Flambagem exercícios de exemplos

Resistência dos Materiais II

Estruturas III

Universidade Federal de Pelotas

Centro de Engenharias



Capítulo 5Flambagem


Estruturas III




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5.1 – Experiências para entender a

flambagem

1) Pegue uma régua escolar de plástico e pressione-aentre dois pontos bem próximos, um a cincocentímetros do outro. Você está simulando umaestrutura em compressão simples. Agora,pressione dois pontos distantes 15cm um do outro.Algo começa a aparecer nessa nova posição, évisivelmente mais fácil criar condições para abarra começar a encurvar. A barra está começandoa sofrer o fenômeno da flambagem. Faça agoracom pontos distantes a 30cm. Force a régua até aruptura. A régua se quebra, pois o plástico é ummaterial frágil.


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2) Pise em cima de uma lata vazia de refrigerante. Você notará que a lata,sem se quebrar, amassa. Não quebrou porque, ao contrário do plásticoque é frágil, o alumínio é dúctil e se deforma bastante antes de perdersua unidade.

Peças comprimidas de grande altura podem flambar, fato que éreduzido sensivelmente se a altura for pequena.

Quanto maior for a espessura da peça comprimida, menor a tendênciaa flambar.

Quanto mais flexível for o material(menor E), mais fácil é a ocorrência daflambagem.

Deve-se a Leonhard Euler (1744) a primeira formulação de umaquantificação do limite que se pode colocar uma peça comprimida,para que ela não flambe.

Conclusões


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5.2 – Carga crítica – fórmula de Euler para coluna ideal com apoios de pinos

Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos auma força de compressão axial são denominadoscolunas.Uma coluna ideal é uma coluna perfeitamente retaantes da carga. A carga é aplicada no centroide daseção transversal.A deflexão lateral que ocorre é denominadaflambagem.A carga axial máxima que uma coluna pode suportarquando está na iminência de sofrer flambagem édenominada carga crítica, Pcr.


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Essa equação diferencial linear homogênea de segunda

ordem com coeficientes constantes de solução geral é:

Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=0 e y=0 em x=L:

2

2

d yEI M Pydx

1 2 cos

P Py C sen x C x

EI EI

2

20

d y Py

dx EI

10

PC sen L

EI


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O menor valor de P é obtido com n=1, de modo que a carga crítica é:

1

1

0

0 0

0

PC sen L

EI

C y

Psen L

EI

PL n

EI

2 2

2 1,2,3....

n EIP n

L

2

2cr

EIP

L


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Pcr ⟶ carga crítica ou carga axial

σcr ⟶tensão crítica

E ⟶módulo de elasticidade para o material

I ⟶ menor momento de inércia para a área da seção

transversal

L ⟶ comprimento da coluna sem apoio

i⟶ menor raio de giração da coluna

λ=L/i ⟶ índice de esbeltez – medida da flexibilidade

da coluna

2

2

2

2

/

cr

cr

EIP

L

Eσ

L i

Ii

A

2 2

2

2

2

( )

/

cr

cr

E AiP

L

P E

A L i


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Gráfico Tensão crítica x λ

2

2

cr

P E

A


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A coluna sofrerá flambagem em torno do eixo

principal da seção transversal que tenha o menor

momento de inércia (o eixo menos resistente).

Na coluna da figura ao lado, sofrerá flambagem em

torno do eixo a-a e não do eixo b-b.


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1)Um tubo de aço A-36 com 7,2m de

comprimento e a seção transversal

mostrada ao lado deve ser usado como

uma coluna presa por pinos na

extremidade. Determine a carga axial

admissível máxima que a coluna pode

sofrer flambagem. Resposta:

Exercício de fixação

200

250e

E GPa

MPa

Pcrit=228,2kN


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2)Uma coluna de aço A-36 tem 4m de

comprimento e está presa por pinos

em ambas as extremidades. Se a área

da seção transversal tiver as dimensões

mostradas na figura, determine a carga

crítica. Resposta:


200

250e

E GPa

MPa

Pcrit=22,7kN


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O elemento estrutural A-36 W200 X 46

de aço mostrado na figura ao lado deve

ser usado como uma coluna acoplada

por pinos. Determine a maior carga

axial que ele pode suportar antes de

começar a sofrer flambagem ou antes

que o aço escoe.

Exemplo 1-

2 6 4 6 45890 mm , 45,5 10 mm , 15,3 10 mm

250 , 200

x y

e

A I I

MPa E GPa


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Ocorrerá flambagem em torno do eixo y–y (menor):

Quando totalmente carregada, a tensão de compressão média na coluna é:

Visto que a tensão ultrapassa a tensão de escoamento,

Resposta:

2 3 2 6 423

2 2

(200 10 / ) 15,3 10 mm1887,6 10 1887,6

(4000 )cr

N mmEIP N kN

L mm

3

2 2

1887,6 10320,5 320,5

5890 mm mmcr

cr

P N NMPa

A

3

2 2250 1472,5 10 1472,5

mm 5890

N PP N kN

mm

1472,5P kN


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A fórmula de Euler foi deduzida para uma coluna com extremidades

acopladas por pinos ou livres para girar. Todavia, muitas vezes as colunas

podem ser apoiadas de outro modo.

Le é denominado comprimento efetivo da coluna.

Um coeficiente dimensional K, fator de comprimento efetivo, é usado para

calcular Le.

KLLe

5.3- Colunas com vários tipos de apoios


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Portanto, temos,

2 2

2 2

/cr cr

e e

EI EP

L L i

λ=Le/i ⟶índice de esbeltez efetivo


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3)Determinar a carga crítica se a coluna for engastada na base e presa

por pinos no topo.

Resposta:


Pcrit=46,4kN


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4) O elemento estrutural W200x100 é feito de

aço A—36 e usado como uma coluna de 7,5m

de comprimento. Podemos considerar que a

base dessa coluna está engastada e que o topo

está preso por um pino. Determine a maior

força axial P que pode ser aplicada sem

provocar flambagem. Considere:

Exercício de fixação-

E = 200GPaIx = 113(106)mm4

Iy = 36,6(106)mm4

σe=250MPaA=12700mm2 Resposta: Pcrit=2621,2kN


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5.4 – A fórmula da secante


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Essa equação tem solução geral é:

Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=e e y=0 em x=L:

2

2( )

d yEI M P e ydx

1 2 cos

P Py C sen x C x e

EI EI

2

2

d y P Py e

dx EI EI

1

[1 cos ]P

e LEI

CP

sen LEI


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Usando identidades trigonométricas:

Deflexão máxima: (x=L/2)

1 2

P LC e tg

EI

cos 12

P L P Py e tg sen x x

EI EI EI

sec 12máx

P Ly e

EI


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máx

P Mc

A I

21 sec

2e

máx

LP ec P

A i i EA

sec 12

sec 12

máx

máx

M Py

P Ly e

EI

P LM Pe

EI

sec 12

máx

P P L cPe

A EI I

σmáx ⟶ tensão elástica máxima na coluna

P ⟶ carga vertical aplicada a coluna

e ⟶ excentricidade da carga P

c ⟶ distância do eixo neutro até a fibra

externa da coluna onde ocorre a tensão de

compressão máxima

A ⟶ área da seção transversal da coluna

Le ⟶ comprimento não apoiado da coluna no

plano de flexão.

E ⟶ módulo de elasticidade para o material

i⟶ raio de giração


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Gráficos Aço A-36


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5) A coluna W8x48 de aço estrutural A-36 está

engastada na base e presa por pino no topo. Se

for submetida à carga excêntrica de 75kip,

determine se ela falha por escoamento. A

coluna está escorada de modo a não sofrer

flambagem em torno de y-y. Considere:


E = 29(103)ksiσe = 36ksiResposta: não falha


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6) Um elemento estrutural W10x15 de aço A-36 é usado como uma

coluna engastada. Determine a carga excêntrica máxima P que pode

ser aplicada de modo que a coluna não sofra flambagem ou

escoamento. Considere:


E = 29(103)ksiσe = 36ksid=9,99in

P=36,8kN

A = 4,41in2

Ix = 68,9in4

Iy = 2,89in4

ix=3,95inResposta:


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7) A coluna de alumínio tem a seção transversal mostrada abaixo. Se

estiver engastada na base e livre no topo, determine a força máxima

que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou escoamento.

Considere:


E = 70 GPaσe = 95MPaResposta: P=23,6kN

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