SOBRE O ESTUDO DA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS DE AÇO … · SOBRE O ESTUDO DA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS DE AÇO POR MEIO DA UTILIZAÇÃO DE UMA TEORIA NÃO-LINEAR GEOMETRICAMENTE

JAIRO FRUCHTENGARTEN

SOBRE O ESTUDO DA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS DE

AÇO POR MEIO DA UTILIZAÇÃO DE UMA TEORIA NÃO-

LINEAR GEOMETRICAMENTE EXATA

Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do Título de Mestre em Engenharia

SÃO PAULO 2005

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SÃO PAULO

2005

i

SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO..................................................................................................... 1

1.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ............................................................................. 1

1.2 - O COMPORTAMENTO DE PERFIS DE SEÇÃO ABERTA E PAREDE

DELGADA .................................................................................................................. 3

1.3 - BREVE HISTÓRICO........................................................................................... 7

1.4 - METODOLOGIA ................................................................................................ 9

2 - TEORIAS DE BARRAS .................................................................................... 11

2.1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................. 11

2.2 - TEORIA DE VLASOV - ANÁLISE LINEAR .................................................. 12

2.2.1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................................................. 12

2.2.2 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUILÍBRIO.......................................................... 14

2.2.3 - APOIOS ELÁSTICOS ............................................................................................ 18

2.3 - TEORIA DE VLASOV - ANÁLISE DE ESTABILIDADE .............................. 20

2.3.1 - EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ................................................................................ 20

2.3.2 - MÉTODO ENERGÉTICO ...................................................................................... 23

2.4 - TEORIA NÃO-LINEAR GEOMETRICAMENTE EXATA............................. 25

2.4.1 - INTRODUÇÃO .................................................................................................... 25

2.4.2 - FUNCIONAL DA SEGUNDA VARIAÇÃO DA ENERGIA POTENCIAL ............................ 27

2.4.3 - ANÁLISE LINEARIZADA DE EULER ....................................................................... 28

3 - APLICAÇÃO DA TEORIA DE VLASOV AOS CASOS CLÁSSICOS DA

FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS ................................................................ 35

3.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ........................................................................... 35

3.2 - DETERMINAÇÃO DO MOMENTO CRÍTICO ELÁSTICO........................... 45

3.2.1 - MOMENTO CRÍTICO BÁSICO............................................................................... 46

3.2.2 - MOMENTO CRÍTICO - EXPRESSÃO APROXIMADA ................................................. 50

ii

3.3 - TRATAMENTO NORMATIZADO.................................................................. 56

3.3.1 - PRAISC-LRFD:2003........................................................................................ 56

3.3.2 - NBR8800:1986................................................................................................ 58

3.3.3 - PREN1993-1-1:2002 STAGE 54 ........................................................................ 59

3.3.4 - PREN1999-1-1:2004 STAGE 54 ........................................................................ 63

3.4 - FLAMBAGEM EM REGIME INELÁSTICO................................................... 72

4 - ANÁLISE NUMÉRICA PARA OS CASOS USUAIS DA FLAMBAGEM

LATERAL DE VIGAS ............................................................................................ 74

4.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ........................................................................... 74

4.2 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS......................................................... 77

4.3 - VIGA BIAPOIADA SOB GRADIENTE DE MOMENTO FLETOR ............... 79

4.3.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................... 80

4.3.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO......................................................... 88

4.3.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................................ 96

4.4 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA .... 98

4.4.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................... 99

4.4.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO....................................................... 103

4.4.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 105

4.5 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO 111

4.5.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................. 112



4.6 - VIGA BIENGASTADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

.................................................................................................................................. 122




4.7 - VIGA BIENGASTADA COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO

.................................................................................................................................. 129


iii



4.8 - VIGA APOIADA NUMA EXTREMIDADE E ENGASTADA NA OUTRA

COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA............................................ 136





COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO ......................................... 142





COM MOMENTO FLETOR APLICADO NA EXTREMIDADE APOIADA ....... 147

4.10.1 - RESUMO DA LITERATURA ............................................................................... 148

4.10.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO..................................................... 148

4.10.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................ 151

4.11 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA CONCENTRADA NA

EXTREMIDADE LIVRE ........................................................................................ 152



4.12 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

.................................................................................................................................. 166



5 - ANÁLISE NUMÉRICA PARA ALGUNS CASOS ADICIONAIS.............. 174

5.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ......................................................................... 174

5.2 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS....................................................... 175

5.3 - CARGA APLICADA FORA DO CENTRO DE TORÇÃO............................. 176

5.3.1 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA APLICADA NO MEIO DO VÃO ...... 177

iv

5.3.2 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA CONCENTRADA APLICADA NA EXTREMIDADE LIVRE

.................................................................................................................................. 179


5.4 - VÍNCULOS AO LONGO DO VÃO ................................................................ 183

5.4.1 - REQUISITOS DA NORMA PRAISC-LRFD:2003 ................................................. 185

5.4.1.1 - Considerações Gerais sobre os Travamentos ........................................... 185

5.4.1.2 - Dimensionamento de Contenções ao Deslocamento Lateral .................... 187

5.4.1.3 - Dimensionamento de Contenções à Torção .............................................. 188

5.4.2 - VIGA BIAPOIADA COM VÍNCULOS NO MEIO DO VÃO - CARGA CONCENTRADA .... 190

5.4.2.1 - Recomendações das Normas de Projeto.................................................... 190

5.4.2.2 - Influência do Tipo de Vinculação.............................................................. 191

5.4.3 - VIGA BIAPOIADA COM VÍNCULOS NO MEIO DO VÃO - CARGA UNIFORMEMENTE

DISTRIBUÍDA .............................................................................................................. 194

5.4.3.1 - Recomendações das Normas de Projeto.................................................... 194


5.4.4 - VIGA EM BALANÇO COM VÍNCULOS NA EXTREMIDADE - CARGA CONCENTRADA. 197

5.4.4.1 - Resumo da Literatura ................................................................................ 197



5.5 - ENRIJECEDORES JUNTO ÀS EXTREMIDADES....................................... 206


6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.......... 210

BIBLIOGRAFIA.................................................................................................... 217

v

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Flambagem por Distorção ........................................................................... 4

Figura 2 - Flambagem por Distorção de Vigas de Piso ............................................... 4

Figura 3 - Flambagem Local ........................................................................................ 5

Figura 4 - Flambagem Lateral...................................................................................... 6

Figura 5 - Tensões de Cisalhamento .......................................................................... 13

Figura 6 - Sistemas de Referência.............................................................................. 14

Figura 7 - Deslocamentos do Ponto M - Área Setorial .............................................. 15

Figura 8 - Apoios Elásticos ........................................................................................ 18

Figura 9 - Diagrama de Momento Fletor Uniforme................................................... 36

Figura 10 - Posição do Carregamento na Seção Transversal ..................................... 37

Figura 11 - Eficiência da Contenção Lateral de Vigas .............................................. 38

Figura 12 - Contenções Usuais à Flambagem Lateral ............................................... 40

Figura 13 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo I .............................................. 41

Figura 14 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo II ............................................. 41

Figura 15 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo III............................................ 42

Figura 16 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo IV ............................................ 42

Figura 17 - Ligação Viga-Pilar .................................................................................. 43

Figura 18 - Vinculação e Reforços no Pilar ............................................................... 43

Figura 19 - Vinculação na Viga ................................................................................. 44

Figura 20 - Seções Transversais - Momento Crítico Básico...................................... 48

Figura 21 - Exemplos de Vinculação - Condições de Contorno nas Extremidades .. 52

Figura 22 - Momentos Fletores de Referência - prAISC-LRFD:2003 ...................... 57

Figura 23 - Coeficiente Cb - Diagrama Linear de Momentos Fletores ...................... 59

Figura 24 - Tabela - Vigas Biapoiadas sob Gradiente de Momento Fletor - C1 e C3 -

prEN1993-1-1:2002 ........................................................................................... 61

Figura 25 - Tabela para Casos Usuais - C1, C2, C3 - prEN1993-1-1:2002................. 63

Figura 26 - Tabela - Gradiente de Momento Fletor - C1, C3 - prEN1999-1-1:2004.. 66

Figura 27 - Tabela para Casos Usuais - C1, C2 - prEN1999-1-1:2004....................... 67

Figura 28 - Tabela para Casos Usuais - C3 - prEN1999-1-1:2004............................. 68

vi

Figura 29 - Tabela para Viga em Balanço com Carga Concentrada - Valores de ηcr

(kx = ky = kω = 2) - prEN1999-1-1:2004 ............................................................ 69

Figura 30 - Tabela para Viga em Balanço com Carga Uniformemente Distribuída -

Valores de ηcr (kx = ky = kω = 2) - prEN1999-1-1:2004 .................................... 70

Figura 31 - Curvas de Dimensionamento................................................................... 73

Figura 32 - Dimensões dos Perfis VS ........................................................................ 74

Figura 33 - Numeração de Nós e Elementos - PEFSYS ............................................ 76

Figura 34 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada sob Gradiente de

Momento Fletor.................................................................................................. 80

Figura 35 - Tabela - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente de Momento

Fletor - Salvadori (1955).................................................................................... 81

Figura 36 - Tabela Simplificada - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente

de Momento Fletor - Salvadori (1956)............................................................... 81


Fletor - Nethercot; Rockey (1971) ..................................................................... 83


Fletor - Salmon; Johnson (1990)........................................................................ 85

Figura 39 - Tabela - Coeficientes Ai e Bi para Viga Biapoiada sob Gradiente de

Momento Fletor - Sherbourne; Pandey (1989) .................................................. 86

Figura 40 - Gráfico para Vinculação Tipo I (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob

Gradiente de Momento Fletor ............................................................................ 89

Figura 41 - Gráfico 1 para Vinculação Tipo I - Comparação (Literatura) - Viga

Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor .................................................... 89



Figura 43 - Gráfico para Vinculação Tipo II (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob


Figura 44 - Gráfico para Vinculação Tipo II - Comparação (Literatura) - Viga


Figura 45 - Gráfico para Vinculação Tipo III (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob


vii

Figura 46 - Gráfico para Vinculação Tipo III - Comparação (Literatura) - Viga


Figura 47 - Gráfico para Vinculação Tipo IV (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob


Figura 48 - Gráfico para Vinculação Tipo IV - Comparação (Literatura) - Viga


Figura 49 - Gráfico para Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com Momento Fletor

Uniforme (ψ = -1,0)........................................................................................... 94

Figura 50 - Gráfico para Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com Momento Fletor

Uniforme (ψ = -1,0)........................................................................................... 94

Figura 51 - Gráfico para Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com Momento Fletor

Uniforme (ψ = -1,0)........................................................................................... 95

Figura 52 - Gráfico para Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com Momento Fletor

Uniforme (ψ = -1,0)........................................................................................... 95

Figura 53 - Gráfico Mcr / M0cr x ψ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob


Figura 54 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com

Momento Fletor Uniforme (ψ = -1,0)................................................................ 97

Figura 55 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada com Carga

Uniformemente Distribuída ............................................................................... 99

Figura 56 - Tabela - Valores do Parâmetro γ para Viga Biapoiada com Carga

Uniformemente Distribuída - Timoshenko; Gere (1961)................................. 100

Figura 57 - Tabela - Coeficientes A e B para Viga Biapoiada com Carga

Uniformemente Distribuída - Nethercot; Rockey (1971) ................................ 101

Figura 58 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com Carga

Uniformemente Distribuída ............................................................................. 103

Figura 59 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com Carga


Figura 60 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com Carga


Figura 61 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com Carga


viii

Figura 62 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com

Carga Uniformemente Distribuída................................................................... 107

Figura 63 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I (Casos a, b e c) - Viga

Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída.......................................... 108

Figura 64 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II (Casos a, b e c) - Viga


Figura 65 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III (Casos a, b e c) - Viga


Figura 66 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV (Casos a, b e c) - Viga



Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 111

Figura 68 - Tabela - Valores do Parâmetro γ para Viga Biapoiada com Carga

Concentrada no Meio do Vão - Timoshenko; Gere (1961)............................. 113


Concentrada no Meio do Vão - Nethercot; Rockey (1971) ............................. 114

Figura 70 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com Carga


Figura 71 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com Carga


Figura 72 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com Carga


Figura 73 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com Carga



Carga Concentrada no Meio do Vão................................................................ 119

Figura 75 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I (Casos a, b e c) - Viga

Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão....................................... 120

Figura 76 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II (Casos a, b e c) - Viga


ix

Figura 77 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III (Casos a, b e c) - Viga


Figura 78 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV (Casos a, b e c) - Viga


Figura 79 - Momento Fletor de Referência para Viga Biengastada com Carga


Figura 80 - Tabela - C1, C2, C3 para Viga Biengastada com Carga Uniformemente

Distribuída - prEN1993-1-1:2000.................................................................... 124

Figura 81 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Biengastada com Carga


Figura 82 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Biengastada com Carga


Figura 83 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Biengastada com


Figura 84 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Biengastada com


Figura 85 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biengastada com




Figura 87 - Tabela - C1, C2, C3 para Viga Biengastada com Carga Concentrada no

Meio do Vão - prEN1993-1-1:2000................................................................. 131

Figura 88 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Biengastada com Carga


Figura 89 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Biengastada com Carga


Figura 90 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Biengastada com


Figura 91 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Biengastada com


Figura 92 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biengastada com


x

Figura 93 - Momento Fletor de Referência para Viga Apoiada numa Extremidade e

Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída........................... 136

Figura 94 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Apoiada numa

Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída .. 138

Figura 95 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Apoiada numa


Figura 96 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Apoiada numa


Figura 97 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Apoiada numa


Figura 98 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada numa



Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão........................ 142


Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão 144










Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na Extremidade Apoiada147


Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na

Extremidade Apoiada....................................................................................... 149




xi










Figura 111 - Momento Fletor de Referência para Viga em Balanço com Carga

Concentrada na Extremidade Livre.................................................................. 153

Figura 112 - Tabela - Parâmetro γ para Viga em Balanço com Carga Concentrada na

Extremidade Livre - Timoshenko; Gere (1961)............................................... 154

Figura 113 - Tabela - Tipos de Vinculação na Extremidade Livre de Vigas em

Balanço............................................................................................................. 156

Figura 114 - Tabela - Coeficientes A, B1 e B2 para Viga em Balanço com Carga

Concentrada na Extremidade Livre - Nethercot (1973b)................................. 157

Figura 115 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga

Concentrada na Extremidade Livre - Kerensky et al. (1956)........................... 158


Concentrada na Extremidade Livre - Nethercot (1973b)................................. 159


Concentrada na Extremidade Livre - Kirby; Nethercot (1979) ....................... 160


Concentrada na Extremidade Livre - Galambos (1998) .................................. 160

Figura 119 - Comparação entre as Hipóteses de Vinculação................................... 161


Concentrada na Extremidade Livre - Essa; Kennedy (1994)........................... 162

Figura 121 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada na

Extremidade Livre............................................................................................ 165

Figura 122 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Casos Adicionais para Viga em Balanço com

Carga Concentrada na Extremidade Livre ....................................................... 166

xii



Figura 124 - Tabela - Coeficiente γ para Viga em Balanço com Carga

Uniformemente Distribuída - Poley (1954) ..................................................... 168


Uniformemente Distribuída - Nethercot (1973b)............................................. 169


Uniformemente Distribuída - Nethercot (1973b)............................................. 170

Figura 127 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Uniformemente

Distribuída........................................................................................................ 172

Figura 128 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Casos Adicionais para Viga em Balanço com


Figura 129 - Exemplos de Aplicação de Carga Fora do Centro de Torção ............. 176

Figura 130 - Elemento Adicional do PEFSYS para Carga Aplicada Fora do Centro de

Torção .............................................................................................................. 177

Figura 131 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada

Aplicada na Aba Superior (Comprimida) ........................................................ 178

Figura 132 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada

Aplicada na Aba Inferior (Tracionada) ............................................................ 179

Figura 133 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada

Aplicada na Aba Tracionada............................................................................ 180


Aplicada na Aba Comprimida.......................................................................... 180


Carga Concentrada Aplicada Fora do Centro de Torção ................................. 181

Figura 136 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga em Balanço com

Carga Concentrada Aplicada Fora do Centro de Torção ................................. 182

Figura 137 - Travamento da Viga por meio de uma Laje Tipo Steel-Deck............. 184

Figura 138 - Introdução de Carga por Meio da Viga de Travamento...................... 185

Figura 139 - Travamento Relativo e Nodal ............................................................. 186

Figura 140 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada -

Vinculação Tipo V............................................................................................ 192

xiii


Vinculação Tipo VI .......................................................................................... 192


Vinculação Tipo VII ......................................................................................... 193

Figura 143 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada e

Vinculação ao Deslocamento Lateral na Aba Superior ................................... 193

Figura 144 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Uniformemente

Distribuída - Vinculação Tipo V ...................................................................... 195


Distribuída - Vinculação Tipo VI .................................................................... 196


Distribuída - Vinculação Tipo VII .................................................................. 196


Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo V................................................ 198


Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo VI .............................................. 198


Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo VII ............................................. 199


Carga Concentrada - Vínculos no Meio do Vão .............................................. 200


Carga Uniformemente Distribuída - Vínculos no Meio do Vão ...................... 201

Figura 152 - Estudo da Variação da Relação (EA / L) do Travamento - Viga com

Vinculação Tipo VI .......................................................................................... 202

Figura 153 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga

Concentrada - Vinculação Tipo VI - µ = 35 .................................................... 203


Concentrada - Vinculação Tipo VI - µ = 25 .................................................... 203


Uniformemente Distribuída - Vinculação Tipo VI - µ = 35 ............................ 204

xiv


Uniformemente Distribuída - Vinculação Tipo VI - µ = 25 ............................ 204

Figura 157 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga em Balanço

com Carga Concentrada - Vínculos na Extremidade ....................................... 205

Figura 158 - Enrijecedores de Extremidade............................................................. 207

Figura 159 - Seção Transversal nos Trechos do Reforço ........................................ 207

Figura 160 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga Biapoiada com Enrijecedores Junto às

Extremidades e Carga Concentrada Aplicada no Meio do Vão....................... 209

Figura 161 - Tabela - Valores do Coeficiente Cb para Alguns Casos Usuais de

Carregamento e de Vinculação no Plano da Flexão......................................... 212

Figura 162 - Tabela - Valores do Coeficiente Cb para Vigas Biapoiadas sob

Gradiente de Momento Fletor .......................................................................... 213

xv

LISTA DE SÍMBOLOS

α, β, γ, ... índices gregos

i, j, k, ... índices latinos

(x, y, z) sistema de eixos de referência

f, w índices relativos às abas e à alma da viga, respectivamente

( )~⋅ símbolo de vetor

( )−⋅ símbolo de tensor ou matriz

( )´⋅ ( )

z∂⋅∂

( )d⋅ esforço de cálculo

( )k⋅ esforço característico

( )R⋅ esforço resistente

( )S⋅ esforço solicitante

∧ símbolo de produto vetorial

A área

−B matriz de transformação para cálculo das deformações generalizadas

b largura

bf largura da aba de uma viga com seção transversal tipo I

bs largura do enrijecedor

C1 coeficiente associado ao diagrama de momentos fletores, conhecido

como fator de momento equivalente

C2 coeficiente associado ao ponto de aplicação do carregamento

C3 coeficiente associado à monossimetria da seção transversal

Cb

razão entre o momento crítico elástico e o momento crítico básico:

= cr

crM

M0

−D matriz de rigidez constitutiva

( ).e posição de aplicação do carregamento externo em relação ao centro

de torção

xvi

E módulo de elasticidade (para os aços, E = 205000 MPa)

F carga concentrada aplicada na viga

fx , fy , fz forças por unidade de comprimento nas direções x, y e z,

respectivamente

fxN , fyN forças fictícias por unidade de comprimento nas direções x e y,

respectivamente

fxβ , fyβ forças provenientes do meio elástico, por unidade de comprimento,

nas direções x e y, respectivamente

G módulo de deformação transversal (para os aços, G ≅ 0,385E)

−G operador que caracteriza os efeitos geométricos dos esforços internos

( )⋅H parâmetro de assimetria da seção transversal

−H operador diferencial matricial

h altura da viga

h0 distância entre os centróides das abas de uma viga com seção tipo I

I momento de inércia

Ix , Iy momentos de inércia em relação aos eixos x e y, respectivamente

Ixy produto de inércia

Iω momento de inércia ao empenamento ou momento de inércia setorial

Iωx , Iωy produtos de inércia setoriais em relação aos eixos x e y,

respectivamente

It momento de inércia à torção

Io momento polar de inércia

k coeficiente associado ao tipo de vinculação

ky coeficiente associado ao comprimento efetivo para flexão em torno

do eixo de menor inércia

kω coeficiente associado ao comprimento efetivo para empenamento

L comprimento da viga

Lb comprimento destravado da viga (distância entre travamentos)

−

eL operador que caracteriza os efeitos geométricos dos esforços externos

Mcr momento crítico para a flambagem de vigas em regime elástico

xvii

M0cr momento crítico básico

MA , MB , MC momentos fletores nos quartos do vão da viga (valor em módulo)

M1 , M2 momentos fletores nas extremidades de um trecho travado da viga

Mmax momento fletor máximo de uma viga em um trecho entre travamentos

Mpl momento de plastificação

Mx , My momentos fletores em relação aos eixos x e y, respectivamente

MRd momento fletor resistente de cálculo

MSd momento fletor solicitante de cálculo

Mz momento de torção uniforme

Mω bimomento aplicado

mω bimomento aplicado por unidade de comprimento

mz momento de torção aplicado por unidade de comprimento

mzN momento de torção fictício por unidade de comprimento

mzβ momento de torção proveniente do meio elástico por unidade de

comprimento

N força normal

NxE , NyE forças normais críticas para a flambagem por flexão nas direções x e

y, respectivamente

NRd força normal resistente de cálculo

NSd força normal solicitante de cálculo

Nω força normal crítica para a flambagem por torção

p intensidade do empenamento

q carga distribuída aplicada na viga

r raio vetor de um ponto a partir do pólo

rn , rs componentes de r nas direções normal e tangente à superfície média

rx , ry raios de giração em relação aos eixos x e y, respectivamente

r0 raio polar de inércia, dado por: AI 0

r0(.) parâmetro de assimetria da seção transversal

Sx , Sy momentos estáticos da seção nas direções x e y, respectivamente

Sω momento estático setorial

s coordenada ao longo do contorno

xviii

~s eixo de referência tangente à superfície média

T momento de torção total ( zMTT += ω )

Tω momento de flexo-torção

tf espessura das abas de uma viga com seção transversal tipo I

tw espessura da alma de uma viga com seção transversal tipo I

ts espessura do enrijecedor

U energia potencial total

uM deslocamento de um ponto M qualquer da seção transversal na

direção x

´u declividade associada ao deslocamento u

Vx , Vy força cortante nas direções x e y, respectivamente

Vω bicortante (Vω = ´ωM = − Tω)

vM deslocamento de um ponto M qualquer na direção y

´v declividade associada ao deslocamento v

δWi , δWe trabalho virtual dos esforços internos e externos, respectivamente

wM deslocamento longitudinal de um ponto M qualquer

wC deslocamento longitudinal do centro de torção, descontado o

empenamento

w0 deslocamento longitudinal do centro de gravidade

xG , xC coordenadas na direção x do centro de gravidade e do centro de

torção, respectivamente

yG , yC coordenadas na direção y do centro de gravidade e do centro de

torção, respectivamente

~z vetor posição do eixo da barra

xβ , yβ , ϕβ coeficientes do meio elástico para deslocamento nas direções x e y, e

para rotação, respectivamente

trβ rigidez do travamento (norma americana, prAISC-LRFD:2003)

Tβ rigidez do travamento, excluindo-se a parcela de distorção da alma

(norma americana, prAISC-LRFD:2003)

secβ rigidez à distorção da alma (norma americana, prAISC-LRFD:2003)

xix

~γ vetor das deformações generalizadas

xyγ , xzγ , yzγ deformações tangenciais

szγ deformação por cisalhamento na superfície média da barra

Uδ primeira variação da energia potencial total

U2δ segunda variação da energia potencial total

~∆δ deslocamentos virtuais generalizados

~uδ vetor que contém os três deslocamentos virtuais nas direções x, y e z

~ϕδ vetor que contém as três rotações virtuais

~∆ vetor dos deslocamentos generalizados

∆ deslocamento

U∆ diferença da energia potencial entre a configuração deformada e a

configuração imediatamente anterior à flambagem

θ ângulo

λ índice de esbeltez

ν coeficiente de Poisson (para os aços, 3,0=ν )

σ tensão normal

τ tensão de cisalhamento

~ϕ vetor rotação da seção transversal

( ).ϕ rotação

´zϕ rotação específica

ψ razão entre os momentos de extremidade M1 e M2

fψ parâmetro que relaciona o valor do momento de inércia das abas de

uma viga tipo I (regulamento europeu, prEN1993-1-1:2002)

( )sAω área setorial

µ parâmetro utilizado para a flambagem lateral, dado por: ωIELIG t

2

ηcr parâmetro utilizado para a determinação do momento crítico

(regulamento europeu, prEN1999-1-1:2004)

xx

PONTOS NOTÁVEIS

A pólo

B origem das áreas setoriais

C centro de torção da seção transversal ; pólo principal

D origem principal

G centro geométrico da seção, cuja notação é aqui estendida também

para o centro de gravidade

H ponto da seção transversal onde se localizam os vínculos do meio

elástico

M ponto qualquer da seção transversal

O origem dos eixos

xxi

RESUMO

O valor do momento crítico à flambagem lateral de vigas em regime elástico-

linear é geralmente obtido na literatura técnica por meio de teorias aproximadas e

definido apenas para alguns casos usuais. Entretanto, a utilização de modernas

técnicas computacionais permite que o estudo da flambagem lateral não fique restrito

apenas a esses casos.

O objetivo deste trabalho é determinar o valor do momento crítico de vigas de

aço em regime elástico-linear para diversos casos de carregamento e de vinculação,

por meio de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata. Estes resultados são

comparados aos obtidos com o emprego de expressões baseadas em teorias

aproximadas, em particular as normas de projeto NBR8800:1986, prAISC-

LRFD:2003, prEN1993-1-1:2002 Stage 54 e prEN1999-1-1:2004 Stage 54.

Com o emprego do programa de elementos finitos PEFSYS, realiza-se, para

vigas tipo I bissimétricas, uma análise paramétrica que incorpora a faixa usual de

utilização destas vigas em projetos usuais de edifícios. Estuda-se a influência da

restrição ao empenamento e à rotação no plano ortogonal ao da flexão para quatro

condições de vinculo nas extremidades da viga. Consideram-se ainda alguns casos

adicionais, como carga aplicada fora do centro de torção e vínculos ao longo do vão,

para mostrar o potencial do método de análise utilizado.

xxii

ABSTRACT

The elastic lateral buckling moment is generally obtained in technical

literature by means of approximated theories, and defined just for some common

cases. However, the use of recent computational techniques allows that lateral-

torsional buckling’s study doesn’t remain restricted to this few cases.

The intend of this work is to establish accurate values for the elastic critical

moment of steel beams in several cases of loading and end-restraint, using a

Geometrically Exact Nonlinear Theory. This results are compared with the ones

derived from approximate theories, in particular, Brazilian code NBR8800:1986,

American Specification prAISC-LRFD:2003, and European Prestandards prEN1993-

1-1:2002 Stage 54 and prEN1999-1-1:2004 Stage 54.

A parametrical analysis is performed for doubly-symmetric I-beams using the

finite element program PEFSYS for usual range in conventional structures. The

influence of warping and lateral rotation restraints is studied for four idealized

support conditions. Some other cases, like transverse load applied above and below

shear center and presence of bracings along the span, are accounted of to corroborate

the validity and the powerful of this procedure.

1

1 - INTRODUÇÃO

1.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

O emprego de estruturas metálicas no Brasil, embora ainda pouco intenso,

vem sendo incrementado continuamente, tanto nos edifícios industriais quanto nos

comerciais e residenciais.

Tal mudança justifica-se pelas vantagens do emprego do aço em relação às

estruturas convencionais de concreto, destacando-se a rapidez de execução; maior

precisão no processo de fabricação e montagem, com a conseqüente redução dos

custos do empreendimento; maior limpeza e organização do canteiro; menores cargas

nas fundações em decorrência da redução de peso próprio da estrutura; entre outras.

Nas edificações de grande porte, a estrutura principal em aço é constituída por

perfis laminados e perfis fabricados a partir de chapas soldadas entre si, em geral

com seção transversal em forma de I.

Esses perfis podem ser fabricados com as dimensões necessárias para o

projeto, variando-se a largura e a espessura das chapas componentes. Entretanto, a

soldagem de chapas não é economicamente vantajosa para chapas de pequena

espessura, tanto por requerer cuidados especiais para minimizar as tensões residuais

e a distorção dos perfis quanto pelo próprio custo do corte das chapas, soldagem e

desempenamento.

Já nas edificações que possuem vãos menores e cargas de pequena

intensidade, os perfis formados a frio são geralmente mais adequados, criando maior

flexibilidade para sua escolha, adequando-se a forma da seção transversal às

necessidades de projeto. São exemplos de aplicação as terças de cobertura, as

longarinas de fechamento e os montantes de caixilhos e forros.

2

Tendo em vista a pequena espessura dos elementos componentes desses

perfis, uma série de características os diferencia dos elementos comumente utilizados

em estruturas convencionais de concreto.

Pela utilização de peças esbeltas e por não apresentar o monolitismo

característico das estruturas de concreto, exige-se das estruturas de aço um estudo

mais acurado do seu comportamento estrutural. Nesse enfoque, merece especial

destaque a instabilidade lateral de perfis, principalmente no caso de vigas com

grandes vãos.

Na literatura técnica, encontram-se resultados para um grande número de

casos particulares de flambagem lateral, geralmente baseados em teorias

aproximadas que consideram diferentes condições de vínculo e de carregamento,

geometria das vigas, entre outros.

Por sua vez, as normas de projeto utilizam esses resultados e impõem

algumas simplificações, procurando desta forma atender as necessidades do

projetista de estruturas metálicas para os mais variados arranjos estruturais.

Em contrapartida, poucos trabalhos utilizam uma Teoria de Barras Não-

Linear Geometricamente Exata ou uma Teoria Não-Linear de Cascas. Atualmente,

esses estão tornando-se mais freqüentes, embora a maioria enfoque apenas a

distorção da seção transversal dos perfis.

Estuda-se neste trabalho a flambagem lateral de vigas de aço em regime

elástico-linear à luz de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata. Por meio de

teorias de barras, analisa-se em pormenores o fenômeno da instabilidade lateral de

perfis tipo I bissimétricos.

Os resultados são comparados, quando possível, com as recomendações da

norma brasileira NBR8800:1986, da norma americana prAISC-LRFD:2003, do

regulamento europeu prEN1993-1-1:2002 Stage 34 e prEN1999-1-1:2004 Stage

3

34, e da literatura técnica, discutindo-se a validade das expressões e das hipóteses

apresentadas.

1.2 - O COMPORTAMENTO DE PERFIS DE SEÇÃO ABERTA E PAREDE

DELGADA

A principal característica de uma barra de parede delgada é que a espessura

da seção transversal é muito menor que sua largura, altura ou contorno. Por sua vez,

estas dimensões são muito menores do que seu comprimento, de modo que ainda é

possível utilizar modelos de barra para sua análise.

Os fenômenos de instabilidade de uma barra de seção aberta e parede delgada

submetida à flexão são classificados como “flambagem por flexo-torção” ou

“flambagem lateral”; “flambagem por distorção” e “flambagem local”. Não é

objetivo deste trabalho o estudo da flambagem local e da distorção, de forma que se

dará enfoque apenas ao primeiro desses fenômenos.

O tipo de instabilidade presente é função principalmente das características

geométricas dos perfis (sobretudo, da relação largura/espessura das partes

componentes), das condições de vínculo e do carregamento. Cabe ressaltar que é

comum a ocorrência simultânea de mais de um dos fenômenos citados.

Um caso particular de instabilidade é aquele em que ocorre distorção no

próprio plano da seção transversal, com deslocamentos transversais nos encontros

dos elementos componentes da seção e flexão dos elementos componentes na direção

normal ao plano dos mesmos (Figura 1).

4

Figura 1 - Flambagem por Distorção

Esse fenômeno é comum nas peças onde as partes comprimidas não possuem

adequada contenção lateral - mesmo que as demais partes o tenham - e naquelas onde

a alma possui elevada relação largura/espessura.

São exemplos típicos deste problema as vigas contínuas de piso (Figura 2)

que, embora contidas lateralmente por uma laje de concreto no nível da aba superior,

possuem abas inferiores não-contidas lateralmente, submetidas à compressão nas

regiões junto aos apoios intermediários.

Figura 2 - Flambagem por Distorção de Vigas de Piso

5

A instabilidade local verifica-se geralmente para altas relações

altura/espessura ou largura/espessura da seção, e se dá pela distorção da seção

transversal em seu próprio plano, resultado da flambagem dos elementos de chapa

componentes do perfil. Nesse caso, não ocorrem deslocamentos transversais nos

encontros dos elementos componentes da seção transversal - por exemplo, aba e alma

de um perfil tipo I (Figura 3).

Figura 3 - Flambagem Local

É possível estabelecer valores limites para as relações supracitadas para

diferentes condições de vínculo e de carregamento, de forma que o perfil atinja sua

capacidade portante à flexão sem a ocorrência da flambagem local. Uma outra forma

de se evitar a flambagem local é modificar as condições de vínculo pela adição de

enrijecedores, sejam eles intermediários ou de extremidade.

Em geral, a ocorrência de flambagem local não leva ao esgotamento da

capacidade portante da viga, na medida que, ao se exceder a carga crítica de uma

chapa, gradualmente surgem deslocamentos normais ao seu plano médio,

acompanhados de uma redistribuição de esforços atuantes no mesmo. Essa

redistribuição produz um efeito estabilizante da chapa, implicando o fato da

capacidade portante ser normalmente muito superior ao carregamento crítico.

6

Por fim, a instabilidade por flexo-torção é denominada flambagem lateral

quando se aplica a vigas e envolve uma combinação de flexão, torção e

empenamento sem modificação na seção transversal, como mostra a Figura 4.

Figura 4 - Flambagem Lateral

Para os perfis com elevada relação largura/espessura dos elementos de chapa

componentes, a instabilidade pode se dar por uma combinação de flambagem local e

lateral.

Em projeto, essa interação é comumente avaliada como um problema de

instabilidade por flexo-torção, considerando-se a redução da seção transversal pelo

método das larguras efetivas.

7

1.3 - BREVE HISTÓRICO

Os primeiros estudos do fenômeno da flambagem foram realizados por Euler

que, em 1759, analisou a flambagem em regime elástico de pilares sob forças axiais

de compressão, propondo-se então um primeiro modelo analítico que considerava a

relação entre a capacidade portante e o comprimento da peça.

Por sua vez, as pesquisas empíricas realizadas em 1854 por Fairbairn

consistem no primeiro trabalho relacionado diretamente à flambagem lateral de

vigas, cujos resultados mostraram que a resistência de uma viga de seção tipo I

aumenta se a largura e a espessura de sua aba comprimida forem superiores às da aba

tracionada.

Burr (1884), Marburg (1909) e Moore (1910) realizaram ensaios para

confirmar a relação entre a resistência ao momento fletor de uma viga e o índice de

esbeltez da aba comprimida na direção de menor inércia.

Em 1899, Prandtl e Michell estudaram a flambagem de vigas de seção

transversal retangular em regime elástico para determinar as equações diferenciais

que regem o fenômeno. O primeiro para diversas condições de vínculo e

carregamento; e o segundo apenas para vigas biapoiadas submetidas a momento

fletor uniforme ao longo do vão.

Posteriormente, por volta de 1910, o resultado desses trabalhos foi estendido

por Timoshenko, incluindo o efeito do empenamento em vigas com seção transversal

tipo I.

Publicações subseqüentes de diversos autores, destacando-se a de Wagner em

1929, contribuíram para o surgimento de uma primeira teoria geral para a flambagem

lateral de vigas, presente nos trabalhos de Vlasov (1936) apud Vlasov (1961), Bleich

(1952) e Timoshenko (1953) apud Timoshenko; Gere (1961).

8

Nesta mesma época, outros pesquisadores procuraram obter soluções

numéricas, entre eles Winter (1943), Massonet (1947), Flint (1951), Poley (1954),

Horne (1954), Salvadori (1955 e 1956) e Austin et al. (1955).

Até então, a obtenção de resultados de caráter prático estava limitada pela

necessidade de extensos cálculos manuais. Entretanto, entre as décadas de 1960 e

1970, a evolução dos métodos de resolução com o uso de técnicas computacionais

possibilitou uma análise mais acurada.

A aplicação do Método dos Elementos Finitos à análise da flambagem por

flexo-torção, proposta por Barsoum e Gallagher em 1970, impôs uma nova

dinâmica aos futuros trabalhos, já que a maioria dos casos poderia ser estudada

isoladamente em um programa específico de computador que utilizasse

adequadamente essa teoria.

Novos resultados foram obtidos considerando-se as vigas isoladas ou

levando-se em conta sua continuidade com membros adjacentes. Em ambos os casos,

foram verificados os efeitos de diferentes condições de vínculo para alguns casos

usuais de carregamento.

As pesquisas foram então direcionadas aos seguintes campos: condições de

carregamento (posição de aplicação da carga e variações no diagrama de momento

fletor, diferente do diagrama da flexão pura); condições de vínculo (nos apoios e ao

longo do vão); vigas com seção variável (presença de furos, enrijecedores, recortes e

mudança de altura); continuidade entre vigas; e análise em regime não-elástico.

Neste sentido, destacam-se para este trabalho as publicações de Nethercot e

Rockey (1971) e (1973), Anderson e Trahair (1972), Nethercot (1973), Trahair e

Woolcock (1973), Nethercot e Trahair (1976), Chen e Atsuta (1977), Hancock

(1978), Heins e Potocko (1979), Kitipornchai et al. (1984), Sherbourne e Pandey

(1989), Bradford (1992), Pi e Trahair (1992) e (2000), Essa e Kennedy (1994) e

(1995), Helwig et al. (1997), e Suryoatmono (2002).

9

Alguns dos principais resultados obtidos com a utilização de teorias

aproximadas bem como uma comparação com as recomendações de algumas normas

de projeto encontram-se sumarizados em Johnston et al. (1986), Chen e Lui (1987),

Salmon e Johnson (1990), Silva (1992), Trahair (1993), Wang et al. (1993), Aoki

e Kubo (1997), Reis (1996) e Galambos (1998).

Apenas na década de 1980 surgiram as primeiras Teorias Não-Lineares

Geometricamente Exatas. Simo (1985) apud Campello (2000) apresenta uma

formulação não-linear, sem aproximações geométricas, para as equações do

movimento de barras no espaço, aprimorada no ano seguinte com a dedução de

equações de equilíbrio estático.

Esse trabalho pode ser citado como principal referência para publicações

subseqüentes que buscaram estabelecer as equações constitutivas de barras como, por

exemplo, o procedimento proposto por Shen e Zhang (1992) apud Reis (1996),

utilizando o Método dos Elementos Finitos para uma análise não-linear da

estabilidade de barras.

Um trabalho de destaque desenvolvido na Escola Politécnica da USP é o de

Pimenta e Yojo (1993), base da teoria não-linear que resultou na implementação do

PEFSYS, um programa computacional de elementos finitos em linguagem

FORTRAN 90 desenvolvido no Laboratório de Mecânica Computacional da EPUSP.

Esta teoria foi complementada posteriormente por Fruchtengarten, Julio (1995) e

Campello (2000) e seus resultados foram incorporados ao PEFSYS.

1.4 - METODOLOGIA

Para o estudo da flambagem lateral de vigas em regime elástico, emprega-se

neste trabalho tanto a Teoria de Vlasov quanto uma Teoria Não-Linear

Geometricamente Exata.

10

Inicialmente, utilizam-se as equações de equilíbrio e a expressão da energia

potencial total da Teoria de Vlasov para a obtenção do momento crítico de vigas sob

diversas condições de carregamento.

Para a Teoria Geometricamente Exata, apresentam-se a expressão da segunda

variação da energia potencial total sob forma matricial e, em seguida, a expressão

resultante de uma linearização proposta por Fruchtengarten, Julio (1995). Estas

expressões são comparadas, com ênfase aos termos correspondentes ao momento

fletor e à força cortante, numa primeira discussão sobre as imprecisões das teorias

aproximadas.

Apresentam-se, a seguir, os resultados de diversos autores para alguns casos

clássicos de flambagem lateral de vigas baseados na Teoria de Vlasov, e as

recomendações da norma brasileira, da norma americana e do regulamento europeu.

Para a obtenção da carga crítica de flambagem lateral de vigas sob diversas

condições de vínculo e carregamento de forma mais precisa, utiliza-se a Teoria Não-

Linear, sem nenhuma aproximação ou linearização, por meio do PEFSYS.

Discutem-se ainda as hipóteses simplificadoras implícitas nas recomendações

supracitadas, e comparam-se os resultados para alguns casos usuais de carregamento

e vinculação por meio de uma análise paramétrica de vigas com diferentes seções

bissimétricas tipo I e vãos compatíveis com sua utilização corrente.

Finalmente, estudam-se alguns casos adicionais de vinculação e de

carregamento, comparando-se quando possível os resultados obtidos do programa

PEFSYS com os de normas de projeto e da literatura.

11

2 - TEORIAS DE BARRAS

2.1 - INTRODUÇÃO

Na teoria clássica de barras da Resistência dos Materiais, denominada Teoria

de Bernoulli-Euler, supõe-se que as seções transversais permanecem planas e

ortogonais a um determinado eixo da barra, não sendo, portanto, considerados o

empenamento e a distorção por força cortante.

A distorção da seção transversal por força cortante é considerada na Teoria de

barras de Timoshenko, onde se admite que as seções inicialmente planas

permanecem planas mas não necessariamente ortogonais ao eixo da barra, e que as

rotações são independentes dos deslocamentos. A hipótese cinemática da

dependência entre os deslocamentos e as rotações denomina-se vínculo de Bernoulli-

Euler.

Por sua vez, o empenamento é considerado na Teoria de Vlasov. Denomina-

se vínculo de Vlasov a hipótese de que a intensidade do empenamento é igual à

rotação específica em torno do eixo longitudinal z.

Na Teoria de Vlasov aqui empregada, admitem-se válidos tanto o vínculo de

Bernoulli-Euler quanto o de Vlasov.

Os principais fundamentos da Teoria de Vlasov e da Teoria Não-Linear

Geometricamente Exata, na qual estes vínculos não são impostos, são apresentados

neste capítulo, discutindo-se também as imperfeições contidas na Teoria de Vlasov e,

para efeito de comparação, as simplificações que podem ser feitas na Teoria Exata.

12

Para a Teoria de Vlasov, apresentam-se inicialmente as equações de

equilíbrio da Teoria Linear e, em seguida, as equações de equilíbrio e a expressão da

energia potencial total U para a análise de estabilidade.

Em seguida, na Teoria Exata, obtêm-se as expressões do funcional da

segunda variação da energia potencial total e de uma linearização do mesmo,

novamente com o objetivo de comparação com a Teoria de Vlasov.

2.2 - TEORIA DE VLASOV - ANÁLISE LINEAR

2.2.1 - Considerações Iniciais

A Teoria de Vlasov aplicada às barras de seção transversal aberta e parede

delgada baseia-se nas seguintes hipóteses:

a forma da seção transversal não se altera, ou seja, não se considera a distorção

em seu próprio plano:

0;0 == xyxy γτ

o empenamento da seção transversal é constante ao longo da espessura; sua forma

é a mesma para todas as seções, mas sua intensidade difere de uma seção para outra,

sendo proporcional à rotação específica 'zϕ .

as deformações por cisalhamento na superfície média da barra podem ser

desprezadas ( 0=szγ ). Esta hipótese corresponde à de Bernoulli-Euler na Teoria

Clássica da Resistência dos Materiais.

13

as tensões de cisalhamento paralelas à superfície média são dadas pela soma de

dois termos (Figura 5):

(i) O primeiro termo (τω) pode ser admitido constante ao longo da espessura, e o

esforço solicitante de torção resultante é denominado momento de flexo-torção (Tω).

A existência dessa parcela de tensão confronta a hipótese da Resistência dos

Materiais de deformações por cisalhamento nulas na superfície média.

Por esse motivo, as tensões τω são aqui determinadas pelas equações de

equilíbrio e não pela relação constitutiva τ = G γ.

(ii) O segundo termo, com distribuição linear ao longo da espessura e anti-

simetricamente distribuído em relação à linha média, é obtido da Teoria de torção

uniforme de Saint-Venant. O esforço solicitante resultante destas tensões de

cisalhamento (τt) é o momento de torção uniforme, dado por:

'ztz IGM ϕ=

2

21 τττ ω+

= 2

21 τττ −=t

Figura 5 - Tensões de Cisalhamento

14

2.2.2 - Equações Diferenciais de Equilíbrio

Para a dedução das equações diferencias de equilíbrio subseqüentes, utilizam-

se dois sistemas de coordenadas. Um ponto pode então ser geometricamente

determinado pelas coordenadas x,y,z (comumente utilizadas na Resistência dos

Materiais) ou pelas coordenadas s (ao longo da linha de contorno da superfície média

a partir de uma origem B) e z (na direção do eixo da barra) - Figura 6.

Figura 6 - Sistemas de Referência

Os deslocamentos de um ponto M qualquer da superfície média podem ser

escritos em função do deslocamento de um ponto denominado pólo e da rotação ϕz

da seção transversal (Figura 7.a). Dado um pólo A qualquer, define-se área setorial

ωA (s) como o dobro da área do setor definido pelos raios vetores AB e AM (Figura

7.b), obtendo-se:

( ) −=s

On

A dsrsω

15

(a)

(b)

Figura 7 - Deslocamentos do Ponto M - Área Setorial

Pode-se demonstrar que, em particular, o deslocamento longitudinal wM é

dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )szsyzvsxzuzww AzM ωϕ '''

0 +−−= (2.1)

Os três primeiros termos da equação (2.1) correspondem à teoria usual de

barras da Resistência dos Materiais, em que se admite válida a hipótese de Bernoulli-

Euler de que as seções planas permanecem planas e ortogonais ao eixo após a

deformação. Esse fato decorre da hipótese γsz = 0.

O primeiro termo representa um deslocamento axial uniforme na seção. Os

dois seguintes correspondem aos deslocamentos devidos às rotações ϕx e ϕy ,

associadas por esta hipótese às derivadas em relação a z dos deslocamentos do eixo

passando pelo pólo, que será tomado coincidente com o centro de torção (ϕx = -v’ e

ϕy = u’).

O quarto termo representa o empenamento da seção transversal e é similar ao

obtido da Teoria de Saint-Venant para torção uniforme, embora aqui 'zϕ não seja

constante em z.

16

As funções deslocamento do pólo A - w0(z), u(z), v(z) e ϕz(z) - são

determinadas a partir das condições de equilíbrio de um elemento da barra de

comprimento dz. A ação do restante da barra é substituída pelas tensões (normal e de

cisalhamento) e pelo momento de torção Mz correspondentes.

O carregamento, estaticamente equivalente às forças de magnitude fx , fy e fz ,

é substituído por um sistema de forças de mesma intensidade que passa pelo pólo A,

e pelo momento de torção mz resultante destas forças.

Têm-se, então, as seguintes equações de equilíbrio:

Ef

SvSuSwA zzxy −=+−+ '''''''''''

0 ϕω

Ef

IvIuIwS xIVzx

IVxy

IVyy −=++−− ϕω

'''0

E

fIvIuIwS yIV

zyIV

xIV

xyx −=+−+ ϕω'''

0

Em

EIG

IvIuIwS zz

tIVz

IVy

IVx −=+−++− '''''

0 ϕϕωωωω

Note-se que, por analogia com a Resistência dos Materiais, definem-se novas

propriedades geométricas da seção, a saber:

momento estático setorial:

( )dsstSs

so

= ωω (2.2)

17

momento de inércia setorial ou momento de inércia ao empenamento:

=A

dAI 2ωω (2.3)

produto de inércia setorial em relação ao eixo x:

=A

x dAxI ωω (2.4)

produto de inércia setorial em relação ao eixo y:

=A

y dAyI ωω (2.5)

As equações diferenciais de equilíbrio supracitadas podem ser simplificadas

adotando-se uma origem, um pólo e um sistema de referência convenientes.

Os momentos estáticos Sx e Sy se anulam para eixos de referência que passam

pelo centro de gravidade G da seção. Pode-se definir ainda um pólo principal C e

uma origem principal D que anulam respectivamente os produtos de inércia setoriais

Iωx e Iωy e o momento estático setorial Sω . O pólo principal coincide com o centro de

torção da seção transversal, resultando:

zfwAE −=''0 (2.6.a)

xIVG

xyIVG

y fvEIuIE =− (2.6.b)

yIVG

xIVG

xy fvIEuEI =+− (2.6.c)

zztIV

zC mIGIE =− ''ϕϕω (2.6.d)

18

Em particular, para eixos principais, o produto de inércia Ixy também se anula.

Assim, as equações diferenciais de equilíbrio ficam desacopladas e assumem a

seguinte forma:

zfwAE −=''0 (2.7.a)

xIVG

y fuIE = (2.7.b)

yIVG

x fvIE = (2.7.c)

zztIV

zC mIGIE =− ''ϕϕω (2.7.d)

2.2.3 - Apoios Elásticos

Considera-se agora uma barra com seção de parede delgada (Figura 8),

continuamente apoiada em meio elástico ao longo de um eixo paralelo ao eixo z e

passando por um ponto H de coordenadas (xH , yH).

Figura 8 - Apoios Elásticos

19

As forças reativas do meio elástico nas direções x e y são proporcionais

respectivamente aos deslocamentos uH e vH , e o momento de torção reativo depende

destas forças e da rotação ϕzH , resultando em:

Hxx uf ββ −= (2.8.a)

Hyy vf ββ −= (2.8.b)

( ) ( ) ββϕβ ϕβ xCHyCHzHz fyyfxxm −−−+−= (2.8.c)

onde:

fxβ , fyβ e mzβ são as reações no meio elástico por unidade de comprimento da

barra.

βx , βy e βϕ representam as rigidezes do apoio elástico, ou seja, as forças e o

momento de torção correspondentes a deslocamentos nas direções x e y e rotações

unitários.

Colocando os deslocamentos e rotações do ponto H em função dos

deslocamentos e rotações do centro de torção, obtêm-se as forças e momentos de

torção adicionais a serem considerados nas equações de equilíbrio, a saber:

( )[ ]zCHxx yyuf ϕββ −−−= (2.9.a)

( )[ ]zCHyy xxvf ϕββ −+−= (2.9.b)

( ) ( )

( ) ( )[ ] zCHyCHx

CHyCHxzz

xxyy

vxxuyym

ϕββ

ββϕβϕβ

22 −−−−+

+−−−+−=

(2.9.c)

20

2.3 - TEORIA DE VLASOV - ANÁLISE DE ESTABILIDADE

2.3.1 - Equações de Equilíbrio

A teoria clássica de flambagem objetiva determinar a intensidade do

carregamento a partir do qual a configuração inicial deixa de ser estável. Um estado

de equilíbrio é considerado estável se perturbações suficientemente pequenas causam

deslocamentos arbitrariamente pequenos da estrutura.

O estado em que um arranjo muda de estável para instável é denominado

“estado crítico” e o carregamento correspondente, “carga crítica”.

Ao atingir a carga crítica, a viga passa da configuração de equilíbrio básica

para uma nova configuração, denominada “pós-crítica”. As equações de equilíbrio

são determinadas, na Teoria de Vlasov, para uma configuração pós-crítica próxima

da inicial, de modo que os incrementos dos deslocamentos e das tensões sejam

pequenos de tal forma que possam ser consideradas desprezáveis as mudanças nos

esforços solicitantes.

Em vista dessa aproximação, o procedimento aqui adotado dá apenas uma

indicação da forma da configuração logo após se atingir a carga crítica, fornecendo

um valor aproximado dessa carga.

Por sua vez, a intensidade dos deslocamentos na configuração pós-crítica só

pode ser estudada à luz de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata, como

será mostrado no item 2.4.

Para a configuração básica de equilíbrio, o estado de tensões está em

equilíbrio com o carregamento externo. Assim, para os deslocamentos adicionais

resultantes da perda de estabilidade da barra, considera-se que o incremento de

21

tensões está em equilíbrio com um carregamento externo fictício, a ser determinado,

dado pelas forças transversais fxN , fyN e pelo momento de torção mzN.

Admitem-se válidas, para a configuração final, as equações de equilíbrio

deduzidas na análise linear para a configuração básica, mas desprezam-se os

deslocamentos anteriores à perda de estabilidade, ou seja, admite-se que u, v, w e ϕz

são os incrementos dos deslocamentos na mudança de configuração de equilíbrio.

Vale relembrar que, por simplicidade, os deslocamentos e as propriedades

setoriais da seção transversal são calculados em relação ao centro de torção e que a

origem é a principal.

Adicionam-se ainda às equações de equilíbrio da análise linear (equação 2.6)

as forças e momentos de torção provenientes de apoios elásticos (equação 2.9) e as

forças fictícias fxN , fyN e mzN , deduzidas a partir do equilíbrio de um elemento de

barra na configuração deformada.

Obtêm-se, assim, as seguintes equações diferenciais de equilíbrio para a

análise de estabilidade - Fruchtengarten, Julio (1995):

0''0 =wAE (2.10.a)

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0''''' =−−+++−− zCHxzxzCIV

xyIV

y yyuMyuNvIEuIE ϕβϕϕ

(2.10.b)

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0''''' =−+++−−− zCHyzyzCIV

xyIV

x xxvMxvNuIEvIE ϕβϕϕ

(2.10.c)

22

( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0

22

''''

22

''000

20

''''''

=+−−+−+

+−+−+−+−−+

++−+−++−

vNxuNyyefxef

xxyyvxxuyy

MrMrMrNrMvMuIGIE

CCzCyyCxx

zCHyCHxCHyCHxz

zyxxyyxztIV

zC

ϕ

ϕββββϕβ

ϕϕϕ

ϕ

ωωω

(2.10.d)

Hx, Hy e Hω são parâmetros de assimetria da seção transversal, obtidos por

meio de:

( ) +=A

x dAyxyH 22 (2.11.a)

( ) +−=A

y dAyxxH 22 (2.11.b)

( ) +=A

dAyxH 22ωω (2.11.c)

dos quais resultam, por analogia com o raio polar de inércia r0:

−

−

−= C

xyyx

yxxxyx x

III

HIHIr 2

21

20 (2.12.a)

−

−−

= Cxyyx

yxyxyy y

III

HIHIr 2

21

20 (2.12.b)

ω

ωω I

Hr =0 (2.12.c)

23

2.3.2 - Método Energético

A condição necessária para o equilíbrio de um sistema estrutural elástico sob

carregamento conservativo numa determinada configuração é que a energia potencial

total do sistema passe por um extremo, isto é, que a primeira variação da energia

potencial total δU seja nula.

Por sua vez, o teorema de Lagrange-Dirichlet estabelece que uma condição

suficiente para a estabilidade do equilíbrio de uma determinada configuração é que a

energia potencial total seja mínima nesta configuração, isto é, que a segunda variação

da energia potencial total δ2U seja positiva definida.

A transição da estabilidade para a instabilidade se dá para uma configuração

tal que a condição acima deixa de ser satisfeita, ou seja, para δ2U=0.

Conhecida a expressão exata da segunda variação da energia potencial total,

pode-se determinar um valor aproximado do carregamento crítico por meio de uma

análise linearizada de estabilidade, denominada análise de Euler, na qual se

confundem as configurações inicial e crítica, calculando-se os esforços internos pela

Teoria Linear.

Esse procedimento não dá nenhuma indicação a respeito da configuração pós-

crítica, mas conduz a uma simplificação na expressão da segunda variação da energia

potencial total e permite obter um valor aproximado da carga crítica.

Por outro lado, pode-se mostrar que um valor aproximado da carga crítica

pode também ser determinado utilizando-se a diferença de energia potencial entre a

configuração deformada e a configuração imediatamente anterior à flambagem ( U∆ )

no lugar da segunda variação da energia potencial. Alternativamente, como mostra

Fruchtengarten, Julio (1995), pode-se utilizar a expressão da primeira variação da

energia potencial δU.

24

Esses procedimentos são usuais na literatura técnica, mas partem

normalmente de expressões aproximadas de U∆ ou de δU, determinadas a partir de

hipóteses simplificadoras na formulação das equações diferenciais de equilíbrio,

como foi feito no item 2.3.1. A discussão da imprecisão desta conduta é um dos

objetivos deste trabalho.

Uma expressão aproximada da primeira variação da energia potencial total

pode ser obtida aplicando-se o princípio dos trabalhos virtuais, ponderando-se as

equações de equilíbrio de forças e de momentos (equação 2.10) pelos deslocamentos

virtuais correspondentes (Método de Galerkin).

Esses deslocamentos virtuais são funções cinematicamente admissíveis para o

problema, denominadas “funções coordenadas”. A condição de equilíbrio é obtida

impondo-se que a soma dos trabalhos virtuais dos esforços sob esses deslocamentos

virtuais é nula.

Com este procedimento, chega-se à seguinte expressão para o funcional da

energia potencial total:

[ ]( ) ( )

[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ]

−+−+

++−++−−+

+−++−++

++−−+++

+++−++=

L

zCyyCxx

L

zzCHyzCHx

L

yxz

L

yxxyz

L

yxz

L

zCzC

L

ztzxyxy

dzyefxef

dzxxvyyu

dzuVvVdzMrMrMrNr

dzvMuMdzvxuyvuN

dzIGIEvuIEvIEuIEwAEU

0

2

0

222

00000

20

2'

0

'

0

''22

0

2'2''''''2''2''2'0

21

21

''2221

'''2'2''21

221

ϕ

ϕβϕβϕβ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ωω

ω

(2.13)

25

A primeira integral é denominada termo constitutivo, as quatro seguintes

correspondem ao efeito geométrico dos esforços internos e as duas últimas,

respectivamente, aos apoios elásticos e ao efeito geométrico dos esforços externos.

Embora corresponda à diferença da energia potencial entre a configuração

deformada e a configuração reta imediatamente anterior à flambagem, esse funcional

é referido na literatura como sendo o da própria energia potencial total do sistema.

Da condição δU = 0 pode ser obtido, como já visto, o carregamento crítico.

As expressões do funcional da energia potencial total dependem da forma de

integração por partes adotada. Como conseqüência, encontram-se na literatura

diferentes expressões para o funcional da energia potencial total, correspondentes a

diferentes condições de contorno, onde, em particular, os termos que contêm as

forças cortantes e os momentos fletores diferem bastante.

No item seguinte, procura-se estabelecer a expressão da energia potencial

total a partir de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata. Para efeito de

comparação, adotar-se-ão simplificações que permitam determinar um valor

aproximado do carregamento crítico por meio de uma análise linearizada de

estabilidade.

2.4 - TEORIA NÃO-LINEAR GEOMETRICAMENTE EXATA

2.4.1 - Introdução

A Teoria Geometricamente Exata aplica-se a barras de seção transversal

qualquer, delgada ou não, e é valida para estruturas com grandes deslocamentos e

grandes rotações, sem nenhuma limitação. Dispensa-se, portanto, quaisquer

aproximações nas relações deslocamentos-deformações, bem como simplificações de

26

caráter geométrico, semelhantes às realizadas nas teorias de primeira e segunda

ordem.

Os deslocamentos de um ponto qualquer da seção transversal podem ser

decompostos em duas parcelas: a primeira correspondente ao movimento da barra,

mantendo-se as seções planas e indeformáveis, embora não ortogonais ao eixo; e a

segunda correspondente ao empenamento, ortogonal à seção transversal na

configuração deformada.

Nesta teoria, as seções transversais não permanecem ortogonais ao eixo da

barra, ou seja, não é imposto o vínculo de Bernoulli-Euler; como conseqüência, as

rotações independem da declividade ( 'vx −≠ϕ e 'uy ≠ϕ ). Na Teoria de Vlasov, a

imposição deste vínculo pode ser verificada na equação (2.1).

Os deslocamentos correspondentes ao empenamento p são tratados como

grandezas independentes da rotação zϕ , de modo que a intensidade do empenamento

independe da rotação específica ( pz ≠'ϕ ), ao contrário do que é admitido na Teoria

de Vlasov.

Deduzida a expressão exata da segunda variação da energia potencial total,

pode-se obter uma expressão aproximada do funcional da segunda variação da

energia potencial total para uma análise linearizada de Euler.

Para tanto, admitem-se válidas as mesmas hipóteses já enunciadas na Teoria

de Vlasov. A título de comparação com a expressão obtida por meio da Teoria de

Vlasov, introduzem-se ainda os vínculos de Bernoulli-Euler e de Vlasov no funcional

resultante da utilização de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata.

27

2.4.2 - Funcional da Segunda Variação da Energia Potencial

A dedução da expressão do funcional da segunda variação de energia

potencial total pode ser vista em Fruchtengarten, Julio (1995). Sob forma matricial,

ela é dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dzLHHGHBHBDL

e ∆∆−∆∆+∆∆=

−−−−−−−−− ~~~~~~

2 ... δδδδδδδ (2.14)

onde:

D−

é a matriz dos coeficientes de rigidez tangente da seção transversal, que é a

parcela constitutiva do operador.

−G é a matriz que caracteriza os efeitos geométricos dos esforços internos.

Le é a matriz que caracteriza os efeitos geométricos dos esforços externos.

−−

HeB são matrizes auxiliares.

~∆δ são deslocamentos virtuais generalizados, constituídos pelo vetor

~uδ que

contém os três deslocamentos nas direções x, y e z ; pelo vetor ~ϕδ que contém as

três rotações; e pelo vetor pδ que representa a intensidade do empenamento:

=∆

p

u

δ

ϕδ

δ

δ~

~

~ (2.15)

28

A expressão (2.14) deu origem a um programa computacional de elementos

finitos para uma análise não-linear geometricamente exata de estruturas denominado

PEFSYS. Desenvolvido no Laboratório de Mecânica Computacional da Escola

Politécnica da USP, o PEFSYS é a ferramenta utilizada neste trabalho.

Nesse programa, os deslocamentos da estrutura são obtidos por meio de

interpolação dos valores nodais, os quais são introduzidos nas expressões dos

trabalhos virtuais, gerando as equações das forças residuais e as matrizes de rigidez

tangente constitutiva, geométrica e de carregamento - Campello (2000). Essas

últimas são finalmente empregadas na resolução de sistemas não-lineares por meio

do Método de Newton.

2.4.3 - Análise Linearizada de Euler

Uma expressão aproximada do funcional da segunda variação da energia

potencial pode ser obtida por linearização da expressão de .2Uδ As hipóteses para

esta linearização são:

o gradiente de deslocamentos é pequeno.

confunde-se a configuração inicial com a configuração imediatamente anterior à

flambagem (logo, ~~∆=∆δ ).

a barra está submetida a um carregamento proporcional.

os esforços solicitantes são os da Teoria Linear.

29

a) Termo geométrico dos esforços internos

Para a determinação do termo geométrico dos esforços internos, impõem-se

inicialmente as hipóteses supracitadas no segundo termo da expressão (2.14).

Referindo-se os esforços solicitantes ao centro de gravidade, tomando-se para

o eixo da barra aquele que passa pelo centro de torção, e impondo-se os vínculos de

Bernoulli-Euler ( 'vx −=ϕ e 'uy =ϕ ) e de Vlasov ( 'zp ϕ= ) no centro de torção, o

termo geométrico dos esforços internos da expressão da segunda variação da energia

potencial total é dado por:

( ) ( )[ ] −−−−++ dzvvxuuyvuNL

zzCzzC0

"''"''2'2'

21 ϕϕϕϕ

( ) ( )[ ] [ ] +−+−+−− dzvuvuTdzvvMuuMLL

zzyzzx 0

"''"

0

"''"''

21

21 ϕϕϕϕ

( ) ( ) dzvVuVwdzuVvVL

yxCyx

L

z +−−+0

'''''

021 ϕ (2.16)

onde:

wC é o deslocamento longitudinal do centro de torção descontado o empenamento,

a saber:

''

0 vyuxww CCC −−=

implicando:

30

""'0

' vyuxww CCC−−=

Procedendo-se de maneira análoga para o eixo da barra passando pelo centro

de gravidade, obtém-se para o termo geométrico dos esforços internos:

[ ] ( )[ ] −−−−++ L

zzx

L

zCzC dzuuMdzvxuyvuN0

''''

0

''''2'2'

21

2221 ϕϕϕϕ

( )[ ] [ ] ( ) −−+−+−−L

yx

L zL

zzy dzuVvVdzvuvuTdzvvM0

''

00

"''"''''

221

21 ϕ

ϕϕ

( ) ( ) −+−+− dzyVxVdzvVuVw CyCxz

L

zyx

L '

0

''

0

'0 ϕϕ

( ) ( ) −−−L

CyCx dzvuuvxVyV0

"''''

21

(2.17)

onde:

w0 é o deslocamento longitudinal do centro de gravidade.

Esses termos podem agora ser comparados aos obtidos na expressão (2.13)

(segunda, terceira e quinta integrais). Note-se que a imposição das condições de

contorno em pontos diferentes da seção transversal (C e G) conduz a expressões

também diferentes. Na Teoria de Vlasov, as condições de vínculo são referidas ao

centro de torção.

O termo da força normal curiosamente só coincide com o de Vlasov (segunda

integral da equação 2.13) para o eixo no centro de gravidade, quando nessa teoria o

eixo é tomado no centro de torção.

31

Os termos de força cortante são diferentes dos de Vlasov (quinta integral da

equação 2.13) em ambas as situações. O termo em ϕz é a metade do de Vlasov.

Aparecem ainda termos adicionais em w referentes à projeção da força cortante na

direção z (em ambas as expressões), assim como termos que contemplam momentos

de torção adicionais referentes à excentricidade entre o centro de gravidade e o

centro de torção.

Os termos em Mx e My são iguais em ambas as expressões, embora não

coincidam com a terceira integral da equação (2.13).

É interessante observar que o momento de torção produz um efeito

geométrico, não presente na expressão (2.13).

b) Termo geométrico dos esforços externos

Impondo-se as hipóteses para a linearização e os vínculos de Vlasov e de

Bernoulli-Euler para os eixos passando pelo centro de torção, o termo geométrico

dos esforços externos pode ser escrito como:

( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] −−−−−−+−−

−++−+−−

dzyeuxevfdzyefxefvu

dzfufvdzyefxef

CyCxz

L

zCyxCxy

L

xy

L

zCyyCxx

L

z

''

0

'

0

'

''

0

'

0

2

21

21

21

ϕ

ωωϕϕ

( ) ( )[ ]dzyefvxefuL

CyyCxx −+−−0

2'2'

21 (2.18)

onde os valores (ex - xC), (ey - yC) e ω são correspondentes ao ponto de aplicação do

esforço externo que está sendo considerado. Em geral, estas forças são aplicadas no

mesmo ponto.

32

O termo geométrico da expressão (2.13) - correspondente à última integral -

se resume ao primeiro termo da expressão (2.18).

Note-se que a expressão (2.18) se anula para forças passando pelo centro de

torção, já que ω = 0 ; (ex - xC)=0 ; (ey - yC)=0 neste ponto.

c) Termo constitutivo

A matriz de rigidez constitutiva D é obtida na Teoria Não-Linear associando-

se linearmente o segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff com o tensor das

deformações de Green (material de Saint-Venant). Esta associação resulta em tensões

com termos de até quarta ordem nas deformações generalizadas.

Uma solução aproximada pode ser obtida tomando-se apenas os termos até

segunda ordem nas deformações generalizadas e desprezando-se os termos de

segunda ordem em G.

A matriz constitutiva é, então, a soma de uma parcela constante - que é a

usual na Teoria Linear - e outra linear nas deformações generalizadas.

Substituindo-se a matriz D no termo constitutivo da expressão (2.14),

impondo-se os vínculos de Bernoulli-Euler e de Vlasov no eixo da barra passando

pelo centro de torção, e utilizando-se as propriedades geométricas referidas ao centro

de gravidade, obtém-se o que segue:

a parcela constante de D resulta na primeira integral da expressão (2.13), a saber:

[ ] +−+++L

yxyxzzt dzuEIvuEIvEIEAwEIGI0

2"""2"2'0

2"2' 221 ϕϕ ω (2.19)

33

a parcela linear de D resulta não só na quarta integral da expressão (2.13) -

conhecida como “termo de Wagner” - como também num termo constitutivo não-

linear envolvendo o momento de torção uniforme:

[ ] ++−+ dzMrMrMrNrL

yxxyz0

0002

0

2' 2221

ωωϕ

( ) ( )[ ] +−+−−++ dzIyIxHvIyIxHuGIEML

xCxyCxxyCyCyzt

z

0

""' 22ϕ

[ ]dzIwHGIEML

zzt

z ++0

0'

0"'

ωϕϕ (2.20)

Usualmente, nos perfis de seção delgada, o momento de torção uniforme não

é um esforço solicitante significativo.

Finalmente, adicionando-se os termos correspondentes aos apoios elásticos, o

funcional da segunda variação da energia potencial total a ser utilizado para a análise

de Euler, obtido por meio da linearização proposta por Fruchtengarten, Julio

(1995), é dado por:

[ ] ++−+++= L

yxyxzzt dzuEIvuEIvEIEAwEIGIU0

2"""2"2'0

2"2'2 221 ϕϕδ ω

( ) ( )[ ] +−−−+++ dzvvxuuyvuNL

zzCzzC0

"''"''2'2'

21 ϕϕϕϕ

( ) ( )( )[ ] −+++−+−+L

yxcCyxz dzvVuVvyuxwuVvV0

''""'0

'' 221 ϕ

( ) ( ) ( )[ ] +−−−+−− dzvuvuTvvMuuML

zzyzzx0

"''""''"''

21 ϕϕϕϕ

34

[ ] ++−++ dzMrMrMrNrL

yxxyz0

0002

0

2' 2221

ωωϕ

( ) ( )[ ] +−+−−++ dzIyIxHvIyIxHuGIEML

xCxyCxxyCyCyzt

z

0

""' 22ϕ

[ ] +++ dzIwHGIEML

zzt

z

00

'0

"'ωϕϕ

( )[ ] ( )[ ] ++−++−−+ dzxxvyyuL

zzCHyzCHx0

222

21 ϕβϕβϕβ ϕ

( ) ( )[ ] +−+−+ dzyefxefvuL

cyxCxy0

''

21

( )[ ] dzxefvL

Cxzz −+0

'

21 ϕ ( )[ ] +−− dzyefu

L

Cyzz0

'

21 ϕ

( )[ ]dzyefvL

Cyy −+0

2'

21 ( )[ ] +−+ dzxefu

L

Cxx0

2'

21

( ) ( )[ ] −−+−+ dzyefxefL

CyyCxxz0

2

21 ϕ ( ) +

L

xyz dzfufv0

''' ωωϕ

(2.21)

Por simplicidade, omitiram-se os índices C e G na equação (2.21). Os

deslocamentos u e v ; os momentos de torção T e Mz ; e as propriedades geométricas

It , Iω , I0 , Hω , r0 e r0ω são tomados em relação ao centro de torção. Os deslocamentos

w0 ; as coordenadas do centro de torção xC e yC ; os momentos fletores Mx e My ; e as

propriedades geométricas Ix , Iy , Ixy , Hx , Hy , r0x e r0y são tomados em relação ao

centro de gravidade.

35

3 - APLICAÇÃO DA TEORIA DE VLASOV AOS CASOS

CLÁSSICOS DA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS


A flambagem lateral de vigas tem sido muito pesquisada atualmente. Para

vigas com seção transversal bissimétrica, sob carregamentos usuais e com condições

de vínculo idealizadas, existem diversas publicações que apresentam expressões para

a determinação do momento crítico elástico. Por sua vez, as normas de projeto

apresentam expressões simplificadas que têm sido comumente empregadas para estes

casos.

Entretanto, para vigas com seção transversal monossimétrica ou ainda

assimétrica, e em especial para carregamentos e condições de vínculo não-usuais, o

problema é bastante complexo, não havendo um tratamento simplificado para estes

casos que se mostre adequado.

O momento crítico elástico de uma viga é função principalmente de suas

características físicas e geométricas, do carregamento e da vinculação.

Dentre as características geométricas, destacam-se a forma da seção

transversal da viga, a presença de enrijecedores, a existência de imperfeições iniciais

e de descontinuidades na seção transversal (furos na alma, mudanças de altura,

recortes na aba, etc.). Para as características físicas, destacam-se as propriedades do

material, e a magnitude e distribuição das tensões residuais.

Por sua vez, a variação do momento fletor ao longo do vão, resultado do

carregamento ao qual a viga está submetida (ou seja, a presença de cargas

distribuídas e concentradas ou de momentos aplicados), também afeta

significativamente o valor do momento crítico.

36

A situação mais desfavorável é aquela na qual o momento fletor é constante

ao longo do vão (Figura 9), na medida em que todas as seções transversais da viga

estão submetidas ao máximo valor de momento.

O momento crítico elástico para esta situação em vigas biapoiadas com

restrição à rotação nas extremidades (vínculo de garfo) é denominado “momento

crítico básico” crM 0 .

É usual apresentar o momento crítico elástico de uma viga qualquer como

sendo esse valor corrigido por coeficientes que levam em conta as condições de

carregamento e de vinculação, obtendo-se assim o “momento crítico” crM .

Figura 9 - Diagrama de Momento Fletor Uniforme

O carregamento atuante na viga pode ser classificado de acordo com a sua

posição em relação à seção transversal. Assim, como mostra a Figura 10, ele é

definido como “estabilizante” se seu ponto de aplicação situa-se abaixo do centro de

torção; ou “desestabilizante”, se o ponto de aplicação situa-se acima.

37

CARGA ESTABILIZANTE CARGA DESESTABILIZANTE

F

C

F

Cx

F

C

F

C

e

xe

M = F . ex M = F . ex

diminui o deslocamento lateral aumenta o deslocamento lateral

Mcr aumenta Mcr diminui

Figura 10 - Posição do Carregamento na Seção Transversal

O comprimento do trecho de viga sem contenção à flambagem lateral é

denominado “comprimento destravado”. Em análises simplificadas, costuma-se

considerar apenas o vão da viga entre contenções para a determinação do momento

crítico; no entanto, faz-se mister avaliar também o tipo de vínculo e sua posição na

seção transversal, tanto nos apoios quanto ao longo do vão. Adicionalmente, a

existência de continuidade com membros adjacentes da estrutura também altera o

valor do momento crítico.

O tipo de vínculo depende do grau de liberdade a ser restringido, sendo usual

conter a rotação ϕz e o deslocamento no plano perpendicular ao da flexão u, embora a

declividade correspondente u’ e o empenamento p também possam ser impedidos.

Diferentes restrições a estes graus de liberdade implicam diferentes valores

para o momento crítico. Neste sentido, o travamento deve possuir uma rigidez tal que

o grau de liberdade a ele associado possa ser considerado efetivamente restringido.

38

Tomando-se como exemplo as vinculações apresentadas a seguir, pode-se

observar na Figura 11.a que embora exista no meio do vão uma viga transversal à

viga principal, esta não pode ser considerada como contida lateralmente, ao contrário

do que ocorre na Figura 11.b.

(a) (b)

(c)

Figura 11 - Eficiência da Contenção Lateral de Vigas

É prática usual fazer os travamentos com barras de seção circular combinadas

com perfis, os quais são denominados, respectivamente, correntes e barras rígidas

(Figura 11.c), reduzindo o comprimento destravado das vigas.

Quando da presença de lajes, o sistema de travamento supracitado tem

efetividade apenas durante a fase construtiva. Nesta situação, note-se que o

comprimento definido para a flambagem lateral é aquele entre contenções.

39

A Figura 12 ilustra alguns tipos de vínculo em diversas posições da seção

transversal.

Nas Figuras 12.a e 12.b, o travamento restringe o topo da viga para

deslocamento e parcialmente para rotação, dependendo da forma de ligação à aba e

da rigidez à flexão da laje ou do perfil de travamento. Observe-se que em caso de

momento fletor negativo, pode ocorrer também instabilidade por distorção em função

dos valores assumidos pela relação altura/espessura da alma da viga.

Na Figura 12.c, a viga de travamento está ligada na posição do centro de

torção, de forma que se restringe o deslocamento mas pouco a rotação, já que a

ligação entre as vigas é do tipo articulação.

A Figura 12.d ilustra um sistema de travamento à rotação das vigas sem

restrição ao deslocamento lateral de ambas.

O travamento apresentado na Figura 12.e restringe tanto deslocamento

quanto rotação, graças à vinculação a uma viga de grande rigidez.

A Figura 12.f apresenta um sistema de contenção lateral onde se vincula a

aba superior da viga a uma treliça horizontal, garantindo assim restrição desta aba ao

deslocamento mas não à rotação.

Na Figura 12.g encontra-se um exemplo de vinculação ao empenamento pela

adição de chapas de aço paralelas à alma e soldadas às abas da viga, constituindo-se

neste trecho uma seção do tipo caixão.

(a) (b) (c)

40

(d) (e) (f)

(g)

Figura 12 - Contenções Usuais à Flambagem Lateral

Destaca-se ainda que, neste trabalho, a vinculação ao empenamento e a

vinculação para flexão das abas no plano ortogonal ao da flexão não estão

associadas, o que é pouco usual em projeto.

Assim, para cada caso de carregamento, analisam-se quatro casos de

vinculação nas extremidades da viga, que são independentes do tipo de vinculação no

plano da flexão, apresentados aqui pela seguinte notação:

41

Condição de Vínculo Tipo I: sem restrições ao empenamento e à rotação no

plano perpendicular ao da flexão.

Figura 13 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo I

Condição de Vínculo Tipo II: restrição ao empenamento e sem restrição à

rotação no plano perpendicular ao da flexão.

Figura 14 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo II

42

Condição de Vínculo Tipo III: restrição à rotação no plano perpendicular ao da

flexão e sem restrição ao empenamento.

Figura 15 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo III

Condição de Vínculo Tipo IV: restrições ao empenamento e à rotação no plano

perpendicular ao da flexão.

Figura 16 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo IV

As condições de vínculo que consideram engastamento para empenamento

e/ou para flexão em torno do eixo de menor inércia são tratadas com menos

freqüência na literatura, pois nem sempre são de fácil realização na prática. Pode-se

tomar como exemplo a ligação entre viga e pilar da Figura 17, ambos com seção

transversal tipo I.

43

Figura 17 - Ligação Viga-Pilar

Nota-se que qualquer restrição à rotação da viga em torno do eixo de menor

inércia ou restrição ao empenamento das abas leva à introdução de momentos de

torção no pilar. Exemplos de vinculação do pilar à rotação e introdução de reforços

localizados para aumentar sua rigidez à torção encontram-se, respectivamente, nas

Figuras 18.a e 18.b.

(a) (b)

Figura 18 - Vinculação e Reforços no Pilar

44

Alternativamente, quando se pretende restringir apenas o empenamento,

pode-se optar pelo acréscimo de enrijecedores na viga, aumentando sua rigidez à

torção junto à ligação e restringindo deslocamentos longitudinais diferenciais das

abas, conforme mostra a Figura 19.

Figura 19 - Vinculação na Viga

Destaca-se, por fim, que a carga crítica em regime elástico-linear - cuja

obtenção para diversos casos de vinculação e carregamento é o objetivo principal

deste trabalho - não corresponde, em geral, à carga de colapso das estruturas, quer

devido à presença de imperfeições geométricas ou comportamento não-linear do

material, quer devido à resistência pós-crítica. Entretanto, esse parâmetro tem sido

empregado até hoje como um valor de referência, em relação ao qual a carga de

colapso é estimada.

Por sua vez, a reserva pós-crítica para a flambagem lateral é baixa, e os

deslocamentos no campo pós-crítico são incompatíveis com a utilização normal de

uma estrutura, justificando a não-consideração dessa reserva em projeto.

Já o comportamento não-linear do material, bem como a magnitude e a

distribuição das tensões residuais, são geralmente considerados por meio de

expressões semi-empíricas que corrigem o valor do momento crítico elástico.

45

3.2 - DETERMINAÇÃO DO MOMENTO CRÍTICO ELÁSTICO

O momento crítico elástico é obtido neste item por meio de dois caminhos

distintos: primeiro pelas equações diferenciais de equilíbrio e, em seguida, a partir da

expressão da energia potencial total da Teoria de Vlasov.

Considerando-se apenas barras submetidas à flexão, ou seja, N = 0 e Mω = 0;

tomando-se por simplicidade os eixos x e y como principais, ou seja, Ixy = 0; e

admitindo-se a inexistência de apoios elásticos, as expressões (2.10) e (2.13) se

resumem a:

( ) 0" =+ zxIV

y MuIE ϕ (3.1.a)

( ) 0" =+ zyIV

x MvIE ϕ (3.1.b)

[ ] +−+−++ "00

'''' 22 zyxxytyxIV

z MrMrGIvMuMIE ϕϕω

( ) ( )[ ] 0=−+−+ zCyyCxx yefxef ϕ (3.1.c)

( )[ ]( ) ( )[ ] +−++−+

+−++++=

L

zyxzyx

L

zyxxytzxy

dzuVvVvMuM

dzMrMrIGIEvIEuIEU

0

´´´´´

0

2'00

2''2''2'' 2221

ϕϕ

ϕϕω

( ) ( )[ ] −+−+L

zCyyCxx dzyefxef0

2

21 ϕ (3.2)

46

3.2.1 - Momento Crítico Básico

O momento crítico básico é aqui obtido por meio das equações diferenciais de

equilíbrio, impondo-se nas equações (3.1) o que segue:

barra biapoiada sem apoios elásticos

u , v , ϕ z = 0 para z = 0 , L

u” , v” , ϕ z” = 0 para z = 0 , L

flexão pura

fx = fy = 0

Assumem-se para os deslocamentos u e v e para a rotação ϕ z funções

senoidais que satisfazem as condições de contorno supracitadas, a saber:

Lzn

Auπ

sen=

Lzn

Bvπ

sen=

Lzn

Cz

πϕ sen=

47

Substituindo u , v e ϕ z nas equações de equilíbrio (3.1) e definindo-se

Lnπχ = , tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

=−+++−−

=−

=−

022

0

0

002

2

2

CMrMrIGIEBMAM

CMBIE

CMAIE

yyxytyx

yx

xy

χ

χ

χ

ω

Existem duas soluções para o sistema de equações homogêneas nas variáveis

A, B e C: a solução trivial (A = B = C = 0), que corresponde à configuração

indeformada da viga; e a solução obtida impondo-se que o determinante dos

coeficientes de (A, B, C) é nulo.

Sendo as forças normais críticas expressas por:

( )2

22

nL

EIEIN y

yyE

πχ −=−= (3.3.a)

( )2

22

nL

EIEIN x

xxE

πχ −=−= (3.3.b)

20

2

rGIEI

N t+−= χωω (3.3.c)

48

chega-se a:

022

00

002

0

=−+−−

−−

yxxyyx

yxE

xyE

MrMrNrMMMN

MN

ω

(3.4)

onde NxE e NyE são as forças normais críticas para a flambagem por flexão nas

direções x e y, já conhecidas da Teoria Clássica de Flambagem; e Nω é a força normal

crítica para a flambagem por torção.

Resolvendo a equação (3.4), obtém-se a expressão geral do momento crítico

básico, simplificada a seguir para as seções transversais indicadas na Figura 20.

(c) ponto-simétrica(a) 1 eixo de simetria (b) 2 eixos de simetria

Figura 20 - Seções Transversais - Momento Crítico Básico

a) Barras com um eixo de simetria - eixo y (xc = r0x = 0)

Se o momento fletor atua no plano de simetria yz (My=0), o momento crítico

básico é dado por:

49

+±=

yEyyyEcrx N

NrrrNM ω2

02

000 (3.5)

Para momento fletor no plano normal ao plano de simetria (Mx=0), tem-se:

ωNNrM xEcry 00 = (3.6)

b) Barras com dois eixos de simetria (C ≡ G ; xc = r0x = yc = r0y = 0)

Para My = 0, tem-se:

=

+==

2

2

2

2

00 L

EIGI

L

EINNrM t

yyEcr

ωω

ππ

t

ty GIEI

LGIEI

Lωππ

2

2

1+= (3.7)

c) Barras ponto-simétricas (rox = roy = 0)

ωNNrM yEx cr

200 = (3.8)

ωNNrM xEy cr

200 = (3.9)

50

3.2.2 - Momento Crítico - Expressão Aproximada

Para a flambagem lateral de vigas com vínculo de garfo nas extremidades e

sob quaisquer condições de carregamento, um valor aproximado do momento crítico

elástico pode ser obtido por meio da expressão da energia potencial total - equação

(3.2).

Este procedimento apresenta em geral boa precisão desde que se assumam

funções adequadas para os deslocamentos e para a rotação da viga. Problemas mais

complexos devem ser tratados por meio de Teorias Não-Lineares Geometricamente

Exatas de barras, quando fenômenos locais não são condicionantes, ou por meio de

Teorias de Cascas, quando o são.

A solução numérica desses problemas é geralmente obtida com o auxílio do

Método dos Elementos Finitos. Para o caso de teoria de barras, utiliza-se neste

trabalho o programa PEFSYS para a resolução da flambagem lateral de vigas de aço

sob diversos casos de carregamento e de vinculação.

Tomando-se por simplicidade My=0, e portanto fx=0, e notando-se que a

solução da equação de equilíbrio (3.1.b) está desacoplada e portanto não há

contribuição do termo em Ix na expressão da energia potencial total, a expressão (3.2)

passa a ser:

( ) ( )[ ] ++−+++=L

zyzxzxytzy dzuVMMrIGIEuIEU0

''2'0

2''2'' 2221 ϕϕϕϕω

( )[ ] −+L

zCyy dzyef0

2

21 ϕ (3.10)

Integrando-se duas vezes a equação (3.1.a), tem-se:

51

( ) 0" =+ zxIV

y MuIE ϕ

( ) _

0

`´´´xzxy VMuIE −=+ ϕ

_

0

_

0´´

yxzxy MzVMuIE −−=+ ϕ (3.11)

Em vigas biapoiadas com vínculo de garfo, 0" =u e 0=zϕ nas

extremidades (ou seja, em z=0 e z=L). Assim, substituindo-se na equação (3.11),

obtém-se 0_

0 =yM e 0_

0 =xV , conduzindo a:

zxy MuIE ϕ−=´´ (3.12)

A expressão acima é comumente utilizada na literatura técnica na dedução da

expressão geral do momento crítico para quaisquer condições de vínculo. Desta

forma, obtém-se apenas uma solução aproximada nos casos onde ela não é válida

(por exemplo, vigas em balanço).

Pode-se ainda escrever o termo geométrico dos esforços internos da

expressão (3.10), com o auxílio da expressão (3.12) e notando-se que 'xy MV = ,

como:

( ) ( ) ( ) =−−=−=+− L

y

L

zx

L

zxzx dzuIEudzuMdzuMM0

''"

0

''

0

''' ϕϕϕ

[ ] −=+=L

y

L

y

L

y dzuIEuuIEdzuuIE0

2''0

'''

0

''''

O termo [ ]L

y uuIE 0''' constitui uma nova condição de contorno para o

problema, satisfeita nos casos onde em cada extremidade da viga 0´ =u (engaste) ou

52

0" =u (apoio simples), resultando [ ] 00''' =L

y uuIE . Tal imposição de vínculo nas

extremidades da viga é ilustrada nos exemplos da Figura 21.

Figura 21 - Exemplos de Vinculação - Condições de Contorno nas Extremidades

Tomando-se ainda "xy Mf −= , a expressão da energia potencial total

resume-se a:

( ) ( )

−−+++−=

L

zCyxzxytzy

zx dzyeMMrIGIEIE

MU

0

2"2'0

2''22

221 ϕϕϕ

ϕω

(3.13)

Para este caso, verifica-se que a expressão da energia potencial total pode ser

escrita apenas em função da rotação ϕz .

53

Procurando-se obter uma solução genérica para qualquer condição de

carregamento, o momento fletor da viga é agora expresso por meio da seguinte

relação:

Mx = Mmax m(z)

onde:

→ Mmax é o máximo momento fletor ao longo do vão.

→ m(z) é uma função que dá a forma do diagrama de momento fletor da viga.

Impondo-se U = 0 na equação (3.13), chega-se finalmente a:

( ) ( ) +

−−+

− 0

0

2"

0

2'0

20

0

2

2 MdzmyedzmrMdzIE

m L

zCy

L

zy

L

y

z ϕϕϕ

00 0

2'2" =

++

L L

ztz dzIGdzIE ϕϕω

Tem-se, desta forma, uma equação do segundo grau em Mo , que pode ser

resolvida tomando-se funções aproximadas para m (z) e ϕz (z), e considerando-se a

mudança de variáveis Z = Lz , de tal forma que:

LdZd

zz 'ϕϕ

=

2"

2

2

LdZ

dz

z ϕϕ=

54

2"2

2

LmdZ

md =

Obtém-se assim, de acordo com o procedimento proposto por Clark; Hill

(1960) apud Silva (1992), a expressão do momento crítico Mcr , válida para qualquer

condição de carregamento, a saber:

( )( )[ ]

( )( )[ ]

+++−+

++−−=

22

0322

2

1

0322

2

1

1π

π

π

ω

ω kLIEIG

II

rCyeCkL

IEC

rCyeCkL

IECM

t

yyCy

y

yCyy

cr

(3.14)

Definem-se, enfim, os seguintes coeficientes:

→ C1: coeficiente associado ao diagrama de momentos fletores, conhecido como

“fator de momento equivalente”.

=

dZdZ

ddZm

dZdZd

C

zz

z

21

02

21

0

22

21

01

ϕϕ

ϕ

(3.15)

55

→ C2: coeficiente associado ao ponto de aplicação do carregamento.

−=

dZdZ

ddZm

dZdZ

md

C

zz

z

21

02

21

0

22

21

02

2

2 21

ϕϕ

ϕ (3.16)

→ C3: coeficiente associado à monossimetria da seção.

−=

dZdZ

ddZm

dZdZd

m

C

zz

z

21

02

21

0

22

21

03

ϕϕ

ϕ

(3.17)

→ k: coeficiente que pode ser associado ao tipo de vinculação.

dZdZd

dZdZd

k21

02

2

21

022

=ϕ

ϕ

π (3.18)

Note-se que a dedução da expressão (3.14) foi feita para vínculo de garfo nas

extremidades e em nenhum momento fora introduzida outra vinculação. No entanto,

como será visto nos itens 3.3.3 e 4.1, o coeficiente k é normalmente associado ao tipo

de vinculação, embora não seja possível distinguir aqui vinculações ao empenamento

ou à rotação no plano ortogonal ao de flexão. Observe-se, ainda, que os coeficientes

supracitados não estão associados entre si.

56

3.3 - TRATAMENTO NORMATIZADO

As normas têm por finalidade padronizar e simplificar o trabalho do

engenheiro na elaboração de um projeto e, para atingir tal objetivo, a normatização é

feita apenas para os casos particulares mais freqüentes. Deste modo, as limitações

existentes no uso do formulário contido nas normas nem sempre estão claramente

expressas, cabendo ao engenheiro conhecê-las.

Procura-se, a seguir, apresentar as recomendações para a determinação do

momento crítico elástico pelas normas brasileira e americana, e pelo regulamento

europeu.

3.3.1 - prAISC-LRFD:2003

O momento crítico elástico para vigas com seção duplamente simétrica pode

ser obtido por meio da seguinte expressão:

2

+=LE

IIIGIEL

CM ytybcr

ππω =

+=t

ytb IGIE

LEIIG

LC ωππ 2

1

crb MC 0= (3.19)

Nota-se que a expressão da norma americana contém apenas um coeficiente

(Cb), diferente do que é apresentado na expressão (3.14). Define-se, ainda:

CBAb MMMM

MC

3435,25,12

max

max

+++= (3.20)

57

onde:

Mmax , MA , MB e MC são, respectivamente, os valores em módulo do momento

fletor máximo no trecho considerado, e a um quarto, metade e três quartos do vão,

como mostra a Figura 22.

Figura 22 - Momentos Fletores de Referência - prAISC-LRFD:2003

Essa equação provém de uma sutil alteração de uma proposta de Kirby e

Nethercot (1979), a saber:

CBAb MMMM

MC

343212

max

max

+++=

Nas recomendações da norma americana, não há referências sobre a

influência da posição do carregamento na determinação do momento crítico, ou seja,

o efeito desfavorável da presença de cargas aplicadas acima do centro de torção, ou o

efeito favorável da aplicação de cargas abaixo deste.

Não há referências também às condições de vínculo nas extremidades,

supondo-se que a aplicação das expressões (3.19) e (3.20) a outras condições (que

não vínculo de garfo) está a favor da segurança. Nesse sentido, de acordo com as

hipóteses de utilização da norma americana, Cb corresponde ao coeficiente C1

apresentado na expressão (3.14).

58

No que se refere às vigas em balanço, o AISC recomenda usar o valor 1,0

para o coeficiente Cb.

3.3.2 - NBR8800:1986

O dimensionamento proposto pela norma brasileira segue as recomendações

da edição de 1986 do AISC.

Para o caso particular de uma viga com seção transversal bissimétrica do tipo

I, o momento crítico é o da expressão (3.19) e o coeficiente Cb é definido apenas para

variação linear entre pontos travados, como segue:

3,23,005,175,12

2

1

2

1 ≤

+

+=

MM

MM

Cb (3.21)

onde:

M1 ≤ M2 correspondem aos momentos fletores nas extremidades de um trecho

não-contido lateralmente. A razão ψ = M1 / M2 é positiva quando a barra está sujeita

à curvatura reversa, e negativa para curvatura simples.

Essa expressão para a determinação do coeficiente Cb pressupõe que o

diagrama de momentos fletores se aproxime de uma linha reta entre M1 e M2 . Caso

isto não se verifique, os valores obtidos para o coeficiente Cb não se aplicam, já que

em alguns casos podem estar contra a segurança.

A NBR8800:1986 recomenda o uso de 00,1=bC para os seguintes casos:

quando o momento fletor em alguma seção intermediária for superior, em valor

absoluto, a M1 e M2; para vigas em balanço; e para vigas com diagrama de momentos

59

fletores não-linear entre pontos travados. Conservadoramente, pode-se admitir

00,1=bC para qualquer situação, embora em situação antieconômica.

Por sua vez, para diagrama linear de momento fletor, a Figura 23 mostra a

diferença entre os valores do coeficiente Cb obtidos pelas recomendações das normas

brasileira NBR8800:1986 e americana prAISC-LRFD:2003.

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

-1-0,75-0,5-0,2500,250,50,751

M 1 /M 2

C b

Norma Brasileira NBR:1986 Norma Americana AISC:2003

Figura 23 - Coeficiente Cb - Diagrama Linear de Momentos Fletores

3.3.3 - prEN1993-1-1:2002 Stage 54

Apresentam-se agora as recomendações da versão preliminar do regulamento

europeu do ano de 2002 para a obtenção do momento crítico em regime elástico,

complementadas com algumas simplificações e particularizações visando sua

aplicação nos casos analisados nos capítulos 4 e 5 deste trabalho.

60

O valor do momento crítico para vigas simétricas em relação ao eixo de

menor inércia e submetidas à flexão em torno do eixo de maior inércia é dado por

meio de:

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

+−++

+

++−−=

20322

22

2

2

1

0322

2

1

yCyy

ty

y

y

y

y

yCy

y

ycr

rCyeCIE

IGLk

II

k

k

Lk

EIC

rCyeCLk

EICM

ππ

π

ω

ω

(3.22)

onde:

C1 , C2 e C3 são, respectivamente, os coeficientes associados à forma do

diagrama de momento fletor, à posição da carga e à assimetria da seção transversal,

apresentados sob forma de tabelas.

ky e kω são os coeficientes associados aos comprimentos efetivos,

respectivamente, para flexão em torno do eixo de menor inércia e para

empenamento, variando de 0,5 (para ambas as extremidades engastadas ou com

empenamento restringido) a 1,0 (para ambas as extremidades apoiadas ou com

empenamento livre). Note-se que o coeficiente kω não aparece na expressão (3.14).

Destaca-se que os coeficientes C1 , C2 e C3 possuem valores diferentes

daqueles apresentados nas expressões (3.15) a (3.17), já que no regulamento europeu

é considerada a restrição ao empenamento (por meio do coeficiente kω) como um

parâmetro independente da restrição à flexão no eixo de menor inércia. Note-se

também que os coeficientes C1 , C2 e C3 não são mais independentes de ky, ao

contrário do que ocorre na expressão (3.14).

61

Não há nenhuma indicação para os coeficientes supracitados no caso de vigas

em balanço.

Sugere-se na norma prEN1993-1-1:2002 adotar, a favor da segurança, kω =

1,0 nos casos onde a restrição ao empenamento não está claramente definida.

Apresentam-se, a seguir, os valores dos coeficientes C1, C2 e C3 para alguns

casos usuais de vinculação e de carregamento.

Observa-se na Figura 24 que para os casos de momento fletor aplicado nas

extremidades, não se define o coeficiente C2 , já que não há forças transversais

aplicadas ao longo do vão.

Figura 24 - Tabela - Vigas Biapoiadas sob Gradiente de Momento Fletor - C1 e

C3 - prEN1993-1-1:2002

62

O coeficiente fψ que consta na tabela é definido por:

tfcf

cff II

I

,,

,

+=ψ (3.23)

onde:

If,c é o momento de inércia da aba comprimida da viga em relação ao eixo de

menor inércia da seção.

If,t é o momento de inércia da aba tracionada da viga em relação ao eixo de menor

inércia da seção.

Em perfis bissimétricos, nos casos onde ky = 1,0 e para qualquer razão entre

momentos de extremidade aplicados em vigas sem carga transversal, o valor de C1

pode ser obtido por meio de:

60,227,004,177,1 21 ≤++= ψψC (3.24)

sendo ψ a razão entre o menor e o maior momento fletor nas extremidades do trecho

destravado. O coeficiente C1 supracitado é muito semelhante ao Cb apresentado na

expressão (3.21), adotado pela NBR8800:1986.

Por sua vez, quando existe carregamento transversal aplicado ao longo do

vão, o regulamento europeu apresenta os valores contidos na tabela da Figura 25.

63

Figura 25 - Tabela para Casos Usuais - C1, C2, C3 - prEN1993-1-1:2002

Para vigas bissimétricas, a expressão do momento crítico para regime

elástico simplifica-se para:

( )( ) ( )[ ] ( )

−−−++

= CyCy

y

ty

y

y

y

ycr yeCyeC

IE

IGLk

II

k

k

Lk

EICM 2

222

22

2

2

1 ππ ω

ω

(3.25)

No caso particular de vigas bissimétricas com cargas aplicadas no centro de

torção, resulta, re-arranjando os termos:

tyt

ycr IG

IELk

EIIGLk

CM ω

ω

ππ2

1 1

+

= (3.26)

3.3.4 - prEN1999-1-1:2004 Stage 54

As recomendações da versão preliminar de 2004 do regulamento europeu

para o dimensionamento de estruturas de alumínio, cujos resultados relativos à

64

flambagem lateral podem ser estendidos às vigas de aço, destacam-se pela definição

de novas expressões e novos valores para os coeficientes supracitados.

No caso de vigas com seção transversal simétrica em relação ao eixo de

menor inércia e sob flexão em torno do eixo de maior inércia, o momento crítico

elástico para a flambagem lateral é agora obtido por meio de:

L

GIEIM

ty

crcr

πη=

onde:

[ ])()(1 j3g22

j3g22

ty

1cr ζζζζκη ω CCCC

kC

−−−++= (3.27)

resultando em:

[ ])()(1 j3g22

j3g22

ty

ty1cr ζζζζκ

πω CCCC

Lk

GIEICM −−−++= (3.28)

São definidos os seguintes parâmetros auxiliares:

tt GI

EILk

ω

ωω

πκ = ; t

0t GIEI

Lω

ωπκ = (3.29)

( )t

yg GI

EI

Lk

ye

y

Cy −=

πζ ;

( )t

y0g GI

EI

L

ye Cy −=

πζ (3.30)

t

y0j GI

EI

Lk

r

y

yπζ −= ;

t

y00j GI

EI

L

r yπζ −= (3.31)

65

( ) 1,1t0,11,10,11 CCCCC ≤−+= ωκ (3.32)

o que implica:

0,11 CC = para 0t =ωκ ,

1,11 CC = para 1t ≥ωκ

Para os casos usuais de carregamento e vinculação, os coeficientes C1, C2 e

C3 podem ser obtidos por meio das tabelas das Figuras 26 a 28.

Acrescente-se ainda que a expressão (3.28) corresponde à expressão (3.25) do

prEN1993-1-1:2002, embora ela esteja agora apresentada sob uma forma diferente.

Por sua vez, para vigas biapoiadas com kx = 1,0 , ky = 1,0 , e 0,5 kω 1,0 (a

favor da segurança) ou para segmentos restringidos lateralmente em ambas

extremidades, sugere-se o uso da expressão (3.33), válida para qualquer

carregamento, para a obtenção de um valor aproximado do coeficiente C1, a saber:

5,27,1

222

max1 ≤

++=

CBA MMM

MC (3.33)

Em particular, nos casos onde ky = 1,0 e para qualquer razão entre momentos

de extremidade aplicados em vigas sem carga transversal ao longo do vão, o valor de

C1 em perfis bissimétricos pode ser obtido por meio de:

( ) 5,021 262,0428,0310,0

−++= ψψC (3.34)

66

Valores dos Coeficientes C1 e C3 C1 C3

Momentos de

Extremidade

ky

0,1C 1,1C

1f −=ψ

09,0 f ≤≤− ψ

9,00 f ≤≤ψ

1f =ψ

1,0 1,000 1,000 1,000

0,7E 1,016 1,100 1,025 1,000 0,7D 1,016 1,100 1,025 1,000 ψ = -1,00 0,5 1,000 1,127 1,019 1,0 1,139 1,141 1,000

0,7E 1,210 1,313 1,050 1,000 0,7D 1,109 1,201 1,000 ψ = -0,75 0,5 1,139 1,285 1,017 1,0 1,312 1,320 1,150 1,000

0,7E 1,480 1,616 1,160 1,000 0,7D 1,213 1,317 1,000 ψ = -0,50 0,5 1,310 1,482 1,150 1,000 1,0 1,522 1,551 1,290 1,000

0,7E 1,853 2,059 1,600 1,260 1,000 0,7D 1,329 1,467 1,000 ψ = -0,25 0,5 1,516 1,730 1,350 1,000 1,0 1,770 1,847 1,470 1,000

0,7E 2,331 2,683 2,000 1,420 1,000 0,7D 1,453 1,592 1,000 ψ = 0 0,5 1,753 2,027 1,500 1,000 1,0 2,047 2,207 1,65 1,000 0,850

0,7E 2,827 3,322 2,40 1,550 0,850 -0,30 0,7D 1,582 1,748 1,38 0,850 0,700 0,20 ψ = +0,25 0,5 2,004 2,341 1,75 1,000 0,650 -0,25

1,0 2,331 2,591 1,85 1,000 f2,13,1 ψ− -0,70

0,7E 3,078 3,399 2,70 1,450 f2,11 ψ− -1,15

0,7D 1,711 1,897 1,45 0,780 f75,09,0 ψ− -0,53 ψ = +0,50

0,5 2,230 2,579 2,00 0,950 f75,0 ψ− -0,85

1,0 2,547 2,852 2,00 1,000 f55,0 ψ− -1,45

0,7E 2,592 2,770 2,00 0,850 f9,023,0 ψ− -1,55

0,7D 1,829 2,027 1,55 0,700 f68,0 ψ− -1,07 ψ = +0,75

0,5 2,352 2,606 2,00 0,850 f35,0 ψ− -1,45

1,0 2,555 2,733 2,00 fψ− -2,00

0,7E 1,921 2,103 1,55 0,380 -0,580 -1,55 0,7D 1,921 2,103 1,55 0,580 -0,380 -1,55 ψ = +1,00

0,5 2,223 2,390 1,88 f7,0125,0 ψ− f7,0125,0 ψ−− -1,88

Figura 26 - Tabela - Gradiente de Momento Fletor - C1, C3 - prEN1999-1-1:2004

67

Valores de k Valores dos Coeficientes C1 e C2

1C 2C Carga e

Vinculação xk yk ωk 0,1C 1,1C

1f −=ψ

9,09,0 f ≤≤− ψ

1f =ψ

1 1 1 1,127 1,132 0,33 0,459 0,50

1 1 0,5 1,128 1,231 0,33 0,391 0,50

1 0,5 1 0,947 0,997 0,25 0,407 0,40

q

Mcr

L

1 0,5 0,5 0,947 0,970 0,25 0,310 0,40

1 1 1 1,348 1,363 0,52 0,553 0,42

1 1 0,5 1,349 1,452 0,52 0,580 0,42

1 0,5 1 1,030 1,087 0,40 0,449 0,42

F

Mcr

L/2 L/2

1 0,5 0,5 1,031 1,067 0,40 0,437 0,42

1 1 1 1,038 1,040 0,33 0,431 0,39

1 1 0,5 1,039 1,148 0,33 0,292 0,39

1 0,5 1 0,922 0,960 0,28 0,404 0,30

F

Mcr

L/4 L/4

F

1 0,5 0,5 0,922 0,945 0,28 0,237 0,30

1f −=ψ 5,05,0 f ≤≤− ψ 1f =ψ

0,5 1 1 2,576 2,608 1,00 1,562 0,15

0,5 0,5 1 1,490 1,515 0,56 0,900 0,08

q

Mcr

L

0,5 0,5 0,5 1,494 1,746 0,56 0,825 0,08

0,5 1 1 1,683 1,726 1,20 1,388 0,07

0,5 0,5 1 0,936 0,955 0,69 0,763 0,03

F

Mcr

L/2 L/2

0,5 0,5 0,5 0,937 1,057 0,69 0,843 0,03

Figura 27 - Tabela para Casos Usuais - C1, C2 - prEN1999-1-1:2004

68

Valores de k Valores do Coeficiente C3 Carga e

Vinculação kx

ky

kω

1f −=ψ

9,09,0 f ≤≤− ψ

1f =ψ

1 1 1 0,93 0,525 0,38

1 1 0,5 0,93 0,806 0,38

1 0,5 1 0,84 0,478 0,44

q

Mcr

L

1 0,5 0,5 0,84 0,674 0,44

1 1 1 1,00 0,411 0,31

1 1 0,5 1,00 0,666 0,31

1 0,5 1 0,80 0,338 0,31

F

Mcr

L/2 L/2

1 0,5 0,5 0,80 0,516 0,31

1 1 1 0,93 0,562 0,39

1 1 0,5 0,93 0,878 0,39

1 0,5 1 0,88 0,539 0,50

F

Mcr

L/4 L/4

F

1 0,5 0,5 0,88 0,772 0,50

1f −=ψ 5,05,0 f ≤≤− ψ 1f =ψ

0,5 1 1 1,00 -0,859 -1,99

0,5 0,5 1 0,61 -0,516 -1,20

q

Mcr

L

0,5 0,5 0,5 0,61 0,002712 -1,20

0,5 1 1 1,15 -0,716 -1,35

0,5 0,5 1 0,64 -0,406 -0,76

F

Mcr

L/2 L/2

0,5 0,5 0,5 0,64 -0,0679 -0,76

Figura 28 - Tabela para Casos Usuais - C3 - prEN1999-1-1:2004

69

Para o caso de vigas em balanço com carga aplicada na extremidade livre ou

com carga uniformemente distribuída ao longo do vão, utilizam-se os valores do

parâmetro ηcr contidos nas tabelas das Figuras 29 e 30 ou as expressões

aproximadas subseqüentes para a determinação dos coeficientes C1, C2 e C3.

(C)(T)(C)

(T)

0jjyk ςς = (C)(T)(C)

(T)

Carga e

Vinculação

tk ωωκ

0tωκ=

gyk ς

0gς= 4 2 1 0 -1 -2 -4

-4 0.107 0.156 0.194 0.245 0.316 0.416 0.759

-2 0.123 0.211 0.302 0.463 0.759 1.312 4.024

0 0.128 0.254 0.478 1.280 1.589 2.795 5.365

2 0.129 0.258 0.508 1.619 3.894 6.500 11.860

0

4 0.129 0.258 0.511 1.686 4.055 6.740 12.240

-4 0.151 0.202 0.240 0.293 0.367 0.475 0.899

-2 0.195 0.297 0.393 0.560 0.876 1.528 5.360

0 0.261 0.495 0.844 1.815 3.766 6.170 11.295

2 0.329 0.674 1.174 2.423 4.642 7.235 12.595

0.5

4 0.364 0.723 1.235 2.529 4.843 7.540 13.100

-4 0.198 0.257 0.301 0.360 0.445 0.573 1.123

-2 0.268 0.391 0.502 0.691 1.052 1.838 6.345

0 0.401 0.750 1.243 2.431 4.456 6.840 11.920

2 0.629 1.326 2.115 3.529 5.635 8.115 13.365

1

4 0.777 1.474 2.264 3.719 5.915 8.505 13.960

-4 0.335 0.428 0.496 0.588 0.719 0.916 1.795

-2 0.461 0.657 0.829 1.111 1.630 2.698 7.815

0 0.725 1.321 2.079 3.611 5.845 8.270 13.285

2 1.398 3.003 4.258 5.865 7.845 10.100 15.040

2

4 2.119 3.584 4.760 6.360 8.385 10.715 15.825

-4 0.845 1.069 1.230 1.443 1.739 2.168 3.866

-2 1.159 1.614 1.992 2.569 3.498 5.035 10.345

0 1.801 3.019 4.231 6.100 8.495 11.060 16.165

2 3.375 6.225 8.035 9.950 11.975 14.110 18.680

F

Mcr

L

4

4 5.530 8.130 9.660 11.375 13.375 15.365 19.925

Figura 29 - Tabela para Viga em Balanço com Carga Concentrada - Valores de

ηηηηcr (kx = ky = kωωωω = 2) - prEN1999-1-1:2004

70

(C)(T)(C)

(T)

0jjyk ςς =

(C)(T)(C)

(T)

Carga e

Vinculação

tk ωωκ

0tωκ=

0g

gyk

ςς

=

4 2 1 0 -1 -2 -4

-4 0.113 0.173 0.225 0.304 0.431 0.643 1.718

-2 0.126 0.225 0.340 0.583 1.165 2.718 13.270

0 0.132 0.263 0.516 2.054 6.945 12.925 25.320

2 0.134 0.268 0.537 3.463 10.490 17.260 30.365

0

4 0.134 0.270 0.541 4.273 12.715 20.135 34.005

-4 0.213 0.290 0.352 0.443 0.586 0.823 2.046

-2 0.273 0.421 0.570 0.854 1.505 3.229 14.365

0 0.371 0.718 1.287 3.332 8.210 14.125 26.440

2 0.518 1.217 2.418 6.010 12.165 18.685 31.610

0.5

4 0.654 1.494 2.950 7.460 14.570 21.675 35.320

-4 0.336 0.441 0.522 0.636 0.806 1.080 2.483

-2 0.449 0.663 0.865 1.224 1.977 3.873 15.575

0 0.664 1.263 2.172 4.627 9.715 15.530 27.735

2 1.109 2.731 4.810 8.695 14.250 20.425 33.075

1

4 1.623 3.558 6.025 10.635 16.880 23.555 36.875

-4 0.646 0.829 0.965 1.152 1.421 1.839 3.865

-2 0.885 1.268 1.611 2.185 3.282 5.700 18.040

0 1.383 2.550 4.103 7.505 12.770 18.570 30.570

2 2.724 6.460 9.620 13.735 18.755 24.365 36.365

2

4 4.678 8.635 11.960 15.445 21.880 27.850 40.400

-4 1.710 2.168 2.500 2.944 3.565 4.478 8.260

-2 2.344 3.279 4.066 5.285 7.295 10.745 23.150

0 3.651 6.210 8.845 13.070 18.630 24.625 36.645

2 7.010 13.555 17.850 22.460 27.375 32.575 43.690

q

Mcr

L

4

4 12.27 18.705 22.590 26.980 31.840 37.090 48.390

Figura 30 - Tabela para Viga em Balanço com Carga Uniformemente

Distribuída - Valores de ηηηηcr (kx = ky = kωωωω = 2) - prEN1999-1-1:2004

a) Vigas em balanço com carga concentrada na extremidade livre

para ( ) 0=− Cy ye , 00 =yr e 80 ≤tωκ , tem-se:

200 017,014,127,1 ttcr ωω κκη ++=

71

para 00 =yr , 44 ≤≤− gς e 4≤tωκ , crη pode ser obtido considerando-se:

32

1 5,062,2675,456,2 tttC ωωω κκκ +−+= , se 2≤tωκ

55,51 =C , se 2>tωκ

432

2 024,0245,0931,0566,1255,1 ttttC ωωωω κκκκ −+−+= , se 0≤gς

gttttC ςκκκκ ωωωω )013,0102,0032,0(054,0585,0192,0 222 −+−−+= , se 0>gς

b) Vigas em balanço com carga uniformemente distribuída ao longo do vão

para ( ) 0=− Cy ye , 0=ay e 80 ≤tωκ , tem-se:

2

00 021,068,204,2 ttcr ωω κκη ++=

para 00 =yr , 44 ≤≤− gς e 4≤tωκ , crη pode ser obtido considerando-se:

32

1 975,065,52,1111,4 tttC ωωω κκκ +−+= , se 2≤wtκ

121 =C , se 2>wtκ

432

2 014,0153,0609,0068,1661,1 ttttC ωωωω κκκκ −+−+= , se 0≤gς

gttttC ςκκκκ ωωωω )0085,0074,0061,0(029,0426,0535,0 222 −+−−+= , se 0>gς

72

3.4 - FLAMBAGEM EM REGIME INELÁSTICO

De forma geral, quaisquer problemas que envolvem tensões residuais, não-

linearidade do material e imperfeições iniciais podem ser tratados numericamente

por meio do Método dos Elementos Finitos, mas este tipo de análise, com raras

exceções, só é utilizada atualmente para pesquisa.

As normas de projeto tratam o assunto por meio de expressões semi-

empíricas, denominadas curvas de resistência ou curvas para dimensionamento, que

consideram, dentre outros fatores, a magnitude e a distribuição das tensões residuais

e a existência de imperfeições geométricas iniciais.

Nas normas NBR8800:1986 e prAISC-LRFD:2003, estas curvas apresentam

três trechos distintos, a saber:

Regime Elástico, no qual as tensões em qualquer fibra da viga são inferiores à

tensão de escoamento por ocasião da flambagem. O momento resistente nominal é

dado, neste trecho, pelo momento crítico elástico.

Regime Inelástico, no qual a instabilidade ocorre após o escoamento de partes da

viga onde as tensões residuais são mais elevadas.

Regime Plástico, no qual o comprimento não travado é pequeno de tal forma que

se atinge o momento de plastificação Mpl antes da ocorrência da flambagem lateral.

Por exemplo, a norma brasileira NBR8800:1986 (Figura 31) considera que

para índices de esbeltez em torno do eixo de menor inércia λy inferiores a λp , o

momento resistente é dado pelo momento de plastificação da viga Mpl ; para índices

de esbeltez superiores a λr , o momento resistente é o próprio momento crítico

elástico Mcr ; e para índices de esbeltez entre λp e λr , o momento resistente é obtido

por meio de uma reta que une os pontos (Mpl , λp) e (Mr , λr).

73

λ λ

−σ

λ

Figura 31 - Curvas de Dimensionamento

O parâmetro λr corresponde a um momento crítico elástico tal que a fibra

com máxima tensão residual σr atinja a tensão de escoamento. O parâmetro λp é

definido de modo a garantir uma capacidade de rotação suficiente para a formação de

rótula plástica.

74

4 - ANÁLISE NUMÉRICA PARA OS CASOS USUAIS DA

FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS


Apresentam-se neste capítulo os resultados do estudo de alguns casos usuais

da flambagem lateral de vigas de aço em regime elástico-linear, utilizando-se o

programa de elementos finitos PEFSYS por meio de uma análise paramétrica,

comparando-se os resultados com os encontrados na literatura.

Para a realização desta análise, adotam-se apenas vigas do tipo VS, ou seja,

perfis comerciais bissimétricos em forma de I, fabricados por solda de chapas, que

possuem relação altura do perfil / largura da aba variando entre dois e quatro

(Figura 32).

h =

(2 a

4) b

f

Figura 32 - Dimensões dos Perfis VS

São utilizadas, em geral, a primeira e a última viga de cada série - ou seja, a

de menor e maior massa, respectivamente. Em algumas situações, são adicionadas

75

mais vigas à análise paramétrica quando os resultados mostram-se não-conclusivos

ou quando se deseja uma análise mais acurada. Totalizam-se, assim, sessenta e cinco

vigas para cada condição de vínculo e de carregamento, exceto para os casos de vigas

sob gradiente de momento fletor (para os quais utilizam-se vinte vigas para cada

razão entre os momentos de extremidade).

Considera-se o valor ω

µIELIG t

2

= como o principal parâmetro para a escolha

do vão de cada viga, levando-se em consideração:

relação entre o vão e a altura da viga: mantém-se a relação L / h entre 10 e 30,

escolhendo-se ainda alguns casos com a relação supracitada muito baixa (da ordem

de 5) ou muito alta (acima de 40), não-usuais em projeto.

índice de esbeltez da viga: varia-se o parâmetro λy entre 100 e 300; utilizam-se

também alguns casos de λy da ordem de 50 e acima de 400.

Em virtude do exposto, grande parte dos valores de µ encontra-se na faixa

sugerida por Salvadori (1955) para os casos usuais de aplicação, a saber: 404 ≤≤ µ ,

exceção às vigas cujos vãos foram escolhidos ou para representar casos extremos ou

para eventuais comparações com resultados presentes na literatura técnica.

No processamento via elementos finitos por meio do programa PEFSYS, o

vão das vigas é dividido igualmente em dez elementos lineares de barra, cada qual

com três nós (dois de extremidade e um intermediário), como mostra a Figura 33:

NÚMERO DOS NÓS

NÚMERO DOS ELEMENTOS

76

Figura 33 - Numeração de Nós e Elementos - PEFSYS

Os graus de liberdade de cada nó de um elemento são os deslocamentos

generalizados do eixo da barra, constituindo-se de três translações, três rotações e um

parâmetro de empenamento. O deslocamento axial da viga (direção z) não foi

restringido nos exemplos aqui estudados; os demais graus de liberdade são definidos

pelas condições de vínculo impostas em cada caso.

Para um determinado caso de carregamento e de vinculação no plano da

flexão, os resultados são apresentados separadamente em função da vinculação ao

empenamento e à flexão em torno do eixo de menor inércia.

Associa-se a cada vinculação supracitada um comprimento efetivo, aqui

designados respectivamente por kωL e kyL. Os coeficientes k variam de 0,5 (ambas as

extremidades totalmente restringidas à flexão na direção de menor inércia ou com

vinculação ao empenamento) a 1,0 (ambas as extremidades simplesmente apoiadas

ou sem vinculação ao empenamento).

Assim sendo, consideram-se quatro casos de vinculação nas extremidades da

viga para uma determinada condição de carregamento e de vínculo no plano da

flexão, obtendo-se o que segue:

Condição de Vínculo tipo I: kω = 1,0 e ky = 1,0

Condição de Vínculo tipo II: kω = 0,5 e ky = 1,0

Condição de Vínculo tipo III: kω = 1,0 e ky = 0,5

Condição de Vínculo tipo IV: kω = 0,5 e ky = 0,5

77

4.2 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Os resultados obtidos do programa PEFSYS são apresentados por meio de

gráficos que expressam a variação da razão entre o momento crítico e o momento

crítico básico crcr MM 0/ com o parâmetro µ.

Esses resultados são comparados com os valores mais representativos da

literatura técnica, discutindo-se as hipóteses adotadas e a validade de aplicação dos

coeficientes comumente empregados para cada um dos casos.

Para a obtenção do momento crítico em regime elástico, algumas publicações

utilizam as mesmas expressões do regulamento europeu, apresentadas aqui sob a

forma:

( )( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]yCy

y

y

yCyy

ty

y

y

y

ycr

rCyeCLk

EIC

rCyeCIE

IGLk

II

k

k

Lk

EICM

0322

2

1

20322

22

2

2

1

+−−

−

+−++

=

π

ππ ω

ω

(4.1)

Os coeficientes C1, C2 e C3 são tabelados em função das condições de vínculo

no plano da flexão e do carregamento.

Para vigas bissimétricas (C3 = 0) e para carregamento aplicado no centro de

torção ( Cy ye − = 0), a expressão (4.1) pode ser re-escrita como:

tyt

ycr IG

IELk

EIIGLk

CM ω

ω

ππ2

1 1

+

= (4.2)

78

Por outro lado, outros autores que também consideram as quatro condições de

vínculo supracitadas não apresentam os resultados sob a forma da expressão (4.1), na

medida em que fornecem diretamente para o caso em estudo o valor da relação entre

o momento crítico e o momento crítico básico.

Esta relação será aqui denominada Cb , implicando:

tytbcr IG

IEL

EIIGL

CM ωππ 2

1

+= (4.3)

cr

crb M

MC

0

= (4.4)

Verifica-se na expressão (4.3) que os valores dos coeficientes ky e kω não são

empregados diretamente para o cálculo do momento crítico já que, para cada caso de

vinculação, eles alteram apenas o valor do coeficiente Cb.

Em particular, no caso de vigas bissimétricas com carga aplicada no centro de

torção, vínculos também no centro de torção e para kω = ky = 1,0, tem-se C1 = Cb.

Para cada caso de vinculação estudado, obtém-se do programa PEFSYS um

carregamento crítico que, para efeito de comparação com os resultados presentes na

literatura, será convertido em um momento fletor crítico, aqui denominado

“momento de referência”.

Convenciona-se neste trabalho que este momento de referência será o

máximo momento fletor ao longo do vão da viga, independente se ele ocorre no meio

do vão ou junto aos apoios.

Destaca-se que não há indicação explícita sobre qual o momento de referência

utilizado no regulamento europeu prEN1993-1-1:2002. Pela análise dos valores

79

tabelados de C1, pode-se concluir que se considera o momento fletor no meio do vão

da viga, o qual nem sempre corresponde ao máximo valor ao longo do vão.

Entretanto, nota-se que na norma prEN1999-1-1:2002 esta imprecisão já está

corrigida, na medida em que há indicação explícita da seção onde se considera o

momento de referência (ver tabelas das Figuras 26 a 30).

Para fins de uniformidade de apresentação, a nomenclatura dos coeficientes e

parâmetros apresentada nas expressões (4.1) e (4.2) será estendida para todas as

publicações. Adicionalmente, salvo indicação contrária, a indicação dos valores do

coeficiente Cb nos itens subseqüentes refere-se à condição de vínculo tipo I.

Neste capítulo, consideram-se apenas as quatro condições de vínculo

supracitadas e carregamentos aplicados no centro de torção das vigas.

Por sua vez, a utilização da Teoria Não-Linear Geometricamente Exata por

meio do programa PEFSYS para os casos de carga fora do centro de torção e para

aqueles com a presença de vínculos fora das extremidades restringidas da viga (ou

seja, vínculos no meio do vão de vigas biapoiadas ou na extremidade livre de vigas

em balanço) encontra-se somente no capítulo 5, embora as expressões

correspondentes estejam aqui apresentadas.

4.3 - VIGA BIAPOIADA SOB GRADIENTE DE MOMENTO FLETOR

O primeiro caso de estudo da flambagem lateral é o de vigas biapoiadas sob

gradiente de momento fletor. Define-se ψ como a relação entre os momentos de

extremidade, e convenciona-se que valores negativos de ψ correspondem à

curvatura simples, e valores positivos à curvatura reversa. Em particular, 0,1−=ψ

representa o caso de diagrama de momento uniforme.

80

ψψ

Figura 34 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada sob Gradiente

de Momento Fletor

Para a análise paramétrica deste caso, varia-se o coeficiente ψ entre -1,0 e

1,0, considerando-se valores a cada 0,25. Utilizam-se vinte vigas tipo VS para cada

valor de ψ, de tal forma que os vãos adotados para as vigas implicam uma variação

para o parâmetro µ de 5 a 85.

Poucos trabalhos encontrados na literatura consideram, para esta condição de

carregamento, a possibilidade de diferentes vinculações ao empenamento e à flexão

em torno do eixo de menor inércia nas extremidades da viga.

Em particular, para o caso de momento fletor uniforme, costuma-se adotar

por simplicidade o valor 0,1=bC para quaisquer condições de vínculo. A validade

deste procedimento e a influência das condições de vínculo no valor do momento

crítico são discutidas neste item.

4.3.1 - Resumo da Literatura

Salvadori (1955) e (1956) apresenta os resultados do estudo da flambagem

lateral de vigas sob gradiente de momentos por meio de extensas tabelas, para o

coeficiente ψ variando entre -1,0 e 1,0 e para condições de vínculo I e IV.

81

Os valores obtidos para o coeficiente Cb encontram-se resumidos na tabela da

Figura 35.

ψψψψ -1,0 -0,5 0 0,5 1,0

ky-kωωωω 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5

Cb 1,0 1,0

1,31

a

1,32

1,30

a

1,32

1,77

a

1,86

1,78

a

1,85

2,33

a

2,62

2,29

a

2,55

2,56

a

2,74

2,33

a

2,58

Figura 35 - Tabela - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente de

Momento Fletor - Salvadori (1955)

Verifica-se ainda que o coeficiente Cb cresce com o aumento de ψ e que ele

pouco varia com as condições de vínculo e com o parâmetro µ.

Em função do exposto, Salvadori (1956) propõe uma simplificação, válida

inclusive para os casos onde existam cargas transversais ao longo do vão, mas que

apresentam diagrama de momento fletor aproximadamente linear (tabela da Figura

36).

ψψψψ -1,0 -0,5 0 +0,5 +1,0

Cb 1,0 1,32 1,82 2,49 2,50

Figura 36 - Tabela Simplificada - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob

Gradiente de Momento Fletor - Salvadori (1956)

Massonet (1947) apud Sherbourne; Pandey (1989) apresenta uma expressão

para a determinação do coeficiente Cb, obtida para µ ∞ , a saber:

82

( ) ψψ 40,0130,0

12 −+

=bC (4.5)

Djalaly (1967) apud Sherbourne; Pandey (1989) considera a influência do

empenamento no valor do coeficiente Cb, obtendo-se o que segue:

vigas sem restrição ao empenamento (condição de vínculo tipo I):

( ) ψψ 434,01283,0

12 −+

=bC (4.6)

vigas com restrição ao empenamento (condição de vínculo tipo II):

( )21333,0

1

ψψ +−=bC (4.7)

Para condição de vínculo tipo I, Nethercot; Rockey (1971) definem o valor

do coeficiente Cb para vigas biapoiadas sob gradiente de momento fletor pelas

seguintes expressões:

( ) ( )26,06,016,1 ψψ −−−++=bC para 8,01 ≤≤− ψ (4.8)

56,2=bC para 8,0≥ψ (4.9)

Na expressão (4.8), os termos dentro dos parênteses só devem ser

considerados se positivos; caso contrário, estes devem ser assumidos como 0. Tem-

se, como exemplo, Cb = 1,00 para ψ = -1,0 e Cb = 1,76 para ψ =0.

83

Para momento fletor uniforme ao longo do vão (ψ = -1,0) e diferentes

condições de vínculo nas extremidades, Nethercot; Rockey (1971) recomendam

ainda os seguintes valores:

Tipo de Vinculação Cb

I 1

II µµ778,1304,0

1 +−

III µµ134,1787,0

2 +−

IV usar 2L ao invés de L

na expressão (4.3)


Momento Fletor - Nethercot; Rockey (1971)

Esta tabela também consta de Allen; Bulson (1980).

Nethercot; Trahair (1976), baseados nos resultados obtidos por Salvadori

(1955) e (1956), apresentam a seguinte expressão:

56,23,005,175,1 2 ≤++= ψψbC (4.10)

Tem-se, assim, Cb = 1,00 para ψ = -1,0, Cb = 1,75 para ψ =0 e Cb = 2,56

para ψ =1,0.

Essa expressão também consta nas recomendações de Galambos (1998), da

norma brasileira NBR8800:1986, e da norma americana AISC-LRFD:1986.

84

Para vigas com vinculação tipo I, Kirby; Nethercot (1979) propõem o uso de

uma expressão, válida para qualquer carregamento, que correlaciona o coeficiente Cb

com os valores em módulo dos momentos fletores máximo e a um, dois e três

quartos do vão, a saber:

CBAb MMMM

MC

343212

max

max

+++= (4.11)

Alternativamente, para o caso específico de vigas biapoiadas sob gradiente de

momento fletor, Kirby; Nethercot (1979) obtêm o coeficiente Cb utilizando a

expressão (4.12), como segue:

33,21,033,057,0

12

≤+−

=ψψbC (4.12)

Em particular, tem-se 00,1=bC para ψ = -1,0, Cb = 1,76 para ψ = 0 e

33,2=bC para ψ =1,0.

Cuk; Trahair (1981) apud Sherbourne; Pandey (1989) propõem o uso da

seguinte expressão:

3

21

40,02

1

1

++

−=

ψψbC (4.13)

Salmon; Johnson (1990) apresentam também seus resultados considerando a

possibilidade de vinculação à flexão na direção de menor inércia (ky = 1,0 ou 0,5).

Os valores do coeficiente C1 - a serem utilizados na expressão (4.2) - encontram-se

na tabela da Figura 38.

85

Relação entre os Momentos

de Extremidade ky C1

1,0 1,0 ψ = ψ = ψ = ψ = -1,0

0,5 1,0

1,0 1,3 ψ = ψ = ψ = ψ = -0,5

0,5 1,3

1,0 1,8 ψ = ψ = ψ = ψ = 0

0,5 1,8

1,0 2,4 ψ = ψ = ψ = ψ = 0,5

0,5 2,3

1,0 2,6 ψ = ψ = ψ = ψ = 1,0

0,5 2,3


Momento Fletor - Salmon; Johnson (1990)

Sherbourne; Pandey (1989) apresentam o momento crítico de vigas

biapoiadas sob gradiente de momento fletor por meio da seguinte expressão:

tttycr IGL

IEBBIGIE

LM

2

2ω

ωππ += (4.14)

Utilizando o Método de Galerkin, obtêm uma solução aproximada para os

seguintes casos:

condição de vínculo tipo I:

ψψω 296193193682

2 −+== BBt (4.15)

86

condição de vínculo tipo II:

( ) ψψ 5133743,13

2 −+=tB (4.16.a)

( ) ψψω 5139141,56

2 −+=B (4.16.b)

Adicionalmente, Sherbourne; Pandey (1989) realizam uma análise

paramétrica com o auxílio de um programa de elementos finitos para verificar a

influência das demais condições de vínculo no valor do momento crítico, obtendo-se:

2321

1 ψψ AAABt

+−= (4.17.a)

2321

1 ψψω

BBBB

+−= (4.17.b)

Os valores dos coeficientes Ai e Bi encontram-se na tabela da Figura 39.

Condição

de Vínculo A1 A2 A3 B1 B2 B3

I 0,3175 0,4202 0,2604 0,2799 0,4312 0,2866

II 0,2892 0,3979 0,2451 0,0527 0,0875 0,0536

III 0,0788 0,1000 0,0727 0,0579 0,0752 0,0612

IV 0,0788 0,1000 0,0727 0,0176 0,0263 0,0182

Figura 39 - Tabela - Coeficientes Ai e Bi para Viga Biapoiada sob Gradiente de

Momento Fletor - Sherbourne; Pandey (1989)

87

Aoki; Kubo (1997) sugerem o uso da seguinte expressão para o cálculo do

coeficiente Cb:

5,24,06,0

1 ≤−

=ψbC (4.18)

Em particular, tem-se 00,1=bC para ψ = -1,0, 67,1=bC para ψ =0 e

50,2=bC para ψ =1,0.

Suryoatmono; Ho (2002), utilizando o Método das Diferenças Finitas, obtêm

a seguinte expressão para o coeficiente Cb:

8292,12584,14828,01037,0364,03009,0094,0 23456 +++−−−−= ψψψψψψbC

(4.19)

Tem-se, assim, Cb = 1,00 para ψ = -1,0, Cb = 1,83 para ψ =0 e Cb = 2,71

para ψ =1,0.

O coeficiente Cb apresentado na norma americana prAISC-LRFD:2003 é

obtido por meio de uma expressão semelhante à apresentada por Kirby; Nethercot

(1979), a saber:

CBAb MMMM

MC

3435,25,12

max

max

+++= (4.20)

Por sua vez, as recomendações do regulamento europeu prEN1993-1-1:2002

e prEN1999-1-1:2004 encontram-se nas tabelas das Figuras 24 e 26,

respectivamente.

88

Para este último, os resultados também podem ser obtidos por meio da

expressão (3.33), que é uma aproximação válida apenas para a condição de vínculo

tipo I.

4.3.2 - Influência das Condições de Vínculo

Apresentam-se a seguir os resultados da comparação entre os valores obtidos

por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da literatura técnica e das

normas de projeto, considerando-se as condições de vínculo I a IV, variando-se a

relação crcr MM 0 com o coeficiente ψ .

Em cada um dos gráficos, são traçadas duas curvas representando os valores

extremos da relação crcr MM 0 - obtidos por meio da Teoria Geometricamente Exata

para cada valor de ψ - de vinte vigas cujo parâmetro µ varia de 5 a 85.

Note-se ainda que as comparações dos resultados para a vinculação tipo I

foram apresentadas em dois gráficos distintos para facilitar a visualização.

Observe-se que para o prEN1999-1-1:2004, os resultados são obtidos por

dois caminhos distintos: primeiramente, utilizando-se a expressão (3.28), implicando

valores de crcr MM 0 compreendidos entre os extremos assinalados no gráfico como

(i) e (ii); em seguida, pelo uso da expressão geral (3.33).

89

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

µ = 5 µ = 10 µ = 25 µ = 35 µ = 40 µ = 55 µ = 65 µ = 85

Figura 40 - Gráfico para Vinculação Tipo I (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob

Gradiente de Momento Fletor

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

Nethercot; Trahair (1976) Kirby; Nethercot (1979) - 4.11 Kirby; Nethercot (1979) - 4.12Aoki; Kubo (1997) Suryoatmono; Ho (2002) prAISC-LRFD:2003prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004 - 3.28 (i) prEN1999-1-1:2004 - 3.28 (ii)prEN1999-1-1:2004 - 3.33


Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor

90

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

Massonet (1947) Salvadori (1956) Djalaly (1967)

Nethercot; Rockey (1971) Cuk; Trahair (1981) Salmon; Johnson (1990)

Sherbourne; Pandey (1989) - 4.15 Sherbourne; Pandey (1989) - 4.17



1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

µ = 5 µ = 10 µ = 25 µ = 35 µ = 40 µ = 55 µ = 65 µ = 85

Figura 43 - Gráfico para Vinculação Tipo II (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob


91

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

Djalaly (1967) Sherbourne; Pandey (1989) - 4.16 Sherbourne; Pandey (1989) - 4.17prEN1993-1-1:2002 (i) prEN1993-1-1:2002 (ii) prEN1999-1-1:2004 (i)prEN1999-1-1:2004 (ii)

Figura 44 - Gráfico para Vinculação Tipo II - Comparação (Literatura) - Viga


1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

µ = 5 µ = 10 µ = 25 µ = 35 µ = 40 µ = 55 µ = 65 µ = 85

Figura 45 - Gráfico para Vinculação Tipo III (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob


92

1,75

2,25

2,75

3,25

3,75

4,25

4,75

5,25

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

Sherbourne; Pandey (1989) Salmon; Johnson (1990) prEN1993-1-1:2002

prEN1999-1-1:2004 (i) prEN1999-1-1:2004 (ii)

Figura 46 - Gráfico para Vinculação Tipo III - Comparação (Literatura) - Viga


2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

µ = 5 µ = 10 µ = 25 µ = 35 µ = 40 µ = 55 µ = 65 µ = 85

Figura 47 - Gráfico para Vinculação Tipo IV (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob


93

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

11,00

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

Sherbourne; Pandey (1989) prEN1993-1-1:2002 (i) prEN1993-1-1:2002 (ii)

prEN1999-1-1:2004 (i) prEN1999-1-1:2004 (ii)

Figura 48 - Gráfico para Vinculação Tipo IV - Comparação (Literatura) - Viga


Em particular, para momento fletor uniforme ao longo do vão (ψ = -1,0),

apresentam-se também os resultados da variação da relação crcr MM 0 com o

parâmetro µ, comparando-se os resultados do PEFSYS com alguns valores

representativos da literatura, como segue.

94

1,000

1,020

1,040

1,060

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Literatura (Tip.)

Figura 49 - Gráfico para Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com Momento

Fletor Uniforme (ψψψψ = -1,0)

1,000

1,250

1,500

1,750

2,000

2,250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Djalaly (1967)Nethercot; Rockey (1971) Sherbourne; Pandey (1989) - 4.16Sherbourne; Pandey (1989) - 4.17 prEN1993-1-1:2002 e prEN1999-1-1:2004

Figura 50 - Gráfico para Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com Momento


95

1,900

2,000

2,100

2,200

2,300

2,400

2,500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Nethercot; Rockey (1971) Sherbourne; Pandey (1989)

Salmon; Johnson (1990) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004

Figura 51 - Gráfico para Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com Momento


2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Sherbourne; Pandey (1989) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004

Figura 52 - Gráfico para Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com Momento


96

4.3.3 - Análise dos Resultados

Os resultados obtidos por meio de uma Teoria Geometricamente Exata

mostram que, diferente do que é comumente utilizado, o valor da relação

crcr MM 0 é influenciado não só pela razão entre os momentos de extremidade (ψ)

mas também pelo valor do parâmetro µ.

A influência de µ nos resultados mostra-se mais acentuada para as condições

de vínculo onde existe restrição ao empenamento (tipos II e IV), para as quais a

diferença entre os valores da relação crcr MM 0 para um mesmo ψ chega a 60%.

Esta diferença pode ser melhor observada no gráfico da Figura 53, no qual

são colocadas as curvas obtidas do PEFSYS para as quatro condições de vínculo

analisadas.

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1

ψψψψ

Mcr

/ M

0cr

Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV

Figura 53 - Gráfico Mcr / M0cr x ψψψψ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada

sob Gradiente de Momento Fletor

97

Para o caso de momento fletor uniforme (ψ= −1,0), os resultados da literatura

são próximos aos do PEFSYS para as quatro condições de vínculo (ver gráficos das

Figuras 49 a 52). Em particular, para a vinculação tipo I, a diferença entre o

momento crítico básico e aquele encontrado por meio da utilização de uma Teoria

Geometricamente Exata - PEFSYS - é da ordem de 3% (ver gráfico da Figura 49),

ou seja, praticamente desprezável.

Verifica-se no gráfico da Figura 54 que a variação da relação crcr MM 0 para

o caso ψ= −1,0 dá-se de forma mais acentuada para as condições de vínculo tipo II e

IV, permanecendo aproximadamente constante para as demais vinculações.

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 54 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada

com Momento Fletor Uniforme (ψψψψ = -1,0)

Por outro lado, pode-se concluir que a influência no valor da relação

crcr MM 0 do engaste no plano ortogonal ao da flexão é mais significativa do que a

restrição ao empenamento nas extremidades.

98

Por sua vez, para os demais valores do coeficiente ψ , os valores da literatura

estão muito a favor da segurança, inclusive aqueles das normas NBR8800:1986 e

prAISC-LRFD:2003. Observe-se também que esses resultados apresentam

discrepâncias maiores para as condições de vínculo II e IV e para valores de ψ mais

próximos de +1,0.

Adicionalmente, constata-se que a utilização dos valores da literatura técnica

definidos para a condição de vínculo tipo I para os casos que apresentem as demais

condições de vínculo nas extremidades conduz a um dimensionamento

excessivamente antieconômico, como pode ser observado no gráfico da Figura 53.

Note-se ainda na Figura 54 que, para valores baixos de µ, há alguns pontos

do gráfico que não pertencem à curva média dos valores obtidos por meio do

PEFSYS, com valores significativamente inferiores ao esperado. Este

comportamento deve-se principalmente ao efeito da força cortante e será estudado de

forma mais acurada nos itens 4.4 e 4.5 deste trabalho.

4.4 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

Em função da presença de cargas transversais aplicadas ao longo do vão, o

diagrama de momentos fletores para o caso de vigas biapoiadas sob carregamento

distribuído não é mais linear, diferente do apresentado no item anterior.

Como mostra a Figura 55, o momento de referência para o qual são

comparados os valores da literatura e os do programa PEFSYS é o momento fletor

no meio do vão, implicando:

( )( )

8

2LqM PEFSYScr

PEFSYSref = (4.21)

99


Uniformemente Distribuída


Os primeiros estudos da flambagem lateral de vigas biapoiadas com carga

uniformemente distribuída ao longo do vão foram conduzidos por Bleich (1952),

Austin; Yegian; Tung (1955) e Timoshenko; Gere (1961).

Nesses, pode-se obter a carga crítica de vigas por meio de tabelas em função

do parâmetro µ ; analisa-se, ainda, a influência da posição da carga em relação ao

centro de torção.

Austin; Yegian; Tung (1955) e Allen; Bulson (1980) apresentam os

seguintes coeficientes para a expressão (4.2), novamente considerando vigas

bissimétricas e carga aplicada no centro de torção:

vinculação tipo I: C1 = 1,13 , ky = 1,0 e kω = 1,0

vinculação tipo IV: C1 =0,97 , ky = 0,5 e kω = 0,5

Timoshenko; Gere (1961) determinam o momento crítico de vigas

submetidas a uma carga uniformemente distribuída ao longo do vão por meio de:

100

L

IGIEM

ty

cr 8

γ= (4.22)

onde γ é um adimensional auxiliar, definido para as condições de vínculo I e IV, dado

pela tabela da Figura 56

Condição de Vínculo Tipo I

Posição de µµµµ = G It L2 / E Iωωωω

Aplicação da Carga 0,4 4 8 16 24 32 48

aba superior 92,9 36,3 30,4 27,4 26,6 26,1 25,8

centro de torção 143 53 42,6 36,3 33,8 32,6 31,5

aba inferior 222 77,3 59,4 48 43,4 40,4 37,6


Aplicação da Carga 64 80 128 200 280 360 400

aba superior 25,7 25,7 26 26,4 26,5 26,6 26,6

centro de torção 30,5 30,1 29 29 28,8 28,7 28,6

aba inferior 36,4 35,1 33,3 32,1 31,4 31 30,7

Condição de Vínculo Tipo IV

G It L2 / E Iωωωω 0,4 4 8 16 32 96 128 200 400

γγγγ (carga no

centro de torção) 488 161 119 91,3 73 58 55,8 53,5 51,2

Figura 56 - Tabela - Valores do Parâmetro γγγγ para Viga Biapoiada com Carga

Uniformemente Distribuída - Timoshenko; Gere (1961)

101

Ressalta-se, novamente, que o estudo comparativo entre os resultados

apresentados para a carga aplicada fora do centro de torção e aqueles obtidos por

meio da Teoria Geometricamente Exata encontra-se no capítulo 5.

Nethercot; Rockey (1971) apresentam parâmetros auxiliares A e B para a

determinação do coeficiente Cb , propondo a utilização das seguintes expressões:

carga aplicada no centro de torção:

ACb = (4.23)

carga aplicada na aba superior:

BA

Cb = (4.24)

carga aplicada na aba inferior:

BACb = (4.25)

Condição de Vínculo A B

I 123,1 µµ681,1522,11 +−

II µµ263,1106,42,1 ++

µµ794,1217,20,1 +−

III µµ02,0184,19,1 +−

µµ531,2991,00,1 +−

IV µµ563,50,4643,1 +−

µµ964,1342,30,1 +−


Uniformemente Distribuída - Nethercot; Rockey (1971)

102

Estes resultados também são apresentados por Galambos (1998).

Para vigas bissimétricas, vinculação tipo I e carga aplicada no centro de

torção, Nethercot; Trahair (1976) e Trahair (1993) recomendam o uso do valor

13,1=bC , semelhante àquele apresentado por Suryoatmono; Ho (2002), a saber:

131,1=bC . Salmon; Johnson (1990) e Aoki; Kubo (1997) obtêm, respectivamente,

C1 = 1,1 e C2 = 0,45 , C1 = 1,132 e C2 = 0,459.

Utilizando-se a expressão (4.11) proposta por Kirby; Nethercot (1979),

obtém-se o que segue:

( ) ( )zLzq

zM −=2

, implicando:

( )32

34

2LqLzMM A === ;

( )82

2LqLzMM B === ;

( ) AC MLzMM === 43 ;

BMM =max

Tem-se, desta forma ≅bC 1,143.

O coeficiente Cb definido pela norma americana prAISC-LRFD:2003 é

obtido por meio da expressão (3.20), implicando ≅bC 1,136.

Por sua vez, os valores sugeridos pelo regulamento europeu prEN1993-1-

1:2002 e prEN1999-1-1:2004 encontram-se nas tabelas das Figuras 25, 27 e 28.

Para este último, utilizando-se a expressão aproximada (3.33), válida apenas para a

vinculação tipo I, obtém-se: ≅bC 1,166.

103


A seguir, sob a forma de gráficos, apresentam-se os resultados da comparação

entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da

literatura técnica e das normas de projeto para as condições de vínculo I a IV.

1,110

1,120

1,130

1,140

1,150

1,160

1,170

1,180

1,190

1,200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971)Kirby; Nethercot (1979) Allen; Bulson (1980) Suryoatmono; Ho (2002)prAISC-LRFD:2003 prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004prEN1999-1-1:2004 - 3.33

Figura 58 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com

Carga Uniformemente Distribuída

104

1,200

1,400

1,600

1,800

2,000

2,200

2,400

2,600

2,800

3,000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Nethercot; Rockey (1971) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004

Figura 59 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com


1,500

1,600

1,700

1,800

1,900

2,000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 60 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com


105

2,000

2,250

2,500

2,750

3,000

3,250

3,500

3,750

4,000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004

Figura 61 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com



Para vinculação tipo I , os resultados do programa PEFSYS - coeficiente Cb

variando entre 1,148 e 1,183 - mostram-se ligeiramente superiores aos apresentados

na literatura, indicando que os valores comumente empregados estão 3% a 5% a

favor da segurança.

Verifica-se ainda que, para essa condição de vínculo, o valor resultante do

uso da expressão aproximada (3.33) do regulamento europeu prEN1999-1-1:2004

representa uma média daqueles obtidos por meio da Teoria Geometricamente Exata,

de tal forma que a pequena dispersão dos resultados permite que ele seja aceito como

um valor adequado.

106

A relação crcr MM 0 do PEFSYS para as demais vinculações é ora superior

ora inferior aos valores da literatura, embora as diferenças possam ser consideradas

pequenas, principalmente para valores de µ altos.

Para a condição de vínculo tipo II, o prEN1993-1-1:2002 mostra-se

conservador em relação às demais publicações; enquanto que para os tipos III e IV, o

valor da relação crcr MM 0 sugerido é um pouco superior ao obtido pela Teoria

Geometricamente Exata - excetuando-se o caso de valores de µ muito baixos.

Por sua vez, os valores obtidos para a relação crcr MM 0 por meio das

recomendações do prEN1999-1-1:2004 apresentam diferenças inferiores a 5% para

as quatro condições de vínculo e para quaisquer valores de µ.

Para as vinculações tipo II e III, os resultados de Nethercot; Rockey (1971)

(sugeridos apenas para µ superiores a 4) não estão adequadas para valores baixos de

µ.

É interessante notar que para a condição de vínculo tipo II, os resultados para

µ baixos estão excessivamente contra a segurança, enquanto que para o tipo III, eles

estão a favor da segurança. Esta não-conformidade é verificada em ambas as

vinculações supracitadas inclusive para µ superiores a 4, em especial para valores

menores que 10.

O gráfico da Figura 62 ilustra a importância da avaliação correta das

condições de vínculo nos apoios extremos. A diferença entre os resultados para as

vinculações tipo I e IV chega a quase 200% para valores baixos do parâmetro µ

(inferiores a 10) e a 100% para valores de µ altos (da ordem de 80).

Nota-se que para as condições de vínculo I e III, o valor da relação

crcr MM 0 é praticamente constante, ou seja, independe do valor do parâmetro µ. Por

107

outro lado, para as condições de vínculo II e IV, a relação supracitada é inversamente

proporcional ao parâmetro µ.

Verifica-se também no gráfico da Figura 62 que a influência do engaste no

plano ortogonal ao da flexão é, novamente, mais significativa do que a restrição ao

empenamento nas extremidades da viga, exceto para valores baixos de µ.

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 62 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com


Observa-se ainda que, para valores baixos de µ, há pontos que não pertencem

à curva média dos valores do PEFSYS. Desta forma, faz-se necessária uma nova

análise paramétrica para avaliar esta situação, considerando-se três casos distintos

apenas para uma faixa restrita de µ:

Caso a: vigas com relação vão / altura entre cinco e dez.

108

Caso b: vigas com altura elevada (acima de 800mm) e relação vão / altura da

ordem de dez.

Caso c: as mesmas vigas dos casos a e b admitindo-se seção transversal com área

mil vezes maior, mantendo-se as demais propriedades geométricas (em particular, Ix,

Iy e Iω).

Os resultados encontram-se nos gráficos das Figuras 63 a 66.

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso c

Figura 63 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I (Casos a, b e c) - Viga

Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída

109

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 64 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II (Casos a, b e c) - Viga


1,84

1,86

1,88

1,90

1,92

1,94

1,96

1,98

0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 65 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III (Casos a, b e c) - Viga


110

3,00

3,10

3,20

3,30

3,40

3,50

3,60

3,70

3,80

3,90

0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Inicial Caso a Caso b Caso c

Figura 66 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV (Casos a, b e c) - Viga


Verifica-se que o valor da relação crcr MM 0 para o caso c é sempre superior

aos demais casos. Adicionalmente, os valores deste caso aproximam-se da curva

média dos valores obtidos por meio do programa PEFSYS para a análise paramétrica

inicial.

Conclui-se desta forma que, principalmente para as condições de vínculo tipo

III ou IV e sobretudo para valores baixos de µ, o efeito da força cortante deve ser

levando em conta, diferente do que se verifica na grande parte dos resultados

encontrados na literatura.

No entanto, cabe ressaltar que a maioria dos valores obtidos para as cargas

críticas dos três casos supracitados não é aplicável em situações reais de projeto, na

medida em que a força cortante para o carregamento crítico da viga é muito superior

à capacidade resistente da mesma.

111

4.5 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO

VÃO

Obtém-se neste item o momento crítico de vigas biapoiadas com carga

aplicada no meio do vão, confrontando-se os resultados com os de vigas sob

carregamento uniformemente distribuído.

Para vigas biapoiadas com carga concentrada no meio do vão, o momento de

referência para o qual são comparados os valores da literatura e os do programa

PEFSYS é novamente o momento fletor no meio do vão, como mostra a Figura 67.


Concentrada no Meio do Vão

Tem-se, assim:

( )( )

4

LFM PEFSYScr

PEFSYSref = (4.26)

112


Os primeiros estudos da flambagem lateral de vigas biapoiadas com carga

concentrada no meio do vão foram conduzidos por Bleich (1952), Austin; Yegian;

Tung (1955) e Timoshenko; Gere (1961).

De forma análoga ao exposto para carga uniformemente distribuída ao longo

do vão, obtém-se desses autores a carga crítica de vigas bissimétricas para

determinados valores de µ , analisando-se ainda a influência da posição da carga em

relação ao centro de torção.

Austin; Yegian; Tung (1955) e Allen; Bulson (1980) apresentam os

seguintes valores:

vinculação tipo I: C1 = 1,35 , ky = 1,0 e kω = 1,0

vinculação tipo IV: C1 = 1,07 , ky = 0,5 e kω = 0,5

Timoshenko; Gere (1961) determinam o momento crítico de vigas

biapoiadas bissimétricas submetidas a uma carga concentrada no meio do vão por

meio de:

L

IGIEM

ty

cr 4

γ= (4.27)

sendo o parâmetro γ agora obtido pela tabela da Figura 68.

113

Condição de Vínculo Tipo I


Aplicação da Carga 0,4 4 8 16 24 32 48

aba superior 51,5 20,1 16,9 15,4 15,0 14,9 14,8

centro de torção 86,4 31,9 25,6 21,8 20,3 19,6 18,8

aba inferior 147,0 50,0 38,2 30,3 27,2 25,4 23,5


Aplicação da Carga 64 80 96 160 240 320 400

aba superior 15,0 15,0 15,1 15,3 15,5 15,6 15,8

centro de torção 18,3 18,1 17,9 17,5 17,4 17,2 17,2

aba inferior 22,4 21,7 21,1 20,0 19,3 19,0 18,7

Condição de Vínculo Tipo IV

G It L2 / E Iωωωω 0,4 4 8 16 24 32 64 128 200

γγγγ (carga no

centro de torção) 268 88,8 65,5 50,2 43,6 40,2 34,1 30,7 29,4

Figura 68 - Tabela - Valores do Parâmetro γγγγ para Viga Biapoiada com Carga

Concentrada no Meio do Vão - Timoshenko; Gere (1961)

Na tabela da Figura 69, encontram-se os parâmetros auxiliares A e B

apresentados por Nethercot; Rockey (1971), a serem empregados nas expressões

(4.23), (4.24) e (4.25).

114

Condição de Vínculo A B

I 35,1 µµ039,2779,11 +−

II µµ455,1788,443,1 ++

µµ945,113,30,1 +−

III µµ955,0726,00,2 +−

µµ289,3045,20,1 +−

IV µµ814,5186,4916,1 +−

µµ899,2602,40,1 +−


Concentrada no Meio do Vão - Nethercot; Rockey (1971)

Esta tabela também consta em Galambos (1998), embora esteja apresentada

sob outra forma, já que é utilizado um parâmetro diferente do µ.

Para vigas bissimétricas, vinculação tipo I e carga aplicada no centro de

torção, Nethercot; Trahair (1976) e Trahair (1993) sugerem o valor Cb = 1,35,

semelhante ao apresentado por Suryoatmono; Ho (2002), a saber: Cb = 1,361.

Salmon; Johnson (1990) e Aoki; Kubo (1997) obtêm: C1 = 1,40 , C2 = 0,55

e C1 = 1,365 , C2 = 0,553 , respectivamente.

Por sua vez, para cargas aplicadas fora do centro de torção, Trahair (1993)

apresenta a seguinte expressão para o cálculo do momento crítico:

( ) ( )

−+

−+=

20

22

20

2

0

54,054,0135,1

LM

yeEI

LM

yeEIMM

cr

Cyy

cr

Cyycrcr

ππ

115



( )2

zFzM = para 2

Lz ≤ , implicando:

( )84LFLzMM A === ;

( )42LFLzMM B === ;

( ) AC MLzMM === 43 ;

BMM =max


O coeficiente Cb definido pela norma americana prAISC-LRFD:2003 é

obtido por meio da expressão (3.20), implicando ≅bC 1,316.

Por sua vez, as recomendações do regulamento europeu prEN1993-1-1:2002

e prEN1999-1-1:2004 encontram-se nas tabelas das Figuras 25, 27 e 28. Para este

último, além dos valores das tabelas supracitadas, pode-se utilizar a expressão (3.33)

para a obtenção de um valor aproximado do coeficiente Cb , resultando em

388,1≅bC .





116

1,300

1,320

1,340

1,360

1,380

1,400

1,420

1,440

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Kirby; Nethercot (1979) Suryoatmono; Ho (2002)prAISC-LRFD:2003 prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004 prEN1999-1-1:2004 - 3.33

Figura 70 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com

Carga Concentrada no Meio do Vão

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 71 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com


117

2,050

2,100

2,150

2,200

2,250

2,300

2,350

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Nethercot; Rockey (1971) Allen; Bulson (1980) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004

Figura 72 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com


2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Austin et al (1955) Timoshenko; Gere (1961)Nethercot; Rockey (1971) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004

Figura 73 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com


118


Inicialmente, verifica-se nos gráficos das Figuras 70 a 73 que a presença de

uma carga concentrada no meio do vão aumenta significativamente o valor da

relação crcr MM 0 , quando se comparam estes valores com os obtidos para um

carregamento uniformemente distribuído ao longo do vão da viga.

Para vinculação tipo I , os resultados do PEFSYS - coeficiente Cb variando

entre 1,38 e 1,42 - mostram-se novamente superiores aos apresentados na literatura.

As relações crcr MM 0 obtidas por meio das recomendações da norma americana e

do regulamento europeu são inferiores às da Teoria Exata; em especial, os resultados

do prAISC-LRFD:2003 apresentam diferenças em relação ao PEFSYS de até 10%.

Para as demais vinculações, os resultados do PEFSYS são coerentes com os

da literatura, aproximando-se mais das recomendações do prEN1999-1-1:2004. Para

as condições de vínculo tipo II, III e IV, o prEN1993-1-1:2002 mostra-se

conservador em relação às demais publicações. Novamente, para vinculações tipo II

e III, verifica-se que as recomendações de Nethercot; Rockey (1971) não estão

adequadas para valores baixos de µ.

O gráfico apresentado na Figura 74 compara os resultados obtidos por meio

do programa PEFSYS para as quatro condições de vinculação. Considerando-se

vigas com µ baixo (da ordem de dez, por exemplo), a diferença entre os resultados

para as vinculações tipo I e IV chega a quase 150%.

Verifica-se também que a influência no valor da relação crcr MM 0 do

engaste no plano ortogonal ao da flexão é mais significativa do que a restrição ao

empenamento nas extremidades da viga, exceto para valores baixos de µ.

119

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

4,00

4,25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 74 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com


Observe-se ainda que, para valores baixos de µ, há pontos do gráfico que não

pertencem à curva média Procedendo-se uma nova análise paramétrica de forma

análoga ao descrito no item 4.4.3, tem-se:

120

1,37

1,38

1,39

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 75 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I (Casos a, b e c) - Viga

Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão

2,45

2,55

2,65

2,75

2,85

2,95

0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso b

Figura 76 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II (Casos a, b e c) - Viga


121

2,07

2,08

2,09

2,10

2,11

2,12

2,13

2,14

2,15

2,16

2,17

2,18

0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 77 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III (Casos a, b e c) - Viga


3,50

3,60

3,70

3,80

3,90

4,00

4,10

4,20

0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 78 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV (Casos a, b e c) - Viga


122

Verifica-se também para o caso de vigas biapoiadas com carga concentrada

no meio do vão que o efeito da força cortante deve ser levado em conta nos casos

onde o parâmetro µ é muito baixo. Por analogia, esta conclusão será estendida para

os demais casos de vinculação e de carregamento.

4.6 - VIGA BIENGASTADA COM CARGA UNIFORMEMENTE

DISTRIBUÍDA

Analisa-se neste item o caso de vigas com engaste no plano da flexão em

ambas as extremidades associado às quatro condições de vínculo.


comparados os valores da literatura e os do programa PEFSYS é o momento fletor na

seção do engaste, de tal forma que:

( )( )

12

2LqM PEFSYScr

PEFSYSref = (4.28)



123

Destaca-se que algumas publicações, dentre elas o prEN1993-1-1:2002,

consideram como momento de referência o momento fletor na seção do meio do vão

=

24

2LqM . Assim, os valores apresentados a seguir dos coeficientes C1 ou Cb

destes trabalhos foram aqui multiplicados por dois.


Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão de vigas bissimétricas,

Kirby; Nethercot (1979) sugerem o valor ≅bC 2,564, semelhante ao valor obtido

por Nethercot; Trahair (1976), a saber: Cb = 2,58. Salmon; Johnson (1990) e

Aoki; Kubo (1997) recomendam, respectivamente, a utilização de C1 = 2,60 e

55,12 =C , C1 = 2,572 e C2 = 1,563.

Alternativamente, no mesmo artigo supracitado, Kirby; Nethercot (1979)

propõem a utilização da expressão (4.11), obtendo-se o que segue:

( ) ( )22 6612

zLLzq

zM −−= , implicando:

( )964

2LqLzMM A === ;

( )242

2LqLzMM B === ;

( ) AC MLzMM === 43 ;

( )12

02

max

qLzMM ===


124

Para vigas bissimétricas com µ < 100, Austin; Yegian; Tung (1955)

apresentam uma série de tabelas com valores auxiliares adimensionais para o cálculo

do momento crítico, dos quais se obtêm:

condição de vínculo tipo I: C1 = 2,60 ; ky = 1,0 ; kω = 1,0

condição de vínculo tipo IV: C1 = 1,72 ; ky = 0,5 ; kω = 0,5

Por sua vez, o coeficiente Cb na norma americana prAISC-LRFD:2003 é

obtido por meio da expressão (3.20), resultando ≅bC 2,381.

As recomendações do regulamento europeu prEN1999-1-1:2004 encontram-

se nas tabelas das Figuras 27 e 28. Utilizando-se ainda a expressão (3.33), obtém-se

Cb = 2,50.

Note-se que este caso de vinculação não é tratado no prEN1993-1-1:2002, de

forma que serão apresentados os valores da versão preliminar do regulamento

europeu do ano de 2000, a saber:

ky C1 C2 C3

1,0 2,570 1,562 0,753

0,5 1,428 0,652 1,070

Figura 80 - Tabela - C1, C2, C3 para Viga Biengastada com Carga

Uniformemente Distribuída - prEN1993-1-1:2000

125





2,350

2,450

2,550

2,650

2,750

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Salmon; Johnson (1990) prAISC-LRFD:2003prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004 prEN1999-1-1:2004 - 3.33

Figura 81 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Biengastada com


126

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

5,000

5,500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS prEN1993-1-1:2000

Figura 82 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Biengastada com


2,800

2,850

2,900

2,950

3,000

3,050

3,100

3,150

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004

Figura 83 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Biengastada com


127

3,000

3,500

4,000

4,500

5,000

5,500

6,000

6,500

7,000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Austin et al (1955) prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004

Figura 84 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Biengastada com



Inicialmente, percebe-se que a presença do engaste no plano da flexão

aumenta consideravelmente a relação crcr MM 0 quando comparada ao caso de vigas

biapoiadas com mesmo carregamento.

Os valores da relação crcr MM 0 obtidos por meio do programa PEFSYS

mostram-se superiores aos apresentados na literatura para todas as condições de

vínculo analisadas.

As diferenças entre o PEFSYS e os resultados do prEN1999-1-1:2004 são

inferiores a 5% para todas as condições de vínculo. Em relação à versão de 2000, as

128

diferenças para as condições de vínculo I a IV chegam a, respectivamente, 5%, 15%,

10% e 25%.

O resultado sugerido pela norma americana está excessivamente a favor da

segurança, apresentando valores até 15% inferiores aos da Teoria Geometricamente

Exata para condição de vínculo tipo I.

Por outro lado, para a mesma condição de vínculo, a expressão (3.33) do

prEN1999-1-1:2004 e os resultados de Salmon; Johnson (1990) apresentam,

respectivamente, diferenças de 9% e 5% em relação aos valores do PEFSYS.


do programa PEFSYS para as quatro condições de vinculo, no qual se verifica que a

diferença entre os resultados para as vinculações tipo I e IV varia de 50 a 140%.

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 85 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biengastada

com Carga Uniformemente Distribuída

129

Constata-se que, diferente do que ocorre para o caso de vigas biapoiadas, a

restrição ao empenamento nas extremidades (condição de vínculo tipo II) aumenta o

valor da relação crcr MM 0 de forma mais significativa quando se compara aos casos

com a presença de engaste no plano ortogonal ao da flexão (condição de vínculo tipo

III).

Além disso, verifica-se novamente que o efeito da força cortante é importante

para valores baixos de µ.

4.7 - VIGA BIENGASTADA COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO

VÃO

Da mesma forma como realizado para vigas biapoiadas, analisa-se neste item

a influência da presença de carga concentrada no meio do vão de uma viga

biengastada.


comparados os valores da literatura e os do programa PEFSYS é o momento fletor na

seção do meio do vão, que tem o mesmo valor em módulo do momento na seção do

engaste, a saber:

( )( )

8

LFM PEFSYScr

PEFSYSref = (4.29)

130


Concentrada no Meio do Vão


Para carga concentrada no meio do vão, Kirby; Nethercot (1979) sugerem o

valor ≅bC 1,695, semelhante ao valores de Nethercot; Trahair (1976), a saber:

.70,1=bC Salmon e Johnson (1990) e Aoki; Kubo (1997) recomendam,

respectivamente, a utilização de C1 = 1,70 , C2 = 1,42 e C1 = 1,736 , C2 = 1,406.

Utilizando-se ainda a expressão (4.11) proposta por Kirby; Nethercot

(1979), obtém-se o que segue:

( ) ( )LzF

zM −= 48

para 2Lz < , implicando:

( ) 04 === LzMM A ;

( )82LFLzMM B === ;

( ) AC MLzMM === 43 ;

BMM =max

131

Tem-se, desta forma =bC 2,000.

Para vigas bissimétricas com µ < 100, Austin; Yegian; Tung (1955)

apresentam uma série de tabelas com valores adimensionais para o cálculo do

momento crítico, dos quais se obtêm:

condição de vínculo tipo I: C1 = 1,70 ; ky = 1,0 ; kω = 1,0

condição de vínculo tipo IV: C1 = 1,04 ; ky = 0,5 ; kω = 0,5

O coeficiente Cb na norma americana é obtido por meio da expressão (3.20),

resultando ≅bC 1,923.

Utilizando-se a expressão (3.33) proposta pelo regulamento europeu

prEN1999-1-1:2004, obtém-se Cb = 1,700. Por sua vez, os coeficientes C1, C2 e C3

para este caso de carregamento e vinculação encontram-se nas tabelas das Figuras

27 e 28.

Observa-se ainda que, novamente, este caso não é tratado no prEN1993-1-

1:2002, de forma que são aqui apresentados os valores da edição preliminar do ano

de 2000, a saber:

ky C1 C2 C3

1,0 1,565 1,267 2,640

0,5 0,938 0,715 4,800

Figura 87 - Tabela - C1, C2, C3 para Viga Biengastada com Carga Concentrada

no Meio do Vão - prEN1993-1-1:2000

132





1,500

1,600

1,700

1,800

1,900

2,000

2,100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Kirby; Nethercot (1979) Kirby; Nethercot (1979) - 4.11prAISC-LRFD:2003 prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004prEN1999-1-1:2004 - 3.33

Figura 88 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Biengastada com


133

1,500

1,750

2,000

2,250

2,500

2,750

3,000

3,250

3,500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS prEN1993-1-1:2000

Figura 89 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Biengastada com


1,860

1,880

1,900

1,920

1,940

1,960

1,980

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004

Figura 90 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Biengastada com


134

2,000

2,250

2,500

2,750

3,000

3,250

3,500

3,750

4,000

4,250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Austin et al (1955) prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004

Figura 91 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Biengastada com



Os valores da relação crcr MM 0 obtidos por meio do programa PEFSYS

mostram-se superiores aos apresentados na literatura, exceção ao caso de vinculação

tipo I. Neste, os valores obtidos por meio da expressão (3.20) são aproximadamente

10% superiores aos da Teoria Exata, indicando que o resultado sugerido pela norma

americana está contra a segurança.

Para a condição de vínculo tipo II, a diferença entre os valores da Teoria

Exata e os do regulamento europeu prEN1993-1-1:2000 são da ordem de 20%; para

a vinculação tipo III, apenas 5%; e para a vinculação tipo IV, da ordem de 15%. Por

outro lado, nesses casos, as diferenças entre o PEFSYS e os resultados do

prEN1999-1-1:2004 são inferiores a 5%.

135


do programa PEFSYS para as quatro condições de vinculação. A diferença entre os

valores da relação crcr MM 0 para as vinculações tipo I e IV varia de 30 a 130%,

sendo maior para valores baixos de µ.

No caso de carga uniformemente distribuída ao longo do vão de vigas

biengastadas, a influência da restrição ao empenamento é mais significativa do que

aquele para engastamento à flexão no plano ortogonal ao da flexão.

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

4,00

4,25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 92 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biengastada

com Carga Concentrada no Meio do Vão

136


COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

Por ser um caso pouco estudado na literatura e por apresentar assimetria de

vinculação no plano da flexão, considera-se importante para esta análise o estudo de

vigas apoiadas em uma extremidade e engastadas na outra.

No caso de carga uniformemente distribuída ao longo do vão, o momento

fletor de referência ocorre na seção junto ao engaste, conforme mostra a Figura 93.

( )( )

8

2LqM PEFSYScr

PEFSYSref = (4.30)

Figura 93 - Momento Fletor de Referência para Viga Apoiada numa

Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída

Para este item, assim como para os itens 4.9 e 4.10, adotar-se-á, por

simplicidade, condição de vínculo tipo I na extremidade apoiada, alterando-se em

cada caso apenas as vinculações no engaste.

137


Na bibliografia pesquisada, não foram encontrados resultados específicos

para este caso de vinculação, de forma que só é possível comparar os resultados

obtidos por meio do programa PEFSYS com as recomendações de Kirby; Nethercot

(1979), da norma americana prAISC-LRFD:2003 e do regulamento europeu

prEN1999-1-1:2004.



( )28

3 2qzzqLzM −= , implicando:

( )164

2LqLzMM A === ;

( )162

2LqLzMM B === ;

( ) 043 === LzMM C ;

( )8

2

max

qLLzMM ===


O coeficiente Cb definido pela norma americana é obtido por meio da

expressão (3.20), resultando: ≅bC 2,083.

Por sua vez, utilizando-se a expressão (3.33) do prEN1999-1-1:2004, obtém-

se ≅bC 2,404. Observe-se que não há indicação deste caso de vinculação nas tabelas

das Figuras 27 e 28.

138





2,050

2,100

2,150

2,200

2,250

2,300

2,350

2,400

2,450

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Kirby; Nethercot (1979) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004 - 3.33

Figura 94 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Apoiada numa


139

2,250

2,500

2,750

3,000

3,250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS

Figura 95 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Apoiada numa


2,400

2,420

2,440

2,460

2,480

2,500

2,520

2,540

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS

Figura 96 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Apoiada numa


140

2,500

2,750

3,000

3,250

3,500

3,750

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS

Figura 97 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Apoiada numa



Nota-se que para a condição de vínculo tipo I, as recomendações do prAISC-

LRFD:2003 estão a favor da segurança quando comparadas aos resultados do

PEFSYS, apresentando diferenças da ordem de 10%. Por sua vez, para a expressão

do regulamento europeu prEN1999-1-1:2004, os resultados estão contra a

segurança.

A diferença entre os resultados do programa PEFSYS para as quatro

diferentes vinculações na extremidade engastada varia de 20% a 65%, conforme

mostra o gráfico da Figura 98.

141

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 98 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada numa


Novamente, para os casos de vinculação aqui estudados, a relação

crcr MM 0 praticamente independe de µ para as condições de vínculo tipo I e III, e

decresce com o aumento de µ para as condições tipo II e IV. A influência da restrição

ao empenamento mostra-se de novo mais significativa do que o engaste no plano

ortogonal ao da flexão.

Tendo em vista que as condições de vínculo afetam significativamente os

valores da relação crcr MM 0 , faz-se mister uma análise mais acurada deste caso; em

especial, para diferentes vinculações na extremidade apoiada. Este estudo não faz

parte do escopo deste trabalho.

Em virtude do exposto, os valores aqui obtidos representam uma orientação

para uma possível revisão das normas de projeto, em especial a NBR8800:1986.

142


COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO

Para carga concentrada no meio do vão, o momento de referência para o qual

são comparados os valores da literatura e os do programa PEFSYS é o momento

fletor na seção do engaste, como mostra a Figura 99.


Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão

Tem-se assim:

( )( )

16

3 LFM PEFSYScr

PEFSYSref = (4.31)




( )16

5 zFzM = para 2

Lz ≤ e

143

( )

−=1611

2zL

FzM para 2Lz ≥ , implicando:

( )64

54

FLLzMM A === ;

( )32

52

FLLzMM B === ;

( )644

3 FLLzMM C === ;

( )16

3max

FLLzMM ===


Por sua vez, o coeficiente Cb definido pela norma americana prAISC-

LRFD:2003 é obtido por meio da expressão (3.20), resultando em ≅bC 1,705.

Utilizando-se a expressão (3.33) do regulamento europeu prEN1999-1-

1:2004, obtém-se ≅bC 1,817.





144

1,700

1,750

1,800

1,850

1,900

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr




2,000

2,100

2,200

2,300

2,400

2,500

2,600

2,700

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS



145

1,925

1,950

1,975

2,000

2,025

2,050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS



2,000

2,200

2,400

2,600

2,800

3,000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS



146


Nota-se que para a condição de vínculo tipo I, as recomendações do prAISC-

LRFD:2003, de Kirby; Nethercot (1979) e do prEN1999-1-1:2004 estão a favor da

segurança quando comparadas aos resultados do PEFSYS, apresentando diferenças

inferiores a 11%, 8% e 4%, respectivamente.


diferentes vinculações varia de 20% a 60%, conforme mostra o gráfico da Figura

104. Observa-se nesse mesmo gráfico que a influência no valor da relação

crcr MM 0/ da restrição ao empenamento nas extremidades da viga é mais

significativa do que o engaste no plano ortogonal ao da flexão.

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 104 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada

numa Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do

Vão

147

Constata-se ainda que a variação qualitativa da relação crcr MM 0 com o

parâmetro µ apresenta o mesmo comportamento verificado nos itens anteriores.

4.10 - VIGA APOIADA NUMA EXTREMIDADE E ENGASTADA NA

OUTRA COM MOMENTO FLETOR APLICADO NA EXTREMIDADE

APOIADA

Para momento fletor aplicado na extremidade apoiada, o momento de

referência para o qual são comparados os valores da literatura e os do programa

PEFSYS é o próprio momento na seção do apoio, como mostra a Figura 105.



Extremidade Apoiada

Tem-se assim:

( ) 0MM PEFSYSref = (4.32)

148




( ) ( )zLL

MzM 32

20 −= , implicando:

( )8

54

0MLzMM A === ;

( )42

0MLzMM B === ;

( )84

3 0MLzMM C === ;

( ) 0max 0 MzMM ===


Por sua vez, o coeficiente Cb definido pela norma americana é obtido por

meio da expressão (3.20), resultando =1C 2,174.

Utilizando-se a expressão (3.33) do regulamento europeu prEN1999-1-

1:2004, obtém-se ≅bC 2,483.





149

2,000

2,200

2,400

2,600

2,800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr




Extremidade Apoiada

2,500

2,700

2,900

3,100

3,300

3,500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS



Extremidade Apoiada

150

2,500

2,550

2,600

2,650

2,700

2,750

2,800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS



Extremidade Apoiada

2,500

2,700

2,900

3,100

3,300

3,500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS



Extremidade Apoiada

151


Novamente para a condição de vínculo tipo I, as recomendações da norma

americana, de Kirby; Nethercot (1979) e do regulamento europeu estão a favor da

segurança quando comparadas aos resultados do PEFSYS, apresentando diferenças

da ordem de 20%, 15% e 5%, respectivamente.


diferentes vinculações varia de 10% a 40%, conforme mostra o gráfico da Figura

110.

Neste caso de carregamento, a relação crcr MM 0 diminui na medida em que

se aumentam os valores do parâmetro µ para todas as condições de vínculo

estudadas, embora este comportamento seja pouco acentuado para as condições de

vínculo tipo I e III.

Observa-se ainda que os valores do PEFSYS são similares aos apresentados

no caso de vigas biapoiadas sob gradiente de momento fletor com 5,0=ψ (item

4.1).

Por fim, constata-se que a influência no valor da relação crcr MM 0 da

restrição ao empenamento é mais significativa do que o engaste no plano ortogonal

ao da flexão.

152

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr


Figura 110 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada

numa Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na

Extremidade Apoiada

4.11 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA CONCENTRADA NA

EXTREMIDADE LIVRE

Para as vigas em balanço, são por ora estudados os casos onde a carga está

aplicada no centro de torção, a extremidade livre não possui qualquer tipo de

restrição, e a outra extremidade representa um engaste perfeito no plano da flexão,

associado à condição de vínculo tipo IV (restrições ao empenamento e à flexão na

direção de menor inércia).

Vigas com carga aplicada fora do centro de torção ou com vínculos na

extremidade livre são analisadas apenas no capítulo 5, embora os resultados

encontrados na literatura sejam apresentados neste item.

153

O momento de referência neste caso é dado por:

( ) ( ) LFM PEFSYScrPEFSYSref = (4.33)


Concentrada na Extremidade Livre


Timoshenko; Gere (1961) resolvem o problema específico de uma viga em

balanço com seção transversal tipo I e carga concentrada na extremidade livre por

meio da utilização do sistema de equações de equilíbrio, deduzido especificamente

para este caso de vinculação e carregamento.

A solução desse sistema de equações diferenciais fornece o valor do momento

crítico, a saber:

L

IGIEM

ty

cr

.γ= (4.34)

onde:

154

γ é um adimensional que, para grandes valores de µ , poder ser dado

aproximadamente por:

( )21

013,4

µγ

−= (4.35)

Para que os valores obtidos por Timoshenko; Gere (1961) possam ser

comparados com os demais autores, pode-se obter o coeficiente Cb , correspondente à

razão entre o momento crítico da viga em balanço e o momento crítico básico,

implicando:

µππγ

21 +=bC (4.36)

Alguns valores do parâmetro γ são apresentados a seguir:

µµµµ 0,1 1 2 3 4 6 8

γγγγ 44,3 15,7 12,2 10,7 9,76 8,69 8,03

µµµµ 10 12 14 16 24 32 40

γγγγ 7,58 7,20 6,96 6,73 6,19 5,87 5,64

Figura 112 - Tabela - Parâmetro γ γ γ γ para Viga em Balanço com Carga

Concentrada na Extremidade Livre - Timoshenko; Gere (1961)

Para valores de µ = ωIELIG t /2 ∞ , o coeficiente Cb se aproxima de

1,28, que é o valor recomendado por Clark; Hill (1960) e Allen; Bulson (1980) para

vigas em balanço.

155

Por sua vez, Salmon; Johnson (1990) apresentam os valores 30,11 =C e

.64,02 =C

Para carregamento aplicado no centro de torção, Nethercot; Rockey (1971)

propõem o uso da expressão:

µµ75,18,1

28,1 +−=bC (4.37)

Para valores de µ superiores a quatro, Nethercot (1973b) propõe o uso de

expressões semelhantes às (4.23), (4.24) e (4.25), adaptadas para vigas em balanço

como segue:

carga aplicada no centro de torção:

ACb = (4.38)

carga aplicada na aba superior:

1BA

Cb = (4.39)

carga aplicada na aba inferior:

2BACb = (4.40)

Quando a extremidade livre não possui restrições, os parâmetros auxiliares A,

B1 e B2 são dados por:

156

µµ521,2539,3

287,1 +−=A (4.41.a)

µµ364,2016,3

947,01 ++=B (4.41.b)

µµ189,1024,0

995,02 +−=B (4.41.c)

Novamente para µ ∞ , o coeficiente Cb tende a 1,28 para qualquer posição

da carga.

Nethercot (1973b) apresenta os parâmetros supracitados também para alguns

casos de vinculação na extremidade livre, com vínculos no centro de torção, a saber:

TIPO V

TIPO VI

TIPO VII

VÍNCULO RESTRIÇÃO NA EXTREMIDADE LIVRE

rotação em torno de z e deslocamento lateral

rotação em torno de z

deslocamento lateral

Figura 113 - Tabela - Tipos de Vinculação na Extremidade Livre de Vigas em

Balanço

Tem-se, desta forma:

157

Vínculo A B1 B2

V µµ681,4192,4

743,1 +− 1 1

VI µµ948,1461,3

167,2 +− µµ046,4478,3

905,0 +−

µµ

745,1438,0009,1 +−

VII µµ010,5624,3

163,3 +− 1 1


Concentrada na Extremidade Livre - Nethercot (1973b)

Kerensky et al. (1956) apud Nethercot (1973b) define o momento crítico de

uma viga em balanço por meio da seguinte expressão:

2

.1

.

+=

LkIGIE

IGIELk

Mbt

tyb

cr

ππ ω (4.42)

onde:

kb é um fator que define o comprimento efetivo de uma viga em balanço

Pode-se admitir por simplicidade que a formulação via comprimentos

equivalentes de vigas em balanço é uma adaptação da expressão (3.22), admitindo-se

C1 = C2 = C3 = 1,0 e valores iguais de ky e kω, os quais não estão aqui associados às

restrições no plano ortogonal ao da flexão e ao empenamento.

Assim, por meio dessa formulação, pode-se avaliar a flambagem lateral de

vigas em balanço para diferentes vinculações na extremidade livre variando-se

apenas um parâmetro, associado ao comprimento da viga.

158

É interessante observar que esta formulação, utilizando apenas comprimentos

efetivos e sem um coeficiente de equivalência de momentos (C1 ou Cb), contraria o

senso comum, pois implica o uso de “comprimentos de flambagem” por vezes

inferiores ao comprimento real da viga, eliminando qualquer similaridade com a

flambagem de pilares.

A seguir, apresentam-se na tabela da Figura 115 valores do comprimento

efetivo obtidos por Kerensky et al. (1956) para diferentes vinculações no centro de

torção das vigas, admitindo-se Iω = 0, ou seja, ∞→µ .

Destaca-se que para todas as tabelas subseqüentes, convenciona-se considerar

a carga aplicada na extremidade livre no sentido da aba tracionada para o centro de

torção, logo com efeito desestabilizante se aplicada no topo da viga (vide item 3.1).

Essa observação é importante na medida em que cargas no sentido contrário

(por exemplo, originadas de sucção de vento) podem induzir a uma interpretação

errada de alguns resultados que se referem à posição da carga em relação ao centro

de torção (acima ou abaixo deste) e não em relação às regiões tracionadas ou

comprimidas da viga.

1,02 L

-

0,9 L

0,85 L

-

0,75 L

Extremidade ApoiadaExtremidade

Livre

Carga na

Engaste Perfeito0,6 L 0,5 L

Carga no

Centro de TorçãoAba Tracionada


Concentrada na Extremidade Livre - Kerensky et al. (1956)

159

Utilizando a expressão (4.42) e considerando agora o efeito do empenamento

na formulação proposta por Kerensky et al. (1956), Nethercot (1973b) sugere os

valores de comprimentos efetivos indicados na tabela da Figura 116.

1,4 L

1,4 L

0,55 L

0,75 L

0,65 L

0,55 L


Livre Aba Tracionada


Carga no

Centro de Torção

Carga na


Concentrada na Extremidade Livre - Nethercot (1973b)

Os valores obtidos por Nethercot (1973b) para carga no centro de torção são

recomendados em algumas publicações para os casos onde a carga é aplicada ou em

qualquer posição ou entre o centro de torção e a aba comprimida. Esta consideração é

contra a segurança se a carga é aplicada numa posição qualquer entre o centro de

torção e a aba tracionada.

Kirby; Nethercot (1979) e Galambos (1998) apresentam valores

semelhantes aos de Nethercot (1973b), conforme mostram as tabelas das Figuras

117 e 118.

160

1,4 L

1,4 L

0,6 L

0,8 L

0,7 L

0,6 L


LivreCarga na

Outros Casos


Aba Tracionada


Concentrada na Extremidade Livre - Kirby; Nethercot (1979)

1,4 L

1,4 L

0,6 L

0,8 L

0,7 L

0,6 L


LivreCarga na

Outros Casos Aba Tracionada


Concentrada na Extremidade Livre - Galambos (1998)

Na Figura 119 destaca-se que embora os valores apresentados por Nethercot

(1973b) e Galambos (1998) sejam os mesmos em três dos quatro casos estudados, as

condições de vínculo correspondentes consideradas por cada autor não são as

mesmas.

161

Galambos (1998) Nethercot (1973)

Figura 119 - Comparação entre as Hipóteses de Vinculação

A vinculação no centro de torção da extremidade livre apresentada em

Nethercot (1973b) corresponde numericamente em Galambos (1998) à vinculação

da aba tracionada da viga.

Por outro lado, a vinculação à rotação no centro de torção é tida em

Galambos (1998) como restrição ao deslocamento lateral das abas da viga. Neste

caso, o deslocamento lateral é impedido, o que não ocorre para a condição de vínculo

proposta por Nethercot (1973b).

Essa; Kennedy (1994) apresentam os valores da tabela da Figura 120.

162

0,57 +

0,44 L

0,75 L

0,5 L


Livre

Carga na

0,71π(µ)1/2

- 0,1πµ

L2

0,44 L

1,20 - 0,161π(µ)1/2

L - 0,184π

µ2

Carga no

Centro de Torção Aba Tracionada


Concentrada na Extremidade Livre - Essa; Kennedy (1994)

Quando a carga está aplicada entre o centro de torção e a aba tracionada,

Essa; Kennedy (1994) definem o coeficiente de comprimento equivalente k por

meio de interpolação linear, como segue:

( ) tfC krkrk ,1−+= (4.43)

onde:

Ck é o coeficiente de comprimento equivalente para carga aplicada no centro de

torção.

tfk , é o coeficiente de comprimento equivalente para carga aplicada na aba

tracionada.

( ) ( )

−+

−=

d

ye

d

yer CyCy 5,1 (4.44)

163

No caso de vigas bissimétricas, Trahair (1993) obtém a seguinte expressão:

( )( )

( )( )

−+

−+

−+

++=

222

2

22

2

1,02,11

1,02,1124

2,11

2,1111

ε

επ

ε

ε ω

LGI

EI

GIEI

FL

tty

sendo:

( )

t

yCy

GI

EI

L

ye −=ε (4.45)

Para carga no centro de torção da viga, 0=ε , e esta expressão resulta em:

+≅=2

2

12,125,1LGI

EIGIEI

LLFM

ttycr

ωππ (4.46)

Por sua vez, as normas NBR8800:1986, prAISC-LRFD:2003 e prEN1993-

1-1:2002 sugerem adotar o valor Cb = 1,0 para vigas em balanço com quaisquer

condições de vínculo e carregamento; enquanto que as recomendações da norma

prEN1999-1-1:2004 são apresentadas na tabela da Figura 29 e nas expressões

subseqüentes a ela. Destaca-se que, nesta última, ky = kω = 2,0.


Apresentam-se agora os resultados obtidos por meio do programa PEFSYS

apenas para carga concentrada aplicada no centro de torção da viga e sem quaisquer

restrições na extremidade livre. O estudo dos casos com vinculação na extremidade

livre de vigas em balanço ou com carga fora do centro de torção encontra-se no

capítulo 5.

164

Os valores obtidos por meio da Teoria Geometricamente Exata mostram que

as recomendações de grande parte das publicações e normas de projeto estão

exageradamente a favor da segurança.

Neste sentido, observa-se no gráfico da Figura 121 que a diferença entre os

valores obtidos com o uso de um comprimento equivalente único e os resultados do

programa PEFSYS chegam a até 60%.

Em contrapartida, os valores propostos por Trahair (1993) e pelo

regulamento europeu prEN1999-1-1:2004 apresentam diferenças da ordem de

apenas 5%, estando também a favor da segurança quando comparados àqueles

obtidos por meio do uso da Teoria Geometricamente Exata.

Note-se ainda que os resultados de Nethercot; Rockey (1971) e Nethercot;

Rockey (1973) são incongruentes com os do PEFSYS, já que nesses a relação

crcr MM 0 cresce para valores mais baixos de µ, ao contrário do que se verifica para

a Teoria Exata. Por sua vez, para valores maiores de µ, os valores da relação

crcr MM 0 dessas duas publicações praticamente independem do parâmetro µ,

embora mostrem-se exageradamente conservadores.

Por outro lado, o comportamento da curva resultante do uso da Teoria Exata

assemelha-se, em toda sua extensão, àquele verificado para Trahair (1993) e para a

norma prEN1999-1-1:2004.

165

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

1,500

1,600

1,700

1,800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Clark; Hill (1960) Timoshenko; Gere (1961)Nethercot; Rockey (1971) Nethercot; Rockey (1973) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Kerensky (1956) - k=0,85 Nethercot (1973) - k=0,75Kirby;Nethercot (1979) - k=0,80 prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004

Figura 121 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga em Balanço com Carga Concentrada

na Extremidade Livre

Observa-se que para µ da ordem de 80, os valores obtidos pelo PEFSYS

( 60,1≅bC ) ainda são muito superiores àqueles comumente adotados na literatura

para µ ( 28,1=bC ).

Além disso, os valores do PEFSYS ainda decrescem com o coeficiente µ sem

apresentar, aparentemente, um ponto de convergência.

Em vista disso, opta-se por uma nova análise paramétrica, escolhendo-se

determinados vãos para as vigas em balanço que impliquem valores elevados de µ,

embora não-usuais na prática. Estes resultados encontram-se no gráfico da Figura

122, no qual se verifica que a relação crcr MM 0 tende a 1,40.

166

1,40

1,45

1,50

1,55

1,60

1,65

1,70

1,75

1,80

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Inicial) Casos Adicionais

Figura 122 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Casos Adicionais para Viga em Balanço

com Carga Concentrada na Extremidade Livre

4.12 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA UNIFORMEMENTE

DISTRIBUÍDA

O caso de vigas em balanço com carga uniformemente distribuída ao longo

do vão apresenta as mesmas particularidades descritas no item 4.11. Entretanto, por

ser menos desfavorável, alguns autores estendem os valores encontrados para carga

concentrada na extremidade livre para este caso, implicando valores excessivamente

a favor da segurança.

O momento de referência para o qual são comparados os valores da literatura

e os do programa PEFSYS é o momento fletor na seção junto ao engaste, como

mostra a Figura 123.

167

( )( )

2

2LqM PEFSYScr

PEFSYSref = (4.47)




Poley (1954) resolve o problema de vigas em balanço com carga

uniformemente distribuída ao longo do vão pelo Método das Diferenças Finitas,

considerando vigas de seção bissimétrica, totalmente engastadas em uma

extremidade e totalmente livres na outra, com carregamento aplicado no centro de

torção.

De forma análoga ao já exposto, é proposto o uso de uma expressão que

correlaciona os valores de Cb ao parâmetro µ , a saber:

122

+

=

µππ

γbC (4.48)

onde:

168

γ é um adimensional auxiliar dado pela tabela da Figura 124.

µµµµ 1 2 3 4 6 8 10

γγγγ 66,9 50,9 44,0 39,8 34,9 31,9 29,8

µµµµ 12 14 16 24 32 40 100

γγγγ 28,3 27,1 26,0 23,5 21,9 20,9 17,6

Figura 124 - Tabela - Coeficiente γγγγ para Viga em Balanço com Carga

Uniformemente Distribuída - Poley (1954)

Timoshenko; Gere (1961) determinam o momento crítico por meio da

seguinte expressão:

L

IGIEM

ty

cr

425,6= (4.49)

Clark; Hill (1962) e Allen; Bulson (1980) sugerem o uso do valor

05,2=bC , semelhante ao apresentado por Salmon; Johnson (1990), a saber:

10,2=bC .

Nethercot; Rockey (1971) propõem o uso da expressão:

µµ88,50,6

054,2 +−=bC (4.50)

169

Utilizando as expressões (4.38) a (4.40) e com as mesmas considerações de

Poley (1954), Nethercot (1973b) sugere os seguintes valores dos coeficientes A, B1 e

B2 para o caso onde não existem restrições na extremidade livre:

µµ245,7114,9

030,2 +−=A (4.51.a)

µµ418,3290,1

934,01 ++=B (4.51b)

µµ644,3806,2

002,12 +−=B (4.51.c)

Nethercot (1973b) apresenta também os coeficientes supracitados para os

casos de vinculação na extremidade livre definidos no item 4.11, a saber:

Vínculo A B1 B2

V µµ36,10858,9

499,2 +− µµ

933,0956,0990,0 +−

µµ822,0860,0

994,0 +−

VI µµ354,914,12

182,4 +− µµ

710,7059,1849,0 ++

µµ644,3806,2

002,1 +−

VII µµ50,1514,14

941,4 +− µµ

926,1020,2971,0 +−

µµ549,1628,1

985,0 +−


Uniformemente Distribuída - Nethercot (1973b)

170

Utilizando a expressão (4.42), Nethercot (1973b) apresenta na tabela da

Figura 126 os valores dos comprimentos equivalentes para vigas em balanço com

carga uniformemente distribuída.

1,0 L

0,9 L

0,45 L

0,5 L

0,4 L

0,4 L


Livre


Carga no

Centro de Torção

Carga na

Mesa Tracionada


Uniformemente Distribuída - Nethercot (1973b)

Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão, Kerensky et al.

(1956), Kirby; Nethercot (1979) e Galambos (1998) conservadoramente sugerem

os mesmos valores apresentados sob a forma de tabela nas Figuras 115, 117 e 118

para carga concentrada na extremidade livre.

Por sua vez, Trahair (1993) propõe o uso da seguinte expressão:

( )( )( )

( )( )( )

−+

−+

−+

−+

−+=

222

2

22

3

1,03,11

1,03,11210

1,04,11

1,04,1127

2 ε

επ

ε

ε ω

LGI

EI

GIEI

qL

tty

(4.52)

onde ε é dado pela expressão (4.45)

171

Para carga no centro de torção da viga, 0=ε , resultando em:

−+≅= 277,240,7

2 2

22

LGI

EIGIEI

LqL

Mt

tycrωππ

(4.53)

Novamente, as normas NBR8800:1986, prAISC-LRFD:2003 e prEN1993-

1-1:2002 recomendam adotar o valor Cb = 1,0. Por sua vez, as recomendações de

prEN1999-1-1:2004 são apresentadas na tabela da Figura 30 e nas expressões

subseqüentes a ela.


Os resultados obtidos por meio do programa PEFSYS (gráfico da Figura

127) confirmam que grande parte das recomendações da literatura técnica e das

normas de projeto para momento crítico de vigas em balanço com carga

uniformemente distribuída ao longo do vão está exageradamente a favor da

segurança.

Em especial, para aquelas que adotam os mesmos valores sugeridos para

vigas em balanço com carga concentrada na extremidade livre, as diferenças chegam

a aproximadamente 200% quando comparadas com os resultados do PEFSYS.

Em contrapartida, os resultados propostos por Trahair (1993) e pelo

regulamento europeu prEN1999-1-1:2004 apresentam diferenças da ordem de

apenas 5%, estando a favor da segurança quando comparados àqueles obtidos por

meio do uso da Teoria Geometricamente Exata.

172

Da mesma forma como visto no item 4.11, os resultados dessas duas

publicações e do PEFSYS apresentam comportamentos distintos quando comparados

àquele verificado para Nethercot; Rockey (1971) e Nethercot; Rockey (1973).

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Poley (1954)Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971)Nethercot; Rockey (1973) Trahair (1993)Kerensky (1956) - k=0,85 Nethercot (1973) - k=0,50Kirby; Nethercot (1979) - k=0,80 prAISC-LRFD:2003prEN1999-1-1:2004

Figura 127 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga em Balanço com Carga


Observa-se, novamente, que os valores do PEFSYS ainda não apresentam um

ponto de convergência e que, para µ da ordem de 80, os valores obtidos pelo

PEFSYS ( 85,2≅bC ) ainda são muito superiores àqueles comumente adotados na

literatura para µ (Cb = 2,05).

Procedendo-se uma nova análise paramétrica para vigas com valores elevados

de µ, observa-se no gráfico da Figura 128 que a relação crcr MM 0 tende a 2,30.

173

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Inicial) Casos Adicionais

Figura 128 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Casos Adicionais para Viga em Balanço

com Carga Uniformemente Distribuída

174

5 - ANÁLISE NUMÉRICA PARA ALGUNS CASOS

ADICIONAIS


As expressões deduzidas no item 2.3 foram simplificadas no item 3.2, para o

cálculo do momento crítico, admitindo-se que o eixo da barra passa pelo centro de

torção e que os vínculos estão neste ponto; os deslocamentos são os do centro de

torção, para o qual a posição do carregamento também é referenciada.

Entretanto, a análise da flambagem lateral pode envolver casos mais

complexos, como as vigas com carregamento e/ou vínculos fora do centro de torção,

ou aqueles que apresentam variações na seção transversal ao longo do vão.

Considerando-se por exemplo a existência de lamelas, recortes e/ou aberturas

na seção, a posição do centro de torção varia ao longo do vão da viga, implicando

alteração no valor do momento crítico, na medida que, além da mudança nas

propriedades geométricas nestes trechos, altera-se a posição do carregamento em

relação ao centro de torção.

Na modelagem em elementos finitos do programa PEFSYS, tem-se a

vantagem de que tanto o eixo da barra quanto os vínculos, o carregamento e o centro

de torção podem estar em qualquer posição.

Escolhe-se, nestes casos, um eixo qualquer para a barra e definem-se, para

cada elemento, as posições do centro de torção e centro de gravidade relativas a este

eixo (bem como as demais propriedades geométricas da seção, a posição dos

vínculos e a posição de aplicação do carregamento). Os resultados do programa

PEFSYS são, dentre outros, os deslocamentos dos pontos contidos no eixo definido

175

para a barra, e não os deslocamentos do centro de torção da viga, como ocorre nas

teorias aproximadas convencionais.

Como estas teorias trabalham apenas com o centro de torção como referência,

entende-se que, no caso da presença de lamelas nas abas da viga, a mudança em si da

posição do centro de torção é desprezada no cálculo do momento crítico, de forma

que apenas são consideradas as alterações nas propriedades geométricas (área,

momentos de inércia, etc.) e a conseqüente mudança na posição de aplicação do

carregamento em relação ao centro de torção.

A precisão dos resultados obtidos por meio da Teoria Não-Linear

Geometricamente Exata (PEFSYS) está diretamente relacionada ao refinamento da

malha de elementos finitos utilizada, e não à variação da posição do centro de torção.

5.2 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Estudam-se agora alguns casos adicionais da flambagem lateral de vigas em

regime elástico, destacando-se a aplicação do carregamento fora do centro de torção

e a presença de vínculos intermediários ao longo do vão da viga.

Estes casos são tratados com menor profundidade quando comparados à

análise realizada no capítulo 4, objetivando-se apenas levantar dados preliminares,

mostrar o potencial desta ferramenta de trabalho e do método de análise utilizado, e

identificar alguns problemas a serem abordados em trabalhos futuros.

Os resultados são apresentados novamente sob a forma de gráficos e

comparados com as recomendações das normas de projeto e da literatura; por

simplicidade, algumas dessas recomendações já foram apresentadas no capítulo 4

sob a forma de expressões ou tabelas. Adicionalmente, adota-se somente vinculação

tipo I nas extremidades de vigas biapoiadas, ou seja, não é avaliada a influência da

176

restrição ao empenamento e do engastamento à rotação no plano ortogonal ao da

flexão nos resultados aqui obtidos.

5.3 - CARGA APLICADA FORA DO CENTRO DE TORÇÃO

Não é possível estender a consideração da carga estar aplicada no centro de

torção das vigas como um caso geral de projeto, de forma que o valor do momento

crítico pode estar sendo incorretamente avaliado em função da posição efetiva da

carga.

Para carga aplicada acima do centro de torção, pode-se tomar como exemplo

o apoio de tubos em perfis tipo I, e de terças em tesouras de cobertura (Figura

129.a). Por outro lado, para carga aplicada abaixo do centro de torção, pode-se citar a

utilização de talhas e guinchos para a movimentação de cargas em instalações

industriais (Figura 129.b).

C

C

(a) Carga Acima do Centro de Torção

C C

(b) Carga Abaixo do Centro de Torção

Figura 129 - Exemplos de Aplicação de Carga Fora do Centro de Torção

177

Estuda-se neste item a flambagem lateral de vigas com carga concentrada

aplicada fora do centro de torção, utilizando-se um elemento adicional de grande

rigidez a partir do nó central (nó número 11 na Figura 130), com dimensão igual à

metade da altura total da viga. Consideram-se aqui, portanto, apenas dois casos, com

a carga nas abas inferior e superior. Note-se que, por este artifício, é possível aplicar

o carregamento em qualquer posição relativa ao centro de torção, variando-se

somente a dimensão do elemento. Esta análise, entretanto, não faz parte do escopo

deste trabalho.

F

h / 2

NÓS 1 e 21 : EXTREMIDADES RESTRINGIDAS DA VIGA

Figura 130 - Elemento Adicional do PEFSYS para Carga Aplicada Fora do

Centro de Torção

5.3.1 - Viga Biapoiada com Carga Concentrada Aplicada no Meio do Vão

Os resultados da literatura técnica para o caso da flambagem lateral de vigas

biapoiadas com carga concentrada aplicada fora do centro de torção encontram-se no

item 4.5, e as recomendações do regulamento europeu, nos itens 3.3.3 e 3.3.4.

178

Apresentam-se a seguir, sob a forma de gráficos, os resultados da comparação


literatura técnica e do regulamento europeu.

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Aoki; Kubo (1997) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004

Figura 131 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada

Aplicada na Aba Superior (Comprimida)

179

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Aoki; Kubo (1997) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004

Figura 132 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada

Aplicada na Aba Inferior (Tracionada)

5.3.2 - Viga em Balanço com Carga Concentrada Aplicada na Extremidade

Livre

Analisa-se agora a flambagem lateral de vigas em balanço com carga

concentrada aplicada nas abas inferior e superior da extremidade livre, de forma

análoga ao realizado para vigas biapoiadas no item 5.3.1.

Os resultados da literatura técnica para este caso encontram-se no item 4.11,

e as recomendações do regulamento europeu, no item 3.3.4.



literatura técnica e do regulamento europeu.

180

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Nethercot (1973b) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Essa; Kennedy (1994) Kerensky et al (1956) - k=1,02Galambos (1998) - k=1,4 prEN1999-1-1:2004

Figura 133 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga em Balanço com Carga Concentrada

Aplicada na Aba Tracionada

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Nethercot (1973b) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Galambos (1998) - k=0,80 prEN1999-1-1:2004


Aplicada na Aba Comprimida

181


Para o caso de vigas biapoiadas (item 5.3.1), as diferenças entre os valores

apresentados na literatura técnica e no regulamento europeu e aqueles obtidos por

meio do PEFSYS são pequenas, chegando a, no máximo, 7%.

Por sua vez, para vigas em balanço (item 5.3.2), as relações

crcr MM 0 obtidas por meio da literatura técnica e das recomendações do

regulamento europeu são significativamente inferiores às da Teoria

Geometricamente Exata, excetuando-se apenas os resultados de Trahair (1993).

Observa-se nos gráficos das Figuras 135 e 136 que a relação crcr MM 0

assume valores significativamente diferentes em relação à consideração da carga

estar aplicada no centro de torção da viga. Estas diferenças não podem ser

considerados desprezáveis em projeto.

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

Carga no Centro de Torção Carga na Aba Comprimida Carga na Aba Tracionada

Figura 135 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada

com Carga Concentrada Aplicada Fora do Centro de Torção

182

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

2,60

2,80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

Carga no Centro de Torção Carga na Aba Tracionada Carga na Aba Comprimida

Figura 136 - Gráfico Mcr/M0cr x µ µ µ µ - Comparação (PEFSYS) - Viga em Balanço

com Carga Concentrada Aplicada Fora do Centro de Torção

Para os casos de carga aplicada na aba comprimida de vigas biapoiadas e na

aba tracionada de vigas em balanço, a utilização dos valores obtidos para carga

aplicada no centro de torção, ao invés daqueles correspondentes à posição real do

carregamento, conduz a resultados excessivamente contra a segurança, obtendo-se

diferenças de até 60% para baixos valores do parâmetro µ.

Por outro lado, para carga aplicada na aba tracionada de vigas biapoiadas e na

aba comprimida de vigas em balanço, a não consideração da posição da carga

implica uma situação muito a favor da segurança - com diferenças novamente de até

60% para baixos valores do parâmetro µ - conduzindo a um dimensionamento

antieconômico. Note-se que tanto para vigas biapoiadas quanto para vigas em

balanço, essas diferenças vão se reduzindo para µ crescente.

183

Dos resultados encontrados na literatura, as recomendações de Trahair

(1993) apresentam as menores diferenças em relação à Teoria Geometricamente

Exata.

Adicionalmente, para vigas em balanço, verifica-se que o procedimento de se

adotar um comprimento equivalente (expressão 4.42) não conduz a resultados

satisfatórios, como já havia sido constatado para os casos de carga no centro de

torção.

Verifica-se nos gráficos das Figuras 135 e 136 que a relação crcr MM 0/

praticamente independe de µ para carga aplicada no centro de torção, mas é

fortemente dependente nos casos em que a carga é aplicada fora deste ponto.

5.4 - VÍNCULOS AO LONGO DO VÃO

Algumas vigas de aço do tipo VS (perfis fabricados a partir de chapas

soldadas) utilizadas na análise paramétrica deste trabalho são comumente

empregadas em projeto vencendo grandes vãos. Por este motivo, sua utilização sem

quaisquer travamentos intermediários é antieconômica.

Mesmo nos casos em que existe uma laje de piso - do tipo moldada in loco de

concreto ou do tipo steel-deck - que trava a viga ao longo de toda sua extensão

(Figura 137), o concreto ainda não-endurecido na fase construtiva não serve de

contenção, e a viga fica durante esta fase com todo o seu vão destravado, a menos

que, no caso de lajes tipo steel-deck, a forma seja soldada às vigas.

184

Figura 137 - Travamento da Viga por meio de uma Laje Tipo Steel-Deck

Estudam-se neste item as implicações da presença de um travamento na

extremidade de vigas em balanço e no meio do vão de vigas biapoiadas, por meio de

uma análise paramétrica com as mesmas vigas utilizadas no capítulo 4.

Para o uso da Teoria Geometricamente Exata, são estudados inicialmente

neste item apenas os casos de carga e vínculos no centro de torção, e vinculação tipo

I nas extremidades das vigas biapoiadas (ou seja, sem restrição ao empenamento e à

flexão na direção de menor inércia). Estas simplificações são adotadas para facilitar a

análise qualitativa dos valores da relação crcr MM 0/ .

Consideram-se, deste modo, três tipos diferentes de travamentos, os quais

restringem a rotação em torno do eixo longitudinal z (vinculação Tipo V), o

deslocamento lateral (vinculação tipo VI), e tanto o deslocamento lateral quanto a

rotação em torno de z (vinculação tipo VII).

Adicionalmente, para efeito de comparação, utiliza-se o programa PEFSYS

também para o caso onde a carga concentrada e os vínculos estão na aba superior da

viga. Justifica-se esta análise pelo fato de que, em geral, a viga recebe carga por meio

da barra que serve de travamento. Observe-se ainda que, na ligação apresentada na

Figura 138.a, restringe-se o deslocamento da aba superior mas apenas parcialmente

a rotação da viga.

185

(a) Ligação com a Viga de Travamento (b) Modelo Simplificado

Figura 138 - Introdução de Carga por Meio da Viga de Travamento

5.4.1 - Requisitos da Norma prAISC-LRFD:2003

5.4.1.1 - Considerações Gerais sobre os Travamentos

A norma americana prAISC-LRFD:2003 especifica recomendações para o

dimensionamento dos travamentos de uma estrutura (pórticos, pilares ou vigas),

definindo assim uma rigidez e resistência mínimas. Para o caso particular de vigas, a

norma apresenta os requisitos mínimos para contenções ao deslocamento lateral e à

torção (impedimento à rotação em torno do eixo longitudinal z).

Assume-se inicialmente que o travamento é ortogonal à barra, de forma que,

para travamentos inclinados, os valores de resistência (força ou momento fletor) e

rigidez (força por unidade de deslocamento ou momento por unidade de rotação)

devem ser decompostos de acordo com sua direção.

Definem-se dois tipos de sistemas de travamento. O primeiro, denominado

“travamento relativo”, consiste naquele onde se controla o movimento do ponto

186

travado em relação a pontos adjacentes travados pelo mesmo sistema de contenção

(Figura 139.a). Para o segundo tipo, o “travamento nodal”, controla-se o movimento

de um ponto travado sem interação direta com pontos adjacentes travados (Figura

139.b).

(a) (b)

Figura 139 - Travamento Relativo e Nodal

Alternativamente, uma análise não-linear considerando um desaprumo inicial

da estrutura ou uma imperfeição inicial da barra (levando em conta, portanto, efeitos

de segunda ordem) pode ser utilizada em substituição aos requisitos apresentados nos

itens subseqüentes. Destaca-se que a consideração de imperfeições iniciais é

importante para a análise do travamento, mas o problema será tratado neste trabalho

como um problema de flambagem para uma primeira análise.

De forma geral, o travamento lateral de uma viga deve ser realizado próximo

à aba comprimida, exceto nos casos de vigas em balanço, onde se recomenda travar a

aba tracionada (aba superior para carregamentos de origem gravitacional).

Entretanto, por simplicidade, a maior parte dos casos analisados no PEFSYS

consideram vínculo apenas no centro de torção da viga.

187

5.4.1.2 - Dimensionamento de Contenções ao Deslocamento Lateral

(a) Travamento Relativo

A força normal resistente de cálculo e a rigidez mínima para força normal de

um travamento são dadas, respectivamente, por:

dSd

tr Ch

MN

0

008,0= (5.1)

dob

Sdtr C

hLM

75,04

=β (5.2)

onde:

SdM é o momento fletor solicitante de cálculo da viga

oh é a distância entre o centróide das abas da viga

bL é o comprimento destravado (distância entre travamentos)

dC é um coeficiente que assume os seguintes valores: 1,0 para curvatura simples

e 2,0 para curvatura reversa (o valor 2,0 só é aplicado ao travamento mais próximo

do ponto de inflexão)

188

(b) Travamento Nodal

A força normal resistente de cálculo e a rigidez mínima para força normal de

um travamento são dadas, respectivamente, por:

do

Sdtr C

hM

N 02,0= (5.3)

db

Sdtr C

hLM

075,010

=β (5.4)

Definindo-se Lq como o comprimento máximo destravado que permita que a

viga resista ao momento fletor solicitante de cálculo, pode-se tomar Lq no lugar de Lb

nas expressões (5.2) e (5.4) quando Lq for maior que o comprimento destravado Lb.

5.4.1.3 - Dimensionamento de Contenções à Torção

O travamento à torção pode estar em qualquer posição da seção transversal, e

em apenas um ponto ou contínuo ao longo do vão, não necessitando estar ligado à

aba comprimida da viga desde que a seção transversal não sofra distorção.

Estas contenções devem apresentar uma ligação com a viga capaz de resistir

ao valor do momento fletor Mtr , tendo uma rigidez mínima de pórtico ou diafragma

trΩ obtidos respectivamente por meio de:

bb

Sdtr CLn

LMM

024,0= (5.5)

189

−

=

sec

1ββ

ββ

T

Ttr (5.6)

com:

2

2

75,0

4,2

by

SdT CnEI

ML=β (5.7)

+=

12125,13,3 33

secsswo

o

btthh

Eβ (5.8)

onde:

L é o vão da viga

n é o número de travamentos nodais ao longo do vão. No caso estudado neste

trabalho, n = 1,0

ts é a espessura do enrijecedor de alma, quando houver

bs é a largura do enrijecedor

Tβ é a rigidez do travamento, excluindo-se a distorção da alma da viga

secβ é a rigidez à distorção da alma da viga, incluindo-se o efeito de enrijecedores

transversais de alma

190

Nota-se que se secβ < Tβ , a equação (5.6) resulta num valor negativo,

implicando inadequação do travamento utilizado (devido à grande distorção da alma,

o travamento não é efetivo).

Admite-se neste trabalho que a seção transversal da viga permanece

indeformável, ou seja, trβ = Tβ . Observe-se ainda que o dimensionamento do

travamento também leva em conta a distorção da alma do perfil, estando portanto

fora do escopo deste trabalho.

Novamente, se Lq é maior que o comprimento destravado Lb, pode-se utilizá-

lo na equação (5.5) no lugar de Lb.

5.4.2 - Viga Biapoiada com Vínculos no Meio do Vão - Carga Concentrada

5.4.2.1 - Recomendações das Normas de Projeto

Utilizando-se a expressão proposta pela norma americana prAISC-

LRFD:2003, mas considerando agora que os momentos fletores parciais estão

referenciados aos quartos do vão entre travamentos (ou seja, para um comprimento

igual a L/2), tem-se:

( )2

zFzM = para 2

Lz ≤ , implicando:

( )168

LFLzMM A === ;

( )84LFLzMM B === ;

191

( )16

38

3 LFLzMM C === ;

4max

LFM =


Procedendo de forma análoga, obtém-se por meio da expressão (3.33) do

prEN1999-1-1:2004: ≅bC 1,817.

5.4.2.2 - Influência do Tipo de Vinculação

Apresentam-se a seguir, sob a forma de gráficos, os valores obtidos por meio

do programa de elementos finitos PEFSYS e a comparação entre esses resultados e

aqueles das normas prAISC-LRFD:2003 e prEN1999-1-1:2004.

Observe-se que na presença de vínculos ao longo do vão de vigas biapoiadas,

o momento crítico básico crM 0 refere-se à distância entre pontos travados, ou seja,

metade do vão (L/2).

A prática usual em projeto considera para este caso de carregamento e de

vinculação os valores da relação crcr MM 0/ obtidos para vigas biapoiadas sob

gradiente de momento fletor com 021 == MMψ (item 4.3), os quais serão

incluídos nos gráficos subseqüentes para efeito de comparação.

192

1,55

1,80

2,05

2,30

2,55

2,80

3,05

3,30

3,55

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Tipo V) PEFSYS (M1/M2 = 0) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004

Figura 140 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada -

Vinculação Tipo V

1,30

1,55

1,80

2,05

2,30

2,55

2,80

3,05

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Tipo VI) PEFSYS (M1/M2=0) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004


Vinculação Tipo VI

193

1,55

1,80

2,05

2,30

2,55

2,80

3,05

3,30

3,55

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Tipo VII) PEFSYS (M1/M2 = 0) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004


Vinculação Tipo VII

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

Carga e Vínculos na Aba Superior Vinculação Tipo VI Vinculação tipo VII

Figura 143 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada e

Vinculação ao Deslocamento Lateral na Aba Superior

194

5.4.3 - Viga Biapoiada com Vínculos no Meio do Vão - Carga Uniformemente

Distribuída

5.4.3.1 - Recomendações das Normas de Projeto

Utilizando-se a expressão proposta pela norma americana prAISC-

LRFD:2003, e considerando que os momentos fletores parciais estão referenciados

aos quartos do vão entre travamentos (ou seja, para um comprimento igual a L/2),

tem-se:

( ) ( )zLzq

zM −=2

, implicando:

( )128

78

2LqLzMM A === ;

( )32

34

2LqLzMM B === ;

( )128

158

32LqLzMM C === ;

8

2LqM máx =


Procedendo de forma análoga, obtém-se por meio da expressão (3.33) do

prEN1999-1-1:2004: ≅bC 1,330.

195


Apresentam-se a seguir, sob a forma de gráficos, os valores obtidos por meio

do programa de elementos finitos PEFSYS e a comparação entre esses resultados e

aqueles das normas de projeto.

1,10

1,35

1,60

1,85

2,10

2,35

2,60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Tipo V) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004

Figura 144 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Uniformemente

Distribuída - Vinculação Tipo V

196

1,10

1,35

1,60

1,85

2,10

2,35

2,60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Tipo VI) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004


Distribuída - Vinculação Tipo VI

1,10

1,35

1,60

1,85

2,10

2,35

2,60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Tipo VII) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004


Distribuída - Vinculação Tipo VII

197

5.4.4 - Viga em Balanço com Vínculos na Extremidade - Carga Concentrada

5.4.4.1 - Resumo da Literatura

O tratamento conferido à flambagem lateral de vigas em balanço costuma ser

bastante conservador, na medida que se considera em algumas publicações 0,1=bC ;

em outras, como visto no capítulo 4, igualam-se os valores do coeficiente Cb para os

casos de carga uniformemente distribuída ao longo do vão com aqueles onde existe

uma carga concentrada aplicada na extremidade. Poucos trabalhos conferem

tratamento adequado às vigas em balanço.

Por sua vez, para vigas em balanço com vínculos na extremidade, os

resultados da literatura técnica encontram-se no item 4.11 deste trabalho.

Em particular, das normas prAISC-LRFD:2003 e prEN1999-1-1:2004,

obtêm-se 667,1≅bC e .817,1≅bC Note-se que estes valores são praticamente

idênticos àqueles obtidos, respectivamente, por Kirby; Nethercot (1979) e

Nethercot (1973b).




literatura técnica.

198

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Nethercot (1973b) - Figura 114 Kerensky et al (1956) - k=0,75Nethercot (1973b) - k=0,55 Kirby; Nethercot (1979) - k=0,60


Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo V

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

2,60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Nethercot (1973b) - Figura 114 Nethercot (1973b) - k=0,65Kirby; Nethercot (1979) - k=0,70 Essa; Kennedy (1994) - k=0,50

Figura 148 - Gráfico Mcr/M0cr x µ µ µ µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada

Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo VI

199

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS Nethercot (1973b) - Figura 114 Kerensky et al (1956) - k=0,50Nethercot (1973b) - k=0,45 Essa; Kennedy (1994) - k=0,44

Figura 149 - Gráfico Mcr/M0cr x µ µ µ µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada

Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo VII


Para o caso de vigas biapoiadas com carga concentrada e vínculos no meio do

vão, os resultados das recomendações do regulamento europeu e da norma americana

- por meio das expressões aproximadas (3.20) e (3.33) - estão excessivamente a favor

da segurança, em especial para valores baixos do parâmetro µ.

Adicionalmente, considerando-se o caso de vigas biapoiadas sob gradiente de

momento fletor, com vão igual a L/2, e com ψ = 0, os valores ainda são muito

inferiores aos obtidos pelo PEFSYS para a condição real, com diferenças de até 80%.

Esse resultado é surpreendente em vista da simetria da vinculação e do diagrama de

momentos fletores em relação ao centro de torção.

200

O gráfico da Figura 150 mostra os resultados para as condições de vinculo

tipo V a VII. Observe-se que a diferença entre esses casos de vinculação é

significativa quando se comparam os valores da relação crcr MM 0/ com aqueles

obtidos para vigas sem considerar quaisquer travamentos intermediários (item 4.5 -

Figura 70), em particular para valores baixos de µ. Note-se ainda que as diferenças

entre os casos de vinculação tipo V e VII são desprezáveis, e que os vínculos à

rotação têm um efeito mais favorável que os de deslocamentos do centro de torção.

É importante observar da Figura 143 que a prática usual de travar

deslocamentos na aba superior da viga conduz a valores da relação crcr MM 0/

semelhantes àqueles obtidos para vínculos tipo VII no centro de torção.

1,15

1,65

2,15

2,65

3,15

3,65

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

Vinculação Tipo V Vinculação Tipo VI Vinculação Tipo VII Sem Vínculos no Meio do Vão


com Carga Concentrada - Vínculos no Meio do Vão

Por sua vez, para vigas biapoiadas com vínculos no meio do vão e carga

uniformemente distribuída, os valores sugeridos pelas normas de projeto mostram-se,

201

novamente, muito conservadores em relação àqueles da Teoria Geometricamente

Exata (PEFSYS).

O gráfico da Figura 151 ilustra esta diferença e apresenta uma comparação

entre os casos de vinculação supracitados e o caso onde a viga não possui travamento

intermediário. Pode-se observar que os três casos de vinculação conduzem

praticamente ao mesmo resultado, e que este é muito superior ao de vigas sem

vinculação no centro de torção.

Comparando-se esses valores com aqueles obtidos para vigas biapoiadas com

carga concentrada no meio do vão (gráfico da Figura 150), observa-se para os

primeiros que o efeito do tipo de vínculo é menos forte, já que a carga é distribuída e

o vínculo, portanto, não está no ponto de aplicação da carga.

1,10

1,40

1,70

2,00

2,30

2,60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

Vinculação Tipo V Vinculação Tipo VI Vinculação Tipo VII Sem Vínculos no Meio do Vão


com Carga Uniformemente Distribuída - Vínculos no Meio do Vão

202

Para vigas biapoiadas com o caso de vinculação tipo VI (sem impedimento à

rotação em torno do eixo longitudinal no meio do vão), realiza-se a seguir uma nova

análise paramétrica por meio da variação do parâmetro LEA do travamento,

considerado do tipo nodal.

Para cada caso, procura-se avaliar como a rigidez do travamento afeta os

valores da relação crcr MM 0/ da viga, apresentados nos gráficos das Figuras 141 e

148. Para tanto, por simplicidade, são escolhidos apenas dois valores diferentes de µ

(ver Figura 152).

VS 275x40µ = 35

= 2,07MM

cr0cr

VS 325x46µ = 25

= 2,13MM

cr0cr

= 1,79MM

cr0cr

= 1,88MM

cr0cr

Figura 152 - Estudo da Variação da Relação (EA / L) do Travamento - Viga

com Vinculação Tipo VI

203

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

2,05

2,10

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

EA / L - travamento (tf/cm)

Mcr

/ M

0cr -

vig

a

Análise Paramétrica EA/L Vinculação Tipo VI (item 5.4.2)


Concentrada - Vinculação Tipo VI - µµµµ = 35

1,85

1,90

1,95

2,00

2,05

2,10

2,15

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450EA / L - travamento (tf/cm)

Mcr

/ M

0cr -

vig

a



Concentrada - Vinculação Tipo VI - µµµµ = 25

204

1,60

1,65

1,70

1,75

1,80

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450


Mcr

/ M

0cr -

vig

a

Variação Paramétrica EA/L Vinculação Tipo VI (item 5.4.3)


Uniformemente Distribuída - Vinculação Tipo VI - µµµµ = 35

1,65

1,70

1,75

1,80

1,85

1,90

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450


Mcr

/ M

0cr -

vig

a



Uniformemente Distribuída - Vinculação Tipo VI - µµµµ = 25

205

Observa-se nos gráficos das Figuras 153 a 156 que os valores da relação

crcr MM 0/ tendem rapidamente àqueles correspondentes ao caso de vinculação tipo

VI, ou seja, a efetividade do travamento não está associada a elevados valores de sua

rigidez para peças sem imperfeições iniciais. A análise da influência de imperfeições

iniciais na viga não faz parte do escopo deste trabalho.

Por fim, analisam-se agora os valores obtidos para vinculação na extremidade

de vigas em balanço, apresentados no gráfico da Figura 157.

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

Vinculação Tipo V Vinculação Tipo VI Vinculação Tipo VII Sem Vínculos na Extremidade

Figura 157 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga em Balanço

com Carga Concentrada - Vínculos na Extremidade

Quando se comparam os valores da relação crcr MM 0/ dos casos de vigas em

balanço com ou sem restrição na extremidade (itens 5.3.3 e 4.11), verificam-se

diferenças muito significativas, em especial para vínculo tipo VII e valores baixos do

parâmetros µ .

206

Note-se ainda que, para baixos valores de µ , a restrição à rotação em torno

do eixo longitudinal z é mais eficiente do que aquela ao deslocamento lateral, embora

esta diferença seja desprezável para elevados valores de µ . A condição de vínculo

tipo VII, por sua vez, é muito mais eficiente que as outras duas.

Os resultados de Nethercot (1973b) apresentam boa precisão quando

comparados àqueles da Teoria Geometricamente Exata, o que não se verifica para

aqueles obtidos por meio da formulação que utiliza o coeficiente k para ajustar o

comprimento da viga em função do caso de carga e vinculação (expressão 4.42).

5.5 - ENRIJECEDORES JUNTO ÀS EXTREMIDADES

Realiza-se neste item o estudo do efeito da presença de enrijecedores junto às

extremidades, que servem de contenção para empenamento mas não restringem a

rotação no plano perpendicular ao da flexão. Para tanto, trata-se do caso particular de

vigas biapoiadas com carga concentrada no meio do vão, aplicada no centro de

torção.

Para avaliar o comportamento da viga nessa situação, consideram-se somente

dois casos distintos, nos quais o comprimento do enrijecedor é igual à altura ou à

metade da altura de cada viga analisada (Figura 158).

207

h

h ou h

enrijecedor

2

Figura 158 - Enrijecedores de Extremidade

No trecho reforçado, a viga passa a ter uma seção fechada tipo caixão

(Figura 159), para a qual definem-se novas propriedades geométricas. Por

simplicidade, despreza-se a parcela correspondente à alma da viga para o cálculo de

It e admite-se que o valor de Iω não se altera em relação à seção transversal tipo I.

h

Figura 159 - Seção Transversal nos Trechos do Reforço

208

Pretende-se, nesta análise, comparar os resultados da simulação como viga

caixão com aqueles obtidos para a condição de vínculo tipo II (a qual restringe o

empenamento nas extremidades e cujos resultados encontram-se no item 4.5.2),

avaliando-se ainda a influência do comprimento do enrijecedor no valor do momento

crítico.

Destaca-se que não faz parte do escopo deste trabalho avaliar de forma mais

acurada a influência da presença dos enrijecedores por meio de uma análise

paramétrica que considere a mudança de sua espessura e/ou comprimento. Os

resultados aqui apresentados são, assim, apenas indicativos para o comportamento da

viga sob esta condição de vínculo.


O gráfico da Figura 160 indica que a presença de enrijecedores afeta

significativamente o momento crítico à flambagem lateral, quando confrontam-se os

resultados da relação crcr MM 0 com aqueles obtidos para o caso de uma viga sem

restrição ao empenamento e à flexão no plano ortogonal ao da flexão (ky = kω = 1,0,

condição de vínculo tipo I). Esta constatação já tinha sido verificada no item 4.5.2

para a vinculação tipo II.

209

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ

Mcr

/ M

0cr

PEFSYS (Lenrij=h) PEFSYS (Lenrij=h/2) Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II

Figura 160 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Enrijecedores Junto às

Extremidades e Carga Concentrada Aplicada no Meio do Vão

Admitindo-se as simplificações supracitadas no cálculo das propriedades

geométricas da seção transversal e tomando-se somente os dois casos analisados

como referência, observa-se que os valores da relação crcr MM 0 são sempre

superiores àqueles obtidos para o caso de vinculação tipo II, indicando que é

necessário apenas um pequeno comprimento do enrijecedor para simular a restrição

ao empenamento.

210

6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS

FUTUROS

A utilização cada vez mais freqüente de modernas técnicas computacionais

para auxiliar o engenheiro na concepção e no cálculo de uma estrutura permite que a

flambagem lateral de vigas possa ser avaliada de forma mais acurada.

Este trabalho apresenta o estudo do fenômeno da flambagem lateral de vigas

de aço por meio de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata, utilizando-se o

programa de elementos finitos PEFSYS, desenvolvido no Laboratório de Mecânica

Computacional da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Os resultados

encontrados são comparados aos encontrados na literatura e nas normas de projeto.

Para conferir um caráter mais prático aos resultados, consideram-se valores

aplicáveis em projetos usuais de estruturas, os quais são alcançados por meio de uma

análise paramétrica de diversas vigas com perfis soldados comerciais bissimétricos

tipo I (série VS225 a VS1000), e para vãos compatíveis com sua utilização.

Adicionalmente, definem-se quatro condições básicas de vinculação para as

quais são avaliados os casos usuais de carregamento e de vinculação no plano da

flexão. Consideram-se, desta forma, extremidades com ou sem restrição ao

empenamento e à rotação no plano perpendicular ao da flexão.

Faz-se mister citar que algumas das condições de vínculo supracitadas são de

difícil realização na prática. Por este motivo, os resultados apresentados neste

trabalho são aplicáveis no dimensionamento de vigas somente com uma correta

identificação das condições de vínculo, por meio de uma análise criteriosa das

ligações e da rigidez dos elementos em que a viga se conecta.

A comparação dos resultados obtidos na análise via PEFSYS com aqueles da

literatura e das normas de projeto permite concluir que a maioria das recomendações

211

para a obtenção do momento crítico está a favor da segurança; mais que isso, não são

tratadas de forma adequada condições de vínculo que consideram restrição ao

empenamento e/ou impedimento à rotação no plano ortogonal ao da flexão.

Os valores sugeridos pelas normas prAISC-LRFD:2003 e NBR8800:1986

estão, em geral, excessivamente a favor da segurança. A difícil identificação das

condições de vínculo num projeto justifica a utilização desses valores por sua

simplicidade. Por sua vez, as recomendações da norma prEN1999-1-1:2004 estão

adequadas para praticamente todos os casos estudados neste trabalho (incluindo-se as

vigas em balanço, cuja recomendação na norma americana prAISC-LRFD:2003 e

em diversas outras publicações costuma ser excessivamente a favor da segurança),

mas são muito complexas para uso rotineiro em projeto.

De uma forma geral, as expressões aproximadas comumente utilizadas para

os casos usuais de carregamento e de vinculação conduzem a resultados pouco

precisos. O mesmo ocorre para os valores obtidos pela formulação baseada na

definição de um comprimento efetivo único para cada caso.

Por outro lado, a formulação que utiliza dois comprimentos efetivos (ky e kω),

associados respectivamente às restrições ao empenamento e à rotação no plano

ortogonal ao da flexão, e três coeficientes (C1, C2 e C3) que levam em conta a forma

do diagrama de momento fletor, a posição de aplicação da carga e a monossimetria

da seção, mostra-se mais adequada para o estudo da flambagem lateral de vigas.

Nesta situação, a identificação do efeito de cada um dos parâmetros supracitados no

valor do momento crítico elástico é clara, o que não ocorre na formulação que utiliza

apenas um coeficiente (Cb) que corrige o valor do momento crítico básico.

Grande parte da literatura técnica desconsidera a influência do parâmetro µ

no cálculo do momento crítico, já que se dá maior ênfase aos resultados da condição

de vínculo tipo I (sem restrição ao empenamento e à rotação no plano ortogonal ao

da flexão, ou seja, ky = kω = 1,0), para a qual esta influência é desprezável. Mesmo

nesses casos, constata-se que a relação crcr MM 0/ obtida por meio da Teoria Não-

212

Linear Geometricamente Exata é superior àquela usualmente encontrada, em

particular para vigas biengastadas e em balanço.

Nas tabelas das Figuras 161 e 162 indica-se o menor valor obtido por meio

do programa PEFSYS para as condições de vínculo I a IV. Cabe ressaltar que podem

ser obtidos valores muito superiores aos tabelados caso seja considerada a influência

do parâmetro µ. Por exemplo, no caso de vigas em balanço com carga concentrada

na extremidade livre, o coeficiente Cb é superior ao valor 1,40 adotado, para o qual a

curva dos valores de Cb tende assintoticamente. Vale lembrar que, segundo

Salvadori (1955), a faixa de utilização de vigas de aço em projetos usuais de

estruturas é 404 ≤≤ µ e nesse caso, tem-se 68,1>bC .

ψ

ψ

Figura 161 - Tabela - Valores do Coeficiente Cb para Alguns Casos Usuais de

Carregamento e de Vinculação no Plano da Flexão

213

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ = 1,00

ψ = 0

ψ = 0,25

ψ = 0,50

ψ = 0,75

ψ = −0,50

ψ = −0,25

ψ = −0,75

ψ = −1,00

ψ

ψ

Figura 162 - Tabela - Valores do Coeficiente Cb para Vigas Biapoiadas sob


Quando se consideram as demais condições de vínculo (tipos II a IV),

verifica-se que as diferenças em relação ao caso usual de dimensionamento de vigas

de aço (sem restrição ao empenamento e à rotação no plano ortogonal ao da flexão)

são muito grandes. Em particular, para vigas biapoiadas, a influência do

impedimento à rotação em torno do eixo de menor inércia é mais significativa do que

a restrição ao empenamento, exceto para valores baixos de µ; para vigas

biengastadas, no entanto, a restrição ao empenamento mostra-se mais importante.

A relação crcr MM 0/ para os casos de vinculação tipo I e III (sem restrição

ao empenamento) é, em geral, pouco dependente do parâmetro µ. No entanto, para as

vinculações tipo II e IV (com restrição ao empenamento), esta relação passa a ser

fortemente dependente de µ, sendo decrescente com o aumento de µ .

Os resultados para vigas biapoiadas sob gradiente de momento fletor

apresentam este mesmo comportamento, indicando que, sobretudo para as condições

214

de vínculo tipo II e IV, a razão entre o momento crítico e o momento crítico básico

também depende do parâmetro µ.

Observe-se ainda que o efeito da força cortante reduz os valores do momento

crítico elástico, o que não é considerado nas publicações técnicas. Essa redução

mostra-se importante para valores de µ baixos, embora a carga crítica da viga nestas

condições não corresponda a valores aplicáveis em situações usuais de projeto.

Os resultados obtidos para todas as condições de vínculo indicam que os

valores aplicados aos casos usuais de carregamento e de vinculação podem ser

revistos, implicando um dimensionamento mais econômico, ainda a favor da

segurança.

O estudo paramétrico iniciado neste trabalho, apresentado no capítulo 4, deve

ter continuidade, em trabalhos futuros, para os seguintes casos:

vigas com continuidade, inclusive com tramos em balanço, por meio de uma nova

análise paramétrica que contemple, agora, a relação entre esses vãos. Os valores

obtidos pela Teoria Não-Linear Geometricamente Exata nesses casos podem ser

comparados aos resultados de vigas biapoiadas sob gradiente de momento fletor

(item 4.3), analisando-se cada vão isoladamente, que corresponde ao procedimento

utilizado em projeto para o dimensionamento de vigas com estas condições de

vínculo.

perfis monossimétricos, para os quais se faz necessária a consideração dos dois

sentidos de aplicação da carga.

avaliação da restrição parcial à rotação e ao empenamento por meio da

consideração da rigidez e da resistência dos vínculos, em particular para ligações em

pilares de seção transversal tipo I.

215

No capítulo 5 deste trabalho, dá-se uma indicação do potencial do método de

análise utilizado para os casos de carga aplicada fora do centro de torção e para a

presença de vínculos ao longo do vão.

Quanto à posição de carga, pode-se observar deste estudo inicial que os

valores da relação crcr MM 0/ crescem para valores decrescentes de µ no caso de

carga estabilizante, e decrescem para carga desestabilizante. De forma análoga ao

verificado nos casos em que a carga é aplicada no centro de torção de vigas em

balanço e de vigas biapoiadas com condição de vínculo tipo I nas extremidades, as

diferenças entre os resultados da literatura e aqueles obtidos por meio do programa

PEFSYS são pequenas.

Para o caso de vigas biapoiadas com travamento central e simetria de

vinculação, constata-se de forma surpreendente que o procedimento de se considerar

como comprimento efetivo apenas a distância entre pontos travados (metade do vão)

conduz a resultados pouco precisos, muito a favor da segurança. Observa-se ainda

que os travamentos são mais eficientes se estão no ponto de aplicação de carga e que,

em particular, vínculos à rotação apresentam resultados melhores do que vínculos ao

deslocamento lateral.

A prática comum de se travar deslocamentos na aba superior, considerando-se

que a carga também é aplicada nesse ponto, implica resultados semelhantes aos casos

de restrição à rotação e ao deslocamento no centro de torção da viga (vinculação tipo

VII).

O uso de enrijecedores de extremidade, mesmo com comprimento reduzido,

praticamente garante a restrição ao empenamento, e os resultados se aproximam dos

obtidos para a condição de vínculo tipo II.

Para trabalhos futuros, a análise realizada no capítulo 5 deve ser estendida

para os seguintes casos:

216

existência de carga e vínculos fora do centro de torção. Destaca-se que este último

caso não é encontrado na literatura técnica, mas verifica-se em situações de projeto,

por exemplo, no caso de movimentação de equipamentos em instalações industriais

ou quando existe um travamento na aba da viga.

avaliação da eficiência das contenções pela consideração de uma imperfeição

inicial na viga. Embora não seja um caso de estudo de flambagem, este é o

procedimento usual para a determinação da rigidez do travamento. Os requisitos de

rigidez e de resistência dos travamentos podem ser estudados a partir da análise da

mudança da configuração de equilíbrio da barra com imperfeição inicial, e

comparados com as especificações da norma prAISC-LRFD:2003.

estudo da distorção e sua relação com a posição do travamento e a presença de

enrijecedores, lamelas ou recortes na viga, com a utilização complementar da Teoria

de Cascas por meio de programas computacionais de elementos finitos.

217

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SOBRE O ESTUDO DA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS DE AÇO … · SOBRE O ESTUDO DA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS DE AÇO POR MEIO DA UTILIZAÇÃO DE UMA TEORIA NÃO-LINEAR GEOMETRICAMENTE