Fórmula do Capital ou Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.8 Resoluções de problemas aplicando conceitos clássicos da Matemática

Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Educação Financeira voltada para jovens 57

4.1 Orçamento Familiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Identi�cação dos Ralos por onde Escoam as Finanças Pessoais . . . . . 62

4.2.1 O Endividamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 O Impacto das �Pequenas� Despesas no Orçamento . . . . . . . . . . . 64

4.4 Boas Práticas de Finanças Pessoais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.1 Ciladas com Cartão de Crédito ou Cheque Especial . . . . . . . 69

5 Considerações �nais 73

Referências 75

14

1 Introdução

Alguns especialistas em Educação Financeira conforme [7], por exemplo, entendem

que a omissão das escolas em relação a noções do comércio, economia, de impostos e de

�nanças tem uma consequência perversa: a maioria das pessoas, quando adulta, con-

tinua ignorando esses assuntos e segue sem instrução �nanceira e sem habilidade para

manejar dinheiro. As consequências se tornam mais graves, pois ninguém, qualquer

que seja a sua pro�ssão, está livre dos problemas ligados ao mundo das �nanças pesso-

ais. É importante tomar consciência da necessidade de alfabetização �nanceira, o que

pode ocorrer por iniciativa própria, por orientação dos pais ou por conselhos de amigos.

Infelizmente, para muitas pessoas o alerta chega em virtude de algum desastre �nan-

ceiro que na maioria dos casos, decorre da falta da educação �nanceira, como também

da falta de controle e planejamento �nanceiro, gerando problemas no orçamento pes-

soal.

Existem também outros fatores que afetam o orçamento doméstico, são extrínsecos

e fogem ao controle e planejamento das pessoas. É o caso das crises econômicas e

suas consequências sobre emprego e renda. Esses eventos podem e devem, em muitos

casos, ser minimizados, desde que se adotem algumas providências preventivas, caso

contrário, pode haver turbulência passageira no equilíbrio �nanceiro, mas que, dentro

de um processo de planejamento �nanceiro, conseguem ser razoavelmente contornadas.

Mesmo com um nível de in�ação mais baixo nos dias de hoje, a administração do

orçamento doméstico exige verdadeiros malabarismos, principalmente para quem já

opera nos limites de seus rendimentos, caso da maioria das pessoas.

Para tanto, escolheu-se abordar um tema de importância reconhecida para todas as

famílias, �Sobre Juros e Aplicação de Conceitos Clássicos em Matemática Financeira�,

que tende a ajudar as pessoas a obterem controle do orçamento pessoal e familiar,

evitarem as futuras dívidas pessoais, identi�car as melhores opções de investimento

de acordo com cada objetivo, e entenderem algumas linhas de créditos oferecidas pelo

mercado.

15

Como caracterização deste estudo, tem-se que, embora se observem diversas trans-

formações ocorridas pelas políticas educacionais, exigindo do professor a criação de

estratégias que apresentem a realidade extraclasse ao seu aluno, visando a uma facili-

tação no desenrolar de situações que podem surgir em seu dia-a-dia, o que se vê hoje é

um ensino pouco contextualizado, contribuindo para a falta de interesse dos alunos. No

tocante à matemática, infelizmente, a ideia �gura do mesmo modo, portanto trabalhar

essa disciplina de forma a prender a atenção do aluno, a �m de ensiná-lo a lidar com

os mais diversos casos é de suma importância.

Nesse contexto, a Matemática �nanceira se apresenta como uma excelente alterna-

tiva para compor o currículo escolar, visto que é contextual por excelência, é atual e de

importância fundamental para a formação de um ser humano crítico e para um bom

planejamento familiar, pois ela oferece base necessária para a tomada de importantes

decisões durante a vida.

Como Situação-Problema, sabe-se que diante da real situação na qual se encontram

os jovens atualmente, é que surgiu a necessidade de se estudar abordagens contextua-

lizadas para a Matemática Financeira como forma de se obter um bom planejamento

familiar.

Nesse sentido, a pergunta-problema a ser respondida ao �nal é:

• Qual a importância da Matemática Financeira para o planejamento familiar e o

orçamento pessoal?

Como Objetivo Geral deste estudo, buscou-se evidenciar a importância da Mate-

mática Financeira para o planejamento familiar e o orçamento pessoal.

Já os Objetivos Especí�cos são:

• Analisar fundamentos, ferramentas e melhores técnicas para o estudo de juros e

Matemática Financeira no ensino escolar;

• Pesquisar e descrever a importância dos conceitos clássicos da Matemática básica

aplicados à Matemática Financeira e sua real necessidade para o planejamento

familiar.

16

Este estudo está dividido em 3 (três) capítulos, além desta introdução, considera-

ções �nais e as referências. Os capítulos estão divididos da seguinte forma:

No capítulo 2 apresentaremos uma proposta para introduzir o estudo e o cálculo de

juros no Ensino Fundamental através da resolução de problemas.

No capítulo 3 trata-se da percepção �nanceira do ser humano e sua interação com o

dinheiro, de�nições básicas de Matemática Financeira, juros simples, juros compostos,

usando conceitos clássicos da matemática do ensino básico.

Já no capítulo 4, está a educação �nanceira voltada para jovens, tratando do orça-

mento familiar, identi�cação dos ralos por onde escoam as �nanças pessoais, além das

boas práticas para as �nancias pessoais.

Neste estudo, procurou-se escrever um trabalho de fácil entendimento para qual-

quer pessoa que possui matemática básica.

17

2 Matemática Financeira no Ensino Fundamental

Neste capítulo serão apresentadas algumas propostas de como introduzir o cálculo

de juros no ensino fundamental, considerando alguns conceitos básicos do Ensino Fun-

damental, através de situações do cotidiano, por meio de resolução de problemas.

2.1 As frações e os números decimais no cálculo das porcenta-

gens

Podemos perceber muitas situações presentes no cotidiano do indivíduo que são ex-

pressas em porcentagem, que é representada por uma Razão Centesimal, uma fração

cujo denominador é 100. Por exemplo:

25

100≡ 25%

8

100≡ 8%

115

100≡ 115%

Para utilizarmos o cálculo mental a �m de determinar a porcentagem de um valor

qualquer, se faz necessário conhecer os signi�cados de algumas dessas porcentagens

como vemos a seguir:

• 10% = a décima parte ou um décimo;

• 20 % = a quinta parte ou um quinto;

• 25% = a quarta parte ou um quarto;

• 50% = a metade ou um meio;

18

• 75% = três vezes a quarta parte ou três quartos do total;

• 100% = um inteiro ou tudo.

Nesse contexto é fácil ver que o conceito de �fração� é um elemento básico funda-

mental para a introdução de cálculos de porcentagem e consequentemente de juros.

Para tal devemos também efetuar as devidas transformações de frações em porcenta-

gens e em números decimas e vice-versa.

2.1.1 Transformações

1. Fração em porcentagem e em número decimal

• 1

5=

20

100= 20% = 0, 20 = 10, 2

• 1

2=

50

100≡ 50% = 0, 50 ≡ 0, 5

• 3

4=

75

100≡ 75% ≡ 0, 75

• 1

1=

100

100≡ 100% ≡ 21

2. Porcentagem em fração e em número decimal

• 30% ≡ 30100

=3

10= 0, 3

• 52% ≡ 52100

=13

25= 0, 52

• 45% ≡ 45100

=9

20= 0, 45

1Vinte centésimos e dois décimos são equivalentes, e essa passagem se faz necessária apenas para

elucidar a notação para estudantes não familiarizados.2Os valores 0,2 e 0,5 estão em notação unitária que recebe essa nomenclatura pelo fato de 100%=1.

19

• 30% ≡ 16100

=4

25= 0, 16

3. Número decimal em fração e em porcentagem

• 0, 12 =12

100≡ 12%

• 0, 37 =37

100≡ 37%

• 0, 6 =6

10≡ 60

100= 60%

• 0, 03 =0, 3

10≡ 3

100= 3%

Quando o professor observar que o aluno começa a fazer uso desses conceitos, sugere-

se que sejam trabalhados alguns exemplos através de exercícios direcionados ao con-

texto.

As taxas podem ser apresentadas de duas formas:

• Percentual (%);

• Decimal ou unitária.

Abaixo, na Tabela 1, apresentamos alguns valores de taxas percentuais e decimais

ou unitárias.

20

Tabela 1: Apresentação de Taxas

Taxa Percentual Taxa Decimal ou Unitária

25% 0, 25

5% 0, 05

1, 5% 0, 015

0, 5% 0, 005

2, 5% 0, 025

2% 0, 02

0, 18% 0, 0018

1500 15

A seguir apresentamos algumas situações propostas para que tais conceitos sejam

aplicados.

Exemplo 1. Numa classe de 35 alunos, 14 são homens. Qual a porcentagem de mu-

lheres nessa classe?

Solução:

Dos 35 alunos existentes nessa classe, 14 são homens então 21 são mulheres. O que

nos mostra que existem 21 mulheres em 35 alunos, ou seja:

21

35= 0, 6 = 60%

O que nos mostra que a porcentagem de mulheres nessa classe é de 60%.

Exemplo 2. Um cliente dirige-se a uma loja no dia 25 de junho para comprar um

televisor que custa R$ 1880,00 à vista. Como ele só vai receber seu salário no dia 10 de

julho ele resolve comprar a prazo, solicitando que o pagamento deva ser prorrogado para

o dia do recebimento de seu salário. O gerente da loja autoriza a compra, informando

que o cliente deve pagar 6% de juros sobre o preço à vista do televisor, pelo prazo

solicitado. Desse modo, qual o valor que o cliente deverá pagar na data solicitada?

21

Solução:

Como sabemos que 6% =6

100de R$ 1880,00 devemos calcular o valor acrescido

multiplicando o preço à vista por 6 e em seguida dividi-lo por 100 como numa multi-

plicação de uma fração por um número inteiro. Dessa forma temos:

R$ 1880, 00× 6

100=

R$ 11280, 00

100= R$ 112, 80

Veri�camos então que o valor acrescido (juros) ao preço à vista é de R$ 112,80 e

que, o valor a ser pago por esse cliente na data solicitada é de:

R$ 1880, 00 +R$ 112, 80 = R$ 1992, 80.

Uma outra forma de resolver esse problema, é observando que ao acrescer 6% sobre

o preço à vista do televisor o novo preço será de 100%+6% = 106% do preço anterior.

Como vimos 106% =106

100= 1, 06 (que chamamos a esse número decimal de fator de

correção do preço à vista). Assim, para obtermos o novo preço, basta multiplicarmos

o preço anterior pelo seu fator de correção. Deste modo:

R$ 1880, 00.1, 06 = R$ 1992, 80.

Exemplo 3. Um investidor comprou um terreno por R$ 15000,00 e vendeu-o um ano

depois por R$ 18750,00. Qual o lucro em porcentagem, que esse investidor obteve?

Solução:

Para calcularmos o lucro em reais devemos diminuir o preço de compra (que tam-

bém é conhecido como preço de custo) do preço de venda, assim:

O lucro obtido em reais é R$ 18750, 00−R$ 15000, 00 = R$ 3750, 00.

Agora, para calcularmos o lucro obtido em porcentagem, basta tomarmos o quoci-

ente entre o lucro obtido em reais e o preço de custo do terreno:

R$ 3750, 00

R$ 15000, 00= 0, 25 =

25

100= 25%

Portanto, o lucro obtido em porcentagem é de 25%.

Exemplo 4. Uma corrente de ouro cujo preço de tabela é R$ 320,00 é vendida com

um desconto de 15%. Qual o preço de venda?

22

Solução:

Para calcularmos o desconto em reais multiplicamos o valor de tabela pela fração

correspondente a 15%, assim:

R$ 320, 00× 15

100= R$ 48, 00.

Então o preço, em reais após o desconto é:

R$ 320, 00−R$ 48, 00 = R$ 272, 00.

Poderíamos também concluir que, se foi concedido 15% de desconto, então o com-

prador pagou 100%−15% = 85% do valor de tabela. Multiplicando o fator de correção

0,85 pelo preço de tabela, encontramos o preço de venda. Dessa forma:

R$ 320, 00× 0, 85 = R$ 272, 00.

Assim, a corrente de ouro foi vendida por R$ 272,00.

2.2 A regra de três no cálculo das porcentagens

Os elementos fundamentais nas situações problemas que envolvem porcentagem são:

o valor básico, a taxa de porcentagem e a porcentagem do valor básico. Os proble-

mas mais simples consistem em dados dois desses elementos, calcular o terceiro. Nesse

momento o professor deve motivar o aluno a aplicar conceitos de regra de três e pro-

porcionalidade. Cada exemplo deve ser pensado para que o aluno desenvolva e analise

estes conceitos.

Vamos então apresentar algumas situações para que tais conceitos sejam aplicados.

Exemplo 5. Um funcionário, cujo salário mensal é de R$ 1080,00 recebe um aumento

de 5,2%. Qual é seu novo salário?

Solução :

Para calcularmos o novo salário devemos usar os conceitos da regra de três que

determina a proporcionalidade dos elementos envolvidos através da razão existente

entre as grandezas envolvidas, onde X será de�nido como o valor a ser acrescido no

salário desse funcionário. Logo:

23

Salário Porcentagem (%)

R$ 1080, 00 100

x 5, 2

100× x = R$ 1080, 00× 5, 2

x = R$ 56, 16.

Portanto o novo salário desse funcionário será deR$ 1080, 00+R$ 56, 16 = R$ 1136, 16.

Alternativamente, para resolvermos esse problema, poderíamos utilizar o mesmo

processo do exemplo 2, ou seja, multiplicando pelo fator de correção 1,052. Então

teremos:

R$ 1080, 00.1, 052 = R$ 1136, 16.

Exemplo 6. O litro de gasolina sofreu um aumento de 12% e passou a custar R$ 3,05.

Qual é o preço anterior ao aumento do litro de gasolina?

Solução:

Salário Porcentagem (%)

R$ 3, 05 112

x 100

12× x = R$ 3, 05× 100

x = R$ 2, 724.

Assim, observamos que o preço da gasolina anterior ao aumento de 12% é de R$ 2,724.

Exemplo 7. Uma geladeira sofre um aumento de 25% em seu preço. Um cliente soli-

cita ao vendedor um desconto sobre o novo preço, de modo que ele pague pela geladeira

o preço anterior ao aumento. Sendo atendido o seu pedido, qual deverá ser o desconto

dado ao cliente?

24

Solução:

De modo análogo aos exemplos anteriores e considerando que a geladeira custe

R$ 1800, 00. Com o aumento de 2%, vemos que a geladeira passa a custar R$ 2250, 00.

O vendedor deve conceder um desconto, de tal modo que o preço retorne a R$ 1800, 00,

ou seja, deve conceder um desconto de R$ 450, 00. Considerando x a porcentagem do

desconto, temos que:

Salário Porcentagem (%)

R$ 2250, 00 100

450, 00 x

Daí:

2250, 00× x = R$ 450, 00× 100

x = 20%.

Logo, o desconto deve ser de 20% para que o cliente pague o preço anterior ao

aumento.

Exemplo 8. Um cliente paga R$ 2120,00 por um empréstimo de R$ 2000,00 que ele

havia tomado no mês anterior. Qual a porcentagem que ele pagou de juros?

Solução:

De modo análogo aos anteriores, de�nindo x como o acréscimo percentual sobre o

valor inicial R$ 2000,00. Assim temos que:

Salário Porcentagem (%)

R$ 2000, 00 100

2120, 00 100 + x

25

Assim,

2000, 00× (100% + x) = R$ 2120, 00× 100

100% + x = 106%.

x = 106%− 100%.

x = 6%.

Veri�camos então que foi pago 6% de juros pelo empréstimo tomado.

Notemos ainda que:

R$ 2000, 00× 1, 06 = R$2120, 00.

Embora em alguns casos a solução de imediato parece óbvia, mesmo com cálculos

simples é necessária uma interpretação correta para não ser induzido ao erro, dessa

forma o professor poderá concluir, juntamente com a classe, que todas as movimenta-

ções �nanceiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros.

Ao realizarmos um empréstimo ou uma compra a prazo a forma de pagamento é

feita por meio de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do

empréstimo ou da compra a prazo é superior ao valor inicial. A essa diferença damos

o nome de juros.

Juros proporciona aos alunos a revisão de conceitos como frações, números decimais

e porcentagens. Também veremos adiante nesse trabalho outros objetos matemáticos

que se relacionam com juros.

26

3 Conceitos Clássicos da Matemática aplicados à Ma-

temática Financeira

Neste capítulo serão apresentados conceitos clássicos da Matemática para compreen-

der a percepção �nanceira e o desenvolvimento teórico para o entendimento de fórmulas

usadas em matemática �nanceira, juros simples, juros compostos.

É notório que muitas pessoas sofrem impacto negativo nas �nanças pela ausência de

percepção �nanceira. Muitas desconhecem a aplicação dos juros, que muitas vezes são

aplicados no mercado de forma abusiva, no que diz respeito à eliminação e negociação

de dívidas.

3.1 A Matemática Financeira

A matemática comercial e �nanceira não é nova. Suas aplicações remontam de períodos

anteriores a Cristo. A própria Bíblia Sagrada traz referências de juros e de aplicações

�nanceiras, conforme [19].

É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado eutilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quandoo homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo.Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariamnormalmente a idéia de juros, pois se realizavam basicamente devido aovalor temporal do dinheiro.[21]

A matemática �nanceira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro

em função do tempo, segundo [3].

27

3.1.1 Porcentagem

O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos co-

merciais e �nanceiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal %.

Quando se efetua um cálculo de porcentagem, na verdade efetua-se um simples

cálculo de proporção.

Exemplo 9. Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?

Solução:

O raciocínio que se deve empregar na solução deste problema segue: Usando a

notação de regra de três, tem-se:

R$ 800, 00 ��� 100%

x ��� 10%

Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual

ao produto dos extremos), teremos que:

x =8000× 10%

100%= R$ 80, 00.

Portanto, a comissão de 10% sobre R$ 800,00 é de R$ 80,00.

3.2 Função A�m

As funções matemáticas, entre tantas características, examinam e especi�cam tanto os

cálculos do dia-a-dia quanto situações de maior complexidade, inclusive a partir do seu

ponto de vista, analisam as relações envolvendo grandezas. A matemática �nanceira

relaciona as operações �nanceiras de capitais nos regimes de juros simples e juros com-

postos às funções, de modo especial a função a�m e a função exponencial.

28

De�nição 1. Uma função f : R −→ R quando existem constantes reais a e b tais que

f(x) = ax+ b, para todo x ∈ R, chamamos f de função A�m.

Podemos determinar uma certa função f : R −→ R a�m mesmo que os coe�cientes

a e b não sejam explicitamente fornecidos. o número b é o valor que a função representa

quando x = 0, f(0) = b que, também é conhecido como valor inicial de f. O coe�ciente

a, é calculado a partir de f(x1) e f(x2) que f assume nos pontos x1 e x2. Logo:

f(x1) = ax1 + b e f(x2) = ax2 + b

O que nos mostra que:

f(x2)− f(x1) = (ax2 + b)− (ax1 + b)

f(x2)− f(x1) = ax2 − ax1

f(x2)− f(x1) = a(x2 − x1)

Portanto

a =f(x2)− f(x1)

(x2 − x1)

3.2.1 Função Linear

A função linear é a base matemática para a noção de proporcionalidade e é de�nida

por f : R −→ R, dada por f(x) = ax.

De�nição 2. Uma proporcionalidade é uma função f : R −→ R tal que, para quais-

quer números reais m e x tem-se:

f(mx) = m · f(x) ou f(mx) =f(x)

m,m 6= 0.

29

Observamos que no primeiro caso, f é uma proporcionalidade direta, sendo que,

no segundo caso, f apresenta uma proporcionalidade inversa. Os teoremas seguintes,

apresentam uma caracterização para a função linear.

Teorema 1. (Teorema Fundamental da Proporcionalidade). Seja f : R −→ R uma

função crescente. São equivalentes as seguintes a�rmações:

(i) f(q · x) = q · f(x) para todo q ∈ Z e todo x ∈ R;

(ii) Pondo a = f(1), tem-se f(x) = ax para todo x ∈ R;

(iii) f(x+ y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ R.

A demontração que utilizaremos pode ser encontrada em [11]

Demonstração. Para mostrar que (i) implica em (ii), provaremos inicialmente que,

para todo racional t =p

q, (i) implica em f(t · x) = t · f(x) , para todo x ∈ R.

q · f(t · x) = f(q · t · x) = f(p · x) = p · f(x)

Portanto

f(t · x) =(p

q

)f(x) = t · f(x).

Seja a = f(1). Como f(0) = f(0 · 0) = 0 · f(0) = 0, a monotonicidade de f nos dá

a = f(1) > f(0) = 0. Logo, a é positivo. Além disso, temos

f(t) = f(t · 1) = t . f(1) = t · a = a · t para todo t ∈ Q.

Agora mostraremos que se tem f(x) = ax para todo x ∈ R.

Suponha, por absurdo, que exista algum número real x tal que f(x) 6= ax.

Admita que ax < f(x). Temos

x <f(x)

a

Tome um número racional t tal que

x < t <f(x)

a

30

Então a · x < a · t < f(x), ou seja, a · x < f(t) < f(x). Absurdo, pois f é crescente.

(ii) implica em (iii):

Como para a = f(1), tem-se f(x) = ax, para qualquer x ∈ R;

f(x = y) = a(x+ y) −→ f(x+ y) = ax+ ay = f(x) + f(y)

(iii) implica em (i):

f(q ·x+ q · y) = f(q ·x)+ f(q · y) implica que f(q ·x+ q · y) = q · f(x)+ q · f(y) implica

que f(q · x+ q · y) = q · (f(x) + f(y)) implica que f(q · x+ q · y) = q · f(x+ y).

Teorema 2. (Caracterização da Função A�m). Sendo f : R −→ R uma função

monótona injetiva. Se o acréscimo f(x + t) − f(x) = g(t) não depender de x, mas

apenas de t, então f é uma função a�m.

A demontração que utilizaremos pode ser encontrada em [11]

Demonstração. Para t, r ∈ R :

g(t+ r) = f(x+ t+ r)− f(x)

g(t+ r) = f((x+ t) + r)− f(x+ t) + f(x+ t)− f(x)

g(t+ r) = g(t) + g(r)

Portanto, pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, pondo a = g(1) , tem-

se g(t) = a· t para todo h ∈ R. Observamos que f(x+ t)− f(x) = a · h. Fazendo f(0)

igual a b, temos que f(t) = a · t+ b, ou seja, f(x) = ax+ b para todo x ∈ R.

Exemplo 10. Sendo f(x) = ax+b uma função a�m e sendo p e q números reais dis-

tintos, mostrar que

f(p)− f(q)

p− q= a

31

.

Solução:

Fazendo p > q com p = q + h, temos que f(q + h)− f(q) = a(q + h)

Logo

f(p)− f(q) = a(p− q) −→ f(p)− f(q)

(p− q)= a.

Exemplo 11. O valor de um carro decresce linearmente com o tempo, devido ao

desgaste.Sabendo-se que hoje ele vale R$ 20.000, 00, e daqui a 5 anos R$ 2.000,00.

Qual o seu valor daqui a 3 anos?

Solução:

Nesse caso, x representa o tempo de uso do veículo e t tempo que resta para com-

pletar cinco anos de uso.

Sabendo que f(x+ t)− f(x) = a · t fazendo x = 0 e t = 5, temos:

f(0 + 5)− f(0) = a · 5

Logo,

a = −3.600.

Portanto, fazendo x = 3 e t = 2 temos:

f(3 + 2)− f(3) = −3.600 · 2 −→ f(3) = 9.200 = R$ 9.200, 00.

O valor do carro após três anos de uso é de R$ 9.200, 00.

3.3 Função Exponencial

Sendo a ∈ R tal que a > 0 e a 6= 1, a função exponencial de base a, f : R −→ R+,

denotada por f(x) = ax que obedece as propriedades a seguir, com x, y ∈ R.

32

(i) ax · ay = ax+y;

(ii) a1 = a;

(iii) x < y implica que ax < ay, quando a > 1 e x < y implica que ay < ax quando

0 < a < 1

Figura 1: Grá�co da Função Exponencial

Sendo f : R −→ R uma função com a propriedade (i),f(x + y) = f(x) · f(y), po-demos a�rmar que f não será de�nida no valor 0. Observe que para algum x0 ∈ R tal

que f(x0) = 0, para qualquer x ∈ R, temos

f(x) = f(x+ (x0 − x0)) = f(x0) · f(x− x0) = 0 · f(x− x0) = 0

O que nos mostra que f será identicamente nula.

Teorema 3. (Caracterização da função exponencial). Sendo f :R −→ R+ uma função

monótona injetiva. são equivalentes as seguintes a�rmações:

(i) f(q · x) = f(x)q para todo n ∈ Z e todo x ∈ R.

(ii) f(x) = ax para todo x ∈ R, onde a = f(1).

(iii) f(x+ y) = f(x) · f(y) para quaisquer x, y ∈ R.

33

A demonstração que utilizaremos pode ser encontrada em [11]

Demonstração. Observamos que para todo racional t =p

q(p ∈ Z, q ∈ N) tem-se

f(t · x) = f(x)t. Sabe-se que q · t = p, e f(t · x)q = f(q · t · x) = f(p · x) = f(x)p.

Portanto,

f(tx) = f(x)pq= f(x)t.

Então, sendo, f(1) = a, temos que f(t) = f(1 · t) = f(1)t = at para todo t ∈ Q.

Supondo que f seja crescente, logo 1 = f(0) < f(1) = a. Supondo que exista x ∈ Rtal que f(x) 6= ax.

Supondo ax < f(x), existe um número racional t tal que ax < at < f(x) . Como f

é crescente, tendo f(x) < f(t) então, concluímos que t < x. Por absurdo vemos que

(i) −→ (ii).

Observando (ii) −→ (iii):

f(x+ y) = ax+y = ax · ay = f(x) · f(y)

Portanto, (iii) −→ (i):

f(q · x+ q · y) = f(q · x) · f(q · y) = aqx · aqy = (f(x))q · (f(y)) = (f(x) · f(y))q.

Teorema 4. (Caracterização das funções exponenciais). Seja h : R −→ R+ uma fun-

ção monótona injetiva tal que, para x, t ∈ R quaisquer, o acréscimo relativoh(x+ t)− h(x)

h(x)não depende de x, mas apenas de t.

Então, se b = h(0) e a =h(1)

h(0), tem-se h(x) = b · ax para todo x ∈ R.

Demonstração. Supondo que ϕ(t) =h(x+ t)

h(x)não depende de x.

Substituindo f(x) =h(x)

b, onde b = h(0), com

f(x+ t)

f(x)não depende de x e, agora

com f(0) = 1. Pondo x = 0 na relação ϕ(t) =f(x+ t)

f(x), temos ϕ(t) = f(t) para

qualquer t ∈ R. Observe que f cumpre f(x+ y) = f(x) · f(y) para qualquer x, y ∈ R.Portanto h(x) = b · f(x) = b · ax.

34

Exemplo 12. O valor de um automóvel deprecia a cada ano em 10% com relação ao

ano anterior. Se V for valor do carro no ano da compra, após 5 anos qual será o valor

desse automóvel?

Solução:

Nesse caso, x representa o tempo de uso do veículo e t tempo que resta para com-

pletar cinco anos de uso.

Considerando x = 0 e t = 1 vem:

f(x+ t)

f(x)= at −→ f(1)

f(0)= a −→ 0, 9V

V= a −→ a = 0, 9.

Para x = 0 e t = 2 temos:

f(0 + 2)

f(0)= a2 −→ 0, 92V

V= a2 −→ a = 0, 9.

Logo, pela caracterização das funções exponenciais temosf(x+ t)

f(x)= at e Substi-

tuindo f(0) por V temos:

f(t) = V · 0, 9t −→ f(5) = V · 0, 95 .

Exemplo 13. O valor de um bem imóvel aumenta 10% em relação ao ano anterior.

Se o valor do imóvel no ano da compra é de R$ 300.000, 00, após 8 anos, qual será o

valor desse imóvel?

Solução:

Nesse caso, x representa o tempo de uso do veículo e t tempo que resta para com-

pletar oito anos de uso.

Considerando x = 0 e t = 1 vem:

f(x+ t)

f(x)= at −→ f(1)

f(0)= a −→ 1,1V

V= a −→ a = 1, 1.

Para x = 0 e t = 2 temos:

35

f(2)

f(0)= a2 −→ 1, 12V

V= a2 −→ a = 1, 1.

Logo, pela caracterização das funções exponenciais temosf(x+ t)

f(x)= at e substi-

tuindo f(0) por V temos:

f(t) = V · 1, 1t −→ f(8) = 300.000 · 1, 18 = 643.076, 64.

Portanto, após 8 anos será de R$ 643.076, 64.

3.4 Progressões Aritméticas

A Matemática Financeira encontra uma grande ferramenta que se aplica às situa-

ções correlatas à sua aplicação que são as progressões aritméticas as quais relacionamos

diretamente aos juros simples.

Uma Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a par-

tir do segundo termo, é o resultado da soma do termo anterior com uma constante.

Tal constante é chamada de razão da Progressão Aritmética, que representaremos por r.

36

3.4.1 Termo Geral de uma Progressão Aritmética

Numa Progressão Aritmética (PA) o termo geral é dado por:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r

a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r

a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r...

an = a1 + (n− 1)r

O termo geral da P.G. pode ser também escrito da seguinte forma:

an = a0 · qn

Logo, (an) é uma P.A. se, e somente se, os pontos do plano que têm coordenadas

(1, a1), (2, a2), (3, a3), etc . . . representam uma reta, conforme Figura 2.

Figura 2: Representação da Progressão Aritmética

37

3.4.2 Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética

Calculando a soma dos números naturais de 1 a 100, percebemos que:

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 97 + 98 + 99 + 100

Note que a soma do primeiro termo com o centésimo termo (1 + 100 = 101) igual

a soma do segundo termo com o nonagésimo nono termo (2 + 99 = 101) que é igual

a soma do terceiro termo com o nonagésimo oitavo termo (3 + 98 = 101), e assim por

diante, ou seja, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos

extremos, que é 101.

Como no total são 50 somas iguais a 101, conclui-se que:

1 + 2 + 3 + 4 · · ·+ 97 + 98 + 99 + 100 = 50 · 101 = 5050

Demonstração. Generalizando o procedimento para o cálculo da soma dos n primeiros

termos de uma P.A., temos que :

A soma dos n primeiros termos da P.A. (a1, a2, a3, ...) é

Sn =(a1 + an)n

2

Portanto,

(i) Sn = a1 + a2 + ...+ an − 1 + an

(ii) Sn = an + an − 1 + ...+ a2 + a1

Somando (i) + (ii), membro a membro, obtemos:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an − 1) + ...+ (an − 1 + a2) + (an + a1)

Como em toda P.A. �nita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual

à soma dos extremos, temos então:

38

a1 + an = a2 + a1 = · · · = an − 1 + a2 = an + a1

Logo, obtemos n parcelas iguais a (a1 + an), portanto:

2Sn = n(a1 + an)

Portanto,

Sn =n(a1 + an)

2

Exemplo 14. Uma montadora de automóveis produz 600 veículos em março e aumenta

mensalmente sua produção de 50 veículos. Qual o número de veículos que foi produzido

em agosto do referido ano?

Solução:

resolvermos, aplicamos a expressão do Termo Geral da P.A., logo, temos:

a6 = a1 + 5r = 600 + 5 · 50 = 850

Portanto, foram produzidos 850 veículos no mês de agosto.

Também podemos resolver o exemplo acima aplicando a Função A�m.

f(x) = 50x+ 600.

Daí,

f(5) = 30 · 5 + 600 = 250 + 600 = 850.

Portanto, foram produzidos 850 veículos no mês de agosto.

Exemplo 15. Um automóvel novo custa R$ 30.000,00. Sabe-se que esse carro diminui

de R$ 1.000,00 a cada ano de uso. Qual será o preço dele com 5 anos de uso?

39

Solução:

Podemos resolver o problema aplicando o termo geral da P.A. com a0 = 30.000, o

quinto ano será o a5.

Portanto,

a5 = a0 + 5r = 30.000 + 5 · (−1.000) = 30.000− 5.000 = R$ 25.000, 00.

De outra forma, podemos obter o valor depreciado usando a função a�m dada por:

f(x) = 30.000− 1.000x.

Obtendo,

f(5) = 30.000− 1, 000 · 5 = 30.000− 5.000 = R$ 25.000, 00

Portanto, o valor do veículo, após 5 anos de uso é de R$ 25.000, 00.

Exemplo 16. Ao comprar um apartamento, João paga R$ 55.000,00 de entrada e

assume o compromisso de pagar o restante em 10 anos, com prestações mensais. Sa-

bendo que a 1a prestação é de R$ 990, 00; a 2a de R$ 987, 00; a 3a de R$ 984, 00;

e assim por diante, qual o total que João pagará pelo apartamento?

Solução:

Primeiro vamos determinar o valor do centésimo vigésimo termo da sequência

(990, 987, 984, ...) que representa uma P.A., onde a1 = R$ 990, 00 e r = −R$ 3, 00,

a120 = a1 + 119 · r = 990− 119 ·R$|3, 00 = R$ 633, 00

Que também pode ser calculado pela função a�m dada por:

f(x) = 990− 3x

f(119) = 990− 3 · 119

= R$ 633, 00

40

Daí, temos que o valor da 120a parcela é de R$ 633,00.

Aplicando a soma Sn =n(a1 + an)

2dos termos de uma P.A., temos:

S120 =120(990 + 633)

2= 97380.

Observamos que a soma das prestações a vencerem é deR$ 97.380, 00.

A soma do valor da entrada com o total das prestações a vencerem, temos:

R$ 55.000, 00 +R$ 97.380, 00 = R$ 152.380, 00

Portanto, João pagará um total de R$ 152.380, 00 pelo apartamento.

3.5 Progressões Geométricas

Progressão Geométrica (P.G.) é uma sequência numérica onde cada termo, a partir

do segundo termo, é o resultado do produto do termo anterior por uma constante q que

chamaremos de razão da P.G. A Matemática Financeira encontra uma outra grande

ferramenta que se aplica às situações correlatas à sua aplicação que são as Progressões

Geométricas que estão diretamente relacionadas aos juros compostos.

3.5.1 Termo Geral de uma Progressão Geométrica

Em uma P.G. o termo geral é dado por

an = a1 · qn−1,

onde q ∈ R é a razão da Progressão Geométrica.

41

De fato,

a2 = a1 · q

a3 = a2 · q = a1 · q · q = a1 · q2

a4 = a3 · q = a1 · q2 · q = a1 · q3

a5 = a4 · q = a1 · q3 · q = a1 · q4...

an = a1 · qn−1

Em uma progressão geométrica an, a função que associa cada natural n ao valor

de an é simplesmente a restrição aos naturais da função exponencial an. Portanto,

pensando em uma progressão geométrica como uma função que associa a cada número

natural n o valor an, o grá�co dessa função é formado por uma sequência de pontos

pertencentes ao grá�co de uma função exponencial, representado na Figura 3 , abaixo.

Figura 3: Representação da Progressão Geométrica

42

3.5.2 Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica

A soma dos n primeiros termos da Progressão Geométrica (P.G.) é:

Sn =a1(q

n − 1)

q − 1, q 6= 1.

A demonstração que utilizaremos pode ser encontrada em [12].

Demonstração. Para demonstrarmos, segue que:

Sn = a1 + a2 + ...+ an − 1 + an

Sn = a1 + a1q + ...+ a1qn−2 + a1q

n−1 (1)

Multiplicando ambos os membros por q, temos:

q · Sn = a1q + a1q2 + ...+ a1q

n−1 + a1qn (2)

Efetuando (2)− (1) , temos:

q · Sn − Sn = (a1q + a1q2 + ...+ a1q

n−1 + a1qn)− (a1 + a2 + ...+ an − 1 + an)

(q − 1) · Sn = a1qn − a1

43

Dividindo ambos os membros por q − 1, temos:

Sn =a1(q

n − 1)

q − 1, q 6= 1.

Nas progressões geométricas em que |q| < 1, a soma dos n primeiros termos tem

um limite �nito quando n −→ +∞. Como nesse caso limn−→+∞ qn = 0, temos:

limn→+∞

Sn =a1(0− 1)

(q − 1)

limn→+∞

Sn =−a1

(q − 1)

limn→+∞

Sn =a1

(1− q)

Exemplo 17. A população de uma cidade é aproximadamente igual a 230.000 habi-

tantes e cresce 2% ao ano. Qual será a população dessa cidade daqui a 8 anos?

Essa sequência (230.000; 234.600; 239.292; ...) é uma P.G. de razão q = 1, 02, onde

a0 = 230000.

Aplicando o termo geral da P.G. temos:

a8 = a0 · q8 = 230000 · (1, 02)8 = 269481 habitantes

Outra solução poderia ser obtida usando a função exponencial f(x) = b · ax .

44

(0, 230000) −→ f(0) = b · a0 −→ 230.000 = b

(1, 234600) −→ f(1) = 234600 · a1 −→ a =234600

230000= 1, 02

f(x) = 230000 · 1, 02x

Teremos, portanto, que para x = 8, vem:

f(8) = 230000 · 1, 028 = 269481

Portanto, a população será aproximadamente 269481 habitantes.

Exemplo 18. Maria compra um apartamento no valor de R$ 370.000,00 num determi-

nado bairro da cidade cuja valorização é de 8% ao ano. Calcule o valor do apartamento

de Maria ao �nal de 10 anos.

Solução:

Essa sequência (370.000, 399.600; 431.568; 466.093, 44; · · · ) é uma P.G. de razão

1, 08 onde a0 = 370000.

a10 = a0 · q10 = 370000 · (1, 08)10 = 798.802, 25

Resolvendo a partir da função exponencial f(x) = 370000 · (1, 08)x.Para x = 10, temos:

f(10) = 370.000 · 1, 0810 = 798.802, 25

Portanto, ao �nal de 10 anos, o apartamento custará R$ 798.802, 25.

Exemplo 19. Rafael comprou um imóvel com uma parcela inicial de R$ 1.200,00

reajustados mensalmente a uma taxa de 0,5%a.m. Levando-se em conta que Rafael

escolheu um �nanciamento de 10 anos, qual o valor total a ser pago pelo imóvel ao

�nal do �nanciamento?

45

Solução:

Note que a sequência de prestações é dada pela P.G. (1.200,00; 1.206,00; 1.212,03; · · · ),onde a1 = R$1.200, 00 e q = 1, 005 e n = 120 (prestações), temos que:

Sn =a1(q

n − 1)

q − 1

Logo

S120 =1.200, 00(1, 005120 − 1)

1, 005− 1=

1.100, 00× 0, 819396734

0, 005

S120 = 196.655, 21

Portanto, Rafael pagará R$ 196.655,21 pelo seu imóvel.

3.6 Juros Simples

Pode se entender os juros simples como o sistema de capitalização linear. O re-

gime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do

capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.

3.6.1 Fórmulas de Juros Simples

Admitindo-se um capital (C) ou Valor Presente (PV), aplicado pelo regime de ju-

ros simples, a determinada taxa (i), durante certo período (n), tendo (n) como período

inteiro, tem-se:

46

• Juros para o 1o período: J1 = C · i

• Juros para o 2o período: J2 = C · i+ C · i ou J2 = (C · i) · 2

• Juros para o 3o período: J3 = C · i+ C · i+ C · i ou J3 = (C · i) · 3

• Juros para n períodos: Jn = C · i+ C · i+ ...+ C · i ou Jn = (C · i) · n

Sendo assim, teremos a expressão que de�ne juros simples:

J = C · i · n

Na expressão anterior, colocando o C em evidência, tem-se:

C =J

i · nColocando o n em evidência, tem-se:

n =J

C · i

Colocando o i em evidência, tem-se:

i =J

C · n

3.6.2 Fórmulas do Montante ou Valor Futuro

Ao se considerar o Valor Futuro (VF) ou Montante (M) como: M = C + J e que

o Juro (J) seja J = C · i, pode-se deduzir que da relação entre as duas fórmulas, tem-se:

i =M

C− 1

A fórmula (V) pode ser deduzida de:

J = C · i

Daí

47

i =J

C=

(M − C)

C=

M

C− C

C=

M

C− 1

Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos nos lembrar

dos conceitos iniciais, nos quais tínhamos:

M = C + J e J = C · i

Assim, substituindo, teremos:

M = C(1 + i · n) (3)

3.6.3 Fórmula do Capital ou Valor Presente

A fórmula do capital ou valor presente pode se deduzida a partir da fórmula do

montante (M) ou valor futuro (FV).

Isolando C em (3), temos:

C =M

1 + i · n

3.7 Juros Compostos

Pode-se entender os juros compostos como o que é popularmente chamado de juros

sobre juros. Porém, é correto a�rmar que os juros incidem sobre o montante. O regime

de juros compostos é o mais comum no sistema �nanceiro, portanto, o mais útil para

cálculos de problemas do dia a dia.

No regime de capitalização discreta a juros compostos, no �m de cada período a

que se refere a taxa considerada, os juros devido ao capital são incorporados àquele

48

capital. Diz-se que são capitalizados passando esse montante a render juros no período

seguinte. Dessa maneira, ao contrário do regime de juros simples em que só o capital

inicial rende juros, teremos não apenas juros devido ao principal como também aos

juros formados nos períodos anteriores.

Considerando um capital principal C0 (ou simplesmente C), i a taxa de juros e n

o prazo de aplicação, expresso na unidade de período a que se refere a taxa conside-

rada. Pela de�nição de juros compostos, no �m do primeiro período a que se refere

a taxa, teremos juros devido somente a esse principal. Logo, podemos usar a fórmula

de juros simples com n = 1 para calcular o montante ao �m do primeiro mês, ou seja,

C1 = C · (1 + i · 1). Sendo assim, C1 = C · (1 + i). Como é o montante C1 que

renderá no período seguinte, segue-se que serão formados juros iguais a i · C1. Logo o

montante ao �nal do período C2 será de C2 = C1 ·(1+i) = C ·(1+i)·(1+i) = C ·(1+i)2:

Indutivamente, podemos concluir que o total de capital no �m de n períodos a taxa

i, denotado por Cn e que se denomina montante da aplicação do principal C0, será

dado por:

Cn = C0 · (1 + i)n

ou simplesmente,

M = C · (1 + i)n

Como vimos anteriormente, M = C + J e daí segue-se que J = M - C, onde:

J = C · (1 + i)n − C = C · [(1 + i)n − 1]

Pode-se obter a expressão para o cálculo do montante no regime de capitalização

a juros compostos usando as progressões geométricas. Como os juros para um único

período são calculados sobre o montante do período imediatamente anterior ao período

considerado, para o n-ésimo período tem-se:

Mn = Mn − 1 · (1 + i)

49

Dessa forma, observa-se que a sequência (M0;M1;M2; · · · ;Mn; · · · ) dos montantes

no regime de juros compostos, é obtida a partir do capital inicial C = M0 multiplicando-

se sempre pelo fator 1+i o montante do período anterior, caracterizando uma progressão

geométrica de primeiro termo a1 = C e razão q = 1+ i. Deve-se observar que esse tipo

de progressão geométrica será sempre crescente, uma vez que a razão é sempre maior

do que 1 em virtude de i ser sempre um número positivo e C > 0.

Voltando ao caso geral da progressão geométrica, ocorre que Mn = an+1. Usando

a fórmula do termo geral da PG, tem-se:

Mn = an + 1 = a1 · q[(n+1)−1] = a1 · qn

Por outro lado, substituindo a1 por C e q = 1 + i na fórmula anterior, obtemos:

Mn = C · (1 + i)n.

Deve-se observar que esta é a fórmula comumente usada para se calcular o montante

no regime de capitalização a juros compostos.

Uma outra demonstração:

Valor futuro após o período 1:

M1 = C + C · i = C · (1 + i)

Valor futuro após o período 2:

M2 = M1 +M1 · i = C · (1 + i) · (1 + i) = C · (1 + i)2

Valor futuro após o período 3:

M3 = M22 +M2 · i = C · (1 + i)2 · (1 + i) = C · (1 + i)3

50

Valor futuro após o período n:

Logo para um período n é possível perceber que:

Mn = C · (1 + i)n.

3.8 Resoluções de problemas aplicando conceitos clássicos da

Matemática Básica

Os conceitos apresentados nesse capítulo mostram alguns métodos e conceitos ma-

temáticos para aplicarmos na matemática �nanceira. A seguir veremos alguns exemplos

de situações com diferentes enfoques na solução.

Exemplo 20. Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75,

para obter uma rentabilidade (lucro) de 6%?

Para obter a solução deste problema, utiliza-se a regra de três, assim:

R$ 4.126, 75 ��� 100%

x ��� 6%

Onde x = lucro

Logo,

Lucro =4.126, 75 · 6

100= 247, 60

Então teremos:

Lucro = R$ 247, 60

Custo da mercadoria = R$ 4.126, 75

Preço de Venda = R$ 4.374, 55

51

Uma outra solução obtemos usando o fator de correção 1,06. Logo:

R$ 4.126, 75 · 1, 06 = R$ 4.374, 55.

Ou ainda, usando função linear temos:

f(x) = 1, 06 · x,

onde x é o preço da mercadoria

Então,

f(4.126, 75) = 1, 06 · 4.126, 75 = R$ 4.374, 55

Também podemos resolver por P.G.. Para tal basta considerarmos a1 = 4.126, 75

e a razão q=1,06. É fácil ver nesse contexto que a2 (o segundo termo) será o preço da

mercadoria reajustado em 6%. Como sabemos que:

an = a1 · qn−1

a2 = 4.126, 75 · 1, 062−1

a2 = 4.126, 75 · 1, 061 = R$ 4.374, 55.

Logo, para obter lucro de 6% deve-se vender a mercadoria por R$ 4.374,55.

Observe que R$ 4.126,75 representa a parte inteira = 100% ou100

100= 1.

Partindo desse raciocínio:

Preço de venda = parte inteira (1) + parte fracionária (0,06), ou seja, podemos

dizer que o índice para calcular o preço de venda neste exemplo será 1,06.

Para os próximos exemplos, todas as taxas deverão ser apresentadas em forma

decimal, ou seja, todas devem ser divididas por 100. Por exemplo:

52

100% =100

100= 1;

5% =5

100= 0, 05.

Exemplo 21. 11 Um comerciante ganha R$ 892,14 sobre o custo de certa mercadoria.

A taxa de lucro é de 5%. Qual é o custo?

Solução:

Resolvendo pela regra de três onde x = preço de custo da mercadoria é fácil ver

que:

R$ 892, 14 ��� 0, 05

x ��� 1

Logo:

x =892, 14

0, 05= R$ 17.842, 80

Uma outra solução, podemos encontrar usando os conceitos da P.A. onde conside-

ramos a1 = R$ 892, 14 (que corresponde a 5% do preço de custo da mercadoria), logo,

notamos que existem 20 termos nessa sequência (5% · 20 = 100%) onde a20 nos dará

o valor do preço de custo da mercadoria, e a razão dessa sequência é r = R$ 892, 14.

Sabendo que:

an = a1 + (n− 1) · r

Então:

a20 = 892, 14 + (20− 1) · 892, 14

a20 = R$ 17.842, 80.

53

Também podemos resolver usando os conceitos de função a�m, onde f é uma função

de�nida por f : N −→ R tal que f(x) = 892, 14 · x + 892, 14. Comof(0) = R$ 892, 14

representa 5% que é a vigésima parte do valor do preço de custo da mercadoria, basta

calcularmosf(19). Logo:

f(19) = 892, 14 · 19 + 892, 14 = R$ 17.842, 80.

Exemplo 22. Uma fatura de R$ 3.670,00 se concede o abatimento de R$ 91,75. De

quantos por cento é esse abatimento?

Solução:

De modo análogo ao anterior, resolvendo pela regra de três, temos:

R$ 3.670, 00 ��� 1

91, 75 ��� x

x =R$ 91, 75

R$ 3.670, 00= 0, 025 = 2, 5%

Podemos também resolver de�nindo o problema como uma função a�m,

f : [0; 3670, 00] −→ R tal que f(x) =x

3670, 00onde x = valor do abatimento. Logo:

f(91, 75) =91, 75

3670, 00= 0, 025 = 2, 5%.

Portanto veri�camos que o abatimento concedido é de 2,5%.

Exemplo 23. Um comerciante vendeu certa mercadoria com o lucro de 8% sobre o

custo por R$ 12.393,00. Qual é o seu lucro em reais?

Solução:

Sabemos que podemos resolver esse tipo de problema facilmente usando a regra de

três, onde x é o lucro obtido. Desse modo:

R$ 12.393, 00 ��� 1, 08

x ��� 0, 08

54

Logo:

x =12.393, 00 · 0, 08

1, 08= R$ 918, 00.

Uma outra forma de analisar esse problema é considerando o preço da mercadoria

como e segundo termo de uma P.G. de apenas dois termos onde a2 = 12.393,00 e a1 é

o preço da mercadoria sem o lucro. Nesse contexto a razão da P.G. é q = 1,08. Como

sabemos que em uma P.G.a2 = a1 · q2−1, temos que:

12.393, 00 = a1 · 1, 081

a1 =12.393, 00

1, 08= R$ 11.475, 00

Como R$ 11.475,00 é o preço da mercadoria sem o lucro, para calcularmos o lucro

obtido basta efetuarmos R$ 12.393,00 ? R$ 11475,00 = R$ 918,00. Observamos

também que podemos considerar esse problema como uma P.A. de apenas dois termos

onde a1é o valor da mercadoria sem o lucro e a2 é o preço da mercadoria com o lucro.

Podemos notar que a razão dessa P.A. é r = 0, 08 · a1. Como sabemos que em uma

P.A., a2 = a1 + (n− 1) · r, temos que:

12.393, 00 = a1 + (2− 1) · 0, 08 · a1

Logo:

a1 =12.393, 00

1, 08= R$ 11.475, 00.

Portanto o lucro obtido é dado por R$ 12.393, 00?R$ 11.475, 00 = R$ 918, 00.

Exemplo 24. Um comerciante vendeu certa mercadoria por R$ 15.825,81 e ganhou

R$ 1.438,71 de lucro. Qual foi a taxa de lucro obtida nessa negociação?

55

Solução:

Para esse problema devemos aplicar os conceitos da regra de três, dessa vez consi-

derando x como um acréscimo percentual (ou lucro) e R$ 1.438, 71 o acréscimo corres-

pondente a x, da seguinte forma:

R$ 15.825, 81 ��� 1 + x

1.438, 71 ��� x

Logo:

15825, 81 · x = 1438, 71 · (1 + x)

1.438, 71x = 15825, 81 · x− 1438, 71 ·

14387, 10 · x = 1438, 71

x = 0, 1 = 10%

56

4 Educação Financeira voltada para jovens

Este capítulo aborda o foco do estudo, isto é, a educação �nanceira voltada para

os jovens, tratando do orçamento familiar, identi�cação dos ralos por onde escoam as

�nanças pessoais, além das boas práticas para as �nanças pessoais.

O sistema capitalista impõe a ideia do crédito fácil em que o status é mensurado

de acordo com o consumo de bens, induzindo assim o ser humano a utilizar-se de tais

facilidades para satisfazer necessidades que lhe são impostas, de tal modo que o ser

humano passou a consumir além de sua capacidade �nanceira, ocasionando um endi-

vidamento. De acordo com [20] houve um aumento espantoso no índice de consumo

das famílias brasileiras, fator decisivo para tornar o Brasil um dos países campeões

de vendas em diversos setores, aumentando mais rapidamente o ranking no consumo

comparado a outros países.

Segundo [15] o cenário privilegiado para assimilar novos conhecimentos em relação

à construção �nanceira e ecônomica da vida adulta se encontra na adolescência. A

educação �nanceira não pode ser privilegio só de adultos, pois os adolescentes de hoje

serão os adultos de amanhã.

Cada indivíduo participante do processo de formação do ser humano temuma parte de responsabilidade nesse processo de mudança pela qual aeducação passa. E a Educação Financeira vem ser um elo entre váriasáreas do conhecimento, no sentido de fazer com que trabalhem juntas eformem na epistemologia do aluno conceitos capazes de instrumentalizá-lopara a construção de sua autonomia [22].

A importância que se deve dar à educação �nanceira na vida do indivíduo traz

enormes benefícios, quanto antes começá-la, melhor. Uma relação equilibrada com o

dinheiro é fator determinante para uma vida mais tranquila. Assim sendo, segundo [7],

�a função da educação �nanceira infantil deve ser somente criar as bases para que na

vida adulta os �lhos possam lidar de forma saudável, equilibrada e responsável com o

dinheiro�.

Pesquisas realizadas por [6] trazem números preocupantes em relação à organização

�nanceira doméstica das famílias brasileiras: 36% dos pesquisados declaram ter per�l

57

de tipo gastador, 54% não conseguiram honrar suas dívidas pelo menos uma vez na

vida, e apenas 31% poupam regularmente para aposentadoria. Observa-se também

que parte crescente da renda familiar tem sido destinada ao consumo, o que torna as

atuais taxas de poupança demasiadamente baixas. Essa situação, que a�ige milhões

de brasileiros, diminui a capacidade de investimento do país, afetando negativamente

seu desenvolvimento.

A Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico � OCDE constatou

que muitas pessoas, em diferentes países, não só carecem do conhecimento e das com-

petências necessários para lidar de modo adequado com suas �nanças pessoais, como

também desconhecem sua necessidade de tais conhecimentos, o que assinala a provável

origem do problema [17].

Portanto, levar um conjunto amplo de orientações sobre atitudes adequadas no pla-

nejamento e no uso dos recursos �nanceiros, ou seja, educação �nanceira, para o maior

número possível de pessoas pode ajudá-las a resolver suas di�culdades, bem como pos-

sibilitar que planejem melhor sua vida, que tenham melhores condições de alcançarem

suas metas e sonhos. Nesse sentido, as escolas podem contribuir de forma signi�cativa

ao educar os alunos �nanceiramente, pois eles, por sua vez, levariam esse conhecimento

a sua família, com efeito multiplicador.

Para [2], o ambiente escolar proporciona aos estudantes a capacidade para conduzir

sua vida em sociedade é um local onde não só se apreende conhecimentos cognitivos,

aprende-se a fazer escolhas e a sonhar, como também a descobrir formas e caminhos

para concretizar os objetivos. No sistema de Educação do Ensino Médio e Fundamental

a Educação Financeira é um tema transversal que dialoga com as diversas disciplinas,

sua vivencia em sala de aula permite ao estudante compreender o caminho para trans-

formar seus sonhos em realidade.

Para [22], a propaganda na mídia impõe aos cidadãos a forma como devem viver,

consumir e trabalhar, pois é recheada de argumentação altamente preparada. Os jo-

vens são alvos fáceis para as emboscadas in�igidas pelo mercado capitalista. Educação

�nanceira de�ciente causa sofrimento, os jovens que trabalham, recebem ordenados e,

muitas vezes, não conseguem conciliar o desejo de consumir com o valor que recebem

como produto do trabalho. Muitos trabalham para auxiliar a família e outros para

58

comprar roupas, tênis, produtos eletrônicos, diversão, etc.

Segundo [2] na atualidade, é exponencial a preocupação com o ensino da educação

�nanceira, para concretizar o progresso na vida das pessoas. É o que re�ete o do-

cumento �Orientação para Educação Financeira nas Escolas�, que embasa e propõe a

forma de alinhamento da Educação Financeira e seus conteúdos formais ao currículo

da Educação Básica, fundamentado na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

e seus instrumentos normativos:

A proposta é oferecer ao aluno informações e orientações que favoreçam aconstrução de um pensamento �nanceiro consistente e o desenvolvimentode comportamentos autônomos e saudáveis. Tanto o modelo pedagógicoquanto os conteúdos �nanceiros possibilitam ao aluno se colocar comoprotagonista de sua história de vida, dando a ele condições de planejare fazer acontecer o futuro que deseja para si , em conexão com o grupofamiliar e social a que pertence.

O Ibope Mídia, que anualmente divulga os dados de investimento publicitário no

Brasil, constatou que foram movimentados cerca de R$ 112 bilhões em 2013 com pu-

blicidade. A televisão permanece a principal mídia utilizada pela publicidade, repre-

sentando 70% do investimento. Ao cruzar essa informação com o fato de a criança

brasileira passar em média cinco horas 22 minutos e 11 segundos por dia assistindo

à programação televisiva (PAINEL NACIONAL DE TELEVISORES, Ibope 2012) é

possível imaginar o impacto da publicidade na infância.

As crianças brasileiras in�uenciam 80% das decisões de compra de uma família.

Carros, roupas, alimentos, eletrodomésticos, quase tudo dentro de casa tem por trás o

palpite de uma criança, salvo decisões relacionadas a planos de seguro, combustível e

produtos de limpeza que têm pouca in�uência dos pequenos [5]. Fica claro então que a

educação �nanceira quando introduzida na esfera familiar, e na escola contribui para a

formação de pessoas equilibradas, pois ao pautarem eticamente suas ações aproveitam

melhor as oportunidades de crescimento e promovem o desenvolvimento sustentável,

transformando de forma positiva a qualidade de vida.

En�m, a Estratégia Nacional de Educação Financeira � ENEF, instituída pelo De-

creto no 7.397, de 22 de dezembro de 2010, tem a �nalidade de promover a educação

59

�nanceira e previdenciária e contribuir para o fortalecimento da cidadania, a e�ciência

e solidez do sistema �nanceiro nacional e a tomada de decisões conscientes por parte

dos consumidores.

Portanto, podemos concluir que a Educação Financeira não é um conjunto de ferra-

mentas de cálculo, é uma leitura da realidade, de planejamento de vida, de prevenção e

de realização individual e coletiva que usa os conceitos clássicos da matemática básica

para fundamentá-la . Veri�camos que é necessário ministra-la desde as séries iniciais

em nossas escolas, pois, é neste espaço que realizamos os primeiros passos, que serão

fundamentais na construção do projeto de vida do indivíduo.

4.1 Orçamento Familiar

A família é o alicerce para o desenvolvimento de uma nação. Além dos valores morais e

da ética transmitidos a seus membros e decisivos para a formação de indivíduos que irão

atuar na sociedade. Deve aprender a buscar a prosperidade �nanceira administrando

as despesas, planejando e orçando os gastos para que não haja sofrimento coletivo.

O economista francês Pierre Guillaume Frédéric Le Play , apud [14], considerava

a família e o orçamento familiar fundamentais para se estudarem as condições sociais

da sociedade em que estas se encontravam. A família, considerada como base de uma

estrutura social, pois é o suporte indispensável de um individuo, e o meio, onde as

crianças se socializam e se estabelecem as relações sociais fundamentais.

Nos países desenvolvidos a educação �nanceira cabe às famílias. Às escolas cabe

a função de reforçar a formação adquirida em casa. No Brasil, a educação �nanceira

não está presente no universo familiar, tampouco nas escolas. Assim, a criança não

aprende a lidar com dinheiro nem em casa, nem na escola. As consequências deste fato

são determinantes para uma vida de oscilações econômicas, com graves repercussões

tanto na vida do cidadão, quanto na do país [7].

Podemos observar que o através dos conceitos apresentados até o momento nesse

trabalho que orçamento familiar é um recurso que especi�ca receitas, gastos e possíveis

60

investimentos de todos os componentes pertencentes ao meio familiar, sendo útil ao

controle e à apuração dos resultados. De fato vemos que a família deve estruturar-se

para atingir os objetivos, sejam eles, �nanceiros, sociais, econômicos ou emocionais.

No entanto, as famílias na sua maioria não possuem o hábito de executar uma gestão

familiar.

�A Fundação Getúlio Vargas apurou que a família padrão brasileira gasta30% em habitação e moradia, 25% em alimentação, 12% em saúde e cuida-dos pessoais, 8% em educação e cultura�, explica o professor de Economia,Luís Carlos Ewald (2005, p. 178). �E mais 15% em transporte, 5% emvestuário e 5% em despesas diversas�[16]

De acordo com [14], sucessivamente virão os valores das despesas que poderão ser

classi�cadas o critério de destino. As despesas/custos podem ser separadas por cate-

gorias, conforme exempli�cado a seguir:

a) Alimentação: Supermercado, padaria, açougue;

b) Habitação: Aluguel, condomínio, água, luz, etc;

c) Vestuário: Roupas, sapatos, acessórios;

d) Educação: Mensalidades, material escolar;

e) Saúde: Médico, dentista, remédios;

f) Higiene: Higiene pessoal, produtos de limpeza;

g) Transporte: Ônibus, combustível;

h) Serviços: Faxineiro, cabeleireiro, manicure, costureira;

i) Lazer: Férias, passeios, festas.

Conforme o per�l familiar pode-se criar diversas categorias para despesas, tais como:

61

Bens de consumo (eletrodomésticos, informática, telefone etc.), despesascom �lhos (babá, educação, lazer, roupas, saúde e outros), despesas domés-ticas (funcionários, itens de decoração, lavanderia, manutenção, reformase seguro residencial), despesas �nanceiras (juros, anuidade de cartão), des-pesas pessoais (incluindo seguros pessoais), diversos, doações, férias (aco-modação, aluguel de carro, passagens, outros) e impostos. Para completar,utilize categorias tais como lazer, presentes, retiradas para pequenas des-pesas, roupas, pensões a pagar, saúde (dentista, exames, hospital, médicos,planos de saúde, remédios) e tarifas bancárias [1].

�O Analfabetismo, tanto de palavras quanto de números, é a base das di�culdades

�nanceiras� [10].

Neste contexto, se há di�culdades com as �nanças, é porque alguma coisanão está sendo entendida, sejam palavras, sejam números. Acredita-seque, com a iniciativa de disseminar conhecimentos de �nanças na esferadoméstica, será possível estimular a qualidade de receitas e gastos fami-liares multiplicando o patrimônio e contribuindo para a tranquilidade detodos.

Diante do exposto concluímos que a família é a base para o desenvolvimento das

pessoas e de uma nação como um todo. Nela é criada a ética e os primeiros valores hu-

manos, por isso, é preciso administrar as despesas, para que haja prosperidade familiar.

4.2 Identi�cação dos Ralos por onde Escoam as Finanças Pes-

soais

4.2.1 O Endividamento

A estabilização econômica de 1994, expandiu as formas como o crédito chega até o

grande público, a seguir elencaremos algumas das principais e mais populares linhas

de crédito disponíveis hoje no mercado.

• Cheque Especial � Limite de crédito atrelado a conta corrente de movimentação;

62

• Crédito Direto ao Consumidor (CDC) � Financiamento concedido para aquisição

de bens e serviços, sua maior utilização é para aquisição de veículos e eletrodo-

mésticos;

• Penhor � Exclusivo da Caixa Econômica Federal tendo como garantia joias, prata,

platina, diamante ou outro(s) objeto(s) de valor;

• Microcrédito � Destinado à população de baixa renda e aos microempreendedores;

• Empréstimo Consignado � Com desconto de prestações diretamente na folha de

pagamento do tomador;

• Cartão de Crédito � Utilizado para aquisição de bens e serviços nos estabele-

cimentos credenciados. A forma de pagamento pode ser à vista, a prazo ou

parcelado.

�O endividamento pessoal não está diretamente ligado à renda do indiví-duo, e sim a forma como ele administra as suas receitas e despesas. E seráum dos fatores preponderantes para aqueles que pretendem gozar de umasaúde �nanceira equilibrada e tranquila� [4].

Uma das consequências da maior oferta de crédito está diretamente ligada aos pra-

zos de �nanciamentos que se dilatam cada vez mais, alcançando prazos de 60 meses

e em alguns casos 72 meses, principalmente na modalidade de CDC [8] e deixando de

atender quase que exclusivamente a bens como veículos e eletrodomésticos e passando

a abranger itens que até então não eram contemplados, como por exemplo, pacotes de

viagens, material de construção e tratamentos de saúde e beleza [13].

Podemos observar que um dos pontos fundamentais do planejamento é a necessidade

de monitorar de forma intensiva as receitas e despesas e isso depende de caracterís-

ticas individuais de organização e persistência. Veri�camos então, que é necessário a

elaboração de uma planilha ou um caderno de anotações, para muitos é justamente

neste ponto que surge os maiores obstáculos. O problema é decorrente da di�culdade

individual em se relacionar com números, tabelas e conceitos básicos de matemática,

tais como os da matemática �nanceira.

Diante de todos os conceitos exposto, concluímos que não existe uma regra que

de�na o nível ideal de dívidas de um indivíduo, mas o que pode ser adotado como

63

medida preventiva, diz respeito à manutenção de um equilíbrio entre o capital de ter-

ceiros e o patrimônio líquido, equilibrando sempre receitas e despesas, e se possível,

que o indivíduo deixe sempre uma pequena soma de seu orçamento à título de reserva

�nanceira e/ou poupança.

4.3 O Impacto das �Pequenas� Despesas no Orçamento

Embora não pareça, existem muitas despesas de valores pequenos, que alteram o or-

çamento. Contudo, analisando que, boa parte dessas despesas é feita de forma siste-

mática (todos os meses), pode-se avaliar o impacto em longo prazo no orçamento, ou

seja, quando capitalizados por longos períodos de tempo, podem representar, ao �nal

de um certo prazo, um montante considerável [9].

Demonstraremos a seguir alguns exemplos do cotidiano para tentar estimar os va-

lores que poderiam ser acumulados, se, em vez de realizar o gastos, as quantias corres-

pondentes fossem poupadas ou aplicadas, ao longo de determinado prazo. Para tanto

utilizaremos uma taxa real de juros de 0,5% ao mês. Como são gastos especí�cos, o

cálculo será simpli�cado e direto usando conceitos clássicos da matemática básica em

cada exemplo, estimando apenas o prazo e o valor aproximado dos gastos mensais,

determinando uma projeção do montante acumulado para 10, 20 e 30 anos.

Exemplo 25. Jantar em restaurante uma vez por semana � Considere o custo deum jantar em um restaurante, para duas pessoas, com tudo incluído (entrada, pratoprincipal su�ciente para dois, bebida, sobremesa e gorjeta), como sendo R$ 120, 00.Sendo o programa semanal e o ano com 52 semanas, logo, o gasto médio anual podeser calculado e obtemos: 120, 00 · 52 = 6.240, 00 Ou seja, nessa situação, são gastosR$ 6.240, 00 em um ano. Dividindo este valor por 12 meses, temos o valor médio

mensal:6.240, 00

12= 520, 00.

Ou seja, são gastos R$ 520, 00 por mês. O quanto essa despesa pode representar,em termos de valor futuro, para prazos de 10, 20 e 30 anos? Para resolver esse pro-blema, podemos usar os conceitos das progressões geométricas descritas anteriormente,buscando um entendimento mais direto para os alunos do ensino médio.

Solução:

64

Note que a sequência numérica (520,00; 522,60; 525,21; · · · ) representada pelo valormédio mensal corrigidos em 0,5%a.m.= 0,005 é uma P.G., onde a1 = R$ 520, 00 e a

razão q = 1, 005. Então temos que:

a) Para 10 anos, n = 120 meses. Daí:

S120 =a1 · (q120 − 1)

(q − 1)=

520, 00 · (1, 005120 − 1)

(1, 005− 1)

S120 =1201, 304

0, 005= R$ 85.217, 60

Portanto, o valor gasto em 10 anos é de R$ 85.217, 60.

b) Para 20 anos, n = 240 meses. De modo análogo a exemplo anterior temos:

S240 =a1 · (q240 − 1)

(q − 1)=

520, 00 · (1, 005240 − 1)

(1, 005− 1)= R$ 240.260, 80

Portanto, o valor gasto em 20 anos é de R$ 240.260,80.

c) Para 30 anos, 360 meses. Analogamente, temos:

S360 =a1 · (q360 − 1)

(q − 1)=

520, 00 · (1, 005360 − 1)

(1, 005− 1)= R$ 522.348, 00

Portanto, o valor gasto em 30 anos é de R$ 522.348, 00.

Exemplo 26. TV por assinatura � Vive-se na Era da Informação, onde ocorre umavanço tecnológico bastante signi�cativo nos serviços de telecomunicação e entreteni-mento. Essas novidades têm um preço. Um pacote de tv por assinatura custa, emmédia (programação básica), R$ 50,00 por mês.

Solução:

Note que a sequência numérica (R$ 50,00 ;R$ 50,25 ;R$ 50,50 ; · · · ) representadapela mensalidade corrigida em 0, 5%a.m. = 0, 005 é uma P.G., onde a1 = R$ 50, 00 e a

razão q = 1, 005. De modo análogo ao anterior, temos que:

65

a) Para 10 anos, n = 120 meses. Daí:

S120 =a1 · (q120 − 1)

(q − 1)=

50, 00 · (1, 005120 − 1)

(1, 005− 1)

S120 =40, 970

0, 005= R$ 8.194, 00

Portanto, o valor gasto em 10 anos é de R$ 8.194, 00.

b) Para 20 anos, n = 240 meses. De modo análogo a exemplo anterior temos:

S240 =a1 · (q240 − 1)

(q − 1)=

50, 00 · (1, 005240 − 1)

(1, 005− 1)= R$ 23.102, 00

Portanto, o valor gasto em 20 anos é de R$ 23.102, 00.

c) Para 30 anos, 360 meses. Analogamente, temos:

S360 =a1 · (q360 − 1)

(q − 1)= 50,00·(1,005360−1)

(1,005−1) = R$ 50.225, 75

Portanto, o valor gasto em 30 anos é de R$ 50.225, 75.

Essa é uma forma de lazer bem mais econômica que jantar fora uma vez por semana,

mas, também, no longo prazo, representa um valor signi�cativo.

Exemplo 27. Consumo com o Tabagismo - Uma pessoa que consome um maço decigarros por dia, a um custo de R$ 6, 00 por maço, gastará mensalmente R$ 180, 00em média.

Solução:

Note que a sequência numérica (R$ 180,00; R$ 180,90; R$ 181,80; · · · ) represen-tada pela mensalidade corrigida em 0,5%a.m.= 0,005 é uma P.G., onde a1 = R$ 180, 00

e a razão q = 1, 005. De modo análogo aos anteriores, temos que:

a) Para 10 anos, n = 120 meses. Daí:

66

S120 =a1 · (q120 − 1)

(q − 1)=

180, 00 · (1, 005120 − 1)

(1, 005− 1)

S120 = R$ 29.498, 28

Portanto, o valor gasto em 10 anos é de R$ 29.498,28.

b) Para 20 anos, n = 240 meses. De modo análogo a exemplo anterior temos:

S240 =a1 · (q240 − 1)

(q − 1)=

180, 00 · (1, 005240 − 1)

(1, 005− 1)= R$ 83.167, 36

Portanto, o valor gasto em 20 anos é de R$ 83.167,36.

c) Para 30 anos, 360 meses. Analogamente, temos:

S360 =a1 · (q360 − 1)

(q − 1)=

180, 00cdot(1, 005360 − 1)

(1, 005− 1)= R$ 180.812, 70

Portanto, o valor gasto em 30 anos é de R$ 180.812,70.

Com essas correções monetárias, pretendeu-se mostrar que tais despesas opcionais

�se� poupadas e aplicadas por exemplo em uma caderneta de poupança renderiam

aproximadamente os valores descritos nos exemplos anteriores.

4.4 Boas Práticas de Finanças Pessoais

De acordo com [10]:

[...] a falta de instrução �nanceira nas escolas que nossos �lhos frequentam.Muitos dos jovens de hoje tem cartão de crédito antes de concluir o segundograu e, todavia, nunca tiveram aulas sobre dinheiro e a maneira de investi-lo, para não falar da compreensão do impacto dos juros compostos sobreos cartões de crédito. Simplesmente, são analfabetos �nanceiros e, sem oconhecimento de como o dinheiro funciona, eles não estão preparados paraenfrentar o mundo que os espera, um mundo que dá mais ênfase à despesado que à poupança.

67

Uma situação cotidiana na qual podem ser empregados os ensinamentos trabalha-

dos em educação �nanceira � Uso do Cartão de Crédito.

� Mãe compra isso pra mim?

� A mamãe tá sem dinheiro, �lho.

� Ué, paga com cartão!

Esse diálogo entre uma criança e sua mãe é muito comum. Todo mundo acha graça,

mas no fundo, no fundo, muita gente pensa um pouco assim também. Às vezes, você

quer muito comprar uma coisa, está sem dinheiro e acaba pensando.

�Ah, é só colocar no cartão�. Mas não podemos esquecer que uma hora essa conta

chega. E se você não estiver preparado, se não tiver reservado um dinheirinho para

isso, essa conta aumenta e você pode acabar endividado. Isso acontece porque as taxas

de juros de cartão de crédito são muito altas. Mas sabendo usar, o cartão de crédito

se torna um grande aliado.

Exemplo 28. Paulo comprou um aparelho Celular que estava em promoção, com aseguinte propaganda:

1. R$ 1.000,00 em uma parcela no cartão de crédito;

2. R$ 900,00 à vista. (10% de desconto);

Mas tinha um problema, era �m de mês, dia 27, e ele só ia receber no dia 7. Entãoa solução foi usar o cartão de crédito dele, cujo vencimento era dia 12. Qual será ataxa de juros paga por Paulo se ele compra o Celular por R$ 1.000,00, e:

• Pagar a fatura em uma parcela no dia 12 do mês seguinte ao da compra;

• Pagar R$ 400,00 no dia 12 do mês seguinte ao da compra e deixar os R$ 600,00para pagar na próxima fatura, sabendo que o cartão de crédito aplica uma taxade 12% a.m. Paga mais R$ 400,00 na próxima fatura e o saldo devedor restantena fatura posterior.

Solução:

a) Observe que se Paulo tivesse o dinheiro para comprar a vista ele pagaria R$ 900,00

pelo celular. Como pagou R$ 1.000,00 no dia 12 do mês seguinte, temos que:

68

i =R$ 1000, 00

R$ 900, 00= 1, 111 · · · = 11, 1%

O que nos mostra que Paulo pagou 11,1% ( R$ 100,00) de juros sobre o preço à

vista do celular (R$ 900,00).

b) Como a dívida de Paulo com a operadora de cartão de crédito é de R$ 1.000,00 e

ao pagar R$ 400,00 ele pagará 12% de juros sobre o restante. Logo:

• R$ 1.000, 00−R$ 400, 00 = R$ 600, 00

• R$ 600, 00 · 1, 12 = R$ 672, 00 � Saldo devedor (1)

• R$ 672, 00−R$ 400, 00 = R$ 272, 00 � Saldo devedor (2)

• R$ 272, 00 · 1, 12 = R$ 304, 64 , que foi pago na última fatura.

Portanto, Paulo pagou R$ 400, 00+R$ 400, 00+R$ 304, 64 que perfaz um montante

deR$ 1.104, 64 pelo celular que custava à vista R$ 900, 00, Logo:

i =R$ 1.104, 64

R$ 900, 00= 1, 22738 = 22, 738%

O que nos mostra que Paulo pagou 22, 738%(R$ 204, 64) de Juros sobre o preço à

vista do celular (R$ 900, 00).

O mesmo raciocínio vale basicamente para o Cheque Especial, que incorrem em

juros, além disso, se as despesas ultrapassarem a receita na conta corrente, esta entra

no negativo, levando a cheques sem fundo ou a incorrer em juros de cheque especial.

Ambas as situações são péssimas.

4.4.1 Ciladas com Cartão de Crédito ou Cheque Especial

O uso do cartão ou cheque estimula a gastar mais do que gostaríamos se estivés-

semos usando dinheiro vivo ? isso já foi veri�cado em várias pesquisas. Parece que

ver o dinheiro saindo da carteira ?dói?, mas aquelas máquinas de cartão de crédito ou

débito são indolores. O mesmo vale para o preenchimento de um cheque. A�nal, o que

os olhos não veem . . .

O cartão de crédito não lhe dá mais dinheiro. Só gaste o valor que você consegue

pagar porque você terá de pagar em uma única data a soma de todas as despesas pagas

69

Tabela 2: Vantagens e Desvantagens do Cartão de CréditoVantagens Desvantagens

Praticidade Tendência a gastar demaisAcumulo de �pontos� ou �milhas�, que po-dem ser trocados por prêmios.

Custo de anuidade

Extrato consolidado - informativo que deta-lha as despesas com o cartão de crédito nomês e as parcelas que estejam sendo pagaspor alguma compra �nanciada (incluindo onúmero da parcela).

Tentação de endividar-se ou sair do orça-mento

Mais tempo para pagar a conta ClonagemPagamento em data única Alta taxa de jurosUso em emergências

com ele ao longo do mês. Podem ser várias pequenas quantias ou uma única grande

despesa, mas o fato é que tudo se concentrará em uma mesma data de pagamento.

Apresentação da fatura: as empresas costumam destacar o valor mínimo - às vezes

até em negrito. Muitas pessoas acham que aquele é o valor devido no mês, pagam só

o mínimo e acabam �nanciando o resto. Isso implica juros, ou seja, o valor que você

não pagou naquele mês �cará acrescido de juros no mês seguinte. A despesa aumenta!

Pague o valor total da fatura, sem cair na tentação de realizar apenas o pagamento

mínimo escrito na fatura do cartão. Fique atento, pois ao pagar apenas o valor mínimo

da fatura de cartão de crédito signi�ca contratar um empréstimo!

Pode-se então veri�car, por meio da Tabela 2, as vantagens e desvantagens do cartão

de crédito.

Uma dívida contraída de forma impensada pode ser trocada por outra que custe

menos. Há pessoas que preferem quitar uma dívida cara (como a do cheque especial)

contraindo outra menos custosa (empréstimo consignado). O valor da dívida pode ser

o mesmo, mas as condições (juros, prazo etc.) podem fazer uma grande diferença no

valor das parcelas.

Por exemplo, se o cidadão está entrando e uma �bola de neve� com dívidas de cartão

de crédito com juros de 12% ao mês, pode ser interessante fazer um empréstimo no

70

banco para pagar com débito automático em conta com taxa de juros de 5% ao mês e

um prazo maior.

Vale lembrar que esse é um passo intermediário para voltar ao equilíbrio ou pelo

menos a uma situação �nanceiramente mais confortável. A pessoa ainda terá uma

dívida para quitar e deverá rever suas receitas e despesas!

Para [4] �é preciso manter olhar vigilante e atento sobre os pequenos valores, ar-

redondamentos e o descaso pela negociação, pois são nestes itens que se esconde um

dos maiores ralos, por onde escorre grande parte dos rendimentos familiar�. O autor

ressalta que:

O primeiro passo para poupar é fazer sobrar dinheiro. Tenham certeza deque boa parte dos motivos para o fato de não sobrarem recursos para pou-par não está nos grandes gastos do orçamento, está nos pequenos, aquelesque fogem ao controle. Todos sabem quanto ganham e quanto pagam dealuguel, prestações, escola, transporte, supermercado. Mas muitos se as-sustam no �m do mês, quando as contas entram no vermelho, porque ospequenos gastos diários com padaria, feira, presentes, banca de jornal e ou-tros somam-se e criam um rombo no orçamento. Passar a controlar essesgastos requer intensa disciplina durante um curto período de tempo, atéque comecemos a prestar mais atenção neles. Minha sugestão: ponham nopapel todos os gastos que vocês tiverem durante um mês. Sejam rigorosos,andem com uma folha de papel na carteira e anotem TUDO, das caixi-nhas dadas ao ��anelinha� à moeda perdida no ônibus. Percebam comoé impressionante a soma dos valores que não relacionaríamos em nossoorçamento.

De acordo com o pensamento dos autores a composição das dívidas tem peso fun-

damental no sucesso das �nanças pessoais. Uma vez que a postura frente a elas mostra

o quão preparado está o indivíduo a lidar com o seu viés.

Trate suas dívidas como trataria uma arma carregada. [...] é importantesaber a diferença entre dívida boa e dívida ruim porque a dívida tinhao poder de nos deixar ricos ou pobres. Da mesma forma que uma armacarregada pode nos proteger ou nos matar [10].

Observamos então que nos contextos literários da educação �nanceira apresentados

até o momento a não abordagem nos bancos escolares é um fator fundamental para

71

formar adultos incapazes em lidar com suas próprias �nanças. Não fornecendo o pre-

paro necessário para tratar do assunto que estará tão presente na vida de qualquer

indivíduo economicamente ativo.

72

5 Considerações �nais

Este estudo teve o objetivo de realizar uma revisão bibliográ�ca acerca da impor-

tância �Sobre Juros e Aplicações de Conceitos Clássicos em Matemática Financeira�.

Nesse sentido, revisaram-se os conceitos básicos da Matemática Financeira e os desdo-

bramentos e as suas melhores práticas no sentido de permitir que esta seja inserida e

verdadeiramente utilizada em todos os segmentos especialmente no ensino para jovens

da educação básica.

A pesquisa que se realizou procurou apresentar um trabalho com uma linguagem

de fácil entendimento para qualquer pessoa que possui matemática básica. Assim, vale

mencionar que ao incluir o ensino da matemática �nanceira na escola o objetivo maior

será o de contribuir para que os jovens de hoje tenham condições de administrar os

conhecimentos adquiridos em todos os aspectos de sua vida pessoal e principalmente

�nanceira.

No que tange aos fazeres �nanceiro e à gestão econômica do estudante entende-se

que a família também é outra fonte de aprendizagem, isto é, o aprender �nanceiro, na

concepção de alguns autores, está relacionado ao viver histórias positivas ou negativas

dentro do seio familiar, ou seja, o que se observa cotidianamente é que a escola tem

tido pouca participação neste aspecto, mesmo em se tratando nas aulas de Matemática

as concepções quantitativas do universo racional.

Entende-se que aqueles que não aprendem a administrar sua vida �nanceira enfren-

tam grandes di�culdades, que só são superadas quando se tornam adultos e assumem

a responsabilidade de controlar seu dinheiro, colaborando para que se tornem cidadãos

conscientes, pois o futuro do país está presente na educação que os jovens recebem hoje.

Por oportuno, é importante enfatizar que a Matemática Financeira ao ser incluída no

cenário curricular das escolas torna-se um instrumental de relevância para as re�exões

do cotidiano do futuro trabalhador.

Ao longo do período da coleta de dados para a realização deste estudo foi possível

se descobrir que há material didático ricamente desenvolvido no período de 2010 a

2013 pelo Comitê Nacional de Educação Financeira � CONEF, em conjunto com o

Ministério da Educação � MEC. Importante que se mencione que o CONEF foi criado

em 2010 com o objetivo de coordenar a execução e de�nir planos, programas e ações

da Estratégia Nacional da Educação Financeira � ENEF.

O Programa de Educação Financeira nas Escolas é uma ação relevante e estratégica

para toda a sociedade brasileira. Ao inserir a Educação Financeira na formação dos

73

estudantes o Programa contribui para o desenvolvimento da cultura de planejamento,

prevenção, poupança, investimento e consumo consciente. O conjunto oferecido pelo

MEC/CONEF se compõe de livros acerca de Educação Financeira nas Escolas, desti-

nado às três séries do Ensino Médio, bem como livros para professores, para alunos,

além disso, completando a série, cadernos de atividades e auto avaliação. Ao que se

pôde observar ao longo da coleta do material para este estudo foi que o kit do CONEF

� apesar de uma elaboração criteriosa, iniciada em 2008 e terminada em 2013 � �pare-

ceu�, infelizmente subutilizado nas escolas de Ensino Médio da Secretaria de Educação

do Distrito Federal.

Por derradeiro, vale dizer que outro foco desta pesquisa teve como objetivo �nal

apresentar a matemática �nanceira voltada para jovens, na qual se pudesse tratar do

orçamento familiar, identi�cação de alguns ralos por onde podem escoar as �nanças

pessoais, além das boas práticas para as �nanças, com vistas a que tal educação �nan-

ceira venha a alcançar em um futuro não muito longe uma gama enorme de cidadãos

brasileiros como se numa Progressão Geométrica.

74

Referências

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www.abecs.org.br/�lesAbecs/Dicas_Visa.pdf, acesso em: 15 mai. 2015.

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sua independência �nanceira. 4 ed. São Paulo: Editora Gente, 2003.

[5] CRIANÇA E CONSUMO, Por que a publicidade faz mal para as crianças?

Disponível em: http://criancaeconsumo.org.br/wp-content/uploads/2014/02/por-

que-a-publicidade-faz-mal-para-as-criancas.pdf, acesso em: 12 mai. 2015.

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ceira. 2007. Disponível em: www.educacional.com.br/articulistas/outros Educa-

cao_artigo.asp?artigo=artigo0013>. Acesso em: 8 mai. 2015.

[8] FORTUNA, e., Mercado �nanceiro: produtos e serviços. 17a edição. Rio de Ja-

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[9] HERNANI FILHO, v. v., Opa, meu dinheiro não é capim, Salvador: Editora

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[10] KIYOSAKI, r. t., Pai Rico, Pai Pobre. Tradução: Maria Monteiro. 46. Ed.

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[11] LIMA, e. l et al, A Matemática do Ensino Médio Volume 1, 9 ed. Rio de

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[12] LIMA, e. l et al, A Matemática do Ensino Médio Volume 2, 6 ed. Rio de

Janeiro: SBM, 2006

75

[13] MAIS DINHEIRO, Empréstimos. Disponível em:

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[14] MIRANDA, e. j. et al, Orçamento Familiar. Faculdade Cenecista de Varginha.

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[15] NEGRI, a. l. l., Educação �nanceira para o Ensino Médio da rede pública: uma

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