UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE … de... · Contudo, no caso de dutos enterrados a contenção do solo praticamente elimina a flambagem lateral e a maior preocupação passa

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL

ANTÔNIO EDUARDO BRANDÃO GRANGEIRO

UM ESTUDO DA FLAMBAGEM VERTICAL DE DUTOS ATRAVÉS DE MODELOS ANALÍTICOS E COMPUTACIONAIS

FORTALEZA 2009

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ANTÔNIO EDUARDO BRANDÃO GRANGEIRO

UM ESTUDO DA FLAMBAGEM VERTICAL DE DUTOS ATRAVÉS DE MODELOS ANALÍTICOS E COMPUTACIONAIS

Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Orientador: Prof. D. Sc. Evandro Parente Júnior

FORTALEZA 2009

G785e Grangeiro, Antônio Eduardo Brandão Um estudo da flambagem vertical de dutos através de modelos analíticos e computacionais / Antônio Eduardo Brandão Grangeiro, 2009.

83f. ; il. color. enc. Orientador: Dr. Evandro Parente Júnior Área de concentração: Estruturas

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia. Depto. de Engenharia Estrutural e Construção Civil, Fortaleza, 2009.

1. Dutos 2. Flambagem 3. Método dos elementos finitos 4. Análise não linear 5. Base Winkler I. Parente Júnior, Evandro (orient.) II. Universidade Federal do Ceará – Graduação em Engenharia Civil III. Título

CDD 620

iv

Aos meus pais,

José Édisten Barbosa Grangeiro e Maria de Fátima Rêgo Brandão

Por todo o amor e compreensão.

v

AGRADECIMENTOS

A DEUS, acima de tudo pela vida, e por guiar, proteger e iluminar todos os meus

passos. Que me dê força para continuar a caminhada em busca dos meus objetivos.

Aos meus pais, José Édisten Barbosa Grangeiro e Maria de Fátima Rêgo Brandão,

pelo amor que me dedicaram durante toda a minha vida.

Ao meu irmão mais velho, José Édisten Barbosa Grangeiro Júnior, que todos os dias

cresce a meus olhos, tornando-se um exemplo de caráter, honestidade e companheirismo.

A minha namorada e companheira de Engenharia Civil, Ana Gabriela Roman Reina,

por todo o sentimento que nasceu em meio às noites em claro.

Ao professor, Evandro Parente Júnior, pela dedicada orientação e amizade

desenvolvida ao longo dos últimos dois anos.

Ao professor e primo, Carlos Felipe Grangeiro Loureiro e Família, pelo acolhimento

em períodos nebraskianos.

A todos os colegas de turma, em especial Lídyci Thatielle, Victor Cunha, Érica Acioli

e Newton Montezuma, pelo apoio e amizade durante os anos do curso de graduação.

Aos meus amigos pelos momentos de descontração e superação.

Aos professores pelo apoio direto e indireto, que tanto contribuíram para a minha

formação pessoal e profissional.

A todos que de alguma forma desejaram minha obtenção do Grau de Engenheiro Civil.

vi

“Try not to become a man of success but rather to become a man of value.”

Albert Einstein

vii

RESUMO

Os dutos, pela segurança, conveniência e eficiência econômica que representam, consistem em uma das formas mais utilizadas para o transporte de grandes quantidades de fluídos através de longas distâncias. Contudo, os dutos estão sujeitos a danos causados por efeitos como corrosão, falhas e impactos mecânicos, erosão, deslizamento do solo e flambagem térmica. Diversos acidentes que causaram grandes prejuízos ambientais e sócio-econômicos foram provocados por esses tipos de danos em tubulações. Deste modo, despertou-se um grande interesse por parte de diversas empresas e instituições de pesquisas para o projeto e manutenção destas estruturas de modo a aumentar a segurança e a eficácia na utilização.

Quando submetidos a aumentos de temperatura e pressão interna os dutos tendem

a se dilatar. Tal expansão é impedida devido às restrições impostas pelo solo, gerando significativas forças de compressão no duto. Estas forças, quando atingem valores críticos, podem comprometer a integridade estrutural dos dutos devido à ocorrência da flambagem vertical (upheaval buckling) ou da flambagem lateral (lateral “snaking” buckling).

Este trabalho visa discutir modelos analíticos clássicos, já existentes na literatura,

para a análise da flambagem vertical de dutos. Pretende-se ainda, devido ao longo comprimento dos dutos, propor um modelo numérico baseado no Método dos Elementos Finitos (MEF), em que se considera o duto como uma viga sobre base uma elástica não-linear do tipo Winkler. Elementos de viga não-lineares são utilizados na análise numérica permitindo a consideração de grandes deslocamentos e rotações. Dutos perfeitos e imperfeitos são considerados na análise de forma a avaliar o efeito da imperfeição geométrica. Por fim, será desenvolvido um estudo paramétrico de forma a analisar a influência de diversos parâmetros, tais como diâmetro externo e espessura do duto, e desta forma propor soluções para a flambagem vertical. Palavras-chaves: Flambagem vertical, Dutos, Método dos elementos finitos.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Flambagem Vertical (MV NORDNES, 2009)..................................................... 1 Figura 1.2 – Flambagem Lateral (GANESAN, 2009). ............................................................ 2 Figura 1.3 – Flambagem Vertical e Lateral............................................................................. 2 Figura 1.4 – Amplitude de Flambagem e Ruptura do Duto (COSTA et al., 2003)................... 2 Figura 2.1 – Duto enterrado (KYRIAKIDES e CORONA, 2007). .......................................... 6 Figura 2.2 – Modelo de Base Rígida para Flambagem Vertical. ............................................. 7 Figura 2.3 – Analogia de viga para o modelo de flambagem................................................... 8 Figura 2.4 – Variação de força axial ao longo do duto. ......................................................... 12 Figura 2.5 – Gráfico da Força axial (N) x Comprimento de Flambagem (L) – Caso B. ......... 14 Figura 3.1 – Elemento de Pórtico Plano Corrotacional. ........................................................ 19 Figura 3.2 – Elemento de Fundação Isoparamétrico. ............................................................ 21 Figura 3.3 – Idealização representativa do solo com molas axiais e verticais. ....................... 22 Figura 3.4 – Curvas de reação-deslocamento do solo............................................................ 22 Figura 3.5 – Imperfeição Geométrica (prop imperfection). ................................................... 27 Figura 3.6 – Segmentos utilizados para discretização da malha. ........................................... 28 Figura 4.1 – Temperatura x Comprimento de Flambagem (Modelo Analítico – Caso B). ..... 30 Figura 4.2 – Diâmetro Externo x Comprimento de Flambagem. ........................................... 32 Figura 4.3 – Espessura x Temperatura Segura. ..................................................................... 33 Figura 4.4 – Espessura x Comprimento de Flambagem. ....................................................... 34 Figura 4.5 – Coeficiente de Atrito x Temperatura Crítica. .................................................... 35 Figura 4.6 – Coeficiente de Atrito x Comprimento de Flambagem. ...................................... 35 Figura 4.7 – Carga Transversal x Temperatura Crítica.......................................................... 36 Figura 4.8 – Carga Transversal x Comprimento de Flambagem............................................ 37 Figura 4.9 – Curvas de Reação-Deslocamento Axial (Base Elástica x Base Rígida). ............ 38 Figura 4.10 – Curvas de Reação-Deslocamento Vertical (Base Elástica x Base Rígida)........ 39 Figura 4.11 – Temperatura x deslocamento para dutos imperfeitos....................................... 40 Figura 4.12 – Configuração deformada após a flambagem vertical (base elástica). ............... 41 Figura 4.13 – Esforço Normal ao longo do Duto. ................................................................. 42 Figura 4.14 – Momento Fletor ao longo do Duto.................................................................. 42 Figura 4.15 – Tensões Normais ao longo do Duto. ............................................................... 43

ix

LISTA DE TABELAS Tabela 3.1 – Deslocamento relativo para máxima força axial. .............................................. 23 Tabela 4.1 – Propriedades do Duto....................................................................................... 29 Tabela 4.2 – Propriedades do Solo. ...................................................................................... 29 Tabela 4.3 – Efeito do Diâmetro Externo. ............................................................................ 31 Tabela 4.4 – Efeito da Espessura. ......................................................................................... 32 Tabela 4.5 – Efeito do Coeficiente de Atrito......................................................................... 34 Tabela 4.6 – Efeito da Carga Transversal ............................................................................. 36 Tabela 4.7 – Temperaturas Seguras de Operação.................................................................. 40

x

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 1 1.1 Motivação ................................................................................................................. 1 1.2 Objetivos................................................................................................................... 3 1.3 Metodologia .............................................................................................................. 4 1.4 Organização do texto................................................................................................ 5 2 MODELO ANALÍTICO.......................................................................................... 6 2.1 Introdução ................................................................................................................ 6 2.2 Modelo Matemático.................................................................................................. 7 2.3 Efeito de temperatura e pressão interna ............................................................... 15 2.3.1 Efeito da Temperatura .......................................................................................... 15 2.3.2 Efeito da Pressão Interna ...................................................................................... 16 3 MODELO NUMÉRICO ........................................................................................ 18 3.1 Introdução .............................................................................................................. 18 3.2 Modelagem do Duto ............................................................................................... 19 3.3 Base Elástica Não-Linear ....................................................................................... 20 3.4 Solução das Equações de Equilíbrio ...................................................................... 25 3.5 Malha e Condições de Contorno ............................................................................ 26 4 EXEMPLO NUMÉRICO ...................................................................................... 29 4.1 Modelo Analítico .................................................................................................... 29 4.2 Estudo Paramétrico................................................................................................ 31 4.3 Modelo Numérico ................................................................................................... 37 4.4 Esforços e tensões ................................................................................................... 41 5 CONCLUSÃO ........................................................................................................ 44 REFERÊNCIAS................................................................................................................. 46 APÊNDICE A – LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO MATLAB ............................... 48 A.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 48 A.2. SCRIPT EM MATLAB.............................................................................................. 48 A.2.1. DETERMINAÇÃO DA TEMPERATURA SEGURA DE OPERAÇÃO ............. 48 A.2.2. DETERMINAÇÃO DAS CURVAS DE REAÇÃO DO SOLO ............................. 50 APÊNDICE B – PROGRAMA FEMOOP........................................................................ 52 B.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 52 B.2. ARQUIVO .DAT COM IMPERFEIÇÃO GEOMÉTRICA DE 0.01 M ................. 52

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Motivação

Os dutos possuem uma grande utilização na indústria petrolífera na qual

respondem por uma série de atividades de transporte de petróleo e gás. No desempenho destas

atividades, os dutos são sujeitos a ações externas que quando atingem valores críticos podem

levar o mesmo à ruína. Os acidentes resultam em graves perdas econômicas e ambientais para

a sociedade, por isso é cada vez maior a pressão para que engenheiros desenvolvam estruturas

mais seguras e eficazes segundo padrões e normas internacionais.

No caso específico de dutos, o dimensionamento e manutenção seguem rígidas

normas internacionais (DNV-OS-F101, 2000; ASCE, 2001), a fim de minimizar os danos

causados devido à:

• Corrosão;

• Falhas e impactos mecânicos;

• Erosão e deslizamentos de solo;

• Flambagem térmica.

Durante a vida útil, os dutos são submetidos a altas temperaturas e pressões

internas. Tais condições causam a expansão do duto que é combatida pela restrição imposta

pelo solo ao livre deslocamento axial do duto, gerando forças axiais de compressão. Caso

estas forças compressivas atinjam valores críticos, o duto poderá sofrer colapso devido à

flambagem, seja no plano vertical (Flambagem Vertical) como mostrado na Figura 1.1 ou no

plano horizontal (Flambagem Lateral) como indicado na Figura 1.2.

Figura 1.1 – Flambagem Vertical (MV NORDNES, 2009).

2

Figura 1.2 – Flambagem Lateral (GANESAN, 2009).

Uma representação esquemática destas duas formas de flambagem é mostrada na

Figura 1.3. É importante notar que o modo lateral mostrado é apenas uma das opções que

podem ocorrer na prática.

Figura 1.3 – Flambagem Vertical e Lateral.

Um exemplo dos riscos envolvidos ocorreu em Janeiro de 2000 na Baía de

Guanabara, quando um duto se rompeu devido à flambagem térmica (COSTA et al., 2003).

Neste acidente 1300 m3 de óleo foram derramados no ecossistema local devido à expansão do

duto que causou o descobrimento do mesmo pela camada de solo, diminuindo a contenção e

causando o “serpenteamento” (flambagem lateral) do duto e conseqüente corrosão da parte

descoberta. Tais efeitos combinados levaram por fim ao colapso e ruptura da estrutura.

Ilustrações do acidente podem ser observadas na Figura 1.4.

Figura 1.4 – Amplitude de Flambagem e Ruptura do Duto (COSTA et al., 2003).

3

É importante notar que o fenômeno da perda de estabilidade de um duto

submetido à variação de temperatura e pressão interna pode ocorrer tanto no plano horizontal

quanto no vertical. Verifica-se que a ocorrência de uma ou outra depende basicamente da

contenção fornecida pelo solo e do peso efetivo do duto (HOBBS, 1984). No caso de dutos

superficiais a flambagem lateral ocorre primeiro que a vertical devido ao efeito do peso do

duto. Contudo, no caso de dutos enterrados a contenção do solo praticamente elimina a

flambagem lateral e a maior preocupação passa a ser a flambagem vertical. Como os dutos

normalmente são enterrados para proteção contra impactos, a flambagem vertical

normalmente é a maior preocupação no projeto de dutos.

1.2 Objetivos

A flambagem vertical de dutos ocorre devido à ação da temperatura e da pressão

interna, que combinados em situações críticas podem levar o duto à ruptura. Portanto, o

principal objetivo deste trabalho é determinar a temperatura segura de operação que

corresponde à temperatura em que o duto poderá operar sem que se manifeste a flambagem

vertical. Como objetivos específicos destacam-se a análise de parâmetros do duto que podem

influenciar a ocorrência da flambagem. Estes parâmetros referem-se a características

geométricas do duto, tais como diâmetro externo e espessura, e interações com ações

externas, tais como o atrito com o solo e a carga transversal do solo no duto.

O fenômeno da flambagem de estruturas unidimensionais é um tema bastante

estudado na literatura, seja em estruturas de edifícios, especialmente pilares, ou em dutos. No

entanto a flambagem de dutos, apesar de guardar algumas similaridades com a flambagem de

pilares, trata-se de um fenômeno bem mais complexo, pois em pilares o comprimento efetivo

de flambagem é um dado inicial do problema, uma vez que o tipo e as posições dos apoios são

conhecidos previamente, enquanto que em dutos esta é uma variável desconhecida, que

somente é determinada no final da resolução do problema (BENJAMIN e ANDRADE, 2001).

Isto ocorre já que ambos os deslocamentos axiais e transversais do duto são restringidos pelo

solo, impedindo assim a flambagem global da estrutura e transformando a flambagem de

dutos num fenômeno localizado em um pequeno trecho do duto.

4

1.3 Metodologia

A fim de atingir os objetivos acima destacados serão desenvolvidos modelos

analíticos e numéricos de forma a estudar a flambagem de dutos do modo mais realista

possível. Os métodos analíticos apresentados neste trabalho partem da similaridade destacada

em diversos trabalhos (HOBBS, 1984; JU e KYRIAKIDES, 1988; TAYLOR e TRAN, 1992)

entre a flambagem de dutos e a flambagem de trilhos ferroviários cujo estudo iniciou-se bem

anteriormente (MARTINET, 1936; KERR, 1978; KERR, 1979).

O modelo analítico empregado neste trabalho se baseia no modelo desenvolvido

por Hobbs (1984) em que a partir da equação diferencial clássica de viga-coluna (CHAJES,

1974) e aplicando as condições de contorno apropriadas, obtêm-se equações que relacionam a

temperatura crítica ao comprimento de flambagem.

Este procedimento analítico possui diversas simplificações inerentes ao modelo,

mas permite uma rápida avaliação do grau de influência de diversos parâmetros, algo bastante

útil durante as etapas de verificação e projeto (BELMONT, 2006). O programa MATLAB

(MATHWORKS, 1992) foi utilizado para a implementação da formulação analítica,

permitindo a determinação de forma rápida da temperatura segura e do comprimento de

flambagem a partir dos parâmetros do duto e do solo.

Como destacado anteriormente devido às simplificações inerentes ao modelo

analítico, o mesmo pode apresentar resultados pouco realistas para a temperatura crítica.

Logo, o principal objetivo do modelo numérico apresentado neste trabalho é permitir uma

representação mais realista do fenômeno da flambagem. Desenvolvido a partir do Método dos

Elementos Finitos (MEF), este procedimento baseia-se na análise não-linear de um duto

inicialmente imperfeito devido à presença de um obstáculo (prop imperfection) qualquer,

representando uma pedra ou a passagem sobre outro duto transversal. De acordo com

Horowitz e Parente (2003), os elementos de viga representam uma excelente aproximação na

análise de dutos, uma vez que os esforços e deslocamentos encontrados tratando o duto como

uma viga enterrada e o mesmo como uma casca recoberta por elementos sólidos de

representação do solo apresentaram valores bastante próximos. O método do comprimento de

arco (CRISFIELD, 1991) foi utilizado a fim de traçar a curva temperatura versus

deslocamentos permitindo a determinação da temperatura de operação segura.

Visto que a análise não-linear possui alto custo computacional, o modelo analítico

será utilizado de forma a auxiliar à construção da malha de elementos finitos, melhorando a

qualidade dos resultados e diminuindo o custo computacional. Finalmente, o programa

5

FEMOOP (MARTHA e PARENTE, 2002) foi utilizado para a análise não-linear do modelo

de elementos finitos.

1.4 Organização do texto

Este trabalho está basicamente dividido em cinco capítulos em que será

contemplada primeiramente a introdução, visando fornecer uma fundamentação teórica inicial

sobre o tema. No capítulo 2 será desenvolvido o modelo analítico para análise da flambagem

vertical de dutos. Neste capítulo também é tratado o efeito da pressão interna.

No capítulo 3 discute-se a proposição do modelo numérico baseado no Método

dos Elementos Finitos. Considerações a respeito da interação solo-estrutura, assim como os

tipos de elementos a serem utilizados na análise serão apresentados. Por fim, no capítulo 4

será proposto um exemplo, a ser analisado pelos procedimentos analíticos e numéricos, a fim

de avaliar a consistência dos resultados obtidos e compará-los.

O capítulo 5 contém as conclusões obtidas neste trabalho e sugestões de trabalhos

futuros sobre o tema. Em anexo serão apresentados os scripts em MATLAB utilizados no

desenvolvimento do modelo analítico e o arquivo de entrada utilizado no programa FEMOOP

para análise do modelo numérico.

6

2 MODELO ANALÍTICO

2.1 Introdução

Este capítulo apresenta um modelo analítico simplificado para o estudo da

flambagem vertical de dutos aquecidos na qual a tubulação está assentada sobre uma base

rígida. Inicialmente desenvolvida para o estudo da flambagem de trilhos de trem, a teoria

adaptada por Hobbs (1984) para dutos permite a definição, através de expressões simples, da

temperatura segura de operação.

Neste procedimento analítico, o duto é modelado como uma viga longa sobre uma

base rígida em que a interação solo-estrutura é representada pela ação do atrito na direção

axial e pelo peso da cobertura do solo no sentido vertical. Este modelo possui diversas

simplificações, mas permite uma rápida estimativa do comprimento de flambagem e sua

respectiva temperatura a partir de um número reduzido de parâmetros de projeto, tais como a

espessura e o diâmetro do duto, o coeficiente de atrito e o peso efetivo do sistema duto-solo.

Tal análise visa representar o modelo físico ilustrado pela Figura 2.1.

Figura 2.1 – Duto enterrado (KYRIAKIDES e CORONA, 2007).

7

2.2 Modelo Matemático

Considera-se o duto como uma viga inicialmente reta submetida a uma carga

vertical uniformemente distribuída (peso próprio + cobertura do solo – empuxo) e a forças

axiais de compressão devido à restrição do solo a expansão térmica do duto. Após a

flambagem, o duto assume a configuração mostrada na Figura 2.2, onde W é o peso efetivo do

duto, F é a força de atrito máxima por unidade de comprimento, S é o comprimento do duto

pós-flambagem, µ é o coeficiente de atrito na direção axial, Ls é o comprimento do trecho

onde ocorre atrito, H é a amplitude de flambagem e L é o comprimento de flambagem,

definido como a distância entre os dois pontos em que o duto toca o solo (touchdown points

ou TDP’s). Verifica-se que o modo de flambagem é simétrico em relação à origem.

Figura 2.2 – Modelo de Base Rígida para Flambagem Vertical.

É importante notar que o peso efetivo do duto inclui não só o peso da seção

estrutural, do fluido interno, das camadas de proteção e isolamento térmico, mas também a

resistência do solo ao levantamento do duto. No caso de dutos offshore o peso efetivo é

reduzido devido ao empuxo da água.

A equação diferencial que rege o comportamento do modelo acima é obtida aqui

através da utilização da teoria clássica de flexão de vigas-colunas (CHAJES, 1974) com a

consideração da atuação simultânea de uma carga distribuída e força axial compressiva.

Assim, na Figura 2.3a visualizamos uma viga sob ação de uma carga transversal uniforme W

correspondente ao peso efetivo do duto. Considerando a hipótese de pequenos deslocamentos

a relação entre o momento fletor (M) e a curvatura (κ) da viga é dada por

EI

M

dx

yd==

2

2

κ (2.1)

8

onde E é o módulo de elasticidade do material e I é o momento de inércia da seção transversal

do duto. Derivando esta equação e lembrando que dM/dx = Q e dQ/dx = –W, onde Q é a força

cortante, tem-se:

dx

dQ

EIdx

yd

dx

dM

EIdx

yd 114

4

3

3

=⇒= (2.2)

Logo, tem-se a equação diferencial da linha elástica de uma viga submetida à

carga transversal:

04

4

=+Wdx

ydEI (2.3)

Figura 2.3 – Analogia de viga para o modelo de flambagem.

Para a Figura 2.3b, desenvolveremos da mesma forma, agora atentando para as

forças compressivas P em ambos os lados da viga que representa a força de compressão axial

9

na região flambada, a ser discutida posteriormente. Utilizando mais uma vez a relação

momento curvatura tem-se:

EI

Py

dx

yd

EI

M

dx

yd−=⇒==

2

2

2

2

κ (2.4)

Derivando esta equação duas vezes e rearranjando os termos chega-se a equação da linha

elástica para uma viga com carga axial:

02

2

4

4

=+dx

ydP

dx

ydEI (2.5)

Finalmente a superposição das Equações (2.3) e (2.5) leva a equação governante para a região

flambada do duto:

02

2

4

4

=++ Wxd

ydP

xd

ydEI (2.6)

Verifica-se que esta é a equação clássica da viga-coluna (CHAJES, 1974) onde P representa a

força de compressão (desconhecida) na região de flambagem.

Seguindo ainda o modelo exposto na Figura 2.2, têm-se as seguintes condições de

contorno:

Hy =)0( (2.7)

02

=

±

Ly (2.8)

02

' =

±

Ly (2.9)

Como o momento fletor é nulo no trecho reto do duto, considera-se que o momento fletor é

nulo nos TDP’s, logo:

02

'' =

±

Ly (2.10)

A fim de obter a solução da equação diferencial de quarta ordem que rege a

flambagem em viga-coluna é interessante reescrever a equação como:

10

0

2

22

4

4

=++EI

W

dx

yd

dx

ydλ (2.11)

Onde:

EI

P=λ (2.12)

A solução da equação da viga-coluna após o uso das condições de contorno

apresentadas em (2.7) (2.8) e (2.10), nos fornecerá a equação:

( )

++−−= xsenBxALx

EI

Wy λλ

λ

λcos4

81 22

2

4 (2.13)

onde A e B são coeficientes a determinar. Utilizando a condição de contorno (2.8):

−=⇒=

±

2cos

10

2 LA

Ly

λ

(2.14)

Finalmente considerando a condição de contorno (2.10):

00

2'' =⇒=

± B

Ly (2.15)

Assim, obtemos a equação que representa a geometria da região flambada do duto:

−−+=

)2/cos(

)cos(

281

2222

2L

xxL

P

WEIy

λ

λλλ (2.16)

É importante notar que a Equação (2.16) apresenta duas variáveis desconhecidas,

λ e L. Considerando a condição de contorno (2.9), que indica que a rotação é nula nos TDP’s,

chega-se a:

22tan

LL λλ=

(2.17)

Esta equação apresentará múltiplas soluções (λL = 8,9868; 15,4504; ...). No entanto, apenas a

menor solução é de interesse, pois esta corresponde ao valor crítico da força axial P:

11

276,809868,8

L

EIPL =⇒=λ (2.18)

Caso o comprimento de flambagem L fosse conhecido o problema estaria

solucionado. Este é o caso de flambagem de colunas onde a posição e os tipos de apoios são

conhecidos previamente, o que torna trivial a determinação do comprimento (efetivo) de

flambagem. Contudo, na direção axial e vertical, o movimento do duto é impedido devido ao

contato com o solo, o que impede a flambagem global do duto. Como conseqüência a

flambagem em dutos longos é um fenômeno localizado, envolvendo apenas um pequeno

trecho do comprimento total. Desta forma o comprimento da flambagem é uma variável do

problema, cuja determinação requer a utilização de equações adicionais de equilíbrio e

compatibilidade.

Para uma melhor compreensão do fenômeno da flambagem é importante realizar

uma comparação entre a força axial P na região da flambagem com a carga axial N fora desta

região. Esta variação na força axial é decorrente do atrito entre o duto e o solo no trecho em

que ocorre o deslizamento do duto para alimentar a formação do modo de flambagem.

Assumindo um coeficiente de atrito µ constante entre a base e o duto, a força de atrito

máxima (F) que atuará por unidade de comprimento da tubulação é dada por

WF µ= (2.19)

No modelo apresentado na Figura 2.2, este deslizamento relativo ocorre na região

adjacente ao modo de flambagem em uma região de comprimento Ls de cada lado do modo

de flambagem. Considerando ainda a força de atrito localizada devido à reação WL/2 em cada

TDP, pode-se escrever a seguinte equação de equilíbrio axial para o duto:

22

FLFLNP

WLWLNP ss −−=⇒−−=

µµ (2.20)

A partir desta equação pode-se determinar o comprimento (Ls) da região de deslizamento:

2

L

F

PNLs −

−= (2.21)

A Figura 2.4 ilustra diferentes maneiras de considerar o efeito do atrito entre o

duto e o solo sobre o valor da força axial. O Caso A corresponde a uma tubulação na qual não

12

existe deslizamento longitudinal na região de contato do duto com a base, o que acarreta uma

mudança brusca entre N e P nos touchdown points. No entanto esta consideração não é

realista para tubulações longas já que para que houvesse tal mudança brusca seria necessária a

colocação de dispositivos especiais de fixação (aparelhos de apoio) entre o duto e o solo.

No Caso B, a força de atrito é considerada atuando na região de deslizamento

entre o duto e a base. Neste caso, quando há a formação da configuração de flambagem, a

força axial irá atuar no duto em ambos os lados da região flambada e será representada por

uma linha reta cuja inclinação varia de acordo como o coeficiente de atrito e que se cruzará no

centro com uma força axial de intensidade P.

Finalmente, o Caso C corresponde a desprezar o efeito da força de atrito

concentrada nos TDP’s. Esta é uma hipótese utilizada normalmente quando a resistência do

solo na direção axial não apresenta dependência significativa do peso do duto sendo

considerada constante ao longo do comprimento deste.

Figura 2.4 – Variação de força axial ao longo do duto.

Utilizando a hipótese de pequenas elevações do duto é possível determinar o

alongamento do duto devido à variação de temperatura. Esta variação corresponde à diferença

entre o comprimento curvo do duto (S) pós-flambagem e a distância entre os pontos que a

tubulação se eleva (L):

13

( )∫− ==−

2/

2/ 5.3

5.122 60,75)'(

2

1L

L P

EIWdxyLS (2.22)

Esta diferença acima discutida é referida na literatura como encurtamento

geométrico (MALTBY e CALLADINE, 1995). Em termos de deformações, esta diferença é

gerada a partir da expansão do duto (δ) devido à variação das forças axiais antes (N) e depois

(P) da flambagem:

∫ ∫+

−−

+

−−

−==LsL

LsL

LsL

LsL

dxPNEA

dx

2/

2/

2/

2/

)(1

εδ (2.23)

Claramente a integral acima representa a área das regiões hachuradas para cada caso da

Figura 2.4. Assim, no Caso B tem-se que

+−=

4)(

1 222 LF

PNFEA

δ (2.24)

Finalmente, utilizando-se a condição de compatibilidade (δ = S – L), além das

Equações (2.17), (2.20) e (2.21), a força axial poderá ser expressa:

4

)(

)(1097,1576,80

2

2

726

2

FL

EI

FEALW

L

EIN −×+= − (2.25)

A Equação (2.25) demonstra claramente que a força axial N necessária para

manter o duto na configuração flambada depende do comprimento L. Através da Figura 2.5,

pode-se demonstrar a relação entre a força axial atuante no duto e o comprimento de

flambagem, onde o valor mínimo da função determina a força axial crítica (NCR) referente à

menor força necessária para que se mantenha o duto na configuração flambada. Portanto, se a

força compressiva gerada pela variação de temperatura e pressão interna for inferior a esta

força o duto está seguro em relação à flambagem vertical.

A determinação do comprimento de flambagem pode ser realizada através da

minimização da Equação (2.25), isto é, da solução da equação dN/dL = 0. Infelizmente, a

expressão obtida pela derivação da Equação (2.25) é bastante complexa e de difícil solução.

Portanto utilizam-se gráficos como da Figura 2.5, em que se realiza uma varredura de valores

14

para o comprimento de flambagem. Ao final, o valor mínimo da função será determinado

pelos valores de Ncr e o comprimento de flambagem associado.

Figura 2.5 – Gráfico da Força axial (N) x Comprimento de Flambagem (L) – Caso B.

Na maioria dos casos L << Ls, o que permite obter uma expressão simplificada,

correspondente ao Caso C da Figura 2.4. Eliminando o último termo dentro da raiz quadrada

da Equação (2.25) chega-se a:

FEAEI

WL

L

EIN 6

5,3

21097,1576,80 −×+= (2.26)

Segundo Maltby e Calladine (1995), a equação acima fornece uma boa aproximação sempre

que a seguinte condição for satisfeita:

N/FL >> 1 (2.27)

Para baixos coeficientes de atrito as curvas correspondentes aos Casos B e C

apresentam boa concordância. Por outro lado, o comprimento de flambagem para o Caso C

pode ser facilmente determinado a partir da minimização da Equação (2.26), o que leva à

expressão:

15

11

2

47 )(

1031,13FEAW

EIL ×= (2.28)

Destaca-se ainda que na presença de um coeficiente de atrito infinito, o duto não

desliza ao longo da base (Ls = 0) e a variação da força vertical corresponde ao Caso A da

Figura 2.4, cuja área hachurada corresponde à expansão axial:

EA

LPN )( −=δ (2.29)

Como conseqüência, obteremos o seguinte valor para a força axial crítica N:

2

626

2 )(1097,1576,80

EI

LEAW

L

EIN

−×+= (2.30)

Utilizando a condição dN/dL = 0 obtém-se o comprimento de flambagem do Caso A:

8

2

3)(825,16

EAW

EIL = (2.31)

É importante notar que o comprimento de flambagem do Caso B é maior do que o do Caso A

e menor que do Caso C, o que limita a região de busca deste valor.

2.3 Efeito de temperatura e pressão interna

É importante notar que as forças axiais atuantes no duto têm duas fontes

principais, a primeira corresponde à dilatação térmica e a segunda ao efeito da pressão

interna. A consideração destes efeitos será discutida a seguir.

2.3.1 Efeito da Temperatura

A fim de avaliar as forças axiais devido à variação de temperatura, destacamos

que em um duto reto com área de seção transversal A, módulo de elasticidade E, coeficiente

de dilatação α que sofre um aumento de temperatura ∆T e que é impedido de se deslocar nas

extremidades causará uma força de compressão igual a:

16

TEAN ∆= α (2.32)

Desta forma, uma vez conhecida a força N, a temperatura segura (∆Tsafe) pode ser

determinada a partir da expressão:

αEA

NTsafe

min=∆ (2.33)

A expressão da temperatura segura é utilizada porque para temperaturas inferiores

a este valor a força compressiva gerada no duto é insuficiente para levá-lo à instabilidade.

Assim, o duto pode ser operado de maneira segura com relação à flambagem térmica.

2.3.2 Efeito da Pressão Interna

A deformação axial (ε) devido à diferença positiva (p) entre as pressões internas e

externas pode ser definida através das expressões de tensão axial (σa) e circunferencial (σθ)

para um tubo de parede fina (FYRILEIV e COLLBERG, 2005):

( )

−=−=

t

pr

t

pr

EEaa ννσσε θ 2

11 (2.34)

onde v é modulo de Poisson, r é o raio médio e t é a espessura da parede da tubulação.

Quando esta deformação é impedida pelo solo é gerada no duto uma força compressiva (NP)

dada por:

)5,0( νε −==

t

AprEAN aP (2.35)

Finalmente, utilizando-se as Equações (2.32) e (2.35), podemos determinar um

aumento equivalente de temperatura devido à pressão interna (∆TP) pela seguinte expressão:

( ) ( )να

να

214

5,0 −=−=∆tE

pD

tE

prTP (2.36)

17

onde D é o diâmetro médio do duto. Visto que o resultado obtido pela fórmula acima é

positivo, o efeito da pressão interna é equivalente a um aumento da temperatura do duto,

causando uma redução da temperatura segura efetiva ( eff

safeT∆ ) do sistema duto-solo:

Psafe

eff

safe TTT ∆−∆=∆ (2.37)

Alternativamente, o efeito da pressão interna pode ser incorporado como um

aumento da temperatura efetiva do duto (HOBBS, 1984):

( )ν

α21

4−+∆=∆

tE

pDTT

eff (2.38)

onde ∆T é o aumento real da temperatura do duto. Neste procedimento a segurança do duto é

realizada comparando o aumento de temperatura efetiva com a temperatura segura em relação

à flambagem vertical.

18

3 MODELO NUMÉRICO

3.1 Introdução

Na abordagem analítica discutida no item anterior, o duto foi modelado como uma

viga longa sobre uma base rígida em que o efeito do solo é representado como um peso

adicional na direção vertical e como uma força de atrito na direção axial. Esta modelagem

produz um método simplificado eficiente para o estudo da flambagem vertical.

No entanto, o modelo analítico não é adequado na determinação de deslocamentos

e tensões em dutos reais, que apresentam imperfeições geométricas seja devido à topografia

local ou a presença de obstáculos em seu alinhamento, como pedras ou outros dutos. Outro

aspecto a ser considerado é que a interação solo-duto é bastante mais complexa que a

considerada no modelo analítico. Visto que esta interação influencia o comportamento não-

linear do duto, é necessário o uso de ferramentas adequadas de modo a incorporar o solo no

modelo numérico para obter resultados significativos.

Além disso, visando conhecer o real comportamento estrutural de dutos torna-se

importante incorporar a não-linearidade geométrica devido aos grandes deslocamentos e

rotações que o duto pode sofrer durante o processo de flambagem. Para incluir os efeitos não-

lineares é necessário o uso de métodos numéricos apropriados. Neste trabalho será utilizado o

Método dos Elementos Finitos.

Uma abordagem natural seria modelar o comportamento estrutural de dutos

enterrados com o uso de elementos de casca representando o duto e elementos sólidos

representando o solo. Esta modelagem permite uma consideração apurada do comportamento

do solo através de modelos constitutivos elastoplásticos e da não-linearidade (física e

geométrica) do duto incluindo a possibilidade de flambagem global (viga) e local (casca),

assim como a consideração do atrito devido ao contato entre o duto e o solo. Infelizmente, a

criação deste modelo de elementos finitos, incluindo a geração da malha, é bastante trabalhosa

e a análise não-linear do modelo resultante requer um esforço computacional muito elevado.

Portanto, neste trabalho o duto é modelado como uma viga não-linear sobre uma

base elástica do tipo Winkler não-linear. Este modelo permite uma representação realista do

comportamento global do sistema duto-solo, incluindo a flambagem vertical. O uso deste

modelo se justifica porque a flambagem local (casca) e a ruptura da parede do duto, mostradas

na Figura 1.4, são normalmente desencadeadas pela flambagem (global) do duto como viga.

19

Portanto, evitar a flambagem global é um requisito primário a ser atendido na análise e

dimensionamento de dutos.

3.2 Modelagem do Duto

A formulação corrotacional (CRISFIELD, 1991) é utilizada de forma a considerar

de modo preciso os efeitos de grandes deslocamentos e rotações do duto durante a

flambagem. Os elementos utilizados nesta formulação baseiam-se na teoria de vigas de Euler-

Bernoulli em que as deformações de cisalhamento são desprezadas devido à pequena razão

entre o diâmetro e o comprimento do duto. A Figura 3.1 apresenta o elemento com seus nós e

graus de liberdade.

Figura 3.1 – Elemento de Pórtico Plano Corrotacional.

Considerando uma variação de temperatura uniforme na seção transversal do duto,

a relação entre as forças atuando na seção do duto e as deformações geradas podem ser

escritas da seguinte forma:

κ

αε

EIM

TEAN

=

∆−= )( (3.1)

em que N é a força normal, M é o momento fletor, ε é a deformação normal (membrana) e κ é

a curvatura. Esta equação pode ser escrita na forma matricial:

)(00

0th

T

EI

EA

M

NεεCσ −=⇒

∆−

=

α

κ

ε (3.2)

onde σ representa o vetor de tensão, ε representa o vetor de deformação, C representa a matriz

constitutiva e εth representa as deformações térmicas. Utilizando o Princípio dos Trabalhos

Virtuais, o vetor de força interna do elemento finito é dado por:

20

∫∫ =⇒==

V

t

V

ttdVdVW σBgσεgu δδδ int (3.3)

Uma vez que a relação entre os deslocamentos virtuais dos nós dos elementos (δu) e as

deformações virtuais no interior do elemento (δεεεε) pode ser escrita como:

uBε δδ = (3.4)

A matriz de rigidez tangente, utilizada pelos algoritmos para determinação do

caminho não-linear de equilíbrio é obtida a partir da diferenciação do vetor de forças internas:

ug

K∂

∂=t (3.5)

A forma real da matriz B assim como a matriz de rigidez tangente (Kt) do

elemento de viga corrotacional baseado na teoria de Euler-Bernoulli é apresentada por

Crisfield (1991). É importante notar que a única modificação necessária para a consideração

da variação de temperatura é a indicada pela Equação (3.2).

3.3 Base Elástica Não-Linear

O modelo de base elástica não-linear do tipo Winkler é utilizado para representar

a interação solo-duto. Este modelo simplificado, porém bastante representativo, visa tão

somente representar as reações do solo aos movimentos do duto e não avaliar as tensões no

solo. Diferentes relações de Força x Deslocamento podem ser utilizadas nas direções axial (Ra

x u) e vertical (Rv x v), em que u e v representam os deslocamentos horizontais e verticais,

respectivamente.

As reações e os deslocamentos correspondem às tensões e deformações no modelo

de Winkler:

=

=

v

u

R

R

v

aεσ e (3.6)

Utilizando uma formulação isoparamétrica, os deslocamentos dentro do elemento podem ser

interpolados a partir dos deslocamentos nodais (u).

21

uN=

⇒

=

=

∑

∑

=

=

v

u

vNv

uNu

n

i

ii

n

i

ii

1

1 (3.7)

Em que Ni é uma função de forma unidimensional apropriada, n é o número de nós e N é a

matriz de interpolação. De modo a utilizar os mesmos nós utilizados na discretização do duto,

elementos de fundação de dois nós foram utilizados neste trabalho. A Figura 3.2 apresenta o

elemento com seus respectivos nós e graus de liberdade.

Figura 3.2 – Elemento de Fundação Isoparamétrico.

O vetor de força interna do elemento pode ser computado através da Equação

(3.3), com tensões e deformações definidas pela Equação (3.6). Visto que no modelo de

Winkler, as deformações são na verdade deslocamentos dentro do elemento, a Equação (3.7)

implica que NB = . Portanto a matriz de tensão-deslocamento do elemento de fundação é

igual a matriz de interpolação dos deslocamentos (N). Finalmente, a matriz de rigidez

tangente (Kt) é obtida pela diferenciação do vetor de força interna.

=

∂

∂=⇒== ∫

vv

ua

tV

t

t

tR

RdV

,

,, 0

0

ε

σCBCBgK u (3.8)

Neste estudo, as curvas de reação-deslocamento do solo são definidas como uma

seqüência de segmentos lineares (forma tabular). As derivadas utilizadas na Equação (3.8) são

facilmente calculadas uma vez que elas representam as declividades dos segmentos lineares.

Esta forma apesar de simples é bastante realista, uma vez que permite a consideração de

relações complexas desde que um número adequado de pontos seja utilizado.

22

As curvas de reação-deslocamento não-lineares podem ser determinadas

utilizando modelos de estado plano de deformações ou modelos de elementos finitos sólidos

que considerem a plasticidade do solo e o atrito entre o duto e a cobertura de solo

(HOROWITZ e PARENTE, 2003). Contudo, para fins de projeto é mais prático a

determinação destas relações utilizando recomendações de normas específicas, como a ASCE

Guidelines for the Design of Buried Steel Pipes (2001), em que as curvas de reação-

deslocamento são definidas a partir de um pequeno número de parâmetros, como o tipo de

solo, seu peso específico e a profundidade de enterramento do solo.

Figura 3.3 – Idealização representativa do solo com molas axiais e verticais.

Segundo as recomendações da ASCE (2001), a resposta do solo ao movimento do

duto pode ser representada por molas não-lineares nas direções axial e vertical, como

mostrado na Figura 3.3. As curvas de reação-deslocamento do solo são assumidas como

elastoplásticas perfeitas em que a máxima reação do solo e seu deslocamento relativo

associado são representados na Figura 3.4 no sentido axial (item a) e no sentido vertical (item

b).

Figura 3.4 – Curvas de reação-deslocamento do solo.

23

A relação de reação-deslocamento do solo para a mola no sentido axial é

representada por curvas bilineares simétricas em relação a origem, como retratado na Figura

3.4, com a máxima reação axial do solo por unidade de comprimento do duto determinada

por:

δγπαπ tan2

1 0KHDcDTu

++= (3.9)

onde D é o diâmetro externo do duto (incluindo o isolamento térmico e outras camadas), c é a

coesão do solo (correspondendo em solos argilosos à resistência ao cisalhamento não-drenada

Su), H é a profundidade de enterramento do duto, γ é peso específico efetivo do solo, K0 é o

coeficiente de empuxo no repouso, α é o fator de adesão, δ é o ângulo de atrito da interface do

solo com o duto, que é função do ângulo de atrito interno do solo (φ ) multiplicado pelo fator

de revestimento f.

As recomendações da ASCE (2001) apresentam também gráficos para a

determinação do fator de adesão (α), assim como uma tabela com alguns valores típicos de

fatores de revestimento (f). O deslocamento relativo (∆t) associado à máxima força axial de

reação do solo (Tu) é também fornecido para diferentes tipos de solo, como pode ser visto na

Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Deslocamento relativo para máxima força axial.

Deslocamento Relativo (∆t) Tipo de Solo 2,54 mm (0,1 pol) Areia Densa 5,08 mm (0,2 pol) Areia Solta 7,62 mm (0,3 pol) Argila Firme

10,16 mm (0,4 pol) Argila Mole

As curvas de reação-deslocamento do solo para as molas verticais são mais

complexas como mostra a Figura 3.4b. Isto ocorre uma vez que a resposta vertical do solo é

mais sensível à profundidade de enterramento do solo, além das reações aos movimentos para

cima e para baixo serem diferentes. Considerando que o modelo foi desenvolvido baseado em

ensaios de laboratório em escala e suposições teóricas, a aplicação destas equações é limitada

para profundidades relativamente rasas.

No caso do movimento para cima do duto, a máxima força de reação do solo por

unidade de comprimento do solo (Qu) será:

24

DHNDcNQu qvcv γ+= (3.10)

em que o fator de movimentação para cima (Ncv) para argila será igual a zero quando a coesão

do solo (c) for nula, enquanto que o fator de movimentação para cima (Nqv) na areia será igual

a zero quando o ângulo de atrito (φ ) for nulo. Logo, os fatores de movimentação para cima

são assim definidos:

102 ≤

=

D

HNcv

, aplicável para 10≤

D

H

Qqv ND

HN ≤

=

44

φ

(3.11)

com NQ definido em ASCE (2001).

O máximo deslocamento associado à movimentação para cima (∆qu) do duto

possui diferentes equações de acordo com o tipo de solo. No caso de areias, pode variar entre

0,01H para areia densas até 0,02H para areias soltas, sempre utilizando valores menores ou

iguais a 0,1D. Para solos argilosos, ∆qu será igual a 0,1H para argilas firmes até 0,2H para

argilas moles, porém com valor máximo limitado a 0,2D.

Finalmente, a máxima força de reação do solo ao movimento para baixo (Qd) por

unidade de comprimento do duto é dado por:

2

2DNDHNDcNQ QCd γγ γ++= (3.12)

em que Nc, NQ e Nγ representam os fatores de capacidade de enterramento cujas curvas são

apresentadas nas recomendações da ASCE (2001), e γ é o peso efetivo total do solo.

Para a definição do deslocamento relativo associado (∆qd) a movimentação para

baixo utiliza-se 0,1D para solos granulares e 0,2D para solos coesivos. Desta forma finaliza-se

todas as variáveis necessárias à correta definição das curvas de reação-deslocamento do solo

na representação do comportamento do solo nas direções axial e vertical de acordo com as

recomendações da ASCE (2001) para a determinação das curvas representadas na Figura 3.4.

25

3.4 Solução das Equações de Equilíbrio

Dutos perfeitos (retos) apresentam um caminho de equilíbrio complexo com uma

bifurcação e um ponto limite. Esta bifurcação corresponde à flambagem global do duto como

uma viga em base elástica e tem pouca relação com a flambagem real de dutos que é um

fenômeno localizado. Sabe-se da teoria da estabilidade que a consideração de imperfeições

geométricas tende a eliminar os pontos de bifurcação criando um novo caminho de equilíbrio.

O caminho de equilíbrio de dutos imperfeitos é caracterizado pela ocorrência de snap-through

após o primeiro ponto (máximo) limite, o que impede a utilização do Algoritmo de Controle

de Carga (Newton-Rapshon). Visto que a temperatura segura para dutos corresponde ao ponto

limite mínimo na curva de temperatura-deslocamento, torna-se necessário o uso de métodos

mais robustos para o traçado do caminho não-linear de equilíbrio da estrutura, como o Método

do Comprimento de Arco (CRISFIELD, 1981; CRISFIELD, 1991).

A temperatura atual T e o incremento de temperatura ∆T podem ser definidos a

partir de:

)()( 01010 TTTTTTT −=∆⇒−+= λλ (3.13)

onde T0 representa a temperatura inicial, T1 representa a máxima temperatura esperada e λ é o

fator de carga que controla o aumento de temperatura durante o processo de análise. Segundo

Parente et al. (2006), o caminho de equilíbrio não-linear de estruturas sujeitas a cargas termo-

mecânicas pode ser traçado a partir da solução do seguinte sistema de equações não-lineares:

=

=+−=

0),(

)(),(),(

λ

λλλ

u

0ffugur

a

c (3.14)

em que r é o vetor de força residual, fc é o vetor de cargas constantes, f é o vetor de carga de

referência para cargas proporcionais e a(u, λ) representa a restrição escalar que caracteriza o

método escolhido (CRISFIELD, 1991; REITINGER et al., 1994). Esta equação de restrição é

necessária para a solução do problema já que existem N+1 variáveis e somente N equações de

equilíbrio, sendo N o número de graus de liberdade.

Os métodos para determinação do caminho não-linear de equilíbrio (path-

following methods) são algoritmos interativo-incrementais em que o parâmetro de controle

(e.g. comprimento de arco) é incrementado a fim de computar o novo ponto de equilíbrio

26

(un+1, λn+1) a partir do ponto de equilíbrio conhecido (un, λ n). Os incrementos interativos

podem ser computados a partir da linearização (PARENTE et al., 2006) da Equação (3.14):

=

=

+=

+=⇒

−=

+

+

+++

+++

nn

nn

i

n

i

n

i

n

i

ntom

aaa λλδλλλ

δ

δλ

δ

λ

λ

01

01

111

111 c,

,,

, uuuuururK

u

(3.15)

Em que i é o contador das iterações. Este sistema é não-simétrico mesmo para uma matriz de

rigidez tangente simétrica (Kt). Portanto é mais conveniente determinar os incrementos

iterativos a partir de:

,

ˆ

,,

ˆ,

+=

+

+−=

uuu

u

u

u

u

δδλδδ

δ

δδλ

λaa

aat

t

(3.16)

Onde os incrementos uδ e uδ são determinados a partir da solução dos sistemas lineares:

−=

−=⇒=

ruK

gfrruK

ˆ

,,,

δ

δ λλλ

t

t (3.17)

No caso de estruturas mecanicamente carregadas fr =λ, e o vetor λ,g não é

sequer considerado. No entanto, para estruturas submetidas à variação de temperatura, o vetor

de força interna depende do fator de carga através das Equações (3.2), (3.3) e (3.13), e o vetor

λ,g é essencial para a análise por elementos finitos. Este vetor pode ser determinado

analiticamente ou utilizando diferenciação numérica (PARENTE et al., 2006).

3.5 Malha e Condições de Contorno

Durante o desenvolvimento do modelo analítico foi assumido que o duto já

apresentava uma configuração deformada, como ilustrado na Figura 2.2, porém a forma como

o duto atinge esta configuração a partir da configuração (reta) inicial não é determinada.

Contudo, dutos sempre possuem algum tipo de imperfeição geométrica e estas imperfeições

devem ser consideradas visto que a teoria de estabilidade demonstra que imperfeições

geométricas podem reduzir consideravelmente a capacidade de carga de algumas estruturas.

Além disso, dutos sujeitos a variações térmicas não apresentam deslocamentos transversais

sem a presença de alguma imperfeição inicial.

27

Portanto, será considerada uma imperfeição geométrica inicial devido a um

obstáculo (prop) em algum ponto ao longo do comprimento do duto. Geralmente, este

obstáculo representa uma pedra ou a passagem sobre outro duto, como mostrado na Figura

3.5. Considerando o duto como uma viga sobre ação de uma carga transversal e aplicando as

mesmas condições de contorno utilizadas para o modelo analítico, pode ser demonstrado que

(TAYLOR e TRAN, 1992) a imperfeição pode definida como:

4/1

0

43

8259.52

32

272

=⇒

−−

−=

W

EIyLx

Lx

LL

EI

Wy i

iii (3.18)

Em que Li é o comprimento da imperfeição geométrica.

Figura 3.5 – Imperfeição Geométrica (prop imperfection).

A análise não-linear por elementos finitos utilizando o Método do Comprimento

de Arco possui grande custo computacional devido à necessidade de determinar diversos

pontos a fim de traçar o caminho de equilibro de forma precisa. Por outro lado, o modelo

analítico apresentado no Capítulo 2 parte da hipótese que o deslocamento vertical está

concentrado na região de flambagem de comprimento L, enquanto que a força axial apresenta

variação devido ao atrito na região adjacente de comprimento Ls. Além destas regiões, o duto

não apresenta deslocamentos significativos. Portanto, a definição da malha de elementos

finitos foi baseada segundo as subdivisões apresentadas na Figura 3.6 seguindo sugestões de

Belmont (2006).

28

Figura 3.6 – Segmentos utilizados para discretização da malha.

Considerando a simetria da imperfeição (Figura 3.5) e o modo de flambagem

(Figura 2.2), somente metade do duto é discretizado por elementos finitos. O deslocamento

horizontal e a rotação no primeiro nó são restringidos para preservar a simetria do campo de

deslocamentos. Uma malha refinada é utilizada na região central (Lc) cujo comprimento é

igual ao dobro do máximo valor obtido entre o comprimento de flambagem do modelo

analítico (L) e o comprimento total da imperfeição (Li):

Lc = 2 × max(L, Li) (3.19)

O número de elementos, nc = 200, foi escolhido de forma a representar de forma apurada a

imperfeição geométrica e os deslocamentos verticais do duto.

Uma malha intermediária foi utilizada na região adjacente (La) onde número de

elementos é igual ao da região central (na = 200), mas cujo comprimento é bem maior

(La = 10×Lc). Finalmente, para o trecho final do modelo correspondente a região Lf teremos

um comprimento vinte vezes maior aquele definido para a região central (Lf = 20× Lc) em que

utilizou-se um número menor de elementos (nf = 10) a fim de representar as condições nos

campos distantes, uma vez que espera-se que quase não haja variação esforços nesta região.

29

4 EXEMPLO NUMÉRICO

Os dados numéricos do duto considerado nesta análise estão apresentados na

Tabela 4.1. Este duto será utilizado para validação do modelo por elementos finitos

apresentado neste trabalho e determinar a importância da interação solo-duto no

comportamento não-linear de dutos aquecidos.

Tabela 4.1 – Propriedades do Duto.

Duto API X65 Diâmetro Externo do Duto (D) 0,4064 m (16,0 in) Espessura do Duto (t) 0,0134 m (0,562 in) Espessura da camada de concreto aplicada sobre o duto 0,0381 m (1,5 in) Peso Específico do Concreto 21,97 kN/m3 Peso Específico do Aço 77,00 kN/m3 Peso Específico do Fluído 8,5 kN/m3 Módulo de Elasticidade (E) 200 GPa Coeficiente de Poisson (ν) 0,3 Coeficiente de Expansão Térmica (α) 1,1x10-6 /oC Peso Efetivo do Duto (Wp) 3,4015 kN/m Tensão de Escoamento Mínima 448 MPa (65.000 psi)

Em seguida apresenta-se também na Tabela 4.2 os dados referidos ao solo a ser

analisado para determinação das curvas de reação-deslocamento baseado nas recomendações

da ASCE (2001).

Tabela 4.2 – Propriedades do Solo.

Coesão do Solo (c) 6,00 kPa Profundidade de Enterramento do Duto (H) 0,50 m Peso Específico Efetivo do Solo (γ) 17,0 kN/m3 Ângulo de Atrito Interno do Solo (φ ) 0º Ângulo de Atrito da Interface Solo-Duto (δ) 0º

4.1 Modelo Analítico

Inicialmente, o modelo analítico desenvolvido no Capítulo 2 foi utilizado para

definir a temperatura segura e o comprimento de flambagem. Este modelo é baseado na

consideração de uma viga sobre uma base rígida, porém com reações máximas determinadas

utilizando-se as recomendações da ASCE (2001). Logo, a máxima força de atrito por unidade

30

de comprimento atuando no duto (F) é definida pela máxima força de reação do solo e pela

carga distribuída transversal (W) que inclui o peso efetivo do duto (Wd) e a máxima força de

reação do solo a movimentação para cima (Qu):

ud

u

QWW

TF

+=

= (4.1)

Portanto partindo dos dados do duto, apresentados na Tabela 4.1, juntamente com

os dados do solo, apresentados na Tabela 4.2, e aplicando as recomendações da ASCE (2001),

em especial as Equações (3.9) e (3.10), obtém-se os valores de Tu = 9,301 kN/m e Qu = 6.0

kN/m. Em seguida utiliza-se a Equação (4.1) resultando em W = 9,4015 kN/m.

A Figura 4.1 demonstra as curvas de Temperatura x Comprimento de Flambagem

para diferentes coeficientes de atrito (µ=F/W) incluindo o coeficiente de atrito real

determinado pela Equação (4.1) que será igual a aproximadamente 1,011 e as propriedades

reais do solo. As curvas mostram claramente um ponto de mínimo indicando que

temperaturas menores não podem manter a configuração flambada do duto. Esta mínima

temperatura de flambagem é chamada Temperatura de Operação Segura (∆Tsafe) visto que

para em temperaturas inferiores o duto operará de forma segura, no que diz respeito a

flambagem térmica, uma vez que as forças de compressão geradas serão insuficientes para

causar instabilidade. Como esperado, a temperatura segura de operação aumenta com o

aumento do coeficiente de atrito.

Figura 4.1 – Temperatura x Comprimento de Flambagem (Modelo Analítico – Caso B).

31

4.2 Estudo Paramétrico

Neste tópico estudaremos o efeito de alguns parâmetros sobre a temperatura

segura. Mais uma vez utilizaremos os valores numéricos destacados no tópico anterior. As

grandezas escolhidas para este estudo foram: diâmetro externo (D), espessura (t) e o

coeficiente de atrito (µ), segundo critérios que serão destacados posteriormente.

O estudo paramétrico das grandezas geométricas, isto é, do diâmetro externo e da

espessura pode ser explicado pelo fato de ambas serem os dados fundamentais do duto,

controlando a área e o momento de inércia da seção transversal. Em seguida realizaremos o

estudo paramétrico do coeficiente de atrito, este possui destaque especial uma vez que regue

todo o desenvolvimento dos modelos aproximados (Casos A e C) em relação ao modelo exato

(Caso B).

Vale destacar que utilizamos o mesmo script desenvolvido no ambiente do

MATLAB (Mathworks, 1992), apenas alterando os valores do diâmetro externo a fim de

avaliar o comportamento do mesmo em relação às variáveis de interesse deste artigo: a

temperatura segura e o comprimento de flambagem.

De acordo com os resultados apresentados na Tabela 4.3 verifica-se o diâmetro

externo não influencia na temperatura segura. Porém quando comparamos o diâmetro externo

e o comprimento de flambagem temos uma relação quase que linear. Isto se configura num

dado bastante interessante, uma vez que no dimensionamento de um duto, teremos uma

grandeza que pode ser facilmente alterada, devido aos vários diâmetros de dutos existentes,

mas que nos proporcionará uma temperatura quase constante.

Tabela 4.3 – Efeito do Diâmetro Externo.

Dext (m) Tsafe (ºC) Lfl (m) 0.10 124.020 9.346 0.20 124.020 20.133 0.30 124.020 30.920 0.40 124.020 41.707 0.41 124.020 42.397 0.50 124.020 52.494 0.60 124.020 63.281 0.70 124.020 74.068

32

Variação do Diâmetro Externo

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80

Diâmetro Externo (m)

Co

mp

rim

en

to d

e F

lam

bag

em

(m

)

Figura 4.2 – Diâmetro Externo x Comprimento de Flambagem.

Ao contrário do diâmetro externo, a espessura causa significativa variação

tanto na temperatura segura quando comprimento de flambagem. Na verdade, uma pequena

variação na espessura causa alterações consideráveis de temperatura e comprimento de

flambagem. Como podemos observar pelos dados presentes na Tabela 4.4, na Figura 4.3 e na

Figura 4.4, as inclinações das curvas confirmam matematicamente a sensibilidade das duas

variáveis em relação à espessura do duto. Destaca-se ainda que, enquanto o comprimento de

flambagem cresce continuamente com a espessura, com a temperatura crítica ocorre

exatamente o inverso.

Tabela 4.4 – Efeito da Espessura.

t (m) Tsafe (ºC) Lfl (m) 0.0100 145.256 39.382 0.0110 137.904 40.628 0.0120 131.505 41.417 0.0130 125.884 42.147 0.0134 124.020 42.397 0.0150 116.434 43.460 0.0160 112.410 44.054 0.0170 108.756 45.050

33

Variação da Espessura

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

Espessura (m)

Te

mp

era

tura

Se

gu

ra (

ºC)

Figura 4.3 – Espessura x Temperatura Segura.

Este é um dado importante e até certa vista inesperado, pois a primeira vista o

aumento da espessura resulta em aumento da inércia a flexão do duto o que deveria aumentar

sua carga crítica, como ocorre no caso de pilares. Contudo, o fenômeno da flambagem térmica

de dutos é muito mais complexo que o de colunas e não é possível extrapolar as conclusões

obtidas em colunas para dutos. Em particular, o aumento da área do duto devido ao aumento

da espessura causa um aumento da força de compressão para uma dada temperatura, o que

termina por reduzir a temperatura segura de operação do duto.

34

Variação da Espessura

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

Espessura (m)

Co

mp

rim

en

to d

e F

lam

bag

em

(m

)

Figura 4.4 – Espessura x Comprimento de Flambagem.

Outro aspecto estudado foi o efeito do coeficiente de atrito (µ) entre o solo e o

duto. Os resultados obtidos representando a força de atrito através do Caso B (Figura 2.4) são

apresentados na Tabela 4.5, na Figura 4.5 e na Figura 4.6. A Figura 4.5 mostra um grande

aumento inicial da temperatura segura com o coeficiente de atrito seguido por uma redução

neste efeito para coeficientes maiores, o que resulta em uma curva mais suave. No caso do

comprimento de flambagem (Figura 4.6) ocorre processo semelhante, só que de maneira

inversa. Vale ainda destacar o modo semelhante como espessura e atrito descrevem curvas

quase que inversas quando plotados em relação à temperatura e ao comprimento de

flambagem.

Tabela 4.5 – Efeito do Coeficiente de Atrito.

µ (F/W) Tsafe (ºC) Lfl (m) 0.10 81.44 52.37 0.25 96.20 48.22 0.50 109.13 45.31 1.00 123.78 42.40 1.011 124.02 42.40 2.00 140.41 39.90 3.00 151.15 38.24 4.00 159.26 37.41

35

Variação do Coeficiente de Atrito

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500

µ = F/W

Te

mp

era

tura

Se

gu

ra (

ºC)

Figura 4.5 – Coeficiente de Atrito x Temperatura Crítica.

Variação do Coeficiente de Atrito

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500

µ = F/W

Co

mp

rim

en

to d

e F

lam

bag

em

(m

)

Figura 4.6 – Coeficiente de Atrito x Comprimento de Flambagem.

Por último, abordaremos a relação da carga transversal (W) com a temperatura

crítica de flambagem e o comprimento de flambagem. A partir de análises feitas com o

auxílio do script em MATLAB (Mathwoks, 1992), obtivemos os seguintes valores expostos

na Tabela 4.6 e mostrados graficamente na Figura 4.7 e na Figura 4.8. É importante notar que

36

a carga transversal foi variada a partir do peso do duto até a soma deste peso com a reação

vertical do solo para a profundidade de enterramento considerada na análise.

Tabela 4.6 – Efeito da Carga Transversal

W (kN/m) Tsafe (ºC) Lfl (m) 3.4015 59.212 61.097 4.00 66.618 57.642 5.00 78.357 53.541 6.00 89.465 49.760 7.00 100.082 46.984 8.00 110.283 45.009 9.00 120.155 42.862

9.4015 124.020 42.397

Variação da Carga Transversal

0

20

40

60

80

100

120

140

160

3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000

Carga Transversal (kN/m)

Tem

pera

tura

Seg

ura

(ºC

)

Figura 4.7 – Carga Transversal x Temperatura Crítica.

37

Variação da Carga Transversal

0

10

20

30

40

50

60

70

80

3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000

Carga Transversal (kN/m)

Co

mp

rim

en

to d

e F

lam

ba

ge

m (

m)

Figura 4.8 – Carga Transversal x Comprimento de Flambagem

Destacamos primeiramente a relação praticamente linear entre a carga transversal

e temperatura segura de operação do duto, enquanto que para o comprimento de flambagem a

relação é inversamente proporcional e não-linear. Finalmente, observa-se que o aumento da

carga transversal, através do aumento da profundidade de enterramento, é modo mais

eficiente de influenciar o fenômeno da flambagem vertical de dutos. Portanto este estudo

paramétrico confirma a utilização desta prática como uma solução tecnicamente viável.

Neste sentido, a fato da relação entre carga transversal e temperatura segura ser

praticamente linear permite uma estimativa rápida da carga necessária à operação do duto em

uma data temperatura. A partir desta carga pode-se determinar a profundidade de

enterramento necessária a operação segura do duto.

4.3 Modelo Numérico

A análise por elementos finitos foi desenvolvida utilizando o programa acadêmico

FEMOOP (MARTHA e PARENTE, 2002) com o uso de elementos e algoritmos descritos nas

seções anteriores. Os resultados obtidos foram comparados com o modelo analítico

apresentado.

Dois modelos numéricos foram desenvolvidos de forma a avaliar a influência da

modelagem do solo. O primeiro modelo considera uma base rígida, utilizando os valores

38

apresentados pela Equação (4.1) que representa ambas as forças de reação do solo aos

deslocamentos axial e vertical para cima. Para o deslocamento vertical para baixo considerou-

se uma rigidez infinita, visto que não foi permitido qualquer deslocamento neste sentido. A

fim de simular o comportamento rígido plástico do modelo analítico determinou-se que para

pequenos valores de deslocamentos de mobilização (∆t = ∆qu = 1 mm) já atuariam as forças

máximas de reação do solo. A seguir as Figura 4.9 e Figura 4.10 expressam graficamente os

resultados obtidos.

Mola de Reação Axial do Solo

-10.00

-7.50

-5.00

-2.50

0.00

2.50

5.00

7.50

10.00

-0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25

Deslocamento Relativo (m)

Re

aç

ão

Ax

ial

do

So

lo (

kN

/m)

Base Elástica

Base Rígida

Figura 4.9 – Curvas de Reação-Deslocamento Axial (Base Elástica x Base Rígida).

39

Mola de Reação Vertical do Solo

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

-0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25

Deslocamento Associado(m)

Re

aç

ão

Ve

rtic

al

do

So

lo(k

N/m

)

Base Elástica

Base Rígida

Figura 4.10 – Curvas de Reação-Deslocamento Vertical (Base Elástica x Base Rígida).

No segundo modelo, utilizou-se plenamente as recomendações da ASCE (2001) a

fim de simular perfeitamente o comportamento do solo, incluindo as molas verticais para

baixo.

O conjunto de análises por elementos finitos foi desenvolvido considerando

diferentes imperfeições (y0 = 0,01 m; 0,1 m; 0,2 m; 0,5 m) e as curvas de temperatura-

deslocamento para o nó na linha da simetria são apresentadas na Figura 4.11. As curvas do

modelo de base rígida apresentam pontos limite claramente definidos, assim como a

temperatura segura de operação, cujos resultados são apresentados na Tabela 4.7. É

interessante notar que as curvas são inicialmente estáveis, e então se tornam instáveis após o

primeiro (superior) ponto limite e em seguida estabilizam-se novamente após o segundo

(inferior) ponto limite.

40

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Deslocamento (m)

Tem

pera

tura

(ºC

)

yo = 0.01 m (Base Rígida)




yo = 0.01 m (Base Elástica)




Figura 4.11 – Temperatura x deslocamento para dutos imperfeitos.

Os resultados obtidos para o modelo de base elástica apresentam as mesmas

características gerais do modelo de base rígida, porém com a diminuição na rigidez da

resposta, uma vez que são necessárias menores temperaturas para que se atinjam os mesmos

deslocamentos. Destaca-se ainda que para a maior imperfeição estudada (y0 = 0.5m), a curva

não apresenta um ponto limite e o caminho de equilíbrio é sempre estável.

Tabela 4.7 – Temperaturas Seguras de Operação.

∆Tsafe (ºC) Analítico MEF (Base Rígida) MEF (Base Elástica) cf = F/W Y0 = 0,01 m y0 = 0,1 m y0 = 0,2 m y0 = 0,5 m y0 = 0,01 m y0 = 0,1 m y0 = 0,2 m y0 = 0,5 m 124,020 120,510 117,350 114,001 104,873 115,520 111,520 106,978 -

Os valores apresentados pelo modelo analítico e pelos modelos numéricos são

apresentados na Tabela 4.7. Como esperado, as temperaturas seguras para o modelo de base

elástica são menores do que para o modelo de base rígida uma vez que o duto irá se deformar

mais facilmente visto que o solo não restringe totalmente o deslocamento para baixo. Para um

duto quase perfeito (y0 = 0,01 m), a diferença entre o modelo analítico e o modelo mais

complexo de elementos finitos com base elástica foi de 8,50 oC. Destaca-se ainda que a

temperatura segura diminui para imperfeições maiores. Assim para y0 = 0.2 m (y0 = D/2) a

41

diferença é igual a 17,04 oC, o que é um valor significativo, mostrando que o modelo analítico

deve ser utilizado com ressalvas no dimensionamento de dutos.

Figura 4.12 apresenta a deformação causada pela flambagem vertical de um duto

aquecido considerando uma imperfeição geométrica devido à existência de um obstáculo

(prop imperfection). Nota-se que parte do duto efetivamente se move na direção vertical para

baixo, o que explica a diferença entre os modelos rígido e elástico.

Figura 4.12 – Configuração deformada após a flambagem vertical (base elástica).

4.4 Esforços e tensões

Por fim realizou-se uma análise dos esforços atuantes no duto no trecho central

(Lc) de malha mais refinada. Devido à existência de vários casos de análise optou-se pelo

estudo do caso do duto sobre base elástica com imperfeição de 0.1 m, visto que este se

apresenta como um caso bastante representativo do comportamento geral do duto.

Na Figura 4.13 apresenta-se a variação da força normal ao longo do duto.

Destaca-se nesta figura o comportamento similar aos apresentados no modelo analítico, em

especial o Caso B da Figura 2.4, salientando o alívio da força normal próxima a zona de

flambagem. Nesta mesma figura ainda compara-se o comportamento da força normal com o

valor de referência (Nref) corresponde ao esforço que ocorre longe da região de flambagem,

cujo valor é dado pela Equação (2.32). Vale ressaltar que estas forças são compressivas, tendo

sido ambas representadas em valor absoluto na Figura 4.13.

42

Variação da Força Normal (Fx)

2.50E+03

3.00E+03

3.50E+03

4.00E+03

4.50E+03

5.00E+03

0 20 40 60 80 100 120

Comprimento do Duto (m)

Fo

rça N

orm

al (k

N)

Na

Nref

Figura 4.13 – Esforço Normal ao longo do Duto.

Em seguida analisou-se o comportamento do momento fletor ao longo do duto.

Como visto na Figura 4.2, o momento atinge o pico próximo a flambagem diminuindo à

medida que se distancia da zona flambada, tendendo a zero a partir dos touchdown points.

Destaca-se ainda que qualitativamente esta curva se comporta de maneira similar a curva do

momento fletor de uma viga sobre base elástica encontrada na literatura.

Variação do Momento (Mz)

-1.00E+03

-8.00E+02

-6.00E+02

-4.00E+02

-2.00E+02

0.00E+00

2.00E+02

4.00E+02

6.00E+02

8.00E+02

0 20 40 60 80 100 120


Mo

men

to F

leto

r (k

N.m

)

Figura 4.14 – Momento Fletor ao longo do Duto.

Finalmente, uma vez obtidos os valores de força normal (N) e momento fletor (M)

ao longo do duto, as tensões normais (σ) foram calculadas utilizando a expressão clássica da

Resistência dos Materiais para a flexão composta:

43

I

My

A

N−=σ (4.2)

Onde y é a distância vertical medida a partir do centróide da seção transversal. Neste caso, as

tensões máximas ocorrem no topo (y = R) e na base (y = -R) do duto.

Variação da Tensão (σa)

-1.00E+09

-8.00E+08

-6.00E+08

-4.00E+08

-2.00E+08

0.00E+00

2.00E+08

4.00E+08

6.00E+08

0 20 40 60 80 100 120


Ten

sã

o A

xia

l (P

a)

Inferior

Superior

Referência

Figura 4.15 – Tensões Normais ao longo do Duto.

Através da análise do gráfico acima, verifica-se que as tensões de compressão na

base do duto no ponto de amplitude máxima de flambagem são maiores que a tensão de

escoamento do material utilizado. Como conseqüência a flambagem do duto seria seguida

pela falha do duto por plastificação do material, levando o duto a ruptura. Portanto, este

exemplo mostra a importância de evitar a flambagem térmica, o que pode ser obtido ao se

operar o duto abaixo de sua temperatura segura.

44

5 CONCLUSÃO

Este trabalho apresentou modelos analíticos e numéricos para o estudo da

flambagem vertical em dutos aquecidos. Na abordagem por elementos finitos o caminho de

equilíbrio da estrutura e a sua temperatura crítica foram determinados através de uma análise

não-linear. Uma vez que a análise de um duto perfeito submetido à variação de temperatura

não apresenta deslocamentos transversais, a análise foi desenvolvida considerando uma

configuração imperfeita devido à existência de um obstáculo abaixo do duto (prop

imperfection).

A consideração dos grandes deslocamentos e rotações do duto foi realizada

através da utilização de elementos de pórtico plano corrotacionais. A interação solo-duto foi

representada através do modelo de fundação do tipo Winkler não-linear no qual as curvas de

reação do solo são do tipo elastoplásticas perfeitas. Os parâmetros das curvas deslocamento-

reação nas direções axial e vertical são determinados a partir dos dados do duto e de

parâmetros geotécnicos do solo. O Método do Comprimento de Arco foi aplicado a fim de

determinar o caminho de equilíbrio não-linear.

O programa FEMOOP foi utilizado nas análises não-lineares pelo Método dos

Elementos Finitos enquanto a formulação analítica foi implementada no MATLAB. Vale

destacar que primeiramente validou-se o modelo numérico através da comparação entre o

modelo analítico e o modelo por elementos finitos de base rígida, que apresentaram diferenças

em torno de 3 %, comprovando a eficácia da representação. Em seguida, na comparação de

ambos com o modelo por elementos finitos de base elástica observou-se uma clara coerência

dos resultados em que os valores de temperatura segura apresentavam reduções de 7 a 15 %,

dependendo da imperfeição geométrica utilizada.

Os resultados também mostraram que a interação solo-duto possui influência

significativa no comportamento do duto, indicando que o modelo de base rígida utilizado na

formulação analítica pode superestimar significantemente a temperatura segura. Obviamente,

estes resultados podem estar restritos ao solo aqui considerado e sua generalização requer um

estudo mais aprofundado.

No que diz respeito à forma do caminho não-linear de equilíbrio, verifica-se que

dutos com pequenas imperfeições apresentam um caminho de equilíbrio com dois pontos

limites. Inicialmente a curva é estável, seguida de uma parte instável, e por último a curva

estabiliza-se novamente. O primeiro ponto limite possui um valor mais alto e não representa o

valor crítico, visto que a parte seguinte é instável em que aparecerá o segundo ponto limite

45

que será o valor crítico. Quando as imperfeições aumentam ocorre uma redução da

temperatura segura. Esta redução é significativa e não deve ser desconsiderada em projetos de

dutos.

É importante notar que para grandes imperfeições os pontos limite desaparecem e

o caminho de equilíbrio apresenta comportamento estável. Neste caso, o critério de projeto

baseado da temperatura segura deve ser substituído por outro baseado nos deslocamentos

máximos ou tensões máximas no duto.

Neste sentido deve-se ressaltar que a flexão que ocorre na região da flambagem

devido aos grandes deslocamentos do duto leva a tensões significativamente maiores que as

tensões devido ao esforço normal no trecho reto do duto. Para o duto estudado neste trabalho

as tensões após a flambagem eram muito superiores às tensões de escoamento do material, o

que certamente levaria o duto à ruptura. O que mostra a importância de manter a temperatura

de operação do duto dentro de uma faixa de segurança a fim de evitar as graves conseqüências

econômicas e ambientais advindas da ruptura de um duto.

46

REFERÊNCIAS

ASCE, Guidelines for the Design of Buried Steel Pipe, American Lifelines Alliance, appendix B, pp. 68-76, Julho, 2001. Belmont, G. M. 2006. Uma Metodologia para o Estudo da Flambagem de Dutos Aquecidos. Dissertação de Mestrado, UFPE. Recife, PE. Benjamin, A. C.; Andrade, E. Q., 2001, Flambagem Lateral de Dutos Aquecidos: Um Método Analítico Clássico Revisitado, (IBP04601), Proceedings of the 3

rd Seminar on

Pipelines, November 21-21, Rio de Janeiro, pp. 1-17. Chajes, A., 1974. Principles of Structural Stability Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs. Costa, A, M.; Cardoso, C. O.; Amaral, C.S.; Andueza, A.; Garcia Filho, A.; Gomes, M. G. F. 2003, An engineering solution to the problem of thermal buckling of heated pipelines buried in the soft clay, Pipes & Pipelines International, Janeiro-Fevereiro. Crisfield, M. A., 1981. A Fast Incremental/Iterative Solution Procedure That Handles Snap-Through. Computers and Structures, vol. 13, pp. 55-62. Crisfield, M. A., 1991. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures, Vol 1. John Wiley and Sons. DNV-OS-F101, Submarine Pipeline Systems, Det Norkse Veritas. Janeiro, 2000. Fyrileiv, O.; Collberg, L., 2005. Influence of Pressure in Pipeline Design – Effective Axail Force. 24

th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering (OMAE-

2005). 12-17 Junho. Halkidiki, Grécia. Ganesan, S. A. Doctoral Research Student Resume. 2008. Disponível no site da University of Cambrigde / Department of Engineering na Internet. URL: <http://www2.eng.cam.ac.uk/~gs331/buckle.jpg>. Acesso em: 17 nov. 2009. Grangeiro, A. E. B.; Parente Jr., E; Nogueira , R. M. 2008. Um Modelo para o Estudo da Flambagem Vertical de Dutos. In XXIX Iberian Latin American Congress on Computational

Methods in Engineering, November 4-7, Alagoas, Brasil. Hobbs, R. E., 1984, In service buckling of heated pipelines, Journal of Transportion

Engineering, ASCE, vol. 110, n.2, pp. 175-189 Horowitz, B.; Parente Jr., E., 2003. Assesment of Simplified Pipe-Soil Interaction Models. In Proceedings of COBEM 2003, November 14-5, São Paulo, Brasil. Ju, G. T.; Kyriades, 1988, Thermal buckling of offshore pipelines, Journal of Offshore

Mechanics and Artic Engineering, vol.110, pp. 355-364.

47

Kerr, A. D., 1978, Analysis of thermal track buckling in the lateral plane, Acta

Mechanica, vol. 30, pp. 17-50. Kerr, A. D., 1979, On thermal buckling of straight railroad tracks and the effect of the track length on the track response, Rail International, vol. 9, pp. 759-768. Kyriakides, S.; Corona, E., 2007. Mechanics of Offshore Pipelines: Volume 1: Buckling and Collapse, Elsevier, pp. 280. Maltby, T. C.; Calladine, R., 1995. An Investigation into Upheavel Buckling of Buried Pipelines – II Theory and Analysis of Experimental Observations. International Journal

of Mechanical Sciences, vol. 37, n. 9, pp. 965-983. Martha, L. F.; Parente Jr, E., 2002. An object-oriented framework for finite element element programming. In: Proceedings of fifth World Congress on Computational

Mechanics (WCCM V), Viena, p. 1–10. Mathwoks, 1992. MATLAB user´s guide. Martinet, A., 1936, Flambement des voies sans joints sur ballast et rails de grand longuer, Revue Générale des Chemins de Fer, vol 55/2, pp. 212-230. MV NORDES. Post-lay rock installation, 2009. Disponível no site da MV Nordes na Internet. URL: < http://www.nordnes.nl/rockinstallation.ph>. Acesso em: 17 nov. 2009. Palmer, A. C.; Baldry, J. A.S., 1974. Lateral Buckling of Axially Constrained Pipelines. Journal of Petroleum Technology (JPT Forum). November, pp. 1283-1284. Parente Jr., E., Holanda, A. S., Silva, S. M. B. A., 2006.Tracing nonlinear equilibrium paths of structures subjected to thermal loading. Computational Mechanics, v. 38, n.6, pp. 505–520. Reitinger R.; Bletzinger, K-U; Ramm, E., 1994. Shape optimization of buckling sensitive structures. Computer Systems in Engineering, v. 5, n. 1, pp. 65–75. Taylor, N.; Tran, V. C., 1992. Prop-Imperfection Subsea Pipeline Buckling. Marine

Structures, vol. 6, 1996, pp. 325-358.

48

APÊNDICE A – LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO MATLAB

A.1. INTRODUÇÃO

A linguagem de programação MATLAB, foi uma ferramenta importante na

realização deste trabalho, pois possibilitou o seqüenciamento das equações do modelo

analítico em formato de scripts de forma a obter os resultados e gráficos representativos de

forma mais ágil, com isso permitindo maior tempo de análise do problema. Também teve

importância na determinação dos pontos das curvas geométricas e das curvas de reação do

solo que posteriormente foram inseridos no arquivo .DAT do FEMOOP.

A.2. SCRIPT EM MATLAB

A.2.1. DETERMINAÇÃO DA TEMPERATURA SEGURA DE OPERAÇÃO

function uphbuckN( ) clc; % Propriedades do material. E = 2.0e08; % Modulo de elasticidade (kN/m2) % Secao transversal. D = 16*0.0254; % Diametro externo (m) t = 0.526*0.0254 % Espessura (m) Dm = D - t; % Diametro medio (m) A = pi*Dm*t; % Area (m2) I = pi*Dm^3*t/8; % Momento de inercia (m4) fprintf('A = %3.6e m2\n', A); fprintf('I = %3.6e m4\n', I); EI = E*I; EA = E*A; fprintf('EA = %3.4e kN\n', EA); fprintf('EI = %3.4e kNm2\n', EI); % Outros dados. w = 3.4015+6; % Peso proprio (kN/m) alfa = 11e-06; % Coeficiente de dilatacao termica (1/oC) tu = 9.3010; cf = w/tu;

% Constantes auxiliares. k1 = 8.986818916^2; k2 = 75.60434183; k3 = k2/k1^3.5; k4 = (4/k3)*(k1/3.5)^2;

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k5 = k1/(3*k3); % Comprimento para atrito infinito. Li = (k5*EI^3/(EA*w^2))^0.125; Ti = Tcri(EA, EI, alfa, w, Li); fprintf('Tinf = %7.3f oC Linf = %7.3f m\n', Ti, Li); % Graficos N(L). n = 201; L = linspace(0.5*Li, 3*Li, n); T1 = Tcr(EA, EI, alfa, w, 5, L); T2 = Tcra(EA, EI, alfa, w, 5, L); T3 = Tcr(EA, EI, alfa, w, 1.0, L); T4 = Tcra(EA, EI, alfa, w, 1.0, L); T5 = Tcr(EA, EI, alfa, w, 0.5, L); T6 = Tcra(EA, EI, alfa, w, 0.5, L); T7 = Tcra(EA, EI, alfa, w, cf, L); plot( L, T1, L, T5, L, T7); axis([L(1), L(n), 0, 2*Ti]); legend('Model A (F/W = 5)', 'Model A (F/W = 0.5)', 'Actual Data (F/W = cf)', 0); grid on; xlabel('L (m)'); ylabel('T (oC)'); % Valore minimos. PrintMin(cf, L, T7); PrintMin(1, L, T3); PrintMin(0.5, L, T5); % Gera arquivos. fid = fopen('fig1.txt', 'wt'); for i = 1:n fprintf(fid, '%0.4e %0.4e %0.4e %0.4e %0.4e\n', ... L(i), T1(i), T2(i), T3(i), T4(i), T5(i), T6(i)); end fclose(fid); % ------------------------------------------------------------------------- % Funcoes auxiliares: % ============================== PrintMin ================================= function PrintMin(cf, L, T) [Tm, im] = min(T); fprintf('cf = %7.3f ', cf); fprintf('Tmin = %7.3f oC Lbuck = %7.3f m\n', Tm, L(im)); % ================================== Tcri ================================= function T = Tcri(EA, EI, alfa, w, L) k1 = 8.986818916^2;

50

k2 = 75.60434183; k3 = k2/k1^3.5; P = k1*EI./L.^2; N = P + k3*EA*w^2.*L.^6/EI^2; T = N/(EA*alfa); % =================================== Tcr ================================= function T = Tcr(EA, EI, alfa, w, cf, L) k1 = 8.986818916^2; k2 = 75.60434183; k3 = k2/k1^3.5; F = cf*w; P = k1*EI./L.^2; N = P + sqrt(k3*F*EA*w^2.*L.^7/EI^2 - (F*L/2).^2); T = N/(EA*alfa); % =================================== Tcra ================================ function T = Tcra(EA, EI, alfa, w, cf, L) k1 = 8.986818916^2; k2 = 75.60434183; k3 = k2/k1^3.5; F = cf*w; P = k1*EI./L.^2; N = P + sqrt(k3*F*EA*w^2.*L.^7/EI^2); T = N/(EA*alfa); % ============================================= Fim do arquivo ============ A.2.2. DETERMINAÇÃO DAS CURVAS DE REAÇÃO DO SOLO

function SoilSpring( ) clear; clc; Tc = 1.5*0.0254; % Espessura do Concreto (m) Dd = 16*0.0254; % Diâmetro Externo(m) - 16 pol . 2,54cm D = Dd+2*Tc; % Diâmetro Externo Total c = 6; % Coesão = Resistência ao Cisalhamento Não-Drenada(Argila)/(kPa) H = 0.5; % Profundidade de Enterramento até o Centro do Duto (m) Gama = 17; % Peso Específico Efetivo do Solo (kN/m3) o = 0; % Ângulo de Atrito Interno do Solo(º) Sigma = 0; % Ângulo de Atrito da Interface Duto-Solo Ko = 1 - sin(o); % Coeficiente de Empuxo em Repouso f = 0; % Fator que depende da camada externa do duto % Fator de Adesão C = c/100;

51

Alfa = 0.608-0.123*C-((0.274)/(C^2+1))+((0.695)/(C^3+1)); % Axial Soil Springs Tu = pi*D*Alfa*c + pi*D*H*Gama*((1+Ko)/2)*tan(Sigma) Dt = 0.01 % deslocamento relativo máximo para Tu (m) T = [ -Tu, -Tu, 0.0 , Tu , Tu]; Dt = [(-Dt - 0.10) , -Dt , 0.0 , Dt , (Dt + 0.10)]; figure; plot(Dt,T); grid on; xlabel('Relative Displacement (m)'); ylabel('Axial Soil Force(kN/m)'); title('AXIAL SOIL SPRING'); % Vertical Uplift Soil Spring Ncv = 2*(H/D) Qu = Ncv*c*D Dqu = 0.2*D % Vertical Bearing Soil Spring Nc = (cotd(o + 0.001))*(exp(pi*tand(o + 0.001))*((tand(45+((o+0.001)/2)))^2)-1); Ny = exp(0.18*o-2.5); Nq = exp(pi*tand(o))*((tand(45+(o/2)))^2); Qd = Nc*c*D+Ny*Gama*((D^2)/2)+Nq*Gama*H*D Dqd = 0.2*D Q = [-Qd, -Qd, 0.0 , Qu, Qu]; Dq = [(-Dqd-0.05) , -Dqd , 0.0 , Dqu , (Dqu + 0.05)]; figure; plot(Dq,Q); grid on; xlabel('Relative Displacement (m)'); ylabel('Vertical Soil Force(kN/m)'); title('VERTICAL SOIL SPRING');

52

APÊNDICE B – PROGRAMA FEMOOP

B.1. INTRODUÇÃO

O FEMOOP (Finite Element Method - Object Oriented Programming) é um

programa acadêmico de análise estrutural baseado no Método dos Elementos Finitos,

desenvolvido conjuntamente pelo Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio e

pelo Laboratório de Mecânica Computacional (LMC) da Escola Politécnica da USP. O

programa FEMOOP foi desenvolvido utilizando-se a linguagem de programação C++

orientada para objetos.

Neste trabalho utilizou-se o FEMOOP, em conjunto com NLPOS programa

acadêmico de visualização dos resultados obtidos, para a análise não-linear com o uso de

elementos de pórtico plano corrotacionais e de fundação elástica do tipo Winkler 2D, visto

que ambos os elementos já encontravam-se implementados. Assim como a resolução das

equações de equilíbrio pelo método do Comprimento de Arco através de um algoritmo

interativo-incremental.

B.2. ARQUIVO .DAT COM IMPERFEIÇÃO GEOMÉTRICA DE 0.01 M

%HEADER %HEADER.ANALYSIS 'plframe' %HEADER.ANALYSIS 'winkler2d' %HEADER.ANALYSIS.ALGORITHM 'clal' 'dcm' %HEADER.ANALYSIS.DISPLACEMENT.CONTROL 1 2 0 %HEADER.ANALYSIS.MAXIMUM.ITERATIONS 120 %HEADER.ANALYSIS.TARGET.ITERATIONS 4 %HEADER.ANALYSIS.MAXIMUM.STEPS 100 200 300 %HEADER.ANALYSIS.STEP.FACTOR 0.05 0.01 0.1 %HEADER.ANALYSIS.TOLERANCE 1.0e-04 %%HEADER.ANALYSIS.CRITICAL.POINT 1 %HEADER.ANALYSIS.PRINT.STEPS 1

53

%HEADER.PRINT.ELEMENT.GAUSS.SCALAR 0 %HEADER.PRINT.SUPPORT.REACTION 0 %NODE 411 %NODE.COORD 411 1 0.00000000 1.00000000e-02 0.00000000e+00 2 0.50000000 9.93994580e-03 0.00000000e+00 3 1.00000000 9.77020633e-03 0.00000000e+00 4 1.50000000 9.50582612e-03 0.00000000e+00 5 2.00000000 9.16106277e-03 0.00000000e+00 6 2.50000000 8.74938700e-03 0.00000000e+00 7 3.00000000 8.28348265e-03 0.00000000e+00 8 3.50000000 7.77524663e-03 0.00000000e+00 9 4.00000000 7.23578896e-03 0.00000000e+00 10 4.50000000 6.67543277e-03 0.00000000e+00 11 5.00000000 6.10371428e-03 0.00000000e+00 12 5.50000000 5.52938282e-03 0.00000000e+00 13 6.00000000 4.96040081e-03 0.00000000e+00 14 6.50000000 4.40394378e-03 0.00000000e+00 15 7.00000000 3.86640037e-03 0.00000000e+00 16 7.50000000 3.35337229e-03 0.00000000e+00 17 8.00000000 2.86967438e-03 0.00000000e+00 18 8.50000000 2.41933457e-03 0.00000000e+00 19 9.00000000 2.00559390e-03 0.00000000e+00 20 9.50000000 1.63090649e-03 0.00000000e+00 21 10.00000000 1.29693958e-03 0.00000000e+00 22 10.50000000 1.00457350e-03 0.00000000e+00 23 11.00000000 7.53901696e-04 0.00000000e+00 24 11.50000000 5.44230698e-04 0.00000000e+00 25 12.00000000 3.74080145e-04 0.00000000e+00 26 12.50000000 2.41182775e-04 0.00000000e+00 27 13.00000000 1.42484429e-04 0.00000000e+00 28 13.50000000 7.41440463e-05 0.00000000e+00 29 14.00000000 3.15336689e-05 0.00000000e+00 30 14.50000000 9.23843907e-06 0.00000000e+00 31 15.00000000 1.05660027e-06 0.00000000e+00 32 15.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 33 16.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 34 16.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 35 17.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 36 17.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 37 18.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 38 18.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 39 19.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 40 19.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 41 20.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 42 20.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 43 21.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 44 21.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 45 22.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 46 22.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 47 23.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 48 23.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 49 24.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 50 24.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 51 25.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 52 25.50000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00 53 26.00000000 0.00000000e+00 0.00000000e+00

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE … de... · Contudo, no caso de dutos enterrados a contenção do solo praticamente elimina a flambagem lateral e a maior preocupação passa